ESTRUCTURAS METALICAS

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INGENIERÍA ESTRUCTURAL

Es la ciencia y el arte de planear, diseñar y construir estructuras segura y

económicas que servirán a los fines a los que están dirigidas. El análisis estructural es parte integral de cualquier proyecto de ingeniería de estructuras, siendo su función la predicción del comportamiento de la

estructura, siendo su función la predicción del comportamiento de la estructura propuesta en la figura, se presenta un diagrama de flujo en el que se muestran las diversas fases de un proyecto típico de ingeniería de

estructuras. Como se indica en este diagrama, el proceso es iterativo y, en general consta de los pasos siguientes:

1. Fase de planeacion suele comprender el establecimiento el

funcionamiento de la estructura propuesta, la consideración de los

tipos posibles de estructuras (por ejemplo, armazón rígido o armadura) que puedan ser factibles y los tipos de materiales que se van a usar (por ejemplo, acero estructural o concreto reforzado).

Esta fase puede comprender la consideración de factores no estructurales, como la estética, el impacto ambiental de la

estructura, etcétera. Por lo común, el resultado de esta fase es un sistema estructural que cumple con los requisitos de funcionamiento y que se espera sea el más económico. Quizá esta

fase es la más decisiva de todo el proyecto y requiere experiencia y conocimiento de las prácticas de construcción, además de una plena

comprensión del comportamiento de las estructuras. 2. Diseño estructural preliminar En la fase preliminar del diseño de

la estructura, se estiman los tamaños de los diversos miembros del sistema estructural seleccionado con base en un análisis aproximado, la experiencia pasada y los requisitos de los códigos. En

la fase siguiente, se usan los tamaños de los miembros seleccionados de esta manera para estimar el peso de la estructura.

3. Estimación de las cargas La estimación de las cargas comprende la

determinación de todas las cargas que puede esperarse actúen sobre

la estructura.

4. Análisis estructural En el análisis estructural, se usan los valores de las cargas para llevar a cabo un análisis de la estructura para determinar los esfuerzos o las resultantes de esfuerzos en los

miembros,y de las deflexiones en diversos puntos de la estructura.

5. Comprobaciones de seguridad y utilidad Se usan los resultados

del análisis para determinar si la estructura satisface o no los

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requisitos de seguridad y utilidad de los códigos de diseño y las

especificaciones de la construcción, y se inicia la fase de construcción.

FASE DE PLANEACIÓN

DISEÑO ESTRUCTURAL

PRELIMINAR

ESTIMACIÓN DE LAS

CARGAS

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

¿Se satisfacen los requisitos de

seguridad y utilidad?

Fase de construcción

Diseño

estructural

revisado

No

Si

3

6. Diseño estructural revisado Si no se satisfacen los requisitos de los

códigos, entonces se revisan los tamaños de los miembros y se repiten las fases 3 a 5 hasta que se satisfagan todos los requisitos de seguridad y utilidad.

Excepto por una discusión de los tipos de cargas que se puede esperar actúen sobre las estructuras, el enfoque principal de este

texto será sobre el análisis de las estructuras.

CLASIFICACION DE LAS ESTRUCTURAS Como se discutió en la selección anterior, quizá la decisión más

importante que toma un ingeniero en estructuras al poner en práctica un proyecto de ingeniería es la selección del tipo de estructura que debe usar

para soportar o transmitir las cargas. Las estructuras de uso común se pueden clasificar en cinco categorías básicas: dependiendo del tipo de esfuerzos primarios que pueden desarrollar en sus miembros bajo las

cargas principales de diseño sin embargo, debe tenerse en cuenta que se pueden combinar dos o más de los tipos básicos de estructuras que se describen en lo que sigue, en una sola estructura, como un edificio o un

puente, para que se cumplan los requisitos funcionales de esa estructura.

