EL MTODO DE HARDY CROSS

GENERALIDADES

El Mtodo de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, est basado en el cumplimiento de dos principios o leyes:

Ley de continuidad de masa en los nudos;

Ley de conservacin de la energa en los circuitos.

El planteamiento de esta ltima ley implica el uso de una ecuacin de prdida de carga o de "prdida" de energa, bien sea la ecuacin de Hazen & Williams o, bien, la ecuacin de Darcy & Weisbach.

La ecuacin de Hazen & Williams, de naturaleza emprica, limitada a tuberas de dimetro mayor de 2", ha sido, por muchos aos, empleada para calcular las prdidas de carga en los tramos de tuberas, en la aplicacin del Mtodo de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubera, lo cual hace ms simple el clculo de las "prdidas" de energa.

La ecuacin de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al mtodo de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de friccin, f, el cual es funcin de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el nmero de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberas.

Como quiera que el Mtodo de Hardy Cross es un mtodo iterativo que parte de la suposicin de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular, Q, en cada iteracin se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el clculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberas de la red, lo cual sera inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a ua" con una calculadora sencilla. Ms an, sabiendo que el clculo del coeficiente de friccin, f, es tambin iterativo, por aproximaciones sucesiva.

Lo anterior se constitua, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la manera lgica y racional de calcular las redes de tuberas.

Hoy, esto ser no slo posible y fcil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC que aqu se presenta, sino tambin permitir hacer modificaciones en los dimetros de las tuberas y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente.

FUNDAMENTOS DEL MTODO DE HARDY CROSS

El mtodo se fundamenta en las dos leyes siguientes:

1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"

(1)

Donde,

Qij : Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.

qi : Caudal concentrado en el nudo i

m : Nmero de tramos que confluyen al nudo i.

2. Ley de Conservacin de la energa en los circuitos: "La suma algebraica de las "prdidas" de energa en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".

(2)

donde,

hf ij : Prdida de carga por friccin en el tramo Tij.

n : Nmero de tramos del circuito i

ECUACIONES BSICAS

La ecuacin de Hazen & Williams originalmente expresa:

(3)

Donde,

V : Velocidad del flujo, m/s.

C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional.

D : Dimetro de la tubera, m.

Sf : Prdida unitaria de carga (m/m).

(4)

Por continuidad,

Luego,

(5)

De la cual resulta:

(6)

Donde,

Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

L : Longitud del tramo de tubera, m.

hf

: Prdida de carga, m.

La ecuacin anterior se puede transformar de tal manera que el dimetro se exprese en pulgadas y el caudal en l/s, obtenindose la

siguiente ecuacin.

(7)

Haciendo

(8)

Resulta:

(9)

La ecuacin de Darcy & Weisbach expresa, en trminos de velocidad del flujo, la siguiente:

(10)

donde f es el coeficiente de friccin, de Darcy

Y en trminos del caudal, expresa:

(11)

Haciendo;

(12)

Resulta:

(13)

En general, la ecuacin de prdidas de carga por friccin expresa:

(14)

Donde,

r : Coeficiente de resistencia, cuyo valor depende del tipo de ecuacin

empleada para el clculo.

n : Exponente del caudal, que depende la ecuacin de resistencia empleada.

n : 1.851, segn la ecuacin de Hazen & Williams.

n : 2.0 segn la ecuacin de Darcy & Weisbach.

El Mtodo de Hardy Cross corrige sucesivamente, iteracin tras iteracin, los caudales en los tramos, con la siguiente ecuacin general:

(15)

El coeficiente de friccin, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la ecuacin de Colebrook & White, que expresa lo siguiente:

(16)

Donde:

k : El coeficiente de rugosidad de la tubera, mm.

D : Dimetro de la tubera, mm.

R : El nmero de Reynolds del flujo, adimensional.

Ntese que la relacin k/D, en la ecuacin (16) debe ser adimensional.

A su vez, el nmero de Reynolds, R, se calcula con la siguiente ecuacin:

(17)

Donde,

v : Velocidad del flujo, m/s.

: Densidad del fluido (agua), kg/m3.

: Viscosidad dinmica del fluido, kg/m.s.

: Viscosidad cinemtica del fluido, m2/s.

D : Dimetro del conducto, m.

Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

La ecuacin (16) es una ecuacin implcita para f y, por lo tanto, se resuelve iterativamente, por ensayo y error, en la subrutina 400,

aplicando el Mtodo de Newton & Raphson. Ntese que, para acelerar el clculo de f, en esta subrutina se emplea un valor inicial de f =

X0, calculado con la siguiente frmula:

(18)

CONVENCIONES

Los caudales Qij y sus correspondientes prdidas de carga, hf

ij, y velocidades, v

ij sern positivos si fluyen en sentido de las

manecillas del reloj, o negativos en sentido contrario.

La nomenclatura de los tramos Tij slo requiere que el primer subndice represente el nmero de circuito al cual pertenece. El

subndice j es un nmero consecutivo que inicia en 1 y termina en el nmero de tramos del circuito considerado. Ejemplo, el

tramo T2.4

es el cuarto tramo del circuito No.2

En la nomenclatura de los tramos no se requiere designarlos siguiendo un estricto orden consecutivo, como tampoco un

sentido horario o antihorario.

