Ecuación general del círculo Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el

lugar geométrico de los puntos que equidistan 5

unidades del punto Q(4, 3).

4

3

5

Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del lugar

geométrico. Entonces, tenemos que la distancia de

este punto a Q debe ser 5, es decir d(P, Q)=5

Que se escribe como

De donde,2534

22

yx

Esta ecuación representa un círculo

La forma canónica o estándar del círculo

de radio r y con centro en C(a, b) es:222

rbyax

534,22

yxQPd

C

r

a

b

Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anterior

x2-2xa+a2+y2-2yb+b2

=x2+y2+(-2a)x+(-2b)y+a2+b2

notamos que a2+b2=r2

Esta es la forma general de la

ecuación del círculo.

Si D=-2a, E=-2b y F=a2+b2-r2

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Problema individual: Encontrar el centro y radio

del círculo cuya ecuación es

4x2+4y2-12x+40y+77=0

4(x2-3x)+4(y2 +10y)= -77

(x2-3x)+(y2 +10y)= -77/4

(x2-3x+9/4)+(y2 +10y+25)= -77/4+9/5+25

(x-3/2)2+(y+5)2= 8

Entonces el centro es (3/2, -5) y el radio es 8=2 2

Ejercicio en equipo

Deducir una ecuación del círculo que pasa por los puntos

(1,5), (-2,3), (2,1). Resuelva de manera analítica y gráfica.

Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma

siguiente:

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del

círculo por estar en él, tenemos

1+25+D+5E+F=0

4+9-2D+3E+F=0

4+1+2D-E+F=0

Es decir,

D+5E+F=-26

-2D+3E+F=-13

2D-E+F=-5

Resolviendo el sistema tenemos,

D=-9/5, E=19/5, F=-26/5

Por lo tanto la ecuación del círculo es:

5x2+5y2-9x-19y-26=0

El ejemplo anterior demuestra el empleo de la

fórmula general para deducir la ecuación deseada.

Solución alterna

Como los puntos (1,5) y (-2,3) se ubican en el

círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda del

círculo que deseamos.

(-2,3)

(1,5)

(2,-1)

Para la cuerda que une a (1,5) con (-2,3), el punto

medio es (-1/2,4) y la pendiente m=2/3.

Entonces la ecuación de la mediatriz es

y-4=-3/2(x+1/2) de donde 6x+4y=13 (1)

Repetimos lo anterior con la cuerda de (1,5) a (2,-1)

m=6 y la ecuación de la mediatriz es, y-2=1/6(x-3/2),

es decir 2x-12y=-21 (2)

El centro se encuentra donde se cruzan (1) y (2), es

decir (9/10, 9/10)

El radio es la distancia del centro a cualquiera de los

puntos, por ejemplo (1,5). r= 962/100

La ecuación de la circunferencia que buscamos es:

(x-9/10)2+(y-19/10)2=962/100

o bien 5x2+5y2-9x-19y-26=0

Diseño de un engrane. El siguiente ejercicio se realizará

en equipo. Ver archivo (Ejercicio engrane.doc)

Ejercicio en equipo

Encontrar la ecuación de la recta tangente al

círculo (x-3)2+(y-12)2=100 en el punto P(-5,6).

Recuerda: Una recta es tangente a un círculo sitoca a éste en un solo punto. La recta tangente aun circulo tiene la propiedad de serperpendicular al radio que une al centro delcírculo con el punto de tangencia. Esta propiedades la que nos permite encontrar la ecuación de larecta tangente.

Solución:

Primero debemos encontrar la pendiente del radio

que une a P con el centro del círculo. El centro

tiene coordenadas (3,12). La pendiente buscada es

m=3/4.

De donde la pendiente de la recta tangente al

círculo en P es –4/3; por tanto su ecuación es

y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0

6

-5 3

12

Ejercicio en equipo

Encontrar la ecuación del círculo que es tangente a larecta x-2y+2=0 en el punto P(8,5) y pasa por Q(12,9)

Solución: El centro C(xo, yo) del círculo debe estar enla recta l que es perpendicular a la recta dada y quepasa por P. Como la recta dada tiene pendiente ½ , larecta l tiene pendiente m=-2; por tanto su ecuación esy-5=-2(x-8) 2x+y-21=0

Por tanto las coordenadas de C satisfacen

2xo+yo-21=0 (1)

Como la distancia de C(xo, yo) a P(8,5) debe ser igual ala distancia de C(xo, yo) a Q(12,9), se tiene que

Elevando al cuadrado y simplificando tenemosxo+yo-17=0 (2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por(1) y (2) encontramos las coordenadas del centroC(4,13) y el radio r= 80

Así la ecuación de la circunferencia es(x-4)2+(y-13)2=80, o bien x2+y2-8x-26y+105=0

2

0

2

0

2

0

2

091258 yxyx

5

84

13

Vamos ahora a discutir otra propiedad de la rectatangente que nos servirá también para definir las rectastangentes a las otras cónicas.

Q

P

C

l

Sea P un punto de un círculo

Observamos en la figura que todos los puntos de l

distintos de P están en una sola de las dos regiones

determinadas por el círculo, esto es, en la región de

afuera, ya que si Q es otro punto de l, d(C,Q)>d(C,P)

y l la recta tangente al

círculo que pasa por P.

puesto que en el triángulorectángulo CPQ, elsegmento CP es un catetoy el segmento CQ es lahipotenusa.

Además, una recta l es tangente a una

cónica en un punto P de ella, si corta a la

cónica únicamente en P y todos los demás

puntos de l están en una sola de las regiones

determinadas por la cónica.

Una recta es normal a una cónica en un

punto P si es perpendicular a la recta

tangente a la cónica que pasa por ese punto.