ecuaciones algebraicas no lineales

8/16/2019 ecuaciones algebraicas no lineales

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METODOSNUMERICOS

Ingeniería Civil

ING. CRISTIAN CASTRO P.

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y CivilDepartamento académico de ingeniería de minas y civil

CATEDRA 0

5


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apitulo V

Ecuaciones Algebraicas

No Lineales:

Temas Especiales

ING. CRISTIAN CASTRO P.


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Métodos Numéricos

Aplicados a la Ingeniería

úsqueda de Varias

Raíces de Ecuaciones

No Lineales


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BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES


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ECUACIONES CON VARIAS RAÍCES

• Las ecuaciones tienen una o varias raíces y es

menester localizar cada una de ellas.

• La posible existencia de raíces múltiples complica

el problema.

• En la vecindad de la raíz, tanto la función como su

derivada se acercan a cero.

• Las ecuaciones con un número par de raíces múltiples

son tangentes al eje x y no lo cruzan.

• Las ecuaciones con un número impar de raíces múltiplescruzan al eje x en un punto de inflexión.

• En caso de raíces múltiples, al no haber cambio de signo,

los métodos cerrados no son confiables.


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MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL • La búsqueda consiste en empezar en un extremo del intervalo de

interés y evaluar la función con pequeños incrementos a lo largo del

intervalo.

• Si la longitud del incremento no es lo suficientemente pequeña,

algunas raíces pueden pasar inadvertidas.

f(x)

xx0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

x x x x x x x x x

2 raíces 3 raíces 2 raíces


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MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL • El método de búsqueda incremental se utiliza para identificar todas lasraíces de una ecuación, considerando:

• La manera como se presenta físicamente el fenómeno.

• El número de raíces reales y/o complejas que se espera tenga la ecuación,

especialmente cuando se trata de polinomios.

• Es conveniente utilizar tamaños de incremento acordes con el fenómeno

analizado y el número esperado de raíces.

• Ante la sospecha de que la ecuación algebraica o trascendente tenga

más raíces de las encontradas con cierto tamaño de incremento, se

recomienda:

• Obtener las tangentes en los extremos de cada incremento para identificar

cambios de signo y, en su caso, analizar el subintervalo de incremento más

minuciosamente.• Reducir a la mitad el tamaño de los incrementos.

• Se ha de tener especial cuidado al hacer el bosquejo de una gráfica,

cuando no se dispone de dispositivos que grafiquen de manera confiable

porque el trazado a base de incrementos, puede ser sumamenteengañoso.


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MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3.00 3.50 4.00 4.50 5.00

Trazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo 2 raíces

f(x) 10senX 3cos X


9/79



Necesario revisar en 2 subintervalo de incremento más

f(x) 10senX 3cos X

x f(x) f'(x) raíces revisar

3.00 -1.899161886 0.306159043

3.50 -0.903719597 -6.397834771 1

4.00 1.588967119 -5.059661863 1

4.50 1.445824188 2.841866609 1

5.00 -1.022062767 7.698796764 1


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-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 4.20 4.40 4.60 4.80 5.00


f(x) 10senX 3cos X


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Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

f(x) 10senX 3cos X

x f(x) f'(x) raíces revisar

3.00 -1.899161886 0.306159043

3.20 -0.433261175 8.865213949

3.40 -0.185182966 -6.386078685 1

3.60 -1.18610876 1.663171794 1

3.80 0.689859445 12.30872202 1

4.00 1.588967119 -5.059661863 1

4.20 0.082913038 -4.100722292

4.40 0.823585883 8.222212542 1

4.60 1.232603226 -7.152866457 1

4.80 -1.028072018 -9.298416724 1

5.00 -1.022062767 7.698796764 1


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-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00


f(x) 10senX 3cos X


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Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

f(x) 10senX 3cos X

x f(x) f'(x) raíces revisar x f(x) f'(x) raíces revisar

3.00 -1.899161886 0.306159043 4.00 1.588967119 -5.059661863

3.10 -1.396262971 8.774060308 4.10 0.806109949 -9.083697401

3.20 -0.433261175 8.865213949 4.20 0.082913038 -4.100722292

3.30 0.110720707 1.239840209 1 4.30 0.113085296 4.568709698 1

3.40 -0.185182966 -6.386078685 1 1 4.40 0.823585883 8.222212542

3.50 -0.903719597 -6.397834771 4.50 1.445824188 2.841866609

3.60 -1.18610876 1.663171794 1 4.60 1.232603226 -7.152866457 1

3.70 -0.539302106 10.63779828 4.70 0.160731508 -12.92128286

3.80 0.689859445 12.30872202 1 4.80 -1.028072018 -9.298416724 1

3.90 1.611391725 4.952380075 4.90 -1.487337039 0.468684944 1

4.00 1.588967119 -5.059661863 1 5.00 -1.022062767 7.698796764


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-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00

