Econometria - Damodar N. Gujarati

740 Parte Cuatro Modelos de ecuaciones simultneas y econometra de series de tiempo

21.3 Procesos estocsticos

Un proceso estocstico o aleatorio es una coleccin de variables aleatorias ordenadas en el

tiempo.4 Si Y denota una variable aleatoria y es continua, se denota como Y(t), pero si es discreta

se expresa como Yt. Un ejemplo del primer tipo es un electrocardiograma, y del segundo tipo,

el PIB, IPD, etc. En vista de que la mayora de los datos econmicos se recopilan en puntos dis-

cretos de tiempo, para los propsitos de esta seccin utilizaremos la notacin Yt en vez de Y(t).

Si Y representa al PIB, para los datos anteriores se tiene Y1, Y2, Y3, . . . ,Y242, Y243, Y244, donde el

subndice 1 denota la primera observacin (es decir, el PIB del primer trimestre de 1947) y

el subndice 244 seala la ltima observacin (es decir, el PIB del cuarto trimestre de 2007).

Tenga en cuenta que cada una de estas Y es una variable aleatoria.

En qu sentido podemos considerar al PIB un proceso estocstico? Considere por ejemplo

el PIB real de 3 759 997 millones de dlares del primer trimestre de 1970. En teora, la cifra del

PIB del primer trimestre de 1970 puede ser cualquier dgito, segn el clima econmico y poltico.

La cifra 3 759 997 es una realizacin particular de todas esas posibilidades.5 Por tanto, podemos

decir que el PIB es un proceso estocstico y que los valores reales observados en el periodo del

primer trimestre de 1947 al cuarto de 2007 son realizaciones particulares de ese proceso (es

decir, una muestra). La distincin entre el proceso estocstico y su realizacin es semejante a la

diferencia entre poblacin y muestra en datos de corte transversal. De la misma forma como ha-

cemos inferencias sobre la poblacin a partir de datos muestrales, efectuamos inferencias sobre

el proceso estocstico subyacente en las series de tiempo mediante la realizacin.

Procesos estocsticos estacionariosUn tipo de proceso estocstico que ha recibido gran atencin y ha sido objeto de escrutinio por

parte de los analistas de series de tiempo es el proceso estocstico estacionario. En trminos

generales, se dice que un proceso estocstico es estacionario si su media y su varianza son cons-

tantes en el tiempo y si el valor de la covarianza entre dos periodos depende slo de la distancia

o rezago entre estos dos periodos, y no del tiempo en el cual se calcul la covarianza. En la

bibliografa sobre series de tiempo, un proceso estocstico como ste se conoce como proceso

estocstico dbilmente estacionario, estacionario covariante, estacionario de segundo orden

o proceso estocstico en amplio sentido. Para efectos de este captulo, y en la mayora de las

situaciones prcticas, basta este tipo de estacionariedad.6

Para explicar la estacionariedad dbil, sea Yt una serie de tiempo estocstica con estas propie-

dades:

Media: E(Yt )

Varianza: var (Yt ) E(Yt )2 2

Covarianza: k E[(Yt )(Yt+k )]

(21.3.1)

donde k, la covarianza (o autocovarianza) en el rezago k, es la covarianza entre los valores de Yt

y Yt+k, es decir, entre dos valores Y separados k periodos. Si k = 0, obtenemos 0, que es simple-

4 El trmino estocstico proviene de la palabra griega stokhos, que signifi ca blanco u objetivo. Si alguna vez ha jugado a los dardos con el propsito de atinarle al blanco, cuntas veces acert? De un cen-tenar de tiros, quiz, si tuvo mucha suerte, le atin al blanco unas cuantas veces; en las otras ocasiones, los dardos se esparcieron aleatoriamente alrededor del blanco.5 El valor de 3 759 997 millones de dlares se puede considerar el valor medio de todos los valores posibles del PIB para el primer trimestre de 1970.6 Una serie de tiempo es estrictamente estacionaria si todos los momentos de su distribucin de probabili-dad, y no slo los dos primeros (es decir, la media y la varianza), son invariantes respecto del tiempo. Sin embargo, si el proceso estacionario es normal, el proceso estocstico dbilmente estacionario tambin es estrictamente estacionario, pues el proceso estocstico normal est del todo especifi cado por sus dos mo-mentos, la media y la varianza.

(21.3.2)

(21.3.3)

Captulo 21 Econometra de series de tiempo: algunos conceptos bsicos 741

mente la varianza de Y( = 2); si k = 1, 1 es la covarianza entre dos valores adyacentes de Y, el

tipo de covarianza encontrada en el captulo 12 (recuerde el esquema autorregresivo de primer

orden de Markov).

Suponga que el origen de Y se desplaza de Yt a Yt+m (por ejemplo, del primer trimestre de

1947 al primero de 1952 de los datos del PIB). Ahora, si esperamos que Yt sea estacionaria, la

media, la varianza y la covarianza de Yt+m deben ser las mismas que las de Yt. En resumen, si

una serie de tiempo es estacionaria, su media, su varianza y su autocovarianza (en los diferentes

rezagos) permanecen iguales sin importar el momento en el cual se midan; es decir, son inva-

riantes respecto del tiempo. Tal serie de tiempo tender a regresar a su media (llamada reversin

media) y las fl uctuaciones alrededor de esta media (medida por su varianza) tendrn una ampli-

tud constante en trminos generales.7 Para decirlo de otro modo, un proceso estacionario no se

desva demasiado de su valor medio debido a la varianza fi nita. Como veremos enseguida, esto

no ocurre con los procesos estocsticos no estacionarios. Debemos sealar que, en un proceso

estacionario, la velocidad de la reversin media depende de las autocovarianzas: es rpida si las

autocovarianzas son pequeas y lenta cuando son grandes, como veremos en breve.

Si una serie de tiempo no es estacionaria en el sentido antes defi nido, se denomina serie

de tiempo no estacionaria (recuerde que hablamos slo de estacionariedad dbil). En otras

palabras, una serie de tiempo no estacionaria tendr una media que vara con el tiempo o una

varianza que cambia con el tiempo, o ambas.

Por qu las series de tiempo estacionarias son tan importantes? Porque si una serie de tiempo

es no estacionaria, slo podemos estudiar su comportamiento durante el periodo en considera-

cin. Por tanto, cada conjunto de datos perteneciente a la serie de tiempo corresponder a un

episodio particular. En consecuencia, no es posible generalizar para otros periodos. As, para

propsitos de pronstico, tales series de tiempo (no estacionarias) tienen poco valor prctico.

Cmo sabemos que una determinada serie de tiempo es estacionaria? En particular, las

series de tiempo de las fi guras 21.1 y 21.2 son estacionarias? Analizaremos este tema importante

en las secciones 21.8 y 21.9, cuando estudiemos varias pruebas para la estacionariedad. Pero, si

juzgamos slo con el sentido comn, parece que las series de tiempo de las fi guras 21.1 y 21.2

son no estacionarias, al menos en sus valores medios. Hablaremos de todo esto ms adelante.

Antes de continuar, debemos mencionar un tipo especial de proceso estocstico (o de series

de tiempo): el proceso puramente aleatorio o de ruido blanco. Se dice que un proceso es pura-

mente aleatorio si tiene una media igual a cero, una varianza constante 2 y no est serialmente

correlacionado.8 Recordar que supusimos que el trmino de error ut que entra en el modelo

clsico de regresin lineal estudiado en la parte 1 de este libro era un proceso de ruido

blanco denotado por ut IIDN(0, 2); es decir, ut est independiente e idnticamente distribuido

como una distribucin normal con media cero y varianza constante. Este proceso se conoce como

proceso gaussiano de ruido blanco.

Procesos estocsticos no estacionariosAunque nuestro inters se centra en las series de tiempo estacionarias, a menudo se topa uno

con series de tiempo no estacionarias, cuyo ejemplo clsico es el modelo de caminata aleatoria

(MCA).9 A menudo decimos que los precios de valores, como las acciones o las tasas de cambio,

siguen una caminata aleatoria; es decir, son no estacionarios. Hay dos tipos de caminatas aleato-

rias: 1) caminata aleatoria sin deriva o sin desvo (es decir, sin trmino constante o de intercepto),

y 2) caminata aleatoria con deriva o con desvo (es decir, hay un trmino constante).

7 Esta observacin pertenece a Keith Cuthbertson, Stephen G. Hall y Mark P. Taylor, Applied Econometric Tech-niques, The University of Michigan Press, p. 130.8 Si tambin es independiente, tal proceso se conoce como estrictamente de ruido blanco.9 El trmino caminata aleatoria a menudo se compara con el caminar de un borracho. Al dejar la cantina, el borracho se mueve una distancia aleatoria ut en el tiempo t y contina caminando de manera indefi nida, con lo cual a la larga se aleja cada vez ms de la cantina. Lo mismo se dice de los precios de las acciones. El precio de hoy de las acciones es igual al precio de ayer ms un choque aleatorio.


Caminata aleatoria sin deriva

Suponga que ut es un trmino de error de ruido blanco, con media 0 y varianza 2. Entonces

decimos que la serie Yt es una caminata aleatoria si

Yt Yt1 + ut (21.3.4)

En el modelo de caminata aleatoria, como se ve en (21.3.4), el valor de Y en el tiempo t es igual

a su valor en el tiempo (t 1) ms un choque aleatorio; por tanto, es un modelo AR(1), en el

lenguaje de los captulos 12 y 17. Podemos pensar que (21.3.4) es una regresin de Y en el tiempo

t sobre su valor rezagado un periodo. Los defensores de la hiptesis del mercado de capital efi -

ciente argumentan que los precios de las acciones son en esencia aleatorios y, por tanto, no hay

lugar para la especulacin redituable en el mercado de valores: si se pudiese predecir el precio de

las acciones del da siguiente con base en su precio del da anterior, todos seramos millonarios.

Ahora bien, de (21.3.4), podemos escribir

Y1 H Y0 + u1

Y2 H Y1 + u2 H Y0 + u1 + u2

Y3 H Y2 + u3 H Y0 + u1 + u2 + u3

En general, si el proceso comenz en el tiempo 0 con un valor de Y0, tenemos

Yt H Y0 + ut (21.3.5)

Por tanto,

E(Yt ) H E Y0 + u t H Y0 (por qu?) (21.3.6)

De igual forma se demuestra que

var (Yt ) tH 2 (21.3.7)

Como revelan las expresiones anteriores, la media de Y es igual a su valor inicial (constante), pero

conforme se incrementa t, su varianza aumenta de manera indefi nida, lo que viola una condicin

de la estacionariedad. En resumen, el MCA sin deriva es un proceso estocstico no estacionario.

En la prctica, Y0 a menudo se iguala a cero, en cuyo caso E(Yt) = 0.

Una caracterstica importante del MCA es la persistencia de los choques aleatorios (es decir,

los errores aleatorios), lo cual resulta evidente de (21.3.5): Yt es la suma de Y0 inicial ms la suma

de los choques aleatorios. Como resultado, no se desvanece el impacto de un choque particular.

Por ejemplo, si u2 = 2, en vez de u2 = 0, todas las Yt de Y2 en adelante sern 2 unidades mayores,

por lo que nunca cesa el efecto de este choque. Por esta razn decimos que la caminata aleato-

ria tiene memoria infi nita. Como observa Kerry Patterson, la caminata aleatoria recuerda los

choques por siempre;10 es decir, tiene memoria infi nita. La suma

ut se conoce tambin como

tendencia estocstica, sobre la cual hablaremos en detalle ms adelante.

Resulta interesante que si expresamos (21.3.4) como

(Yt Yt1) H Yt H ut (21.3.8)

donde # es el operador de primeras diferencias, mismo que analizamos en el captulo 12, resulta

fcil probar que mientras que Yt es no estacionaria, s lo es la serie de sus primeras diferencias.

En otras palabras, las primeras diferencias de series de tiempo de caminata aleatoria son estacio-

narias. No obstante, hay ms que decir al respecto.

10 Kerry Patterson, op. cit., captulo 6.


Caminata aleatoria con derivaModifi quemos (21.3.4) de la siguiente forma:

Yt + Yt1 + ut (21.3.9)donde se conoce como el parmetro de deriva. El trmino deriva proviene del hecho de que,

si escribimos la ecuacin anterior como

Yt Yt1 Yt + u t (21.3.10)se demuestra que Yt se deriva o desva hacia arriba o hacia abajo, segn sea positiva o negativa. Observe que el modelo (21.3.9) tambin es un modelo AR(1).

Segn el procedimiento analizado en la caminata aleatoria sin deriva, podemos demostrar que,

para el modelo de caminata aleatoria con deriva (21.3.9),

E(Yt ) Y0 + t var (Yt ) t 2

(21.3.11)

Como puede observar, para el MCA con deriva, la media, al igual que la varianza, se incre-

menta con el tiempo, lo que viola de nuevo las condiciones de la estacionariedad (dbil). En

resumen, el MCA, con o sin deriva, es un proceso estocstico no estacionario.

A fi n de dar una ligera idea de la caminata aleatoria con y sin deriva, llevaremos a cabo dos

simulaciones a continuacin:

Yt Y0 + u t (21.3.13)donde ut son trminos de error de ruido blanco de forma que cada ut N(0, 1); es decir, cada ut sigue la distribucin normal estndar. Mediante un generador de nmeros aleatorios se obtuvie-

ron 500 valores de u y se gener Yt como se muestra en (21.3.13). Supusimos que Y0 = 0. Por tanto, (21.3.13) es un MCA sin deriva.

Ahora considere

Yt + Y0 + u t (21.3.14)que es un MCA sin deriva. Supusimos que los valores ut y Y0 son como en (21.3.13) y que = 2.

Las grfi cas de los modelos (21.3.13) y (21.3.14) aparecen en las fi guras 21.3 y 21.4, res-

pectivamente. El lector puede comparar tales diagramas a la luz del anlisis del MCA con y sin

deriva.

FIGURA 21.3Caminata aleatoria sin

deriva.

5

5

0

10

15

20

2550 150 200 300 350250 400 450 500100

Y

Yt = Y

t1 + u

t


El modelo de caminata aleatoria es un ejemplo de lo que se conoce en la bibliografa como

proceso de raz unitaria. Como este trmino es ya muy comn en las referencias de series de

tiempo, a continuacin explicaremos lo que es un proceso de raz unitaria.

21.4 Proceso estocstico de raz unitaria

Escribimos el MCA (21.3.4) como:

Yt Yt1 + ut 1 1 (21.4.1)Este modelo se parece al modelo autorregresivo de primer orden de Markov que analizamos en

el captulo de autocorrelacin. Si = 1, (21.4.1) se convierte en un MCA (sin deriva). Si es en efecto 1, tenemos lo que se conoce como problema de raz unitaria; es decir, enfrentamos una situacin de no estacionariedad. Ya sabemos que en este caso la varianza de Yt es no estacionaria. El nombre de raz unitaria se debe a que = 1.11 Por tanto, los trminos no estacionariedad, ca-minata aleatoria, raz unitaria y tendencia estocstica se consideran sinnimos.

Sin embargo, si || < 1, es decir, si el valor absoluto de es menor que 1, podemos demostrar

que la serie de tiempo Yt es estacionaria de acuerdo con la defi nicin dada.12

As, en la prctica, es importante averiguar si una serie de tiempo tiene una raz unitaria.13

En la seccin 21.9 analizaremos varias pruebas de raz unitaria, es decir, diversas pruebas para

la estacionariedad. En dicha seccin tambin determinaremos si las series de tiempo grafi cadas

en las fi guras 21.1 y 21.2 son estacionarias. Quizs el lector sospeche que no lo son. A su debido

tiempo veremos esto.

11 Una observacin tcnica: si = 1, (21.4.1) se expresa como Yt Yt1 = ut. Ahora, con el operador de rezago L, de modo que LYt = Yt1, L2Yt = Yt2, etc., (21.4.1) se escribe como (1 L)Yt = ut. El trminoraz unitaria se refi ere a la raz del polinomio en el operador de rezago. Si se tiene (1 L) = 0, L = 1, de ah el nombre de raz unitaria.12 Si en (21.4.1) se supone que el valor inicial de Y(= Y0) es cero, || < 1 y ut es de ruido blanco, y tiene una distribucin normal con una media cero y una varianza unitaria, por tanto se deduce que E(Yt) = 0 y (Yt) = 1/(1 2). Como ambas son constantes, por defi nicin de estacionariedad dbil, Yt es estacionaria. Por otra parte, como ya vimos, si = 1, Yt es una caminata aleatoria o no estacionaria.13 Una serie de tiempo puede contener ms de una raz unitaria. Estudiaremos tal situacin ms adelante en este captulo.

FIGURA 21.4Caminata aleatoria con

deriva.

1 200

800

1 000

600

400

200

050 150 200 300 350250 400 450 500100

Y

Yt = 2 + Y

t1 + u

t [Y

0 = 0]


21.5 Procesos estocsticos estacionarios en tendencia (ET)

y estacionarios en diferencias (ED)

La distincin entre procesos estocsticos (o series de tiempo) estacionarios y no estacionarios

tiene una importancia fundamental para saber si la tendencia (la lenta evolucin de largo plazo de

la serie de tiempo en consideracin) observada en las series de tiempo presentadas en las fi guras

21.3 y 21.4 o en las series de tiempo econmicas reales de las fi guras 21.1 y 21.2 es determinista

o estocstica. En trminos generales, si la tendencia de una serie de tiempo es del todo predecible

y no variable, se le llama tendencia determinista; si no es predecible, se le llama tendencia es-

tocstica. Para formalizar la defi nicin, considere el siguiente modelo de la serie de tiempo Yt:

Yt 1 + 2t + 3Yt1 + u t (21.5.1)

donde ut es un trmino de error de ruido blanco y donde t es el tiempo medido cronolgicamente. Ahora tenemos las siguientes probabilidades:

Caminata aleatoria pura: Si en (21.5.1) 1 = 0, 2 = 0, 3 = 1, obtenemos

Yt Yt1 + u t (21.5.2)

que no es otra cosa sino el MCA sin deriva y por tanto es no estacionario. Pero observe que si

expresamos (21.5.2) como

Yt (Yt Yt1) u t (21.3.8)

se convierte en estacionaria, como ya mencionamos. Por tanto, un MCA sin deriva es un pro-

ceso estacionario en diferencias (PED).

Caminata aleatoria con deriva: Si en (21.5.1) 1 6 0, 2 = 0, 3 = 1, obtenemos

Yt 1 + Yt1 + u t (21.5.3)

que es una caminata aleatoria con deriva y en consecuencia es no estacionaria. Si la expresa-

mos como

(Yt Yt1) Yt 1 + u t (21.5.3a)

esto signifi ca que Yt mostrar una tendencia positiva (1 > 0) o negativa (1 < 0) (fi gura 21.4). Tal tendencia se llama tendencia estocstica. La ecuacin (21.5.3a) es un PED porque la no estacionariedad en Yt se elimina al tomar las primeras diferencias de las series de tiempo.

Tendencia determinista: Si en (21.5.1), 1 6 0, 2 6 0, 3 = 0, obtenemos

Yt 1 + 2t + u t (21.5.4)

lo cual se llama proceso estacionario en tendencia (PET). Aunque la media de Yt es 1 + 2t no constante, su varianza (= 2) s lo es. Una vez que conocemos los valores de 1 y 2, podemos pronosticar la media sin ningn problema. Por tanto, si restamos la media de

Yt de Yt, la serie resultante ser estacionaria; de ah el nombre de estacionario en tendencia. Este procedimiento de eliminar la tendencia (determinista) se llama supresin de tendencia.

Caminata aleatoria con deriva y tendencia determinista: Si en (21.5.1) 1 6 0, 2 6 0,3 = 1, obtenemos

Yt 1 + 2t + Yt1 + u t (21.5.5)


en cuyo caso tenemos una caminata aleatoria con deriva y tendencia determinista, lo cual se

aprecia si expresamos esta ecuacin como

Yt 1 + 2t + ut (21.5.5a)que signifi ca que Yt es no estacionaria.

Tendencia determinista con componente estacionario AR(1): Si en (21.5.1) 1 6 0,2 6 0, 3 < 1, tenemos

Yt 1 + 2t + 3Yt1 + ut (21.5.6)que es estacionaria alrededor de la tendencia determinista.

Para apreciar la diferencia entre una tendencia determinista y una estocstica, considere la

fi gura 21.5.14 La serie llamada estocstica en esta fi gura est generada por el MCA con deriva:

Yt = 0.5 + Yt 1 + ut, donde se generaron 500 valores de ut a partir de la distribucin estndar y donde el valor inicial de Y se estableci como 1. La serie llamada determinista se genera de la siguiente forma: Yt = 0.5t + ut, donde ut se gener como antes y t es el tiempo medido cronol-gicamente.

Como se ve a partir de la fi gura 21.5, en el caso de la tendencia determinista, las desviaciones

de la lnea de tendencia (que representa la media no estacionaria) son puramente aleatorias y se

eliminan rpido; no contribuyen al desarrollo de largo plazo de las series de tiempo, el cual est

determinado por el componente de la tendencia 0.5t. En el caso de la tendencia estocstica, por otra parte, el componente aleatorio ut afecta el curso de largo plazo de la serie Yt.

21.6 Procesos estocsticos integrados

El modelo de caminata aleatoria no es ms que un caso especfi co de una clase ms general de

procesos estocsticos conocidos como procesos integrados. Recuerde que el MCA sin deriva es

no estacionario, pero su serie de primeras diferencias, como se muestra en (21.3.8), es estaciona-

ria. Por tanto, el MCA sin deriva se llama proceso integrado de orden 1 y se denota como I(1). De manera similar, si una serie de tiempo tiene que diferenciarse dos veces (es decir, se toman

primeras diferencias de la serie de primeras diferencias) para hacerla estacionaria, esa serie de

tiempo se denomina integrada de orden 2.15 En general, si una serie de tiempo (no estacionaria)

14 El siguiente anlisis se basa en Wojciech W. Charemza et al., op. cit., pp. 89-91.15 Por ejemplo, si Yt es I(2), entonces $$Yt = $(Yt Yt1) = $Yt $Yt1 = Yt 2Yt1 + Yt2 se convertir en estacionaria. Pero observe que $$Yt = $2Yt 6 Yt Yt2.

5Tiempo

Estocstica

Determinista

0

5

10

15

20

FIGURA 21.5Tendencia determinista

frente a tendencia

estocstica.

Fuente: Charemza et al., op. cit., p. 91.


debe diferenciarse d veces para hacerla estacionaria, decimos que la serie es integrada de orden d. Una serie de tiempo Yt integrada de orden d se denota como Yt I(d). Si una serie de tiempo es estacionaria desde el principio (es decir, si no requiere ninguna diferenciacin), decimos que es

integrada de orden cero y se denota mediante Yt I(0). Por tanto, con los trminos serie de tiempo estacionaria y serie de tiempo integrada de orden cero daremos a entender la misma

cosa.

La mayora de las series de tiempo econmicas son I(1); es decir, por lo general se convierten en estacionarias slo despus de tomar sus primeras diferencias. Las series de tiempo mostra-

das en las fi guras 21.1 y 21.2 son I(1) o de orden mayor? Las examinaremos en las secciones 21.8 y 21.9.

Propiedades de las series integradasPodemos observar las siguientes propiedades de las series de tiempo integradas: sea Xt, Yt y Zt tres series de tiempo.

1. Si Xt I(0) y Yt ~ I(1), Zt = (Xt + Yt) = I(1); es decir, una combinacin lineal o suma de series de tiempo estacionaria y no estacionaria es no estacionaria.

2. Si Xt I(d ), Zt = (a + bXt) = I(d ), donde a y b son constantes. Es decir, una combinacin lineal de una serie I(d) es tambin I(d ). Por tanto, si Xt I(0), Zt = (a + bXt) I(0).

3. Si Xt I(d1) y Yt ~ I(d2), Zt = (aXt + bYt) I(d2), donde d1 < d2.4. Si Xt I(d ) y Yt I(d ), Zt = (aXt + bYt) I(d ); d es por lo general igual a d, pero en algu-

nos casos d < d (vase el tema de cointegracin en la seccin 21.11).

Como se ve por los enunciados anteriores, debemos poner especial atencin al combinar dos

o ms series de tiempo que tengan diferente orden de integracin.

Para ver la importancia de esto, considere el modelo de regresin de dos variables analizado

en el captulo 3, a saber, Yt = 1 + 2Xt + ut. Segn los supuestos clsicos de MCO, sabemos que

2 xt ytx2t

(21.6.1)

donde las letras minsculas, como siempre, indican la desviacin de los valores medios. Suponga

que Yt es I(0) pero que Xt es I(1); es decir, la primera es estacionaria y la segunda no. Como Xt es no estacionaria, su varianza se incrementar indefi nidamente por tanto, domina el trmino

del numerador en (21.6.1), con el resultado de que 2 convergir a cero de manera asinttica (es

decir, en muestras grandes) y no tendr siquiera una distribucin asinttica.16

21.7 El fenmeno de regresin espuria

Para ver por qu las series de tiempo estacionarias son tan importantes, considere los dos mode-

los de caminata aleatoria siguientes:

Yt Yt1 + u tX t X t1 + vt

(21.7.1)

donde se generaron 500 observaciones de ut a partir de ut N(0, 1) y 500 observaciones de vt a partir de vt N(0, 1), adems de que se supuso que los valores iniciales de Y y X eran cero. Tambin se supuso que ut y vt no estn serial ni mutuamente correlacionadas. Como ya sabemos, ambas series de tiempo son no estacionarias; es decir, son I(1) o exhiben tendencias estocs-ticas.

16 Esta observacin se debe a Maddala et al., op. cit., p. 26.

(21.7.2)


Suponga que hacemos la regresin de Yt sobre Xt. Como Yt y Xt son procesos no correlacio-nados I(1), R2 de la regresin de Y sobre X debe tender a cero; es decir, no debe haber ninguna relacin entre las dos variables. Pero vea los resultados de la regresin:

Variable Coeficiente Error estndar Estadstico t

C 13.2556 0.6203 21.36856

X 0.3376 0.0443 7.61223

R2 = 0.1044 d = 0.0121

Como puede observar, el coefi ciente de X es muy signifi cativo estadsticamente, y aunque el valor de R2 es bajo, es estadsticamente distinto de cero. A partir de estos resultados, uno estara tentado a concluir que existe una relacin estadstica signifi cativa entre Y y X, aunque a priori se pensara que no habra ninguna. Lo anterior resume el fenmeno de regresin espuria o regre-

sin sin sentido descubierto por Yule,17 quien mostr adems que la correlacin (espuria) puede

persistir en las series de tiempo no estacionarias aunque la muestra sea muy grande. Que hay algo

malo en la regresin anterior lo indica el valor extremadamente bajo de la d de Durbin-Watson, el cual indica una autocorrelacin muy fuerte de primer orden. De acuerdo con Granger y Newbold,

R2 > d es una buena regla prctica para sospechar que la regresin estimada es espuria, como en el ejemplo anterior. Podemos aadir que la R2 y el estadstico t de dicha regresin espuria son engaosos y que los estadsticos t no estn distribuidos como la distribucin t (de Student) y, por tanto, no se pueden probar con ellos hiptesis sobre los parmetros.

Que los resultados de la regresin presentados antes carezcan de sentido se advierte con faci-

lidad al hacer la regresin de las primeras diferencias de Yt (= $Yt) sobre las primeras diferen-cias de Xt (= $Xt); recuerde que aunque Yt y Xt son no estacionarias, sus primeras diferencias s lo son. En esta regresin veremos que R2 es prcticamente cero, como debe ser, y que la d de Durbin-Watson es de casi 2. En el ejercicio 21.24 se le pedir realizar esta regresin y verifi car

el enunciado anterior.

Aunque resulta drstico, este ejemplo es un recordatorio de que debemos tener mucho cui-

dado al llevar a cabo un anlisis de regresin basado en series de tiempo que exhiban tendencias

estocsticas. As, hay que tomar muchas precauciones al interpretar de ms los resultados de la

regresin basados en variables I(1). Por ejemplo, vea el ejercicio 21.26. En alguna medida, lo anterior resulta verdadero para las series de tiempo sujetas a tendencias deterministas, de lo cual

se da un ejemplo en el ejercicio 21.25.

21.8 Pruebas de estacionariedad

A estas alturas es probable que el lector tenga una buena idea sobre la naturaleza de los procesos

estocsticos estacionarios y su importancia. En la prctica se enfrentan dos preguntas importan-

tes: 1) Cmo sabemos si una serie de tiempo determinada es estacionaria? 2) Si tenemos que una

serie de tiempo determinada es no estacionaria, hay alguna forma de que se convierta en estacio-

naria? Abordaremos la primera pregunta en este apartado y la segunda en la seccin 21.10.

Antes de proceder, tenga en cuenta que sobre todo nos interesa la estacionariedad dbil o

covarianza.

Aunque hay varias pruebas para la estacionariedad, slo analizamos las que se estudian de

manera prominente en la bibliografa. En esta seccin examinaremos dos pruebas: 1) el anlisis

17 G.U. Yule, Why Do We Sometimes Get Nonsense Correlations Between Time Series? A Study in Sampling and the Nature of Time Series, en Journal of the Royal Statistical Society, vol. 89, 1926, pp. 1-64. Para am-plias simulaciones Monte Carlo sobre regresiones espurias, vase C.W.J. Granger y P. Newbold, Spurious Regressions in Econometrics, en Journal of Econometrics, vol. 2, 1974, pp. 111-120.


grfi co y 2) la prueba del correlograma. Debido a la importancia que le otorgamos en el pasado

reciente, en el siguiente apartado estudiaremos la prueba de raz unitaria. Ilustramos las pruebas mencionadas con ejemplos adecuados.

1. Anlisis grfi coComo ya mencionamos, antes de efectuar una prueba formal, siempre es aconsejable grafi car

la serie de tiempo en estudio, como se hizo en las fi guras 21.1 y 21.2 con los datos de series de

tiempo sobre indicadores econmicos de Estados Unidos que se presentan en el sitio Web del

libro de texto. Estas grfi cas proporcionan una pista inicial respecto de la posible naturaleza de

las series de tiempo. Por ejemplo, considere la serie de tiempo PIB de la fi gura 21.1. Observar

que, a lo largo del periodo de estudio, el logaritmo del PIB se increment; es decir, muestra una

tendencia ascendente, lo cual deja entrever que quiz est variando la media del logaritmo del

PIB. Esto tal vez indique que la serie logartmica del PIB es no estacionaria, lo cual es ms o

menos verdadero para las otras series de tiempo econmicas de Estados Unidos de la fi gura 21.2.

Esa intuicin es el comienzo de una prueba ms formal de estacionariedad.

2. Funcin de autocorrelacin (FAC) y correlogramaUna prueba sencilla de estacionariedad se basa en la denominada funcin de autocorrelacin

(FAC). La FAC en el rezago k, denotada por k, se defi ne como

k k

0

covarianza en el rezago kvarianza

(21.8.1)

donde la covarianza en el rezago k y la varianza son como se defi nieron anteriormente. Observe que si k = 0, 0 = 1 (por qu?).

Como la covarianza y la varianza se miden en las mismas unidades, k es un nmero sin unidad de medida, o puro. Se encuentra entre 1 y +1, igual que cualquier coefi ciente de correlacin. Si grafi camos k respecto de k, la grfi ca obtenida se conoce como correlograma poblacional.

Como, en la prctica, slo tenemos una realizacin de un proceso estocstico (es decir, la

muestra), slo podemos calcular la funcin de autocorrelacin muestral, k. Para tal efecto,

debemos calcular primero la covarianza muestral en el rezago k, k, y la varianza muestral,0 defi nidas como

18

k (Yt Y )(Yt+k Y )

n (21.8.2)

0 (Yt Y )2

n (21.8.3)

donde n es el tamao de la muestra y Y es la media muestral.Por consiguiente, la funcin de autocorrelacin muestral en el rezago k es

k k

0 (21.8.4)

que es simplemente la razn entre la covarianza muestral (en el rezago k) y la varianza muestral. La grfi ca de k frente a k se conoce como correlograma muestral.

Cmo saber con un correlograma si una serie de tiempo particular es estacionaria? Para este

propsito, primero presentaremos correlogramas muestrales de un proceso puramente aleatorio

18 En sentido estricto, debemos dividir la covarianza muestral en el rezago k por (n k) y la varianza mues-tral entre (n 1) en vez de hacerlo entre n (por qu?), en donde n es el tamao de la muestra.


de ruido blanco y un proceso de caminata aleatoria. Regresemos al MCA sin deriva (21.3.13).

Ah generamos una muestra de 500 trminos de error, las u, a partir de la distribucin normal estandarizada. El correlograma para estos 500 trminos de error puramente aleatorios es como se

muestra en la fi gura 21.6; se muestran en este correlograma hasta 30 rezagos. En breve comenta-

remos cmo elegir la longitud del rezago.

Por el momento, slo observe la columna AC, que es la funcin de autocorrelacin muestral,

y el primer diagrama de la izquierda, llamado autocorrelacin. La lnea vertical continua de este

diagrama representa el eje cero; las observaciones por arriba de esta lnea son valores positivos, y

los que estn por debajo, negativos. Como resulta evidente a partir de este diagrama, para un pro-

ceso puramente de ruido blanco, las autocorrelaciones en distintos rezagos se ubican alrededor

del cero. sta es una imagen de un correlograma de una serie de tiempo estacionaria. Por tanto, si el correlograma de una serie de tiempo real (econmica) se parece al correlograma de una serie

de tiempo de ruido blanco, podemos decir que dicha serie de tiempo es quiz estacionaria.

FIGURA 21.6Correlograma del trmino

de error de ruido blanco

u. AC = autocorrelacin, ACP = autocorrelacin parcial (captulo 22),

Est. Q = estadstico Q, Prob = Probabilidad.

Autocorrelacin Correlacin parcial AC

1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516 1718 19 20212223242526272829 30

0.0220.019 0.0090.0310.070 0.008 0.048 0.069 0.022 0.004 0.024 0.024 0.0260.047 0.0370.026 0.029 0.043 0.038 0.099 0.001 0.065 0.0530.0170.0240.0080.036 0.0530.004 0.026

0.0220.0200.0100.0310.0720.013 0.0450.070 0.0170.011 0.025 0.027 0.0210.0460.0300.0310.0240.050 0.028 0.093 0.007 0.060 0.0550.0040.0050.0080.027 0.0720.0110.025

0.2335 0.4247 0.4640 0.9372 3.4186 3.4493 4.6411 7.0385 7.2956 7.3059 7.6102 7.8993 8.2502 9.372610.07410.42910.865 11.807 12.575 17.73917.73919.92321.40421.553 21.850 21.88522.58724.06824.07724.445

0.6290.8090.9270.9190.6360.7510.7040.5320.6060.6960.7480.7930.8270.8060.8150.8430.8630.8570.8600.6050.6650.5880.5560.6060.6440.6950.7070.6780.7250.752

ACP Est. Q Prob

Muestra: 2 500Observaciones incluidas: 499


Ahora observe el correlograma de una serie de caminata aleatoria como se genera por (21.3.13).

La grfi ca se muestra en la fi gura 21.7. La caracterstica ms sobresaliente de este correlograma

es que los coefi cientes de autocorrelacin, para diversos rezagos, son muy altos, incluso hasta

para un rezago de 33 trimestres. De hecho, si consideramos rezagos de hasta 60 trimestres, los

coefi cientes de autocorrelacin son muy altos; en el rezago 60, el coefi ciente es de casi 0.7. La

fi gura 21.7 es un correlograma habitual de una serie de tiempo no estacionaria. El coefi ciente

de autocorrelacin comienza en un nivel muy alto y disminuye de modo muy lento hacia cero,

conforme se prolonga el rezago.

Consideremos un ejemplo concreto. Examinemos el correlograma de la serie de tiempo LPIB

grafi cada con base en los datos de series de tiempo econmicas de Estados Unidos del sitio Web

del libro (seccin 21.1). En la fi gura 21.8 se muestra el correlograma de hasta 36 rezagos. El

correlograma de hasta 36 rezagos del LPIB tambin muestra un patrn semejante al del corre-

FIGURA 21.7Correlograma de una serie

de tiempo de caminata

aleatoria. Vanse las defi -

niciones en la fi gura 21.6.


1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718192021222324252627282930313233

0.9920.9840.9760.9690.9610.9530.946 0.9390.9320.9270.9210.9160.9120.9080.9050.9020.8990.896 0.8940.8920.8900.8860.8820.8780.8730.8670.8600.8530.846 0.8390.8320.8250.819

0.992 0.000 0.030 0.0050.059 0.050 0.004 0.040 0.009 0.055 0.018 0.039 0.002 0.056 0.061 0.000 0.006 0.030 0.053 0.0130.0410.0400.0440.0120.0230.0410.0550.0450.010 0.0080.006 0.0030.006

493.86 980.68 1 461.1 1 935.1 2 402.0 2 862.7 3 317.3 3 766.4 4 210.1 4 649.1 5 083.9 5 514.9 5 942.4 6 367.0 6 789.8 7 210.6 7 629.4 8 046.7 8 463.1 8 878.7 9 292.6 9 704.1 10 113. 10 518. 10 920. 11 317 11 709. 12 095. 12 476. 12 851. 13 221. 13 586. 13 946.

0.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000

ACP Est. Q Prob

Muestra: 2 500Observaciones incluidas: 499


lograma del modelo de caminata aleatoria de la fi gura 21.7. El coefi ciente de autocorrelacin

comienza con un valor muy alto en el rezago 1 (0.977) y disminuye muy lentamente. Por tanto,

parece que la serie de tiempo PIB es no estacionaria. Si grafi camos los correlogramas de otras

series de tiempo econmicas de Estados Unidos de la fi gura 21.1 y 21.2 observaremos patrones

similares, lo cual lleva a la conclusin de que todas estas series de tiempo son no estacionarias;

tal vez sean no estacionarias respecto de la media o la varianza, o ambas.

Aqu podemos abordar dos cuestiones prcticas. En primer lugar, cmo elegir la longitud del

rezago para calcular la FAC?, y en segundo, cmo determinar si un coefi ciente de autocorrela-

cin es estadsticamente signifi cativo en un cierto rezago? A continuacin damos las respuestas.

FIGURA 21.8Correlograma del LPIB de

Estados Unidos, I-1947 a

IV-2007. Vanse las defi -

niciones en la fi gura 21.6.


1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718192021222324252627282930313233343536

0.9770.9540.9310.9080.8860.8640.843 0.8220.8010.7800.7590.7380.7180.6990.6790.6600.6420.624 0.6070.5900.5730.5570.5410.5260.5110.4960.4820.4670.453 0.4380.4240.4110.3980.3850.3730.360

0.9770.0090.0100.0060.0030.0010.0060.0060.0100.0040.0070.013 0.0030.0050.0010.0040.0020.002

0.0030.0030.0030.0030.0010.007

0.0020.0050.0110.0090.0050.006

0.005 0.0040.004

0.0010.0090.010

235.73 461.43 677.31 883.671 080.9 1 269.3 1 449.3 1 621.0 1 784.6 1 940.6 2 089.0 2 230.0 2 364.1 2 491.5 2 612.4 2 727.2 2 836.2 2 939.6 3 037.8 3 130.9 3 219.3 3 303.1 3 382.5 3 457.9 3 529.4 3 597.2 3 661.4 3 722.0 3 779.2 3 833.1 3 883.9 3 931.6 3 976.7 4 019.1 4 058.9 4 096.3

0.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000

ACP Est. Q Prob

Muestra: I-1947 IV-2007Observaciones incluidas: 244


Eleccin de la longitud del rezagoSe trata bsicamente de un asunto emprico. Una regla prctica es calcular la FAC hasta un tercio

o una cuarta parte de la longitud de la serie de tiempo. En vista de que para los datos econmicos

de este ejemplo tenemos 244 observaciones trimestrales, segn esta regla, los rezagos de 61 a 81

trimestres servirn. Para ahorrar espacio, slo mostramos 36 rezagos en la grfi ca de la FAC en

la fi gura 21.8. El mejor consejo prctico es comenzar con rezagos lo bastante grandes y luego

reducirlos mediante un criterio estadstico, como el criterio de informacin Akaike o de Schwarz, que analizamos en el captulo 13. Por otra parte, tambin podemos utilizar cualquiera de las

siguientes pruebas.

Signifi cancia estadstica de los coefi cientes de autocorrelacinConsidere, por ejemplo, el correlograma de la serie de tiempo LPIB de la fi gura 21.8. Cmo de-

cidir si el coefi ciente de correlacin, 0.780, en el rezago 10 (trimestres) es estadsticamente signi-

fi cativo? La signifi cancia estadstica de cualquier k se juzga mediante su error estndar. Bartlett

demostr que si una serie de tiempo es puramente aleatoria, es decir, si es una muestra de ruido

blanco (fi gura 21.6), los coefi cientes de autocorrelacin muestrales k son aproximadamente19

k N (0, 1/n) (21.8.5)es decir, en muestras grandes, los coefi cientes de autocorrelacin muestrales estn normalmente

distribuidos y tienen media cero y varianza igual a 1 sobre el tamao de la muestra. Como hay

244 observaciones, la varianza es 1/244 0.0041, y el error estndar, 0.0041 0.0640. Por tanto, segn las propiedades de la distribucin normal estndar, el intervalo de confi anza de 95%

para cualquier (poblacin) k es:

k 1.96(0.0640) k 0.1254 (21.8.6)En otras palabras,

Prob (k 0.1254 k k + 0.1254) 0.95 (21.8.7)Si el intervalo anterior incluye el valor cero, no rechazamos la hiptesis de que la verdadera k

es cero, pero si este intervalo no incluye 0, rechazamos la hiptesis de que la verdadera k es

cero. Al aplicar esto al valor estimado de 10 = 0.780, el lector puede verifi car que el intervalo de confi anza de 95% para la verdadera 10 es (0.780 0.1254) o (0.6546, 0.9054).20 Es obvio que este intervalo no incluye el valor cero, lo cual indica que hay 95% de confi anza de que la

verdadera 10 sea signifi cativamente diferente de cero.21 Como se ve, incluso en el rezago 20

la 20 es estadsticamente signifi cativa en un nivel de 5%.

En lugar de probar la signifi cancia estadstica de cualquier coefi ciente de autocorrelacin

individual, para probar la hiptesis conjunta de que todos los k hasta ciertos rezagos son simul-tneamente iguales a cero, podemos utilizar el estadstico Q desarrollado por Box y Pierce, que

se defi ne como22

Q nm

k 12k (21.8.8)

19 M.S. Bartlett, On the Theoretical Specifi cation of Sampling Properties of Autocorrelated Time Series, en Journal of the Royal Statistical Society, serie B, vol. 27, 1946, pp. 27-41.20 El tamao de la muestra de 244 observaciones es razonablemente grande para usar la aproximacin nor-mal.21 Por otra parte, si divide el valor estimado de cualquier k entre el error estndar ( 1/n) para una n lo bastante grande, obtendr el valor estndar Z, cuya probabilidad se obtiene fcilmente a partir de la tabla normal estndar. Por tanto, para el valor estimado de 10 = 0.780, el valor Z es 0.780/0.1066 = 7.32 (aproximadamente). Si la verdadera 10 fuera en efecto cero, la probabilidad de obtener un valor Z igual o mayor que 7.32 es muy pequea, por lo que rechazamos la hiptesis de que la verdadera 10 es cero.22 G.E. P. Box y D.A. Pierce, Distribution of Residual Autocorrelations in Autoregressive Integrated Moving Average Time Series Models, Journal of the American Statistical Association, vol. 65, 1970, pp. 1509-1526.


donde n = tamao de la muestra y m = longitud del rezago. El estadstico Q es comn para pro-bar si una serie de tiempo es de ruido blanco. En muestras grandes, este estadstico se distribuye

aproximadamente como la distribucin ji cuadrada con m gl. En una aplicacin, si la Q calculada excede el valor Q crtico de la distribucin ji cuadrada en el nivel de signifi cancia seleccionado, podemos rechazar la hiptesis nula de que todos los k (verdaderos) son iguales a cero; por lo

menos algunos de ellos deben ser diferentes de cero.

Una variante del estadstico Q de Box-Pierce es el estadstico Ljung-Box (LB), que se defi ne como23

LB n(n + 2)m

k 1

2k

n k 2m (21.8.9)

Aunque en muestras grandes tanto el estadstico Q como el estadstico LB siguen la distribucin ji cuadrada con m gl, se ha visto que el estadstico LB tiene mejores propiedades en muestras pequeas (ms potente, en el sentido estadstico) que el estadstico Q.24

De regreso al ejemplo del LPIB de la fi gura 21.8, el valor del estadstico Q hasta el rezago 36 es cercano a 4 096. La probabilidad de obtener tal valor de Q segn la hiptesis nula de que la suma de los 36 cuadrados de los coefi cientes de autocorrelacin estimados sea cero es prctica-

mente nula, como lo muestran las cifras de la ltima columna. Por consiguiente, la conclusin es

que la serie de tiempo LPIB probablemente es no estacionaria, con lo cual se refuerza la conjetura

basada en la fi gura 21.1: la serie LPIB tal vez era no estacionaria. En el ejercicio 21.16 se pide

al lector confi rmar que las otras cuatro series de tiempo econmicas de Estados Unidos tambin

son no estacionarias.

21.9 Prueba de raz unitaria

Otra prueba sobre estacionariedad (o no estacionariedad) que se populariza cada vez ms se co-

noce como prueba de raz unitaria. Primero la explicaremos, luego la ilustraremos y despus

consideraremos algunas limitantes de esta prueba.

El punto de partida es el proceso (estocstico) de raz unitaria que vimos en la seccin 21.4.

Se inicia con

Yt Yt1 + u t 1 1 (21.4.1)donde ut es un trmino de error de ruido blanco.

Sabemos que si = 1, es decir, en el caso de la raz unitaria, (21.4.1) se convierte en un mo-delo de caminata aleatoria sin deriva, del cual sabemos tambin que es un proceso estocstico no estacionario. Por consiguiente, por qu no simplemente hacer la regresin de Yt sobre su valor rezagado (de un periodo) Yt1 y se averigua si la estimada es estadsticamente igual a 1? De ser as, Yt es no estacionaria. sta es la idea general de la prueba de raz unitaria para la estacio-nariedad.

Sin embargo, no podemos estimar la ecuacin (21.4.1) por MCO y probar la hiptesis de que = 1 por medio de la prueba t acostumbrada, porque esa prueba tiene un sesgo muy marcado en el caso de una raz unitaria. Por tanto, manipulamos (21.4.1) de la siguiente forma: restamos Yt1 de ambos miembros de la ecuacin (21.4.1) para obtener:

Yt Yt1 " Yt1 Yt1 + u t

" ( 1)Yt1 + u t (21.9.1)

la cual tambin se expresa como:

Yt " Yt1 + u t (21.9.2)

donde = ( 1) y !, como siempre, es el operador de primeras diferencias.

23 G.M. Ljung y G.P.E. Box, On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models, en Biometrika, vol. 66, 1978, pp. 66-72.24 Los estadsticos Q y LB tal vez no resulten apropiados en todos los casos. Para conocer una crtica de lo anterior, consulte Maddala et al., op. cit., p. 19.


Por tanto, en la prctica, en vez de estimar (21.4.1), calculamos (21.9.2) y probamos la hi-ptesis (nula) de que = 0, y la hiptesis alternativa es que < 0 (nota 25). Si = 0, entonces = 1; es decir, tenemos una raz unitaria, lo cual signifi ca que la serie de tiempo en considera-cin es no estacionaria.

Antes de proceder con la estimacin de (21.9.2) debemos observar que si = 0, entonces (21.9.2) se convertir en

Yt H (Yt Yt1) H u t (21.9.3)

Como ut es un trmino de error de ruido blanco, entonces es estacionario, lo cual signifi ca que las primeras diferencias de una serie de tiempo de caminata aleatoria son estacionarias, una ob-servacin que ya habamos hecho.

Ahora reconsideremos la estimacin de (21.9.2). Esto es muy simple: slo hay que tomar las primeras diferencias de Yt y hacer la regresin sobre Yt1, a fi n de ver si el coefi ciente estimado de la pendiente en esta regresin (= ) es o no cero. Si es cero, concluimos que Yt es no estaciona-ria; pero si es negativa, se infi ere que Yt es estacionaria.25 La nica interrogante es saber con qu prueba averiguar si el coefi ciente estimado de Yt1 en (21.9.2) es o no cero. Uno estara tentado a utilizar la prueba t usual. Por desgracia, segn la hiptesis nula de que = 0 (es decir, = 1), el valor t del coefi ciente estimado de Yt1 no sigue la distribucin t ni siquiera en muestras grandes, es decir, no tiene una distribucin normal asinttica.

Cul es la alternativa? Dickey y Fuller probaron que segn la hiptesis nula de que = 0, el valor estimado t del coefi ciente Yt1 en (21.9.2) sigue el estadstico (tau).26 Estos autores calcularon los valores crticos del estadstico tau con base en simulaciones Monte Carlo. Una muestra de esos valores crticos se da en el apndice D, tabla D.7. La tabla es limitada, pero MacKinnon prepar tablas ms extensas, ya incorporadas en diferentes software estadsticos.27 En la bibliografa, el estadstico o prueba tau se conoce como prueba Dickey-Fuller (DF), en honor a sus descubridores. Resulta interesante que si rechazamos la hiptesis de que = 0 (es decir, la serie de tiempo es estacionaria), podemos utilizar la prueba t (de Student) usual. Tenga en cuenta que la prueba Dickey-Fuller es unidireccional porque la hiptesis alternativa es que < 0 (o < 1).

