ecuaciones diferencial trabajo2

Facultad de Ingeniería de SistemasCurso: Ecuaciones Diferenciales

Profesor: Guardia Cayo

Tema: Trabajo Práctico N° 2 (Ecuaciones diferenciales-180 problemas)

Integrantes: Maldonado Barrios, Abraham08200039

Monsalve Valderrama, Jhony08200044

Mondragon Pantigoso, Marco A.

08200042

Perales Vallejos, Alan

08200172

Córdova Arbieto, Redi Joel

10200093

1.Índice

Alan ----> Problema 1 hasta el problema 7.1 (36 problemas)

Redi Joel ---> Problema 7.2 hasta el problema problema 7.37 (36 problemas)

Abraham ---> Problema 7.38 hasta el problema problema 7.73 (36 problemas)

Jhony---> Problema 7.74 hasta el problema 17 (36 problemas)

Marco---> Problema 18 hasta el problema 27 (36 problemas)

***************************************************************

Problema 1 hasta el problema 7.1 ( Perales Vallejos, Alan)

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

I. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variable Separable

Los siguientes ejercicios resueltos, son ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable de la siguiente forma:

Y se sabe que su solución tiene la siguiente forma:

Problema 1

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Para tenemos:

II. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas

Diremos que una ecuación es homogénea de grado , tiene la forma:

Y las funciones y son homogéneas del mismo grado en e : Y se resuelve con la siguiente sustitución:

Problema 2

9.

10.

11.

12.

13.

Problema 3

III. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

Los siguientes ejercicios resueltos, son ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de la siguiente forma:

Y se sabe que su solución tiene la siguiente forma:

15.

Entonces:

; Reemplazando tenemos:

16.

Entonces:


17.

Entonces:


18.

Entonces:


19.

Entonces:


20.

Entonces:

;

Reemplazando tenemos:

21.

Entonces:

;


Para tenemos:

22.

Entonces:

;


Para tenemos:

IV. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas

Los siguientes ejercicios resueltos, son ecuaciones diferenciales ordinarias exactas de la siguiente forma:

Para comprobar si son exactas se debe cumplir lo siguiente:

Para una función sabemos que por ser exacta se cumple lo siguiente:

Problema 4

23.

Entonces:

; Probamos si es exacta:

Para hallar la solución general tenemos:

Integramos respecto de :

Derivando respecto de :

Sabemos que:

Igualamos y resolvemos:

24.

Entonces:

Probamos si es exacta:




Sabemos que:


25.

Entonces:


No es una ecuación diferencial ordinaria exacta Para hallar la solución general se emplea un método que se verá más adelante.

26.

Entonces:





Sabemos que:


27.

Entonces:





Sabemos que:


28.

Entonces:





Sabemos que:


V. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Identificar y resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

Problema 5

29.

Podemos observar que esta ecuación tiene la forma: , por lo tanto la resolvemos como ecuación diferencial ordinaria separable.

30.

Podemos observar que esta ecuación tiene la forma: , esto quiere decir que su solución se obtiene llevándola a ecuación separable mediante la siguiente

sustitución: Se identifica y se sustituye en la ecuación:

31.

Ejercicio mal formulado, falta información32.

Observamos que la ecuación tiene la forma: y notamos que

y son homogéneas del mismo grado en e

Entonces se resuelve como homogénea:

33.

Al igual que el ejercicio anterior podemos notar que esta ecuación también es homogéneaEntonces se resuelve como homogénea:

34.

Notamos que la ecuación es de la forma: y no es una ecuación diferencial ordinaria homogénea, por lo tanto evaluamos la ecuación para:





Sabemos que:


Problema 6

35.Se pide hallar un valor para tal que la ecuación sea exacta y hallar su solución general.Tenemos:

Si es exacta sabemos:

Luego:

Entonces integramos a ambos lados:

****************************************************************

Problema 7.2 hasta el problema problema 7.37 (Córdova Arbieto, Redi Joel)

Problema 7

Como la ecuación es homogénea de 1er grado

Hacemos : y

Sea:

Vemos que:

Vemos que:

22.

( x2+ y2+ x ) dx+xydy=0

Buscaremos el factor de integración.

f ( x )= 1N ( x , y ) ( ∂M ( x , y )

∂ y−

∂ N (x , y )∂ x )→u ( x )=e∫ f ( x ) dx

f ( x )= 1xy

(2 y− y )=1x

→u ( x )=e∫ dx

x =e ln x=x

→u (x ) ( x2+ y2+x ) dx+u ( x ) (x·y )dy=0 ,Debe ser exacta

x ( x2+ y2+x ) dx+x ( x·y )=0

( x3+x y2+x2 ) dx+ x2 ydy=0

∂ M ( x , y )∂ y

=∂ N ( x , y )

∂ x=2xy , es exacta

∂F (x , y)∂x

=M ( x , y ) ,integramos respecto a x

F ( x , y )=∫ ( x3+x y2+x2 ) dx+g ( y )

F ( x , y )= x 4

4+ x2 y2

2+ x3

3+g ( y ) …(α )

Ahora derivamos respecto de y.

