Ecuaciones Diferenciales - Jaime Escobar a.
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U n i v e r s i d a d d e A n t i o q u i a , D e p t o . d e M a t e m a t i c a s ECUACIONES DIFERENCIALES con aplicaciones en Maple Jaime Escobar A. 1 1 Prof esor Titular de la Univ ersid ad de Antioquia, Magister en Matem´ aticas de la Universidad Nacional.
Transcript of Ecuaciones Diferenciales - Jaime Escobar a.
Titular de la Universidad de Antioquia, Magister en Matemticas de a la Universidad Nacional.
1 Profesor
Un ive
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de
An
tioq
Jaime Escobar A.1
uia
,D
ept
ECUACIONES DIFERENCIALES con aplicaciones en Mapleo. d eM
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as
ii
Un ive rsid ad de An tioq uia ,D ept o. d eM
atem
atic
as
3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN 3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Trayectorias Isogonales y Ortogonales . . . . . . . . 3.1.2. Problemas de Persecucin: . . . . . . . . . . . . . o 3.1.3. Aplicaciones a la geometr anal a tica . . . . . . . . 3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION . . . . . . . . . . 3.2.1. Desintegracin radioactiva . . . . . . . . . . . . . . o iii
Un ive
2. METODOS DE SOLUCION 2.1. VARIABLES SEPARABLES . . . . . . . . 2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS . . . . . . 2.3. E.D. CON COEFICIENTES LINEALES . . 2.4. ECUACIONES EXACTAS . . . . . . . . . . 2.5. FACTORES DE INTEGRACION . . . . . . 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN . . . . 2.7. E.D. DE BERNOULLI . . . . . . . . . . . . 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN 2.9. OTRAS SUSTITUCIONES . . . . . . . . . 2.10. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . .
uia
,D
1. INTRODUCCION 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. ECUACION DE CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . . . .
o. d
eM
atem
atic1 5 6 7 7 10 14 15 20 25 31 33 42 45 47 47 47 50 52 53 54
ept. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
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as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INDICE GENERAL
rsid ad
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An
tioq
INDICE GENERAL Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . Ley de absorcin de Lambert . . . . . . . . . . . . . o Crecimiento de Cultivos de Bacterias o Crecimientos poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. PROBLEMAS DE DILUCION . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. VACIADO DE TANQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. APLICACIONES A LA FISICA . . . . . . . . . . . . . . . . 4. TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES 4.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. METODO DE REDUCCION DE ORDEN . . . . . . . . . . 4.3. E.D.O. LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES 4.4. E.D. LIN. DE ORDEN MAYOR QUE DOS CON COEF. CONST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. OPERADOR ANULADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 4.7. VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. GENERALIZACION DEL METODO DE VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . 4.8. OPERADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. METODO DE LOS OPERADORES INVERSOS . . . . . . 4.10. E.D.O. DE EULER - CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. APLIC. DE LA E.D. SEGUNDO ORDEN: OSCILADORES 4.11.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE . . . . . . . 4.11.2. MOVIMIENTO AMORTIGUADO . . . . . . . . . . 4.11.3. MOVIMIENTO FORZADO. . . . . . . . . . . . . . 4.12. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. . 55 . 55 . . . . 56 57 66 71
as. . . . . . . . . . . . . . . . . .
eM
atem
79 . 79 . 94 . 98 . . . . . . . . . . . . . 102 104 108 110 119 122 124 137 140 140 143 146 160
5. SOLUCIONES POR SERIES 5.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS . . . . 5.3. SOL. EN TORNO A PUNTOS SING. REG. . . . 5.3.1. CASO II: r1 r2 = entero positivo . . . . 5.3.2. FUNCION GAMMA: (x) . . . . . . . . . 5.3.3. CASO III: r1 = r2 . . . . . . . . . . . . . 5.3.4. ECUACION DE BESSEL DE ORDEN p : 5.3.5. PUNTO EN EL INFINITO . . . . . . . . 5.4. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . .
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,D
ept
o. d
atic. . . . . . . . .
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. . . . . . . . .
165 . 165 . 168 . 178 . 184 . 187 . 190 . 195 . 202 . 209
iv
Un ive
INDICE GENERAL 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 211 6.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE . . . . . . . . . 215 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 218 6.4. APLIC. A E.D. CON COEF. CONST. Y COND. INICIALES 234 6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC . . . . . . . . . 239 6.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . . . . 242 7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN 247 7.1. CONJUNTOS FUNDAMENTALES Y SISTEMAS HOMO GENEOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS . . 251 7.3. E.D. NO HOMOGENEA Y VARIACION DE PARAMETROS 270 7.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS . . . . 274 7.5. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . . . . 276 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD 277 8.1. SIST. AUTON., PLANO DE FASE . . . . . . . . . . . . . . . 277 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. . . . . . . 281 8.2.1. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS. . . . . . . . . . . . 282 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD . . 291 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOV . 304 8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALES . . . . . . 311 8.6. CICLOS LIMITES: TEOREMA DE POINCARE-BENDIXSON330 8.7. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . . . . 336 A. Existencia y Unicidad de soluciones 341 A.1. PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 A.2. T. LOCAL DE EXISTENCIA UNICA, CASO UNIDIMENSIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 A.3. T. LOCAL Y GLOBAL PARA SIST. DE E.D.O. LINEALES 350 B. EXPONENCIAL DE OPERADORES C. FRACCIONES PARCIALES C.1. Factores lineales no repetidos. . . C.2. Factores Lineales Repetidos. . . . C.3. Factores Cuadrticos. . . . . . . a C.4. Factores Cuadrticos Repetidos. a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un ive
rsid ad
de
An
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
355 359 . 359 . 360 . 362 . 363
v
vi
Un ive rsid ad de An tioq uia ,D ept o. d eM
INDICE GENERAL
atem
atic
as
dy Ejemplo 1. 3 dx + 4y = 5
dv Ejemplo 3. u du + v dx = x dx
Ejemplo 4. Ejemplo 5.
u y
v = x
2u xy
=yx
Denicin 1.2 (Orden). La derivada o la diferencial de ms alto orden o a 1
Un ive
Si la ecuacin contiene derivadas parciales de una o ms variables depeno a dientes con respecto a una o ms variables independientes, se dice que es una a ecuacin en derivadas parciales. o
rsid ad
Ejemplo 2. (x2 y)dx + 5 sen y dy = 0
de
An
tioq
Si la ecuacin contiene derivadas ordinarias de una o ms variables dependio a entes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuacin se o dice que es una ecuacin diferencial ordinaria (E.D.O.). o
uia
,D
Denicin 1.1 . Si una ecuacin contiene las derivadas o las diferenciales o o de una o ms variables dependientes con respecto a una o ms variables a a independientes, se dice que es una ecuacin diferencial (E.D.). o
ept
o. d
eM
atem
INTRODUCCION
atic
CAP ITULO 1
as
CAP ITULO 1. INTRODUCCION determina el orden de la E.D.d3 y dx3 dy d + x2 dxy + x dx = ln x, es de orden 3. 2 dy dx y = x , la cual es de orden 1.2
Ejemplo 6.
Ejemplo 7. xdy ydx = 0 =
d y d y dy an (x) dxn + an1 (x) dxn1 + . . . + a1 (x) dx + a0 (x)y = g(x)
dy d Ejemplo 10. y 2 dxy + y dx + xy = x no es lineal. 2
2
Ejemplo 11. x = y ln(cy) es solucin de y (x + y) = y o En efecto, derivando impl citamente: 1 = 1=dy dx dy dx
Un ive
rsid ad
Denicin 1.4 . Se dice que una funcin f con dominio en un intervalo I o o es solucin a una E.D. en el intervalo I, si la funcin satisface la E.D. en el o o intervalo I.
de
An
tioq
uia
d Ejemplo 9. sen x dxy + xy 2 = 0 no es lineal. 3
3
,D
d d dy Ejemplo 8. x2 dxy + cos x dxy + sen x dx + x2 y = ex es lineal de orden 3. 3 2
3
2
ept
o. d
Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente uno y cada coeciente a0 (x), a1 (x), . . . , an (x), g(x), dependen solo de x. Si no se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal.
eM
ln(cy) +
(ln(cy) + 1), luego
dy dx
=
1 ln(cy)+1
Sustituyendo en la ecuacin diferencial: o y ln(cy) + y y(ln (cy) + 1) = = y, ln (cy) + 1 ln (cy) + 1 2
atem1 cy
n
n1
aticdy cy dx
Denicin 1.3 (E.D.O. lineal) Una E.D. es lineal si tiene la forma: o
as
luego y = y por tanto x = y ln (cy) es solucin. o Una E.D. acompaada de unas condiciones iniciales se le llama un pron blema de valor inicial (P.V.I.), con frecuencia es importante saber si un problema de valor inicial tiene solucin y tambin deseamos saber si esta solucin o e o es unica, aunque no podamos conseguir explicitamente la solucin, el si o guiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este teorema lo enuciamos y demostramos con ms profundidad en el Apndice a e al nal del texto. Teorema 1.1 (Picard) Sea R una regin rectangular en el plano XY denida por o a x b, c y d que contiene al punto (x0 , y0 ) en su interior. Si f (x, y) y f son continuas en R, entonces existe un intervalo I con ceny tro en x0 y una unica funcin y(x) denida en I que satisface el problema o de valor inicial y = f (x, y), y(x0 ) = y0 . Ejemplo 12. Para la E.D. y = x2 + y 2 , se tiene que f (x, y) = x2 + y 2 = 2y son continuas en todo el plano XY , por lo tanto por cualquier y punto (x0 , y0 ) del plano XY pasa una y solo una solucin de la E.D. anterio or. Es importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una solucin o explicita, solo con mtodos numricos se puede hallar la solucin. e e of y
de
Ejercicio 1. Demostrar que y = c1 cos 5x es solucin de y + 25y = 0. o
An
Un ive
Ejercicio 3. Demostrar que y = x xy = y + x sen x.
rsid ad
Ejercicio 2. Demostrar que y = ex y + 2xy = 1.
2
tioq
x t2 e 0
uia
,D
ept
o. d
dt + c1 ex es solucin de o
x sen t t 0
dt es solucin de o
Ejercicio 4. Demostrar que y = e 2 es solucin de 2y + y = 0, tambin o e y = 0 es solucin. o Nota: si todas las soluciones de la E.D. F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 en un intervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C1 , . . . , Cn ) mediante valores apropiados de Ci , entonces a G se le llama la solucin general; una solucin que no o o contenga los parmetros Ci se le llama la solucin particular; una solucin a o o 3
x
eM
atem2
atic
as
CAP ITULO 1. INTRODUCCION que no pueda obtenerse a partir de la solucin general se le llama solucin o o singular. Veremos ms adelante que la solucin general a una E.D. lineal de orden n a o tiene n parmetros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener a explicitamente una solucin general. o Ejemplo 13. y = Cx4 es solucin general de xy 4y = 0. o Con C = 1 entonces la solucin particular es y = x4 . o Tambin e f (x) =
o a). y = ( x + C)2 es solucin general. 4 b). Si C = 0 mostrar que y =x4 16
es solucin particular. o
c). Explicar porque y = 0 es solucin singular. o a). y =1+Ce2x 1Ce2x
Ejercicio 7. Si xy + 1 = ey , comprobar que ey Cx = 1 es solucin o general. Ejercicio 8. Si 2xy dx + (x2 + 2y) dy = 0, comprobar que x2 y + y 2 = C1 es solucin general. o Ejercicio 9. Si (x2 + y 2 ) dx + (x2 xy) dy = 0, comprobar que y o C1 (x + y)2 = xe x , es solucin general. Ejercicio 10. Si xy + 1 = ey , comprobar que ey Cx = 1 es solucin o general.
4
Un ive
rsid ad
b). Explicar porque y = 1 es solucin singular. o
de
es solucin general. o
An
Ejercicio 6. Si y = y 2 1, demostrar
tioq
uia
,D
Ejercicio 5. Si y xy 2 = 0, demostrar2
1
ept
o. d
es una solucin singular, porque no se puede obtener a partir de la solucin o o general.
eM
atem
x4 x4
x0 x with(DEtools): DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black, {[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black);
eM
Dada la E.D. y = f (x, y) y sabiendo que la primera derivada representa una direccin en el plano XY , podemos por lo tanto asociar a cada punto o (x, y) una direccin, a este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de o direcciones o campo pendiente de la E.D. y = f (x, y). Este campo de direcciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como por ejemplo si son asintticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc.. o Con el paquete Maple haremos un ejemplo. Ejemplo 14. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y = 2x2 + y 2 y cuatro curvas solucin de la E.D. que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, 1), o (0, 1) respectivamente.
atem
atic
as
CAP ITULO 1. INTRODUCCION
1.2.
