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Econometría Aplicada

Econometría Aplicada

Series de Tiempo II

Víctor Medina

Econometría AplicadaEstacionalidad

Estacionalidad


Variación estacionalLas series de tiempo pueden presentar variación estacional. Ejemplos clarosde este fenómeno son:

I Mediciones de temperaturasI Ventas del retailI Consumo de electricidad

El siguiente gráfico corresponde a la data original de Box-Jenkins (vistaanteriormente en clases pero en su version desestacionalizada)

Time

Num

ero

de p

asaj

eros

(m

iles)

1950 1952 1954 1956 1958 1960

100

300

500


Variación estacional

I Para modelar series de tiempo con variaciones estacionales, lasobservaciones deben ser transformadas quitándoles la componenteestacional.

I Una vez desestacionalizada la serie, se puede modelar usando lastécnicas discutidas anteriormente (ARIMA).

I El pronóstico se puede llevar a cabo para la serie sin estacionalidad yluego aplicar la transformación utilizada en su forma inversa.

I Con fines ilustrativos realizaremos un ejemplo que presenta variacióncon estacionalidad trimestral. Sin embargo, el procedimiento puede serajustado para incorporar otras frecuencias de estacionalidad (mensual,anual, etc.)


Ejemplo: Frecuencia trimestral

Consideremos la siguiente información sobre la demanda trimestral deelectricidad en un edificio gubernamental

Meses A2011 A2012 A2013 A20141 Ene-Mar 21.00 35.00 39.00 78.002 Abr-Jun 42.00 54.00 82.00 114.003 Jul-Sep 60.00 91.00 136.00 160.004 Oct-Dic 12.00 14.00 28.00 40.00

Por la naturaleza de la serie, es razonable suponer que existe una variaciónestacional. En el invierno el consumo de electricidad es mayor que en elverano.


Ejemplo: Frecuencia trimestral

Un gráfico de la data se muestra a continuación

5 10 15

5010

015

0

Periodo

Dem

anda

Pareciera que además de la estacionalidad también existe tendencia.


Frecuencia trimestral

I Consideramos t con frecuencia trimestral con n observacionesI Sea xt la observación en el periodo t, entonces podemos descomponer xt

de la siguiente forma

xt = µt + vt + st para t = 1, ..., n

donde µt es la tendencia en el periodo t, vt es el error aleatorio conmedia cero y st es la variación estacional en t.

I Se asume que st toma los valores sI , sII , sIII y sIV en los trimestres I,II, III y IV respectivamente. Por convención se asume que

sI + sII + sIII + sIV = 0

I El procedimiento usual antes de desestacionalizar es “suavizar” la data.Existen varios métodos para hacer esto. Por ejemplo, el ajuste a lamedia con 5 términos que veremos a continuación.


I Para variaciones trimestrales podemos usar ajuste a la media de 5términos con los coeficientes siguientes(1

8 ,14 ,

14 ,

14 ,

18

)que se debe aplicar a todas las observaciones t excepto los dos primerosy dos últimos valores. Este ajuste para t = 3, ..., n− 2 tiene la forma

yt = 18xt−2 + 1

4(xt−1 + +xt + xt+1) + 18xx+2

y definimos los siguientes “residuos” (no confundir!)

et = xt − yt para t = 3, ..., n− 2

I Para calcular las variaciones estacionales en cada trimestre, primeropromediamos et sobre todas observaciones para el primer trimeste.Llamemos a este promedio sI . Análogamente, se obtienen sII , sIII ysIV para los trimestres 2, 3 y 4.


I Para asegurarnos que las variaciones suman cero, definimos

sI = sI − c

sII = sII − c

sIII = sIII − c

sIV = sIV − c

con c = 14

(sI + sII + sIII + sIV

)I Luego, la serie “desestacionalizada” se obtiene restando la variación

estacional correspondiente a xt. Por ejemplo, si es el trimestre I,entonces s1 = sI . Esto crea una serie de la forma zt = µt + vt

I La tendencia µt se puede remover usando las diferencias si es un modeloARIMA (o filtros, no vistos)

Obs: Para frecuencias distintas a las trimestrales, se debe usar otro métodode suavización. Por ejemplo, si la frecuencia es mensual, una elección comúnde suavizamiento es la siguiente

yt = 124xt−6 + 1

12(xt−5 + ...+ xt+5) + 124xt+6


Volviendo al ejemploPara la data con las demandas de electricidad, tenemos

Trimestre Meses xt yt et1 I Ene-Mar 21.002 II Abr-Jun 42.003 III Jul-Sep 60.00 35.50 24.504 IV Oct-Dic 12.00 38.75 -26.755 I Ene-Mar 35.00 44.12 -9.126 II Abr-Jun 54.00 48.25 5.757 III Jul-Sep 91.00 49.00 42.008 IV Oct-Dic 14.00 53.00 -39.009 I Ene-Mar 39.00 62.12 -23.12

