EconometríA Vanessa Santiago #2

Presentación #2:Presentación #2:Financial Modeling of the Equity MarketsFinancial Modeling of the Equity Markets(páginas 1 – 48)(páginas 1 – 48)

Vanessa Santiago OlivaresVanessa Santiago Olivares

Universidad InteramericanaUniversidad InteramericanaMATE 6600 EconometríaMATE 6600 Econometría

Capítulo 1Capítulo 1

IntroducciónIntroducción

Perspectiva Histórica del Modelaje Perspectiva Histórica del Modelaje Financiero y el Mercado de AccionesFinanciero y el Mercado de Acciones

• Este capítulo presenta un resumen Este capítulo presenta un resumen histórico de los mercados financieros y histórico de los mercados financieros y como llegan a ser vistos desde una como llegan a ser vistos desde una perspectiva científica.perspectiva científica.


• A finales del siglo 18 los obstáculos para A finales del siglo 18 los obstáculos para entender los mercados financieros eran:entender los mercados financieros eran:– Necesidad de conceptos y matemática de Necesidad de conceptos y matemática de

probabilidad y estadísticas, específicamente probabilidad y estadísticas, específicamente modelos de incertidumbremodelos de incertidumbre

– Necesidad de realizar computaciones Necesidad de realizar computaciones exhaustivas más allá de las capacidades de exhaustivas más allá de las capacidades de los equipos disponibleslos equipos disponibles


• No fue hasta la segunda mitad del siglo 20 No fue hasta la segunda mitad del siglo 20 que se tuvo teoría de probabilidad que que se tuvo teoría de probabilidad que ayudó al análisis financieroayudó al análisis financiero

• Una colaboración importante en el Una colaboración importante en el desarrollo de la gerencia cuantitativa de desarrollo de la gerencia cuantitativa de portafolios fue el trabajo de Harry portafolios fue el trabajo de Harry Markowitz publicado en el 1952Markowitz publicado en el 1952

Capítulo 2Capítulo 2

Análisis de Varianza Promedio y Análisis de Varianza Promedio y Teoría Moderna de PortafoliosTeoría Moderna de Portafolios


• El trabajo de Markowitz fue la base para:El trabajo de Markowitz fue la base para:– Análisis de varianza promedioAnálisis de varianza promedio– Optimización de varianza promedioOptimización de varianza promedio– Teoría moderna de portafoliosTeoría moderna de portafolios


• Análisis de varianza promedioAnálisis de varianza promedio– Provee un marco de referencia para construir Provee un marco de referencia para construir

y seleccionar portafoliosy seleccionar portafolios– Se basa en el desempeño esperado de las Se basa en el desempeño esperado de las

inversiones y el riesgo que el inversionista inversiones y el riesgo que el inversionista desear tomardesear tomar


• Optimización de varianza promedioOptimización de varianza promedio– Utilizado por las firmas más cuantitativas que Utilizado por las firmas más cuantitativas que

tienen procesos automatizados de generación tienen procesos automatizados de generación de predicciones y control de riesgosde predicciones y control de riesgos

– Define el riesgo como el pobre desempeño del Define el riesgo como el pobre desempeño del portafolio en comparación con lo deseadoportafolio en comparación con lo deseado


• Teoría de portafoliosTeoría de portafolios– Es una teoría normativaEs una teoría normativa– Describe un estándar o norma de Describe un estándar o norma de

comportamiento deben perseguir al construir comportamiento deben perseguir al construir un portafolioun portafolio

Beneficios de la DiversificaciónBeneficios de la Diversificación

• Se refiere al concepto de “no poner todos Se refiere al concepto de “no poner todos los huevos en la misma canasta”los huevos en la misma canasta”

• Markowitz cuantificó la diversificación Markowitz cuantificó la diversificación usando el concepto de covarianza entre usando el concepto de covarianza entre las diferentes inversiones y la desviación las diferentes inversiones y la desviación estándar del portafolioestándar del portafolio


• Diversificación está relacionada con el Diversificación está relacionada con el Teorema de Límite CentralTeorema de Límite Central– La suma de variables independientes La suma de variables independientes

aleatorias que sean idénticas e independientes aleatorias que sean idénticas e independientes y con varianza delimitada es asimtóticamente y con varianza delimitada es asimtóticamente GausianaGausiana