∂ f ( x , y )∂ y

=N ( x , y )=x2 y=∂( x4

4+ x2 y2

2+ x3

3+g ( y ))

∂ y

x2 y=x2 y+g' ( y )→g ' ( y )=0→ g ( y )=C

Reemplazamos en ( ).α

x4

4+ x2 y2

2+ x3

3+C=0

23.

24.dydx

= y ( x y3−1 )

dydx

=x y 4− y

dydx

+ y=x y 4…Bernoulli conn=4 y P ( x )=1 ,Q ( x )=x

multiplicamos por y−4→ y−4 dydx

+ y−3=x

multiplicamos por (−3 )→−3 y−4 dydx

+(−3 ) y−3=x

→Sea : z= y−3 , dz= (−3 ) y−4dy …reemplazamos

dzdx

+(−3 ) z=x , linealcon P ( x )=(−3 ) ,Q ( x )=x

z=e−∫−3dx [∫ e∫−3dx xdx+C ]

z=e3x [∫e−3x xdx+C ]… (α )

¿ ∫ e−3x xdx … I . P .P

u=xdu=dx

dv=e−3x dx

v=13

e−3x dx

∫ e−3 x xdx=−x3

e−3 x−(−13 )∫ e−3x


− x3

e−3 x−(−13 )(−13 )∫−3e−3 x dx


e−3 x−19

e−3x+C

En (α ) : z=e3x (−x3

e−3 x−19

e−3x+C)→z=−x3

−19+C

y−3=−x3

−19+C

25. dx+( xy−sen y )dy=0

g ( y )= 1−M ( x , y ) ( ∂ M (x , y )

∂ y−

∂N ( x , y )∂x )

u ( y )=e∫g ( y ) dy

g ( y )=(−1 )(0− 1y )= 1yu ( y )=e

∫ dyy =eln y= y

u ( y ) dx+u ( y )( xy−sen y )dy=0

ydx+( x− y sen y ) dy

∂ M ( x , y )∂ y

=∂ N ( x , y )

∂ x=1…Exacta ‼

∂F ( x , y )∂ x

=M (x , y ) ,integramos respecto a x

F ( x , y )=∫ y dx+g ( y )

F ( x , y )=xy+g ( y ) ,derivamos respecto a y

∂ f (x , y)∂ y

=N ( x , y )=x− y sen y=x+g '( y )

− y sen y=g' ( y ) →−∫ y sen y=g ( y ) … (α )

¿ ∫ y sen y dy

u= y du=d sen y=dv−cos y=v

−∫ y sen ydy=(−1 ) [− y cos y —∫cos y dy ]

¿ (−1 ) [− y cos y+∫cos ydy ]=(−1 ) [− ycos y+sen y+C ]

¿ y cos y−sen y+C

En (α ) : g ( y )= y cos y−sen y+C .Reemplazamos :

xy+ y cos y−sen y+C=0

26. ( y2+3 xy ) dx=(4 x2+ xy ) dy

Sea y=ux -> dy=udx+xdu

((ux )2+3 x (ux ) )dx=(4 x2+x (ux ) ) (udx+xdu )

(u2 x2+3u x2 ) dx=(4 x2+x2u ) (udx+xdu )

(u2+3u ) dx= (4+u ) (udx+xdu )

(u2+3u ) dx=4udx+4 xdu+u2dx+xudu

(u2+3u−4u−u2 ) dx=(4 x+ xu ) du

udx=x (4+u ) du

dxx

=−(4+u ) du

u

∫ dxx

=∫−(4+u ) duu

→∫ dxx

=−4∫u−1du−∫ du

ln x=−4 lnu−u…Reemplazando

ln x=−4 ln yx− y

x+C

ln x=−4 ln y+4 ln x− yx+C

4 ln y−3 ln x+ yx+C=0

27.

