Economia, banca i mercats financers€¦ · Interès simple i compost El càlcul d'interessos pot...

Economia, banca i

mercats financers

Tema 13 Conceptes bàsics de

matemàtica financera i d'anàlisi

de rendibilitat d'operacions,

casos de negoci i projectes

d'inversió Versió 2016 © Tea Cegos, S.A.

2

Tema 13. Conceptes bàsics de



casos de negoci i projectes d'inversió

© Tea Cegos, S.A. 2016

ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS

ÍNDEX

CONCEPTES BÀSICS .............................................................................................. 4

OPERACIONS A INTERÈS SIMPLE .......................................................................... 8

CAPITALITZACIÓ SIMPLE ............................................................................................. 8

Cas d'interès simple amb capitals i tant d’interès únic ............................. 8

Cas d'interès simple amb capitals i tants d'interès, tots dos diferents, a

igual termini. Càlcul del “tant mitjà” .......................................................... 11

ACTUALITZACIÓ O DESCOMPTE SIMPLE ................................................................ 12

Descompte simple “comercial” .................................................................. 12

Descompte simple “racional”, teòric o “matemàtic” ............................. 13

Comparació entre descompte comercial i descompte racional ......... 14

Cas especial de les lletres del tresor ........................................................... 15

Variacions al capital. “Números comercials” ........................................... 17

Interès simple anticipat ................................................................................. 24

OPERACIONS A INTERÈS COMPOST ................................................................... 25

CAPITALITZACIÓ COMPOSTA .................................................................................. 25

Definició i aclariment sobre tants nominals i efectius en la capitalització

composta ....................................................................................................... 25

Càlculs en interès compost i fórmules de base ........................................ 29

Tipus d'interès spot i forward ........................................................................ 32

Consideracions sobre la capitalització periòdica dels interessos .......... 34

ACTUALITZACIÓ A INTERÈS COMPOST ................................................................... 36

GENERALITATS SOBRE L'ACTUALITZACIÓ A INTERÈS COMPOST .......................... 36

CONSIDERACIONS SOBRE L'ACTUALITZACIÓ PERIÒDICA DELS INTERESSOS ...... 37

EQUIVALÈNCIA DE CAPITALS ............................................................................. 39

INTRODUCCIÓ ........................................................................................................... 39

EQUIVALÈNCIA A INTERÈS SIMPLE ........................................................................... 39

EQUIVALÈNCIA A INTERÈS COMPOST ..................................................................... 42

CRITERIS DE SELECCIÓ I ANÀLISI D'INVERSIONS ............................................... 51

INTRODUCCIÓ ........................................................................................................... 51

CRITERI DEL “PERÍODE DE RECUPERACIÓ” O “PAY BACK” ................................. 52

3







CRITERI DE “VALOR ACTUALITZAT NET” (VAN) ...................................................... 52

CRITERI DEL “ÍNDEX DE RENDIBILITAT” (IR) .............................................................. 54

CRITERIS DE LA “TAXA DE RENDIBILITAT INTERNA” (TIR), DE LA TAXA ANUAL

EQUIVALENT (TAE), DE LA TAXA DE RENDIBILITAT EFECTIVA (TRE) I DE LA TAXA

DE RENDIBILITAT REAL PER A L'INVERSOR ............................................................... 55

La TIR ................................................................................................................ 55

La TAE .............................................................................................................. 56

La TRE ............................................................................................................... 57

La taxa de rendibilitat real per a l'inversor ................................................. 59

4







CONCEPTES BÀSICS

Qui presta diners renuncia durant cert temps a gastar-se’ls o a obtenir-ne un

rendiment en altres inversions alternatives. Per contra, qui els rep té l'oportunitat

d'utilitzar-los (gastar-se’ls o invertir-los) durant aquest mateix temps. Si un capital

no reporta interessos, és preferible recuperar-lo al més aviat possible o pagar-lo

al més tard possible. Com més aviat es disposi dels diners, abans es podran

utilitzar.

En definitiva, qui presta ho fa perquè té una preferència temporal diferent a la

del prestatari, per la qual no li importa renunciar a béns presents contra béns

futurs i assumeix uns riscos de crèdit i de mercat, a part dels d'inflació i reinversió,

com ja sabem. Per això, és raonable que qui rebi els diners compensi

econòmicament a qui els presta. Es tracta de pagar-li per la seva renúncia a

disposar dels seus diners des de ja i pels costos i riscos associats a aquesta

operació. En termes econòmics es diu que es compensa el cost d'oportunitat.

Per estudiar tot allò relacionat amb els càlculs d'aquest “preu de renúncia

temporal” hem de saber el que signifiquen els termes que anem a utilitzar en tot

aquest tema.

Matemàtica financera és la disciplina que efectua l'estudi de les

operacions financeres a través del mètode deductiu matemàtic.

Operació financera és un intercanvi temporal de capitals expressats en

moneda, en diners, i per tant, en el qual el lliurament i la recuperació

d'aquests es produeixen en dates diferents. Suposa que existeixen dues

parts que s’han posat d'acord prèviament, per transferir-se uns capitals

que “entenen ambdues com a equivalents”, segons una valoració

objectiva que recull el preu de la renúncia temporal d'una, la que presta i

els riscos que aquesta assumeix. Aquesta valoració de renúncia temporal i

de riscos es desenvolupa sota els principis de la matemàtica financera. En

tota operació financera ha d'haver-hi “equilibri financer”, això és, ha

d'haver-hi “equivalència financera” entre la prestació i la contraprestació.

Aquesta sempre consta de quatre elements. Els quatre enllaçats de tal

manera que, coneguts tres d'ells, sempre podem determinar el quart:

- Prestació

- “Llei financera”

- Temps o termini

- Contraprestació

5







Exemple: Avui imposa vostè en un compte d'estalvi a termini 10.000 EUR

(prestació). L'acord és rebre al cap d'un any (temps o termini) aquest

capital més 100 EUR (contraprestació). La matemàtica financera ens

serveix per dir-nos que l'interès que li paga l'entitat és de l’1 % anual (llei

financera).

Prestacions i contraprestacions: simples-úniques i complexes-múltiples.

L'exemple anterior és el d'una operació simple ja que prestació i

contraprestació estan formades per un únic capital. Les complexes o

múltiples, estan formades per prestacions o contraprestacions de diversos

capitals. Si un banc concedeix un préstec de 100.000 EUR a 15 anys, per a

l’adquisició d'habitatge, per exemple, i el prestatari es compromet a

pagar 180 quotes mensuals de 844,00 EUR, la prestació és única i la

contraprestació és múltiple. Per contra, si una persona es compromet a

ingressar periòdicament 5.000 EUR durant 48 mesos i l'entitat a retornar-li

275.000 EUR al final d'aquest termini, la prestació és múltiple i la

contraprestació és única. Si vostè imposa en un fons de pensions una

quantitat mensual de 1.000 EUR i al cap de 20 anys desitja obtenir una

renda durant deu anys, la prestació és múltiple i la contraprestació també

ho és.

Subjectes d'una operació financera. Són les persones que intervenen en

l'operació financera, un és el subjecte actiu, normalment un estalviador i

un altre, és el subjecte passiu, normalment un inversor o un intermediari de

l'inversor final.

Capital financer. El valor dels diners depèn, entre d’altres coses i pel que

ens ocupa, del moment en què se’n disposa. Per això, un capital financer

és el conjunt de dues variables: un import i una data de disponibilitat. Vist

així, és el conjunt de fluxos d'efectiu o de mitjans que es transmeten els

subjectes de l'operació financera entre ells.

En càlcul financer, el concepte de “capital” indica els recursos emprats

en una operació financera. Aquests recursos poden ser diners o altres

béns, que sempre es valoren en diners. Per això pot utilitzar-se aquí

indistintament, i amb el mateix significat, capital i diners. Aquests capitals

es representen normalment per mitjà de: (C, T), capital a l'inici i capital al

final. Aquests dos capitals financers seran iguals si tenen la mateixa

quantia i el mateix període de carència. (C1, T1) “ (C2, T2). És a dir:

(C1, T1) I___________________________I (C2, T2)

6







Equivalència financera. És tota relació quantitativa exacta que lliga els

components dels capitals financers entre si.

Llei financera. És l'acord que lliga a les parts, expressat matemàticament

(una fórmula matemàtica), sobre la manera en què es lliuraran o mouran

els capitals. Els moviments només poden ser de dos tipus:

- Des del present cap al futur, que es diu “capitalitzar”. És sumar a un

capital actual (préstec o inversió) els interessos reportats

- Des del futur cap al present que es diu “actualitzar”. (En ocasions

s'utilitza l'expressió “descomptar”). És restar d'un capital futur els

interessos que aquest encara no ha reportat.

Les lleis financeres també es coneixen com a “règims financers” ja que són

els criteris utilitzats en la pràctica per definir les operacions financeres. Es

poden classificar en dos tipus:

- Lleis o règims financers “pràctics”. El preu es paga d'una sola

vegada, al final o al principi. S'utilitzen per a operacions a curt

termini. Dins d'aquests règims ens trobem amb:

o La capitalització simple

o El descompte comercial simple

o El descompte financer simple

- Lleis o règims financers “racionals”: Les seves característiques són

que el preu es paga periòdicament i s'utilitzen per a qualsevol

termini. Dins d'aquests règims ens trobem amb:

o La capitalització composta

o El descompte compost

Preu financer. Se l’anomena “tipus o taxa d'interès”. És el rendiment

produït per una unitat de capital en una unitat de temps. És, doncs, un

preu unitari (en temps) de l'operació. Per tant, coneixent l'import d'un

capital i els interessos, o preu total, que reporta durant un període de

temps, per exemple, un any, podem calcular el tipus d'interès anual

dividint aquests interessos pel capital prestat. Tot finançament té un preu,

representat per aquest tipus o taxa d'interès, el qual pot ser indicat de

diferents formes, les més corrents són tres:

7







- Preu total o “interès”: Diferència en termes absoluts (expressada en

diners) entre la quantia inicialment lliurada i la quantia finalment

rebuda en l'operació.

- Preu unitari respecte a la quantia inicial, també denominat “tant

efectiu d'interès” (Im). Un exemple seria: (100, 0) “ (102, 2). La qual

cosa suposa que el tant efectiu d'interès obtingut en els dos

períodes “I2” serà = 2 %

- Preu unitari respecte a la quantia inicial i mitjà respecte al termini,

també denominat “tant nominal d'interès” (Jm). És el preu per euro i

any (o període)

Quan el termini de l'operació és d'un any, el tipus d'interès es denomina

tipus d'interès nominal. Quan és inferior a un any, es denomina tipus

d'interès efectiu i fa referència al període. Així, per exemple, si els

interessos produïts per 1.000,00 EUR durant 6 mesos han estat 30,00 EUR,

parlem d'un tipus d'interès efectiu semestral del 3 %. Al tipus d'interès

també se l’anomena rèdit, taxa o tant d'interès.