ECUACION DE CONTINUIDAD
6
Un ive
rsid ad
dC(t) = E(t) S(t) = R kC(t). dt
de
An
Ejemplo 15. La concentracin de glucosa en la sangre aumenta por ingesta o de comidas ricas en azucares; si se suministra glucosa a una razn constante o R (en mg/minuto). Al mismo tiempo, la glucosa se transforma y se elimina a una tasa proporcional a la concentracin presente de glucosa. Si C(t) reo presenta la concentracin de glucosa en un instante t, entonces E(t) = R y o S(t) = kC(t), entonces por la ecuacin de continuidad, la Ecuacin Difereno o cial que rige este fenmeno es o
tioq
uia
,D
ept
dx = E(t) S(t). dt
o. d
eM
Si la variable es x y la tasa de entrada es E(t) y la tasa de salida es S(t) entonces la tasa de acumulacin es o
atem
Para nalizar este Cap tulo, es importante hacer un corto comentario soo bre la ecuacin de continuidad; con ella se construyen modelos de fenmenos o en diferentes areas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuacin de continuidad o nos dice que la tasa de acumulacin de una variable x en un recipiente (el o cual puede ser un tanque, un organo humano, una persona, una ciudad, un banco, una universidad, un sistema ecolgico, etc.) es igual a su tasa de eno trada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida pueden ser constantes o variables.
atic
as
Denicin 2.1 . Se dice que una E.D. de la forma: o o de variables separables.
do: h(y) dy =
obtenindose as una familia uniparamtrica de soluciones. e e Nota: la constante o parmetro C, a veces es conveniente escribirla de a otra manera, por ejemplo, mltiplos de constantes o logaritmos de constantes u o exponenciales de constantes o si aparecen varias constantes reunirlas en una sola constante. Ejemplo 1. Solucin: ody dx
= e3x+2y dy = e3x+2y = e3x e2y dx 7
Un ive
rsid ad
de
g(x) dx + C,
An
La anterior ecuacin se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integrano
tioq
uia
,D
ept
2.1.
VARIABLES SEPARABLES
o. ddy g(x) = es separable dx h(y)
eM
atem
METODOS DE SOLUCION
atic
CAP ITULO 2
as
CAP ITULO 2. METODOS DE SOLUCION separando variables dy = e3x dx e2y e integrando e3x 1 e2y + C = 2 3 la solucin general es o e3x e2y + =C 3 2 Ejemplo 2.dy dx
= xy 3 (1 + x2 ) 2 , con y(0) = 1
1
= obtenemos =
solucin general o Cuando x = 0, y = 1 8
1 = 1 + x2 + C. 2y 2
1 = 1 + 02 + C 21
Un ive
y 2 1 (1 + x2 ) 2 e integrando +C = 1 2 2 2
rsid ad
1 du 2 u
de
1
An
1 d(1 + x2 ) 2 1 + x2
tioq
uia
2x dx y 3 dy = 2 1 + x2
,Dhaciendo u = 1 + x2 du = 2xdx
ept
Solucin: separando variables o
o. d
eM
atem
atic
as
2.1. VARIABLES SEPARABLES luego C= 3 2
La solucin particular es o
Resolver los siguientes ejercicios por el mtodo de separacin de variables: e o Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy (2x + xy 2 ) dx = 0 Ejercicio 2. y + y 2 sen x = 0 Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 ex ) sec2 y dy = 0 Ejercicio 4. y sen x = y ln y, si y Ejercicio 5. 2
=e
Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblacin o de protozoarios a una razn constante . Se ha observado que las bacterias o son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en funcin de c(0); cul es la concentracin de equilibrio de las bacterias, es o a o decir, cuando c (t) = 0 ? + kc(t) + kc(0) 2 kt (Rta.: kc(t) = kc(0) e ; concentracin de equilibrio c = ) o kdy dy Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y = xy dx y = a y x = 2a.
Un ive
rsid ad
Ejercicio 7. a) (0, 0) b) (0, 3) c) 1 , 1 3
de
An
dy dx
y 2 = 9 que pase por los puntos:
tioq
Ejercicio 6. x2 y = y xy, si y(1) = 1
uia
xy + 3x y 3 dy = dx xy 2x + 4y 8
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
asen 9
1 3 = 1 + x2 2 2y 2
CAP ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
2.2.
ECUACIONES HOMOGENEAS
Denicin 2.2 : f (x, y) es homognea de grado n si existe un real n tal que o e n para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y). Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homognea de grado dos. e Denicin 2.3 .Si una ecuacin en la forma diferencial : o o M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
Mtodo de solucin: dada la ecuacin e o o
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homogneas del mismo grado; mee diante la sustitucin y = ux o x = yv (donde u o v son nuevas variables o dependientes), puede transformarse en un ecuacin en variables separables. o Nota: si la estructura algebraica de N es ms sencilla que la de M , ena tonces es conveniente usar las sustitucin y = ux. o Si la estructura algebraica de M es ms sencilla que la de N , es conveniente a usar la sustitucin x = vy. o Ejemplo 4. Resolver por el mtodo de las homogneas, la siguiente E.D.: e e y y (x + ye x ) dx xe x dy = 0, con y(1) = 0. Solucin: o y y (x + ye x ) dx xe x dy = 0 dondehomognea de orden 1 e homognea de orden 1 e
Un ive
M (x, y) = x + ye 10
y x
rsid ad
de
An
tioq
uia
,D
Siempre que se tenga una E.D. homognea podr ser reducida por medio e a de una sustitucin adecuada a una ecuacin en variables separables. o o
ept
o. d
tiene la propiedad que M (tx, ty) = tn M (x, y) y N (tx, ty) = tn N (x, y), entonces decimos que es de coecientes homogneos o que es una E.D. hoe mognea. e
eM
y
N (x, y) = xe x
atem
aticy
as
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS La sustitucin ms sencilla es: y = ux, por tanto dy = u dx + x du o a Sustituyendo en la E.D. (x + uxe x ) dx xe x (u dx + x du) = 0 o sea que x dx x2 eu du = 0ux ux
ln x = e x + C
Por lo tanto, es la solucin particular o
dy = z 1 dz (x2 z 2 1)z 1 dz + 2xz 3 dx = 0 (x2 z 31 z 1 )dz + 2xz 3 dx = 0
Un ive
Ejemplo 5. (x2 y 2 1)dy + 2xy 3 dx = 0 (ayuda: hacer y = z y calcular para convertirla en homognea) e Solucin: o No es homognea; hagamos y = z y hallemos de tal manera que la E.D.O. e se vuelva homognea: e
rsid ad
de
An
ln x = e x 1
y
tioq
uia
ln 1 = e 1 + C
0
0 = 1 + C de donde C = 1
,D
Para hallar la solucin particular que pasa por el punto y(1) = 0, sustio tu mos en la solucin general y obtenemos: o
ept
o. d
y
eM
luego x dx = x2 eu du, separando variables y considerando x = 0, obtenemos, dx = eu du ln x = eu + C x Por lo tanto la solucin general es o
atem
atic
as(2.1) 11
suma de exponentes en los trminos: 2+31, 1 y 1+3 respectivamente. e
CAP ITULO 2. METODOS DE SOLUCION Anlisis de exponentes para que se cumpla la homogeneidad: a 1 + 3 = 2 + 3 1 = 1, se concluye = 1 Sustituyo en la E.D. (2.1): (1)(x2 z 2 1)z 2 dz + 2xz 3 dx = 0
Es homognea de orden 2. e
La sustitucin ms sencilla es x = uz dx = u dz + z du. o a (u2 z 2 z 4 + z 2 ) dz + 2uzz 3 (u dz + z du) = 0
(u2 z 2 + z 2 ) dz + 2uz 1 du = 0
reemplazo u =
x z
ln |z(u2 + 1)| = ln C z(u2 + 1) = C y tenemos, tomando z = 0
Como y = z 1
x2 +z =C z o sea que z = y 1 , entonces:
12
Un ive
rsid ad
2u dz + 2 du = 0 z u +1 Integrando: ln |z| + ln(u2 + 1) = ln C
de
2u z 2 dz + 2 du = 0 1 z u +1
An
tioq
z 2 (u2 + 1) dz + 2uz 1 du = 0
uia
,D
ept
(u2 z 2 + z 2 + 2u2 z 2 ) dz + (2uz 1 ) du = 0
o. d
eM
atem
atic
as
(x2 z 4 + z 2 ) dz + 2xz 3 dx = 0
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS
x2 + y 1 = C y 1 luego x2 y 2 + 1 = Cy, es la solucin general. o Resolver los siguientes ejercicios por el mtodo de las homogneas, o cone e vertirla en homognea y resolverla segn el caso: e uy Ejercicio 1. y + x cot x dx x dy = 0.
Ejercicio 2. (x + (Rta.: ln |y| + 2yx y
= 0)
y y Ejercicio 9. y(ln x + 1) dx x ln x dy = 0. y (Rta.: ln |x| 1 ln2 | x | = C) 2 dy y y Ejercicio 10. dx = cos( x ) + x . y y (Rta.: sec( x ) + tan( x ) = Cx)
Ejercicio 11. Hallar la solucin particular de la E.D. o yx2 dx (x3 + y 3 )dy = 0, 13
Un ive
Ejercicio 8. y cos x dx + (2y sen x) dy = 0, (Ayuda: hacer u = sen x).
rsid ad
Ejercicio 7. 2(x2 y + 1 + x4 y 2 ) dx + x3 dy = 0, (Ayuda: hacer y = z ). (Rta.: x4 (1 + 2Cy) = C 2 )
de
An
Ejercicio 6. (x + y 3 ) dx + (3y 5 3y 2 x) dy = 0, (Ayuda: hacer x = z ).
tioq
Ejercicio 5. xy = y + 2xe
y x
.
uia
Ejercicio 4. (x2 2y 2 ) dx + xy dy = 0.
,D
y y Ejercicio 3. x y cos x dx + x cos x dy = 0.
ept
o. d
dy y 2 xy) dx = y , con y(1) = 1.
eM
atem
atic
as
CAP ITULO 2. METODOS DE SOLUCION donde y(0) = 1 (Rta.: ln |y| = 1 ( x )3 ) 3 y Ejercicio 12. Hallar la solucin particular de la E.D. o xy 2 dy (x3 + y 3 )dx = 0,
Ejercicio 14. Hallar la solucin particular de la E.D. o
con la condicin inicial x = 0, y = 1 o y 3 (Rta.: ( x ) = 3 ln |y|)
2.3.
Se presentan dos casos:
1. Si (h, k) es el punto de interseccin entre las rectas: o ax + by + c = 0 y x + y + = 0 entonces se hace la sustitucin: x = u + h y y = v + k y se consigue la o ecuacin homognea de grado 1: o e (au + bv)du + (u + v)dv = 0 14
Un ive
E.D. DE COEFICIENTES LINEALES: (ax + by + c) dx + (x + y + ) dy = 0
rsid ad
de
An
tioq
yx2 dx (x3 + y 3 )dy = 0,
uia
Ejercicio 15. Hallar la solucin particular de la E.D. o
,D
donde y(e) = 1 y (Rta.: x ln | x | = e)
ept
o. d
y(ln y ln x 1)dx + xdy = 0,
eM
atem
Ejercicio 13. (y + xy)dx 2xdy = 0 y (Rta.: x(1 x )4 = C)
atic
donde y(1) = 0 y (Rta.: 3 ln |x| = 1 ( x )3 ) 3
as
2.4. ECUACIONES EXACTAS 2. Si las dos rectas no se intersectan (o sea son paralelas), entonces x + y = n(ax + by) y por tanto se hace la sustitucin z = ax + by, lo cual quiere decir o que x + y = nz, esta sustitucin convierte la E.D. en una E.D. de o variables separables.