28. x2dx+(1−x3 y ) dy=0

g ( y )= −1M ( x , y ) ( ∂ M (x , y )

∂ y−

∂N (x , y )∂ x )

g ( y )=−1x2

(0−(−3 x2 y ))=−3 x2 yx2

=−3 y

u ( y )=e∫g ( y ) dy

→u ( y )=e∫−3 ydy

u ( y )=e−32

y2

u ( y ) x2dx+u ( y ) (1−x3 y ) dy=0

e−32

y2

+e−32

y2

(1−x3 y ) dy=0

e−32

y2

x2dx+(e−32

y2

−e−32

y2

x3 y)dy=0…debe ser exacta

→∂ M ( x , y )

∂ y=

∂N ( x , y )∂ x

=−3 y x2 e−32

y2

…es exacta

ahora :∂ f (x , y )

∂ x=M ( x , y )…integremos respecto ax

∂ f (x , y)∂x

=f (x , y )=∫e−32

y2

x2+g( y)

f ( x , y )= x3

3e

−32

y2

+g ( y ) …ahoraderivemos respecto a y

∂ f (x , y)∂x

=N ( x , y )=e−32

y2

x3 y=−3 x3 y3

e−32

y2

+g '( y)

g' ( y )=e−32

y2

−13 y

e−32

y2

+C=g ( y )

→x3

3e

−32

y2

− 13 y

e−32

y2

+C=0

29.

30. (6 x2 y+12 xy+ y2 ) dx+(6 x2+2 y ) dy=0

Si :u=z=xm y n

¿ ∂u∂ y

=dudz

∂ z∂ y

=n yn−1 xm dudz

¿ ∂u∂ x

=dudz

∂ z∂x

=m xn−1 yn dudz

¿ ∂M∂ y

=6 x2+12x+2 y ¿ ∂ N∂ x

=12x

Sesabe :uMdx+uNdy=0

M∂u∂ x

+u∂ M∂ y

=N∂u∂ x

+u∂N∂ x

Mn yn−1 xm+6u x2+12ux+2uy=Nn yn−1 xm dudz

+12 xu

dudz

( Mn yn−1 xm−Nm xm−1 yn )=−u (6 x2+2 y )

duu

=−(6 x2+2 y )

xm−1 yn (6n x3+12n x2+ ynx−6m x2−2my )dz

Sin=0 y m=1→ z=x→dz=dx

duu

=dx →∫ duu

=∫ dx→ ln u=x →u=ex (F . I )

Por lo tanto:

(6 x2 ye x+12 xy ex+ y2ex ) dx+(6 x2 ex+2 y ex ) dy=0

¿ ∂M∂ y

=6 x2 ex+12 x ex+2 y ex

¿ ¿

Resolvamos :∂ f∂ x

=M →Integrando : f =6ex x2+2 y ex+g ( y)

∂ f∂ y

=2ex+g' ( y )→ Sesabe que :∂ f∂ y

=N

2ex+g' ( y )=6 x2ex+2 y ex

g' ( y )=6 x2e x+2 y ex−2ex

g ( y )=∫ (6 x2 ex+2 y ex−2e x) dy

g ( y )=6 x2 ex y+2 y2 ex−2ex y+C

Por lo tanto : f =6ex x2+2 y ex y+6 x2 ex y+ y2 ex−2ex y+C

f =6e x x2+6x2 ex y+ yx ex+C

31. ( x2+xy+3 y2 ) dx−( x2+2xy ) dy=0

La ecuación es homogénea.

Si y=ux →dy=udx+xdu

( x2+u x2+3u2 x2) dx−( x2+2u x2 ) (udx+xdu )=0

x2 (1+u+3u2 ) dx−x2 (2u2+u ) dx−x3 (1+2u )du=0

x2 (u2+2 )−x3 (1+2u ) du=0

dxx

−( 2u+1u2+1 )du=0

∫ dxx

−∫( 2u+1u2+1 )du=0+C

∫ dxx

−∫ 2udu

u2+1−∫ du

u2+1=C

ln|x|−ln|u2+1|−arctanu=C

ln|x|−ln| y2

x2+1|−arctan ( y

x )=C

32. ( y ln y+ y ex ) dx+( x+ ycos y )dy=0

Siu=z=xm yn

¿ ∂u∂ y

=dudz

∂ z∂ y

=n yn−1 xm dudz

¿ ∂u∂x

=dudz

∂ z∂ x

=m xm−1 yn dudz

∂ M∂ y

=ln y+1+ex ,∂N∂ x

=1

Sesabe que :uMdx+uNdy=0

M∂u∂ y

+u∂ M∂ y

=N∂u∂ x

+u∂ y∂x

Mn yn−1 xm dudz

+u ln y+u+uex=Nm xm−1 yn dudz

+u

duu

=−( ln y+ex )

xm−1 yn−1 ( ynx ln y+ ye x xn−xym−m y2 cos y )dz

Sim=0 y n=1→ z= y →dz=dy

duu

=−dyy

→ ln u=−ln y→u= 1y

(F . I . )

