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Tema 2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 2.1 Introducci´on y definiciones Definici´on2.1. Una ecuaci´on diferencial lineal de primer orden, en forma impl´ ıcita, es una ecuaci´on del tipo (2.1) a 0 (t)x (t)+ a 1 (t)x(t)+ a 2 (t)=0, donde las funciones a 0 ,a 1 y a 2 son conocidas y est´an definidas en un intervalo I de R. ease que (2.1) es una ecuaci´on del tipo F (t, x(t),x (t)) = 0, que es la forma general de una ecuaci´on diferencial ordinaria (EDO) de primer orden impl´ ıcita. La ecuaci´on diferencial tx (t) - x(t) + sen t =0 es un ejemplo de (2.1), en el que las tres funciones: a 0 ,a 1 y a 2 est´an definidas en R. Si la funci´on a 0 no se anula en el intervalo I est´a claro que podremos despejar la primera derivada x (t) en (2.1) y escribir la ecuaci´on en la forma expl´ ıcita o normal x (t)= a(t)x(t)+ b(t). Definici´on2.2. Una ecuaci´on diferencial lineal de primer orden, en forma expl´ ıcita, es una ecuaci´on del tipo (2.2) x (t)= a(t)x(t)+ b(t), donde las funciones a y b son conocidas y est´an definidas en un intervalo I de R. La ecuaci´on (2.2) es del tipo x (t)= f (t, x(t)) (forma general de una EDO de primer orden expl´ ıcita), donde f : I × R R, (t, x) f (t, x)= a(t)x + b(t). De forma reducida (abreviada) escribiremos la ecuaci´on como x = a(t)x + b(t). Tres ejemplos de (2.2) son x = tx +1, x =3tx - cos t t , x = 1 t x - log t. 15

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Tema 2

Ecuaciones diferenciales lineales deprimer orden

2.1 Introduccion y definiciones

Definicion 2.1. Una ecuacion diferencial lineal de primer orden, en forma implıcita, es unaecuacion del tipo

(2.1) a0(t)x!(t) + a1(t)x(t) + a2(t) = 0,

donde las funciones a0 , a1 y a2 son conocidas y estan definidas en un intervalo I de R.

Vease que (2.1) es una ecuacion del tipo F (t, x(t), x!(t)) = 0, que es la forma general de unaecuacion diferencial ordinaria (EDO) de primer orden implıcita. La ecuacion diferencial

tx!(t)! x(t) + sen t = 0

es un ejemplo de (2.1), en el que las tres funciones: a0 , a1 y a2 estan definidas en R.

Si la funcion a0 no se anula en el intervalo I esta claro que podremos despejar la primeraderivada x!(t) en (2.1) y escribir la ecuacion en la forma explıcita o normal x!(t) = a(t)x(t) + b(t).

Definicion 2.2. Una ecuacion diferencial lineal de primer orden, en forma explıcita, es unaecuacion del tipo

(2.2) x!(t) = a(t)x(t) + b(t),

donde las funciones a y b son conocidas y estan definidas en un intervalo I de R.

La ecuacion (2.2) es del tipo x!(t) = f(t, x(t)) (forma general de una EDO de primer ordenexplıcita), donde f : I " R # R, (t, x) $# f(t, x) = a(t)x + b(t). De forma reducida (abreviada)

escribiremos la ecuacion como x! = a(t)x+ b(t). Tres ejemplos de (2.2) son

x! = tx+ 1, x! = 3tx! cos tt , x! = 1

tx! log t.

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16 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

En el primer ejemplo las funciones a y b estan definidas en R, en el segundo, los intervalos maximalesdonde a y b estan definidas son I = (%, 0) e I = (0,%) y, en el tercero, el intervalo maximal dondea y b estan definidas es I = (0,%). Observese que el ejemplo dado en el caso implıcito no se podrıaescribir explıcitamente en un intervalo que contenga a t = 0. Ahora bien, si unicamente estamosinteresados en soluciones definidas en I = (0,%), la ecuacion sı serıa equivalente a la ecuacionexplıcita:

x! = 1tx! sen t

t .

La ecuaciones lineales en forma explıcita son las que vamos a estudiar en este tema. A partir deese estudio se podra, a veces, obtener conclusiones sobre ciertas ecuaciones implıcitas (como la delejemplo anterior).

Definicion 2.3. Cuando en la ecuacion (2.2) la funcion b es identicamente nula en el intervaloI, se dice que la ecuacion diferencial lineal es homogenea, pero cuando b no es la funcion nula sedice que la ecuacion no es homogenea o es completa.

Las ecuaciones lineales son muy utiles (poseen interesantes aplicaciones) y vienen a dar, comomodelo matematico, una primera aproximacion de ciertos problemas reales (fısicos).

El estudio de estas ecuaciones es muy instructivo pues sirve de referencia para el estudio deecuaciones lineales de orden superior y de sistemas diferenciales ordinarios de primer orden.

Sin mas que suponer que las funciones a y b son continuas en I, vamos a ver lo siguiente:

• Podremos resolver la ecuacion (2.2) en el sentido de que podremos dar una formula, dependien-te de un parametro C, que nos proporcione las expresiones explıcitas de todas las soluciones.En la practica, el unico problema con el que nos podremos encontrar sera con el calculo deprimitivas.

• Probaremos ademas que todas las soluciones estan definidas en el intervalo I donde a y bson continuas. Esto es algo casi privativo de las lineales pues veremos que no sucede ası en lamayorıa de las ecuaciones diferenciales de primer orden (recuerdese el caso x! = 2tx2, vistoen el tema anterior).

• Por otra parte, podremos probar que cualquier problema de valor inicial (problema deCauchy) asociado posee una unica solucion en el intervalo I (existencia y unicidad).

Observese que la unica suposicion que hacemos: a, b & C(I,R) implica que la funcion de dosvariables f : I " R # R, (t, x) $# f(t, x) = a(t)x+ b(t), es continua en I " R.

A traves de este tema, veremos diversos motivos para llamar “lineales” a estas ecuaciones (con-sideraciones de tipo algebraicos), aunque, para ser mas riguroso, las que verdaderamente deberıanllamarse lineales son las ecuaciones homogeneas.

Por diversas razones vamos a empezar nuestro estudio con las ecuaciones homogeneas. Por unaparte la resolucion de una ecuacion homogenea es muy simple. Por otra parte, a la hora de resolverla no homogenea daremos dos metodos y ambos se basan en el conocimiento que se tiene sobre laecuaciones homogeneas.

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales IProf. Diego Gallardo Gomez

Universidad de Malaga

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2.2. La ecuacion diferencial lineal homogenea 17

2.2 La ecuacion diferencial lineal homogenea: x'(t) = a(t)x(t)

Una ventaja inicial que plantea una ecuacion diferencial lineal homogenea respecto de una completa,es que la homogenea siempre tiene una solucion trivial: la funcion nula x(t) = 0, valida en cualquierintervalo I donde la funcion a este definida; por ejemplo, la ecuacion x!(t) = (log t)x(t) tiene ala funcion nula como solucion en el uintervalo I = (0,%). Esto no sucede con la ecuacion nohomogenea. En esta seccion supondremos unicamente que la funcion a : I # R es continua en elintervalo I.

El caso visto en la introduccion de la asignatura, el del modelo malthusiano x!(t) = rx(t), donder & R, es un caso particular de ecuacion lineal homogenea donde la funcion a es constante y estecaso nos debe servir de referencia. Vimos allı que todas las soluciones de la ecuacion, definidas enR, son las funciones de la forma: xC (t) = Cert, donde C es cualquier numero real. Observese quela funcion que aparece en la exponencial es una primitiva de la funcion constante a(t) = r.

Al ser a una funcion continua en I posee primitivas en este intervalo. Notemos por!a(t) dt una

primitiva (enfatizamos que, en adelante, y en contra del uso tradicional, con el sımbolo anteriorestamos notando una primitiva y no el conjunto de todas las primitivas de la funcion a). Esevidente, por simple comprobacion, que para cada constante C & R, la funcion definida por

xC (t) = Ce!a(t) dt

es solucion de la ecuacion lineal homogenea (entre ellas esta considerada la solucion nula para elcaso C = 0), pues

x!C(t) = Ce

!a(t) dt d

dt(!a(t) dt) = e

!a(t) dta(t) = a(t)xC (t).

Veamos que las funciones anteriores son las unicas soluciones de la ecuacion homogenea. Para estoprocederemos como en el caso del modelo malthusiano. Supongamos que x : I # R es cualquiersolucion y consideramos la funcion derivable y : I # R, definida por

y(t) = x(t)e"!a(t) dt.

Sin mas que derivar esta funcion tenemos:

y!(t) = x!(t)e"!a(t) dt ! x(t)a(t)e"

!a(t) dt =

"x!(t)! a(t)x(t)

#e"

!a(t) dt = 0, para cada t & I,

por lo que, al ser I un intervalo, la funcion y es constante en I y ası existe C & R tal que

x(t) = Ce!a(t) dt

para cada t & I. De esta forma hemos concluido el siguiente resultado:

Proposicion 2.1. Si I es un intervalo en R y a : I # R una funcion continua en I, la ecuaciondiferencial lineal homogenea x!(t) = a(t)x(t) posee infinitas soluciones definidas en el intervalo I.Concretamente, si

!a(t) dt es una primitiva de la funcion a en I, las soluciones de la ecuacion

son todas las funciones xC : I # R definidas por

(2.3) xC (t) = Ce!a(t) dt donde C & R.

En muchos textos clasicos se dice que (2.3) es la solucion general de la ecuacion diferencial y esusual escribir x(t) en lugar de xC (t), simplemente por comodidad; es decir, se escribirıa la soluciongeneral como x(t) = Ce

!a(t) dt. Vease que para C = 0 se obtiene la solucion trivial (la funcion nula).