Un tramo cualquiera de la red puede pertenecer a un nico circuito, o a dos, simultneamente. En el primer caso, el nmero

del circuito adyacente, solicitado por los programas, es cero. En el segundo caso, se entrar el nmero del otro circuito que lo

camparte con el actual.

LISTADOS DE LOS PROGRAMAS EN LENGUAJE BASIC

LISTADO No. 1 DEL PROGRAMA DE CALCULO

5 PROGRAMA PARA EL CLCULO DE REDES CERRADAS, POR EL MTODO DE HARDY CROSS

10 ESTE PROGRAMA EMPLEA LA ECUACIN DE HAZEN & WILLIAMS

15 INPUT "COEFICIENTE DE HAZEN & WILLIAMS = " ; C

20 INPUT "NMERO TOTAL DE CIRCUITOS DE LA RED = " ; NC

25 INPUT "NMERO DE TRAMOS DEL CIRCUITO CON MAYOR NMERO DE TRAMOS = " ; N

30 NIT = 0

35 DIM L (NC, N), D (NC, N), Q (NC, N), A (NC, N), hf (NC, N), NT (NC) , DELTAQ (NC)

40 FOR I = 1 TO NC

45 PRINT "NMERO DE TRAMOS QUE TIENE EL CIRUITO No. N" ; I;

50 INPUT NT (I)

55 NEXT I

60 FOR I = 1 TO NC

65 FORJ = 1 TO NT (I)

70 PRINT "L ( "; I;" , ", J; " ) " ; "m" ;

75 INPUT L (I, J)

80 PRINT "D (";I;" ; ";J;")"; "pulg" ;

85 INPUT D (I, J)

90 PRINT "ENTRE EL CAUDAL CON SIGNO (+/-)" ; "Q (";I;2;" , ";J;")" ; "1/s" ;

95 INPUT Q (I, J)

100 PRINT "No. DEL CIRCUITO ADYACENTE AL TRAMO ACTUAL";

105 INPUT A (I, J)

110 NEXT J

120 NEXT I

125 NIT = NIT + 1

130 BEEP: BEEP: BEEP 1: BEEP 1

135 FOR I = 1 TO NC

140 SUMAPER = 0 : SUMARELQ = 0

145 FOR J = TO NT (I)

150 Q = ABS (Q(I, J)) 1.851 * Q (I, J) /ABS (Q (I, J))

155 hf(I, J) = ((56.23 / C 1.851) * (L(I, J) / D (I, J) 4.87) * Q

160 SUMAPER = SUMAPER + hf (I, J)

165 SUMARELQ = SUMARELQ+ hf (I, J) / Q (I, J)

170 NEXT J

175 DELTAQ (I) = - SUMAPER / (1.851* SUMARELQ)

180 NEXT I

185 FOR I = 1 TO NC

190 FOR J = 1 TO NT (I)

195 U = A (I, J)

200 IF U = 0 THEN GO TO 210

205 Q (I, J) = Q (I, J) + DELTAQ (I) DELTAQ (U): GO TO 215

210 Q(I, J) = Q (I, J) + DELTAQ (I)

215 NEXT J

220 NEXT I

225 FOR I = 1 TO NC

230 FOR J = 1 NT (I)

235 IF ABS (DELTAQ (I) / Q(I, J)

305 IMPUT "DESEA OBSERVAR NUEVAMENTE LOS RESULTADOS (S/N) " ; R$

310 IF R$ = "S" THEN GO TO 250

315 INPUT "DESEA REALIZAR UN NUEVO CLCULO DE LA RED (S/N) " ; M$

320 IF M$ = "S" THEN GO TO 15

325 PRINT "ENCANTADO DE SERVIRLE HASTA PRONTO" : GO TO 330

330 END

LISTADO No. 2 DEL PROGRAMA DE CLCULO

5 PROGRAMA PARA EL CLCULO DE REDES CERRADAS, POR EL MTODO DE HARDY CROSS

10 ESTE PROGRAMA EMPLEA LA ECUACIN DE DARCY & WWISBACH

15 INPUT "COEFICIENTE DE RUGOSIDAD ABSOLUTA (mm) =" ;K

20 INPUT "NMERO TOTAL DE CIRCUITOS DE LA RED = " ;NC

25 INPUT "NMERO DE TRAMOS DEL CIRCUITO CON MAYOR NMERO DE TRAMOS = " ; N

30 NI = 0 : G = 9.81: NU = 1.00 E-6:C0 =4/ (PI * NU): C1 = K/3.7

35 DIM L (NC, N), D(NC, N), Q(NC, N), A(NC, N), A(NC, N), f(NC, N), R(NC, N), hf (NC, N)

40 DIM NT (NC), DELTAQ (NC)

45 FOR I = 1 TO NC

50 PRINT "NMERO DE TRAMOS QUE TIENE EL CIRCUITO No." ; I ;

55 INPUT NT (I)

60 NEXT I

65 FOR I = 1 TO NC

70 FOR J = 1 TO NT (I)

75 PRINT "L ( " ;I; " , " ;J; " ) " ; "m" ;

80 INPUT L (I, J)

85 PRINT "D (" ;I ;" , " ;J; " ) " ; " mm" ;

90 INPUT D (I, J)

95 PRINT "Q (" ;I; " , " ;J; " ) " ; " I/s " ;

100 INPUT Q (I, J)

105 PRINT "No. DEL CIRCUITO ADYACENTE AL TRAMO ACTUAL" ;

110 INPUT A (I, J)

115 NEXT J

120 NEXT I