Por lo tanto : (ln y+ex ) dx+( xy+cos y )dy=0

∂ M∂ y

= 1y

,∂N∂ x

=1y

Resolvamos :∂ f∂ y

=m , Integrando : f = y ex+ y ln y− y+g( y)

∂ f∂ x

= y ex+g' ( y ) , Se sabe :∂ f∂ x

=N

y ex+g' ( y )= xy+cos y

g' ( y )= xy+cos y− y ex

g ( y )=x ln y+sen y−12

ex y2+C

→f = y ex+ y ln y− y+ x ln y+sen y−12

ex y2+C=0

33. ( y3√1+ x4−x )dx+x y2√1+ x4dy=0

Siu=z=xm yn

¿ ∂u∂ y

=dudz

∂ z∂ y

=n yn−1 xm dudz

¿ ∂u∂x

=dudz

∂ z∂ x

=m ym−2 yn dudz

∂ M∂ y

=3 y2√1+x4 ,∂N∂ x

= y2√1+x4+ 2 x4 y2

√1+x4


M∂u∂ y

+u∂ M∂ y

=N∂u∂ x

+u∂ y∂x

Mn yn−2 xm dudz

+3u y2√1+x4=Nm xm−1 yn dudz

+2 x4 y2u

√1+x4+ y2u√1+x4

duu

=2x4 y2+ y2 (1+x4 )

xm−2 yn−1 ( y3 xn (1+x 4 )−x2n√1+x4−x y3m (1+x4 ))dz


duu

=(−3 x4−1x ( x4+1 ) )dx

∫ duu

=−∫ 3 x3

x4+1dx−∫ dx

x ( x4+1 )

∫ duu

=−34ln|1+x4|−1

4ln|2 x4−12x4+1 |

ln u=ln|(1+x4 )−34 (2 x4+1 )

14

(2 x4−1 )14 |

u=k· (2 x4+1 )

14

(1+x4 )34 (2x4−1 )

14

(F . I )

34. ( x2 y2− y2+ x2−1 ) dx+x2dy=0

( y2 ( x2−1 )+x2−1)dx+x2dy=0

( x2−1 ) ( x2+2 ) dx+x2dy=0

( x2−1 ) dx

x2+ dy

y2+1=0

∫ ( x2−1 ) dx

x2+∫ dy

y2+1=C

∫ dx−∫ dx

x2+∫ dy

y2+1=C

x− 1

2x2+arctan y=C

y=tan(x−1

2 x2+C)

35. 2dydx

= yx−x y−2

( x2− y3 ) dx+2 y2 xdy=0

Siu=z=xm yn

¿ ∂u∂ y

=dudz

∂ z∂ y

=n yn−1 xm dudz

¿ ∂u∂x

=dudz

∂ z∂ x

=m ym−1 yn dudz

∂ M∂ y

=−3 y2 ,∂ N∂x

=2 y2


M∂u∂ y

+u∂ M∂ y

=N∂u∂ x

+u∂ y∂x

Mn yn−1 dudz

−3 y2u=Nm xm−1 yn dudz

+2 y2u

duu

= 5 y2

xm−1 yn−1 ( x3n− y3 xn−2 y3 xm )dz


duu

=−52

dxx

→ ln u=−52ln x →u=x

−52

Por lo tanto :( x−12 − y3 x

−52 )dx+2 y2 x

−32 dy=0

∂ M∂ y

=−3 y2 x−52 ,

∂ N∂ x

=−3 y2 x−52

Resolviendo :∂ f∂ x

=M ,Integrando f =2x12+23

x−32 y3+g( y)

Sesabe que∂ f∂ y

=N

∂ f∂ y

=2x−32 y2+g ' ( y )

2 x−32 y2+g' ( y )=2 x−3/2

g' ( y )=0→g ( y )=C

f =2 x12+ 23

x−32 y3+C

36. (2 xy+3 y2 ) dx−(2 xy+ x2) dy=0

Laecuación eshomogénea .Si y=ux→dy=udx+xdu

(2u x2+3u2 x2) dx−(2u x2+x2 ) (udx+xdu )=0

(2u x2+3u2 x2) dx−(2u x2+x2 )udx− (2u x2+x2) xdu=0

x2 (2u+3u2 ) dx−x2 (2u2+u ) dx−x3 (2u+1 ) du=0

x2 (u2+u ) dx−x3 (2u+1 ) du=0

dxx

−( 2u+1u2+u )du=0

∫ dxx

−∫( 2u+1u2+u )du=0

Siu2+u=T → (2u+1 ) du=dT

∫ dxx

−∫ dTT

=0

ln|x|−lnT=C → ln|x|−ln|u2+u|=lnC

ln|x|−ln|( yx )

