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4esta obra se compone de siete volú-menes. El tema abordado en el cuarto volumen, Economía, lenguaje, trabajo y sociedad, es la gran influencia social y cultural que ha tenido en el país la Uni-versidad Nacional de Colombia durante siglo y medio de existencia. En los tres tomos que conforman este apartado son protagonistas los movimientos cul-turales surgidos en los campus del alma máter, el esfuerzo fundacional por la formalización de estudios alrededor de los problemas sociales, el descu-brimiento de un país de múltiples len-guas, los estudios de género y la visión universal de la filosofía, entre otros. Además, mediante narraciones que describen a una comunidad académica comprometida con un país inmerso en innumerables y profundos cambios y conflictos, se presenta la contribución de la Universidad Nacional a la conso-lidación de profesiones y disciplinas como la ingeniería, la matemática, la física o la química.

ISBN 978-958-783-139-9

9 789587 831399

Colección del Sesquicentenario 3/3

Economía, Lenguaje Trabajo y Sociedad

Economía, lenguaje, trabajo y sociedad

Colección del Sesquicentenario

Tomo 3

Economía, lenguaje, trabajo y sociedad

Con el patrocinio de

2017

Comité EditorialEstela Restrepo Zea, Clara Helena Sánchez Botero,

Gustavo Silva Carrero, Ingrid Carolina Pabón,Juan Diego Celemín, Katherine Sanabria López,

Ona Vileikis, Juanita Olaya y Paula Andrea Giraldo Restrepo

Asistencia de investigación documentalGabriel Escalante

Coordinación de imágenesMarisol Cruz

Digitalización de fuentes Epifanio Becerra y Ángel Cabrera

EditorGustavo Silva Carrero

Corrección de estilo a cargo deEditorial Universidad Nacional de Colombia

Coordinadores de correcciónAndrea Coronado, Pablo Emilio Daza Velásquez y

Yecid Muñoz Santamaría

CorrectoresDalilah Carreño Ricaurte, William Castaño, Ludwing

Cepeda Aparicio, Marcela Garzón Gualtero, Ómar Andrés Portilla, Linda Carolina Rodríguez y Carolina

Sánchez González

Asesor de diseñoFredy Chaparro Sanabria

Diseño y diagramaciónEditorial Gamma, LDG Studio Design

Impresión Nomos Impresores S. A.

Con el patrocinio de DAVIVIENDA

Primera edición, 2017

ISBN volumen IV: 978-958-783-136-8ISBN tomo 1: 978-958-783-137-5ISBN volumen IV, digital: 978-958-783-140-5ISBN tomo 1, digital: 978-958-783-141-2

Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.

Impreso y hecho en Bogotá, D. C., Colombia

Imagen en la guarda: primer monograma institucional de la Universidad Nacional de los Estados Unidos de Colombia, diseñado en el rectorado de Manuel Ancízar (1868).

Imagen en el colofón: Plano del Observatorio Astronómico Nacional. Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, físicas y Naturales.

© Universidad Nacional de Colombia © Estela Restrepo Zea / Clara Helena Sánchez / Gustavo Silva Carrero,

Economía, lenguaje, trabajo y sociedad. Tomo 3.

RectorIgnacio Mantilla Prada

Dirección académica de la obraEstela Restrepo Zea

Clara Helena Sánchez BoteroGustavo Silva Carrero

Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia Economía, lenguaje, trabajo y sociedad / Estela Restrepo Zea, Clara Helena Sánchez

Botero, Gustavo Silva Carrero, dirección académica de la obra. -- Primera edición. -- Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Rectoría, 2017.3 tomos : ilustraciones, fotografías, mapas. -- (Colección del Sesquicentenario ; IV)

Incluye referencias bibliográficas al final de cada capítulo e índice onomástico y analítico ISBN 978-958-783-137-5 (tomo 1, tapa dura). -- ISBN 978-958-783-141-2 (tomo 1, e-book). -- ISBN 978-958-783-138-2 (tomo 2, tapa dura). -- ISBN 978-958-783-142-9 (tomo 2, e-book). -- ISBN 978-958-783-139-9 (tomo 3, tapa dura). -- ISBN 978-958-783-143-6 (tomo 3, e-book). -- ISBN 978-958-783-136-8 (obra completa, tapa dura). -- ISBN 978-958-783-140-5 (obra completa, e-book).

1. Universidad Nacional de Colombia -- Historia y crítica -- 1867-2017 2. Antropología educativa 3. Sociología de la educación -- Colombia 4. Antropología cultural y social 5. Formación profesional -- Historia -- Colombia 6. Educación superior -- Fines y objetivos I. Restrepo Zea, Estela, 1948-, responsable dirección académica de la obra II. Sánchez Botero, Clara Helena, 1947-, responsable dirección académica de la obra III. Silva Carrero, Gustavo Adolfo, 1976-, responsable dirección académica de la obra IV. Serie

CDD-21 306.432 / 2017

PATRIMONIO MATEMÁTICO COLOMBIANO

Víctor S. Albis Clara Helena Sánchez

*

El Patrimonio Cultural de un pueblo comprende las obras de sus artistas, arquitectos, mú-sicos, escritores y sabios, así como las creaciones anónimas, surgidas del alma popular, y el conjunto de valores que dan sentido a la vida, es decir, las obras materiales y no materiales

que expresan la creatividad de ese pueblo; la lengua, los ritos, las creencias, los lugares y monumentos históricos, la literatura, las obras de arte y los archivos y bibliotecas.1

Desde 1974 y por iniciativa de Albis2 hemos venido trabajando en la recuperación del patrimonio matemático colombiano (Albis y Sánchez, 1997), su análisis y con-servación. Magnitud, número y forma son los conceptos subyacentes, básicos de la matemática desde sus inicios hasta el siglo xx, cuando la noción de conjunto se convertirá en la noción fundamental de la matemática y nacerá la llamada ma-temática moderna. Esta llega a Colombia en la década de 1940 con la presencia de exilados de la Guerra Civil Española y de la Segunda Guerra Mundial. Diez años después los estudios de matemáticas se abrirán paso en la Universidad Nacional como disciplina independiente de la ingeniería, al crearse la primera carrera de matemáticas en el país en 1951. Comienza la llamada década heroica por Takahashi (1990), en la que la comunidad matemática colombiana empieza a conformarse, al fundarse, además, la primera revista especializada en matemáticas la Revista de Matemáticas Elementales en 1952, la Sociedad Colombiana de Matemáticas en 1955 y el Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional en 1956, el cual un año después se convierte en Facultad.

El acervo patrimonial que hemos estudiado más ampliamente es el de los ma-nuscritos e impresos de matemáticas de nivel universitario desde la Colonia hasta la década de 1970 cuando la carrera de matemáticas en el país está consolidada y comienzan los estudios de posgrado en la Universidad Nacional. Las matemáticas más avanzadas que se hicieron en el país hasta la década de 1950 están ligadas a la ingeniería colombiana, ya sea en sus aplicaciones, ya sea en la formación de ingenieros a partir de la fundación del Colegio Militar en 1847.

* Este documento se ha elaborado con base en los múltiples artículos que sobre este tema hemos realizado los autores conjuntamente o por separado a través de los años. Ningún documento de los citados contiene toda la información que aquí presentamos. 1 Definición elaborada por la Conferencia Mundial de la Unesco sobre el Patrimonio Cultural, cele-brada en México en el año 1982.2 Albis presentó a Colciencias en 1974 con el apoyo de la Sociedad Colombiana de Matemáticas un Programa de Investigaciones Científicas sobre la Historia de las Matemáticas en Colombia, el cual se aprobó; fue uno de los primeros proyectos de investigación desarrollados por un profesor del Depar-tamento de Matemáticas financiados por Colciencias.

90 Colección del Sesquicentenario | Economía, lenguaje, trabajo y sociedad

En este trabajo presentamos un recorrido de los desarrollos de la matemática en Colombia, enfatizando los aspectos patrimoniales, y el papel que ha jugado la Universidad Nacional, desde su fundación, en ese proceso.

ETNOMATEMÁTICAS

La matemática está íntimamente ligada al desarrollo de la cultura humana. De acuerdo con los historiadores, particularmente van der Waerden (Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, 1983), tiene dos orígenes: uno práctico, por la nece-sidad del ser humano de contar y medir sus haberes, y otro, sagrado que se refleja particularmente en la geometría subyacente en los templos, altares o símbolos sa-grados y en la ornamentación de los objetos rituales o cotidianos de las diferentes culturas. En Colombia la encontramos en nuestras culturas precolombinas y en los pueblos indígenas que aun habitan nuestro país.

Sobre el estudio de las matemáticas en nuestras culturas precolombinas y las culturas indígenas contemporáneas no hay muchos trabajos que se hayan realiza-do al respecto, sin embrago debemos mencionar los aportes de profesores y estu-diantes de la Universidad como son: Poveda Ramos (1993) que hace un recuento sobre las construcciones de tipo ingenieril que hicieron nuestros antepasados y las pocas que se desarrollaron durante la Conquista y la Colonia. Díaz y Molina (1988) realizaron una tesis sobre los numerales de la familia macro chibcha, Valencia (1989) una tesis sobre la geometría de la cerámica de la región central de Panamá, Samper (2010) un trabajo de grado sobre la cerámica y orfebrería de Nariño3. Pá-ramo (1989; 1993; 1994) tiene varios trabajos sobre la relación entre antropología, matemáticas y lógica de algunas culturas indígenas. Además en Albis (1986; 1989; 1990) encontramos trabajos sobre arte prehispánico y matemáticas.

DE LA COLONIA A 1950

José Celestino Mutis (Cádiz 1732, Santafé, 1808) médico español del Virrey Messia de la Zerda, parece que por iniciativa de los soldados que acompañaban la comi-tiva en su travesía por el Río Magdalena desde Cartagena hasta Santafé, aceptó su solicitud de abrir un curso para aprender matemáticas. Esta parece ser la ra-zón por la cual Mutis inaugura, con toda la pompa del caso, con la asistencia del Virrey, la Virreina, y la élite santafereña, la cátedra de matemáticas en el Colegio del Rosario el 13 de marzo de 1762. Pero Mutis muy pronto mostró sus intereses en botánica y fundó la Expedición Botánica a la cual dedicó desde 1783 su vida. Mutis (1983) en su Discurso Preliminar y la Primera Lección enfatiza la importancia de la matemática como método de razonamiento y su utilidad práctica “para todo

3 Aunque Samper se graduó en la Universidad de los Andes su trabajo fue dirigido por V. Albis.

91Patrimonio matemático colombiano

tipo de personas: rústicos, ciudadanos, plebeyos, cortesanos, militares, artífices. Sabios, seculares, eclesiásticos, todos en una palabra de cualquier condición y estado deberían aplicarse a un estudio tan útil”. Se basó para su cátedra en los textos de Benito Bails (1730- 1797)4, probablemente el matemático español más importante del siglo xviii y de Christian Wolff (1713-1715), filósofo y matemático alemán que tuvo gran influencia en España; Mutis enseñó la teoría astronómica de Copérnico y los Principia de Newton, teorías que requieren de cierto nivel de conocimientos matemáticos5. Sea el momento de destacar que en la época se hablaba de ciencias matemáticas las cuales además de lo que hoy entendemos por matemáticas, incluían la física, la astronomía e inclusive la topografía. Sin embargo no sabemos exactamente cuál fue el contenido de sus cursos en el Ro-sario. La cátedra sufrió muchas interrupciones debido a las labores de Mutis en la Expedición Botánica, la empresa científicamente más importante de la época colonial, cuyas tareas fueron más allá de la botánica e incluyeron observaciones astronómicas, meteorológicas y geográficas, entre ellas la elaboración de un mapa de la Nueva Granada. Sus alumnos Fernando Vergara y Jorge Tadeo Lozano fueron quienes realmente impartieron la cátedra en el Rosario. El prestigio que la cátedra de matemáticas le significaba a Mutis fue suficiente motivo para mantenerse como titular de ella hasta su muerte en 1808. El heredero de la cátedra fue Francisco José de Caldas (Popayán 1768, Santafé 1816) que además continuó sus labores en el Observatorio Astronómico fundado por Mutis en 1803. Aunque Caldas es reconocido por sus múltiples intereses en ciencias, no hay claridad sobre como ejerció la cátedra de matemáticas. En todo caso murió fusilado en la guerras de independencia y frustrada la vida de uno de los primeros científicos colombianos. Su alumno, Lino de Pombo (1797-1862) jugó un papel trascendental en la historia de la matemática y la ingeniería colombiana, como veremos.

A finales de 1841, Mariano Ospina Rodríguez (1805-1885) como Ministro de Instrucción Pública del gobierno de Pedro Alcántara Herrán (1841-1845), presentó una interesante reforma de instrucción pública, en la cual se suprimió el nombre de Universidad Central, creada por Santander en 1928, y se crearon tres univer-sidades en Bogotá, Cartagena y Popayán llamadas del primero, segundo y tercer distrito, respectivamente. Cada una de ellas se componía de cinco facultades, cuatro mayores: Ciencias físicas y matemáticas, Medicina, Jurisprudencia, y Ciencias eclesiásticas, y una menor: Literatura y filosofía. La reforma de Ospina propendía por el estudio de las ciencias útiles como un medio indispensable para el desarrollo del país. Buscaba estimular en los jóvenes el estudio de la

4 La extensa obra de Bails, 10 volúmenes, es una recopilación que dio a conocer en España el estado de la ciencia europea del momento y se convirtió en referencia obligada durante bastantes años, incluye desde la matemática y la geometría elemental hasta el cálculo infinitesimal y la geometría analítica. Considera la física, la astronomía y la arquitectura como parte de las ciencias matemáticas. Escribió además unos Principios de Matemáticas en tres volúmenes (1776). 5 Detalles sobre la cátedra de Mutis pueden consultarse en Arboleda (1993, pp.29-143)


agricultura y el comercio, y desestimular los estudios en derecho y medicina. En ellas se podía obtener el título de bachiller, licenciado o doctor en ciencias. Desafortunadamente la facultad de ciencias se quedó en el papel, “todavía pesa más el prestigio de las viejas profesiones [derecho, medicina y sacerdocio] que la opinión favorable a las artes útiles e industriales”, dijo el propio Ospina en su mensaje al Congreso en 1844 (Jaramillo, 1996, p.226).

Un nuevo impulso al estudio de las ciencias básicas se dio durante el primer gobierno de Tomás Cipriano de Mosquera (1845-1849), cuando se establecieron Escuelas de Ciencias Naturales, Físicas y Matemáticas en las universidades de los tres distritos, y se fundó el Instituto de Ciencias Naturales, Físicas y Matemáticas conformado por los catedráticos de las Escuelas antes mencionadas. A ese Institu-to se trajeron profesores extranjeros, como el matemático francés Aimé Bergeron6

o el químico danés Bernardo Lewy, que dejaron huella perdurable; el primero con sus cursos de cálculo diferencial y el segundo con la instalación de un laboratorio químico importado de Europa.

Mosquera también fundó el Colegio Militar en 1847 con el fin de formar “ofi-ciales científicos de Estado Mayor, de ingenieros de artillería, caballería e infan-tería, e ingenieros civiles”7. Esta institución estaba dirigida por los generales José María Ortega y Joaquín M. Barriga, pero el líder intelectual del Colegio fue Lino de Pombo, formado en la Academia de Alcalá de Henares y la Escuela de Puentes y Calzadas de París y por ello considerado el primer ingeniero colombiano8.

