Ecuaciones de primer y segundo grado Conoce, analiza ...

24 Formación Profesional Básica - Ciencias Aplicadas II - Editorial Donostiarra

Conoce, analiza, aplica... 2

Ecuaciones de primer y segundo grado

2


• Analizar las diferencias entre los distintos tipos de ecua-

ciones y la operatoria de cálculo para resolverlas.

• Utilizar la operatoria propia de cada tipo de ecuación

en la resolución de ejercicios para adquirir la soltura y

seguridad adecuadas.

• Efectuar cálculos de ecuaciones de primer y segundo

grado con dificultad creciente para afianzar la operato-

ria.

• Resolver problemas de la vida cotidiana con ecuacio-

nes de primer y segundo grado.

• Desarrollar habilidades de relación y confianza en uno

mismo para tomar decisiones en los trabajos en grupo.

• Dotar los escritos personales y escolares de un estilo

sencillo y que respete la gramática (en trabajos, memo-

rias, informes, fichas...).

• Buscar información manejando distintas vías (Internet,

correo electrónico, textos, catálogos, revistas...).

• Comprender textos de tipo científico y usar la informa-

ción correctamente al resolver problemas y ejercicios

prácticos.

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Resolución de ecuaciones sencillas

• Regla de la suma y regla del producto

• Resolución de ecuaciones con paréntesis

• Resolución de ecuaciones con denominadores

• Resolución de problemas con ecuaciones de primer

grado

• Ecuaciones de segundo grado: resolución

• Resolución de ecuaciones de segundo grado incom-

pletas

• Discusión de la ecuación de segundo grado: número de

soluciones

• Resolución de problemas con ecuaciones de segundo

grado

CONTENIDOS


25Formación Profesional Básica - Ciencias Aplicadas II - Editorial Donostiarra

2Ecuaciones de primer y segundo grado

COMENZAMOS...Ya hemos conocido y trabajado en cursos anteriores el concepto de expresión algebraica, que nos permite pasar del lenguaje

coloquial al lenguaje matemático. Así hemos podido convertir situaciones reales en igualdades entre distintas expresiones

introduciendo y trabajando el concepto de ecuación y sus tipos.

Ahora revisaremos estos conceptos, profundizaremos en la resolución de ecuaciones de primer grado y veremos como plan-

tear una ecuación es traducir un enunciado del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico.

En las ecuaciones, las letras significan cantidades o números no determinadas de antemano. Pueden variar, cambiar o tener un

valor desconocido. Las letras se llaman variables o incógnitas, y los números que no cambian, coeficientes.

Sucede con frecuencia en nuestra vida ordinaria que se nos plantean problemas que admiten dos soluciones, es decir, que nos

conducen a las ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Observarás con diversos ejemplos cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones y cómo utilizar las ecuaciones para solucionar

diferentes clases de problemas. Veremos y analizaremos los procesos y pasos seguidos en cualquier situación.

SERÁS CAPAZ DE...Al terminar esta unidad de trabajo

• Leer, escribir y operar de forma correcta ecuaciones de primer y segundo grado.

• Adquirir soltura, agilidad y seguridad en el cálculo de ecuaciones de primer y segundo grado.

• Manejar con seguridad los aspectos generales de operatoria referidos a los temas trabajados.

• Realizar distintos tipos de ejercicios y problemas con ecuaciones de primer y segundo grado relacionados con la vida co-

tidiana.

• Utilizar correctamente el vocabulario específico en todas las operaciones de cálculo realizadas, así como mejorarlo y am-

pliarlo.

LO QUE SABEMOS...

• ¿Qué es una expresión algebraica?

• ¿Qué es una igualdad? ¿Y una identidad?

• ¿Qué es una ecuación? ¿En qué se diferencian una ecuación de primer grado

y una de segundo grado?

• ¿Qué elementos de la ecuación conoces?

• ¿Recuerdas los pasos que hay que seguir para resolver una ecuación de pri-

mer grado?

• ¿Recuerdas cómo se resuelve una ecuación completa de segundo grado?

• ¿Eres capaz de solucionar problemas en los que intervienen ecuaciones?

• ¿Recuerdas qué pasos debemos seguir para plantear un problema con ecua-

ciones?

