QA 371996 ISABEL CARMONA JOVER ECUACIONES DIFERENCIALES 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111 0233007133 PRLOGOn de misnode ellosanManuelxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy al Lic.biografas.obra quejo.edcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAE s t r u c t u r a l g i c a d e l o s c a p t u l o s1Ecuaciones diferencialesen general...2 3Ecuaciones diferencialesHAplicaciones de lasde primer orden ecuaciones diferencialesde primer ordenBA... r4 5Ecuaciones lineales Aplicaciones de lasde segundo orden ecuaciones diferencialeslineales desegundo orden... r6 7Solucin mediante Transformadas deseries de potencias Laplace'r8 9Series de Fourier Mtodos numricos[ 1 1 ]http://carlos2524.jimdo.com/GottfriedWilhelm,BarnvonLeibniz(1646-1716) [13] http://carlos2524.jimdo.com/Gottfried-Wilhelm,BarnvonLeibniz "Estesabiogemetraempezdondelosde-mshabanacabado.Suclculololleva paseshastaentoncesdesconocidosdonde hizodescubrimientosquesonunasorpresa paralosmatemticosmshbilesdeEu-ropa". G.deL'Hpital Gottfried-WhilhelmLeibniznaciel21dejuniode1646enLeipzig,enla actualAIemaniadelEste,dondesupadrefueprofesorenlauniversidad.En 1663obtuvosubachilleratoyluegosumaestraenfilosofayjurisprudencia en1664.Alos20aosfuedoctorenleyes,despusdesuperaralgunasdifi-cultadesadministrativasdebidasasuedad. Empezentoncesatrabajarcomodiplomtico,loquelepermititrabajar enEuropaeindirectamentelollevalacreacindelclculo.Enefecto, duranteunaestanciaenParsconocialgrancientficoholandsHuygens quienloiniciseriamenteenelconocimientodelasmatemticas . . En1676,despusdevariosaosdeestudioautodidctico,inventunnuevo mtodomatemticoquepublicen1684bajoelttulo:Unmtodonuevopara mximos,mnimosytangentes.EstapublicacindesatlamsfamosaversiaencuantoalaprioridaddelaGrea-Gindeunaobraoientfca,puesto queNewton,sibiennolohabamanifestadopblicamente,erayaposeedordel clculo.Hoyenda,seconsideraqueNewtonseadelantaLeibniz,pero questeltimoinventindependientementeelclculoyusunsimbolismo msapropiado,dehechovigentehastalafecha. Alaclsicacomparacinentreellos,afavordelamentemsrigurosay profundadeNewton,cabeagregarlauniversalidaddelgeniodeLeibnizquien fue,adems,unodelosmayoresfilsofosdesusiglo,ascomounpioneroen elestudiosistemticodelasApesardequenologrsatisfacersudeseodecrearunalgicasimblica seadelantasupocamsdeunsigloyconsumuerte,acaecidaen1716, desapareciprobablementeelltimodelossabiosconconocimientosuniver-sales. [14] http://carlos2524.jimdo.com/, Indice Pgina Prlogooooooooooooooooooooo oooo o o o oooo o o o o ooo o o o ooo o o o o o ooooooo o o o 9 Estructuralgicadeloscaptulosooooo o o o o o o ooooo o o o o o ooo o o o oo o o oo o o 11 Leibnizooooooooooooo ooooooooooooooo o o o o ooooo o o o o o ooo o o o ooo ooo o o ooo13 Simbologaooooooooooo o oooooooooo o o o ooooo o o o o oo o o o o o o o o o o ooo o o ooo o o20 Qusonlasecuacionesdiferenciales? Cmoresolverunaecuacindiferencial?ooo o o o o o ooooo o o o o oooo o o o o Definicionesbsicaso o oo o oooo o o o o ooo o o o o o o o o o Clasificacindp.lasecuacionesdiferencialesoo o o o o oo o o o' Solucindeunaecuacindiferencial... ..... o o SoluCingeneral,solucinparticular.... . ..... o o o o o Solucinsingularo oo o o oo o o o o .. ... .. .. .. o ... . .... Interpretacingeomtrica. . .. . .. . o oo o o o o oo o o oo oo o Campodireccional. . o o o o o o oooo o Isoclinas."oooo o o o o o o o o oOrtogonalidad.... . o oo o o o o o o o o o Trayectoriasortogonales'"oo oo o o o o o o oo o o Existenciayunicidaddelassolucioneso oo o o oo o o oo o o Resumenooo o o o"o o o o'o o o o o .o. Autoevaluacin1.. o o o oooo o o o o o o oooo Riemann Comentarios 2Ecuacionesdiferencialesordinariasdeprimerorden Variablesseparablesoooo oo o o o o o o o o Homogneas. . , ooo oooo o oo o o o o o Exactas.. 'ooo oo o o o o o o o o o o o o o o oo oFactoresintegrantes.. o ooo o o o o o o o o o o oLinealesoo o oooo o o oooo o ooo ooo o o o o o o o o ooo o o Resumeno.ooooo.ooooo o o 'oo o o .o " o o oo'o o'o .o Autoevaluacin2"oo o oo ooooo oo o o o o oo o ooo o o o ooo Cauchy. oo.oo . oo.o'oo 'o oooo oo o o ' .o o o o .' o.o .oooo"oooo'o o " oo.o Comentarios 3Aplicacionesdelasecuacionesdiferencialesdeprimerorden 21 23 23 25 25 29 35 36 37 43 45 49 53 54 59 61 67 75 82 94 103 116 118 124 lZ Geometra. .. ... ooo o o o o o o o ,129 EcuacindeBernoullio oo o o o o o o o o o o o o o 150 [15] http://carlos2524.jimdo.com/16NDICE Pgina EcuacindeLagrange. . .. . .. .. .. .. .. ........ . . . ......... . . . ... . . . .152 EcuacindeClairaut. . . . .. ... . ................. . .. .. ... . ... . . . . . . .156 Qumica... . .. . ... .. ..... . . ....... . . . ..... . ... . ... . . .. . .. . .... . ....159 Biologa. . . .. . ... . ... . . .. . . . . . ..... . . . . . .... .. ... .. .... .. .. .. .. . ...166 Fsica. . ......... .. ....... . .. . .. . . .. . ... . .. . . .......... . ...... . ....171 Otrasaplicaciones. . . .... . .. . . . ....... . . . .. . . ... . . .. . .... . ... . . . . ...182 FamiliaBernoulli.. . .. . . . ......... .. .... . ...... . .. . .. ... . . . ..... . . . .185 Comentarios. . ..... . .. . . ... . .. . . . . ... . ........ . ... . . . ...... . .... . ..187 4Ecuacionesdiferencialesdeordensuperior Ecuacionesreduciblesaprimerorden.. ... . .. . .... . ........... .. ... . Ecuacioneslineales.. . .............' .. . ... .. . . . , .... . ... ... ... .. . . .. . Principiodesuperposicinolinealidad. .. , . . . . . .. . . .. ... . ...... . . .. . Dependenciaeindependencialineal. .... . .. . .. . . .... , . ........ . ... . . Wronskiano.. . .............. , .... . ........................... . . . .. . Ecuacioneslinealeshomogneas. ..... ... .. .... , .... ... ... . .. . .. .... . Ecuacionesconcoeficientesconstantes... ..... ... ... . . . . . . . . ...... . EcuacindeCauchy-Euler. .. ... , ..... . .. . .... . . .. . .. . . .. .. . . . .. . Ecuacionesdeordenarbitrarioconcoeficientesconstantes' . .. ..... . Ecuacioneslinealesnohomogneasdesegundoorden. ..... ..... ..... . Mtododecoeficientesindeterminados... ....... ... . . . . . .. . .. . . . . . Mtododevariacindeparmetros... . .. .. .. .. ... . .. . .. .. .. . . . . . . Resumen... . ... . ... . .. . .. .. . , . . . .. ... . .... . .. , ............ . . . . ... , Autoevaluacin4....... .. ..... . .. ... . .. . . .. ... ......... .... ....... . Euler Comentarios 5Aplicacionesdelasecuacionesdiferencialesdesegundoorder Geomtrica:.. . . . . .. . . . .... .. . .. . . . . ..... , . ..... . . .. .. . ...... , .. ... . Osciladores.. . ............. . . ', . . .......... . .. , .. . ...... . , ... . . . .. . Cadalibreyleyesdelmovimiento. .. , .. . ... . ... ' . .. . . . .. .. .. .. . .. . . Circuitoselctricos..... . ...... . : . .. . ........... , . . .... ... . . .. .. .... . Flexindevigas.............. . . . . . .. . .. .... . ....... . ... ... . , ..... . Otrasaplicaciones, . . . ....... . ...... , .... . . .. . . .. ...... .. .. . ... . . . . . Gauss. . . ..... . ...... . ..... .. . ... , ... .. . . . ... . ... . .. . ... . .... . . . . . , Comentarios 6Resolucindeecuacionesdiferencialesmedianteseries Pruebasdeconvergenciadeseries. ... .. . ..... . .... . ... .... . . . . .... . Seriesdepotendas... . .... .. . . . .......... . . . .., . .. . . ... .. .. . 196 202 205 206 208 218 219 222 234 241 242 255 267 270 277 279 283 287 293 298 302 31? 316 318 322 32b http://carlos2524.jimdo.com/NDICE17 Pgina Desarrollodeunafuncinenseries.. . . . . ................. . .........339 Funcinanalticaenunpunto. . ............. . .......... . .. . . . ... . ...346 Operacionesconseriesdepotencias.. . . . .. . ... . . . . . .. . . .. .. ....... .. .347 Puntosnotables.. . ....... . ... . ... . .... .. ... . . .... ......... ...... . . ..352 Puntoordinario..... ... . .. . . ...... ..... . ............ . . ....... .. .352 Puntosingular................. . . . .... . ... . .......... . ... . . ... . .353 Puntosingularregular............ ...... ....... . ....... . .........354 Solucindeecuacionesdiferencialesalrededordepuntosordinarios,me-dianteseriesdepotencias. ........ .. . .. . . . ........ ....... ... . . . . ..3.::;8 Solucindeecuacionesdiferencialesalrededordepuntossingulares.. . .372 EcuacindeBessel.. ........... . .. . ... ....... .... . . .... . ...... . .. . .401 EcuacionesreduciblesalaecuacindeBessel.. . ..... . .... . .. .. ..401 FuncinGamma. .. ... .. . . ... . ..... . . .. ........... . .. . ... . .... . .402 Resumen... ... ... . . ...... .. ..... . . . .. . ..... .. . . ... .. ... . .... . .. .. .412 Autoevaluacin6. .. ... . ..... . ........... . ... . . . . .... . ... . .. . . .. . . ..417 Bessel... ..... .. . .. .. .. . . . . ... ......... . .. .. . ....... . .. . ...........423 Comentarios425 7TransformadasdeLaplace Definicin. . . ... .. .... . .... .. . . ............ . . . . . . . . .. .. . . .... . .. . ..430 TransformadainversadeLaplace. .. .. .. ... . . .. . ....... . ... . .... .... .436 Traslacinsobreelejes... . .. .. .. ... . .. ..... .. . . ..... . .. . . .. ...... .437 Existenciadelatransformada. . . .... ..... . ..... .. .. .. . .. . .. . . .. .. ...442 PropiedadesdelatransformadadeLaplace... .. . .. ... . ... ...... ... ..451 Resolucindeecuacionesmediantetransformadas...... ... .. . .........463 Factoreslinealesnorepetidos... .. ... . . .. . . .. . . . .. . .. . .. . ....... .463 Factorescon:plejosnorepetidos. ...... . ........ . . . ... .. ... . ... ..467 Factoreslinealesrepetidos.. . ... . .. .. .... . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . ....470 Factorescomplejosrepetidos.. .... . . .... .... ... . . . ..... . .. . .... ..474 Derivacindelastransformadas... . ..... .. . ... . . . .. . . . .. . ...... . .. . .477 Integracindelastransformadas.. . .. ... .. . ... .. .... . .... . . ...... ...479 Funcinescalnunitario. .. ... . .. .. . ...... . .. . . . ... . ..... . . . .. . .....491 Traslacinsobreelejet.. . . . .. ... .. ... ... .. ...... . ... ... . . ...... . ..496 Funcionesperidicas.. . .. ... . .. . ..... . . .. . . . . ......... . . . . .. .... . ..514 Convolucin. ............. . . . .. . .. . . . . .. . . ... . . . ..... .. . ... .. . . .. ..518 AplicacionesdelatransformadadeLaplace... . .. . . .... . . .... .. . . .. ..527 Resumen. . .. . ...... . . .. ... ... . ..... . ..... . . . .. .. . .. . . .. . . ....... . .531 Autoevaluacin7... .. ..... . . . .. . ..... . . . . . . . . . ... . . .. . .. .... . .. . .. .536 Laplace.. . .. ....... . .. . . . ..... . . ..... . .. . . . .............. . . . . . . ...541 Comentarios. .. . . .. . . .... ... .. . . ....... ... . .... . . ..... .. . .. .. . . ... ..543 http://carlos2524.jimdo.com/18NDICE Pgina 8SeriesdeF ourier Seriestrigonomtricasyfuncionesperidicas... . .................. . ..548 FrmulasdeEuler...... . ........... . ... .. ... ,... . . . .. . .. . ...... . ..560 Convergencia. .. . .......... . . .. .............,.. .....................572 Funcionespareseimpares. . ...... : .............. . ..... . . . .. . . ... "587 SeriesdeFourierparalasfuncionespareseimpares..... . ............594 Funcionesdeperiodoarbitrario................ . ... . .... . ...........605 DesarrollodefuncionesnoperidicasenseriesdeFourier. . ..........615 Resumen. ..... .. ............. ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..625 Autoevaluacin8.. . ...... . ..... . .... . .... . ...... . ......... . ..... . ..627 F ourier.. . .............. .. ..... . .............. . ....................633 Comentarios........................ . ............ .. ................635 9Mtodosnumricospara resolver Ecuacionesdiferenciales MtododeEuler.. .... .. ... . . . ....... . ... .. . ... .. . .. . . . .........639 MtododeEulermejorado................ . . . .. .. ............. .. .642 MtododeTayJor.. ..................... .. ... . .. ... ....... . ..... .643 MtododeRunge-Kutta... . .. . ..... . ..... . ... . . . .............. . .645 Resumen... .. ........ . . . ..... . . . ....... .. ........... . . .. ....... . . .650 Autoevaluacin9.... .. .. . .... .. .... . ... . ......... ... ....... . .. . . . .651 Abel...... . .................. .. ...... . ........... .....653 Comentarios.. . .. . ........................... . .................. . ..655 Bibliografa... . ....................................................659 IndiceanaIitico......................................... . ...........6,61 Solucionesdeloscrucigramas................ . ................... . ...663 http://carlos2524.jimdo.com/Simbologa RConjuntodenmerosreales. CConjuntodenmeroscomplejos. EElementode. (a, b)Intervaloabierto(nocontienealosextremosdelmismo). [a,b]Intervalocerrado. (a,b]Intervalosemiabiertoporlaizquierda. [a,b)Intervalosemiabiertoporladerecha. o"Queddemostrado" . .Eselsmbolodeimplicacinusadoeneltexto,lasmsdelasveces, comoentonces. Dobleimplicacin,selee"siyslosi". Equivalenciaoidnticamenteigual. Semejanteoaproximadamenteigual. Porlotanto,enconclusin. fxSignificaderivadaparcialdelafuncinf(x)conrespectoax. [19] http://carlos2524.jimdo.com/http://carlos2524.jimdo.com/1 Quson lasecuaciones diferenciales? Loqueprecede,enMorse,eslafrasequetardeotempranodecimosylaque todosqueremosor.Esunlenguaje. Pararepresentarlarealidadenmovimientousamostambinunaclaveespe-cial,unasimbologasintticaquenosinformaacercadeunavelocidad,deun descensodetemperatura,deunaumentodepoblacin,deunmontodeinte-reses,hastadelmenorcambio,encualquieraspecto,denuestroplaneta.Las realidadescambiantes,antesmencionadas,tienenencomnquesonvariaciones atravsdeltiempo,esadimensininmutable(enelsentidodeunacuarta dimensin)enlacualsemuevenlamateriaylaconciencia. Aspues,enmatemticasusamosellenguajedelasecuacionesdiferenciales paraloshechosylosdatoscambiantes. Cmoresolverunaecuacindiferencial? Haydosmanerasdeaprenderapatinarsobreruelo.Primera:Enunalibrera secompraunolossiguientesmanuales:Cmodominarelpatinajeen15leccio-nes,Patinaryrascar,todoesempezar,Historiadelpatinajesobrehieloenel [21] http://carlos2524.jimdo.com/22QUSONLASECUACIONESDIFERENCIALES? Paleolticoysusrepercusionesenel mundo moderno,Agarresupatn,Elpatn, suconstitucin,,desarrolloyreforzamiento,conbibliografaeilustracionesa todocoloT;sevaunoasucasa,seinstalaensulugarfavoritoysesumerge enlalectura,sinolvidartomarapuntes,haceranlisiscomparativosyaplicarel clculodeprobabilidadeshastaagotartodoslosaspectosdeltema.Llegarun momentoenelqueyaestunototalmentecapacitadoparaestrenarlospatines - regalodelaabuelita-,momento,repito,enelquequizyasufriunosu primerreuma.Segunda:Setomaelpardepatinesyamparndoseenelinstin-todeconservacinselanzaunoalapistaheladaconlosconsiguientesriesgos yposibleshuesosro,l:os. Asseaprendenmuchascosas :hacindolas. Pararesolverunaecuacindiferenciallomejoresarriesgarse:intentemos integrarla,ysiesonoresultaunprocedimientoinmediato,apliquemoscambios devariableotransformacionesquellevenaintegralesmsomenosfamiliares. Sitenemos lallamamosecuacindiferencialdesegundoorden.Integrando: dyx! -- = - + Cl dx2 Sivolvemosaintegrar : obtenemosun1\funcin-solucinquepodemoscomprobaralinstante: derivando: derivandodenuevoconrespectoax: elresultadonosconvencedelaexactituddelmtodoempleado.As,eneste captuloseexponenlasnocionesgeneralesacercadelasecuacionesdiferen-cialesyelmtodogeomtricoparaobtenersoluciones. http://carlos2524.jimdo.com/CMORESOLVERUNAECUACINDIFERENCIAL?23 Definicionesbsicas Definicin1.1.Unaecuacin,diferencialesaquellaecuacinquecontiene derivadasodiferenciales. Definicin1.2.Ordendeunaecuacindiferencialeseldeladerivadams altacontenidaenella. Definicin1.3.Gradodeunaecuacindiferencialeslapotenciaalaque estelevadaladerivadamsalta,siempreycuandolaecuacindiferen-cialestdadaenformapolinomial. CLASIFICACINDELASECUACIONESDIFERENCIALES Ordinarias Tipo Parciales Primerorden Segundoorden OrdenTercerorden Ordenn J neales Grado Nolineales Laecuacindiferencialcontienede-rivadasde una o msvariablesdepen-dientesconrespectoaunasolava-riableindependiente. Laecuacindiferencialcontienede-rivadasparcialesdeunaomsvaria-blesdependieiitesconrespectoados omsvariablesindependientes. F(x,y,y') =O F(x,y,y',y") =O F(x,y,y',y",y"')= O F(x,y,y',... ,yen))=O a)Lavariabledependimteyytodas susderivadassonde1er.grado. b)Cadacoeficientedeyysusderi-vadasdependesolamentedelava-. riableindependientex(puedeser constante) . {Las nocumplenlaspropiedades antenores. http://carlos2524.jimdo.com/24QU SON LASECUACIONES DIFERENCIALES?Ejemplo de ecuaciones diferenciales:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBATipo Orden Grado LinealdyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA =2e-x Ordinaria 1 1 Sdxoy ox 0Y. ,-- = -- +kx - -- Parcial 1 1 SIBAot ot Osx2y" +xy' +y =O Ordinaria 2 1 Suv" + ry =x Ordinaria 2 1 No(porque el coef.de y" nodependede x exclusiva-mente)oy 02y-- + -- =: C Parcial 2 1 Sot OS2d2y dyx2-- + x-- +(r-v2)y =ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O Ordinaria 2 1 Sdr dx04V (02m) 2-4- =kv -2- Parcial 4 1 Noot on(yVl- y'" +y" - y2 =O Ordinaria 5 3 Noy' +y =x/y Ordinaria lINosen y' +y =O Ordinaria 1? NoEjerciciosBA1.1Escoger la opcin que da la clasificacin correcta de las siguientes ecuacionesdiferenciales:1. y" +xyy' =sen xA. Ordinaria, orden 2, grado 1, lineal.B. Parcial, orden 2, grado 1, lineal.C. Ordinaria, orden 2, grado 1, nolineal.D. Ordinaria, orden 3, grado - 1, nolineal.05X02y2. e' __ + -- =cte.ot5or2A. Ordinaria, orden 2, grado 2, lineal.B. Parcial, orden 5, grado 1, lineal.C. Parcial, orden 2, grado 2, nolineal.D. Parcial, orden 2, grado 1, lineal.CMO R3. x3yy'"A.B.C.O.FEDCBA4.A.B. Parcialineal.C. Ordinlineal.---Definicinocontituir laidentida----Definicique conintegrae----Definicieineu------EJEMPLa funePorqueenotrahttp://carlos2524.jimdo.com/NCIALES?zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAinealSSSFEDCBANoel coef.o dependeexclusiva-ente)SSNoNoNoNocuacioneso 2, lineal.1, lineal.do 2, no1, lineal.CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL?3. ryy'" _ x2yy"xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA +y = OA. Ordinaria, orden 2, grado 1, nolineal.B. P.arcial, orden 2, grado - 1, nolineal.C. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal.D. Parcial, orden 1, grado 1, lineal.edcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA4 . y" +2x3y' - (x - 1)y =xy3/2A. Ordinaria, orden 2, grado 1, nolineal.B.Parcial, orden 2, grado32'nolineal.Ordinaria, orden 3,3C.grado -, no2lineal.D. Parcial, orden 3, grado 1, lineal.. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal.A. Ordinaria, orden 2, grado 2, nolineal.B. Parcial, orden 1, grado 2, lineal.C. Ordinaria, orden 1, grado 2, lineal.D. Parcial, orden 2, grado 1, nolineal.Respuestas.BA1. C; 2. B; 3. C; 4. A;5. D.Definicin 1.4. Solucin de una ecuacin diferencial es una funcin queno contiene derivadas y que satisface a dicha ecuacin; es decir, al susti-tuir la funcin y sus derivadas en la ecuacin diferencial resulta unaidentidad.Definicin 1.5. Solucin general de una ecuacin diferencial es la funcinque contiene una oms constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivasintegraciones) .Definicin 1.6. Solucin particular de una ecuacin diferencial es la fun-cin cuyas constantes arbitrarias toman un valor especfico.25EJEMPLO 1La funcin x +y2 =C es la solucin general de la ecuacin diferencial:dyPorque derivndola implcitamente tenemos: 1 +2y -- = O, oexpresadonxdydxen otra forma:1----2y2yy' =-1http://carlos2524.jimdo.com/26QUSONLASECUACIONESDIFERENCIALES? Sustituyendoyyy'obtenemosunaidentidad: 2.yc=x(- 1J=-1 :.-1=-1; 2-/c-x} dondey= -vc=x. EJEMPLO2 Lafunciny=e-X+ 8essolucinparticulardelaecuacindiferencial y'+ e-X =O,porquederivandolasolucinysustituyndolaenlaecua-cindada,obtenemos: EJEMPLO3 y'=_e-X _ e-x + e-X = O :. O = O Lafunciny= 3:x!+ CX+ C2essolucingeneraldelaecuacindiferen-cialy" = 6,porque: y'=6x+ C yy" =6:.6 =6 EJEMPLO4 Lafuncint= 2xy2+ 3:x!y+ g(y)+ f(x.)eslasolucingeneraldela ecuacindiferencialparcial: (it - -=4y +6x oyox. Porque: = 2y2+ 6xy+ f(x) ox 02t y = 4y+ 6x;sustituyendo:4y+ 6x = 4y+ 6x. ayox EJEMPLO5 Lafunciny=ce-x + C2eX+ C3e-2X+ C4e2Xessolucingeneraldela ecuacindiferencial: y/V_5y"+ 4y =O http://carlos2524.jimdo.com/CMORESOLVERUNAECUACINDIFERENCIAL? Porque: Sustituyendo: EJEMPLO6 y'=- cle- X + C2eX- 2c3e-2X+ 2c4e2X y"= + cle- x + C2eX + 4c3e-2X+ 4c4e2X --------------y/v - 5cle-X - 5C2ex - 20c3e-2X - 20c4e2X ---- -..............-- 5y" +4cle-x + 4c2ex+ 4c3e-2X + 4c4e2x =O .... _--+ 4y :. O = O Lafunciny=eX(3cos2x+ sen 2x)essolucinparticulardelaecuacin diferencial:y" - 2y'+ 5y =O,porque: y'=eX( - 6sen2x+ 2cas2x)+ eX(3cas2x+ sen2x) y" =eX( _12cas2x- 4sen2x)+ e:r(_6sen2x+ 2cas2x)+ eX(_ 6sen2x+ 2cos2x)+ eX(3cas2x+ sen2x); Sustituyendo: eX( _12cas2x - 4sen2x)+ 2eX(_ 6sen2x+ 2cos2x)+ eX(3cas2x+ sen2x)+ eX(12sen2x- 4cas2x)+ eX(_ 6oas2x- 2sen2x)+ eX(15 'cas2x+ 5sen2x)= eX [- 12cas2x - 4sen2x- 12sen 2x+ 4 cas 2x+ 3 cas 2x+ sen 2x+ 12sen2x- 4cas2x- 6cas2x_2sen2x+ 5sen2x+ 15cos2x] =eX(O)=O. :.0=0. 27 http://carlos2524.jimdo.com/28QUSONLASECUACIONESDIFERENCIALES? Ejercicios1.2 Averiguar silassiguientesfuncionessonsolucindelacorrespondienteecua-cindiferencial. l.Y= GeX dey' - y= O 1 2.Y = 2e-2x + - eXdey' 2y= pX 3 3.Y= B In x+ Gdey'=/ 64x Vx3 4.y= G,e-x + G2e2X dey" - y' - 2!J= O 5.y= BeX + xeX dey" - 2y'+ Y= O '6.sen x Y - -- dexy '+ y=Gasx - 3x 1 7.y- --=Odey' - ytan x=O Gasx 3 8.y=- dey'=3y2 3x+ 2 9.y= 1+ G .j 1 - X2de(1- X2)y'+ xy= x 10.y= 2xVT=7'deyy'= 4x - RX3 1 11.y= e-X Gas- x 2 1 12.y=e-X Gas -X 2 x= Gast} 13. y= et x 14.y= --Gasx x= Gas t} 15. y=.2 sen t _1 16.y= esen 2x de4y"+ By'+ 5y=O d '"1 ey+ y= e-x Gas- x 2 d'yO ey+1 - X2 dexy'- y= rtan xseGx deyy '+ 4x = O dexy'- ytan in y=O http://carlos2524.jimdo.com/CMORESOLVERUNAECUACINDIFERENCIAL!' Respuestas:Ssonsolucin,exceptolasdelosejercicios6,8Y12. NOTA.Usandoestetringulo: costsent x ylaregladelacadena,sepuedenverificaralgunassolucionesanteriores. Definicin1.7.SolucinsingulardeunaecuaClOndiferencialesunafun-cincuyatangenteasugrficaen cualquierpunto(X,Yo)coincideconla tangentedeotrasolucin,peroyanocoincideconestaltimatangenteen ningunavecindaddelpunto(xo,Yo),porpequeaquestasea. 29 Estassolucionesnoseobtienenapartirdelasolucingeneral.Unmtodo paraencontrardichassolucionesesderivarlaecuacindiferencialdadacon respectoay',conlocualformamosunsistemadeecuaciones: F(x,y,y') = oF(x,y,y') -----=0, oy' delcual,eliminandoy',seobtienenunaomssolucionessingulares. EJEMPLO Hallarlassolucionessingulares,silashay,delaecuacindiferencial: y'2=16x2 Derivandoconrespectoay',tenemos: :?y'= Dedondey'=O;sustituyendoenlaecuacin,obtenemosx=0,queesl a solucinsingular. Enefecto,lassolucionesgeneralesdedichaecuacinson: y= 2 X2+ c,Y= - 2x2" + c, yparaelpunto(0,0)sugrficaesy= 2 X2 http://carlos2524.jimdo.com/30QUSONLASECUACIONESDIFERENCIALES? y .....x Figura1.1 I YX= eselpuntodecontactoconlaspendientesdey= + 2renel punto(0,0). Definicin1.8.Problemaconvalorinicialeslaecuacindiferencialacom-paadadecondicionesiniciales. EJEMPLO1 Resolverlaecuacindiferencial: Paralacondicininicial: y'-4xy = 1 Y =- cuandox=0,obien,brevemente: 5 1 y(O)= -5 Laecuacinpuedeescribirsecomo: dy dy= 4xydxo-- = 4xdx, y integrandoambosladosdelaigualdad,tenemos: -Iny=2X2+ c 2 Y=ce2x . http://carlos2524.jimdo.com/C6MORESOLVERUNAECUACI6NDIFERENCIAL? 111 Sustituyendolosvaloresdelpunto(O,- ),tenemosque:- = ce'l C= -. 555 Entonceslasolucinparticulares: EJEMPLO2 12 y =_e2X 5 Resolverlasiguienteecuacindiferencial: y" = x,paray(-2) = 4 y'(O)=1 Integrandoambosladosdelaecuacintenemos: ,r y=- + Cl 2 Volviendoaintegrar: X3 Y =- + C1X+ C2essolucingeneral. 6 Aplicandolascondicionesinicialesdadas: paray' paray 1=O + Cl Cl =1 -8 4=--- 2Cl+ C2 6 -4 4=3- 2(1)+ C2 22 C2 =--3 X3 22 . '.y= 6' +x+ 3' essolucinparticular. Comprobacin:derivandolasolucinparticularysustituyndolaenla ecuacin,debesatisfacerla: y'=r+ 1 2 y" = x. 31 http://carlos2524.jimdo.com/32QUSONLASECUACIONESDIFERENCIALES? OBSERVACIN.Senecesitaigualnmerodecondicionesinicialesqueeldel ordendelaecuacindiferencial. EJEMPLO3 Dadalasiguientefuncin: comosolucin(laformadeobtenerlaseestudiarmsadelante)dela ecuacindiferencial: y'"- 4y"+ y'-i- 6y =O Encontraremoslasolucinparticularparalassiguientescondicionesini-ciales: y(O)=4,y'(O)=-1,y"(O)=O y"(O)= 4cl+ C2 + 9C3 4cl + C2+ 9C3= O Resolviendoelsistemadeecuaciones: Cl+ C2+ C3= 4 Obtenemos:Cl=10/ 3,C2=29/ 12, C3=-7/ 4 .10297.,... y=- e2x + _ e-x _- e3x eslasoluclOnparticularparalascondIcIones 3124 dadas. http://carlos2524.jimdo.com/FERENCIALES?les que e delante) de ladiciones ini-condicionesCMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL?33edcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAE j e r c i c i o s 1 . 3Dada la ecuacin diferencial, su solucin y las condiciones iniciales, determinarel valor de las constantes arbitrarias.1.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA yy'xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA +6x = O2. y2y' - 4x = O3. y' = 1 +y2y =tan(x +e)tan x +e1-etan x4. y' = 1 _y2tanh-ly = x + eDonde - 1 O;sepuedeescoger el= - e2;perosonlinealmente independientes enelintervalo - oo2n 11 = - Ix - 11lm 1 = - Ix- 11= L 2n-> oo2 ComolacondicindeconvergenciaesL< 1 1 -- Ix -11< 1,Ix- 11< 2, -2 < x- 1 < 2 - 1 < x< 3 Elintervalodeconvergenciaabsolutaes(-1, 3). EJEMPLO2 Hallarelintervalodeconvergenciaabsolutade: I (n+ 2)/ xn+lI lmn=Ixllm (n+ 2)=Ixl 00 n->oo.