6 Bergeron es un personaje un poco misterioso, mencionado por Cordovez Moure, en sus Reminiscencias de Santafé y Bogotá (1957) donde afirma que su propósito era encontrar El Dorado. No sabemos dónde se formó, pero sus lecciones de cálculo fueron al estilo Cauchy, lo que significa que conocía los avan-ces en el rigor del cálculo realizados por este importante matemático francés que publicó su Cours de Anaylse en 1821. Más detalles sobre Begeron pueden consultarse en Albis (1998).7 Art. 1° de la Ley 6ª. de junio de 1847.8 Lino de Pombo se vinculó muy joven a la guerra de Independencia, tomado preso por los españoles, fue liberado gracias a la influencia de sus tíos O’Donell, militares de alto rango en España, y recibido en la Academia del Real Cuerpo de Ingenieros de Alcalá de Henares donde estudió matemáticas. Su espí-ritu rebelde hizo que se enrolara en la filas del coronel Rafael del Riego Flórez (1784, 1823), que luchaba contra el gobierno absolutista de Fernando VII. Nuevamente fue tomado preso, ahora por los franceses encargados de restablecer la monarquía española, pero logró escapar a Inglaterra donde fue nombrado Secretario de la delegación colombiana, bajo el gobierno del General Santander. Volvió al país en 1825 y el propio Santander lo envió poco tiempo después a terminar sus estudios de ingeniería en la École de Pont et Chaussées, de París, por lo cual se le considera el primer ingeniero colombiano. Aunque Pombo nació en Cartagena, su familia es de origen payanés, por eso al desligarse de las milicias en 1830 comenzó en Po-payán, en la recién creada Universidad del Cauca una vida académica al impartir cursos de matemáticas: geometría analítica, álgebra y trigonometría, pero su ejercicio docente no duró mucho tiempo. Apenas dos años después fue llamado a ocupar el cargo de Secretario del Interior y de Relaciones Exteriores por el general Santander. Comenzó así su brillante trayectoria en diferentes cargos en el Estado, aplazando su deseo de enseñar matemáticas, como las había aprendido en España y Francia, hasta el 2 de enero de 1848 en que comenzaron las tareas en el Colegio Militar. Con estas siete palabras: matemáticas, armas, política, jurisprudencia, periodismo, hacienda y pedagogía, Espinosa (1998) identifica claramente a este gran colombiano desconocido por la mayoría. “siete esferas distintas para un único sabio verdadero”.


El plan de estudios del Colegio, seguía los lineamientos de la École Polytéchnique de París y de la United States Military Academy, en West Point. Los primeros dos o tres años estaban dedicados al aprendizaje de las matemáticas: se comenzaba con lecciones de aritmética y álgebra, de geometría “especulativa y práctica”, se avan-zaba hacia la trigonometría rectilínea y esférica, la geometría analítica y culminaba con el cálculo diferencial, el curso más avanzado de matemáticas del pensum del Colegio. Los dos últimos años se dedicaban a materias de la ingeniería civil y militar: mecánica, maquinaria, cosmografía, arquitectura civil, hidráulica, caminos, puentes y calzadas, fortificaciones de campaña, minas, puentes, defensa de plazas y puntos fortificados, topografía, presupuesto de tiempo y gastos (Abuabara y otros, 1981). Pombo se encargó de los cursos de matemáticas con el apoyo de Aimé Bergeron, mencionado anteriormente. De los cursos de Pombo nos quedan los libros de Geome-tría analítica (1858) y Aritmética y algebra (1850), que según Guerra Azuola (1897) hacían parte de “un curso completo de Matemáticas adoptadas como texto en los Colegios de esa época, especialmente en el Colegio Militar, que él ayudó a crear y fomentar”.

En la tesis de maestría de Bertrand Eychenne (2013), el texto de Geometría Analítica de Pombo es muy bien valorado como un trabajo original en el sentido que toma de varios posibles autores europeos las ideas y las elabora de acuerdo con los objetivos del Colegio Militar. El libro de Aritmética y Algebra es parte del estudio de la tesis, también de maestría, de Deisy Camargo (2008) que afirma sobre Pombo:

Su experiencia como docente, el estudio autónomo de los “grandes maestros” y sus in-vestigaciones personales, parecen ser factores suficientes para demostrar su idoneidad como autor de este tipo de publicación. Llama la atención el hecho de que se refiera a “investigaciones propias”, lo que muestra que él se suscribe al plano académico de la investigación y no se ve a sí mismo como un simple educador y escritor de libros.

Describe la escritura de su trabajo como lacónica, pero no le parece que esto entorpez-ca el claro entendimiento de los temas allí expuestos. Además, para él, su texto facilita el entendimiento de los temas para cualquier “regular inteligencia”, expresando que no está dirigido a mentes privilegiadas sino a todo aquel que se interese por aprender. Creemos no equivocarnos al afirmar que Lino de Pombo a través de sus cursos

en la Universidad del Cauca y en el Colegio Militar impartió por primera vez en Colombia los cursos más avanzados de las llamadas matemáticas superiores, que además sirvieron de preparación en el Colegio Militar para el curso de cálculo, este sin duda el más avanzado hasta ese momento, básico en la formación de in-genieros. Tanto la geometría analítica, como el álgebra simbólica eran creaciones relativamente recientes de los matemáticos, creadas apenas dos siglos atrás por matemáticos europeos.

El curso de cálculo, el primero realizado en Colombia en 1851, fue imparti-do por Aimé Bergeron, quedaron registradas las lecciones tomadas por Sixto


J. Barriga, uno de sus alumnos9. Los originales se encuentran en la Biblioteca Nacional, su transcripción en http://accefyn.org.co/historia-matematica/hist-matcol-buscar.htm.aff_sa_bak y su descripción y análisis en Albis y Sánchez (1999, pp.73-79).

El Colegio Militar, cuyas vicisitudes lo llevaron a cerrase dos veces, en 1854, y 1862, y a abrirse cada vez que Mosquera volvía al poder en 1861 y 1866, fue el antecedente de la Escuela de Ingeniería fundada con la Universidad en 1867. Los egresados del Colegio, muy pocos, dejaron huella significativa como bien afirma Safford (1989, p.277-278):

Del pequeño grupo de individuos que terminó sus estudios antes de 1854, o que estu-vieron cerca de hacerlo, siete contribuyeron de manera notable a la construcción de caminos y ferrovías, y por lo menos dos más se desempeñaron en papeles de menor importancia. ... También se dedicaron a actividades tan diversas como la agrimensura, la cartografía, el ensayo de metales, la observación de fenómenos astronómicos y meteorológicos, la construcción de puentes, la desecación de lagos; la instalación de ferrerías, la construcción de acueductos y la dirección de empresas, desde ferrovías hasta fábricas de gas. Algunos de estos mismos individuos constituyeron el primer cuerpo de profesores de ciencias e ingeniería.

La Escuela de Ingeniería fue constituida con los profesores, estudiantes, y el pensum de la carrera de ingeniería civil y militar del Colegio Militar. De esta manera la buena formación matemática, considerada esencial en la formación de los ingenieros, continuará en la Universidad. Dos egresados del Colegio y que hi-cieron parte de la Escuela de Ingeniería merecen especial mención, son: Indalecio Liévano (1834-1913) y Luis María Lleras (1842- 1855).

LA OBRA DE INDALECIO LIÉVANO

Liévano publicó dos textos: Tratado de aritmética (1856), Tratado de áljebra (1875) y un folleto titulado Investigaciones científicas (1871). En el último Liévano afirma:

Habiéndome propuesto llenar todos los vacíos que existían en Aritmética, Álgebra, y Geometría creo haberlo logrado completamente y mientras que publico el Álgebra y la Geometría y la segunda edición de la Aritmética cuya primera edición ya está agotada, he resuelto reunir en esta publicación que la motiva la teoría de las paralelas, algunas cosas de las más notables en estas investigaciones.

9 Cuaderno de cálculo diferencial. Lecciones dictadas por Aimé Bergeron, conprende 4 lecciones. Año de 1851, Bogotá. de Sixto I. Barriga.


La obra, de 88 páginas, trata de los siguientes cinco temas: teoría de las para-lelas sin postulado, números inconmensurables, teorema de la proporcionalidad de las cantidades, teorema que establece la identidad de dos polinomios iguales, solución completa del problema del interés compuesto y estudios filosóficos. Por la época en que Liévano intentaba resolverlos aún no habían sido aceptadas por la comunidad matemática como “verdaderas” las teorías que permitirían resolver definitivamente los “vacíos” que interesaron a Liévano. Esto se dio en la segunda mitad de siglo xix con los trabajos de Enrico Beltrami de 1868 y Felix Klein en 1871, para el postulado de Euclides, y los trabajos de George Cantor, Richard Dedekind, además de los de Karl Weierstrass sobre la fundamentación de los números reales (racionales e irracionales) publicados coincidencialmente los tres en 1872.

La teoría de Liévano sobre los números inconmensurables10 había sido expues-ta por primera vez en su Tratado de aritmética (1856), el cual publicó cuando contaba con apenas 22 años de edad. Su teoría, sin embargo, es incompleta y tiene serias deficiencias (Albis y Soriano, 1977). Igualmente su “demostración” del quinto postulado de Euclides11 comete el típico error de usar un postulado equivalente, según el análisis cuidadoso hecho por Albis (1997). En cambio el libro de álgebra es un buen texto que abarca un amplio espectro del tema (Camargo, 2008). El mérito de Liévano, a pesar de sus errores, está en haber intentado resolver problemas de actualidad en su época.

La última parte de sus Investigaciones científicas se titula “Estudios filosóficos”, con subtítulo “Ensayo de una exposición rigurosa de los fundamentos de filoso-fía”, con los cuales “pretende fundamentar los cimientos de la filosofía con de-mostraciones rigurosas, análogas a las que se dan en matemáticas.” Su exposición parte de nueve principios entre ellos destaco el noveno en el que garantiza la existencia de Dios como ser sin principio ni fin, infinitamente sabio y poderoso. Continua con disquisiciones sobre el espacio, el infinito, el vacío, la materia, el tiempo, las “opiniones de Descartes, Leibniz, Balmes, y Fenelon sobre el espacio y la materia”, para culminar con una reflexión sobre la esencia de Dios.

Este trabajo tuvo serias objeciones, tanto en los aspectos matemáticos como filo-sóficos, del ingeniero y profesor de matemáticas y física Ruperto Ferreira (1845-1912) publicadas los días 21 y 28 de noviembre de 1871 en El Tradicionista, y de José María Rojas Garrido (1824-1883)12, en el número 502 de El Tiempo. Liévano con el ánimo

10 Hoy llamados números irracionales.11 El postulado de Euclides es el quinto postulado de su famosa obra Elementos (c.300.a. C.), conocido como el postulado de las paralelas, afirma que si dos rectas son cortadas por una secante, por el lado en que las rectas forman ángulos menores de dos rectos (180°) las rectas al prolongarse se cortarán en un punto. Dada la complejidad de este enunciado desde la antigüedad varios matemáticos intentaron demostrarlo a partir de los otros cuatro postulados. Los intentos siempre fracasaron pues en el siglo xix se pudo demostrar rigurosamente que el postulado es independiente de los otros cuatro, o sea, no se puede demostrar a partir de ellos. 12 Senador del Huila que ocupó la presidencia de la República por dos meses en 1886.


de contra argumentar las objeciones antes mencionadas publica un folleto titulado "Apéndice a las Investigaciones científicas" (s. f.) A pesar de ello ninguno de los proble-mas abordados por Liévano en sus investigaciones fue resuelto satisfactoriamente. Sus fuertes convicciones religiosas y su desconocimiento de los grandes avances de las matemáticas de su época le impidieron darse cuenta de sus errores. Pero se le abona, reiteramos, el estar preocupado por problemas de actualidad en su momento en Europa (Sánchez, 2017 por aparecer)

Liévano fue profesor de matemáticas en el Colegio de San Bartolomé y en las Escuelas de Ingeniería y de Filosofía y Letras de la Universidad Nacional y sus libros de aritmética y álgebra fueron textos oficiales en esas escuelas. Además fue director del Observatorio Astronómico entre 1866 y 1867 y como ingeniero participó, entre otros proyectos, en los del camino más corto entre Bogotá y el río Magdalena en Honda y el trazado de una vía férrea a Girardot.

LA OBRA DE LUIS MARÍA LLERAS13

Luis María Lleras, como anotamos, es un egresado del Colegio Militar, dedicó esen-cialmente su vida a la docencia en matemáticas en varios colegios y universidades de la época. Su trabajo más importante es su traducción de la obra Eléménts de Geo-metrie de Adrien Marie Legendre (1752-1833) uno de los matemáticos más ilustres de la época de la Revolución Francesa. Legendre se propuso, como un intento peda-gógico, reorganizar y simplificar los Elementos de Euclides. El libro se inscribe dentro del espíritu de construcción de la República Francesa luego de su Revolución, el de “eliminar los prejuicios que mantuvieron al pueblo en la ignorancia, por diseminar el saber científico de la manera más amplia” (Schubring, 2009). El Parlamento deci-dió fortalecer la educación pública y para ello abrió un concurso de elaboración de textos elementales. Los libros servirían para llenar en parte la falta de profesores adecuados. El concurso tuvo algunas dificultades y apenas en enero de 1794 se aprobó. El libro fue un best-seller del siglo xix. Así lo califica García Azcárate (2004), por su enorme influencia, no solo en Francia en la cual hubo 12 ediciones, de 1794 a 1823, y luego las ediciones de Marie-Alphonse Blanchet (1813-18?) que alteraron un poco el espíritu original del libro, pues, entre otras cosas, no contiene los intentos de demostración del postulado de Euclides.

Rápidamente el libro fue traducido a varios idiomas, las primeras traducciones fueron al italiano (1802), español (1807) y portugués (1809). La influencia de este libro fue también muy importante en Iberoamérica y los Estados Unidos. La traduc-ción colombiana lo es de la décima edición de 1849, con las adiciones de Blanchet, y es bastante fiel en los aspectos del texto, al estilo Blanchet, para la enseñanza en colegios y universidades. Tiene además varios apéndices.

13 Basado en Albis V. y Sánchez C.H., por aparecer en Mathesis.


Una obra conexa con la traducción de Lleras es la Solución de las cuestiones enun-ciadas y no resueltas en los "Elementos de geometría" de Legendre, publicada en 1879 en la Imprenta de Medardo Rivas. No conocemos este trabajo, pero una parte fue publicada en los Anales de la Universidad (1880). Esta revista dejó de publicarse y, el trabajo continuó apareciendo en los Anales de Instrucción Pública (1881). Allí se en-cuentra la solución a los 30 teoremas por demostrar que aparecen como ejercicios en el libro cuarto.

Un dato interesante sobre Lleras es la solicitud que le hace a su tío el botánico José Jerónimo Triana (1828-1890) para que con sus nexos le ayude a resolver un problema de geometría. Triana logra que Charles Hermite (1822-1901), importante matemático de la época, le resuelva el problema y la solución es enviada por co-rreo a su sobrino en un piano dentro de un libro de geología. Lleras murió en la Batalla de la Humareda en 1885, dicen que asesinado por uno de sus estudiantes.

ANALES DE INGENIERÍA

Veinte años después de fundada la Escuela de Ingeniería se creará en 1887 la Sociedad Colombiana de Ingenieros (SCI) y con ella la revista Anales de Ingeniería, órgano oficial de la Sociedad que dio la mayor relevancia a las publicaciones en matemáticas; esta ocupará un lugar preponderante, siendo justamente el área de las ciencias matemáticas la segunda en número de artículos después de los que atañen a los ferrocarriles tema de trascendental importancia en una época en que el país intentaba comunicarse con el mundo para mejorar su economía. Del análisis de sus primeros 30 volúmenes (1888-1920) podemos conocer sus intere-ses y el nivel de conocimiento que tenían para su tiempo. En los diez primeros se observa una gran variedad de temas y de autores que publican desde lo más elemental como la solución de un problema hasta cursos por entregas de álgebra superior, de geometría práctica (topografía) y de la teoría de los cuaternios. Los famosos problemas de construcción de la geometría griega: cuadratura del círculo, duplicación del cubo y trisección del ángulo, fueron tema de varios artículos en los Anales; los ingenieros y profesores de la Escuela Rafael Nieto París (1839-1899), Enrique Morales (1857-1920) y Ruperto Ferreira (1845-1912) estudiaron los trabajos de colombianos que intentaron resolver los problemas y en los Anales aparecen los informes con los errores encontrados (Sánchez, 1993).

El trabajo más avanzado que allí se publicó en varias entregas es la Introducción a la teoría de cuaternios del ingeniero panameño Pedro J. Sosa (1851-1896) que busca-ba divulgar una teoría muy novedosa del matemático irlandés sir William Rowan Hamilton (1805-1865) en la cual se proponen números tetradimensionales que re-taban la tercera dimensión, pero que permitían la resolución de algunos problemas interesantes de la dinámica, la astronomía y la teoría de la luz. Estos cuaternios o cuaterniones permitirán el paso a la teoría de Einstein del espacio-tiempo de cuatro dimensiones como es bien sabido. Con este trabajo Sosa buscaba hacer conocer en


el país la nueva álgebra (Albis y Camargo, 2005). Se encuentran igualmente en los Ana-les de Ingeniería trabajos de divulgación sobre los rayos x, el radio, la radioactividad, la telegrafía inalámbrica, el positrón y artículos más especializados y originales, la mayoría de ellos de Garavito sobre balística, geomagnetismo, teoría de los elec-trones, fundamentos de la óptica, y la mecánica (Martínez, 1991).

