Economía de la extracción de las aguas subterráneas en la ...
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Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas Maestría en Economía Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo 1 John M. Asprilla E. Abstract Existe una abundante literatura sobre la estimación de tasas óptimas de extracción de agua de acuíferos para diferentes regiones del mundo. Sin embargo, para Sur América y Colombia, no se registra en la literatura, modelos de optimización del uso de aguas subterráneas. Los trabajos existentes se centran en la optimización sólo para usuarios agrícolas y hasta con dos tipos de usuarios (agrícolas y servicio de energía). En este artículo se realiza la calibración de un modelo de optimización del Acuífero de la Cuenca de Chicú – Río Frío en la Sabana de Bogotá, con tres tipos de usuarios (productores de papa, cultivo de flores y consumo humano). Se estiman tasas óptimas de extracción, desde la perspectiva del planeador central utilizando un modelo de control óptimo en un horizonte de tiempo infinito y con condición de stock mínimo de 3.000 millones de metros cúbicos. Usando una tasa de descuento del 4% se encuentra que el nivel mínimo se alcanza a los 117 años. Los resultados indican que la tasa óptima de extracción promedio en los primeros 10 años, es 49% de la tasa de extracción observada (209,12 X 10 6 metros cúbicos/año versus 421.811 X 10 6 metros cúbicos/año). E n los periodos de máximas extracciones la tasa óptima es 31% de la observada (244,86 X 10 6 metros cúbicos/año versus 768,45 X 10 6 metros cúbicos/año). Este valor de tasa óptima se debe entender como un límite superior ya que, ante la ausencia de datos, se asumió que la tasa natural de descarga del acuífero era ínfima. De otra parte, la tasa de cambio del precio sombra por conservar el stock ( S ) , se considera creciente y principalmente dependiente del beneficio marginal por no utilizar cada metro de altura de agua, hoy sino en futuro. Ante la evidencia del manejo económico sub-óptimo del acuífero, urge implementar políticas que racionen, vía precios o cantidades el uso del recurso. Palabras clave: aguas subterráneas, teoría de control óptimo, senda de extracción sostenible, agotamiento, funciones de beneficio en la producción. Clasificación JEL: Q01, Q15, Q25 1 Trabajo de tesis presentado para optar al título de Magíster en Economía de la Pontificia Universidad Javeriana En este trabajo conté con la orientación y la dirección del Profesor Jorge H. García, PhD., a quien agradezco por los desafíos impuestos, sus comentarios y contribuciones. Igualmente estoy agradecido con los insumos técnicos provistos por el hidrogeólogo César Rodríguez, PhD y del Ing. Rómulo Camacho de la CAR
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Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas Maestría en Economía
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de
Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo1
John M. Asprilla E. Abstract E xiste una abundante literatura sobre la estimación de tasas óptimas de extracción de agua de acuíferos para diferentes regiones del mundo. Sin embargo, para Sur América y Colombia, no se registra en la literatura, modelos de optimización del uso de aguas subterráneas. Los trabajos existentes se centran en la optimización sólo para usuarios agrícolas y hasta con dos tipos de usuarios (agrícolas y servicio de energía). E n este artículo se realiza la calibración de un modelo de optimización del Acuífero de la Cuenca de Chicú – Río Frío en la Sabana de Bogotá, con tres tipos de usuarios (productores de papa, cultivo de flores y consumo humano). Se estiman tasas óptimas de extracción, desde la perspectiva del planeador central utilizando un modelo de control óptimo en un horizonte de tiempo infinito y con condición de stock mínimo de 3.000 millones de metros cúbicos. Usando una tasa de descuento del 4% se encuentra que el nivel mínimo se alcanza a los 117 años. Los resultados indican que la tasa óptima de extracción promedio en los primeros 10 años, es 49% de la tasa de extracción observada (209,12 X 106 metros cúbicos/año versus 421.811 X 106 metros cúbicos/año). E n los periodos de máximas extracciones la tasa óptima es 31% de la observada (244,86 X 106 metros cúbicos/año versus 768,45 X 106 metros cúbicos/año). E ste valor de tasa óptima se debe entender como un límite superior ya que, ante la ausencia de datos, se asumió que la tasa natural de descarga del acuífero era ínfima. De otra parte, la tasa de cambio del precio sombra por conservar el stock ( S𝑡), se considera creciente y principalmente dependiente del beneficio marginal por no utilizar cada metro de altura de agua , hoy sino en futuro. Ante la evidencia del manejo económico sub-óptimo del acuífero, urge implementar políticas que racionen, vía precios o cantidades el uso del recurso.
Palabras clave: aguas subterráneas, teoría de control óptimo, senda de extracción sostenible, agotamiento, funciones
de benef icio en la producción.
Clasif icación JEL: Q01, Q15, Q25
1 Trabajo de tesis presentado para optar al título de Magíster en Economía de la Pontificia Universidad Javeriana En este trabajo conté con la orientación y la dirección del Profesor Jorge H. García, PhD., a quien agradezco por
los desafíos impuestos, sus comentarios y contribuciones. Igualmente estoy agradecido con los insumos técnicos
provistos por el hidrogeólogo César Rodríguez, PhD y del Ing. Rómulo Camacho de la CAR
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
1
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de
Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
1. Introducción y contexto
Diferentes acuíferos de Colombia están presentando señales de secamiento o
agotamiento progresivo. El manejo sostenible de todos los pozos amerita especial cuidado,
puesto que de ellos depende el estado de algunos ecosistemas, derivan beneficios y
utilidad, productores agrícolas e industriales y fami lias no conectadas a acueductos.
El estudio y asignación de las aguas subterráneas de los diferentes acuíferos en Colombia,
se ha limitado al análisis desde el punto de vista físico y de la ingeniería. Contrario a lo
anterior, para otras regiones del mundo, existe abundante literatura económica sobre
estimaciones de tasas óptimas de extracción de agua de los acuíferos. Para Sur Am érica,
Colombia y Cundinamarca, no se registran casos de trabajos sistemáticos de optimización
del uso de aguas subterráneas.
Algunos de los trabajos sobre economía de extracción de aguas subterráneas, tales como
(Chaitra & Chandrakanth, 2005); (Patil, Mahadev, Bhat, & Manjunatha, 2015); (Lin, 2015) se
centran principalmente en la optimización en usos agrícolas, por ser este el sector en el
mundo, más demandante del recurso; otros investigadores procuran modelar los usos con
hasta dos tipos de usuarios (Chatterjee, Howitt, & Sexton, 1998). En este artículo se procura
construir el modelo con tres tipos principales de usuarios2, de tal manera que se haga un
ejercicio más cercano a la realidad respecto a los patrones de demanda y consumos.
Por diversas razones, este trabajo se centra en el Acuífero de la Cuenca de Chicú – Río Frío
en la Sabana de Bogotá3. Primero porque este sistema acuífero abastece a la mayoría de
las plantaciones de flores y productores agrícolas, ubicados en Cundinamarca. En este
departamento se produce el 79% de las flores del país (DANE, 2010). También, porque el
acuífero hace parte de la Provincia Hidrogeológica de Cordillera Oriental, que representa
el 15.6% del total de reservas de aguas subterráneas del país4 (IDEAM, 2011). Además de
los siete municipios de la cuenca, cinco hacen parte de la zona de explotación más crítica
debido al volumen de las extracciones (CAR, 2013).
La tercera razón, se debe a que para el acuífero mencionado, existen estudios
hidrogeológicos recientes, que permiten realizar las calibraciones con fuentes oficiales y
válidas. Otra razón obedece a que al año 2014, la situación de los pozos en la Sabana de
Bogotá era la siguiente: 5% sellado, 17% colapsado y 34% inactivos. Estos datos revelan la
2 Las diferencias entre los t ipos de usuarios, se refiere a los demandantes de agua para usos agrícolas en cult ivos como papa y
zanahoria, usos domést icos en los hogares y uso en cult ivos de flores. Cada uno cuenta con una part icipación relevante en la
demanda total anual. 3 La cuenca Chicú – Río Frío es una de las 9 cuencas hidrogeológicas del Sistema Acuífero de la Sabana de Bogotá y donde el
uso del agua es fundamental para la producción agrícola. 4 En Colombia, ex isten 16 prov incias hidrogeológicas. “Las mayores reservas del país se encuentran en las prov incias de los Llanos
Orientales, Caguán-Putumayo y Cordillera Oriental. Paradójicamente, las prov incias con mayor aprovechamiento, como Cauca -
Pat ía, t ienen menor cant idad de reservas, aunque suficientes para suplir necesidades actuales” (IDEAM, 2011)
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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necesidad de estudiar las sendas óptimas de utilización de las reservas actuales del acuífero
para reducir riesgos de agotamiento.
De acuerdo con (IDEAM, 2015), sistemas acuíferos como el de la Sabana de Bogotá,
albergan los principales sistemas explotados para actividades económicas motores de
desarrollo regional y nacional. Para el caso de Cundinamarca, con el agua de los acuíferos
se favorece la producción agrícola y usos domésticos para hogares rurales, por usuarios
regulados como no regulados.
La (CAR, 2013)5 expresa que en la Sabana de Bogotá más del 60% de los pozos de
explotación de aguas subterráneas es ilegal y al año se extraen más de 42 millones de
metros cúbicos de aguas subterráneas, lo cual reflejaría indicios de manejos insostenibles.
Los recursos naturales como el agua subterránea, merecen ser estudiados como recursos
escasos a los que se les debiera dar uso óptimo desde el punto de vista social. No obstante,
este tipo de recursos suelen recibir tratamientos como recursos de acceso común6, que
finalmente terminan con la sobreexplotación del recurso, aumentar los costos de bombeo
para todos los usuarios y finalmente secar los acuíferos7. (Stevenson, 2005); (Barlow & Leake,
2012).
A pesar de la importancia de los acuíferos como fuentes importantes de agua para
ecosistemas, la producción agrícola y consumo residencial, junto con la situación de
consumos no controlados y el secamiento de pozos, sorprende que aún no se ha realizado
un ejercicio riguroso desde la economía, que permita estudiar las sendas óptimas del
consumo de las aguas subterráneas en Cundinamarca, para reducir las posibilidades de
agotamiento de esta cuenca.
Gráfico 1-1. Tipos de usos aguas subterráneas municipios Cuenca Chicú - Río Frío años 2011 – 2015
Fuente: cálculos a partir de CAR (2015)
5 La zona de ex plotación más crít ica, de acuerdo con los t rabajos de la CAR, no ocupa siquiera 10 por ciento del área total de la
Sabana de Bogotá, pero alberga el 50 por ciento de los pozos perforados que a su vez ex traen el 70 por ciento del volumen total
ex traído del subsuelo. En las áreas de las cuencas desde donde más se ex trae el agua se encuentran los municipios de Tenjo, Tabio,
Subachoque, El Rosal y parte de Madrid, Funza, Mosquera, Cota, Bojacá, Soacha y Sibaté (CAR, 2013) . 6 El agua subterránea se cataloga como un recurso de acceso común, cuando la ex plotación por parte de un usuario reduce la
disponibilidad de agua del resto de los usuarios; pero es difícil ex cluir a todos los usuarios o limitar su ex tracción, porque cada uno
t iene capacidad financiera y t ierra para construir pozos y bombear (Ostrom, Burger, Field, Norgaard, & Policansky , 1999) . 7 Un acuífero se define como una unidad de roca o sedimento, capaz de almacenar y t ransmit ir agua. (IDEAM, 2015).
Uso
doméstico y otros (l/s)
27%
Uso agrícola
(l /s )59%
Uso pecuario (l /s )2%
Uso industrial (l /s )12%
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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Se puede ver en el Gráfico 1-1, que por lo menos existen cuatro clases de usuarios. La
presencia de múltiples tipos de usuarios, revelan que existe en estos municipios,
competencia por el uso de agua para propósitos agropecuarios, procesos industriales y
consumos domésticos.
Geográficamente la Cuenca Chicú – Río Frío se localiza en el subsuelo de los municipios de
Zipaquirá, Tabio, Tenjo, Funza, Sibaté y Soacha en Cundinamarca. En este grupo de
municipios la producción agrícola se concentra principalmente en los cultivos de papa y
zanahoria y cultivos de flores.
La escogencia de la cuenca es importante dado que cada una de las cuencas
hidrogeológicas es relativamente independiente entre sí y resultaría incorrecto modelar
todo el Sistema Acuífero de la Sabana de Bogotá, como una única reserva de agua
subterránea, que abastece a múltiples actores y ecosistemas.
La Cuenca Hidrogeológica de Chicú – Río Frío, cuenta con un área de 625 Km 2 y una oferta
dada por reservas de 10.312 x 106 m3 (Rodríguez, 2015). Sobre la demanda de agua
subterránea en estos municipios, en el Gráfico 1-1 se muestran los datos de la CAR según
los tipos de usuarios.
En el siguiente mapa se muestra el panorama de la demanda de aguas subterráneas en
Cundinamarca, en territorios de la jurisdicción de la CAR en la Cuenca Chicú – Río Frío,
según la ubicación de los pozos de extracción.
Específicamente, según datos de (IDEAM, 2015), en Cundinamarca, el consumo de aguas
subterráneas y superficiales por año8, por parte de cultivadores de flores, es superior a la
suma de los consumos por parte de los cultivadores de productos agrícolas transitorios y
permanentes.
8 El consumo por la pequeña industria es mucho menor que los otros; sin embargo, existe carencia de información sobre los tipos de procesos productivos y el agua como insumo para los mismos.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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Mapa 1. Ubicación de pozos de extracción de aguas subterráneas en Cuenca Chicú Río – Frío 2005 – 2014
Fuente: elaboración propia a partir de CAR, 2015. Escala 1:450.000
En el Mapa 1, se puede notar la ubicación geográfica de los pozos concesionados para la
extracción de aguas del subsuelo. Existe una concentración de extracciones entre Tabio,
Funza y Zipaquirá y en menor medida en Sibaté y Soacha, cuyos municipios pertenecen al
área ubicada por encima de la Cuenca Chicú – Río Frío.
Uno de los elementos relevantes que incide en el comportamiento de la demanda, radica
en que 10% de las concesiones para extraer agua, están otorgadas hasta que se cumpla
la vida útil de los respectivos pozos. Es decir que la licencia de extracción, de manera
explícita habilita al usuario para agotar físicamente el pozo. No obstante, se asume que
cada uno de estos usuarios, decidirá a lo largo del tiempo en que cuente con la actividad
productiva o doméstica, si le resulta rentable seguir explotando el pozo, invertir para ir más
profundo a medida que se reduce la tabla del agua y si el costo marginal de la extracción
es menor que el beneficio marginal derivado del uso del recurso.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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Gráfico 2. Extracción aguas subterráneas Cuenca Chicú - Río Frío, periodo 1994 - 2016
Fuente: cálculos propios a partir de (CAR, 2013)
Entre el periodo 1994 a 2013, las extracciones interanuales presentan un comportamiento
creciente. Entre los años 2000 a 2002 la curva de extracción/consumo mostró una
pendiente mayor a otros periodos. Según los permisos de extracción, al año 2016, los
usuarios autorizados consumieron alrededor de 26 millones de metros cúbicos9. Esta cifra no
es despreciable y permite considerar que, manteniéndose este ritmo de extracción, el
recurso se puede agotar; más aun considerando la competencia en acceso por usuarios
no controlados o no regulados por la autoridad ambiental.
Para efectos comparativos respecto a lo mostrado en el Gráfico 2, en la Tabla 1, se presentan
los datos que permiten tener una idea sobre el balance de agua. Para ello se muestran las
cifras sobre las extracciones, los niveles de infiltración y recargas, en comparación con el
stock actual de la Cuenca Chicú – Río Frío.