• Teorema de límite centralTeorema de límite central

( )

varianza

promedio

ntesindependie aleatorias variablesN

donde

2

11

2

2

1

1

2

lim

→→→

=

≤− ∫∑

∞−

−

=∞→

σ

μ

X

dseπ

yμXNσ

i

ysN

ii

NP


• Para un portafolio con Para un portafolio con NN inversiones idénticas e inversiones idénticas e independientes con retornos independientes con retornos RRi i el retorno del el retorno del portafolio (portafolio (RRp p ) va a ser una variable aleatoria ) va a ser una variable aleatoria con distribución aproximadamente Gausianacon distribución aproximadamente Gausiana

• Esto implica mientras el número de inversiones Esto implica mientras el número de inversiones ((N N ) aumenta, la varianza tiende a cero) aumenta, la varianza tiende a cero

∑=

=N

iip R

NR

1

1


• El concepto de la diversificación es tan El concepto de la diversificación es tan poderoso que ha sido aplicado a varias poderoso que ha sido aplicado a varias áreas de la finanza y es la base de muchas áreas de la finanza y es la base de muchas de las innovaciones en el campode las innovaciones en el campo

• El tener modelos más precisos para El tener modelos más precisos para trabajar con la diversificación ha permitido trabajar con la diversificación ha permitido estimar mejor los niveles de riesgoestimar mejor los niveles de riesgo

Análisis de la Varianza PromedioAnálisis de la Varianza Promedio

• Se basa en que un inversionista racional toma Se basa en que un inversionista racional toma decisiones, en un momento en tiempo (decisiones, en un momento en tiempo (t t ), en ), en cuanto a las inversiones del portafolio con las cuanto a las inversiones del portafolio con las que va a trabajar y mantener por un periodo que va a trabajar y mantener por un periodo ∆∆tt

• El inversionista toma decisiones en cuanto a las El inversionista toma decisiones en cuanto a las pérdidas o ganancias que está dispuesto a pérdidas o ganancias que está dispuesto a asumir el asumir el t + t + ∆∆tt sin considerar lo que pueda sin considerar lo que pueda pasar con las inversiones durante el periodopasar con las inversiones durante el periodo


• Según Markowitz, los inversionistas deben Según Markowitz, los inversionistas deben decidir en base al balance entre el riesgo y decidir en base al balance entre el riesgo y el retorno esperadoel retorno esperado– Retorno esperado se define como el cambio Retorno esperado se define como el cambio

en precio esperado más cualquier ingreso en precio esperado más cualquier ingreso adicional a través del tiempoadicional a través del tiempo

– El riesgo se debe medir en base a la varianza El riesgo se debe medir en base a la varianza de los retornos esperadosde los retornos esperados


• El conjunto de todos los posibles portafolios se El conjunto de todos los posibles portafolios se le llama el conjunto viablele llama el conjunto viable

• Un inversionista racional debe escoger un Un inversionista racional debe escoger un portafolio que provea la menor varianza de entre portafolio que provea la menor varianza de entre el conjunto viableel conjunto viable

• Los portafolios (con varianza mínima) se les Los portafolios (con varianza mínima) se les conoce como portafolios eficiente de varianza conoce como portafolios eficiente de varianza promediopromedio

• El conjunto de todos los portafolios eficientes de El conjunto de todos los portafolios eficientes de varianza promedio, para diferentes niveles de varianza promedio, para diferentes niveles de retorno, forman la frontera eficienteretorno, forman la frontera eficiente


A

DB

C

Curva ABC delimita el conjunto viable

Curva BC es la frontera eficiente

Punto B se conoce como el portafolio global de varianza mínima

Punto D es un portafolio ineficiente

Punto E es inalcanzable

E


• El proceso de selección desde la El proceso de selección desde la perspectiva de la teoría de portafolios se perspectiva de la teoría de portafolios se le conoce como optimización de la le conoce como optimización de la varianza promedio o teoría de la selección varianza promedio o teoría de la selección de portafoliosde portafolios

Marco Clásico para la Optimización Marco Clásico para la Optimización de la Varianza Promediode la Varianza Promedio

• El inversionista escoge un portafolio con El inversionista escoge un portafolio con NN inversionesinversiones

• Cada inversión tiene un peso Cada inversión tiene un peso wwii en el portafolio en el portafolio de forma tal que la suma de los pesos es igual a de forma tal que la suma de los pesos es igual a 11

• El retorno El retorno RRii de cada inversión tiene retorno de cada inversión tiene retorno esperado de esperado de µµii

• Existe además una matriz de covarianzas ∑ que Existe además una matriz de covarianzas ∑ que establece la interrelación entre inversionesestablece la interrelación entre inversiones