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18 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Por otra parte, observese que, si en lugar de tomar la primitiva t $#!a(t) dt, tomamos otra,

que sera de la forma: t $#!a(t) dt + k, con k constante, el conjunto de funciones que aparecerıa

en (2.3) serıa el mismo.

En muchos textos (donde el rigor matematico brilla por su ausencia) llevan a cabo el siguienteprocedimiento para resolver la ecuacion homogenea:

x!(t) = a(t)x(t) =((1)

x!(t)

x(t)= a(t) =(

(2)

$x!(t)

x(t)dt =

$a(t) dt+ k =(

(3)log |x(t) | =

$a(t) dt+ k

=( |x(t) | = e!a(t) dt+k =( x(t) = ±eke

!a(t) dt = Ce

!a(t) dt.

El paso incorrecto es el (1) pues se esta suponiendo que no hay un punto de I donde la solucionde la ecuacion se anula. Sabemos por la proposicion anterior, que salvo la funcion nula, esto escierto, pero a priori no se puede suponer. De hecho, la constante C que sale al final del procesoanterior no es nula, por lo que la solucion nula ha sido excluida. La aparicion de la constante k,que aparece en el paso (2), no queda muy clara aunque esto se podrıa solventar de otra forma. Aveces, ni siquiera ponen valor absoluto dentro del logaritmo en el paso (3), lo que es un error puessolo tiene sentido logaritmos de numeros positivos. De todas formas, el proceso anterior no estamal tenerlo en cuenta como regla mnemotecnica por si se nos olvida la expresion (2.3).

Afrontamos ahora el estudio de un problema de valor inicial, tambien llamado problema deCauchy :

(P ) :

%x!(t) = a(t)x(t)

x(t0) = x0

t0 & I, x0 & R, a : I # R continua en I,

es decir, estudiar cuantas soluciones x : I # R de la ecuacion diferencial, si existen, verifican lacondicion inicial x(t0) = x0 y, en tal caso, determinarlas. Para esto es conveniente, no elegircualquier primitiva de la funcion a, sino la primitiva definida por P (t) =

! tt0a(s) ds, que tiene

la particularidad de que verifica P (t0) = 0. Segun (2.3) las soluciones de la ecuacion diferencial

estarıan dadas por las funciones xC (t) = Ce! tt0

a(s) ds, donde C & R, pero observese que solo hay

una de ellas que verifica la condicion inicial, que es la que corresponde a la constante C = x0 . Deesta forma concluimos el siguiente resultado de existencia y unicidad.

Proposicion 2.2. Sean I un intervalo en R, t0 & I, x0 & R y a : I # R una funcion continua enI. El problema de valor inicial

(P ) :

%x!(t) = a(t)x(t)

x(t0) = x0

posee una unica solucion en el intervalo I, que es la funcion x : I # R definida por

(2.4) x(t) = x0e! tt0

a(s) ds.

En la practica, salvo en casos excepcionales, no es necesario recordar la expresion (2.4). Bastacon recordar (es facil y de comprobacion inmediata) que la solucion general de la ecuacion es dela forma x(t) = Ce

!a(t) dt y se determina la constante C imponiendo que se verifique la condicion

x(t0) = x0 .

En este caso los ejemplos que podemos poner para ilustrar la teorıa son de resolucion practicamen-te trivial, salvo calculos de primiticas. Veamos a continuacion cuatro ejemplos, los dos ultimosenfocados a establecer unas situaciones muy peculiares.

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2.2. La ecuacion diferencial lineal homogenea 19

Ejemplo 2.1. Soluciones de la ecuacion diferencial x!(t) = tx(t).

La ecuacion escrita en forma abreviada es x! = tx.

En este caso I = R y la funcion a : R # R, a(t) = t es continua en R. Por tanto, la ecuaciondiferencial posee infinitas soluciones definidas en R. Para cada C & R tenemos la solucion definida

por xC (t) = Ce!t dt, es decir, xC (t) = Ce

t2

2 . Estas son las unicas soluciones.

Ejemplo 2.2. Solucion del problema de valor inicial (P ) :

%x!(t) + 1

tx(t) = 0

x(1) = 13

En este caso a(t) = !1t y el intervalo maximal I al que pertenece t0 = 1 y donde la funcion a

esta definida y es continua es I = (0,%). Por tanto, el problema (P) tiene solucion y solamenteuna definida en ese intervalo. Para encontrar la solucion lo hacemos primeramente usando laformula (2.4) y obtenemos que la solucion de (P) es la funcion definida por

x(t) = 13e! t1 " 1

s ds = 13e(" log t+log 1) =13

t.

Si no queremos recordar la formula (generalmente eso es lo mas conveniente), determinamos todaslas soluciones de la ecuacion diferencial definidas en el intervalo I = (0,%), que son las funciones dela forma x(t) = Ce

!("1/t) dt = e" log t = C

t y, ahora, basta con determinar la constante C imponiendola condicion x(1) = 13, de lo que resulta trivialmente C = 13. De cualquier forma se obtiene la

solucion x(t) = 13/t.

Ejemplo 2.3. Solucion del problema de valor inicial (P ) :

%x!(t) = !1

tx(t)

x(1) = 0

Planteamos la solucion de este problema con el unico objetivo de hacer ver que en este caso noes necesario hacer calculos ya que vemos que la funcion nula es solucion y, teniendo en cuenta elresultado de la proposicion 2.2, esta es la unica solucion. Esto mismo saldrıa de aplicar directamentela expresion (2.4).

Ejemplo 2.4. Solucion del problema de valor inicial (P ) :

%x!(t) = et

2x(t)

x(3) = 0

En este ejemplo, el unico objetivo es hacer ver que en este caso no podrıamos dar explıcitamentelas soluciones de la ecuacion diferencial por el problema de calculo que tenemos con la primitiva!et

2dt pero, de la misma forma que en el caso anterior, no es necesario pues vemos que la funcion

nula es la unica solucion en R del problema. Es un caso donde hubiera sido mas rentable usardirectamente la expresion (2.4), pues al ser x0 = 0, nos habrıamos dado cuenta, sin necesidad decalcular la integral, que la solucion es la nula.

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20 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

2.3 La ecuacion diferencial lineal no homogenea (completa)

Nos planteamos ahora el estudio de la ecuacion diferencial

x!(t) = a(t)x(t) + b(t) .

Suponemos que las funciones a y b son conocidas y continuas en un intervalo I y que la funcion bno es la funcion nula. Observese que ahora la funcion nula x(t) = 0 no es solucion de la ecuacion.Vamos a dar aquı dos metodos para su estudio. El primero es mas elemental y mas tecnico y es unadelanto de algo que veremos en el tema 5 sobre el metodo de los factores integrantes. El segundometodo es mas algebraico, mas facil de recordar y llevar a la practica, con la ventaja adicional deque posteriormente se generalizara a ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y a sistemasdiferenciales lineales. Este segundo metodo se basa fundamentalmente en el conocimiento que yatenemos sobre la ecuacion homogenea asociada. El primero tambien usa (en menor medida) lo yavisto para ecuaciones homogeneas.

Aprovecharemos el primer metodo para estudiar un problema de valor inicial asociado a unaecuacion diferencial lineal completa.

2.3.1 Primer metodo: Uso de un “factor integrante”

En este metodo no excluımos el caso en que b sea la funcion nula, aunque este caso de lugar auna ecuacion homogenea, ya estudiada. De hecho los resultados que obtendremos generalizaran losvistos en la seccion anterior.

En primer lugar sscribimos la ecuacion diferencial ası:

(2.5) x!(t)! a(t)x(t) = b(t).

Si µ es una funcion definida en I tal que µ(t) )= 0 para cada t & I, la ecuacion anterior se puedeescribir de forma equivalente como

(2.6) µ(t)[x!(t)! a(t)x(t)] = µ(t)b(t).

La idea es encontrar (veremos que existe) una funcion µ derivable (y que no se anule) en I tal que

(2.7)d

dt[µ(t)x(t)] = µ(t)[x!(t)! a(t)x(t)] para cada t & I y cada funcion x,

pues, en tal caso, tendrıamos que la ecuacion (2.5) podrıamos escribirla de forma equivalente ası:

(2.8)d

dt[µ(t)x(t)] = µ(t)b(t).

La ventaja de (2.8) respecto de (2.5) es que de (2.8) es muy facil deducir la expresion de x. Enefecto, (2.8) nos dice que la funcion producto µx es una primitiva de la funcion µb en el intervalo I.Por tanto, si

!µ(t)b(t) dt denota una primitiva de tal funcion (la que sea), existira una constante

C tal queµ(t)x(t) =

$µ(t)b(t) dt+ C

y, por tanto, cualquier solucion x de la ecuacion (2.5) serıa de la forma:

(2.9) x(t) =1

µ(t)

&$µ(t)b(t) dt+ C

'.

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2.3. La ecuacion diferencial lineal no homogenea 21

(Observese que se necesita que sea b continua en I para que tenga sentido la expresion!µ(t)b(t) dt).

Recıprocamente, si x es una funcion definida por la expresion anterior, donde C & R, entoncesobviamente x es derivable y verifica la condicion (2.8) y, por tanto, x serıa solucion de (2.5). Esdecir, que en tal caso, (2.9) nos darıa la expresion de cualquier solucion de la ecuacion completa.

Veamos que efectivamente existe una funcion µ que no se anula y es derivable en I, que verificala condicion (2.7) y, al mismo tiempo, obtendremos una expresion de µ. Observese que

(2.7) *( µ!(t)x(t) + µ(t)x!(t) = µ(t)x!(t)! µ(t)a(t)x(t) *( µ!(t)x(t) = !µ(t)a(t)x(t),

por lo que serıa suficiente con determinar una µ que no se anule en I y verifique la condicion

µ!(t) = !a(t)µ(t) para cada t & I.