Trazado con incrementos de 0.05, se ve que hay 6 raíces

f(x) 10senX 3cos X


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-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30

f(x) 10senX 3cos X

detalle


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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO1. Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como

aproximación de la raíz.

2. Obtener los valores de la función, de su primera y de su

segunda derivada en ese punto.

3. Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la

misma en el punto inicial.

4. Trazar una recta tangente a la función (x) por ese punto.

5. El punto de intersección de esta recta con el eje de las

abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación de

la raíz.

6. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersec-

ción xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz


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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOf(x)

x


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xx1


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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO

f’(x1)

x

f(x)

f ’(x) f ”(x)

f(x1)

x1

f”(x1)


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(x)

x

f(x)(x)

f'(x)

x1

(x1)


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(x)

xx1


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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO• Para deducir la fórmula de recurrencia:

2

2 2

ii 1 i

i

2

i ii 1 i 2

i i i i

i ii 1 i 2

i i i

f(x)

(x) f '(x)

f '(x)f '(x) f(x)f "(x) [f '(x)] f(x)f "(x)'(x)

[f '(x)] [f '(x)]

(x )x x

'(x )

f(x )[f '(x )]

x x f '(x ) [f '(x )] f(x )f "(x )

f(x )f '(x )x x

[f '(x )] f(x )f "(x )


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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO(x)

xx2x1

i ii 1 i 2

i i i

f(x )f '(x )x x

[f '(x )] f(x )f "(x )

(x2)

ii 1 i

i

(x )x x

'(x )


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xx

2x1


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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

f(X) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

triple raíz


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iteración Xi

f(Xi) f'(X

i) f"(X

i) X

i '(X

i) e(%) e*(%)

1 0 3 -10 24 -0.3 0.28 100.00

2 1.07142857 -0.00070283 -0.02915452 -0.79591837 0.02410714 0.341875 7.14 100.00

3 1.00091408 -1.5268E-09 -5.0102E-06 -0.01095889 0.00030474 0.33343478 0.09 7.05

4 1.00000014 0 -1.1191E-13 -1.6623E-06 0 1 0.00 0.09

5 1.00000014 0 -1.1191E-13 -1.6623E-06 0 1 0.00 0.00

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

FunciónRecurrencia x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1


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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3iteración X

if(X

i) f'(X

i) e(%) e*(%)

1 0 3 -10 100.00

2 0.3 0.9261 -4.312 70.00 100.00

3 0.51477273 0.28392375 -1.86965136 48.52 41.72

4 0.66663192 0.08644807 -0.81500014 33.34 22.78

5 0.77270315 0.02615522 -0.35695527 22.73 13.73

6 0.84597625 0.0078707 -0.15695571 15.40 8.66

7 0.89612227 0.00235824 -0.06922711 10.39 5.60

8 0.93018753 0.00070426 -0.03060369 6.98 3.66

9 0.95319963 0.00020981 -0.01355167 4.68 2.41

10 0.96868175 6.2398E-05 -0.00600787 3.13 1.60

11 0.97906779 1.8535E-05 -0.00266563 2.09 1.06

12 0.98602119 5.5013E-06 -0.00118337 1.40 0.71

13 0.99067004 1.6319E-06 -0.00052554 0.93 0.47

14 0.99377522 4.839E-07 -0.00023345 0.62 0.31

15 0.995848 1.4345E-07 -0.00010372 0.42 0.21

16 0.99723105 4.2519E-08 -4.6088E-05 0.28 0.14

17 0.99815361 1.2601E-08 -2.048E-05 0.18 0.09

18 0.99876888 3.7342E-09 -9.1014E-06 0.12 0.06

19 0.99917917 1.1065E-09 -4.0448E-06 0.08 0.04

20 0.99945274 3.2789E-10 -1.7976E-06 0.05 0.03

21 0.99963515 9.7155E-11 -7.9891E-07 0.04 0.02

22 0.99975675 2.8788E-11 -3.5507E-07 0.02 0.01

x1 = 1

x2 = 1

x3 = 1


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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

iteración Xi

f(Xi) f'(X

i) e(%) e*(%)