Tabla 1. Datos comparación reservas, recarga, descarga y extracciones de aguas subterráneas Cuenca Chicú - Río Frío
Stock o reservas año 2015 10.312,00 x 106 m3
Extracciones10 año 2016 26,13 x 106 m3
Infiltración de agua (recargas)/año 7,25 x 106 m3
Descarga natural de agua / año desconocida
Fuente: cálculos a partir de CAR, 2015 y (Rodríguez, 2015)
Los datos mostrados anteriormente, permiten dar cuenta de la forma como las extracciones
pueden incidir en las reservas de aguas. A propósito de las reservas, las normas que soportan
el ejercicio jurídico de las CAR son variadas y una de ellas, el Decreto 1541 de 1978,
9 Para este cálculo se tuvieron en cuenta variables como el caudal concesionado, el tiempo de bombeo, la fecha de la concesión y la duración de la concesión. 10 Este nivel de extracciones no incluye los 42 millones de metros cúbicos aproximados que consumen los usuarios no regulados o que no solicitan permisos. No obstante, en la proyección de las tasas observadas, se incluyen el valor de 60% no regulado reportado por (CAR,
2013)
-
5.000.000,00
10.000.000,00
15.000.000,00
20.000.000,00
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Años
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
6
establece “la necesidad de mantener reservas suficientes del recurso hídrico” como uno
de los factores para modificar la prelación en la asignación concesiones de agua.
La consideración sobre el stock o reservas suficientes es un asunto que, siendo físico y
económico, debiera ser analizado desde la economía de recursos naturales y que debe ir
más allá de que las autoridades tengan estadísticas descriptivas o series de datos sobre
variables físicas relacionadas con las aguas subterráneas.
Con cada decisión o permiso de extracción, existe un costo de oportunidad intertemporal
de utilizar el agua en el presente y obtener beneficios actuales. De igual manera con cada
metro cúbico extraído se han de afectar los costos futuros para obtener el agua, utilizarla
en la producción agrícola y el consumo doméstico y sostener ecosistemas dependientes
del agua del subsuelo.
A partir de las anteriores consideraciones, el objetivo del presente estudio es construir un
modelo económico de control óptimo para el uso de aguas subterráneas en la Sabana de
Bogotá D.C. para analizar y proponer sendas óptimas de extracción del recurso.
Según lo expuesto en esta sección, los interrogantes que se responderán son los siguientes
¿Cuáles deberían ser los niveles de consumo de aguas subterráneas para evitar su
agotamiento físico? ¿De qué manera tasas de extracción de aguas subterráneas reflejan
los costos sociales de la extracción? ¿Cuál podría ser un esquema para el otorgamiento de
concesiones de aguas subterráneas que ayude a asegurar cierto grado de sostenibilidad
del recurso?
El modelo se construirá bajo la perspectiva de un planificador central que pretende
maximizar el beneficio agregado por el consumo de agua, teniendo en cuenta las
funciones respectivas de producto para usuarios agrícolas y la función de demanda para
usuarios domésticos.
Por una parte, el planificador contempla la función de beneficios en la producción agrícola
por el consumo de agua por parte de los productores de papa y de los floricultores en áreas
rurales de la Sabana de Bogotá11, quienes deciden obtener concesiones de agua para
bombear constantemente y proveer agua a sus cultivos como principal insumo para la
producción.
De otra parte, el planificador considera la función de demanda de los habitantes de zonas
rurales de la Sabana de Bogotá que utilizan agua de acuíferos para desarrollar sus labores
cotidianas y domésticas relacionadas con el preciado líquido.
La perspectiva del planificador central es útil dado que podría mejorar los criterios de
asignación de caudales y permisos por concesión de aguas subterráneas, considerando la
escasez del recurso agua, los índices de oferta y demanda del agua según regiones, la
variabilidad climática y su incidencia en la recarga de acuíferos.
Este documento se divide en cuatro secciones. La primera se centra en la introducción y
contexto. Posteriormente se da cuenta de algunos aspectos técnicos, económicos e
institucionales de la extracción de agua de los acuíferos. En la sección dos se presenta el
11 La "Sabana de Bogotá" se denomina a la cuenca alta del Río Bogotá, abarca una ex tensión de 425.000 hectáreas. Está
ubicada sobre la Cordillera Oriental, en el territorio central de Colombia, donde s e localiza la capital del país y comprende 26
municipios del Departamento de Cundinamarca y de una parte del Dist rito Capital de Santafé de Bogotá. (Montañez, sf)
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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marco teórico relevante sobre modelos de optimización para este tipo de recursos. Luego
en la sección tres se desarrolla el modelo teórico y la explicación de las funciones de
beneficios para los distintos tipos de usuarios. Por su parte, los resultados y análisis de política
se pueden ver en la última sección, donde también se hace la discusión sobre los resultados
encontrados.
2. Antecedentes y revisión de literatura sobre la economía de la extracción de aguas subterráneas
Para cumplir con el objetivo del presente trabajo, es importante resaltar que aparte de las
métricas estimadas para estudios de referencia en otras regiones del mundo, es relevante
revelar los métodos utilizados en los procesos de optimización.
En el estudio de la asignación óptima de recursos naturales como las aguas subterráneas,
los principales enfoques se relacionan con la programación dinámica a través del Principio
de Optimalidad de (Bellman, Dynamic Programming., 1957) y otros emplean el Principio del
Máximo de (Pontryagin, Bollyonskii, Gamkreligze, & Michcheuko, 1962). Entre los primeros
estudios o modelos económicos aplicados a este recurso se cuentan los aportes seminales
de (Burt & O., 1964); (Burt, 1966) y (Burt, 1967).
En la Tabla 2, se presenta un resumen de los algunos trabajos teóricos y aplicados,
relacionados con modelos de optimización del uso de aguas subterráneas en diferentes
regiones del mundo.
Tabla 2. Resumen de marco teórico con relación a indicadores en extracción de agua Autores/año Región
estudio
Resultados/Indicadores
(Burt & O.,
1964)
California
(Estados
Unidos), Pine
Flat Reservoir
Se estimó oferta de agua en 1.815 millones de pies
cúbicos de agua.
El nivel de uso óptimo del recurso asciende a 3,73
millones de pies cúbicos/año.
(Burt, 1967) California,
(Estados
Unidos). San
Joaquin
Valley
Para un nivel de stock de 115 millones de acre-pies12,
en el año 0, la extracción óptima es de 2,75 millones
de acre-pies. El nivel de stock de estado estacionario
o equilibrio es de 70 millones de acre-pies y se obtiene
en el año 60, para lo cual se recomienda una tasa de
extracción de 2 acre-pies.
(Noel, Gardner,
& Moore, 1980)
California,
(Estados
Unidos). Yolo
County
Dependiendo del costo de energía de $0.026/kwh y
$0.080/kwh, la tabla del agua descendería de 40 pies
a alrededor de 47 pies en 30 años para el primer caso
y para el caso de 8 centavos/kwh se alcanzaría una
tabla de agua creciente, con recuperación de pozos
de alrededor de 37 pies de altura a un mínimo de 32
pies en 20 años.
(Provencher &
Burt, 1994)
California,
Madera
County
Con tasa de descuento del 5%, el valor del agua
subterránea cuando se definen derechos de
12 Para convertir 1 acre-pie a metros cúbicos, se multiplica este va lor por 1.233,48
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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propiedad individuales, es cercano al caso del
manejo de control centralizado.
En los niveles actuales, la tabla del agua cae más
rápidamente bajo el régimen privado, que bajo el
control centralizado. En los 2 casos, el nivel de estado
estacionario converge a 110 pies de altura.
(Krulce,
Roumasset, &
Wilson, 1997)
Hawai, Isla
Oahu,
acuífero Pearl
Harbour.
Para un stock de acuífero de 78.149 mil millones de
galones por pie cúbico de altura del acuífero,
elasticidad de la demanda de 0,3 y tasa de
descuento de 3%, se obtiene que la altura óptima del
acuífero, debe iniciar en 15 pies y luego estabilizarse
en 40 años a 10 pies de altura de acuífero.
(Chaitra &
Chandrakanth,
2005)
India, Distrito
Tumkur La senda de extracción óptima refleja que la vida de
los acuíferos se incrementa en 8, 17 y 24 años para
casos de pozos sin recarga, tanques de irrigación y
para uso de canales de irrigación respectivamente.
(Pitaffi &
Roumasset,
2009)
Hawai,
Honolulu
La altura del acuífero disminuye hasta alcanzar un
nivel mínimo a los 76 años.
(Patil,
Mahadev,
Bhat, &
Manjunatha,
2015)
India, Distrito
Chitradurga
El estado de equilibrio de la altura de los acuíferos
que abastecen cultivos, se alcanza a los 17 años y las
fincas donde se realiza recarga de pozos, el estado
estacionario se alcanza a los 25 años.
Se optó por presentar las métricas o indicadores relacionados con las tasas óptimas de
consumo del agua, el tiempo en el que se alcanza el estado de equilibrio del stock de los
acuíferos y la altura de los mismos. Estos datos son distintos y varían dependiendo de las
tasas de descuento utilizadas, que oscilan entre 3 y 5%, el tamaño del stock inicial , las tasas
de recarga y la demanda de agua.
Los datos del tiempo de estado estacionario, son relevantes puesto que ofrecen una idea
de la sostenibilidad del recurso. A continuación, se presenta en mayor detalle, ciertos
aspectos técnicos de los modelos utilizados y supuestos de los trabajos previos.
Algunas de las diferencias respecto de los trabajos mencionados, respecto al presente
artículo, radican en que en aquéllos no se tiene en cuenta suficientemente la multiplicidad
de actores demandantes de agua, ni los usos dados al recurso. Se destaca también, que
no se registran casos aplicados a países de Sur América.
En (Burt & O., 1964) se emplea el método de la programación dinámica, utilizando el
principio de Optimalidad de Bellman para acuíferos en California. Se construye una función
de beneficio neto que depende de la cantidad de recurso utilizado y la cantidad
remanente por periodo; esta función la emplea en la maximización del valor presente
esperado del producto bajo una política óptima cuando restan n periodos de planificación,
junto con una relación recursiva que muestra la evolución del stock para periodos
subsiguientes, que incluye también el stock de aguas, la recarga de acuíferos y la
extracción.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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Como condición general de optimalidad, se concluye que el nivel de producción se debe
expandir hasta el punto donde el producto marginal neto por unidad de agua es igual al
negativo del costo marginal de bombeo con respecto al agua en el almacenamiento.
En el trabajo de (Burt, 1967), aplicado a San Joaquín Valley en California, emplea
ecuaciones en diferencias de primer orden para resolver el modelo de programación
dinámica. Se analiza si se debería usar toda el agua muy rápidamente para la producción
en grandes cantidades, si se debería solamente emplear un nivel seguro y usar sólo el nivel
de la recarga y el stock inicial dejarse intacto hasta la perpetuidad o si la tasa óptima de
uso está entre estos dos extremos. Para ello construye una solución cuantitativa con un
modelo económico sencillo de la función de producto, que relaciona el stock y las tasas
de uso del recurso13, que encuentra la tasa de uso para todos los posibles usos del stock en
el futuro.
Se comprueba en este modelo que el producto marginal neto con respecto a la tasa de
extracción es igual al producto marginal neto capitalizado con respecto al stock de agua
subterránea. Además, determina que existe un nivel de stock de equilibrio del cual
dependen la recarga y la extracción óptima.
Por su parte (Provencher & Burt, 1994) discuten la efectividad y conveniencia de comparar
esquemas de control centralizado de administración de las aguas subterráneas (como
ocurre con el caso de la CAR en Cundinamarca) con respecto a modelos como la
privatización, entendida como la asignación de derechos de propiedad o permitir que el
recurso se maneje bajo un esquema de propiedad común para el Condado de Madera
en California.
Estos autores demuestran que, con el modelo de privatización (en el cual se entrega una
dotación de permisos mercadeables del stock in situ, que los agentes controlan a través del
tiempo) se obtienen mayores ganancias en bienestar que las formas tradicionales de
control centralizado porque el mercado permite que se pueda gestionar el riesgo. Igual que
en otros contextos similares, los autores construyen un modelo de programación dinámica
estocástica, con el que cuantifican el valor económico del recurso agua subterránea bajo
los dos principales regímenes de administración mencionados.
(Krulce, Roumasset, & Wilson, 1997), utilizan la teoría de control óptimo para los análisis
acuíferos costeros en Hawai, donde modelan las aguas desalinizadas como una tecnología
de remplazo o alternativa para el agua extraída del subsuelo . Asumen que el costo
promedio de extracción de agua de los acuíferos se comporta como una función convexa,
positiva y decreciente de la altura del acuífero. Desarrollan una función de demanda en
función del precio del agua subterránea a través del tiempo y el planificador debe decidir
cuánto extraer del acuífero y cuánta agua desalinizada producir.
En este ejercicio construyen un problema de control óptimo con horizonte de tiempo infinito
y encuentran que en el óptimo existen tres etapas. Una etapa creciente en la cual se debe
conservar la altura del acuífero. En la siguiente existe un “sobregiro” o reducción y la altura
es decreciente y finalmente otra en la cual la altura del acuífero sigue un estado
estacionario al infinito.
Otros modelos destacados como (Noel, Gardner, & Moore, 1980), también emplean la
teoría de control óptimo. En este trabajo se calculan asignaciones temporales y espaciales
13 En el modelo se calculan el producto marginal del stock, el producto marginal de la extracción y se construye la ecuación de stock de equilibrio.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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socialmente óptimas entre usos agrícolas y urbanos, con un modelo de control lineal
cuadrático con componentes económicos e hidrológicos para modelar el uso conjunto de
aguas subterráneas y superficiales. Este modelo lo aplican a varias cuencas del Condado
Yolo en California.
Basados en el hecho de que posiblemente los usuarios que viven en el presente no estarían
dispuestos a sacrificar su consumo (Pitaffi & Roumasset, 2009) proponen un modelo que
permite aumentar la factibilidad política de la regulación del uso de acuíferos en Hawai.
Esto lo hacen a través de un mecanismo mediante el cual se puede compensar a quienes
experimentan pérdidas de bienestar por la administración eficiente del recurso y se aplica
a un contexto espacial –temporal. La compensación se plantea bajo un esquema donde
los ganadores puedan resarcir a los perdedores. Los autores estiman, que sólo se requiere
7% de las ganancias para compensar.
A partir de datos de demanda de agua según la elevación sobre el nivel del mar y los costos
de distribución, comparan el status quo versus un esquema de planificación eficiente. Para
esto último, aplican la teoría de control óptimo, desarrollando un modelo para el maximizar
el valor presente del excedente social neto, donde se debe escoger la extracción óptima
a través del tiempo
Más recientemente, (Patil, Mahadev, Bhat, & Manjunatha, 2015) construyeron para la India
para el Distrito Chitradurga, una senda óptima de extracción de estas aguas. Los autores
aplican el Principio del Máximo de Pontryagin. Emplean una función de demanda inversa
lineal al igual que una función de costos lineal y también estiman una función de recarga
total dependiente de las precipitaciones.
Con esta información, sumada a la información sobre características de los productores
agrícolas, desarrollan un modelo bajo la teoría de control óptimo para estimar el tiempo en
el que se alcanza el equilibrio de estado estacionario, el estado estacionario de la
extracción y de la profundidad de bombeo y el valor presente del estado de estacionario
de equilibrio.
(Yeh, 1985), presenta el estado del arte sobre los modelos matemáticos para el manejo de
reservorios y los resume entre los algoritmos de programación lineal, programación no lineal,
programación dinámica y simulaciones. En la revisión revela los métodos matemáticos
aplicados relacionados con la operación y manejo de sistemas ingeniería del recurso agua
para su óptima operación bajo la perspectiva de planificación y no para decisión en
tiempo real.
