8/18/2019 Ecuaciones de Primer Grados

1/9

  LICEO Nº1 JAVIERA CARRERA 2012

  MATEMATICA   Benjamín Rojas F.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación es una igualdad que tiene un término desconocido llamado incógnita y que generalmen-

se simboliza con la letra x. Resolver una ecuación es encontrar el valor de esa única incógnita !ara esto de- bemos a!licar las !ro!iedades de una igualdad vistas anteriormente.

ecuaciones algebaicas" #e resuelven a!licando los conce!tos b$sicos del algebra.

%&em!lo" Resuelve las siguientes ecuaciones "

1' ( ) ( )1x2(2x(   −+=+  

2' ( )[ ]   ( )[ ](x21(1x211x)   −−=−+−+  ('   ( ) ( )  x*1x(x

22=−−+

+' ( ) ( )2x+,1x)x2   −+=−+  

)' ( ) ( ) ( )222

x2x+x2   −=−−−

,'   ( )( ) ( )( )(x2,x1x22x   ++=++  

( ) ( ) ( )[ ]   ( )[ ]

[ ] [ ]

10  x 

10x 

211(x,x2x) )-  x 

x,(2x211x) ,2(x2(x 

(x21(2x211x) 2x2( ,(x 

(x21(1x211x)2' 1x2(2x( 1'

=

=

−+−+=+−=

+−=+−−+−−=−

+−=−+−+−+=+

−−=−+−+−+=+

 

( ) ( ) ( ) ( )

( )

 1  x 

((x   x 

),x+x)x2 *x1x2xx,  x

x+,)x)x2 x*1x2xx,  x

 2x+,1x)x2+' x*1x(x '(

22

22

22

=

==

+−=−+=−+−++

−+=−+=+−−++

−+=−+=−−+

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

)  x x 

1,10x (,+x 

1  /1,x10 +(2,+1,x+xx1, 

121)x)x +,x1,x+x+x(2x1,2x 

1x1)2x2x)2x ,+x1,x+x+x1,xx2 

(x2,x1x22x ,' x2x+x2 ')

222

22222

222

−

−

−−−

−

==

==

=+−=++

+=−+−=−+−+−

++=+++−=+−−+−

++=++−=−−−

ecuaciones con coe!icien"es !accionaios" #e resuelven calculando el entre todos los denominado-

  res y multi!licando este valor !or todos los términos de la ecua-ción de tal 3orma de eliminar los denominadores de la ecuación.

4uego se resuelve la ecuación que se obtiene como cualquier o-

tra ecuación con coe3icientes enteros.

%&em!lo" Resuelve las siguientes ecuaciones"

1' x2(x =−

 2' ,x(

1

,

x  −

=+−

('

(x)

,

1x2

(x   +=

−+

−

+'+

10x)

(x2

,

1x   +=−

−−

−

8/18/2019 Ecuaciones de Primer Grados

2/9

)'   ( ) ( ) 1(x2(

11x2   =−−+

,'   ( )12

1x

(

1x+

,

1)

+

(x21x(   ++

−=+

−−−

( ) ( ) ( )

  x (x 

,(*x ,2x 

1  /(,x* *

(+  x 1  /,x2 

122*2+x+0x2+x (+*x ,x( x 

2+x+012x2+2*x 2(,x,  x x(,  x 

(x)1x212(x (,x,2x x(2((x( 

/*2

(x)

,

1x2

(x (' /,,x

(

1

,

x 2' x /(2

(

x '1

−−

−−

−−

−

−−

−

−

−

−

==

==

===

++=−+==−

+=−+−+=+=−

+=−+−=+−⋅=⋅−⋅

+=

−+

−=+−=−

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1*)  x 

2

(  x 1*)x 

,+x 1  /1*)x 

,((x2,x 120+,0x,x,+x 

((x2,,x ,0x,120x,++x 

((x211x, 10x,120(x2(1x+ 

/(1(x2

(

11x2)' /2+

+

10x)

(x2

,

1x '+

−

−

−

−−−

=

==

==

−−=−+−+=−−

=+−++=−+−−

=−−++=−−−−

=−−++

=−−

−−

 

( )

( ) ( ) ( )

 (  x 

,2x 

(0(,1+x12x1,x,(,x 

1x12+x1,(0x,(,(,x 

1x121x++1)2(x2(1x(, 

/12121x( 1x+,1)+ (x21x( ',

−

−

−

=

=

−−++=−−−

++−=++−−

++−=⋅+−−−

++

−

=+

−

−−

ecuaciones con inc#gni"a en el $eno%ina$o" #e utiliza el mismo método usado !ara resolver una ecua-

  ción 3raccionaria es decir encontrar el entre todos los

denominadores y multi!licar cada término de la ecuación

 !or este valor.