El procedimiento real para aplicar la prueba DF supone diversas decisiones. Al analizar la naturaleza del proceso de raz unitaria en las secciones 21.4 y 21.5 observamos que un proceso de caminata aleatoria tal vez no tiene deriva, o quiz s, o posiblemente tiene tendencia determi-nista y estocstica. A fi n de permitir las distintas posibilidades, la prueba DF se estima en tres diferentes formas, es decir, conforme a tres hiptesis nulas:

Yt es una caminata aleatoria: Yt Yt1 + u t (21.9.2)

Yt es una caminata aleatoria con deriva: Yt 1 + Yt1 + u t (21.9.4)

Yt es una caminata aleatoria con deriva

alrededor de una tendencia

determinista: Yt 1 + 2t + Yt1 + u t (21.9.5)

25 Porque = ( 1), por lo que la estacionariedad debe ser menor que uno. Para que esto suceda, debe ser negativa.26 D.A. Dickey y W.A. Fuller, Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root, en Journal of the American Statistical Association, vol. 74, 1979, pp. 427-431. Vase tambin W.A. Fuller, In-troduction to Statistical Time Series, John Wiley & Sons, Nueva York, 1976.27 J.G. MacKinnon, Critical Values of Cointegration Test, en R.E. Engle y C.W.J. Granger (eds.), Long-Run Economic Relationships: Readings in Cointegration, cap. 13, Oxford University Press, Nueva York, 1991.


donde t es la variable de tiempo o de tendencia. En cada caso, las hiptesis son:

Hiptesis nula: H0: = 0 (es decir, existe una raz unitaria, la serie de tiempo es no estaciona-

ria o tiene tendencia estocstica).

Hiptesis alternativa: H1: < 0 (es decir, la serie de tiempo es estacionaria, posiblemente

alrededor de una tendencia determinista).28

Si rechazamos la hiptesis nula, esto signifi ca que 1) Yt es estacionaria con media cero en

el caso de la ecuacin (21.9.2) o que 2) Yt es estacionaria con una media distinta de cero en el

caso de (21.9.4). En el caso de la ecuacin (21.9.5), podemos probar que < 0 (es decir, no

hay tendencia estocstica) y 6 0 (es decir, la existencia de una tendencia determinista) simul-

tneamente, mediante la prueba F pero con los valores crticos tabulados por Dickey y Fuller.

Cabe sealar que una serie de tiempo puede contener tanto una tendencia estocstica como una

determinista.

Es extremadamente importante observar que los valores crticos de la prueba tau para probar

la hiptesis de que = 0 son diferentes en cada una de las tres especifi caciones anteriores de la

prueba DF, lo cual se ve claramente en el apndice D, tabla D.7. Es ms, si, por ejemplo, la es-

pecifi cacin (21.9.4) es correcta pero se estima (21.9.2), cometemos un error de especifi cacin,

cuyas consecuencias ya conocemos desde el captulo 13. La misma regla se aplica si estimamos

(21.9.4) en vez del verdadero (21.9.5). Desde luego, no hay forma de saber cul especifi cacin es

la correcta. Resulta inevitable hacer pruebas de ensayo y error, no obstante la minera de datos.

El procedimiento real de estimacin es el siguiente: Estimamos (21.9.2), (21.9.3) o (21.9.4)

mediante MCO; dividimos el coefi ciente estimado de Yt1 en cada caso entre su error estndar

a fi n de calcular el estadstico tau () y consultamos las tablas DF (o cualquier software estads-

tico). Si el valor absoluto calculado del estadstico tau (||) excede la DF absoluta o los valores

crticos tau de MacKinnon, rechazamos la hiptesis de que = 0, en cuyo caso la serie de tiempo

es estacionaria. Por otra parte, si el || calculado no excede el valor crtico tau, no rechazamos la

hiptesis nula, en cuyo caso la serie de tiempo es no estacionaria. Hay que asegurarse de utilizar

los valores crticos apropiados. En la mayora de las aplicaciones, el valor tau es negativo. Por

consiguiente, tambin vale decir que si el valor tau calculado (negativo) es ms pequeo (es decir,

ms negativo) que el valor crtico tau, rechazamos la hiptesis nula (es decir, la serie de tiempo es

estacionaria); de lo contrario, no la rechazamos (es decir, la serie de tiempo es no estacionaria).

Regresemos al ejemplo de las series de tiempo del PIB de Estados Unidos. Para estas series,

los resultados de las tres regresiones (21.9.2), (21.9.4) y (21.9.5) son los siguientes: la variable

dependiente en cada caso es !Yt = !LPIBt, donde LPIB es el logaritmo del PIB real.

LPIBt 0.000968LPIBt1

t (12.9270) R2 0.0147 d 1.3194 (21.9.6)

LPIBt 0.0221 0.00165LPIBt1

t (2.4342) (1.5294) R2 0.0096 d 1.3484 (21.9.7)

LPIBt 0.2092 + 0.0002t 0.0269LPIBt1

t (1.8991) (1.7040) (1.8102)

R2 0.0215 d 1.3308

(21.9.8)

28 Descartamos la posibilidad de que > 0 porque en ese caso > 1, y de ser as, la serie de tiempo subya-cente sera explosiva.


El principal inters en todas estas regresiones radica en el valor t(= ) del coefi ciente LPIBt1.

Si analizamos la tabla D.7 del apndice D, observaremos que los valores crticos tau a 5% para

un tamao de muestra de 250 (el nmero ms prximo a la muestra de 244 observaciones que

estudiamos aqu) son 1.95 (sin intercepto, sin tendencia), 2.88 (intercepto pero sin tendencia)

y 3.43 (intercepto y tendencia). EViews y otros paquetes estadsticos proporcionan valores cr-

ticos para el tamao de muestra del anlisis.

Antes de examinar los resultados, tenemos que decidir cul de los tres modelos es el adecuado.

Debemos descartar el modelo (21.9.6) porque el coefi ciente LPIBt1, que es igual a , es positivo.

Pero en vista de que = ( 1), una positiva implicara que > 1. Aunque es una posibilidad

terica, se descarta en este caso porque la serie de tiempo LPIB sera explosiva.29 Por tanto, no

quedan ms que los modelos (21.9.7) y (21.9.8). En ambos casos, el coefi ciente estimado es

negativo, lo cual implica que la estimada es menor que 1. Para ambos modelos, los valores

estimados son 0.9984 y 0.9731, respectivamente. Ahora, la nica pregunta pendiente es saber

si estos valores son estadsticamente menores que 1 de manera signifi cativa, para que podamos

decir que la serie de tiempo del PIB es estacionaria.

Para el modelo (21.9.7), el valor estimado es 1.5294, mientras que el valor crtico a 5%,

como ya sealamos, es 2.88. Como en trminos absolutos el primer valor es ms pequeo que

el segundo, la conclusin es que la serie de tiempo LPIB es no estacionaria.30

Sucede lo mismo con el modelo (21.9.8). El valor calculado de 1.8102, en trminos abso-

lutos, es menor incluso que el valor crtico a 5% de 3.43.

Por tanto, con base en el anlisis grfi co, el correlograma y la prueba Dickey-Fuller, la con-

clusin es que para los periodos trimestrales de 1947 a 2007, la serie de tiempo LPIB de Estados

Unidos fue no estacionaria; es decir, contena una raz unitaria, o tena una tendencia estocstica.

La prueba Dickey-Fuller aumentada (DFA)Al llevar a cabo la prueba DF en (21.9.2), (21.9.4) o (21.9.5) supusimos que el trmino de error

ut no estaba correlacionado. Pero Dickey y Fuller desarrollaron una prueba cuando dicho tr-

mino s est correlacionado, la cual se conoce como prueba Dickey-Fuller aumentada (DFA).

Esta prueba implica aumentar las tres ecuaciones anteriores mediante la adicin de los valores

rezagados de la variable dependiente !Yt. Para un ejemplo especfi co, suponga que utilizamos

(21.9.5). La prueba DFA consiste en este caso en estimar la siguiente regresin:

Yt 1 + 2t + Yt1 +

m

i 1

i Yti + t (21.9.9)

donde t es un trmino de error puro de ruido blanco y donde !Yt1 = (Yt1 Yt2), !Yt2

= (Yt2 Yt3), etc. El nmero de trminos de diferencia rezagados que debemos incluir con

frecuencia se determina de manera emprica, con la idea de incluir los trminos sufi cientes para

que el trmino de error en (21.9.9) no est serialmente relacionado y sea posible obtener una

estimacin insesgada de , el coefi ciente de Yt1 rezagado. EViews 6 tiene una opcin que selec-

ciona automticamente la longitud del rezago con base en los criterios de informacin de Akaike,

Schwarz y otros. En la DFA se sigue probando = 0, y adems esta prueba sigue la misma distri-

bucin asinttica que el estadstico DF, por lo que se sirven los mismos valores crticos.

Con el fi n de dar una idea general de este procedimiento estimamos (21.9.9) para la serie

LPIB. Como se tienen datos trimestrales, decidimos usar cuatro rezagos. Los resultados de la

regresin DFA fueron los siguientes:31

29 De manera ms tcnica, como (21.9.2) es una ecuacin diferencial de primer orden, la llamada condicin de estabilidad requiere que || < 1.30 Otra forma de expresar esto sera que el valor calculado deba ser ms negativo que el valor crtico , lo cual no sucede aqu. Por tanto, mantenemos la conclusin. Como en general se espera que sea negativa, el estadstico estimado tendr signo negativo. Por tanto, un valor grande y negativo suele ser un indicio de estacionariedad.31 Se consideraron diferencias rezagadas de orden superior, pero fueron insignifi cantes.


(21.9.10)

El valor t(= ) del coefi ciente LPIBt1 rezagado (= ) es 2.3443, que en trminos absolutos

es incluso mucho menor que el valor crtico a 10% de 3.1378, lo cual indica de nuevo que

aun despus de tener cuidado de la posible autocorrelacin en el trmino de error, la serie LPIB

es no estacionaria. (Nota: El comando @trend de EViews genera automticamente la variable de

tiempo o tendencia.)

Puede ser ste el resultado de haber elegido slo cuatro valores rezagados de !LPIB? Apli-

camos el criterio de Schwartz con 14 valores rezagados de !LPIB, lo que arroj el valor tau de

1.8102. Aun entonces, este valor tau no fue signifi cativo en el nivel de 10% (el valor crtico tau

en este nivel fue de 3.1376). Al parecer, el logaritmo del PIB es no estacionario.

Prueba de la signifi cancia de ms de un coefi ciente:prueba FSuponga que estimamos el modelo (21.9.5) y probamos la hiptesis de que 1 = 2 = 0, es

decir, el modelo es MCA sin deriva ni tendencia. Para probar esta hiptesis conjunta utilizamos

la prueba F restringida analizada en el captulo 8. Es decir, estimamos (21.9.5) (la regresin

no restringida) y luego estimamos (21.9.5) otra vez, lo que elimina el intercepto y la tendencia.

Luego utilizamos la prueba F restringida, como se muestra en la ecuacin (8.6.9), excepto que no

se emplea la tabla F convencional a fi n de obtener los valores crticos F. Como hicieron para el

estadstico , Dickey y Fuller desarrollaron valores crticos F para esta situacin; una muestra de

lo anterior se da en el apndice D, tabla D.7. En el ejercicio 21.27 se proporciona un ejemplo

de lo anterior.

Las pruebas de raz unitaria Phillips-Perron (PP)32

Un supuesto importante de la prueba DF es que los trminos de error ut estn idntica e inde-

pendientemente distribuidos. La prueba DFA ajusta la prueba DF a fi n de tener cuidado de una

posible correlacin serial en los trminos de error al agregar los trminos de diferencia rezagados

de la regresada. Phillips y Perron utilizan mtodos estadsticos no paramtricos para evitar la

correlacin serial en los trminos de error, sin aadir trminos de diferencia rezagados. Como

la distribucin asinttica de la prueba PP es la misma que la prueba DFA, no examinaremos con

mayor detalle este tema.

Prueba de cambios estructuralesLos datos macroeconmicos introducidos en la seccin 21.1 (consulte los datos reales en el

sitio Web del libro) corresponden al periodo 1947-2007, 61 aos. En este periodo la economa

de Estados Unidos pas por varios ciclos econmicos de diferentes duraciones. Los ciclos eco-

nmicos estn marcados por periodos de recesiones y de expansiones. Es muy probable que un

ciclo econmico sea distinto de otro, lo que puede refl ejar rupturas estructurales o cambios

estructurales en la economa.

Por ejemplo, considere el primer embargo petrolero, en 1973. Los precios del petrleo se cua-

driplicaron. Los precios volvieron a aumentar de manera sustancial despus del segundo embargo

petrolero, en 1979. Como es natural, estas conmociones afectan el comportamiento econmico.

Por tanto, si queremos hacer una regresin del gasto de consumo personal (GCP) sobre el ingreso

personal disponible (IPD), es muy probable que el intercepto, la pendiente o ambas varen de un

ciclo econmico a otro (recuerde la prueba de Chow de rupturas estructurales). Esto es lo que se

entiende por cambios estructurales.

32 P.C.B. Phillips y P. Perron, Testing for a Unit Root in Time Series Regression, en Biometrika, vol. 75, 1988, pp. 335-346. La prueba PP ahora se incluye en varios software estadsticos.

LPIBt 0.2677 + 0.0003t 0.0352LPIB t1 + 0.2990 LPIB t1 + 0.1451 LPIB t2 0.0621 LPIBt3 0.0876 LPIBt

t (2.4130) (2.2561) (2.3443) (4.6255) (2.1575) (0.9205) (1.3438)

R2 0.1617 d 2.0075


Por ejemplo, Perron sostiene que las pruebas estndar de la hiptesis de raz unitaria pueden

no ser confi ables en presencia de cambios estructurales.33 Existen varias formas de probar los

cambios estructurales y explicarlos; la ms sencilla supone el uso de variables dictomas. Sin

embargo, un anlisis a fondo de las diversas pruebas de rupturas estructurales va mucho ms all

del texto y es mejor dejarlo a las referencias.34 No obstante, vea el ejercicio 21.28.

Crtica de las pruebas de raz unitaria35

Se han analizado varias pruebas de raz unitaria y adems existen todava otras ms. La pregunta

es: por qu hay tantas pruebas de raz unitaria? La respuesta radica en su tamao y potencia.

Por tamao de la prueba nos referimos al nivel de signifi cancia (es decir, la probabilidad de co-

meter un error tipo I), y por potencia de una prueba a la probabilidad de rechazar la hiptesis nula

cuando es falsa. Calculamos la potencia de una prueba al restar la probabilidad de un error tipo

II de 1; el error tipo II es la probabilidad de aceptar una hiptesis nula falsa. El mximo poder es

1. Casi todas las pruebas de raz unitaria se basan en la hiptesis nula de que la serie de tiempo

que se analiza tiene una raz unitaria; o sea, es no estacionaria. La hiptesis alterna es que la serie

de tiempo es estacionaria.

Tamao de la prueba

Recordar, del captulo 13, la distincin entre los niveles de signifi cancia nominales y los verda-

deros. La prueba DF es sensible a la forma en que se lleva a cabo. Recuerde que analizamos tres

variedades de pruebas DF: 1) una caminata puramente aleatoria, 2) una caminata aleatoria con

deriva y 3) una caminata aleatoria con deriva y tendencia. Si, por ejemplo, el verdadero modelo

es 1) pero se estima un modelo 2) y se concluye que, por ejemplo, con un nivel de signifi cancia

de 5% la serie es estacionaria, esta conclusin puede ser errnea porque el verdadero nivel de sig-

nifi cancia en este caso es mucho mayor que 5%.36 El tamao de la distorsin tambin puede

deberse a la exclusin de componentes de promedios mviles (PM) del modelo (sobre promedios

mviles, vase el captulo 22).

Potencia de la prueba

La mayora de las pruebas del tipo DF tienen poco poder; es decir, tienden a aceptar la nulidad

de la raz unitaria con ms frecuencia de la garantizada. En otras palabras, estas pruebas pueden

encontrar una raz unitaria aunque no exista. Hay varias razones para esto. En primer lugar, la

potencia depende del lapso de los datos ms que del solo tamao de la muestra. Para una mues-

tra dada de tamao n, la potencia es mayor cuando el lapso es grande. En consecuencia, la(s)

prueba(s) basada(s) en 30 observaciones sobre un lapso de 30 aos quiz tengan ms potencia

que una basada por ejemplo en 100 observaciones durante un lapso de 100 das. En segundo

lugar, si 1 pero no es exactamente 1, la prueba de raz unitaria puede diagnosticar la serie de

tiempo como no estacionaria. En tercer lugar, estos tipos de prueba suponen una raz unitaria;

es decir, suponen que la serie de tiempo dada es I(1). Pero si una serie de tiempo es integrada de

orden mayor que 1, por ejemplo, I(2), habr ms de una raz unitaria. De ser as, se puede utili-

zar la prueba Dickey-Pantula.37 En cuarto lugar, si hay rupturas estructurales en una serie de

tiempo (vase el captulo sobre variables dictomas) debidas, por ejemplo, al embargo petrolero

por parte de la OPEP, las pruebas de raz unitarias quiz no las refl ejen.

33 P. Perron, The Great Crash, the Oil Price Shock and the Unit Root Hypothesis, Econometrica, vol. 57, 1989, pp. 1361-1401.34 Hay un anlisis accesible en James H. Stock y Mark W. Watson, Introduction to Econometrics, 2a. ed., Pear-son/Addison-Wesley, Boston, 2007, pp. 565-571. Para un anlisis ms minucioso, vase G.S. Maddala e In-Moo Kim, Unit Roots, Cointegration, and Structural Change, Cambridge University Press, Nueva York, 1998.35 Para un anlisis detallado, vase Terrence C. Mills, op. cit., pp. 87-88.36 Para un experimento Monte Carlo al respecto, vase Charemza et al., op. cit., p. 114.37 D.A. Dickey y S. Pantula, Determining the Order of Differencing in Autoregressive Processes, en Journal of Business and Economic Statistics, vol. 5, 1987, pp. 455-461.


Por tanto, al aplicar las pruebas de raz unitaria se deben tener en cuenta sus limitaciones.

Desde luego, Perron y Ng, Elliot, Rothenberg y Stock, Fuller y Leybounre38 modifi caron esas

pruebas. Debido a lo anterior, Maddala y Kim afi rman que las pruebas tradicionales DF, DFA y

PP deben descartarse. Quiz eso llegue a suceder conforme los paquetes de software de econo-

metra incorporen nuevas pruebas. Pero debemos aadir que hasta la fecha no existe una prueba

uniformemente poderosa de la hiptesis de la raz unitaria.

21.10 Transformacin de las series de tiempo no estacionarias

Ahora que conocemos el problema asociado a las series de tiempo no estacionarias, surge la

pregunta prctica de qu hay que hacer. Para evitar el problema de la regresin espuria que pu-

diese surgir al hacer la regresin de una serie de tiempo no estacionaria sobre una o ms series

de tiempo no estacionarias tenemos que transformar las series de tiempo no estacionarias en

estacionarias. El mtodo de transformacin depende de que las series de tiempo sean procesos

estacionarios en diferencias (PED) o procesos estacionarios con tendencia (PET). Considerare-

mos cada caso a su debido tiempo.

Procesos estacionarios en diferenciasSi una serie de tiempo tiene una raz unitaria, las primeras diferencias de tales series son estaciona-

rias.39 En consecuencia, la solucin aqu es tomar las primeras diferencias de las series de tiempo.

Al reconsiderar la serie de tiempo LPIB de Estados Unidos, ya vimos que tiene raz unitaria.

Ahora veremos lo que sucede si se toman las primeras diferencias de la serie LPIB.

Sea !LPIBt = (LPIBt LPIBt1). Por conveniencia, sea Dt = !LPIBt. Ahora considere la

siguiente regresin:

Dt H 0.00557 0.6711Dt1

t H (7.1407) (11.0204)

R2 H 0.3360 d H 2.0542

(21.10.1)

El valor crtico a 1% para la DF es 3.4574. Como la calculada (= t) de 11.0204 es ms

negativa que el valor crtico, concluimos que la serie LPIB en primeras diferencias es estacio-

naria; o sea, es I(0), como se muestra en la fi gura 21.9. Si comparamos esta fi gura con la 21.1,

observar las evidentes diferencias entre ambas.

38 Un estudio de estas pruebas se encuentra en Maddala et al., op. cit., cap. 4.39 Si una serie de tiempo es I(2), contendr dos races unitarias, en cuyo caso tendremos que diferenciar dos veces. Si es I(d ), debe diferenciarse d veces, donde d es cualquier entero.