Lo anterior es una ecuacion diferencial lineal homogenea en la funcion incognita µ, cuyas solucionesvienen dadas por µ(t) = Ce"

!a(t) dt, con C cualquiera en R. A nosotros nos basta con una solucion

que no se anule en I y esta claro que una adecuada es la funcion definida por µ(t) = e"!a(t) dt.

Usando esta µ en la expresion obtenida en (2.9), concluimos que las soluciones de la ecuacion linealcompleta son las funciones definidas por

(2.10) xC (t) = e!a(t) dt

&C +

$b(t)e"

!a(t) dt dt

'.

Cuando b es la funcion nula en I, la expresion que se obtiene de (2.10) es la ya conocida para lasolucion general de la ecuacion homogenea. En conclusion, hemos obtenido el siguiente resultado:

Teorema 2.1. Si I es un intervalo en R y a, b : I # R son dos funciones continuas en I, laecuacion diferencial lineal completa x!(t) = a(t)x(t) + b(t) posee infinitas soluciones definidas enel intervalo I. Las soluciones de la ecuacion son las funciones xC : I # R definidas por (2.10),donde C & R.

Una vez visto como son todas las soluciones de la ecuacion diferencial, abordamos un problemade valor inicial

(P ) :

%x!(t) = a(t)x(t) + b(t)

x(t0) = x0

Suponemos logicamente que el punto inicial t0 se encuentra en el intervalo I, donde las funcionesa y b son continuas. Buscamos, si es que existe, una solucion de la ecuacion diferencial lineal queverifica la condicion inicial x(t0) = x0 . En (2.10) tenemos las expresiones de todas las solucionesde la ecuacion, pero en este caso, de la misma forma que vimos en el caso homogeneo, no esconveniente tomar primitivas cualesquiera en tal expresion. Por ejemplo, para la funcion a serıaconveniente elegir la primitiva definida por P (t) =

! tt0a(s) ds, que tiene la particularidad de que

verifica P (t0) = 0. Esto mismo hacemos con el resto de las primitivas, es decir, tomar t0 comolımite inferior de cada integral que aparece en (2.10). De esta forma, el conjunto de soluciones dela ecuacion lineal podemos escribirlo ası:

(2.11) xC (t) = e! tt0

a(s) ds&C +

$ t

t0

b(s)e"

! st0

a(r) drds'.

Observemos, que la ventaja de la expresion (2.11) es que la evaluacion de xC en el punto t0 estrivial, concretamente xC (t0) = C. Esto nos confirma que existe una y solamente una solucion parael problema (P), que es la dada por la expresion (2.11), donde en lugar de C ponemos x0 . De estaforma concluimos el siguiente resultado:

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22 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Teorema 2.2. Sean I un intervalo en R, t0 & I, x0 & R y a, b : I # R dos funciones continuas enI. El problema de valor inicial

(P ) :

%x!(t) = a(t)x(t) + b(t)

x(t0) = x0

posee una unica solucion en el intervalo I, que es la funcion definida por

(2.12) x(t) = e! tt0

a(s) ds&x0 +

$ t

t0

b(s)e"

! st0

a(r) drds'.

Vease que la expresion obtenida para la solucion de (P ) generaliza la obtenida en (2.4) parael caso homogeneo. En la practica no es aconsejable, salvo en casos excepcionales, usar lasformulas (2.10) y (2.12), pues la memorizacion de estas es difıcil y es facil equivocarse. Paraconseguir las soluciones de la completa, lo mejor es recordar el razonamiento seguido en la pruebadel teorema 2.1 y para la resolucion de un problema de Cauchy, al igual que en el caso homogeneo,en general aconsejo que se resuelva la ecuacion diferencial y despues se calcule el valor de la con-stante C que hace que se verifique la condicion inicial x(t0) = x0 . Ponemos en practica estas ideasen el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.5. Soluciones de la ecuacion diferencial: x!(t) = 2tx(t) + t y la solucion, definida

en R, del problema de valor inicial (P ) :

%x!(t) = 2tx(t) + t

x(0) = 0

Observemos que las funciones dadas por a(t) = 2t y b(t) = t estan definidas y son continuas enR. Por tanto, la ecuacion diferencial posee infinitas soluciones definidas en R, cuyas expresionesdifieren en un parametro C & R. Por otra parte, el teorema 2.2 nos asegura que el problema deCauchy planteado posee una unica solucion definida en R.

Si µ es una funcion definida en R tal que µ(t) )= 0 para cada t & R, la ecuacion diferencial sepuede escribir de forma equivalente como

µ(t)"x!(t)! 2tx(t)

#= tµ(t).

La idea es determinar una funcion µ, derivable y que no se anule en R, que verifique

(2.13)d

dt[µ(t)x(t)] = µ(t)

"x!(t)! 2tx(t)

#

para que nuestra ecuacion diferencial sea equivalente a la ecuacion

(2.14)d

dt[µ(t)x(t)] = tµ(t).

Derivando y desarollando la expresion (2.13) resulta

µ!(t)x(t) = !2tµ(t)x(t),

para lo cual sera suficiente con que µ no se anule y sea solucion de la ecuacion lineal homogenea

µ!(t) = !2tµ(t),

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2.3. La ecuacion diferencial lineal no homogenea 23

lo que nos lleva a elegirµ(t) = e

!"2t dt = e"t2 .

Llevando esta expresion a la ecuacion (2.14) obtenemos

d

dt[e"t2x(t)] = te"t2

y ası x debe verificar que existe c & R tal que

e"t2x(t) =

$te"t2 + C para cada t & I

y, por tanto,

x(t) = et2$te"t2 dt+ Cet

2= et

2"! 12e

"t2#+ Cet

2para cada t & I.

En definitiva, las soluciones de la ecuacion diferencial son las funciones xC : R # R definidas por

xC (t) = Cet2 ! 1

2 donde C & R.

Se suele decir que x(t) = Cet2 ! 1

2 es la solucion general de la ecuacion. Observese que, si enlugar de la funcion b(t) = t tuviesemos la funcion nula, la ecuacion resultante x!(t) = 2tx(t) serıahomogenea y sus soluciones vendrıan dadas por xC (t) = Cet

2, expresion que unicamente difiere de

la nuestra en el sumando !12 .

Para determinar la solucion del problema (P) solo tenemos que calcular el unico valor de Ctal que xC (0) = 0, lo que nos lleva trivialmente al valor C = 1/2 y, ası, la solucion de (P) en el

intervalo R es la funcion definida por x(t) = 12(e

t2 ! 1) . Siempre es aconsejable comprobar los

resultados obtenidos.

Observacion: De pedir directamente la solucion de (P ) (sin pedir las demas soluciones de laecuacion), lo conveniente es llevar a cabo el procedimiento anterior; es decir, determinar todaslas soluciones de la ecuacion y, posteriormente, calcular la constante C imponiendo la condicioninicial.

Una vez resuelta la ecuacion x! = 2tx + t se plantea otra muy parecida, aparentemente masfacil que la anterior, pues cambiamos la funcion b(t) = t por la funcion constante b(t) = 1.

Ejemplo 2.6. Resolver la ecuacion diferencial: x!(t) = 2tx(t) + 1.

Vamos a ver que, a veces, las apariencias enganan (y esto es algo que sucede con asiduidad con lasecuaciones diferenciales). De entrada tenemos asegurado que la ecuacion posee infinitas solucionesdefinidas en R, cuyas expresiones difieren en un parametro C & R. En este caso, procediendo de lamisma forma que en el ejemplo anterior escribimos

µ(t)"x!(t)! 2tx(t)

#= µ(t)

y necesitamos encontrar una funcion µ, derivable y que no se anule, que verifique la mismacondicion (2.13) del ejemplo anterior

d

dt[µ(t)x(t)] = µ(t)

"x!(t)! 2tx(t)

#

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24 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

y, por tanto, µ(t) = e"t2 , pero, al llevar esta expresion a la ecuacion (equivalente a la inicial)d

dt[µ(t)x(t)] = µ(t)

y al despejar x(t) nos encontramos con la desagradable sorpresa

(2.15) x(t) = et2$e"t2 dt+ Cet

2,

es decir, con el calculo de una primitiva,!e"t2 dt, que no se conoce. Este problema no se dio en el

caso anterior donde nos encontramos con la primitiva trivial!te"t2 dt. En este caso, no hay mas

remedio que dejar la expresion de la solucion general como aparece en (2.15).

Observese el problema que ha surgido con unos coeficientes tan simples como a(t) = 2t yb(t) = 1. Incluso en los casos en que las correspondientes primitivas pueden explicitarse, el trabajode calculo puede ser bastante laborioso. Interesa entonces disponer de metodos alternativos quepermitan, eventualmente, llegar a las soluciones por caminos mas cortos, aunque eso no siempresera posible.

2.3.2 Segundo metodo

Vamos a ver un segundo metodo de resolucion mas facil de recordar en la practica y generaliza-ble a ecuaciones lineales de orden superior y sistemas lineales de primer orden. Este metodo sebasa fundamentalmente en el conocimiento de las soluciones de una ecuacion lineal homogenea.Aunque no es estrictamente necesario, vamos a enfocarlo bajo ciertas consideraciones algebraicas,aprovechando que ya se conocen conceptos como espacios vectoriales, subespacios vectoriales yaplicaciones lineales. De hecho, estas consideraciones son las que realmente justifican que a talesecuaciones diferenciales se les llamen lineales y, por otra parte, sus generalizaciones al caso deecuaciones lineales de orden superior seran fundamentales en el estudio de estas.

Dada una ecuacion diferencial lineal de primer orden (E) : x!(t) = a(t)x(t) + b(t) diremos que

(H) : x!(t) = a(t)x(t) es la ecuacion homogenea asociada a la ecuacion (E). En lo que sigue en

esta seccion suponemos siempre que a y b son continuas en un intervalo I y, por tanto, las solucionesde ambas ecuaciones estan definidas en el intervalo I.