%&em!lo" Resuelve las siguientes ecuaciones"

1'(x2

*

(x

)

+

=

+

2'1x

(

1x

2

1x

12−

=

−

−

+

−

('( ) 2x2

+

2x2

+

1x

12

−

=

+

+

−

+' 1

12x*x

1

(x

1x,

+x

)x*2

  =

+−

−

−

−−

−

+

)'12xx,

**x()x2

+x(

)x

(x2

*x,2

2

−+

+−=

−

−−

+

+

,' 2)x)

1x+

+x+

2x(

(x(

(x2

2x2

 x)=

−

−−

−

++

−

+−

−

2

8/18/2019 Ecuaciones de Primer Grados

3/9

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

  ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(

+  x 2  x 

+(x ,(x 

1  /+(x 1  /,(x 

12(x2x 1)21x*x10 

(2x21x 21x*1)x10 

(1x21x1 (x*(x2) 

1x1x  /1x1x

(

1x

2

1x

1 

(x2

*(x2(x

(x

)(x2(x 

1x

(

1x

2

1x

1 2' (x2(x  /

(x2

*

(x

) '1

2

−

−

−−−

−

−

−

−

−

==

==

==

−+=−−=−

=−−++=+

=+−−+=+

−+

−+

=

−

−

++

⋅++=

+

⋅++

−

=

−

−

+

++

+

=

+

( )

( )   ( ) ( )  ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )  ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2  x 

(21,x 

1+1)12x*x2)x1, 

12x*x1+x2)x,1)x1,x* 

12x*x1+x2)x,1)x1,x* 

(x+x11x,+x)x*(x 

(x+x  /1(x+x

1(x1x,

+x)x* 

112x*x

1

(x

1x,

+x

)x* +'

(

)  x 

)(x 

1  /)x( 

212x+  x 

2x22x+x21  x

1x21x2x21  x

1x1x21x21 x 

1x1x  /1x2

+

1x2

+

1x

1 

2x2

+

2x2

+

1x

1 ('

222

222

2

22

22

2

2

2

2

=

=

+++=++

+−=−−+−−−

+−=−+−−−−

−−=−−−−+−

−−=

−−

−

−

−−

−

+

=

+−

−

−

−−

−

+

=

=

=

−−−=−

−=+−++

−=+−++

+−=−++

+−

−

=

+

+

−

−

=

+

+

−

−

−−−

( ) ( )  ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

 

)  x 

0x1 

1)2**x()x1+x( 

**x()x21)x1+x1,2x(x1 

**x()x21)x1+x1,2x(x1 

**x()x2)x(x2*x,+x( 

+x((x2  /+x((x2

**x()x2

+x(

)x

(x2

*x, 

12xx,

**x()x2

+x(

)x

(x2

*x, ')

222

222

2

2

2

2

=

=

−+=+−

+−=+−−−−

+−=−+−−−

+−=−+−+−

−+

−+

+−=

−

−−

+

+

−+

+−=

−

−−

+

+

−

(

8/18/2019 Ecuaciones de Primer Grados

4/9

( ) ( ) ( ) ( )  ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1(

102  x 

1021(x 

1  /1021(x 

12(0,0120x120x+x+)x+01)0x 

120x12012x+(0x+),0x+01)0x 

1x1201x+122x(1)(x220x)(0 

1x  /,021x)

1x+

1x+

2x(

1x(

(x2

1x2

 x) 

2)x)

1x+

+x+

2x(

(x(

(x2

2x2

 x) ',

=

=

=

−−+=−−+−

−=+−++−−

−=−−+++−⋅

−=

−

−−

−

++

−

+−

−

=

−

−−

−

++

−

+−

−

−−−

−

ecuaciones li"eales" #on ecuaciones en las que algunos o todos los coe3icientes numéricos son letras se re-

suelven como cualquier ecuación vista anteriormente.