Julio Garavito a partir del volumen xv (1908) y hasta su muerte en 1920 se “apo-deró”, de cierta manera, de los artículos científicos en los Anales de Ingeniería, ya que la mayoría de los artículos sobre ciencia llevan su firma (Sánchez, 1993, 114).

LA TESIS PARA SER PROFESOR DE MATEMÁTICAS

A finales de la década de 1880, surge una discusión sobre qué tanta matemática se requiere en la formación de los ingenieros. Miguel Triana (1859-1931) lideraba una corriente que opinaba que la matemática que debía enseñarse era la estrictamente necesaria para el ejercicio de la profesión, mientras Manuel Antonio Rueda (1858-1907) pretendía que además del conocimiento de las matemáticas útiles, los inge-nieros debían ser profesores ilustrados. Esta interesante polémica puede conocerse

gracias a los artículos publicados por los ingenieros mencionados, publicados en los Anales de Ingeniería. De esa polémica surgirá una solución salomónica: el tí-tulo de Profesor en Ciencias Matemá-ticas para quien cursara y aprobara con 5/5 todas las asignaturas de las ciencias matemáticas que incluían además del álgebra, la geometría especulativa y ana-lítica, la trigonometría y el cálculo, los cursos de física y astronomía. Asimismo debía hacerse una Tesis para tal fin. De los aproximadamente 50 profesores de ciencias matemáticas que se graduaron entre 1891 y 1903 en el Archivo Histórico de la Universidad se encuentran 36 de ellas, analizadas cuidadosamente por Sánchez (2007). La distribución temática de las tesis analizadas es la siguiente: Álgebra (2), Geometría analítica (10), Geometría descriptiva (1), Cálculo (6), Trigonometría (1), Física (13), Topogra-fía (1) e Ingeniería (1). Particularmente interesantes son los trabajos de geome-tría analítica. Se tratan de la resolución

Figura 1. Ejemplo de una de las carátulas de las tesis para ser profesor en Ciencias Matemáticas,

título que se otorgó en la Facultad de Matemáticas e Ingeniería entre 1891 y 1903.

Fuente: archivo Central e Histórico de la Universidad Nacional de Colombia.


de ejercicios muy difíciles del libro de Sonnet y Frontera (1893), el cual se en-contraba traducido al español. Los tra-bajos de álgebra y cálculo son bastante elementales para nuestros estándares de hoy (Sánchez, 2007).

Las “tesis” de física son esencial-mente monografías de temas específi-cos, muy bien valorados por los evalua-dores pues resumían en buena medida el estudio hecho por el estudiante en algunos libros a su alcance, la gran ma-yoría en francés y permitían la divul-gación en español del tema seleccio-nado. Quisiéramos destacar el trabajo de Francisco J. Casas, graduado en1892, sobre elasticidad, pues aunque el tema había sido trabajado empíricamente por físicos como Galileo, Marriotte o Hooke, la teoría matemática de la elas-ticidad es del siglo xix y fue desarro-llada por Cauchy y Poisson y requiere del manejo de ecuaciones diferenciales (Sánchez, 2007, 74-77).

Esa relación estrecha entre mate-máticas e ingeniería se ve reflejada en una tesis para ser ingeniero. Se trata de la tesis de Jorge Rodríguez Lalinde (1875-1948), titulada Máximos y Mínimos (1897). Rodríguez Lalinde había comenzado sus estudios en la Escuela de Minas de Medellín, y debido a su cierre se trasladó a Bogotá; por ello conocía el libro de cálculo de Bowser (1880). En Bogotá se usaba el libro de análisis de Sturm (1877). La Escuela de Minas había sido creada en la Universidad de Antioquia en 1883, sin embargo las dificultades que presentó hicieron que la Ley 60 de 1886 se fundara una nueva Escuela de Minas por secesión de la de Universidad de Antioquia por los hermanos Julio y Tulio Ospina, hijos de Mariano Ospina Rodríguez y formados en el Mining College en Berkeley, California. Inspirados por tanto en la escuela nor-teamericana esta empezó a funcionar apenas en abril de 1887. El libro de Bowser es un texto norteamericano con muchos ejercicios, el texto francés tiene muy pocos y en su gran mayoría de difícil resolución. Rodríguez, quien estuvo dirigido por Julio Garavito Armero, encuentra un error en el libro de Bowser y lo resuelve. El otro ejemplo es de Jacinto Caycedo (1895) quien presenta como tesis para ser profesor en Ciencias Matemáticas un trabajo sobre un puente sobre el río Minero en Boyacá, donde de matemáticas propiamente dichas solamente encontramos los cálculos de los costos de la obra (Sánchez, 2007).

Figura 2. Notas académicas de Francisco J. Casas. Una de las exigencias de la época para

poder graduarse era obtener en todas las asignaturas 5/5. Este es un ejemplo.



LA OBRA DE MANUEL ANTONIO RUEDA (1858-1907)

Protagonista de la discusión sobre qué matemática enseñar a los futuros inge-nieros, Rueda es el mayor defensor de la formación matemática en la carrera de ingeniería. Su lema fue formar ingenieros y profesores ilustrados. Fue el primer director de los Anales de Ingeniería y su preocupación por la enseñanza de las matemáticas se ve reflejada en su enorme producción de textos. Efectivamente

publicó los siguientes: Tratado de Aritmética (1882); Tratado de Arit-mética Analítica y Comercial (1883); Compendio de Aritmética (1884). Lec-ciones de Trigonometría (1887; Curso de Algebra (1893); Contabilidad Mer-cantil, 1898, Librería Colombiana, Bogota, 5ª edición mejorada). Las cuatro operaciones de la aritmética, (1931 y El Juguete de los Números (1891). Publicó además un Trata-do de Inglés y otro de Geografía. Eduardo Santos como presidente de la República firmó la Ley 150 de 1938 por la cual se honró su me-moria; la ley estableció la erección de un busto en la Ciudad Univer-sitaria y la compra y distribución gratuita de algunos de sus libros14 para ser distribuido gratuitamente en las escuelas primarias y “entre los estudiantes pobres que cursen estudios secundarios”.

Aunque murió en 1908 su fa-milia continuó reproduciendo sus textos, los cuales fueron usados en colegios y universidades has-ta bien entrado el siglo xx. Por ejemplo, su Curso de álgebra tuvo una novena edición en 1939 por la Editorial Bedout de Medellín. Sin duda un best seller para la época.

14 compendio de aritmética, las cuatro operaciones de la aritmética y el tratado de aritmé-tica analítica y comercial.

Figura 3. Copia del acta de grado de Ricardo Pérez, el último grado de profesor en ciencias matemáticas que se otorgó justamente recién

abierta la Universidad luego de la Guerra de los Mil Días. La tesis aparentemente está perdida.



Con la Guerra de los Mil Días se cierra la Universidad en 1899 y con ella se acaba el título de Profesor en Ciencias Matemáticas. La Universidad volverá a abrirse en 1902, y se intentó abrir una Licenciatura que se quedaría en buenas intenciones hasta la década de 1950.

LOS ANALES DE LA UNIVERSIDAD

Antes de pasar al siglo xx debemos mencionar los Anales de la Universidad, periódico oficial de la institución creado a través del Decreto Orgánico de la Universidad, cuyo lago título nos permite tener claros sus objetivos: Anales de la Universidad Nacional de los Estados Unidos de Colombia. Repertorio de Instrucción Pública, Literatura, Filosofía, i Ciencias matemáticas, Físicas, Médicas i legales. Periódico oficial de la Universidad, destinado al fomento i cultivo de las ciencias, la literatura i la instrucción pública en los Estados Unidos de Colombia.

En los Anales encontramos no solo la relación de los acontecimientos más impor-tantes de la vida de la Universidad sino trabajos científicos y culturales de interés para la época. De los Anales se publicaron 13 volúmenes compuestos por 92 números, divididos en dos etapas: la primera compuesta por los primeros nueve volúmenes de 1868 a 1875, conformada por 76 números, comienza en septiembre de 1868 y la segunda en la cual cambia de nombre por Anales de la Universidad de Colombia, comien-za con el número 77-78 de febrero y marzo de 1876 y culmina con el número 92 de enero de 1880. Las dos etapas están determinadas por la guerra civil de 1875 por la cual fue necesario suspender la Universidad por seis meses. También cambia el objetivo de los Anales: periódico oficial destinado al fomento i cultivo de la instrucción pública.

En ellos encontramos numerosos artículos sobre ciencia en general pero desta-caremos uno en particular sobre Estadística. Se trata de un largo artículo titulado Lecciones de Estadística (1851), en el cual se pretende exponer de manera condensada los principios fundamentales de la estadística en 31 lecciones o apartados; José María Samper en el discurso de la primera sesión solemne de clausura de 1868, luego de una breve disquisición sobre la importancia de las matemáticas y las humanidades hace una reflexión sobre “las cinco ciencias modernas hacia las cuales quiero llamar vuestra atención”. Se refiere a la Química, la Mecánica, la Higiene, la Historia y la Economía Política: En el apartado sobre Higiene, hace referencia a otras dos nuevas ciencias, la antropología y la estadística. Consciente de la importancia de esta última quizás promo-vió la publicación de estas lecciones para estimular el estudio de esta disciplina. Hay que señalar que en los Anales encontramos múltiples cuadros estadísticos que acom-pañan los informes de los rectores. En ellos hallamos, por ejemplo, la distribución del número de estudiantes por orden de procedencia y por escuela (Sánchez, 2006).

Es relevante anotar que los Anales de la Universidad, los Anales de Ingeniería y la Revista Médica fueron los medios de divulgación científica más importantes de Colombia desde su fundación hasta la creación de la Academia Colombiana de Cien-cias y su revista en 1936.


SIGLO XX. DE 1900 A 1930 LA ESCUELA DE MINAS DE MEDELLÍN

En Medellín se fundó en 1888 la Escuela de Minas, una escuela de ingeniería con una filosofía diferente a la de Bogotá. La Escuela Nacional de Minas inició labores el 2 de enero de 188815. Sus fundadores, los hermanos Pedro Nel y Tulio Ospina, tenían en mente la formación de líderes empresariales para el desarrollo del país. El pensum (Poveda Ramos, 1993, iv, 159) incluía los estudios de álgebra, geometría, inglés, francés, botánica, zoología, química inorgánica, física elemental, dibujo lineal, física superior, trigonometría rectilínea, y esférica, geometría analítica, di-bujo de máquinas, mineralogía, geología, química superior, explotación de minas, metalurgia, cálculo infinitesimal, mecánica analítica, agrimensura, geodesia, higie-ne, economía política y religión. Observamos algunas diferencias en los cursos que no son de matemáticas con el pensum en Bogotá. La diferencia en el currículo en matemáticas estaba en que se consideraba apenas una herramienta importante de aplicación en las diferentes áreas de la ingeniería. El enfoque empresarial que se le quiso dar a la formación de ingenieros en la Escuela de Minas permite entender el por qué fue allí justamente donde se usó y enseñó por primera vez la estadística en Colombia a comienzos del siglo veinte

Algunas de las primeras monografías de grado de ingenieros de la Escuela de Minas, entre 1893 y 1911, igualmente debieron hacer acopio de cifras esta-dísticas y de datos comparativos nacionales e internacionales, debiendo el estudiante en no pocas ocasiones construir sus propios datos. De ahí que el sentimiento predominante fuese el de que en Estadística, regional y nacional, “todo estaba por hacerse”. No fue, entonces, casualidad que a partir de 1912 la enseñanza de la Estadística empezara a ser institucionalizada en la Escuela de Minas en el curso de “Eco-nomía Industrial”, bajo la dirección de Alejandro López, que comenzaba con el apartado denominado “Elementos de estadística”, de los cuales se tienen detalles mínimos (Mayor, 2002).

El líder intelectual de la Escuela, Alejandro López (1876-1940) aunque re-conoce el valor de las matemáticas en la formación de cualquier persona y en particular de un ingeniero, le da prevalencia a su utilidad (López, 1917). El curso de Economía Industrial y Estadística estuvo a cargo de Mariano Ospina Pérez en los primeros años de la década de 1920 y luego pasó a ser impartido por Jorge Rodríguez Lalinde16, egresado de Bogotá, mencionado anteriormente, “que quizá por ser profesor de Cálculo Diferencial e Integral, le pudo dar una orientación

15 En el trabajo de Mayor (1985) encontramos un cuadro comparativo entre las dos escuelas de ingeniería.16 Más detalles sobre sobre la vida y obra de Jorge Rodríguez se encuentran en Santamaría (1994).


más moderna”(Mayor, 2002). En la primera edición de 1928 de sus Lecciones de Estadística17 ocupa un lugar sobresaliente el intento de fundamentar la estadística aplicada en el cálculo matemático, como elemento esencial para determinar cau-sas, establecer leyes, predecir hechos tanto físicos como sociales (Mayor, 2002).

En 1917 se dio nuevamente una seria polémica sobre el tipo de matemática para la formación de los ingenieros. Ahora los interlocutores fueron López y Julio Garavito, el líder indiscutible en Bogotá (Mayor, 1985). Este mantenía la posición firme de buena formación en matemáticas y no solo matemática en función de su utilidad a la ingeniería. A Garavito y su obra dedicamos el siguiente apartado.

LA OBRA DE JULIO GARAVITO

Julio Garavito Armero (1845-1920), al lado de Mutis y Caldas constituye la trilogía de sabios matemáticos colombianos, mitificados por años, por la falta de traba-jos en historia de la ciencia en Colombia, que apenas comienza, y que hace que se desconozcan otros personajes valiosos de esa historia y que comenzamos a divulgar hace ya un tiempo. Esto permite darles a los integrantes de la trilogía el lugar de privilegio que les corresponde, pero sin desconocer los aportes de otros personajes. Garavito obtuvo en la Universidad Nacional los títulos de Profesor en Ciencias Matemáticas en 1891, el primero en obtenerlo, y muy poco después el de Ingeniero Civil. Alumno destacado comenzó a reemplazar a sus profesores en los cursos más avanzados de matemáticas de la carrera de ingeniería como son los de cálculo diferencial e integral, mecánica racional y astronomía. Inmediatamente después de su graduación fue nombrado Director del Observatorio astronómico en 1892, cargo que ocupó hasta su muerte en 1920.

Garavito como ingeniero de su época daba cuenta de todas las áreas de las cien-cias matemáticas relacionadas con la ingeniería, y de otras como la meteorología o la actuaría. Como director del Observatorio entre sus tareas estaba la de predecir el estado del tiempo y enviar diariamente al Ministro de Instrucción Pública sus predicciones sobre el clima de Bogotá. Fue miembro fundador de la Oficina de Lon-gitudes creada por Decreto de 1902 con el fin de demarcar la frontera con los países vecinos y de la Sociedad Geográfica de Colombia, fundada un año después. Este mismo año fue contratado por Colseguros para realizar unas tablas de mortalidad de la población colombiana; en sus cuadernos podemos observar las notas con las cuales

17 Reimpreso por Eafit, en 2016, esta es la reseña que lo promociona: Este libro se publicó por pri-mera vez en 1928 en Medellín. Surgió a partir del curso de estadística que inició en 1913 en la U. de Antioquia, que junto con la U. Nacional de Bogotá fueron las pioneras en el país sobre el tema, con la publicación del libro en la U. de Antioquia, y luego de su segunda edición en 1929 en la Facultad de Derecho de la misma, Jorge Rodríguez marcó un precedente para la estadística en Colombia, pues se trató de la primera publicación divulgativa y de largo aliento, con teoría y práctica, sobre el área, enfocada, incluso, en aspectos de la realidad nacional y departamental de entonces.


se prepara para asumir este trabajo. De sus cursos quedan las notas de clase de los cursos de cálculo diferencial (Muñoz, José, A. y Merchán, 2012), y de astronomía (Fonseca, 1904) tomadas por sus alumnos y divulgadas por ellos mismos y en sus 43 cuadernos que se encontraban en el Observatorio Nacional en su histórico edificio del Centro de Bogotá y que ahora reposan en el Archivo Histórico de la Universidad. El contenido de los cuadernos es muy variado, encontramos sus borradores sobre dife-rentes áreas de las ciencias matemáticas así como de Economía Política, Psicología y Filosofía. También hay allí mezclados con sus intereses científicos reflexiones sobre la política colombiana, la vida y la muerte, que reflejan estados depresivos ante la desaparición de sus seres queridos o ante la incomprensión de sus contemporáneos por su pensamiento, pues Garavito no recibía bien las críticas que se le hacían a sus escritos, como veremos en apartado posterior (Sánchez, 2007a).

Con motivo del sesquicentenario de su nacimiento, en 2015, la Facultad de Ingeniería creó la Cátedra Julio Garavito que inauguró justamente con su vida y obra. Allí pudimos darnos cuenta de la calidad de sus escritos en matemáticas, física, actuaría, astronomía, meteorología, y economía política que están comen-zando a ser revisados por expertos en las áreas. Esperamos que para el centenario de su muerte en 2020 se pueda publicar una obra que recoja buena parte de esos documentos como ordenó la ley 128 de 1919 que aún no se cumple.

Por lo anterior al hablar de Patrimonio Matemático Colombiano, sin duda la obra de Julio Garavito constituye un haber muy importante de ese acervo. La obra científica de Garavito quedó publicada esencialmente en los Anales de Inge-niería y reproducida en la Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas y Na-turales. Hemos estudiado apenas una parte de sus artículos en Anales de Ingeniería, realizado un catálogo del contenido de sus cuadernos18 y dos tesis han analizado su curso de cálculo19.

Pero también quedaron sus estudios, sus borradores de artículos, sus prepa-raciones de clase, sus intentos de solución de problemas en 43 cuadernos que se encuentran en el Observatorio Nacional en su histórico edificio del Centro de Bogotá (Sánchez, 2007).

Desafortunadamente Garavito rechazó lo que hoy llamaríamos matemática y física modernas. En artículos muy severos como ¿Bancarrota de la ciencia? publicada en los Anales de Ingeniería rechaza las geometrías no euclidianas y la física de Eins-tein20. Su autoridad no permitió que se le discutieran sus opiniones y hubo que

18 Catálogo Documental del Archivo Histórico del Observatorio Astronómico Nacional. Primera parte 1803-1930. Universidad Nacional. Bogotá, 2007. 19 Villegas (1992).20 Habiendo tropezado aquellos sabios [Gauss, Lobatchevski, Riemann] con un interesante acertijo, se guardaron de aclararlo para dejar un motivo de entretenimiento a los curiosos, presentando el enigma bajo la forma de verosimilitud de otras geometrías planas no euclídeas. El progreso moderno ha sido quizás la causa de que el acertijo no haya sido puesto en claro, pues los quehaceres y entre-tenimientos impiden al hombre moderno, en esta época de automovilismo y cinematografía, estudiar los asuntos con la debida atención. … Tal confusión de ideas ha sido tal vez la causa de que el juguete


esperar a que muriera para que empezaran a aparecer artículos con posiciones sobre estos temas distintos de los suyos. No nos parece casualidad que apenas un año después de su muerte en un interesante artículo Las Geometrías no Euclideas y las objeciones de Garavito (Carrizosa, 1921), Julio Carrizosa Valenzuela (1895-1974), el fundador de la Primera Facultad de Ciencias en la Universidad Nacional y de la Sociedad Colombiana de Matemáticas, señala los puntos críticos en la posición de Garavito. A su vez Darío Rozo (1881-1979), uno de sus alumnos, publica sobre la relatividad (Rozo, 1923). Veinte años después dos extranjeros el venezolano Fran-cisco J. Duarte (1946) y el español Francisco Vera criticarán igualmente a Garavito.

Las consecuencias de ese tipo de pensamiento tuvieron repercusión. En 1932 en la Sección Editorial de Anales de Ingeniería encabezada con el título Reflexiones sobre la enseñanza de las matemáticas en las Escuelas de Ingeniería se afirmaba al compararnos con el desarrollo de las matemáticas en la “gran Nación del Norte” y con Europa:

Pero en los países suramericanos, sobre todo en Colombia, las condiciones son bien distintas. Ni aquí podemos soñar con la industrialización de Norte América, ni tampoco tendremos ocasión de servir como avanzada en el campo de las investigaciones cientí-ficas, como lo prueba el caso de Garavito, aventajadísimo matemático, genio analítico por excelencia, que no pudo formar escuela ni dejó obra perdurable aceptada por la ciencia universal (Editorial, Anales de Ingeniería, 1932)21.

COMIENZA EL CAMBIO 1930-1950

Las ciencias exactas y naturales estuvieron hasta 1930 a cargo de los médicos y los ingenieros; matemáticas, física y astronomía a cargo de los ingenieros, química, farmacia, botánica y zoología a cargo de los médicos, todas estas disciplinas tenían un objetivo de apoyo a las profesiones respectivas. Muy poca investigación cientí-fica teórica se encuentra en Colombia en la primera mitad del siglo xx.

Un aporte muy valioso a la divulgación matemática comienza justamente en la dé-cada de 1930 cuando a la Escuela de Minas ingresó un destacado grupo de estudiantes ansiosos de dar a conocer sus ideas; este grupo propiciaba reuniones en un centro de reuniones al que llamaron Tulio Ospina en honor al primer rector de la escuela. De estas reuniones nació la idea de fundar una revista estudiantil. Se escogió el nombre de Dyna para la publicación como símbolo de sus objetivos. Al respecto Luis de Greiff afirmaba:

Dyna simbolizó siempre la unidad indisoluble que en un verdadero centro de estudios debe existir entre profesores y alumnos.

(sic) presentado por Lobattcheffsky (sic) haya tomado el carácter de inextricable misterio. ¿Bancarrota de la ciencia?, Anales de Ingeniería, Vol.25, págs.101-107, 203-215. 21 Más detalles sobre Garavito, sus múltiples intereses y el desarrollo de la ciencia en Colombia podrá consultarse en (Sánchez, 2017).


El gestor de la idea fue el ingeniero Joaquín Vallejo Arbeláez (1912, 2005), en su época de estudiante. El primer número de la revista apareció en 1933; en 1936 la revista se suspende y comienza una segunda etapa en 1937 como órgano oficial de la Escuela de Minas y con cuatro secciones: Física y Matemáticas, Ingeniería, Economía y Miscelánea. Aunque ha tenido algunos tropiezos y cambios editoriales desde su fundación hoy continúa apareciendo.

Entre 1930 y 1950 se publicaron en Dyna 24 artículos de matemáticas, en los cuales se observa como autor destacado a Luis de Greiff (1908-1964). Hay que decir que en este periodo allí se encuentra la producción matemática más significativa y más moderna. En 1940, luego de largas negociaciones, la Escuela de Minas fue adscrita a la Universidad Nacional con el nombre de Facultad Nacional de Minas (Sánchez, 2002).

LA OBRA DE LUIS DE GREIFF (1908-1967)

Luis de Greiff Bravo, es el ingeniero matemático más destacado del periodo com-prendido entre los años mil novecientos treinta y mil novecientos cincuenta22. Enseñó diversas asignaturas de ingeniería y matemáticas como estática gráfica, resistencia de materiales, teoría de estructuras, geometría analítica, álgebra, cálculo diferencial e integral, e inició las cátedras de ecuaciones diferenciales y extensión de matemáticas.

Siendo aún estudiante y por recomendación del Rector el ingeniero y pio-nero de la estadística en Colombia, Jorge Rodríguez Lalinde, enseñó álgebra superior y geometría analítica en la Escuela. Combinó su trabajo como ingeniero con sus cátedras de matemáticas y estadística. De sus cursos surgieron varios libros: Curso medio de Geometría analítica (1948), Análisis trigonométrico (1960) y Cálculo vectorial (1963). Fue miembro de la Mathematical Association of America, de la New York Academy of Sciences, de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales y socio fundador de la Sociedad Colombiana de Matemáticas, en 1955. La Sociedad Antioqueña de Ingenieros recopiló en 1970 buena parte de sus trabajos en matemáticas en libro titulado Investigaciones matemáticas selectas. Naturalmente también fue socio de la Sociedad Colombiana de Ingenieros, la que le promovió a Socio Honorario23.

22 Luis de Greiff Bravo nació en Barranquilla en 1908, pero muy pronto se trasladó con su familia a Medellín donde se graduó de bachiller en la Universidad de Antioquia en 1926 y cinco años más tarde obtuvo el título de ingeniero en la Escuela de Minas en 1931; siendo aún estudiante fue elegido cate-drático de las asignaturas de álgebra superior y geometría analítica, las cuales dictó desde mediados de 1929 hasta finales de 1931. Entre 1932 y 1938 trabajó en Bogotá como ingeniero del Ministerio de Obras Públicas; regresó a Medellín y se vinculó nuevamente como profesor a su alma mater, en la que llega a ser decano entre 1958 y 1960. 23 Más detalles sobre su vida y obra en Peter Santamaría, 1994, pp. 669-770.


LA ACADEMIA COLOMBIANA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

En 1936 se funda la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales como correspondiente de la Real Academia española y como tal quedó dividida en tres secciones: Ciencias Naturales24, Ciencias Exactas y Ciencias Físico-Quí-micas. Quedó constituida por 13 miembros de número todos ellos vinculados a la Universidad Nacional y 2 correspondientes. Los ingenieros Jorge Acosta Villaveces, Julio Carrizosa Valenzuela, Víctor Caro, Darío Rozo y Rafael Torres Mariño conformaron la Sección de Ciencias Exactas y Antonio María Barriga, Alberto Borda Tanco, César Uribe Piedrahita, Ricardo Lleras Codazzi y Jorge Ál-varez Lleras, la Sección de Ciencias Físico Químicas. Siete ingenieros, 4 médicos y dos biólogos. Una prueba más de la íntima relación entre los ingenieros y las ciencias matemáticas, antes de que se creara la carrera de matemáticas en 1951 en la Universidad Nacional.

Con la fundación de la Academia Colombiana de Ciencias se fundó igualmente la Revista de la Academia como una publicación trimestral del Ministerio de Edu-cación. El primer número salió a la luz en octubre de 1936. La mayoría de sus artículos fueron realizados por sus académicos. De los 28 artículos publicados entre 1936 (Vol.1) y 1950 (Vol.29), 19 son reproducciones de artículos de Julio Garavito, 4 de Víctor Caro (1877-1944) sobre algunas curiosidades matemáticas, los números pi y e, y el teorema de Fermat; Alberto Borda Tanco (1864-1947) trata sobre las matemáticas y sus aplicaciones en astronomía, Jorge Acosta Villaveces (1891-1965) sobre ecuaciones diferenciales y actuaría; y Hernando Lleras Franco (1907-?) sobre el postulado de Euclides25. Hay que destacar además, uno del ve-nezolano Francisco José Duarte (1883-1972) Sobre las geometrías no euclídeas: Notas históricas y bibliográficas (1946) en la que el autor se ocupa de las soluciones que han dado antiguos y modernos al postulado de Euclides, con notable acopio de datos históricos y bibliográficos. En él se hace una crítica a Garavito, ya que el autor estima que intentó demostrar el quinto postulado, intento que no se espera, dice Duarte, de alguien con un buen conocimiento de la geometría. Jorge Álvarez Lleras (1885-1952), presidente de la Academia, en nota introductoria defiende la posición de su maestro y afirma que en número posterior nos hará ver los errores de Duarte, aclaración que jamás apareció en la revista como era de esperarse, pues las geometrías no euclidianas son teorías matemáticas válidas, rigurosamente desarrolladas durante el siglo xix.

Igualmente debe destacarse el artículo del español Francisco Vera (1888-1967) exilado de la guerra española, titulado Teoría de Conjuntos. En él se exponen las

24 Estaba conformada por Calixto Torres Umaña, Luis María Murillo, Enrique Pérez Arbeláez, Luis Cuervo Márquez y Federico Lleras Acosta.25 La lista completa de los trabajos entre 1936 y 1950 se encuentra en (Sánchez, C. H., 2002).


primeras lecciones de un curso dictado en la Sociedad Colombiana de Ingenieros y que terminó siendo un libro publicado en Argentina (Vera, 1948). Es casi con seguridad la primera vez que se trató el tema en Colombia (Sánchez, 2002).

DE 1950 AL SIGLO XXI

La formación de matemáticos en Colombia. Consolidación de la comunidad mate-mática colombina: una carrera, una institución, una revista, una Sociedad.

Se puede afirmar que antes de 1960 no había en Colombia una comunidad científica en física ni en matemáticas, en el sentido exacto de la palabra. Solamente existía una ilus-tre élite científica constituida de brillantes ingenieros que estudiaban por propia cuenta la física de avanzada, y proseguían sus investigaciones de manera aislada, con pocos críticos, ausencia de evaluadores, sin impacto local o internacional y sin continuadores para cualquier tipo de aplicación (Paty y Martínez Chavanz, s. f.).

Es claro que hasta la década de 1950 en Colombia la matemática del nivel universitario era asunto de los ingenieros, la enseñanza de los cursos de matemá-ticas estaba bajo su cargo y la poquísima investigación que se hacía era hecha por algunos particularmente interesados en la disciplina. En su gran mayoría ejercían su profesión y la alternaban con la docencia en la Universidad. Uno de ellos el ingeniero Julio Carrizosa Valenzuela (1895-1974), un poco antes de terminar la primera mitad del siglo xx, en 1947, tuvo la iniciativa de fundar una Facultad de Ciencias, preocupado por el bajo nivel de desarrollo en las ciencias básicas que se tenía en Colombia. Carrizosa durante la rectoría de Gerardo Molina, abre un espa-cio institucional para estimular su estudio por medio de catorce cursos libres, de las más variadas áreas del conocimiento, realizadas por expertos en las diferentes áreas (Arias y Sánchez, 2006).

A ella llegó, la víspera del 9 de abril de 1948, el matemático y físico italiano Carlo Federici Casa (1906-2005) pensando que aquí podría dedicarse al estudio de la lógica. Al llegar y encontrar un panorama de desconocimiento de los más elementales avan-ces de la matemática comienza a conquistar estudiantes en sus cursos en ingeniería para abrir una licenciatura en matemáticas. Eso se logra a los tres años de su llegada al fundarse la Licenciatura en Matemáticas Superiores en 1951. Y será el primer escalón para comenzar con la ruptura de las matemáticas con la ingeniería. Apenas un año después en 1952 se funda la Revista de Matemáticas Elementales, primera revista especializada en matemáticas en el país, por iniciativa del matemático húngaro Juan Horváth (1925-2015), director del Departamento de Matemáticas de la recién creada Universidad de Los Andes. Alrededor de ellos que proponen nuevos temas, más allá de las asignaturas de matemáticas para ingeniería, profesores y alumnos tuvieron que trabajar arduamente, para sacar adelante un proyecto que superaba sus intereses personales, y, por qué no decirlo, de los intereses científicos y educativos


del país. Es así como el 10 de agosto de 1955, a las 7 de la noche, se creó la Sociedad Colombiana de Matemáticas en casa de Carrizosa Valenzuela, quizás el más entu-siasta de esos ingenieros, profesores de matemáticas en la Universidad Nacional, conscientes de la necesidad de dar a la matemática un espacio propio para poderse desarrollar en nuestro país (Sánchez, 1995).

Los contactos de Horváth, y de Mario Laserna (1923-2013), fundador de la Universi-dad de los Andes, impulsarán la visita de matemáticos de primer orden mundial: John Von Neumann, Solomon Leffchetz, Laurent Schwartz, entre otros (Ortiz, 2008). Estos darán conferencias tanto en la UN como en los Andes sobre matemáticas avanzadas.

En 1956 se realizará el Primer Seminario Colombiano sobre Enseñanza de las Matemáticas en el Nivel Universitario patrocinado por el Fondo Universitario (antiguo Icfes). Según palabras de Alonso Takahashi:

Al congreso asistieron representantes muy autorizados de las más importantes uni-versidades colombianas. Los asistentes al congreso coincidieron de manera unánime en que la principal falla en la enseñanza de las matemáticas en el país radicaba en la deficiente preparación de los profesores en cuanto a conocimientos matemáticos pro-piamente dichos, pero sin excluir deficiencias en la formación pedagógica.

A ese evento asistió el destacado matemático francés Laurent Schwartz (1915-2002), Medalla Fields de 1950, quien opinaba que para que fuera posible la investiga-ción en matemáticas en nuestro país eran indispensables tres cosas: 1° Creación de Departamentos de Matemáticas; 2° Contacto Interuniversitario y 3° Formación de un cuerpo de jóvenes investigadores (Schwartz, 1957).

En el año del congreso apenas existían tres instituciones en las cuales se podían ha-cer estudios de formación en matemáticas a nivel universitario: la Universidad Nacio-nal en Bogotá, la Universidad Pedagógica de Colombia en Tunja, y la Universidad Peda-gógica Femenina en Bogotá. Con mucho esfuerzo por parte de Federici y sus alumnos, pues los ingenieros no querían perder su fuero de matemáticos, se logró crear en la UN el Departamento de Matemáticas, el cual un año después se convirtió en Facultad.