Interès simple i compost El càlcul d'interessos pot realitzar-se només una

vegada, en acabar el període de durada de l'operació, o bé per

fraccions d'aquest període total (mesos, trimestres, semestres, anys).

- L'interès simple consisteix en el càlcul d'interessos sobre tot el

període de l'operació i la seva liquidació d'una sola vegada.

- L'interès compost consisteix en el càlcul d'interessos sobre cada

període de càlcul i l'acumulació d'aquests interessos al capital

inicial d'aquest període, la qual cosa dóna lloc a un nou capital

sobre el qual calcular els nous interessos.

Els interessos es capitalitzen en cada període de liquidació. És evident que

el resultat obtingut per a una mateixa operació varia sensiblement segons

es calculi per interès simple o compost.

No ha de confondre's el mètode de càlcul dels interessos (compost o

simple) amb la capitalització d'aquests interessos. La majoria dels

productes financers acostumen a calcular els interessos pel mètode simple

i els interessos reportats poden capitalitzar-se i generar un nou capital

(parlem llavors de productes de capitalització, com ara els plans de

8







pensions) o bé liquidar-se mantenint íntegre el capital inicial (és el cas de

la majoria dels productes financers).

Gràfics financers. S'utilitzen per representar operacions financeres de

capitalització i actualització o descompte. ja que el valor d'un capital

depèn de la data en què pugui disposar-se d'ell, en aquests gràfics

apareixeran sempre:

- Els capitals que intervenen en l'operació.

- La data de disponibilitat de cadascun dels capitals.

Normalment sobre una línia horitzontal, que indica el pas del temps, es

marquen les dates. Els capitals es representaran mitjançant línies

perpendiculars a la línia del temps; les orientades cap avall indiquen

capitals actuals o inicials, mentre que les orientades cap amunt indiquen

capitals futurs o finals.

OPERACIONS A INTERÈS SIMPLE

CAPITALITZACIÓ SIMPLE

Són aquelles en les quals es pacta que els interessos que produeix un capital no

es capitalitzin fins al final de l'operació. Per això els interessos són “improductius” i,

a més, es calculen tan sols sobre el capital.

CAS D'INTERÈS SIMPLE AMB CAPITALS I TANT INTERÈS ÚNIC

La llei financera que s'aplica és la de l'interès simple. Per tant, el preu es calcula

per mitjà d'un tant nominal d'interès “i” proporcional a la quantia prestada

inicialment “C0” i al termini de l'operació “n”. Això és:

Cn = C0+(C0*i*n) = C0*(1+(i*n))

9







Un capital de 1.000,00 EUR invertit a dos anys al 2 %, donarà un capital final en

capitalització simple de:

C2 = 1.000,00 *(1+0,02*2) = 1,040,00 EUR

És molt important tenir present a l'hora d'aplicar la fórmula general que els termes

de temps “n” i del tant d'interès “i” han de ser homogenis, per la qual cosa han

de referir-se al mateix període de temps. Així si “n” és igual a anys, “i” és tant

nominal anual, mentre que si és igual a semestres, “i” ha de dividir-se entre 2, i si

és igual a trimestres, entre 4, etc. Com veiem, els tants d'interès sempre són

proporcionals a un any de 360 dies. Exemple: Un 12 % anual equival a un 3 %

trimestral i a un 6 % semestral o a un 1 % mensual.

Si el tipus d'interès i el termini o període es refereixen a unitats de temps diferents,

abans d'utilitzar els valors “i” i “n”, cal homogeneïtzar aquestes unitats. És

aconsellable sempre expressar ambdues magnituds en anys, d'acord amb les

regles següents:

Si el tipus d'interès és efectiu, perquè es refereix a una unitat de temps

inferior a l'any (per exemple, tant per un mensual), cal multiplicar el tipus

d'interès pel nombre de vegades que aquesta unitat de temps cap en un

any. D'aquesta manera, obtindrem el tipus d'interès nominal. Exemples:

- Un interès efectiu mensual de 0,01 per un equival a un tipus d'interès

nominal o anual de 0,12 per un (0,01 · 12 mesos = 0,12 anual).

- Un interès efectiu trimestral de 0,035 per un equival a un tipus

d'interès nominal o anual de 0,14 per un (0,035 · 4 trimestres = 0,14

anual).

- Si el temps es refereix a una fracció d'any (mesos, trimestres,

etcètera), cal dividir-lo pel factor que indica el nombre de vegades

que aquesta unitat cap en un any. Exemple: 18 mesos = 1,5 anys

(18 / 12 mesos = 1,5 anys).

10







Vegem alguns exemples:

1. Indiqueu per quin factor cal multiplicar els següents tipus d'interès efectius

per convertir-los en tant per un anual i trobeu el resultat:

Tipus d'interès efectiu Factor Tipus d'interès nominal

Tant per un anual

0,06 per un semestral ……… ………



Solució:

Tipus d'interès efectiu Factor Tipus d'interès nominal

Tant per un anual

0,06 per un semestral 2 0,12



En interès simple és el mateix parlar d'un 0,06 per un semestral que d'un

0,12 per un anual o un 0,01 per un mensual. (En canvi, aquesta regla no és

vàlida per a l'interès compost.)

2. Indiqueu per quin número cal dividir els següents temps per expressar-los

en anys i trobeu el resultat

Temps Divisor Resultat anys

24 mesos ……………………... ………………………..

5 trimestres ……………………….. ………………………..

2 semestres ……………………….. ………………………..

130 dies ……………………….. ………………………..

11







Solució:

Temps Divisor Resultat anys

24 mesos 12 2

5 trimestres 4 1,25

2 semestres 2 1

130 dies 360 (o 365) 0,361 (o 0,356)

Per convertir els dies en anys pot utilitzar-se el divisor 360, si es considera

l'any comercial (12 mesos de 30 dies), o el divisor 365, si es considera l'any

natural. En banca s'empra un divisor o l’altre depenent de l'operació

financera a realitzar. Per a interessos “actius” s'utilitza 360 i per als “passius”

365 jugant així cinc dies a favor de l'entitat en un cas i en l’altre. Cal

destacar també que, quan es parli de períodes de temps compresos entre

dues dates, han de calcular-se els dies de calendari exactes per després

transformar-los en anys. Així, entre el dia 3 de març i el 20 d'abril hi ha 48

dies, és a dir, arrodonint decimals, 0,132 anys (48 / 365).

CAS D'INTERÈS SIMPLE AMB CAPITALS I TANTS D'INTERÈS,

TOTS DOS DIFERENTS, A IGUAL TERMINI. CÀLCUL DEL

“TANT MITJÀ”

Si es tractés d'un conjunt de capitals diferents, cadascun d'ells col·locats a una

taxa diferent, el tant mitjà serà el que ens doni el mateix import final aplicat a la

suma de capitals inicials.

Exemple:

Tenim tres capitals de: 100 a l’1 %, 110 a l'1,2 % i 150 al 2 %, tots a venciment de

dos anys. L'import del capital final serà:

(100*(1+0,01*2)) + (110 * (1+0,012 *2)) + (150 * (1+ 0,02*2) = 102 + 112,64 +156 =

370,64 EUR

Els capitals inicials eren: 100+110+150 = 360 EUR

12







El tant mitjà “Im”, d'acord amb la definició, serà:

360 *(1+ (Im * 2) = 370,64; 370,64/360 = 1+ Im *2;

1,03-1 = Im; Im = 3 %

ACTUALITZACIÓ O DESCOMPTE SIMPLE

DESCOMPTE “COMERCIAL” SIMPLE

És el que s'aplica en la negociació de factures, pagarés o efectes de comerç,

d'aquí el seu nom. La “llei” financera utilitzada en aquest cas és coneguda pel

mateix nom i busca anticipar quin és el capital a percebre, al moment en què se

sol·licita l'actualització, procedent de l’“actualització” d'un import que s'hauria

de cobrar al final d'un període.

És indubtable que a aquest capital final se li haurà de restar l'import d'interessos

corresponent a aquesta “anticipació” (d'aquí el nom de “descompte”). Aquests

interessos es calculen amb un tant nominal “d” que és proporcional a la quantia

a anticipar i al termini d'aquesta anticipació.

Suposem, per entendre la “llei” del descompte simple o comercial, que tenim un

efecte de comerç amb un import a cobrar “C” en un termini “n” i que desitgem

descomptar-ho a data d'avui. L'import del descompte serà:

Interessos del descompte comercial “Idc” = (C*d*n)

La quantitat efectiva que rebrem serà: C – (C*d * n) = C* (1-d*n)

És evident que en aquesta operació el tant efectiu d'interès no és el tant de

descompte ja que els interessos es calculen sobre el capital final i no sobre el

realment rebut.

13







Exemple:

Tenim una lletra a 360 dies, d'import 1.000,00 EUR, que volem descomptar a data

d'avui i ens ofereixen fer-nos-ho al 3,00 % de taxa de descompte. Quins seran el

capital rebut i el tant d'interès efectiu?

Solució:

Interessos del descompte: 1.000 *0,03* 360/360 = 30,00 EUR

Quantitat efectiva rebuda: 1.000,00 – 30,00 = 970,00 EUR

Tipus d'interès efectiu: 30,00 /970,00 = 0,0756 = 0,0309 = 3,09 %. (Enfront del

3,00 % de descompte).

DESCOMPTE “RACIONAL”, TEÒRIC O “MATEMÀTIC”

SIMPLE

Únicament difereix de l'anterior en què ara el preu s'obté de manera que el tant

nominal de descompte “d” és proporcional a la quantia efectivament

percebuda originàriament en anticipar el cobrament de la lletra o l’efecte de

comerç. En la pràctica, és el tipus de descompte comercial el que s'usa per

“anticipar” les lletres o els efectes de comerç.

Suposem, per entendre la “llei” d'aquest segon cas, que tenim el mateix efecte

de comerç que en el cas del descompte comercial. Un efecte d'un import a “C”

a un termini “n” i que desitgem descomptar a data d'avui, d'acord amb una llei

de descompte racional. L'import del descompte serà:

Si “Ve” és la quantitat efectiva a rebre de l'operació de descompte, els interessos

del descompte racional “Id” seran:

Idr= (Ve*d*n).

