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3.6 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas

Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o ms ecuaciones que tienen idntica

solucin, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas;

tambin se les llama sistema de ecuaciones simultaneas.

La Solucin de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones independientes

como incgnitas se tengan que determinar; as un sistema de ecuaciones de primer grado

con dos incgnitas constara de dos ecuaciones independientes; as un sistema de ecuaciones

de primer grado con tres incgnitas constara de tres ecuaciones independientes; etc.

Si un sistema tiene solucin se dice que es un sistema posible o Compatible. Si la solucin

es nica diremos que el sistema es Compatible y determinado. Si tiene infinitas

soluciones diremos que el sistema es Compatible e indeterminado. Cuando el sistema no

tiene solucin, diremos que las ecuaciones y el sistema son Incompatibles.

Una expresin general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:

Las ecuaciones simultneas con dos o ms incgnitas son simultneas cuando las

soluciones son las mismas.

Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen al multiplicar o dividir una ecuacin

por un mismo nmero.

x +y = 4

2x +2y = 8

Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuacin se obtiene la primera. Las

ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones independientes

son las que no se obtienen una de la otra.

Entendemos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales

buscamos una solucin comn. Una solucin de un sistema de dos ecuaciones en dos

variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. Como la

solucin de un sistema satisface ambas ecuaciones simultneamente, decimos que tenemos

un sistema de ecuaciones simultneas. Cuando encontramos todas las soluciones de un

sistema, decimos que hemos resuelto el sistema.

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Ejemplo Determinar si (1,2) es una solucin del sistema

y=x+1

y=x+1

2=1+1

2=2

2x+y=4

2(1)+2=4

2+2=4

4=4

(1, 2) es una solucin del sistema

Determinar si (-3, 2) es una solucin del sistema.

b+3a=4

2+3(-3)=4

2-9=4

-7=4

a+b=-1

-3+2=-1

-1=-1

Ya que (-3, 2) no es una solucin de b+3a=4, no es una solucin del sistema.

Repaso de la solucin de ecuaciones lineales

Ejemplo

Resolver

1). Elimina cualquier fraccin multiplicando cada trmino en ambos lados de la

ecuacin por el M.C.M. de los denominadores.

2). Elimina los parntesis y une los trminos semejantes, simplificando si es

necesario.

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3). Suma o resta el mismo nmero en ambos lados de la ecuacin de manera que los

nmeros aislados en un solo lado.

4). Suma o resta el mismo trmino o expresin en ambos lados de la ecuacin de

modo que las variables queden asiladas en el otro lado.

5). Si el coeficiente de la variable no es 1, divide ambos lados de la ecuacin entre

este coeficiente (o, de manera equivalente multiplica por el recproco del

coeficiente de la variable)

6). Asegrate de comprobar la respuesta en la ecuacin original.

Ejemplo

Resolver

1.- Eliminamos las fracciones; el MCM es 24

4

2.- Restando 4

3.- Dividiendo entre 3 (o multiplica por el recproco 3)

4.- Comprobacin

Ejemplo

Resolver

1.- Eliminamos las fracciones; el MCM es 20

2.- Simplifica y aplica la ley distributiva.

3.- Restando 4

4.- Resta 14x

5.- Dividiendo entre -19 (o multiplica por el recproco -19)

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4.- Comprobacin

El procedimiento para resolver ecuaciones lineales que acabamos de describir, tambin es

til para resolver algunas ecuaciones literales.

Una ecuacin literal es una ecuacin que contiene varias variables. En el mundo de

los negocios, de la ciencia y la ingeniera, estas ecuaciones literales usualmente

aparecen a manera de frmulas como la del rea de un circulo de radio r (A= r2), el

inters ganado sobre un capital C a una tasa t dada durante cierto perodo p (I=ctp),

y as sucesivamente. Por desgracia, estas frmulas no siempre estn en la forma que

necesitamos para resolver el problema de una manera prctica.