Al centralizar la enseñanza de las matemáticas y de la estadística en la Universidad, se ha dado el primer paso firme para el desarrollo de las matemáticas en Colombia.La “Reina de las Ciencias” ha sido hasta hoy, en nuestro país, patrimonio de unos pocos aficionados. Con invaluable fervor han mantenido vivo su culto, aislados unos de otros y aislados también de los centros creadores de matemática, circunstancia por la cual no han podido pasar de la simple posición de aficionados. La Universidad Nacional ha resuelto esta grave situación, correspondiendo así a su tradición de alma mater de la cultura colombiana.

Un punto de referencia para saber qué tipo de matemática se enseñaba a finales de 1940 en Colombia es el curso más avanzado que se impartía en la carrera de inge-niería. Se trata del curso Análisis Matemático a cargo del ingeniero Jorge Acosta Villa-veces del cual quedó un libro con ese mismo nombre publicado por la Universidad


Nacional en 195126. El libro sobre cálculo integral y ecuaciones diferenciales sigue los estándares del libro Cours d´Analyse de Sturm, mencionado anteriormente.

Coincidencialmente la formación de matemáticos en Colombia comenzó ese mis-mo año, con la Licenciatura en Matemáticas Superiores que bajo la dirección de Federici se fundó en la Universidad Nacional. El programa, una Especialización en Matemáticas Superiores lo ofrecía la antigua Facultad de Ciencias (1947-1956)27. El programa estaba concebido para tres años y entre los cursos obligatorios estaban un curso y un Semi-nario sobre Álgebra Moderna en el primer año y los cursos de Topología Algebraica y Topología en el segundo año, señales evidentes de la introducción de la matemática moderna en la formación de los primeros matemáticos colombianos.

Para entrar al programa se requería “comprobar que el estudiante tiene cono-cimiento de matemáticas elementales, geometría analítica y cálculo diferencial e integral”. Estos requisitos correspondían en realidad a haber aprobado los cursos de matemáticas de la carrera de ingeniería. Apenas un año después, el programa fue reformado, y se convirtió en un programa de cinco años. Para ingresar a él se requería solamente el título de bachiller y naturalmente aprobar los demás requisitos de ingreso que exigía la Universidad a quienes desearan cursar una carrera universitaria. Los dos primeros años del plan daban una formación básica en matemáticas y a partir del tercer año lo que estaba establecido en el plan an-terior. Con la aprobación de los cursos y un trabajo sobre una asignatura del plan se obtenía el título de Licenciado en Ciencias Matemáticas. Igualmente se podía obtener el título de "doctor" si se era Licenciado en dos asignaturas del pensum y con una tesis de fondo. Con el título de Licenciado en Ciencias Matemáticas se graduaron seis colombianos entre 1951 y 1961, año este en que se cambió el título por el de Matemático. Federici fue el profesor de análisis con el libro de Severi (1951), Hor-váth28 de topología (sus notas de clase realizadas en Bogotá sirvieron de base para el libro publicado luego por la oea (1969). En buena medida los primeros egresados de la carrera fueron autodidactas ya que no había profesores preparados para realizar todas las asignaturas del plan de estudios. A partir de la década de 1960 cursos como el de topología fueron realizados con enorme esfuerzo y dedicación por Carlos Ruiz (1939, 2012) y Jaime Perea (sin datos) con los textos de Bourbaki29;

26 Su contenido es el siguiente: Cálculo integral. Integrales indefinidas. Procedimientos de integra-ción: 1.Objeto de estudio. Existencia de la integral indefinida. Definiciones y notaciones; 2. Reglas y procedimientos usuales de integración.27 Esta Facultad de Ciencias fue un primer intento que hubo en la Universidad Nacional para fomentar el estudio de las ciencias básicas en Colombia. Más detalles pueden consultarse en Arias J. y Sánchez C.H. (2006)28 Véase (Albis y Sánchez, 2009)29 Nicolás Bourbaki es el pseudónimo de un Grupo de matemáticos franceses, de primera línea, que en la década de 1930 se dedicaron a revisar los fundamentos de la matemática desde el punto de vista formalista estructuralista. Su obra Elementos de matemática basada en el método axiomático y con el mayor rigor lógico emprendió la tarea de cubrir las bases de toda la matemática. Su primer libro se publicó en 1935.


ambos fueron luego los profesores de esta asignatura por varias décadas y parti-cularmente el primero (quien luego viajó a Francia y se doctoró allá) se dedicó al estudio de esta área de las matemáticas y a su estímulo y desarrollo en Colombia cuando se inició el posgrado en 1968. Creó el Grupo Vialtopo (Visión Algebraica de la Topología) compuesto por estudiantes y profesores de varias universidades donde laboró. Víctor Albis, entre 1962 y 1964 enseño álgebra moderna con el libro Leçons d’Algèbre Moderne, de los esposos Paul y M. L. Dubreil (1961). Su alumno Januario Varela siendo estudiante avanzado en la carrera continuó impartiendo los cursos de álgebra usando esta vez los textos de Bourbaki.

Es indispensable en este recuento histórico de la matemática en Colombia en el cual se destacan algunos de sus más significativos valores patrimoniales dedi-carle un párrafo a la influencia del Grupo Bourbaki en Colombia. Esa influencia se ve reflejada muy pronto con la tesis de grado de Alberto Campos para obtener su título de Licenciado en Ciencias Matemáticas en 1959; se titula La Description de la Mathématique Formelle de N. Bourbaki. En ella Campos (1959) afirma:

Me he propuesto escribir los comentarios que haría un profesor si tuviera que explicar la “Description de la Mathématique Formelle” capítulo introducidos (sic) de la gran obra Éléments de mathématique. Les structures fondamentales de l´Analyse. Al llegar a ella el lector se encuentra ante otra manera de hablar, una lógica matemática de la que no tenía noticia y que hace pesada su lectura. Para comprenderla me he de-dicado a dos cosas: llegar a entender que Bourkaki es formalista y de qué manera lo es en primer lugar; y dar justamente un comentario a cada párrafo del capítulo, ni grandes consideraciones filosóficas ni comparaciones de tamaño heroico con otras exposiciones lógicas sino únicamente facilitar la lectura.

El profesor Yu Takeuchi (1927-2015) de gran trascendencia en la formación de matemáticos en Colombia30, hizo en (Takeuchi, 1977) un balance sobre la formación de los primeros matemáticos colombianos y la influencia de Bourbaki en ella:

El plan de estudios fue demasiado ambicioso para la licenciatura en matemáti-cas, pues en los cursos de 4° y 5° año aparecen materias fuertes como Geometría Diferencial, Topología Algebraica y Variable Real las cuales nunca fueron dic-tadas durante los años 60 y 61. En los últimos años de la década del sesenta se

30 Yu Takeuchi, matemático y físico japonés, llegó al país en diciembre de 1959 gracias a un convenio que el entonces rector Mario Laserna había hecho con el gobierno japonés para contartar profesores de matemáticas y física de alto nivel. Aunque su contrato era por dos años se radicó definitivamente en Colombia, como profesor de dedicación exclusiva de la Universidad Nacional. Sin duda un forjador de las matemáticas en Colombia que dejó honda huella en la comunidad matemática colombiana. Su ex-tensa obra, compuesta por numeroso textos de matemáticas realizados con colegas del Departamento de Matemáticas, textos en español y de bajo costo, y sus numerosos artículos sobre sus investigaciones escapan al alcance de este artículo por su tamaño y trascendencia.


presentaron varios proyectos para facilitar la carrera ya que se habían graduado apenas 20 matemáticos en 12 años de funcionamiento de la carrera. Por falta de profesores especializados reinaba en la Facultad de Matemáticas la idea de que Bourbaki era el único medio de aprender matemáticas abstractas, hecho que ha causado perjuicio para el desarrollo intelectual de los primeros matemáticos formados en el país quienes tuvieron que luchar fuertemente en sus estudios posteriores para superar esta deficiencia pues evidentemente los Bourbaki no son textos para “primíparos”. Es interesante que el mismo fenómeno (el bour-bakismo) se haya presentado en la Carrera de Matemáticas de Medellín, con un retraso de 10 años (Takeuchi, 1977).

Sin duda los sobrevivientes a la época del bourbakismo han dejado un legado significativo en el desarrollo de las matemáticas en el país, pero también es claro que muchos entusiastas por el estudio de la matemática quedaron “regados en el camino” (Albis y Sánchez, 2012).

A finales de 1960 comienza la inquietud en otras universidades colombianas por formar matemáticos y licenciados en matemáticas. La primera en hacerlo fue la Universidad de los Andes en 1964; la segunda la Universidad del Valle, que creó su programa en 1967; en 1969 fue la Universidad de Antioquia la que creó la carrera de matemáticas, y en 1970 la Universidad Javeriana. Muchas de ellas con la influencia directa de los primeros egresados de la Universidad Nacional.

Estos programas tuvieron como objetivo nominal la formación de profesores para el bachillerato. Sin embargo, cuando empezaron a egresar los primeros licenciados, la demanda de profesores ocasionada por el aumento de cupos en las universidades dio como resultado que dichos licenciados fueran absorbidos por ellas en una proporción considerable (Takahashi, 1990).

Esto ocasionó una distorsión en el sistema educativo colombiano en la forma-ción de profesores en todos los niveles, consecuencias negativas que se han ido superando con las diferentes exigencias de las Universidades como los títulos de posgrado para poder ser profesor universitario.

LA REVISTA DE MATEMÁTICAS ELEMENTALES

Según Sánchez (1994) los primeros trabajos de matemática moderna escritos por colombianos los podemos encontrar en la Revista de Matemáticas Elementales, fundada en 1952, por sugerencia de Juan Horváth (aunque su nombre no aparece en los créditos de la Revista) por las Universidades Nacional y de los Andes. El primer número de la revista contiene dos artículos y una sección de proble-mas. El primer artículo se titula Teoría de Grupos I, de Pablo Casas (1927-1986), el primer Licenciado en Ciencias Matemáticas y quien fuera un abanderado de la fundación del Departamento de Matemáticas y Estadística en 1956 y de la carrera


de estadística en 195831. En este artículo, como su nombre lo indica, hace una introducción a la teoría de grupos, que se supone hará en varias entregas. En realidad sólo apareció esa primera entrega y por razones que desconocemos no la continuó. Luis de Greiff fue el otro colombiano que publicó en la revista pero sobre temas de matemática clásica.

La segunda época comenzó en 1960 bajo la dirección de Víctor Albis (volú-menes v a viii), aún estudiante. En esta etapa la revista abrió sus páginas a los estudiantes, es así que encontramos artículos de Víctor Albis, Jairo Charris, Januario Varela, Alonso Takahashi y Carlos Ruiz con temas de álgebra abstrac-ta, topología y análisis. En 1967 el Departamento de Matemáticas y Estadística y la Sociedad Colombiana de Matemáticas tomaron la decisión de suspender la Revista de Matemáticas Elementales y crear en su reemplazo tres publicaciones que satisficieran adecuadamente las necesidades de la comunidad matemática colombiana; así el nivel investigativo sería cubierto por la Revista Colombiana de Matemáticas, y la serie (aperiódica) Monografías Matemáticas; el nivel de di-vulgación, metodología y educación matemática, lo estaría por el Boletín de Matemáticas. Esta que creemos afortunada decisión ha logrado la canalización racional y efectiva de los trabajos matemáticos de los colombianos, la regulari-zación y mantenimiento del intercambio y permitido una mayor información a la comunidad matemática colombiana. El canje con estas revistas ha permitido desde sus comienzos que la Biblioteca Leopoldo Guerra Portocarrero, que hoy hace parte de la Biblioteca de Ciencia y Tecnología de la Universidad Nacional en Bogotá, tuviera un repertorio bastante razonable de importantes revistas especializadas (Albis y Sánchez, 2014) .

El Boletín de Matemáticas, comenzó, como hemos dicho en marzo de 1967, como una publicación conjunta de la Sociedad Colombiana de Matemáticas (SCM) y del Departamento, esta etapa terminó en 1979. En 1980 reaparece como una publicación exclusiva del Departamento de Matemáticas y Estadísti-ca y desde 1994 viene publicándose una nueva serie, como órgano de difusión del Departamento.

31 Pablo Casas Santofimio, es considerado como el primer matemático colombiano formado en el país. Obtuvo su título de Licenciado en Matemáticas Superiores en la Facultad de Ciencias de la Uni-versidad Nacional en 1951. Había comenzado sus estudios de ingeniero en la Facultad de Matemáticas e Ingeniera, pero a la llegada del profesor Carlo Federici se dedicó al estudio de las matemáticas. Viajó a Princeton, a la Escuela de Graduados, donde permaneció por año y medio aproximadamente. Pablo Casas se destacó por sus cualidades de administrador, ocupando altos cargos en la Universidad Nacional y el Ministerio de Gobierno; fue secretario del Partido Liberal, intendente de San Andrés y Providencia, senador por el Tolima y rector de la Universidad del Tolima. Fue uno de los principales impulsadores de la creación de un departamento de matemáticas como ente independiente de la Facultad de Ingeniería. Casas fue uno de los mayores colaboradores de J. Horváth en la parte técnica y administrativa de la Revista de Matemáticas Elementales. Aunque no dedicó su vida a la investigación matemática, trabajó por su desarrollo en Colombia desde los altos cargos que ocupó y desde sus cáte-dras en la Universidad Nacional, la Universidad de los Andes y la Universidad del Tolima. Falleció de un infarto a la edad de 56 años.


LA SOCIEDAD COLOMBIANA DE MATEMÁTICAS

La vida de una Sociedad Científica se refleja fundamentalmente en la dinámica y la calidad de sus publicaciones y en la calidad y cantidad de los eventos que organiza generalmente en colaboración con otras instituciones nacionales o internacionales con objetivos afines. De especial importancia en el desarrollo de nuestra comuni-dad han sido las dos revistas a su cargo, la Revista Colombiana de Matemáticas y Lec-turas Matemáticas (Albis y Sánchez, 1973; 2014). Numerosos eventos ha organizado desde su fundación, varios Coloquios Colombianos de Matemáticas y 21 Congresos Colombianos de Matemáticas. De esos eventos han quedado igualmente nume-rosos documentos: cuadernillos, memorias, informes, etc., en los cuales se puede apreciar el desarrollo de la matemática colombiana.

La Revista Colombiana de Matemáticas (RcM), publicación conjunta con la Univer-sidad Nacional, tiene su origen en la Revista de Matemáticas Elementales, mencionada anteriormente. La RcM no solamente fue la primera revista especializada en ma-temáticas del país sino que es la de más alto nivel que se publica en Colombia. Reconocida internacionalmente ha llegado al volumen 50 en 2016 y salvo unos pocos años de interrupción entre 1957 y 1960 ha salido con cierta regularidad a pesar de las enormes vicisitudes de sus editores para sacarla adelante con la mejor calidad académica y editorial.

No sólo ha canalizado una buena parte de la producción matemática colombia-na de contenido más avanzado sino que ha servido de canje con un buen número de importantes publicaciones internacionales, que hicieron de la hemeroteca especializada en matemáticas la más importante del país por muchos años32.

Lecturas Matemáticas es el órgano informativo oficial de la scm, fue creada en 1980 para “contribuir a la difusión de conocimientos y resultados matemáticos, al desarrollo de la matemática en Colombia y al mantenimiento del vínculo activo entre los miembros de la comunidad matemática nacional”. En 2016 llegó al volu-men 37. Con la celebración de los 25 años de la Sociedad Colombiana de Matemá-ticas se realizó el X Coloquio Colombiano de Matemáticas, de la presentación del mismo extractamos algunos apartes como el que sigue:

Desde su fundación en 1955 la Sociedad Colombiana de matemáticas se propuso reali-zar un evento anual que congregara a la Comunidad Matemática del país con el fin de discutir aspectos relacionados con el desarrollo de las matemáticas a nivel nacional, presentar trabajos didácticos, y de investigación. Estudiar ponencias y recomendar acciones dirigidas a mejorar el estado general de la matemática en Colombia.

32 En esta breve reseña de la Revista es necesario destacar los nombres de Juan Horváth, su fundador, Víctor Albis, Xavier Caicedo, y Hernando Gaitán, todos ellos profesores de la Universidad Nacional quienes, cada uno en su momento, pusieron todo su empeño por la seriedad y calidad de la revista.