La quantitat efectiva “Ve” que rebrem serà:

Ve= Cn – (Ve*d*n)

14







Pel que,

Ve+ (Ve*d*n) = Cn; Ve*(1+d*n) = Cn;

És a dir:

Ve= Cn / (1+d*n)

Pel que podem posar tot referit a la fórmula general anterior:

Idr = [Cn / (1+d*n)] * d * n

Si ens fixem, és molt senzill d'entendre ja que és l'operació contrària de la

capitalització simple. En efecte, en aquella fèiem:

Cn =C0+ C0* i*n = C0* (1+i*n);

aïllant tenim:

C0 = Cn / (1+i*n) que no és sinó la nostra formula de: Ve= Cn / (1+d*n)

COMPARACIÓ ENTRE DESCOMPTE COMERCIAL I

DESCOMPTE RACIONAL

Si comparem ambdues “fórmules”, veiem que la quantitat d'interessos del

descompte comercial és superior a la del descompte racional:

Idc” = Cn*d*n

Idr = [Cn / (1+d*n)] * d * n

15







Si dividim entre elles les dues expressions, tenim:

Idc / Idr = 1/ [1/(1+d*n)] = (1+d*n);

Amb el que obtenim l'expressió que lliga un tipus de descompte i l’altre amb

aquesta “quantitat superior”:

Idc = Idr * (1+d*n)

CAS ESPECIAL DE LES LLETRES DEL TRESOR

Les lletres del tresor són actius emesos al descompte ja que el comprador cobra,

al final del període d'emissió, el valor nominal i paga, a l'inici del període, el valor

efectiu o descomptat. Les emeses a terminis iguals o inferiors a 12 mesos es

calculen aplicant les fórmules del descompte racional. En canvi, les que

s'emeten a 18 mesos es calculen aplicant les fórmules de l'interès compost. Ara

ens referirem únicament a les lletres del tresor a 12 mesos, que, per tant, utilitzen

les fórmules del descompte racional simple.

Les lletres del tresor tenen un valor nominal de 1.000,00 EUR. Les emeses a 12

mesos (o 52 setmanes) tenen una vida exacta de 364 dies: les subhastades, per

exemple, el 19 d'abril vencen el 18 d'abril de l'any següent. En la subhasta es fixa

el preu mitjà: és el que ha de pagar el comprador per cada 100,00 EUR. Així, un

preu mitjà de 96,90 EUR indica que, per adquirir 100,00 EUR, cal pagar 96,90 EUR.

(Es tracta, per tant, d'un percentatge)

Exemple1. Si el Tresor publica les següents dades d'una subhasta de lletres a 12

mesos:

Data de liquidació: 15 de juny

Preu mitjà: 97,547 EUR

Indiqueu:

Valor nominal de la lletra:

Valor efectiu:

Data de venciment

16







Import del descompte:

Solució:

Valor nominal de la lletra: 1.000,00 EUR

Valor efectiu: 975,47 (Ja que el preu mitjà és de 97,547 per cada 100 EUR

Data de venciment: 14 de juny de l'any següent

Import del descompte: 24,53

El tipus d'interès nominal s'obté aplicant la següent fórmula:

Exemple 2. Calculeu el tipus d'interès amb les dades del cas anterior, utilitzant

dos criteris de càlcul que fixa el Tresor: Usar com a base de l'any 360 dies (any

comercial) i el tipus d'interès resultant no arrodonir-lo sinó truncar-lo al cinquè

decimal (o tercer del percentatge).

Solució:

Utilitzant la formula anterior direm:

En definitiva, s'obté el tipus d'interès que surt publicat a la subhasta. Si el

comprador basa els seus càlculs en l'any natural (365 dies), quan apliqui la

fórmula anterior obtindrà un tipus d'interès lleugerament superior

17







Una altra operació comuna, en lletres del tresor, és calcular el descompte i, en

conseqüència, el valor efectiu, quan es coneix el tipus d'interès. S'ha d'utilitzar la

fórmula del descompte racional:

Exemple:

Calculeu l'import que ha d'abonar-se per una lletra del tresor a 12 mesos si el

tipus d'interès resultant de la subhasta és del 2,487 %.

Valor del descompte:

Valor efectiu:

VARIACIONS AL CAPITAL. “NÚMEROS COMERCIALS”

En les operacions de capitalització pot ocórrer que, al llarg del temps, variï el

capital o el tipus d'interès, o ambdues coses alhora. La variació del tipus d'interès

és menys freqüent. Força més corrent és la variació del capital; un cas típic és el

del compte corrent bancari, que sol registrar freqüents moviments de diners.

Per calcular els interessos, en aquest cas, cal considerar tants períodes com

capitals diferents existeixin al llarg del temps de capitalització. Després se

sumaran els interessos de tots els períodes.

18







Gràficament, l'operació pot resumir-se d'aquesta manera:

Dividim el temps total en tants períodes (n1, n2, n3...) com a capitals diferents

existeixin (C0, C1, C2...).

Fins ara, havíem denominat C0 al capital inicial i Cn al capital final d'una

operació de capitalització. En el gràfic que acabem de veure, hi ha diversos

capitals i, en conseqüència, diversos períodes, de manera que el capital inicial

d'un període es correspon amb el capital final del període immediatament

anterior. Per tant:

En el període n1 el capital inicial és C0 i el final, C1

En el període següent, n2, el capital inicial és C1 i el final, C2.

I així successivament.

El capital inicial C0 roman sense variació durant el temps n1. Després, s'ingressen

o reintegren diners obtenint-se un altre capital C1 que roman invariable durant

un altre període n2. El següent moviment dóna lloc a un altre capital C2 durant

un temps n3, etc.

En cadascun dels cinc períodes es produeixen, respectivament, els interessos I1,

I2, I3, I4, I5, però considerem que no se sumen al capital perquè aquest és un cas

d'interès simple. La suma d'I1+ I2+ I3+ I4+ I5 són els interessos simples totals

reportats durant el temps total de capitalització.

Els interessos de cada període seran, respectivament:

n1 n2 n3 n4 n5

períodes

capitals Co C1 C2 C3 C4

19







Per tant, la fórmula per trobar la suma d'interessos de tots els períodes serà:

Es tracta, en definitiva, d'aplicar la fórmula de l'interès simple per a cadascun

dels períodes. El tipus d'interès (i) és comú, però cada capital i temps de

capitalització poden ser diferents. Per això, es pot treure “i” com a factor comú,

obtenint-se:

El producte de cada capital pel temps del seu respectiu període C0· n1, C1· n2...

rep el nom de número comercial; el representarem amb la lletra N. Així:

En el càlcul dels números comercials de comptes corrents bancaris el temps

s'expressa en dies, ja que el capital pot variar diàriament.

La utilització de nombres comercials ens porta a la fórmula:

L'aplicació d'aquesta fórmula resulta més senzilla que calcular els interessos de

cada capital diferent

Exemple:

Un particular obre un compte en una entitat financera, al 3 % anual, realitzant un

ingrés inicial de 2.580,00 EUR. Al cap de 20 dies ingressa 720,00 EUR més; 35 dies

després en retira 600,00; 80 dies més tard n’ingressa 1.500,00; finalment, 60 dies

després l'entitat liquida els interessos. Completeu l'esquema que representa els

moviments d'aquest compte:

20







Període Moviments Capital Durada

dies

1 + 2.580,00 2.580,00 20

2 + 720,00 3.300,00 35

3 - 600,00 2.700,00 ………………

4 ………………… ……………… ………………

Solució:

Període Moviments Capital Durada

dies

1 + 2.580,00 2.580,00 20

2 + 720,00 3.300,00 35

3 - 600,00 2.700,00 80

4 + 1500,00 4.200,00 60

Exemple:

Completeu els números comercials de l'exemple anterior:

N1= 2.580,00 *20 = 51.600,00

N2 =

N3 =

N4 =

Solució:

21







Els números comercials es calculen amb el temps expressat en dies. Com que el

tipus d'interès es refereix a l'any, caldrà dividir els números comercials per 365, per

convertir-los en anys:

Aplicant la fórmula anterior es poden trobar els interessos totals obtinguts en

concloure l'últim període de l'exemple anterior. (Recordem que el tipus d'interès

nominal és del 3 %.)

Una altra forma de trobar els interessos d'un compte es basa en el càlcul del

saldo mitjà creditor. Tornem a l'exemple anterior:

Saldo Dies

2.580,00 EUR 20

3.300,00 EUR 35

2.700,00 EUR 80

4.200,00 EUR 60

195

Mètode:

1-. Es calcula el saldo mitjà:

22







És a dir:

2-. Calculeu els interessos considerant que el capital inicial és igual al saldo mitjà:

Fins ara hem suposat que el tipus d'interès romania constant. Normalment és així,

però de vegades les circumstàncies dels mercats, o la importància dels saldos

dels comptes, fan que es modifiquin els tipus de retribució dels dipòsits en les

entitats financeres. En aquest cas, es dividirà el temps en tants períodes com

variacions de tipus d'interès hi hagi hagut i es calcularan interessos per a

cadascun, aplicant el seu tipus corresponent.

Exemple:

Imaginem que un banc aplica un tipus d'interès del 4 % anual a determinats

comptes dels seus clients. Però, a causa d'un descens generalitzat dels tipus, el

banc modifica el tipus d'interès d'aquests comptes, segons el següent criteri:

3,75 % a partir de l’1 d'abril.

3,50 % a partir de l’1 de setembre.

Calculeu els interessos que percebrà un client que durant tot l'any ha mantingut

un saldo constant de 12.000,00 EUR en el compte.

23







Solució:

Un altre motiu que obliga a aplicar un tipus d'interès variable són els dipòsits que

es remuneren per trams, segons la quantia del saldo. Per exemple: els primers

1.000,00 EUR no tenen cap retribució; des de 1.000,01 a 5.000,00, l'1 % anual; des

de 5.000,01 fins a 10.000,00, el 2 %; des de 10.000,01 endavant, el 4 %, etc.

Exemple:

Un client manté durant un any un dipòsit de 12.000,00 EUR pels quals rep un

interès variable (en les condicions que es mostren a continuació). Calculeu els

interessos produïts per cada interval de capital:

Intervals Tipus d'interès anual Capital

Primers 1.000,00

1.000,01 a 5.000,00

5.000,01 a 10.000,00

10.000,01 i més

0 %

1 %

2 %

4 %

Totals

1.000,00

4.000,00

5.000,00

2.000,00

12.000,00

24







Solució:

El temps (n) és 1 perquè el capital es manté constant durant tot l'any. El tipus

d'interès variable pot aplicar-se per diferents motius. Hem vist els dos principals.

En qualsevol cas, es dividirà el temps de capitalització en tants períodes com

sigui necessari i s'aplicarà, a cadascun, el seu tipus d'interès.

INTERÈS SIMPLE ANTICIPAT

El més normal és que els interessos es cobrin al final del període de capitalització.

Però també poden cobrar-se al principi. Aquest fet, no és tan estrany ja que

freqüentment en la vida real, ocorre que quan es col·loca un capital en una

entitat financera es rep com a remuneració algun bé. Aquest bé es rep en

formalitzar l'operació i, al final, es recuperarà el mateix capital que es va

col·locar.

Suposem, per exemple, que un banc lliura com a element d'interessos un bé de

consum durador, el preu de mercat del qual és 230,00 EUR, a aquells clients que

dipositin, durant un any, un capital d'11.500,00 EUR. L'import dels interessos és

230,00 EUR (per ser el preu del bé amb el qual es remunera al client). El tipus

d'interès que l'entitat ha pagat a compte s'obté dividint els interessos entre el

capital invertit: 230,00 / 11.500,00 = 0,02.

Però els 230,00 EUR d'avui no són el mateix que 230,00 EUR d'un any després. Per

tant, els interessos que hem calculat (anticipadament) no seran els mateixos que

si el càlcul el féssim al venciment. Per fer el càlcul al venciment, haurem de

suposar que el capital inicial és el capital dipositat menys l'import del bé rebut; és

a dir:

C0 = 11.500,00 – 230,00 = 11.270,00 EUR.

