Ecuaciones Cuadráticas

Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

Una Ecuación Cuadrática es una Expresión Algebraica que tiene por lo menos un Término Cuadrático.

La forma General de una Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado es:

ax2 + bx + c = ØTérmino Independiente

EcuacionesCuadráticas

Incompletas

Completas

Puras

Mixtas

Factorización

Trinomio Cuadrado Perfectoa = 1

a ≠ 1

Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto

Por Fórmula General

a = 1

a ≠ 1

Término LinealTérmino Cuadrático

Fin

Ecuación Cuadrática Pura

Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

Una Ecuación Cuadrática Pura, es aquella Expresión Algebraica que consta de Dos Términos, el Término Cuadrático y el Término Independiente.

ax2 + c = ØDonde “a” es el Coeficiente del Término Cuadrático y “c” es el Término Independiente.

Si

X1,2 = ±ca

X1,2 = ±( 1 )4

4x2 – 1ØØ = Ø Entonces

= ±14

= ± 25 = ± 5

X1 = 5 X2 = – 5

Ecuación Cuadrática Mixta

Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

Una Ecuación Cuadrática Mixta, es aquella Expresión Algebraica que consta de Dos Términos, el Término Cuadrático y el Término Lineal.

ax2 + bx = ØDonde “a” es el Coeficiente del Término Cuadrático y “b” es el Coeficiente del Término Lineal.

Si

X1 = Ø

X2 = ba

4x2 – 1ØØx = Ø Entonces

=14

= 25

X1 = Ø X2 = 25

X2 = ( 1 )4

Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto

Paso No. 1 Raiz Cuadrada del Primer Término (Término Cuadrático)

225 7 49x x

5x

Paso No. 2 Signo del Segundo Término (Término Lineal)

–

Paso No. 3 Raiz Cuadrada del Tercer Término (Término Independiente)

7

Paso No. 4 El Binomio obtenido, se encierra entre paréntesis, se eleva al cuadradoy finalmente se Iguala a cero

( ) 2 = Ø

Paso No. 5 Se despeja la Variable x, aplicando las leyes del Despeje

5x – 7 = 5x – 7 = Ø

5x = 7x = 75

X1 = 75

75

X2 =

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Factorización de un Trinomio Cuadrado de la Forma “a = 1”2 5 6x x

Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

Paso No. 1 Raiz Cuadrada del Primer Término (Término Cuadrático) formando dosFactores e igualándolos a cero.

Paso No. 2 Se buscan todos los pares de números cuyo producto entre ellos, seaigual al Tercer Término (Término Independiente) incluyendo el signo.

Paso No. 3 Seleccionar el par de números que sumados sea igual al Coeficiente delSegundo Término (Término Lineal) incluyendo el signo.

Paso No. 4 El par de números seleccionados, se acomodarán en los dos factoresBinomiales según se muestra en el ejemplo.

Paso No. 5 Igualar a cero cada uno de los factores y en cada uno de ellos despejarla incógnita “x”, aplicando las leyes del Despeje.

Paso No. 6 Finalmente a una de las incógnitas se asigna como Raíz1 y a la otra Raíz2

( 1 ) ( 6 ) = 6( 2 ) ( 3 ) = 6

( -2 ) ( -3 ) = 6 y ( -2 ) + ( -3 ) = -5( x ) ( x ) = Ø – 2 – 3

x – 2 = Ø x = 2

x – 3 = Ø x = 3 X1 = 2 X2 = 3

Factorización de un Trinomio Cuadrado de la Forma “a ≠ 1”23 1 8x x

Paso No. 1 Se multiplica el coeficiente del Término Cuadrático por el Término Independiente, incluyendo los signos.

Paso No. 2 Se buscan todos los pares de números cuyo producto entre ellos, sea igual al resultado del Paso No. 1, incluyendo los signos.

Paso No. 3 Se selecciona el par de números que sumados sea igual al coeficiente del Término Lineal.

Paso No. 4 El par de números seleccionados, se sustituirán por el Término Lineal en la Ecuación Cuadrática Original.

Paso No. 5 De la nueva Ecuación Cuadrática, se formarán Dos Factores, donde cada uno de ellos será un Binomio. Observar que estos factores se encontrarán Sumándoce y se igualará a cero.

Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

a · c = ( 3 ) ( 8 ) = 24

( 1 ) ( 24 ) = 24( 2 ) ( 12 ) = 24( 3 ) ( 8 ) = 24( 4 ) ( 6 ) = 24

( 4 ) ( 6 ) = 24 y ( 4 ) + ( 6 ) = 1Ø

3x2 + 4x + 6x + 8 = Ø

( ) + ( ) = Ø

Posteriormente se llevará a cabo una serie de factorizaciones para obtener al final Dos Factores que se encuentren Multiplicándoce e igualados a cero.

