DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTASECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

FECHA:11 de Mayo del 2015

SANGOLQU ECUADOR

ECUACIN DE DARBOUX

M(x,y)dx + N(x,y)dy + R(x, y)(xdy - ydx) = 0

La ecuacin de darboux est compuesta por las funciones M(x,y) y N(x,y) las cuales son funciones homogneas de grado m , y por una funcin R(x, y) homognea de grado n, esta ecuacin se resuelve mediante un cambio de variable y=xu(x) en el cual se transforma en una ecuacin de Bernoulli, resolvemos la ecuacin de Bermnoulli y obtenemos la solucin.EJEMPLO:ydx + xdy + y2(xdy ydx) = 0tenemos las funciones M(x,y) y N(x,y):M(x,y) = y;N(x,y) = xFunciones homogneas de grado 1.Y tambin tenemos la funcin R(x,y):R(x,y) = y3 Funcin homognea de grado 2.Realizamos el cambio de variable:y=xu(x), dy = xdu + udxxudx + x(xdu + udx) + x2u2 [x(xdu + udx) xudx] = 02xudx+ (x2 +x4u2)du=0le damos la forma de la ecuacin de Bernoulli a la ecuacin:

resolviendo Bernoulli:n=3 ; ;

ECUACIN DE BOOLE

La ecuacin de Boole se resuelve mediante la sustitucin , donde esto reduce la ecuacin de Boole a la forma:

donde y tambin .EJEMPLO:xy + y + y2 = xSe reescribe de a la forma de la ecuacin de Boole:

entonces: ; ; n=1 ; ; u=u(v)obtenemos:

logramos obtener una ecuacin de Riccati:

realizamos separacin de variables e integramos ambos lados:tan(C+z)=arctan(w)

Resolviendo y reemplazando las variables: