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ECONOMETRIA LE

Ejercicios Recomendados

Examenes de LEcursos 2006/2007 a 2009/2010

Tareas del CC

Edicion revisadaFebrero 2011

Queda terminantemente prohibida la reproduccion no autorizada de esta recopilacion, y la dis-tribucion no autorizada de copias de la misma, ası como cualquier otra infraccion de los derechosque sobre esta recopilacion corresponden al departamento de Econometrıa y Estadıstica de laFacultad de Ciencias Economicas y Empresariales de la UPV/EHU.

c©UPV/EHU 2000. Edicion revisada c©2011.

Autores:Departamento de Economıa Aplicada III

Indice

EJERCICIOS RECOMENDADOS 5

Tema 1. Mınimos Cuadrados Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Tema 2. Heterocedasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Tema 3. Autocorrelacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Tema 4. Regresores Estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Tema 5. Modelos Dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

EXAMENES de los cursos 2006/2007 a 2009/2010 61

PROBLEMA LE-2006. 1 (Jun-2006) 61

PROBLEMA LE-2006. 2 (Jun-2006) 63

PROBLEMA LE-2006. 3 (Sep-2006) 65

PROBLEMA LE-2006. 4 (Sep-2006) 67

PROBLEMA LE 2007. 1 (Jun-2007) 70

PROBLEMA LE 2007. 2 (Jun-2007) 73

PROBLEMA LE 2007. 3 (Sep-2007) 74

PROBLEMA LE 2007. 4 (Sep-2007) 76

PROBLEMA LE 2008. 1 (Jun-2008. Evaluacion Continua.) 79

PROBLEMA LE 2008. 2 (Jun-2008. Evaluacion No Continua. Prueba escrita.) 84

PROBLEMA LE 2008. 3 (Jun-2008. Evaluacion No Continua. Prueba practica.) 88

PROBLEMA LE 2008. 4 (Sep-2008. Prueba escrita.) 91


PROBLEMA LE 2008. 6 (Sep-2008. Prueba practica.) 96





3

PROBLEMA LE 2009. 5 (Jun-2009. Evaluacion No Continua. Prueba practica.) 105


PROBLEMA LE 2009. 7 (Sep-2009. Prueba practica.) 114



PROBLEMA LE 2010. 3 (Jun/Sep-2010. Evaluacion No Continua. Prueba escrita.) 121

PROBLEMA LE 2010. 4 (Jun/Sep-2010. Evaluacion No Continua. Prueba escrita.) 123

PROBLEMA LE 2010. 5 (Jun/Sep-2010. Evaluacion No Continua. Prueba practica.) 124

PROBLEMA LE 2010. 6 (Jun/Sep-2010. Evaluacion No Continua. Prueba practica.) 127

TAREAS del CC 129

TAREA 1 129

TAREA 2 130

TAREA 3 131

TAREA 4 133

TAREA 5 135

TAREA 6 136

TAREA 7 138

TAREA 8 139

TAREA 9 140

TAREA 10 141

TAREA 11 142

4

EJERCICIOS RECOMENDADOS

Tema 1. Mınimos Cuadrados Generalizados

PROBLEMA 1 (PV.G28)

Dos municipios vecinos, A y B, pretenden realizar un estudio sobre el comportamiento delconsumo en ambos municipios. Para ello, especifican las siguientes ecuaciones:

CAt = α1R

At + α2P

At + uA

t t = 1, .., T uAt ∼ NID(0, σ2

A)

CBt = β1R

Bt + β2P

Bt + uB

t t = 1, .., T uBt ∼ NID(0, σ2

B)

donde Cjt denota el consumo del municipio j en t, Rj

t la renta media de las familias del municipioj en t y P j

t la poblacion del municipio j en t, donde j = A,B.

E(uAt , uB

s ) ={

σAB si t = s0 en otro caso

Indica separadamente para cada uno de los siguientes casos, como contrastarıas las siguienteshipotesis nulas. Explica razonadamente en cada caso, el metodo de estimacion que eliges, elestadıstico del contraste y los supuestos bajo los cuales el contraste es valido.

1. Si σAB = 1, σ2A = 2, σ2

B = 2. Contrastar H0 : α1 + α2 = 0

2. Si σAB = 0, σ2A = 2, σ2

B = 1. Contrastar H0 : α2 = β2

PROBLEMA 2 (PV.E8)

Sea el modelo Yt = α + βXt + ut donde E(u2t ) = tX2

t

1. Conociendo tres observaciones de Yt y Xt obten por M.C.O. y en forma matricial, lasestimaciones de α y β del modelo anterior.

t 1 2 3Yt 1 1 0Xt 1 -1 1

2. Ahora ademas se conoce:

E(u1u3) = E(u3u1) = 1

E(u1u2) = E(u2u1) = E(u2u3) = E(u3u2) = 0

Dadas las observaciones de Yt e Xt y la informacion sobre E(utus), calcula la matriz devarianzas y covarianzas del estimador M.C.O.

5

3. Dada la informacion anterior, ¿que propiedades tiene el estimador Mınimo-CuadraticoOrdinario?

4. ¿Conoces un estimador con mejores propiedades? ¿Cual es? ¿Que propiedades tiene? Es-cribe su matriz de varianzas y covarianzas. (No la estimes, escribe solo su formula y dı queson cada uno de sus elementos.)

5. Si en el modelo Yt = α + βXt + ut se cumple:

E(u2t ) = tX2

t y E(utus) = 0 ∀t, s t 6= s

Escribe el modelo transformado que corrija este problema y demuestra que sus perturba-ciones tienen varianza constante.

6. Estima, por el metodo de M.C.O. y utilizando calculo matricial, los parametros del modelotransformado.

PROBLEMA 3 (PV.E15)

Un investigador A quiere explicar los gastos de los estudiantes con el siguiente modelo:

(1) Yi = α + βXi + ui i : 1, . . . , N

siendo Yi : gastos del estudiante iXi : ingresos del estudiante i

En el modelo (1) se cumplen todas las hipotesis basicas, especialmente

E(ui) = 0V ar(ui) = σ2

u ∀iE(uius) = 0 ∀i 6= s

Otro investigador B dice que es mejor agrupar los datos de cada clase, para simplificar loscalculos, y estimar los parametros con los datos agrupados. En total los alumnos estan divididosen 8 clases y el numero de alumnos en cada clase es n1, n2, . . . , n8. El investigador B utilizara portanto 8 observaciones de cada variable, cada una correspondiente a una clase:

Y j =∑nj

k=1 Yk

njXj =

∑njk=1 Xk

njj : 1, 2, . . . , 8

El modelo que plantea es el siguiente:

Y j = α + βXj + vj j : 1, 2, . . . , 8

1. ¿Cuales son la media y varianza de la perturbacion vj?

2. Los dos investigadores desean estimar sus modelos por mınimos cuadrados. ¿Que metodoste parecen adecuados a cada caso? ¿Por que?

3. ¿Como cambiarıan tus conclusiones del apartado anterior si el numero de alumnos fuerael mismo en todas las clases?

6

PROBLEMA 4 (PV. E40)

Para analizar el efecto del stock de capital (K) sobre el valor anadido bruto por ocupado (VAB)en la Comunidad Autonoma Vasca (CAV) se dispone de los siguientes datos:

t 1987 1988 1989 1990 1991 1992VAB-PV 30 36 38 42 49 50K-PV 60 60 61 62 65 66

Con ellos se trata de estimar la relacion:

V ABPVt = α1 + α2 KPVt + ut donde ut ∼ NID (0, σ2u)

1. Estima por MCO los parametros del modelo y contrasta la significatividad de la variablestock de capital.

Para la Comunidad Autonoma de Navarra se supone un modelo analogo:

V ABNt = β1 + β2 KNt + vt donde vt ∼ NID (0, σ2v) y t : 1987, . . . , 1992.

2. Si se sabe que E(ut vt) 6= 0, ¿Como estimarıas α2 y β2 teniendo en cuenta este hecho?(Describe con detalle el modelo y el estimador que utilizarıas).

3. Si E (ut vt) = σuv, σ2u y σ2

v fuesen conocidos, ¿Como estimarıas α2 y β2? Comenta lasdiferencias entre este estimador y el que utilizas en el apartado anterior.

PROBLEMA 5 (LADE 1997.1)

Considera el siguiente modelo de regresion general:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1, . . . , 100

donde X2 y X3 son fijas y ut ∼ NID(0, σ2t = a + bt2).

1. Supon que se sabe que a = 2b, siendo b un parametro desconocido.

a) Obtener la matriz de varianzas y covarianzas de Y .b) Indicar el metodo adecuado de estimacion del modelo, razonando la respuesta.

2. Supon ahora que a = 0 y b es un parametro desconocido. Se ha estimado el modelo pormınimos cuadrados generalizados, obteniendose las siguientes estimaciones:

βMCG =

23

−1

V (βMCG) =

3 −2 1−2 4 0

1 0 3

Realiza los contrastes de las siguientes hipotesis:

a) β3 = 0b) β3 = 0 y β1 + 2β2 = 5

7

Tema 2. Heterocedasticidad

PROBLEMA 6 (PV.E6)

Supongamos el modelo:Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1, 2, · · · , T

donde:E(ut) = 0 ∀tE(u2

t ) =1

X23t

∀tE(ut, us) = 0 ∀t 6= s

1. Escribe el modelo transformado en el que las perturbaciones sean homocedasticas. Buscala distribucion de estas perturbaciones transformadas.

2. En el caso de que T=4, escribe la matriz de regresores, X, del modelo transformado sa-biendo que:

t 1 2 3 4X2t 0 1 1 2X3t 3 0.5 1 1

PROBLEMA 7 (PV.E20)

Sea el modeloYi = α + βXi + ui i = 1, . . . , N

con Var(ui)=P 2i σ2.

Decide cual de los siguientes modelos esta correctamente transformado para corregir este pro-blema de heterocedasticidad y explica por que.

(1) PiYi = α + βPiXi + Piui

(2)Yi

Pi=

α

Pi+ β

Xi

Pi+

ui

Pi

(3) PiYi = αPi + βPiXi + Piui

(4)Yi

Pi= α + β

Xi

Pi+

ui

Pi

8

PROBLEMA 8 (PV.E38)

El modelo de consumo:Ct = β1 + β2Rt + ut (1)

se ha estimado con datos anuales de la CAV desde 1965 hasta 1994. Se han realizado dosestimaciones MCO por separado, con los diez primeros datos y con los diez ultimos:

1965− 1974 : Ct = 22699, 0 + 0, 336Rt

SCT1 = 9703500, 0 R21 = 0, 85

1985− 1994 : Ct = 38767, 0 + 0, 6542Rt

SCT2 = 457036363, 0 R22 = 0, 78

1. Utiliza el contraste de Goldfeld y Quandt para comprobar la existencia de homocedastici-dad entre los dos perıodos.

2. Al estimar por MCO con todos los datos (1965-1994) se ha obtenido:

Ct = 35205, 0 + 0, 586Rt + ut R2 = 0, 82 (2)

y la regresion sobre Rt:

u2t

σ2= 64519, 0 + 0, 52Rt + vt R2 = 0, 71 σ2 =

u′u30

SCR = 1500 (3)

Utiliza la informacion que te proporcionan estas dos ultimas regresiones para contrastarla misma hipotesis nula que en el apartado a).

3. Teniendo en cuenta lo obtenido en los apartados anteriores, ¿que metodo de estimacionutilizarıas para el modelo de consumo?, ¿Por que?. Explıcalo detalladamente.

PROBLEMA 9 (LE 2000.2)

Sea el siguiente modelo:Yi = β1 + β2Xi + ui i = 1, . . . , N (4)

donde Xi es no estocastica, E(ui) = 0, E(u2i ) = σ2[1 + 0, 5Xi]2 ∀i y E(uiuj) = 0 ∀i 6= j

1. Escribe la matriz de varianzas y covarianzas del vector de perturbaciones.

2. Escribe el modelo transformado correspondiente al estimador MCG y demuestra las pro-piedades de la perturbacion del modelo que propongas.

3. Explica como estimarıas los parametros del modelo transformado. ¿Que propiedades tienentus estimadores?

4. Utilizando el estimador MCG y suponiendo normalidad de ui, explica como realizarıas elcontraste Ho : β2 = 1. (No olvides explicar claramente que son cada uno de los elementosdel estadıstico de contraste.)

9

5. El estimador MCO de los parametros de la ecuacion (4) es ineficiente. Muestra comoutilizarıas este estimador para contrastar la Ho : β2 = 1 de forma tal que tu contraste seavalido. (No olvides explicar claramente que son cada uno de los elementos del estadısticode contraste.)

6. ¿Son ambos contrastes equivalentes o preferirıas alguno de los dos? Razona tu respuesta.


Una entidad comercial en proceso de expansion desea realizar un estudio sobre la relacion entreel sector industrial y el numero de oficinas por provincia. Para ello dispone de una muestra de 50observaciones de las variables S (numero de sucursales por provincia) y L (numero de licenciascomerciales, indicador de la importancia del sector comercial). Su gabinete de estudios estimapor MCO la siguiente ecuacion:

Si = β1 + β2Li + ui (5)

Los resultados de dicha estimacion con las 50 observaciones son:

Si(t− ratio)

= 22, 2(3, 9)

+ 0, 5(5, 05)

Li, R2 = 0, 3 (6)

La representacion grafica de la variable endogena Si y de los residuos MCO del ajuste (6) sobrela variable explicativa Li es la siguiente:

Variables del modelo Residuos MCO

a) El responsable del gabinete de estudios se muestra insatisfecho con estos resultados. ¿Que pro-blemas crees que reflejan los graficos anteriores?

El mismo responsable propone dos posibles vıas para mejorar la estimacion. La primera consisteen estimar por MCO la siguiente ecuacion:

Si√Li

= β11√Li

+ β2

√Li +

ui√Li

(7)

10

b) ¿Cual es la hipotesis basica que se debe incumplir en el modelo (5) para utilizar el modelo(7)? ¿Cual es la solucion que esta proponiendo? ¿En que espera mejorar respecto a laestimacion MCO primera (6)?

c) A la vista de la representacion grafica de la variable Si√Li

y de los residuos del ajuste MCOdel modelo (7) sobre

√Li, ¿crees que esta resolviendo correctamente el problema?

La segunda posibilidad es que la relacion entre Si y Li no sea lineal, sino exponencialSi = exp{γ1 + γ2Li + vi}, por lo que se estima por MCO el siguiente modelo:

lnSi = γ1 + γ2Li + vi (8)

dando lugar a los siguientes resultados para toda la muestra de 50 observaciones:

lnSi(t− ratio)

= 3, 31(31, 0)

+ 0, 02(5, 3)

Li, R2 = 0, 33 SCR = 10, 54 (9)

v2i

0, 21= 0, 053

(0, 09)

+ 0, 017(1, 6)

Li + ei, R2 = 0, 014 SCR = 89, 72 (10)

Ademas, tras ordenar la muestra en funcion de los valores de la variable L, se han estimado dosregresiones (8) con las primeras y ultimas 12 observaciones. Las sumas de cuadrados de residuosobtenidas son SCR1 = 0, 77 y SCR2 = 0,992 respectivamente.

d) ¿Crees que el modelo (8) presenta el mismo problema de incumplimiento de hipotesis queel modelo (5)? Justifica tu respuesta mediante un contraste. Explica detalladamente lo quehaces y por que lo haces.

e) ¿Alguna de las dos soluciones propuestas te parece mejor que la otra? Razona tu respuesta.

PROBLEMA 11 (LADE 2001.1) Para modelizar la relacion entre consumo familiar (Y ) yrenta del cabeza de familia (X) se propone la siguiente ecuacion:

Yi = α + βXi + ui (11)

11

donde se supone que ui tiene distribucion normal y se conocen los datos de 10 familias:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Suma

Y 8 91 191 22 55 32 81 176 138 31 825X 4 49 100 9 25 16 36 81 64 16 400

Se ha estimado por MCO obteniendo:

(α

β

)=

(N

∑Xi∑

Xi∑

X2i

)−1 ( ∑Yi∑

XiYi

)=

(10 400400 25588

)−1 (825

52176

)=

(2, 52

)

Ademas, se ha realizado la regresion auxiliar:

u2i

48, 65= −0, 245 + 0, 0311Xi + wi

∑w2

i = 1, 1473 R2 = 0, 89 (12)

donde ui son los residuos MCO del modelo (11).

a) Usa algun metodo grafico para ver si existen indicios de heterocedasticidad. Comenta losresultados.

b) Contrasta la existencia de heterocedasticidad causada por la variable Xi mediante el es-tadıstico de Breusch-Pagan. Plantea claramente la hipotesis nula, la alternativa, el es-tadıstico de contraste y su distribucion. Comenta la fiabilidad del contraste anteriorpara este caso concreto.

c) Estima el modelo (11) por MCG suponiendo que V ar(ui) = σ2i = σ2Xi

d) ¿Es la variable renta del cabeza de familia, X, relevante para explicar el consumo familiar,Y ?

12


Con una muestra de 15 paıses se desea estimar el efecto que un aumento en las cotizaciones dela Seguridad Social tendrıa sobre la parte de las cotizaciones a cargo de los trabajadores. Lainformacion, correspondiente al ano 1982, de las cotizaciones a la Seguridad Social (CSS) y laparte correspondiente a los trabajadores (CSST), en ambos casos como porcentaje del total deingresos fiscales se presenta en las dos primeras columnas de la siguiente tabla:

CSS CSST u

Austria 31,9 13,5Belgica 29,8 10,1 -0,08327Dinamarca 2,8 1,5 -2,97434Francia 43,2 11,5Alemania 36,2 16,1Irlanda 15,0 5,4 -1,65393Italia 47,2 7,1Japon 30,4 10,7 0,38986Luxemburgo 28,0 11,2 1,39732Paıses Bajos 41,6 18,0Portugal 28,5 10,8 0,89160Espana 46,5 10,3Suiza 31,0 10,2 -0,23700Reino Unido 16,9 7,6 0,14433EE.UU. 27,7 10,8 1,06076

Consideramos el siguiente modelo:

CSSTi = β1 + β2CSSi + ui i = 1, . . . , 15

Los resultados de la estimacion del modelo anterior por MCO con la muestra de los 15 paısesson los siguientes:

CSST i(t− estad.)

= 3, 8823(1, 69)

+ 0, 211442(3, 01)

CSSi (13)

R2 = 0, 365 SCR = 132, 7767

1. Fijate en la tabla, en la tercera columna se muestran los residuos MCO, ui. Indica laforma general de obtener ui. A continuacion completa los que faltan en la misma tabla yen el siguiente grafico:

2. Una vez completado el grafico comenta si crees que puede existir algun problema razonandotu respuesta.

3. Con la siguiente informacion lleva a cabo el contraste de Goldfeld y Quandt. Debes decompletar la informacion que falta y senalar claramente todos los elementos del contrasteincluidas la hipotesis nula y la alternativa.

13

Primera submuestra

CSST i = 0, 463351 + 0, 374431CSSi (14)

CSSTi 1,5

CSSi 2,8

u1 -0,011759 0,808758 0,25257

Segunda submuestra

CSST i = 28, 9928− 0, 395203CSSi (15)

CSSTi 13,5

CSSi 31,9

u2 1,413507 -0,420075 -3,239264

14

4. Dada la evidencia obtenida en los apartados anteriores y con la siguiente informacion,estima eficientemente los coeficientes del modelo. Explica como se obtiene este estimadory que supuestos se estan haciendo para que este estimador sea eficiente.

CSSTi/CSSi 1/CSSi Constantei = 1CSSTi/CSSi 2,12814 0,3672255 5,47296

1/CSSi 0,1463262 0,8374455Constantei = 1 15

donde por ejemplo∑

CSSTi/CSSi = 5, 47296.

5. Con el estimador que has propuesto en el apartado anterior contrasta la hipotesis nulade que un aumento en las cotizaciones de la Seguridad Social recaerıa totalmente sobrelos trabajadores, esto es Ho : β2 = 1. Indica todos los supuestos necesarios para que seavalido el contraste.


En el modeloYt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1, . . . , T

dondeX2t y X3t son variables fijasE(ut) = 0 ∀tE(u2

t ) = σ2t t = 1, . . . , T

E(utus) = 0 ∀t, s t 6= s

1. Si σ2t no es conocida: Escribe el estadıstico y todos sus elementos ası como la regla de

decision para realizar el contraste H0 : β2 = 0 basandote en el estimador MCO de β2.

2. Si σ2t = σ2 1

X23t

Explica como obtendrıas el estimador de β1, β2, β3 lineal, insesgado y efi-ciente. Razona tu respuesta.


Considera el siguiente modelo de regresion:

Yi = β1 + β2Xi + ui i = 1, . . . , N

donde Xi es no estocastica, ui ∼ N(0, σ2i ), E(uiuj) = 0 para i 6= j y σ2

i es una funcion crecientecon Xi.

a) ¿Que problema existe en el modelo anterior? ¿Como podrıa detectarse? Explica en detalleel contraste que propones.

15

b) ¿Que consecuencias tiene en los contrastes de hipotesis sobre β1 y β2 utilizar en los es-tadısticos t o F el estimador

∑i u2

iN−2 (X ′X)−1? Razona tu respuesta.

Se dispone de una muestra de 800 observaciones con la siguiente informacion:

∑i Xi = 330

∑i X

2i = 144

∑i

1Xi

= 2058∑

i1

X2i

= 5683∑

i1√Xi

= 1273∑

i Yi = 2672∑

i Y2i = 9576

∑i XiYi = 1108

∑i

YiXi

= 6835∑

iYi

X2i

= 18755∑

iYi√Xi

= 4239∑

i u2i = 660

∑i u

2i X

2i = 160

∑i u

2i Xi = 309

donde ui = Yi − β1 − β2Xi son los residuos resultantes de estimar los parametros β1 y β2

por mınimos cuadrados ordinarios.

c) Obtener las estimaciones de β1 y β2 por MCO.

d) Si se ha utilizado el estimador de White, ¿como se ha obtenido la siguiente estimacion dela matriz de varianzas y covarianzas del estimador MCO de β1 y β2? Indica explıcitamentetodos los pasos que se han realizado hasta llegar a este resultado.

V arWHITE(βMCO) =[

0, 04 −0, 11−0, 11 0, 28

]

e) Utilizando las estimaciones obtenidas en el apartado c) y d), contrasta H0 : β2 = 0 frentea Ha : β2 6= 0.

f) Suponiendo que σ2i = 4X2

i , ¿como obtendrıas un estimador eficiente de β1 y β2? Explicaen detalle el procedimiento de estimacion.

g) Calcula las estimaciones de β1 y β2 con el estimador eficiente y su matriz de varianzas ycovarianzas.

h) Contrasta H0 : β2 = 0 frente a Ha : β2 6= 0 utilizando el estimador eficiente de β2.

i) ¿Podrıan dar conclusiones distintas los contrastes realizados en d) y g)? ¿Por que?

16


Se dispone de una base de datos sobre el precio de venta y distintas caracterısticas de 224viviendas pertenecientes a dos areas residenciales del condado de Orange en California (USA),Dove Canyon y Coto de Caza 1. Dove Canyon es una zona de viviendas relativamente pequenasconstruidas alrededor de un campo de golf. Coto de Caza es un area de mayor nivel de vidaaunque mas rural con viviendas mas grandes. Las variables que se consideran son

salepric = precio de venta de la vivienda en miles de dolaressqft = tama~no de la vivienda en pies cuadradosage = edad de la vivienda en a~noscity = 1 si esta en Coto de Caza, 0 si esta en Dove Canyon

A continuacion se muestran los resultados de la estimacion por Mınimos Cuadrados Ordinarios(MCO) de un modelo para el precio de venta de la vivienda utilizando esa base de datos:

RESULTADOS A Variable dependiente: salepric

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD.Tconst -440,312 35,3203 -12,466sqft 0,252069 0,00815634 30,905age 3,69805 3,02416 1,223city 91,8038 21,7494 4,221

Media de la var. dependiente = 642,929D.T. de la var. dependiente = 371,376Suma de cuadrados de los residuos (SCR_A) = 4,27804e+006R-cuadrado = 0,860905R-cuadrado corregido = 0,859008Estadıstico F (3, 220) = 453,884

a) Escribe el modelo teorico que se ha estimado y comenta los resultados obtenidos en termi-nos de bondad de ajuste, significatividad y signos de los coeficientes estimados.

b) Analiza de forma razonada la informacion que te proporcionan los siguientes graficos y laregresion auxiliar. Si realizas algun contraste, indica todos los elementos del mismo. ¿Cualde los graficos es mas informativo y por que?

ui2

SCRA/224= −5, 94184

(-10,387)

+ 0, 00172457(12,727)

sqfti

N = 224 R2 = 0, 421826 SCR = 1478, 52

1Fuente: Ramanathan, Ramu (2002) Introductory econometrics with applications. Fichero data7-24.gdt.

17

Figura 1: Grafico de residuos MCO sobre la variable sqft

−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

0 50 100 150 200

resi

duo

index

Residuos de la regresión (= salepric observada − ajustada)

Figura 2: Grafico de residuos MCO sobre la variable sqft

−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000

resi

duo

sqft

Residuos de la regresión (= salepric observada − ajustada)

A continuacion se muestran los resultados de la estimacion por MCO utilizando un esti-mador de la matriz de varianzas y covarianzas de los coeficientes consistente aunque existaheterocedasticidad.

18

RESULTADOS B Variable dependiente: salepric

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD.Tconst -440,312 110,631 -3,980sqft 0,252069 0,0279076 9,032age 3,69805 5,15553 0,717city 91,8038 26,3404 3,485

Media de la var. dependiente = 642,929D.T. de la var. dependiente = 371,376Suma de cuadrados de los residuos = 4,27804e+006R-cuadrado = 0,860905R-cuadrado corregido = 0,859008

c) ¿En que varıan los resultados mostrados ahora (RESULTADOS B) con los primeros (RE-SULTADOS A)? ¿Por que? ¿Cuales son fiables y para que? Explica razonadamente.

Por ultimo se muestran los resultados de la estimacion por Mınimos Cuadrados Generali-zados o Ponderados utilizando como variable de ponderacion el inverso del cuadrado deltamano de la vivienda esto es, 1

sqft2.

RESULTADOS C Estimaciones MC.Ponderados utilizando las 224observaciones 1-224Variable utilizada como ponderacion: 1/sqft^2

Variable dependiente: salepric

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD.Tconst -285,205 37,2121 -7,664sqft 0,215569 0,00959143 22,475age -0,549288 2,28001 -0,241city 110,780 15,6896 7,061

Estadısticos basados en los datos ponderados:Suma de cuadrados de los residuos = 0,150742Desviacion tıpica de los residuos = 0,0261762R-cuadrado = 0,798817R-cuadrado corregido = 0,796073Estadıstico F (3, 220) = 291,177

Estadısticos basados en los datos originales:Media de la var. dependiente = 642,929D.T. de la var. dependiente = 371,376Suma de cuadrados de los residuos = 4,73514e+006Desviacion tıpica de los residuos = 146,708

d) ¿Que se quiere decir con datos ponderados y datos originales? ¿Por que se utiliza comovariable de ponderacion el inverso de sqft2? Explica razonadamente.

19

e) ¿Que resultados de los tres A,B, o C te parecen mejores? ¿Por que?


Se desea analizar la siguiente la relacion entre los gastos agregados en sanidad, Yi y la rentaagregada, Xi, ambos en billones de dolares, para 51 estados norteamericanos2:

Yi = β1 + β2Xi + ui (16)

Los resultados de la estimacion por Mınimos Cuadrados Ordinarios son los siguientes:

Yi

(desv(βi))

= 0, 3256(0,3197)

+ 0, 1420(0,0019)

Xi R2 = 0, 999 (17)

(desv(βi)White) (0, 2577) (0, 0031)u2

iu′uT

= 0, 113 + 0, 008Xi + εi R2 = 0, 3269 SCE = 55, 89 (18)

Posteriormente, se dibujan los residuos frente a la renta agregada (Figura 3).

Figura 3: Residuos MCO frenta a la Renta (16)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 100 200 300 400 500 600 700

resi

duo

Renta

1. Explica como crees que se han calculado los residuos y para que crees que se ha dibujadola Figura 3. Interpretala.

2Ramanathan, R. (2002), Introductory econometrics with applications, fichero data3-2.gdt.

20

2. Teniendo en cuenta la Figura 3 realiza el contraste que consideres oportuno.

3. Explica, razonando tu respuesta, que estadıstico utilizarıas para contrastar la significati-vidad de la variable renta. Realiza el contraste detallando todos sus elementos.

4. A la vista de los resultados de la estimacion del modelo (16) el investigador estima denuevo el modelo suponiendo la siguiente estructura para la varianza de la perturbacion:V ar(ui) = σ2Xi. Se obtienen los siguientes resultados:

Modelo 2: estimaciones M C.Ponderadosutilizando las 51 observaciones 1-51 Variable dependiente: GastoVariable utilizada como ponderacion: 1/renta

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD.T 2Prob(t > |T|)const 0,104510 0,162476 0,643 0,523069renta 0,144202 0,00259765 55,513 < 0,00001 ***

Estadısticos basados en los datos ponderados:Suma de cuadrados de los residuos = 1,14534 R-cuadrado = 0,984348Desviacion tıpica de los residuos = 0,152887 R-cuadrado corregido = 0,984029

4.a) Razona la forma funcional escogida para la varianza de la perturbacion. Explica comocrees que se han obtenido las estimaciones.

4.b) Suponiendo normalidad en la perturbacion, contrasta la significatividad de la variablerenta.

5. El investigador no se siente conforme con la forma funcional escogida para V ar(ui) y sepropone reestimar el modelo (16) suponiendo que V ar(ui) = a + bXi, donde a y b sondesconocidos.

5.a) Explica detalladamente como estimarıas los coeficientes del modelo (16) bajo estesupuesto.

5.b) Suponiendo σ2i = a + bXi. Realiza dicha estimacion con la siguiente informacion

muestral:∑

u2i = 148, 699

∑u2

i Xi = 34945, 67∑

(Xi/σi)2 = 196420, 998∑

(Xi/σi2) = 1608, 337∑

(1/σi)2 = 34, 738∑

(Yi/σi2) = 236, 139

∑(YiXi/σi

2) = 28484, 578∑

(Y 2i /σi

2) = 4168, 919

5.c) Contrasta la significatividad de la variable explicativa.

6. ¿Que comentarıas sobre la validez de los contrastes realizados en los apartados 3), 4.b) y5.c)?

21


En el modelo

Yi = β1 + β2Xi + ui ui ∼ NID(0, σ2i ) (19)

donde σ2i = a + bX2

i .

1. Obten la estimacion por Mınimos Cuadrados Generalizados Factibles utilizando la siguien-te informacion muestral donde σ2

i = a + bX2i es un estimador consistente de la varianza

de ui :∑

u2i = 148, 699

∑u2

i Xi = 34945, 67∑

(Xi/σi)2 = 196420, 99∑

(Xi/σi2) = 1608, 34∑

(1/σi)2 = 34, 74∑

(Yi/σi2) = 236, 14

∑(YiXi/σi

2) = 28484, 58∑

(Y 2i /σi

2) = 4168, 92

2. Explica que ventajas presenta este estimador frente al de Mınimos Cuadrados Ordinarios.Razona tu respuesta.

3. Contrasta la significatividad de la variable explicativa. Explica todos los elementos delcontraste.


Se dispone de datos anuales del consumo (Ct) y renta (Rt) de USA desde 1950 hasta 1985. Paraanalizar la proporcion de renta que se dedica al consumo se propone el modelo Ct = α+βRt+ut,donde ut sigue una distribucion normal. Al estimar el modelo por MCO se obtienen los siguientesresultados:

Ct = 11, 374(1,181)

+ 0, 898(153,603)

Rt

T = 36 R2 = 0, 998∑

u2t = 12044, 2

(entre parentesis, los estadısticos t)

1. Para analizar si se ha mantenido constante la dispersion de las perturbaciones a lo largodel tiempo se han realizado dos regresiones :

Ct = 6, 719 + 0, 909Rt

∑u2

t = 405, 369 t = 1950, ..., 1963

Ct = −187, 162 + 0, 99Rt

∑u2

t = 3709, 55 t = 1972, ..., 1985

Utiliza estos resultados para contrastar si las perturbaciones del modelo considerado hanmantenido constante su dispersion. Explica claramente todos los pasos del contraste.

22

2. Asimismo, se desea contrastar la posibilidad de que la dispersion de las perturbacionesdependa de Rt. Utiliza una de las siguientes regresiones para realizar dicho contraste.Explica claramente todos los elementos del contraste realizado.

(1)u2

t

334, 561= 1, 345 + 0, 345Rt + 0, 581Ct + wt; R2 = 0, 890;

∑w2

t = 4, 515

(2) ut = 7, 205 + 0, 014Rt + 0, 546ut−1 + wt; R2 = 0, 329;∑

w2t = 19, 455

(3) u2t = −3, 305 + 0, 953Rt + wt; R2 = 0, 129;

∑w2

t = 9, 315

(4)u2

t

334, 561= −1, 272 + 0, 001Rt + wt; R2 = 0, 189;

∑w2

t = 94, 651

3. Teniendo en cuenta que la renta ha mantenido una tendencia creciente durante los anosconsiderados en la muestra y los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores, di-buja en un grafico el comportamiento que esperas que tengan los residuos MCO frente a Rt.

4. Suponiendo que V ar(ut) = σ2R4t explica detalladamente como estimarıas de la mejor for-

ma posible los parametros α y β. Razona que propiedades tiene el estimador propuesto.

5. Supon ahora que V ar(ut) = γ0 +γ1Rt, donde γ0 y γ1 son constantes desconocidas. Explicadetalladamente como contrastarıas la hipotesis de que de cada dolar en que se incrementala renta se espera que 90 centimos se dediquen al consumo.


Se propone el siguiente modelo de regresion para estudiar el efecto de los gastos en publicidad,Xi, en los ingresos, Yi, de los restaurantes de una determinada ciudad:

Yi = α + βXi + ui ui ∼ NID(0, σ2u) (20)

De una muestra de 166 restaurantes, se dispone del promedio de los ingresos (en miles de euros)y del gasto en publicidad mensual (en cientos de euros) de los restaurantes agrupados segun albarrio al que pertenecen.

Barrio 1 2 3 4 5 6 7Y j 10 12 14 18 17 18 20Xj 3 5 9 12 15 17 19nj 9 4 36 16 81 4 16

23

donde Xj = 1nj

∑i∈Bj

Xi, Y j = 1nj

∑i∈Bj

Yi y nj indica el numero de restaurantes en el barrioBj , j = 1, 2, . . . , 7.

Ademas, se dispone de la siguiente informacion:

7∑

j=1

√njXj = 366;

7∑

j=1

√njY j = 479;

7∑

j=1

√njX

2j = 5186;

7∑

j=1

√njY

2j = 7909;

7∑

j=1

√njXjY j = 6257

7∑

j=1

Xj

nj= 8, 21;

7∑

j=1

Y j

nj= 11, 59;

7∑

j=1

X2j

nj= 116, 09;

7∑

j=1

Y2j

nj= 182, 37;

7∑

j=1

XjY j

nj= 138, 73

7∑

j=1

njXj = 2150;7∑

j=1

njY j = 2699;7∑

j=1

njX2j = 30558;

7∑

j=1

njY2j = 44821;

7∑

j=1

njXjY j = 36461

1. Dado que solo tienes la informacion de los promedios, ¿en que modelo podrıas estimar losparametros α y β? Indica la propiedades de las perturbaciones de dicho modelo.

2. Estima eficientemente los parametros del modelo y describe en detalle el estimador utili-zado y sus propiedades.

3. Contrasta si el gasto en publicidad tiene un efecto marginal positivo sobre los ingresos.

4. Sin hacer los calculos, ¿como estimarıas el modelo que has propuesto en el apartado 1si la varianza de las perturbaciones del modelo original (20) aumenta con los gastos enpublicidad tal que Var(ui) = σ2

uXi?


Para analizar el precio de las viviendas (en miles de dolares) de San Diego en 1990 (Yi) enfuncion del area de la vivienda (pies al cuadrado) (Ai) y el numero de habitaciones (Hi), sedispone de una muestra de 14 viviendas Se especifica el siguiente modelo de regresion lineal:

Yi = β1 + β2Ai + β3Hi + ui i = 1, . . . , 14

Se ha estimado el modelo por MCO, obteniendose:

Yi(desv)

= 146,730(89,564)

+ 0,138(0,024)

Ai − 25,957(27,527)

Hi R2 = 0,7749 SCR = 21000,44

Las regresiones auxiliares:

u2i

1500,03= −2,106 + 0,002Ai + ωi R2 = 0,3727 SCR = 19,294

24

xxx

xxxx

x

xx

x

x

x

x

0 500 1500 2500

0100

300

500

Area

Precio

x xx

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

1000 1500 2000 2500 3000

−50

050

AreaResiduos MCO

u2i

21000,44= −0,150 + 0,001Ai + ωi R2 = 0,3727 SCR = 0,098

y los graficos:

a) Interpreta β2.

b) ¿Hay evidencia de incumplimiento de alguna hipotesis basica sobre la perturbacion? Basateen los graficos y la informacion proporcionada en las regresiones auxiliares.

c) ¿Que puedes decir sobre la fiabilidad de las desviaciones estimadas mostradas?

d) Supon que V (ui) = σ2Ai y el resultado de la estimacion del modelo por MCG es:

Yi(estad. t)

= 104,029(1,414)

+ 0,141(6,000)

Ai − 15,625(−0,634)

Hi

Detalla como se ha obtenido βMCG.

e) ¿Es la variable explicativa area de la vivienda significativa? ¿Y el numero de habitaciones?Haz los contrastes, detallando sus elementos. (Supuesto: ui ∼ N)

25

Tema 3. Autocorrelacion

PROBLEMA 21 (PV.E44)

En la siguiente tabla se recogen los datos de salarios (Y ) y horas trabajadas (X) para losempleados de una empresa. Ademas se conoce si el empleado es hombre (H) o mujer (M):

Y 170 180 165 165 105 95 100 90∑

Y 2i = 153900

∑Yi = 1070

X 40 50 30 40 50 35 40 35∑

Xi = 320∑

X2i = 13150

Sexo H H H H M M M M∑

XiYi = 43075

Para explicar los salarios de los trabajadores de la empresa, un investigador propone el siguientemodelo: Yi = α + βXi + ui donde ui ∼ NID(0, σ2

u)

1. Estima por MCO los parametros del modelo y contrasta la significatividad de la variableX.

2. ¿Hay evidencia de autocorrelacion de tipo AR(1) en las perturbaciones del modelo?

3. Otro investigador piensa que el sexo es una variable relevante para la determinacion delsalario. Propon y estima un modelo que tenga en cuenta esta hipotesis y contrastala.

4. Teniendo en cuenta que en este modelo el estadıstico de Durbin y Watson toma el valord = 2, 2 ¿hay evidencia de autocorrelacion de tipo AR(1) en las perturbaciones de estemodelo? ¿Como se relaciona este resultado con lo obtenido en el apartado b)?

5. ¿Es la variable X significativa?, ¿como se explica este resultado teniendo en cuenta loencontrado en el apartado a)?


Se analiza la relacion entre las ventas de un producto, (Y ) y su precio, (X) para lo cual se haespecificado el siguiente modelo:

Yt = α + β Xt + ut (21)

Disponemos de los siguientes datos:

t 1 2 3 4 5 6Y 27 32 25 31 30 32X 9 12 8 10 12 11u -0,5 0 -1 2 -2 1,5

u = Y −XβMCO βMCO = (X ′X)−1X ′Y

26

1. ¿Hay evidencia de autocorrelacion de primer orden en el modelo (21)? Basate en algunestadıstico de contraste.

Se ha estimado el siguiente modelo:

Yt − ρ∗Yt−1 = α(1− ρ∗) + β(Xt − ρ∗Xt−1) + εt εt ∼ N(0, σ2ε) (22)

para distintos valores de ρ∗ obteniendo las siguientes Sumas de Cuadrados Residuales (SCR):

ρ∗ 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0SCR 34,2 30,9 27,8 24,9 22,2 19,6 17,2 15,1 13,0 11,1

ρ∗ -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -0,99SCR 9,4 7,8 6,5 5,3 4,2 3,3 2,6 2,1 1,7 2,1

2. Dada la informacion anterior, calcula las estimaciones de ρ, α y β por el metodo deHildreth-Lu.

3. ¿Cuales son las propiedades de los estimadores del apartado anterior?


Sea el modelo Yt = α + βXt + ut con ut = ρut−1 + εt εt ∼ NID(0, σ2ε) Con los siguientes

datos:

Yt 3 3 4 3 2 2Xt 1 2 3 4 5 6

a) Sabiendo que el valor poblacional de ρ es 0,7, estima los parametros α y β por el metodode Mınimos Cuadrados Generalizados (MCG). Muestra explıcitamente los calculos.

b) Contrasta al nivel de significacion del 5% la H0 : β = 1.

c) Suponiendo que tu tamano muestral es suficientemente grande, ¿como estimarıas si el valorpoblacional de ρ fuera desconocido? Explica detalladamente todo el proceso.


Una empresa ha encargado a dos tecnicos, (tecnico A y tecnico B), el analisis de la relacion entrelos ingresos de la empresa, Y (medidos en miles de millones de pesetas), el precio de la gasolina,X (en pesetas/litro), y el precio del transporte publico, Z (en pesetas). Para ello disponen de

27

90 observaciones.El tecnico A estima por MCO y obtiene los siguientes resultados:

Yt(desv)

= 12 + 1, 5(0,4)

Xt + 0, 8(0,5)

Zt DW = 1, 64 (23)

Dados sus resultados, el tecnico A concluye que no hay autocorrelacion y afirma:

(A1) Un aumento del precio de la gasolina de una peseta hace aumentar los ingresos de laempresa en 1500 millones de pesetas.

(A2) Los cambios en el precio del transporte publico no afectan a los ingresos de la empresa.

1. Dado el valor del DW ¿es prudente la conclusion de A de que no existe autocorrelacion?Explıcate, relaciona tu respuesta con sus afirmaciones (A1) y (A2).

El tecnico B sospecha que existe un proceso AR(2) en las perturbaciones y estima porMınimos Cuadrados Generalizados Factibles obteniendo los siguientes resultados:

Yt(desv)

= 12, 8 + 1, 2(0,5)

Xt + 1, 0(0,52)

Zt (24)

2. Describe detalladamente un procedimiento por el cual el tecnico B podrıa haber llegadoa la conclusion de que existe un proceso AR(2) en las perturbaciones.

3. Supongamos que efectivamente hay un AR(2). A la vista de la ecuacion (24), modificalas afirmaciones (A1) y (A2) como creas necesario. Realiza los contrastes que necesitespara llevar a cabo las modificaciones. Cita las propiedades de los estimadores utilizadaspara realizar tus afirmaciones.


Para analizar la estructura de ventas de un determinado automovil se especifica el siguientemodelo,

Yt = β1 + β2Pt + β3Qt + β4Xt + ut (25)

donde Yt=ingresos por ventas del automovil en cuestion, Pt=precio del automovil, Qt=preciomedio del resto de automoviles con similares caracterısticas, Xt= renta per capita. Con unamuestra de 100 observaciones se ha estimado el modelo por MCO obteniendose los siguientesresultados:

Yt(desv)

= 1, 5(0, 2)

+ 0, 1(0, 3)

Pt − 0, 5(0, 15)

Qt + 0, 7(0, 05)

Xt (26)

R2 = 0, 87 SCR = 215

a) Contrasta la significatividad de Pt, asumiendo que utiid∼ (0, σ2

u). Comenta el resultadoobtenido.

28

b) Utilizando uno de los siguientes resultados contrasta la existencia de autocorrelacion deprimer orden en las perturbaciones:

ut = 0, 2 + 0, 3ut−1 + 0, 15Pt + 0, 12Qt + 0, 01Xt + v1t R2 = 0, 15 SCE = 75ut = 0, 35ut−1 + 0, 22ut−2 + 0, 1Pt + 0, 16Qt + 0, 04Xt + v2t R2 = 0, 18 SCE = 74ut = 0, 3 + 0, 24ut−1 + v3t R2 = 0, 05 SCE = 56ut

σ2= 0, 13 + 0, 2

ut−1

σ2+ 0, 19Pt + 0, 02Qt + 0, 09Xt + v4t R2 = 0, 35 SCE = 98

¿Afecta el resultado del contraste de alguna forma al contraste realizado en a)?

c) Si ut = ρut−1 + εt donde εtiid∼ (0, σ2

ε) y |ρ| < 1 es desconocido, explica detalladamentecomo estimarıas de la mejor forma posible los parametros del modelo (25).

d) En el marco descrito en c), ¿como realizarıas el contraste de significatividad de Pt? Ex-plıcalo.


Sea el modelo Yt = α + β Xt + ut del que se conocen los siguientes datos:

t Y X1 2 -32 10,2 53 17,9 134 2,3 -35 10 56 18,2 137 -5,7 -118 -14,1 -19

Sumas 40,8 0

Se ha estimado por MCO obteniendo:(

α

β

)=

(T

∑Xt

− ∑X2

t

)−1 ( ∑Yt∑

XtYt

)=

(8 00 888

)−1 (40, 8888

)=

(5, 11

)

a) Usa algun metodo grafico para ver si existen indicios de autocorrelacion. Comenta losresultados.

b) Contrasta si la perturbacion ut sigue un proceso autorregresivo de primer orden. Planteaclaramente la hipotesis nula, la alternativa, el estadıstico de contraste y la regla de decision.

c) Estima el parametro ρ si suponemos que la perturbacion sigue un proceso autorregresivode orden 1, ut = ρ ut−1 + εt donde εt

iid∼ (0, σ2ε) y |ρ| < 1.

29

d) Utilizando el resultado anterior estima los parametros del modelo, α y β, por MCGF.

e) ¿Es la variable X relevante para explicar Y ? Contrastalo, especificando claramente lahipotesis nula, la alternativa y la distribucion del estadıstico de contraste.


Se dispone de observaciones anuales de las variables Consumo (Ct) y Renta (Rt) para un paıs.Los datos se muestran en las primeras columnas de la siguiente tabla:

Obs. C R C u

1 8,547 11,0 8,0483680 0,4986322 8,942 13,5 9,7986580 -0,8566583 10,497 14,0 10,148716 0,3482844 10,173 14,9 10,778820 -0,6058205 11,997 15,1 10,918843 1,0781576 10,729 18,0 12,949180 -2,2201807 12,750 18,8 13,509273 -0,7592738 15,611 19,1 13,719307 1,8916939 13,545 21,0 15,049528 -1,504528

10 17,843 21,2 15,18955111 21,610 34,0 24,15103612 25,473 34,3 24,36107013 24,434 35,0 24,85115214 28,274 38,0 26,951500

Los resultados de la estimacion por el metodo de Mınimos Cuadrados Ordinarios (MCO) de lafuncion de consumo

Ct = β1 + β2Rt + ut

se muestran a continuacion:

Ct(t− estad.)

= 0, 347092(0, 31)

+ 0, 700116(14, 61)

Rt (27)

R2 = 0, 942 SCR = 30, 6381

1. La ultima columna de la tabla anterior muestra los residuos de la estimacion anterior,completala y haz lo mismo con la serie temporal del grafico de residuos que se muestra acontinuacion. A la vista del grafico comenta razonadamente si existe algun problema.

2. Obten el valor del estadıstico de Durbin y Watson y realiza el contraste para el cualesta disenado. Indica todos los elementos del contraste incluyendo la hipotesis nula y laalternativa.

30

3. Utilizando la siguiente informacion realiza el contraste de Breusch y Godfrey. Indicatodos los elementos del contraste incluyendo la hipotesis nula y la alternativa.

ut(t− estad.)

= −0, 5679(−0, 603)

+ 0, 0198(0, 0385)

Rt + −0, 75(−3, 338)

ut−1 + ωt R2 = 0, 433 (28)

4. Dada la evidencia obtenida en los apartados anteriores, que consecuencias tiene en:

a) Las propiedades para muestras finitas del estimador de los coeficientes del modelo.Razona y demuestra tu respuesta.

b) La inferencia utilizando los estadısticos t mostrados en la ecuacion (27). Razona turespuesta.

5. ¿Cambiarıa tu respuesta al apartado anterior si el problema detectado fuera consecuenciade omitir alguna variable relevante? Razona tu respuesta.

6. Considera la siguiente informacion y completa lo que falta, (esta indicado con puntos).

ρ -0,99 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1SCR∗ 15,9 14,8 14,2 14,1 14,7 15,8 17,5 19,9 22,8 26,2 30,3 34,9

31

siendo

SCR∗ =t=....∑t=....

{(Y ∗t − β1X

∗1t − β2X

∗2t}2 (29)

Y ∗t = Ct − ρCt−1; X∗

1t = ....................; X∗2t = ....................

β1

β2

=

.................. ..................

.................. ..................

−1

..................

..................

a) ¿que metodo de estimacion se esta utilizando?b) ¿Como obtendrıas las estimaciones finales de β1 y β2 por este metodo? Indica el valor

elegido de ρ razonando tu eleccion y la formula para obtener el estimador de β1 y β2

¿Que propiedades tienen los estimadores obtenidos de estos parametros?c) ¿Como contrastarıas H0 : β2 = 1? Indica todos los elementos del estadıstico de

contraste, ası como la regla de decision.


Se propone el siguiente modelo para la oferta de cana de azucar en Bangladesh:

ln(At) = α + β ln(Pt) + ut (30)

donde A es el area dedicada a la plantacion de cana y P es el precio del producto en el mercado.Se dispone de 34 observaciones anuales de A y P . La estimacion MCO es:

ln(At)(desv)

= 6, 11(0, 17)

+ 0, 97(0, 11)

ln(Pt) R2 = 0, 706 (2)

Ademas, se han realizado los siguientes graficos:

y las siguientes regresiones basadas en los residuos MCO, u:

ut = −0, 02 + 0, 012 ln(Pt) + 0, 34ut−1 R2 = 0, 116 SCR = 2, 7ut = −0, 38 + 0, 01t− 0, 18 ln(Pt) + 0, 32ut−1 R2 = 0, 13 SCR = 2, 61e2t = 1, 32− 0, 02t R2 = 0, 023 SCR = 46, 48

e2t = 5, 20− 0, 1t + 1, 74 ln(Pt) R2 = 0, 10 SCR = 42, 76

e2t = 5, 74− 0, 11t + 1, 87 ln(Pt)− 0, 18vt−1 R2 = 0, 13 SCR = 41, 21

et = −0, 22 + 0, 01t R2 = 0, 001 SCR = 378, 62et = −3, 59 + 0, 08t− 1, 51 ln(Pt) R2 = 0, 009 SCR = 375, 82et = 0, 51− 0, 009t + 0, 17 ln(Pt)− 0, 18et−1 R2 = 0, 13 SCR = 0, 33

con et = ut/σ y σ2 =∑

t u2t /34.

32

3.2

3.6

4.0

4.4

4.8

5.2

5.6

-2.8 -2.4 -2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4

log(P)

log(

A)

(a) Datos

-.8

-.6

-.4

-.2

.0

.2

.4

.6

.8

5 10 15 20 25 30

(b) Residuos MCO

Año

resi

duos

a) ¿Que informacion proporciona el grafico a) de los datos?

b) ¿Que informacion proporciona el grafico b) de los residuos?

c) Se quiere analizar si la varianza ha cambiado a lo largo del tiempo. Realiza el contraste,detallando todos los elementos, a partir de la informacion dada en el enunciado.

d) Contrasta si existe autocorrelacion en el modelo.

Posteriormente se han obtenido las siguientes estimaciones por MCGF:

ln(At)(desv)

= 6, 12(0, 18)

+ 0, 97(0, 14)

ln(Pt) SCR = 3, 052 σt = 0, 30/√

t (3)

ln(At)(desv)

= 6, 82(0, 29)

+ 1, 31(0, 12)

ln(Pt) SCR = 5, 620 σt = 5, 066× t (4)

ln(At)(desv)

= 6, 09(0, 24)

+ 0, 94(0, 16)

ln(Pt) SCR = 2, 642 ut = 0, 34ut−1 + et (5)

ln(At)(desv)

= 6, 13(0, 25)

+ 0, 98(0, 17)

ln(Pt) SCR = 2, 532 ut = 0, 36ut−1 + 0, 002ut−2 + et (6)

e) Interesa saber si la elasticidad-precio es cero. Explica como lo contrastarıas indicando cla-ramente el estimador que utilizas y como se ha obtenido. Utiliza la informacion anteriorpara realizar el contraste.

33


Se desea estimar una funcion de produccion tipo Cobb-Douglas para el sector agrıcola y ganaderoen los Estados Unidos. Para ello se dispone de una base3 de datos anuales para el periodo de1948 a 1993 sobre los siguientes ındices con base en el ano 1982:

Yt = Indice de la produccion agrıcola y ganadera (en logaritmos)

Lt = Indice de utilizacion del factor trabajo (en logaritmos)

EXt = Indice del tamano de la explotacion (en logaritmos)

Kt = Indice del gasto en maquinaria (en logaritmos)

Se especifica el siguiente modelo:

Yt = β1 + β2Lt + β3EXt + β4Kt + ut (31)

Los resultados de la estimacion por Mınimos Cuadrados Ordinarios son los siguientes:

Yt

(desv(βi))

= 4, 112(1,286)

− 0, 739(0,039)

Lt + 1, 063(0,377)

EXt − 0, 233(0,077)

Kt (32)

R2 = 0, 974 DW = 1, 304ut = −0, 3215− 0, 0068Lt + 0, 084EXt − 0, 007Kt + 0, 349ut−1 + wt (33)R2 = 0, 1225

Se obtiene la serie temporal de los residuos (ver Figura 1).

1. Explica como crees que se han calculado los residuos y para que se ha dibujado la Figura4. Interpreta el grafico y comenta si hay evidencia de algun problema.

2. Realiza los contrastes de autocorrelacion que consideres oportunos utilizando toda la in-formacion ofrecida. Explica detalladamente.

3. Explica, razonando tu respuesta, si es fiable contrastar la significatividad del factor trabajoutilizando la informacion proporcionada en (32). ¿Como se deberıa modificar el estadısticosi se sigue utilizando el estimador MCO para estimar el coeficiente β2?

3Rammanathan, R. (2002), Introductory econometrics with applications, data 9-5.gdt

34

Figura 4: Residuos MCO Modelo 1

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

resi

duo

Residuos de la regresión (= l_output observada - ajustada)

A la vista de los resultados de la estimacion del modelo (3) el investigador estima de nuevola funcion de produccion por el metodo de Hildreth y Lu. Los resultados utilizando elprograma GRETL son los siguientes:

Estimaciones Hildreth-Lu utilizando las 45 observaciones 1949-1993Variable dependiente: Y VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP.ESTAD.T 2Prob(t > |T|)const 3,70258 1,30555 2,836 0,007064 ***

L -0,741430 0,0434648 -17,058 0,00001 ***EX 1,14724 0,378590 3,030 0,004219 ***K -0,224659 0,0906423 -2,479 0,017399 **

4. Explica razonadamente que muestra la Figura 5. ¿Que quiere decir que la SCR sea mınimapara rho = 0,35?

5. Explica como se han obtenido las estimaciones de los coeficientes.

6. Utilizando los resultados de la estimacion por Hildreth y Lu y sabiendo que la estimacionde la matriz de covarianzas de los coeficientes es:

V ar(βHL) =

1, 70446 0, 03642 −0, 47824 0, 070570, 03642 0, 00189 −0, 012883 0, 00307−0, 47824 −0, 01283 0, 143331 −0, 026470, 07057 0, 00307 −0, 02647 0, 00827

35

Figura 5: Hildreth-Lu. La SCR es mınima para rho = 0,35

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

-1 -0.5 0 0.5 1

SC

R

rho

Contrasta la hipotesis nula H0 : β3 = 2β4. Explica todos los elementos del contraste.

36

Tema 4. Regresores Estocasticos

PROBLEMA 30 (PV.G18)

Se propone la siguiente especificacion para la funcion de demanda de vino de un paıs:

Qt = βPt + ut

donde ut ∼ iid(0, 0,0921). Dado que el precio Pt se determina simultaneamente con la cantidadQt, se sospecha que Pt pueda estar correlacionada con ut. Se dispone de datos de un ındice decostes de almacenamiento, St, que se determina exogenamente, por lo que se considera indepen-diente de ut.

Dados los siguientes datos trimestrales para los anos 1955-1975:

∑PtQt = 1,78∑P 2

t = 0,507∑StQt = 2,754

∑S2

t = 2,1417∑PtSt = 0,50

1. Utiliza el contraste de Hausman para contrastar esa sospecha, explicando el funcionamientodel contraste.

2. Dado el resultado del contraste, ¿que estimador de β eligirıas? ¿Por que?

PROBLEMA 31 (PV.G22)

Dado el siguiente modelo:Yt = βXt + ut

donde ut ∼ iid(0, σ2u) y Xt no es estocastica. El econometra no observa la variable Xt.

Se dispone de observaciones de otra variable, X∗t que puede aproximarse a Xt, esto es:

X∗t = Xt + εt εt ∼ iid(0, σ2

ε)

donde E(εtut) = 0 ∀t.

1. Demostrar que si se utiliza X∗t en lugar de Xt, para estimar β por MCO en el modelo:

Yt = βX∗t + vt t = 1, ..., T

el estimador MCO de β no sera consistente.

2. ¿Que metodo de estimacion puedes utilizar para obtener un estimador de β consisten-te? Escribe la formula del estimador que propones y las condiciones bajo las cuales esteestimador es consistente.

37


Un investigador quiere analizar el comportamiento del mercado de perfumes en un pais, enfuncion de los precios, (P ), y de los gastos realizados en publicidad, (A).

Vt = β1 + β2Pt + β3A∗t + ut ut ∼ iid(0, σ2) t = 1, . . . , 100 (34)

donde Vt es la cantidad vendida de perfume en el trimestre t.

1. Como consecuencia de la ocultacion de datos por parte de las empresas, se observa quela variable “gastos en publicidad” utilizada en (35), es solamente una aproximacion delos verdaderos gastos de publicidad, A∗ esto es, At = A∗t + εt εt ∼ iid(0, σ2

ε ), εt y ut

independientes. Por esta razon, la estimacion Mınimo Cuadratica del modelo viene dadopor:

Vt = 25727(9871)

− 0, 96(0, 33)

Pt + 1, 36(0, 4)

At (35)

¿que podemos decir sobre los resultados presentados en (35)?

2. Supongamos que lo anterior es cierto. Sin embargo, se tiene la certeza de que los gastosde publicidad reales no observables, A∗t , son una funcion creciente en el tiempo del tipo:

A∗t = 0, 05 t + ηt ηt ∼ iid(0, σ2η)

donde ηt y ut son independientes. Si se tiene en cuenta esta informacion, ¿cual serıa tumodelo a estimar?, ¿que propiedades tiene el estimador MCO en este nuevo modelo?


Sea el siguiente modelo:

Yt = β1X1t + β2X2t + ut t = 1, 2, . . . , T (36)

donde ut ∼ iid(0, σ2u)

X2t y Zt son variables fijas.X1t = γZt + ηt ηt ∼ iid(0, σ2

η)

1. ¿Cuando estimarıas el modelo por el metodo de variables instrumentales utilizando lavariable Zt como instrumento para la variable X1t? ¿Por que? ¿Crea problemas la variableX2t? ¿Por que?

A partir de una muestra de 52 observaciones se han obtenido los siguientes productos cruzados:

Yt X1t X2t Zt

Yt 100 80 -60 60X1t 100 -40 -10X2t 80 50Zt 40

38

por ejemplo∑

X1tX2t = −40

2. Siendo Zt el instrumento para X1t, estima los parametros β1 y β2 del modelo utilizandoel metodo de variables instrumentales.

Los resultados de estimar por MCO el modelo han sido:

Yt( ˆdes(βi))

= 0, 625(0, 077)

X1t − 0, 4375(0, 086)

X2t (37)

3. Contrasta la H0 : E(X1tut) = 0 sabiendo que:

V ar(βV I) =(

2, 1166 1, 05831, 0583 1, 2254

)

Como conclusion del resultado del contraste ¿cual es el metodo adecuado para estimar elmodelo (7)? ¿Que propiedades tienen dichos estimadores?


Se quiere estimar el modelo

Yt = βX1t + ut ut ∼ iid(0, σ2) (38)

y se sabe que X1t se determina con Yt ya que X1t = Yt + X2t donde E(X2tut) = 0 ∀t.

a) Demuestra que E(X1tut) = (1− β)−1σ2. Se supone que β 6= 1.

b) ¿Que implicaciones tiene este hecho en el estimador de β aplicando el metodo de MınimosCuadrados Ordinarios (MCO) a (38)? Razona la respuesta.

c) Escribe explıcitamente la formula de un estimador de β alternativo para este modeloconcreto razonando por que lo escogerıas.

Si se dispone de una muestra de 60 observaciones donde se han obtenido los siguientes productoscruzados:

Yt X1t X2t

Yt 100 40 -60X1t 80 40X2t 100

por ejemplo∑

YtX2t = −60.

d) Obten la estimacion de β por el metodo propuesto en c) y por el metodo de MCO.

e) Contrasta al nivel de significacion del 5% la H0 : β = 0. Suponer que σ2 = 1.

39

f) Si el investigador ignorara que X1t = Yt + X2t, ¿Como podrıa darse cuenta de queE(X1tut) 6= 0? Explica y realiza el contraste. Suponer que σ2 = 1.


Un agronomo desea estimar la relacion entre el rendimiento de trigo (Y ) y la cantidad utilizada deabono (X∗). Para ello dispone de datos sobre el rendimiento y la cantidad de abono (X) declaradapor el productor que puede no coincidir con la cantidad utilizada (X∗). Al mismo tiempo, conocela variable de gasto efectivo en la compra de abono (Zi), que cree es exogena, independientedel error de medida en la cantidad de abono declarada y esta, al tiempo, correlacionada conla cantidad de abono que se utiliza. Se dispone de 20 observaciones, de las que se obtienen lossiguientes valores:

∑20i=1 Xi = 492, 78

∑20i=1 Zi = 284, 4

∑20i=1 ZiXi = 7369, 5∑20

i=1 Yi = 434, 94∑20

i=1 ZiYi = 6472, 8

1. Escribe el modelo adecuado y explica con claridad el metodo de estimacion a utilizar y lasrazones que te llevan a elegirlo.

2. Estima por un procedimiento consistente la relacion entre Y y X∗.


Se quiere estimar el modelo Yt = βXt +ut y se sospecha que puede haber factores no observablesrecogidos en ut que esten correlacionados con Xt.

1. Si esta sospecha fuese cierta, ¿que implicaciones tendrıa en las propiedades del estimadorde β por MCO? Razona formalmente la respuesta.

2. ¿Bajo que condiciones Xt−1 serıa un buen instrumento para Xt a la hora de obtener unestimador de β por variables instrumentales? Razona formalmente la respuesta.

Se dispone de una muestra de 60 observaciones donde se han obtenido los siguientes pro-ductos cruzados:

Yt Xt Xt−1

Yt 50 20 -30Xt 40 20

Xt−1 50

por ejemplo∑

YtXt−1 = −30.

3. Usando la variable Xt−1 como instrumento de Xt, obten la estimacion de β por el metodode variables instrumentales.

40

4. ¿Que hubiera ocurrido si∑

XtXt−1 = 0?

5. Suponiendo que ut ∼ iid(0, 1), contrasta la Ho : E(Xtut) = 0 explicando detalladamenteel procedimiento de contraste utilizado.



Yt = β1 + β2Xt + ut t = 1, 2, . . . , T (39)

donde ut ∼ iid(0, σ2u)

Xt = γZt + ηt ηt ∼ iid(0, σ2η)

1. ¿Cuando estimarıas el modelo por el metodo de variables instrumentales utilizando lavariable Zt como instrumento para la variable Xt? ¿Por que?

A partir de una muestra de 52 observaciones se han obtenido los siguientes datos:

∑Xt = 20

∑XtYt = 70

∑X2

t = 1300∑Yt = 50

∑ZtYt = 90

∑Z2

t = 1000∑Zt = 30

∑XtZt = 40

2. Siendo Zt el instrumento para Xt, estima los parametros β1 y β2 del modelo utilizando elmetodo de variables instrumentales.

Los resultados de estimar por MCO el modelo han sido:

Yt( ˆdes(βi))

= 0, 946(0, 43)

+ 0, 039(0, 027)

Xt (40)

3. Contrasta la H0 : E(Xtut) = 0 sabiendo que:

ˆV ar(βV I) =(

0, 018 −0, 44−0, 44 1, 20

)

Como conclusion del resultado del contraste ¿cual es el metodo adecuado para estimar elmodelo (39)? ¿Que propiedades tienen dichos estimadores?


En el modelo:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1, 2, . . . , T (41)

donde:X2t es una variable no estocasticaX3t es una variable estocastica independiente de ut

ut ∼ iid(0, σ2u)

41

1. Enuncia el teorema de Mann y Wald aplicandolo a la ecuacion (41). Recuerda que tienesque incluir las condiciones para que sea aplicable e indica claramente que resultadosproduce. Demuestra las implicaciones que tiene este teorema para el estimador de MCOde los parametros del modelo.

2. En la ecuacion (41) indica como contrastarıas la hipotesis de significatividad conjunta delos regresores. Escribe la hipotesis nula, la alternativa, el estadıstico de contraste y sudistribucion, ası como la regla de decision. Indica claramente como se obtienen cada unode los elementos del estadıstico de contraste.


En Yt = β1 + β2X∗t + ut t = 1, 2, . . . , T , donde ut

iid∼ (0, 120) y tenemos los datos siguientes:

t 1 2 3 4 5 6 Suma

Yt 5,0 4,0 3,5 4,0 4,5 5,0 26,0X∗

t 6,0 7,0 6,0 7,0 8,0 8,0 42,0

a) ¿Que ocurre si la variable X∗t es una variable medida con error, donde X∗

t = Xt + εt?(Ayuda: partiendo del modelo Yt = β1 + β2Xt + wt, Xt serıa una variable no observable ywt y εt son perturbaciones independientes).

b) Si solo se sospecha que X∗t esta medida con error, ¿como contrastarıas si el estimador

MCO es consistente? Realiza el contraste sabiendo que la correlacion entre X∗t y X∗

t−1 es0,429 y que X∗

t−1 no esta correlacionada con ut.

c) Suponiendo que de b) deduces que el estimador MCO es inconsistente, contrasta (no tengasen cuenta que T es pequeno) si la variable X∗

t es significativa.


En el modeloYt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut ut ∼ iid(0, σ2)

donde X2t es una variable fija y X3t es una variable estocastica .Denotamos por β al vector de parametros desconocidos.

1. ¿Por que el estimador de β MCO no es lineal?

2. ¿Que supuesto te garantiza que el estimador de β por el metodo de Mınimos CuadradosOrdinarios (MCO) sea insesgado? Demuestralo.

3. Si X3t es estocastica y no independiente de ut pero E(X3tut) = 0, ∀t, ¿es el estimadorde β por MCO consistente? Demuestralo e indica los supuestos adicionales que te seannecesarios.

42

4. Si X3t es estocastica pero se satisface el Teorema de Mann y Wald ¿podemos hacer infe-rencia sobre β a pesar de no conocer la distribucion de ut? Razona tu respuesta.


Considera la siguiente relacionY1t = β1Y2t + β2X1t + ut (42)

donde X1t es una variable fija y se cree que la variable Y2t puede estar correlacionada con eltermino de perturbacion ut que se supone ruido blanco, es decir, ut ∼ iid(0, σ2

u). Por otro ladose sabe que

Y2t = γX2t + εt (43)

donde X2t es un regresor fijo y εt ∼ iid(0, σ2ε).

Una muestra de 25 observaciones da lugar a las siguientes sumas de cuadrados y de pro-ductos cruzados:

Y1t Y2t X1t X2t

Y1t 100 80 -60 60Y2t 80 100 -40 -10X1t -60 -40 80 50X2t 60 -10 50 40


Y1tX1t = −60 y∑

Y 21t = 100

1. Obten la estimacion de β1 y β2 en la ecuacion (42) por Mınimos Cuadrados Ordinarios.

2. Bajo el supuesto de que E(Y2tut) 6= 0, define un estimador consistente de β1 y β2. Escribeformalmente las condiciones que te aseguran esta propiedad y razona si se darıan en estecaso.

3. Obten la estimacion de β1 y β2 con el estimador propuesto en el apartado anterior.

4. Bajo el supuesto de σ2u = 1, utiliza el contraste de Hausman para comprobar si hay

evidencia de que Y2t y ut estan correlacionadas. Explica el procedimiento de contraste,incluyendo la hipotesis nula y alternativa.

5. Dado el resultado del contraste del apartado anterior, ¿que estimador es preferible en estecaso? ¿ Por que?


Supon que el ahorro de una persona depende de su renta permanente mediante la relacion:

Yi = α + βRi + vi (44)

43

donde Yi es el ahorro anual y Ri es la renta permanente anual de un trabajador. No es posibleobservar la renta permanente R, por lo que el modelo de regresion a estimar es:

Yi = α + βXi + ui (45)

siendo Xi la renta anual de un trabajador, que se utiliza como aproximacion a R. Los resultadosde la estimacion MCO con datos de 50 individuos en el ano 1999 son:

(α

β

)

MCO

=(

4, 34−0, 856

)σ2

MCO(X ′X)−1 = 1, 023×(

0, 7165 −0, 0090, 0001

)

i) La teorıa economica mantiene que la relacion renta permanente-ahorro es positiva. Sin em-bargo, la estimacion MCO de la pendiente β es negativa. ¿Crees que pueda existir algunproblema que de lugar a esta aparente contradiccion? Razona tu respuesta.

Posteriormente se re-estima el modelo (45) mediante variables instrumentales. La variable ins-trumental utilizada es el promedio de la ingresos obtenidos en los 10 anos previos (1989-98) queobviamente, esta muy relacionada con la renta permanente y tambien con la renta anual actual.Los resultados son:

(α

β

)

V I

=(

0, 9880, 039

)σ2

V I(Z′X)−1Z ′Z(X ′Z)−1 = 1, 3595×

(1, 7088 −0, 0223

0, 0003

)

ii) ¿Cual es la formula de βV I? ¿Y de σ2V I?

iii) Realiza el contraste de Hausman. Relaciona estos nuevos resultados con tu respuesta delapartado i).


Se quiere evaluar el rendimiento de la educacion en terminos del siguiente modelo

Yi = β1 + β2EDUi + wi i = 1, ..., N

donde Yi y EDUi son las ganancias salariales anuales (en decenas de miles de euros) y el nivelde educacion de un individuo respectivamente. Ademas E(EDUiwi) = 0 para todo i y wi es unruido blanco.

Se dispone de una muestra de 1000 individuos. Sin embargo, se mide el nivel de educacion a travesde la variable observada, anos de estudio, Si, que esta medida con error, tal que Si = EDUi + εi

donde εi es un ruido blanco independiente de EDUi y de wi.

44

Utilizando el metodo de Mınimos Cuadrados Ordinarios (MCO) en base a la informacion mues-tral disponible, se han obtenido los siguientes resultados:

Yi( desv.)

= 2, 431(0,078)

+ 0, 03332(0,0046)

Si

a) Interpreta que indica la estimacion obtenida para el parametro β2.

b) Explica en detalle que propiedades tendra el estimador MCO de β1 y β2 si se ha utilizadola medida de educacion disponible Si en lugar de EDUi en el modelo. Razona tu respuesta.

Disponemos de una variable adicional Pi, que mide los anos de educacion del padre de eseindividuo i. Para la muestra de 1000 individuos se tiene la siguiente informacion:∑

i Yi = 2988, 232∑

i Si = 16707∑

i YiSi = 50071, 6∑

i S2i = 283539

∑i Pi = 14343

∑i YiPi = 42914, 7

∑i PiSi = 240466

∑i P

2i = 206469

∑i Y

2i = 9028, 9

c) Propon un estimador consistente alternativo al de MCO razonando bajo que condicionesserıa consistente y cual sera su distribucion asintotica. Razona tu respuesta.

d) Calcula la estimacion de β1 y β2 en base al estimador propuesto en el apartado anterior.

e) Si se ha utilizado un estimador consistente, ¿como se ha obtenido la siguiente estimacionde la matriz de varianzas y covarianzas asintotica del estimador propuesto en c)? Indicatodos los pasos que se han realizado hasta llegar a este resultado.

V ar(β) =98, 88998

[0, 2984084 −0, 0178−0, 0178 0, 001065

]

f) Utilizando el estimador propuesto en el apartado c), contrasta la hipotesis de que un anoadicional de educacion supone un incremento medio en las ganancias salariales anuales de720 euros. Escribe la hipotesis nula, la alternativa y todos los elementos del contraste.

g) Lleva a cabo el contraste de Hausman para analizar si es o no importante el problema deerror de medida. Escribe la hipotesis nula, la alternativa y todos los elementos del contraste.

h) Indica de manera razonada cual de los dos estimadores elegirıas teniendo en cuenta elresultado del contraste de Hausman.

45


Considera estimar el parametro β en la siguiente ecuacion

y1t = βy2t + u1t u1t ∼ NID(0, σ21) (46)

Se sabe que y1t e y2t se determinan simultaneamente ya que

y2t = α1y1t + α2Xt + u2t u2t ∼ NID(0, σ22) (47)

donde Xt es una variable exogena, independiente de u1s y de u2s para todo t y s.

a) Obten la expresion del estimador de β por el metodo de variables instrumentales (VI)utilizando como instrumento Xt.

b) ¿Es este estimador lineal? ¿Es insesgado? ¿Por que?

c) ¿Es consistente? ¿Por que?

d) ¿Conoces su distribucion? ¿Y la asintotica? ¿Por que?

e) ¿Cambiarıa alguna de tus respuestas a los apartados anteriores si α2 = 0 ? Razona turespuesta.

Para una muestra de tamano T = 1000 se obtiene la siguiente informacion muestral:

∑t y2

2t = 42∑

t y1ty2t = 5∑

t y2tXt = 12∑

t X2t = 10

∑t Xty1t = 3

∑t y2

1t = 11

f) Ademas se dispone de un estimador consistente de σ21 cuya estimacion es σ2

1 = 0, 01.

Utiliza el contraste de Hausman para determinar si hay evidencia o no de que y2t sea unavariable endogena. Explica en detalle todo el proceso.


Para analizar el consumo de un paıs se especifica el siguiente modelo:

Yt = β0 + β1X1t + β2X2t + ut , t = 1, 2, ..., 100

donde Yt, X1t y X2t representan la tasa de crecimiento del consumo, el tipo de interes y lainflacion en el periodo t respectivamente. Se supone que ut ∼ iid(0, σ2). La variable X1t sesupone no estocastica, pero la inflacion, al estar determinada por la demanda de consumo, se

46

considera estocastica. Se dispone a su vez de informacion sobre la tasa de crecimiento de loscostes de produccion, Pt, que se considera no estocastica.

Se ha estimado el modelo por MCO, obteniendose los siguientes resultados:

Yt = 0,046− 0,021X1t − 0,055X2t (48)

1. ¿Cuando es el estimador de la ecuacion (48) inconsistente?

2. Se dispone de la siguiente informacion muestral:

(X ′X)−1 =

0,010 0,012 0,0000,012 0,011 -0,0330,000 -0,033 0,022

(Z ′X)−1 =

0,011 0,000 0,003-0,034 -0,012 0,000-0,023 0,000 -0,032

(Z ′X)−1Z ′Z[(Z ′X)−1]′ =

0,012 -0,033 -0,033-0,033 0,118 0,051-0,033 0,051 0,188

Z ′Y =

1,03,01,8

X ′Y =

1,03,02,0

Z ′Z =

100 -14 -16-14 95 -15-16 -15 155

(X ′Z)−1Z ′Z[(X ′Z)−1]′ =

0,012 -0,030 0,0590,002 0,008 -0,010-0,006 -0,033 0,142

Si Z es la matriz de instrumentos, estima el modelo por variables instrumentales. Escribela matriz Z y el instrumento que se utiliza, argumentando por que se elige dicho instru-mento. ¿Que propiedades tiene este estimador?

3. Si ademas∑

u2t,V I = 2,037, ¿como podrıas contrastar si el estimador MCO es consistente?

Explica y realiza el contraste. De acuerdo con este contraste, ¿que metodo de estimacionelegirıas?¿Por que?


Se quiere analizar si la volatilidad de las acciones del BBVA (X1t) afecta a su rendimiento (Yt).Para ello se propone el siguiente modelo:

Yt = β0 + β1X1t + β2X2t + ut t = 1, 2, ..., 100

donde ut ∼ iid(0, σ2) y X2t es el tipo de interes de las letras del tesoro a un ano. Un investigadorestima el modelo por MCO obteniendose el siguiente resultado:

Yt = 0, 7− 0, 3X1t − 0, 1X2t (49)

con

V ar(β) = σ2(X ′X)−1 = 0, 17

0, 31 0, 12 −0, 150, 12 0, 31 0, 07−0, 15 0, 07 0, 13

47

1. Contrasta si la volatilidad afecta al rendimiento de las acciones del BBVA.

2. Otro investigador considera que, aunque X2t puede considerarse una variable no estocasti-ca, la volatilidad esta determinada por los mismos factores que afectan al rendimiento y,por lo tanto, ut y X1t estaran correlacionados. ¿Que implicaciones tendrıa este hecho enla estimacion por MCO del modelo en la ecuacion (49)?

3. Este segundo investigador decide estimar el modelo por VI utilizando como instrumentola volatilidad del Ibex35, obteniendo los siguientes resultados:

Yt = 1, 3− 0, 7X1t − 0, 2X2t (50)

con

V ar(βV I) = 0, 21

0, 41 0, 23 −0, 250, 23 0, 33 0, 09−0, 25 0, 09 0, 16

Explica detalladamente como se han obtenido las estimaciones de β0, β1 y β2 y comentalas propiedades de estos estimadores. ¿Que condiciones tiene que cumplir la volatilidad delIbex35 para que sirva como instrumento?

4. Explica como se ha obtenido V ar(βV I).

5. Contrasta, utilizando los resultados obtenidos mediante VI, si la volatilidad afecta al ren-dimiento de las acciones del BBVA.

6. Realiza algun contraste para comprobar cual de los investigadores esta actuando mejor ala hora de estimar y contrastar la hipotesis de interes. Explica detalladamente tus conclu-siones.

48

Tema 5. Modelos Dinamicos

PROBLEMA 47 (PV.E42)

Se quiere estudiar la dependencia de la bolsa de Madrid de las bolsas de Nueva York y Londres.Para ello se define el siguiente modelo

MADt = β0 + β1LONt−1 + β2NYt−1 + ut con t : 2, . . . , 30.

Su estimacion por MCO proporciona el siguiente resultado:

MADt(Desv. tipicas →)

= 0, 0095(0, 0032)

+ 0, 4990(0, 1200)

LONt−1 + 0, 1800(0, 1900)

NYt−1 DW = 0, 82 R2 = 0, 88 (51)

1. Contrasta la significatividad individual de las variables explicativas.

2. Contrasta la existencia de autocorrelacion de tipo AR(1) en las perturbaciones.(Especificaclaramente la hipotesis nula, alternativa, estadıstico de contraste y regla de decision)

Posteriormente se anade la variable explicativa MADt−1 al modelo y se estima con los mismosdatos obteniendo:

MADt = 0, 0031(0, 0012)

+ 0, 1910(0, 0800)

MADt−1 + 0, 8400(0, 2460)

LONt−1 + 0, 0600(0, 0120)

NYt−1 + vt (52)

con DW = 1, 9 y

vt = 0, 0001(0, 002)

+ 0, 03(0, 09)

vt−1 + 0, 009(0, 3)

MADt−1 + 0, 04(0, 1)

LONt−1 + 0, 006(0, 03)

NYt−1 + et R2 = 0, 09

3. Contrasta la hipotesis de existencia de autocorrelacion de tipo AR(1) en vt.

4. A la vista de los resultados de 2) y 3) ¿que puedes afirmar sobre la validez de los modelos(51) y (52)?


Tres investigadores deben estimar el siguiente modelo:

Yt = β1 Yt−1 + β2 Xt + ut (53)

donde: Yt es el precio de venta de un piso de nueva construccion en t.Xt es el tipo de interes en t.

Sobre el modelo se

tiene la siguiente informacion:

El modelo esta correctamente especificado.

La perturbacion ut sigue una distribucion normal con E(ut) = 0 ∀t

49

Los tres investigadores no se ponen de acuerdo sobre el metodo de estimacion adecuado, por loque deciden presentar tres estimaciones alternativas:

Investigador 1: Presenta los siguientes resultados obtenidos con t = 2, . . . , 101

(β1

β2

)=

( ∑Y 2

t−1

∑Yt−1Xt∑

Yt−1Xt∑

X2t

)−1 ( ∑Yt−1Yt∑XtYt

)(54)

(0, 8313710, 882068

)=

(0, 00046 −0, 00134−0, 00134 0, 0076

)(4442, 139903, 487

)(55)

donde ademas BG = 23, 24 SCR = 157, 43

1. ¿Que metodo de estimacion esta utilizando? Razonalo.

2. ¿Que propiedades tienen sus estimadores? Realiza algun contraste si lo crees necesario.

Investigador 2: Presenta los siguientes resultados obtenidos con t = 2, . . . , 101

(β1

β2

)=

( ∑Xt−1Yt−1

∑Xt−1Xt∑

XtYt−1∑

X2t

)−1 ( ∑Xt−1Yt∑XtYt

)(56)

(0, 7703431, 060368

)=

(0, 003809 −0, 00291−0, 01112 0, 012178

)(0, 770343903, 0487

)(57)

donde ademas BG = 27, 66 SCR = 165, 5112


4. ¿Que propiedades tienen sus estimadores? Realiza algun contraste si lo crees necesario.

Investigador 3: Presenta los siguientes resultados con t = 3, . . . , 101

Sean Y ∗t = (Yt − ρ∗Yt−1), X∗

t = (Xt − ρ∗Xt−1),

(β1

β2

)=

( ∑Y ∗2

t−1

∑Y ∗

t−1X∗t∑

Y ∗t−1X

∗t

∑X∗2

t

)−1 ( ∑Y ∗

t−1Y∗t∑

X∗t Y ∗

t

)(58)

(0, 7756421, 090742

)=

(0, 001035 −0, 00117−0, 00117 0, 00938

)(1014, 806245, 7676

)(59)

ρ∗ =∑

utut−1∑u2

t−1

= 0, 5387823 (60)

donde ademas ut = Y −XβV I BG = 0, 27 SCR = 118, 0408

50


6. A la vista de lo comentado en los apartados anteriores, ¿que investigador ha utilizado elmejor estimador? Razona tu respuesta.


En un trabajo se proponen dos posibles modelos para explicar la evolucion de la demanda degasolina. Se dispone de datos trimestrales desde 1959 a 1990 (ambos anos incluidos) de lassiguientes variables:

Y = Gasto real per capita en gasolina (en logaritmos).

X2 = Precio real de la gasolina (en logaritmos). Variable no estocastica.

X3 = Renta real disponible per capita (en logaritmos). Variable no estocastica.

X4 = Millas por galon de gasolina (en logaritmos). Variable no estocastica.

El primer modelo es:Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + ut (61)

Los resultados de la estimacion MCO son:

Yt(desv)

= −1, 51(0, 12)

− 0, 14(0, 01)

X2t + 0, 998(0, 015)

X3t − 0, 52(0, 02)

X4t

R2 = 0, 97 DW = 0, 74

ut(desv)

= −0, 01(0, 09)

− 0, 003(0, 008)

X2t − 0, 004(0, 012)

X3t + 0, 004(0, 004)

X4t + 0, 62(0, 09)

ut−1 − 0, 007(0, 107)

ut−2

+0, 005(0, 107)

ut−3 + 0, 087(0, 09)

ut−4 + e1t

R2 = 0, 42 DW = 2, 03

El segundo modelo es:Yt = γ1 + γ2X2t + γ3X3t + γ4X4t + +γ5Yt−1 + vt (62)

Los resultados de la estimacion MCO son:

Yt(desv)

= −0, 65(0, 13)

− 0, 06(0, 01)

X2t + 0, 47(0, 06)

X3t − 0, 24(0, 03)

X4t + 0, 54(0, 09)

Yt−1

R2 = 0, 98 DW = 1, 76

vt(desv)

= −0, 24(0, 17)

− 0, 02(0, 02)

X2t + 0, 13(0, 09)

X3t − 0, 072(0, 047)

X4t − 0, 14(0, 09)

Yt−1 + 0, 22(0, 12)

vt−1 + 0, 128(0, 101)

vt−2

+0, 105(0, 091)

vt−3 + 0, 118(0, 09)

vt−4 + e2t

R2 = 0, 067 DW = 2, 01

51

1. En base a los resultados del modelo (61), ¿crees que en dicho modelo se verifican lashipotesis basicas? Realiza los contrastes que creas necesarios para justificar tu respuesta.

2. Razona cuales son las propiedades del estimador MCO en el modelo (61).

3. En base a los resultados del modelo (62), ¿crees que en dicho modelo se verifican lashipotesis basicas? Realiza los contrastes que creas necesarios para justificar tu respuesta.Razona tu respuesta.

4. Razona cuales son las propiedades del estimador MCO en el modelo (62).

5. ¿Como contrastarıas la hipotesis de que la elasticidad renta es 1? Explica claramente todoslos elementos que intervienen: el modelo que utilizas, las hipotesis nula y alternativa, elestimador que utilizas, el estadıstico, su distribucion y la regla de decision. Si dispones dedatos, realiza el contraste.


Se quiere analizar la relacion entre inflacion (Yt) y tipos de interes (Xt) para lo que se disponede 100 observaciones mensuales. Para ello se especifica el siguiente modelo

Yt = β0 + β1Xt + ut

donde se considera que Xt es una variable no estocastica. Se estima por MCO y se obtiene

Yt(desv)

= 11, 59(0, 86)

− 0, 58(0, 14)

Xt t = 1, 2, ..., 100. (63)

con los residuos representados en la figura 1.

Figura 6: Residuos MCO

10 30 50 70 90-10

-5

0

5

t

52

a) Comenta el grafico de los residuos, senalando si encuentras alguna evidencia contra elcumplimiento de alguna hipotesis basica.

b) Con los siguientes resultados sobre los residuos contrasta la existencia de autocorrelacionde tipo AR(1) en las perturbaciones.

100∑

t=1

u2t = 739, 3073 ,

100∑

t=2

(ut − ut−1)2 = 194, 3556 ,

100∑

t=2

utut−1 = 632, 2639

c) Se piensa que la dispersion en la inflacion es menor en los ultimos anos. Contrasta dichahipotesis utilizando las dos regresiones siguientes que se han realizado separadamente conlos 32 primeros y con los 32 ultimos datos:

Yt(desv)

= 12, 83(1, 05)

− 0, 58(0, 17)

Xt SCR = 126, 62, t = 1, 2, ..., 32,

Yt(desv)

= 9, 85(1, 20)

− 0, 35(0, 19)

Xt SCR = 96, 22, t = 69, 70, ..., 100,

d) De acuerdo con tus resultados en b) y c) comenta las propiedades del estimador MCO delos coeficientes en (63).

e) Otro investigador opina que un modelo adecuado para explicar la relacion entre tipos deinteres e inflacion deberıa tener en cuenta el dinamismo existente en esta ultima, por loque decide incluir la inflacion en el mes anterior como regresor, obteniendo por MCO elsiguiente modelo estimado,

Yt(desv)

= 4, 84(0, 36)

− 0, 66(0, 04)

Xt + 0, 88(0, 03)

Yt−1 t = 2, 3, ..., 100, (64)

R2 = 0, 91 , DW = 1, 70

y las siguientes regresiones auxiliares:

i) ut = 0, 09 + 0, 16ut−1 + 0, 004Xt − 0, 01Yt−1 + v1t R2 = 0, 024, SCT = 738, 3ii) ut = 0, 35ut−1 + 0, 1Xt + 0, 06Yt−1 + v2t R2 = 0, 018, SCT = 738, 3iii) ut = 0, 3 + 0, 24ut−1 + v3t R2 = 0, 005, SCT = 738, 3iv) ut

σ2 = 0, 13 + 0, 2 ut−1

σ2 + 0, 19Xt + 0, 02Yt−1 + v4t R2 = 0, 354, SCT = 98, 7

Contrasta de manera adecuada la existencia de autocorrelacion de primer orden en lasperturbaciones.

f) De acuerdo con lo obtenido en el apartado e), comenta las propiedades de los estimadorespor MCO en la ecuacion (64). ¿Cambian en algo tus conclusiones del apartado d)?

53


De la macroeconomıa basica se sabe que los cambios en la oferta monetaria inducen cambiosen los tipos de interes. Sin embargo, uno esperarıa que los cambios se produjeran a lo largo devarios periodos de tiempo. Supongamos que otras variables, como el gasto publico, no afectansignificativamente a los tipos de interes. En el siguiente modelo, para datos trimestrales, sesupone un efecto distribuido a lo largo de cinco periodos:

Rt = α + β0Mt + β1Mt−1 + β2Mt−2 + β3Mt−3 + β4Mt−4 + ut

donde Rt es el tipo de interes y Mt es la oferta monetaria (que se supone no estocastica).

a) Se ha estimado el modelo mediante MCO con 100 datos, obteniendo unos residuos cuyocoeficiente de autocorrelacion muestral de primer orden ha tomado el valor ρ = 0, 75. Te-niendo en cuenta este valor, contrasta la existencia de autocorrelacion de tipo AR(1) enlas perturbaciones del modelo.

b) ¿Que propiedades tiene el estimador de MCO en este modelo?

c) Si te piden que contrastes la hipotesis de que los cambios en la oferta monetaria no afectanal tipo de interes, ¿como lo harıas?


Con datos anuales desde 1948 hasta 1989 se ha estimado la siguiente funcion de consumo parael Reino Unido:

Ct = β1 + β2RDt + ut (65)

donde C es el consumo per capita y RD es la renta disponible per capita (en libras). Ambasvariables estan medidas en terminos reales. Los resultados de la estimacion han sido:

Modelo 3: MCO utilizando las 42 observaciones 1948-1989

Variable dependiente: C

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD.Tconst 168,315 43,2796 3,889RD 0,864323 0,0133004 64,985

Media de la var. dependiente = 2876,55 R-cuadrado = 0,990617D.T. de la var. dependiente= 771,61 R-cuadrado corregido= 0,990382 Suma de cuadrados de los residuos = 229045 Grados delibertad = 40 Desviacion tıpica de los residuos = 75,6711Estadıstico de Durbin-Watson = 0,247444 Coef. de autocorr. deprimer orden = 0,927294

54

Figura 7: Grafico de residuos del modelo (65)

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

250

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

resi

duo

a) ¿Que significa que las variables estan medidas en terminos reales?

b) Despues de analizar los resultados el investigador cree que este modelo puede estar incorrectamenteespecificado. ¿Cual puede ser la razon de esta afirmacion? Utilizando los resultados de la estimaciony el grafico, repite los pasos que ha realizado para llegar a esta conclusion.

A continuacion, considera dos re-especificaciones para la funcion de consumo. La primera propuesta juntocon los resultados de la estimacion son:

Ct = β1 + β2RDt + β3RDt−1 + β4Ct−1 + ut (66)

Modelo 4: MCO utilizando 41 observaciones 1949-1989

Variable dependiente: C

VARIABLE COEFICIENTE DESV. TIP. ESTADISTICO t

const -56,094 29,936 -1,874RD{t} 0,684 0,085 8,048RD{t-1} -0,723 0,080 -9,002C{t-1} 1,068 0,097 10,980

Suma Cuadrados Residual= 45682,2 Desv. tıpica de residuos=35,1376R-cuadrado= 0,998043 R-cuadrado corregido=0,997885Estadıstico Durbin-Watson = 1,59545Estadıstico F(3, 37)= 6291,16Coef. de autocorr. de primer orden= 0,166491

Estad. BG para AR(2)= 2,97Estad. de Breusch-Pagan para varianzaen funcion de RD y tiempo=17,9

c) ¿Que mide el parametro β2 del modelo (66)?

