ECUACION DEL COHETE

Un cohete expulsa una fracción m de su combustible a intervalos de tiempos fijos (por ejemplo, cada segundo), con una velocidad u respecto del cohete. Este es un problema similar al de un patinador de masa M en una pista de hielo que arroja repetidamente bolas de masa m con velocidad constante u respecto del patinador.

Supondremos que el cohete está en el espacio exterior y por tanto, no actúa ninguna fuerza exterior sobre el mismo. Para calcular la velocidad del cohete a medida que va expulsando el combustible aplicamos el principio de conservación del momento lineal.

El cohete tiene una masa M que incluye la carga útil, el combustible y la masa del depósito que lo contiene. Supondremos que el cohete expulsa n fracciones de

combustible de masa m a intervalos fijos de tiempo, es decir, en los instantes 0, t, 2·t...(n-1) ·t, alcanzando la velocidad en v1, v2, ....vn, tal como se muestra en la figura.

Velocidad del cohete

1. En el intervalo (0-t)

En el instante inicial t=0, expulsa una fracción m de combustible con una velocidad u respecto del cohete. El cohete pierde una masa m y adquiere una velocidad v1. Si el cohete estaba inicialmente en reposo, su momento lineal es cero. Por tanto, la suma del momento lineal del cohete más el momento lineal del combustible expulsado debe dar cero.

(M-m)v1+m(-u)=0

El cohete se moverá con velocidad constante v1 en el intervalo de tiempo 0-t. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante –u.

2. En el intervalo t-2t)

En el instante t, el cohete expulsa otra fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v1-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v2.

El momento lineal inicial del cohete (M-m)v1 es igual al momento final del cohete más el de la fracción m del combustible expulsado.

(M-2m)v2+m(v1-u)= (M-m)v1

El cohete se moverá con velocidad constante v2 en el intervalo de tiempo t -2t. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante v1-u.

3. En el intervalo t-3t)

En el instante 2t, el cohete expulsa otra fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v2-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v3. Aplicando el principio de conservación del momento lineal, despejamos v3.

(M-3m)v3+m(v2-u)= (M-2m)v2

El cohete se moverá con velocidad constante v3 en el intervalo de tiempo 2t -3t. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante v2-u.

4. En el intervalo nt-nt)

En el instante (n-1)t, el cohete expulsa la última fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o vn-1-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad vn.

El cohete se moverá con velocidad constante vn en a partir del instante t=(n-1) t. La última fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante vn-1-u.

Momento lineal

En el intervalo de tiempo comprendido entre (i-1)·t -i·t el momento lineal del cohete es

Pc=(M-i·m)vi

El momento lineal del combustible expulsado, como podemos comprobar en la primera figura es

Pg=m(-u)+m(v1-u)+m(v2-u)+…m(vi-1-u)

La conservación del momento lineal del sistema aislado formado por el cohete y el combustible que expulsa, exige que ambos momentos sean iguales y de sentido contrario. Pc+Pg=0.

Energía

La energía final del sistema, es la suma de la energía cinética del cohete Ec con velocidad final vn, y la energía cinética Eg de las fracciones de masa m de combustible expulsados con velocidad (-u), (v1-u), (v2-u)… (vn-1-u), respectivamente.

Desplazamiento

El desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-t) es x1=v1·t El desplazamiento en el intervalo de tiempo (t-2t), vale x2=v2·t El desplazamiento en el intervalo de tiempo (2t-3t), vale x3=v3·t

El desplazamiento total en el intervalo de tiempo (0- n·t) será

Del modelo discreto al continuo

El paso del modelo discreto al modelo continuo, que veremos en la siguiente página, implica incrementar el número n de fracciones de combustible de modo que la masa m de cada fracción sea cada vez más reducida. En el límite, cuando n tienda a infinito, la masa de cada fracción será una cantidad infinitesimal dm. Vamos a comparar las predicciones del modelo discreto frente a las del modelo continuo.

La masa inicial M es la suma de la carga útil, más el combustible y más la masa del recipiente que será proporcional a la masa del combustible que contiene

masa inicial M =carga útil+(1+r) ·combustible.

donde r es del orden del 5% ó 0.05.

Tomaremos el intervalo de tiempot =1 s. De modo que, la primera fracción de combustible se expulsa en el instante t=0, la segunda en el instante t=1 s., la tercera en el instante t=2 s, y así sucesivamente. El combustible se agota en el instante t=(n-1) s.

