REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD NUEVA ESPARTAMATEMTICA IIIPROFESOR JOSEFINA SALVATTORE

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 2DO GRADO HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS CON FACTOR CONSTANTE

Gerardo Prez. 9.147.140

CARACAS, 27 DE OCTUBRE 2014

INDICEIntroduccin3Que es una derivada4Que es la integracin4Que es una ecuacin diferencial4Clasificacin de las ecuaciones diferenciales4Utilidad y propsito de las ecuaciones diferenciales6Ecuaciones lineales de segundo orden8Ecuaciones lineales de coeficientes constantes homogneas8Bibliografa11Anexos (prtica)12

INTRODUCCIN

El presente trabajo de investigacin tiene la finalidad de ensear al alumno como diferenciar y resolver una ecuacin diferencial lineal de 2do grado homognea y no homogneas con factor integrante, pero antes se hace necesario dar una breve explicacin de la importancia de las ecuaciones diferenciales y su uso en la vida normal y cotidiana y su aplicacin en las ciencias de la informtica. Antes de entrar en el tema de desarrollo, es bueno conocer que son las ecuaciones diferenciales, como se clasifican y su utilidad y propsito dentro de la carrera.

Que es una derivada

Es una funcin F(x) que da la tangente en cada punto de la curva f(x), o escrito sin trminos matemticos : mide los cambios de una variable con relacin a otra, ejemplo: el aumento de peso con la edad, permite hacer clculos asociados a este hecho de la pendiente de la curva o la tangente de esta en cada punto de esta En fsica, electricidad, electrnica, qumica por ejemplo, permite estudiar fenmenos evolutivos asociados con la velocidad, la aceleracin, los flujos las acumulaciones. Las derivadas estn siempre presentes, se usan tambin en economa, arquitectura, etc. En fin en todos aquellos sistemas que puedan presentan evolucin o cambios con respectos a variables de ambiente, estructuras, fuerzas, etcQue es la integracin

Es el proceso de integracin o anti derivacin, es muy comn en la ingenierabsicamente, una integrales una generalizacin de sumade infinitossumandos, infinitamente pequeos.Que es una ecuacin diferencial

Es unaecuacinen la que intervienenderivadasde una o ms funciones desconocidas. Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva Las ecuaciones diferenciales ordinarias contienen derivadas de funciones que dependen de una sola variable independiente. Una ecuacin diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresin en trminos de integrales, puedan o no resolverse las mismas.Clasificacin de las ecuaciones diferenciales

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se dividen en lineales (todos sus trminos son lineales respecto a la variable dependiente y sus derivadas). Debe estar expresado de forma que al graficarlo nos quede una lnea recta. No-lineales. ( no cumple la descripcin anterior) sea que y, y, e^y, log(y) NO son lineales. EDO se dividen en homognea y No homognea. As mismo tenemos:Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.Clasificacin por Tipo:Si una ecuacin contiene derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuacin diferencial ordinaria (EDO):Ejemplo:

Si una ecuacin con derivadas de una o ms variables dependientes de dos o ms variables independientes se llama ecuacin diferencial parcial (EDP)Ejemplo:

En estos estos ejemplos se nota que existen ms de dos variables independientes, contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solo tiene una variable independiente.Clasificacin segn el orden:El orden de una ecuacin diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuacin:Por ejemplo:a), esta ecuacin es de orden 2, no debe confundirse con el exponente 3 que esta definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2.b) y'''+ 3y'' - 3y' - y = 0 es una ecuacin de orden 3c) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuacin diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y' = dy/dx.Clasificacin segn la Linealidad:Se dice que una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y',..., y(n). Esto significa que una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y',..., y(n)) = 0 es:

En la combinacin aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que:La variable dependiente "y" y todas sus derivadas y', y'',..., y(n)son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,..., andependen solo de la variable x.Los ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tienen las siguientes:a) y''+xy'-3y=e2x, b) y''' + y'' + y = 0, c) (1-x) y'' - 4xy' + 5y = cos xLos ejemplos de ecuaciones no lineales tenemos:a) (1-y) y'' - 2y= ex, es una ecuacin diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente y'' tambin depende de y.b) y'' + sen y = 0 Es una ecuacin diferencial no lineal porque la funcin seno es funcin de yc) y'' + y2= 0, es una ecuacin diferencial no lineal porque la potencia de la variable y es 2, y no 1 para que sea lineal.d) (y''')3+ xy'' - 3y = 0, es una ecuacin diferencial no lineal porque la potencia de la variable y''' es 3 y para ser lineal debe ser 1

Utilidad y propsito de las ecuaciones diferenciales

La importancia de la ecuacin diferencial en Ingeniera es total, es decir, ya que una ecuacin diferencial representa una relacin de cambio entre dos variables (derivadas), pues entonces son bastante usadas para modelar (obtener la ecuacin que replica el fenmeno) problemas fsicos. En Ingeniera elctrica, te permite resolver circuitos de corriente alterna, sin importar que tan complicados sean estos. En Ingeniera Mecnica, se usan para determinar pandeos en columnas, deformaciones en vigas, velocidades y aceleraciones de sistemas tan variados como: masa- resorte, cadena - carga, carga - plano inclinado, etc. Adems para obtener todos los estados (esfuerzos, deformaciones, reacciones, etc.) en estructuras.En Biologa, pueden ser usadas para predecir el crecimiento de una determinada poblacin, o la relacin entre la poblacin de un depredador y su presa En Qumica, se usan para determinar la relacin entre la cantidad de sustancias que est presente en una determinada reaccin qumica de forma instantnea, o la forma en cmo se diluye un soluto en una solucin. En Economa, para determinar costos marginales, retorno de inversin, etc. etc. etc. La aplicacin de las Ecuacin diferencial es prcticamente infinita y por ende son fundamentales en las ciencias en general.