Aqu es donde entran los primeros cinco pasos de nuestro procedimiento. Para solucionar

una variable en particular de una de estas frmulas, podemos usar los mtodos que

acabamos de aprender. Por ejemplo, resolvamos C en la frmula I=Ctp. Para dar

seguimiento a la variable C, primero la marcamos:

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3.7. Mtodos de solucin (sustitucin y por determinantes)

a) Procedimiento: Solucin de un sistema de ecuaciones

mediante el mtodo de sustitucin:

1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y.

2. Sustituye la expresin resultante de la otra ecuacin. (Ahora se tiene una ecuacin con

una variable).

3. Resuelve la nueva ecuacin para la variable.

4. El valor de esa variable se sustituye en una de las ecuaciones originales y se resuelve esta

ecuacin para obtener el valor de la segunda variable.

5. La solucin se comprueba sustituyendo los valores numricos de las variables en ambas

ecuaciones

Ejemplo 1 Resuelve:

Solucin: Utilicemos el procedimiento de los cinco pasos:

1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y.

Resolveremos aqu la primera ecuacin para y): y = 8 - x

2. En la ecuacin 2x 3y = -9; escribe 8 x en lugar de la y.

2x 3(8 x) = -9

3. Resuelve la nueva ecuacin para la variable:

2x 3(8 x) = -9

2x 24 +3x = -9 Simplificando

5x 24 = -9 Combinando trminos semejantes

5x = 15 Suma 24 a ambos lados

x = 3 Divide entre 5

4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales.

Aqu lo hacemos en la ecuacin x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable

3+y=8 Entonces: y = 5

Nuestra solucin es el par ordenado (3, 5).

5. Comprobamos;

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cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es

verdadero.

Luego para la segunda ecuacin, 2x 3y = -9 se convierte en

2(3) 3(5) = -9

6 15 = -9

-9 = -9

Lo que tambin es cierto. De este modo nuestra solucin (3,5) es correcta.

Ejemplo 2 Solucin de un sistema inconsistente.

Resuelve el sistema

Solucin: Utiliza el procedimiento de los cinco pasos

1. Resuelve la ecuacin para una de las variables (resolveremos aqu la primera

ecuacin para x) x = 4 -2y

2. Sustituimos x = 4 -2y en la segunda ecuacin

2(4 2y) = -4y +6

8 4y = -4y +6 Simplificamos

8 4y +4y = -4y +4y +6 Suma 4y

8 = 6

3. No hay ecuacin que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una

contradiccin. Puesto que nuestro procedimiento es incorrecto, concluimos que el

sistema dado no tiene solucin; es inconsistente.

4. No necesitamos el paso 4

5. Comprueba; nota que si se divide la segunda ecuacin entre 2, obtienes x = -2y+3 o

x +2y=3, lo que contradice a la primera ecuacin, x +2y = 4.

Ejemplo 3 Solucin de un sistema dependiente

Resuelve el sistema

Solucin: Como antes, utilizaremos el procedimiento de los cinco pasos.

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1. Resuelve la primera ecuacin para x obteniendo: x=4 2y

2. Sustituye x=4 2y en 4y +2x= 8

4y +2(4 2y) = 8

4y +8 4y = 8 Simplifica

8 = 8

3. No hay ecuacin que resolver. Observa que en este caso obtuvimos la proposicin

verdadera 8 = 8, sin importar cual valor se le asigne a x o a y.

4. No necesitamos el paso 4 debido a que las ecuaciones son dependientes; es decir

tienen un nmero infinito de soluciones.

5. Comprueba; si hacemos x=0 en la ecuacin x +2y= 4, obtenemos 2y = 4, o y = 2.

De manera semejante, si hacemos x=0 en la ecuacin 4y +2x = 8, obtenemos 4y=8,

o y = 2, de modo que (0, 2) es una solucin para ambas ecuaciones. Tambin

puede demostrarse que x=2, y y = 1 satisface ambas ecuaciones. Por lo tanto (2, 1)

es otra solucin, y as sucesivamente. Ntese que si se divide la segunda ecuacin

entre dos y se vuelve a acomodar, se obtiene x +2y= 4, la que resulta idntica para

la primera ecuacin. De este modo cualquier solucin de la primera ecuacin

tambin es la solucin de la segunda ecuacin; es decir la solucin consiste en

todos los puntos de la ecuacin x +2y= 4.