Consideraciones algebraicas sobre la ecuacion homogenea y la ecuacion completa.

La ecuacion homogenea (H) tiene la siguiente propiedad, trivial pero importante, que no poseela ecuacion completa (E) ni otro tipo de ecuacion diferencial.

Proposicion 2.3. Si x e y son soluciones de la ecuacion homogenea y ! & R, las funciones x+yy !x tambien son soluciones de la ecuacion homogenea.

Vease que lo afirmado en el resultado anterior no sucede con la simple ecuacion lineal nohomogenea: x! = x+ 1.

Observemos que las soluciones de la ecuacion (E) y las soluciones de la ecuacion (H) sonfunciones derivables en I que, ademas, tienen derivadas continuas en I (ya que suponemos quea y b son continuas en I); es decir, son funciones de C1

(I,R). Tanto C(I,R) como C1(I,R) son

espacios vectoriales infinito-dimensionales, con las operaciones usuales: suma x+ y y producto porun escalar !x (! & R). En estos espacios el elemento nulo es la funcion nula.

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2.3. La ecuacion diferencial lineal no homogenea 25

El conjunto de soluciones de la ecuacion (H) tiene la siguiente particularidad:

Proposicion 2.4. El conjunto de soluciones de la ecuacion homogenea es un subespacio vectorialde C1

(I,R) de dimension igual a 1.

Prueba. El que el conjunto de soluciones de (H) sea un subespacio vectorial de C1(I,R) se sigue

inmediatamente del resultado de la proposicion 2.3. El que este espacio sea unidimensional esconsecuencia inmediata del resultado de la proposicion 2.1, pues este nos confirma que el espacio desoluciones esta generado por el elemento x1 , donde x1 es la funcion definida por x1(t) = e

!a(t) dt.

Observacion: La solucion nula (solucion trivial) de la ecuacion homogenea es el elemento nulo delsubespacio de soluciones.

En las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior veremos que los conjuntos de solucionesde las ecuaciones homogeneas asociadas tambien tienen estructuras de espacios vectoriales, dedimension finita, donde la dimension, en cada caso, coincide con el orden de la ecuacion diferencial.

Resulta util y comodo usar el siguiente operador (aplicacion)

L : C1(I,R) # C(I,R), x $# Lx = x! ! ax.

Es trivial comprobar que L es lineal. En efecto, si x, y & C1(I,R),", µ & R, se verifica:

L("x+ µy) = ("x+ µy)! ! a("x+ µy) = "x! + µy! ! a"x! aµy

= "(x! ! ax) + µ(y! ! ay) = "Lx+ µLy.

En terminos de este operador podemos escribir de una forma muy simple cuando una funcion essolucion de (H) o de (E). Concretamente:

1. x es solucion de la homogenea si, y solo si, Lx = #, donde # representa la funcion nula

(elemento nulo del espacio vectorial ). Dicho de otra forma, el conjunto de soluciones de lahomogenea es el nucleo del operador lineal L.

2. x es solucion de la ecuacion completa si, y solo si, Lx = b.

Teniendo en cuenta lo anterior y que L es lineal es muy facil comprobar el siguiente resultado,que es la clave de nuestro segundo metodo.

Proposicion 2.5. Si xp es una solucion (particular) de la ecuacion completa (E), se verifica quex es solucion de (E) si, y solo si, x es de la forma x = xh + xp , donde xh es solucion de la

homogenea (H).

Prueba. En efecto, si x = xh + xp se tiene que Lx = Lxh + Lxp = # + b = b y ası x es solucion de(E). Recıprocamente, si x es solucion de (E), podemos escribir x = xh + xp, donde xh = x! xp yresulta que xh es solucion de (H) pues Lxh = Lx! Lxp = b! b = #.

Conclusion: Si conocemos las soluciones xh de la ecuacion homogenea asociada y una solucionparticular xp de la ecuacion completa, conocemos todas las soluciones de la completa. Este conjuntode soluciones es

{x = xh + xp, donde xh es solucion de la homogenea}.

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26 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

En el lenguaje del Algebra Lineal podemos decir que el espacio de soluciones de la ecuacion completaes un espacio afın asociado al espacio vectorial de las soluciones de la homogenea.

Lo visto anteriormente se puede contrastar con lo que obtuvimos en el primer metodo. Vimosen el teorema 2.1 que las soluciones de la ecuacion completa son de la forma

x(t) = e!a(t) dt

&C +

$b(t)e"

!a(t) dt dt

',

lo que se puede escribir comox(t) = Ce

!a(t) dt + xp(t),

donde

(2.16) xp(t) = e!a(t) dt

$b(t)e"

!a(t) dt dt.

Observese que xp es solucion de la completa (caso C = 0) y xh(t) = Ce!a(t) dt representa la solucion

general de la ecuacion homogenea.

Ejemplo 2.7. Soluciones de la ecuacion diferencial x!(t) = x(t)! t+ 1.

Esta ecuacion posee infinitas soluciones definidas en R. Se ve a ojo una solucion particular de lacompleta, que es xp(t) = t, por lo que la resolucion de la ecuacion es casi inmediata. Las solucionesde la ecuacion homogenea asociada x! = x son las definidas por xC (t) = Cet, con C & R. Por tanto,las soluciones de ecuacion completa son las funciones de la forma xC (t) = Cet + t , donde C & R.

2.3.3 Metodos para determinar una solucion particular de la completa

En pocos casos se puede determinar a ojo una solucion particular por lo que se hace necesarioun metodo general para conseguir esto. Por suerte, hay uno muy facil de recordar y de llevara la practica (salvo eventuales calculos de primitivas), que fue propuesto por el matematico J.L.Lagrange y se conoce de la siguiente forma:

A): Conjetura de Lagrange o metodo de variacion de las constantes (parametros).

Observemos que las soluciones de la ecuacion homogenea asociada a una ecuacion completa sonlas definidas por xC (t) = Ce

!a(t) dt, siendo C cualquier constante (real). Por tanto, es muy facil

acordarse del siguiente resultado, pues en el se conjetura que hay soluciones de la ecuacion completaque son como las anteriores pero cambiando la constante C por una funcion t $# k(t) derivabley con derivada continua (de ahı el discutido nombre del metodo de variacion de las constantes).

Proposicion 2.6. Hay soluciones de la ecuacion completa x!(t) = a(t)x(t) + b(t) del tipo

(2.17) xp(t) = k(t)e!a(t) dt,

donde k & C1(I,R).

Prueba. Realmente la solucion particular (2.16), obtenida por el primer metodo, confirma esta con-jetura, ya que allı obtuvimos una solucion particular como la propuesta, donde k(t) =

!b(t)e"

!a(t) dt

define efectivamente una funcion de C1(I,R). No obstante, vamos olvidarnos de lo visto con el

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2.3. La ecuacion diferencial lineal no homogenea 27

primer metodo y vamos a llevar a cabo un simple razonamiento, que es el que hay que seguir en lapractica, para obtener la funcion k sin necesidad de recordar formulas. Consiste en suponer que,fijada una primitiva

!a(t) dt de la funcion a en el intervalo I, la funcion dada por (2.17) es solucion

de la ecuacion y llegar facilmente a una expresion de k(t). Finalmente la expresion que se obtienede xp es la misma que en (2.16).

En efecto, si suponemos que la funcion definida por xp(t) = k(t)e!a(t) dt, donde k es derivable, es

solucion de la ecuacion completa, derivando tal expresion e imponiendo que sea solucion, obtenemos:

x!p(t) = k!(t)e!a(t) dt + k(t)a(t)e

!a(t) dt,

k!(t)e!a(t) dt + k(t)a(t)e

!a(t) dt = a(t)k(t)e

!a(t) dt + b(t)

y, por tanto,

k!(t)e!a(t) dt = b(t), es decir, k!(t) = b(t)e"

!a(t) dt.

De esta forma, la obtencion de la funcion k se reduce a un calculo de primitiva:

k(t) =!b(t)e"

!a(t) dt dt.

(Observese que la funcion k obtenida tiene derivada continua en I.) Una vez obtenida una de estasprimitivas (la que sea) obtenemos la expresion de una solucion particular ası:

xp(t) =& !

b(t)e"!a(t) dt dt

'&e!a(t) dt

',

que es exactamente, la misma expresion que se obtuvo en (2.16). Por tanto, de existir tal solucionparticular debe tener la expresion descrita anteriormente. Ahora, lo unico que habrıa que hacer esderivar y comprobar que, efectivamente, la funcion obtenida es solucion de la ecuacion diferencial,lo que nos podrıamos ahorrar por tenerlo asegurado por el primer metodo, pero la comprobaciones ası de simple

x!p(t) = b(t)e"!a(t) dt e

!a(t) dt +

& !b(t)e"

!a(t) dt dt

'a(t)e

!a(t) dt = b(t) + a(t)xp(t).

Ponemos en practica el metodo anterior con cuatro ejemplos, donde cada uno de ellos presentauna peculiaridad distinta.

En el primer ejemplo resolvemos la misma ecuacion que se vio con el primer metodo para podercomparar ambos metodos.

Ejemplo 2.8. Soluciones de ecuacion diferencial x!(t) = 2tx(t) + t.

.

La ecuacion homogenea (H) asociada a nuestra ecuacion completa es x! = 2tx, cuyas solucionesson las funciones, definidas en R, por xh(t) = Cet

2, siendo C cualquier constante real. Segun la

conjetura de Lagrange, hay soluciones particulares del tipo xp(t) = k(t)et2, donde k & C1

(R,R).Para obtener una funcion k adecuada procedemos como en la prueba del resultado anterior; esdecir, imponemos que tal funcion xp es solucion de la ecuacion diferencial completa y, si no nosequivocamos, tendremos asegurado que k se puede obtener sin mas que realizar un calculo deprimitivas (hay un sumando, donde aparece explıcitamente k(t), que se simplifica y desaparece).