A partir de un enfoque distinto (Lee & Labadie, 2007) desarrollan un modelo bajo una
estrategia adaptativa, para la regulación coordinada de reservorios múltiples, en el marco
de ambientes estocásticos complejos definidos por la infiltración hidrológica.
Específicamente utilizan el enfoque de aprendizaje por refuerzo para resolver problemas de
decisión secuencial. Con este esquema se logra superar limitaciones de la programación
dinámica estocástica, relacionadas con: la capacidad computacional cuando existe
múltiples dimensiones de la variable de estado, la presunción del conocimiento anticipado
de futuros eventos hidrológicos, la necesidad de la discretización de las variables de
estado (como el nivel de almacenamiento del reservorio y el pronóstico de la infiltración) y
variables de decisión (como la extracción desde el reservorio).
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
11
En los casos de la optimización estocástica, el problema se formula como un proceso de
decisión de Marcov, que además requiere la definición explícita de las distribuciones de
probabilidad.
De igual manera la extensión de las aplicaciones de los métodos de programación
dinámica se ha visto limitada por la importancia de conocer con certidumbre, el vector de
estados del sistema (Lee & Labadie, 2007), lo cual no se facilita dados los contextos de la
variabilidad climática. Además, el estado actual del conocimiento de acuíferos de gran
capacidad tiene rangos de incertidumbre de varios órdenes de magnitud que limitan
severamente la caracterización de la resiliencia en el estudio de los acuíferos (Richey,
Thomas, Lo, Famiglietti, & Rodell, 2015).
Esta breve revisión de literatura muestra que, si bien se ha usado ampliamente la
programación dinámica y la teoría de control óptimo en la determinación de la senda
óptima de extracción de aguas subterráneas, existen aspectos claves que no se pueden
pasar por alto en este propósito.
Inicialmente, existen altos niveles de incertidumbre en materia de variables climáticas como
las precipitaciones que determinan en gran medida la magnitud de la recarga de los
acuíferos.
Sobre las aguas subterráneas en Colombia, las instituciones oficiales siguen investigando
para ampliar el nivel de conocimiento de reservas y la recarga de acuíferos, con lo cual
pueden presentarse cambios en las previsiones que se hagan a plazos u horizontes de
tiempo muy largos.
Para el presente estudio se procederá a construir el modelo de optimización, utilizando la
teoría de control óptimo que se basa en el Principio del Máximo de (Pontryagin, Bollyonskii,
Gamkreligze, & Michcheuko, 1962).
La aplicación de la teoría de control óptimo representa distintas ventajas respecto a la
programación dinámica y también respecto de la optimización por medio del cálculo de
variaciones.
La construcción de la senda óptima de extracción, bajo un modelo de opt imización
dinámica, se basa en la ecuación de Bellman y su principio de optimalidad que indica que:
“una política óptima tiene la característica de que cualquiera que sea la primera decisión
y estado inicial, las siguientes decisiones también deben ser ópt imas con respecto a la
primera decisión” (Bellman, 1957).
En un problema de programación dinámica, se utiliza una función de valor con la que se
pretende alcanzar el máximo valor que se le puede extraer al recurso agua de los acuíferos,
cuando quedan 𝑛 periodos para explotarlo.
Más específicamente a partir de una función 𝑉𝑛(𝑆), se busca alcanzar el máximo valor total
que puede arrojar el stock del recurso agua subterránea cuando quedan 𝑛 periodos para
su explotación según los procesos de concesión de parte de la autoridad ambiental.
Siguiendo a (Conrad & Clark, 1989), el problema se ha de plantear como la maximización
de una función 𝑉, de valor óptimo expresado como:
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
12
max𝑠𝑚𝑖𝑛≤𝑥𝑡 ≤𝑆0
∑ 𝑉(𝑆𝑡 ,𝑋𝑡 , 𝑡) 𝑡 = 0, 1, … , 𝑇 − 1
𝑇
𝑡 =0
Sujeto a: 𝑋𝑇 +1 = 𝑓(𝑥𝑡 ,𝑦𝑡) 𝑡 = 0, 1, … , 𝑇
𝑋0 𝑑𝑎𝑑𝑜
En esencia en la programación dinámica, se pretende hallar el valor óptimo del funcional
𝑉. Para el propósito del presente trabajo, es más relevante por efectos prácticos, conocer
sendas óptimas de variables de control asociadas al uso sostenible del agua subterránea,
para evitar su agotamiento.
3. Metodología: La teoría de control óptimo
En los problemas de control óptimo, de acuerdo con (Kamien & Schwartz, 2012), las
variables son divididas en variables de estado y variables de control. El movimiento de la
variable de estado es gobernado por ecuaciones diferencias de primer orden. El problema
más simple es aquél en el que se debe seleccionar una función de control continua por
partes, dada por u(t) , 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡1, para maximizar:
𝑚𝑎𝑥 ∫ 𝑓(𝑡, 𝑥(𝑡) , 𝑢(𝑡)𝑡1
𝑡0
Sujeto a:
𝑥 ´ (𝑡) = 𝑔(𝑡,𝑥(𝑡) , 𝑢(𝑡) 𝑡0 , 𝑡1, 𝑥(𝑡0) = 𝑥0 𝑓𝑖𝑗𝑜; 𝑥(𝑡1) 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒
𝑓 𝑦 𝑔 se asume como conocidas y diferenciables. La variable de control 𝑢(t), debe ser una
función del tiempo continua por partes. La variable de estado 𝑥(𝑡), cambia a través del
tiempo de acuerdo con su ecuación diferencial que determina su movimiento.
La solución, no es hallar un valor simple sino una senda a través del tiempo (Chiang &
Wainwright, 2005).
Con la teoría de control óptimo, a diferencia del caso del cálculo de variaciones, se
pueden obtener soluciones de esquina y no solamente soluciones interiores. (Chiang &
Wainwright, 2005). También, una de las razones para usar la teoría de control óptimo se basa
en que permite calcular directamente el costo del usuario y su interpretación asociada con
la asignación intertemporal (Noel, Gardner, & Moore, 1980).
La clave de la teoría de control óptimo es una condición necesaria de primer orden,
conocido como el Principio del Máximo de Pontryagin. El fundamento de este principio es
una propuesta similar a la función de Lagrangiano y la variable del multiplicador
Lagrangiano (Chiang & Wainwright, 2005).
3.1.1. El Hamiltoniano
Existes 3 variables a considerar, el tiempo, la variable de estado y la variable de control.
Ahora se introduce una nueva variable conocida como el co-estado denotado como 𝜆(𝑡),
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
13
como el multiplicador de Lagrange; el co-estado mide el precio sombra de la variable de
estado. (Chiang & Wainwright, 2005)
La variable de co-estado es introducida en el problema de control óptimo a través de la
función de Hamiltoniano, que se muestra a continuación:
𝐻(𝑡, 𝑦, 𝑢, 𝜆) = 𝐹(𝑡 , 𝑦, 𝑢) + 𝜆(𝑡)𝑓(𝑡, 𝑦, 𝑢) Ecuación 1
Se denomina el Principio del Máximo porque, como una condición necesari a de primer
orden, requiere que se escoja el valor de 𝑢 que permita maximizar el Hamiltoniano en
cualquier momento del tiempo. Aparte de la variable de control 𝑢, el Hamiltoniano
involucra la variable de estado 𝑦, así como la variable del co-estado 𝜆. El Principio del
Máximo, también estipula cómo 𝜆 𝑒 𝑦 cambian a través del tiempo.14
En vista de que 𝜕𝐻
𝜕𝜆= 𝑓(𝑡, 𝑦, 𝑢) , el Principio del Máximo describe la ecuación de estado así:
𝑦´ = 𝑓(𝑡, 𝑦, 𝑢) dado que 𝑦´ =𝜕𝐻
𝜕𝜆.
De otra parte, la ecuación de co-estado se define como 𝜆 ´(𝜕𝜆
𝜕𝑡) = −
𝜕𝐻
𝜕𝜆. Las ecuaciones de
estado y de co-estado constituyen un sistema de 2 ecuaciones diferenciales. Se requiere
ahora 2 condiciones límite para definir las 2 constantes resultantes del proceso de solución.
No obstante, dado que los estados terminales no siempre son fijos, se necesita una
condición de transversalidad que se incluya en el Principio del Máximo, que llene el vacío
dejado por la condición límite faltante. (Chiang & Wainwright, 2005)
Resumiendo lo que se ha mostrado, se pueden establecer los componentes del Principio
del Máximo como se muestra a continuación:
𝑖. 𝐻(𝑡, 𝑦, 𝑢∗, 𝜆) ≥ 𝐻(𝑡, 𝑦, 𝑢, 𝜆)
para todo 𝑡 ∈ [0, 𝑇],
𝑖𝑖. �̇� =𝜕𝐻
𝜕𝜆 ecuación de estado,
𝑖𝑖𝑖. 𝜆̇ = −𝜕𝐻
𝜕𝑦 ecuación de co-estado,
𝑖𝑣. 𝜆(𝑇) ≥ 0, ≥ 𝑆𝑚𝑖𝑛
condición de transversalidad15
Estas condiciones muestran que en cada momento del tiempo 𝑡 el valor de 𝑢(𝑡), el control
óptimo debe ser escogido de tal forma que se maximice el valor del Hamiltoniano sobre
todos los valores admisibles de 𝑢(𝑡). La condición 𝑖. se puede remplazar por 𝜕𝐻
𝜕𝑢= 0, si el
Hamiltoniano es diferenciable con respecto a 𝑢.
En la siguiente sección, se da cuenta de las distintas variables y supuestos requeridos para
llevar a cabo el modelo teórico con el que se soportará y anali zará la aplicación del
proceso de optimización, a través de la teoría de control óptimo.
14 Este cambio se realiza a través de la ecuación de movimiento para la variable de estado 𝑦 y la ecuación de movimiento para el co-estado. 15 Una de las condiciones de transversalidad más convencionales, corresponde al caso en el cual 𝜆(𝑇) = 0. Esta implica que el aporte marginal o precio sombra del s tock en el periodo final es 0.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
14
4. Modelo conceptual
Desde el punto de vista socio-económico y ambiental, los usos sostenibles de las aguas
subterráneas implican evitar su agotamiento físico y económico. Sobre esto inciden
variables de la hidrología y comportamientos humanos que se deben incorporar en los
análisis, dado el carácter esencial y cotidiano del agua para consumo humano, la provisión
de agua a los ecosistemas y otros usos.
En teoría, entre menos reservas de aguas existan hoy, menores consumos se deberían
realizar en el presente. Gastar o consumir en el presente, mayor cantidad de agua respecto
del nivel óptimo, implicaría mayores costos de oportunidad intertemporal y se obligaría a la
sociedad a incurrir en mayores sacrificios en consumo futuro de este recurso subterráneo.
El interés principal de la autoridad ambiental como planificador central, es maximizar el
valor económico presente del beneficio agregado por el consumo de agua, teniendo en
cuenta la función de beneficios en la producción para los productores rurales de flores y
otros cultivos agrícolas relevantes como la papa y la función de demanda de agua
subterránea de los habitantes de zonas rurales de La Sabana de Bogotá.
Por lo anterior, la CAR debiera escoger o determinar las tasas óptimas de extracción de
agua de los acuíferos para los tres grandes tipos de beneficiarios (productores agrícolas de
papa, cultivadores de flores y consumidores domésticos o residenciales).
El modelo económico del presente trabajo, consta de variables que se mencionarán en
esta sección. Existen dos variables de estado dadas por el stock o reservas de agua,
denotada como 𝑆(𝑡) y por otra parte, la altura del acuífero ℎ(𝑡). Estas variables cuentan
con dinámicas y comportamientos propios gobernados por la naturaleza, pero
influenciados por variables de control.
Las variables de control se componen de la extracción de las aguas por parte de los
diferentes agentes, que demandan el recurso a través de las concesiones de aguas
subterráneas solicitadas a la corporación ambiental regional. Estas se denominan 𝑊𝑑 ,
𝑊𝑓 ,𝑊𝑝 , que representan la extracción de aguas por parte de consumidores domésticos,
cultivadores de flores y productores de papa respectivamente.
La extracción puede tomar valores inferiores o iguales al tamaño de stock , así 0 ≤ (𝑊𝑑 +
𝑊𝑓 + 𝑊𝑝 ) ≤ 𝑆0.
El volumen del stock inicial 𝑆0 de la Cuenca Chicú – Río Frio, se tomará a partir de la
información provista por la Corporación Autónoma Regional de Cundinamarca y
(Rodríguez, 2015), con reservas estimadas de 10.312 x 106 m3. Además, se asume que este
stock se halla almacenado en un acuífero de una celda16.
16 La naturaleza compleja y heterogénea de la hidrogeología del acuífero ha de requerir una modelación más detallada del proceso de optimización, por ejemplo tratándolo como un acuífero multi -celda con
interconexiones entre ellas. No obstante lo anterior, el análisis con una celda puede ofrecer una buena aproximación al estudio de la extracción óptima, dadas las dinámicas de concentración geográfica de los usuarios que más extraen el recurso natural del subsuelo.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
15
En términos económicos y físicos, el stock se constituye en una variable de estado que la
hidrogeología define como la cantidad total de agua que se encuentra confinada en las
rocas y que puede ser drenada o no, según características como porosidad, la retención
específica, entre otras (IDEAM, 2011).
Se considera válido contemplar que la autoridad ambiental, en el m arco de su
competencia de preservación de recursos naturales y por justicia intergeneracional, tiene
el interés de manejar unos niveles de stock mínimos de los acuíferos, de tal forma que no se
arriesgue la disponibilidad del agua, sobre todo teniendo en cuenta la aleatoriedad en las
precipitaciones como fuente de recargas de acuíferos.
Este stock mínimo se constituye en un parámetro que sería un nivel de reserva de agua
mínimo para el acuífero de la Sabana, que se denomina 𝑠𝑚𝑖𝑛 .
En caso de que el stock tendiera al agotamiento y no existieran fuentes de recarga, el stock
mínimo se modelará inicialmente como la cantidad requerida para abastecer las
necesidades de riego para la actividad agrícola o productiva y las necesidades de
consumo de los habitantes rurales, en un horizonte de tiempo mayor a 100 años, el cual se
estima en alrededor del 30% del valor del stock inicial actual
La variable de estado dada por la altura del acuífero ℎ(𝑡) depende de factores
hidrogeológicos y del comportamiento de los actores con la extracción del recurso.
Las variables de control se presentan en las siguientes subsecciones, estas dan cuenta de
las funciones de beneficios en la producción y el consumo para los distintos usuarios.
4.1. Funciones asociadas a cada tipo de usuario
De acuerdo con el Gráfico 1-1, en el territorio de interés de la Cuenca Chicú Río Frío, existen
múltiples tipos de usuarios de las aguas del sistema acuífero. Sería incorrect o modelar la
demanda y uso del agua sólo con uno de los tipos de usuarios. No se considera válido ni
real, ignorar la presencia de otros actores que extraen sostenidamente el agua y que se
asume que lo seguirán haciendo, si las condiciones físicas del recurso y de mercado lo
permiten.
Se puede ver que el 27% del agua subterránea la consumen los habitantes desde sus
hogares, 61% para usos agropecuarios. Sobre los consumos de aguas para usos industriales,
se desconocen dinámicas del grupo de empresas presentes en la zona.
La multiplicidad de actores consumidores de agua, denota que existe en estos territorios
cierta competencia por el acceso y consumo de agua para distintos propósitos.