(n+ 1)/ xn ->oo Como lacondicindeconvergenciaes:Ixl00< 1 1 Ixl < - , Ixl < OAbsurdol 00 Estosignificaqueestaseriesolamenteconvergeenx=O,yaquecuando x = O Ixllm(n + 2)= O n-> oo ycuando x=1=O Ixl lm (n+ 2) =00 n ->oo :. laserieconvergeenx=o. http://carlos2524.jimdo.com/328RESOLUCINDEECUACIONESDIFERENCIALESMEDIANTESERIES EJEMPLO3 Hallarelintervalodeconvergenciaabsolutade: (n+It+1 Ixn+1nnI lm=lm-----n-->ooxnn-->ooxn(n+ 1 )n+l nn = Ixllmnn= Ixllm (nt.lm1 n -->oo(n+ 1t(n + 1) n+ 1n-->",n+ 1 n Tomandoellm (r paraversinoda00yevitaraslaformain- n+ 1 determinadaoo O,vemosque: lm n ln (_ n_) nn--> oon+ 1 lm(--t=e n-->oon+ 1 _1_((n+ 1)- n) n(n+ Jf 1,n+ 1 tm ---------n In (- - ) l'n+ 1 lm ----n-4 C(1 11 =e= e n lim IIm(- n-->",1n-->oon+ 1 =e=e n2 lm ( - 1) = e=e-I :. Ixllm (_ n_ _ r lm _1_ =Ixle-lO n--> oon+ 1n-->.,n+ 1 HaciendoIxlO < 1 Ixl< 00 yelintervalodeconvergenciaabsolutaes(- 00,00). http://carlos2524.jimdo.com/PRUEBASDECONVERGENCIADESERIES EJEMPLO4 Hallarelconjuntodeconvergenciadelaserie: (x_2 t +1-Y n+ 1 (n+1f +1(n3 +l) lm- ------==---1 = Ix - 21lm ------==:_ Vnn-' "[(n+Il + 1 jVn (x-2t --n3 + 1 I 211'n3+ 1l' 1 =x - tm"tm --n -'oon3 + 3n2 + 3n+2n -.",n 1 1+-3I = Ix- 211mn" lmJ1+ n -->oo332n--> oon 1+ - + -+-nn"n3 =Ix- 21(l) (l). :. Ix- 21", Ixl< 1,-1 < x< 1 Intervalodeconvergenciaabsoluta:(-1,1). Parax=1 y '" Como1=1=O : e1jn diverge. n=l n -->oo http://carlos2524.jimdo.com/PRUEBASDECONVERGENCIADESERIES331 Parax=-1 00 L(-lr+1 e1jn 110=1 { lm e1jn =1 n->oo :.diverge.Conjuntodeconvergencia:(-1,1). 1-(-1)2 Radiodeconvergencia:R==- =1 22 I el j nI ObienR=lm1(n.1 n->ooej+ ) = lm I e1/n _l j(n+l )I =lm e1j(n(n+l))=1 R= l. n ....-too110-+00 EJEMPLO6 Hallarintervalo,conjuntoyradiodeconvergenciadelaserie: (x- Sr+1 (n+ 1)3n+1 ' 1n3n(x- Sr+1 I lm=ltm--------n ->oo(x- Srn ->oo(n+ 1) 3n+1 (x- sr n3n = Ix- Sllm _n_ = Ix- SI(1), 3n-> oon+ 13 1 3'lx - SI< 1,Ix - SI< 3,-3 < x - S< 3, 2< x< 8. :. elintervalode convergenciaabsolutaes(2,8). Parax= 8 http://carlos2524.jimdo.com/.'332HESOLUCINDEECUACIONESDIFEHENCIALESMEDIANTESERIES ,1 Primerapruebadealternantes:ltm - = O n---) "'jn Segundapruebadealternantes:In:11< I I enx= 8laserieconvergecondicionalmente. Parax= 2 "'1"' 1 = I: ( -1ln - = L -, divergente. n=lnn=ln :.elconjuntodeconvergenciaes(2,8]. HadioR= 8- 2=!!.- = 3 22' EJEMPLO7 :.R=3. \ tnI (x- 1)" n=lnn lm (n+ 1) I (x- 1yn+l (n+iyn+l nI (x- ir =Ix- n+ 1 ln _ n_ _ ,n + l ltm --- -n -t'l)1 ,1n ltmnn--- n+i ".."\n + 1 Pero =e n n2 n l'l'1m- - - - - m- ---n (n+ 1) n+ 1 =e =e-I =e -+Ix-lle-1 < 1, Ix- 11< e, - e(k +If, P+4k2+4k > P+3k2+3k +1,Entonces 4F +4k >3k2+3k +1, para toda k.. (k +2)k+1 (k +1)k.. k > k '+1 -~ lm(1 + ~)k=e,k"'", kPodemos establecer:(k +1)e >ek > 0+ ~)k ky por transitividad(k +1)e>(1+ ~jkk para toda k,ycc nl enL-'-n- es divergente,HGFEDCBA"=1 nel conjunto de convergencia es (-e +1, e +1),Ejercicios 6.1Encontrar el intervalo, el conjunto y el radio de convergencia de las siguientesseries de potencias:Conjunto deconvergencia Radioec n "" - x1. Wn+21 1 = . 1(-1, 1) 1ccDCBA X2 1 l4. -;11:::;::1PRUEBAS DEcc x"2.n2 +11=1cc 3"" -x"3 . L..J 2'"HGFEDCBAn=l'"'S. L(x-1 1 = 1"' x"6. ;11=17 . t(x-n=l n,8 .t~n=1 n2ec9 . nlx11=1ec nI10. g;;X11:::;::1FEDCBA"' 21l.~"=ln!12. :t(x1 1 = 113. t(xn: : : ; : : l'" "14. ~,,=1n!http://carlos2524.jimdo.com/EDIANTE SERIESPRUEBAS DE CONVERGENCIA DE SERIES335cczyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAxnlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2.utsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAEl n2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+1[-1, I]1'11)co 3n22 23.L-xn(- 3' 3)-'12n3HGFEDCBAn=l1'1cc rn4.L7[-1, I]1n=1k +1, ~'5.I: (x- 2r(1,3)1n=l., n[-1,1)1 6.L~lt~n=l n~rtl .I 1,111"\1i: (X - Ir(-00,00)00,7. ~NIn=l n!8. i: (x+2r[-3, -1]1n=! n2+1"-Slo converge en x =OO9. L nl x"n=110. tn!Slo converge en x = OO _xngnn=lse 211.Lnn (-00,00) -x00n=!n!12.t(x - 3t[2,4)1n=! yrnelassiguientest (x- 2r[0,4]213.n22niaRadion=l1., xn(-00,00)14.Lnl00n=l .http://carlos2524.jimdo.com/336 RESOLUCI6N DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIESDCBA1 5 . zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA tzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA rnn=!HGFEDCBA nutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(-1,1)oc 1HGFEDCBA16. Ln!xnWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAn = lAbsolutamente convergentepara toda x =1=- Occ17. L Ynn=! (x - Irx2(-00, O) U(2,00)" ; . , , . , I I U W \-1'lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA'c. :r,j,,;:~-I\!,.'!l: '"" , . ,, "18. t (n +1)1n=! xn+'Diverge en todos losReales19. i: 5n(x - 4rn=! n3n[~~)FEDCBA5 ' 520. t n!(x - 3rnSlo converge en x=3n=lz2 1 . Lxnn=l(-1,1)cc 2n2 2 . L,(x - 2rn=! n.(-00,00)1;(. x n2 3 . LnInnn=l[-1,1):r. . rn2 4 . L(-1 r2n+ 1n=l(-I,IJcc2 5 . L(-lr+' 3n(x - 3rn(.!,~J3 3n=l%2 6 . L(- 1r(x - 4rn=l(3,5)2 7 . i: (-Ir (n2'+ 1)., (x - 5)nn=I n(4,6J* No est definido el radio de convergencia para intervalos de este tipo,1*35O100111311PRUEBAS DEe28. t (x +2)'n=2 In n'" 12 9 . Lsen"2(:n=l n30. ~ 3nn!~--n(xn=l nEn los sigconvergenciaee3 1 .1 1 = 1A.B.c.D..,3 2 .1 1 = 1A.B.C.D.33. 1 1 = 1A.B.http://carlos2524.jimdo.com/ESMEDIANTE SERIES1onvergenteutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA. =1= OzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA*os los35nr= 3o100111311este tipo.PRUEBAS DE CONVERGENCIA DE SERIES337DCBA2 8 . zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA t (x +2rn=2 lnn[-3, -1)1" 12 9 . Lsen2"(x - 3rn=l n[2,4J 1e e(3-- 3+-)FEDCBA3' 3e ec 3n ,3 0 . L ~.