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28 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

En efecto, derivando xp obtenemos: x!p(t) = k!(t)et2+ 2tk(t)et

2y ahora imponemos que sea

solucion:

k!(t)et2+ 2tk(t)et

2= 2tk(t)et

2+ t.

Por tanto, queda k!(t)et2= t y, de esta forma, k!(t) = te"t2 . Determinamos k mediante el calculo

de la primitiva trivial k(t) =!te"t2 = !1

2e"t2 . Llevando esta expresion de la funcion k a la de xp,

se obtiene finalmente xp(t) = !1/2.

Las soluciones de la ecuacion completa son las funciones de la forma x = xh+xp, donde xh sonlas soluciones de la homenea (H) asociada. Por tanto, las soluciones de la ecuacion dada son lasfunciones xC : R # R dadas por las expresiones

xC (t) = Cet2 ! 1

2donde C & R.

Observese que hemos tenido el mismo resultado que el que vimos con el primer metodo y lasprimitivas que han aparecido son las mismas que aparecieron allı. Sin embargo, esta forma deproceder es mas facil de recordar.

Indicamos a continuacion la resolucion de la ecuacion diferencial usando el programa Mathe-matica. En principio vamos a indicar la entrada y salida con la version 5.0 del programa yanteriores. En la primera lınea aparece lo forma en que se introduce la expresion de la ecuaciondiferencial en este programa. En la segunda aparece la respuesta que da Mathematica.

DSolve[x’[t] == 2 t x[t] + t, x[t], t]

{{x[t] -> -(1/2) + E^t^2 C[1]}}

La forma de introducir la ecuacion es bastante natural. Dentro del corchete donde actua la ins -truccion DSolve escribimos la ecuacion diferencial x’[t] == 2 t x[t] + t y despues, separadospor comas, indicamos quien es la funcion incognita, en este caso x[t], y quien es la variableindependiente, en este caso t. Notese que usamos el doble igual == , que se usa en general paraecuaciones para distinguirlo del = de asignaciones. La solucion que da el programa tiene un aspectoalgo raro: aparece C[1], que indica simplemente el parametro C de la solucion general (estapensado para que en ecuaciones de orden superior, donde aparecen varios parametros, aparezcanestos numerados). El sımbolo ^ se usa para las potencias y E indica la funcion exponencial; asıE^t^2 indica et

2. Algo mas raro son las dos llaves que rodean la expresion de la solucion general.

Esto tiene su explicacion, que no vamos a comentar aquı.

En las versiones 6.0 y posteriores de este programa (actualmente tenemos la version 8.0) lasexpresiones de las soluciones aparecen con mejores aspectos, analogos al que utilizamos en estosapuntes. Ası, en nuestro ejemplo, una version posterior a la 5.0 darıa la solucion ası:

((x[t] # !1

2+ et

2C[1]

)).

Por otra parte, tenemos la posibilidad de introducir las expresiones de las ecuaciones mediante unapaleta de caracteres, lo que nos facilita la tarea y, al mismo tiempo, en muchos casos, expresa laecuacion de una forma mas agradable.

En los proximos ejemplos escribiremos los resultados que da Mathematica usando versionesposteriores a la 5.0.

En el siguiente ejemplo se plantea un problema de valor inicial.

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2.3. La ecuacion diferencial lineal no homogenea 29

Ejemplo 2.9. Estudiar y resolver el problema (P ) :

%x!(t) = cos t! 1

tx(t)

x($) = 1

En primer lugar, podemos afirmar que (P ) tiene solucion unica en el intervalo I = (0,%) yaque las funciones definidas por a(t) = !1/t y b(t) = cos t son continuas en ese intervalo (el mayorintervalo donde a y b son continuas y que contiene al punto t = $). En segundo lugar, vamos adeterminar todas las soluciones xc de la ecuacion diferencial definidas en el intervalo I = (0,%) y,por ultimo, determinamos la solucion de (P) buscando una constante C para la que se verifica quexc($) = 1.

La ecuacion homogenea asociada (H) es x! = !1tx, cuyas soluciones son las funciones definidas

en el intervalo I = (0,%) por xh(t) = Ce!" 1

t dt = C/t, siendo C & R. Por tanto, hay solucionesparticulares del tipo xp(t) = k(t)/t, donde k & C1

(I,R). Determinamos la funcion k imponiendoque xp sea solucion de la ecuacion completa. Esto nos lleva a la igualdad

k!(t)t ! k(t)

t2 = !k(t)t2 + cos t,

de donde se sigue que k!(t) = t cos t. Llevando a cabo una integracion por partes, obtenemosk(t) =

!t cos t dt = t sen t+ cos t y, finalmente, xp(t) = sen t+ cos t

t .

Por tanto, las soluciones de la ecuacion diferencial son las funciones xC definidas en el intervaloI = (0,%) por

xC (t) =Ct + sen t+ cos t

t , donde C & R.

Resolucion de la ecuacion diferencial con Mathematica:

DSolve[x’[t] == Cos[t] - (1/t) x[t], x[t], t]

**x[t] # C[1]

t + Cos[t]+tSin[t]t

++

Determinamos la solucion del problema (P ) entre las funciones anteriores sin mas que imponerla condicion inicial xC ($) = 1, lo que nos lleva a C = 1 + $. Por tanto, la solucion del problema(P ) es la funcion x : (0,%) # R definida por

x(t) =$ + 1 + cos t

t+ sen t.

!!, 1"!

2!

3 !

2 3 ! 4 ! 5 !

1

Figura 2.1: Grafica de la solucion x(t) = !+1+cos tt + sen t.

Para la resolucion del problema de valor inicial con Mathematica introducimos despues de laecuacion diferencial, separado por una coma y todo entre llaves, la condicion inicial, tal como seindica en la primera lınea.

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30 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

DSolve[{ x’[t] == Cos[t]-x[t]/t, x[Pi]==1}, x[t], t]

**x[t] # 1+!+Cos[t]+tSin[t]

t

++

En el siguiente ejemplo proponemos una EDO lineal de primer orden no explıcita (implıcita),muy especial, con el fin de hacer ver que los resultados vistos para las ecuaciones explıcitas no sonvalidos para las implıcitas. De paso veremos que cierto tipo de ecuaciones propiamente implıcitasse pueden resolver usando ecuaciones explıcitas.

Ejemplo 2.10. Soluciones de ecuacion diferencial tx!(t) + 2x(t)! 4t2 = 0 y soluciones de losproblemas de Cauchy

(P ) :

%tx!(t) + 2x(t)! 4t2 = 0

x(0) = 0y (Q) :

%tx!(t) + 2x(t)! 4t2 = 0

x(0) = 1

En principio tendrıa sentido que una solucion de esta ecuacion diferencial estuviese definida enun intervalo I tal que 0 & I, pero para poder estudiarla tenemos que escribir de forma equivalenteesta ecuacion como una ecuacion explıcita, en este caso:

x!(t) = !2t x(t) + 4t

y esto solo sucede si consideramos soluciones definidas en los intervalos I = (!%, 0) e I = (0,%)(o intervalos contenidos en estos). Vamos a determinar las soluciones de la explıcita por el segundometodo para intentar, a partir de estas, estudiar lo que sucede con la implıcita.

Las ecuacion homogenea asociada es (H) : x! = !2tx, cuyas soluciones vienen definidas por

xh(t) = Ce!("2/t) dt = Ce"2 log | t | =

C

t2, donde C & R.

Existen soluciones particulares de la ecuacion completa de la forma xp(t) =k(t)t2 , siendo k de clase

uno en I. Determinamos k imponiendo que xp sea solucion de la completa ası:

k!(t)

t2! 2

k(t)

t3= !2

t

k(t)

t2+ 4t,

lo que nos lleva a k!(t) = 4t3 y, por tanto, k(t) = t4. Por tanto, una solucion particular de lacompleta es la dada por xp(t) = t2. Se concluye que las soluciones de la ecuacion diferencialexplıcita son todas las funciones definidas en los intervalos I por

xC (t) = t2 +C

t2, donde C & R.

Resolucion de la ecuacion diferencial x! = !2tx+ 4t con Mathematica:

DSolve[x’[t] == -(2/t) x[t] + 4 t, x[t], t]**

x[t] # t2 + C[1]t2

++

En principio, las soluciones obtenidas son soluciones de la ecuacion diferencial implıcita en losintervalos I = (!%, 0) e I = (0,%). Curiosamente solo una de estas, concretamente la solucionparticular x(t) = t2, tiene sentido como funcion en todo R. Las otras, las definidas por xc(t) =t2 + C

t2 , siendo C )= 0, no se pueden extender de forma continua a funciones definidas en R pues noposeen lımites finitos para t # 0.

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2.3. La ecuacion diferencial lineal no homogenea 31

Si x : R # R fuese solucion de la ecuacion implıcita, distinta de x(t) = t2, entonces x : I # R,siendo I = (!%, 0) o I = (0,%), serıa solucion de la explıcita y, por tanto, x vendrıa definida porxc(t) = t2+ C

t2 , para t )= 0. Pero esta situacion es imposible, pues x debe ser derivable y, por tanto,continua en t = 0, lo cual no sucede pues x no posee lımite finito en ese punto. Un razonamientoanalogo se puede usar para ver, que salvo la dada por x(t) = t2, no puede haber otra solucion dela ecuacion implıcita definida en un intervalo I que contenga a t = 0.