Ejemplo 4 Simplificacin y solucin de un sistema por sustitucin.

Resuelve la ecuacin

Solucin. La segunda ecuacin tiene x y constantes en ambos lados, de modo que primero

se simplifica sumando 4x y restando 6 de ambos lados para obtener

6 3x +y +4x 6 = -4x +5 +4x 6

x + y = -1

Ahora tenemos el sistema equivalente:

-2x = -y +2

x + y = -1

Al resolver la segunda ecuacin para x obtenemos x= -y 1. Al escribir y 1 en

lugar de x en -2x = -y +2

-2x = -y +2

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-2(y 1) = -y +2 Suma y, resta 2

2y +2 = -y +2 Divide entre 3

3y = 0

y = 0

Puesto que x= -y 1 y y = 0, tenemos que

x = 0 1= -1

De este modo el sistema es consistente y su solucin es (-1, 0). Esto se comprueba

escribiendo 1 en lugar de x y 0 en vez de y en las dos ecuaciones originales.

Ejemplo 5 Solucin de un sistema que incluye fracciones.

Si un sistema tiene ecuaciones con fracciones, eliminamos las fracciones multiplicando

cada lado por el MCD (mnimo comn denominador), para luego resolver el sistema

resultante, como se muestra a continuacin.

Resuelve la ecuacin:

Solucin. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuacin por 4 y ambos lados de

la segunda ecuacin por 8 (el MCD de 4 y 8) para obtener

o de manera equivalente 8x +y = -4

o de manera equivalente 2x +3y = 10

Al resolver la primera ecuacin para y, obtenemos y=-8x-4.

Ahora escribimos 8x-4 en lugar de y en 2x +3y = 10

2x +3(8x-4) = 10

2x 24x 12 = 10 Simplificamos

-22x = 22 Dividimos entre 22

x = -1

Al escribir 1 en lugar de x en 8x + y = -4, obtenemos

10

8(-1) +y = -4

y = 4. De esta manera el sistema es consistente y su solucin es (-1, 4)

b) Uso del Mtodo de Determinantes para Resolver un Sistema

de Ecuaciones.

La disposicin de cuatro nmeros reales en un cuadrado, como

Recibe el nombre de determinantes de segundo orden. (Es importante advertir que los

nmeros se ordenan entre rectas paralelas y no entre corchetes. Los corchetes tienen otro

significado). El determinante anterior tiene dos renglones y dos columnas (los renglones

son horizontales y las columnas, verticales). A cada nmero del determinante se le llama

elemento del propio determinante.

En general, podemos simbolizar un determinante de segundo orden de la manera siguiente:

donde se usa una sola letra, con doble subndice, para facilitar la generalizacin de los

determinantes de orden superior.

El primer nmero del subndice indica el rengln en que est el elemento; y el

segundo nmero, la columna. As, a21 es el elemento situado en el segundo rengln

y primera columna.

Cada determinante de segundo orden representa un nmero real, dado por la siguiente

formula:

Valor de un determinante 2 x 2

Si a, b,.c y d son nmeros, el determinante de la matriz es

El determinante de una matriz 2 x 2 es el nmero que se obtiene con el producto de los

nmeros de la diagonal principal.

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menos el producto de los nmeros de la otra diagonal

Procedimiento:

Solucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo de determinantes de

segundo orden:

Para resolver el sistema donde x y y son las incgnitas y a, b, c, d, r, s, son

nmeros reales.

1. Consideramos el arreglo que consta de los coeficientes de las variables.

2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los nmeros que se

encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de

los nmeros que estn en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El nmero

obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fcil de

recordar si usamos smbolos

Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos sealados por las

flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo

positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos.