ESTRUCTURAS A TENSIÓN Los miembros de las estructuras a tensión quedan sujetos a tensión pura

bajo la acción de las cargas externas. El material de una estructura de este tipo se utiliza de la manera más eficiente. Con frecuencia, se emplean

estructuras a tensión compuestas de cables flexibles de acero para sostener puentes o techos de claros largos. En virtud de su flexibilidad los cables tienen una rigidez despreciable a la tensión y sólo pueden

desarrollar tensión. De este modo, bajo las cargas externas, un cable adopta una forma que le

permite soportar la carga no sólo por fuerzas de tensión. En la fig. 1.4 se muestra un tipo conocido de estructura con cable: el

puente colgante. En un puente colgante, la calzada se suspende de dos cables principales por medio de suspensores verticales. Los cables principales pasan sobre un par de torres y se anclan, en roca maciza o en

una cimentación de concreto, en sus extremos. En virtud de que a los puentes colgantes y otras estructuras con cables les falta rigidez en las direcciones laterales, son susceptibles a oscilaciones inducidas por el

viento. Por lo tanto, para reducir esas oscilaciones, se pueden colocar sistemas de riostras o tirantes.

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Además de las estructuras de cables. Otros ejemplos de estructuras a

tensión incluyen las barras verticales usadas como suspensores (por ejemplo para sostener balcones o tanques) y las estructuras de membrana

como los toldos.

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ESTRUCTURAS A COMPRESIÓN

Las estructuras a compresión desarrollan principalmente esfuerzos de compresión bajo la acción de cargas externas. Dos ejemplos comunes de

esas estructuras son las columna ,los arcos. Las columnas son miembros rectos sujetos a cargas axiales de compresión, como se muestra en la fig.

1.6. Cuando un miembro recto se sujeta a cargas laterales o a momentos o ambas acciones, se llama viga-columna.

Un arco es una estructura curva, con una forma similar al de un cable invertido, como se muestra en la fig. 1.7. Estas estructuras se usan con

frecuencia para sostener puentes y techos de claros largos. En los arcos se desarrollan principalmente esfuerzos de comprensión cuando se sujetan a las cargas, y suelen diseñarse de modo que sólo desarrollen compresión

bajo una carga principal de diseño. Sin embargo dado que los arcos son rígidos y no pueden cambiar sus formas como lo pueden hacer los cables, otras condiciones de carga suelen producir flexión y esfuerzos cortantes

secundarios en estas estructuras, los cuales, si son significativos, deben de considerarse en sus diseños.

Debido a que las estructuras a compresión son susceptibles de sufrir pandeo o inestabilidad en sus diseños debe de considerarse la posibilidad

de una falla de ese tipo; si es necesario, debe proporcionarse una arriostramiento adecuado para evitar esas fallas.

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ARMADURAS

Las armaduras se componen de miembros rectos unidos en su extremos por conexiones articuladas para formar una configuración estable. Fig.

1.8. Cuando se aplican cargas a una armadura sólo en la uniones, sus miembros se alargan o se acortan. Por consiguientes, los miembros de una estructura ideal siempre están en tensión uniforme o en compresión

uniforme. Las armaduras reales suelen construirse al conectar los miembros por medio de placas de unión con conexiones atornilladas o

soldadas aún cuando las uniones rígidas formadas de esta manera causan algo de flexión en los miembros de una armadura cuando ésta se carga, en la mayor parte de los casos esos esfuerzos de flexión son pequeños y la

hipótesis de uniones articuladas proporciona diseños satisfactorios.

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Las armaduras, por su peso ligero y alta resistencia, se encuentran entre los tipos de uso más común de estructuras. Estas estructuras se usan en

diversas aplicaciones que van desde soportar tejados de edificios hasta servir como estructuras de apoyo en estaciones espaciales.