Ejemplo 1:

Combustible en el cohete, 9000 kg Carga útil que transporta, 800 kg. Número de fracciones, 3.

La masa inicial del cohete es (carga útil+combustible+masa del depósito)

M=800+1.05·9000=10250 kg.

La masa de cada fracción de combustible es m=9000/3=3000 kg, y se expulsan en los instantes t=0, t=1, y t=2 s.

La velocidad con la que se expulsa cada una de las fracciones es u=2000 m/s constante respecto del cohete, y está fijada en el programa interactivo.

Modelo discreto

Las velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son

Intervalo (s) Masa del cohete (kg) Velocidad cohete (m/s)

Velocidad del combustible (m/s)

0-1 10250-3000 827.6 -2000

1-2 10250-2·3000 2239.3 827.6-2000

2-3 10250-3·3000 7039.3 2239.3-2000

1. Desplazamiento del cohete en el intervalo de (0- 3) s es el área bajo la curva escalonada.

x=827.6·1+2239.3·1+7039.3·1=10106.3 m.

2. Momento lineal final del cohete:

Pc=(10250-3·3000)·7039.3=8799188.6 kg·m/s

Momento lineal final de los gases expulsados:

Pg=3000·(-2000)+3000·(827.6-2000)+3000·(2239.3-2000)=-8799188.6 kg·m/s.

3. Energía del cohete:

Ec=(10250-3·3000)·7039.32/2=3.097·1010 J

Energía de los gases expulsados:

Eg=3000·(-2000)2/2+3000·(827.6-2000)2/2+3000·(2239.3-2000)2/2=8.148·109 J

La energía total necesaria para que el cohete alcance la velocidad final de 7039.3 m/s es la suma de las dos contribuciones.

E= Ec+ Eg=3.912·1010 J

Modelo continuo.

En la formulación continua, se queman 3000 kg de combustible cada segundo, D=3000 kg/s, resultando

Velocidad final de v=4208 m/s Desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-3)s es, x=4246 m.

Como vemos hay una gran diferencia entre las predicciones de ambos modelos

Ejemplo 2:

Combustible en el cohete 9000 kg Carga útil que transporta 800 kg. Número de fracciones 9.

La masa inicial del cohete es (carga útil+combustible+masa del depósito)

M=800+1.05·9000=10250 kg.

La masa de cada fracción de combustible es m=9000/9=1000 kg, y se expulsan en los instantes t=0, t=1, ... t=8 s.

La velocidad de expulsión de cada una de las fracciones es de u=2000 m/s respecto del cohete, y está fijada en el programa interactivo.

Modelo discreto

Las velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son

Intervalo (s)

Masa del cohete (kg)

Velocidad cohete (m/s)

Velocidad del combustible (m/s)

0-1 9250 216.2 -2000

1-2 8250 458.6 216.2-2000

2-3 7250 734.5 458.6-2000

3-4 6250 1054.5 734.5-2000

4-5 5250 1435.5 1054.5-2000

5-6 4250 1906.0 1435.5-2000

6-7 3250 2521.4 1906.0-2000

7-8 2250 3410.3 2521.4-2000

8-9 1250 5010.3 3410.3-2000

1. El desplazamiento total del cohete en el intervalo (0-9) s es x=16747.4 m

2. El momento lineal final del cohete es Pc=6262895.8 kg·m/s

El momento lineal final del combustible expulsado es Pg=-6262895.8 kg·m/s

3. La energía cinética del cohete es Ec=1.57·1010 J

La energía cinética del combustible expulsado es Eg=7.32 109 J.

La energía total es E= Ec+ Eg=2.30·1010 J.

Modelo continuo

En la formulación continua, se queman 1000 kg de combustible cada segundo, D=1000 kg/s, resultando

Velocidad final de v=4208 m/s. Desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-9) s es, x=12740 m.

Los resultados del modelo discreto se van acercando a los del modelo continuo.

Fijarse que en el modelo continuo, la velocidad final del cohete es independiente de D, la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo.

Actividades

Se introduce

El combustible c, en el control de edición titulado Combustible en el cohete La carga útil que transporta, en el control de edición titulado Carga útil que

transporta

El número n de fracciones de combustible de masa m=c/n, que se expulsan a intervalos regulares de tiempo, en el control de edición titulado Número de fracciones

La velocidad de expulsión de cada una de las fracciones se ha fijado en u=2000 m/s respecto del cohete,

Se pulsa el botón titulado Empieza

En la parte inferior del applet, vemos el movimiento del cohete, en color azul, y el movimiento de las fracciones de combustible expulsados (en color rojo).