Dado que la autoridad ambiental, tiene la discrecionalidad técnica y jurídi ca para otorgar
los permisos de extracción del agua subterránea de parte de los usuarios demandantes, las
extracciones autorizadas, se constituyen en los instrumentos de política o de control, por
medio de la cual podrán promover usos sostenibles del agua subterránea.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
16
4.1.1. Consumo por parte de usuarios cultivadores de flores
Existe un beneficio neto por el uso del agua, para los cultivadores de flores denotado como
𝐹(𝑊𝑓 (𝑡)), que además se estima para cada periodo de análisis. 𝑊𝑓 (𝑡), corresponde a las
extracciones por periodo. Las extracciones cumplen con el papel de proveer agua para la
producción agrícola de flores.
Se asume que la producción sigue un esquema de rendimientos constantes a escala. Las
fincas productoras de flores y demás productos agrícolas utilizan agua como principal
insumo variable y se considera constante el uso de agroquímicos y demás insumos. Además,
se asume que la tierra no tiene mejor uso alternativo.
Para la función de beneficios en la producción de los empresarios flor icultores, se
contempla que:
i. El productor incurre en costos de bombeo o de captación, relacionado
principalmente con el consumo variable de energía eléctrica y la altura del
acuífero, dados por 𝑐(ℎ).
ii. Existen 𝑛𝑓 firmas que no interactúan en sus decisiones de extracción de agua de
los acuíferos, pero que el comportamiento en el bombeo sostenido de unas,
afecta los costos de extracción de las otras,
Para los productores de flores, se espera que los consumos se ciñan a las cantidades
necesarias de agua dados los requerimientos según el comportamiento biológico de las
plantas sembradas en función del agua que se irriga en el suelo. Si se riega o suministra más
agua a los cultivos, estos no rendirán más, sino por el contrario habría daño en la producció n
o pudrición en las raíces.
Debido a los contextos de sequías y variabilidad climática, probablemente existirían
incentivos para seguir extrayendo agua en cada momento del tiempo y almacenarla para
próximos periodos de siembras; no obstante, se considera que los productores a pesar de
querer aprovisionarse de más agua de la que se les ha concesionado, estos respetarán los
términos del permiso otorgado a través de las concesiones de agua con el caudal
específico autorizado.
Para la variable de control de la extracción de agua por parte de los floricultores, se
construyó una función de beneficios en la producción a partir del insumo agua. En este
caso se asume como constantes los demás insumos diferentes al agua.
La función mencionada, se construye a partir de los datos agrológicos de (Arévalo, Vélez,
& Camacho, 2013) sobre uso eficiente de agua en cultivos de flores en un municipio
floricultor de Cundinamarca. En este trabajo, los autores realizan experimentos para estudiar
en diferentes tratamientos, el crecimiento de las plantaciones de flores a partir de diferentes
“dosis” de agua para riego.
La función de beneficios en la producción permite analizar el crecimiento de las plantas de
flores (determinadas como la Tasa Absoluta de Crecimiento - TAC de los tallos en
cm/semana) en función de la cantidad de agua aplicada por los floricultores, la cual se
especifica como una función cuadrática.
La cantidad de agua extraída está dada por 𝑊𝑓(𝑡) . A partir de la regresión realizada con
los datos de (Arévalo, Vélez, & Camacho, 2013), con la información sobre el
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
17
comportamiento de la tasa relativa de crecimiento de los tallos de las flores, en función del
agua aplicada durante cada semana, se estimaron los valores para los parámetros.
Se procedió a desarrollar una regresión por Mínimos Cuadrados Ordinarios para estimar los
parámetros de la función 𝐹(𝑊𝑓 (𝑡)). 𝐶 toma el valor de 2.1727 , de otro lado, 𝑏 equivale a
4.0913 y por su parte, el parámetro 𝑎 toma un valor de 0.4178 .17
𝐹 (𝑊𝑓(𝑡) ) = ⍵ ∗ 𝑝𝑓 [2.1727 − 0,4178((𝑊𝑓 (𝑡))2 + 4,0913𝑊𝑓
(𝑡) ] Ecuación 2
Los datos revelan que el beneficio marginal de cada metro cúbico de agua aplicado a los
cultivos de flores, representa una ganancia en crecimiento de los tallos de 4 cm/semana.
Para transformar la función en unidades de cantidad de producto, se procede a utilizar la
expresión 𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎∗
1 𝑓𝑙𝑜𝑟
90 𝑐𝑚(𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒)∗ 12 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠 (𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒) = 0.133, 18 en la ecuación anterior,
este valor corresponde a ⍵ = 0,133. Este valor permite tener la expresión en términos de
cantidad de flores. Si se quiere el valor en términos de masa, se tiene que aproximadamente
1 Kg de flores cuenta con 10 ejemplares o flores, es decir que el nuevo ⍵ = 1,33.
Por su parte, el precio promedio de una flor asciende a 𝑝𝑓 = $15.992/𝐾𝑔. Este valor proviene
de la información oficial del valor de las exportaciones de flores. A 2015, se transaron 222.356
toneladas de flores desde Colombia con un valor comercial de 1.295 millones de dólares
(ASOCOLFLORES, 2017).19 Por su parte 𝑛𝑓 representa la cantidad de cultivadores de flores
presentes en el área de los municipios mencionados.
En consistencia con lo planteado por (Caswel M. y Zilberman, 1986) la forma funcional que
exhibe la función de beneficios en la producción de los cultivadores de flores cumple con
la teoría de producción clásica y las diferentes etapas de la productividad marginal y se
caracteriza por una forma funcional cuadrática, con los respectivos cambios en el
crecimiento de los rendimientos marginales.
4.1.2. Consumo por parte de usuarios domésticos
Para un consumidor doméstico de agua, el rendimiento marginal de la utilidad del consumo
de agua disminuye a medida que cada miembro de las familias rurales de la Sabana de
Bogotá, incrementan el volumen total de agua extraído de los pozos.
Se asume que el valor promedio esperado de consumo de agua por persona se acerca al
nivel de utilidad “suficiente” derivado del consumo normativo cercano a 2,5 m3/mes que
es el valor autónomo que se espera tengan los hogares, como un valor suficiente para
subsistir para las condiciones del caso colombiano (PNUD, 2010).
17 Los datos de la regresión n=643 productores bajo invernaderos y R2=0.7479. 18 Siguiendo el trabajo de (Arévalo, Vélez, & Camacho, 2013) el valor de 12 semanas, corresponde a 84 días
aproximados, requeridos para obtener una rosa c.v. Freedom para corte. 90 centímetros es la longitud aproximada de una rosa de esta misma variedad en periodo de corte. 19 Estas cifras arrojan un v alor aproximado de 5.824 USD/tonelada. Utilizando una tasa representativa del dólar de
2.746 $/USD promedio para 2015, se obtiene el v alor de $15.992/Kg.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
18
Lo anterior se justifica considerando que, en el modelo, no se debe propiciar el desperdicio
de agua al permitir que consumos muy superiores al nivel promedio requerido genere
mejores niveles de utilidad.
Si se propician mayores niveles de utilidad por consumir más del nivel vital y suficiente, no
sólo por parte de una persona sino por todos los habitantes, ya la cuestión toma otro
sentido, pues se convertiría en una especie de tragedia de los comunes20, donde cada
persona accede al recurso y así pague una tasa por uso, consideraría por sí sola que su
contribución al agotamiento es irrelevante.
Para la función de demanda de agua del acuífero, los consumidores domésticos incurren
en costos de energía para extracción o bombeo desde el subsuelo. Luego, el precio por el
consumo del agua dado por pp , incluye el costo privado de energía (cener) junto con la tasa
por el uso del agua subterránea concesionada, dada por 𝜏𝑡𝑑 . Esta tasa está reglamentada
por las autoridades ambientales, las cuales actualizan cada año, ajustándose por un factor
regional a nivel de municipio y tipo de cuenca y acuífero dentro de la sabana.
La tasa por extracción legal del agua está dada en 4,70 $/m3 para usuarios domésticos21,
mientras que 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 es el costo por captación de agua correspondiente al pago por energía,
con el uso de motobombas para la extracción del agua. El consumo de energía requerido
para elevar 1 m3 de agua es de alrededor de 0.0164 Kwh (Chaitra & Chandrakanth, 2005).
Recientemente el precio promedio de energía asciende a $111/Kwh (ACOLGEN, 2017), lo
cual implica que extraer cada metro cúbico representa un costo privado de $1.82/m3. La
cantidad mínima extraída por los usuarios domésticos por mes, asciende a 0,24 metro
cúbico/mes y la máxima de 749 metros cúbicos/mes. Este valor máximo resulta ser un poco
más alto que el valor esperado del consumo promedio de un hogar rural en Cundinamarca.
No obstante se asume que un hogar que consume 24,99 m 3/día (749 m3/mes)
probablemente se halla realizando actividades productivas agropecuarias que demandan
más agua que la utilizada en actividades domésticas.
Para la curva de demanda, se toma en consideración el trabajo de (PNUD y CNR, 2006)
para proyectos de construcción de obras de provisión de agua potable. La función inversa
de la demanda corresponde a la siguiente:
𝑃(𝑡) =(𝑒3,59𝑁0,27𝑌0,05)
3,03
(𝑊𝑑(𝑡 ))3,03 Ecuación 3
𝑁 representa el tamaño del hogar en 5 personas promedio por hogar. 𝑌 asciende el ingreso
familiar aproximado a un salario mínimo mensual. Para calcular el beneficio marginal del
consumo de agua, se calcula el área bajo la curva de la función de demanda estimada
para un 𝑁 𝑦 𝑌 dados. El beneficio marginal, por aumento en consumo, por mes, de una
unidad de agua a la siguiente unidad, se calcula desarrollando la siguiente integral.
20 (Stevenson, 2005) define la tragedia de los comunes como una situación donde el uso de un recurso es ilimitado,
hay muchos usuarios presentes y hay un exceso de demanda por el recurso y resulta en una sobre-explotación del mismo. 21 El Acuerdo 05 de febrero 17 de 2015, establece el factor regional para las unidades de análisis hidrológicas y se
adopta el monto de la tarifa de la tasa de utilización de aguas en la jurisdicción de la CAR para la v igencia 2014. 𝜏𝑡
𝑑 es el v alor monetario que se paga cada consumidor doméstico por el uso del agua a la autoridad ambiental por el caudal concesionado. Para los municipios de interés, el 𝜏𝑡
𝑑 corresponde a v alores entre 1,7 Y 11,19, con un promedio de 4,70 $/m3 para usuarios domésticos (CAR, 2015)
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
19
𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 = ∫ 𝑓−1 (𝑊𝑑 , 𝑦, 𝑁)̅̅ ̅̅ 𝑑 𝑊𝑑
𝑤2
𝑤1 Ecuación 4
A partir de la expresión anterior y basado en (PNUD y CNR, 2006), para casos de municipios
de Cundinamarca, se estima la fórmula de cálculo de beneficios para municipios ubicados
por debajo de los 1000 metros sobre el nivel del mar:
𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 = [−(𝑒3,59𝑁0,27𝑌0,05)
3,03
2,85]*[𝑤2
−2,03 − 𝑤1−2,03] Ecuación 5
Esta ecuación permite conocer el beneficio marginal de percibir el consumo de agua,
desde una unidad de metro cúbico a la subsiguiente y así sucesivamente. Como lo indica
la teoría económica, las primeras unidades consumidas generan mayores beneficios que
las sucesivas.
Con la aplicación de la ecuación 5, se obtienen datos específicos sobre el valor económico
de los beneficios por consumos marginales de agua, esto es, de 𝑤1 𝑎 𝑤2. Con estos datos se
construye la siguiente forma funcional de beneficios marginales.22
𝐵𝑀𝑔(𝑊𝑑 (𝑡)) = 4𝑥106𝑒−0,438 𝑊𝑑 Ecuación 6.
Ésta corresponde a una función de beneficios marginales por el consumo de agua. El
beneficio está expresado en unidades de $ por usuario. El ingreso, la precipitación y el
número de residentes por metro cúbico, se mantienen constantes a los respectivos valores
medios para cada municipio (Gibbons, 1987).
Por su parte, la función de costos está definida por la siguiente expresión:
𝐶(𝑊𝑑 (𝑡)) = 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑊𝑑 (𝑡) Ecuación 7
La función de costos está expresada en unidades de $ por usuario.
4.1.3. Consumo por parte de productores agrícolas de papa
Además de la producción de flores, una importante proporción del suelo rural de los
municipios sobre la Cuenca Chicú – Río Frío, se dedican a la producción agrícola del cultivo
de papa y zanahoria. Para efectos del modelo y disponibilidad de información sobre
funciones de producción, se trabajará con el primer cultivo mencionado.
La papa requiere entre 0.35 a 0.8 m3 de agua para producir 1 kg de tubérculo seco. Según
las condiciones de campo, esto se traduce en un requerimiento de agua23 que va entre
350 a 650 mm24 en el periodo de crecimiento de la planta (Quiroz, 2012). Este valor de m3/Kg
representa un valor promedio de 1,954 Kg/m3 de agua aplicado durante el riego.
22 Para esta función se utilizó un n=54 y se obtuv o un R2=0,834 23 La papa es altamente sensible a los déficits de agua. La escasez de agua puede resultar en reducción del
rendimiento del tubérculo, número y tamaño y pérdida de su calidad. Para optimizar el rendimiento, generalmente
la disponibilidad total de agua en el suelo, no debe ser agotada a más del 30% a 50%. (Quiroz, 2012). 24 FAO determinó las relaciones entre los rendimientos de los cultiv os y el uso del agua. En ella se incluye un
parámetro dado por 𝐾𝑦 que corresponde al factor de respuesta del rendimiento a la disponibilidad de agua para
el cultiv o. Para el cultivo de papa este factor es 𝐾𝑦 = 1.1. En este caso 𝐾𝑦 > 1, indica que la respuesta del cultivo es
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
20
De acuerdo con (FEDEPAPA, 2014), en el año 2012, la extensión de cultivos sembrados en
Cundinamarca ascendió a 48.320 hectáreas, para el año 2015, el rendimiento estuvo en el
orden de 21,5 Ton/ha. Utilizando el parámetro de requerimiento de agua, según (Quiroz,
2012), se puede obtener una cifra aproximada de utilización de 597.356 m3/año.
De otra parte, tomando como referencia el trabajo de (FAO, 2012), se logró construir una
función de beneficios en la producción, que relaciona el rendimiento de la papa por
hectárea, en función del agua de riego aplicado a los cultivos.
La expresión o función estimada a partir de los datos de referencia de (FAO, 2012), es la
siguiente:
𝐺 (𝑊𝑝(𝑡) ) = 𝑝𝑝 [201 ,07 + 2,0896𝑊𝑝
(𝑡) − 0.0029 (𝑊𝑝(𝑡) )
2] Ecuación 8
𝑊𝑝 (𝑡) representa el consumo de agua para el cultivo de papa. 𝑛𝑃 corresponde al número
de productores. El valor del aporte marginal de cada metro cúbico de agua al rendimiento
del cultivo (2,0896 Kg-hectárea/m3), es cercano al cálculo realizado del promedio de
productividad del agua de 1,954 Kg/m 3. El precio actual de la papa sabanera asciende a
$33.000/bulto de 50 kg25. Utilizando este dato de precio por bulto, se tiene que pp = 660. Este
valor proviene del cociente entre el precio/Kg (($)/(Kg/ha)), del producido por 1 hectárea
y el denominador corresponde al rendimiento por hectárea (21.500 Kg/ha).
4.2. Costos de extracción del agua subterránea Sobre los costos de extracción del agua, el enfoque esencial sobre los costos contemplados
en el análisis, tiene que ver con que a medida que se va más profundo en la extracción,
más costoso es conseguir el agua desde los acuíferos, por tanto se trata éste de un modelo
de costos reservo - dependientes.
Siguiendo a (Krulce, Roumasset, & Wilson, 1997), para el modelo de costos de extracción, ℎ
corresponde a la altura o distancia vertical entre el nivel de la tabla del agua y la
profundidad del espesor saturado26 del acuífero. Este espesor saturado es el límite físico
inferior del acuífero, es decir el nivel hasta el cual se puede extraer agua del mismo.