1 3.4 5.5296 20.736 240.00

2 3.13333333 1.29453827 11.5294815 213.33 8.51

3 3.02105263 0.17379579 8.51327832 202.11 3.72

4 3.00063796 0.00510855 8.01531833 200.06 0.68

5 3.00000061 4.8777E-06 8.00001463 200.00 0.02

6 3 4.4444E-12 8 200.00 0.00

X4 = 3FunciónRecurrencia


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f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

FunciónRecurrencia x4 = 3

iteración Xi

f(Xi) f'(X

i) f"(X

i) X

i '(X

i) e(%) e*(%)

1 3.4 5.5296 20.736 40.32 0.26666667 0.48148148 240.00

2 2.84615385 -0.96803333 4.71916249 18.7455621 -0.20512821 1.81481481 184.62 19.46

3 2.95918367 -0.30694416 7.05012367 22.5506039 -0.04353741 1.13925926 195.92 3.82

4 2.99739922 -0.02072518 7.93770296 23.9064531 -0.00261098 1.00786364 199.74 1.27

5 2.99998983 -8.1379E-05 7.99975586 23.9996338 -1.0173E-05 1.00003052 200.00 0.09

6 3 -1.2418E-09 8 24 -1.5522E-10 1 200.00 0.00


30/79

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON• El método de Newton Raphson tradicional, en la búsqueda de raíces

múltiples, converge linealmente, en vez de hacerlo cuadráticamente,como sucede en la búsqueda de una raíz simple.

• El método de Newton Raphson modificado, en la búsqueda de raíces

múltiples, converge cudráticamente, al igual que en la búsqueda de

una raíz simple.

• La lentitud en la convergencia del método de Newton Raphson

tradicional es un claro indicativo de la presencia de raíces múltiples.

• A mayor número de raíces múltiples, menor es la velocidad de

convergencia del método tradicional.


31/79

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON• El método de Newton Raphson es aplicable al casode funciones con raíces complejas, a condición de

que el punto inicial considerado como primeraaproximación sea complejo.

• Haciendo cálculos manuales, se ha de tener cuidado

de cumplir con este requisito.• Si los cálculos se hacen a través de computadora, el

lenguaje de programación ha de ser capaz de

soportar el manejo de valores complejos, previadeclaración de dimensionamiento.

En Fortran, VB, C, PASCAL, MATLAB tal manejo

está garantizado.


32/79

Métodos Numéricos

Aplicados a la Ingeniería

Raíces de Polinomios

de Ecuaciones

No Lineales


33/79

Definición de polinomioUn polinomio es una expresión de la formaa0 x

n + a1 xn– 1 + … + an

Donde a0, a1, …, an son números reales o complejos y x es una

variable.

La expresión anterior también se llama función racional de x.

Si a0 0, el polinomio es de grado n y a0 xn es el término principal.

Dos polinomios son iguales si son idénticos término a término,es decir

a0 xn + a1 x

n– 1 + … + an = b0 xn + b1 x

n– 1 + … + bn

Si a0 = b0, a1 = b1, …, an = bn, .


34/79

Ejemplo de regla de Horner Desarrolle 4 x5 – 6 x4 + 3 x3 + x2 – x – 1 en potencias de x – 1.4 –6 3 1 –1 –1

4 –2 1 2 1 0

4 2 3 5 6

4 6 9 14

4 10 19

4 14

4

4 x5 – 6 x4 + 3 x3 + x2 – x – 1

= 0 + 6( x – 1)+14( x – 1)2+ 19( x – 1)3+ 14( x – 1)4+ 4( x – 1)5


35/79

Raíces de polinomiosSea f ( x) un polinomio con coeficientes reales o complejos.

Definimos una ecuación algebraica como

f ( x) = 0

Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz .

De acuerdo con el grado del polinomio la ecuación se llama:lineal, cuadrática, cúbica, etc.

Si c es una raíz de f ( x), entonces

f ( x) = ( x – c) f 1( x)

Donde f 1( x) es un poliniomio de grado n – 1.


36/79

Raíces de polinomiosSi c1 es otra raíz de f ( x), entonces

(c1 – c) f 1(c1) = 0

De donde f 1(c1) = 0 y f 1(c1) es divisible por ( x – c1).

f 1( x) = ( x – c1) f 2( x)

Donde f 2( x) es un polinomio de grado n – 2.

Podemos concluir que f ( x) será divisible por

( x – c) ( x – c1) …( x – cm– 1)

Un polinomio de grado n no puede tener más de n raíces

distintas.


37/79

Teorema fundamental del álgebraTeorema fundamental. Toda ecuación algebraica con coeficientescomplejos arbitrarios tiene por lo menos una raíz real o

imaginaria.

Sea f ( x) un polinomio de grado n, por el TFA existe a1 tal que f(a1) = 0. Por tanto

f ( x) = ( x – a1) f 1( x)

El argumento se repite para f 1( x) de tal manera que podemos

escribir:

f ( x) = a0( x – a1) ( x – a2)…( x – an)

Los alfas no son necesariamente distintos, la factorización puede

ser:

f ( x) = a0( x – a)a

( x – b) b

…( x – l )l


38/79

Raíces complejasSi una ecuación con coeficientes reales tiene una raíz compleja

a + ib de multiplicidad a, tiene también la conjugada a – bi con

la misma multiplicidad.

Si el número de raíces imaginarias es 2s y el de reales es r,

entonces

2s + r = n

Si n es impar, entonces r es impar y por tanto al menos una raíz

es real.

Si n es par, todas las raíces pueden ser complejas.

Todo polinomio puede ser factorizado en factores lineales y

cuadráticos.


39/79

EjemploFactorice: x4 + x2 + 1 = 0

Sea y = x2,

2

31

2

411 i

y

2

35.0

4

3

4

1

2

2/14/34/1

2

2/14/34/1

2

2/32/1

ii

ii

x

( x – 0.5 – i√3/2)( x – 0.5 + i√3/2)( x + 0.5 – i√3/2) ( x + 0.5 +

i√3/2) = ( x2 – x + 1)( x2 + x + 1)


40/79

Definición

Un polinomio de grado n es una expresión de la forma:

P ( x) = an xn + an-1 x

n-1 + ... +a1 x + a0

Donde an 0

Teorema (teorema fundamental del álgebra): Si P ( x) es un

polinomio de grado n >= 1, entonces P ( x) = 0 tiene al menosuna raíz (posiblemente compleja).


41/79

CorolarioSi P ( x) es un polinomio de grado n >= 1, entonces existen

constantes únicas x1, x2, ... xk , posiblemente complejas, yenteros positivos m1, m2, ..., mk , tales que:

k

ii

nm1

k m

k

mm

n x x x x x xa x P ...)(21

21

y


42/79

Método de Newton para polinomios

Se puede aplicar el método de Newton para polinomios

evaluando el polinomio y su derivada mediante el método deHorner.

El esquema sería

n

nn

n

nnn

xQ

x P x

x P

x P x x

'1

Mét d d H


43/79

Método de Horner Sea

P ( x) = an xn + an-1 x

n-1 + ... +a1 x + a0

Si bn

= an

y

bk = ak + bk +1 x0 para k = n – 1, n – 2, ..., 1, 0

Por tanto b0 = P ( x0). Más aún, si

Q( x) = bn xn– 1

+ bn-1 xn-2

+ ... +b2 x + b1

Entonces

P ( x) = ( x – x0) Q( x) + b0


44/79

Evaluación de la derivadaDado que:

P ( x) = ( x – x0) Q( x) + b0

donde

Q( x) = bn xn– 1

+ bn-1 xn-2

+ ... +b2 x + b1

Derivando

P’ ( x) = Q( x)+( x – x0)Q’ ( x)

En x = x0,

P’ ( x0) = Q( x0)


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Método horner Entrada: grado n, a0, a1, ..., an, x0

Salida: y =P(x0), z = P’(x0)