2.
dy dx
=
2yx+5 2xy4
3. (x 2y + 4) dx + (2x y + 2) dy = 0 4. (x + y + 1)2 dx + (x + y 1)2 dy = 0 5. (x + y + 1) dx + (2x + 2y 1) dy = 0 6. (x + y 2) dx + (x y + 4) dy = 0 7. (x y 5) dx (x + y 1) dy = 0 8. (2x + y) dx (4x + 2y 1) dy = 0
Si z = f (x, y), entonces dz =
es la diferencial total de f ; pero si z = c = f (x, y) (familia de curvas uniparamtricas en el plano XY ), entonces e dz = 0 = . f f dx + dy x y
Un ive
f f dx + dy x y
rsid ad
2.4.
ECUACIONES EXACTAS
de
An
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
atem
1. (x y + 1) dx + (x + 2y 5) dy = 0
atic15
Ejercicios: resolver por el mtodo anterior: e
as
CAP ITULO 2. METODOS DE SOLUCION Denicin 2.4 .La forma diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy es una difeo rencial exacta en una regin R del plano XY si corresponde a la diferencial o total de alguna funcin f (x, y). o La ecuacin M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, es exacta si es la diferencial o total de alguna funcin f (x, y) = c. o Teorema 2.1 (Criterio para E.D. exactas) . Si M (x, y) y N (x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una regin R del plano XY , entonces la condicin neceo o saria y suciente para que la forma diferencial
y
rsid ad
M (x, y) = N (x, y) = por tanto,
M 2f 2f N = = = . y yx xy x La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce porque M y N son continuas con derivadas de primer orden continuas. Mtodo. Dada la ecuacin M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0, hallar una funcin e o o f (x, y) = C tal que f f =M y =N x y 16
Un ive
de
luego
An
M (x, y) dx + N (x, y) dy =
f f dx + dy = d f (x, y) x y f x
tioq
Demostracin: Como M (x, y) dx + N (x, y) dy es una diferencial exacta, o entonces existe una funcin f (x, y) tal que: o
f y
uia
,D
ept
N M = . y x
o. d
sea una diferencial exacta es que
eM
M (x, y) dx + N (x, y) dy
atem
atic
as
2.4. ECUACIONES EXACTAS i) Comprobar que es exacta, es decir, vericar que ii) Suponer que y constante:f x M y
=
N . x
= M (x, y) y luego integrar con respecto a x dejando a
f (x, y) =
M (x, y) dx + g(y)
(2.2)
iii) Derivar con respecto a y la ecuacin (2.2) o f = y y despejar g (y) = N (x, y) y
M (x, y) dx + g (y) = N (x, y)
M (x, y) dx
ept
o. d
eM
atem(2.3)
N (x, y) x y N = x y x
N M (x, y) dx x x y N M (x, y) dx = M (x, y) = 0 x y M (x, y) dx =
rsid ad
iv) Integrar la expresin (2.3) con respecto a y y sustituir en (2.2) e igualar o a C.
Ejemplo 6. Resolver la siguiente E.D.: (2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex 1) dy = 0 Solucin: o paso i) M x = 4xy + e M N y de donde = y x N = 4xy + ex x
Un ive
Nota: en ii) se pudo haber comenzado por
de
An
tioq
f y
uia
Esta expresin es independiente de x, en efecto: o
= N (x, y).
,D
atic17
as
CAP ITULO 2. METODOS DE SOLUCION paso ii) f (x, y) = N (x, y) dy + h(x) = (2x2 y + ex 1) dy + h(x)
= x2 y 2 + yex y + h(x) paso iii) f = M = 2xy 2 + yex x f = 2xy 2 + yex + h (x) h (x) = 0 x
Solucin: o M y N x f x f y
rsid ad
de
An
tioq
= 2xy + bx2 = 3x2 + 2xy b = 3 = xy 2 + 3x2 y = x3 + x2 y (xy 2 + 3x2 y) dx + g(y) x2 + x3 y + g(y) 2 (2.6) (2.4) (2.5)
integramos (2,4) : f (x, y) = f (x, y) = y 2
derivamos (2,6) con respecto a y f = yx2 + x3 + g (y) y 18
Un ive
uia
(xy 2 + bx2 y) dx + (x + y)x2 dy = 0.
,D
Ejemplo 7. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D.:
ept
x2 y 2 + yex y + C1 = C x2 y 2 + yex y = C2
Solucin general o
o. d
eM
paso iv) h(x) = C paso v) sustituyo h(x) en el paso ii):
atem
atic(2.7)
as
2.4. ECUACIONES EXACTAS igualamos (2,5) y (2,7) x3 + x2 y = yx2 + x3 + g (y) K = g(y) reemplazamos g(y) en (2,6) f (x, y) = y 2 x2 + x3 y + K = C 1 2 y 2 x2 = + x3 y = C 2
Ejercicio 6. Resolver por el mtodo de las exactas la siguiente E.D.: e Ejercicio 7. Resolver por el mtodo de las exactas la siguiente E.D.: e ( sen xy + xy cos xy) dx + (x2 cos xy) dy = 0 Ejercicio 8. Resolver por el mtodo de las exactas la siguiente E.D.: e Ejercicio 9. Resolver por el mtodo de las exactas la siguiente E.D.: e (1 sen x tan y) dx + cos x sec2 y dy = 0 19 (yexy + 4y 3 ) dx + (xexy + 12xy 2 2y) dy = 0, con y(0) = 2 (2x y sen xy 5y 4 ) dx (20xy 3 + x sen xy) dy = 0
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex 1) dy = 0
Un ive
rsid ad
Ejercicio 4. Determinar la funcin N (x, y) para que la siguiente E.D. o sea exacta: 1 1 x dx + N (x, y) dy = 0 y 2 x 2 + 2 x +y Ejercicio 5. Resolver por el mtodo de las exactas la siguiente E.D.: e
de
An
tioq
Ejercicio 3. Determinar la funcin M (x, y) de tal manera que la siguente o E.D.O sea exacta: 1 dy = 0 M (x, y) dx + xex y + 2xy + x
uia
,D
ept
(y 2 cos x 3x2 y 2x) dx + (2y sen x x3 + ln y) dy = 0, con y(0) = e.
o. d
Ejercicio 2. Resolver la siguiente E.D. por el mtodo de las exactas: e
(tan x sen x sen y) dx + cos x cos y dy = 0.
eM
Ejercicio 1. Resolver la siguiente E.D. por el mtodo de las exactas : e
atem
que es la solucin general. o
atic
as
CAP ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
2.5.
FACTORES DE INTEGRACIONM (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.
Denicin 2.5 (Factor Integrante F.I.) . Sea la E.D. o
Si (x, y) es tal que
=
son factores integrantes.
M N y x
Un ive
Teorema 2.2 (Teorema del Factor Integrante) : Sea M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 una E.D. y (x, y) un factor integrante, con M , N y continuas y con primeras derivadas parciales continuas , entonces =N d d = M dx dy
Demostracin: Si es tal que M dx + N dy = 0 es exacta y , M, N o tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces: 20
rsid ad
1 1 1 1 1 ; = 2; = ; = 2 ; = 2 y2 x xy x + y2 ax + bxy + cy 2
de
An
Para y dx x dy, las expresiones:
tioq
Pero py dx + qx dy no es exacta, la expresin (x, y) = xp1 y q1 es un o factor integrante.
uia
,D
Analogamente: para x dy + y dx = d(xy).
ept
o. d
Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas. Ejemplo: x dx + y dy es la diferencial de 1 (x2 + y 2 ) ya que d 1 (x2 + y 2 ) = 2 2 x dx + y dy.
eM
atem
es una E.D. exacta, entonces decimos que (x, y) es un factor integrante (F.I.).
atic
(x, y) M (x, y) dx + (x, y) N (x, y) dy = 0
as
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
(M ) = (N ) y x o sea que luego comody dx
M N +M = +N y y x x
=N
= M , entonces: N N M y x =N
ya que si = (x, y) y
y = y(x) entonces: d = dx + dy x y
y por tanto
M
rsid ad
1. Si y N x = f (x), entonces f (x) = d y por tanto f (x)dx = d , dx luego = ke f (x)dx ; tomando k = 1 se tiene = e
de
N
An
Nota.
tioq
dy d = + dx x y dx
uia
,Df (x)dx
ept.g(y)dy
2. Similarmente, si
M
= g(y), entonces = e
Un ive
M y
N x
o. d
dy d d =N + = M x dx y dx dy
Ejemplo 8. (2xy 2 2y) dx + (3x2 y 4x) dy = 0. Solucin: o M (x, y) = 2xy 2 2y N (x, y) = 3x2 y 4x M = 4xy 2 y N = 6xy 4 x 21
eM.
atem
atic
M N y x
M M =N x y x N y
as
CAP ITULO 2. METODOS DE SOLUCION luego
N M = 2xy + 2 y xM y
por tanto M g(y) = N x
=
y
luego es exacta. Paso 2. f (x, y) =
N = 3x2 y 2 4xy = luego g (y) = 0 Paso 4. g(y) = k
Paso 5. Reemplazo en el paso 2. f (x, y) = x2 y 3 2xy 2 + k = c luego x2 y 3 2xy 2 = k1 que es la solucin general. o 22
Un ive
rsid ad
Paso 3. Derivando con respecto a y:
f = 3x2 y 2 4xy + g (y) y
de
(2xy 3 2y 2 )dx + g(y) = x2 y 3 2xy 2 + g(y)
An
tioq
uia
,D
N = 6xy 2 4y x
ept
M = 6xy 2 4y y
o. d
Paso 1.
eM
el nuevo M (x, y) = 2xy 3 2y 2 y el nuevo N (x, y) = 3x2 y 2 4xy
atem
multiplico la E.D. original por y: (2xy 3 2y 2 ) dx + (3x2 y 2 4xy) dy = 0
atic
1 F.I. = (y) = e y
1 dy y
= eln |y| = y
as
luego
2xy + 2 2(xy + 1) = 2 + 2y 2xy 2y(xy + 1)
2.5. FACTORES DE INTEGRACION Ejemplo 9. x dy y dx = (6x2 5xy + y 2 ) dx Solucin: o y x dy y dx como d( ) = x x2 entonces dividimos a ambos lados de la E.D. por x2 , luego
hagamos u = luego
y x
luego c
Observese que x = 0 es tambin solucin y es singular porque no se desprende e o de la solucin general. o En los siguientes ejercicios, hallar el factor integrante y resolver por el mtodo de las exactas: e Ejercicio 1. (cos(2y) sen x) dx 2 tan x sen (2y) dy = 0. 1 (Rta.: sen x cos(2y) + 2 cos2 x = C) Ejercicio 2. (3xy 3 + 4y) dx + (3x2 y 2 + 2x) dy = 0. (Rta.: f (x, y) = x3 y 3 + 2x2 y = C)
Un ive
rsid ad
(u 3) (y 3x) = ex , si x = 0 c = ex (u 2) (y 2x)
de
An
du = (u 3)(u 2)
dx
du u3
du = ln |u3|ln |u2|+ln c = x u2
tioq
uia
o sea que A = 1 y B = 1, por tanto
,D
du du = dx = dx 2 6 5u + u (u 3)(u 2) 1 A B pero por fracciones parciales = + (u 3)(u 2) u3 u2
ept
o. d
eM
y y y d( ) = 6 5( ) + ( )2 dx, x x x du = (6 5u + u2 )dx
atem
luego
atic23
x dy y dx = x2
6x2 5xy + y 2 x2
dx
as
CAP ITULO 2. METODOS DE SOLUCION Ejercicio 3. 2xy ln y dx + (x2 + y 2 y 2 + 1) dy = 0. 3 1 (Rta.: f (x, y) = x2 ln y + 3 (y 2 + 1) 2 = C) Ejercicio 4. (2wz 2 2z) dw + (3w 2 z 4w) dz = 0. Ejercicio 5. ex dx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0 (Rta.: f (x, y) = ex sen y + y 2 = C) Ejercicio 6. x dy + y dx = (x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 )(dx + dy). 1 (Rta.: xy = 4 (x + y)4 + C) Ejercicio 7. x dy y dx = (2x2 + 3y 2 )3 (2xdx + 3ydy). tan1 (
(Rta.:
Ejercicio 11. (2xy e2x )dx + xdy = 0. (Rta.: f (x, y) = ye2x ln |x| = C) Ejercicio 12. ydx + (2xy e2y )dy = 0. (Rta.: f (x, y) = xe2y ln |y| = C) Ejercicio 13. (x + y)dx + x ln xdy = 0. (Rta.: f (x, y) = x + y ln x = C)
Ejercicio 14. Hallar la solucin particular que pasa por el punto o y(1) = 2, de la E.D. dy 3x2 y + y 2 = 3 dx 2x + 3xy 3 2 3 (Rta.: x y + y x = 4) 24
Un ive
rsid ad
de
An
Ejercicio 10. ydx + (x2 y x)dy = 0. 2 y (Rta.: f (x, y) = x + y2 = C)
tioq
uia
Ejercicio 9. (xy 1)dx + (x2 xy)dy = 0. 2 (Rta.: f (x, y) = xy ln |x| y2 = C)
,D
ept
Ejercicio 8. y dx + (2x yey ) dy = 0. (Rta.: y 2 x y 2 ey + 2yey 2ey = C)
o. d
eM
2 3
3 y ) 2 x
1 = 3 (2x2 + 3y 2 )3 + C)
atem
atic
as
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN Ejercicio 15. x dx + y dy = 3 x2 + y 2 y 2 dy.