3. Con la notacin observamos que la solucin del sistema es

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Conviene observar, para recordar la solucin, que el denominador de ambos se obtiene

tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el

numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del

sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los trminos independientes.

Ejemplo 1 Resuelve el sistema utilizando los determinantes.

Solucin: Calculamos primero el determinante del sistema.

Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del

determinante del sistema por los valores de los trminos independientes y divididos

entre el determinante del sistema

Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del

determinante del sistema por los valores de los trminos independientes y dividimos

entre el determinante del sistema.

Comprobacin: Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones

Primera ecuacin: 5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10

Segunda ecuacin: 2x +3y = 2(-8) +3(5) = -1

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Ejemplo 2 Resuelve el sistema utilizando determinantes.

Solucin: Calculamos el determinante del sistema.

Ahora calculemos el valor de w sustituyendo los valores de la primera columna del

determinante del sistema por los valores de los trminos independientes y dividiendo

entre el determinante del sistema:

para calcular el valor de z sustituimos los valores de la segunda columna del

determinante del sistema por los valores de los trminos independientes y dividiendo

entre el determinante del sistema:

Comprobacin: Sustituimos los valores w= 6 y z= en las ecuaciones

Primera ecuacin:

Segunda ecuacin:

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3.8. Problemas que conducen a un sistema de ecuaciones lineales

con dos incgnitas.

Muchos problemas que requieren la determinacin de dos o ms cantidades desconocidas

pueden ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Las cantidades

desconocidas se representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se establece un sistema de

ecuaciones que satisfagan las diversas condiciones del problema. La resolucin de este

sistema conduce a los valores de las incgnitas.

Ejemplo 1 El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de

otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada

artculo.

Solucin: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos.

Segn el problema obtenemos las dos ecuaciones:

Resolviendo este sistema de ecuaciones por cualquiera de los mtodos vistos en el

apartado anterior, la solucin es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de

texto es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00.

Estos resultados pueden comprobarse fcilmente. As, el costo de 5 libros de texto y 4

lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es

igual a 6(4) +3(3) = $33.

Ejemplo 2

Hallar dos nmeros tales que la suma de sus recprocos sea 5, y que la diferencia de

sus recprocos sea 1.

Solucin: Sea x= el nmero menor y y= el nmero mayor. La suma y la diferencia de

sus recprocos son, respectivamente,

Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como

incgnitas 1/x y 1/y. As, sumando las dos ecuaciones tenemos:

de donde y

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Restando la segunda ecuacin de la primera, obtenemos:

de donde y

Por tanto, los dos nmeros son 1/3 y 1/2.

Ejemplo 3 Si a los dos trminos de una fraccin se aade 3, el valor de la fraccin es 1/2 ,

y si a los dos trminos se resta 1, el valor de la fraccin es 1/3. Hallar la

fraccin.

Solucin: Sea x el numerador y y el denominador. Entonces x/y = la fraccin.

Aadiendo 3 a cada trmino, la fraccin se convierte en , y segn las

condiciones del problema el valor de esta fraccin es 1/2 ; luego:

Restando 1 a cada trmino, la fraccin se convierte en , y segn las condiciones

del problema el valor de esta fraccin es 1/3 ; luego:

Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:

Quitando los denominadores:

Trasponiendo y reduciendo:

Restando:

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Ejemplo 4 Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. Cuntos billetes son de $5

y cuntos de $2?

Solucin: Sea x= el nmero de billetes de $2 y y= el nmero de billetes de $5.

Segn las condiciones: x+y =33.

Con x billetes de $2 se tienen $2x y con y billetes de $5 se tienen $5 billetes

de $5 se tienen $5y, y como la cantidad es $120, tendremos: 2x + 5y = 120.

Reuniendo las ecuaciones tenemos el sistema: 33

2 5 120

x y

x y

Resolviendo se encuentra x=15, y y=18; luego, hay 15 billetes de $2 y 18 billetes de

$5.