Comprobamos que efectivamente la funcion definida por x(t) = t2 es solucion de la implıcita

en R y el razonamiento anterior nos lleva a que es la unica solucion de la ecuacion implıcita validaen R. Esto tiene como consecuencia que el problema de Cauchy (P ) tendrıa solucion valida en R,que es la funcion definida por x(t) = t2 (parece ser que es la unica) pero el problema (Q) no tienesolucion. Esto supone un comportamiento muy distinto al caso de ecuaciones explıcitas pues veaseque nuestra ecuacion lineal implıcita es de la forma general a0(t)x

!(t)+a1(t)x(t)+a2(t) = 0, dondelas funciones a0(t) = t, a1(t) = 2 y a3(t) = !4t2 estan definidas y son continuas en R.

C ! 0C ! 0

C " 0C " 0

!0, 0"!0, 1"#4 #2 2 4

#20

#10

10

20

30

40

Figura 2.2: Graficas de las soluciones xC para C = 1, 3, 0,!3,!1.

Si le damos a Mathematica la ecuacion lineal implıcita nos da las mismas soluciones de laexplıcita asociada; es decir, las que hemos obtenido anteriormente:

DSolve[t x’[t] + 2 x[t] - 4 t^2 == 0, x[t], t]**

x[t] # t2 + C[1]t2

++

y si le pedimos la solucion del problema (Q) no nos sabe responder.

Por ultimo planteamos la resolucion de una ecuacion diferencial con el fin de hacer ver quea veces, aun siendo posible el calculo de primitivas, la determinacion de una solucion particularmediante el metodo de Lagrange y analogamente a la resolucion por el primer metodo, puede sermuy laboriosa y esto justificarıa la necesidad de buscar otro metodo para ciertos casos.

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32 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Ejemplo 2.11. Soluciones de la ecuacion diferencial x!(t) + 5x(t) = t3et.

Escribimos la ecuacion como x!(t) = !5x(t)+t3et. En este caso una de las funciones coeficienteses constante (a(t) = !5) y la otra es la definida por b(t) = t3et. Ambas son continuas en R y, portanto, las soluciones de la ecuacion diferencial estan definidas en R.

La ecuacion homogenea (H) asociada a nuestra ecuacion completa es x! = !5x, cuyas solu-ciones son las funciones definidas por xh(t) = Ce"5t, siendo C cualquier constante real. Segun laconjetura de Lagrange, hay soluciones particulares del tipo xp(t) = k(t)e"5t, donde k & C1

(R,R).Para obtener una funcion k adecuada imponemos que tal funcion xp sea solucion de la ecuaciondiferencial completa y obtenemos k!(t) = t3e6t. El problema con el que nos encontramos aquı esla determinacion de la primitiva k(t) =

!t3e6t dt, lo cual exige tres integraciones por partes. En la

primera integracion por partes tomamos u(t) = t3 y v!(t) = e6t y de forma analoga v!(t) = e6t enlas otras dos integraciones por partes. Con un poco de paciencia obtenemos:

!t3,-./u(t)

e6t,-./v!(t)

dt = 16 t

3e6t ! 12

!t2e6t dt = 1

6 t3e6t ! 1

2

016 t

2e6t ! 13

!te6t dt

1

= 16 t

3e6t ! 112 t

2e6t + 16

!te6t dt = 1

6 t3e6t ! 1

12 t2e6t + 1

6

016 te

6t ! 16

!e6t dt

1

= e6t216 t

3 ! 112 t

2 + 136 t!

1216

3,

obteniendo finalmente la solucion particular

(2.18) xp(t) = et&16 t

3 ! 112 t

2 + 136 t!

1216

'= 1

216 et (36t3 ! 18t2 + 6t! 1).

En definitiva, las soluciones de la ecuacion vienen dadas por

xC (t) = Ce"5t + 1216 e

t (36t3 ! 18t2 + 6t! 1), donde C & R.

A la vista de la dificultad de calculo que se ha tenido para obtener la solucion particular (2.18),nos planteamos si la resolucion de esta ecuacion es mas comoda por el primer metodo (el del factorintegrante). La respuesta es negativa, tanto en este ejemplo como en cualquier otro, si tenemos encuenta la expresion (2.16); es decir, usando el primer metodo nos vamos a topar con las mismasprimitivas y, por lo tanto, con la misma dificultad. Para ratificar esto (por si alguien no quedaconvencido), vamos a intentar resolver la ecuacion de este ejemplo con ese metodo y, de paso, vemosun ejemplo mas.

Si µ : R # R no se anula en ningun punto de R, la ecuacion diferencial es equivalente a

µ(t)"x!(t) + 5x(t)

#= µ(t)t3et.

La idea es determinar una funcion µ, derivable y que no se anule en R, que verifique

(*)d

dt[µ(t)x(t)] = µ(t)

"x!(t) + 5x(t)

#

para que nuestra ecuacion diferencial sea equivalente a la ecuacion

d

dt[µ(t)x(t)] = µ(t)t3et,

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2.3. La ecuacion diferencial lineal no homogenea 33

de donde es trivial “despejar” x ası:

x(t) =1

µ(t)

0C +

!µ(t)t3et

1.

Derivando y desarollando la expresion (*) resulta

µ!(t)x(t) = 5µ(t)x(t),

para lo cual sera suficiente con que µ no se anule y verifique µ!(t) = 5µ(t), lo que nos lleva a elegirµ(t) = e5t, para finalmente obtener

x(t) = Ce"5t, -. /xh(t)

+ e"5t!t3e6t dt

, -. /xp(t)

.

Como era de esperar, en el primer sumando de la expresion anterior aparece xh(t), expresion dela solucion general de la ecuacion homogenea y, en el segundo, la misma solucion particular xp(t)que surgio con el metodo de variacion de los parametros y, por tanto, con el mismo problema decalculo de la primitiva

!t3e6t dt.

Resolucion de la ecuacion diferencial con Mathematica:

DSolve[x’[t] + 5 x[t] == t^3 Exp[t], x[t], t]]44

x[t] # 1216e

t"!1 + 6t! 18t2 + 36t3

#+ e"5tC[1]

55

El ejemplo anterior es una buena excusa para explicar el siguiente metodo para determinar unasolucion particular.

(B): Metodo de los coeficientes indeterminados

Este es un metodo que se usa para determinar una solucion particular de una ecuacion linealcompleta, pero que solo se puede aplicar en ciertos casos; concretamente, cuando la funcion a esconstante, es decir, la ecuacion es de la forma

x!(t) = ax(t) + b(t)

y, ademas, la funcion b es de unos tipos especiales. Cuando este metodo se puede llevar a cabo,la ventaja que tiene respecto al anterior (metodo de Lagrange) es la simplicidad de calculos; dehecho, no requiere calculos de primitivas.

El metodo de los coeficientes indeterminados se desarrollara con todo detalle cuando veamoslas EDO lineales de segundo orden; aquı solo vamos a considerar, con poco formalismo, el casoespecial en que la funcion b es de la forma:

b(t) = Pm(t)e"t, donde Pm(t) es un polinomio de grado m )= 0 en t y ! & R.

El ejemplo visto anteriormente es un caso particular de esta situacion. Al ser a constante, comoqueremos una funcion xp que verifique x!p(t)! axp(t) = b(t), parece factible buscar xp ası:

xp(t) = Qm(t)e"t, donde Qm(t) es otro polinomio de grado m en t.

¿Es esto posible? En principio podrıa serlo si ! )= a ya que

x!p(t)! axp(t) ="Q!

m(t) + (!! a)Qm(t)#e"t

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34 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

y el factor que acompana a e"t en la expresion anterior es un polinomio de grado m siempre que!! a )= 0 (se puede probar que, en este caso, efectivamente existe tal solucion particular).

Ponemos en practica esta idea con la ecuacion ya vista anteriormente: x!(t) + 5x(t) = t3et .

Observemos que aquı ! = 1 )= a = !5, por lo que puede existir una solucion particular de la forma

xp(t) = Q3(t)et = (At3 +Bt2 + Ct+D)et, donde A,B,C,D & R.

Veamos si existen coeficientes A,B,C,D que verifiquen que xp es realmente solucion y, en talcaso, los determinaremos; de ahı que el metodo reciba el nombre de metodo de los coeficientesindeterminados.

La funcion xp sera solucion de la ecuacion si y solo si, al imponer esa condicion el sistema deecuaciones que resulta en las incognitas A,B,C y D es compatible. De hecho, vamos a comprobarque al imponer que tal funcion xp sea solucion llegamos a un sistema lineal de ecuaciones consolucion unica y de resolucion inmediata, pues sale un sistema triangular donde se obtiene inmedia-tamente el coeficiente A; a partir del valor de A se obtiene el valor de B y ası sucesivamente.Finalmente veremos que sale la misma solucion particular que se obtuvo mediante el metodo devariacion de las constantes.

En efecto, derivando la expresion de xp y escribiendo adecuadamente x!p + 5xp obtenemos

x!p(t) =&At3 + (3A+B)t2 + (2B + C)t+ C +D

'et

5xp(t) =&5At3 + 5Bt2 + 5Ct+ 5D

'et

x!p(t) + 5xp(t) =&6At3 + (3A+ 6B)t2 + (2B + 6C)t+ C + 6D

'et.

Puesto que se debe verificar que x!p(t) + 5xp(t) = t3et para cada t & R, resulta que, xp es solucionde la ecuacion diferencial si y solo si, los coeficientes verifican

6777778

777779

6A = 1

6B + 3A = 0

6C + 2B = 0

6D + C = 0.

Lo anterior es un sistema lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incognitas, compatible determinadoy de resolucion trivial. De la primera ecuacion se obtiene A = 1/6. Llevando este valor a la segundaecuacion se obtiene B = !1/12. Sustituyendo el valor de B en la tercera se tiene C = 1/36y, por ultimo, de la cuarta ecuacion se sigue D = !1/216, obteniendo ası la misma solucionparticular (2.18) que obtuvimos con el metodo de variacion de las constantes, pero de una formamas simple.