1. y = an //calcule bn para P

2. z = an //calcule bn-1 para Q

3. Para j = n –1, n – 2, .... , 1

4. y = x0*y + aj

5. z = x0*z + y

6. y = x0*y + a07. regresar y, z


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Método de Horner en Matlabfunction [y,z]=Horner(x,x0)

%x es un vector con los coeficientes

%de P(x)%regresa en y el polinomio y en z

%la derivada evaluados en x0

[muda n] = size(x);

y = x(1); %calcule bn para P.z = x(1); %calcule bn-1 para Q

for j = 2:n-1,

y = x0*y + x(j);

z = x0*z + y;

end

y = x0*y + x(n);


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Método de Mü

ller

Se aproxima el siguiente valor utilizando una parábola en lugarde una recta como en el método de la secante.

x1

raíz

Línea

recta

Raíz

estimada

x0

f ( x) f ( x)

x x

x0 x1 x2

parábola

Raíz

estimada


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Método de Mü

ller

Utiliza tres aproximaciones: x0, x1, x2.

Determina la siguiente aproximación x3 encontrando la

intersección con el eje x de la parábola definida por los

puntos ( x0, f ( x0)), ( x1, f ( x1)), ( x2, f ( x2)).

x0 x1 x2 x3

f


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Método de Mü

ller

Se considera el polinomio

P ( x) = a( x – x2)2 + b( x – x2) + c

Se puede encontrar a, b y c resolviendo

f ( x0) = a( x0 – x2)2 + b( x0 – x2) + c

f ( x1) = a( x1 – x2)2 + b( x1 – x2) + c

f ( x2) = a( x2 – x2)

2

+ b( x2 – x2) + c


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Método de Mü

ller Se llega a

)( 2 x f c

10212020

2

2121

2

20 )()()()(

x x x x x x

x f x f x x x f x f x xb

10212021202021 )()()()(

x x x x x x

x f x f x x x f x f x xa


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Método de Mü

ller Los cálculos pueden simplificarse usando

2

11

01

01

1

121

0

010

121

010

x f c

d ahb

hh

d d a

h

x f x f d

h

x f x f d

x xh

x xh


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Método de Mü

ller

Para minimizar el error al resolver la cuadrática P ( x) = 0, se

calcula x3 con

acbb signob

c x x

4)(

2223

El proceso se reinicia tomando ahora x1, x2, y x3.

Müller en MatLab


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Müller en MatLab

function y = muller(p,x0,x1,x2,ee,ni)i = 3;

while i


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Método de Müller vs.

Método de la Secante

• Método de la Secante: usa una línea recta hasta eleje X con 2 valores de la función.

• Método de Müller: se hace con una parábola de 3 puntos. Consiste en obtener coeficientes de la parábola que pasa por los puntos, estos

se sustituyen en la fórmula y se obtiene el valor donde la parábola interseca el eje X.

Método de Müller vs


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Método de Müller vs.

Método de la Secante

Método de la Secante Método de Müller


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Procedimiento Se determina un X0, X1 y un X2.

Segundo paso :

h0 = X1 – X0

h1 = X2 – X1

Tercer paso:

δ0 = F (X1) - F (X0)h0

δ1 = F (X2) - F (X1)

h1


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Procedimiento

acb 42

Cuarto paso:

Se obtienen:

a = δ1 – δ0h1 + h0

b = a * h1 + δ0

c = F (X2)

Quinto paso:

X3 = X2 + - 2 * c

b±


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Procedimiento

acb 42

acb 42

acb 42

Sexto paso:

Si | b + | > | b - |

Se escoge: b +

Si no, se escoge : b -

Calculo del Error.

Єa = X3 – X2 * 100%

X3

acb 42


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Ventajas• Por medio de este método se encuentran tanto raícesreales como complejas.

Desventajas

• En el Método de Müller se escoge el signo quecoincida en el signo de “b”, esta elección proporciona

como resultado el denominador mas grande, lo que

dará la raíz estimada mas cercana a X2. Una vez que

se determino X3 el proceso se repite, esto trae de que

un valor es descartado.

E t t i C ú t U d


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Estrategias Comúnmente Usadas

• Si sólo se localizan raíces reales, elegimos los 2 valores originales más cercanos a la nueva raíz.

• Si tenemos raíces reales y complejas, se usa un método secuencial.