(x - 3rn=lHGFEDCBA n3En los siguientes ejercicios escoger la opcin que contiene el conjunto deconvergencia absoluta y el radio de convergencia." (3jnHGFEDCBA31. L- (x - 2rn=l 51 11A. Conjunto de convergencia absoluta [-, --y3 3.",.rWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA, , , , , ,B. Radio de convergencia R =1C. Conjunto: (~~) R= ~\3' 3 Y 3D. Conjunto: (~, 1; J y R =1"3 2 . L n (x+ 3rn=l (n+1)!A. Conjunto: (-3,3.) y R =3B.Conjunto: (-00, (0) y R =00C. Conjunto:[-3,3J YR =3D. Conjunto: slo x=-3lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA33~ (n+1)! L..J (x - Irn=l 7nA. Intervalo: [-1, 1JB. Intervalo: [-1, 1)http://carlos2524.jimdo.com/338RESOLUCINDEECUACIONESDIFERENCIALESMEDIANTESERIES C.Radio:R=1 D.Sloconvergeenx=1 '"2 34."n (x- 4t A.Intervalo:(3,5), R= 1 B.Conjunto:(-00,3)U(5,00) C.Conjunto:[3, 5) D.Sloconvergeenx= 4 35.t n; (x- 3t n=l n. 11 A.Intervalo:(3- - , 3+ - ) ee B.Intervalo:(-3, 3), R=3 C.Intervalo: 1 [-3,3), R=-e D.Conjunto:[-3,3) 36.i=(x+ 3t n=ln33n A.Conjunto:(-00,-6) U(O,(0) B.Conjunto:(-6, O], R =1 C.Conjunto:[-6, 0), R =3 D.Conjunto:(-00,-6] U[O, (0) A.Conjunto:(-1, 1), R=1 B.Conjunto:[-1, 1), R= 1 C.Conjunto:(-1, 1), R =1 D.Conjunto:[-1, l), R= 1 http://carlos2524.jimdo.com/DESARROLLODEUNAFUNCINENSERIES339 Respuestos: 31.C.32.B.33.D.34.B.35: A.36.C.37.A. Desarrollodeunafuncinenseries Cmopodremosaplicarestosconceptosalaresolucindeecuacionesdife-renciales,yporqulashemosrepasado? Hastaahoraelestudiodelasecuacionesdiferencialessehalimitadoa considerarlasquetenancoeficientesconstantesycoeficientesvariablesenlas deCauchy-Euler,perocmoresolverecuacionesdelaforma: f(x)y"+ g(x)y'+ h(x)y= r(x)? Dondef,g,hYrsonfuncionespolinomiales,racionalesotrascendentes.Des-pusdealgunasnecesariasdefinicionesseexpondrelmtododesolucinde tales . ecuaciones,medianteseriesdepotencias.Sonmuchaslasfuncionesque puedendesarrollarseenseriesdepotencias.ParahacerloseusalaJ rmula deTaylor: t rn)(a) (x- ar nI dondef (n)(a)significaladerivadan-simadelafuncinevaluadaenx=a yaeselvaloralrededordelcualsedesarrollalaserie.Sia=O,entoncesla seriesellamadeMaclaurin. EJEMPLO1 Enoontrarlaseriedepotenciasdelafuncin: y=ln Gasx y=In Gasx Isen x y=- --=- tan x Gasx y'"= - 2 sec2x tan x yIV= _ 2 sec4x- 4 sec2x tan2x paraa=O y(O)=ln GOSO=O y' (O)= - tan O = O y" (O)= - sec!x= - 1 y'"(O)=O yIV (O)=-2 http://carlos2524.jimdo.com/340RESOLUCINDEECUACIONESDIFERENCIALESMEDIANTESERIES yV=-16 sec'x tan x- 8 sec2x tan3x,yV(O)=O yV/=-16 sec6x- 64 sec'x tan2x- 16 sec2x tan'x- 24 sec'x tan2x yV(O)=-16,etc. OxOOXlX2Ox3 2x'Ox5 16x6 -+In cos x=-- + -- - - + -- - -- + -- - -- +. 011/2/3/4/S/6/.. rx'x6 In cos x=- - - - - - -2124S Algunasseriespuedenexpresarsecmodamenteporsutrminon-simo. EJEMPLO2 Hallarlaseriedepotenciascorrespondientea: 1 y=-x 1 ,O/ y=-=-xx ,11/ y=--=--rr y" 2 r y'" 24 y/v = r 6 x4 2/ r 4/ r v120 Y=--Etctera. 3/ x' S/ paraa= 1 y (1) = 1 y' (1)=- 1/ y" (1)= 2/ y'" (1)= - 3/ yIV(1)= 4/ yV (1)= -sI -+y= 1- (x- 1)+ (x- zy- (x- q+ (x- 1)'- (x- q+ ...

=L(-1t(x-1t,en0 O. EJEMPLO1 Encontrarlospuntosordinariosde: X(X2- 1) y"+ xy'+ (x+ 2) y=O Primeroestableceremosculessonexactamentelasfuncionesf(x)yg(x), dividiendolaecuacinentrex (X2- 1): "_1_,x+2-O y+ X2- 1 Y+ x( X2- 1) Y -1 dondef(x)=r_ 1Yg(x) x+2 X(X2- 1) f(x)noesanalticaenx=+ 1 g(x)noesanalticaenx= O,x= + 1 . '.lospuntosordinariosdelaecuacindiferencialdadasontodaslas xE:R,exceptox=O Y x= 1. EJEMPLO2 Serx= O unpuntoordinariodelaecuacinxy"+ ry' + (sen x)y = O? f(x)=r=xanalticaentodoslosR, x sen x1x3 x5 X1 g(x) =--=-(x - - + - - - + ... ) xx3/5/7/ X2x4 x6 =1--+---+ 315171 tambinesanalticaentodoslosR, ...lospuntosordinariosdeestaecuacinsonlosReales. http://carlos2524.jimdo.com/PUNTOSNOTABLES353 Definicin6.7.Puntosingulardelaecuacindiferencial: y"+ f(x)y'+ g(x)y=O esaquelpuntoxo,enelcual,almenosunadelasfuncionesf(x)yg(x) notienerepresentacinenseriesdepotenciasdex- xo. Seobserva,por lotanto,queunpuntosingularesunpuntonoordinario. EJEMPLO1 ElpuntoXo=O esunpuntosingulardelaecuacindiferencial: y"+x(lnx)y' =0, porquelafuncinln xnotieneunaseriedepotenciasquelarepresente, encero. ,EJEMPLO2 Hallarlospuntossingularesde: X2(X- l)y"+- l)y'+ xy =0 x3(x2-1) f(x)= (x_1)=x(x+ 1)esanalticaparatodax, x g(x)=-----:---- (x- 1) 1 ----- noesanalticaenO y1, x(x- 1) . '.lospuntossingularessonx=O Y x=l . Vemosqueloscoeficientespolinominalesdarnpuntosordinariosendonde lasfuncionesestndefinidasypuntossingularesendondenoloestn. EJEMPLO3 Dadaxy"+ (cos x) y=O,tendralgnpuntosingular? cos x, g(x)= --- no esanahticaenx= O x Porlotantox= Oesunpuntosingularytodoslospuntosx=1=Osonor-dinarios. http://carlos2524.jimdo.com/354RESOLUCINDEECUACIONESDIFERENCIALESMEDIANTESERIES EJEMPLO4 LaecuacindeCauchy-Euler :ax2y"+bxy"+cy = O dondea,b, esonconstantes,tieneunpuntosingularenx= O be yaquef(x)= - yg(x)= -axax2 noestndefinidasenx= o.Todoslosdemspuntos(realesocomplejos) sonpuntosordinarios. EJEMPLO5 LaecuacindeBessel:x2y"+ xy'+ (r - d) y= Otieneunpuntosin-gularenx=o. EJEMPLO6 LaecuacindeLegendre:(1- r) y"- 2xy'+ n(n+ 1) Y=Otienedos puntossingulares:x= + l . Definicin6.8.Puntosingularregular.Dadalaecuacin: y"+ f(x)y'+ g(x) y=O, el punto x=Xoessingular regular si las funciones (x- xo)f(x) y (x- xof g(x) sonanalticasenx = Xo. NOTA:Bastaqueloseanenunavecindaddexo.Setrabajancomounlmite. Siestasnuevasfuncionesnotienenrepresentacinenseriesdepotencias,en-toncesx=Xosellamapuntosingularirregular. EJEMPLO1 Lospuntossingularesde:x3 (r - 9) y"+ (x+ 3) y'+ (x- 3y Y=O,son x= -3, x= O Y x= 3;deellos,slox= Oessingularirregularlosotros dossonsi.tl-gularesregulares. 1(x - 3f Sif(x)=,g(x)=- ---x3(x - 3)http://carlos2524.jimdo.com/PUNTOSNOTABLES Parax=-3 x+3 (x+ 3)f(x) =X3(X_3)' (x- 3)2(x+ 3) (x+ 3y g(x)= -----x3 yasonanalticasenx=-3. Similarmenteparax =3. Sinembargo,enx=O nosonanalticas: EJEMPLO2 1 xf(x),= X2(x_3), (x- 3]2 X2g(x)= ----x (x+ 3) (x- 1/ y"+ y'+ y=O 11 Seanf(x)=,g(x)- --(x- q- (x- q Elpuntox=1essingularirregular,porque: 1 (x- 1) f(x)=y(x- qg(x)=1; x-1 355 aunqueg(x)sesanalticaenx =1,comof(x)noloes,laecuacinnoes desarrollableenpotenciasdex- l. EJEMPLO3 x4 (2r + 9x- 5) y"+ xy =O y"+1Y =O x3(2x2 + 9x- 5) f(x)=O 11 g(x)= x3(2r+ 9x- 5)=1 x3(x- - ) (x+ 5) 2 1 x=- yx=-5 sonpuntossingularesregulares 2 x=O esunpuntosingularirregular. http://carlos2524.jimdo.com/356 RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIESlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAEjercicios 6.4Encontrar los puntos ordinarios, singulares regulares o singulares irregularesde las siguientes ecuaciones:DCBA1 . zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA xy"zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA +(x - 1)y' +x2y =utsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ORespuestas:x= O singular regularx =F O ordinarios2 . X2(X- 1)y" +xy' = O x= O, x=1 singular regularx =F O, x =F 1 ordinarios;-1',11. '''',111".1. :r,"t~111' II!h\'" f..1,' '"WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( , , 1..3 . (x +1'1 y" +xy' +ry = O x = - 1 singular irregularx =F - 1ordinarios4 . x2y" +eXy' +y =O x=O singular irregularx =F O ordinarios."