Ejercicio 16. 4y dx + x dy = xy 2 dx. Ejercicio 17. Si My N x = R(xy), yN xMR(s) ds
Ejercicio 19. Si M dx + N dy = 0 es homognea, entonces (x, y) = e
Denicin 2.6 . Una E.D. de la forma: o a1 (x)
Un ive
Dividiendo por a1 (x), se obtiene la llamada ecuacin en forma cannica o o o forma estandar: dy + p(x)y = Q(x), dx h(x) a0 (x) y Q(x) = . donde p(x) = a1 (x) a1 (x)
rsid ad
de
An
donde a1 (x) = 0, en I y a1 (x), a0 (x), h(x) son continuas en I, se le llama E.D. lineal en y de primer orden.
tioq
dy + a0 (x)y = h(x), dx
uia
,D
ept
2.6.
E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
o. d
1 xM +yN
eM
atem
Ejercicio 18. Bajo que condiciones M dx + N dy = 0 tendr un F.I.= a (x + y)
atic
entonces = F.I. = e
t
, donde t = xy
as25
CAP ITULO 2. METODOS DE SOLUCION Teorema 2.3 (Teorema de la E.D. lineal de primer orden) : La solucin general de la E.D. lineal en y, de primer orden: o y + p(x)y = Q(x) es : ye Demostracin: op(x) dx
=
e
p(x) dx
Q(x) dx + C.
e o sead (ye p(x) dx ) dx
dx = Q(x)e ye
+ p(x)yep(x) dx
e integrando con respecto a x se tiene:
de
p(x) dx
An
tioq
p(x) dx dy
uia
y por tanto = e
p(x) dx
= F.I.; multiplicando (2.8) por el F.I.:p(x) dx
,D
N
= p(x)
= Q(x)e
=
Q(x)e
p(x) dx
Observese que la expresin anterior es lo mismo que: o y F.I. =
d Ejemplo 10. Hallar la solucin general de la E.D.:(6 2) d + 2 = 0 o
Solucin: o
26
Un ive
d 2 = d 6 2 2 d 6 = 2 + d
rsid ad
Q(x) F.I. dx + C
ept
M y
N x
dx + C
o. d
o sea que (p(x)y Q(x)) dx + dy = 0, como
M y
eM
dy + p(x)y = Q(x) dx p(x)y dx + dy = Q(x) dx = p(x) y
atemN x
atic(2.8) = 0, entoncesp(x) dx
as
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
d 2 6 = 2 d que es lineal en con 2 6 p() = , Q() = 2 F.I. = e =e
tioq
uia
2 2 = 3 + C = + C 2 2 que es la solucin general. o
,D
ept
1 = 6 2
4 d + C = 6
3 +C 3
o. ddy dx
Ejemplo 11. Hallar una solucin continua de la E.D.: o donde f (x) = y y(0) = 2 Solucin: o F.I. : e2
eM+ 2xy = f (x)
1 = 2
6 1 ( 2 )d + C 2
Un ive
2xdx
= ex ex y = ex x dx + C2
2
rsid ad
2
de
x, 0,
0xsolve(ln(y) = 3*ln(x)+C,y); 2 exp(C) x Ejemplo 20. Hallar la solucin particular de la E.D. o la condicin inicial y(1) = 1 o > restart; 45dy dx
Un ive
>int(1/y,y)=int(3/x,x)+C;
An
tioq
2.10.
ANEXO CON EL PAQUETE Maple
dy dx
uia
y = 3x
,D
ept
dy y Ejercicio 15. dx = cos x + y y (Rta.: sec x + tan x = Cx)
y x
o. d
eM
y x
atem= xy(1 + x2 ) 2 , con1
atic
as
CAP ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
> diff_eq1 := D(y)(x)=x*y(x)^3*(1+x^2)^(-1/2); diff_eq1 := D(y)(x) = > init_con := y(0)=1;xy(x) (1+x2 ) 21
> dsolve( {diff_eq1, init_con} , {y(x)} ); y(x) = 1
> M:=2*x*y^2+y*exp(x); M:= 4xy + ex > N:=2*x^2*y+exp(x)-1; N:=2x2 y + ex 1
> diff_E1:=2*x*(y^2)(x)+y(x)*exp(x)+(2*x^2*y(x)+exp(x)-1)*D(y)(x)=0; diff_E1 := 2xy(x)2 + y(x)ex + (2x2 y(x) + ex 1)D(y)(x) = 0 > dsolve(diff_E1,y(x));
y(x) = y(x) =
1 1 ex + 2
46
Un ive
1 1 ex 2
rsid ad
(ex )2 2ex + 1 4x2 C1 , x2 (ex )2 2ex + 1 4x2 C1 x2
de
An
tioq
uia
,D
ept
o. d
Ejemplo 21. Mostrar que la E.D. (2xy 2 + yex )dx + (2x2 y + ex 1)dy = 0 es exacta y hallar la solucin general. o
eM
2 1 + x2 + 3
atem
atic
as
init_con := y(0) = 1
3.1.3.1.1.y
rsid ad
de
Un ive
An
g(x)
tioq
Trayectorias Isogonales y Ortogonales
f (x)
uia
,D
APLICACIONES GEOMETRICAS
ept
o. d x Figura 3.1 47
eM
APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDENatem
atic
CAP ITULO 3
as
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN Denicin 3.1 (trayectorias isogonales) . o a). Dada una familia de curvas f (x, y, c) = 0, existe otra familia g(x, y, c) = 0 que corta a la familia f bajo un mismo angulo . A la familia g se le llama la familia de trayectorias isogonales de f y g(x, y, c) = 0 es solucin de la E.D.: o tan = tan( ) = f (x) g (x) f (x) y tan tan = = 1 + tan tan 1 + f (x)g (x) 1 + f (x)y
por derivacin impl o cita:
En la E.D.: 1=y x+c y
Un ive
rsid ad
y dy = dx x+cy1 y
de
y + (x + c)
An
d d (y(x + c)) = (1) dx dx dy =0 dx
tioq
y 1 + x+c y
=
y yy
uia
,D
Ejemplo 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia y(x + c) = 1. Solucin: o f (x) y =1 tan 450 = 1 + f (x)y
1+ y 1
1 y 2 y = y 2 y y (y 2 1) = 1 + y 2 y = 48 y2 1 y2 + 1 2 dy = dx y2 1 y +1
ept=
o. d
eM
tan tan = f (x)g (x) = 1 = f (x)y
y 2 y 1 y2y
atem
b). En particular, cuando = 900 , a g se le llama la familia de trayectorias ortogonales de f y en este caso g es solucin de la E.D.: o
atic
as
3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS
1
2 1 + y2
dy = dx
y 2 tan1 y = x + K g(x, y, K) = 0 = y 2 tan1 y x K
1 Ejercicio 4. Determinar la curva que pasa por ( 2 , 3 ) y corta a cada 2 2 2 2 miembro la familia x + y = c formando un angulo de 60o . de 1 (Rta.: 3 tan1 x = 1 ln |x2 + y 2 | + 3 tan1 3 1 ln 5 ) y 2 2 2
Ejercicio 6. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = C1 ex . 2 (Rta.: y2 = x + C) Ejercicio 7. Encuentre la curva que pertenece a la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas x + y = C1 ey que pasa por (0, 5). (Rta.: y = 2 x + 3ex ) 49
Un ive
Ejercicio 5. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = C1 x2 . 2 (Rta.: x + y 2 = C) 2
rsid ad
de
An
tioq
Ejercicio 3. Hallar las trayectorias ortogonales de la familiade hiperbolas equilteras xy = c. a (Rta.: x2 y 2 = C)
uia
,D
ept
Ejercicio 2. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia y 2 = cx3 . (Rta.: 2x2 + 3y 2 = C2 )
o. d
Ejercicio 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia y = ceax , donde c y a son constantes. 2 (Rta.: y + a ln |ay 1| = x + c)
eM
atem
atic
as
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN
3.1.2.
Problemas de Persecucin: o
Ejemplo 2. Un esquiador acutico P localizado en el punto (a, 0) es a remolcado por un bote de motor Q localizado en el or gen y viaja hacia arriba a lo largo del eje Y . Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirije en todo momento hacia el bote. y Q
x
(a, 0) Figura 3.2
por lo tanto, y = sec2 1 = separando variables:
a2 x 2 dx, x por medio de la sustitucin trigonomtrica x = sen en el lado derecho de o e la E.D., se llega a que: a + a2 x 2 y = a ln a2 x2 + C; x dy = 50
Un ive
a2 a2 x 2 1= , donde x > 0, x2 x
rsid ad
sec =
de
pero de la gura 3.2 se tiene que
An
Solucin: del concepto geomtrico de derivada se tiene que: o e y = tan = sec2 1, a x
tioq
uia
,D
ept
x
o. d
P (x, y)
eM
atem
atic
as
3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS como el esquiador arranca desde el punto (a, 0), entonces las condiciones iniciales son x = a, y = 0, sustituyendo en la solucin general, se obtiene o que C = 0. Luego la solucin particular es: o a + a2 x 2 y = a ln a2 x 2 x Ejercicio 1. Suponga que un halcn P situado en (a, 0) descubre una o paloma Q en el or gen, la cual vuela a lo largo del eje Y a una velocidad v; el halcn emprende vuelo inmediatamente hacia la paloma con velocidad w. o Cual es el camino seguido por el halcn en su vuelo persecutorio? o v v x 1 w x 1+ w ( ) ( ) (Rta.: y = a a v a v + c , donde c = wavw 2 ) 2 v 2 1+ 1w w
Ejercicio 4. Demuestre que el perro del Ej. anterior nunca tocar la otra a orilla, si w < v. Suponga ahora que el hombre camina r abajo a la velocidad v mientras o llama a su perro. Podr esta vez el perro tocar la otra orilla? a (Rta.: Si, en el punto (0, bv )) w 51
Un ive
Ejercicio 3. Suponga que el eje Y y la recta x = b forman las orillas de un r cuya corriente tiene una velocidad v (en la direccin negativa del eje o o Y ). Un hombre esta en el origen y su perro esta en el punto (b, 0). Cuando el hombre llama al perro, ste se lanza al r y nada hacia el hombre a una e o velocidad constante w (w > v). Cual es la trayectoria seguida por el perro? v b v (Rta.: y = x [( x ) w ( x ) w ]) 2 b
rsid ad
de
An
Ejercicio 2. Un destructor esta en medio de una niebla muy densa que se levanta por un momento y deja ver un submarino enemigo en la supercie a cuatro kilmetros de distancia. Suponga: o i) que el submarino se sumerge inmediatamente y avanza a toda mquina en a una en una direccin desconocida. o ii) que el destructor viaja tres kilmetros en l o nea recta hacia el submarino. Que trayectoria deber seguir el destructor para estar seguro que pasar dia a rectamente sobre el submarino, si su velocidad v es tres veces la del submarino? (Rta.: r = e 8 )
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN Ejercicio 5. Cuatro caracoles situados en las esquinas de un cuadrado [0, a] [0, a] comienzan a moversen con la misma velocidad, dirigindose e cada uno hacia el caracol situado a su derecha. Qu distancia recorrern los e a caracoles al encontrarsen? (Rta.: a unidades)
Solucin: o2y tan = f (x) = 2x y y = x dy y
Ejercicio 2. Una curva pasa por el origen en el plano XY , al primer cuadrante. El area bajo la curva de (0, 0) a (x, y) es un tercio del area del rectngulo que tiene esos puntos como vrtices opuestos. Encuentre la a e ecuacin de la curva. o (Rta.: y = cx2 ) Ejercicio 3. Encontrar las curvas para las cuales la tangente en un punto P (x, y) tiene interceptos sobre los ejes X y Y cuya suma es 2(x + y) (Rta.: xy = c) Ejercicio 4. Hallar la ecuacin de todas las curvas que tienen la propiedad o 52
Un ive
rsid ad
Ejercicio 1. Empleando coordenadas rectangulares hallar la forma del espejo curvado tal que la luz de una fuente situada en el origen se reeje en l como un haz de rayos paralelos al eje X. e (Rta.: y 2 = 2cx + c2 )
de
An
tioq
ln |y| = ln
c x
y=
c x
xy = c
uia
ln |y| = ln |x| + ln |c|
,D
= dx x
ept
o. d
eM
atem
Ejemplo 3. Hallar la ecuacin de todas las curvas que tienen la propiedad o de que el punto de tangencia es punto medio del segmento tangente entre los ejes coordenados.
atic
as
3.1.3.