Con lo que tú ya sabes y la información que puedes recoger en tu entorno más próximo podéis realizar un debate en clase

sobre las siguientes cuestiones:




Recuerda

Transponer términos supone:

a) Que los términos que están sumando pa-

san al otro miembro restando, y viceversa.

x – 2 = 8

x = 8 + 2 = 10

b) Que los términos que están dividiendo

pasan al otro miembro multiplicando, y

viceversa.

x3

= 6

x = 6 · 3 = 18

Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la incógnita que hace que se veri-

fique la igualdad.

Ejemplo:

Vamos a ver cuáles son los pasos que hay que seguir en la resolución de la ecuación

3x – 4 = 7x – 16:

1º. Transponer los términos. Agrupamos en un mismo miembro los términos que

contengan la incógnita y en el otro miembro todos los términos independientes

(o números):

3x – 4 = 7x – 16

3x – 7x = –16 + 4

2º. Simplificar. En ambos miembros realizamos las operaciones posibles:

3x – 7x = –16 + 4

–4x = –12

3º. Despejar la incógnita:

–4x = –12

x = –12–4

= 3

x = 3

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS

REGLA DE LA SUMA Y REGLA DEL PRODUCTO

Las reglas de la suma y del producto son dos principios que, aplicados en la resolu-

ción de una ecuación, permiten obtener otra ecuación equivalente.

Regla de la suma Regla del producto

Si sumamos o restamos a los dos miem-

bros de una ecuación un mismo número

o expresión algebraica, obtenemos una

ecuación equivalente a la anterior.

Este principio se llama transposición.

Ejemplo:

4x – 6 = 18

Sumamos 6 a ambos miembros:

4x – 6 + 6 = 18 + 6

4x = 24

x = 244

= 6

Recuerda que, al pasar términos de un

miembro a otro, cambian de signo.

Si multiplicamos o dividimos los dos

miembros de una ecuación por un mis-

mo número (distinto de 0), obtenemos

una ecuación equivalente a la anterior.

Ejemplo:

4x = 24

Dividimos por 4 ambos miembros:

4x

4244

=

x = 6

¿Sabías que...?

Es posible resolver ecuacio-

nes utilizando la calculadora

o el ordenador.

Calculadora científica.

Resolución de ecuaciones con ordenador.

Recuerda

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen

la misma solución.

Ejemplo:

2x + 4 = 8

6x = 12

Son equivalentes.

Solución: x = 2

Observa

Las partes de una ecuación (por ejemplo,

4x = 6) son:

• la incógnita (x)

• el coeficiente (4)

• el término independiente (6)


Conoce, analiza, aplica...2


EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1º.Resuelvelaecuación2x+7–5x=8–4x–3.

Solución:

1º.Transponemoslostérminos:2x–5x+4x=8–3–7

2º.Simplificamos:6x–5x=5–7

3º.Despejamoslaincógnita:x = –2

2º.Resuelvelaecuación4x+10=22.

Solución:

1º.Transponemoslostérminos:4x=22–10

2º.Simplificamos:4x=12

3º.Despejamoslaincógnita:⇒=12/4⇒x = 3

3º.Resuelvelaecuación3x–17=1.

Solución:

1º.Transponemoslostérminos:3x=1+17

2º.Simplificamos:3x=18

3º.Despejamoslaincógnita:x=18/3=6⇒x = 6

4º.Resuelvelaecuación4x+3=x+9aplicandolaregladelasuma.

Solución:

Restamos3aambosmiembros:

4x+3–3=x+9–3⇒4x=x+6⇒⇒4x–x=6⇒3x=6⇒x= 6

3=2⇒

⇒x = 2

5º.Resuelvelaecuación6x=30aplicandolaregladelpro-

ducto.

Solución:

Dividimosambosmiembrospor6:6x 306 6

= ⇒x=5

1º.Calculaelvalordexenlassiguientesecuaciones:

a)2x+3=7

b)2x+3=4x+7

c)5x–3=4x+2

2º.Resuelveestasecuaciones:

a)9x+8=7x+16

b)5x–2=3x+8

c)7x+9=57–x

d)16x–3=3–8x

e)2x+3=–6x–1

f)33–2x=4x–63

g)4x–7=8x–9

h)2x+7=16–x

3º.Resuelvelassiguientesecuacionesaplicandolaregladelasumaoladelproducto,segúnproceda:

a)2x+4=10

b)x+7=5

c)4x=8

d) 3x

4=6




RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARÉNTESIS

Para resolver una ecuación de primer grado con paréntesis, debemos seguir una

serie de pasos.