- 00 10), lafrmuladeStirlingdaunaaproximacintilparanI Esdecir,elvalordeambostiendeaserelmismocuandon-+ oo. EJEMPLO2 Hallarelvalorder(3.5)sabiendo(porlastablaspara1 < n< 2) quer(1.5)= 0.8862 Comor(n + 1) =nr(n)sean=2.5 -+ r(3.5) =2.5 r(2.5) Pero,paraobtenerr(2.5)sean=1.5 -+ r(2.5) =1.5 r(1.5) :. r(3.5) = (2.5) (1.3293)= 3.3233. SolucindelaecuacindeBessel =(1.5) (0.8862) =1.3293 x2y"+ xy'+ (X2- y2)y= o AplicandoelmtododeFrobenius: '" Seay= L Cmxm+Tlasolucin.Derivando: m=O http://carlos2524.jimdo.com/ECUACINDEBESSEL405 '" y'L(m+ r)cmxm+r-l m=O y" =t(m+ 1')(m+ r- 1) Cm xm+r-2 m=O SustituyendoenlaecuacindeBessel : +tcmxm+r+2- ..;tcmxm+r = O m=Om=O Param= O Co[r (r- 1)+ r- y2]=O Como Existir,portanto,unasolucindelaforma: ParahallarlasCm: '"'" L [(m+ r)2- y2]Cmxm+r+LCmxm+r+2= O m=O---- - "'=0----m=km+ 2=k t([k+ rf - y2]Ckxk+r ,+t Ck_2 xk+r= O k=Ok=2 Parak= 1Y r= y (1+ 2v) Cl= O,comoy=1=O el= O -Ck_2 Parak = 2, 3,4,. .. Ck=eslafrmuladerecurrencia. k (k+ 2v) http://carlos2524.jimdo.com/406 RESOLUCINDEECUACIONESDIFERENCIALESMEDIANTESERIES Parak=2, - Ca C2=---4 (1+ v) k=3,Cl=C3=C5=C1=. . . =O - C2- 1- Ca k =4,C4 =.=() 4.2(2+v)4.2(2+v)4(1+v) Ca 24.1.2 (1+v)(2+ v) - C4 k =6,C6=--- -6(6+2v) -1Ca 12(3+v)( 24.1.2.(1 '+V) (2+V)) - Ca --,----- - --- ---,etc. 26.1.2.3 (1+v)(2+v)(3+v) ( - 1l'ca. .\,k = 1,2,3,.. . 22k k! (1+v)(2+v). . .(k+v) EscogiendounvalorapropiadoparaCa,puestoqueesunaconstantearbitraria, talcomo: 1 Ca=----2vr(1+ v) yrecordandoquer(1+v)=vr(v)podemosvolveraescribirlafrmulapara loscoeficientesparesas: (-1l' C2k=--:::---,--::-:---- ----,-- --::----:::----22k+JI k! (1+v)(2+v).. '(k+v)r(1+v) ( - 1l' 22k+v k! r (1+ v+ k)' k=O,1,2,. . . Siv >0,estaserieconvergepor10menosenelintervaloO Otalquelaserieesabsolutamenteconvergente paratodaxquesatisfaceIxl< RydivergecuandoIxl> R. Paraencontrarlaconvergencia:Pruebadelarazn. Icxn+ll lmn+ln= LdondeL< 1dalaconvergencia. n-+ ooenX http://carlos2524.jimdo.com/414 RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES2. ANALITICIDADa) SizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f(x)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y g(x) son analticas en Xo~ f(x) +g(x), f(x)' g(x) y f(x)/g(x), g(xo)utsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA =F Oson analticas en xo.b) Si f(x) es analtica en Xo y f-(x) es la funcin inversa, continua, conf'(xo) =F O~ f-l(X) es analtica en xo.c) Si g(x) es analtica en Xo y f(x) es analtica en Xo~ f(g(x)) es analtica en xo.~:;~:eL$tlFEDCBAfJ.J.I"':~WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f ' I. . I ' J I3. EXISTENCIA YUNICIDAD DE LA SOLUCINSea y" +f(x) y' +g(x) y = O una ecuacin diferencial con un punto ordi-nario en x=Xo y sean a, b, constantes arbitrarias. Existir una funcin nicay(x) analtica en Xo que es una solucin de la ecuacin dada en los alrede-dores de Xo.y satisface las condiciones iniciales y(xo) =a y y' (xo) =b. Si el.,dominio de f y g es Ix - xol O ~ y(x) = Lcn(x - xotn=otambin es vlida en el mismo intervalo.4. EXISTENCIA DE UNA SOLUCIN ALREDEDORDE UN PUNTO SINGULAR REGULARSea y" +f(x) y' +g(x) y = O una ecuacin diferencial con un punto singu-lar en x=Xo, entonces siempre existe al menos una solucin de la forma:.,y(x) =(x - xol Le;(x - xorn=oQue converge en: O '"sest t->osest AplicandolaregladeL'Hopital: -1 lim-- =O t->'"s'lest yelsegundolmitetambinescero(estoocurrirnoimportalapotencia aqueestelevadalavariablet),Portanto: http://carlos2524.jimdo.com/432 EJEMPLO3 Hallar:2W}. Pordefinicin: TRANSFORMADASDELAPLACE 2{f} =i'" e-st t2 dt f1'"21'" =_ _e-st+ _te-st dt soso f1'"1'"1'" = _ _ e-st + +e-stdt] sossoSo = _ _ e- st_2t e-st_ e-st f1'"1'"1'" sosoSo 2 = -0+-. S3 Observamos,despusdeestosejemplos,quelatransformadadeunacons-tanteeslaconstantedivididaentrelavariables;latransformadadetesl/s2, 2 ylatransformadadefes-.Entonces,podemosdeducir,porladefinicin, S3 que: EJEMPLO4 Hallar:2{eat}. Pordefinicin: 2{tn}= paran=1,2,3,... sn+l donde01=1. http://carlos2524.jimdo.com/INTRODUCCIN =- ---e-(S-a)t=O + ---11'"1 s-aos-a 1 2'{eat} =--, s> a. s-a EJEMPLO5 Hallar :2'{cas wt}. Pordefinicin: 2'{cas wt}=Su "'e-st cas wt dt =- '"- wL'" e-stsenwtdt soso =_ + we-stsenwt 1'" soS2o _we-st cas wtdt 21'" o --+(1+w2)S'" e-stcaswtdt =- _1-caswt 1'" osedo + -w--senwt \'" s"est , o 1 s 1 J'" e-st cas wt dt =s2 o s2 s 433 Notamosquecuandot-+ 00,entonces:e-st -+ O Y caswt,senwt;pormu-choque crezcatsiempreestnentre-1 y1,limitados;portanto,alcrecer tsinlmite,elcociente: http://carlos2524.jimdo.com/434TRANSFORMADAS DE LAPLACEzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAGas w t sen wt "t,o , se acerca maszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y mas acero.e' estLa demostracin rigurosa la da el teorema:Sean i.utsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA g, h definidas en un intervalo abierto 1que contiene a a,si f(x) ~ g(x) ~ h(x), x E: 1 Y silm f(x) y lm h(x) existen y son iguales a L,HGFEDCBAX""';Q X-)Q~ lm g(x) existe y es igual a L.X"" alkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAl'r.(:';;::~:.~'..tl".:II!:~.' ~'Iw4>~:i1Podramos obviar esta dificultad, suponiendo que podemos encontrar latransformada de Laplace para eiat(lo cual puede demostrarse tambin para loscomplejos). 1(ver' ejemplo 4)~ !'{e,wt} = __ ._s- tws +iws. w-+t--l+w2-i'"+w2i'"FEDCBA2+wy como sabemos que eiwt=Gas wt + i sen wt, igualando las partes reales y lasimaginarias, se obtiene:. s+iw!'{e,wt} = !'{Gas wt + i sen wt} = _l +w2s!'{Gas wt} = 82+w2wy !'{sen wt} = S2 +w2EJEMPLO 6Hallar: !'{f(t)} si f(t) ={~O~t1INTRODUCCIIEJEMPIHallar: ,Por defiEn esmada: SITeonfuncinconstant!'{af(t)Demost.!'