Ej. X1, X2, X3 = X0, X1, X2

Ej l 7 2


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Ejemplo 7.2

Iteraciones X3 Ea (%)

0 5 ---------------

1 3.9765 25.7391

2 4.0011 0.6139

3 4.0000 0.0262

4 4.0000 1.7631 * 10 ̂ - 5

X0 = 4.5

X1 = 5.5

X2 = 5

F(x) = x^3 – 13x -12

Problema 7.3


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Problema 7.3

Parte A.

X0 = 1

X1 = 1.5

X2 = 1.75


0 1.75 ---------------

1 2.0112 12.9863

2 1.999882423 0.5648

3 1.99999997 0.0059

4 2 1.3686 * 10 ^ - 6

F(x) = x^3 + x^2 – 4x - 4

Problema 7.3


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X0 = 0.4

X1 = 0.6

X2 = 0.8


0 0.8 ---------------

1 0.5007 59.7750

2 0.49999 0.141817

3 0.500000 0.00100

ob e a 7.3

Parte B.

F(x) = x^3 – 0.5x^2 + 4x - 2

Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)


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Parte A.


0 0.75 ---------------

1 1.0402 27.8979

2 0.9983 4.1995

3 0.9999942 0.17249

4 0.9999999 5.7776 * 10 ̂ - 4

X0 = 0.25

X1 = 0.50

X2 = 0.75

F(x) = x^3 – x^2 + 2x - 2



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Iteraciones X3 Ea

0 2.25 -----------------

1 1.1778 – 0.71168i 93.51

2 0.9186 – 0.93051i 25.94

3 0.6845 – 1.1251i 23.11

4 0.5381 – 1.2720i 15.05

5 0.5030 – 1.3176i 4.03

6 0.5000 – 1.3228i 0.43

7 0.4999 – 1.3229i 0.005

8 0.4999 – 1.322876i 1.52 * 10 ̂ - 6

X0 = 1.75

X1 = 2

X2 = 2.25

Parte B. F(x) = 2x^4 + 6x^2 + 8



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Iteraciones X3 Ea

0 2.75 -----------------

1 1.488 – 0.8219i 88.51

2 1.2052 – 1.1174i 24.92

3 0.8931 – 1.44559i 26.65

4 0.7503 – 1.9344i 24.54

5 1.0207 – 2.0602i 12.97

6 0.99658 – 1.9977i 2.9967 0.999969 – 2.0000i 0.1819

8 0.999999 – 2.0000i 0.001366

X0 = 2

X1 = 2.5

X2 = 2.75

Parte C. F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 – 2x +5


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Ejemplo P ( x) = 16 x4 – 40 x3 + 5 x2 + 20 x + 6

x0 = 0.5 x1 = -0.5 x2 = 0.0

i xi P(xi)

3 -0.555556 + ( -0.598352)i -29.400701 + ( 3.898725)i

4 -0.435450 + ( -0.102101)i 1.332225 + ( 1.193097)i

5 -0.390631 + ( -0.141852)i 0.375058 + ( 0.670168)i

6 -0.357698 + ( -0.169926)i -0.146750 + ( 0.007446)i

7 -0.356051 + ( -0.162856)i -0.001840 + ( -0.000538)i

8 -0.356062 + ( -0.162758)i 0.000002 + ( -0.000001)i


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Ejemplox0 = 2.5 x1 = 2.0 x2 = 2.3

i xi P(xi)

3 1.960592 + ( 0.000000)i -0.611310 + ( 0.000000)i4 1.970564 + ( 0.000000)i 0.007455 + ( 0.000000)i

5 1.970447 + ( 0.000000)i 0.000029 + ( 0.000000)i

x0 = 0.5 x1 = 1.0 x2 = 1.5

i xi P(xi)

3 1.287855 + ( 0.000000)i -1.376275 + ( 0.000000)i

4 1.237459 + ( 0.000000)i 0.126945 + ( 0.000000)i

5 1.241605 + ( 0.000000)i 0.002193 + ( 0.000000)i

6 1.241677 + ( 0.000000)i -0.000001 + ( 0.000000)i

Actividad


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Actividad

Encontrar las raíces reales y complejas del

siguiente polinomio por el método de Müller en

MatLab.