25







Per calcular ara el tipus d'interès al venciment hem d'aplicar la formula

coneguda de:

i = I / Co*n

És a dir:

230,00/ 11.279,00 *1 = 0,0204

El tipus d'interès anticipat (que indicarem amb el símbol “i’”) es pot calcular a

partir del tipus d'interès al venciment (que indicarem amb el símbol “i”), aplicant

la fórmula general del descompte:

i’ = i /(1+(i*n)

A partir d'aquesta fórmula es pot obtenir la inversa, que permet conèixer el valor

d'”i”:

i = i’/ (1- i’*n)

Així, en l'exemple anterior: I = 0,02 / (1- 0,02*1) = 0,0204

OPERACIONS A INTERÈS COMPOST

CAPITALITZACIÓ COMPOSTA

DEFINICIÓ I ACLARIMENT SOBRE TANTS NOMINALS I

EFECTIUS EN LA CAPITALITZACIÓ COMPOSTA

El preu del finançament se satisfà i s'acumula al final de cada període “p”. Així

doncs, aquests interessos són “productius”, mentre s'acumulen al capital inicial

produint variacions discretes en la seva quantia. El preu del finançament es

determina a través d'un tant nominal d'interès “i” que és proporcional a la

quantia acumulada a l'inici de cada període i a la seva extensió. Al final del

26







termini de tota l'operació, és a dir, de la suma dels períodes, es lliura la quantia

total acumulada. És a dir:

Moment al final de

cada període

Càlcul de les quanties Factor comú Quantia final

0 Co Co Co

1 Co+ Co*i Co*(1+i) Co*(1+i)

2 [Co*(1 + i)] + [Co*(1 + i)]*i Co*(1+i)* (1+i)) Co*(1+i)^2

3 [Co*(1+ i) ^2] + [Co*(1 + i)

^2]*i

Co*(1+i)*(1+i)*(1+i) Co*(1+i) ^3

… … … …

N … … Co*(1+i)^N

Cal recordar que en aplicar la formula general de la capitalització a interès

compost:

CN = Co*(1+i)^N

Podem obtenir el capital inicial aïllant en la formula anterior:

Co = CN / (1+i)^N = CN * 1/(1+i)^N

L'expressió (1+i)^N és fonamental, ja que qualsevol capital inicial multiplicada

per ella ens permet trobar el capital final i dividint per ella un capital final

obtenim el capital inicial. En tots dos casos a interès compost. Quan “multiplica”

se l’anomena “factor de capitalització” i quan “divideix” se l’anomena “factor

d'actualització”. Encara que avui dia amb els ordinadors personals i “tablets” ja

no és necessari, encara poden trobar-se taules financeres que faciliten

enormement els càlculs en donar prèviament resoltes les expressions:

(1+i)^N i

1/(1+i)^N

El terme “i” o tant efectiu d'interès i “N”, el nombre de períodes, hauran de venir

expressats d'acord amb la periodicitat de temps. Per això, és imprescindible el

27







que a tot moment es distingeixi mentre nominal d'interès “j” i el tipus efectiu

d'interès “i”. És a dir que, a l'hora de resoldre qualsevol problema de

capitalització o actualització, haurem d'utilitzar tots dos tipus d'interès amb un

subíndex “k” referit al període amb el qual estiguem treballant, ja siguin

trimestres, mesos, semestres, etc. Quan tan sols disposem del tant nominal

haurem de transformar-ho en tant efectiu o viceversa. Per això direm:

Jk és el tant nominal, on “k” és el nombre de parts en què es divideix l'any

i per tant el nombre de vegades que es produeix l'acumulació d'interessos

al capital principal al llarg de l'any. Vr. Gr.: J1 és el tant nominal

acumulable per anys, J2, Ídem aneu per semestres, etc.

Ik és el tant efectiu “k -esimal”. És amb el qual hem d'operar i s'obté de

dividir el tant nominal d'interès Jk, per les “k -èsimes” parts de l'any. És a dir:

Ik = Jk / K

En definitiva, si el tipus d'interès i el període de liquidació d'interessos són anuals,

el temps total de capitalització també haurà d'expressar-se en anys. Si figura en

altres unitats (mesos, dies...) haurà de tenir-se en compte que per convertir:

Dies en anys, s'hauran de dividir els dies entre 365. (O 360, segons el cas.)

Mesos en anys, s'hauran de dividir els mesos entre 12.

Trimestres en anys, s'hauran de dividir els trimestres entre 4. Etc.

Per exemple:

60 dies són 0,1644 anys (60 / 365).

6 mesos són 0,5 anys (6 / 12).

4 trimestres són 1 any (4 / 4).

1 any i 3 mesos són 1,25 anys (15 / 12).

Hi ha una gran diferència entre la capitalització a interès simple i la realitzada a

interès compost per aquesta acumulació dels interessos al final de cada període.

28







Vegem un exemple:

Moment al

final de cada

període

Capitalització simple al 6%

Capitalització composta al 6%

0 100 100 100 100

1 100*(1+0,06*1) 106 100*(1+i)^1 106

2 100*(1+0,06*2) 112 100*(1+i)^2 112,36

3 100*(1+0,06*3) 118 100*(1+i)^3 119,10

4 100*(1+0,06*4) 124 100*(1+i)^4 126,25

5 100*(1+0,06*5) 130 100*(1+i)^5 133,82

6 100*(1+0,06*6) 136 100*(1+i)^6 141,85

7 100*(1+0,06*7) 142 100*(1+i)^7 150,36

8 100*(1+0,06*8) 148 100*(1+i)^8 159,38

9 100*(1+0,06*9) 154 100*(1+i)^9 168,95

10 100*(1+0,06*10) 160 100*(1+i)^10 179,08

11 100*(1+0,06*11) 166 100*(1+i)^11 189,83

… … … … …

N 100*(1+0,06*N) Co *(1+i*N) 100*(1+i)^N Co *(1+i)^N

L'anterior es veu millor encara en un gràfic:

29







CÀLCULS EN INTERÈS COMPOST I FÓRMULES DE BASE

1r. Identificar la incògnita o la dada a calcular. Pot ser Cn, C0, I, i , n.

2n. Identificar les dades conegudes i els seus valors.

3r. Seleccionar la fórmula adequada.

4t. Substituir, en la fórmula seleccionada, els valors de les dades conegudes.

5è. Realitzar els càlculs necessaris per trobar el resultat, és a dir, el valor de la

incògnita.

La forma més ràpida de calcular el valor del capital inicial (C0), el temps (n) o el

tipus d'interès (i) consisteix a aïllar la incògnita corresponent de la fórmula

general:

Cn = C0 *(1 + i) ^n

Aquestes són les fórmules resultants:

Capital inicial (o actual):

Tipus d'interès nominal:

Temps:

30







Aquestes fórmules es dedueixen de la manera que s'indica a continuació:

CÀLCUL DEL TANT D'INTERÈS NOMINAL

Partint de la fórmula general Cn = C0 (1 + i) * n, es traspassa C0 al primer

membre. Per aïllar “i” cal eliminar en primer lloc l'exponent “n” traient l'arrel

enèsima de tots dos membres:

finalment, es traspassa l'1 al primer membre:

Exemple.

Calcular el tipus d'interès nominal necessari perquè 20.000,00 EUR tinguin un valor

futur de 21.000,00 EUR d'aquí a 3 anys, si el càlcul es fa a interès compost.

Per calcular l'arrel cúbica es pot recórrer a la calculadora:

ja que “i” ve expressat en tant per un, el resultat ha de multiplicar-se per 100 per

obtenir el tant per cent, que serà 1,64 % (per arrodoniment decimal).

31







CÀLCUL DE LA FÓRMULA DEL TEMPS (INTERÈS COMPOST)

Partint de la fórmula Cn = C0 (1 + i) * n, es traspassa C0 al primer membre. Per

aïllar “n", que és un exponent, cal calcular logaritmes en tots dos termes de la

igualtat:

En fer aquesta operació poden aplicar-se dues regles bàsiques de les operacions

amb logaritmes:

El logaritme d'un quocient és igual al logaritme del dividend menys el

logaritme del divisor

El logaritme d'una potència és igual al producte de l'exponent pel

logaritme de la base:

Per aquest motiu podem escriure la igualtat:

d'aquesta manera:

Per aïllar “n”, traspassem “log (1 + i)” al primer membre, dividint:

32







Exemple

Calculeu el temps necessari perquè un capital de 20.000,00 EUR tingui un valor

futur de 21.000,00 EUR a l'1,64 % nominal anual amb interès compost.

TIPUS D'INTERÈS SPOT I FORWARD

TIPUS D'INTERÈS SPOT

Al tipus d'interès, calculat avui per a un valor futur, se l’anomena “tipus spot” o al

comptat. S'utilitza per calcular el tipus d'interès de compravenda d'actius

financers. Es calcula tenint en compte que, per a cada venciment d'un actiu,

s'estableixen ja els preus de compra futurs.

Per a venciments inferiors a un any, el tipus d'interès es calcula a interès simple i,

per a venciments superiors, s'aplica interès compost.

Exemple

Suposem que un actiu financer de nominal 1.000 EUR, amb venciment a 18

mesos es compra per 953,62 EUR. El tipus spot associat al termini de 18 mesos

vindrà donat en calcular el tipus d'interès de l'operació. És a dir:

ja que el preu de compra dels actius financers varia diàriament, d'acord amb les

condicions del mercat, el tipus spot associat a cada venciment també pot variar

diàriament. Per aquest motiu, si es representen gràficament els tipus spot

associats a cadascun dels venciments, s'obté la que es denomina corba de tipus

d'interès o estructura temporal de tipus d'interès (ETTI).

L'objectiu d'aquesta corba és conèixer avui les expectatives sobre l'evolució dels

tipus d'interès futurs. Així, una corba creixent indicarà que les operacions a més

llarg termini ofereixen un major interès, és a dir, que els tipus evolucionen a l'alça.

Si el resultat és, en canvi, una línia plana, significa que els tipus d'interès es

mantindran invariables.

33







Quan es tenen dos tipus spot corresponents a diferents venciments, és lògic que

el tipus del venciment més curt sigui menor. En aquest cas, pot reinvertir-se l'actiu

que venç abans per obtenir-ne una major rendibilitat.

Vegem-ho en un exemple:

Un actiu A, a 18 mesos, ofereix un tipus d'interès spot de 3,217 %

Un altre actiu B, a 36 mesos, ofereix un tipus d'interès spot de 3,368 %

Transcorreguts els 18 mesos, es podria reinvertir l'actiu A durant uns altres

18 mesos més perquè vencés al mateix temps que l'actiu B.

TIPUS D'INTERÈS “FORWARD” O A TERMINI

Es diu tipus d'interès forward o a termini al tipus d'interès anual al que s'ha de

capitalitzar l'actiu de termini més curt perquè el resultat sigui equivalent al tipus

spot de major venciment.