ESTRUCTURAS DE ESFUERZO CORTANTE

Las estructuras de esfuerzos cortante, como los muros de esfuerzo cortante de concreto reforzado . Se usan en edificios de varios pisos para

reducir los movimientos laterales debidos a las cargas del viento y las excitaciones de los temblores de tierra. En las estructuras de esfuerzo

cortante se desarrollan principalmente esfuerzos cortantes en un plano con esfuerzos relativamente pequeños de flexión, bajo la acción de las cargas externas.

ESTRUCTURAS DE FLEXION

En las estructuras de flexión de desarrollan principalmente esfuerzos flexionantes, bajo las acción de las fuerzas externas.

Algunas de las estructuras de uso más común como las vigas, los armazones rígidos, las losas y las placas, se pueden clasificar como

estructuras de flexión. Una viga es un miembro recto que se carga en sentido perpendicular a su eje longitudinal fig. 1.10. En el caso de una

viga horizontal sujeta a una carga vertical hacia abajo, como se muestra en la fig. 1.10, el esfuerzo flexionante varía desde el esfuerzo máximo de compresión en el borde superior hasta el esfuerzo máximo de tensión en el

borde inferior de la viga. Para utilizar el material de la sección transversal de una viga del modo más eficiente bajo esta distribución variable de esfuerzos, a menudo se da la forma de I a las secciones transversales de

las vigas (fig. 1.10), con la mayor parte de ese material en los patines superior e inferior. Las secciones transversales con forma de I son las más

eficaces para resistir los momentos flexionantes.

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Los armazones rígidos se componen de miembros rectos unidos entre sí por conexiones rígidas (resistentes del momento) o por conexiones articuladas para formar configuraciones estables. A diferencia de las

armaduras, las cuales se sujetan sólo a cargas en las uniones, sobre los armazones las cargas externas . En general, los miembros de un armazón

rígido se sujetan al momento flexionante, corte y compresión axial o tensión, bajo la acción de cargas externas. Sin embargo, el diseño de los miembros horizontales o vigas de los armazones rectangulares suele

regirse sólo por los esfuerzos flexionantes y cortantes, ya que las fuerzas ya que las fuerzas axiales en esos miembros por lo común son pequeñas.

Los armazones, como la armaduras, se encuentran entre los tipos de estructuras de uso más común. El acero estructural y los armazones de

concreto reforzado son de uso común en los edificios de varios pisos, los puentes y las plantas industriales. Los armazones también se usan como estructuras de soporte en los aviones, los barcos , los vehículo

aeroespaciales y otras aplicaciones aeroespaciales y mecánicas.

VENTAJAS DEL ACERO COMO MATERIAL ESTRUCTURAL

Alta resistencia La alta resistencia del acero por unidad de peso implica que será poco el

peso de las estructuras; esto es de gran importancia en puentes de grandes claros, en edificios altos y en estructuras con malas condiciones

en la cimentación. Uniformidad

Las propiedades del acero no cambian apreciablemente con el tiempo. Elasticidad

El acero tiene la propiedad elástica de volver a su estado incial cuando cesa la carga que origina su deformación siempre y cuando no sobrepase

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la zona elástica, además de la ley de Hooke hasta esfuerzos bastantes

altos.

Durabilidad Si el mantenimiento de las estructuras de acero es adecuado durarán indefinidamente.

Ductibilidad La ductibilidad es la propiedad que tiene un material de soportar grandes

deformaciones sin fallar bajo altos esfuerzos de tensión. Cuando se prueba a tensión un acero con bajo contenido de carbono, ocurre una

reducción considerable de la sección transversal y un gran alargamiento en el punto de falla, antes de que se presente la fractura. Una material que no tenga esta propiedad probablemente será duro y frágil y se romperá

al someterlo a un golpe repentino.

Tenacidad Esta es una característica muy importante porque implica que los miembro de acero pueden someterse a grandes deformaciones durante su

fabricación y montaje. Sin fracturarse, siendo posible doblarlos, martillarlos, cortarlos y taladrarlos sin año aparente. La propiedad de un material para absorber energía en grandes cantidades se denomina

tenacidad.