Ejemplo:

Queremos resolver la siguiente ecuación:

3 (x – 1) + 5 (2 – x) = –11

Los pasos son:

Tipo de operación Resolución

1º. Eliminamos paréntesis. Operamos aplicando

la regla de los signos. Ten presente que un sig-

no menos (–) delante del paréntesis lo cambia

todo.

3 (x – 1) + 5 (2 – x) = –11

3x – 3 + 10 – 5x = –11

2º. Transponemos términos semejantes. Pa-

samos los términos con parte literal al primer

miembro y los coeficientes al segundo. Re-

cuerda que, al cambiar de miembro, cam-

bia el signo.

3x – 5x = –11 + 3 – 10

3º. Reducimos términos semejantes. Sumamos

o restamos los términos de cada miembro y, si

podemos, simplificamos.

–2x = –18

4º. Despejamos la incógnita. Pasamos el núme-

ro que multiplica a la incógnita al otro miem-

bro (pero dividiendo). Si es posible, simplifica-

mos hasta conseguir un resultado irreducible

(hasta que no podemos simplificar mas).

–2x = –18

x = –18–2

= 9

x = 9

Analiza

Para transformar una ecuación en otra equi-

valente, utilizamos estos recursos:

• Reducir sus miembros.

• Transponer sus términos de un miembro

al otro.

Recuerda que el método fue ampliamente

estudiado por Al-Jwarizmi.

¿Sabías que...?

En árabe, al-jabr (de donde procede la pala-

bra álgebra) significa “restauración”, es decir,

transposición de términos de un lado al otro

de la ecuación.

¿Sabías que...?

En árabe, al-mugabalah significa “oposición”,

es decir, supresión de los términos iguales en

ambos miembros de una ecuación.

Cálculo mental

Calcula el valor de x en:

a) x + 2 = 12

b) 3x = 15

c) 8 + x = –10

d) x4

= 5

e) x – 11 = 4

f ) x – 6 = –2

g) x5

= 3

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON DENOMINADORES

Para resolver una ecuación con denominadores, debemos seguir una serie de pasos.

Ejemplo:

Queremos resolver la siguiente ecuación:

2x + =5 6x + 92 2

Los pasos son:

Tipo de operación Resolución

1º. Eliminamos denominadores. Multiplicamos

los dos miembros de la ecuación por el mínimo

común múltiplo (m.c.m.) de todos los denomi-

nadores.

2x + =5 6x + 92 2

2 (2x + 52

) = 6x + 9

2º. Eliminamos paréntesis. 4x + 5 = 6x + 9

3º. Transponemos términos semejantes. 4x – 6x = 9 – 5

4º. Reducimos términos semejantes. –2x = 4

5º. Despejamos la incógnita.x = 4

–2 = –2

x = –2





1º.Siguiendolospasosadecuados,resuelve(simplificandoalmáximo)lassiguientesecuaciones.Disisonequivalentes.

a)3(x–1)+5(2–x)=–11

b)x–4(2x+1)=5–6x

2º.Siguiendolospasosadecuados,resuelve(simplificandoalmáximo)lassiguientesecuaciones:

a)(x–3)+x+(x+8)=42

b)x+2x+3x=1.200


a)

b)2x–(2x+3)=2x+6

4º.Resuelvelassiguientesecuaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d)

1º.Resuelvelaecuación2(x–2)+3(2–x)=–11.

Solución:

1º.Eliminamosparéntesis:2x–4+6–3x=–11

2º.Transponemostérminos:2x–3x=–11+4–6

3º.Reducimostérminossemejantes:–x=–13⇒⇒ x= 13

2º.Resuelveestaecuaciónsiguiendolospasosgenerales:

3x+10 5+2x

2 3=

Solución:

1º.Eliminamosdenominadores:

3(3x+10)=2(5+2x)

2º.Eliminamosparéntesis:9x+30=10+4x

3º.Transponemostérminos:9x–4x=10–30

4º.Reducimostérminossemejantes:5x=–20

5º.Despejamoslaincógnita: x = –20

5=–4 ⇒ x = –4

=2x+2 4x–33 2

– +3+ –+x =x x x1 1

3 4 26 4

2x + 2x

4 =25

3º.Resuelveestaecuaciónsiguiendolospasosgenerales:

3x 4x

2 5–7=

Solución:

Elm.c.m.de2y5es10:

1º.Eliminamosdenominadores:15x–70=8x

2º.Transponemostérminos:15x–8x=70

3º.Reducimostérminossemejantes:7x=70

4º.Despejamoslaincógnita:

x = 707

=10 ⇒ x = 10

10· 3x 10· 4x

2 5–10· 7=

–

–

=

= +8

=

=

2+

5+

2(x–1)

3–4x

6x–2

3x+19

2x–1

3 1

x–2

17–x

x–33

15

4

10

6

4(x+2) 6(x–1)

2

20

4

=–4– 2x+82x–342

– =2x+x 336 8

3x–14

x – = –2–x3

x +53

32

+ = x–41–x2

x–35




RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONESDE PRIMER GRADO

En la realidad, las ecuaciones no son otra cosa que la expresión algebraica (lenguaje

matemático) del enunciado de un determinado problema que se describe en lenguaje

coloquial. Para plantear una ecuación, en general se pueden seguir estos pasos:

Pasos Características

1 Lee el problema hasta comprenderlo de forma clara.

2Analiza los datos conocidos y los desconocidos (sepáralos) y designa una

letra para nombrar la incógnita.

3Estudia las relaciones aritméticas (+, –, ×, ÷...) que existen entre datos e

incógnita y escríbelas.

4 La ecuación está planteada. Resuélvela siguiendo los pasos adecuados.

5 Comprueba el resultado analizando los pasos y las dificultades.

Recuerda

Las letras, en álgebra, se usan como incógni-

tas de las ecuaciones y como variables de las

fórmulas.

Recuerda

Para plantear bien una ecuación, lee el enun-

ciado del problema hasta distinguir los datos

conocidos de los desconocidos o incógnitas.

Recuerda

Las fórmulas son expresiones que simplifi-

can los enunciados de leyes y principios de

otras ciencias.

Por ejemplo, la ley de Ohm relaciona la ten-

sión (V), la intensidad de corriente (I) y la re-

sistencia (R) de un circuito eléctrico mediante

la fórmula:

V = I · R

I R

V

Ejemplo: Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 30.

Solución

1. Leído el problema observamos que:

• Se conoce que la suma de los tres números es 30.

• No conocemos los números.

• Podemos partir de que el primer número desconocido sea x (incógnita).

2. Pasamos del lenguaje coloquial del enunciado (tres números) al lenguaje matemá-

tico:

• Primer número: x

• Segundo número: x + 1

• Tercer número: x + 2

3. Las relaciones aritméticas que se dan son la suma y la igualdad (la suma da 30),

luego:

x + (x + 1) + (x + 2) = 30 (ecuación buscada)

(traducción al lenguaje matemático del enunciado del problema planteado: cada nú-

mero entero es una unidad mayor que el anterior)

4. Planteada la ecuación, resolvemos siguiendo los pasos adecuados:

x + (x + 1) + (x + 2) = 30 (agrupamos términos)

3x + 3 = 30

3x = 30 – 3 3x = 27 x = 27/3 = 9

x = 9 (primer número)

x + 1 = 9 + 1 = 10 (segundo número)

x + 2 = 9 + 2 = 11 (tercer número)

5. Comprobamos que: 9 + 10 + 11 = 30





2º.Lasumadelasedadesdetreshermanoses85años.Cal-culalaedaddecadauno,sabiendoqueelsegundotieneeldobledeedadqueelprimerodeloshermanosyqueeltercerotiene15añosmenosqueelsegundo.

1º.Mihermanomayorreparte4.200eurosentresusdoshijosy lohacedemaneraque ledaeldoblealmayorquealpequeño.¿Cuántocorrespondeacadaunodeloshijos?

2º.Unpadrereparte360eurosentresustreshijos.Sialhijomedianoleda4eurosmásquealmenory7eurosmenosquealmayor,¿cuántodinerocorrespondeacadaunodeloshijos?

3º.Enunafamiliatrabajanelpadre,lamadreyelhijomayor.Entrelostresganan3.600eurosalmes.Losingresosseconsiguendelasiguientemanera:lamadreganadoster-ciosdeloqueganaelpadreyelhijoganalamitaddeloqueganalamadre.¿Cuántoganacadaunoalmes?