Efectivamente con esos propósitos se crearon los Coloquios Colombianos de Matemáticas iniciándose con el Primer Coloquio Colombiano de Matemáticas que se realizó en Cartagena en 1970, organizado conjuntamente por la Escuela Naval, Colciencias y la Sociedad Colombiana de Matemáticas. Los coloquios se realiza-ban en diferentes regiones del país y tenían como propósito la capacitación de profesores de matemáticas particularmente a nivel universitario. Durante un mes aproximadamente se hacían cursillos y conferencias sobre tópicos especiales de la matemática realizados por profesores nacionales y extranjeros de las más altas calidades. Es el caso del curso de Fundamentos realizado por Jaime Lesmes que reseñamos anteriormente.

Pero los Coloquios fueron apenas una de las estrategias para la difusión de las nuevas ideas y la presentación de resultados investigativos, la Sociedad Colom-biana de Matemáticas con el apoyo de algunas universidades organizaron además Congresos Colombianos de Matemáticas y Congresos de Educación Matemática.

Se considera como Primer Congreso Nacional de Matemáticas el Primer Semi-nario sobre Enseñanza de las Matemáticas en el Nivel Universitario celebrado en 1956 en Bogotá. Fue organizado por el Fondo Universitario Nacional (que se convirtió lue-go en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación Superior, ICFES). El tema central como lo indica el título del evento fue el estado de la enseñanza de la matemática en las universidades colombianas y la propuesta de tareas para mejorarla. A ese evento asistió el destacado matemático francés Laurent Schwartz (1915-2002), Medalla Fields, quien habló sobre los problemas de la investigación en matemáticas Schwartz (1957).

Ahora bien el Primer Congreso Nacional de Matemáticas a Nivel Medio se celebró, también en Bogotá en 1967, organizado por la Sociedad Colombiana de Matemáticas y el Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional. Al-gunos de los temas tratados muestran el interés en señalar las diferencias entre la matemática clásica y la matemática moderna y cuáles serían las nociones mate-máticas importantes para la enseñanza media, entre las cuales se destacaban los sistemas numéricos con el lenguaje de los conjuntos y de la estructuras.

Los Coloquios se celebraron por diez años entre 1972 y 1982 y dejaron honda huella en la formación de los profesores universitarios. Los diversos programas de posgrado que comenzaron a surgir justamente en la década de los ochenta suplieron de alguna manera los cursillos de un mes que con temas novedosos se realizaban en ellos. Los congresos se siguen realizando. Este año 2017 se celebrará el número 21 en Bogotá.

LA FORMACIÓN DE LICENCIADOS EN MATEMÁTICAS

El apartado anterior lo dedicamos a la profesionalización de las matemáticas en Colombia. A la formación de matemáticos dedicados a la docencia universitaria y la investigación. Fue necesario consolidar esa formación con la creación de


revistas especializadas y la conformación de una comunidad agrupada alrede-dor de la Sociedad Colombiana de Matemáticas. Aunque la carrera comenzó como una licenciatura en matemáticas superiores, la revisión de su pensum nos muestra que no tenía cursos de pedagogía. Eso se mantiene hasta el día de hoy en la Universidad Nacional, así haya actualmente un poco más de interés por la didáctica de las matemáticas. El título se cambió por el de Matemático, como anotamos, en 1961. En Colombia, por lo general, el título de licenciado se le otorga a las personas que se van a dedicar a la enseñanza en la educación básica y media. Fue en la Escuela Normal Superior donde se formaron los primeros licenciados en matemáticas, por ello le dedicamos el siguiente apartado.

LA ESCUELA NORMAL SUPERIOR

En 1935 existían en el país tres Facultades de Educación: el Instituto Pedagógico para Señoritas, la Facultad de Ciencias de la Educación en Bogotá, y la Facultad de Educación en Tunja, las que por el Decreto 1917 de 1935 se centralizarían en una sola, la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional en Bogotá33. Sin embargo, un año después, por la ley 39 de 1936, esta Facultad tomó el nombre de Escuela Normal Superior y funcionó bajo la inmediata dirección del gobierno.

La Escuela fue una de las experiencias pedagógicas más importantes que ha tenido el país, pues contó con una nómina de profesores de excelente calidad. Muchos de ellos exilados de mucho prestigio como Paul Rivet, José de Recasens, Rudolf Hommes, Francisco Vera y Kurt Freundentahl. Los dos últimos impartieron cursos en la licenciatura de matemáticas y física. Freundentahl se encargó de la mayoría de los cursos de matemáticas avanzadas, como eran los de geometría ana-lítica, geometría descriptiva, cálculo diferencial e integral, geometría diferencial y ecuaciones diferenciales; estuvo corto tiempo, se fue para los Estados Unidos, y fue reemplazado por dos de sus alumnos, que luego serían profesores en la Uni-versidad Nacional: Camilo Rubiano y Agustín Pérez. Vera impartió un curso sobre historia de las matemáticas34.

Los estudiantes que realizaban satisfactoriamente los cuatro años reglamen-tarios (habiendo obtenido previamente el título de Bachiller o de Instructor en grado superior) recibían el título de Licenciados en Física y Matemáticas. Después de dos años de práctica, si así lo deseaban podían adquirir el título de “doctor” presentando una tesis que era estudiada previamente por la facultad. Los tres primeros licenciados que obtuvieron ese título fueron los doctores: Agustín Pérez

33 Véase artículo en este libro.34 De ese curso y sus conferencias en la Sociedad Colombiana de Ingenieros y la Universidad Nacional quedó un libro publicado en 1943, Vera (1943).


Repiso con la tesis laureada Aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer orden en 1951; Jorge Quiroga con la tesis Evolución sobre las teorías de la luz en 1946 y Joaquín Giraldo S. con un Estudio sobre series infinitas en 1951.

En 1952 con la llegada de Laureano Gómez al poder, se decidió abolir el ré-gimen mixto de la Escuela Normal y se dividió la Escuela en dos secciones: una femenina, el Instituto Pedagógico Nacional en Bogotá, y otra masculina, la Escuela Normal Universitaria, que funcionó en Tunja. El Instituto Pedagógico se convirtió en la Universidad Pedagógica Nacional, en Bogotá, y la Escuela Universitaria en la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, en Tunja.

Justamente la matemática moderna entró en la enseñanza básica y secundaria a través de textos realizados por el Instituto de Investigaciones de la Universidad Pedagógica dirigido por Federici. De ese trabajo quedó una colección de libros, la Colección de Matemática Actualizada, que tenía como objetivo la preparación de los maestros y que se expandió a escuelas oficiales de Bogotá. El Instituto, que duró aproximadamente seis años, (1963-1969) se acabó al fundarse el Icolpe (Instituto Colombiano de Pedagogía)35 y tuvo como eje central llevar a la práctica las ideas de Federici sobre pedagogía36. En el instituto se realizaron cartillas-guías para pro-fesores de matemática de primero a quinto grado y textos guías para los primeros cuatro años de bachillerato. El Ministerio de Educación Nacional los aplicó en las escuelas normales. Se realizaron cursos de actualización en matemáticas para profesores del nivel secundario, con el apoyo de profesores de la Universidad Nacional, como es el caso del profesor Federici37. El contenido tenía que ver con conjuntos, cardinales, y la construcción de los enteros y racionales como rela-ciones entre naturales. Algunos de esos cursos de capacitación popular fueron

35 En 1968, durante el gobierno de Carlos Lleras Restrepo (1966-1970), se fundaron tres instituciones para fomentar la investigación en educación: 1) el “Fondo Colombiano de Investigaciones Científicas y Proyectos Especiales Francisco José de Caldas” (Colciencias) organismo al cual se encomendó la tarea de financiar y ejecutar programas investigativos y de innovaciones educativas, científicas y/o tecno-lógicas en áreas definidas como prioritarias para el desarrollo del país. 2) el Instituto Colombiano de Pedagogía (Icolpe) y 3) el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación Superior (Icfes). La creación de estas tres entidades y su adscripción al Ministerio de Educación Nacional, se interpretó en su momento como manifestación de la voluntad política oficial de otorgar a la investigación edu-cativa un marco de continuidad en tres ámbitos, a saber, el nacional a través de Colciencias, el de la educación básica a través del Icolpe y el de la educación superior a través del Icfes. http://www.oei.es/quipu/colombia/col16.pdf36 Federici murió en 2005 a los 98 años de edad y aún trabajaba con niños y maestros sobre la mejor manera de enseñar y aprender matemáticas. Véase C. H. Sánchez. Obituario. Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, 29 (2005), 600-605.37 Federici fue director del Seminario de Matemáticas en el Curso de Capacitación y Perfeccionamien-to del Profesorado de Educación Secundaria en diciembre de 1958. Bogotá. Fue Profesor y Conferen-ciante del Curso de Vacaciones para profesores de segunda enseñanza, en Cali, en agosto de 1959. Director del Curso Extraordinario de Verano de Matemáticas y Física Modernas de 11 al 31 de enero de 1960en la uptc en Tunja. Profesor del curso de Vacaciones para profesores de segunda enseñanza en 1960. Bogotá. República de Colombia Integración Popular. Seminario sobre Medios de Comunicación Programa Operación Capacitación Popular. Matemáticas. Abril de 1967.


auspiciados por la Presidencia de la República y con esos materiales se hicieron cursos en la televisión38. Desafortunadamente no hemos podido recuperarlos.

Además Federici en la Universidad Nacional organizó un proyecto con dos estudiantes, Clara Helena Sánchez y Fabiola Rodríguez, para realizar textos para la enseñanza de la matemática moderna en bachillerato. Los textos habían sido “encargados” por Cias (Centro de Investigación y Acción Social)39. A ellos nos referiremos más adelante.

LOS PRIMEROS TEXTOS DE MATEMÁTICA MODERNA ESCRITOS POR COLOMBIANOS

La realización de textos de matemáticas modernas para la educación superior comenzó en los años sesentas cuando el profesor Yu Takeuchi, con el apoyo del entonces rector de la Universidad Nacional, el ingeniero Arturo Ramírez Mon-túfar (1911-1998) y del entonces estudiante Carlos Ruiz (1939-2012) publicaron el libro Ecuaciones Diferenciales(1964). A partir de este fueron varias las publicacio-nes del Departamento que se hicieron para facilitar los cursos de matemáticas con textos en español y a precios accesibles para los estudiantes. El profesor Takeuchi lo expresaba así en el Boletín Informativo del Departamento de Matemáticas y Estadística en 1970:

Hasta hace pocos años para las universidades no era problemático el volumen ni el crecimiento del alumnado; adquirir un libro, escoger algunos temas con la ayuda de un profesor y dedicar buena cantidad de tiempo a su estudio sin apremio de ninguna clase, era lo corriente. Pero hoy en día, cuando el tiempo parece acortarse y los campos de investigación son cada vez mayores, se hacen necesarios libros prácticos, econó-micamente al alcance de todos, de buen nivel académico y con temas seleccionados, pensando en el futuro, que ayuden verdaderamente al estudiante. Textos que llenen estas condiciones y necesidades son los que hoy presento a ustedes.

Podemos mencionar algunos de ellos: Cálculo Elemental (Takeuchi, Medina, Tovar, Malpica, 1973), Álgebra y trigonometría (Sánchez y Muñoz, 1969), Cálculo I (Takeuchi y Albis, 1969), Teoría de f unciones de variable compleja (Suárez y Takeuchi, 1968), Álgebra moderna (Charris, 1970)40.

38 República de Colombia Integración Popular. Seminario sobre Medios de Comunicación Programa Operación Capacitación Popular. Matemáticas. Abril de 1967.39 Cias, Oficina a cargo de la Compañía de Jesús, fundada en 1944, que a partir de 1972 se convirtió en una Fundación de los jesuitas y cambió su nombre por Cinep, Centro de Investigación y Educa-ción Popular. 40 En folleto informativo de octubre de 1970, el profesor Yu Takeuchi, como director de la Oficina de Publicaciones, hace el siguiente recuento sobre las publicaciones realizadas por el Departamento


LOS PRIMEROS TEXTOS SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS

Los primeros textos sobre conjuntos de los que tenemos noticia, que en realidad eran notas de clase mimeografiadas que se les facilitaba a los alumnos, se deben a Alonso Takahashi41. El primer texto fue publicado hacia 1965, titulado Conjuntos es un folleto que contiene los temas centrales del curso Teoría de Conjuntos y Nociones de Lógica que impartió en 1965 y 1966 en la carrera de matemáticas. Está hecho a máquina con insertos a mano de expresiones matemáticas que contienen sím-bolos lógicos o expresiones para las nociones básicas de la lógica y la teoría de conjuntos. El mismo autor publicó por la misma época Una presentación de la teoría de clases42 con el fin de hacer una introducción axiomática de la teoría de clases, con una notación inventada por él, la cual debía hacerse para un nivel univer-sitario, dejando el nivel intuitivo de la teoría de conjuntos para la formación matemática en los niveles de enseñanza primaria y media según dice el autor. El tercer trabajo se titula Conceptos Fundamentales de Matemática (1967). Se realizó, según información directa del autor, con el fin de hacerle propaganda al estudio de las matemáticas en los colegios de bachillerato. Está hecho a máquina con expresiones matemáticas insertas a mano por el mismo autor. Fue reproducido en multilith. En el Prólogo Takahashi afirma: “En nuestro medio docente están tomando caracteres de lugar común las referencias a la “matemática moderna”, “la enseñanza moderna de la matemática”, “la teoría de conjuntos”, “el álgebra moderna” y otros tópicos semejantes. La monografía es de carácter esencial-mente divulgativo. En este libro se puede observar la fuerte influencia en la formación de los primeros matemáticos colombianos de la matemática al estilo Bourbaki. Efectivamente los textos de Bourbaki fueron los textos de enseñanza del álgebra y la topología más usados en la carrera de matemáticas desde cerca de 1962 hasta 1970.

hasta ese momento: 7 volúmenes de la Revista de Matemáticas Elementales, 4 volúmenes de la Revista Colombiana de Matemáticas, 4 volúmenes del Boletín de Matemáticas, 1 volumen de la Revista Colombiana de Estadística, 8 monografías matemáticas, y 34 libros, el primero de estos publicado en 1961 y el último en 1970.41 Alonso Takahashi Orozco es matemático de la Universidad Nacional y doctor en Matemáticas de la Universidad de Tulane. Ocupó la presidencia de la Sociedad Colombiana de Matemáticas desde 1975 hasta 1983, destacándose por el gran impulso que le dio a la Sociedad y a la capacitación de profesores de matemáticas en todas las regiones del país por medio de la organización de los Coloquios Nacio-nales de Matemáticas. Es fundador de la revista Lecturas Matemáticas, órgano de difusión de la SCM. Obtuvo el Premio Nacional de Matemáticas en 1991 y el Premio a la Vida y Obra de un Científico de la Academia Colombiana de Ciencias ese mismo año. Reconocido por los estudiantes de matemáticas de la Universidad Nacional como uno de los mejores docentes del Departamento de Matemáticas. Es miembro correspondiente de la Academia Colombiana de Ciencias. 42 Alonso Takahashi, c. 1965, Una Presentación de la Teoría de Clases.. Folleto de 16 páginas tamaño carta firmado por el autor. No contiene bibliografía.


Continúa el aporte de los colombianos con el texto de Rafael Mariño43 Fun-damentos de matemáticas publicado en 1966. No es muy claro por el Prólogo a qué tipo de estudiantes está dirigido el texto. Sabemos que fue usado en cursos para estudiantes de la carrera de matemáticas. Este texto circuló ampliamente en el país pues se puede rastrear en varias universidades colombianas. El mismo autor en 1978 publica Teoría de conjuntos, bajo los auspicios del profesor Yu Takeuchi. En la "Introducción" afirma: “En un cierto sentido y sin exageraciones, se puede decir que los objetos que estudia la matemática son todos conjuntos. Sobra pues insistir en lo fundamental de nuestro estudio”. Dos objetivos son claramente especificados: servir de texto para un curso de teoría de conjuntos y de libro de consulta para estudios posteriores.

El primer texto de matemática moderna de un colombiano, hasta donde sa-bemos, publicado por una editorial es de Álvaro Pinzón (1973) titulado Conjuntos y estructuras, el autor es uno de los primeros colombianos con título de matemático, graduado en 1963.

El propósito de esta obra es que los estudiantes de primer año de universidad, los que van a terminar la enseñanza media y todos aquellos que tengan interés en las mate-máticas puedan conocer las técnicas de lógica, los conjuntos y las estructuras funda-mentales. Hoy día estos conocimientos son básicos para todo estudiante de cualquier profesión. Sin conocer estas técnicas no es posible dominar con propiedad los cursos superiores de matemáticas ni conocer la ilimitada cantidad de aplicaciones de las ma-temáticas a todas las ramas de la ciencia y la tecnología.