 %&em!lo" Resuelve las siguientes ecuaciones"

1' a2xa  =+

2' +x b2xa   −=−

('  a2

1

a

x1

a2

x2  =

−−

+'   ( ) ( )ax b ba bxa 22 −++=+

)' (2

(

 ba2

 x+=+

+

,'  ( )

aa

 b

 b

x ba

a

 bxa 22=+

−−

−

*'  x(mxm 2 −=+

'   ( ) ( ) xa12x2axax ((((

+=−++

'a

+x

+

ax   −=

−

10' 222 bxa

 ba

 bxa

 xa

 bxa

 bxa

−

=

−

−

+

−

( )

( )

( )

 1  x 

2a

2a  x 

2a2a  x 

2ax2xa  ba2  x 

ax22xa 2 ba  x a

2a x 

ax12xa +2x bxa 2axa 

/2aa2

1

a

x1

a2

x (' +x b2xa 2' a2xa 1' 2

2

=

+

+=

+=+

+=+

−

=

=+−=−−

=

=−−−=−−=

=−

−−=−=+

−

−

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) 

 ba2(  x  ba  x 

 b(a,  x 

 ba

 ba  x 

 b(a, b,a21x  ba ba  x b,a12(ba,x  ba ba bax bxa 

 ba2, ba2(x  bax b ba baxa 

 ba2  /2(2

(

 ba2

 x+ )' ax b ba bxa +'

2

2

22

22

22

+=−=

+=

−

−=

−−+=−=−

+=++−−+=−

+=++−++=+

+=+

+

−++=+

+

8/18/2019 Ecuaciones de Primer Grados

5/9

( )

( )   ( )( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

 ba

2ab  x 

 baa

 ba2  x 

(m  x  ba2 baxa 

( m

(m(m x  b ba b baxaxab 

(m(m( m  x  ba bxa ba bxab 

mx(xm  ba bx ba bxa b 

x(mxm *' /abaa

 b

 b

x ba

a

 bxa ',

2

2

(2(22

2(22(

22(22

222

+

=

+

=

−==+

+

−+=−++=+

++=+=++−−

−=+=+−−−

−=+=+−

−−

( ) ( )

( )

 0  x 

a12a(a(

0  x 

0a12a(a(x 

aaxa12xa(xa( 

xa12x2axa(xa(xaxa(xa(  x

xa12x2axax '

(22

(22

(((22

(((22((22(

((((

=

−+

=

=−+

+=−+

+=−+−++++

+=−++

−

( ) ( )

( )

( ) ( )

+a  x 

+a+a+a  x 

1,a +a  x

1,ax+xa 

1,x+axa 

+x+axa 

/+aa

+x

+

ax '

2

2

2

+=

−

−+=

−=−

−=−

−=−

−=−

−=

−

 

( )( )  ( )( )

( ) ( )

( )

 (a

a b  x 

(ab

a b b  x 

ab b(abx 

1  / bab(abx  bababxabx2 

ababxxa babx2xa 

ab bxaxa bxa 

 bxa bxa  / bxa bxa

 ba

 bxa

 xa

 bxa

 bxa 

 bxa

 ba

 bxa

 xa

 bxa

 bxa '10

2

2

2

22222

2

222

−=

−=

−=

−=

−=−

=−−+−

=+−−

−+

−+

=

−

−

+

−

−

=

−

−

+

−

−−

−

ecuaciones co%&ues"as" #e resuelven am!li3icando un lado de la igualdad o ambos lados !or el cal-

culado entre los denominadores de las 3racciones com!uestas con el !ro!ósito de

trans3ormar la ecuación en una ecuación m$s sim!le.