• Bajo estas condiciones, el retorno y la Bajo estas condiciones, el retorno y la varianza del portafolio sonvarianza del portafolio son

• Entonces, para optimizar, es necesario Entonces, para optimizar, es necesario minimizar la varianza con la limitante de minimizar la varianza con la limitante de que el retorno esperado sea el valor que el retorno esperado sea el valor µµ00 seleccionado por el inversionistaseleccionado por el inversionista

Σww'σ

μw'μ

=

=2

p


• Si se añade la restricción de que la suma Si se añade la restricción de que la suma de los pesos de cada inversión sea igual a de los pesos de cada inversión sea igual a 1, el problema se conoce como la 1, el problema se conoce como la formulación del riesgo mínimoformulación del riesgo mínimo

• Este problema tiene la siguiente soluciónEste problema tiene la siguiente solución

[ ]

[ ]tμΣh

μtΣg

hgw

babac

bcbac

−⋅−

=

−⋅−

=

+=

−

−

12

12

0

1

1

µ

μΣμ'

μΣt'

tΣt'

1

1

1

donde

−

−

−

=

=

=

c

b

a


• Ejemplo: inversión en 4 paísesEjemplo: inversión en 4 países

10.250.140.2216.57.1Cánada

0.2510.470.2518.39.0Bélgica

0.140.4710.2418.27.9Austria

0.220.250.24119.57.9Australia

Correlaciones (∑)σµ(%)País


10 15 20 25

10

9

8

7

6

5

El punto negro representa es el portafolio eficiente de mínima varianza promedio

Las inversiones individuales (puntos amarillos) están por debajo de la frontera eficiente

El inversionista debe escoger un portafolio que maximice la utilidad (razón de retorno esperado a desviación estándar)

Aumentando el Universo de Aumentando el Universo de InversionesInversiones

• Según se mencionó anteriormente, la Según se mencionó anteriormente, la diversificación ayuda a disminuir la diversificación ayuda a disminuir la varianzavarianza

• No obstante, se puede probar que esta No obstante, se puede probar que esta reducción sólo es posible hasta cierto reducción sólo es posible hasta cierto límite límite AA, donde , donde AA es el promedio de las es el promedio de las covarianzas de las inversiones bajo covarianzas de las inversiones bajo consideraciónconsideración

Formulaciones Alternas de Formulaciones Alternas de Optimización Clásica de Varianza Optimización Clásica de Varianza PromedioPromedio

• La optimización de varianza promedio La optimización de varianza promedio tiene varias formulaciones equivalentes en tiene varias formulaciones equivalentes en el sentido de que llevan a la misma el sentido de que llevan a la misma frontera eficiente de retornos esperados frontera eficiente de retornos esperados versus riesgoversus riesgo


• Hay dos formulaciones de particular Hay dos formulaciones de particular interésinterés– Formulación de maximización de retorno Formulación de maximización de retorno

esperadoesperado– Formulación de aversión al riesgoFormulación de aversión al riesgo


• Formulación de maximización de retorno Formulación de maximización de retorno esperadoesperado– En vez de limitar el retorno esperado (En vez de limitar el retorno esperado (µµ00) y ) y

minimizar la varianza, establece un nivel minimizar la varianza, establece un nivel riesgo (riesgo (σσ00) y maximiza el retorno esperado) y maximiza el retorno esperado


• Formulación de aversión al riesgoFormulación de aversión al riesgo– Establece un compromiso entre el riesgo y el retorno Establece un compromiso entre el riesgo y el retorno

en la forma de un coeficiente de aversión (en la forma de un coeficiente de aversión (λλ) y busca ) y busca maximizar lo siguientemaximizar lo siguiente

– Cuando Cuando λλ es bajo se obtienen portafolios de alto es bajo se obtienen portafolios de alto riesgoriesgo

– Típicamente, Típicamente, λλ se se tomatoma entre 2 y 4 entre 2 y 4

( )Σww'w' λµ −w

max

Línea del Mercado CapitalLínea del Mercado Capital

• El conjunto de portafolios eficientes disponible El conjunto de portafolios eficientes disponible en ausencia de inversiones libre de riesgo es en ausencia de inversiones libre de riesgo es menor que cuando éstas están presentesmenor que cuando éstas están presentes