10 II Abr-Jun 82.00 69.50 12.5011 III Jul-Sep 136.00 76.12 59.8812 IV Oct-Dic 28.00 85.00 -57.0013 I Ene-Mar 78.00 92.00 -14.0014 II Abr-Jun 114.00 96.50 17.5015 III Jul-Sep 160.0016 IV Oct-Dic 40.00


Ejemplo

Posteriormente calculamos sI = −15.424, sII = 11.92, sIII = 42.13,sIV = −40.92 y c = −0.57. Como resultado tendemos

sI = −14.85

sII = 12.49

sIII = 42.70

sIV = −40.35


EjemploEntonces la serie sin la estacionalidad quedaría

Trimestre Meses xt yt et xt_des1 I Ene-Mar 21.002 II Abr-Jun 42.003 III Jul-Sep 60.00 35.50 24.50 17.304 IV Oct-Dic 12.00 38.75 -26.75 52.355 I Ene-Mar 35.00 44.12 -9.12 49.856 II Abr-Jun 54.00 48.25 5.75 41.517 III Jul-Sep 91.00 49.00 42.00 48.308 IV Oct-Dic 14.00 53.00 -39.00 54.359 I Ene-Mar 39.00 62.12 -23.12 53.85

10 II Abr-Jun 82.00 69.50 12.50 69.5111 III Jul-Sep 136.00 76.12 59.88 93.3012 IV Oct-Dic 28.00 85.00 -57.00 68.3513 I Ene-Mar 78.00 92.00 -14.00 92.8514 II Abr-Jun 114.00 96.50 17.50 101.5115 III Jul-Sep 160.0016 IV Oct-Dic 40.00


EjemploGráficamente se vería

40

80

120

160

4 8 12 16Periodo

Dem

anda Serie

xt

xt_des

Econometría AplicadaDescomposición de Tendencia

Descomposición de Tendencia


Tendencia

I Hasta ahora hemos descrito “tendencia” de una serie de tiempo como elcambio de largo plazo en la media, E(xt).

I Por otra parte, ya hemos presentado la descomposición

xt = µt + vt + st para t = 1, ..., n

donde µt es la “tendencia” en el periodo t, st la componente estacionalen t y vt el error aleatorio con media cero. Asumimos también quest + st+1 + ...+ st+d−1 = 0 con d el periodo de la componente estacional(eg. d = 4 para el caso trimestral).

I Este modelo se conoce como modelo de descomposición clásicaI Vimos como estimar la componente estacional stI Ahora discutiremos métodos para remover la tendencia µt


Remover la tendencia

El supuesto principal de este modelo es que removiendo la componente st yµt eventualmente podríamos quedar con un proceso estocástico estacionario,los cuales ya conocemos como tratarlos (ARMA). Luego, para hacerpronóstico realizamos el proceso contrario (a los valores estimados leagregamos las componentes st y µt)

I Ya hemos mencionado el uso del operador diferencias para removertendencias (eg. procesos ARIMA)

I Existen otros dos procedimientos comunes con el mismo propósitoI Ajustar una función a la data (eg. yt = axt + b)I Filtros

I Mencionaremos algunos de los filtros


Filtros

El proceso conocimo como “filtro lineal” convierte la serie de tiempo xt enotra yt usando la formula

yt =β∑i=α

cixt+i

donde {ci, i = α, α+ 1..., β} es un conjunto de coeficientes.

I Los valores yt son las observaciones suavizadas. Estas observacionesson usadas como una estimación de la tendencia, es decir, µt = yt.

I Hace sentido que∑

ci = 1 (promedio ponderado).I Ejemplo: ya vimos el filtro lineal utilizado para el ajuste estacional

trimestralc−2 = 1/8, c−1 = c0 = c1 = 1/4, c2 = 1/8

I ¿Cuál era un filtro posible para una frecuencia anual?