4º.Tres compañeros de instituto deciden hacerse socios deunaONGyhacerunadonacióndedinero.Lohacendelasiguientemanera:elprimerodatodoeldineroquetiene;elsegundodaeltriplequeelprimero;yelterceroda loquesusdoscompañerosjuntos.Sientrelostreshacenunadonaciónde3.465euros,¿cuántodinerodonacadaunodeellos?

5º.Una familia está formadapor cuatrohijos cuyas edadessuman65años.Ladistribucióndelasedadesesasí:elma-

yortiene3añosmásqueelsegundo;elsegundo,4añosmásqueeltercero;yéste,2añosmásqueelcuarto.Cal-culalaedaddecadaunodeloshijos.

6º.Enuncolegiohayalumnosdediferentesedadesyetapaseducativas.Lasumadelasedadesdetresdeestosalum-

nosesde37años,quesedistribuyenasí:elmayortiene7añosmásqueelmedianoyelmedianotiene3añosmásqueelmenor.¿Cuáles laedaddecadaunode los tresalumnos?

7º.Partimosdeunnúmero, loduplicamosyañadimos5.Elresultadoobtenidoes11.Calculaelvalordelnúmerobus-cado.

8º.Calculadosnúmerosquecumplanquesusumasea68yque,aldividirunoporelotro,elcocienteresultantesea5yelrestosea2.

9º.Unpadretiene45añosy lasumade lasedadesdesusdoshijases37.¿Cuántosañosdeberánpasarparaquelasumadelasedadesdelashijasseaigualalaedaddelpadre?

10º.Unjovenhacompradodoslibros.Sihapagadoporellos31eurosysabemosqueunolehacostado5eurosmásqueelotro,¿cuáleselvalordecadaunodeloslibros?

1º.Siseaumentaen24unidadesdeterminadonúmero,elre-

sultadoobtenidoesequivalenteacincovecessuprimitivovalor.¿Cuálesesenúmero?

Solución:

Seaxelnúmerobuscado.

Segúnindicaelenunciado:x+24=5x

Operando:5x–x=24⇒4x=24

Resolvemos:x=⇒x= 6

Solución:

Laedaddelprimerhermanoesx.

Laedaddelsegundoes2x.

Ylaedaddelterceroes2x–15.

Segúnelenunciadodelproblema,entrelostrestienen85años.Portanto:

x+2x+2x–15=85

Sioperamos:

5x=85+15⇒5x=100⇒ x==20

Elprimerhermanotiene20años.

Elsegundo:2x=2·20=40años.

Eltercero:2x–15=40–15=25años.

3º.Preguntado un ganadero por el número de vacas de sucamada,contestó:“Sialasquetengolesañadieraunter-cioy12más,tendría132”.Calculacuántasvacastieneelganadero.

Solución:

Seaxelnúmerodevacas.

Leyendoelproblemavemosque:

x+ +12=132

Operando:

3x+x+36=396⇒4x=396–36=360

Resolvemos:x==90

Elganaderotiene90vacas.

244

3604

1005

x

3




ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión que tiene

la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 (donde a ≠ 0)

Para resolverla, debemos aplicar una fórmula que se consigue con estos pasos:

1º. Se pasa c al segundo miembro: ax2 + bx = –c

2º. Se multiplican ambos miembros por 4a: 4a2x2 + 4abx = –4ac

3º. Se suma b2 a ambos miembros: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac

4º. Se reduce el primer miembro a una fórmula notable: (2ax + b2) = b2 – 4ac

5º. Se saca la raíz cuadrada: 2ax + b2 = ± b2 – 4ac√

6º. Se despeja x y se obtiene la fórmula:b2 – 4ac

2a

√–b ±x =

Observa

En la ecuación:

ax2 + bx + c = 0

a = coeficiente principal

b = coeficiente lineal

c = término independiente

Si a, b y c son números reales y a ≠ 0, la

ecuación es completa. Si b = 0 y/o c = 0, las

ecuaciones son incompletas.

Recuerda

Para reducir una ecuación de segundo grado

a la forma ax2 + bx + c = 0 se siguen estos

pasos:

1º. Quitar denominadores.

2º. Realizar las operaciones indicadas.

3º. Pasar todos los términos al mismo lado

del igual.

4º. Reducir los términos semejantes.

5º. Resolver.

Recuerda

El valor del discriminante (∆) orienta sobre el

número de soluciones de la ecuación.