Para evitar doble trabajo o innecesario, si gusta puede llevar a cabo los Siguientes Consejos.

Factorización de un Trinomio Cuadrado de la Forma “a ≠ 1”23 1 8x x

Consejo 1 El Término Cuadrático y el Término Independiente, bajan directamente y forman el Primer Término del Primer Factor y el Segundo Término del Segundo Factor respectivamente.

Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

a · c = ( 3 ) ( 8 ) = 24

( 1 ) ( 24 ) = 24( 2 ) ( 12 ) = 24( 3 ) ( 8 ) = 24( 4 ) ( 6 ) = 24

( 4 ) ( 6 ) = 24 y ( 4 ) + ( 6 ) = 1Ø3x2 + 4x + 6x + 8 = Ø

( ) + ( ) = Ø

Consejo 2 Los Términos Centrales o Lineales, se acomodorán en los dos factores cuidando de que queden uno con respecto al otro sean: Iguales, Múltiplos, Submúltiplos o exista un Número Común entre ellos.

Consejo 3 Factorizar por Término Común ambos factores. Tomando en cuenta que sale en el Primer Factor la Variable de menor grado y el coeficiente menor. Y en el Segundo Factor, sale nada más el coeficiente menor.

Paso No. 6 Factorizar por Factor Común ambos Factores. De tal forma que ahora los dos Factores Binomiales se encuentren Multiplicándoce.

Paso No. 7 Igualar a cero cada uno de los factores y en cada uno de ellos despejar la incógnita “x”, aplicando las leyes del Despeje.

Paso No. 8 Finalmente a una de las incógnitas se asigna como Raíz1 y a la otra Raíz2.

3x2 4x3x ( x + 2) + 4 ( x + 2 ) = Ø

( x + 2 ) ( 3x + 4 ) = Øx + 2 = Ø

x = – 23x + 4 = Ø

3x = – 4x = – 4/3

X1 = – 2 X2 = – 4/3

+ 6x + 8

Completando un Trinomio Cuadrado Perfecto

23 13 1x x

Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

de las formas a = 1 y a ≠ 1

El procedimiento para resolver dichas formas, es práctcamente el mismo. A excepción por el paso “Ø” que sólo se aplica a la forma “a ≠ 1”, los pasos del 1 al 6 se aplican para ambas formas.Paso No. Ø Se divide toda la Ecuación Cuadrática entre el

Coeficiente del Término Cuadrático.

Paso No. 1 Se envía el Término Independiente al Segundo Miembro. Aplicando las Leyes del Despeje

Paso No. 2 El Coeficiente del Término Lineal se Divide entre 2 o se Multiplica por 1/2 y se Eleva al Cuadrado.

Paso No. 3 El resultado del Paso No. 2 se suma en ambos miembros de la Ecuación Obtenida del Paso No. 1.

Paso No. 4 El Primer Miembro se Factoriza con el procedimento del Trinomio Cuadrádo Perfecto. Y en el Segundo Miembro se realiza la Operación correspondiente.

Paso No. 5 Se despeja la variable “x”. Asignándole a la Raíz1 a la parte positiva del Radical y a la Raíz2 se le asigna la parte negativa del Radical.

La ecuación de Forma “a ≠ 1” es convertida a la Forma “a = 1”

3x2 + 13x – 1Ø = Ø3

x2 +133x 1

3

= Ø

x2 +133x 1

3

2

1 132 3

2136

16936

x2 +133x 1

3

16936

16936

28936

213

6x

136

x 28936

136

x 176

1x 13 176 6

2x 13 176 6

X1 = 2/3 X2 = – 5

Por Fórmula General23 13 1x x

Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

2

1,24

2b b acX

a

Donde “a” es el Coeficiente del Término Cuadrático, “b” es el Coeficiente del Término Lineal y “c” es el Término Independiente.

Tomando en cuenta el Trinomio que se encuentra sobre el recuadro, entonces:

a = 3 b = 13 c = -1ØSe lleva a cabo una simple sustitución de los valores en la Fórmula General y se resuelve en base a Operaciones Aritméticas.

Nota: Es muy importante tomar el cuenta los signos de los coeficientes.

X1,2 =– (13) ± (13)2 – 4(3)(–1Ø)

2(3)

X1,2 =– 13 ± 169 + 12Ø

6

X1,2 =– 13 ± 289

6

X1,2 =– 13 ± 17

6

X1 = – 13 + 17

6

X2 = – 13 – 17

6

46

=23

=

– 306

= – 5=

X1 = 2/3 X2 = – 5