{a f(!,http://carlos2524.jimdo.com/INTRODUCCIN EJEMPLO7 Hallar:.P{senh a t}. = _ 1"= s1S eat _e-at Pordefinicin:senh a t=----2 11 .P{senh a t}=_.P{eat} - _.P{rat} 22 1(11) -2s-a - s+a a = -2- - 2's> lal s- a 435 Enesteejemplo,hemosaplicadounaimportantepropiedaddelatransfor-mada :sulinealidad. Teorema1.LatransformadadeLaplaceesunoperadorlineal:paracada funcinf(t)yg(t)cuyatransformadadeLaplaceexistayparacualesquiera constantesayb,tenemos: .P{a f(t)+ bg(t)}= a .P{f(t)}+ b .P{g(t)} . Demostracin: .P{a f(t)+b.g(t)}= la" rst [a f(t)+b g(t)] dt, pordefinicindetransformada http://carlos2524.jimdo.com/436 EJEMPLO8 TRANSFORMADASDELAPLACE = aloo e-st f(t)dt+ bloo e-st g(t) dt, puestoquelaintegraltambineslineal =a Z{f(t)}+ b Z{g(t)}O Hallar:Z{e-3t + e - 2}. Z{e-3t + t3 - 2}=Z{e-3t}+ ZW}- Z{2},porlinealidad, usandolosejemplos4,3Y 1respectivamente: 1312 =--+---s + 3S4S - S4- 6s3 + 6s+ 18 sys+ 3) TransfonnadainversadeLaplace Definicin7.2.TransformadainversadeLaplace.Si. IXO S-IX EJEMPLO18 Dadoque:2-1 =ta ,hallar:2-1{S!/2} sa+r (a+ 1) Sea: 53 a+ 1= - a=-. 22 Entonces:2-1 - -{ 1}t3/2 &/2 S5/2- --5- - 1.3293' r(2") Ejercicios7.1 Usaremoslossiguientesresultadosyaobtenidos: e 2{c}=-s 1 2{eat}= --s-a w 2{senwt}= ---S2+ w2 Verejemplo2,pgina404. http://carlos2524.jimdo.com/444zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA TRANSFORMADAS DE LAPLACEszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2{cos wt}utsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA =S2 +w2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa2{senh at} = S2 _ a2s2{cosh at} = i _a22{eatf(t)} =F(s - a)Encontrar la transformada de Laplace en las siguientes funciones:.'Respuestas:~J' ,.1. f(t) =t6720tr.: .-,-S7-,.I".'gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2 . f(t) =etj55e,,~-:J'--5s- 13. f(t) =4e-3t4--s+34. f(t) =et-21--e2(s-1)5. f(t) =6- f6s2- 2S36. f(t) =t4_ 3f +924 - 6s2+9s4S5En los siguientes ejercicios usar la definicin para obtener la transformadade Laplace de las siguientes funciones:Respuestas:1 127. f(t) = 1 - 2t3S 848. f(t) =t - 8 +et-7s2+98- 182(S-1)-1, 0 Or (n)/sn+l4.ea!1--s-aRESUMEN5. senuJ6. cos7. senh8. eash9. tnea!10. ea! s1 1 . ea! e,12. t se13. tea14. sen15. sen16. senhttp://carlos2524.jimdo.com/RESUMEN 535 f(t)!'(f(t)}F(s) 5.sen wt w S2+ W2 6.Gaswt S S2+ 102 7.senh at a S2_a2 8.Gashat 9.tneat,n=I,2,3, ... nI 10.eat sen wt w 11.eat Gaswt s - a (s- a+ w)22 12.t sen wt 2ws 13.t Gaswt 14.sen wt - wt Gaswt 15.senwt + wt Gaswt 16.sen at senh at http://carlos2524.jimdo.com/536TRANSFORMADAS DE LAPLACEzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFrmulas17. e" f(t)18. (-ttf(t), n =utsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1,2,3,...gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 9 . f(n)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (t), n =1,2,3,...20. itf(-r:) dr:2 1 . f(t - a) U(t - a), a> O22. itf('t) g(t - -r:) dr:F(s - a)F(n)(s)snF(s) - sn-l feO) - ... - t":"(O)F(s)se-as F(s)F(s) G(s)A u t o e v a l u a c i n 71 . Usar la definicin para encontrar la transformada de Laplace de:f(t) =4-3t t~lt O~tO YT>O, f es peridica conperiodo T~ f(t +T) = f(t).Teorema 1. Sean f(x), g(x) funciones peridicas conperiodo T.~ h(x) =af(x) +bg(x), a, b E Rtambin es peridica conperiodo T.Demostracin:Como f(x) es peridica con periodo T ~ f(x +T) =f(x).Como g(x) es peridica conperiodo T ~ g(x +T) =g(x),~ h(x +T) =af(x +T) +bg(x +T)=af(x) +bg(x)=h(x) OTeorema 2. Si T es periodo de f(x)~ nT, n entero, tambin es periodo.Demostracin:Si T es periodo de f(x)~ f(x +T) =f(x),SERIES TRIGpero f(x +2tenemos:f(x) =f(x +Para n =0,O b t e n c i n de.La funcinssen (x+2n)nor detodosEngenerdonde nes e.EJEMPLObtener eComo el~IHGFEDCBAT=EJEMPLHallar ela) GOS nxb) sen 2n2c) send) tan xe) Constxf) tan-3http://carlos2524.jimdo.com/SERIESTRIGONOMTRICASYFUNCIONESPERIDICAS549 perof(x+ 2T) =f(x+ T)porquefesperidicaconperiodoT,entonces tenemos: f(x)=f(x+ T) =f(x+ 2T) =f(x+ 3T)=... =f(x+ nT)D Paran=0, 1,+ 2, 3,+ 4,... ,yXER Obtencin del mnimo periodo Lafuncinsen xtieneperiodos2n, 4n,6n,.. "yaque sen (x+ 2n) =sen (x+ 4n) =sen (x+ 6n) =.. . =sen x.Sinembargo,elme-nordetodoselloses2n. En general,elmnimoperiodoocurrircuando: periodonaturaldelafuncin T =----------------------dondeneselcoeficientedelngulo. EJEMPLO 1 Obtenerelmenorperiododef(x)= cos 2x. Comoelperiododelafuncincosenoes2n 2n T = --- = n 2 T=n,paraf(x)=cos 2x. EJEMPLO2 Hallarelperiodomenordelasfunciones: a)cos nx b)sen 2nx 2nnx c)sen---k d)tanx e)Constante x f)tan-. 3 http://carlos2524.jimdo.com/550SERIESDEFOURIER a)Elperiododelafuncincosenoes2n T= 2eselperiododef(x)= cos nx. b)Elperiododelafuncinsenoes2n -+T=2n=1 2n T=1eselperiododef(x)=sen 2nx. c)2nnn k k2n nx T=--;;eselperiododef(x) =sen - -k- o d)Lafuncintan xtieneperiodoT=n. e)Lafuncinconstantetienecualquiernmeropositivocomoperiodo, portantonotieneperiodomnimo. f)Comolafuncintan xtieneperiodon-+ EJEMPLO3 1/3 Podemosconvertir en peridica una funcinquedepor snOlosea: f(x)=eXpara- n< x< nyf(x) =f(x+ 2n) Sugrficaes: x 31t1t1t Figura8.1 http://carlos2524.jimdo.com/SERIESTRIGONOMTRICASYFUNCIONESPERIDICAS Integralesqueseutilizanfrecuentemente: f sen nx dx =- GOSnx + G f GOSnx dx= sen nx + G x sen nx dx= - sen nx- - GOSnx + G f 1x n2 n f 1x x GOSnx dx=- GOSnx+ - sen nx+G n2 n f 2x2X2 X2sen nx dx=- sen nx+(- - -) GOSnx+G n2 n3 n f 2xX22 X2GOSnx dx=- GOSnx+ (- - -3) sen nx + G nn. J sen nx GOSnx dx= sen2 nx+ G 2n eax sen bx dx =+ G J e= (asen bx - b GOSbx) a2 + b2 eax GOSx dx=. + e J b eax(aGOSbx - b sen bx) a2 + b2 J sen (m- n) xsen (m+ n) x sen mx sen nx =- -1 - G 2 (m- n)2 (m+ n) sen mx GOSnx dx=- - + G J .Gos(m- n)xGos(m+ n)x 2 (m- n)2 (m+ n) f sen (m- n) xsen (m+ n) x GOSmx GOSnx dx=++ G 2 (m - n)2 (m+ n) 551 http://carlos2524.jimdo.com/552SERIESDEFOURIER Ejercicios 8.1 1.Delassiguientesfuncionesperidicashallartresperiodosquelescorres-pondan: a)GOSxc)GOS2x x e)sen-2 b)Gotxd)sen 2xf)Gas3x Respuestas:a)2n,4n,6n,.. . b),c),d)n,2n,3n, e)4n,8n,12n,... 2n4Tt f)3' 3' 2n,.. . 2.Encontrarelmnimaperiododelassiguientesfunciones: a)sen xc)tan x b)Gasxd)Gotx Respuestas:a),b)2n c),d),e),f)n g),h)1 i) j) 2 3 1 2 e)sen2xg)sen 2nx f)Gas 2xh)Gas2nx i)sen 3nx j)Gas 4nx 3.Graficarlassiguientesfuncionesenelmismosistemadecoordenadas : 111 a)Gasx,Gasx+ -Gas2x,Gasx+ -Gas2x + - cas3x 223 111 b)sen x,sen x+ - sen 3x,sen x+ - sen 3x+ - sen 5x 335 Graficarlassiguientesfunciones: x 4.f(x) = 4'-n< x< n,f(x+ 2n) = f(x) http://carlos2524.jimdo.com/DE FOURIERue les corres-i)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA sen 31tx) cos 41txdenadas:SERIES TRIGONO MTRICASutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y FUNCIONES PERIDICAS553IHGFEDCBAX 1t5. f(x) = 2 -2' -1t