55

Figura 8: Graficos de residuos del modelo (66)

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

resi

duo

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

resi

duo

Renta Disponible

d) Analiza los resultados de la estimacion del modelo (66). Dada la evidencia encontrada, explicacuales son las consecuencias sobre el estimador MCO de los coeficientes y si son fiables las desvia-ciones tıpicas mostradas.

A continuacion se muestran la segunda propuesta y su estimacion:

ln(Ct) = α1 + α2 ln(RDt) + α3 ln(RDt−1) + α4 ln(Ct−1) + vt (67)

Modelo 5: Estimaciones MCO utilizando 41 observaciones 1949-1989Variable dependiente: ln(C)

VARIABLE COEFICIENTE DESV. TIP. ESTADISTICO t

const 0,116 0,080 -1,453ln(RD{t}) 0,741 0,083 8,968ln(RD{t-1}) -0,744 0,087 -8,531ln(C{t-1}) 1,018 0,090 11,355

Media var. dependiente = 7,94001 R-cuadrado = 0,998389D.T. var. dependiente = 0,258946 R-cuadrado corregido = 0,998259Suma cuadrados residuos= 0,004320 Estadıstico F(3, 37) = 7644,56Desv. tıpica residuos = 0,0108057 Estad. de DW = 1,65215

Coef. de autocorr. de primer orden = 0,158247

Estad. BG para AR(2) = 3,2Estad. Breusch-Pagan paraheterocedasticidad en funcion de RD y tiempo = 1,5

ESTIMACION DE MATRIZ DE COVARIANZAS DE LOS COEFICIENTESconst ln(RD{t}) ln(RD{t-1}) ln(C{t-1})

0,00641 0,0023 0,0024 -0,00560,0068 -0,0039 -0,0032

0,0076 -0,00400,0080

56

Figura 9: Graficos de residuos del modelo (67)

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

resi

duo

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

7.6 7.8 8 8.2 8.4

resi

duo

ln(Renta disponible)

e) ¿Que mide el parametro α2 del modelo (67)?

f) Analiza los resultados de la estimacion del modelo (67). ¿Re-estimarıas los parametros del modelo?Justifica tu respuesta.

g) ¿Que modelo te parece mejor para explicar el comportamiento del consumo? ¿Por que? Justificatu respuesta.

Finalmente, tras analizar el modelo (67), el investigador propone el siguiente modelo:

ln(Ct) = δ1 + δ2[ln(RDt)− ln(RDt−1)] + δ3 ln(Ct−1) + vt (68)

h) ¿Que contraste ha realizado para llegar a esta conclusion? Utilizando los resultados de la esti-macion del modelo 5, repite los pasos que ha realizado para llegar a esta conclusion. Supon quevt ∼ NID(0, σ2

v).


Sea el siguiente modelo: Yt = β1 + β2Xt + β3Yt−1 + ut t = 1, . . . , T (1)

donde Xt es un regresor no estocastico. Se ha estimado el modelo por MCO, obteniendose:

Yt = 17,86 + 0,27Xt − 0,79Yt−1 t = 2, . . . , 51

En la siguiente tabla se recogen las 8 primeras observaciones de las variables Yt, Xt y ut,MCO

57

t Yt Xt ut,MCO

1 8,5 112 8,9 133 16 144 7,8 14,95 16,4 15,1 0,6256 7,9 18 -1,8647 18 18,8 1,3048 8 19,1 -0,797...

......

...

1. Utilizando las observaciones muestrales de la tabla anterior obten los residuos de MCO iniciales.Analiza graficamente la posible presencia de autocorrelacion de primer orden en las perturbaciones.Explica detalladamente como contrastarıas formalmente este supuesto.

Figura 10: Residuos del modelo

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

1980

resi

duos

2. En el caso de rechazar la hipotesis nula del apartado anterior y suponiendo que las perturbacionessiguen un AR(1), es decir, ut = ρut−1+εt εt ∼ iid(0, σ2

ε ), demuestra las propiedades del estimadorMCO de los parametros de la relacion (1).

Se dispone de la siguiente informacion muestral:∑51

t=2 Xt = 3323, 4∑51

t=2 Yt = 1022∑51

t=2 Yt−1 = 998, 5∑51t=2 XtYt = 77268, 38

∑51t=2 YtYt−1 = 14146, 83

∑51t=2 XtYt−1 = 75652, 8∑51

t=2(Xt)2 = 281168, 2∑51

t=2 XtXt−1 = 272614, 67∑51

t=2(Yt−1)2 = 31068, 07∑51t=2 Xt−1 = 3205, 4

∑51t=2 Xt−1Yt−1 = 73233, 88

∑51t=2 Xt−1Yt = 74499, 05

58

(X ′X)−1 =

0,103060 -0,000948 -0,001003-0,000948 0,000019 -0,000015-0,001003 -0,000015 0,000103

(Z ′X)−1 =

-0,233 0,203 -0,207-0,0062 0,0032 -0,0032

0,033 -0,021 0,021

(X ′Z)−1 =

-0,233 -0,0062 0,0330,203 0,0032 -0,021

-0,207 -0,0032 0,021

3. Si Z es la matriz de instrumentos, estima el modelo por Variables Instrumentales donde Xt−1 esel instrumento para Yt−1. Razona las propiedades de dicho estimador.

4. ¿Crees que con la estimacion anterior se ha corregido el problema de autocorrelacion? Razona turespuesta.

Ademas de la informacion anterior se dispone de la siguiente:

∑u2

t−1,MCO = 3353, 54∑

X∗t = 4627, 25

∑X∗

t Y ∗t−1 = 148191, 84∑

ut,MCOut−1,MCO = 1331, 60∑

Y ∗t = 1421, 21

∑X∗

t Y ∗t = 151394, 54∑

u2t−1,V I = 477634, 63

∑Y ∗

t−1 = 1388, 42∑

Y ∗t Y ∗

t−1 = 41014, 33∑ut,V I ut−1,V I = −196899, 12

∑(X∗

t )2 = 550599, 31∑

(Y ∗t−1)

2 = 46920, 97

donde Y ∗t = Yt − ρYt−1, X∗

t = Xt − ρXt−1, Y ∗t−1 = Yt−1 − ρYt−2 y ρ es un estimador

consistente del parametro del proceso autorregresivo de primer orden.

5. ¿Cual es la estimacion consistente del parametro ρ utilizada para construir Y ∗t , X∗

t y Y ∗t−1 en las

expresiones superiores?

6. Con la informacion anterior, ¿se puede estimar los parametros de la relacion (1) mejorando laspropiedades del estimador de VI? Describe el metodo que propones y sustituye los sumatorios an-teriores en la formula del estimador correspondiente. (No debes calcular las estimaciones.)

7. ¿Como contrastarıas la hipotesis nula H0 : β2 = 1? Detalla explıcitamente todos los elementos queintervienen en dicho contraste.


El dueno de una editorial propone explicar sus ventas de libros a traves del modelo:

Vt = β1 + β2Pt + β3Gt + β4Vt−1 + ut t = 1992 : 1, . . . , 2001 : 4 (69)

donde Vt denota las ventas, Pt, el precio medio de los libros y Gt, los gastos realizados en publicidad. Lasvariables Pt y Gt se consideran no estocasticas. Estimado el modelo por MCO se obtiene:

Vt = 259, 42(44,64)

− 2, 14(0,40)

Pt + 0, 097(0,005)

Gt + 0, 091(0,04)

Vt−1 (70)

R2 = 0, 9366 DW = 1, 8998 SCR = 9608, 8056

59

Su hijo piensa que la estimacion del modelo anterior por MCO no es la mas adecuada. Por tanto, deciderealizar la siguiente regresion auxiliar:

Vt−1 = 313, 53− 2, 09Pt−1 + 0, 10Gt−1 (71)

y utilizar sus resultados para estimar el modelo (69) mediante el metodo de Variables Instrumentales. Elresultado de dicha estimacion aparece a continuacion:

Vt = 260, 54(45,21)

− 2, 15(0,40)

Pt + 0, 097(0,005)

Gt + 0, 086(0,05)

Vt−1 (72)

R2 = 0, 9354 DW = 1, 7101 SCR = 9790, 8944

1. Explica por que se ha utilizado la regresion auxiliar (71) para obtener los estimadores de Varia-bles Instrumentales del modelo estimado (72). Escribe las expresiones del estimador de variablesinstrumentales y del estimador de su matriz de varianzas y covarianzas para este modelo concreto,detallando cada matriz utilizada.

2. Realiza el contraste de Hausman y decide, basandote en el resultado obtenido, si es valido el meto-do de estimacion utilizado por el padre. Razona tu respuesta.

3. Dado el resultado del apartado anterior, ¿puedes hacer algun comentario sobre el cumplimiento delas hipotesis basicas de las perturbaciones del modelo? Razona la respuesta.

60

EXAMENES de los cursos 2006/2007 a 2009/2010

PROBLEMA LE-2006. 1 (Jun-2006)

Una empresa familiar dedicada al arreglo de coches siniestrados, encarga a una gestorıa un estudio sobrela relacion existente entre el numero de trabajadores, L, y los beneficios anuales obtenidos (medidos enmiles de euros), M , durante los ultimos 46 anos. El gestor le propone la siguiente relacion:

Mt = α1 + α2Lt + ut t = 1, . . . , T (1)

donde supone que la variable Lt es no estocastica y la perturbacion sigue una distribucion normal demedia cero. Los resultados de la estimacion MCO son los siguientes:

Mt

(desv(βi))

= 7, 4408(0,0843)

− 0, 6310(0,0170)

Lt R2 = 0, 968 DW = 1, 333 t = 1, . . . , 46 (2)

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

M

M observada y estimada

estimadaactual

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

resi

duo

Residuos de la regresión (= M observada - estimada)

Ademas se dispone de las siguientes regresiones auxiliares:

u2t

u′u = 0, 7734 + 0, 1225Lt + ξ1t SCR = 45, 8741 R2 = 0, 1209 (A)

u2t

(u′u/46) = 0, 1740 + 0, 0351 t + ξ2t SCR = 60, 5979 R2 = 0, 1418 (B)

ut

(u′u/46) = 0, 2232− 0, 3517 t + 2, 4571Lt + ξ3t SCR = 36, 3244 R2 = 0, 2187 (C)

ut = 0, 2992ut−1 + 0, 0464ut−2 + ξ4t SCR = 0, 0733 R2 = 0, 1010 (D)

1. Interpreta el coeficiente α2, ¿cual es el signo que esperas?

2. Comenta los graficos. ¿Crees que el modelo (1) cumple todas las hipotesis basicas?

61

3. Basandote en la informacion proporcionada, ¿que supuestos sobre la perturbacion podrıas contras-tar? Realiza los posibles contrastes indicando todos los elementos necesarios.

No satisfecho con los resultados el gestor procede a estimar el siguiente modelo alternativo:

Mt = β1 + β2Lt + β3L2t + vt t = 1, . . . , T (3)

cuyos resultados aparecen en la siguiente tabla:

Modelo 3: estimaciones MCO utilizando las 46 observaciones 1948–1993Variable dependiente: M

Variable Coeficiente Desv. tıpica Estadıstico t valor pconst 421,905 21,0849 20,0098 0,0000L -72,228 4,71511 -15,3185 0,0000L2 0,000484685 8,99453e-05 5,3887 0,0000

Media de la var. dependiente 78,0652 R2 0,962685D.T. de la variable dependiente 18,9975 R2 corregido 0,960949Suma de cuadrados de los residuos 606,028 F (2, 43) 554,674

4. ¿Que pretende recoger el nuevo termino?

Ademas se dispone de los siguientes resultados:

Modelo A: estimaciones MCO utilizando las 46 observaciones 1–46

Variable dependiente:v2

t

(v′v)/46

Variable Coeficiente Desv. tıpica Estadıstico t valor pconst -0,132741 0,391608 -0,3390 0,7362t 0,0482018 0,0145090 3,3222 0,0018

Media de la var. dependiente 1,00000 R2 0,200538D.T. de la variable dependiente 1,44478 R2 corregido 0,182368Suma de cuadrados de los residuos 75,0956 Grados de libertad 44Desviacion tıpica de los residuos (σ) 1,30641 Estadıstico de Durbin–Watson 2,08620

Modelo B: estimaciones MCO utilizando las 45 observaciones 2–46Variable dependiente: vt

Variable Coeficiente Desv. tıpica Estadıstico t valor pconst -0,144956 1,26964 -0,1142 0,9097L 0,0583956 0,513785 0,1137 0,9101L2 -0,00585360 0,0517415 -0,1131 0,9105vt−1 0,194001 0,153777 1,2616 0,2142

62

Media de la var. dependiente -8,41529e-05 R2 0,0374139D.T. de la variable dependiente 0,0400752 R2 corregido -0,0330193Suma de cuadrados de los residuos 0,0680212 F(3,41) 0,531197Desviacion tıpica de los residuos (σ) 0,0407315 Estadıstico de Durbin–Watson 1,97476

5. Basandote en la informacion contenida en las dos tablas anteriores:

i. ¿Que concluyes sobre las caracterısticas de la perturbacion?

ii. ¿A que se debe la contradiccion que se obtiene entre los Apartados 3 y 5.i?

6. A la vista de los resultados obtenidos en la estimacion del modelo (3), ¿cuales son las consecuenciassobre el estimador de MCO y las desviaciones estimadas mostradas?

Otro de los socios de la gestorıa presenta los siguientes resultados obtenidos empleando otro estimadoralternativo.

Modelo C: estimaciones MC.Ponderados utilizando las 46 observaciones 1948–1993Variable dependiente: M

Variable utilizada como ponderacion:1t2

Variable Coeficiente Desv. tıpica Estadıstico t valor pconst 147,113 4,21100 34,9355 0,0000L -0,666136 0,0404821 -16,4551 0,0000L2 0,00115263 9,35801e-05 12,3170 0,0000

7. Escribe la funcion de regresion poblacional que se esta estimando e indica cuales son los supuestossobre la perturbacion que se han asumido. ¿Cual es el metodo de estimacion que se esta empleando?Escribe la formula matricial del estimador y cada uno de sus componentes.

8. Dado el supuesto realizado sobre la varianza de ut, ¿cual es el correspondiente modelo transformadocon perturbaciones esfericas? Demuestralo. Para este modelo, indica cuales son los pasos necesariospara obtener dichas estimaciones y el valor de estas.

9. ¿Como contrastarıas si el numero de trabajadores de la empresa es relevante para determinar elbeneficio medio anual?

PROBLEMA LE-2006. 2 (Jun-2006)

Se dispone de 62 observaciones sobre las siguientes caracterısticas de los terremotos registrados en Alaskadurante el periodo 1969-19784:

4Fuente: Fuller, W.A. (1987). Measurement Error Models. Wiley, New York.

63

Yt El logaritmo de la amplitud de onda en metros por segundo, (m/sg).

X∗t El logaritmo de la amplitud del cuerpo longitudinal de la onda en m/sg.

Wt El logaritmo de la traza maxima de amplitud de onda a corta distancia en m/sg.

Se quiere estimar cual es el efecto sobre Yt de la velocidad de amplitud del cuerpo de la onda de unterremoto, Xt, mediante el modelo:

Yt = β1 + β2Xt + vt vt ∼ NID(0, σ2v) (4)

La tecnologıa existente no permite obtener directamente el valor de la variable no estocastica Xt por loque se aproxima mediante X∗

t = Xt + et, donde X∗t es la variable observada y et ∼ NID(0, σ2

e) es el errorde medida. Ademas, la perturbacion del modelo, v, y el error de medida, e, son independientes. Se hanobtenido los siguientes resultados a partir del estimador de Mınimos Cuadrados ordinarios (MCO).

Yt(desv(βi))

= −1,491(0,780)

+ 1,261(0,149)

X∗t + ut , SCR = 17,242.

(X ′X)−1 =[

2, 118 −0, 403−0, 403 0, 077

]−1

1. Obten paso a paso cada uno de los siguientes valores:

ut =

E(ut) =

V ar(ut) =

Cov(ut, us) =

E(X∗t ut) =

2. Razona las propiedades en muestras finitas y asintoticas del estimador MCO.

El modelo anterior ha sido reestimado por variables instrumentales (VI). Para ello se ha utilizado comoinstrumento para el regresor X∗

t a la variable Wt, cuya medicion se puede realizar con exactitud. Se hanobtenido los siguientes resultados.

Yt(desv(βi,V I ))

= −4,287(1,114)

+ 1,797(0,213)

X∗t + ut , SCR = 20,961.

3. Escribe explıcitamente la formula del estimador de VI y su expresion en terminos de sumatorios.

64

4. Escribe explıcitamente las condiciones necesarias para que el estimador de VI sea consistente.

5. Lleva a cabo el contraste de Hausman para analizar si es o no importante el problema de error demedida. Escribe la hipotesis nula, la alternativa y todos los elementos del contraste, ası como suconclusion.

6. Contrasta la hipotesis de que, en media, la amplitud del cuerpo longitudinal de la onda recogidaen un sismografo no es relevante sobre la amplitud de la onda.

PROBLEMA LE-2006. 3 (Sep-2006)

El Departamento de Sanidad de E.E.U.U. quiere estudiar la relacion entre el gasto sanitario agregadoen billones de dolares (exphlth), la renta personal disponible agregada tambien en billones de dolares(income), el porcentaje de poblacion que supera los 65 anos en el ano 2005 (seniors) y la poblacionen millones (pop). Para ello encarga un estudio a dos becarios de la facultad de Economicas de Harvardponiendo a su disposicion datos de 2005 para dichas variables sobre 51 estados americanos y los siguientesresultados5:

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las51 observaciones 1-51 Variable dependiente: exphlth

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD.T 2Prob(t > |T|)

0) const -3,55153 1,40710 -2,524 0,014965 **2) income 0,142035 0,00184017 77,186 < 0,00001 ***4) seniors 0,305816 0,108449 2,820 0,006962 ***

Media de la var. dependiente = 15,2649D.T. de la var. dependiente = 17,8877Suma de cuadrados de los residuos = 127,565Desviacion tıpica de los residuos = 1,63022R-cuadrado = 0,992026R-cuadrado corregido = 0,991694Estadıstico F (2, 48) = 2985,94 (valor p < 0,00001)Estad. de Breusch-Pagan para la varianza en funcion de POP = 15,13

El becario A supone que las variables income, seniors y pop son no estocasticas, que la perturbacionsigue una distribucion normal y concluye que tanto la renta como el porcentaje de poblacion mayor de 65anos son variables individualmente significativas para explicar el gasto sanitario y presenta los siguientesresultados:

5Fuente: Ramanathan, Ramu (2002): Introductory Econometrics with Applications, fichero data8-3.gdt.

65

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25 30

resi

duo

pop

residuos MCO versus pop

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50

resi

duo

index

Residuos de la regresión (= exphlth observada − ajustada)

Modelo becario A: estimaciones MCO utilizando las 51 observaciones1-51 Variable dependiente: exphlth Desviaciones tıpicas robustas aheterocedasticidad, variante HC3


const -3,55153 1,57010 -2,262 0,028265 **income 0,142035 0,00264576 53,684 < 0,00001 ***

seniors 0,305816 0,121408 2,519 0,015157 **

Media de la var. dependiente = 15,2649D.T. de la var. dependiente = 17,8877Suma de cuadrados de los residuos = 127,565Desviacion tıpica de los residuos = 1,63022R-cuadrado = 0,992026R-cuadrado corregido = 0,991694Estadıstico F (2, 48) = 1451,55 (valor p < 0,00001)

1. ¿Que modelo esta estimando el becario A? Analiza la informacion proporcionada en los graficos yrealiza los contrastes que consideres oportunos.

2. ¿Que supuestos esta realizando sobre la media, varianza y covarianzas de la perturbacion?, ¿que meto-do de estimacion esta utilizando?

3. ¿Estas de acuerdo con sus conclusiones sobre la significatividad individual de las variables? Realizalos contrastes que creas oportunos para justificar tus argumentos.

Al mismo tiempo el becario B, que tambien supone que las variables income, seniors y pop son noestocasticas y que la perturbacion sigue una distribucion normal llega a las mismas conclusiones sobre lasignificatividad individual de las variables. Presenta los resultados siguientes:

66

Modelo becario B: estimaciones MC.Ponderados utilizando las 51 observaciones 1-51Variable dependiente: exphlth

Variable utilizada como ponderacion:1

pop2


const -1,12626 0,408314 -2,758 0,008196 ***income 0,142343 0,00493399 28,849 < 0,00001 ***

seniors 0,106763 0,0330614 3,229 0,002242 ***

Estadısticos basados en los datos ponderados::

Suma de cuadrados de los residuos = 12,3508Desviacion tıpica de los residuos = 0,507256R-cuadrado = 0,947736R-cuadrado corregido = 0,945558Estadıstico F (2, 48) = 435,207 (valor p < 0,00001)

4. ¿Que modelo esta estimando el becario B?, ¿que supuesto esta realizando sobre la varianza de laperturbacion?, ¿que metodo de estimacion esta utilizando?

5. ¿Estas de acuerdo con sus conclusiones sobre la significatividad individual de las variables? Realizalos contrastes que creas oportunos para justificar tus argumentos.

6. Valora el comportamiento de ambos investigadores. ¿Cual te parece mas adecuado?

PROBLEMA LE-2006. 4 (Sep-2006)

Un agricultor quiere conocer la relacion que existe entre la cantidad de fresas recolectadas en sus tierras,Q, medida en kilogramos, y el numero de jornaleros contratados, L. Para ello encarga un estudio sobrela relacion entre ambas variables a un econometra, quien especifica el siguiente modelo:

Qt = β1 + β2Lt + ut t = 1970, . . . , 2004 (1)

donde Lt es no estocastica y ut sigue una distribucion normal. La estimacion MCO presenta los siguientesresultados:

Qt(estad-t)

= 1115, 93(36,62)

− 2, 4462(-14,20)

Lt R2 = 0, 8594 DW = 0, 3210 T = 35 (2)

Ademas se dispone de las siguientes regresiones, donde ut son los residuos obtenidos de (2):

67

ut = 31, 25− 0, 1814Lt + 0, 8958ut−1 + ζ1t SCR = 26981, 8 R2 = 0, 7041 (A)

ut = 1, 1397 + 0, 8958ut−1 + ζ2t SCR = 29807, 6 R2 = 0, 6731 (B)

u2t

(u′u/35) = 0, 4432 + 2, 2378Lt + ζ3t SCR = 70, 4985 R2 = 0, 0427 (C)

u2t

(u′u/35) = 1, 7899 + 0, 9955ut−1 + ζ4t SCR = 55, 2297 R2 = 0, 0577 (D)

Y de los siguientes graficos:

400

500

600

700

800

900

1000

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Q

Q observada y estimada

estimadaactual

-100

-50

0

50

100

150

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

resi

duo

Residuos de la regresión (= Q observada - estimada)

1. ¿La muestra se compone de datos de seccion cruzada o datos temporales?, ¿por que?

2. Interpreta el coeficiente β2, ¿cual es el signo que esperas?

3. Comenta el grafico que representa los valores reales y los ajustados de la variable endogena. ¿Creesque se trata de un buen ajuste? Comenta el grafico de los residuos. A la vista de ambos graficos,¿crees que el modelo cumple todas las hipotesis basicas?

4. Basandote en la informacion proporcionada verifica si las perturbaciones cumplen las hipotesisbasicas.

5. Dada la evidencia encontrada explica cuales son las consecuencias sobre el estimador MCO de loscoeficientes y la fiabilidad de los estadısticos mostrados.

A la vista de los resultados obtenidos en los contrastes anteriores el econometra estima la relacion (1)empleando otro estimador que cree mas adecuado al contexto. Los resultados que obtiene son los siguien-tes:

Modelo 2: estimaciones Cochrane–Orcutt utilizando las 34 observaciones 1971–2004Variable dependiente: Q

iteracion final ρ = 0,976619

68

Variable Coeficiente Desv. tıpica Estadıstico t valor pconst 1456,54 186,561 7,8073 0,0000L 2,74197 1,13652 2,4126 0,0217

6. ¿Que metodo de estimacion se esta empleando? Especifica detalladamente todos los pasos que sehan de llevar a cabo para obtener todas las estimaciones anteriores. ¿Por que es mas adecuado queel anterior? Razona tu respuesta basandote en las propiedades del estimador.

En una conversacion con el agricultor, este le comenta que en general a una buena cosecha, le sucedenbuenas cosechas y que cuando se obtiene una mala cosecha es muy probable que las siguientes sean malastambien. Esto hace reflexionar al econometra porque pudiera ser que la cantidad de fresas recogidas enla temporada anterior influyera en la cosecha actual. En base a su sospecha el econometra especifica yestima el siguiente modelo:

Qt = α1 + α2Lt + α3Qt−1 + wt (3)

Resultados de la estimacion:

Modelo 3: estimaciones MCO utilizando las 34 observaciones 1971–2004Variable dependiente: Q

Variable Coeficiente Desv. tıpica Estadıstico t valor pconst 90,9866 99,9536 0,9103 0,3697L -0,230355 0,0115477 -1,9948 0,0470Qt−1 0,944638 0,0898926 10,5085 0,0000

Estadıstico de Durbin-Watson = 3,10304

Ademas se dispone de las siguientes regresiones auxiliares:

wt = 21, 32− 0, 1766Lt + 0, 8788wt−1 + η1t SCR = 25671, 3 R2 = 0, 4734 (E)

wt = 1, 7943 + 0, 2398wt−1 + 0, 5647Qt−1 + η2t SCR = 23398, 1 R2 = 0, 4767 (F )

wt = −255, 47 + 0, 579406Lt + 0, 231059Qt−1 − 0, 804475wt−1 + η3t SCR = 10958, 4 R2 = 0, 4869 (G)

w2t

(w′w/34) = 0, 4432 + 2, 2378Lt + η4t SCR = 77, 8328 R2 = 0, 05665 (H)

wt

(w′w/34) = 3, 9229 + 2, 2552wt−1 + 0, 3463Qt−1 + η5t SCR = 50, 0805 R2 = 0, 0064 (I)

7. Realiza los contrastes que creas oportunos y calcula o razona las siguientes igualdades:

E(wt) =

E(w2t ) =

69

Cov(wt, ws) =

E(Ltwt) =

E(Qt−1wt) =

E(βMCO) =

8. ¿Que puedes decir sobre el Teorema de Mann y Wald y la consistencia de estimador MCO?

9. Para poder comprobar que la cosecha de la temporada anterior es un factor que determina lacosecha actual se ha obtenido la siguiente estimacion consistente, asintoticamente eficiente yvalida para hacer inferencia del modelo (3):

Qt − ρQt−1

(desv(αi))︸︷︷︸Q∗t

= 25, 28 (1− ρ)︸︷︷︸X∗

t

+ 0, 064(0,125)

(Lt − ρLt−1)︸︷︷︸L∗t

+ 1, 067(0,048)

(Qt−1 − ρQt−2) + εt (4)

R2 = 0, 981 DW = 1, 98

siendo εt es un ruido blanco tal que εt = wt − ρwt−1 y wt son las perturbaciones del modelo (3).

Completa y/o realiza lo siguiente:

a) εt ∼ ( , )

b)

α1

α2

α3

.........

=

25, 28

0, 064

1, 067

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−1

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

c) ¿Cual es el estimador consistente de ρ empleado? Describe todos los elementos y las condicionesque te garantizan la consistencia del parametro ρ estimado.

d) ¿Es cierto que la cosecha de la temporada anterior es un factor que determina la cosecha actual?¿Que implicaciones tiene el resultado?

PROBLEMA LE 2007. 1 (Jun-2007)

Una consultora americana tiene firmado un contrato para realizar un estudio sobre la relacion entre elnumero de patentes y los gastos en Investigacion y Desarrollo (RD) en Estados Unidos. Para ello dispone

70

de datos anuales para los anos 1960 a 1993 de las siguientes variables6:

PATENTS: numero de patentes, en miles de unidades, (rango muestral de 84,5 a 189,4).

RD: gastos en investigacion y desarrollo, en billones de dolares de 1992, (rango muestral de 57,94a 166,7)

En primer lugar se considera estimar por MCO el modelo simple:

PATENTSt = β1 + β2RDt + ut t = 1, . . . , 34 (1)

Variable dependiente: PATENTS

Variable Coeficiente Desv. tıpica Estadıstico t valor p

const 34,5711 6,35787 5,4375 0,0000RD 0,791935 0,0567036 13,9662 0,0000

Desviacion tıpica de los residuos (σ) 11,1724R-cuadrado 0,859065Estadıstico de Durbin–Watson 0,233951

1. Interpreta el coeficiente estimado que acompana a la variable RD. ¿Tiene el signo esperado?, ¿esuna variable significativa?

2. Comenta detalladamente los tres graficos proporcionados.

Figura 11: PATENTS sobre RD, PATENTS observada y estimada y Residuos MCO sobre tiempo

60

80

100

120

140

160

180

200

60 80 100 120 140 160

PA

TE

NT

S

R_D

PATENTS con respecto a R_D

Y = 34,6 + 0,792X

80

100

120

140

160

180

200

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

PA

TE

NT

S

PATENTS observada y estimada

estimadaactual

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

resi

duo

Residuos de la regresión (= PATENTS observada - estimada)

¿Que problema parece existir en el modelo anterior? Razonalo con detalle y comenta las posi-bles consecuencias sobre los resultados mostrados y los obtenidos en el apartado anterior.

Despues de probar con diversas especificaciones la consultora decide elegir de entre las siguientes:

PATENTSt = β1 + β2RDt + β3RD2t + u1t (2)

PATENTSt = α1 + α2RDt + α3RDt−4 + α4RD2t + u2t (3)

3. ¿Son estos dos modelos lineales?, ¿por que? ¿Son ambos modelos dinamicos?, ¿por que?


71

4. Escribe la matriz de datos que corresponde a cada modelo.

Los resultados de la estimacion de las dos especificaciones alternativas son:

MODELO A: PATENTSt

(desv)(desv)N−West

= 121, 575(23, 243)(27, 615)

− 0, 852(0, 429)(0, 503)

RDt + 0, 00706(0, 00183)(0, 002)

RD2t

R2 = 0, 904 DW = 0, 284 BG(4) = 27, 171

MODELO B: PATENTSt

(desv)(desv)N−West

= 135, 887(22, 493)(30, 555)

− 1, 789(0, 356)(0, 475)

RDt + 0, 813(0, 097)(0, 120)

RDt−4 + 0, 00790(0, 00160)(0, 002)

RD2t

R2 = 0, 979 DW = 0, 842 BG(4) = 11, 974

Figura 12: Graficos de residuos de los Modelos A y B

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

resi

duo

Residuos del Modelo A

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

resi

duo

Residuos del Modelo B

5. ¿Crees que los graficos de los residuos reflejan algun problema? Contrastalo.

6. ¿Por que crees que han utilizado el estimador de Newey-West para la obtencion de las desviacionestıpicas? ¿te parece razonable su uso en las dos especificaciones?

7. Utilizando toda la informacion proporcionada, ¿cual crees que puede ser la mejor especificacionpara determinar el numero de patentes? Razona tu respuesta. ¿Es el modelo escogido un modelocon dinamica?

8. Dado el modelo que has escogido, obten el incremento medio en el numero de patentes inscritascuando el gasto en investigacion y desarrollo correspondiente a ese ano aumenta en un billon dedolares manteniendo el resto de los factores constantes. Dado el rango muestral, ¿es el incrementoestimado positivo?

72

PROBLEMA LE 2007. 2 (Jun-2007)

Una empresa quiere analizar el precio (P) de las viviendas en un determinado paıs en funcion del tipo deinteres (I) y del Producto Interior Bruto (PIB). Para ello se dispone de datos trimestrales correspondientesal periodo 1963-1985. Los resultados de la estimacion son los siguientes:

Pt

(desv)

= −5, 3174(3,128)

+ 1, 864(0,469)

PIBt − 0, 890(0,295)

It (4)

SCR = 0, 516 R2 = 0, 478

El analista de la empresa, tras observar los residuos, sospecha que la varianza de las perturbaciones alprincipio de la muestra son menores que los correspondientes al final de la muestra. Por ello propone dosposibles especificaciones:

V ar(ut) = δ t4 δ > 0 (5)V ar(ut) = γ1 + γ2Dt γ1, γ2 > 0 (6)

donde la variable ficticia Dt toma valor uno para las observaciones comprendidas en el periodo 1963-1975y cero en caso contrario.

1. ¿Que pretenden recoger las ecuaciones (2) y (3)?, ¿en que se diferencian? Escribe la matriz devarianzas y covarianzas de la perturbacion asociada a cada una de las propuestas. (Supon queE(utus) = 0 t 6= s.)

2. ¿Podrıas verificar la sospecha del analista con el contraste de Hausman? Razonalo.

Al final el analista se decide por una de las especificaciones y obtiene los siguientes resultados

Modelo: estimaciones M.C.Ponderados utilizando las observaciones 1976:1–1985:4Variable dependiente: P

Variable utilizada como ponderacion: 1/t4


const −9,3955 3,83947 −2,4471 0,0443PIB 2,42845 0,511158 4,7509 0,0021I −1,0789 0,182560 −5,9103 0,0006

Estadısticos basados en los datos ponderados:

Suma de cuadrados de los residuos 0,000142049Desviacion tıpica de los residuos (σ) 0,00450474R2 0,837967R2 corregido 0,791671

3. Escribe la funcion de regresion poblacional que ha estimado el analista. Especifica las hipotesisnecesarias sobre la perturbacion para que la ponderacion empleada sea la adecuada. Demuestra tusafirmaciones.

73

4. Escribe detalladamente la expresion del estimador empleado.

β.......... =

−1

5. Si la especificacion adecuada para la varianza fuese la recogida en la ecuacion (3), ¿que consecuen-cias tendrıa sobre las estimaciones de Mınimos Cuadrados Ponderados mostradas? En este caso,¿como estimarıas los coeficientes del modelo?, ¿por que?

PROBLEMA LE 2007. 3 (Sep-2007)

El director de una empresa desea estudiar la funcion de demanda de silicona para la construccion deequipamientos. Para ello dispone de una muestra de datos mensuales7desde 1983:1 hasta 1990:5 sobrelos galones producidos de silicona (Q) y el precio por galon en dolares (P ). Con estos datos se estima elsiguiente modelo:

Qt = β1 + β2Pt + ut (1)

Los resultados que se obtienen son los siguientes:

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 89 observaciones 1983:01–1990:05Variable dependiente: Q


const 5962,05 955,810 6,2377 0,0000P −381,09 104,766 −3,6376 0,0005

Media de la var. dependiente 2531,49D.T. de la variable dependiente 1564,67Suma de cuadrados de los residuos 1,87000e+08Desviacion tıpica de los residuos (σ) 1466,09R2 0,132013R2 corregido 0,122036Grados de libertad 87Estadıstico de Durbin–Watson 1,32875Coef. de autocorr. de primer orden. 0,323783Estadıstico de Breusch-Godfrey, BG(1) 9,52


74

1. ¿Que hipotesis se estan asumiendo sobre la perturbacion del modelo para que los estadısticos-tanteriores tengan validez?, ¿y sobre la variable explicativa? Razonalas.

2. Indica como y para que se ha calculado el valor “Estadıstico de Durbin-Watson = 1,32875”. Dadoel valor de este estadıstico, ¿son creıbles las hipotesis asumidas para la perturbacion en el apartadoanterior?Se dispone ademas de los siguientes graficos:

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

resi

duo

Residuos de la regresión (= Q observada - estimada)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

Q

Q observada y estimada

estimadaactual

El director, tras analizar los resultados de la estimacion y los graficos disponibles decide proponereste nuevo modelo:

Qt = α1 + α2Pt + α3Qt−1 + vt (2)

3. ¿Que razones crees que han llevado al gerente a proponer el nuevo modelo? Razonalo en base a losgraficos y todos los resultados disponibles.Los conocimientos de econometrıa del gerente son limitados y no confıa en tomar la decisionadecuada sobre el metodo de estimacion, por lo que duda entre dos alternativas. Los primerosresultados de que dispone son los siguientes:

Modelo 2: estimaciones MC2E utilizando las 88 observaciones 1983:02–1990:05Variable dependiente: Q

Instrumentos: P 1


const 6056,46 1363,59 4,4415 0,0000P −375,74 109,814 −3,4216 0,0006Q 1 −0,0470207 0,285300 −0,1648 0,8691

Media de la var. dependiente 2558,90D.T. de la variable dependiente 1552,01Desviacion tıpica de los residuos (σ) 1489,92R2 0,101437Estadıstico de Durbin–Watson 1,26492Estadıstico de Hausman 1,7694

4. Dados los resultados de la primera alternativa:

a) ¿Que metodo de estimacion ha utilizado? ¿Por que crees que ha propuesto este estimador?¿Que propiedades tiene el estimador empleado? Explica con detalle tus afirmaciones.

75

b) Escribe explıcitamente la formula del estimador.

La segunda estimacion disponible es la siguiente:

Modelo 3: estimaciones MCO utilizando las 88 observaciones 1983:02–1990:05Variable dependiente: Q


const 4971,54 967,433 5,1389 0,0000P −346,23 100,532 −3,4440 0,0009Q 1 0,276772 0,0956479 2,8937 0,0048

Media de la var. dependiente 2558,90D.T. de la variable dependiente 1552,01Suma de cuadrados de los residuos 1,66272e+08Desviacion tıpica de los residuos (σ) 1398,62R2 0,206563R2 corregido 0,187894F (2, 85) 11,0645Estadıstico de Durbin–Watson 2,00214Coef. de autocorr. de primer orden. -0,00538456Estadıstico de Breusch-Godfrey, BG(1) 0,04984

5. Dados los resultados de la segunda alternativa:

a) ¿Que metodo de estimacion ha utilizado? Escribe explıcitamente la formula.

b) Enuncia el teorema de Mann y Wald y verifica si se satisfacen sus condiciones en este caso.Indica las propiedades del estimador. ¿Cual de los dos metodos de estimacion te parece lamas adecuada?, ¿por que?

6. Contrasta si el modelo que determina la produccion de silicona es estatico.

PROBLEMA LE 2007. 4 (Sep-2007)

La inmobiliaria BOSHOUSE contrato a un gestor para que le asesore en su polıtica de fijacion de precios.Para ello le presenta la siguiente informacion obtenida con 88 observaciones sobre precios de venta ysus determinantes correspondientes a hogares situados en Boston y su area de influencia. Las variablesdisponibles son: precio de la vivienda en miles de dolares (price), tamano de la parcela en pies cuadrados(lotsize), tamano de la vivienda en pies cuadrados (sqrft) y numero de dormitorios (bdrms). El analistapropone dos especificaciones alternativas para determinar el precio de la vivienda. Los resultados de laprimera especificacion se muestran a continuacion:

76

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 88 observaciones 1–88Variable dependiente: price


const −21,770 29,4750 −0,7386 0,4622lotsize 0,00206771 0,000642126 3,2201 0,0018sqrft 0,122778 0,0132374 9,2751 0,0000bdrms 13,8525 9,01015 1,5374 0,1279

Media de la var. dependiente 293,546D.T. de la variable dependiente 102,713Suma de cuadrados de los residuos 300724Desviacion tıpica de los residuos (σ) 59,8335R2 0,672362F (3, 84) 57,4602Breusch-Pagan: h(γ0 + γ1 lotsize + γ2 sqrft) 27,97

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

resi

duo

Residuos de la regresión (= price observada - estimada)

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000

resi

duo

lotsize


-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

1500 2000 2500 3000 3500

resi

duo

sqrft


1. ¿Que modelo esta estimando la empresa? Interpreta los dos primeros coeficientes estimados delmodelo.

2. Interpreta la informacion contenida en los graficos y realiza los contrastes que creas oportunos.¿Cuales son las propiedades del estimador MCO? Razona tus afirmaciones.

3. Dados los resultados obtenidos, propon una estructura para la matriz de varianzas y covarianzas.¿Como la estimarıas?

Los resultados de la segunda alternativa se muestran a continuacion:

77

Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 88 observaciones 1–88Variable dependiente: ln(price)


const −1,2970 0,651284 −1,9915 0,0497ln(lotsize) 0,167967 0,0382811 4,3877 0,0000ln(sqrft) 0,700232 0,0928652 7,5403 0,0000bdrms 0,0369583 0,0275313 1,3424 0,1831

Media de la var. dependiente 5,63318D.T. de la variable dependiente 0,303573Suma de cuadrados de los residuos 2,86256R2 0,642965F (3, 84) 50,4237Breusch-Pagan: h(γ0 + γ1 ln(lotsize) + γ2 ln(sqrft)) 4,66

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

resi

duo

Residuos de la regresión (= lprice observada - estimada)

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5

resi

duo

llotsize


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

7.2 7.4 7.6 7.8 8 8.2

resi

duo

lsqrft


4. ¿Que modelo esta estimando la empresa? ¿Recogen los coeficientes lo mismo que en la espe-cificacion anterior? Razona tu respuesta.

5. Interpreta la informacion contenida en los graficos y realiza los contrastes que creas oportu-nos. ¿Cuales son las propiedades del estimador MCO? Razona tus afirmaciones.

6. Dados los resultados obtenidos, propon una estructura para la matriz de varianzas y cova-rianzas. ¿Como la estimarıas?

78

7. ¿Cual de las dos especificaciones te parece mas adecuada para determinar el precio de lavivienda?, ¿por que?

PROBLEMA LE 2008. 1 (Jun-2008. Evaluacion Continua.)

Las competencias que se evaluan en esta prueba son:

1. Comprender la importancia de los supuestos empleados en la especificacion de un modelo eco-nometrico basico para poder proponer y emplear supuestos mas realistas.

2. Diferenciar distintos metodos de estimacion y evaluar su uso de acuerdo a las caracterısticas de lasvariables economicas de interes para obtener resultados fiables.

4. Valorar adecuadamente los resultados obtenidos para elaborar informes economicos

Un estudiante pretende medir la relacion que existe entre el consumo y la renta en Estados Unidos parael periodo 1947:01-1980:4. Para ello dispone de datos trimestrales8 del consumo per capita (C, medidoen dolares con ano base 1982) y de la renta disponible per capita (RD, medido en dolares con ano base1982).

El estudiante comienza estimando un modelo de regresion simple que relaciona estas dos variables deforma lineal obteniendo los siguientes resultados y graficos de residuos:

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 136 observaciones 1947:1–1980:4Variable dependiente: C


const 325,972 32,8874 9,9117 0,0000RD 0,861635 0,00454809 189,4498 0,0000

Suma de cuadrados de los residuos 966548Desviacion tıpica de los residuos (σ) 84,9297R2 0,996280Estadıstico de Durbin–Watson 0,630575

PARTE 1

1.a) Escribe el modelo que se ha propuesto y la recta de regresion muestral.

1.b) Interpreta el coeficiente estimado 0,861635.

8Los datos corresponden al libro: Undergraduate Econometrics de R.C. Hill, W.E. Griffiths y G.G. Judge,John Wiley and Sons, 2001

79

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980

resid

uo

Residuos de la regresión (= C observada - estimada)

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

5000 6000 7000 8000 9000 10000

resid

uo

RD

Residuos de la regresión (= C observada - estimada)

1.c) Comenta los dos graficos proporcionados.

En base a los resultados obtenidos el estudiante decide estimar una segunda especificacion:



const 1203,56 176,573 6,8162 0,0000RD 0,609486 0,0501581 12,1513 0,0000sq RD 1,72209e-05 3,41370e-06 5,0446 0,0000

Suma de cuadrados de los residuos 811311Desviacion tıpica de los residuos (σ) 78,1030R2 0,996878F (2, 133) 21232,5Estadıstico de Durbin–Watson 0,744390

1.d) Escribe el modelo de regresion lineal general propuesto. ¿Es el modelo dinamico?

1.e) Explica detalladamente cual es la diferencia entre la especificacion del Modelo 2 y la del Modelo1. ¿Por que crees que ha estimado este segundo modelo?

1.f) Si la renta disponible per capita aumentara en un dolar, ¿cual es la variacion estimada sobre elconsumo per capita?

1.g) ¿Que supuestos sobre la perturbacion son necesarios para que el estimador MCO sea el de mınimavarianza?, ¿se cumplen estos supuestos?

PARTE 2

El estudiante reflexiona sobre la posible relacion entre las variables de interes y llega a la conclusion deque probablemente el consumo este determinado por el consumo realizado en el periodo anterior:

Ct = β1 + β2RDt + β3RD2t + β4Ct−1 + ut (1)

80

Los resultados de estimacion que obtiene se muestran a continuacion:



const 120,419 141,412 0,8515 0,3960RD 0,211371 0,0442917 4,7723 0,0000sq RD 7,63071e-07 2,55460e-06 0,2987 0,7656C 1 0,745746 0,0551728 13,5165 0,0000

Suma de cuadrados de los residuos 338799R2 0,998679Estadıstico de Durbin–Watson 1,57884

2.a) ¿Es el modelo dinamico?

2.b) ¿Que supuestos sobre las variables explicativas son necesarios para que el estimador MCO sea in-sesgado?, ¿se cumplen estos supuestos? Razona tu respuesta.

El estudiante quiere analizar mas detenidamente los resultados obtenidos para el Modelo 3 por lo quedecide estimar la siguiente regresion auxiliar:

Regresion Auxiliar: estimaciones MCO utilizando las 131 observaciones 1948:2–1980:4Variable dependiente: uhat


const 133,639 140,457 0,9515 0,3432RD 0,0812303 0,0472794 1,7181 0,0883sq RD 1,92833e-06 2,51581e-06 0,7665 0,4449C 1 −0,126831 0,0581626 −2,1806 0,0311uhat 1 0,173421 0,0906443 1,9132 0,0580uhat 2 0,345921 0,0933133 3,7071 0,0003uhat 3 0,112459 0,0949148 1,1848 0,2384uhat 4 −0,106228 0,0933740 −1,1377 0,2575

Suma de cuadrados de los residuos 277978R2 0,161219Estadıstico de Durbin–Watson 1,93769

2.c) ¿Para que le sirve al estudiante los resultados de la estimacion de esta regresion auxiliar?, ¿que eslo que pretende contrastar? ¿Cual es la conclusion que obtiene? Contrastalo.

2.d) Dados los resultados obtenidos en la regresion auxiliar, ¿cuales son las propiedades del estimadorempleado en el Modelo 3? Razona tu respuesta.

81

PARTE 3

El estudiante parece estar seguro de la especificacion del modelo que quiere estimar es la misma queanaliza en la PARTE 2, es decir

Ct = β1 + β2RDt + β3RD2t + β4Ct−1 + ut

sin embargo no tiene claro el estimador que deberıa emplear. A continuacion el estudiante presenta losresultados que obtiene al estimar el modelo de dos formas alternativas:

Alternativa 1: estimaciones Hildreth–Lu utilizando las 134 observaciones 1947:3–1980:4Variable dependiente: C

ρ = 0,3


const 269,668 130,288 2,0698 0,0405RD 0,289198 0,0600934 4,8125 0,0000sq RD 2,99853e-06 3,39482e-06 0,8833 0,3787C 1 0,617666 0,0669645 9,2238 0,0000

Estadısticos basados en los datos rho-diferenciados:

Suma de cuadrados de los residuos 311220R2 0,998772

3.a) ¿Que metodo de estimacion ha utilizado? Escribe explıcitamente la formula del estimador en baseal modelo transformado.

SCR∗ =t=....∑t=....

(Y ∗

t − β1X∗1t − β2X

∗2t − β3X

∗3t − β4X

∗4t

)2

Y ∗t = ..........................; X∗

1t = ..........................; X∗2t = ..........................

X∗3t = ..........................; X∗

4t = ..........................

β.......... =

−1

Escribe el proceso elegido por el estudiante para modelizar la dinamica de la perturbacion:

3.b) Dados los resultados de estimacion mostrados, ¿cual es la estructura para la matriz de varianzas ycovarianzas de la perturbacion que esta proponiendo el estudiante en esta Alternativa 1?

82

E(uu′) =

3.c) Basandote en el resultado del contraste realizado en el apartado 2.c), ¿te parece adecuada la matrizde varianzas y covarianzas de la perturbacion que ha empleado en la Alternativa 1? En conse-cuencia, ¿cuales son las propiedades del estimador empleado?

Alternativa 2: estimaciones MC2E utilizando las 135 observaciones 1947:2–1980:4Variable dependiente: C

Instrumentos: RD 1 sq RD 1Variable Coeficiente Desv. tıpica Estadıstico t valor p

const 710,641 247,667 2,8693 0,0041RD 0,428764 0,0851963 5,0327 0,0000sq RD 9,73003e-06 4,10624e-06 2,3696 0,0178C 1 0,338883 0,141450 2,3958 0,0166

Suma de cuadrados de los residuos 479442Estadıstico de Durbin–Watson 0,950370

Contraste de Hausman – Hipotesis nula: Los estimadores de MCO son consistentesEstadıstico de contraste asintotico: χ2

1 = 17,3525 con valor p = 3,10497e-005

3.d) Explica que significa la indicacion: “Instrumentos: RD 1 sq RD 1”

3.e) Realiza el contraste de Hausman. ¿Te sorprende el resultado que obtienes?, ¿es coherente con losresultados obtenidos en la PARTE 2?, ¿por que?

3.f) ¿Que metodo de estimacion ha utilizado? Escribe explıcitamente la formula del estimador y laFuncion de Regresion Muestral (FRM).

β.......... =

−1

FRM:

83

3.g) ¿Cuales son las propiedades del estimador empleado? ¿Que condiciones son necesarias para queeste estimador sea consistente?

3.h) Si tuvieras que escoger entre las alternativas de estimacion empleadas para estimar el modelo (1),¿cual escogerıas? Razona tu respuesta.

PROBLEMA LE 2008. 2 (Jun-2008. Evaluacion No Continua.Prueba escrita.)

Las competencias a evaluar a lo largo de esta prueba son:



4. Valorar adecuadamente los resultados obtenidos para elaborar informes economicos.

La cadena de supermercados ALIMENTAX S.A. quiere determinar una polıtica de expansion dentro desu comunidad autonoma y para ello ha encargado a su gerente el estudio de la funcion de consumo endicha comunidad. Se dispone de una muestra anual9 de 1959 a 1994 de observaciones sobre las siguientesvariables:

C: Consumo real en billones de dolares.W : Salario real en billones de dolares.P : Rentas no salariales, medida en terminos reales, en billones de dolares.

El gerente estima por mınimos cuadrados ordinarios el siguiente modelo:

Ct = β1 + β2Wt + β3Pt + ut t = 1, . . . , T (1)

con los siguientes resultados:

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 36 observaciones 1959–1994Variable dependiente: C


const −222,15 19,5527 −11,3620 0,0000W 0,693262 0,0326064 21,2615 0,0000P 0,735916 0,0488218 15,0735 0,0000

Suma de cuadrados de los residuos 38976,5 R2 0,998754F (2, 33) 13230,3 Estadıstico de Durbin–Watson 0,969426Coef. de autocorr. de primer orden. 0,494451 BG(1)=9,621

9Los datos corresponden al libro: Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, ed.South-Western.

84

PARTE 1:

1. ¿Que quiere decir que las variables estan medidas en terminos reales?

2. Interpreta el parametro β2:

3. Comenta el grafico de residuos.

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

resi

duo

Residuos de la regresión (= C observada − estimada)

4. ¿Se cumplen todas las hipotesis basicas sobre la perturbacion? Analiza todos los resultados mostra-dos y completa las matrices que aparecen a continuacion de acuerdo con el contraste o contrastesrealizados:

E(u) =

E(uu′) = . . . . . .

5. Suponiendo que Wt y Pt son no estocasticas, razona las propiedades que tiene el estimador MCOde los coeficientes del modelo (1).

PARTE 2:El gerente esta preocupado por la especificacion de modelo por lo que decide estudiar dos especifi-caciones alternativas.• Especificacion A:

Ct = β1 + β2Wt + β3Wt−1 + β4Pt + ut t = 1, . . . , T

Para la cual obtiene los siguientes resultados:

85

Especificacion A: estimaciones MCO utilizando las 35 observaciones 1960–1994Variable dependiente: C


const −223,32 21,9777 −10,1613 0,0000W 0,618833 0,113718 5,4418 0,0000W 1 0,0839831 0,108643 0,7730 0,4454P 0,725303 0,0494033 14,6813 0,0000

Suma de cuadrados de los residuos 36407,3R2 0,998754F (3, 31) 8284,44Estadıstico de Durbin–Watson 0,949518Coef. de autocorr. de primer orden. 0,493482

6. Comenta las siguientes afirmaciones razonando si son ciertas o falsas y por que:

a) “El estimador MCO empleado en la Especificacion A es no lineal”.

b) “La matriz de varianzas y covarianzas de los coeficientes estimados por MCO en la Especifi-cacion A es V (β) = σ2(X ′X)−1 ”. Realiza los contrastes que consideres oportunos.

• Especificacion B:

Ct = β1 + β2Wt + β3Pt + β4Ct−1 + ut t = 1, . . . , T (2)

Sobre la que se dispone de los siguientes resultados:

Resultado 1: estimaciones MCO utilizando las 35 observaciones 1960–1994Variable dependiente: C


const −155,77 33,1278 −4,7021 0,0001W 0,513348 0,0766851 6,6942 0,0000P 0,535774 0,0835316 6,4140 0,0000C 1 0,270081 0,100359 2,6911 0,0114

Suma de cuadrados de los residuos 30081,4R2 0,998971Estadıstico de Durbin–Watson 1,00858Coef. de autocorr. de primer orden. 0,481818BG(1) 8,704344BG(4) 12,040592Hausman 11,7299

Y el siguiente grafico de residuos de la regresion:

86

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

resi

duo

Residuos de la regresión (= C observada − estimada)

7. Dados todos los resultados de la estimacion anterior, ¿que puedes decir sobre la validez de loscontrastes de significatividad mostrados?

PARTE 3:

A la vista del Resultado 1 el gerente reestima el modelo (2) obteniendo los siguientes outputs:

Resultado 2: estimaciones MC2E utilizando las 35 observaciones 1960–1994Variable dependiente: C

Instrumentos: W 1


const −202,33 38,7791 −5,2177 0,0000W 0,632776 0,0918106 6,8922 0,0000P 0,655223 0,0981252 6,6774 0,0000C 1 0,0998823 0,122778 0,8135 0,4159

Suma de cuadrados de los residuos 32872,3F (3, 31) 9176,48Estadıstico de Durbin–Watson 0,993249Coef. de autocorr. de primer orden. 0,475857

8. Dado el metodo de estimacion utilizado, completa:

β...... =

−1

87

9. ¿Por que ha utilizado el gerente dicho metodo de estimacion?

Se dispone ademas de los siguientes resultados:

Resultado 3: estimaciones MC2E utilizando las 35 observaciones 1960–1994Variable dependiente: CInstrumentos: W 1 P 1


const −207,24 38,3003 −5,4111 0,0000W 0,645366 0,0903268 7,1448 0,0000P 0,667815 0,0968543 6,8950 0,0000C 1 0,0819400 0,120362 0,6808 0,4960

Suma de cuadrados de los residuos 33491,7F (3, 31) 9006,56Estadıstico de Durbin–Watson 0,995420Coef. de autocorr. de primer orden. 0,473424

10. Explica que significa la indicacion:Instrumentos: W 1 P 1

11. Describe paso a paso el proceso llevado a cabo por el gerente para obtener estos resultados. ¿Enque se diferencia este estimador con el empleado en el Resultado 2?

12. De los tres resultados mostrados para el modelo (2), ¿con cual te quedarıas? Razona tu respuesta.

PROBLEMA LE 2008. 3 (Jun-2008. Evaluacion No Continua.Prueba practica.)

Las competencias a evaluar en esta prueba son:



3. Utilizar diversas fuentes estadısticas y adquirir destreza en el uso de un software econometrico paraanalizar relaciones entre variables economicas.


La muestra de datos necesaria para realizar esta prueba se encuentra en los archivos de muestra de Gretly corresponde a Ramanathan data8-2.gdt. En este fichero vas a encontrar la siguiente informacion:

88

Renta personal agregada y gasto en transporte urbano (1993) para los estados de EEUU.

EXPTRAV = Gasto en transporte en billones de dolares (Rango 0,708 - 42,48).

INCOME = Renta Personal en billones de dolares (Rango 9,3 - 683,5).

POP = Poblacion, en millones, (Rango 0,47 - 31,217).

1. Estima por MCO un modelo que relacione el gasto en transporte con la renta personal incluyendoun termino independiente. Completa:

1.a) El modelo que me han pedido que estime es:

1.b) Los resultados de la estimacion son:

exptravi

(desv(βMCO))

=( )

+( )

R2 = SCR = N =

i 1 2 3 4uMCO,i

1.c) Dibuja e interpreta los graficos:

- residuos MCO frente a la variable INCOME.

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 100 200 300 400 500 600 700

resi

duo

income

Residuos de la regresión (= exptrav observada − estimada)

- residuos MCO frente a la variable POP.

89

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30

uhat

1

pop

2. Supongamos que creemos que V ar(ui) = σ2POPi. Contrastalo:

2.a) Escribe la hipotesis nula, la alternativa y el estadıstico de contraste que vas a utilizar juntocon su distribucion. Indica claramente de donde salen cada uno de los elementos de este es-tadıstico.

2.b) Aplıcalo y completa: Valor muestral del estadıstico =

Valor crıtico para un nivel de significacion (α = 5 %) =

Aplicacion de la regla de decision:

2.c) A la vista del resultado del contraste anterior, ¿son las perturbaciones de modelo esfericas?Escribe la matriz de varianzas y covarianzas de la perturbacion.

2.d) Completa la siguiente expresion para el estimador eficiente de los coeficientes del modelopropuesto en 1.a) bajo el supuesto de que var(ui) = σ2POPi:

β... =

−1

3. Aplica el metodo de estimacion que has propuesto en el apartado anterior.

3.a) Escribe la funcion de regresion muestral que hayas obtenido.

3.b) Contrasta la significatividad de la variable renta.

4. Estima eficientemente los coeficientes del siguiente modelo:

EXPTRAVi = β1 + β2INCOMEi + ui ui ∼ (0, α1 + α2POP 2i + α3POP 3

i )

90

4.a) Resultados de la estimacion:

exptravi

(desv(β......))

=( )

+( )

V ar(ui) = + +

4.b) Contrasta la significatividad de la variable renta.

4.c) Explica la diferencia entre el contraste realizado en el apartado 3.b) y el realizado en el apar-tado 4.b).

PROBLEMA LE 2008. 4 (Sep-2008. Prueba escrita.)





Considera el siguiente modelo de regresion:

Yi = β1 + β2Xi + ui i = 1, . . . , N (1)

donde Xi es estocastica, ui ∼ N(0, σ2), E(uiuj) = 0 para i 6= j y donde E(Xiui) = 0, 9.

a) ¿Que problema existe en el modelo anterior? ¿Como podrıa detectarse? Explica en detalle el con-traste que propones y las consecuencias de rechazar o no la nula.

b) ¿Que consecuencias tiene en los contrastes de hipotesis sobre β1 y β2 la utilizacion del estimadorMCO y el de VI? Razona tu respuesta en cada caso.

Se dispone de una muestra de 500 observaciones que da lugar a las siguientes sumas de cua-drados y de productos cruzados10 :

10Fuente: Libro Undergraduate Econometrics. de Hill, Griffiths y Judge (2001).

91

1 Yi Xi Z1i

1 500 1530,17 14,48 -0,23Yi 7163,54 1551,83 448,79Xi 1037,57 451,24Z1i 509,40


YiXi = 1551, 83 y∑

Yi = 1530, 17.

c) Utilizando la informacion muestral dada, completa todos los elementos dentro de las matrices parala obtencion de las estimaciones de β1 y β2 por VI, considerando como unico instrumento a Z1:

βV I =

−1

=

3, 03

0, 996

y se ha obtenido la siguiente estimacion de la matriz de varianzas y covarianzas del anterior esti-mador VI de β1 y β2:

V ar(βV I) =[

0,00203608 -0,0000740,00254410

]

Completa la ecuacion del modelo estimado:

Yt

(desv(βV I))

=( )

...( )

d) ¿Bajo que condiciones es consistente el estimador VI del apartado anterior? ¿Es un estimadorasintoticamente eficiente? Razona tu respuesta.

e) Para realizar el contraste H0 : β1 = 3 β2 = 1:Escribe el estadıstico de contraste y su distribucion:Detalla cada uno de los elementos del estadıstico anterior:

Utilizando la siguiente informacion y el estimador del apartado c) realiza el contraste:

Conjunto de restricciones1: b[const] = 32: b[X] = 1

Valor muestral del estadıstico de contraste: chi^2(2) = 0,490224,con valor p = 0,782617.

.Se ha considerado un estimador alternativo al utilizado en c) obteniendose los siguientes resultadosen Gretl.

92

Modelo 2: estimaciones MC2E utilizando las 500 observaciones 1–500Variable dependiente: Y

Instrumentos: const Z1 Z2


const 3,03113 0,0445796 67,9936 0,0000X 1,00899 0,0448997 22,4721 0,0000

f) Explica paso a paso la obtencion de este estimador ¿Es mejor que el anterior? Razona.