2

− yx |=lnC

x

( yx )

2

− yx

=C

37. 6 xydx+(4 y+9 x2 ) dy=0

Siu=z=xm yn

¿ ∂u∂ y

=dudz

∂ z∂ y

=n yn−1 xm dudz

¿ ∂u∂x

=dudz

∂ z∂ x

=m ym−1 yn dudz

∂ M∂ y

=6 x ,∂ N∂x

=18 x


M∂u∂ y

+u∂ M∂ y

=N∂u∂ x

+u∂ y∂x

Mn yn−1 xm dudz

+6 xu=Nm xm−1 yn dudz

+18ux

duu

= 12x

xm−1 yn−1 (6 x2 yn−4 y2m−9 x2 ym)dz

Sin=0 y m=1→ z= y →dz=dy

duu

=2 dyy

→∫ duu

=2∫ dyy

ln u=2 ln y→u= y2(F . I )

Por lo tanto :6 x y3dx+(4 y3+9 x2 y2 ) dy=0

∂ M∂ y

=18 x y2 ,∂N∂ x

=18x y2

Resolvamos :∂ f∂ x

=M , integrando f =3 x2 y3+g( y)

∂ f∂ y

=27 x2 y3+g' ( y ) , Se sabe que∂ f∂ y

=N

27 x2 y3+g' ( y )=4 y3+9 x2 y2

g' ( y )=4 y3−18 x2 y2

g ( y )= y 4−6 x2 y3+C

f =3 x2 y3+ y4−6 x2 y3+C

→f = y4−3x2 y3+C

38) xy’- y –x2 Cos(x)=0 , con y(π)=1x(y’-xCos(x))=y

y '= yx+xCos(x )

y '+(−1x ) y=xCos (x) es una E.D. Lineal de primer orden→ y=e

∫−(−1x

)dx [∫ e∫−1

xdx

. xCos (x ) dx+c ]y=e ln|x|[∫e− ln|x|. xCos ( x ) dx+c ]

y=x [∫cos (x ) dx+c ]y= xSen(x)+xc→Para: y(π)=1c= 1

π entonces la solución particular es: y=xSen(x)+ x

π

39)(2x + tg(y))dx + (x – x2tan(y))dy=0M(x,y)= 2x + tg(y)N(x,y)= x – x2tan(y)

∂ M∂ y

=Sec2 y

No es una E.D. exacta∂N∂ x

=1−2 xtan( y)

Hallando su factor integranteg ( y )=−( ∂M

∂ y−∂ N

∂ x ) . 1M (x , y )

g ( y )=−(Sec2 y−1+2xtan( y ))2x+tg( y )

g ( y )=−tg( y )

u ( y )=e−∫ tg( y)

u ( y )=cos ( y)que es el factor integrante(2x.cos ( y ) + tg(y).cos ( y ))dx + (x .cos ( y )– x2tan(y)cos ( y ))dy=0(2x cos(y)+ sen(y))dx + (xcos(y) – x2sen(y))dy=0M1(x,y)= 2x cos(y)+ sen(y)N1(x,y)= xcos(y) – x2sen(y)

∂ M1

∂ y=−2 x+cos ( y )

Es una E.D. exacta∂N 1

∂ x=cos ( y )−2 x

→∃ f(x , y )/∂ f ( x , y )

∂ x=M 1(x , y )

∫ ∂ f ( x , y )∂x

=∫2 x cos( y)+sen( y )dx

f ( x , y )=cos ( y ) x2+ xsen( y)+g( y )

∂ f (x , y)∂ y

=−sen ( y ) x2+xcos( y )+g' ( y )

xcos(y) – x2sen(y)=−sen ( y ) x2+xcos ( y )+g '( y)

∫0 dy=∫ g' ( y )

c= g( y )

→f ( x , y )=cos ( y ) x2+ xsen( y)+c

K=cos ( y ) x2+xsen ( y )

40) y2dx + (xy – x3)dy = 0y = zα → dy= αzα-1 dzz2αdx+ (xz2α-1- x3zα-1) αdz=02α=1+α-1=3+α-1 →α=2z4dx+ (xz3-x3z)2dz=0 E.D. Homogéneaz=ux → dz=udx+ xduu4x4dx+(u3x4-x4u)2(udx+xdu)=0

3u4x4dx-2x4u2dx+(u3-u)2x5du=0dxx

= 1−u2

u (3u2−2)du

Au

+ Bu+C

3u2−2→3 A u2−2 A+B u2+Cu=1−u2

-2A=1 y 3A +B=-1 A=−1

2 y B=1

2

→tendriamos∫ dx

x=∫−1

2udu+∫ 1

2(3u2−2)du

ln|x|=−12ln|u|+ 1

6ln|3u2−2|+c

ln|x|=−12ln|z

x |+ 16 ln|3( zx )