Ecuaciones lineales de segundo orden

Una ecuacin diferencial lineal de segundo orden es una ecuacin diferencial que puede escribirse en la forma:

y + P(x)y + Q(x)y = R(x)

donde P, Q y R son funciones continuas de x en un cierto intervalo. Se dice que la ecuacin es homognea si R(x) = 0 para todo x. En otro caso, la ecuacin se dice que es no homognea.

La resolucin de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogneas se apoya en dos resultados bsicos:

La combinacin lineal de dos soluciones es otra solucin, y toda solucin es combinacin lineal de dos soluciones independientes. Mas concretamente, tenemos los siguientes resultados.

Si y1(x) e y2(x) son soluciones de una ecuacin diferencial homognea y c1 y c2 son dos constantes, entonces:y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)Es una solucin de la misma ecuacin diferencial.

Si y1(x) e y2(x) son soluciones linealmente independientes (ninguna de ellas es un mltiplo de la otra) de una ecuacin diferencial homognea de segundo orden, entonces la solucin general est dada por:y(x) = c1y1(x) + c2y2(x);

Donde c1 y c2 son dos constantes.

En general, encontrar las soluciones de una ecuacin de segundo orden (homognea o no homognea) es difcil, a veces imposible. Sin embargo, si las funciones P y Q son constantes, entonces siempre se pueden hallar soluciones.

Ecuaciones lineales de coeficientes constantes homogneas

Consideremos la ecuacin de segundo orden con coeficientes constantes siguiente:

y + ay + by = 0:

Las soluciones de dicha ecuacin se determinan a partir de las races de la ecuacin

r2 + ar + b = 0

denominada ecuacin caracterstica. Se pueden presentar las siguientes tres posibilidades:

1.- Races reales diferentes: Si son las races reales distintas de la ecuacin caracterstica, entonces la solucin general es:

2.- Races reales iguales: Si son las races reales iguales de la ecuacin caracterstica, entonces la solucin general es:

3.- Races complejas: Si son las races complejas de la ecuacin caracterstica, entonces la ecuacin general es:

Ecuaciones lineales de coeficientes constantes no homogneas

Consideremos la ecuacin de segundo orden con coeficientes constantes siguiente:

y + ay + by = R(x):

En la bsqueda de las soluciones de dicha ecuacin, juega un papel importante la solucin de la ecuacin:

y + ay + by = 0

denominada ecuacin homognea asociada. El siguiente resultado nos resuelve la ecuacin.

La solucin general de la ecuacin:

y + ay + by = R(x) se puede escribir como:

en donde la solucin general de la ecuacin homognea asociada es una solucin particular.

El problema que se nos presenta ahora es la determinacin de la solucin . Describimos a continuacin dos tcnicas.

Mtodo de los coeficientes indeterminados

Si la funcin R(x) consiste en la suma o producto de factores de los siguientes tipos:(I) Polinmico: (II) Exponencial: (III) Trigonomtrico:

entonces podemos hallar una solucin particular por el mtodo de los coeficientes indeterminados. La clave consiste en conjeturar que la solucin es de una forma especial, la cual depende de la funcin R. Las reglas que deben seguirse son:

(1) Si R(x) es un polinomio (tipo I), entonces se prueba con un polinomio del mismo grado.(2) Si R(x) es exponencial (tipo II), entonces se prueba con .(3) Si R(x) es trigonomtrico (tipo III), entonces se prueba con .(4) Si R(x) es la suma o producto de factores anteriores, entonces se prueba con la suma o producto, respectivamente, de las correspondientes soluciones particulares.(5) Si cualquier termino de es solucin de la ecuacin homognea asociada, se multiplica por x (o x2 si es necesario).

Mtodo de variacin de parmetros

El mtodo de los coeficientes indeterminados descrito anteriormente funciona bien si la funcin R(x) est formada por polinomios, exponenciales o funciones trigonomtricas (senos y cosenos). La razn hay que buscarla en que las derivadas de este tipo de funciones no son ms complicadas que las funciones originales. Esto no ocurre, por ejemplo, con funciones como .

El mtodo de variacin de parmetros parte de la suposicin que tiene la misma forma que , excepto que las constantes c1 y c2 se sustituyen por dos funciones .

El mtodo consiste en lo siguiente:(1) Hallar la solucin general (2) Sustituir las constantes por funciones para formar (3) Resolver el siguiente sistema para

(4) Integrar para hallar u1 y u2.

Bibliografa

http://www.incress.com/valores-participacion/2012/07/28/%C2%BFque-es-y-para-que-sirve-una-derivada/http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/100412/modulo_exe/leccin_4_clasificacin_de_las_ecuaciones_diferenciales.html

Anexos

12