Propiedades diversas Otras ventajas importantes del acero estructural son: a) gran facilidad para unir diversos miembros por medio de varios tipos de conectores como

son la soldadura, los tornillos y los remaches, (b) posibilidad de prefabricar los miembros, (c) rapidez de montaje, (d) gran capacidad para laminarse en

una gran cantidad de tamaños y formas (e) resistencia a la fatiga (f) rehusó posible después de desmontar una estructura y (g) posibilidad de venderlo como chatarra auque no pueda utilizarse en su forma presente.

DESVENTAJAS DEL ACERO COMO MATERIAL ESTRUCTURAL

Costo de mantenimiento La mayor parte de los aceros son susceptibles a la corrosión al estar expuestos al aire y al agua y, por consiguiente, deben pintarse

periódicamente. Costo de la protección contra el fuego

El acero es un excelente conductor de calor, de manera que los miembros de acero sin protección pueden transmitir suficiente calor de una sección o

comportamiento incendiado de un edificio a secciones adyacentes del

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mismo edificio debe protegerse con materiales con ciertas características

aislantes o el edificio deberá acondicionarse con un sistema de rociadores para que cumpla con los requisitos del código de construcción de la

localidad en que se halle. Susceptibilidad al pandeo

Entre más largos y esbeltos sean los miembros a compresión, mayor es el peligro de pandeo.

Fatiga Otras características inconveniente del acero es que su resistencia puede

reducirse si se somete a un gran número de inversiones del signo del esfuerzo, o bien, a un gran número de cambios de la magnitud del esfuerzo de tensión.

Fractura frágil

Bajo ciertas condiciones, el acero puede perder su ductibilidad y presentarse una fractura frágil en lugares con concentración de esfuerzos. Las cargas que generan fatiga junto con temperaturas muy bajas, agravan

la situación que los valores obtenidos para una estructura de concreto reforzado son relativamente imprecisos.

PERFILES DE ACERO ESTANDAR

La categoría mas grande de perfiles estándar es aquella que se refiere a los

perfiles rolados en caliente , en la figura siguiente se muestra secciones transversales de algunos de los perfiles rolados en caliente mas usados . Las dimensiones y designaciones de los perfiles estándar disponibles están

definidos en las normas ASTM .El perfil W llamado también perfil de patín ancho,consiste en dos patines paralelos separados una sola alma . La

orientación de esos elementos es tal que la sección transversal tiene dos ejes de simetría . Una designación típica seria W18x50 , donde W indica el tipo de perfil , 18 es el peralte nominal paralelos al alma y 50 es el peso en

libras por pie de longitud . El peralte nominal es es el peralte aproximado expresado en pulgadas enteras . Para algunos perfiles mas livianos el el peralte nominal es igual al peralte dado a la pulgada mas cercana.

El perfil S es similar al perfil W ya que tiene dos patines , una sola alma y dos ejes de simetría . La diferencia esta en sus proporciones . los patines

del perfil W son mas anchos en relación al alma de los patines de perfil S Ademas la cara exterior e interior de los patines de perfil W son paralelos mientras que las caras interiores de los patines de perfil S están

inclinadas con respecto a las caras exteriores .Ejemplo de la designación de un perfil S es S18X70 , donde la S indica el tipo de perfil y los dos

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números dan el peralte en pulgadas y el peso en libras por pie . Este perfil

se llamaba antes viga I. Los perfiles angulares existen en las versiones de lados iguales y de lados

desiguales ,una designación típica seria L6x6x3/4 , los tres números son la longitud de cada uno de los lados medidas desde la esquina hasta la punta del otro extremo del lado y el espesor que es el mismo para ambos

lados . En el caso de ángulos de lados desiguales se da siempre primero la dimensión del lado mas largo, aunque esta designación proporciona todas las dimensiones , ella no da el peso por pie del ángulo.