Realizado al estilo la colección Schaum44, contiene numerosos ejemplos y ejercicios.

En 1979, José María Muñoz publica en la Universidad Nacional el libro Introduc-ción a la teoría de conjuntos (Muñoz, 1979). Este es ya un texto en sentido estricto, así su edición sea todavía bastante rudimentaria. Tiene por objeto servir de guía para los cursos que sobre teoría de conjuntos se imparten en la carrera de matemática. Ha servido de texto por muchos años y ha tenido cuatro ediciones (1980,1983, 1994, 2014).

43 Rafael Mariño obtuvo un B. S. de la Universidad de Washington y un Master de la Arizona State University. Se vinculó en 1963 a la Universidad Nacional donde se encargó de las cátedras de Funda-mentos de Matemáticas y Teoría de Conjuntos, de las cuales dejó sus notas de clase. Su vinculación fue muy corta y regresó a los Estados Unidos donde reside. 44 La colección Schaum es una colección de textos que debe su nombre a Daniel Schaum y comenzó en 1930 en Estados Unidos como apoyo a cursos de matemáticas y física, especialmente de nivel universitario. Actualmente se ha diversificado a otros campos de la ciencia y se caracteriza por además de la teoría ofrecer numerosos ejemplos y una buena variedad de ejercicios para ser resueltos.


LOS TEXTOS PARA LA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA

Alfonso H. y otros (s. f.), distinguidos profesores de la Universidad Pedagógica Na-cional, en sus Lecciones de Matemática para 6°año de bachillertato hacen una introduc-ción al estudio del cálculo, comenzando por algunas propiedades de los números reales y culminar con una breve introducción al concepto de integración. Como en la mayoría de los casos aquí reseñados la edición contiene la generalidad del simbolismo especializado hecho a mano.

Rodríguez de Villamarín (1975), elabora un texto para un primer curso de ma-temáticas para el Bachillerato, acorde con los nuevos programas para la enseñanza de las matemáticas modernas en bachillerato decretados por el Ministerio de Educación Nacional. Contiene una buena cantidad de ejemplos y ejercicios, y da más prioridad a las propiedades de las operaciones que a su aplicación.

(Sánchez y Rodríguez, 1970) elaboraron, siendo aún estudiantes y bajo la dirección del profesor Federici, dos textos para la enseñanza de la matemática moderna en bachillerato; el primero sobre la teoría de conjuntos y el segundo sobre los números naturales. Los recursos a su alcance para trabajar estos temas eran mínimos. Estrictamente las notas de clase de las asignaturas que habían tomado hasta ese momento, ya que no existía un curso en la carrera de mate-máticas en la Universidad sobre teoría de conjuntos y mucho menos sobre el sistema axiomático de los números naturales. Razón por la cual estos textos no contienen bibliografía.

El Ministerio de Educación Nacional decretó nuevos programas para la ense-ñanza de las matemáticas en el bachillerato. La Universidad Nacional constituyó un grupo de profesores para “analizar y criticar” tales programas. Para el primer curso de bachillerato (eran seis años), los profesores Jairo Charris (1939-2003), Hernando Pérez (1944-2014) y Gilma de Villamarín, quien además fue la redac-tora del curso, elaboraron un programa el cual se puso a prueba en el Instituto de Aplicación Pedagógica Iparm, de la Universidad Nacional. En 10 secciones se propusieron los siguientes temas, todos ellos tratados de manera intuitiva: Con-juntos, Operaciones entre Conjuntos, Concepto de Número natural, Operaciones entre números naturales (adición, sustracción, multiplicación y división), Orden aditivo y orden multiplicativo.

En Restrepo (1976), encontramos una interesante reflexión sobre la matemática moderna tanto en el mundo como en nuestro país a nivel de la enseñanza básica y media. Su reflexión va acompañada de una reseña histórica sobra el desarrollo de las matemáticas en la cual enfatiza las que él llama rupturas más significativas; tiene como objetivo promover la nueva matemática para que en todos los niveles sea la mejor posible dentro de nuestras condiciones sociales.

Takeuchi (1977) recopila 11 de sus Conferencias sobre la Enseñanza de las Mate-máticas, dictadas en varias universidades del país. Están dirigidas a un público variado, profesores universitarios, profesores de bachillerato y aún estudiantes de matemáticas.


En Takahashi (1979), el autor recoge en un único texto los 15 artículos que había publicado en el Boletín de Matemáticas. Son artículos sobre aspectos históricos y conceptuales de la matemática moderna.

Para tener una idea aproximada de este nuevo enfoque de la antes llamada “ciencia de la magnitud y la cantidad”, es necesario precisar ciertas nociones, como las de “sistema axiomático”, “teoría formal”, “estructura” (matemática), alrededor de las cuales giran las actuales técnicas de fundamentación, exposición e investigación matemática.

No contiene bibliografía. En 1975 se crea la revista Notas de Matemáticas, publicada conjuntamente por la

Sociedad y el Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional destinada a publicar artículos con temas modernos y de actualidad sobre matemática y su enseñanza en los niveles preescolar, primario y secundario, con el fin primordial de lograr un mejoramiento tanto en los niveles de enseñanza como en la actualiza-ción progresiva del profesorado. Se publicaron unos 25 números y en la actualidad se ha descontinuado.

Entre las Monografías Matemáticas destacamos además del texto de Campos (1964), antes citado, dos trabajos más de colombianos. Son los de Guillermo Res-trepo, Operadores no lineales, 1968 y de Alonso Takahashi, Del análisis a la topología, 1969. Ambos sobre temas de actualización en matemáticas.

CONCLUSIONES

Como señalamos al comienzo, nuestra investigación se ha centrado en la recupera-ción, análisis y divulgación del patrimonio matemático colombiano. Los resultados de ese trabajo se reflejan en el panorama que presentamos hoy a los lectores. Buena parte de la bibliografía encontrada hasta la fecha no ha sido citada aquí explícitamente, por falta de espacio. Un recorrido más amplio puede encontrarse en (Albis y Sánchez, 2012)

Los trabajos sobre etnomatemáticas apenas comienzan. Hemos estudiado, al igual que el grupo de historia y educación matemática del Valle liderado por Luis Carlos Arboleda, con cierta profundidad, los trabajos del siglo XIX y primeras décadas de la segunda mitad del siglo xx, aunque hay todavía buen material para seguir estudiando. Son contados los artículos de colombianos sobre matemáticas que aparecieron en la primera mitad del siglo xx; por el contrario se multiplicaron a una rata bastante creciente en la segunda mitad del mismo luego de la creación de la carrera, la Revista de Matemáticas Elementales, la fundación de la Sociedad Colombiana de Matemáticas y sus revistas en colaboración con la Universidad Nacional. Libros y revistas especializados de matemáticas que cubren todos los niveles de la educación son hechos hoy por colombianos. Particularmente el Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia, en la


década de 1960 y con el impulso del profesor Takeuchi promovió la producción de libros a bajo costo. La producción editorial a la fecha es bastante significativa, tanto en libros como en las dos revistas que publica el Boletín de Matemáticas y la Revista Colombiana de Matemáticas, esta última en colaboración con la Sociedad Co-lombiana de Matemáticas. En la actualidad la política editorial de la Universidad ha estimulado la producción de libros de muy buena edición y a precios módicos.


REFERENCIAS

Abuabara, J. et al. 1981. Historia de la educación matemática en Colombia durante el período 1820 a 1886, Trabajo de grado, Universidad Nacional de Colombia,

Albis V. y Sánchez C. H. “Luis María Lleras, su traducción de los Éléments de Géométrie de Legendre y su correspondencia con Hermite”. Por aparecer en Mathesis.

Albis, V. y Valencia, J. “Una aplicación de los grupos de simetría a la confirmación de períodos y subperíodos estilísticos en la cerámica de región central de Panamá”. Rev. Acad. Colombiana Ci. Ex. Fi. Nat. 17, 67 (1990): 703-714;

Albis, V. y Sánchez, C. H., “Historia de la Enseñanza de las Matemáticas en Colombia. De Mutis al siglo XXI”. Quipu, 14, 1 (2012): 109-157.

Albis, V. y Sánchez, C. H. “Las publicaciones periódicas de matemática en Colombia”, Boletín de Matemáticas, 7 (1973): 325-330.

Albis, V. y Sánchez, C. H., “Conservación del patrimonio matemático colombiano”. Lecturas matemáticas, 18 (1997): 83-93.

Albis, V., Sánchez, C. H. Reseña histórica de las publicaciones periódicas de la matemática en Colombia. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, 30 (2014): 1-9.

Albis, V. y Soriano, L. I., “The Work of Indalecio Liévano in the Foundation of Real Number System”, Historia Mathematica, 3 (1977): 161-166.

Albis, V. “Arte prehispánico y matemáticas”. Rev. de la Universidad Nacional de Colombia. 2.a época, II, 7 (1986): 29-34.

Albis, V. “La división ritual de la circunferencia. Una fascinante hipótesis”. Matemáticas: enseñanza Universitaria 1 (1990): 13-28.

Albis, V. Temas de etnomatemática. VI Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística, Bogotá, 1989.

Albis, V. “Vicisitudes del postulado euclídeo en Colombia”. Revista de la Academia Colombiana de Ciencias, 21 (1997): 281-293.

Alfonso, H. C. Camargo, A. Lecciones de Matemática para 6.0 año de bachillerato. Estudio de Funciones, Nociones de Cálculo. Colección Matemática Actualizada, s.f. Gráficas Camdel, Bogotá.

Arboleda, L. C. “Matemática, cultura y sociedad en Colombia”, Historia social de la ciencia en Colombia, vol. II, Bogotá, Colciencias, 1993.

Arias de Greiff, J. y Sánchez, C. H. “Antecedentes de la Facultad de Ciencias. En Facultad de Ciencias: Fundación y consolidación de comunidades científicas”. Germán Cubillos Editor. Universidad Nacional de Colombia, 2006.

Bails, B. Elementos de Matemáticas, 10 vols., Madrid: Joachim Ibarra, 1772-1776, 1783, (reimpresa en 1790).

Barriga, S. J. Cuaderno de cálculo diferencial. Lecciones dictadas por Aimé Bergeron, conprende 4 lecciones. 1851, Bogotá.

Bergeron, A. Lecciones de matemáticas, Bogotá, Imprenta de Ancízar, 1848.

Bertrand, E. 2013. L'enseignement de Lino de Pombo au Colegio Militar de Bogotá: Les leçons de géométrie analytique (1850). Tesis de Maestría en Historia de la Universidad de Nantes, Francia.


Bowser, E. A. 1880, An elementary treatise on the Differential and Integral Calculus with numerous examples. D. van Nostrand Company, New York. 21 edición 1905.

Camargo, D. Los libros de álgebra escritos por colombianos en el siglo XIX. Tesis de Maestría en Historia. Universidad de los Andes, Bogotá, 2008.

Campos, A. La Description de la Mathématique Formelle de N. Bourbaki. Monografía de grado. Universidad Nacional de Colombia. 1959. Reproducida en Monografías Matemáticas. No. 2, Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, 1964.

Carrizosa, J. “Las geometrías no euclidianas y las objeciones de Garavito”. Universidad, 19, 20 y 21. (1921): 1-5; 1-2; 14-24.

Casas, P. Boletín de Matemáticas [único que circuló]. Sociedad Colombiana de Matemáticas. Bogotá, 1956.

Charris, J. Álgebra Moderna. Universidad Nacional, Bogotá, 1970.

Cordovez Moure, J. M. Reminiscencias de Santafé y Bogotá, Aguilar, Madrid. 1957.

De Greiff Bravo, L. Curso medio de geometría analítica, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Minas, Editorial Bedout. 1948.

De Greiff Bravo, L. Análisis trigonométrico y funciones exponencial-circulares, Editorial Bedout. 1960.

De Greiff Bravo, L. Cálculo vectorial. Tipografía Garcés, Medellín, Colombia. 1962.

De Greiff Bravo, L. Investigaciones matemáticas selectas. Sociedad Antioqueña de Ingenieros, Medellín. 1970.

De Plaza, J. A. Lecciones de estadística. Estractadas de Moreau Jonnès por (1851). Anales de la Universidad Nacional, 7 (1873):

Díaz, L. y Molina, E. 1988, Los numerales de la familia lingüística macro chibcha. Universidad Nacional de Colombia.

Duarte, F. J. “Sobre las geometrías no euclidianas. Notas históricas y bibliográficas”. Rev. Acad. Colomb. Cienc., 7 (1946): 63-80.

Dubreil, P. y Dubreil-Jacotin, M. L. Leçons d’algèbre moderne. Dunod, París, 1961.

Garavito, J. “¿Bancarrota de la Ciencia?”, Anales de Ingeniería, 25 (1917): 101-107, 203-215.

Fonseca, J. Curso de astronomía. Lecciones dictadas por el profesor Julio Garavito. Facultad de Ingeniería. Bogotá, 1904.

Garavito, J. “Nota sobre la fórmula fundamental de la trigonometría plana noeuclídea en la geometría hiperbólica”, Anales de Ingeniería, 24 (1916): 224-234, 353-362, 465-469.

Guerra Azuola, R, “Don Lino de Pombo. Tributo en su centenario”, Anales de Ingeniería, 9. 101-102, (1897): 1-18.

Horváth, J, Introducción a la topología general. Programa Regional de Desarrollo Científico y Tecnológico. oea, Primera edición. 1969.

Jaramillo Uribe, J. El pensamiento Colombiano en el siglo XIX, Planeta, 1996.

Liévano, I. “Apéndice a las Investigaciones científicas”. Bogotá, S. f.

Liévano, I. Investigaciones científicas, 1871, Foción Mantilla Editor, Bogotá.

Liévano, I. Tratado de aritmética 1856, 1.a edición. 1878, 2.a, edición, Imprenta de Zalamea


Liévano, I. Tratado de áljebra, Imprenta de Medardo Rivas, Bogotá. 1875.

Mariño, R. Fundamentos de matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, 1966.

Márquez, A. M., Alba Leonor (sic) y Gloria Ester (sic), s. f., Nacimiento y evolución de la Carrera de Educación Matemática en Colombia. Monografía de grado para obtener el título de Licenciatura en Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia.

Martínez, R. El desarrollo de la física en Colombia, Universidad de Antioquia, preprint.1991.

Mayor, A. “Matemáticas y subdesarrollo: la disputa sobre su enseñanza en la ingeniería colombiana de principios del siglo XX”. Revista de Extensión Cultural No. 19. Universidad Nacional, Medellín. 1985.

Mayor, A. “La Escuela de Minas de Medellín y los orígenes de la estadística en Colombia. 1900-1940”. Revista Colombiana de Estadística, 25, 2, (2002): 73-96.

Muñoz, J. A. y Merchán, E. Conferencias de cálculo diferencial e integral del profesor Julio Garavito A. Universidad Nacional. Bogotá. 1912.

Mutis y la Expedición Botánica. Documentos, Bogotá, El Áncora Editores, 1983.

Nota editorial, Anales de Ingeniería, 39, (1932), 1.

Ortiz, F. La visita de John von Neumann y Solomon Lefschetz a la Universidad de los Andes en 1950. Universidad de los Andes, preimpreso. 2008,

Páramo, G. Lógica y cosmografía de los tucanos. Ponencia presentada en el 45o. Congreso Internacional de Americanistas. Bogotá.

Páramo, G. La cerbatana de Wmá Watú y el espejo de Poincaré. XIII Congreso Interamericano de Filosofía, Bogotá, 1994.

Páramo, G. Mito y consistencia lógica. Aleph, 90 (1994): 4-14;

Paty, M. y Martínez-Chavanz, R. “Segunda parte: la física”. Formación y desarrollo de la Cultura Científica en Colombia: la física de 1880 a 1940. Equipe rehseis (umr 7596), s. f., 8.

Poveda Ramos, G. “Ingeniería e historia de las técnicas”. Historia Social de la Ciencia en Colombia. Colciencias. Vol. IV y V. 1993.

Restrepo, G. La matemática moderna y los programas de bachillerato. Universidad del Valle, División de Educación, Centro de Estudios sobre la Enseñanza de las Matemáticas. 1976.

Rodríguez de Villamarín, G. Matemáticas para el bachillerato. Primer curso. Universidad Nacional de Colombia. 1975.

Rozo, D. “Alcances de la teoría de Einstein”. Anales de Ingeniería, 31 (1923): 21-44.

Rueda, M. A. Curso de álgebra. Imprenta de Echeverría Hermanos, 1893. 2.ª edición. 1919, 5.ª ed.