• Cuando se incluye una inversión libre de riesgo Cuando se incluye una inversión libre de riesgo con retorno con retorno RRff , el inversionista puede prestar o , el inversionista puede prestar o tomar prestado a esta tazatomar prestado a esta taza– Entonces, el portafolio consiste de Entonces, el portafolio consiste de NN inversiones con inversiones con

riesgo más la inversión libre de riesgoriesgo más la inversión libre de riesgo

Línea del Mercado Capital Línea del Mercado Capital

• En este escenario, la suma de los pesos de En este escenario, la suma de los pesos de las inversiones es menor que 1, entonceslas inversiones es menor que 1, entonces

• El objetivo es minimizar la varianza para El objetivo es minimizar la varianza para un retorno esperado (un retorno esperado (µµ00))

RRp

fRRp Rμ

Σww'

tw'μw'

=

−+=2

)1(

σ


• En este modelo, los pesos de las inversiones En este modelo, los pesos de las inversiones están dados por están dados por

• Esto implica que todos los posibles portafolios Esto implica que todos los posibles portafolios eficientes son una combinación de la inversión eficientes son una combinación de la inversión libre de riesgo y un portafolio arriesgado de libre de riesgo y un portafolio arriesgado de varianza mínimavarianza mínima

)()'(

)(

1

0

1

tμΣtμ

tμΣ

ff

f

f

RR

RC

RCwR

−−−

=

−=

−

−

µ


• A este portafolio arriesgado (M) se le A este portafolio arriesgado (M) se le conoce como el portafolio tangente, conoce como el portafolio tangente, portafolio del mercado o, simplemente, el portafolio del mercado o, simplemente, el mercadomercado


Frontera eficiente

Rf

M

Línea del Mercado Capital

PA

PB

Retorno

Riesgo

PA es un portafolio que no incluye la inversión libre de riesgo para un nivel de riesgo dado

PB es el portafolio para el mismo nivel de riesgo que incluye la inversión libre de riesgo

Nótese que el retorno es mayor en PB que en PA


• Con la introducción de la inversión libre de Con la introducción de la inversión libre de riesgo, el inversionista debe escoger un riesgo, el inversionista debe escoger un portafolio en la línea de capital de reisgoportafolio en la línea de capital de reisgo– Portafolios a la izquierda de M representan Portafolios a la izquierda de M representan

situaciones donde se invierte en activos con y situaciones donde se invierte en activos con y sin riesgosin riesgo

– Portafolios a la derecha de M representan Portafolios a la derecha de M representan inversiones donde se toma prestado de la inversiones donde se toma prestado de la inversión libre de riesgo para invertir en inversión libre de riesgo para invertir en activos con riesgoactivos con riesgo


• Esta propiedad del mercado se le llama Esta propiedad del mercado se le llama separación y tiene dos implicaciones separación y tiene dos implicaciones importantesimportantes– Adjudicación de activos (decidir como Adjudicación de activos (decidir como

adjudicar fondos entre inversiones con y sin adjudicar fondos entre inversiones con y sin riesgo)riesgo)

– Construcción de portafolio arriesgado (decidir Construcción de portafolio arriesgado (decidir en cuales inversiones de riesgo se debe en cuales inversiones de riesgo se debe invertir)invertir)

Derivación de la Línea del Mercado Derivación de la Línea del Mercado CapitalCapital

• Puesto que la varianza del portafolio Puesto que la varianza del portafolio depende de los pesos que se le adjudican depende de los pesos que se le adjudican a las diferentes inversiones (por ende a a las diferentes inversiones (por ende a sus varianzas), la línea del mercado capital sus varianzas), la línea del mercado capital se puede expresar como siguese puede expresar como sigue

pM

fMfp

RRERRE σ

σ

−+=

)()(

Precio de Equilibrio en el Mercado Precio de Equilibrio en el Mercado para el Riesgopara el Riesgo

• En la ecuación anterior, la siguiente expresión se En la ecuación anterior, la siguiente expresión se le conoce como la prima de riesgo o el factor de le conoce como la prima de riesgo o el factor de riesgoriesgo

• La expresión define el retorno que compensa el La expresión define el retorno que compensa el riesgo en el que se incurre, es decir, el precio de riesgo en el que se incurre, es decir, el precio de equilibrio en el mercado para el riesgoequilibrio en el mercado para el riesgo

−

M

fM RRE

σ)(

Selección del Portafolio Selección del Portafolio ÓÓptimo ptimo cuando existe la Inversión Libre de cuando existe la Inversión Libre de RiesgoRiesgo

• Con la introducción de la línea del Con la introducción de la línea del mercado de capital, el problema de mercado de capital, el problema de optimización de complicaoptimización de complica