FIGURA 21.9Primeras diferencias de

los logaritmos del PIB

de Estados Unidos,

1947-2007 (trimestral).

0.05

0.03

0.04

0.02

0.01

0

0.01

0.02

0.0348241 96 120 168144 192 240216 26472

DL

PIB

Tiempo

Grfico de la serie de tiempo DLPIB


Procesos estacionarios en tendenciaComo vimos en la fi gura 21.5, un PET es estacionario alrededor de la lnea de tendencia. Por

tanto, la manera ms sencilla de convertir en estacionaria una serie de tiempo es hacer la regre-

sin de ella sobre el tiempo y los residuos de tal regresin sern estacionarios. En otras palabras,

realizamos la siguiente regresin:

Yt H 1 + 2t + u t (21.10.2)

donde Yt es la serie de tiempo estudiada y t es la variable de tendencia medida de manera crono-

lgica.

Ahora bien,

u t H (Yt 1 2t) (21.10.3)

ser estacionaria. A ut se le conoce como serie de tiempo sin tendencia.

Es importante notar que tal vez la tendencia sea no lineal. Por ejemplo, puede ser

Yt H 1 + 2t + 3t2+ u t (21.10.4)

que es una serie con tendencia cuadrtica. De ser as, los residuos de (21.10.4) sern ahora una

serie (cuadrtica) de tiempo sin tendencia.

Debe sealarse que si una serie de tiempo es PED pero se trata como si fuera PET, esto se

conoce como hipodiferenciacin. Por otra parte, si una serie de tiempo es PET pero se le trata

como PED, se conoce como hiperdiferenciacin. Las consecuencias de estos errores de especi-

fi cacin pueden ser graves, segn la manera en que se manejen las propiedades de correlacin de

los trminos de error resultantes.40

Para ver qu sucede si se confunde una serie PET con una serie PED o viceversa, la fi gura

21.10 muestra las primeras diferencias de LPIB y los residuos del LPIB estimado a partir de la

regresin PET (21.10.2):

40 Para un anlisis detallado de esto, vase Maddala et al., op. cit., seccin 2.7.

0.05

0.03

0.04

0.02

0.01

0

0.02

0.04

0.03

0.01

0.0549251 97 121 169145 193

Delta LPIB

241217 26573

Tiempo

RESI1

FIGURA 21.10Primeras diferencias

(delta LPIB) y desvia-

ciones de la tendencia

(RESI1) para el logaritmo

del PIB, 1947-2007 (tri-

mestral).


Un vistazo a esta fi gura revela que las primeras diferencias del logaritmo del PIB real son esta-cionarias (como lo confi rma la regresin [21.10.1]), pero los residuos de la lnea de tendencia (RESI1) no.

En resumen, . . . es muy importante aplicar el tipo correcto de transformacin de estacionarie-dad a los datos si no son ya estacionarios. La mayora de los mercados fi nancieros generan datos sobre precios, tasas o rendimientos que son no estacionarios debido a una tendencia estocstica ms que determinista. Rara vez es apropiado suprimir la tendencia de los datos ajustando una lnea de tendencia y tomando desviaciones. En cambio, para suprimir la tendencia de los datos es preciso tomar las primeras diferencias, por lo general el logaritmo del precio o las tasas, porque en-tonces los datos estacionarios transformados correspondern a los rendimientos del mercado.41

21.11 Cointegracin: regresin de una serie de tiempo con raz

unitaria sobre otra serie de tiempo con raz unitaria

Ya advertimos que la regresin de una serie de tiempo no estacionaria sobre otra no estacionaria puede causar una regresin espuria. Suponga que consideramos las series de tiempo LGCP y LIDP presentadas en la seccin 21.1 (consulte los datos reales en el sitio Web del libro). Si somete estas series de manera individual a un anlisis de raz unitaria encontrar que ambas son I(1); es decir, contienen una tendencia estocstica. Es muy posible que las dos series compartan la misma tendencia comn, por lo que la regresin de una sobre la otra no ser necesariamente espuria.

Para ser especfi cos, usaremos los datos de las series de tiempo econmicas de Estados Unidos (vase la seccin 21.1 y el sitio Web del libro) y ejecutaremos la siguiente regresin de LGCP sobre LIPD:

LGCPt H 1 + 2 tLIDP + u t (21.11.1)

donde L signifi ca logaritmo. 2 es la elasticidad del gasto de consumo personal real respecto del ingreso personal disponible real. Para efectos ilustrativos, le denominaremos elasticidad del consumo. Esto se expresa como:

ut H LGCPt 1 2LIDPt (21.11.2)

Suponga que ahora sometemos ut a un anlisis de raz unitaria y descubrimos que es estacionaria, es decir, I(0). sta es una situacin interesante, pues LGCPt y LIDPt son individualmente I(1), es decir, tienen tendencias estocsticas, y su combinacin lineal (21.11.2) es I(0). Se puede decir que la combinacin lineal cancela las tendencias estocsticas de las dos series. Si consideramos el consumo y el ingreso como dos variables I(1), el ahorro (defi nido como ingreso menos con-sumo) puede ser I(0). Como resultado, una regresin del consumo sobre el ingreso, como en (21.11.1), puede ser signifi cativa (es decir, no espuria). En este caso decimos que las dos varia-bles estn cointegradas. En trminos econmicos, dos variables sern cointegradas si existe una relacin de largo plazo, o de equilibrio, entre ambas. La teora econmica a menudo se expresa en trminos de equilibrio, como la teora monetaria cuantitativa de Fisher o la teora de la paridad del poder adquisitivo (PPA), por mencionar algunas.

En resumen, en tanto se verifi que que los residuos de las regresiones como (21.11.1) son I(0) o estacionarios, la metodologa tradicional de regresin (inclusive las pruebas t y F) aprendida hasta ahora es aplicable a las series de tiempo (no estacionarias). La contribucin valiosa de los conceptos de raz unitaria, cointegracin, etc., es que obligan a determinar si los residuos de la regresin son estacionarios. Como observa Granger: Una prueba para la cointegracin puede considerarse como una preprueba para evitar las situaciones de regresiones espurias.42

En el lenguaje de la teora de la cointegracin, una regresin como (21.11.1) se conoce como regresin cointegrante, y el parmetro de pendiente 2 como parmetro cointegrante. El con-

41 Carol Alexander, op. cit., p. 324.42 C.W.J. Granger, Developments in the Study of Co-Integrated Economic Variables, en Oxford Bulletin of Economics and Statistics, vol. 48, 1986, p. 226.


cepto de cointegracin puede extenderse a un modelo de regresin que contenga k regresoras, en

cuyo caso se tendrn k parmetros cointegrantes.

Prueba de cointegracinEn las publicaciones especializadas se han propuesto varios mtodos para probar la cointegra-

cin. Aqu consideraremos un mtodo relativamente sencillo: la prueba de raz unitaria DF o

DFA sobre los residuos estimados a partir de la regresin cointegrante.43

Prueba de Engle-Granger (EG) o prueba de Engle-Granger aumentada (EGA)

Ya sabemos cmo aplicar las pruebas de raz unitaria DF o DFA. Slo requerimos estimar una re-

gresin como (21.11.1), obtener los residuos y utilizar la prueba DF o DFA.44 Sin embargo, debe

tomarse una precaucin. Como la ut estimada se basa en el parmetro de cointegracin estimado

2, los valores crticos de signifi cancia DF y DFA no son del todo apropiados. Engle y Granger

calcularon estos valores, los cuales se encuentran en las referencias.45 Por consiguiente, en el

contexto actual, las pruebas DF y DFA se conocen como la prueba de Engle-Granger (EG)

y la prueba de Engle-Granger aumentada (EGA). Sin embargo, varios paquetes de software

reportan actualmente estos valores crticos junto con otros resultados.

Ilustraremos estas pruebas. Con los datos introducidos en la seccin 21.1 y publicados en el

sitio Web del libro, primero realizamos la regresin de LGCPC sobre LIPDC y obtuvimos la

siguiente regresin:

LGCPt 0.1942 + 1.0114LIDPt

t (8.2328) (348.5429)

R2 0.9980 d 0.1558

(21.11.3)

Como LGCP y LIDP son no estacionarios en lo individual, existe la posibilidad de que esta re-

gresin sea espuria. Pero cuando llevamos a cabo una prueba de raz unitaria sobre los residuos

obtenidos en (21.11.3), result lo siguiente:

ut 0.0764u t1

t (3.0458)

R2 0.0369 d 2.5389

(21.11.4)

Los valores crticos asintticos Engle-Granger a 5% y 10% son de alrededor de 3.34 y 3.04,

respectivamente. Por tanto, los residuos de la regresin son no estacionarios en el nivel de 5%.

Sera difcil aceptar esta causa, pues la teora econmica indica que debe haber una relacin es-

table entre GCP e IPD.

Volveremos a estimar la ecuacin (21.11.3) con la variable de tendencia y luego veremos si

los residuos de esta ecuacin son estacionarios. Primero presentaremos los resultados y despus

analizaremos lo que ocurre.

LGCPt 2.8130 + 0.0037t + 0.5844LIPDt

t (21.3491) (22.9394) (31.2754)

R2 0.9994 d 0.2956

(21.11.3a)

43 Esta diferencia existe entre pruebas de races unitarias y pruebas de cointegracin. Como sealan David A. Dickey, Dennis W. Jansen y Daniel I. Thornton: Las pruebas para races unitarias se realizan sobre series de tiempo univariadas [es decir, singulares]. En contraste, la cointegracin trata con la relacin entre un grupo de variables, en donde cada una (incondicionalmente) tiene una raz unitaria. Vase su artculo A Primer on Cointegration with an Application to Money and Income, en Economic Review, Federal Reserve Bank of St. Louis, marzo-abril de 1991, p. 59. Como el nombre lo indica, es una introduccin excelente para la prueba de cointegracin.44 Si GCP e IPD no estn cointegrados, las combinaciones lineales que de ellos se hagan no sern estaciona-rias y, por consiguiente, los residuos ut tampoco lo sern.45 R.F. Engle y C.W.J. Granger, Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation and Test-ing, en Econometrica, vol. 55, 1987, pp. 251-276.

Econometria - Damodar N. Gujarati

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