Entre más bajo sea el nivel, es más costoso extraer agua porque se requiere perforar más
profundo y el agua se debe bombear distancias mayores.
muy sensible a déficits de agua con reducciones en productividad proporcionalmente mayores cuando el uso del agua se reduce debido a las deficiencias de este recurso. 25 Tomado de www.fedepapa.com, consultado en junio 2017. 26 El espesor saturado depende si se trata de un acuífero saturado, no saturado, l ibre o de múltiples capas.
Para acuíferos confinados, el espesor es igual al espesor físico del acuífero entre los acuicludos por encima y debajo de él. Esto mismo aplica para las partes confinadas de un acuífero libre. En ambos casos el espesor saturado es constante a través del tiempo. Para casos de acuíferos no confinados, el espesor corresponde a la diferencia entre la tabla de agua y el acuicludo. En este caso, dado que la posición de la tabla del agua
cambia a través del tiempo, el espesor saturado no es constante a través del tiempo (Bear, Hydraulics of Groundwater, 1979).
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
21
A medida que el acuífero se acerca al agotamiento o secamiento (ℎ = 0), los costos de
extracción crecen rápidamente. En este sentido, se modela el costo promedio de
extracción de agua de los acuíferos como una función convexa, positiva y decreciente de
la altura del acuífero. Es decir:
𝑐(ℎ) ≥ 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐´(ℎ) < 0, 𝑐´´(ℎ) ≥ 0
limℎ→0
𝑐(ℎ) = ∞
Luego el costo total de extracción del agua de los acuíferos a la tasa 𝑊𝑝 , 𝑊𝑑 𝑦 𝑊𝑓 , resumida
en 𝑊, está en función de la altura del acuífero ℎ, es 𝑐(ℎ) 𝑊. Se asume que los costos de
inversión para perforación de los pozos y de mantenimiento, son menores comparados con
los costos mensuales recurrentes de energía.
Los costos se tomarán del anuario de estadísticas agropecuarias de Cundinamarca y las
extracciones a partir de los registros de concesiones de la CAR.
Además, cuando el acuífero está seco, los costos tienden hacia infinito puesto que no
habría agua disponible y el consumo de energía y tiempo de bombeo se incrementan a
medida que se escasea el recurso. Por lo anterior, se ajusta la función de costos
incorporando los costos de energía (𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 ):
𝑐(ℎ) = 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [ℎ𝑜
ℎ]
⍶
∗ ∑ 𝑊𝑡𝑖 Ecuación 9
Donde ℎ𝑜 es la altura inicial de la tabla del agua del acuífero. ⍶ corresponde a la tasa a la
cual la tabla el agua se acerca a cero y se agota el recurso, para este caso se asume una
tasa ⍶ menor que 1%. La altura inicial de la tabla del agua, se tomará como la altura
promedio actual de los pozos de donde captan agua los diferentes usuarios en La Sabana
de Bogotá, equivalente a 133 metros de profundidad.27 El costo de energía se tomará como
el costo por kilovatio-hora para la zona de estudio.
Los costos de extracción se modelan en función de la altura o profundidad de extracción,
en lugar del stock, puesto que la altura, refleja para los usuarios, un poco más el efecto
directo y el margen extensivo de la disponibilidad del agua. No obstante, la cantidad
extraída de agua, revela el margen intensivo que dependería del stock.
4.3. Función de evolución del stock como variable de estado
(Provencher & Burt, 1994) proponen una función recursiva donde la situación o estado del
stock del recurso depende también de la recarga del acuífero 𝑤𝑡, que en términos discretos
se definen como 𝑠𝑡+1 = 𝑠𝑡 + 𝑤𝑡 − 𝑥𝑡, donde la dinámica de la recarga o infiltración
depende de la cantidad de agua lluvia que cae en el territorio y se comporta como una
variable estocástica 𝜔 con una distribución de probabilidad conocida.
Las extracciones de aguas subterráneas 𝑥𝑡, se dan a partir de los usos por parte de los
cultivadores de papa 𝑊𝑝 , los usuarios domésticos 𝑊𝑑 y los cultivadores de flores 𝑊𝑓 .
27 Del total de pozos concesionados actualmente por la CAR con vigencias de hasta 20 años y se asume que habrá renovaciones de las concesiones o nuevos usuarios seguirán extrayendo agua. La profundidad mínima donde se capta alcanza los 4 m, la máxima 607 m y la
mediana de 95 m.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
22
Para el Sistema Acuífero de la Sabana de Bogotá, la recarga promedio calculada equivale
a 61,5 x 106 m3/año (IDEAM, 2015). La recarga que se aproxima al área de estudio de la
Cuenca Chicú – Río Frío, se encuentra en los niveles 7.25 x 106 m3 / año, como recarga de
referencia para una cuenca piloto en la Sabana de Bogotá con datos de Tocancipá –
Cundinamarca (Rodríguez, 2015).
Sobre el stock, el planificador central tiene en cuenta que existe un área total de la
superficie de terreno que está sobre los acuíferos, de la cual las firmas actuales y las
viviendas ocupan un porcentaje considerable que no ha copado la capacidad de carga
del suelo. En este sentido el planificador debe optimizar el otorgamiento de concesiones
según la ubicación de las firmas que solicitan los permisos, de tal forma que no se saturen
algunos acuíferos y se valide el nivel de stock antes de concesionar.
4.4. Función de evolución de la altura del acuífero como variable de estado
La profundidad del acuífero sigue una función lineal, dada principalmente por la altura
máxima en estado de secamiento y el nivel de stock.
La función utilizada sigue el siguiente modelo lineal.
ℎ𝑡(𝑆𝑡 ,𝑊𝑡
) = ℎ𝑚𝑎𝑥 − 𝑧(𝑆𝑡 − ∑ 𝑊𝑡𝑖 ), Ecuación 10
donde 𝑧 es la pendiente de la recta que determina cómo evoluciona la profundidad del
acuífero, en función del stock remanente cada año y de las extracciones anuales para los
usuarios 𝑖 = 𝑓,𝑑 , 𝑝, floricultores, domésticos y productores de papa respectivamente.
Se estimó un valor de referencia de 𝑧 = 4,9𝑥10−8, con el cual se alcanzarían a secar los
pozos, es decir cuando ℎ𝑡(𝑆𝑡 , 𝑊𝑡
) = 0. En esta circunstancia, la distancia vertical entre la
superficie del suelo y la altura del agua en el acuífero, se acerca a la altura máxima del
mismo.
ℎ𝑚𝑎𝑥 = 500 𝑚, corresponde al espesor del acuífero de la Sabana de Bogotá según
(Rodríguez, 2015). 𝑆𝑡 representa el stock del recurso a través del tiempo en la Cuenca
Hidrogeológica de Chicú – Río Frío. La sumatoria de las extracciones no debe superar el
nivel del stock mínimo 𝑆𝑚𝑖𝑛.
A partir de lo anterior el problema de optimización social para la determinación de las tasas
óptimas de extracción se presenta a continuación.
4.5. Planteamiento del modelo de optimización
La asignación intertemporal óptima del agua del acuífero en cuestión, requiere de
balancear su valor actual con su valor al estar almacenado en el subsuelo y ser usado en
el futuro. Dada una tasa de descuento intertemporal indicativa 𝑟 = 0,1, el problema de
control para generar la asignación óptima del agua para riego de cultivos de papa, flores
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
23
y para consumos domésticos en la Sabana de Bogotá para la zona de la Cuenca
Hidrogeológica Chicú – Río Frío, es el siguiente28.
max 𝑉{𝑊𝑝,𝑊𝑑,𝑊𝑓}
𝑉 = ∫ 𝑒−𝑟𝑡 [∫ {𝑛𝑑 𝐻(𝑊𝑑
(𝑡)) + 𝑛𝑓𝐹(𝑊𝑓
(𝑡)) + 𝑛𝑃 𝐺(𝑊𝑝
(𝑡)) − 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [ℎ𝑜
ℎ𝑡]
⍶∗ ∑ 𝑊𝑡𝑖 }
𝑊𝑝+ 𝑊𝑑+ 𝑊𝑓0
]∞
0𝑑𝑡 Ecuación 11
Ecuaciones de variables de estado
[1]. 𝑆̇(𝑡) = 𝑆0 + 𝑅(𝑡) − 𝑊𝑓(𝑡) − 𝑊𝑑
(𝑡) − 𝑊𝑝(𝑡)
S(0) = 𝑆0, S(T) = 𝑆𝑚𝑖𝑛
[2]. 𝑆𝑡 ≥ 𝑆𝑚𝑖𝑛
[3]. ℎ𝑡(𝑆𝑡 ,𝑊𝑡
) = ℎ𝑚𝑎𝑥 − 𝑧(𝑆𝑡 − ∑ 𝑊𝑡𝑖 ) [4]. 𝑊𝑓
(𝑡), 𝑊𝑑(𝑡), 𝑊𝑝
(𝑡) > 0
El Hamiltoniano correspondiente se muestra a continuación:
ℋ = {𝐻(𝑊𝑑(𝑡)) + 𝐹(𝑊𝑓(𝑡)) + 𝐺 (𝑊𝑝(𝑡)) − 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [ℎ𝑜
ℎ]
⍶𝑊} + 𝜆𝑡 (𝑆0 + 𝑅(𝑡) − 𝑊𝑓(𝑡) − 𝑊𝑑(𝑡) − 𝑊𝑝 (𝑡)) +
µ𝑡(ℎ𝑡 − 𝑧(𝑆𝑡
− ∑ 𝑊𝑡𝑖 ) ) + 𝜃𝑡(𝑆𝑡 − 𝑆𝑚𝑖𝑛) Ecuación 12
𝜆 𝑡 y µ𝑡 representan respectivamente, el precio sombra de las variables de estado de nivel
del stock y altura del acuífero.
4.5.1. Resumen del análisis dimensional
La medida del Hamiltoniano se encuentra en unidades monetarias. En los pr imeros términos
el precio respectivo de cada uno de los productos por tipo de usuario, multiplicado por la
función de producto, arroja información en pesos.
La función de demanda de agua por los consumidores domésticos se encuentra expresada
en unidades monetarias. La función de beneficios en la producción de papa, viene dada
en Kg-hectárea/m3 y el producto de esta unidad por el precio de la papa ($/kg) por el área
disponible para cultivos (ha), ofrece información en pesos. Esto es 𝐾𝑔 /ℎ𝑎
𝑚3 ∗$
𝐾𝑔 /ℎ𝑎∗
𝑚3 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑠 (𝑊𝑝 ), permite contar con datos en pesos.
De igual manera en la función de beneficios por el cultivo de flores, se halla en unidades
de cm/semana que multiplicados por el valor ⍵=1,33, permite tener unidades de kilogramos
de flores. A su vez, el producto de las cantidades de flores por su precio, muestra
información en unidades monetarias.
28 𝑛𝑓 = 617, 𝑛𝑝 = 4.200 y 𝑛𝑑 = 280, representan respectivamente el número de cultivadores de flores,
según (ASOCOLFLORES, 2017), productores de papa, de acuerdo con (FEDEPAPA, 2014) y
consumidores a nivel de hogares a partir de datos de (CAR, 2013). Para los productores de papa se
emplea el dato de (FEDEPAPA, 2014), relacionado con el tamaño promedio de los predios para siembra de este producto, dado en áreas de hasta 3 hectáreas. Este tipo de productores pequeños
representan el 95% del total de productores. Para las proyecciones del número de usuarios, se utilizan
tasas de 1% interanuales para los usuarios domésticos. Para el caso de los productores de papa y de
flores, se asume que hay un límite de crecimiento dado por el área del territorio.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
24
En las expresiones que representan las restricciones o funciones de evolución de las
variables de estado, corresponden a precios sombras de las respectivas variables de
evolución del stock y altura del acuífero y la restricción de que el stock en cada periodo
debe ser mayor que el stock mínimo.
El costo de energía, está dado en $/m 3. 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 es el costo por captación de agua
correspondiente al pago por energía, de acuerdo con lo mencionado en la sección 4.2, la
expresión que agrupa este costo es la siguiente: (0.0164 𝐾𝑤ℎ/𝑚3)*$111/𝐾𝑤ℎ.
4.5.2. Sendas óptimas de variables de estado y co-estado
Las condiciones necesarias para una solución óptima, con la aplicación del Principio del
Máximo, son las siguientes:
𝑆̇ =𝜕𝐻
𝜕 𝜆𝑡= 𝑆0 + 𝑅(𝑡) − 𝑊𝑓
(𝑡) − 𝑊𝑑(𝑡) − 𝑊𝑝
(𝑡) . Ecuación 13
La anterior expresión logra recuperar la ecuación de evolución de la variable de estado
del stock de aguas subterráneas. Paso seguido se muestra la función de evolución del co-
estado del stock del recurso.
𝜆 𝑡̇ = 𝑟𝜆 𝑡 −
𝜕𝐻
𝜕𝑆= 𝑟𝜆 𝑡 − 𝜆 0 + µ𝑡𝑧 + 𝜃𝑡 Ecuación 14
𝑆𝑡 ≥ 𝑆𝑚𝑖𝑛; 𝜃𝑡 ≥ 0; 𝜃𝑡(𝑆𝑡 − 𝑆𝑚𝑖𝑛 ) = 0
ℎ̇ =𝜕𝐻
𝜕µ𝑡= ℎ𝑡 − 𝑧(𝑆
𝑡− ∑ 𝑊𝑡𝑖 ) Ecuación 15
Igual que en el caso anterior, la ecuación 15 permite recuperar la ecuación de evolución
de la variable de estado de la altura del acuífero. La función de evolución del co-estado
por la altura del acuífero procede como se muestra a continuación.
µ�̇� = 𝑟µ𝑡 −𝜕𝐻
𝜕ℎ= 𝑟µ𝑡 + ⍶𝑊 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [
ℎ𝑜
ℎ]
⍶−1[
ℎ𝑜
ℎ2] − µ𝑡 Ecuación 16
4.5.3. Sendas óptimas de variables de control
Ahora se procede a desarrollar el Principio del Máximo para las variables de control.
𝜕ℋ
𝜕𝑊𝑑= 1,72𝑥106𝑒−0,43𝑊𝑑 − 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [
ℎ𝑜
ℎ]
⍶− 𝜆𝑡 + µ𝑡𝑧 ≤ 0, 𝑠𝑖 𝑊𝑑 = 0. Ecuación 17
La condición de optimización para la extracción de aguas para consumo doméstico,
básicamente introduce la función de demanda de aguas del subsuelo, la cual depende
de la tasa que se cobra por la extracción y los costos de energía para hacerlo. Se asume
que en el largo plazo, los costos de equipos y demás insumos para la extracción son
menores comparados con las erogaciones por consumo energético.
𝜕ℋ
𝜕𝑊𝑓= 𝑛𝑓 ∗ ⍵ ∗ 𝑝
𝑓(4,0913 − 0.836𝑊𝑓 (𝑡)) − 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [
ℎ𝑜
ℎ]
⍶− 𝜆𝑡 + µ𝑡𝑧 ≤ 0, 𝑠𝑖 𝑊𝑓 = 0 Ecuación 18
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
25
𝜕ℋ
𝜕𝑊𝑝= 𝑛𝑃 ∗ 𝑝
𝑃(2.0896 − 0,0058𝑊𝑝 (𝑡)) − 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [
ℎ𝑜
ℎ]
⍶− 𝜆𝑡 + µ𝑡𝑧 ≤ 0, 𝑠𝑖 𝑊𝑝 = 0 Ecuación 19
Respecto a los primeros dos términos de cada una de las últimas tres expresiones (ecuación
17, 18 y 19), podemos expresar que en cada función, el primero representa el efecto
marginal por el consumo o utilización del agua. Este efecto está dado por la
utilidad/beneficio marginal (𝐵𝑀𝑔) de corto plazo, entendido como 𝜕ℋ
𝜕𝑊𝑑,
𝜕ℋ
𝜕𝑊𝑓,
𝜕ℋ
𝜕𝑊𝑝 ,
multiplicado cada caso por los precios de mercado.