125 NI = NI + 1

130 BEEP: BEEP: BEEP 1

135 FOR I = 1 T0 NC

140 SUMAPER = 0 : SUMARELQ = 0

145 FOR J = 1 TO NT (I)

150 GOSUB 400

155 hf (I, J) = 8* f(I, J) * L(I, J) *(Q(I, J)*0.001) 2 / (PI 2*G*(D (I; J) *0.001) 5)

160 IF Q(I, J)

260 NEXT I

265 BEEP:BEEP:BEEP1:BEEP1

270 PRIN " NMERO DE ITERACIONES = " ; NI

275 FOR I = 1 TO NC

280 PRINT "RESULTADOS DEL CIRCUITO No." ; I

285 FOR J = 1 TO NT (I)

290 PRINT "Q ( ";I;" , ";J;" ) = " ; INT (Q(I, J) * 1000+0.5 ) / 1000 ; "l/s"

295 PRINT "hf (";I;" , ";J;" ) = " ; INT (hf (I, J)* 1000+0.5) / 1000 ; "m"

300 PRINT "V (";I;" , ";J;" ) = " ; INT (4* Q(I, J) * 0.001 / (PI * (D(I, J)*0.001) 2)*1000+0.5)/1000; "m/s"

305 NEXT J

310 NEXT I

315 IMPUT "DESEA OBERVAR NUEVAMENTE LOS RESULTADOS (S/N) " ; R$

320 IF R$ "S" THEN GO TO 265

325 INPUT "DESEA REALIZAR UN NUEVO CLCULO DE REDES"; M$

330 IF M$ = "S" THEN GO TO 15

335 END

400 SUBRUTINA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE FRICCIN, f, SEGN LA ECUACIN DE COLEBROOK & WHITE

405 R (I, J) = CO * ABS Q(I, J) / D(I, J) : X0 = -2 * LOG (C1 / D(I, J) + 5.1286 / R(I, J) 0.89

410 X = X0:C2 = LOG (C1/ D (I, J) + 2.51* X / R (I, J))

420 NIT = 0

430 FN = X + 2 * C2: DF = 1+5.02 / (C2 * R(I, J))

440 X1 = X FN/DF

450 IF ABS (X1-X) > 1E-6 THEN X = X1 : NIT = NIT + 1: GOTO 430

460 f (I, J) = (1 / X) 2: beep1: RETURN

470 END

DEFINICIN DE VARIABLES

NC: Nmero total de circuitos que conforman la red.

NI: Contador de iteraciones

L(NC, N): Matriz que almacena los valores de longitudes de los tramos

D(NC, N): Matriz que almacena los valores de dimetros de los tramos.

Q(NC, N): Matriz que almacena los valores de caudales en los tramos.

A(NC, N): Matriz que almacena los nmeros de circuitos adyacentes a los tramos

Hf (NC,N): Matriz que almacena los valores de prdidas de carga en los tramos.

I: Contador de circuitos

J: Contador de tramos de un mismo circuito.

NT(I): Nmero de tramos que tiene el circuito.

A(I, J): Matriz que almacena los nmeros de circuitos adyacentes a los tramos. Un tramo puede formar parte de un solo circuito, o de dos circuitos como mximo.

SUMAPER: Variable que suma las "prdidas" de energa en un circuito

SUMARELQ: Variable que suma las relaciones hfij / Qij

DELTAQ(I): Valor de la correccin de los caudales del circuito I

U: Variable temporal que almacena un nmero de circuito que es adyacente al tramo actual, y que sirve para saber si el caudal de dicho tramo se corrige con su propio DELTAQ (I) o con los DELTAQ de los dos circuitos a los cuales pertenece.

V(I, J): Velocidad del flujo en el tramo Tij

K: Coeficiente de rugosidad de la tubera

G: Constante de aceleracin gravitacional.

UN = n: Viscosidad cinemtica del agua.

f (NC, N): Matriz que almacena los valores del coeficiente de friccin, f.

R(NC, N): Matriz que almacena los valores del nmero de Reynolds, R.

XO:Valor inicial de arranque de , para calcular ms rpidamente el valor de f.

FN: Funcin necesaria para aplicar el Mtodo de Newton Raphson.

DF: Derivada de la funcin FN.

XI:Valor ms aproximado de , segn el Mtodo de Newton- Raphson.

NIT: Contador de iteraciones en el Mtodo de Newton-Raphson para el clculo del coeficiente de friccin, f