Una agencia de viajes de Chicago quiere analizar si hay diferencias significativas entre las familias enla eleccion del destino de vacaciones, mas o menos alejados de su lugar de residencia, en funcion delnumero de hijos pequenos en la familia. Para ello dispone de una muestra de 200 familias de esta ciudadentrevistadas en el ano 2007 y se especifica el siguiente modelo11 :

Milesi = β1 + β2Incomei + β3agei + β4kidsi + ui i = 1, . . . , 200 (2)

donde Miles son las millas recorridas por una familia en las vacaciones de ese ano, Income es la rentafamiliar anual en miles de dolares, age es la edad media de los adultos en la familia y kids el numero dehijos menores de 16 anos existentes en la familia.

Una primera estimacion del modelo por MCO produce los siguientes resultados:

Milesi

(desv(βMCO))

= −391, 55(169,8)

+ 14, 201(1,80)

Incomei + 15, 741(3,757)

agei−81, 826(27,13)

kidsi (3)

R2 = 0, 340605 SCR = 40099000

Figura 13: Grafico de residuos MCO sobre la variable Income y sobre la variable Age

−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

20 40 60 80 100 120

resi

duo

Income

Residuos de la regresión (= Miles observada − estimada)

−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

25 30 35 40 45 50 55

resi

duo

age

Residuos de la regresión (= Miles observada − estimada)

11Los datos corresponden al fichero vacation.dat del libro Undergraduate Econometrics de Hill, Griffiths y Judge(2001).

93

a) ¿Que te sugieren los graficos? Comenta detalladamente cada uno de ellos.

b) Despues de agrupar las observaciones de todas las variables en dos grupos en funcion de un ordena-miento decreciente de la variable Income y estimar el modelo (2) anterior por MCO separadamentepara cada grupo, se obtienen las siguientes resultados:

Primera submuestra: Estimaciones MCO utilizando las 80 observaciones 1–80Variable dependiente: Miles


const −129,22 615,610 −0,2099 0,8343Income 13,1490 6,14562 2,1396 0,0356age 13,3666 7,59215 1,7606 0,0823kids −114,18 52,9888 −2,1549 0,0343

Suma de cuadrados de los residuos 2,42765e+07R2 0,116112

Segunda submuestra estimaciones MCO utilizando las 80 observaciones 121–200Variable dependiente: Miles



Suma de cuadrados de los residuos 7,04816e+06R2 0,308962

Realiza un contraste para verificar si lo que sugieren los graficos es estadısticamente significativo.Debes senalar claramente todos los elementos del contraste incluidas la hipotesis nula y la alterna-tiva.

c) Si el contraste realizado te diera que rechazas la hipotesis nula, ¿que cambiarıas de los resultadospresentados en (3) si no quisieras cambiar el metodo de estimacion de los coeficientes? ¿Por que ypara que lo harıas? Explica detalladamente.

Se ha utilizado un metodo alternativo de estimacion a MCO para mejorar en terminos de eficienciaen la estimacion de los coeficientes β. Utilizando el software Gretl se han obtenido los siguientesresultados:

Estimaciones MC.Ponderados utilizando las 200 observaciones 1–200Variable dependiente: Miles

Variable utilizada como ponderacion: 1Income




94

Suma de cuadrados de los residuos 580616,Desviacion tıpica de los residuos (σ) 54,4272R2 0,390722R2 corregido 0,381397F (3, 196) 41,8975

Estadısticos basados en los datos originales:

Media de la var. dependiente 1054,23D.T. de la variable dependiente 552,799Suma de cuadrados de los residuos 4,01134e+07Desviacion tıpica de los residuos (σ) 452,394

d) Completa las siguientes expresiones sobre el termino de perturbacion del modelo y el metodo deestimacion utilizado en la obtencion de estos resultados.

E(ui) = E(u2i ) = E(uiuj) =

E(uu′)︸︷︷︸(........× .......)

=

Criterio de estimacion:........ SCR =i=....∑

i=....

(Y ∗i − β1X

∗1i − β2X

∗2i − β3X

∗3i − β4X

∗4i)

2

Y ∗i = ...................; X∗

1i = .....................; X∗2i = ...................;

X∗3i = ...........................; X∗

4i = .............................;

β...... =

−1

e) Si tuvieras que contrastar H0 : β2 = 10 ¿Como lo harıas? Razona y explica tu respuesta.

95

PROBLEMA LE 2008. 6 (Sep-2008. Prueba practica.)






El fichero de datos llamado inv.gdt necesario para realizar esta prueba se encuentra en eKASI. En estefichero12 vas a encontrar informacion para los anos 1974 a 2003 de las siguientes variables:

I : Inversion real en billones de dolares (Rango 11,53 - 31,18).

GNP : Producto Nacional Bruto real en billones de dolares (Rango 8,58 - 33,86).

R : Tipo de interes (Rango 18,12 - 15,82).

1. Estima por MCO un modelo que relacione la Inversion real con el Producto Nacional Bruto real yel tipo de interes incluyendo un termino independiente. Completa:

1.a) El modelo que me han pedido que estime es:

1.b) Los resultados de la estimacion son:It

(desv(βMCO))

=( )

...( )

...( )

R2 = SCR = T =

t 2000 2001 2002 2003uMCO,t

1.c) Dibuja e interpreta los graficos:

- Serie temporal de los residuos MCO.

- Grafico de las series de Inversion observada y estimada.

12Fuente: Undergraduate Econometrics de Hill, Griffiths y Judge.

96

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

1975 1980 1985 1990 1995 2000

resi

duo

Residuos de la regresión (= I observada - estimada)

5

10

15

20

25

30

35

1975 1980 1985 1990 1995 2000

Inve

rsión

Inversión observada y estimada

estimadaactual

2. Se considera que ut puede seguir un proceso AR(p) o MA(p) con p hasta de orden 2. Realiza elcontraste oportuno.

2.a) Escribe la hipotesis nula, la alternativa y el estadıstico de contraste que vas a utilizar juntocon su distribucion bajo la hipotesis nula. Indica claramente de donde salen cada uno de loselementos de este estadıstico.

2.b) Aplıcalo y completa: Regresion auxiliar obtenida:

...... = ................................................................................................................................

R2 =Valor muestral del estadıstico =Valor crıtico para un nivel de significacion (α = 5 %)=Aplica la regla de decision:

2.c) A la vista de los resultados del contraste anterior, ¿son las perturbaciones de modelo esferi-cas? ¿Por que?

3. Considera el metodo de Hildreth-Lu bajo el supuesto de que ut sigue un proceso AR(1).

3.a) Completa las siguientes expresiones.

ut = + εt εt ∼ .......( , )

97

E(uu′)︸︷︷︸(........× .......)

=

Criterio de estimacion:........ SCR =t=....∑t=....

{(Y ∗t − β1X

∗1t − β2X

∗2t − β3X

∗3t}2

Y ∗t = ...........................; X∗

1t = .............................;

X∗2t = .........................; X∗

3t = .............................;

β...... =

−1

3.b) Dibuja el grafico de SCR, completa la funcion de regresion muestral obtenida, la estimacionde ρ y el valor mınimo de la funcion criterio.

ρ = valor mınimo de SCR =

..........(desv(βHL))

=( )

...( )

...( )

3.c) Contrasta la significatividad del tipo de interes.

4. Obten desviaciones tıpicas de los coeficientes estimados por MCO robustas a la posible existenciade autocorrelacion.

4.a) Escribe aquı los resultados de la estimacion:

It

(desvrobustas(βMCO))

=( )

...( )

...( )

¿Para que sirven? Explica detalladamente.

98

4.b) Contrasta la significatividad del tipo de interes.

4.c) Explica la diferencia entre el contraste realizado en el apartado 3.c) y el realizado en el apar-tado 4.b). ¿Cambia el resultado? ¿Con cual te quedarıas? Razona en detalle tu eleccion.





4. ... valorar adecuadamente los resultados obtenidos del analisis de un modelo econometrico.

Un estudiante pretende medir la relacion que existe entre inventarios y las ventas de la industria manu-facturera de EE.UU para el periodo de 1950 a 1991, ambos anos inclusive. Para ello dispone de datosanuales13 sobre las variables V ENTAS e INV ENTARIOS ambas medidas en millones de dolares. Seconsidera a la variable V ENTAS no estocastica.El estudiante propone la siguiente especificacion:

INV ENTARIOSt = β1 + β2V ENTASt + β3 time + ut t = 1, . . . , 42 (1)

La estimacion por MCO de la relacion anterior proporciona los siguientes resultados:

INV ENTARIOSt

( ˆdesv(βi))

= 433, 951(2774,17)

+ 1, 543(0,019)

V ENTASt + 158, 805(269,107)

time

R2 = 0, 9992 SCR = 2, 202257e + 09 DW = 1, 3755 BG(1) = 4, 061

junto con los graficos recogidos en la Figura 14:

1) Interpreta los dos graficos mostrados.

2) ¿Crees que la perturbacion del modelo puede presentar algun problema? Realiza el contraste ocontrastes que sean pertinentes. (No olvides escribir la hipotesis nula y alternativa ası como el es-tadıstico de contraste y distribucion asociada para todos aquellos contrastes que decidas realizar).

3) ¿Por que crees que el estudiante ha introducido la variable tendencia (time) como regresor en elmodelo?

13Fuente: Ramanathan, Ramu (2002):Introductory Econometrics with Applications, Conjunto de datos Gujarati,fichero Table12.9.gdt.

99

Figura 14:

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

INV

EN

TA

RIO

S

INVENTARIOS observada y estimada

estimadaobservada

−15000

−10000

−5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

resi

duo

Residuos de la regresión (= INVENTARIOS observada − estimada)

• El estudiante preocupado por los resultados obtenidos en la estimacion de la especificacion anteriordecide probar una metodo de estimacion alternativo cuyos resultados son los siguientes:

Realizando el calculo iterativo de rho...

ITERACION RHO SCR1 0,31149 1,9874e+0092 0,31600 1,98735e+009

final 0,31616

Estimaciones Cochrane–Orcutt utilizando las 41 observaciones 1951–1991Variable dependiente: INVENTARIOS

ρ = 0,316161

Coeficiente Desv. tıpica estadıstico t valor p

const 34,3714 4413,71 0,0078 0,9938VENTAS 1,53759 0,0289188 53,1693 0,0000time 229,763 410,642 0,5595 0,5791


Suma de cuadrados de los residuos 1,98735e+09Desviacion tıpica de la regresion (σ) 7231,79R2 corregido 0,999222F (2, 38) 12476,9Estadıstico de Durbin–Watson 2,05018Coef. de autocorr. de primer orden. −0,0275288

4) Ayuda al estudiante a decidir entre las dos estimaciones de la especificacion (1). ¿Cual de las doselegirıas y por que? Razona detalladamente tu respuesta en base a las propiedades de los estima-dores y la inferencia realizada en el apartado 2).

100

• El estudiante considera ahora la inclusion de la variable INV ENTARIOSt−1 en el modelo y estimala siguiente ecuacion:

INV ENTARIOSt = β1 + β2V ENTASt + β3 time + β4INV ENTARIOSt−1 + ut t = 2, . . . , 42 (2)

donde ut es una variable aleatoria con distribucion normal. Los resultados de la estimacion de la ecuacion(2) son los siguientes:

Estimaciones MCO utilizando las 41 observaciones 1951–1991Variable dependiente: INVENTARIOS


const −156,95 2750,01 −0,0571 0,9548VENTAS 1,24389 0,0950961 13,0803 0,0000time 320,931 265,446 1,2090 0,2343INVENTARIOS 1 0,193747 0,0602567 3,2154 0,0027

Suma de cuadrados de los residuos 1,72144e+09Desviacion tıpica de la regresion (σ) 6820,94R2 corregido 0,999308F (3, 37) 19248,1Estadıstico de Durbin–Watson 1,59811Coef. de autocorr. de primer orden. 0,172087BG(1) 1,285206

5) Escribe la matriz de regresores del modelo que se ha estimado.

6) Contrasta la existencia de un proceso autorregresivo de orden uno en la perturbacion. Escribe lahipotesis nula y la alternativa, el estadıstico de contraste y su distribucion indicando como seobtienen cada uno de sus elementos.

7) ¿Deberıa el estudiante estimar la especificacion (2) con el estimador de variables instrumentalesutilizando como instrumento para la variable INV ENTARIOSt−1 a la variable V ENTASt−1?Razona tu respuesta.

8) ¿Que puedes decir sobre la significatividad de la variable ventas?

9) ¿Cual de las dos especificaciones alternativas consideradas en las ecuaciones (1) y (2) elegirıastu para estudiar la evolucion de la variable INV ENTARIOS? ¿Como estimarıas la especificacionelegida?



Yi = β1 + β2Xi + ui i = 1, . . . , 51 (3)

donde Xi es no estocastica, E(ui) = 0 ∀i, E(u2i ) = σ2Zi ∀i y E(uiuj) = 0 i 6= j

101

1. Escribe la matriz de varianzas y covarianzas del vector de perturbaciones:

2. Escribe la ecuacion del correspondiente modelo transformado con perturbaciones esfericas. De-muestra que sus perturbaciones son homocedasticas.

3. Completa la expresion del criterio de estimacion utilizado en el apartado anterior:

minβ

51∑

i=1

. . . . . . (Yi − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .)2

4. Estima los coeficientes del modelo con la siguiente informacion muestral utilizando el estimadoreficiente:

∑(X2

i /Zi) = 196420, 998∑

(Xi/Zi) = 1608, 337∑

(1/Zi) = 34, 738∑(Y 2

i /Zi) = 4168, 919∑

(YiXi/Zi) = 28484, 578∑

(Yi/Zi) = 236, 139





4. Valorar adecuadamente los resultados obtenidos del analisis de un modelo econometrico.

Una consultora quiere analizar la Inversion en vivienda (INV) en un determinado paıs en funcion del tipode interes (I) y del Producto Interior Bruto (PIB). Para ello se dispone de datos trimestrales correspon-dientes al periodo 1963-1985. Los resultados de la estimacion son los siguientes:

INV t

(desv)

= −5, 3174(3,128)

+ 1, 864(0,469)

PIBt − 0, 890(0,295)

It (1)

El analista de la empresa, tras observar los residuos, sospecha que la varianza de las perturbaciones alprincipio de la muestra es menor que para las correspondientes al final de la muestra. Por ello proponedos posibles especificaciones:

V ar(ut) = δ t2 δ > 0 (2)V ar(ut) = γ1 + γ2Dt γ1, γ2 > 0 (3)

donde la variable t = 1, 2, 3 . . . y la variable ficticia Dt toma valor uno para las observaciones comprendidasen el periodo 1963-1975 y cero en caso contrario.

102

1. 1.a) ¿Que recogen las ecuaciones (2) y (3)? ¿Cual recoge mejor la sospecha del analista?

1.b) Completa la matriz de varianzas y covarianzas de la perturbacion asociada a cada una de laspropuestas, donde E(utus) = 0 para todo t 6= s.

E(uu′)(2) = Σ(2) =

E(uu′)(3) = Σ(3) =

El analista se decide por una de las dos especificaciones para la matriz de varianzas y covarianzasde las perturbaciones, elige un metodo de estimacion y obtiene los siguientes resultados

Modelo: estimaciones M.C.Ponderados utilizando las observaciones 1963:1–1985:4Variable dependiente: INV

Variable utilizada como ponderacion: 1/t2


const −9,3955 3,83947 −2,4471 0,0443PIB 2,42845 0,511158 4,7509 0,0021I −1,0789 0,182560 −5,9103 0,0006

3. ¿Que criterio de estimacion ha utilizado el analista? ¿Por que? Especifica las hipotesis necesarias so-bre la perturbacion para que la ponderacion empleada sea la adecuada. Demuestra tus afirmaciones.

4. Completa las matrices correspondientes a la formula del estimador empleado.

β.......... =

−1

103

5. Si la especificacion adecuada para la varianza fuese la recogida en la ecuacion (3):

5.a) ¿que consecuencias tendrıa sobre las propiedades del estimador de Mınimos Cuadrados Pon-derados mostradas? Demuestra tus afirmaciones.

5.b) En ese caso, ¿como estimarıas los coeficientes del modelo si desconoces los parametros γ1 yγ2? ¿Porque?


Un estudiante esta realizando su proyecto de fin de carrera sobre la demanda de pescado en el FultonFish Market, un mercado localizado en Nueva York y que opera desde hace 150 anos. Para ello disponede una muestra de 111 observaciones de datos diarios, desde el 2 de diciembre de 1991 al 8 de mayo de1992, sobre las siguientes variables:

lquan = Cantidad de merluza vendida en libras (en logaritmos)lprice = Precio de merluza por libra (en logaritmos)

mon =1 en lunes 0 en otro casotue =1 en martes 0 en otro casowed =1 en miercoles 0 en otro casothu =1 en jueves 0 en otro casostormy =1 si ese dıa hizo mucho viento y oleaje,

=0 en otro caso

La especificacion para la ecuacion de demanda es la siguiente:

lquant = β1 + β2lpricet + β3mont + β4tuet + β5wedt + β6thut + ut

y los resultados de la estimacion por MCO se muestran a continuacion:

Ecuacion de demanda: estimaciones MCOVariable dependiente: lquan


const 8,60689 0,143043 60,1698 0,0000lprice −0,562550 0,168213 −3,3443 0,0011mon 0,0143165 0,202647 0,0706 0,9438tue −0,516242 0,197690 −2,6114 0,0103wed −0,555373 0,202319 −2,7450 0,0071thu 0,0816213 0,197817 0,4126 0,6807

Suma de cuadrados de los residuos 47,1672R2 0,220486

El estudiante en su proyecto se cuestiona si, al ser un modelo en el que el precio y la cantidad sedeterminan conjuntamente en equilibrio entre oferta y demanda, la variable lprice pueda ser endogena,y estar correlacionada con el error de la ecuacion. Por ello realiza la siguiente estimacion:

104

Ecuacion de demanda: estimaciones MC2EVariable dependiente: lquan

Instrumentos: stormy


const 8,50591 0,166167 51,1890 0,0000lprice −1,1194 0,428645 −2,6115 0,0090mon −0,0254022 0,214774 −0,1183 0,9059tue −0,530769 0,208000 −2,5518 0,0107wed −0,566351 0,212755 −2,6620 0,0078thu 0,109267 0,208787 0,5233 0,6007

1. Explica en detalle como se han obtenido las estimaciones MC2E mostradas. Escribe de forma ex-plıcita cada una de las matrices que intervienen en la expresion del estimador.

2. Escribe y explica las condiciones tanto para poder obtener el estimador MC2E como para que estesea consistente.

3. Contrasta la sospecha del estudiante. Escribe la hipotesis nula, la alternativa, el estadıstico decontraste y su distribucion bajo la hipotesis nula.

4. A la luz del resultado del contraste, ¿Que estimador elegirıas? Razona tu respuesta en terminos delas propiedades de los estimadores.

5. Contrasta la hipotesis nula de que una variacion porcentual unitaria en el precio de la merluza setraduce en una variacion porcentual unitaria en la cantidad demandada de merluza en ese mercado.

PROBLEMA LE 2009. 5 (Jun-2009. Evaluacion No Continua.Prueba practica.)




3. Adquirir destreza en el uso de un software econometrico para analizar relaciones entre variableseconomicas.


PARTE 1El fichero de datos necesario para la realizacion de esta prueba se encuentra en los archivos de muestra

105

de Gretl y corresponde a Gujarati Table12-9.gdt. Son datos del periodo 1950 a 1991 de las siguientesvariables:

SALES = Ventas de la industria manufacturera en EE.UU, en millones de dolares.

INVENTS = Inventarios de la industria manufacturera en EE.UU, en millones de dolares.

1. Estima por MCO el siguiente modelo y completa utilizando los resultados obtenidos con Gretl:

INV ENTSt

(desv(βMCO))

=( )

+( )

SALESt

R2 = SCR = T =

DW = cov(β1, β2) =

Coeficiente de correlacion entre INV ENTS y SALES =

Ano t 1950 1951 1952

Residuo ut

2. Se considera que ut puede seguir un proceso AR(p) o MA(p) con p hasta de orden dos. Realiza elcontraste de Breusch-Godfrey.

2.a) Escribe la hipotesis nula y la alternativa del contraste.

2.b) Aplica el contraste y completa:Regresion auxiliar obtenida:

...... = ..............................................................................................

R2 =Estadıstico y distribucion bajo la hipotesis nula:Valor muestral del estadıstico =Aplica la regla de decision para un nivel de significacion (α = 5 %)

2.a) Escribe la hipotesis nula y la alternativa del contraste..

2.b) Aplica el contraste y completa:Regresion auxiliar obtenida:Estadıstico y distribucion bajo la hipotesis nula:

Valor muestral del estadıstico:

Aplica la regla de decision para un nivel de significacion (α = 5 %)

3. Estima de nuevo los coeficientes del modelo por MCO pero obten desviaciones tıpicas de los coefi-cientes estimados robustas a la posible existencia de autocorrelacion.

It

(desv..........(βMCO))

=( )

...( )

SALESt

106

¿Para que sirven las desviaciones tıpicas ası obtenidas? ¿Cuando son de utilidad? Explica detalla-damente.

4. Contrasta la hipotesis conjunta de que en media si las ventas son cero no hay inventarios y de queun aumento en el nivel de ventas de un millon de dolares aumentarıa los inventarios en 2 millonesy medio de dolares. Escribe la hipotesis nula, la alternativa, el estadıstico de contraste y su distri-bucion bajo la nula.

Conjunto de restricciones1: b[const] = 02: b[SALES] = 2,5

Estadıstico de contraste: F robusto(2, 40) = 9272,21, con valor p= 4,55217e-054Estimaciones restringidas:

coeficiente desv. tıpica estadıstico t valor p----------------------------------------------------------------const 1,48945E-010 0,000000 NA NASALES 2,50000 0,000000 NA NA

Desviacion tıpica de la regresion = 243430

5. Considera el metodo de Cochrane-Orcutt bajo el supuesto de que ut sigue un proceso AR(1).Completa la funcion de regresion muestral obtenida, la estimacion de ρ y el valor mınimo de lafuncion criterio. Explica en detalle como se han obtenido las estimaciones.

ρ = valor mınimo de SCR =

PARTE 2El estudiante preocupado por los resultados obtenidos en la estimacion de la especificacion anterior decideprobar con otras especificaciones alternativas.

• ESPECIFICACION A:El estudiante considera la inclusion de la variable time = 1, 2, . . . , 42 en el modelo y estima la siguienteecuacion:

INV ENTSt = β1 + β2SALESt + β3 time + ut t = 1, . . . , 42

y realiza las siguientes estimaciones:

Estimacion 1 de la ESPECIFICACION A:

Modelo A: estimaciones MCO utilizando las 42 observaciones 1950–1991Variable dependiente: INVENTS

107


const 433,951 2774,17 0,1564 0,8765SALES 1,54340 0,0198097 77,9117 0,0000time 158,805 269,107 0,5901 0,5585

Suma de cuadrados de los residuos 2,20257e+09R2 0,999200R2 corregido 0,999159F (2, 39) 24356,1Estadıstico de Durbin–Watson 1,37559Coef. de autocorr. de primer orden. 0,311486

Modelo A: estimaciones MCO utilizando las 42 observaciones 1950–1991Variable dependiente: INVENTS

Desviaciones tıpicas robustas a autocorrelacion


const 433,951 1143,38 0,3795 0,7064SALES 1,54340 0,0136139 113,3700 0,0000time 158,805 169,225 0,9384 0,3538

Suma de cuadrados de los residuos 2,20257e+09R2 0,999200R2 corregido 0,999159F (2, 39) 18497,7Estadıstico de Durbin–Watson 1,37559Coef. de autocorr. de primer orden. 0,311486

1. ¿Por que crees que el estudiante ha introducido la variable tendencia (time) como regresor en elmodelo? ¿Es relevante incluirla? ¿Por que crees que se obtiene ese resultado? Obten y utiliza losgraficos y contrastes que consideres oportunos. Razona tu respuesta.

Estimacion 2 de la ESPECIFICACION A:

Realizando el calculo iterativo de rho...

ITERACION RHO SCR1 0,31149 1,9874e+0092 0,31600 1,98735e+009

final 0,31616

Modelo A: estimaciones Cochrane–Orcutt utilizando las 41 observaciones 1951–1991Variable dependiente: INVENTS

ρ = 0,316161


const 34,3714 4413,71 0,0078 0,9938SALES 1,53759 0,0289188 53,1693 0,0000time 229,763 410,642 0,5595 0,5791

108


Suma de cuadrados de los residuos 1,98735e+09R2 0,999261R2 corregido 0,999222F (2, 38) 12476,9Estadıstico de Durbin–Watson 2,05018Coef. de autocorr. de primer orden. −0,0275288

2. Ayuda al estudiante a decidir sobre la fiabilidad de los distintos resultados de estimacionmostrados de la especificacion A. Razona tu respuesta en base a la informacion proporcionada.

•ESPECIFICACION B: El estudiante considera la inclusion de las variables tiempo, time, e INV ENTSt−1

en el modelo y estima la siguiente ecuacion:

INV ENTSt = β1 + β2SALESt + β3 time + β4INV ENTSt−1 + ut t = 2, . . . , 42

obteniendo los siguientes resultados:

• Estimacion de la ESPECIFICACION B:

Modelo B: estimaciones MCO utilizando las 41 observaciones 1951–1991Variable dependiente: INVENTS


const −156,95 2750,01 −0,0571 0,9548SALES 1,24389 0,0950961 13,0803 0,0000time 320,931 265,446 1,2090 0,2343INVENTS 1 0,193747 0,0602567 3,2154 0,0027

Suma de cuadrados de los residuos 1,72144e+09R2 0,999360R2 corregido 0,999308F (3, 37) 19248,1Estadıstico de Durbin–Watson 1,59811Coef. de autocorr. de primer orden. 0,172087BG(1) 1,285206

3. Escribe la matriz de regresores del modelo estimado.

• ESPECIFICACION C: Finalmente el estudiante considera

INV ENTSt = β1 + β2SALESt + β3SALESt−1 + ut t = 2, . . . , 42

4. Estima esta especificacion por MCO y completa utilizando los resultados obtenidos con Gretl:

INV ENTSt

(desv(βMCO))

=( )

+( )

SALESt +( )

SALESt−1

R2 = DW = T =

109

5. Contrasta la significatividad de la variable SALES en aquella especificacion A, B o C que consi-deres mas adecuada. Justifica tu eleccion de la especificacion y resultados para la realizacion delcontraste, utilizando toda la informacion proporcionada y obtenida. As u vez, explica todos loselementos del contraste.






Un investigador dispone de una base de datos anuales14, para el perıodo de 1948 a 1993, de los siguientesındices agrarios de EEUU, todos ellos con base 1982:

output = produccion agrıcola (Rango 51 - 116)labor = mano de obra agrıcola (Rango 81 - 278)land = superficie utilizada en la produccion agrıcola (Rango 89 - 102)machines = maquinaria (duradera) (Rango 38 - 102)

El objetivo del investigador es determinar la funcion de produccion agraria, para ello especifica el siguientemodelo de regresion lineal:

outputt = β1 + β2labort + β3landt + β4machinest + ut t = 1, . . . , T (1)

en el que se considera que los regresores son no estocasticos. Los resultados obtenidos de la estimacionMCO son los que se muestran a continuacion:

outputt(desv)

= 181, 201(40,194)

− 0, 307(0,038)

labort − 0, 517(0,564)

landt − 0, 096(0,169)

machinest

R2 = 0, 884 DW = 0, 612 SCR = 1885, 08 T = 46

14Fuente: Ramanathan, Ramu (2002): Introductory Econometrics with Applications, data 9-5.gdt

110

−15

−10

−5

0

5

10

15

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

resid

uo

Residuos de la regresión (= output observada − estimada)

40

50

60

70

80

90

100

110

120

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

outp

ut

output observada y estimada

estimadaobservada

1. Explica como se han calculado los residuos y para que sirven los graficos. Interpreta ambos graficosy senala si existe alguna evidencia de que la perturbacion del modelo no cumpla alguna de lashipotesis basicas, justificando tu respuesta.

2. Realiza algun contraste basandote en la informacion disponible, para cualquier problema detectadoen el apartado anterior. Explica detalladamente todos los elementos que intervengan.

3. Con respecto a los contrastes de significatividad individual de las variables explicativas del modelo(1):

3.a ¿Es fiable realizarlos utilizando la informacion disponible? ¿Por que?

3.b ¿Serıa posible llevarlos a cabo si no tuviesemos otra opcion que la de estimar los coeficientesdel modelo por MCO? Explica como lo harıas en caso afirmativo.

Viendo los resultados obtenidos el investigador decide estimar el mismo modelo por el metodo de Cochrane-Orcutt (CO). A continuacion se muestran los resultados obtenidos:

Estimaciones Cochrane–Orcutt utilizando las 45 observaciones 1949–1993Variable dependiente: output

ρ = 0.791585

Coeficiente Desv. Tıpica Estadıstico t Valor p

const 54.3902 30.3065 1.7947 0.0801labor −0.404683 0.0649742 −6.2284 0.0000land 1.07276 0.374129 2.8673 0.0065machines −0.287436 0.200003 −1.4372 0.1583


R2 0.957590 R2 corregido 0.954487F (3, 41) 12.99460 Valor p (de F ) 4.18e–06ρ −0.184791 Durbin–Watson 2.339505

V ar(βCO) =

918, 486 0, 175515 −9, 59451 −0, 062930, 175515 0, 00422165 −0, 00963229 0, 00270274−9, 59451 −0, 00963229 0, 139972 −0, 034905−0, 06293 0, 00270274 −0, 034905 0, 0400013

111

4. ¿Cuando estas dispuesto a aplicar este metodo de estimacion? En particular, ¿consideras adecuadoutilizar este metodo en las circunstancias actuales? Responde razonadamente.

5. Describe detalladamente como obtener las estimaciones de los coeficientes del modelo (1) utilizandoel metodo del apartado anterior.

6. Con la informacion disponible, realiza el siguiente contraste H0 : β2 = β3. Escribe la hipotesis nula,la alternativa, el estadıstico de contraste junto con su distribucion y realiza el contraste. ¿Comointerpretas el resultado?

A continuacion el investigador introduce un retardo de la variable endogena como variable explicativa enel modelo inicial, con la pretension de recoger la influencia de la produccion agrıcola del ano anterior:

outputt = β1 + β2labort + β3landt + β4machinest + β5outputt−1 + vt t = 2, . . . , T (2)

Estimado el modelo por MCO se obtienen los siguientes resultados:

Estimaciones MCO utilizando las 45 observaciones 1949–1993Variable dependiente: output


const −26.6869 33.4166 −0.7986 0.4292labor −0.0868185 0.0356710 −2.4339 0.0195land 0.669440 0.364984 1.8342 0.0741machines −0.171581 0.101356 −1.6929 0.0983output 1 0.853551 0.0979678 8.7126 0.0000

R2 0.959224 R2 corregido 0.955146F (4, 40) 235.2394 Valor p (de F ) 3.26e–27ρ −0.299970 h de Durbin −2.617899BG(1) 6,199 Valor p (de BG(1)) 0.0128

7. Utilizando esta informacion, explica detalladamente la validez del siguiente estadıstico de contraste

β5,MCO − 0

desv(β5,MCO)H0,d−→ N(0, 1)

para argumentar a favor de incluir en el modelo el retardo de la variable endogena como variableexplicativa.