És a dir, el tipus forward “if” és el que permet aconseguir la següent igualtat:

(1 + 0,03217)1,5* (1 + if)1,5= (1 + 0,03368) ^3 = 3,519 %

Aquest tipus d'interès (3,519 %) és el que ha d'oferir-se a l'actiu A, que venç

d'aquí a 18 mesos, en reinvertir-lo uns altres 18 mesos més, si volem obtenir la

mateixa rendibilitat de l'actiu B.

34







Si plantegem el problema en termes generals:

Actiu A, de venciment anterior, amb tipus spot iA i temps tA.

Actiu B, de venciment posterior, amb tipus spot iB i temps tB.

Tipus forward if.

La representació gràfica serà:

L'equació que permet calcular “if” serà:

(1 + iA)*tA · (1 + if)*tB – tA = (1 + iB)*tB

Els tipus spot utilitzats per al càlcul del tipus forward són tipus d'interès nominals,

normalment referits a l'any. Cal tenir-ho en compte al realitzar els càlculs de

l'equació anterior.

CONSIDERACIONS SOBRE LA CAPITALITZACIÓ PERIÒDICA

DELS INTERESSOS

Hi ha molts productes financers (comptes corrents i d'estalvi, dipòsits a termini,

etcètera) que generen interessos amb una periodicitat semestral, trimestral,

mensual... Es diu freqüència de capitalització el nombre de vegades que es

reporten interessos en un any. Es representa mitjançant la lletra k. Si la meritació

d'interessos és semestral, el valor de la freqüència de capitalització (k) serà 2.

Quan la freqüència de capitalització és superior a 1, cal tenir-ho en compte per

35







calcular el valor futur del capital final aplicant la fórmula general Cn = C0 (1 + i)

^n.

En aquest cas:

El tipus d'interès (i) no serà l'anual sinó el que correspongui a cada període

de liquidació. S'haurà de calcular el tipus d'interès efectiu de freqüència

“k”

El temps (n) serà el nombre total de períodes (semestres, trimestres,

mesos...).

Per això cal introduir en la fórmula anterior dues modificacions:

1. El tipus d'interès corresponent a cada període no serà “i” (tipus d'interès

nominal) sinó "i/k”. Així, si la freqüència és quatre (k = 4), perquè es liquiden

interessos trimestralment, en lloc d'i s'utilitzarà i/4, és a dir, el tipus d'interès

efectiu trimestral

2. El nombre total de vegades que es reporten i capitalitzen interessos no

serà n sinó n · k, que és el nombre total de períodes de meritació

Perquè així la mateixa quedi:

Cal adonar-se que quan k = 1 la fórmula general es redueix a Cn = C0 (1 + i) ^n.

La correcció que acabem de veure ha de fer-se també en les fórmules

derivades. Així, per exemple, per calcular el tipus d'interès s'utilitzarà la fórmula:

Exemple:

Un capital de 5.000,00 EUR s'inverteix durant 5 anys en un actiu financer, al 4,5 %

anual d'interès nominal. Els interessos es reporten mensualment, passant a

incrementar el capital. Calculeu el valor futur del capital acumulat al final de la

inversió.

36







Solució:

Valor de k: 12

Tipus d'interès efectiu mensual:

Valor de C:

En definitiva, com més gran sigui la freqüència de capitalització a interès

compost més vegades es liquidaran interessos al llarg de l'any i, per tant, més

interessos es produiran.

ACTUALITZACIÓ A INTERÈS COMPOST

GENERALITATS SOBRE L'ACTUALITZACIÓ A INTERÈS

COMPOST

L'actualització a interès compost té aplicació, per exemple, en els següents

casos:

Calcular quin capital ha d'invertir-se en una operació financera de

capitalització per obtenir en el futur un capital determinat.

Conèixer el valor actual d'un deute que venç dins d'un temps.

Trobar el valor d'emissió en una operació cupó zero o d'una lletra del

tresor la durada del qual és superior a un any. (Es tracta d'un tipus

d'emissió de títols en la qual el titular no rep interessos durant la vida del

valor, sinó que ho fa íntegrament al moment en el qual s'amortitza el títol.)

A partir de la fórmula Cn = C0 (1 + i) ^n, que indica el valor del capital final o

futur, es pot obtenir la fórmula del capital inicial o actual. N'hi ha prou amb aïllar

C0. En la capitalització a interès compost els interessos s'afegeixen

37







periòdicament al capital, i per això aquest és cada vegada major. Per contra,

en l'actualització a interès compost se suposa que:

El descompte, en cada període de meritació, es va deduint del capital.

El capital és més petit en cada període d'actualització.

El descompte es calcula sobre el valor del capital actualitzat a l'inici de

cada període.

CONSIDERACIONS SOBRE L'ACTUALITZACIÓ PERIÒDICA

DELS INTERESSOS

Fins ara hem suposat que, en l'actualització de capitals, l'aplicació del

descompte es fa una vegada a l'any. És a dir, estem fent la simplificació que el

període d'actualització és igual al període al que es refereix el tipus d'interès, que

gairebé sempre és anual.

Però, igual que la capitalització, l'actualització pot fer-se més d'una vegada a

l'any: semestralment, trimestralment, mensualment... En aquests casos la

freqüència d'actualització és superior a 1. En l'actualització composta es

produeix la mateixa situació, encara que amb un resultat diferent, al de la

capitalització composta:

En la capitalització, com sabeu, en augmentar la freqüència augmenten

també els interessos i, per tant, el capital final.

En l'actualització, en augmentar la freqüència del càlcul d'interessos,

aquests augmenten i, com a conseqüència, disminueix més el capital

actual.

X =

= X

Capital actual

o inicial

Co

Factor de capitalització

(1 + i)n

Factor d'actualització

1 v

(1 + i) n (v

Capital futur

o final

Cn

38







Quan la freqüència d'actualització és superior a 1, no pot aplicar-se la fórmula

que hem utilitzat fins ara per calcular el capital actual. Cal introduir-hi les

mateixes correccions que en la capitalització:

No pot utilitzar-se el tipus d'interès nominal (i) que es refereix a l'any, sinó

només la part que correspon a cada període liquidat, és a dir, el tipus

d'interès efectiu. Així, si la freqüència és quatre (k = 4), perquè s'apliquen

els descomptes trimestralment, en lloc d'i s'utilitzarà l'interès efectiu

trimestral i/4 (en general, i/k).

Cal multiplicar el nombre d'anys (n) per la freqüència d'actualització

anual (k). D'aquesta manera es té en compte el nombre total de períodes

en què s'apliquen els descomptes (n · k).

La fórmula general de la capitalització, quan la freqüència és superior a 1, és:

La fórmula general de l'actualització, quan la freqüència és superior a 1, serà:

Exemple.

Una persona, d'acord amb l'interès garantit d'un fons d'inversió, cobrarà

100.000,00 EUR d'aquí a 10 anys. Quin és el valor actual d'aquest capital si els

interessos es generen trimestralment i el rendiment nominal anual és del 3 %?

Solució:

39







EQUIVALÈNCIA DE CAPITALS

INTRODUCCIÓ

Els diners tenen un "valor temporal", és a dir, el seu preu ha de considerar-se

sempre associat a una data. Dos capitals diferents, en moments diferents, poden

tenir el mateix valor per al seu propietari; diem llavors que, encara que no siguin

iguals, aquests capitals són equivalents.

En definitiva, dos capitals disponibles en dates diferents són financerament

equivalents quan, en referir-los a un mateix moment (mitjançant capitalització o

actualització), els seus imports coincideixen

L'equivalència de capitals serveix per resoldre els problemes d'intercanvi de

diners que es produeixen en les operacions financeres. Permet esbrinar, per

exemple:

El capital que ha de pagar-se en ajornar o avançar un o diversos deutes.

El capital futur obtingut en realitzar aportacions periòdiques a un compte

d'estalvi.

Els pagaments successius necessaris per amortitzar un préstec.

Matemàticament sempre és possible trobar un tipus d'interès que converteixi en

equivalents dos capitals diferents disponibles en dates diferents. Això no implica

que aquest tipus d'interès sigui realista, és a dir, que es pugui considerar normal al

mercat financer.

EQUIVALÈNCIA A INTERÈS SIMPLE

Si un capital de 10.000,00 EUR es remunera a partir d'avui al 5 % anual amb

interessos simples, aquest capital és equivalent a un altre de 10.500,00 EUR

disponible un any després. Dit d'una altra manera: en les condicions exposades,

10.000,00 EUR d'avui són financerament equivalents a 10.500,00 EUR de d’aquí a

un any. O, si volem, un capital de 10.000,00 EUR, disponible avui és equivalent a

40







un altre de 10.500,00 EUR transcorregut un any, si el tipus d'interès anual és del 5

%.

Per saber si 12.000,00 EUR d'avui són matemàticament equivalents a 14.400,00

EUR de d'aquí a dos anys, sent el tipus d'interès del 10 % anual i el càlcul a interès

simple, el procediment que cal efectuar és:

Capitalitzar 12 000,00 EUR al 10 %, durant 2 anys.

Descomptar o actualitzar 14.400,00 EUR al 10 %, durant 2 anys

Així doncs, per comprovar l'equivalència dels dos capitals anteriors cal fer una

d'aquestes operacions que representem gràficament a continuació:

Exemple:

Una empresa ha de pagar avui 3.600,00 EUR a l'empresa B, però a causa que té

problemes de tresoreria li proposa pagar aquest deute d'aquí a cinc mesos

41







compensant-li llavors amb 200,00 EUR addicionals per l'ajornament. Si el tipus

d'interès normal de mercat és del 8 % anual, quin càlcul pot fer l'empresa B per

comprovar si li convé acceptar l'ajornament?

Solució:

Qualsevol de les alternatives següents pot servir-li:

Capitalitzar 3.600,00 EUR, al 8 %, durant 5 mesos.

Descomptar 3.800,00 EUR, al 8 %, durant 5 mesos.

Calculeu els interessos de 3.600,00 EUR, al 8 %, durant 5 mesos

Les dues situacions més simples en les que té aplicació l'equivalència de capitals

són:

Quan es retardi el venciment d'un capital: el nou import serà el capital

equivalent en la data nova. És un cas de capitalització per retard de

venciment.

Quan s'avanci el venciment d'un capital: el nou import serà el seu capital

equivalent en la data en la qual s'avança. És un cas de descompte o

actualització per avançament del venciment.

En ambdues situacions s'estableix equivalència entre dos capitals perquè se

substitueix un per un altre. No obstant això, en la pràctica comercial poden sorgir

situacions més complexes on intervinguin diversos capitals.

Suposem que una empresa ha de realitzar quatre pagaments en dates diferents.

Si desitja efectuar avui un únic pagament que cancel·li tots els seus deutes, la

quantitat a pagar ha de ser financerament equivalent al conjunt de tots els

pagaments previstos inicialment.