Aplicaciones a la geometr anal a tica
3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION de que la distancia de cualquier punto al origen, es igual a la longitud del segmento de normal entre el punto y el intercepto con el eje X. (Rta.: y 2 = x2 + c) Ejercicio 5. Hallar la ecuacin de todas las curvas del plano XY que o tienen la propiedad de que el tringulo formado por la tangente a la curva, a el eje X y la recta vertical que pasa por el punto de tangencia siempre tiene un area igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas del punto de tangencia. 4y+x (Rta.: ln |y| = 2 tan1 ( 15x )) 15 Ejercicio 6. Hallar la ecuacin de todas las curvas del plano XY que o tienen la propiedad de que la porcin de la tangente entre (x, y) y el eje X o queda partida por la mitad por el eje Y . (Rta.: y 2 = Cx) Ejercicio 7. Hallar la ecuacin de todas las curvas del plano XY que o tienen la propiedad de que la longitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente es igual a la abscisa del punto de contacto. (Rta.: x2 + y 2 = Cx) Ejercicio 8. Hallar la ecuacin de todas las curvas del plano XY que o tienen la propiedad de que la razn del segmento interceptado por la tano gente en el eje OY al radio vector, es una cantidad constante k. 1 (Rta.: y = 1 (Cx1k C x1+k )) 2 Ejercicio 9. Hallar la ecuacin de todas las curvas del plano XY para o las cuales la longitud del segmento interceptado en el eje Y por la normal a cualquiera de sus puntos es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas. 1 (Rta.: y = 1 (Cx2 C )) 2
3.2.
CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION
Existen en el mundo f sico, en biolog medicina, demograf econom a, a, a, etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o descomposicin var en forma o a proporcional a la cantidad presente, es decir, dx = kx con x(t0 ) = x0 , o sea dt 53
Un ive
rsid ad
de
An
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN que dx kx = 0 dt que es una E.D. en variables separables o lineal en x de primer orden y cuya solucin es x = Cekt o Como x(t0 ) = x0 = Cekt0 C = x0 ekt0
En particular cuando t0 = 0, entonces x = x0 ekt
3.2.1.
Desintegracin radioactiva o
tioq
Se llama tiempo de vida media de un material radioactivo al tiempo necesario para que una cantidad Q0 se trasforme en Q0 . 2
uia
,D
Si Q es la cantidad de material radioactivo presente en el instante t, entonces la E.D. es dQ = kQ, donde k es la constante de desintegracin. o dt
ept
o. d
eM
atem
Por lo tanto la solucin particular es x = x0 ekt0 ekt = x0 ek(tt0 ) o
atic
ast
Ejercicio 2. Suponga que un elemento radioactivo A se descompone en un segundo elemento radioactivo B y este a su vez se descompone en un tercer elemento radioactivo C. Si la cantidad de A presente inicialmente es x0 y las cantidades de A y B son x e y respectivamente en el instante t y si k1 y k2 son las constantes de rapidez de descomposicin, hallar y en funcin o o de t. (Rta.: Si k1 = k2 , entonces: y = kk1 x01 (ek1 t ek2 t ) 2 k si k1 = k2 , entonces y = k1 x0 tek1 t )1 Ejercicio 3. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1000 de la cantidad original de C14 . Determinar la edad del fsil, sabiendo que el tiempo o de vida media del C14 es 5600 aos. n (Rta.: t 55,800 aos) n
54
Un ive
rsid ad
de
An
Ejercicio 1. Si T es el tiempo de vida media, mostrar que Q = Q0 ( 1 ) T . 2
3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION
3.2.2.
Ley de enfriamiento de Newton
Si se tiene un cuerpo a una temperatura T , sumergido en un medio de tamao innito de temperatura Tm (Tm no var apreciablemente con el tiemn a po). El enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la siguiente E.D.: d = k donde = T Tm . dt Ejercicio 3. Un cuerpo se calienta a 1100 C y se expone al aire libre a una temperatura de 100 C. Si al cabo de una hora su temperatura es de 600 C. Cuanto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfrie a 300 C?
x = 0 I = I0 dI = kI I = Cekx dx Cuando x = 0, I = I0 = C Luego I = I0 ekx Cuando luego, x = 3 I = 0,25 I0 0,25 I0 = I0 e3k ek = (0,25) 3 551
Un ive
rsid ad
de
An
Solucin: o
tioq
Ejemplo 4. En agua limpia la intensidad I a 3 pies bajo la supercie es de un 25 % de la intensidad I0 en la supercie. Cul es la intensidad del a rayo a 15 pies bajo la supercie?
uia
,D
Esta ley dice que la tasa de absorcin de luz con respecto a una profundio dad x de un material translcido es proporcional a la intensidad de la luz a u una profundidad x; es decir, si I es la intensidad de la luz a una profundidad dI x, entonces dx = kI.
ept
o. d
eM
3.2.3.
Ley de absorcin de Lambert o
atem
atic
as
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN
I = I0 (ek )x = I0 ((0,25) 3 )x = I0 (0,25) 3 para por tanto I = I0 (0,25)5 x = 15 I = I0 (0,25) 315
1
x
b) Analizar los casos en que k1 > k2 , k1 = k2 y k1 < k2 Ejercicio 7. Una persona de un pueblo de 1000 habitantes regres con o gripa. Si se supone que la gripa se propaga con una rapidez directamente proporcional al nmero de agripados como tambin al nmero de no agripau e u dos; determinar el nmero de agripados cinco d despus, si se observa que u as e 56
Un ive
Ejercicio 6. En un modelo de evolucin de una comunidad se supone que o dP la poblacin P (t) se rige por la E.D dt = dB dD , donde dB es la rapidez o dt dt dt con que nace la gente y dD es la rapidez con que la gente muere. dt Hallar: a) P (t) si dB = k1 P y dD = k2 P dt dt
rsid ad
Ejercicio 5. Si en un anlisis de una botella de leche se encuentran 500 a organismos (bacterias), un d despus de haber sido embotelladas y al sea e gundo d se encuestran 8000 organismos. Cual es el nmero de organismos a u en el momento de embotellar la leche?
de
An
tioq
dQ = kQ dt donde Q(t): poblacin en el instante t. o
uia
,D
ept
La razn de crecimiento depende de la poblacin presente en periodo de o o procrear, considerando las tasas de natalidad y de muerte, el modelo que representa dicha situacin es: o
o. d
eM
3.2.4.
Crecimiento de Cultivos de Bacterias o Crecimientos poblacionales
atem
atic
Ejercicio 4. Si I a una profundidad de 30 pies es 4 de la intensidad en 9 la supercie; encontrar la intensidad a 60 pies y a 120 pies.
as
3.3. PROBLEMAS DE DILUCION el nmero de agripados en un d es 100. u a Ejercicio 8. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el nmero de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de u 60 dias el nmero N ha aumentado a 1000N . Sinembargo, el nmero 200N u u es considerado como el l mite saludable. A los cuantos dias, despus de elabe orado, vence el alimento. (Rta.: 46.02 dias) Observacin: un mdelo ms preciso para el crecimiento problacional o o a 1 es suponer que la tasa percapita de crecimiento, es decir P dP es igual a la dt tasa promedio de nacimientos, la cual supondremos constante, menos la tasa promedio de defunciones, la cual supondremos proporcional a la poblacin, o por lo tanto la E.D. ser a: 1 dP = b aP P dt
P (t) =
Por la regla de lHpital se puede mostrar que o
rsid ad
bP0 ebt b aP0 + aP0 ebt
3.3.
PROBLEMAS DE DILUCION
Una solucin es una mezcla de un soluto (que puede ser l o quido, slido o o gaseoso), en un solvente que puede ser l quido o gaseoso. Tipos de mezclas o soluciones :
Un ive
t
l P (t) = m
de
An
Si en t = 0 se tiene P = P0 entonces la solucin particular es o
b a
tioq
|
P | = ec ebt b aP
uia
,D
donde a y b son constantes positivas, esta E.D. se le llama ecuacin log o stica Resolviendo sta E.D. por variables separables se obtiene e
ept
o. d
eM
atem
atic
as
57
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN i) Soluciones l quidas cuando disolvemos un slido o un l o quido en un l quido. ii) Soluciones gaseosas cuando se disuelve un gas en un gas. Ecuacin de Continuidad: o
tioq
t=0
v1 c1
t>0
P : libras de sal Q : galones de salmuera
de
An
uia
,Dv1 c1 x : libras de sal Q + (v1 v2 )t : galones de salmuera v2 c2 Sea x(t) las libras de sal en el instante t.dx dt
= Tasa de acumulacin = Tasa de entrada del soluto Tasa de salida o
58
Un ive
Figura 3.3
rsid ad
v2 c2
ept
Caso 1. Una Salmuera (solucin de sal en agua), entra en un tanque a o una velocidad v1 galones de salmuera/minuto y con una concentracin de c1 o libras de sal por galn de salmuera (lib. sal/gal. salmuera). o Inicialmente el tanque tiene Q galones de salmuera con P libras de sal disueltas. La mezcla bien homogenizada abandona el tanque a una velocidad de v2 galones de salmuera/min. Encontrar una ecuacin para determinar las libras de sal que hay en el tanque o en cualquier instante t.(Ver gura 3.3)
o. d
eM
atem
atic
Tasa de acumulacin = Tasa de entrada Tasa de salida. o
as
3.3. PROBLEMAS DE DILUCION del soluto. dx = v1 (gal.sol./min) c1 (lib.sal/gal.sol.) dt v2 (gal.sol./min) c2 (lib.sal/gal.sol.) x = v 1 c1 v 2 Q + (v1 v2 )t y obtenemos la E.D. lineal en x de primer orden:p(t)
q(t)
condiciones iniciales: t = 0, p(t) =
x=P v2 ; Q + (v1 v2 )tp(t) dt
q(t) = v1 c1
F.I. = [Q + (v1 v2 )t] v1 v2
Caso 2. Un colorante slido disuelto en un l o quido no volatil, entra a un tanque a una velocidad v1 galones de solucin/minuto y con una cono centracin de c1 libras de colorante/galn de solucin. La solucin bien hoo o o o mogenizada sale del tanque a una velocidad de v2 galones de solucin/min. o y entra a un segundo tanque del cual sale posteriormente a una velocidad de v3 galones de solucin/min. o Inicialmente el primer tanque ten P1 libras de colorante disueltas en Q1 a galones de solucin y el segundo tanque P2 libras de colorante disueltas en o 59
Un ive
Ejercicio 1: resolver la anterior E.D. con v1 = v2
rsid ad
con las condiciones iniciales x(0) = P , con esto hallamos C y se concluye que x = f (t)
de
x F.I. =
F.I. q(t) dt + C
An
luego
tioq
uia
=e
v2 ln |Q+(v1 v2 )t| v1 v2
,Dv2
F.I. = e
=e
v2 Q+(v 1v1
2 )t
ept=
o. d
eM
atem
v2 dx + x = v 1 c1 dt Q + (v1 v2 )t
atic
as
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN
t=0
v1 c1
t>0
v1 c1
P1 : libras de colorante Q1 : galones de solucin v o 2 c2 P2 : libras de colorante Q2 : galones de solucin o v3 c3 Figura 3.4
atem
y : libras de colorante Q2 + (v2 v3 )t : galones de solucin o
atic
x : libras de colorante Q1 + (v1 v2 )t : galones v2 de solucin o c2
as
E.D. para el primer tanque:dx dt dx dt
+ v2 Q1 +(vx v2 )t = v1 c1 , con la condicin inicial t = 0, x = P1 o 1v2
E.D. para el segundo tanque:dy dt dy dt
= v2 c2 v3 c3 = v2 Q1 +(vx v2 )t v3 Q2 +(vy2 v3 )t 1 +v3 Q2 +(v2 v3 )t
y=
v2 Q1 +(v1 v2 )tv3
Un ive
La solucin es: x = f (t) = c1 [Q1 + (v1 v2 )t] + C[Q1 + (v1 v2 )t] v1 v2 . o
rsid ad
= v1 c1 v2 c2 = v1 c1 v2 Q1 +(vx v2 )t 1
x=
de
An
v2 Q1 +(v1 v2 )t
tioq
Q2 galones de solucin. Encontrar dos ecuaciones que determinen las libras o de colorante presentes en cada tanque en cualquier tiempo t.(Ver gura 3.4) x = libras de colorante en el primer tanque en el instante t. y = libras de colorante en el segundo tanque en el instante t.