Alternativamente se ha obtenido la siguiente estimacion consistente y asintoticamente eficiente de los

112

coeficientes del modelo (2):

outputt − ρ outputt−1︸︷︷︸Q∗t

= −27, 47 (1− ρ)︸︷︷︸X∗

t

− 0, 058(0,028)

(labort − ρ labort−1)︸︷︷︸LB∗t

+ 0, 546(0,304)

(landt − ρ landt−1)︸︷︷︸LN∗

t

− 0, 130(0,081)

(machinest − ρ machinest−1)︸︷︷︸MA∗t

+ 0, 925(0,076)

(outputt−1 − ρ outputt−2)︸︷︷︸Q∗t−1

+εt (3)

R2 = 0, 976 DW = 2, 30

siendo εt es un ruido blanco tal que εt = vt − ρvt−1 y vt son las perturbaciones del modelo (2).

8. Completa y/o realiza lo siguiente:

a) εt ∼ . . . . . . ( , )

b) ¿Cual es el metodo de estimacion que se ha utilizado?

c) Escribe la expresion matricial del estimador utilizado:

−27, 47

−0, 058

0, 546

−0, 130

0, 925

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−1

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

−27, 47

−0, 058

0, 546

−0, 130

0, 925

=

∑T3 X∗2

t

∑T3 X∗

t LB∗t

∑T3 X∗

t LN∗t

∑T3 X∗

t MA∗t∑T

3 X∗t Q∗t−1

∑T3 LB∗2

t

∑T3 LB∗

t LN∗t

∑T3 LB∗

t MA∗t∑T

3 LB∗t Q∗t−1

∑T3 LN∗2

t

∑T3 LN∗

t MA∗t∑T

3 LN∗t Q∗

t−1

∑T3 MA∗2t

∑T3 MA∗t Q

∗t−1

∑T3 Q∗2t−1

−1

∑T3 Q∗t X

∗t

∑T3 Q∗t LB∗

t

∑T3 Q∗t LN∗

t

∑T3 Q∗t MA∗t

∑T3 Q∗t Q

∗t−1

d) ¿Cual es el estimador consistente de ρ empleado? Describe todos los elementos y las condicionesque te garantizan la consistencia del parametro ρ estimado.

9. Utilizando la informacion contenida en la ecuacion (3), explica detalladamente la validez del si-guiente estadıstico de contraste

β5 − 0

des(β5)H0,d−→ N(0, 1)

113

para argumentar a favor de incluir en el modelo el retardo de la variable endogena como variableexplicativa. Finalmente, ¿incluirıas dicha variable en el modelo?

10. ¿Cual es el estimador optimo, dada toda la informacion de que dispones, para los parametros dela ecuacion (2)? Razona tu respuesta detalladamente en relacion a todas las alternativas posibles.

PROBLEMA LE 2009. 7 (Sep-2009. Prueba practica.)






El fichero de datos necesario para la realizacion de esta prueba se encuentra en el fichero earnings.gdtque se encuentra en la web eKasi. Los datos corresponden a 540 individuos y contienen informacion sobreeducacion, trabajo, ingresos y otras caracterısticas personales. En particular, se dispone de las variablessiguientes:

EARN = Ingresos por hora trabajada, en dolares.

FEM = 1 si el individuo es mujer, 0 si es hombre.

S = Anos de escolarizacion.

EX = Experiencia laboral, en anos.

H = Numero de horas trabajadas, por semana.

1. Estima por MCO el siguiente modelo para los ingresos, completando la estimacion con la salidaque se obtiene de Gretl:

EARNi = β1 + β2FEMi + β3Si + β4EXi + β5Hi + ui

EARNi

(desv(βMCO))

=( )

...( )

FEMi ...( )

Si

...( )

EXi ...( )

Hi (1)

R2 = SCR = cov(β2, β3) =

114

EARNi uiEARNi

i = 1

i = 2

i = 3

2. Dibuja y comenta los graficos de residuos siguientes:

a) Residuos (ui) frente a EXi Comentario

b) Residuos (ui) frente a Si Comentario

c) Residuos al cuadrado (u2i ) frente a Si Comentario

3. Realiza el contraste de Goldfeld y Quandt para el supuesto de que V ar(ui) = f(Si), siendo f()una funcion creciente. Para ello, selecciona, por un lado, los valores de Si estrictamente menoresa 13 y, por otro, los valores de Si estrictamente mayores a 14 y rellena los espacios en blanco acontinuacion:

a) Regresion auxiliar estimada (Si < 13):

b) Regresion auxiliar estimada (Si > 14):

c) Hipotesis nula y alternativa:

d) Estadıstico de contraste y distribucion bajo la hipotesis nula:

e) Valor muestral del estadıstico y resultado del contraste, con indicacion del nivel de significa-cion:

f ) Comenta el resultado del contraste y razona sobre las consecuencias que tiene sobre el esti-mador empleado en (1).

115

En adelante usa todas las 540 observaciones disponibles.

4. Obten la estimacion MCO con desviaciones tıpicas robustas al problema planteado. Completa laexpresion del estimador de White:

V ar(βMCO)...... = ...............................................

Completa la ecuacion estimada:

EARNi

(desv......)

=( )

...( )

FEMi ...( )

Si

...( )

EXi ...( )

Hi

5. Si se considera que E(ui)2 = aS2i siendo a una constante (a > 0).

a) Explica detalladamente como se calcula el estimador eficiente de los coeficientes β1, ..., β5 delmodelo (1).

b) Completa el criterio de estimacion:

mınβ

...∑

...

...... (EARNi − .......................................................................................)2

c) Obten los datos ponderados correspondientes a las variables del modelo (1) correspondientesal estimador del apartado 5a) anterior.

Variables

i = 1

i = 2

i = 540

d) Estima el modelo propuesto dado el criterio anterior y escribe los resultados:

EARNi

(desv(β.....))

=( )

...( )

FEMi ...( )

Si

...( )

EXi ...( )

Hi

116

6. Dado el siguiente modelo estimado:

Estimaciones MC.Ponderados utilizando las 540 observaciones 1–540Variable dependiente: EARN

Variable utilizada como ponderacion: S2


const −13.3666 6.01825 −2.2210 0.0268FEM −8.47252 1.31630 −6.4366 0.0000S 2.75142 0.256027 10.7466 0.0000EX 0.399447 0.164085 2.4344 0.0152H −0.174695 0.0715119 −2.4429 0.0149


Suma de cuad. residuos 21920498 D.T. de la regresion 202.4176R2 0.244486 F (4, 535) 43.28177

¿Te parece adecuada la ponderacion utilizada? ¿Que puedes decir acerca de la fiabilidad de losresultados? ¿Y la de los estadısticos de contraste mostrados? Razona.

7. Se han obtenido los siguientes resultados de estimacion:

Estimaciones MC.Ponderados utilizando las 540 observaciones 1–540Variable dependiente: EARN

Variable utilizada como ponderacion:1σ2

i


const −12.4753 3.91126 −3.1896 0.0015FEM −5.88712 1.05219 −5.5951 0.0000S 2.16409 0.186623 11.5961 0.0000EX 0.379889 0.109066 3.4831 0.0005H −0.0219005 0.0561073 −0.3903 0.6964

Donde

σ2i = − (0,81621)

(1.36103)− (0,19953)

(0.693963)FEMALEi + (0,040627)

(0.252441)Si + (0,024420)

(0.0771288)EXPi

¿Que metodo de estimacion se esta utilizando? ¿Cual es la diferencia con respecto al utilizado enel apartado 5)? Describe paso a paso el proceso para obtener las estimaciones.

8. Si tuvieras que escoger entre las alternativas de estimacion empleadas para estimar el modelo (1),¿cual escogerıas? Razona tu respuesta.

9. Contrasta la hipotesis de que los anos de experiencia es una variable determinante para los ingresos.¿Ocurre lo mismo con el numero de horas semanales trabajadas?

117






Un estudiante pretende estudiar los determinantes de consumo de gasolina en U.S. Para ello dispone deobservaciones anuales en el perıodo de 1960 a 1995 sobre las siguientes variables15:

G: Consumo de gasolina total, en U.S., gasto total dividido por su ındice de precios.Pg: Indice de precios de la gasolina.R: Renta disponible, per capita.Ps: Indice de precios agregado del consumo de servicios.

Se considera a las variables Pg, R y Ps no estocasticas. El estudiante propone la siguiente especificacion:

Gt = β1 + β2Pgt + β3Rt + β4Pst + β5Gt−1 + ut t = 2, . . . , 36 (1)

La estimacion por MCO de la relacion anterior proporciona los siguientes resultados:

Estimacion MCO, usando las observaciones 1961–1995 (T = 35)Variable dependiente: G


const −74,0572 14,2697 −5,1898 0,0000Pg −10,4532 1,60320 −6,5202 0,0000R 0,0288099 0,00417302 6,9039 0,0000Ps −13,6499 6,27697 −2,1746 0,0377G 1 0,314807 0,0968464 3,2506 0,0028

Suma de cuad. residuos 699,5137 ρ 0,344683R2 0,991259 R2 corregido 0,990093F (4, 30) 850,5202 Valor p (de F ) 2,11e–30Durbin-Watson 0,8345 Breusch-Godfrey, BG(1) 4,34118

Ademas se dispone del siguiente grafico:

1. Interpreta el grafico mostrado.

2. ¿Crees que la perturbacion del modelo puede presentar algun problema? Realiza el contraste ocontrastes que sean pertinentes especificando todos sus elementos.

15Fuente: Greene, W. H. (1999): Analisis Econometrico, ed. Prentice Hall. Conjunto de datos incluido en gretl,carpeta Greene, fichero greene7-8.gdt.

118

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

resi

duo

Residuos de la regresión (= G observada − estimada)

3. ¿Por que es no lineal el estimador utilizado?

4. Explica razonadamente si E(Gt−1ut) es cero o distinto de cero.

5. ¿Que puedes decir de la consistencia del estimador empleado? ¿como es plim βMCO?

Despues de analizar los resultados anteriores el estudiante decide reestimar el modelo (1) por unmetodo alternativo. Sus resultados son los siguientes:

Estimacion MC2E, usando las observaciones 1961–1995 (T = 35)Variable dependiente: G

Instrumentos: const Pg Pg 1 R R 1 Ps Ps 1


const −96,9409 17,3909 −5,5742 0,0000Pg −11,4022 1,75011 −6,5151 0,0000R 0,0370230 0,00537234 6,8914 0,0000Ps −20,8719 7,21264 −2,8938 0,0038G 1 0,112566 0,127079 0,8858 0,3757

R2 0,989989 R2 corregido 0,988654F (4, 30) 740,4683 Valor p (de F ) 1,65e–29ρ 0,490485 Durbin–Watson 0,997536

Contraste de Hausman 6,0594

6. ¿Que metodo de estimacion esta utilizando el estudiante? ¿Que quiere decir “Instrumentos: constPg Pg 1 R R 1 Ps Ps 1”? Razona si los instrumentos son adecuados.

7. ¿Como se han obtenido las estimaciones?

Alternativamente se ha obtenido la siguiente estimacion:

Gt − ρ Gt−1︸︷︷︸G∗t

= −87, 41 (1− ρ)︸︷︷︸X∗

t

− 12, 51(2,227)

(Pgt − ρ Pgt−1)︸︷︷︸Pg∗t

+ 0, 034(0,004)

(Rt − ρ Rt−1)︸︷︷︸R∗t

− 13, 92(10,139)

(Pst − ρ P st−1)︸︷︷︸Ps∗t

+ 0, 175(0,103)

(Gt−1 − ρ Gt−2)︸︷︷︸G∗t−1

+εt (2)

R2 = 0, 968 DW = 2, 30

119

con εt ruido blanco tal que εt = ut − ρut−1 y ut son las perturbaciones del modelo (1).

8. Completa y/o realiza lo siguiente:

a) εt ∼ . . . . . . ( , )

b) ¿Cual es el metodo de estimacion que se ha utilizado en (2) para que el estimador de β sea consis-tente y asintoticamente eficiente? Razona tu respuesta.

9. Utilizando la informacion contenida en la ecuacion (2), explica detalladamente la validez del si-guiente estadıstico de contraste

β5 − 0

des(β5)H0,d−→ N(0, 1)

para argumentar a favor de incluir en el modelo el retardo de la variable endogena como variableexplicativa. Finalmente, ¿incluirıas dicha variable en el modelo?


Se quiere analizar la evolucion de los salarios anuales de los profesores, SALARY en funcion de suantiguedad como doctores, Y EARS. Para ello se dispone de una muestra para el ano 1995 correspondientea 222 profesores de siete universidades de EE.UU y se especifica el siguiente modelo16:

SALARYi = β1 + β2Y EARSi + ui i = 1, . . . , 222 (3)

Una primera estimacion del modelo por MCO proporciona los siguientes resultados:

SALARY i

desv(βi,MCO)desv(βi,MCO)White

= 52, 2375(2, 3728)(1, 6376)

+ 1, 4911(0, 1135)(0, 0958)

Y EARSi R2 = 0, 4393 (4)

u2i

u′uN

= 0, 395 + 0, 03335 Y EARSi + εi SCE = 27, 98 (5)

Junto con el grafico de residuos MCO frente a la variable Y EARS (Figura 15).

1. Contrasta adecuadamente la significatividad de la variable Y EARS.

Se ha utilizado un metodo de estimacion alternativo a MCO, basandose en supuestos que se suponenadecuados.

Estimaciones MC.Ponderados utilizando las 222 observaciones 1–222Variable dependiente: SALARY

Variable utilizada como ponderacion: 1/Y EARS2


const 47,5961 0,499967 95,1985 0,0000YEARS 1,74686 0,0916906 19,0517 0,0000


120

Figura 15: Residuos MCO frente a YEARS

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

resi

duo

YEARS

Residuos de la regresión (= SALARY observada − estimada)

Estadısticos basados en los datos ponderados:SCR 261,1782 R2 0,622621F (1, 220) 362,9679 P-value(F ) 1,89e–48

2. ¿Te parece razonable la ponderacion utilizada?

3. Completa las siguientes matrices bajo los supuestos que esta realizando el analista sobre el com-portamiento de la perturbacion del modelo (3).

E(u) =

E(uu′) =

4. ¿Que se quiere conseguir con este metodo de estimacion? ¿De que depende que el estimador obte-nido sea eficiente dentro de los lineales e insesgados? Razona tu respuesta.

PROBLEMA LE 2010. 3 (Jun/Sep-2010. Evaluacion No Conti-nua. Prueba escrita.)



121



La Fundacion Vicente Ferrer quiere analizar la dependencia del gasto en alimentacion con respecto algasto total en 55 familias de la India17. Para ello encarga el estudio a un analista el cual dispone deobservaciones para el ano 1970 de las variables foodexp, gasto en alimentacion en rupias, y totexp gastofamiliar total, en rupias. El analista estima por MCO la ecuacion:

foodexpi = β1 + β2 totexpi + ui i = 1, . . . , 55 (1)

Los resultados de dicha estimacion son los siguientes:

foodexpi

(des(βi))

= 94, 2088(50,8563)

+ 0, 4368(0,0783)

totexpi SCR = 236893, 6 R2 = 0, 3698 (2)

Ademas tras ordenar la muestra en funcion creciente de los valores de la variable totexp se han realizadodos regresiones como en (1) separadamente con las primeras y ultimas 18 observaciones obteniendose lassiguientes sumas de cuadrados de los residuos: SCR1 = 16127, 92 y SCR2 = 103821, 1.

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

400 450 500 550 600 650 700 750 800

food

exp

totexp

foodexp con respecto a totexp (con ajuste mínimo−cuadrático)

Y = 94,2 + 0,437X

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

400 450 500 550 600 650 700 750 800

resi

duo

totexp

Residuos de la regresión (= foodexp observada − estimada)

1. Interpreta los dos graficos anteriores, ¿la perturbacion del modelo cumple todas las hipotesis basi-cas? Realiza el contraste o contrastes que consideres oportuno.

2. ¿Es valido el valor estadıstico-t = 5, 577 para contrastar la significatividad de la variable totexp?Razona tu respuesta.

El analista propone una estimacion alternativa del modelo y presenta los siguientes resultados ob-tenidos con el software gretl:

Estimaciones MC.Ponderados utilizando las 55 observaciones 1–55Variable dependiente: foodexpVariable utilizada como ponderacion: 1/totexp


const 85,3217 43,7746 1,9491 0,0566totexp 0,450716 0,0698476 6,4528 0,0000

17Fuente: Mukherjee, Ch.; White, H and M. Wuyts, (1998): Econometrics and Data Analysis for DevelopingCountries, Routledge, New York. Conjunto de datos incluido en gretl, carpeta Gujarati, table2-8.gdt.

122


Suma de cuadrados de los residuos 347,0674R2 0,439979 Adjusted R2 0,429412F (1, 53) 41,63923 P-value(F ) 3,42e–08

3. Escribe el correspondiente modelo transformado y demuestra que las perturbaciones son esfericas,si el peso especificado se corresponde con la expresion correcta para var(ui).

4. i) ¿Te parece razonable la ponderacion utilizada?

ii) ¿Que se quiere conseguir con este metodo de estimacion? ¿De que depende que el estimadorobtenido sea eficiente dentro de los lineales e insesgados? Razona tu respuesta.

El analista no esta satisfecho con los resultados anteriores y contempla la posibilidad de que larelacion entre las variables no sea una relacion lineal sino exponencial tal que foodexpi = exp{α1 +α2 totexpi + υi} y estima por MCO el modelo :

Ln(foodexp)i = α1 + α2 totexpi + υi i = 1, . . . , 55 (3)

Obteniendo los siguientes resultados:

Ln(foodexp)i

(desv(βi))

= 5, 1080(0,1363)

+ 0, 0012(0,0002)

totexpi SCR = 1, 7018 R2 = 0, 3952 (4)

υ2i

υ′υN

= −0, 20739 + 0, 00188 totexpi

SCT = 115, 31 SCR = 112, 7172 R2 = 0, 022555

5. ¿Presenta el modelo (3) el mismo problema de incumplimiento de hipotesis que el modelo (1)?Justifica tu respuesta mediante un contraste. Explica detalladamente lo que haces y por que lohaces.

6. Tras reflexionar sobre todos los resultados el analista propone a la organizacion estimar el modelo(3) por MCO. ¿Es correcta su eleccion? Razona tu respuesta.

7. ¿Recoge α2 en (3) el mismo efecto que β2 en (1)? ¿En que se diferencian ambas especificaciones?

PROBLEMA LE 2010. 4 (Jun/Sep-2010. Evaluacion No Conti-nua. Prueba escrita.)

Se quiere estimar el modelo:

Ln(wage)i = β1 + β2experi + vi vi ∼ NID(0, σ2v) E(experivi) = 0 ∀i (5)

donde

wage salario por hora, en centavos, en 1976.exper experiencia laboral en 1976. Variable no estocastica.

123

Sin embargo se utiliza como variable para medir la experiencia a la variable educ (anos de escolarizacionde individuo en 1976). Esta es una variable observable tal que: educi = experi + εi, donde εi es un ruidoblanco independiente de experi y de vi. En base a la informacion disponible se han obtenido los siguientesresultados utilizando el metodo de Mınimos Cuadrados Ordinarios para una muestra de 3010 individuos:

Ln(wage)i

(des(βK))

= 5, 5708(0,0388)

+ 0, 0520(0,0028)

educi (6)

1. Razona las propiedades en muestras finitas y asintoticas del estimador MCO.

Se dispone de una variable adicional near variable ficticia con valor 1 si el individuo i vivio cercade la universidad al menos durante 4 anos. Para la muestra de 3010 individuos se tiene la siguienteinformacion:

∑near2

i = 2053∑

Ln(wage)i educi = 251114, 3746∑

educ2i = 551079∑

educi = 39923∑

Ln(wage)i neari = 12957, 3066∑

Ln(wage)2i = 118616, 3629∑neari = 2053

∑educi neari = 27771

∑Ln(wage)i = 18848, 1140

2. Propon un estimador alternativo al de MCO razonando bajo que condiciones este serıa consistente.Indica su distribucion asintotica.

3. Evalua en la muestra el estimador propuesto en el apartado anterior.

La siguiente matriz corresponde a una estimacion consistente de la matriz de de varianzas y cova-rianzas asintotica del estimador propuesto en 2). Completa teoricamente la siguiente expresion:

V (β) = =932, 7808

3008

[0,3925 −0,0296

−0,0296 2,2291e− 03

]

4. Contrasta la importancia del problema de error de medida y en funcion del mismo indica razona-damente cual de los dos estimadores propuestos elegirıas.

5. Contrasta adecuadamente si la experiencia es una variable significativa.

PROBLEMA LE 2010. 5 (Jun/Sep-2010. Evaluacion No Conti-nua. Prueba practica.)




124


Se dispone de observaciones anuales en el perıodo de 1960 a 1995 sobre las siguientes variables18:

C: Consumo de gasolina total, en U.S., gasto total dividido por su ındice de precios.Pg: Indice de precios de la gasolina.R: Renta disponible, per capita.

Se considera a las variables Pg y R no estocasticas. Se propone la siguiente especificacion en logaritmos(denotado por L) de la funcion de consumo de gasolina:

LCt = β1 + β2LPgt + β3LRt + β4LCt−1 + ut t = 1, . . . , 42 (1)

1. Estima por MCO el modelo (1). Completa:

LCt

(desv(βMCO))

=( )

· · ·( )

· · ·( )

· · ·( )

2. Demuestra las propiedades para muestras finitas del estimador empleado. ¿Que significa muestrasfinitas en este contexto?

3. Dibuja y comenta el grafico de residuos:Grafico de residuos MCO frente al tiempo Comentario:

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

resi

duo

Residuos de la regresión (= LC observada − LC estimada)

4. ¿Crees que la perturbacion del modelo puede presentar algun problema? Realiza el contraste ocontrastes que sean pertinentes especificando todos sus elementos.

i) Escribe la hipotesis nula, la alternativa y el estadıstico de contraste que vas a utilizar junto con sudistribucion bajo la hipotesis nula. Indica claramente de donde salen cada uno de los elementos deeste estadıstico.

18Fuente: Greene, W. H. (1999): Analisis Econometrico, ed. Prentice Hall. Conjunto de datos incluido en gretl,carpeta Greene, fichero greene7-8.gdt.

125

ii) Aplıcalo a los datos del archivo y completa:Regresion auxiliar obtenida:

...... = ................................................................................................................................

Valor muestral del estadıstico =

Valor crıtico para un nivel de significacion (α = 5 %)=Aplica la regla de decision:

5. Explica razonadamente si E(LCt−1ut) es cero o distinto de cero.

6. ¿Como es plim βMCO?¿Que puedes decir de la consistencia del estimador empleado?¿Y de su dis-tribucion asintotica?

7. Reestima el modelo (1) por el metodo de variables instrumentales, utilizando como instrumentosademas del termino constante, LRt y LPgt, a las variables retardadas LPgt−1 y LRt−1. Completa:

LCt

(desv(βMC2E))

=( )

· · ·( )

· · ·( )

· · ·( )

i) ¿Como se soluciona el tener un numero mayor de instrumentos de los estrictamente necesa-rios? Explica en este caso lo realizado.

ii) Completa la matriz de instrumentos utilizada y la formula del estimador utilizado.

Z =

β.......... =

−1

iii) ¿Consideras que los instrumentos utilizados son adecuados? Razona tu respuesta.

126

iv) ¿Son adecuadas las desviaciones tıpicas mostradas para realizar inferencia valida? ¿Es unestimador asintoticamente eficiente?

8. Utiliza el metodo de Hildreth-Lu para estimar los parametros β del modelo. Completa:

LCt

(desv(βHL))

=( )

· · ·( )

· · ·( )

· · ·( )

i) ¿Es este estimador consistente y asintoticamente eficiente? ¿Adolece del mismo problema queel estimador de Cochrane-Orcutt? ¿Como modificarıas este ultimo? Razona tu respuesta.

ii) Contrasta la hipotesis de que la elasticidad renta es igual a la unidad. Escribe la hipotesisnula, la alternativa y el estadıstico de contraste que utiliza gretl para obtener el resultadomostrado. Realiza el contraste.

PROBLEMA LE 2010. 6 (Jun/Sep-2010. Evaluacion No Conti-nua. Prueba practica.)

Se quiere analizar la evolucion de los salarios anuales de los profesores, SALARY en funcion de suantiguedad como doctores, Y EARS. Para ello se dispone de una muestra para el ano 1995 correspondientea 222 profesores de siete universidades de EE.UU. Se especifica el siguiente modelo19:

SALARYi = β1 + β2Y EARSi + ui i = 1, . . . , 222

1. Estima por MCO el modelo. Dibuja y comenta el grafico de residuos frente a YEARS:Grafico de residuos MCO frente a YEARS Comentario:

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

resi

duo

YEARS

Residuos de la regresión (= SALARY observada − estimada)


127

2. Contrasta adecuadamente la significatividad de la variable Y EARS utilizando el estimador MCO.Realiza el analisis previo que consideres oportuno y escribe todos los resultados utilizados pararealizar el contraste, ası como la expresion de los estadısticos utilizados y su distribucion bajo H0.

SALARY i

(desv.........(βMCO))

=( )

· · ·( )

3. Utiliza un metodo de estimacion alternativo a MCO con el que se quiera ganar eficiencia asintoticatal que, basandote en el supuesto de que la varianza de la perturbacion es una funcion de YEARS,requiera de la modelizacion y estimacion de esta. Explica todos los pasos utilizados, razonandotodos ellos y mostrando al menos los siguientes resultados:

a) Forma funcional propuesta V ar(ui) = ..............................................

b)

Criterio de estimacion:..................i=....∑

i=....

(Y ∗i − β1X

∗1i − β2X

∗2i)

2

Y ∗i = ..................................; X∗

1i = ..................................;

X∗2i = ..................................

β...... =

−1

c) Regresion auxiliar:

σ2i = .............................................................................

d) Funcion de regresion muestral obtenida:

SALARY i

(des(βMCGF ))

=( )

· · ·( )

128

TAREAS del CC

TAREA 1

Las competencias a trabajar son:





Se dispone de una base de datos sobre el precio de venta y distintas caracterısticas de 224 viviendaspertenecientes a dos areas residenciales del condado de Orange en California (USA), Dove Canyon yCoto de Caza 20. Dove Canyon es una zona de viviendas relativamente pequenas construidas alrededorde un campo de golf. Coto de Caza es un area de mayor nivel de vida aunque mas rural con viviendasmas grandes. Las variables que se consideran son

salepric = precio de venta de la vivienda en miles de dolaressqft = tama~no de la vivienda en pies cuadradosage = edad de la vivienda en a~noscity = 1 si esta en Coto de Caza, 0 si esta en Dove Canyon

Puedes acceder a estos datos ejecutando GRETL → En Archivo → Abrir datos → Archivo de muestra→ Elige Ramanathan, el fichero data7-24.gdt

a) Especifica un primer modelo para analizar si el tamano y la edad de la vivienda son factoresque explican o no el precio de la vivienda. Estima el modelo por Mınimos Cuadrados Ordinarios.Comenta los resultados obtenidos en terminos de bondad de ajuste, significatividad y signos de loscoeficientes estimados. Razona si te parecen adecuados los resultados.

b) Obten el grafico de los residuos de la estimacion MCO de esta primera especificacion. ¿Que tesugiere este grafico? Comenta si crees que existe algun problema de mala especificacion.

c) Introduce como variable explicativa en el modelo la variable city. Interpreta que te recoge el coefi-ciente que la acompana.

d) Estima esta segunda especificacion por MCO. Comenta los resultados y compara estos con losobtenidos en el apartado a). ¿Ha mejorado la especificacion? Razona tu respuesta.En lo que sigue considera esta segunda especificacion del modelo.

e) Obten los siguientes graficos.

• Grafico de la serie de residuos MCO.

• Grafico de residuos MCO sobre la variable age.

20Fuente: Ramanthan, Ramu (2002) Introductory econometrics with applications fichero data7-24.gdt

129

• Grafico de residuos MCO sobre la variable sqft.

f) Analiza de forma razonada la informacion que te proporcionan los graficos.

g) Realiza algun(os) contraste(s) de heterocedasticidad. Explica el procedimiento de contraste y co-menta los resultados obtenidos.

h) Teniendo en cuenta la evidencia obtenida en g), ¿que resultados de los obtenidos en d) no sonfiables para la inferencia? ¿Como lo modificarıas si quieres seguir utilizando el mismo metodo deestimacion (MCO) de los coeficientes del modelo? Utiliza el procedimiento que esta implementadoen GRETL para ello (HCCM). Comenta los resultados y comparalos con los obtenidos en d).

i) Estima por Mınimos Cuadrados Generalizados o Ponderados utilizando como variable de ponde-racion el inverso del cuadrado del tamano de la vivienda. Analiza los resultados.

j) ¿Que se quiere decir con datos ponderados y datos originales? ¿Por que se utiliza como variable deponderacion el inverso de sqft2? Explica razonadamente.

k) Propon otra especificacion para modelizar la varianza del termino de perturbacion que incluyatanto age como sqft y estima por Mınimos Cuadrados Generalizados Factibles.

l) Escribe una seccion de conclusiones donde resumas los resultados obtenidos a lo largo de todo elejercicio. Ademas tienes que elegir con que resultados te quedarıas y por que.

TAREA 2






Se dispone de una base de datos anuales sobre ındices de produccion y factores de produccion agrıcolasy ganaderos con base 1982, para el perıodo de 1948 a 1993 en U.S. 21 Las variables que se consideran son

year = 1948-1993 (n=46)output = Produccion agrıcola y ganaderalabor = Factor trabajoland = Tama~no de la explotacionmachines = Gasto en equipamientoenergy = Energıa utilizadafert = Gasto en fertilizantes quımicosseedfeed = Gasto en semillas, forrajes y compra de ganadoothers = Otros gastos

21Fuente: Economic report of the President, 1996, Tablas B-95 y B-96, recogidas en Ramanathan, Ramu (2002)Introductory econometrics with applications.