Cálculo mental

Calcula el valor de x en:

a) x – 5 = –4

b) x – 3 = –1

c) x + 8 = 7

d) x – 5 = 8

e) 6 – x = 1

f ) 7 = 13 – x

g) 7x – 3 = 4x + 15

h) 3 (x + 2) – (x – 2) = 18

En la resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas (en las que b = 0 y/o

c = 0) se presentan estos casos:

Forma ax2 = 0 Forma ax2 + bx = 0 Forma ax2 + c = 0

Dividiendo por a ≠ 0 los

dos miembros, se trans-

forma en:

x2 = 0

cuya solución doble es:

x1 = x

2 = 0

Sacando factor común x,

queda:

(ax + b) x = 0

Si hacemos:

ax + b = 0 (1)

x = 0 (2)

Obtenemos, al operar en

(1):

x1 = a

–b x2 = 0

Si sumamos (–c) a los dos

miembros:

ax2 + c – c = 0 – c

queda:

ax2 = –c

Operamos:

x2 = a–c

Y resulta:

x1 = a

–c x

2 = – a

–c

En la resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas (en las que b = 0 y/o

c = 0) se presentan estos casos:

DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: NÚMERO DE SOLUCIONES

Discutir una ecuación de segundo grado es averiguar la existencia (o no existencia)

y la igualdad (o desigualdad) de sus soluciones.

La existencia o no de las soluciones la define el valor de b2 – 4ac, que se denomina

discriminante de la ecuación y se representa con el signo ∆.

Se presentan tres casos, según el valor de ∆:

∆ > 0 • Expresión subradical positiva

• Dos raíces cuadradas (+, –)

• Dos soluciones distintas

∆ = 0 • Expresión subradical 0

• Raíz cuadrada de 0, solución doble

• Dos soluciones iguales

∆ < 0 • Expresión subradical negativa

• No hay raíz cuadrada

• No hay soluciones

x = ±a

–c





2º.Resuelvelaecuación3x2–7x=0.


a)x2+3x–4=0

b)x2+x–30=0

c)x2+x–42=0

d)2x2+13x+11=0

e)x2+x–2=0


a)x2–4x=0

b)4x2–16=0

c)x2–25=0

d)4x2–9=0

3º.Discutelassiguientesecuaciones:

a)2x2+x+7=0

b)x2–x+1=0

c)x2+3x–4=0

d)3x2+2x+5=0


a)3x2+5x+2=0

b)2x2+3x–2=0

c)x2–6x+8=0

d)x2+3x–10=0


a)–4x2+16=0

b)3x2–6x=0

c)15x2+80=0

6º.Discutelassiguientesecuaciones:

a)7x2+3x+1=0

b)4x2+4x+1=0

c)3x2–x–2=0

1º.Resuelvelaecuación2x2–3x–2=0.

Solución:

Aplicamoslafórmula:

De donde:

x1 =

4 43 + 5 8

= = 2 ⇒ x1 = 2

x2 =

4 4 23 – 5 –2 –1

= = ⇒ x2 = –

21

a=2b=–3c=–2

(–3)2 – [4 · 2 · (–2)]b2 – 4ac

2 · 22a

√√ 3 ±–b ±x = ==

9 + 16 254 4 4

√ √3 ± 3 ± 3 ± 5= = =

Solución:

Aplicamoslafórmula:

x =

De donde:

x1 =

6 6 37 + 7 14 7

= = ⇒ x1 =

37

x2 =

6 67 – 7 0

= = 0 ⇒ x2 = 0

a = 3 b = –7 c = 0

72 – 4 · 3 · 0 72

2 · 3 6 6√ √–(–7) ± 7 ± 7 ± 7

= =

3º.Discutelaecuación3x2–9x+2=0.

Solución:

El valor del discriminante es:

∆ = b2 – 4ac = (–9)2 – 4 · 3 · 2 = 81 – 24 = 57

∆ > 0 ⇒ Tiene dos soluciones distintas.

a = 3 b = –9 c = 2

4º.Discutelaecuaciónx2–6x+9=0.

Solución:

El valor del discriminante es:

∆ = b2 – 4ac = (–6)2 – 4 · 1 · 9 = 36 – 36 = 0

∆ > 0 ⇒ Tiene una solución (doble).

a = 1 b = –6 c = 9

Ecuaciones de primer y segundo grado Conoce, analiza ...

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