• Para poder determinar el curso de acción Para poder determinar el curso de acción más apropiado hay que introducir los más apropiado hay que introducir los conceptos de función de utilidad y curvas conceptos de función de utilidad y curvas de indiferenciade indiferencia

Funciones de Utilidad y Curvas de Funciones de Utilidad y Curvas de IndiferenciaIndiferencia

• Una función de utilidad (o índice de Una función de utilidad (o índice de utilidad) asigna un valor numérico a las utilidad) asigna un valor numérico a las posibles alternativas que enfrenta la posibles alternativas que enfrenta la empresa o el inversionistaempresa o el inversionista– Implica que la inversión Implica que la inversión aa es mejor que la es mejor que la

inversión inversión bb si, y sólo si, la utilidad de si, y sólo si, la utilidad de aa es es mayor que la de mayor que la de bb

– La alternativa a ser seleccionada es la que La alternativa a ser seleccionada es la que resulta tenga la mayor utilidad dado un resulta tenga la mayor utilidad dado un conjunto de condiciones dadasconjunto de condiciones dadas

Funciones de Utilidad y Curvas de Funciones de Utilidad y Curvas de IndiferenciaIndiferencia

• La función de utilidad se puede La función de utilidad se puede representar gráficamente como un representar gráficamente como un conjunto de curvas de indiferenciaconjunto de curvas de indiferencia– Cada curva representa un conjunto de Cada curva representa un conjunto de

portafolios con diferentes combinaciones de portafolios con diferentes combinaciones de riesgo y retornoriesgo y retorno

– Los puntos en la curva representan Los puntos en la curva representan combinaciones de riesgo y retorno que tienen combinaciones de riesgo y retorno que tienen la misma utilidadla misma utilidad

El Portafolio El Portafolio ÓÓptimoptimo

• Los inversionistas tienen aversión al riesgoLos inversionistas tienen aversión al riesgo

• Al seleccionar portafolios un inversionista Al seleccionar portafolios un inversionista busca maximizar el retorno esperado dada busca maximizar el retorno esperado dada su tolerancia para el riesgosu tolerancia para el riesgo

• El portafolio óptimo es aquel portafolio El portafolio óptimo es aquel portafolio eficiente que provee la utilidad máximaeficiente que provee la utilidad máxima

El Portafolio El Portafolio ÓÓptimoptimo

Frontera eficiente

Rf

M

Línea del Mercado Capital

PMEF

PCML

Retorno

Riesgo

PCML es un portafolio óptimo en la línea del mercado de capital

PMEF es el portafolio en la frontera eficiente

U3

U2 U1

Marco de Trabajo para la Selección Marco de Trabajo para la Selección de Portafoliode Portafolio

• La introducción de la función de utilidad La introducción de la función de utilidad define el problema de optimización como define el problema de optimización como la maximización de la utilidad esperadala maximización de la utilidad esperada– Esto es, hallar el portafolio que maximiza la Esto es, hallar el portafolio que maximiza la

utilidad dada una cantidad de riqueza utilidad dada una cantidad de riqueza WW00

))1((max 0 Rw'E +Wuw


• Funciones de utilidad comunes:Funciones de utilidad comunes:

Exponencial

Cuadrática

Linear ,)( bxaxu +=

0 ,2

)( 2 >−= bxb

xxu

0)()( == xrxr RA

bx

bxxr

bx

bxr RA −

=−

=1

)( ,1

)(

xxrxr

exu

RA

x

λλ

λλ

λ

==

=−= −

)( ,)(

0 ,1

)(


• Funciones de utilidad comunes:Funciones de utilidad comunes:

Logarítmica

Potencia

αααα

−=−=

<<=

1)( ,1

)(

10 ,)(

xrx

xr

xxu

RA

1)( ,1

)(

)ln()(

==

=

xrx

xr

xxu

RA


• La selección de la función de utilidad La selección de la función de utilidad depende de la aplicación particular y los depende de la aplicación particular y los recursos computacionales disponiblesrecursos computacionales disponibles

• De todas las funciones disponibles, la De todas las funciones disponibles, la función cuadrática es la más comúnmente función cuadrática es la más comúnmente utilizadautilizada

¿Preguntas?¿Preguntas?

Vanessa Santiago OlivaresVanessa Santiago Olivares

Universidad InteramericanaUniversidad InteramericanaMATE 6600 EconometríaMATE 6600 Econometría

EconometríA Vanessa Santiago #2

Travel

Transcript of EconometríA Vanessa Santiago #2