P ( x) = x4 – 2 x3 + 6 x2 – 8 x + 8

Polinomios con Matlab


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Polinomios con Matlab

polyval(P, x) – evalua el polinomio P en el punto x. El

polinomio se especifica como un vector donde P(1) es el

coeficiente de la potencia más alta y P(length(P)) es eltérmino independiente.

polyder(P) – obtiene la derivada delpolinomio P.

con(A, B) – multiplica el polinomio A por el polinomio B.

[Q R] = deconv(A, B) – divide los dos polinomios A y

B y almacena el cociente en Q y el residuo en R .

roots(P) – encuentra todas las raices reales y complejas

del polinomio P.

Raíces no lineales en Matlab


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Raíces no lineales en Matlab

fzero(FUN, x0) – encuentra la raíz de FUN cerca al punto

x0.

Ejemplos:FUN puede especificarse usando @:

X = fzero(@sin,3)

regresa pi.

X = fzero(@sin,3,optimset('disp','iter'))regresa pi, usa la tolerancia por omisión y despliega

información de las iteraciones.

FUN puede ser una función en línea:

X = fzero(inline('sin(3*x)'),2);

Método de Bairstow


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Método de Bairstow

El enfoque de Bairstow es el de utilizar el Método de Newton

para ajustar los coeficientes r y s en la cuadrática x2 – rx + s

hasta que sus raíces sean también raíces del polinomio que se

quiere resolver.

Con estos coeficientes se determina la cuadrática

correspondiente que se utiliza para simplificar la expresión,eliminando estas raíces del conjunto buscado.

El proceso se repite hasta que el polinomio se convierta en uno

cuadrático o lineal, momento en que todas las raíces quedandeterminadas.


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Se utiliza la división sintética para obtener la división entre el factor

cuadrático:


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bn = an

bn– 1 = an– 1 + rbn

bi = ai + rbi+1 + sbi+2 (i = n – 2,…, 0)

El método se reduce a determinar los valores de r y s que hacen que el factorcuadrático sea un divisor exacto.

Se utiliza el método de Newton-Raphson. Se calculan incrementos r y s para acercarse a la solución.

000

111

b s

s

br

r

b

b s s

br

r

b

Las derivadas parciales se calculan por un proceso de división sintética

similar al utilizado para calcular las b’s.

cn = bn


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n n

cn– 1 = bn– 1 + rcn

ci = bi + rci+1 + sci+2 (i = n – 2,…, 1)

Donde:

s

bc

r

bc

s

bc

r

bc

02

00

13

12

,

,

Se resuelven las ecuaciones para r y s y se emplean para mejorar r y s.

Ejemplo


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Ejemplo

Encontrar las raíces del siguiente polinomio en Excel

P ( x) = x5 – 3.5 x4 + 2.75 x3 + 2.125 x2 – 3.88 x +1.25

Comience en r = -1 y s = -1

Hoja de Excel de Bairstow


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oja de ce de a sto

Método de Bairstow

n-> 5 4 3 2 1 0 r s valores calculados x1 x2

a-> 1 -3.5 2.75 2.125 -3.875 1.25 -0.5 0.5 -1 -1 #¡NUM! #¡NUM!

-0.5 2.5 -4.625 3.875 -1.250000456 Dr Ds -0.6442 0.1381 0.1697 -0.8139

b-> 1 -4 5.25 -2.5 5E-07 -4.55699E-07 7E-08 1E-08 -0.5111 0.4697 0.4759 -0.9870

-0.5 2.75 -6.25 8.375 Error r Error s -0.4997 0.5002 0.5002 -0.9999c-> 1 -4.5 8.000001 -8.75 8.375 1E-05 2E-06 -0.5000 0.5000 0.5000 -1.0000

sistema b -0.5 0.5

c2,c3 -8.75 8 -4.9E-07 7E-08

c1,c2 8.38 -8.75 4.56E-07 1E-08

Haga doble clic sobre la hoja para ver las fórmulas. Los valores

en amarillo son los valores que se obtuvieron paso a paso. Losvalores en naranja son los coeficientes del polinomio de grado

n –2 que hay que resolver aplicando el mismo método. Note

que los coeficientes b0 y b1 son casi cero.


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Muchas Gracias

ecuaciones algebraicas no lineales

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