En el caso privado o descentralizado, se considera óptimo que los usuarios simplemente,
extraigan tanta agua como necesiten, hasta que el beneficio marginal se iguala con el
costo marginal de producir o servirse del recurso agua subterránea.
Esto es 𝐶´(𝑊) = 𝑝𝜕ℋ
𝜕𝑊. Ecuación 20
Para la situación centralizada que se ha venido desarrollando , por simplificación, las
ecuaciones 17, 18 y 19 se pueden agrupar de la siguiente manera.
𝐵𝑀𝑔 − 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [ℎ𝑜
ℎ]
⍶
− 𝜆 𝑡 + µ𝑡𝑧 ≤ 0 Ecuación 21
A partir de la ecuación anterior, se obtiene lo siguiente:
𝐵𝑀𝑔 = 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [ℎ𝑜
ℎ]
⍶
+ 𝜆 𝑡 − µ𝑡 𝑧 ≤ 0 Ecuación 22
Esta expresión revela una situación diferente al caso descentralizado o privado, donde
cada usuario extrae agua, como si fuese un individuo aislado y maximizador de sus
utilidades privadas.
En la situación centralizada, el beneficio marginal de la extracción estaría determinado por
el costo de consumo energético, el impuesto o tasa de extracción y el efecto de largo plazo
y descontado del valor marginal del stock del recurso agua (𝜆), que se considera en todos
los casos como positivo.
La contribución del precio sombra de la altura del acuífero, resulta ser negativa, puesto que
una unidad adicional en la altura, es decir un metro más de profundidad, produce una
desmejora en los beneficios de la extracción, puesto que sería más costoso extraer.
En esencia, respecto a esta ecuación 18, el primer término del lado derecho, representa el
costo privado de la extracción.
En este caso, simplemente el usuario formal o legal, paga un costo por consumo de energía
por extracción de cada metro cúbico de agua, más una tasa de extracción.
Sobre el valor financiero de la tasa que actualmente cobra la CAR, es posible que pueda
considerarse ínfima, si se estimara el valor económico de recuperar 1 metro cúbico agua
en el largo plazo.
El tercer y cuarto términos de la ecuación 22, indican la presencia de un costo social o el
denominado costo del usuario.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
26
Finalmente, se muestra un resumen del valor del beneficio marginal del consumo de agua,
para cada tipo de usuario del recurso. Para el cálculo del valor del producto marginal, se
emplea la información de precios actuales de los productos.
Tabla 3. Resumen de formas funcionales y beneficios marginales de los usos del agua Tipo de uso
del agua
Forma funcional Beneficio
marginal29
Valor del producto
marginal30,31
Doméstico o
residencial 𝐻(𝑊𝑑 (𝑡)) = 4𝑥106𝑒−0,438 𝑊𝑑 - 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑊𝑑 (𝑡) $-104.509 $24,89/m3
Cultivar papa G (Wp(t)) = 𝑝𝑝 [201,07 + 2,0896𝑊𝑝
(𝑡) −
0.0029 (𝑊𝑝(𝑡))
2
]
2,089 Kg_hectárea/𝑚3
$1.378_hectárea /𝑚3
Cultivar flores F(Wf(t) ) = 𝑝𝑓 ⍵[2.1727 − 0,4178((Wf(t))2
+ 4,0913𝑊𝑓(𝑡) ]
5,32 Kg/𝑚3 $21.270/𝑚3
De acuerdo con la Tabla 3, el beneficio marginal del agua es diferenciado, según el cultivo
o el uso que se le dé al recurso agua. La aplicación de 1 metro cúbico de agua a los cultivos
de flores, genera 5,32 Kg de flores y $21.270/metro cúbico de agua. El uso del recurso
agua32, en los cultivos de papa, produce en promedio 2,1 Kg/ha y un aporte marginal en
el valor del producto menor con respecto al generado en cultivo de flores. Finalmente, el
consumo de agua para los usuarios domésticos, produce una reducción promedio en el
beneficio de $104.509/m3 consumido, para las primeras 25 unidades de metro cúbico.
4.5.4. Análisis adicionales sobre evolución de los precios sombra
Las tasas de cambio de los precios sombra
A partir de las ecuaciones 14 y 16 se pueden obtener las tasas de cambio de los precios
sombra a través del tiempo, para las variables de estado del nivel de stock y de la altura
del acuífero.
µ𝑡̇
µ𝑡= (𝑟 − 1) +
⍶
µ𝑡𝑊𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [
ℎ𝑜
ℎ]
⍶−1[
ℎ𝑜
ℎ2] Ecuación 23
29 Para el caso del beneficio marginal en el cultivo de flores, el valor de 4,089 está dado en centímetros/metro cúbico; no obstante se toma el valor de ⍵ = 1,33 mostrado anteriormente, para transformar los datos en Kg/metro cúbico. 30 El precio aproximado de la papa por kilo se calcula a partir del precio por bulto de 50 Kg a partir de www.fedepapa.com, consultado en junio 2017. 31 El precio de energía para extraer agua, se toma a partir de (Chaitra & Chandrakanth, 2005), para referenciar el KwH/m3 de agua extraído y el precio promedio de energía en $/Kwh se toma de (ACOLGEN, 2017) 32 En este trabajo, no se realizan ajustes técnicos, relacionados con la eficiencia del riego de los cultivos, lo cual, podría ofrecer elementos de análisis complementarios sobre el efecto marginal del consumo de agua en las plantaciones.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
27
La tasa de cambio del precio por permitir que se conserve un periodo más, la altura del
acuífero, se puede ver por medio de los términos de la derecha de la ecuación 23, los
cuales representan los siguientes efectos.
El primer término refleja el efecto de la tasa de descuento. El segundo término indica el
efecto del costo total de energía por las unidades de aguas extraídas, indexadas por el
precio sombra en cada año de extracción.
Inicialmente, se puede ver que el cambio del precio sombra a través del tiempo, ha de ser
diferente de cero. Esto muestra que existe un costo de oportunidad de las unidades de
agua consumidas hoy, que alteran la profundidad a la que se puede extraer en el presente
y que ya no podrán extraerse en el futuro.
Según la ecuación 23, el cambio en este costo intertemporal de cada unidad marginal de
altura ℎ, que se deja disponible para ser alcanzada por cada usuario, está determinado por
el retorno o ganancia dada por la tasa de descuento 𝑟, junto con el efecto del costo
marginal de la extracción del agua. Este costo marginal dependerá a su vez del trade-off
que se presente, entre la velocidad con la que el acuí fero se seque y los beneficios
económicos de dejar cada unidad de altura de agua disponibles hoy, para ser consumida
en el futuro.
Si la velocidad de secamiento es alta, los costos marginales de extracción crecen muy
rápido y los beneficios por dejar el agua en el acuífero, pueden no compensar el costo, por
ello sería más conveniente extraer esa unidad en el presente; por tanto el cambio del precio
por permitir que se conserve un periodo más, cada metro de altura de acuífero sería alto .
Si no se extrae esa unidad hoy, más adelante puede ocurrir que sea mejor dejarla en el
subsuelo porque el costo de extraerla sea mejor que los beneficios de su uso.
Puede ocurrir también, que cuando los usuarios perciban que la tabla del agua ℎ, está más
alejada de su alcance, para no quedarse sin unidades de agua disponibles y aprovisionarse
del recurso, opten por apresurar la extracción en el presente. Esto aumentaría la velocidad
de secamiento. En este contexto los beneficios por usar este recurso extraído, se irían
reduciendo porque el costo marginal sería elevado.
Ahora se presenta la tasa de cambio del precio sombra del stock del acuífero.
𝜆�̇�
𝜆𝑡= 𝑟 +
𝑧µ𝑡−𝜃𝑡
𝜆𝑡 Ecuación 24
La tasa de cambio por permitir que se conserve un periodo más, cada unidad de agua del
stock del acuífero y percibir los beneficios por conservarlo para el futuro, se puede ver por
medio de los términos de la derecha de la ecuación 24, los cuales representan los siguientes
efectos.
Primer término refleja el efecto de la tasa de descuento, el cual se considera positivo. Este
valor 𝑟 se puede ver como una forma de recibir un beneficio en el futuro, a cambio de no
consumir el recurso y dejar el stock de agua en el subsuelo hoy.
El segundo término muestra el efecto combinado que tienen los precios sombra de liberar
una unidad de altura del acuífero, el precio sombra por dejar el stock remanente sin utilizar
un periodo y el precio sombra por conservar el stock mínimo.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
28
Según la ecuación 10, (St − ∑ Wti ) > 033, por tanto se infiere que z > 0 para que en la función
del altura del acuífero, ℎ𝑡 ≤ ℎ𝑚𝑎𝑥 . Luego con z positivo y con µ𝑡 > 0, como beneficio marginal
por dejar cada unidad marginal de altura del acuífero sin utilizar hoy, zµ𝑡 > 0. θt como el
beneficio marginal por conservar el stock mínimo, se considera siempre positivo, porque
asegurar una disponibilidad de agua siempre en el futuro, asegurará la posibilidad de
percibir beneficios por el consumo.
No obstante la magnitud de este cociente (segundo término), dependerá de las
magnitudes entre µ𝑡 y 𝜃𝑡 . En términos subjetivos, un usuario consideraría que es más
beneficioso liberar cada unidad de la altura del acuífero cada año, en lugar de liberar el
stock mínimo, puesto que considerará que éste estará siempre disponible.
Para un usuario, en términos de sus dinámicas cotidianas de consumo, la altura del acuífero
es lo más relevante, dado que esto es lo que determina el costo de extracción. Por tanto
considerará más riesgoso, no liberar unidades la altura hoy, que no liberar el stock mínimo
que está siempre presente. A partir de lo anterior, µ𝑡 > 𝜃𝑡 .
Además, a medida que pasa el tiempo, con los consumos de todos los usuarios, la altura
del acuífero, ℎ𝑡 se acerca cada vez más a ℎ𝑚𝑎𝑥 y se escaseará más el recurso, por
consiguiente la liberación de cada metro de altura, generará un beneficio marginal
creciente hacia el futuro.
Con esto presente, la tasa de cambio del precio sombra 𝜆 𝑡̇ λt⁄ por conservar el stock (S𝑡 ), se
considerará creciente y principalmente dependiente del beneficio marginal por no utilizar
cada metro de altura de agua (ℎ𝑡), hoy sino en futuro.
Estos términos captan la externalidad de las extracciones de agua y develan en esencia,
la tasa de cambio del costo de oportunidad intertemporal del bombeo actual o presente,
a través de su impacto sobre los costos marginales de bombeo cuando los usuarios
extraigan el agua en el futuro.
Para que un usuario pueda valorar o percibir los beneficios por la conservación del stock
cada metro cúbico de agua en el acuífero, aparte de saber a qué altura encuentra o
alcanza el agua con sus motobombas, también debe saber cuánto falta para alcanzar el
espesor saturado ℎ𝑚𝑎𝑥, cuánto están extrayendo los demás usuarios, ∑ Wti y cuánto queda
en 𝑆t; sólo así podrá tomar decisiones oportunas de conservación del recursos entre un
periodo y otro.
4.6. Resultados y análisis
En esta sección se presentan los principales datos sobre las tasas óptimas de extracción, la
altura del acuífero bajo diferentes escenarios de tasas de descuento intertemporal y los
niveles de stock bajo condiciones de manejo de stock mínimo. De igual manera se muestran
aspectos analíticos sobre los distintos componentes de la estructura de costos de
extracción, en condiciones de libre acceso sin pago de externalidades y bajo
circunstancias de manejo centralizado.
33 Este se asume, a partir del supuesto de que la sumatoria de las extracciones no deben ser mayores que el stock mínimo.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
29
4.6.1. Procedimiento de maximización
El algoritmo de solución para la optimización dinámica, consiste en maximizar el beneficio
agregado de la extracción de aguas subterráneas, el cual se constituye en el objetivo del
planificador central. Se utiliza una herramienta sencilla de optimización con Solver, para
resolver un problema de optimización no lineal. Esta herramienta permite también
encontrar los niveles óptimos de las variables de control, resolviendo el sistema de
ecuaciones 17, 18 y 19, a partir de las variables de estado y las restricciones impuestas.
Se construyó una base de datos en hoja de cálculo, que contiene la información inicial del
stock o reservas de aguas subterráneas de la Cuenca de Chicú – Río Frío. Se toman los
valores iniciales e independientes de la extracción de aguas, para cada uno de los tres
tipos de usuarios. Además de los datos anteriores, se toma el valor de inicio de la reserva
del acuífero, que se especificó anteriormente.
Se procedió a calcular el valor del beneficio en la producción para cada año, a partir de
la extracción de aguas subterráneas para los usuarios domésticos, floricultores y cultivadores
de papa. Para este propósito, se utilizaron parámetros como precios, costos de energía, los
coeficientes estimados de cada función, según lo mostrado anteriormente.
Se construyen luego, las celdas correspondientes a la sumatoria del beneficio agregado de
la extracción, con las funciones de beneficio de cada usuario. Se toma un año de prueba,
en el cual se realiza un corte en el horizonte de planificación (ejemplo 50 años), de tal
manera que en ese punto se sumen los beneficios agregados por año. El valor de esta
sumatoria, se constituye en el objetivo a maximizar. Como parte del procedimiento, se
definen las celdas que son susceptibles de cambio, las cuales se denominan las variables
de decisión. En este caso, corresponde a las extracciones de agua. Además de lo anterior,
se especifican las restricciones adecuadas, tales como 𝑆𝑡 ≥ 𝑆𝑚𝑖𝑛 , 𝑊𝑓(𝑡), 𝑊𝑑
(𝑡), 𝑊𝑝(𝑡) > 0.
Estas especificaciones, ofrecen las condiciones para construir las sendas óptimas de
extracción (𝑊𝑓∗(𝑡), 𝑊𝑑
∗(𝑡), 𝑊𝑝∗(𝑡)), con el cumplimiento de restricciones respectivas.
4.6.2. Aplicación en el cálculo de sendas óptimas de extracción de aguas subterráneas
Para la maximización del beneficio agregado de la extracción de aguas subterráneas, se
emplean las funciones de producto para los cultivadores de papa y de flores, junto con la
función de demanda teórica de consumo de agua a nivel doméstico, por parte de
habitantes rurales de los municipios de la Cuenca de Chicú – Río Frío.
Este procedimiento se resuelve utilizando simultáneamente las ecuaciones de variables de
estado para el stock del recurso 𝑆∗(𝑡) y la altura del acuífero ℎ∗(𝑡).
Al inicio del periodo de planificación hacia el infinito, la reserva disponible corresponde al
nivel de reservas del acuífero de la Cuenca Chicú Río Frío. Le procede en el algoritmo , que
el nivel de reservas se irá agotando paulatinamente, dependiendo del consumo o
extracción de agua de cada uno de los usuarios.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
30
El proceso de optimización del sistema de ecuaciones de 8 a 14, arroja los niveles óptimos
de 𝑊𝑑∗, 𝑊𝑓
∗ 𝑦 𝑊𝑝∗.
La senda óptima de la extracción desde el acuífero, toma en consideración, el nivel de
stock mínimo cálculo, a partir del cual la tasa de extracción se encuentra en equilibrio y se
mantiene invariante hacia el infinito.