2

−2|+c

ln|x|=−12ln|√ y

x |+ 16 ln|3(√ yx )

2

−2|+c

42)xydx – x2dy = y √ x2+ y2dy

Como es una E.D. Homogénea y=ux → dy = xdu + 4dx

u x2dx− (x2+ux √ x2+u2 x2 ) (udx+xdu )=0

−u2 x2√1+u2dx−x3du−u x3√u2+1du=0

∫−(1+u√u2+1)

u2√1+u2du=∫ dx

x

−¿

tgθ=uSec2θdθ=duReemplazando en α

−∫ Sec2θtg2θSecθ

dθ−ln|u|=ln|x|

−∫Cscθ .Ctgθdθ−¿ ln|u|=ln|x|¿

Cscθ−ln|u|=ln|x|

√1+u2

u+ln|u|=ln|x|

√1+( yx )

2

yx

+ ln|u|=ln|x|

43) xy (1 + xy2)dydx

=1 x2y3 = dx

dy - xy por lo que es una E.D. de Bernoulli

multiplicamos por x-2

y3=x-2 dxdy

– x-1y multiplicamos por -1-y3=-x-2 dx

dy + x-1y

z= x-1 → dzdy

=−x−2 dxdy

dzdy

+zy=− y3 es una E.D. lineal de primer ordenz=e∫−( y)dy [∫ e∫ ydy . (− y3 ) dy+c ]

z=e− y2

2 [∫ ey2

2 . (− y3 ) dy+c ]1x=e

− y2

2 [− y2

2e

y2

2 +2ey2

2 +c ]

44)(y + 3x2y + x2)dx + (x + x3)dy = 0M(x,y)= y – 3x2y + x2N(x,y)= x + x3

∂ M∂ y

=1+3 x2

∂N∂ y

=1+3x2 entonces es una E.D. exacta→∃ f

(x , y )/∂ f ( x , y )∂ x

=M (x , y )

∫ ∂ f ( x , y )∂x

=∫ y – 3x2 y+ x2dx

f ( x , y )= y x3+ x3

3+g( y)

∂ f (x , y)∂ y

=x3+g' ( y )

x + x3=x3+g ' ( y)

∫ xdy=∫ g ' ( y )

xy= g( y )

→k=y x3+ x3

3+xy

45)xdydx

− y=√x2+ y2

Es una E.D. Homogénea

y= ux → dy=xdu+udxReemplazando

x (xdu+udx )−(√ x2+u2 x2+ux )dx=0

x2du+uxdx−x (√u2+1+u )dx=0

x2du−x (√u2+1 )dx=0

∫ du

√u2+1=∫ dx

x

ln|u+√u2+1|=ln|x|+c

ln| yx+√( y

x )2

+1|=ln|x|+c

- Problema 7.38 hasta el problema 7.73 (Maldonado Barrios, Abraham)

Problema 7.74 hasta el problema 17 (Monsalve Valderrama, Jhony)

Queda pendiente por qué no entrego el trabajo a tiempo.

****************************************************************

Problema 18 hasta el problema 27 (Mondragon Pantigoso, Marco A.)

Problema 18

Determine las condiciones bajo los cuales la ecuación tien un factor integrante u(x,y)=h(x+y). Aplique este resultado para determinar la solución general de:

…(1)

Hallando el FI u:

Reemplazando:

Se sabe además que, y reemplazando en la ecuación anterior:

Agrupando:

, donde z=x+y, reemplazando:

Resolviendo e integrando:

, donde , Hemos hallado el factor de integración para (1)

Problema 19

Problema 20

Hállense todas las f(t) tales que la ecuación:

, sea exacta.

Como es exacta se debe verificar:

Tal que (1) y (2) deben ser iguales, por tanto igualando (1)y(2)

, integrando:

… RESPUESTA

Problema 21

Se sabe que la ecuación:

Admite a u=u(t,y)=t como factor integrante. Hállense las funciones f(t).

Es exacta ya que t es F.I. por dato

Por tanto se cumple: …(1)

Obteniendo la siguiente igualdad:

Sea g(t)=tf(f), resolviendo y reemplazando en (1)

, integrando

…(2)

Reemplazando g(t) por tf(t):

, dónde:

… RESPUESTA

Problema 22

Si u(x,y)=eycosx es un factor integrante de la ecuación:

Determine:

a) Las funciones F(x) y G(y)

b) La solución general de la ecuacón resultante

a) es exacta, por datoPor tanto se cumple:

Resolviendo:

Despejando:

Dónde:

… RESPUESTAb) Reemplazando F y G en la E. D.