%&em!lo" Resuelve las siguientes ecuaciones"

)

8/18/2019 Ecuaciones de Primer Grados

6/9

( )

( ) ( )

 

1)

)2  x 

)21)x 

1  /)2x1) 

(,*2(0x1)x 

*2x(0(,1)x 

12x),12x)( 

12x)  /+

(

12x)

11

( 

1).esy1)y)(resdenominadolosentreculado +

(

  /1))

+x

(

1

  /1)1)

11

( 

-calel !or

)

+x

(

11)

11

3racciónlaam!li3icase *)0

)

+x

(

11)

11

( '1

−

−

−−

−

=

=

=

++=−

−=−−

−=−−

−=

−

−

=

−

−

−

=

−

−

 

( )

( ) ( )

,

(

 x 

(,x 

+x2x 

x2x+ 

x21x, 

2.esy+y2resdenominadolos x2  /

1

x2

x, 

entrecalculadoel !or+

2

1

3racciónlaam!li3ica se 

1

x2

x, 

(.esy(y1resdenominadolosentre /2+

  /22

1

  /((

 x2(

  /((

x2

 

calculado el !or

(

 x2(

(

x2

3racciónlaam!li3icase +

2

1

(

 x2(

(

x2

 '2

−

−

=

=

−=−

−=+

−=+

−=

−

+

=

−

+

=

−

+

−

+

=

−

+

,

8/18/2019 Ecuaciones de Primer Grados

7/9

( ) ( )( ) ( )

( )

( )   ( )

 1  /(0)x2)0 

22)0x1,0x0 

0x1,022)x0 

x1,10*)x(0( 

x1,  /((

10

x1,

*)x(0 

(

10

x1,

*)x(0 

(

10

x2+++0+0x

1()x0,0,0x 

(

10

x22+1x+0

(x2+)1x,0 

(,0.esy1)yentre,culado (

10

 /(,01)

x2

1x

  /(,0

(x2

,

1x

 

-calel !or

1)

x2

1x

(x2

,

1x

3racciónlaam!li3ica se (

1(

1)

x2

1x

(x2

,

1x

 '(

−−

−

−

−

−

−

=

+=−

+=−

+=−

+=

+

−

=

+

−

=

−+−

−−+

=

−+−

+−+

=−

+−

+−

+

−+

−

+−

+

=−

+−

+−

+

 2)0

(0)  x 

(0)2)0x 

−

−

=

=

( )

( )

2  x 

21

x 

2x1x

x 

x.esyresdenominadolosentre 2x1x

x 

calculadoel !or

x

x11

13racciónlaam!li3icase 2

  /xx

x11

  /x1 

2

x

x11

1 

x1esyresdenominadolosentre 2

1x1

x11

1 

calculadoel !or

x1

11

13racciónlaamli3icase 2

x1  /x1

11

x1  /11

1 

2

x1

1

1

11

1 '+

−

−

=

=

=

−−

=

+−

+−

=+

−

=+

−

+=

−+

+−

+

−

=

+

+

−

+−

=

+−

−

*

8/18/2019 Ecuaciones de Primer Grados

8/9

( )

( )

( )

2

2

2

x

1

x1x

1x1

11x

x

 

.1xesyresdenominadolosentre x

1

1x  /1x

x1

1x  /11

1

1x

x

 

calculadoel !or

1x

x1

13racciónlaamli3icase 

x

1

1x

x1

11

11x

x

 ')

−

−

−

=

−−

−+

−

−

−=

−

−

−

−+

−

−

−

−

=

−

−

+

−

−

( )

( )

( )

( )

( ) ( )  ( )

( )

( )

 

(

2  x 

2(x 

2x(x  x 

2x(x1  x 

2x(x  /x

x

1

2x(x

1 

x

1

2x(x

1xx 

.1xesyresdenominadolosentre x

1

x21x

1x1x 

calculadoel !orx2

11x

x

3racciónlaam!li3icase x

1

1xx /2

1x  /11x

x

 

x

1

x2

1

1x

x

 

x

1

1x1

11x

x

 

x

1

1x1

11x

x

 

x1

 1

1x1

11x

x

 

22

22

22

22

22

2

2

2

2

2

2

=

=

+−=

−+=

−+=

−+

=

−+

+−

−=

−−

−−

−

−

−=

−−

−−

−

=−

−

−

=

+−

−

−

=

−−

−

−

=

−

−+

−

−

−−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

8/18/2019 Ecuaciones de Primer Grados

9/9