En la parte superior izquierda, tenemos un conjunto de tres barras:

La primera, señala el tanto por ciento de combustible (en color blanco) gastado y el remanente (en color rojo).

La segunda representa, el momento lineal del cohete (azul) y el momento lineal de los gases expulsados (en rojo), ambos momentos son iguales y de sentido contrario, de modo que el momento lineal total es cero.

La tercera barra, representa la energía: la longitud total de la barra es la energía total disponible, la parte azul corresponde a la energía cinética del cohete, y la parte roja, la energía cinética de las fracciones de combustible expulsadas.

Finalmente, tenemos la representación de la velocidad del cohete en función del tiempo. En color rojo la curva continua describe el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelo continuo. En color azul, tenemos una curva escalonada que representa el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelo discreto descrito en esta página.

Probar con diversos valores del número de fracciones, por ejemplo n=3 y compararla con n=9. Veremos cómo a medida que se incrementa n las predicciones del modelo discreto se acercan a las del modelo continuo.

Introducción

La expresión de Tsiolkovski expresa que para cualquier maniobra o viaje que incluya maniobras:

o equivalentemente

Donde:

es la masa total inicial.la masa total final

la velocidad de los gases de salida con respecto al cohete (impulso específico).

Por otro lado el término:

, es la fracción de masa (la parte de la masa total inicial que se utiliza para propulsar el cohete).

(delta-v) es el resultado de integrar en el tiempo la aceleración producida por el uso del motor del cohete (no la aceleración debida a otras fuentes como rozamiento o gravedad). En el caso típico de aceleración en el sentido de la velocidad, es el incremento de la velocidad. En el caso de aceleración en el sentido contrario (desaceleración) es el decremento de la velocidad. La gravedad y el rozamiento cambian también la velocidad pero no forman parte de delta-v. Por ello, delta-v no es simplemente el cambio en la velocidad. Sin embargo, el empuje se aplica en corto tiempo, y durante ese periodo las otras fuentes de aceleración pueden ser negligibles, así que la delta-v de un momento determinado puede aproximarse al cambio de velocidad. La delta-v total puede ser simplemente añadida, aunque entre momentos de propulsión la magnitud y cantidad de velocidad cambia debido a la gravedad, como por ejemplo en una órbita elíptica.

La ecuación se obtiene integrando la ecuación de conservación del momento lineal.

para un cohete simple que emite masa a velocidad constante (la masa que se emite es ).

Aunque es una simplificación extrema, la ecuación del cohete muestra lo esencial de la física del vuelo del cohete en una única y corta ecuación. La magnitud delta-v es una de las cantidades más importantes en mecánica orbital que cuantifica lo difícil que es cambiar de una trayectoria a otra.

Claramente, para conseguir un delta-v elevada, debe ser elevada (crece exponencialmente con delta-v), o debe ser pequeña, o debe ser elevada, o una combinación de éstos.

En la práctica, esto se consigue con cohetes muy grandes (aumentando ), con varias fases (decrementando ), y cohetes con combustibles con velocidades de escape muy elevadas. Los cohetes Saturno V utilizados en el Proyecto Apollo y los motores de iones usados en sondas no tripuladas de larga distancia son un buen ejemplo de esto.

La ecuación del cohete muestra un "decaimiento exponencial" de masa, pero no como función del tiempo, si no conforme a mientras se produce la delta-v. La delta-v que corresponde a la "vida media" es

[editar] Fases

En el caso de cohetes de varias fases, la ecuación se aplica a cada fase, y en cada fase la masa inicial del cohete es la masa total del cohete después de dejar la fase anterior y la masa final es la del cohete justo antes de dejar la fase que se está calculando. El impulso específico para cada fase puede ser diferente.

Por ejemplo, si el 80% de la masa es el combustible de la primera fase y el 10% es masa en vacío de la primera fase y el 10% es el resto del cohete, entonces

Con tres fases similares más pequeñas, se tiene

y la carga de pago es un 0,1% de la masa inicial.

Un cohete de una fase a órbita, también con un 0,1% de carga de pago puede tener una masa del 11% para depósitos y motores y el 88,9% de combustible. Esto da

Si el motor de una nueva fase se enciende antes de que la fase anterior haya caído y los motores que trabajan simultáneamente tienen un impulso específico diferente (como es muchas veces el caso en cohetes de combustible sólido y fases líquidas), la situación es más complicada.