Volviendo al ejemplo trimestralTeniamos

Trimestre Meses xt yt et xt_des1 I Ene-Mar 21.002 II Abr-Jun 42.003 III Jul-Sep 60.00 35.50 24.50 17.304 IV Oct-Dic 12.00 38.75 -26.75 52.355 I Ene-Mar 35.00 44.12 -9.12 49.856 II Abr-Jun 54.00 48.25 5.75 41.517 III Jul-Sep 91.00 49.00 42.00 48.308 IV Oct-Dic 14.00 53.00 -39.00 54.359 I Ene-Mar 39.00 62.12 -23.12 53.85

10 II Abr-Jun 82.00 69.50 12.50 69.5111 III Jul-Sep 136.00 76.12 59.88 93.3012 IV Oct-Dic 28.00 85.00 -57.00 68.3513 I Ene-Mar 78.00 92.00 -14.00 92.8514 II Abr-Jun 114.00 96.50 17.50 101.5115 III Jul-Sep 160.0016 IV Oct-Dic 40.00


Ejemplo

40

80

120

160

4 8 12 16Periodo

Dem

anda

Seriext

xt_des

yt


Ejemplo: Box-Jenkins

Al principio vimos la serie original de Box-Jenkins

Time

Num

ero

de p

asaj

eros

(m

iles)

1950 1952 1954 1956 1958 1960

100

300

500


Ejemplo: Box-JenkinsSi utilizamos el filtro yt = 1

24xt−6 + 112 (xt−5 + ...+ xt+5) + 1

24xt+6 tenemoslo siguiente

100

400

obse

rved

150

300

450

tren

d

−40

040

seas

onal

−20

40

1950 1952 1954 1956 1958 1960

rand

om

Time

Decomposition of additive time series

I El problema de este tipo de filtro es que “perdemos” un periodocompleto de data. Una solución es utilizar filtros que no estén centrados(eg. suavización exponencial) o ajustar un polinomio a las observacionesya suavizadas.


Problema de las colas

El siguiente gráfico está corregido para el comienzo y final de lasobservaciones

100

300

500

data

−60

040

seas

onal

200

400

tren

d

−40

040

1950 1952 1954 1956 1958 1960

rem

aind

er

time


Pronóstico

Para hacer pronóstico primero debemos ver si la serie de los “residuos” esestacionaria. Aplicando DF obtenemos

#### Augmented Dickey-Fuller Test#### data: remainder## Dickey-Fuller = -8.7477, Lag order = 5, p-value = 0.01## alternative hypothesis: stationary

Se rechaza hipótesis nula. Es decir, la serie es consistente con el supuesto deestacionaridad.


Ajuste de ARMA

Analizamos ACF y PACF.

0.0 0.5 1.0 1.5

−0.

50.

00.

51.

0

Lag

AC

F

Series remainder

0.5 1.0 1.5

−0.

40.

00.

20.

40.

6Lag

Par

tial A

CF

Series remainder

El resultado no es decisivo, sin embargo para efectos ilustrativos, ajustamosun proceso ARMA(2,0).


Ajuste ARMA

El resultado del ajuste ARMA(2,0) es el siguiente (ustedes pueden probarotros modelos)

## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## ar1 0.9175614 0.07598428 12.0756740 0.000000e+00## ar2 -0.4032054 0.07743185 -5.2072300 1.916805e-07## intercept -0.2574972 1.15918257 -0.2221368 8.242074e-01


Pronóstico

El pronóstico para los 24 meses siguientes viene dado por

Pronostico para los proximos 12 meses

1950 1952 1954 1956 1958 1960 1962

100

200

300

400

500

600

Econometría AplicadaVectores Autorregresivos (VAR)

Vectores Autorregresivos (VAR)


Introducción

I En clases pasadas estudiamos las propiedades de dos series noestacionarias que cointegran (ambas I(1))

I Asumimos que una variable era la dependiente (yt) y la otraindependiente (xt)

I Tratamos la relación entre yt y xt como un modelo de regresiónI Sin embargo, si no existiera ninguna razón aparente, podríamos haber

tratado a yt como independiente y a xt como dependienteI Es decir,

yt = β10 + β11xt + eyt , eyt ∼ N(0, σ2y)

xt = β20 + β21yt + ext , ext ∼ N(0, σ2x)

I ¿Es mejor expresar y = f(x) o x = g(y)?I ¿Reconocer que existen relaciones donde las variables x e y están

simultáneamente determinadas?I El objetivo de este capítulo es explorar la relación causal entre par de

series temporales


Modelo VARSupongamos que existen dos series de tiempo yt y xt y generalicemos larelación dinámica entre ellas a

yt = β10 + β11yt−1 + β12xt−1 + vyt

xt = β20 + β21yt−1 + β22xt−1 + vxt

Es decir, cada variable está en función de su propio rezago y del rezago de laotra variable en el sistema (en este caso sólo consideraremos dos variables enel sistema).