Por su parte, en la ecuación de evolución del stock o reserva del acuífero, se incorpora la
condición de transversalidad, donde el agotamiento 𝑆(𝑇) = 0, no es óptimo. Por el contrario,
el planificador central establece la existencia de un stock mínimo, 𝑆(T)min, que permita que
se continúe con las dinámicas de consumo adecuados por parte de productores agrícolas
y consumidores domésticos.
En el Gráfico 4.1., se puede notar cuál es el resultado del proceso de optimización, con
relación a las variables de estado, definidas como el stock de aguas disponibles para la
extracción y la altura del acuífero.
Gráfico 4-1. Evolución de la altura y stock óptimos de aguas subterráneas del acuífero Chicú Río Frío (m3) con stock mínimo
Fuente: cá lculos propios a partir de (CAR, 2013)
Ante la condición de transversalidad, que establece que el agotamiento no es óptimo, se
muestra que el nivel del stock evoluciona en distintas etapas.
-
2.000.000.000,00
4.000.000.000,00
6.000.000.000,00
8.000.000.000,00
10.000.000.000,00
12.000.000.000,00
14.000.000.000,00
-
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
1 6
11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
101
106
111
116
121
126
Stoc
k ac
uífe
ro (
met
ros
cúbi
cos)
Alt
ura
acuí
fero
(hm
ax-h
(t))
(me
tro
s)
años
altura pozos t. descuento 10% altura pozos t. descuento 8% altura pozos t. descuento 6%
altura pozos t. descuento 4% Stock, St(metros cúbicos)
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
31
Primero el stock inicial se reduce en su consumo o utilización, lo que genera una etapa de
preservación. En esta etapa es óptimo que primero se aseguren las condiciones físicas de
disponibilidad del recurso, para otorgar más permisos de extracción a las tasas que solicitan
los peticionarios.34
Para que se logre un aumento paulatino del nivel de stock, es necesario que se reduzcan
los niveles de extracción por parte de los diferentes usuarios. Esta situación, posiblemente
enfrentaría a los usuarios a contar con menores cantidades de agua para sus actividades,
pero la que obtienen, la pueden tomar a menores costos de extracción, debido a que el
stock mayor incide en que el agua del subsuelo se encuentre a menor altura desde la
superficie.35
Esta primera etapa corresponde a los primeros 25 años de manejo del acuífero. La siguiente
etapa, corresponde al inicio de la caída paulatina del stock. Se asume que el crecimiento
poblacional y su demanda de aguas, incidirá en el descenso de las reservas, lo mismo que
las condiciones físicas para la recuperación del nivel de las mismas. En este caso, las
extracciones no logran compensar las recargas.
Posterior a la etapa de comportamiento decreciente en el nivel del stock, sobreviene una
etapa de estabilización, cercano al stock mínimo que se considera discrecional para la
autoridad ambiental y que en este caso se modela con un valor cercano a los 3.000.000.000
metros cúbicos, una fracción del 30% del nivel de stock inicial vigente.
Los resultados sobre las etapas del comportamiento del stock, en el nivel óptimo son
similares a los encontrados por (Krulce, Roumasset, & Wilson, 1997). El estado mínimo se
alcanza a los 105 años. Contrario a otros trabajos, el periodo de tiempo en el que se alcanza
este estado es superior en promedio en 2 veces. Esto se puede atribuir a que el acuífero
objeto de estudio cuenta con grandes reservas y contrario al patrón de consumo de otras
regiones, los agricultores si bien están entre los mayores extractores de agua, en la zona de
estudio, los usuarios agrícolas sólo superan levemente el 50% del consumo total de agua y
en otras regiones del mundo representan entre 70% y 80%
De otra parte, la altura del acuífero se muestra con variaciones en las tasas sociales de
descuento intertemporal. Para efectos prácticos y esquemáticos, las curvas mostradas en
el gráfico anterior y en el siguiente, se deben leer en una manera particularmente distinta.
El interés se centra en ver o analizar cómo se acerca la altura ℎ del acuífero a la altura
máxima ℎ𝑚𝑎𝑥 = 500 𝑚. Es decir cuán rápido se llega al fondo o espesor saturado y se seca
el acuífero en consideración. Esto quiere decir que la altura de la tabla del agua es el punto
0, de inicio o límite inferior a partir del cual se analiza la evolución de esta altura y el límite
superior equivale al espesor saturado equivalente a ℎ𝑚𝑎𝑥 .
Para efectos de exposición del presente trabajo ante los usuarios del recurso, se indica que
se asume que se inicia con un acuífero cuya tabla del agua empieza con una altura
cercana a la superficie del suelo. En todos los casos, cada vez que pasa el tiempo, el
acuífero se vuelve más profundo y es mayor el esfuerzo requerido para extraer el agua. Con
tasa de 10% el acuífero se seca más rápido y la altura máxima de 500 metros se alcanza
34 En esta etapa, se espera que se cuente con información técnica acerca de las dinámicas de recargas,
precipitación e infiltración al subsuelo. 35 Se asume que esta etapa, los usuarios, harán segundos procesos propios de optimización, luego que la
autoridad ambiental determine, cuáles son las tasas óptimas de extracción a conceder. Está sería una de las estrategias para poder adaptarse a las limitaciones en acceso al recurso.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
32
aproximadamente a los 125 años. En ese mismo año, con tasa social de descuento de 4%,
el acuífero estaría aún con 70 metros de altura o distancia entre el espesor saturado y la
tabla del agua, altura que estaría disponible para seguir extrayendo agua, mientras que al
10% ya la tabla del agua no existiría, porque se alcanzaría el nivel del espesor del acuífero
de 500 metros.
Pasados sólo 20 años de uso del acuífero a partir de hoy y con tasa de descuento del 4% la
tabla del agua descendería 26 metros, 86 metros para tasa del 10% y 65 metros para el caso
de una tasa del 8%.
Estas diferencias notables en la manera como se esperaría que se vaya secando el Acuífero
de la Cuenca Chicú – Río Frío, depende de la forma como la autoridad ambiental y los
usuarios valoran el consumo futuro frente al consumo presente. La tasa revela
subjetivamente la forma como los usuarios perciben el valor del agua entre las posibilidades
de extraer el recurso en el presente y dejar cantidades disponibles para el futuro para las
próximas generaciones.
Comparando el presente con el futuro, entre mayores sean las tasas de descuento
intertemporal, los actores valoran muy poco la situación esperada sobre las condiciones
físicas del recurso en el tiempo futuro, respecto a cómo perciben la situación más inmediata
en el presente, por esta razón deciden extraer más en el presente, como si el futuro no fuera
a existir.
En caso que el agotamiento fuera óptimo, la condición de transversalidad permitiría que
los niveles de stock o reservas de aguas subterráneas, se redujeran tanto como hasta llegar
a un nivel de cero en un tiempo t = T. Este es el caso que se presenta en el Gráfico 4.2.,
donde se alcanzaría a desaparecer las reservas del acuífero Chicú Río Frío en el año t =130, según se puede ver en el Gráfico 4.2.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
33
Gráfico 4-2. Evolución del stock óptimo de aguas subterráneas del acuífero Chicú Río Frío (m3) sin stock mínimo
Fuente: cá lculos propios a partir de (CAR, 2013)
Como se puede ver en el Gráfico 4.1., el hecho que el agotamiento sea no óptimo, refleja
que el acuífero no se secaría y aunque la profundidad llegara cerca a los 500 metros en
promedio en todos los pozos, aun quedaría un remanente del recurso disponible para
extraer del subsuelo. Esta situación varía para cada una de las tasas de descuento.
En consistencia con lo anterior, se presentan los resultados de cuáles debieran ser las tasas
óptimas de extracción de aguas subterráneas concesionadas, a través de los permisos de
uso otorgados por la autoridad ambiental.
Los niveles de tasas de extracción que se muestran en Gráfico 4-3, representan los volúmenes
de agua máximos que se pueden extraer del acuífero por año, para evitar su agotamiento
físico en el largo plazo. Se contempla el largo plazo como un horizonte infinito, cuyo
momento corresponde al periodo a partir del cual la tasa de extracción se manti ene en
equilibrio e invariante que se acerca al periodo en el cual se estabiliza el stock en 120 años.
-
2.000.000.000,00
4.000.000.000,00
6.000.000.000,00
8.000.000.000,00
10.000.000.000,00
12.000.000.000,00
14.000.000.000,00
-100,00
-
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
1 6
11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
101
106
111
116
121
126
Stoc
k ac
uífe
ro (
met
ros
cúbi
cos)
Alt
ura
acuí
fero
(hm
ax-h
(t))
(met
ros)
años
altura pozos t. descuento 10% altura pozos t. descuento 8% altura pozos t. descuento 6%
altura pozos t. descuento 4% Stock, St(metros cúbicos)
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
34
Gráfico 4-3. Evolución óptima y en status quo de tasas de extracción de aguas subterráneas del acuífero
Chicú Río Frío (m3)
Fuente: cá lculos propios a partir de (CAR, 2013)
En el Gráfico 4-3 se puede notar la existencia de distintas etapas relacionadas con la
evolución óptima de las extracciones. Para la curva de extracción óptima (a una tasa de
4%), durante los primeros 50 años, se evidencia una tasa creciente a tasas interanuales no
aceleradas. A partir de este periodo, el crecimiento de la tasa presenta una pendiente
mayor hasta alcanzar un nivel máximo aproximadamente a los 110 años, periodo a partir
del cual empieza una fase de decrecimiento. Esta fase de nivel máximo de las extracciones
agregadas, es consistente con el periodo en el cual el stock inicial se halla en sus niveles
mínimos, tal como se muestra en el Gráfico 4.2.
La etapa de crecimiento acelerado de la extracción, coincide con los periodos en los
cuales el stock del acuífero, si bien empieza a reducirse (en menos de 10.000 millones de
metros cúbicos), esta reserva está en niveles cercanos a la reserva o stock inicial, lo que aun
permite mayores extracciones de agua del subsuelo.
De otra parte, se observa que después de alcanzarse el nivel de máximas extracciones y
alrededor de 11 años después del tiempo a partir del cual se logra el nivel de stock mínimo,
la extracción óptima se empieza a estabilizar en un poco más de 66 millones de metros
cúbicos, el cual es volumen esperado de recargas del acuífero. Esto cobra sentido, dado
que en el periodo de estabilización de la extracción, la dinámica del consumo es aportada
por la recarga del acuífero.
Los resultados revelan que existen diferencias en tasas de extracción óptimas versus
tendencias con tasas actuales en status quo. Las discrepancias en los niveles de extracción,
entre las tasas, difieren en promedio para los primeros 10 años en más de 30 millones de
-
500,00
1.000,00
1.500,00
2.000,00
2.500,00
1 6
11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
101
106
111
116
121
126
131
136
141
146
151
MIL
LON
ES D
E M
ETR
OS
CÚB
ICO
S
EXTRACCIÓN AGREGADA optimizada EXTRACCIÓN AGREGADA Status Quo
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
35
metros cúbicos y 41 millones de metros cúbicos a los 20 años. Se puede notar además que
las diferencias entre estas dos variables, aumenta a medida que transcurre el tiempo.
Sólo en el primer año la diferencia absoluta en las tasas, asciende al valor que se consume
actualmente de manera legal o regulada en el acuífero, en alrededor de 20 millones de
metros cúbicos.
Siguiendo a (Burt O. , 1966) el hecho de que el agua utilizada para la producción en el
presente tiene mayor valor económico que el agua usada en el futuro, tiende a presionar
la tasa de utilización más allá de la recarga. Luego se presenta un trade-off que cada
usuario y la autoridad ambiental valorarán, a la hora de otorgar una concesión o cuando
se decide utilizar el agua por los diferentes demandantes del recurso.
En la Tabla 4, se presentan los resultados relacionados con las tasas óptimas de extracción
para cada uno de los tipos de usuarios, para los primeros 25 años. Estas tasas logran capturar
el comportamiento de las demandas del recurso. Las tasas indicadas, en teoría, evitarían el
agotamiento físico del recurso.
Tabla 4. Tasas óptimas de extracción por tipo de usuario (metros cúbicos) Residenciales o
domésticos Cultivadores de flores
Cultivadores de
papa
1 7.754.887,38 11.909.291,33 5.262.245,01 2 907.401,00 12.266.570,07 5.420.112,36 3 934.623,03 12.634.567,17 5.582.715,73 4 962.661,72 13.013.604,19 5.750.197,20
5 991.541,57 13.404.012,31 5.922.703,12 6 1.021.287,81 13.806.132,68 6.100.384,21 7 1.051.926,45 14.220.316,66 6.283.395,73 8 1.083.484,24 14.646.926,16 6.471.897,61
9 1.115.988,77 15.086.333,95 6.666.054,54 10 1.149.468,43 15.538.923,97 6.866.036,17 11 1.183.952,49 16.005.091,69 7.072.017,26 12 1.219.471,06 16.485.244,44 7.284.177,77
13 1.256.055,19 16.979.801,77 7.502.703,11 14 1.293.736,85 17.489.195,82 7.727.784,20 15 1.332.548,95 18.013.871,70 7.959.617,73 16 1.372.525,42 18.554.287,85 8.198.406,26 17 1.413.701,18 19.110.916,48 8.444.358,45
18 1.456.112,22 19.684.243,98 8.697.689,20 19 1.499.795,59 20.274.771,30 8.958.619,88 20 1.544.789,45 20.883.014,44 9.227.378,47 21 1.591.133,14 21.509.504,87 9.504.199,83
22 1.638.867,13 22.154.790,01 9.789.325,82 23 1.688.033,15 22.819.433,72 10.083.005,60 24 1.738.674,14 23.504.016,73 10.385.495,76 25 1.790.834,36 24.209.137,23 10.697.060,64
Fuente: cálculos a partir de (CAR, 2013)
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
36
4.6.3. Beneficios económicos agregados de la extracción
Además de lo anterior, se agrega la información sobre la evolución de los beneficios
económicos agregados por la extracción de agua del acuífero. Se puede notar que el valor
de los beneficios, guarda relación con el comportamiento de las tasas óptimas de
extracción, presentado en el Gráfico 4-3. Dada la dependencia de las actividades
económicas o productivas de cultivo de flores y de papa y el consumo humano, el consumo
y utilización de agua genera beneficios y la reducción de este recurso, produce reducción
en el valor de los beneficios percibidos por los usuarios.
Gráfico 4. Beneficios agregados extracción aguas subterráneas Acuífero Chicú - Río Frío
Fuente: cá lculos propios a partir de (CAR, 2013)
Alrededor del año 95 se alcanza el nivel máximo de beneficios, año en el cual se alcanzan
los niveles crecientes de extracciones de agua del acuífero.
A continuación, se da cuenta de aspectos técnicos de la estructura de costos de
extracción, proveniente de la maximización de las funciones de variables de control y de
variables de estado.
(5.000.000.000)
-
5.000.000.000
10.000.000.000
15.000.000.000
20.000.000.000
25.000.000.000
30.000.000.000
1 6
11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
10
1
10
6
11
1
11
6
12
1
BEN
EFIC
IOS
(MIL
LON
ES D
E PE
SOS)
TIEMPO (AÑOS)
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
37
4.6.4. Componentes de las funciones de costos de extracción
A partir del proceso analítico de las anteriores expresiones, en la Tabla 4-5, se pueden ver
las diferencias en materia de los componentes de los costos por extracción, que paga cada
tipo de usuario del acuífero de la Cuenca Chicú – Río Frío.
Tabla 4-5. Función de costos pagados por extracción de agua subterránea según tipo de usuarios
Tipo de usuario Costo pagado por
extracción
Observaciones generales
Usuario no regulado,
no formal o “ilegal” 𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [ℎ𝑜
ℎ]
⍶
∗ 𝑊 Se desconocen las cantidades de
agua extraídas y las tecnologías de
extracción.