Observese que cuando ! = 0 tenemos el caso particular en el que la funcion b es polinomicay en este caso se busca una solucion particular que tambien sea polinomica y del mismo grado(! = a solo se darıa en el caso en el que ecuacion fuese de la forma x!(t) = Pm(t), ecuacion que es

trivial). Se propone como ejercicio la resolucion de la ecuacion x! + x = t4 . Otro caso particularde b(t) = Pm(t)e"t es b(t) = "e"t (caso m = 0), pero este no da problemas de calculo con el metodode Lagrange.

Se concluye la teorıa de este tema con algunas advertencias, destacando ciertos aspectos so-bresalientes de la ecuaciones diferenciales lineales, que a van ser casi exclusivos de este tipo de

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2.4. Algunos modelos matematicos 35

ecuaciones. Una de las propiedades mas significativas de las ecuaciones lineales x! = a(t)x+ b(t) esque poseen soluciones (infinitas) en cualquier intervalo I donde las funciones a y b sean continuas.Por otra parte, un problema de Cauchy posee solucion unica en un intervalo I donde las funcionesa y b sean continuas y t0 & I. Ası por ejemplo, el problema lineal

(P ) :

%x!(t) = x(t)

x(0) = 1

posee solucion unica valida en todo R. Otra cuestion a destacar es que las expresiones de lassoluciones se han obtenido de una forma explıcita.

A partir de ahora, en el tratamiento del resto de las ecuaciones, a priori no podremos conocerlos intervalos de existencia de la soluciones. Por ejemplo, un problema tan parecido a (P ) como

%x!(t) = x2(t)

x(0) = 1

no posee solucion valida en R. La solucion de este problema, que es x(t) = 11"t , solo es valida en

el intervalo I = (!%, 1). La ecuacion no es lineal; es de un tipo que estudiaremos en el proximotema. En muchas de las ecuaciones diferenciales, que trataremos en este curso, las expresiones delas soluciones se obtendran, en principio, de una forma implıcita y, en muchos casos, no se podranobtener expresiones explıcitas.

2.4 Algunos modelos matematicos usando ecuaciones diferencialeslineales de primer orden

Este tema se acaba con la exposicion de algunos modelos matematicos en el que aparecen ecuacioneslineales de primer orden. Uno de ellos ya se vio en la introduccion de la asignatura (tema 1), que es elmodelo de poblacion malthusiano, que dio lugar a una simple ecuacion diferencial lineal homogenea:x!(t) = rx(t). Exponemos a continuacion otros dos ejemplos muy interesantes.

2.4.1 La ley de desintegracion radioactiva

Hay ciertos atomos cuyos nucleos poseen un numero excesivo de neutrones y esto los hace inesta-bles. Los atomos tienden entonces a desintegrarse, liberando partıculas que les sobran y adquiriendoconfiguraciones mas estables. Las sustancias con este tipo de atomos se llaman radioactivas (o ra-diactivas). Se suele suponer que todos los atomos de una sustancia radiactiva tienen la mismaprobabilidad de desintegrarse en la unidad de tiempo y que esa probabilidad no depende del mo-mento en que tiene lugar la desintegracion.

Experimentalmente se ha establecido que la velocidad de desintegracion de una sustancia radiac-tiva es directamente proporcional a la cantidad de sustancia existente. Esto se conoce como ley dedesintegracion radioactiva y fue formulada por E. Rutherford y F. Soddy en 1902 (premios Nobelde quımica en 1908 y 1921 respectivamente).

La ley de desintegracion anterior se puede expresar en terminos de una simplısima ecuaciondiferencial lineal homogenea (analoga a la del modelo malthusiano). Si para cada instante de tiem-po t, x(t) denota la cantidad de materia radioactiva existente en ese instante, lo que nos dice la leyde desintegracion es que existe una constante K > 0 tal que

(2.19) x!(t) = !Kx(t).

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36 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

La constante K > 0 es la llamada constante de desintegracion de la materia. Lo del signo negativodelante de K en la ecuacion (2.19) se explica por el hecho de que la materia tiende a decrecer conel paso del tiempo y, por tanto, la derivada x!(t) debe ser negativa en cada instante t.

Las soluciones de (2.19) son las funciones definidas por

xC (t) = Ce"Kt donde C & R.

Si conocemos la cantidad x0 de sustancia radiactiva en un instante t0 , damos lugar a un problemade valor inicial asociado a la ecuacion (2.19) cuya unica solucion es

(2.20) x(t) = x0e"K(t"t0 ).

La expresion de la evolucion de la masa en funcion del tiempo, dada por (2.20), nos confirma quela masa de la sustancia radioactiva decrece exponencialmente con el tiempo y tiende a extinguirse,es decir, lim

t#$x(t) = 0. Posiblemente, esta fue la hipotesis formulada por E. Rutherford y F. Soddy,

segun algunos textos.

Un importante concepto relacionado con las sustancias radiactivas es la llamada semivida. Lasemivida de una sustancia radiactiva es el tiempo (se suele notar por t

1/2) que tarda esta en reducir

su masa a la mitad. Este valor es muy util para ciertos objetivos y puede calcularse facilmente enfuncion de de la constante de desintegracion K.

En efecto, por definicion, si t0 indica el instante inicial de la desintegracion, la semivida t1/2

es

el valor que verifica x(t0 + t1/2

) = 12x(t0). Teniendo en cuenta la expresionr (2.20), tenemos

x0e"Kt

1/2 = 12x0

y aunque desconozcamos el valor de la masa en el instante inicial x0 = x(t0), al ser esta no nula,podemos deducir de la expresion anterior que

t1/2

= log 2K .

Se deja como un simple ejercicio el comprobar que la constante de desintegracion y, por tanto,la semivida se puede calcular conociendo las cantidades de sustancias radiactivas en dos instantesde tiempo (no es necesario conocer la masa en el instante inicial).

La semivida de algunas materias radiactivas es de pocos segundos o minutos, pero la de otras,como el carbono-14, es de muchısimos anos, la cual esta estimada en aproximadamente 5.730 anos.Esto hace que el carbono-14 sea muy adecuado para fechar restos organicos de hasta hace 50.000anos. Resulta sorprendente que este modelo matematico tan simple sea la unica base matematicaen la que se apoya el muy famoso metodo del carbono-14 para datar fechas de restos arqueologicos,metodo que ideo el quımico estadounidense Libby, en la decada 1940-50 y que le reporto el PremioNobel de Quımica en 1960.

La estimacion de edades de restos arqueologicos por el metodo del carbono-14 se basa en losiguiente. El isotopo radiactivo natural del carbono es el carbono-14 (6 protones y 8 neutrones).Se acepta que la razon entre carbono-14 y carbono-12 (el isotopo estable del carbono, que contiene6 protones y 6 neutrones) del CO2 atmosferico ha permanecido constante a lo largo de, al menos,los ultimos 50.000 anos. Esa misma razon existira en los organismos vivos al ser incorporadoCO2 por las plantas mediante la fotosıntesis y, a partir de ellas, por todos los animales de lacadena alimenticia. Cuando muere una planta o un animal, la cantidad de C14 decrece debido ala desintegracion radiactiva, mientras que la cantidad de C12, estable, permanece constante. Esto

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2.4. Algunos modelos matematicos 37

significa, por ejemplo, que la radiactividad (velocidad de desintegracion del carbono-14) en unamuestra actual de madera recien cortada (o en general de cualquier tipo de materia organica),debe coincidir con la que tenıa una muestra similar hace 3.000 anos. De esta forma, midiendola radioactividad de un resto arqueologico de origen organico (madera, huesos, etc.) y la de unamuestra similar actual, podra determinarse la edad aproximada de dicho resto.

La cuestion que planteamos es la siguiente. Compruebese mediante el modelo (2.20) lo dichoanteriormente; mas concretamente, que podemos datar un resto arquelogico (de no mas de 50.000anos) conociendo la proporcion entre la radiactividad del resto hallado y la de una muestra similaractual. En particular, determınese la edad de unos restos arqueologicos si la radiactividad de estoses el 25 por 100 de la radiactividad de una muestra viva.

2.4.2 La ley de Newton sobre la variacion de la temperatura

Denotemos por T (t) la temperatura superficial en el instante t de un objeto (que no posea fuentes nisumideros internos de calor) y por Ta la temperatura ambiente, la cual suponemos que permanececonstante en un cierto periodo de tiempo. No estarıa mal hacerse unas ideas de lo que sucedecon una bebida caliente (cafe), que se enfrıa rapidamente tendiendo a la temperatura ambiente (elenfriamiento es cada vez mas lento), o lo que sucede con una bebida muy frıa, que se va calentando(cada vez mas lentamente) tendiendo tambien a la temperatura ambiente. La modelizacion massimple de las observaciones anteriores consiste en suponer que la velocidad con que varıa la tem-peratura superficial de un objeto es directamente proporcional a la diferencia entre la temperaturaambiente y la del objeto. Esta es la conocida ley de Newton sobre la variacion de la temperatura(conocida mas usualmente como ley de enfriamiento de Newton). Matematicamente esto se puedeformular diciendo que existe una constante K > 0 tal que

(2.21) T !(t) = K"Ta ! T (t)

#para cada t + t0 ,

donde t0 es un instante inicial. La constante K depende de la naturaleza del objeto. El motivode que K sea positiva es el siguiente. Si en un instante t0 es T (t0) > Ta (situacion que se da conel cafe), por ser la funcion temperatura continua, en un intervalo del tipo J = [t0 , t0 + %) debeverificarse que T (t) > Ta para cada t & J y, por tanto, T !(t) = K

"Ta ! T (t)

#< 0, por lo que la

temperatura decrece estrictamente en J . Analogamente, si T (t0) < Ta (situacion que se da con labebida frıa) serıa T !(t) > 0 para cada t & J y ası la temperatura crece estrictamente en J . Ambassituaciones son las esperadas. Escribimos, para una mejor visualizacion, la ecuacion diferencial ası:

T !(t) = !KT (t) +KTa.