…(es exacta)

Por tanto,

Partimos de , integrando

, reemplazando M

Resolviendo la Integral:

…(1)

Derivando con respecto a y

, reemplazando por N

, despejando:

, Integrando:

…(2)

Reemplazando (2) en (1)

… RESPUESTA

Ecuaciones Lineales de Primer Orden

Problema 23

23.1)

….(1)

Comprobaremos que la ecuación (1) es homogénea

Ambas funciones son homogéneas de grado 1.

Sea:

y=ux…(2)

dy=udx+xdu…(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) tenemos:

Factorizando y despejando:

Integrando

Reemplazando u en la ecuación anterior tenemos:

…RESPUESTA

23.2)

…(1)

Donde M=x2, N=2xy

Es claro ver que ambas funciones son homogéneas de grado 2.

Por tanto:

x=vy …(2)

dx=vdy+ydv …(3)

Reemplazando (3)y (2) en (1)

De donde se obtiene:

Integrando

…(4)

Sea:

u=v2+2…(5)

du=2vdv…(6)

Reemplazando (5) y (6) en (4)

Resolviendo:

…(7)

Reemplazando v de (2) en (7)

…RESPUESTA

23.3) …(1)

Las funciones M y N son ecuaciones homogéneas de 2 grado. Dónde:

….(2)

…(3)

…(4)

Reemplazamos (3) y (2) en (1)

Resolviendo y factorizando:

Integrando

Despejando a ambos lados:

…(5)

Reemplazando (4)en (5)

…RESPUESTA

23.4)

…(1)

Dónde:

M y N son funciones homogéneas de 2 grado , por tanto:

…(2)

…(3)

…(4)

Reemplazando (2) y (3 )en (4):

Despejando:

Integrando

Resolviendo las integrales

…(5)


…RESPUESTA

23.5)

….(1)

M(x,y)=

N(x,y)=

Es claro ver que ambas funciones M y N son homogéneas de 2 grado, por tanto:

…(2)

…(3)

Reemplanzando (2)y (3) en (1) tenemos:

…(4)

Despejando (4) se tiene:

…RESPUESTA

23.6) Es la misma ecuación diferencial del problema 23.1

23.7) …(1)

Multiplicamos (1) por cos2x

Dándole forma:

…(2) E.D. Lineal de 1er orden donde,

,

La solución de (2)es de la forma

…RESPUESTA

23.8)

Dándole forma obtenemos:

…(1)

Dónde:

,

La solución de (1) será de la forma:

…(2)

Reemplazando los valores hallados anteriormente en (2) :

, despejando tenemos:

…RESPUESTA

23.9)

Dándole forma obtenemos:

…(1)

Observamos que (1) es una E.D. lineal de primer orden.

,

Y la solución de (1) es de la forma:

…(2)

Reemplazando los valores hallados en (2):

…RESPUESTA

23.10) ..(1)

(1) es una ecuación lineal de 1er orden, donde:

,

La solución de (1) es de la forma:

, reemplazando los datos tenemos:

…RESPUESTA

23.11)

Es una ecuación diferencial lineal de 1er orden, donde:

Y la solución es de la forma:

Reemplazando los valores tenemos:

…RESPUESTA

23.12)

…(1)

Donde (1) es una E.D. Bernoulli

Multiplicamos a (1) por 2y

, sea :

…(2)

…(3)

Reemplazando (2) y (3) en 1:

…(4)

Dónde:

La solución de (4) es de la forma:

Reemplazando los valores conocidos para la ecuación anterior:

…RESPUESTA

23.13) …(1)

(1) es una E.D. Lineal de 1er orden

La solución es de la forma:

…(2)

Reemplazando los valores en (2)

Resolviendo por Integración por partes queda:

…RESPUESTA

23.14)

Dándole forma:

Es claro que se trata de una E.D. Lineal de 1ero Orden, dónde:

La solución tiene la forma:

Reemplazando p y q en la ecuación anterior:

Resolviendo la integral y operando:

…RESPUESTA

23.15) …(1) es una E.D. Lineal de 1ero Orden, dónde:

La solución tiene la forma:

Reemplazando p y q en la ecuación anterior:

Resolviendo la integral y operando:

…RESPUESTA

Problema 24

24.1)

Dándole forma:

…(1)

Es una E.D. Bernoulli

Multiplicamos a (1) por 4y3

..(2)

Sea:

Reemplazando en (2) tenemos:

…(es un E.D. Lineal de primer orden)


Resolviendo la integral:

Reemplazando z

…RESPUESTA

24.2)

Probaremos si la ecuación es exacta:

, son diferentes

Por tanto buscamos factor de integración

…(1)

es exacta, sea u(x,y)=u(y)

..(2)

Reemplazando y calculando en (2):

De dónde: …(3)

Reemplazando ( 3) en (1)

La ecuación diferencial es exacta, hallando su solución :

Entonces

,

, integrando

..(4)

Derivando con respecto de y

Reemplazando

…(5)

Integrando

, al integral no se puede integrar por partes por el exponente de e.