Usuario regulado o
formal, sin pago de
externalidades
𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [ℎ𝑜
ℎ]
⍶
∗ 𝑊 Se asume que el usuario extrae lo que
se le ha permitido por día y por hora.
El usuario paga un costo energético,
según tarifas vigentes a empresa
distribuidora de energía de la región,
más el valor de la tasa de extracción.
Usuario regulado o
formal, con pago de
externalidades
𝑐𝑒𝑛𝑒𝑟 [ℎ𝑜
ℎ]
⍶
∗ 𝑊 + 𝜆 𝑡 − µ𝑡𝑧 Aparte que el usuario extrae lo que se
le ha permitido por día, por hora,
también paga un costo energético,
según tarifas vigentes.
No obstante, también debe pagar el
costo económico de la incidencia de
la extracción presente sobre los
consumos y costos futuros, dada la
afectación de la atura del acuífero y
del tamaño del stock.
Usuario no regulado, no formal o “ilegal”
En el caso de la jurisdicción de la Corporación Autónoma Regional de Cundinamarca –
CAR, alrededor del 60% de los usuarios existentes no cuenta con los respectivos permisos
de extracción de agua de los acuíferos.
Sobre este grupo de usuarios, se desconocen las cantidades reales de agua extraídas, cuál
es el régimen de extracción en términos de las horas de bombeo por día, los picos de
extracción por semana o por mes y menos aún sobre sus tecnologías de extracción ni las
fuentes de energía.
En términos de las externalidades que los usuarios generan por la extracción sostenida, este
grupo es el que más incide sobre la magnitud de los costos de cada metro cúbico que se
extrae de la cuenca.
Cada año que transcurre en la extracción por parte de estos usuarios no regulados, la CAR
no logra compensar la extracción, a través de las tasas o impuestos por el uso del agua, ni
mucho menos logra recuperar o resarcir los costos sociales de largo plazo, propiciados por
la menor disponibilidad del recurso agua.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
38
Este tipo de usuarios es el típico caso de los individuos, que además de maximizadores de
sus utilidades individuales, se comportan como polizones, puesto que no afrontan ni pagan
los costos del consumo de un recurso escaso.
Usuario regulado o formal, con pago de externalidades
Se asume que el usuario extrae a la tasa de bombeo que le ha permitido la autoridad
ambiental, en cuanto al consumo por hora, por día y por año. El usuario paga un costo
privado energético, según tarifas vigentes a empresa distribuidora de energía de la región.
Se considera también que la energía consumida en el bombeo, no tiene mejor uso
alternativo durante la extracción.
El usuario paga una tasa por la extracción del recurso a la autoridad ambiental, durante
el periodo concesionado.
Esta tasa es utilizada por la autoridad ambiental, como un mecanismo financiero para la
reinversión en protección de cuencas hidrográficas.
Se puede considerar que las tasas logran internalizar parcialmente el verdadero costo de
la extracción de las aguas subterráneas. Como se puede ver en la Tabla 4-5, existe un
componente del costo del consumo dado por el costo marginal del usuario que no hace
parte de los componentes de la tasa cobrada.
Este costo adicional del usuario tiene dos implicaciones, por un lado, representa los
beneficios no percibidos de las futuras extracciones y además denota los mayores costos
de extracción futuros, debido a la condición de que a medida que el acuífero se acerca
al agotamiento o secamiento (ℎ = 0), los costos de extracción crecen rápidamente, puesto
que 𝑐(ℎ) ≥ 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐´(ℎ) < 0, 𝑐´´(ℎ) ≥ 0.
A medida que transcurren los años, la autoridad ambiental en su ejercicio de otorgamiento
o denegación de tasas de extracción, no percibe la magnitud del ritmo en que crecerán
los costos futuros de extracción de aguas subterráneas.
La condición de transversalidad La condición de transversalidad para el uso óptimo de las aguas subterráneas, no debiera
ser 𝜆(𝑇) = 0; puesto cualquiera que sea el momento 𝑇 = 𝑡, se considera que el recurso
natural cuenta con valor remanente marginal positivo. Es decir que en todo momento del
tiempo, se espera que exista un valor económico positivo del agua para los diferentes
usuarios, así como para los ecosistemas dependientes de la provisión de aguas
subterráneas.
Para el planificador central o autoridad ambiental, resulta conveniente o necesario dejar
siempre un nivel de stock mínimo del recurso en el subsuelo, que permita asegurar
disponibilidades mínimas para diferentes usuarios y a su vez para que se desarrollen
procesos posteriores de optimización de las reservas disponibles.
Por ello, es razonable considerar que en lugar de asumir que el valor marginal del recurso
es cero, cuando se alcanza el tiempo T final (que puede corresponder a cualquier horizonte
de planificación), a partir de lo anterior se establece que el planificador determina o
requiere de la existencia de un stock mínimo, 𝑆𝑚𝑖𝑛 .
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
39
De acuerdo con (Chiang & Wainwright, 2005), esta condición de transversalidad estaría
dada por:
𝜆(𝑇) ≥ 0 𝑦 [𝑆∗(𝑇) − 𝑆𝑚𝑖𝑛 ]𝜆(𝑇) = 0 Ecuación 25
Si 𝑆∗(𝑇) excede el 𝑆𝑚𝑖𝑛 , entonces la restricción impuesta al stock no es relevante o
vinculante. Por tanto, el resultado sería simular a que no existiera la restricción y por tanto
aplicaría 𝜆(𝑇) = 0.
Pero si la condición terminal o de transversalidad establece que 𝜆(𝑇) es óptimamente
positivo o no cero, la restricción 𝑆𝑚𝑖𝑛 cobra sentido. Luego, la cantidad de reservas
disponibles, bajo el control y monitoreo de la autoridad ambiental sería el stock mínimo
requerido por esta.
4.7. Discusión de resultados
En el presente trabajo se pudo estimar y estudiar los niveles de consumo de aguas
subterráneas para evitar su agotamiento físico. Para ello se asumió que el agotamiento no
es óptimo y que para el modelo se debiera conservar un stock mínimo.
En el modelo se encontró que las tasas de extracción de aguas subterráneas no parecen
reflejar los costos sociales de la extracción, razón por la cual se deben estimar nuevas tasas
que revelen el verdadero costo de extraer cada metro cúbico en el presente y que no
estará disponible en el futuro.
Los resultados revelan que existen diferencias en tasas de extracción óptimas versus
tendencias con tasas actuales en status quo. Las discrepancias en los niv eles de extracción
difieren en 20 millones de metros cúbicos para los primeros 10 años. Sólo en el primer año la
diferencia en las tasas asciende al valor que se consume actualmente en el acuífero
actualmente de manera legal o regulada en status quo.
Una de las características más notables del modelo, radican en el relativo elevado nivel de
stock del acuífero de la cuenca. Este valor, incide en que el nivel de stock mínimo hipotético
se alcance en alrededor de 100 años de explotación, tiempo en el cual la presente
generación no estará presente para usar el recurso. No obstante, se asume que por
equidad intergeneracional, tenga sentido proyectar que el recurso aún se conserve con
agua disponible.
Sobre la evolución del stock óptimo, los resultados con consistentes con los hallados por
(Krulce, Roumasset, & Wilson, 1997), quienes encuentran también que en una primera etapa
de estado del recurso, el stock inicial se reduce en su consumo o utilización, lo que genera
una etapa de preservación.
Se agrega en este estudio, que una mayor disponibilidad de agua, por un stock mayor
puede favorecer a los usuarios, por tener que enfrentar menores costos de extracción,
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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debido a que el stock mayor incide en que el agua del subsuelo se encuentre a menor
altura desde la superficie.36
La siguiente etapa, corresponde al inicio de la caída progresiva del stock. En este caso, las
extracciones no logran compensar las recargas. Luego del decrecimiento en el nivel del
stock, sobreviene una etapa de estabilización, cercano al stock mínimo que se considera
discrecional para la autoridad ambiental.
Una diferencia en los resultados de la literatura sobre economía de la extracción de aguas
subterráneas, radica en que el agotamiento ocurriría en más de 110 años, lo mismo que el
estado estacionario. Respecto a los trabajos de (Burt & O., 1964); (Chatterjee, Howitt, &
Sexton, 1998); (Lin, 2015) y (Patil, Mahadev, Bhat, & Manjunatha, 2015), en la zona de la
Cuenca Chicú – Río Frío, los usuarios agrícolas representan menos del 60% del total del agua
consumida, mientras que en otros trabajos supera el 75%, lo cual presiona el recurso a la
extracción más acelerada, por los volúmenes utilizados en irrigación.
De otra parte, como se pudo esperar, uno de los aportes realizados en este trabajo se
enfoca en que la tasa de cambio del precio sombra 𝜆 𝑡̇ λt⁄ por conservar el stock (S𝑡 ), se
considerará creciente y principalmente dependiente del beneficio marginal por no utilizar
cada metro de altura de agua (ℎ𝑡), hoy sino en futuro.
Sin embargo para que un usuario pueda valorar o percibir los beneficios por la conservación
de cada metro cúbico de agua en el acuífero, aparte de saber a qué altura encuentra o
alcanza el agua con sus motobombas, también debe saber cuánto falta para alcanzar el
espesor saturado ℎ𝑚𝑎𝑥, cuánto están extrayendo los demás usuarios, ∑ Wti y cuánto queda
en 𝑆t; sólo así podrá tomar decisiones oportunas de conservación del recursos entre un
periodo y otro.
36 Se asume que esta etapa, los usuarios, harán segundos procesos propios de optimización, luego que la
autoridad ambiental determine, cuáles son las tasas óptimas de extracción a conceder. Está sería una de las estrategias para poder adaptarse a las limitaciones en acceso al recurso.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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Conclusiones y recomendaciones Este trabajo consistió en la construcción de una senda óptima de extracción de aguas
subterráneas, de la Cuenca Hidrogeológica Chicú – Río Frío de la Sabana de Bogotá. Se
emplearon funciones de producto y demanda asociadas al uso del agua del subsuelo,
según tres tipos de usuarios.
Se considera éste como un complemento al estudio de las aguas subterráneas, que se ha
limitado al análisis desde el punto de vista físico. Con aportes desde la economía, se utilizó
un modelo basado en la teoría de control óptimo en un horizonte de tiempo infinito.
Se halló, que en los componentes del costo de extracción, existe una porción que tiene
efectos intertemporales, que no se incluye en la canasta del costo cobrado a los usuarios.
A pesar que el cálculo del valor del impuesto por extracciones, no es objeto del presente
trabajo, los resultados indican que la tasa por extracción, pudiera ser mayor o menor al
impuesto cobrado actualmente, al tener que incorporarse el componente del costo de
largo plazo, que hoy es imperceptible. Esto es consistente con lo expuesto por (Hellegers,
Zilberman, & van Ierland, 2001) en el sentido que la literatura económica sobre
internalización de externalidades por extracción de aguas subterráneas en sector agrícola,
ha sido limitada.
Ante la importancia de implementar modelos de desarrollo sostenible, urge la necesidad
de empezar a promover ajustes en el valor de las tasas, puesto que es posible que en cada
cobro presente de la tasa de extracción de aguas, la autoridad ambiental está dejando
de percibir recursos para inversiones futuras e incidiendo silenciosamente en el crecimiento
de futuros costos de la extracción, para las próximas generaciones.
Tal como lo expresan (Hellegers, Zilberman, & van Ierland, 2001), para lograr tasas de
extracción de aguas subterráneas socialmente óptimas, el valor de los daños marginales
de servicios ambientales, los costos de extracción y precios sombra de los cambios en la
cantidad y calidad de las acciones en el tiempo, tienen que ser considerados en el precio
del uso del agua.
El mecanismo de implementación de la política de tasas óptimas de extracción, consiste
en que a medida que la autoridad ambiental, cuenta con información sobre el stock,
recarga de acuífero, tabla del agua, niveles piezométricos y otras variables, determine la
disponibilidad de cupos de asignación de aguas, que respeten las dinámicas físico -
económicas del acuífero.
Lograr implementar la política de asignación óptima de las aguas subterráneas, implica
múltiples retos.
Se considera vital, contar con información sistemática y periódica de monitoreo de los
niveles piezométricos de los acuíferos, el cálculo de las reservas, los niveles de infiltración a
partir de las precipitaciones, sobre las cuales se acrecienta la incertidumbre ante
fenómenos de variabilidad climática y cambio climático.
Sin información y datos de calidad, no sería posible prever los niveles de las variables de
estado del modelo (stock y altura del acuífero) y simplemente se supondrá que se podrá
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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incidir (sin daños a largo plazo), en las variables de control (extracción) desconociendo la
interconexión entre los dos tipos de variables.
Este aporte desde el área de la economía de los recursos naturales, contribuye en primera
instancia a que la autoridad ambiental, como regulador, pueda ser consciente de los
costos intertemporales que se propician con cada decisión de extracción y los beneficios
que se dejarán de percibir por las menores disponibilidades de agua previstas.
De otra parte, del lado de los actores regulados o usuarios, existe un enorme reto de poder
involucrar a las comunidades demandantes de agua y a los productores agropecuarios,
de tal forma que sean cooperantes en los propósitos de usos sostenibles del recurso. Ese
asunto es particularmente importante por las valoraciones en las tasas de descuento
intertemporal.
Se mantiene también el reto de poder reducir las extracciones no reguladas, no controladas
o ilegales. Otro desafío consiste en lograr incorporar desarrollos tecnológicos, para
aumentar capacidad de monitoreo del estado de reservas, ubicación de extracciones
ilegales, robustecer los pronósticos que incorporen la variabilidad climática y el cambio
climático en las estimaciones sobre todas las variables físicas y ambientales relevantes.
Sobre el agua como recurso escaso y determinante de las dinámicas sociales y productivas,
se debieran tomar decisiones de política, que se fundamenten en la optimización de su uso,
para evitar su agotamiento físico y económico.
Con los modelos de regulación actuales, con las tasas de extracción cobradas a los
usuarios, no pareciera que se esté enviando señales adecuadas al mercado, puesto que:
- Por un lado, existen “polizones” en el acceso al recurso, que representan alrededor
del 60% de los usuarios actuales. Estos usuarios no perciben el carácter mandatorio
del pago.
- Ha ocurrido el secamiento de pozos, sin la previsión de la autoridad ambiental.
Aparte que las tasas no parecen mostrar o señalar la escasez del recurso, la
autoridad es sorprendida con casos múltiples de agotamiento de pozos.
- Si la tasa, se enfoca en poder recuperar los costos de inversiones en cuencas
hidrográficas, estas no alcanzarían luego, para recargar pozos secos, incidir en
dinámicas de conexión de aguas superficiales y subterráneas y para tener la
suficiente capacidad de monitoreo sobre los consumos reales de agua del subsuelo .
Además de lo anterior, surgen nuevos interrogantes y se reconoce la importancia de seguir
investigado sobre el uso óptimo de un recurso vital como el agua. Necesario estudi ar
situaciones, donde las comunidades diseñan mecanismos propios de usos sostenibles de
recursos de acceso común como el agua subterránea. También surge la necesidad de
entender los mecanismos de transmisión de la norma sobre la obligatoriedad de los
permisos de extracción de aguas y el cumplimiento por parte de los usuarios. Se considera
necesario también, seguir profundizando en los cálculos de los valores de los precios sombra
o costos intertemporales por extracción por encima de las tasas óptimas y claramente los
valores óptimos de los impuestos cobrados
Finalmente se reconoce la necesidad de poder entender las dinámicas de uso del agua,
llevando a cabo estudios de caso en el terreno, para probar los modelos económicos a la
luz de las percepciones, valoraciones y preferencias de los actores.
Economía de la extracción sostenible de aguas subterráneas en la Sabana de Bogotá: Aplicación de la teoría de control óptimo
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