[editar] Energía

En el caso ideal es la carga útil y es la masa que reacciona (que corresponde a depósitos vacíos sin masa, etc.). La energía necesaria es

Ésta es la energía cinética de la masa de reacción y no la energía cinética requerida por la carga, pero si =10 km/s y la velocidad del cohete es 3 km/s, entonces la velocidad de la masa de reacción solo cambia desde 3 a 7 km/s; La energía "ahorrada" corresponde al incremento de la energía cinética específica (energía cinética por kg) para el cohete. En general:

Se tiene

donde es la energía específica del cohete y es una variable separada, no sólo el cambio en . En el caso de usar el cohete parar decelerar, es decir, expeler masa de reacción en la dirección de la velocidad, es negativa.

La fórmula es para el caso ideal sin pérdidas de energía por calor, etc. Esta última causa una reducción del empuje, así que es una desventaja aun cuando el objetivo es perder energía (decelererar).

Si la energía se produce por la masa misma, como en un cohete químico, el valor del

combustible tiene que ser: , donde para el valor del combustible se tiene que tomar

también la masa del oxidante. Un valor típico es , correspondiente a 10,1 MJ/kg. La valor real es más alto pero parte de la energía se pierde en forma de calor que sale como radiación.

La energía necesaria es

Conclusiones:

Para se tiene Para una dada, la energía mínima se necesita si ,

requiriendo una energía de

.Empezando desde velocidad cero es el 54,4 % más que la energía cinética de la carga de pago. Empezando desde una velocidad que no es cero, la energía requerida puede ser "menos" que el incremento de energía cinética de la carga. Éste puede ser el caso cuando la masa de reacción tiene una velocidad menor después de ser expelida que antes. Por ejemplo, desde una OBT de 300 km de altitud a una órbita de escape es un incremento de 29,8 MJ/kg, lo cual, usando un impulso específico de 4,5 km/s, tiene un coste neto de 20,6 MJ/kg ( = 3,20 km/s; las energías son por kg de carga de pago).

Esta optimización no tiene en cuenta las masa de los diferentes tipos de cohetes.

Además, para un objetivo determinado, como por ejemplo cambiar de una órbita a otra, la requerida dependa mucho de la velocidad a la que el motos produce y determinadas maniobras pueden ser imposibles si ésta es muy baja. Por ejemplo, un lanzamiento a OBT requiere normalmente una de alrededor de 9,5 km/s (mayormente para conseguir la velocidad), pero si el motor pudiese producir a una velocidad sólo algo más elevada que g, sería un lanzamiento lento y requeriría una mucho más elevada (costaría una de 9,8 m/s cada segundo). Si la aceleración posible es o menor, no es posible ir a órbita con ese motor.

La potencia se obtiene de

donde es el empuje y es la aceleración debida a ella. Por ello, el empuje teórico posible por unidad de potencia es 2 dividido por el impulso específico en m/s. La eficiencia de empuje es el empuje real entre empuje teórico.

Si se usa energía solar se restringe ; en el caso de elevadas, la aceleración posible es inversamente proporcional a la velocidad de escape, así que el tiempo necesario para conseguir una delta-v es proporcional a ; con el 100% de eficiencia:

para tenemos que

Ejemplos:

potencia 1000 W, masa 100 kg, = 5 km/s, = 16 km/s, lleva 1,5 meses. potencia 1000 W, masa 100 kg, = 5 km/s, = 50 km/s, lleva 5 meses.

Por ello, la no puede ser demasiado alta.

[editar] Ejemplos

Se asume un impulso específico de 4,5 km/s y una de 9,7 km/s (Tierra a OBT).

Un cohete de una fase a órbita: = 0,884, por ello el 88,4 % de la masa total inicial será propelente. El restante 11,6 % es para los motores, el tanque y la carga.

Dos fases a órbita : se supone que la primera fase da una de 5,0 km/s;

= 0,671, por ello, el 67,1%. El restante es el 32,9 %. Después de dejar la primera fase, la masa será este 32,9% menos el tanque y el motor de la priemra fase. Si se asume que esto es el 8% de la masa total inicial, queda el

24,9%. La segunda fase da una de 4,7 km/s; = 0,648, por ello, el 64,8% de la masa restante debe ser propelente, que es el 16,2 %, y el 8,7 % el tanque, el motor y la carga de la segunda fase, Así que hay disponible el 16,7 % para motores, tanques y carga de pago