uia
,D
ept
o. d
f (t),
F.I. = [Q2 + (v2 v3 )t] v2 v3 60
para v2 = v3 .
eM
v3 c3
t = 0, y = P2
3.3. PROBLEMAS DE DILUCION Si v2 = v3 Cual ser su factor integrante? a Ejercicio 2. Resolver el caso dos cuando v1 = v2 = v3 = v y Q1 = Q2 = Q. Caso 3. Una solucin l o quida de alcohol en agua, est constantemente cira culando entre dos tanques a velocidades v2 y v3 galones/minuto. Si al primer tanque tambin entra una solucin a una velocidad de v1 e o galones /minuto y de concentracin c1 galones de alcohol/galn de solucin o o o y las cantidades iniciales en los tanques son P1 y P2 galones de alcohol en Q1 y Q2 galones de agua respectivamente. Encontrar dos ecuaciones para determinar los galones de alcohol presentes en cualquier tiempo en cada tanque (Ver gura 3.5). t>0 t=0 v1 v1 v3 v3 c1 c1 c3 c3 P1 : galones de alcohol P1 + Q1 : galones de solucin o v2 c2 P2 : galones de alcohol P2 + Q2 : galones de solucin oP1 + Q1 + (v1 + v3 v2 )t :
Figura 3.5 x = galones de alcohol en el primer tanque en el instante t. y = galones de alcohol en el segundo tanque en el instante t. E.D. para el primer tanque: dx = v 1 c1 + v 3 c3 v 2 c2 dt x y v2 = v 1 c1 + v 3 Q2 + P2 + (v2 v3 )t Q1 + P1 + (v1 + v3 v2 )t 61
Un ive
rsid ad
de
An
tioq
uia
galones de solucin o
,D
x : galones de alcohol v2 c2
y : galones de alcohol P2 + Q2 + (v2 v3 )t : galones de solucin o
ept
o. d
eM
atem
atic
as
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN v2 dx + x= dt Q1 + P1 + (v1 + v3 v2 )t E.D. para el segundo tanque: dy = v 2 c2 v 3 c3 dt v3 v2 x y = Q1 + P1 + (v1 + v3 v2 )t Q2 + P2 + (v2 v3 )t v3 y + v 1 c1 Q2 + P2 + (v2 v3 )t (3.1)
atic
as
(3.2)
Bal.tot.= x + y = P1 + P2 + v1 (gal.sol./min) c1 (gal.alcohol/gal.sol.) t
(3.3) en (3.1):
Con la condicin inicial: t = 0, x = P1 o Nota: no hay necesidad de resolver la ecuacin diferencial (2) porque o y = P1 + P2 + v1 c1 t x. 62
Un ive
dx + dt
v2 v3 + x= Q1 + P1 + (v1 + v3 v2 )t Q2 + P2 + (v2 v3 )t (P1 + P2 + v1 c1 t)v3 + v1 c1 (3.4) Q2 + P2 + (v2 v3 )t
rsid ad
dx v2 + x= dt Q1 + P1 + (v1 + v3 v2 )t v3 (P1 + P2 + v1 c1 t x) + v1 c1 Q2 + P2 + (v2 v3 )t
de
An
tioq
y = P 1 + P 2 + v 1 c1 t x
uia
luego
,D
x + y = P 1 + P 2 + v 1 c1 t
ept
o. d
eM
Balance total: galones de alcohol presentes en los dos tanques en el instante t:
atem
(3.3)
3.3. PROBLEMAS DE DILUCION Caso 4. Un teatro de dimensiones 10 30 50 mt.3 , contiene al salir el pblico 0,1 % por volumen de CO2 . Se sopla aire fresco a razn de 500 mt.3 u o por minuto y el sistema de aire acondicionado lo extrae a la misma velocidad. Si el aire atmosfrico tiene un contenido de CO2 del 0,04 % por volumen y el e l mite saludable es de 0,05 % por volumen. En que tiempo podr entrar el a pblico? (Ver gura 3.6) u
x : mt3 de CO2
Figura 3.6
Cantidad de CO2 en el teatro en t = 0:
mt.3 deCO2 0,001 10 30 50mt.3 = 15mt.3 3 mt. de aire dx = v 1 c1 v 2 c2 dt = 500mt.3 aire/min. 0,04 mt.3 CO2 /mt.3 aire 100 x mt.3 x 500mt.3 aire/min. 103050CO2 aire = 0,2 30 mt.3 x por tanto, dx + 30 = 0,2, E.D. lineal de primer orden con p(t) = dt Q(t) = 0,2
Un ive
rsid ad
de
Sea x = mt.3 de CO2 presentes en el teatro en el instante t.
An
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
c1
atemv2 c21 30
t>0 v1
aticy 63
as
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN solucin general: x = 6 + Ce 30 o condiciones iniciales: en t = 0 se tiene que x = 15 t por tanto la solucin particular es: x = 6 + 9e 30 o la cantidad de CO2 en el l mite saludable es: x = 0,05 10 30 50 = 7,5 100 t por tanto 7,5 = 6 + 9e 30 despejando t se tiene que t = 30 ln 6 = 53,75min. Ejercicio 1. En un tiempo t = 0 un tanque A contiene 300 galones de salmuera en el cual hay 50 libras de sal y un tanque B con 200 galones de agua pura. Al tanque A le entran 5 galones de agua/min. y la salmuera sale a la misma velocidad para entrar al tanque B y de este pasa nuevamente al tanque A, a una velocidad de 3 gal/min. Calcular las cantidades de sal en ambos tanques en un tiempo t = 1hora = 60min.. (Rta.: tanque A = 29,62 libras, tanque B = 20,31 libras) Ejercicio 2. Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una o salmuera que contiene 1 libra de sal/galn de salmuera uye al interior del 2 tanque a una rapidez de 2 galones/min. y la mezcla bien homogenizada sale del tanque con la misma velocidad. Despus de 10 minutos el proceso se dee tiene y se introduce al tanque agua pura con una rapidez de 2 galones/min, abandonando el tanque a la misma velocidad. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han pasado un total de 20 minutos. (Rta.: 7,34 libras) Ejercicio 3. Un tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de salmuera la cual contiene 2 libras de sal/galn de salmuera entran al tanque o cada minuto. La mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal/min. Si la concentracin es de 1,8 libras de sal/galn de salmuera al de cabo de 1 hora, o o Calcular las libras de sal que hab inicialmente en el tanque. an (Rta.: 118,08 libras) Ejercicio 4. Un depsito contiene 50 galones de salmuera en las que o estn disueltas 25 libras de sal. Comenzando en el tiempo t = 0, entra agua a al depsito a razn de 2 gal./min. y la mezcla sale al mismo ritmo para entrar o o 64t
Un ive
rsid ad
de
An
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
3.3. PROBLEMAS DE DILUCION a un segundo depsito que conten inicialmente 50 galones de agua pura.La o a salmuera sale de este depsito a la misma velocidad.Cundo contendr el o a a segundo depsito la mayor cantidad de sal? o (Rta.: cuando t 25 minutos) Ejercicio 5. Un tanque contiene inicialmente agua pura. Salmuera que contiene 2 libras de sal/gal. entra al tanque a una velocidad de 4 gal./min. Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera sale a una velocidad de 3 gal./min. Si la concentracin alcanza el 90 % de su valor mximo en 30 minutos, calo a cular los galones de agua que hab inicialmente en el tanque. an 30 ) (Rta.: Q = 4 101 Ejercicio 6. El aire de un teatro de dimensiones 12 8 4 mt.3 contiene 0,12 % de su volumen de CO2 . Se desea renovar en 10 minutos el aire, de modo que llegue a contener solamente el 0,06 % de CO2 . Calcular el nmero u de mt.3 por minuto que deben renovarse, suponiendo que el aire exterior contiene 0,04 % de CO2 . (Rta.: 53,23 mt.3 de aire/minuto) Ejercicio 7. Aire que contiene 30 % de ox geno puro pasa a travs de un e frasco que contiene inicialmente 3 galones de ox geno puro. Suponiendo que la velocidad de entrada es igual a la de salida; hallar la cantidad de ox geno existente despus de que 6 galones de aire han pasado por el frasco. e (Rta.: 1,18 galones) Ejercicio 8. Un tanque contiene 50 litros de agua. Al tanque entra salmuera que contiene k gramos de sal por litro, a razn de 1.5 litros por o minuto. La mezcla bien homogenizada, sale del tanque a razn de un litro o por minuto. Si la concentracin es 20 gr/litro al cabo de 20 minutos. Hallar o el valor de k. (Rta.: k = 47,47) Ejercicio 9. Un tanque contiene 500 galones de salmuera. Al tanque uye salmuera que contiene 2 libras de sal por galn, a razn de 5 galones o o por minuto y la mezcla bien homogenizada, sale a razn de 10 galones por o minuto. Si la cantidad mxima de sal en el tanque se obtiene a los 20 minua tos. Cual era la cantidad de sal inicial en el tanque? (Rta.: 375 libras) 65
Un ive
rsid ad
de
An
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN
Ejercicio 10. Un tanque contiene 200 litros de una solucin de colorante o con una concentracin de 1 gr/litro. El tanque debe enjuagarse con agua o limpia que entra a razn de 2 litros/min. y la solucin bien homognizada o o e sale con la misma rapidez. Encuentre el tiempo que trascurrir hasta que la a concentracin del colorante en el tanque alcance el 1 % de su valor original. o (Rta.: 460.5 min.)
3.4.
VACIADO DE TANQUES
ept
dQ dt
= kAv = kA 2gh
o. d
Un tanque de una cierta forma geomtrica est inicialmente lleno de agua e a hasta una altura H. El tanque tiene un oricio en el fondo cuya area es A 2 pie . Se abre el oricio y el l quido cae libremente. La razn volumtrica de o e salida dQ es proporcional a la velocidad de salida y al area del oricio. dt
eM
,D
aplicando la ecuacin de energ 1 mv 2 = mgh v = o a: 2 por tanto,
donde g = 32 pie/seg2 = 9,81 mt./seg.2
Si el oricio es de forma rectangular, la constante k = 0,8. Si el oricio es de forma tringular, la constante 0,65 k 0,75. a Si el oricio es de forma circular, la constante k = 0,6. Caso 1. Cil ndro circular de altura H0 pie y radio r pie, dispuesto en forma vertical y con un oricio circular de dimetro (pulgadas) (Ver gura a 3.7).
66
Un ive
rsid ad
de
La constante k depende de la forma del oricio:
An
tioq
dQ dt
uia
atem
atic2gh
as
3.4. VACIADO DE TANQUES
R
2 32 h = 4,8
tioq
dQ = 0,6 dt pero
24
2
uia
dQ = kA dt
2gh
,D2 h 576
ept
o. d
Figura 3.7
eM
atem(3.5) Como (3.5)= (3.6): r 2 dh dt y separando variables: dh 4,8 2 = dt 576r2 h h 2 dh = 1
4,8 e integrando: 2 h = 576r2 2 t + C.
Con las condiciones iniciales: t = 0, h = H0 , hallamos la constante C.