Rueda, M. A. Las cuatro operaciones de la aritmética, Librería Colombiana, 11.ª ed. 1931.

Rueda, M. A. Compendio de aritmética. Imprenta de Vapor de Zalamea Hermanos, Bogotá. 1884.

Rueda, M. A. Contabilidad mercantil, 1898, Librería Colombiana, Bogotá, 5.ª edición mejorada.

Rueda, M. A. El juguete de los números. Imprenta Echeverría Hermanos, Bogotá. 1891.

Rueda, M. A. Lecciones de trigonometría. Imprenta de la Luz, Bogotá. 1887.

Rueda, M. A. Tratado de aritmética analítica y comercial. Librería Colombiana, Camacho Roldan & Tamayo, Bogotá. 1883, (10.ª ed., 1906).

Rueda, M. A. Tratado de aritmética. Librería Colombiana, Bogotá, 1882, 1897 8.ª ed.

Safford, F. El ideal de los práctico. Empresa Editorial Universidad Nacional y El Ancora Editores, Bogotá, 1989.


Samper, C. Una aplicación de los grupos de simetría a la antropología: clasificación de la cerámica y orfebrería de Nariño [Colombia]. Trabajo de grado, Universidad de los Andes, Bogotá. 2010.

Sánchez , C. H. y Rodríguez, F. Guías para la enseñanza de la matemática en bachillerato, Libro II, Los Números Naturales, CIAS, Bogotá, 1972.

Sánchez, C. H. Rodríguez, F. Guías para la enseñanza de la matemática en bachillerato. Primer libro, elementos de la teoría de conjuntos. Cias, Bogotá. c.1970.

Sánchez, C. H. Los ingeniero-matemáticos del siglo xix y comienzos del siglo xx. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. 2007.

Sánchez, C. H. “Algunos aspectos del patrimonio matemático colombiano. La revista de matemáticas elementales, 1952-1967”. Mathesis, 10 (1994): 313-330.

Sánchez, C. H. “Julio Garavito y el desarrollo de la ciencia moderna en Colombia”. La Hegemonía Conservadora. Rubén Sierra (ed.). Universidad Nacional de Colombia. Por aparecer.

Sánchez, C. H. “Las matemáticas en los Anales de Ingeniería”. Mathesis, 9 (1993): 105-204.

Sánchez, C. H. “Los Anales de la Universidad Nacional. 1868-1880”. El radicalismo colombiano del siglo XIX. Rubén Sierra (ed.) Universidad Nacional, Facultad de Ciencias Humanas. Bogotá. 2006.

Sánchez, C. H. “Los cuadernos de Julio Garavito A. Una antología comentada”. Rev. Acad. Colomb. Cienc. 31. (2007): 253-266.

Sánchez, C. H. 1995. “La Sociedad Colombiana de Matemáticas. Homenaje en los cuarenta años de su fundación”. Lecturas Matemáticas, 16, 2 (1995): 231-243.

Sánchez, C. H. Cien años de historia de las matemáticas en Colombia. 1848-1948. Rev. Acad. Colomb.Cienc., 31 (2002): 239-260.

Sánchez, D. y Muñoz, J. M., Álgebra y trigonometría. Universidad Nacional. Bogotá. 1969.

Sánchez. C. H. “Obituario [Carlo Federici Casa]”. Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, 29 (2005): 600-605.

Santamaría, P. Origen, desarrollo y realizaciones de la Escuela de Minas de Medellín, Ediciones Diké, Medellín, 1994.

Schubring, G. A origem da geometria de Legendre e o seu impacto internacional, en: Adrien-Marie Legendre, Elementos de Geometria. Reedição da primeira tradução brasileira de 1809, Luis Carlos Guimarães (org.), Rio de Janeiro: Editora LIMC, 2009, 353-384. 2009.

Schwartz, L. “Problemas de la investigación matemática”, Ingeniería y Arquitectura, 12, 34. (1957).

Severi, F. Lecciones de análisis matemático. I, II, III. Labor, Barcelona, 1951.

Sonnet, H. Frontera, G. Elementos de geometría analítica con arreglo al Programa de Admisión de las Escuelas Politécnica y Normal Superior. Traducidas al español por Manuel Barbery. Novena Edición. Librería Editorial de Bailly-Bailierrs e Hijos. Madrid.

Sturm, Ch. 1877. Cours D'Analyse de l'École Polytechnique. Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire, Paris. Cinquieme Edition, Revue et corrigee par M. E. Prouhet. 1893.

Suárez, R. y Takeuchi, Y. Teoría de funciones de variable compleja. Universidad Nacional. 1968.

Takahashi, A. “Estudios sobre el estado de inserción social de las disciplinas y las áreas del conocimiento. Matemáticas”, La conformación de comunidades científicas en Colombia, Bogotá, Misión de Ciencia y Tecnología, men, dnp, Fonade, 1990, pp. 75-216.


Takahashi, A. Conceptos Fundamentales de matemática, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas y Revista de Matemáticas Elementales, Bogotá. 1967.

Takahashi, A. Nociones matemáticas, Departamento de Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Medellín, 1979.

Takahashi, A. “La conformación de comunidades científicas en Colombia. Estudio del Estado en Inserción Social de las Disciplinas y Áreas del Conocimiento. Matemáticas”. Misión de Ciencia y Tecnología. Vol. 3, Tomo I (1990): 77-216.

Takahashi, A. Nociones matemáticas, Departamento de Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Medellín. 1979.

Takahashi, A. Una presentación de la teoría de clases. Manuscrito. Universidad Nacional, Bogotá. 1965.

Takahashi, A. Conjuntos (Apéndice). Manuscrito. Bogotá. 1965.

Takahashi, A. Conceptos fundamentales de matemática, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas y Revista de Matemáticas Elementales, Bogotá. 1967.

Takahashi, A. Del análisis a la topología. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. 1969.

Takeuchi, Y. et al. Ecuaciones diferenciales, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. 1964.

Takeuchi, Y. et al. Cálculo elemental. Universidad Nacional. Bogotá. 1973.

Takeuchi. Y. y Albis, V. Cálculo I. Universidad Nacional de Colombia. 1969.

Takeuchi, Y. “Formación de matemáticos en Colombia”, Matemáticas Enseñanza Universitaria, 3 (1977): 3-39.

Takeuchi, Y. Conferencias sobre la enseñanza de las matemáticas. Bogotá. 1977,

Valencia, J. Los grupos de simetría en la cerámica de la región central de Panamá. Universidad de Panamá. 1989.

Van der Waerden, B. Geometry and álgebra in ancient civilizations, 1983

Vera, F. Introducción a la teoría de conjuntos, Buenos Aires, Coepla, 1948.

Villegas, G. Sobre el curso de Cálculo Diferencial e Integral de “a la Cauchy” de Julio Garavito, 1912. Tesis de magister, Universidad del Valle, 1992.

Wolff, C. Elementa matheseos universae, IV vols. 1713-1715 (edición latina de la obra alemana de 1710). Lexicon mathematicum. 1716.

Cultura arquitectónicaSilvia Arango

FísicaJaime Rodríguez Lara & Jairo Caro Greiffenstein

La Química, patrimonio del paísGermán Cubillos Aloson

Patrimonio matemático colombianoVíctor S. Albis González & Clara Helena Sánchez Botero

Ingeniería, industria y UniversidadJorge Arias de Greiff

Ingeniería y desarrollo material del paísAntonio José Mejía Umaña & Marcelo Enrique Riveros Rojas

Biotecnología Industrial Liliana Serna Cock

Biotecnología en ColombiaDolly Montoya Castaño & Gustavo Buitrago Hurtado

Agroindustria, biotecnología y desarrollo agroalimentario Carlos E. Orrego

Orígenes históricos de la enseñanza de la guadua en la Universidad Yobenj Aucardo Chicangana Bayona, Eugenia del Socorro Gonzáles Castrillón & Elidio Alexander Londoño UrizaContribuciones de la Universidad a la cuestión agraria y ruralAbsalón Machado C.

Tierra, industria y nación Guillermo Maya Muñoz

ÍNDICE ONOMÁSTICOÍNDICE ANALÍTICOAUTORESÍNDICE GENERAL

8

26

56

88

130

138

172

206

234

250

270

306

341345349355

AUTORESEconomía, lenguaje, trabajo y sociedad

TOMO 3

Silvia Arango Arquitecta de la Universidad de los Andes con Diploma en Diseño Urbano del Oxford Polytechnic (Inglaterra) y doctora en Urbanismo de la Universi-dad de Paris xii (Francia). Es profesora de la Maestría de Historia y Teoría de la Arquitectura, el Arte y la Ciudad de la Universidad Nacional de Colombia y fue coordinadora del Doctorado en Arte y Arquitectura de la Facultad de Artes de la Universidad Nacional de Colombia. Es investigadora de la historia de la arqui-tectura latinoamericana.

Jaime Rodríguez Lara Doctor en Física de la Universi-dad de Lille, (Francia). Es profesor Emérito y Hono-rario de la Universidad Nacional de Colombia. Fue di-rector del Departamento de Física, director del icta, decano de la Facultad de Ciencias (Bogotá), vicerrec-tor y secretario General de la Universidad Nacional de Colombia. Presidente de la Academia Colombina de Ciencias Exactas, Física y Naturales- accefyn, y vi-cepresidente de la Comunidad Científica del Caribe.

Jairo Caro Greiffenstein Físico y magíster de la Uni-versidad Nacional de Colombia. Fue profesor del Departamento de Física de la Universidad Nacional. Fue director del Departamento de Física en cuatro oportunidades y vicerrector Académico de la Uni-versidad. Sus áreas de interés han sido las colisiones atómicas y moleculares, la docencia y el estudio del desarrollo de la física en el país.

Germán Cubillos Químico de la Universidad Nacional de Colombia, se vinculó como profesor en 1975. Cursó estudios de Maestría en Ingeniería Ambiental en la Facultad de Ingeniería de la misma universidad. Fue profesor de Química orgánica y Química teórica. Actualmente es profesor jubilado del Departamento de Química y mantiene nexos con la Universidad Nacional a través de los Seminarios de proyecto final en la Maestría de Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales de la Facultad de Ciencias.

Víctor Albis González Matemático de la Universidad Nacional de Colombia y doctor en Matemáticas de la Universidad de Boulder, (Estados Unidos). Se vinculó desde su graduación como profesor al Departamen-to de Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Fue director de la Revista Colombiana de Matemáticas, coordinador de Programas Curriculares de Matemáticas, director de Planeación y director Nacional de Bibliotecas. Además se desempeñó como presidente de la Sociedad Colombiana de Matemá-ticas y rector fundador de la Universidad de Sucre.

Clara Helena Sánchez Botero Matemática y magister en Matemáticas de la Universidad Nacional de Co-lombia. Doctora en Lógica y Filosofía de la Ciencia de la Universidad de Campinas, (Brasil). Es profesora Titular con Tenencia del Cargo del Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional de Co-lombia. Fue directora de Programas Curriculares de Matemáticas, y de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales, directora de Bienestar de la Facultad de Ciencias.

Jorge Arias de Greiff Ingeniero de la Universidad Na-cional de Colombia, se graduó en 1945 y desde enton-ces ha estado vinculado a la Universidad Nacional, como profesor de la Facultades de Ingeniería y de Ciencias. Fue director del Observatorio Astronómico

Nacional, decano de la Facultad de Ciencias y Rector de la Universidad Nacional de Colombia. Introdujo los cursos universitarios de Mecánica Celeste y As-trofísica a la Universidad. Ha realizado varias inves-tigaciones sobre la historia de la ciencia, la ingeniería y la astronomía en Colombia.

Antonio Mejía Ingeniero Electricista de la Universidad Nacional y magíster y doctor en Ingeniería Eléctrica en Manchester (Inglaterra). Adicionalmente, es magíster en Sociología de la Ciencia y la Tecnología de la Universidad Nacional de Colombia. Es cofun-dador del Grupo de Investigación en Alta Tensión y profesor de la Universidad Nacional de Colombia, desde 1978.

Marcelo Riveros Ingeniero Químico de la Universidad Nacional de Colombia y magíster en Ingeniería de Salud Pública del Imperial College of Science and Techno-logy, (Inglaterra). Es profesor Asociado en dedicación exclusiva adscrito al Departamento de Ingeniería Química y Ambiental de la Universidad Nacional de Colombia. Ha recibido de la Universidad Nacional las distinciones de Docencia Excepcional, Profesor Emérito, Extensión Meritoria, Medalla al Mérito Universitario, Canciller Honorario de la Facultad de Ingeniería y Tenencia del Cargo.

Liliana Serna Química Farmacéutica de la Universidad Nacional de Colombia y magíster en Biotecnología de la Universidad Nacional Autónoma de México. Es doctora de la Universidad Técnica de Múnich, (Alemania) en Ciencias Naturales con énfasis en estudios moleculares de biodiversidad y evaluación de su potencial biotecnológico. También posee un Post-doctorado en spru de la Universidad de Sussex, (Inglaterra) en Política de Ciencia, Tecnología e Inno-vación. Es profesora Titular de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia.

Dolly Montoya Castaño Química Farmacéutica de la Universidad Nacional de Colombia y magíster en Biotecnología en la Universidad Nacional Au-tónoma de México. Adicionalmente es doctora de la Universidad Técnica de Múnich, (Alemania) en Ciencias Naturales con énfasis en estudios mole-culares de biodiversidad y evaluación de su po-tencial biotecnológico. Es profesora Titular de la Universidad Nacional de Colombia y co-fundadora del Instituto de Biotecnología de la Universidad Nacional de Colombia.

Gustavo Buitrago Hurtado Ingeniero Químico y magoster en ingeniería Ambiental de la Universidad Nacional de Colombia. Es doctor en Ingeniería Quí-mica de la misma universidad. Co-fundor del Insti-tuto de Biotecnología de la Universidad Nacional de Colombia -ibun-. Desde la fundación del IBUN se ha desempeñado en el campo de las tecnologías de fermentación y tecnologías de enzimas.

Carlos Orrego Ingeniero Químico, especialista en Ciencias – Física, especialista en Ciencia y Tecno-logía de Alimentos y doctor en Ciencias – Química de la Universidad Nacional de Colombia. Ha sido decano de la Facultad de Ciencias y Administración y director de Investigaciones de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales. Es profesor Titular del Departamento de Física y Química de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y actual director del Instituto de Biotecnología y Agroin-dustria de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales.

Yobenj Aucardo Chicangana Bayona Historiador de la Pontificia Universidad Javeriana y técnico Cinematográfico de la Universidad Estácio de Sá (Brasil). Es, además, doctor y magíster en Historia de la Universidad Federal Fluminense (Brasil). Tam-bién es profesor Titular adscrito al Departamento de Historia de la Facultad de Ciencias Humanas y Eco-nómicas de la Universidad Nacional de Colombia,

Sede Medellín. Actualmente se desempeña como decano de la Facultad de Ciencias Humanas y Eco-nómicas, director e Investigador Senior del Grupo “Historia, Trabajo, Sociedad y Cultura.

Eugenia del Socorro González Castrillón In-geniera Agrícola de la Universidad Nacional de Colombia, especialista en Gerencia del Ambiente de la Universidad Pontificia Bolivariana y magíster en Estudios Urbano Regionales de la Universidad Nacional de Colombia. Es, además, doctora en Territorio, Medio Ambiente y Sociedad de la Uni-versidad Autónoma de Madrid (España). Se desem-peña como profesara Asociada del Departamento de Ingeniería Agrícola y Alimentos de la Facultad de Ciencias Agrarias de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.

Elidio Alexander Londoño Uriza Historiador y ma-gíster en Historia de la Universidad Nacional de Colombia. Actualmente es el vicepresidente de la Corporación Líderes para el Desarrollo, coordinador de la Línea de Patrimonio de la misma Institución y miembro del Grupo de Investigación Historia, Traba-jo, Sociedad y Cultura.

Absalón Machado Economista de la Universidad de Antioquia y magíster en Economía de la Universidad de Chile. Es profesor de las universidades de los Antio-quia y Nacional de Colombia. Fue Director del Centro de Investigaciones para el Desarrollo -cid- de la Uni-versidad Nacional de Colombia y director académico del Informe de Desarrollo Humano 2013 para Colombia.

Guillermo Maya Economista de la Universidad Nacional de Colombia y magíster de la New School University (Estados Unidos). Es adicionalmente, profesor Titular adscrito al Departamento de Economía de la Uni-versidad Nacional de Colombia, Sede de Medellín. Además, fue columnista habitual en El Colombiano, El Espectador y Semana. Actualmente, escribe para eltiempo.com y El Mundo.

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