De esta forma apreciamos que es una ecuacion lineal completa (unicamente es homogenea cuandoTa = 0), es decir del tipo T !(t) = a(t)T (t)+b(t), donde las funciones coeficientes a y b son constantes.Las soluciones de la homogenea se obtienen de forma casi inmediata y lo bueno es que a ojo se veuna solucion particular de la completa, que es una solucion trivial y logica desde el punto de vistafısico: la solucion constante Tp(t) = Ta. Esta solucion se corresponde a una situacion real en laque el objeto tiene la misma temperatura que la temperatura ambiente y, entonces, a lo largo deltiempo su temperatura permanece constante. De esta forma tan simple, podemos deducir que lassoluciones de la ecuacion diferencial (2.21) son las funciones definidas por

TC (t) = Ta + Ce"Kt, donde C & R.

Generalmente podemos conocer la temperatura del objeto en un instante T0 = T (t0) (no nece-sariamente el instante inicial del proceso fısico) y esto nos lleva a un problema de valor inicial de

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38 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

solucion unica:

(2.22) T (t) = Ta + (T0 ! Ta)e"K(t"t0),

expresion que engloba el caso de la solucion constante T (t) = Ta cuando T0 = Ta. De esta forma,salvo el calculo de la constante de proporcionalidad K conocemos perfectamente la evolucion de latemperatura del cuerpo.

Observando la expresion de la primera derivada T !(t) = !K(T0 ! Ta)e"K(t"t0) se confirmaque, segun sea T0 > Ta o T0 < Ta, tenemos una funcion estrictamente decreciente o estrictamentecreciente, que en cualquier caso verifica que

limt#$

T (t) = Ta.

Por otra parte, la expresion de la segunda derivada: T !!(t) = K2(T0 ! Ta)e"K(t"t0) nos confirmaque en el primer caso la funcion es convexa y, en el segundo, es concava.

Como ejemplo, vease el comportamiento de cada una de las graficas que aparecen en la siguientefigura, en la que hemos supuesto Ta = 3, t0 = 1,K = 1 y T0 en las tres situaciones posibles,ratificando ası lo que sucede con los ejemplos citados sobre las bebidas.

1 2 3 4

2

3

4

5

T

t

Figura 2.3: Graficas de los tres casos supuestos sobre la variacion de la temperatura.

El valor de la constante K, a priori desconocida, se puede calcular si conocemos la temperaturadel cuerpo en dos instantes de tiempo t0 < t1 . Suponiendo conocidos T0 = T (t0) y T1 = T (t1) yusando la expresion (2.22), concluimos (suponiendo sin perdida de generalidad que T0 )= Ta) que

(2.23) K =1

t0 ! t1log

&T1 ! Ta

T0 ! Ta

'=

1

t1 ! t0log

&T0 ! Ta

T1 ! Ta

'.

Compruebese que, en cualquier situacion, se verifica que 0 <T1"Ta

T0"Ta< 1. De esta forma, conociendo

la temperatura en dos instantes de tiempo conocemos perfectamente la evolucion de la temperatura.

Lo anterior tiene una interesante aplicacion en Medicina Legal pues nos da una forma de deter-minar la hora de fallecimiento de una persona cuyo cuerpo se ha encontrado despues de esta hora,lo cual es de vital importancia en la investigacion de un homicidio o una muerte accidental. Hay quesuponer que el cadaver se encuentra en un lugar donde la temperatura ambiente ha sido constante(no sirve que el cuerpo este a la intemperie y haya viento o haya llovido, etc). Se busca el instantetm de la muerte y se supone que la temperatura del cuerpo de una persona (temperatura anal)es de 37% centıgrados (en este caso, si la temperatura ambiente es inferior a 37 grados, que es lousual, habra un descenso de la temperatura del cuerpo con el tiempo). De esta forma T (tm) = 37.El cuerpo se encuentra en el instante t0 y se toma su temperatura anal T0 = T (t0). Segun lo visto

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Ejercicios propuestos 39

anteriormente, sera suficiente con realizar una segunda medida de la temperatura del cuerpo en uninstante posterior t1 > t0 y ası con los valores T0 = T (t0) y T1 = T (t1) y la temperatura ambienteTa conocemos el valor de T (t) en cualquier instante t. Teniendo en cuenta que T (tm) = 37 podemoscalcular el valor de tm, haciendo uso de la expresion (2.22), ası:

tm = t0 !1

Klog

&37! Ta

T0 ! Ta

'.

(Observese que tm < t0). El valor de la constante K se obtendrıa a partir de (2.23). Si uno notiene a mano todas estas formulas, lo mejor es seguir el razonamiento llevado a cabo aquı a partirde la ecuacion diferencial lineal que modela la ley de Newton (vease el ejercicio 13).

Ejercicios propuestos :

1. Determina todas las soluciones (solucion general) de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales(las ecuaciones se escriben en forma reducida), indicando los intervalos donde son validas .

(a) x! = 1tx+ 1+t

t (b) x! + 1tx = log t (c) x! + 2x = e!t, " & R

(d) x! = x+ cos t (e) x! = 2tx+ t3 (f) (1 + t2)y! + 4ty = (1 + t2)"2.

2. Determina todas las soluciones de las dos siguientes ecuaciones diferenciales, propiamente implıcitas,(las ecuaciones se escriben en forma reducida) y estudia si poseen soluciones validas en R .

(a) tx! ! x! t3 = 0 (b) tx! + x! 3t2 = 0

3. Comprueba que cada uno de los siguientes problemas de condiciones iniciales (problemas de Cauchy)posee solucion unica en un determinado intervalo y resuelve el problema. En cada caso, determinael intervalo maximal en el que la solucion es valida y estudia su comportamiento en los extremos dedicho intervalo.

(a)

%x! + tx = t

x(0) = 2(b)

%x! + 3x = te"2t

x(1) = 1

(c)

%tx! + 2x = sen t

x($) = 1"

(d)

%t(2 + t)x! + 2(1 + t)x = 1 + 3t2

x(!1) = 1.

4. Determina una solucion particular de la ecuacion diferencial lineal x! +x = t4 mediante el metodo delos coeficientes indeterminados y, con la ayuda de esta, determina todas las soluciones de la ecuacion.[Intenta hallar, en este caso, una solucion particular mediante el metodo de variacion de las constantesy compara la dificultad de calculo con la obtenida por el otro metodo].

5. Halla todas las soluciones de la ecuacion diferencial x! = x+ t3e2t.

6. Encuentra el valor de x0 para el que la solucion del problema de Cauchy

%x! ! x = 1 + 3 sen t

x(0) = x0

es

acotada en R.7. Prueba que, si " y ! son dos numeros positivos y & es un numero real cualquiera, todas la soluciones

de la ecuacion diferencial x! + !x = &e"!t verifican limt#$

x(t) = 0.

8. Prueba que la funcion nula es la unica funcion continua x : R # R que verifica x(t) =! t0 x(s) ds para

cada t & R.9. Principio de superposicion. Comprueba que si b = b1 + b2 + · · · bm y, para cada k & {1, 2, . . .m },

es xk solucion de la ecuacion x!(t) = a(t)x(t) + bk(t), entonces x = x1 + x2 + · · ·xm es solucion dex!(t) = a(t)x(t) + b(t).

10. Sean a, b : I # R dos funciones continuas en un intervalo I. Comprueba que para obtener todas lassoluciones de la ecuacion diferencial x!(t) = a(t)x(t) + b(t) en el intervalo I, es suficiente con conocerdos soluciones x1 , x2 distintas en I. Determina una expresion de la solucion general de la ecuacion enterminos de x1 y x2 .

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40 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

11. Una funcion derivable y : (0,%) # R, x $# y(x) tiene una grafica con la propiedad de que en cadapunto (x, y) de esta la recta tangente corta a los dos ejes de coordenadas en puntos cuyo punto medioes el punto de contacto (x, y). Determınese tal funcion sabiendo que su grafica pasa por el punto (2, 3).¿Hay mas funciones derivables con la misma propiedad?.

12. Sustancias radiactivas Admitiendo como hipotesis la ley de desintegracion radioactiva vista en laseccion 2.4.1,

(a) Comprueba que la semivida de una sustancia radiactiva, es decir, el tiempo que tarda en reducirsela masa a la mitad, puede calcularse conociendo las cantidades de tal sustancia en dos instantesde tiempo.

(b) Determina la semivida de una sustancia radiactiva que mantiene al cabo de 5 horas el 95 por 100de su masa inicial (de hecho, ası se procede experimentalmente para determinar la semivida).

13. En cada uno de los siguientes problemas se supone que se verifica la ley de Newton sobre la variacionde la temperatura vista en la seccion 2.4.2.

• Un cuerpo a 70 %C se coloca en un medio que esta a 40 %C. A los tres minutos la temperatura delcuerpo resulto ser de 60 %C. ¿Cuando tiempo tardara en estar a 50 %C? ¿Cual sera su temperaturaa los cinco minutos?

• Estimacion de la hora de un fallecimiento.- Por razones obvias, la sala de diseccion de unforense se mantiene frıa a una temperatura constante de 5 %C. Mientras se encontraba realizandola autopsia de la vıctima de un asesinato, el propio forense es asesinado y el cuerpo de la vıctimarobado. A las 10 de la manana el ayudante del forense descubre su cadaver a una temperaturade 23%C. A mediodıa, su temperatura es de 18’5%C. Supuesto que el forense tenıa en vida latemperatura normal de 37%C, ¿a que hora fue asesinado?

!

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