Un ive
rsid ad
dQ = r2 dh
dQ dh = r2 dt dt = 4,8 2 h 576
de
An
atic(3.6) 4,8 2 dt 576r2 67
as
H0
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN
h
dh R H0 R) (0,
as2gh =
Figura 3.8
El tiempo de vaciado (tv ): se obtiene cuando h = 0. Hallar tv Caso 2. El mismo cil ndro anterior pero dispuesto horizontalmente y con el oricio en el fondo (Ver gura 3.8). dQ = kA dt pero de la gura 3.8, tenemos:
tioq
uia
4,82 h 576
,D
ept
o. d
eM
atem
atic dQ = 2 2rh h2 H0 dh
x
(3.7)
y tambin e
luego
sustituyendo
68
Un ivex=
(x 0)2 + (h r)2 = r2 x2 + h2 2rh + r 2 = r2
rsid ad
dQ = 2x H0 dh
2rh h2
de
An
3.4. VACIADO DE TANQUES
R
h
Figura 3.9
(3.8) = (3.7): 2H0
,D
dh dQ = 2H0 2rh h2 dt dt
ept
o. d
eM
atem(3.8)
El tiempo de vaciado tv se produce cuando h = 0. Hallar tv . Caso 3. Un cono circular recto de altura H0 y radio R dispuesto verticalmente con oricio circular en el fondo de dimetro (Ver gura 3.9). a
Un ive
condiciones iniciales: en t0 = 0 h = 2r, con ella hallo constante de integracin. o
rsid ad
4,82 dh h = dt 576 4,82 dh 2H0 h 2r h h, donde h = 0 = dt 576 4,82 2r h dh = dt 2 576 H0
de
An
2rh h2
tioq
dQ = kA dt
2gh = 0,6
24
uia
2
2 32h 69
atic
as
H0
r
dh
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN 4,82 dQ h = dt 576 Por semejanza de tringulos tenemos que: a R H0 Rh = r= r h H0 (3.10) (3.9)
(3.9) = (3.11): h 2 dh = dt3
atem o. d eM
dQ R2 2 dh = h 2 dt H0 dt2
atic
y como dQ = r 2 dh entonces, sustituyendo (3.10): dQ = R h dh H2
as0
2 2
(3.11)
R2 2 H0
h2
dh dt
= 4,8 576
h
2 4,82 H0 576R2
Condiciones iniciales: cuando t = 0,
h = H0
Ejercicio 2. Un cono circular recto de radio R y altura H tiene su vrtice e hacia abajo. El tanque tiene un oricio en el fondo cuya area A es controla da por una vlvula y es proporcional a la altura del agua en cada instante. a Suponiendo que el tanque est lleno de agua, calcular el tiempo de vaciado. a Del tiempo de vaciado, Que porcentaje es requerido para vaciar la mitad del volumen? (Rta.: el porcentaje requerido para bajar la mitad del volumen es 29,3 %) Ejercicio 3. Un tanque cbico de lado 4 pies, est lleno de agua, la cual u a 1 sale por una endidura vertical de 8 pulg. de ancho y de 4 pies de alto. Encontrar el tiempo para que la supercie baje 3 pies. (Ayuda: encontrar el nmero u de pies cbicos por minuto de agua que salen de la endidura cuando el agua u tiene h pies de profundidad). 70
Un ive
rsid ad
de
Ejercicio 1. Un tanque semiesfrico tiene un radio de 1 pie; el tanque e est inicialmente lleno de agua, en el fondo tiene un oricio de 1 pulg. de a dimetro. Calcular el tiempo de vaciado. a (Rta.: 112 seg.)
An
tioq
uia
El tiempo de vaciado tv se produce cuando h = 0. Hallar tv .
,D
ept
3.5. APLICACIONES A LA FISICA (Rta.: 360 segundos.) Ejercicio 4. Encontrar el tiempo requerido para llenar un tanque cbico u de lado 3 pies si tiene un oricio circular de 1 pulg. de dimetro en la base y a si entra agua al tanque a razn de pies3 /min. o (Rta.: 26 min, 14 seg.) Ejercicio 5. Un tanque rectangular vacio de base B 2 pies2 , tiene un agujero circular de area A en el fondo. En el instante t = 0, empieza a llenarse a razn de E pies cbicos por segundo. Hallar t en funcin de h. Mostrar que si o u o el tanque tiene una altura H, nunca se llenar a menos que E > 4,8 A H. a 2 2 h b (Rta.: t = a b ln b1,8 h 1,8 h = a b ln hb h donde, a =4,8 A , B2
b=
E .) 4,8 A
3.5.
APLICACIONES A LA FISICA
Caso 1. Caida libre. (Ver gura 3.10) Por la segunda ley de Newton (ver textos de F sica), se llega a que:
Un ive
Ejercicio 8. Un embudo de 5 pies de radio en la parte superior y 1 pie de radio en la parte inferior tiene una altura de H pies. Si se llena de agua: a) Hallar el tiempo de vaciado; b) Del tiempo de vaciado que porcentaje es necesario para que el nivel baje a H ? 4 (Rta.: a) 2,86 H; b) 86.41 %)
rsid ad
de
Ejercicio 7. Un tanque con una cierta forma geomtrica esta lleno de e agua. El agua sale por un oricio situado en la base a una rata proporcional a la ra cuadrada del volumen restante en el tanque en todo tiempo t. Si el z tanque contiene inicialmente 64 galones de agua y 15 galones salen el primer d calcular el tiempo en el cual hay 25 galones en el tanque. a, (Rta.: 72 horas)
An
tioq
uia
,D
Ejercicio 6. Un embudo de 10 pies de dimetro en la parte superior y 2 a pies de dimetro en la parte inferior tiene una altura de 24 pies. Si se llena a de agua, hallar el tiempo que tarda en vaciarse. (Rta.: 14,016 seg.)
ept
o. d
eM
atem
atic
as
71
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN O x m g + x
Figura 3.10
condiciones iniciales:
gt2 x= + v0 t + x 0 2 Caso 2. Caida con resistencia del aire. Por la segunda ley de Newton (ver textos de F sica), se llega a que: m 72 d2 x = mg kv dt2
Un ive
gt2 + v0 t + C 2 2 y como las condiciones iniciales son: t = 0 x = x0 x=
rsid ad
por lo tanto,
dx dt
= gt + v0 , e integrando, obtenemos:
de
t = 0 v = v0 v = gt + v0
An
tioq
dv = g v = gt + C1 dt
uia
,D
d2 x d m 2 =m dt dt
dx dt
=m
dv = mg dt
ept
o. d
eM
atem
atic
as
3.5. APLICACIONES A LA FISICA dividiendo por m d2 x = g dt2 dv = g dt obtenemos la E.D. lineal en v k dv + v= g dt m hallemos el F.I. F.I. = e resolvindola e ve m t = ve m t =k k k k m
k m k v m
dt
= emt
k
Supongamos que las condiciones iniciales son: t = 0, del reposo), entonces
tioq
k m g em t + C k k m v= g + Ce m t . k
uia
,Dv = 0 (es decir, parte mg k
e m t (g) dt + C
kt mg mg mg k t e m = 1 e m ; k k k mg observese que cuando t v k Resolviendo para x y teniendo como condiciones iniciales t = 0 y x = 0 se llega a que: k mg m2 g x= t 2 (1 e m t ) k k
Caso 3. Cuerpos con masa variable. Por la segunda ley de Newton para masa variable (ver textos de F sica), se 73
Un ive
v=
rsid ad
0=
mg +C k
de
An
C=
ept
o. d
eM
atem
atic
as
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN llega a que: d d (mv) (mv) = dt dt dm dt
F =
F + (v + )
m
En t = 0,
C1 = m1 + m2 , m = m1 + m2 at Como = b entonces, m
dm dv dv = mg b m = mg b(a) dt dt dt
o sea que, m dv = mg + ab dt 74
Un ive
m = m1 + m2 luego m1 + m2 = a 0 + C1 por tanto,
rsid ad
Como
dm dt
= a m = at + C1
de
Solucin: o
An
Ejemplo 5. Un cohete con masa estructural m1 , contiene combustible de masa inicial m2 ; se dispara en l nea recta hacia arriba, desde la supercie de la tierra, quemando combustible a un ndice constante a (es decir, dm = a, dt donde m es la masa variable total del cohete) y expulsando los productos de escape hacia atrs, a una velocidad constante b en relacin al cohete. Si a o se desprecian todas las fuerzas exteriores excepto la fuerza gravitacional mg, donde g la suponemos constante; encontrar la velocidad y la altura alcanzada en el momento de agotarse el combustible (velocidad de altura y apagado).
tioq
uia
,D
ept
o. d
dv = dt
F +
dm dt
eM
por tanto,
atem
m
dm dv +v = dt dt
F +v
dm dm + dt dt
atic
donde, F : Fuerzas que actuan sobre el cuerpo. : velocidad en relacin a m de las particulas que se desprenden del cuerpo. o
as
3.5. APLICACIONES A LA FISICA Reemplazo m: (m1 + m2 at) dv = (m1 + m2 at)g + ab dt ab dividiendo por m1 + m2 at: dv = g + m1 +m2 at dt luego v = gt ab ln |m1 + m2 at| + C2 = gt b ln |m1 + m2 at| + C2 a
Sustituyendo, queda que v= 2 luego v = ma g + b ln
m1 +m2 m1
De la misma manera se encuentra que ha = altura alcanzada al acabarse m2 g bm2 bm1 m1 el combustible = 22 + + ln 2a a a m1 + m 2 Caso 4. Cuerpos en campo gravitacional variable. (Ver gura 3.11) Por la ley de Gravitacin Universal de Newton (ver textos de F o sica):
donde, x: la distancia del cuerpo a la supercie de la tierra. M : la masa de la tierra. m: la masa del cuerpo. R: el radio de la tierra. G: la constante de gravitacin universal. o
Un ive
F =
rsid ad
GM m (x + R)2
de
An
tioq
uia
gm2 m1 + m 2 + b ln a m 1 + m 2 a m2 a
,D
ept
o. d
Pero ten amos que m = m1 +m2 at y como el tiempo de apagado se produce cuando m = m1 ya que no hay combustible, es decir, m1 = m1 + m2 at. Por tanto at = m2 t = m2 o sea que cuando t = m2 v = velocidad de a a apagado.
eM
atem
v = gt b ln |m1 + m2 at| + b ln |m1 + m2 | = gt + b ln
atic
Condiciones iniciales: en t = 0, por tanto C2 = b ln |m1 + m2 |
m1 + m 2 m1 + m2 at
as
v = 0 0 = 0 b ln |m1 + m2 | + C2
75
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN m +
M
Figura 3.11
Solucin: o m
dv mgR2 = w(x) = dt (x + R)2 donde el signo menos indica que la direccin de la fuerza es hacia el centro o de la tierra. Cancelando m, y resolviendo la ecuacin diferencial resultante y poniendo o como condiciones iniciales, en t = 0, x = 0 y v = v0 , se llega a que:2 v 2 = v0 2gR +
Un ive
rsid ad
Ejemplo 6. Se lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con velocidad inicial v0 . Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando en cuenta la variacin del campo gravitacional con la altura, encontrar la o menor velocidad inicial v0 que necesita el cuerpo para que no regrese a la tierra. Esta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de escape (Ver gura 3.12).
76
de
An
tioq
2gR2 0 x+R
uia
k1 m Se dene el peso de un cuerpo como w(x) = (x+R)2 , donde k1 = GM . Si x = 0, entonces el peso del cuerpo de masa m en la supercie de la tierra 1 es: w(0) = mg = kRm , entonces k1 = gR2 , por lo tanto el peso de un cuerpo 2 mgR2 a una distancia x de la supercie de la tierra es: w(x) = (x+R)2 .