Per calcular el pagament únic, caldrà descomptar cada pagament a la data

d'avui. (Aquest capital únic serà igual a la suma dels capitals equivalents, a data

d'avui, de cadascun dels pagaments.) En el supòsit que acabem de plantejar, el

capital únic se satisfà en una data anterior a tots els capitals als quals substitueix,

però no té per què ser forçosament així ja que el pagament únic pot realitzar-se

en qualsevol data anterior, posterior o intermèdia als pagaments parcials. Heus

aquí la representació gràfica:

42







Sempre que es produeix una substitució o un intercanvi de diners ha d'haver-hi

equivalència financera: la suma de capitals aportats ha de ser igual a la suma

de capitals rebuts, referits a una mateixa data i utilitzant un determinat tipus

d'interès per calcular interessos o descompte.

La majoria de les operacions de substitució o d’intercanvi d'un capital per

diversos, o viceversa, són a llarg termini. D'aquí que les capitalitzacions i

descomptes es calculin normalment a interès compost.

EQUIVALÈNCIA A INTERÈS COMPOST

En interès compost:

Per capitalitzar o calcular el capital final, Cn, cal multiplicar el capital

inicial pel factor de capitalització, la fórmula del qual és: (1 + i) ^n, si es

calculen interessos una vegada a l'any o bé, si es calculen els interessis “k”

vegades l'any:

Per actualitzar o calcular el capital actual, C0, cal multiplicar el capital

final, Cn, pel factor d'actualització: 1/(1+í) ^n, si es calculen interessos una

vegada a l'any o bé si es calculen els interessis “k” vegades l'any.

En qualsevol cas, n representa el nombre d'anys de l'operació, mentre que “i” és

el tipus d'interès nominal anual i “k” és la freqüència de capitalització o

43







actualització en un any. El factor d'actualització s'obté dividint la unitat pel factor

de capitalització. Així doncs, en termes matemàtics, el factor d'actualització és

l'invers del factor de capitalització.

Exemple 1:

A quant equivalen avui 20.000,00 EUR disponibles d'aquí a tres anys, si

l'actualització es fa trimestralment al 7 % nominal anual?

Solució: (L'exponent és: 3*4, atès que s'actualitza quatre vegades l'any)

Exemple 2:

A quant equivalen 10.000,00 EUR d'avui, d'aquí a cinc anys, si s'aplica un tipus

d'interès del 6 % nominal anual amb capitalització mensual?

Solució: (L'exponent és: 5*12, atès que s'actualitza dotze vegades l'any)

En la pràctica, els problemes d'equivalència poden ser més complexos, produint-

se operacions financeres de dos tipus:

Intercanvi de capitals: ocorre quan es dóna un flux de capitals de signe

contrari, és a dir, quan existeixen pagaments que es compensen amb

cobraments. Exemple: un préstec en el qual una entitat financera realitza

un desemborsament que després recupera mitjançant una sèrie de

cobraments periòdics

Substitució de capitals: ocorre quan es canvia la data de disponibilitat

d'un conjunt de capitals; és a dir, quan varien les seves dates de

pagament o de cobrament i, en conseqüència, es modifica també la

seva quantia. Exemple: S'endarrereixen uns pagaments compromesos per

determinades dates, i això fa que la seva quantia augmenti

44







En definitiva, l'equivalència es produirà quan el valor de la suma financera dels

cobraments sigui igual al valor de la suma financera dels pagaments, referits tots

ells a una mateixa data i a un determinat tipus d'interès.

Per plantejar les operacions financeres d'intercanvi o de substitució de capitals

resulta útil representar-les gràficament. En el cas d'intercanvi de capitals, la

representació gràfica es fa sobre una línia horitzontal, que indica el temps,

dibuixant-se fletxes perpendiculars que mostren les diferents entrades i sortides de

capital. També sabem que:

Les fletxes cap avall representen sortides de capital (pagaments).

Les fletxes cap amunt representen entrades de capital (cobraments).

Exemple: l'1 de gener, una entitat bancària presta 100.000,00 EUR a un client. El

préstec es retornarà en tres pagaments iguals de 34.000,00 EUR (incloent capital i

interessos), sent les seves dates de venciment l'1 d'abril, l'1 de juliol i l'1 d'octubre.

La representació gràfica del flux monetari, per a l'entitat bancària, seria

En el cas de substitució de capitals, tots ells es representen mitjançant fletxes que

tenen el mateix sentit i estan en el mateix costat que delimita la línia del temps.

Per diferenciar els substituïts i els substitutoris utilitzarem diferents traços de línia:

Els capitals substituïts es representen mitjançant fletxes de traç continu.

Els capitals substitutoris es representen mitjançant fletxes de traç

discontinu.

45







El gràfic que segueix representa que els pagaments que ha de realitzar una

persona l'1 de gener i l'1 de maig són substituïts per uns altres que es realitzaran l'1

de març i l'1 de novembre:

Aplicant un determinat tipus d'interès, la suma del valor actual dels pagaments

de l'1 de març i de l'1 de novembre són equivalents a la suma del valor actual

dels pagaments de l'1 de gener i de l'1 de maig.

Naturalment, el nombre de pagaments substituïts no té per què ser igual al

nombre de pagaments substitutoris. Hem vist en l'intercanvi de capitals que un

únic capital és equivalent a diversos capitals futurs; de la mateixa forma, diversos

capitals futurs poden ser equivalents a un altre únic capital futur (un sol

pagament pot substituir a diversos pagaments).

Veiem que, en qualsevol problema d'equivalència, sigui d'intercanvi o de

substitució de capitals, es compleix el mateix principi:

Els capitals intercanviats o substituïts han de ser equivalents, aplicant el tipus

d'interès establert en l'operació (generalment a interès compost) i tenint en

compte la data de cobrament o pagament de cada capital.

En general, s'aplica el principi d'equivalència de capitals quan se substitueix o

intercanvia:

Un capital per diversos capitals.

Diversos capitals per un sol capital.

Diversos capitals per altres capitals diferents

46







D'ara endavant ens referirem indistintament a substitució o a intercanvi de

capitals, atès que en tots dos casos s'aplica el mateix principi d'equivalència.

Es diu valor financer (o suma financera o capital equivalent) al capital que ha de

pagar-se a canvi d'altres varis que vencen en diferents dates. Com més s'ajorna

el pagament del valor financer que substitueix a diversos, major serà la quantia

d'aquest capital únic ja que en ajornar el pagament del capital es produeixen

més interessos. Per això, si una persona havia de pagar a una altra 10.000,00 EUR

en una data concreta i un any abans d'aquesta data li lliura 3.000,00 EUR. i en la

data prevista li lliura 4.000,00 EUR i li planteja pagar la resta d’aquí a un any;

aplicant l'equivalència de capitals a un mateix tipus d'interès, l'import que hauria

de pagar d’aquí a un any serà igual que el saldo de 3.000,00 EUR, ja que a un

mateix tipus d'interès nominal, 3.000 EUR pagats amb un any d'antelació són

equivalents a 3.000,00 EUR pagats amb un any de demora. Aquesta seria la

representació gràfica de l'exemple anterior, des de la perspectiva del deutor:

Per contra, si en l'exemple anterior, el primer pagament hagués estat de 2.000,00

EUR i el segon de 4.000,00 EUR, el tercer pagament que cancel·larà el deute,

hauria de ser major que 4.000,00 EUR. En aquest cas, el descompte dels 2.000,00

EUR que s'anticipa en un any és inferior als interessos dels 4.000,00 EUR que

s'ajornen en el mateix temps.

En el càlcul financer es plantegen situacions en les quals, a partir d'unes

determinades dades, ha de calcular-se:

L'import del capital (inicial o final).

La data de venciment.

El tipus d'interès de l'operació.

Capitals substituïts 10.000,00

Capitals substitutoris 3.000,00 4.000,00 3.000,00

1 any 1 any

47







L'operació més freqüent és el càlcul de l'import d'un capital equivalent a diversos

capitals.

Suposem que l'1 de gener un comerciant rep un préstec a retornar en quatre

quotes: 10.000,00 EUR, al final del primer any, 15.000,00 EUR, al final del segon,

20.000,00 EUR, al final del tercer i 25.000,00 EUR al final del quart. Els interessos es

calculen anualment al 5 %. El comerciant vol saber quin pagament únic hauria

d'efectuar al final del quart any per cancel·lar els quatre pagaments. En el cas

que no hagi fet efectiu cap pagament fins aquell moment. En aquest exemple

es planteja una substitució de capitals en que:

Diversos capitals són substituïts per un tan sols.

Cal calcular la quantia d'un capital únic.

La data de càlcul del valor financer és el final del quart any

Podem representar l'exemple anterior d'aquesta manera:

Per resoldre el problema serà necessari trobar el valor de cada quota en la data

de venciment comú

1. Per calcular a quant equival la primera quota de 10.000,00 EUR al final del

quart any, caldrà fer un càlcul de capitalització ja que s'endarrereix el

pagament. Sent el tipus d'interès anual del 5 %, el capital equivalent serà

de: 11.576,25 EUR.

[Cn = C0 (1 + i)^n = 10.000,00 (1 + 0,05)^3 = 11.576,25]

2. El capital equivalent de la segona quota, 15.000,00 EUR, es calcularà fent

una capitalització, ja que el pagament es retarda dos anys. Per tant:

Cn = C0 (1 + i)^n = 15.000,00 (1 + 0,05)^2 = 16.537,50 EUR

Capitals

substituïts 10.000,00 15.000,00 20.000,00 25.000,00

Capitals

Substitutoris ?

31/12/any1 31/12/any4 31/12/any2 31/12/any3

48







3. El capital equivalent de la tercera quota es calcularà fent també una

capitalització durant un any:

Cn = C0 (1 + i)^n = 20.000,00 * (1 + 0,05)^1 = 21.000,00 EUR

El capital equivalent de la quarta quota no variarà, ja que la seva data ja

coincideix amb la del venciment comú.

4. Per calcular el capital total equivalent a la data de venciment comú:

Se sumaran els quatre capitals equivalents.

Es capitalitzaran els quatre capitals equivalents a la data de l'últim

pagament

ja que els capitals equivalents ja estan situats en la data de venciment comú, és

a dir, 31/12/de l'any 4.

Per tant, el pagament únic al final del quart any que satisfarà el deute complet

serà:

11.576,25 + 16.537,50 + 21.000,00 + 25.000,00 = 74 113,75 EUR

Hem calculat el capital equivalent, per a una mateixa data de venciment, de

tots els capitals a substituir o intercanviar.

Suposem ara que el comerciant dels exemples anteriors canviés d'opinió i

desitgés cancel·lar el deute el 31/12/ de l'any 2 en lloc del 31/12/ de l'any 4, com

estava inicialment previst. Encara que el problema es podria resoldre valorant

ara cada nou capital a la data del 31/12/any 2 en lloc del 31/12/any 4 (d'una

forma similar a l'efectuada anteriorment), podem aprofitar que coneixem el

deute al 31/12/ de l'any 4, que és de 74.113,75 EUR i buscar el deute equivalent

al 31/12/ de l'any 2 al tipus d'interès anual del 5 %. Per a això n’hi haurà prou amb

actualitzar 2 anys el deute mencionat.