130


a) Especifica un modelo doblemente logarıtmico en el que relaciones el logaritmo de la produccioncon el logaritmo de todos los inputs, para analizar si los factores de produccion tenidos en cuentason utiles para explicar o no la produccion agrıcola-ganadera en U.S. en el perıodo de 1948 a 1993.Estima el modelo por Mınimos Cuadrados Ordinarios. Interpreta los parametros que acompananal factor trabajo y al factor tamano de la explotacion. Comenta los resultados obtenidos de laestimacion en terminos de bondad de ajuste, significatividad y signos de los coeficientes estimados.Razona si te parecen adecuados los resultados.

b) Obten el grafico de los residuos de la estimacion MCO de esta especificacion. ¿Que te sugiere estegrafico? Comenta si crees que existe algun problema de mala especificacion o inclumplimiento dehipotesis basicas.

c) En el modelo propuesto en el apartado a) contrasta la existencia de un proceso autorregresivode orden uno en las perturbaciones con el estadıstico de Durbin Watson y con el estadıstico deBreusch Godfrey. A continuacion contrasta la existencia de un proceso autorregresivo de ordentres. ¿Que concluyes sobre los resultados de los contrastes?

d) Teniendo en cuenta la evidencia obtenida en c), ¿que resultados de los obtenidos en a) no sonfiables para la inferencia? ¿Como lo modificarıas si quieres seguir utilizando el mismo metodode estimacion (MCO) de los coeficientes del modelo? Utiliza el procedimiento implementado enGRETL. Comenta los resultados y comparalos con los obtenidos en a).

e) Estima el modelo por el procedimiento de Cochrane-Orcutt. Escribe el modelo a estimar y descri-be claramente el proceso de estimacion que se ha llevado a cabo hasta obtener las estimacionesde los parametros. Obten el grafico de residuos, comenta sus resultados. ¿Crees que hay alguninclumplimiento de las hipotesis basicas sobre la perturbacion en el modelo estimado?

f) Reestima el modelo suprimiendo los regresores no significativos y repite el estudio de existencia deautocorrelacion en las perturbaciones.

g) Escribe una seccion final de conclusiones donde resumas y relaciones todos los resultados obtenidosa lo largo del ejercicio. Ademas elige el modelo que estarıas dispuesto a especificar (el propuestoen el apartado a), el del apartado e) o el del apartado f)) Argumenta tu decision.

h) ¿Que quiere decir que los ındices tienen la base en el ano 1982? Si la base no fuese la misma paratodos los ındices ¿ tendrıa sentido el analisis? ¿por que? ¿que tendrıas que hacer para solucionartu problema?

TAREA 3






131

Se dispone de una base de datos para 51 estados de E.E.U.U. sobre el gasto agregado en transporteurbano (EXPTRAV ) y la renta disponible agregada (INCOME) correspondientes al ano 199322. Lasvariables que se consideran son:

EXPTRAV = Gasto agregado en transporte urbano, en billones de dolares,(Rango 0.708 - 42.48).

INCOME = Renta disponible agregada, en billones de dolares,(Rango 9.3 - 683.5).

POP = Poblacion, en millones,(Rango 0.47 - 31.217).

Para acceder a estos datos:GRETL → En Archivo → Abrir datos → archivo de muestraEntonces elige Ramanathan, el fichero data8-2.gdt

a) Especifica un modelo para analizar si la renta disponible agregada explica el gasto agregado entransporte urbano. Interpreta sus coeficientes.

b) Estima el modelo por Mınimos Cuadrados Ordinarios. Comenta los resultados obtenidos en termi-nos de bondad de ajuste, significatividad y signos de los coeficientes estimados. Razona si te parecenadecuados los resultados.

Estados con mucha poblacion es probable que tengan una mayor variabilidad en los gastos en viajes quelos estados con poca poblacion. Se puede pensar que la varianza de la perturbacion crece con la poblacion.Dado que disponemos de datos sobre la poblacion de los diferentes estados, es conveniente que analicesesta posibilidad. Para ello:

c) Obten los siguientes graficos:

• Grafico de la serie de residuos MCO.

• Grafico de residuos MCO sobre la variable POP.

d) Analiza de forma razonada la informacion que te proporcionan los graficos.

e) Realiza el contraste de Goldfeld y Quandt para el supuesto de que la varianza de la perturbacion escreciente con la la variable POP . Explica el procedimiento de contraste y comenta los resultadosobtenidos.

f) Realiza el contraste de Breusch y Pagan bajo el supuesto de que la varianza de la perturbaciondepende de la variable POP . Explica el procedimiento de contraste y comenta los resultadosobtenidos.

g) Dada la evidencia obtenida en e) y f), comenta la fiabilidad de los resultados obtenidos en b).Utilizando el estimador βMCO, ¿podrıa un aumento de un millon de dolares en la renta disponibleagregada producir un aumento de un billon de dolares en el gasto en transporte urbano agregado?

h) Estima el modelo por Mınimos Cuadrados Generalizados o Ponderados utilizando como variable deponderacion el inverso del cuadrado de la variable poblacion. Dibuja los residuos versus la variableexplicativa. Analiza los resultados de la estimacion.

i) ¿Que se quiere decir con datos ponderados y datos originales? ¿Por que se ha utilizado comovariable de ponderacion el inverso de la variable POP 2? Explica razonadamente.

j) Para la forma funcional de la varianza considerada en el apartado i):

22Fuente: Statistical Abstract of U.S. (1995), recogida en Ramanathan, Ramu (2002) Introductory econometricswith applications.

132

j.1) Escribe el modelo transformado correspondiente. Estima eficientemente el modelo transfor-mado propuesto. Compara los resultados con los obtenidos en la estimacion del apartado h),¿puedes establecer alguna conclusion?

j.2) Dibuja los residuos de la estimacion del modelo transformado frente a su correspondientevariable exogena. Interpreta dicho grafico y comparalo con el correspondiente realizado en h).¿Como interpretas lo que ves?

k) Especifica un modelo para la relacion entre las variables EXPTRAV e INCOME bajo el supuestode que σ2

i = α1 + α2POPi. Estima el correspondiente modelo transformado detallando claramentetodo el proceso a realizar.

l) Escribe una seccion de conclusiones donde resumas los resultados obtenidos a lo largo de todo elejercicio.

TAREA 4






Se quiere analizar la demanda de helado de mediados del siglo pasado en un estado de EEUU. Para ellose dispone de una base de datos de 30 observaciones recogidos cada cuatro semanas durante los anos 1951a 1953, concretamente desde el 18 de marzo hasta el 11 de julio23. Las variables que se consideran son:

Q = consumo per capita de helado en pintas, (Rango 0,256 - 0,548)P = precio por pinta de helado en dolares, (Rango 0,26 - 0,292)I = renta familiar disponible semanal, en dolares (Rango 76 - 96)F = temperatura media en grados Fahrenheit, (Rango 24 - 72)

Puedes acceder a estos datos ejecutando GRETL → En Archivo → Abrir datos → Archivo de muestra→ Entonces: Elige Ramanathan, el fichero data9-1.gdt

1. Dado que no se esta acostumbrado a las unidades de medida americanas y sabiendo que una pintaequivale a 0,473 litros, un grado centıgrado son 1,8 grados Fahrenheit y que el dolar esta a 0,82euros, cambia las unidades de las variables de forma que esten en unidades espanolas.

2. Especifica un modelo en el que relaciones el consumo de helado (Q) con el precio (P), la renta (I)y el cuadrado de la temperatura (F 2).

23Fuente: Datos del artıculo de Hildreth, C. y J. Lu (1960), “Demand relations with autocorrelated disturban-ces”, Technical Bulletin No 2765, Michigan State University, recogida en Ramanathan, R. (2002), Introductoryeconometrics with applications.

133

a) Interpreta los coeficientes del modelo.

b) Estima el modelo por Mınimos Cuadrados Ordinarios (MCO). ¿Son los signos de los coefi-cientes los esperados?

c) Si la temperatura media de las cuatro primeras semanas hubiese aumentado un grado centıgra-do manteniendose constantes los valores del resto de las variables, ¿en cuanto estimas la va-riacion del consumo per capita de helados correspondiente a ese mismo periodo? ¿Y si latemperatura en ese periodo hubiera sido de 25 grados centıgrados? ¿Y si hubiera sido de 40grados centıgrados?

d) Comenta los resultados obtenidos en cuanto a la significatividad de las variables y la bondadde ajuste.

3. Obten el grafico de los residuos. ¿Que te sugiere este grafico? Comenta si crees que existe algunproblema de mala especificacion o incumplimiento de hipotesis basicas.

4. Contrasta la existencia de un proceso autorregresivo de orden uno en las perturbaciones empleandoel estadıstico de Durbin y Watson. ¿Que concluyes sobre el resultado del contraste?

5. Contrasta la existencia de un proceso autorregresivo de orden dos en las perturbaciones empleandoel estadıstico de Breusch y Godfrey.

a) ¿Existe alguna contradiccion con el resultado obtenido en el contraste de Durbin y Watson?,¿por que? Razona tu respuesta.

b) Obten la matriz de correlacion del residuo (ut), su primer y segundo retardo (ut−1, ut−2), lasvariables explicativas (P, I y F 2) y la variable explicada (Q). Comenta los valores obtenidos,razonando si son los que esperas en cuanto a magnitud y signo.

c) Basandote en el contraste de Breusch y Godfrey, ¿cual es la ecuacion que describe el procesoestocastico de la perturbacion? Contrastalo.

6. Teniendo en cuenta la evidencia empırica obtenida en el apartado anterior, ¿que resultados de losobtenidos en el apartado 2 no son fiables para la inferencia?

7. Estima el modelo por Mınimos Cuadrados Generalizados Factibles (MCGF) empleando el proce-dimiento de Cochrane y Orcutt para la estimacion del parametro de correlacion.

a) Describe minuciosamente el proceso de estimacion que se ha llevado a cabo hasta obtener lasestimaciones de todos los parametros.

b) Escribe la recta de regresion muestral.

c) Obten el grafico de residuos y comenta los resultados.

8. Estima los coeficientes del modelo por Mınimos Cuadrados Generalizados (MCG) bajo el supuestode que la correlacion entre ut y ut−1 es -0,7.

a) Describe detalladamente el proceso de estimacion.


c) Obten el grafico de los residuos y comenta todos los resultados obtenidos.

9. Dados los resultados obtenidos en los apartados 7 y 8, ¿que estimador emplearıas para estimar loscoeficientes del modelo? Razona tu respuesta.

10. Si la renta disponible semanal aumentara en un euro manteniendose constantes las demas variables:

a) ¿En cuanto estimas que se incremente la demanda de helados semanal?

b) ¿Es posible que dicho incremento fuera de un mililitro?

11. Escribe una seccion final de conclusiones donde resumas y relaciones todos los resultados obtenidosa lo largo de la tarea.

134

TAREA 5






Para la realizacion de este ejercicio utilizamos el fichero de datos del libro de Wooldridge que tendreiscomo archivo de muestra smoke en Gretl . Son datos para 807 individuos varones residentes en distintosestados americanos en el ano 1979. Las variables que estan en este fichero son

income: renta familiar anual en miles de dolares.

lincome: logaritmo de la renta familiar anual en miles de dolares.

cigs: el numero medio de cigarrillos fumados por dıa.

educ: el numero de anos escolarizado.

age: edad del individuo en anos.

agesq : edad del individuo en anos elevado al cuadrado.

cigpric: el precio de un paquete de cigarrillos (en centavos)

lcigpric: logaritmo del precio de un paquete de cigarrillos (en centavos)

restaurn: variable ficticia que es igual a la unidad si una persona reside en un estado donde hayrestricciones al tabaquismo en los restaurantes, cero en otro caso.

white: variable ficticia que es igual a la unidad si el individuo es blanco, cero en otro caso.

Puedes acceder a estos datos ejecutando GRETL → En Archivo → Abrir datos → Archivo de muestra→ Elige Wooldridge, fichero smoke24

Considera la especificacion del Modelo (1):

lincomei = β1 + β2cigsi + β3educi + β4agei + β5agesqi + ui (1)

a) Muestra los resultados de la estimacion por MCO del Modelo (1)

b) Comenta los resultados obtenidos sobre la bondad de ajuste, los coeficientes estimados y su signi-ficatividad.

c) ¿Hay evidencia de que la relacion entre la variable lincome y age sea cuadratica, manteniendoconstante el resto de las variables explicativas? Muestra los resultados del contraste utilizado paratus conclusiones.

d) Se cree que el consumo de cigarrillos puede estar determinado conjuntamente con la renta, talque la variable cigs es un regresor estocastico correlacionado con el termino de perturbacion delModelo (1). Explica las consecuencias que esto tiene sobre los resultados obtenidos en los apartadosanteriores.

24Fuente: Wooldridge, J. M. (2003): Introductory Econometrics, fichero smoke.

135

e) Muestra los resultados de estimar el Modelo (1) por el metodo de Variables Instrumentales utili-zando la variable restaurn como instrumento para cigs. ¿Son los resultados muy diferentes a losobtenidos por MCO? Comenta estos resultados.

f) Escribe la matriz de instrumentos Z y la matriz de variables explicativas del modelo, X. No pongaslos valores muestrales, simplemente utiliza los nombres de las variables en las columnas. Escribe sudimension.

g) Escribe la expresion del estimador de VI utilizado. Escribe los elementos de Z ′X y Z ′Y utilizandosumatorios y su dimension. ¿Que caracterısticas tiene que tener Z para que el estimador se puedaobtener? ¿Que condiciones tiene que satisfacer Z para que el estimador tenga propiedades deseablesy los contrastes sean validos?

h) Se dispone ademas de otro instrumento adicional para cigs, la variable lcigpric. Estima el modelo(1) por Mınimos Cuadrados en 2 Etapas utilizando todos los instrumentos. Muestra el resultadoobtenido en Gretl. Compara estos resultados con los obtenidos en el apartado e).

i) Calcula las correlaciones entre los instrumentos y la variable cigs. ¿Que indican estas correlacionessobre la bondad de estos instrumentos?

j) Realiza la regresion de la variable cigs sobre todos los posibles instrumentos incluida laconstante:

cigs = α1 + α2educ + α3age + α4age2 + α5lcigpric + α6restaurn + ui (2)

Guarda la serie ajustada de la regresion cigsi i = 1, . . . , 879 y utiliza esta variable como instru-mento para cigs. ¿Obtienes los mismos resultados que en el apartado h)? ¿Por que obtienes esosresultados? ¿Son las variables lcigpric y restaurn significativas?

k) Realiza el contraste de Hausman para los resultados del apartado e). A la vista del resultado ¿Comoestimarıas los coeficientes del modelo (1)?

l) Contrasta si la variable edad es significativa. ¿En cuanto se estima el cambio en la renta cuando elindividuo tiene un ano adicional y el resto de las caracterısticas se mantienen constantes? ¿Es estavariacion la misma para todos los individuos en la muestra?

TAREA 6






El Departamento de Sanidad de E.E.U.U. quiere estudiar la relacion entre el gasto sanitario agregadoen billones de dolares (exphlth), la renta personal disponible agregada tambien en billones de dolares(income), el porcentaje de poblacion que supera los 65 anos en el ano 2005 (seniors) y la poblacion enmillones (pop). Para ello encarga un estudio a dos becarios de la facultad de Economicas de Harvard

136

poniendo a su disposicion datos de 2005 para dichas variables sobre 51 estados americanos25.

Puedes acceder a estos datos ejecutando GRETL → En Archivo → Abrir datos → Archivo de muestra→ Elige Ramanathan, fichero data8-3.gdt.

1. Escribe la funcion de regresion poblacional que te permita analizar la influencia de las variablesexplicativas income, seniors y pop sobre la variable exphlth. Estımala por MCO. Interpreta los coe-ficientes estimados del modelo. Contrasta la significatividad individual de las variables explicativasdel modelo. Escribe los supuestos necesarios sobre la perturbacion para que los estadısticos tenganvalidez.

2. Obten los siguientes graficos y comenta la informacion que te proporcionan

a) Grafico de la serie de residuos MCO.

b) Grafico de residuos MCO sobre la variable pop.

c) Grafico de residuos MCO sobre la variable income.

3. Bajo el supuesto de que la varianza de la perturbacion es una funcion creciente de la poblacion,var(ui) = σ2popi:

a) Realiza el contraste de Goldfeld y Quandt.

-Primera submuestra:Muestra → Establecer rango → Establecer rango muestral→ Inicio: 1 y Final: T1

↪→ Estimamos el modelo para la primera submuestra

-Muestra → Recuperar el rango completo-Segunda submuestra:Muestra → Establecer rango → Establecer rango muestral→ Inicio: T1 + p + 1 y Final: T

↪→ Estimamos el modelo para la segunda submuestra

b) Para el supuesto de que var(ui) = σ2pop2. Escribe el modelo transformado asociado y de-muestra las propiedades de la nueva perturbacion.

c) Para el supuesto sobre var(ui) del apartado anterior estima el modelo por Mınimos CuadradosGeneralizados o Ponderados. Analiza los resultados.

d) ¿Que se quiere decir con datos ponderados y datos originales?

4. Bajo el supuesto de que la estructura de la varianza sea var(ui) = γ1 + γ2 pop2i + γ3income2

i +γ4popi ∗ incomei,

a) ¿Como lo contrastarıas? Explica el procedimiento de contraste. Aplıcalo y comenta los resul-tados obtenidos.

b) ¿Como estimarıas el modelo? Indica detalladamente el proceso de estimacion. ¿Cuales son laspropiedades del estimador empleado?

c) Estima el modelo.

5. Comenta todos los resultados obtenidos y decide como estimarıas el modelo.


137

TAREA 7






Se quiere analizar la demanda de helado de mediados del siglo pasado en un estado de EEUU. Para ellose dispone de una base de datos de 30 observaciones recogidos cada cuatro semanas durante los anos 1951a 1953, concretamente desde el 18 de marzo hasta el 11 de julio26. Las variables que se consideran son:

Q = consumo per capita de helado en pintas, (Rango 0,256 - 0,548)P = precio por pinta de helado en dolares, (Rango 0,26 - 0,292)I = renta familiar disponible semanal, en dolares (Rango 76 - 96)F = temperatura media en grados Fahrenheit, (Rango 24 - 72)


1. Dado que no se esta acostumbrado a las unidades de medida americanas y sabiendo que una pintaequivale a 0,473 litros, un grado centıgrado son 1,8 grados Fahrenheit y que el dolar esta a 0,82euros, cambia las unidades de las variables de forma que esten en unidades espanolas. Para ello:

Lt = 0, 473 Qt Rt = 0, 82 It Et =0, 820, 473

Pt Ct =1

1, 8Ft

2. Especifica un modelo en el que relaciones el consumo de helado (L) con el precio (E), la renta(R) y el cuadrado de la temperatura (C2). Estımalo por MCO y obten el grafico de los residuos.¿Que te sugiere este grafico? Comenta si crees que existe algun problema de mala especificacion oincumplimiento de hipotesis basicas.

3. Contrasta la existencia de un proceso autorregresivo de orden uno en las perturbaciones empleandoel estadıstico de Durbin y Watson. ¿Que concluyes sobre el resultado del contraste?

4. Contrasta la existencia de un proceso autorregresivo de orden dos en las perturbaciones empleandoel estadıstico de Breusch y Godfrey.

a) ¿Existe alguna contradiccion con el resultado obtenido en el contraste de Durbin y Watson?,¿por que? Razona tu respuesta.

b) Obten la matriz de correlacion del residuo (ut), su primer y segundo retardo (ut−1, ut−2), lasvariables explicativas (E,R y C2) y la variable explicada (L). Comenta los valores obtenidos,razonando si son los que esperas en cuanto a magnitud y signo.

26Fuente: Datos del artıculo de Hildreth, C. y J. Lu (1960), “Demand relations with autocorrelated disturban-ces”, Technical Bulletin No 2765, Michigan State University, recogida en Ramanathan, R. (2002), Introductoryeconometrics with applications.

138

c) Basandote en el contraste de Breusch y Godfrey, ¿cual es la ecuacion que describe el procesoestocastico de la perturbacion? Contrastalo.

5. Teniendo en cuenta la evidencia empırica obtenida en el apartado anterior, ¿que resultados de losobtenidos en el segundo apartado no son fiables para la inferencia?

6. Estima el modelo por Mınimos Cuadrados Generalizados Factibles (MCGF) empleando el proce-dimiento de Cochrane y Orcutt o Hildreth-Lu para la estimacion del parametro de correlacion.

a) Describe minuciosamente el proceso de estimacion que se ha llevado a cabo hasta obtener lasestimaciones de todos los parametros.


c) Obten el grafico de residuos y comenta los resultados.

7. Escribe una seccion final de conclusiones donde resumas y relaciones todos los resultados obtenidosa lo largo de la tarea.

TAREA 8






Se dispone de una base de datos anuales sobre ındices de produccion y factores de produccion agrıcolasy ganaderos con base 1982, para el perıodo de 1948 a 1993 en U.S. 27 Las variables que se consideran son

year = 1948-1993 (n=46)output = Produccion agrıcola y ganaderalabor = Factor trabajoland = Tama~no de la explotacionmachines = Gasto en equipamientoenergy = Energıa utilizadafert = Gasto en fertilizantes quımicosseedfeed = Gasto en semillas, forrajes y compra de ganadoothers = Otros gastos


27Fuente: Economic report of the President, 1996, Tablas B-95 y B-96, recogidas en Ramanathan, Ramu (2002)Introductory econometrics with applications.

139

a) Especifica un modelo doblemente logarıtmico en el que relaciones el logaritmo de la produccioncon el logaritmo de todos los inputs, para analizar si los factores de produccion tenidos en cuentason utiles para explicar o no la produccion agrıcola-ganadera en U.S. en el perıodo de 1948 a 1993.Estima el modelo por Mınimos Cuadrados Ordinarios. Interpreta los parametros que acompananal factor trabajo y al factor tamano de la explotacion. Comenta los resultados obtenidos de laestimacion en terminos de bondad de ajuste, significatividad y signos de los coeficientes estimados.Razona si te parecen adecuados los resultados.

b) Obten el grafico de los residuos de la estimacion MCO de esta especificacion. ¿Que te sugiere estegrafico? Comenta si crees que existe algun problema de mala especificacion o inclumplimiento dehipotesis basicas.

c) En el modelo propuesto en el apartado a) contrasta la existencia de un proceso autorregresivode orden uno en las perturbaciones con el estadıstico de Durbin Watson y con el estadıstico deBreusch Godfrey. A continuacion contrasta la existencia de un proceso autorregresivo de ordentres. ¿Que concluyes sobre los resultados de los contrastes?

d) Teniendo en cuenta la evidencia obtenida en c), ¿que resultados de los obtenidos en a) no sonfiables para la inferencia? ¿Como lo modificarıas si quieres seguir utilizando el mismo metodode estimacion (MCO) de los coeficientes del modelo? Utiliza el procedimiento implementado enGRETL. Comenta los resultados y comparalos con los obtenidos en a).

e) Estima el modelo por el procedimiento de Cochrane-Orcutt. Escribe el modelo a estimar y descri-be claramente el proceso de estimacion que se ha llevado a cabo hasta obtener las estimacionesde los parametros. Obten el grafico de residuos, comenta sus resultados. ¿Crees que hay alguninclumplimiento de las hipotesis basicas sobre la perturbacion en el modelo estimado?

f) Reestima el modelo suprimiendo los regresores no significativos y repite el estudio de existencia deautocorrelacion en las perturbaciones.

g) Escribe una seccion final de conclusiones donde resumas y relaciones todos los resultados obtenidosa lo largo del ejercicio. Ademas elige el modelo que estarıas dispuesto a especificar (el propuestoen el apartado a), el del apartado e) o el del apartado f)) Argumenta tu decision.

h) ¿Que quiere decir que los ındices tienen la base en el ano 1982? Si la base no fuese la misma paratodos los ındices ¿ tendrıa sentido el analisis? ¿por que? ¿que tendrıas que hacer para solucionartu problema?

TAREA 9






Se desea estimar una funcion de produccion tipo Cobb-Douglas para el sector agrıcola y ganadero en losEstados Unidos. Para ello se dispone de una base28 de datos anuales para el periodo de 1948 a 1993 sobrelos siguientes ındices con base en el ano 1982:

28Rammanathan, R. (2002), Introductory econometrics with applications, data 9-5.gdt.

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Yt = Indice de la produccion agrıcola y ganadera (en logaritmos)

Lt = Indice de utilizacion del factor trabajo (en logaritmos)

EXt = Indice del tamano de la explotacion (en logaritmos)

Kt = Indice del gasto en maquinaria (en logaritmos)

Se especifica el siguiente modelo:

Yt = β1 + β2Lt + β3EXt + β4Kt + ut (3)

1. Explica por que se han considerado todas las variables en logaritmos.

2. ¿Que quiere decir que los ındices tengan la base en el ano 1982? ¿Que valores tomaran las variablesen ese ano?

3. Considera estimar por Mınimos Cuadrados Ordinarios la especificacion doble-logaritmica (3). In-terpreta los resultados.

4. Analiza la serie temporal de los residuos. Interpreta el grafico y comenta si hay evidencia de algunproblema.

5. Realiza el contraste de Durbin y Watson. Explica detalladamente.

6. Realiza el contraste de Breusch-Godfrey para detectar un posible proceso AR(1) o MA(1) en eltermino de perturbacion del modelo.

7. ¿Como se deberıa modificar el estadıstico t de significatividad individual si se sigue utilizando elestimador MCO para estimar los coeficientes? Utiliza la opcion desviaciones tıpicas robustas a lahora de estimar por MCO.

8. Estima de nuevo la funcion de produccion por el metodo de Cochrane-Orcutt (CO) y por el metodode red de busqueda de Hildreth y Lu (HL).

9. Comenta los resultados obtenidos por cada metodo MCO, CO y HL.

10. Utilizando los resultados de la estimacion por Hildreth y Lu, contrasta la hipotesis nula H0 : β3 =2β4. Explica todos los elementos del contraste.

TAREA 10






En un estudio sobre la polıtica de natalidad del gobierno de E.E.U.U. en el siglo XX se tienen datosanuales sobre las siguientes variables29, para el perıodo 1913-1984:

29Wooldridge, J.M. (2001), Introduccion a la Econometrıa, data fertil3.gdt.

141

gfr nacimientos por 1000 mujeres de edad entre 15-44pe reduccion fiscal en terminos reales, en dolares

year secuencia temporal, de 1913 a 1984pill =1 si a~no >= 1963. Este a~no fue el del inicio de la

comercializacion de la pıldora anticonceptiva.ww2 =1 si el a~no esta entre 1941 y 1945 (2a guerra mundial)

Inicialmente se especifica el modelogfrt = β1 + β2pet + ut (4)

1. Da estructura de series temporales al conjunto de datos disponible pinchando en la pantalla prin-cipal enDatos → Estructura del conjunto de datos → . . .

2. Estima por MCO el modelo propuesto en (4). Interpreta los resultados.

3. Obten el grafico de series temporales de la variable gfrt y de los residuos. Comentalos a la vista delR2 obtenido en el apartado anterior.

4. Reestima el modelo incluyendo los regresores pillt y ww2t, ¿Que pretenden recoger cada uno deellos? ¿Tiene su inclusion algun efecto sobre los graficos anteriores?

5. Contrasta la existencia de autocorrelacion de primer orden con el estadıstico de Durbin Watson.

6. Teniendo en cuenta toda la informacion disponible hasta ahora, contrasta la significatividad indi-vidual de la variable pe.

7. Estima el modelo por el metodo de Cohrane-Orcutt. Comenta los resultados obtenidos, realizandolos contrastes que fuesen necesarios.

8. Estima el modelo por el metodo de Hildreth-Lu. ¿Hay alguna diferencia significativa? ¿Por que?

9. Anade como regresor la variable retardada un periodo gfrt−1 al modelo y estımalo por MCO. Obtenel grafico de los residuos y comentalo. Realiza un contraste de autocorrelacion de orden 1 y, a partirde ese resultado, comenta los resultados del analisis. ¿Crees necesario utilizar algun otro estimador?¿Por que?

10. Anade al modelo una tendencia temporal t. Dado el grafico de residuos que se obtiene, prueba aincluir tambien una tendencia cuadratica, t2.

11. Realiza el contraste de Durbin-Watson en este modelo. Comenta los resultados.

12. ¿Como contrastarıas la significatividad individual de las variables explicativas incluidas en el mo-delo? Utiliza siempre un estimador adecuado para los errores estandar de los coeficientes con lainformacion de la que dispones hasta ahora.

TAREA 11




142



En un estudio sobre la polıtica de natalidad en los E.E.U.U. en el siglo XX se tienen los datos siguientesde frecuencia anual sobre las variables siguientes30, para el periodo 1913-1984:

gfr nacimientos por 1000 mujeres, entre 15-44pe reduccion fiscal real, en dolares

year 1913 a 1984pill =1 para a~nos >= 1963 (a~no de introduccion de la pıldora anticonceptiva)ww2 =1, entre 1941 y 1945 (periodo de la 2a guerra mundial, para EEUU)

Inicialmente se especifica el siguiente modelo

gfrt = β1 + β2pet + β3pillt + β4ww2t + ut (5)

1. Dale al conjunto de datos estructura de series temporales pinchando, en la ventana principal deGretl,Datos → Estructura de datos → . . .

2. Estimar por MCO el modelo propuesto en (5). Comprueba la existencia de autocorrelacion en estemodelo.

3. Especifica un modelo dinamico incluyendo como regresores cuatro retardos consecutivos de lavariable endogena gfrt, es decir, anade gfrt−1, ..., gfrt−4 a la lista de regresores. Comprueba susignificatividad, individual y conjunta, a traves de estadısticos validos.

4. Especifica un modelo dinamico diferente incluyendo como regresores cuatro retardos consecutivosde la variable pet, es decir, anade pet−1, ..., pet−4 a la lista de regresores. Comprueba su significa-tividad, individual y conjunta, a traves de estadısticos validos. ¿Introduce esta especificacion algunotro problema conocido?

5. Incluye todas las variables consideradas en las preguntas 3) y 4) anteriores. Despues, basandote encontrastes de hipotesis, y de forma secuencial:

a) Omite la variable gfrt−4.b) Omite todas las variables que encuentres no significativas al nivel de significacion del 5 %,

incluyendo variables retardadas y no retardadas. Puedes tener que reestimar el modelo variasveces.

c) Guarda a sesion como icono el modelo final que hayas considerado como el mejor y escribesu Funcion de Regresion Muestral.

6. Ahora, considera el modelo siguiente:

gfrt = β1 + β2pet−2 + β3pillt + β4ww2t + ut (6)

7. Contrasta la existencia de autocorrelacion en el modelo (6). En vez de anadir variables retardadas,obten un estimador eficiente asintoticamente de sus parametros. Escribe el modelo transformadorelacionado y los valores para todos los parametros estimados (βi y ρ).

8. Intenta obtener la mejor especificacion, de entre las de las preguntas 5c) y 7). Puedes hacerlo si:

a) Contrastas las restricciones pertinenetes en el modelo final de la pregunta 5c).b) Examinas cuidadosamente los graficos de residuos de los dos modelos estimados.

30Wooldridge, J.M. (2001), Introduccion a la Econometrıa, data fertil3.gdt.

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