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
3.5. APLICACIONES A LA FISICA x + w(x)
Ejercicio 3. Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con una velocidad v0 = 200 mt/seg, traspasndola con v1 = 80 mt/seg. a Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar el tiempo que demora la bala en atravezar la tabla. (Rta.: t = h0 (v1 v0 ) = 40003 2,5 seg.) v1 lnv0 v1 lnv0
Un ive
Ejercicio 2. En el interior de la tierra la fuerza de gravedad es proporcional a la distancia del centro, si se perfora un oricio que atraviese la tierra de polo a polo y se lanza una piedra en el oricio con velocidad v0 , con que velocidad llegar al centro? a 2 (Rta.: v = gR + v0 , donde R es el radio de la tierra.)
rsid ad
de
Ejercicio 1. Un torpedo se desplaza a una velocidad de 60 millas/hora en el momento de agotarse el combustible; si el agua se opone al movimiento con una fuerza proporcional a su velocidad y si en una milla de recorrido reduce su velocidad a 30 millas/hora. A que distancia se detendr? a (Rta.: 2 millas)
An
tioq
uia
,D
2 Por lo tanto, v0 2gR de aqu conclu mos que la velocidad de escape v0 = 2gR
ept
o. d
Figura 3.12
eM
atem
R
tierra
atic77
0
as
CAP ITULO 3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN Ejercicio 4. Una cadena de 4 pies de longitud tiene 1 pie de longitud colgando del borde de una mesa. Despreciando el rozamiento, hallar el tiempo que tarda la cadena en deslizarse fuera de la mesa. 4 ln(4 + 15) seg.) (Rta.: t = g Ejercicio 5. Un punto material de masa un gramo se mueve en l nea recta debido a la accin de una fuerza que es directamente proporcional al o tiempo calculado desde el instante t = 0 e inversamente proporcional a la velocidad del punto. En el instante t = 10 seg., la v = 50cm/seg y la f = 4 dinas. Qu velocidad tendr el punto al cabo de un minuto desde el comienzo e a del movimiento? (Rta.: v = 72500 cm./seg.= 269,3 cm/seg.) Ejercicio 6. Un barco retraza su movimiento por accin de la resistencia o del agua, que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es 10 mt/seg, despus de 5 seg. su velocidad ser 8 mt/seg. Despus e a e de cuanto tiempo la velocidad ser 1 mt/seg ? a ln 10 (Rta.: t = 5 ln 0,8 seg.) Ejercicio 7. Un cuerpo de masa M se deja caer desde el reposo en un medio que ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad. Encuentre el tiempo que trascurre hasta que la velocidad del cuerpo alcance el 80 % de su velocidad l mite. M (Rta.: t = k ln 0,2)
78
Un ive
rsid ad
de
An
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
an
Notacin y conceptos: o i)d dx
Si no hay ambiguedad con respecto a la variable independiente, tomaremos: Dx = D.d2 dx2
=
d dx
d dx
2 = D x Dx = D x = D 2
en general,
dm dxm
m m1 = Dx = Dm = Dx (Dx )
Un ive
= Dx
rsid ad
79
de
donde h(x) es una funcin continua en I = [a, b] y a0 , a1 , a2 , ..., an son o constantes y an = 0.
An
dn y dn1 y dy + an1 n1 + ... + a1 + a0 y = h(x), n dx dx dx
tioq
uia
Utilizando algebra lineal, estudiaremos la E.D.O. lineal de orden n con coecientes constantes.
,D
ept
4.1.
INTRODUCCION
o. d
eM
atem
TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES
atic
CAP ITULO 4
as
CAP ITULO 4. TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES ii) I = [a, b] iii) C[a, b] = C(I) : clase de todas las funciones continuas en el intervalo I C [a, b] = C (I) : clase de todas las funciones que tienen primera derivada continua en I (o funciones continuamente diferenciables en I). C (I) C(I) ya que toda funcin que es derivable en I es continua en o I. C 2 (I) = C 2 [a, b] : la clase de todas las funciones que tienen segunda derivada continua en I. En general, C n (I) = C n [a, b] : clase de todas las funciones que tienen derivada de orden n continua en I. Observese que: C(I) C (I) C 2 (I) . . . C n (I) . . .
En general, si
x I : (f )(x) = f (x) C n (I)
Un ive
f, g C n (I) x I : (f + g)(x) = f (x) + g(x) C n (I)(4.1) (4.2)
Con las operaciones denidas en a) y b) podemos probar que C(I) es un espacio vectorial sobre . Y de (4.1) y (4.2) podemos concluir que C n (I) es un subespacio vectorial de C(I) para n 1. 80
rsid ad
b) x I : (f )(x) = f (x) C(I)
de
An
a) x I : (f + g)(x) = f (x) + g(x) C(I)
tioq
Si f, g C(I) y
, denimos:
uia
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
4.1. INTRODUCCION En general, si n m, entonces C n (I) es subespacio vectorial de C m (I). Nota: estos espacios son de dimensin innita. o iv) Comod (f dx
+ g)(x) =
d (f (x) dx
+ g(x)) =
d f (x) dx
+
d g(x) dx
En el algebra lineal se tiene que si T1 : U V y T2 : U V son transformaciones lineales, entonces, T1 + T 2 : U V x (T1 + T2 )(x) = T1 (x) + T2 (x) y
T1 : U V x (T1 )(x) = T1 (x) son tambin transformaciones lineales. Por ejemplo: D + D 2 es una T.L., e denida por: D + D2 : C 2 (I) C(I) 81
Un ive
rsid ad
de
An
tioq
Por denicin D 0 : C(I) C(I) es la transformacin identidad, es o o 0 decir, f D f = f .
uia
En general, D n : C n (I) C(I) es una transformacin lineal. o
,D
ept
Analogamente, D 2 : C 2 (I) C(I) es una transformacin lineal. o
o. d
eM
Por tanto, podemos decir que D : C (I) C(I) es una transformacin o lineal .
atem
y tambin D(f )(x) = D(f (x)) = Df (x). e
atic
que es lo mismo que D(f + g)(x) = D(f (x) + g(x)) = Df (x) + Dg(x)
as
CAP ITULO 4. TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES En general: an (x)Dn + an1 (x)Dn1 + + a1 (x)D + a0 (x)D0 : C n (I) C(I) es una T.L. Esta T.L. se le denomina operador diferencial lineal de orden n, donde an (x), . . . , a0 (x) son funciones continuas en I y an (x) = 0 en I. Este operador diferencial se denota por: L(D) =
an (x)Dn + an1 (x)Dn1 + + a1 (x)D + a0 (x)D0
Ejemplo 2. Hallar el ncleo del operador L(D) = D + 2xD 0 u Solucin: o (D + 2xD0 )y = 0 Dy + 2xy = 0 (E.D lineal en y con p(x) = 2x y Q(x) = 0) F.I. = e yex =2
2x dx2
F.I. = ex
Un ive
2
rsid ad
ex 0 dx + C y = Cex2
Ncleo L(D) = {Cex /C } u 82
de
Observacin: Resolver la E.D. L(D)y = 0 es lo mismo que hallar el o ncleo del operador diferencial L(D). u
An
y = x2 C (I) L(D)(x2 ) = (D + 2xD 0 )(x2 ) = D(x2 ) + 2xD0 (x2 ) = 2x + 2xx2 = 2x + 2x3 C(I)
2
tioq
uia
,D
Ejemplo 1. Si L(D) = D + p(x) = D + 2x y f (x) = x2 . Aplicar L(D) a la funcin f (x) o Solucin: o
ept
o. d
Si y C n (I) L(D)y C(I)
eM
operador diferencial de orden n con coecientes variables
atem
atic
as
4.1. INTRODUCCION como ex genera todo el ncleo dim ncleo = 1. u u Teorema 4.1 (Principio de superposicin) . o Si y1 , y2 , . . . , yn , . . . pertenecen al ncleo de L(D), entonces la combinacin u o lineal: n Ci yi y n 1 est en el ncleo de L(D) a u i=1 Demostracin: Sea y = C1 y1 + C2 y2 + . . . + Cn y, veamos que y esta en el o ncleo, es decir, veamos que L(D)y = 0 . u Como y1 , y2 , . . . , yn estan en el ncleo de L(D), en tonces L(D)yi = 0, para i = u 1, . . . , n Como L(D) es un operador lineal, entoncesn n n2
i=1
i=1
luego y esta en el ncleo de L(D) u Producto de Operadores Diferenciales:
es una T.L.
rsid ad
L1 (D)L2 (D) : C 3 (I) C(I) operador operador
L1 (D)L2 (D)y = (D + 2D0 ) (D2 + 3D0 ) y donde y es una funcin o
= (D + 2D 0 ) (D2 y + 3D0 y) operador funcin o = D(D2 y) + D(3D 0 y) + 2D0 (D2 y) + 2D0 (3D0 y) = D3 y + 3Dy + 2D 2 y + 6D0 y = (D3 + 2D2 + 3D + 6D0 )y 83
Un ive
de
An
L1 (D) = D + 2D 0 ,
L2 (D) = D2 + 3D0
tioq
Analicemos esta operacin con un ejemplo, sean: o
uia
,D
ept
o. di=1
L(D)y = L(D)(
C i yi ) =
L(D)(Ci yi ) =
eM
Ci L(D)yi = 0
atem
atic
as
CAP ITULO 4. TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES L1 (D)L2 (D) = D3 + 2D2 + 3D + 6D0 De la misma manera se calcula L2 (D)L1 (D), con el siguiente resultando: L2 (D)L1 (D) = D3 + 2D2 + 3D + 6D0 = L1 (D)L2 (D) lo cual nos permite decir que el producto es conmutativo siempre y cuando los coecientes sean constantes. Cuando L1 (D) y L2 (D) tienen coecientes variables, entonces, en general L1 (D)L2 (D) = L2 (D)L1 (D).
por lo tanto
Ahora hallemos L2 (D) L1 (D) de la siguiente manera: L2 (D) L1 (D)y = (xD 2 + xD + xD0 )(D + xD 0 )y = (xD2 + xD + xD0 )(Dy + xD 0 y) = (xD2 + xD + xD0 )(Dy + xy) = xD2 (Dy + xy) + xD(Dy + xy) + xD 0 (Dy + xy) = xD2 (Dy) + xD 2 (xy) + xD(Dy) + xD(xy) + x(Dy + xy) = xD3 y + xDD(xy) + xD 2 y + x(xDy + y) + xDy + x2 y = xD3 y + xD(xDy + y) + xD 2 y + x2 Dy + xy + xDy + x2 y = xD3 y + x(D(xDy) + Dy) + xD 2 y + x2 Dy + xy + xDy + x2 y 84
Un ive
rsid ad
L1 (D) L2 (D) = xD 3 + (2 + x2 )D2 + 2xD + (1 + x2 )D0
de
An
tioq
L1 (D) L2 (D)y = (D + xD 0 )(xD2 + D + xD0 )y = (D + xD 0 )(xD2 y + Dy + xD0 y) = D(xD2 y) + D2 y + D(xy) + xD 0 (xD2 )y + (xD 0 )Dy+ + (xD0 )(xD0 y) = xD3 y + D2 y + D2 y + xDy + y + x2 D2 y + xDy + x2 y = xD3 y + (2 + x2 )(D2 y) + 2xDy + (1 + x2 )y
uia
,D
ept
o. d
Primero hallemos L1 (D) L2 (D), para ello calculemos
eM
Ejemplo 3. L1 (D) = D + xD 0 ,
L2 (D) = xD 2 + D + xD0
atem
atic
as
4.1. INTRODUCCION = xD3 y + x(xD2 y + Dy + Dy) + xD 2 y + x2 Dy + xy + xDy + x2 y = xD3 y + x(xD2 y + 2Dy) + xD 2 y + x2 Dy + xy + xDy + x2 y = xD3 y + x2 D2 y + 2xDy + xD 2 y + x2 Dy + xy + xDy + x2 y = xD3 y + x(x + 1)D 2 y + x(3 + x)Dy + x(x + 1)y = (xD3 + x(x + 1)D 2 + x(3 + x)D + x(x + 1)D 0 )y Luego L2 (D)L1 (D) = xD 3 + x(x + 1)D 2 + x(2 + x)D + x(x + 1)D 0 = L1 (D) L2 (D) Denicin 4.1 (Condicin inicial) Es una o varias condiciones que se le o o colocan a una E.D.O. en un punto. Ejemplo 4. y +k 2 y = 0, con las condiciones iniciales: y(0) = 1, y (0) = 1 Denicin 4.2 (Condicin de Frontera) Es una o varias condiciones que o o se le colocan a una E.D.O. en varios puntos. Ejemplo 5. y + k 2 y y(0) = 1, y (1) = 1 = 0, con las condiciones de frontera:
Teorema 4.2 (de Picard) .
Nota:
a) La condicin inicial y(0) = 0 tambin puede ser cambiada por la condio e cin inicial y(a) = b con (a,