49







En definitiva, una vegada substituïts un conjunt de capitals per tan sols un d'una

data determinada, per conèixer el capital equivalent en una altra data diferent

n’hi haurà prou amb actualitzar o capitalitzar el capital únic substituït a la nova

data desitjada.

Si una empresa pensa sol·licitar un préstec a retornar en tres anys mitjançant

pagaments trimestrals vençuts, en els quals s'inclouen capital més interessos. En

una operació com aquesta es complirà que l'import del capital prestat sigui

equivalent a la suma financera dels pagaments, aplicant un determinat tipus

d'interès. Heus aquí la representació gràfica, des del punt de vista del prestador,

d'una operació d'aquest tipus:

Si calculem el valor financer o capital equivalent de tots els reemborsaments

referint-los a la data inicial (la de desemborsament), s'ha de complir, per a un

determinat tipus d'interès, que:

Capital desemborsat = Suma d'imports ingressats, actualitzats a la data inicial (de

desemborsament)

Exemple:

Suposem que una empresa ha obtingut de la seva entitat financera un préstec

de 20.000,00 EUR a tipus fix i que el pla d'amortització contempla el pagament

de tres quotes anuals (les quals inclouen amortització i interessos): 6.500,00 EUR

d’aquí a un any, 7.500,00 EUR d'aquí a dos anys i 8.500,00 EUR d'aquí a tres anys.

Quina expressió matemàtica reflecteix l'equivalència entre aquests quatre

capitals en la data de concessió del préstec?

Solució:

50







Aquesta equació compara un capital actual (l'import del préstec) amb diversos

capitals futurs en dates diferents (les tres quotes anuals) i actualitza aquests

capitals futurs a la data de disposició del préstec. Com veiem, l'equació té com

a incògnita el tipus d'interès (i). La resolució matemàtica d'aquesta equació pot

ser bastant difícil si el nombre de capitals és elevat. Cal utilitzar un ordinador o,

almenys, una calculadora financera. Quan es coneix el valor final i el valor

actual d'una operació, a més de la durada de la mateixa, és molt fàcil calcular

el tipus d'interès anual.

La fórmula que cal utilitzar es dedueix directament de la fórmula bàsica de la

capitalització, a interès compost:

On:

“n” és la durada de l'operació, expressada en anys.

“i” és el tipus d'interès nominal o anual, en tant per un

Exemple:

Imaginem que avui cal desemborsar 97,30 EUR per un actiu que venç d'aquí a 6

mesos i pel qual es percebran en total 100,00 EUR al venciment. En aquest

cobrament es consideren els interessos més el capital. Quin és el tipus d'interès

de l'operació?

Solució:

51







CRITERIS DE SELECCIÓ I ANÀLISI D'INVERSIONS

INTRODUCCIÓ

Com distingir les inversions rendibles de les no rendibles? Com classificar

correctament els projectes d'inversió de més a menys interessants?.

Els criteris amb base comptable han partit, normalment, del benefici i segons

aquest, es valorava el projecte; no obstant això el benefici no sol ser un bon

criteri per dos fets fonamentals:

Problemes de valoració: La quantia de les amortitzacions és

gairebé sempre discutible. Alguna cosa semblant succeeix amb la

valoració d'existències, així com amb altres comptes.

Problemes per a la consideració del valor dels diners en el temps:

Així les vendes comencen a formar part del benefici al moment en

què es realitzen, no quan es cobren. De la mateixa manera, les

despeses es resten sense tenir en compte el moment del

pagament.

Abandonarem, en conseqüència, els criteris basats en el benefici per fixar-nos en

un fet més objectiu com és el flux de caixa, la variació incremental de tresoreria

per causa del projecte d'inversió, que és el que apareix en els nostres perfils de

fons, ja que encara que les seves dades han de basar-se també en estimacions,

aquestes són menys discutibles. Parlarem, en conseqüència, de mètodes

d'avaluació dels perfils dels projectes.

Quan un actiu genera interessos durant un interval de temps inferior a l'any, es

calcularà la rendibilitat aplicant la fórmula de l'interès simple. Si la durada de la

inversió és superior a l'any, es calcula el tipus d'interès utilitzant la fórmula de

l'interès compost. S'obté així la rendibilitat anualitzada.

52







CRITERI DEL “PERÍODE DE RECUPERACIÓ” O “PAY BACK”

Suposem una inversió amb un desemborsament inicial “D” i generacions iguals

de fons durant la resta de la seva vida. El període de recuperació vindrà donat

per la fórmula:

Pb = D / GF

Veiem que així tindrem el nombre d'anys en els quals es recuperarà la inversió.

Així si el desemborsament inicial és de 1.000 i les generacions de fons són de 400:

Pb = 1.000 / 400 = 2,5 anys

En dos anys i mitjà haurem recuperat la inversió. Si les generacions de fons no són

iguals, el sistema consistirà a anar acumulant generacions de fons fins a arribar a

completar el desemborsament inicial i calcular en quin moment succeeix això.

Aquest criteri té importants problemes que posen seriosament en dubte la seva

validesa:

Oblida el concepte del valor dels diners en el temps.

Oblida el que succeeix després de recuperar-se la inversió. En

efecte, dos projectes resultarien indiferents si tinguessin idèntic “Pay

back”, encara que en anys posteriors un podria ser més avantatjós

que un altre.

CRITERI DE “VALOR ACTUALITZAT NET” (VAN)

El valor actualitzat net és el resultat d'actualitzar les generacions de fons amb el

seu signe corresponent i sumar-les

53







:

Per poder calcular el VAN cal conèixer quina és la taxa d'actualització “K”.

Aquesta “K” representa el cost dels fons per a l'empresa (que és la forma de

mesurar el valor dels diners en el temps). En funció per exemple dels tipus

d'interès vigents i del risc quan aquest es considera. En condicions de certesa,

que són les suposades en aquest capítol, s'usa la taxa lliure de risc, que pot

calcular-se sobre la base de l'interès dels actius financers de l'estat. D'altra banda

sempre haurà de considerar-se el cost d'oportunitat.

El VAN té com a fonament actualitzar al moment actual magnituds d'anys futurs

per així fer-les comparables, d'aquesta manera les inversions amb VAN positiu

serien interessants i aquelles que el tinguessin negatiu serien rebutjables. A més

servirien per fer una classificació dins de les interessants en funció del major o

menor valor actualitzat net, la qual cosa ens donaria el seu grau d'interès.

Pensem que, si l’objectiu és maximitzar la riquesa dels nostres accionistes, el VAN

és el criteri fonamental. En efecte, en descomptar al cost dels fons, el valor

actualitzat net és el valor actualitzat excel·lent, tot allò que el projecte afegeix al

valor de l'empresa.

En qualsevol cas, si les generacions de fons es reinverteixen a un tipus K’ = K, en

actualitzar el valor final al tipus K i restar-li D, arribem al mateix valor actualitzat

net. Estem suposant que les generacions de fons es puguin reinvertir al tipus K, la

qual cosa només és possible de complir si tenim en compte mercats perfectes,

on s'intentarà aconseguir aquesta rendibilitat mínima o es retornarà els fons als

accionistes. Així doncs, en conseqüència, se suposa que es pot obtenir els fons al

tipus K o retornar-los quan no s’aconsegueixi aquest tipus.

54







CRITERI DE L’“ÍNDEX DE RENDIBILITAT” (IR)

El podem definir com el quocient entre les generacions de fons a partir de l'any

u, actualitzades, i el desemborsament inicial:

Consisteix, en definitiva, en posar en forma de ràtio el que el VAN posava en

forma de diferència. Cal observar que el numerador de la fórmula anterior és el

valor actual de totes les generacions de fluxos d'efectiu (exclòs el

desemborsament), després l'IR ens dóna el valor actual obtingut per euro de

desemborsament inicial; quan és major que un el projecte és interessant, quan és

menor no ho és; en això el criteri de l'IR coincideix amb el del VAN. El problema

pot aparèixer a l'hora de classificar projectes, vegem alguns exemples:

Classificació

Projecte VA D VAN IR VAN IR

A 1.000 200 800 5,00 3r. 3r.

B 2.000 200 1.800 10,00 2n. 2n.

C 4.000 1.000 3.000 4,00 1r. 4t.

D 200 10 190 20,00 7è. 1r.

E 600 200 400 3,00 5è. 5è.

F 600 300 300 2,00 6è. 7è.

G 1.000 400 600 2,50 4t. 6è.

H 200 500 (300) 0,40 8è. 8è.

A la vista del quadre anterior, podem observar que si es tracta d'acceptar o

rebutjar inversions, tots dos criteris coincideixen. No obstant això, a l'hora

d'ordenar els projectes, de jerarquitzar-los, veiem que apareixen discrepàncies,

fet que succeeix quan els desemborsaments són molt diferents. Quan ens trobem

davant de projectes excloents, haurem d'optar per un o altre i pot sorgir-nos el

dubte de quin dels dos criteris resulta més adequat, a quin hem de fer cas quan

55







apareixen les discrepàncies. El VAN és un criteri millor per comprovar-ho.

Considerem els projectes:

VAN IR

C 3.000 4,00

D 190 20,00

Com el VAN és positiu en tots dos, hauríem de fer els dos, però si hem de triar-ne

un, hauríem de decantar-nos pel C, ja que afegeix 2.810 M més a l'empresa que

l'A.

Existeix una excepció: que existeixin limitacions de fons, considerem el cas que el

projecte A pogués ser repetitiu, seria més interessant fer 100 vegades l'A abans

que una vegada el C.

CRITERIS DE LA “TAXA DE RENDIBILITAT INTERNA” (TIR), DE LA TAXA ANUAL EQUIVALENT (TAE), DE LA TAXA DE RENDIBILITAT EFECTIVA (TRE) I DE LA TAXA DE RENDIBILITAT REAL PER A l'INVERSOR

LA TIR

Denominarem taxa de rendibilitat interna, TIR, al tipus de descompte que dóna

lloc a un valor actualitzat net igual a zero. És a dir, igualem el VAN a zero i aïllem

el tipus de descompte dels diferents fluxos d'efectiu. Així doncs, la Taxa Interna

de Rendibilitat o TIR, és el tipus d'interès que iguala el valor actual dels fluxs de

caixa positius (cobraments) amb el dels fluxos negatius (pagaments)

Si una persona compra un bo d'empresa, el nominal del qual és de 300,00 EUR,

per 315,00 EUR. El venciment és a 3 anys i per cada any vençut cobra un cupó

de 10,00 EUR. I el cobrament de l'últim cupó coincideix amb l'amortització del

nominal, la igualtat que permet calcular la TIR d'aquesta inversió és:

56







Perquè la taxa de rendibilitat final que s'obté a una inversió coincideixi amb la

seva TIR cal suposar que els fons retirats es reinverteixen al tipus de la TRI. De tot

això podem deduir que, així com en el raonament queda implícita la reinversió

al tipus de cost dels fons, en el TIR, perquè aquesta rendibilitat es mantingui cal

reinvertir a la pròpia TIR. D'altra banda no hi ha diferències conceptuals

importants entre un sistema i un altre, si bé el VAN el que ens donava era

l'increment de valor i el TIR la rendibilitat del projecte.