I El sistema de ecuaciones anterior se denomina vector autorregresivode orden 1, VAR(1).

I Es de orden 1 porque el número máximo de rezagos es 1I Notar la analogía con el modelo AR para el caso univariado

I Si ambas variables son estacionarias I(0), entonces se estima con MCI Si, por otra parte, x e y son I(1) y no cointegran, entonces

∆yt = β11∆yt−1 + β12∆xt−1 + v∆yt

∆xt = β21∆yt−1 + β22∆xt−1 + v∆xt

I Todas las variables son ahora I(0) y los coeficientes pueden ser obtenidosa través de MC


Si existe cointegración

Si x y y son I(1) y cointegran, entonces modificamos el sistema de ecuacionespara rescatar la relación de cointegración entre las variables:

I Usar información valiosa que nos entrega la cointegraciónI Usar mejores técnicas matemáticas que tomen en cuenta las propiedades

de las series

ModeloCuando tenemos dos series que son I(1) y cointegran, al modelo se le conocecomo Vector de Corrección de Error, o VEC.

yt = β0 + β1xt + et

y et ∼ I(0), donde et son los residuos estimados.

Obs: Notar que podríamos haber normalizado en xt. Elegir una u otra esusualmente determinado por razones económicas. Sin embargo, el puntoimportante es que puede existir sólo una relación entre las dos variables.


Modelo VEC

I El modelo VEC es un caso particular de un modelo VAR para series I(1)que cointegran. El sistema modificado es el siguiente

∆yt = α10 + α11(yt−1 − β0 − β1xt−1) + vyt

∆xt = α20 + α21(yt−1 − β0 − β1xt−1) + vxt

o expresado de otra forma

yt = α10 + (α11 + 1)yt−1 − α11β0 − α11β1xt−1 + vyt

xt = α20 + α21yt−1 − α21β0 − (α21β1 − 1)xt−1 + vxt

Obs: Si se compara el sistema anterior con el sistema VAR, se puede notarque VEC es un VAR con coeficientes comunes en ambas ecuaciones.

I Los coeficientes α11 y α21 se denominan coeficientes de correcciónde error


Estimación del modelo VEC

Existe más de un método para estimar el modelo VEC (MC no lineal y ML,por ejemplo). Sin embargo, el más sencillo es el método MC de dos etapas.

1. Se usa MC para estimar la cointegración yt = β0 + β1xt + et y segeneran los residuos con rezago 1 et−1 = yt−1 − β0 − β1xt−1

2. Se usa MC para estimar las ecuaciones

∆yt = α10 + α11et−1 + vyt

∆xt = α20 + α21et−1 + vxt

Notar que las tres variables (∆y, ∆x y e) en las ecuaciones anteriores sonestacionarias.


EjemploEl siguiente gráfico muestra el PIB real de Australia y EEUU, normalizadasa 100 para el año 2000.

Time

tdat

a

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

4050

6070

8090

100

usaaus


EjemploSe puede verificar que ninguna de las series es estacionaria (¿cómo sepodría?). Por otra parte, para verificar que cointegran calculamos (omitimosla constante porque no tiene sentido económico)

at = β1ut + et

lo cual no da

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)usa 0.9853 0.0017 594.79 0.0000

luego, calculamos los residuos et = at − 0.985ut que se verian gráficamente

Time

resi

duos

1970 1980 1990 2000

−2

01

2


Ejemplo

Debemos checkear si los residuos son estacionarios

## Dickey-Fuller## -2.887209

Como estamos considerando el modelo sin intercepto, el valor crítico al 5% es-2.76. Es decir, rechazamos la nula de no-cointegración.

I La economía de Australia está relacionada con la de EEUUI Un cambio de una unidad en el PIB de EEUU, incrementaría en 0.985 el

de AustraliaI Sin embargo, la economía de Australia puede que no responda

exactamente a este valor en un trimestre.I Para saber cómo responde, debemos estimar el modelo con corrección de

errores.


Ejemplo

La estimación es∆at = 0.492− 0.099et−1

∆ut = 0.510 + 0.030et−1

Los resultados muestran

I El coeficiente de error negativo en el primer término indica que adecrece si el error de cointegración es positivo

I El coeficiente de error negativo en el segundo término indica que uincrementa si el error de cointegración es positivo

I El coeficiente -0.099 indica que el ajuste trimestral de at será alrededorde un 10% de la desviación de at−1 con respecto a su valor decointegración de 0.985ut−1

I El valor de 0.03 indica que ut prácticamente no reacciona al error decointegración (economía grande versus una más pequeña)

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