…RESPUESTA

24.3)

Dándole forma:

Multiplicando por -x-2

…(E.D. Bernoulli)

Dónde:

Reemplazando


Reemplazando:

Reemplazando z y evaluando la integral:

…RESPUESTA

24.4)

Dándole forma:

…(1) E.D. Bernoulli

Multiplicando por –y-2

Sea:

Con:

Resolveidno la integral y reemplazando z:

…RESPUESTA

24.5)

Dando forma:

Integrando:

Resolviendo:

…RESPUESTA

24.6)

Dándole forma:

Reemplazando:

…(1) E.D. Lineal de primer orden

Sea su solución:

Reemplazando:

Reemplazando z:

…RESPUESTA , no se puede integrar por partes

24.7)

Dándole forma:

… E.D. Bernoulli

Multiplicamos por 3x2

Reemplazando tendremos:

…(E.D. Lineal de 1er orden)

Si la solución es:

, reemplazando:

Despejando y reemplazando z:

…RESPUESTA

24.8)

…E.D. Bernoulli

Multiplicamos por 3y2

…(E.D. Lineal de 1er orden)

Solución:

Reemplazando y resolviendo:

Reemplazando z:

…RESPUESTA

24.9)

…( E.D. Bernoulli)

Multiplicando por -3y-4

,

Reemplazando

Resolviendo la Integral y reemplazando z:

…RESPUESTA

24.10)

… E.D. Bernoulli

Multiplicamos por 3y2

,

…E.D. Lineal de 1er orden

Reemplazando:

…RESPUESTA

24.11)

… E.D. Bernoulli

Multiplicamos por -2y3

,

Reemplazando:

Resolviendo y reemplazando z

…RESPUESTA

24.12) … E.D. Bernoulli

Multiplicamos por -2y-3

Reemplazando:

… E.D. Lineal de 1er orden

Resolviendo y reemplazando:

…RESPUESTA

ECUACIONES DIFERENCIALES DE RICATTI

Problema 25

Determine la solución general de (1+x3)y’+2xy2+x2y+1=0, si una solución particular es de la forma y =ax+b.

Sol.

(1+x3)y’+2xy2+x2y+1=0 …(1)

Solución particular de la forma y =ax+b …(2)

Derivando (2): …(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1):

Resolviendo se obtiene a=-1, b=0

Por tanto la sol. Particular es y=-x

La solución general es de la forma:

…(5)

Derivando con respecto de x

…(6)

Reemplazando (5) y (6) en (1) y dando forma

… E.D. Lineal de 1er orden

…(7)

Como y=-x+1/z

z=1/(x+y), reemplazando el z en (7)

…RESPUESTA, solución general

Problema 26

Para x>0 considere la ecuación de Ricatti

…(1)

a) Determine la solución particular de la forma y1(x)=e2x(Ax+B)

Sol.

Sea la sol. Particular y1(x)=e2x(Ax+B) …(2)

Derivando, …(3)


Agrupando y resolviendo se obtienen 4 ecuaciones.

2A-A2=1

B=1

4A+2B-2AB-2A=1

4B+A-B2-2B-A=1

Resolviendo el sistema de ecuaciones: A=1, B=1

Por tanto, la solución particular es y1(x)=e2x(x+1)

Problema 27

Considere la ecuación diferencial

…(1)

a) Encuentre la solución particular de la forma y =Ax+B.

b) Determine la solución general.

c) Determine la solución particular que pasa por el punto (2,2)

Sol.

a)

Solución particular de la forma y =Ax+B …(2)

Derivando (2): …(3)


Factorizando, e igualando miembros se tiene: A=-1, B=1

Por tanto, y=-x+1 es la solución particular buscada.

b)

Sea la solución general de la forma:

…(4)

Derivando con respecto de x

…(5)

Reemplazando (4) y (5) en (1) tenemos:

Resolviendo queda:

Reemplazando z en (4)

…RESPUESTA, solución general

c) Solución particular con (x,y)=(2,2)

Reemplazamos en por el valor x=2, y =2 para hallar el valor c y de ahí reemplazar c en al solución para obtener la solución particular.

, se deduce que cuando x=2 , y =2

Reemplazando c en la solución :

…RESPUESTA

ecuaciones diferencial trabajo2

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