Els projectes amb VAN major que zero tindran una taxa de rendibilitat interna

superior al cost dels fons i a l'inrevés. Almenys així succeeix en els projectes

convencionals que són aquells amb desemborsament al principi i generacions

de fons positives després. En conseqüència, en aquests casos, no hi haurà

discrepàncies entre el VAN i el TIR a l'hora d'acceptar o rebutjar projectes, però sí

pot haver-n’hi a l'hora de classificar-los.

Si la taxa interna de rendibilitat (TIR) es calcula considerant aquelles despeses

normalment de naturalesa financera que el Banc d'Espanya estableix, llavors

s'obté un altre valor de la rendibilitat anomenat Taxa Anual Equivalent (TAE).

Vegem-ho en un exemple.

Suposem que ha d'amortitzar-se un préstec de 18.000 EUR, mitjançant 60 quotes

mensuals i vençudes (5 anys) al tipus d'interès nominal del 8,65%. Calculem

l'import de la quota mensual, aplicant la fórmula corresponent:

LA TAE

Si la concessió del préstec comporta una comissió d'obertura de l'1 % sobre el

nominal (180 EUR), que s'abona al moment de la concessió, el tipus d'interès

efectiu pagat pel client és, lògicament, superior. Aquest tipus d'interès és la TAE.

57







Es calcularà a partir de la següent equació d'equivalència de capitals (iguala els

cobraments i els pagaments, al moment actual):

El resultat obtingut és i = 0,75661 (7,57%). Aquest valor correspon al tant per cent

nominal de freqüència 12. Per convertir-ho a tant efectiu, aplicarem la fórmula

que ens donarà ja la TAE:

LA TRE

Tant en la TIR com en la TAE s'aplica, a tots els cobraments o pagaments, el

mateix tipus d'interès. No es té en compte, per exemple, que un capital cobrat

s’hagi pogut reinvertir en altres tipus d'interès. Aquest defecte s'esmena utilitzant

la TRE. En aquest tipus de càlcul, més precís que la TIR i la TAE, se segueixen

aquests passos:

1º. Calculeu el valor final de la inversió, tenint en compte el període de

capitalització de cadascun dels cobraments i el tipus d'interès aplicat per a

cada capital.

V F = D1 * (1+i1) ^n1 + D2 * (1+ i2) ^n2 + ... + Dn * (1+ in) ^ nn

D1, D2 ... Dn, representen cadascun dels ingressos.

VF: és el principal, recuperat al final de l'operació.

1, i2 ... in: és el tipus d'interès al que es reinverteix cadascun dels

capitals.

58







n1, n2... nn: és el temps que intervé entre el cobrament de cada

capital i el final de l'operació.

2º. Trobeu el tipus d'interès, a interès compost, tenint en compte el valor final, el

desemborsament inicial i el temps total de l'operació. S'adapta la fórmula de

l'interès en l'equivalència de capitals:

El tipus d'interès (i) obtingut així és la Taxa de Rendibilitat Efectiva (TRE)

Exemple:

Un inversor va adquirir, fa 18 mesos, 1000 accions d'una societat al preu de 12,00

EUR/acció. Als sis mesos de la compra va percebre un dividend de 0,80 EUR per

acció. Avui ven les seves accions a 12,35 EUR. L'equació matemàtica que

calcula la TIR serà:

Per calcular la TIR s'igualen els cobraments i els pagaments al moment de la

inversió. En aquest cas, 12.000,00 EUR és el valor d'adquisició de les accions,

800,00 EUR el valor del dividend i 12.350,00 EUR el valor de venda. Aquests últims

valors s'actualitzen a la data d'adquisició). Fent els càlculs pertinents en la

fórmula anterior s'obté una TIR de 6,574 %. Aquesta taxa de rendibilitat està

suposant que els 800,00 EUR percebuts en concepte de dividend s'han reinvertit

al 6,574 %. Però anem a suposar que es reinverteixen al 3,80 % anual. Per això, la

Taxa de Rendibilitat Efectiva (TRE) expressarà amb major precisió la rendibilitat

que obté el nostre inversor.

59







Com era d'esperar, la TRE és inferior a la TIR, perquè els dividends es reinverteixen,

en aquest cas, a una taxa inferior a la TIR. Si suposem que els dividends no es

reinverteixen, obtindrem la rendibilitat mínima de l'operació, que coincidirà amb

el valor de la rendibilitat simple anualitzada. Si els 800,00 EUR de dividend no es

reinverteixen, llavors:

LA TAXA DE RENDIBILITAT REAL PER A l'INVERSOR

Hi ha diversos factors que poden fer variar la rendibilitat que obté un inversor

d'un determinat actiu, tals com:

Les despeses de gestió que cobra l'entitat.

La retenció fiscal que es realitza en cobrar interessos o dividends.

El tipus de gravamen corresponent a l'inversor en l'IRPF.

La inflació monetària.

Per obtenir la rendibilitat real cal conèixer tots els factors esmentats.

Exemple:

Suposem que un inversor col·loca 1.000,00 EUR en bons cupó zero que

s'amortitzen al 132,50 %, d'aquí a quatre anys. Al moment de l'amortització,

l'entitat financera li cobra 40,00 EUR en concepte de despeses de gestió. Les

preguntes són: Quina capital rebrà en la data d'amortització? Quina és l'equació

matemàtica que permet calcular la TIR?

Solució

El capital que rebrà en la data d'amortització serà de 285,00 EUR (ja que

s'amortitza al 132,50%, els 1 000,00 EUR d'inversió passen a ser 1 325,00 EUR, dels

quals han de deduir-se els 40,00 EUR de despeses).

60







L'equació és:

La TIR obtinguda és del 6,47 % anual.

Suposem, continuant amb l'exemple, que ara l'entitat, d'acord amb la normativa

fiscal, reté a l'inversor un 19 %, sobre els beneficis, a compte de l'IRPF; és a dir,

61,75 EUR (el 19 % de 325,00 EUR). En aquest cas, no percebrà 1.285,00 EUR sinó

1.223,25 EUR En conseqüència, el càlcul de la TIR ens donaria una rendibilitat

inferior al 6,47 % anual que hem calculat abans. L'equació d'equivalència seria

La TIR ara passa a ser del 5,17 % anual.

Però, és més; quan l'inversor en el següent exercici, realitzi la seva declaració de

renda, haurà d'indicar els beneficis que li va produir la seva inversió i tributar per

ella segons el seu tipus marginal impositiu. Suposant que el seu tipus impositiu sigui

del 35 % i que hagi d'imputar a ingressos de l'exercici tot el benefici obtingut,

l'import que haurà de pagar a Hisenda serà de 52,00 EUR (ja que és el 35 % dels

325,00 EUR de benefici, deduïts els 61,75 EUR que ja li va retenir l'entitat al

moment de la liquidació).

L'equació plantejada serveix per calcular la TIR de la inversió (suposant, per

simplificar els càlculs, que el pagament a Hisenda es realitza exactament un any

després del venciment del cupó, o sigui, cinc anys després de la inversió inicial).

Els 52,00 EUR retinguts s'indiquen en la fórmula amb signe negatiu, per ser un

pagament. A més, el factor d'actualització té un exponent de 5, ja que el

pagament a Hisenda es fa el cinquè any posterior al moment de la inversió.

El tipus d'interès obtingut en el càlcul anterior indicarà la TIR després d'impostos,

per tenir en compte el benefici obtingut per l'inversor, però també l'efecte de

fiscalitat del producte.

61







Existeixen productes financers singulars (com les aportacions a plans de pensions,

les imposicions en un compte habitatge, etcètera) que permeten desgravar en

l'IRPF, i això fa que la rendibilitat obtinguda per l'inversor sigui superior a la de

productes semblants sense aquest avantatge. En aquests casos s'utilitza el

concepte de rendibilitat financera fiscal, per comparar la rendibilitat d'un

producte que té avantatges fiscals amb un altre que no les té

Exemple.

Una persona, amb un tipus marginal en el seu IRPF del 24 %, ha invertit en una IPF

a 12 mesos que li ha reportat uns interessos de 4.000,00 EUR. En fer la seva

declaració de renda, ha hagut de pagar 960,00 EUR per aquests beneficis. Si el

tipus d'interès brut anual de la IPF és del 5,30 %, la rendibilitat real per a aquest

inversor serà Inferior a 5,30 %, ja que ha de contemplar-se la despesa que suposa

el pagament a Hisenda. La rendibilitat real dependrà sempre del tipus marginal

de cada inversor.

Suposem ara que el mateix inversor col·loqués el capital en un producte que

tingués suposadament una bonificació fiscal del 40 % (és a dir, només ha de

declarar-se a Hisenda el 60 % dels interessos percebuts). Si el tipus d'interès brut

anual d'aquest producte és també del 5,30 %, la rendibilitat real obtinguda per

l'inversor pel que fa a la IPF de 12 mesos, que no tenia avantatges fiscals, serà

major, ja que hi ha una deducció fiscal del 40 % més petita. La rendibilitat

financera i fiscal d'un producte amb avantatges fiscals, per a un determinat

inversor, equival a l'interès brut anual que hauria d'oferir un altre producte

semblant, sense cap avantatge fiscal, perquè, després d'impostos, proporcionés

el mateix rendiment real anual del producte amb avantatges fiscals. Pot veure's

en el següent exemple numèric:

Producte A

amb avantatges fiscals

Producte B

sense avantatges fiscals

Tipus d'interès brut anual 5,30 % 6,12 %

Tipus d'interès després

d'impostos

4,00 % 4,00 %

Rendibilitat financera i

fiscal

6,12 %

És a dir, encara que el producte A té un tipus d'interès brut anual menor que el

del producte B, la seva rendibilitat financera i fiscal és major (6,12 %), perquè el

tipus d'interès brut anual que ha d'oferir el producte B, sense avantatges fiscals,

per obtenir el mateix tipus d'interès real que el producte A (4,00 %), és del 6,12 %.

62







A més dels impostos, una altra variable externa que afecta a la rendibilitat és la

inflació. La inflació disminueix el poder adquisitiu dels diners que s'ha estalviat, o

sigui, devalua l'estalvi. La inflació és, per tant, un dels principals enemics de

l'estalvi i, conseqüentment, de la inversió.

Així doncs, per calcular la rendibilitat real d'un actiu han de tenir-se en compte:

Les despeses i comissions que cobra l'entitat financera.

La càrrega fiscal que ha de suportar el propietari.

La taxa d'inflació.

Economia, banca i mercats financers€¦ · Interès simple i compost El càlcul d'interessos pot...

Documents

Transcript of Economia, banca i mercats financers€¦ · Interès simple i compost El càlcul d'interessos pot...