El perfil en C tiene dos patines y un alma con solo un eje de simetría esta tiene una designación C9x20 ,esta notación es similar a la de los perfiles

W y S , donde el primer número da el peralte total paralelo al alma en pulgadas y el segundo da el peso en libras por pie lineal . Sin embargo para la canal el peralte es exacto en vez de nominal .

La T estructural resulta de recortar un perfil W, o S ala mitad de su altura .El prefijo es WT , o ST .Por ejemplo WT18x115 tiene un peralte nominal

de 18pulgadas y un peso de 115 libras por pie y es recortado de un perfil W36x230. El perfil HP usado para pilotes , tiene superficies paralelas en sus patines , aproximadamente del mismo ancho y peralte e iguales

espesores en patines y alma.La M significa misceláneos y es un perfil que no encaja exactamente en ninguna de las categorías W,HP oS Los perfiles M y HP se designan de la misma manera que los perfiles W por ejemplo

M14x18 y HP14x117. Las barras pueden tener secciones transversales circulares , cuadradas o

rectangulares por ejemplo la barra 8x3/8 si el ancho es mayor de 8 pulgadas se clasifica como placa y si es igual o menor que 8 pulgada se clasifica como barras .También existen perfiles huecos que pueden ser

producidos doblando el material de la placa a la forma deseada y soldando la costura o bien por trabajo en caliente para producir un perfil sin costura

Esos perfiles huecos de acero se designan HSS. Ejemplos de este sistema de abreviaturas son los siguientes:

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ACERO ESTRUCTURAL Las propiedades del acero pueden cambiarse en gran medida variando las

cantidades presentes de carbono y añadiendo otros elementos como silicio, níquel, manganeso y cobre. Una acero que tenga cantidades considerables de estos últimos elementos se denominará acero aleado. Aunque esos

elementos tienen un gran efecto en las propiedades del acero, las cantidades de carbono y otros elementos de aleación son muy pequeñas.

Por ejemplo, el contenido de carbono en el acero es casi siempre menor que el 0.5% en peso y es muy frecuente que sea de 0.2 a 0.3%.

La composición química del acero es de suma importancia en sus efectos sobre las propiedades del acero tales como la soldabilidad, la resistencia a la corrosión, la resistencia al a fractura, etc. El carbono presente en el

acero incrementa su dureza y resistencia, pero al mismo tiempo reduce su ductibilidad igual que no lo hacen fósforo y el azufre. La ASTM especifica

los porcentajes exactos máximos de carbono, manganeso, silicio, etc., que se permiten en los aceros estructurales. Aunque las propiedades físicas y mecánicas de los perfiles de acero las determina principalmente su

composición química, también influye en ellas, hasta cierto punto, el proceso de laminado, la historia de sus esfuerzos y el tratamiento térmico aplicado.

Los aceros estructurales se agrupan generalmente según varias

clasificaciones principales de la ASTM: los aceros de propósito general A36, los aceros estructurales al carbono A 529 los aceros estructurales de alta resistencia y baja aleación A 44 y A 572, los aceros estructurales de

alta resistencia, baja aleación y resistentes a la corrosión atmosférica (A 242 y A588) y la placa de acero templada y revenida (A514 y A852).

ACEROS AL CARBONO

Estos aceros tienen como principales elementos de resistencia al carbono y al manganeso en cantidades cuidadosamente dosificadas. Los aceros al

carbono son aquellos que tienen los siguientes elementos con cantidades máximas de 1.7% de carbono, 1.65% de manganeso, 0.60% de silicio y .60% de cobre. Estos aceros se dividen en cuatro categorías dependiendo

del porcentaje de carbono, como sigue:

1. Acero de bajo contenido de carbono 0.155.

2. Acero dulce al carbono 0.15 a 0.29%. (El acero estructural al

carbono queda dentro de esta categoría). 3. Acero medio al carbono (0.30 a 0.59%).

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4. Acero con alto contenido de carbono (0.60 a 1.70%).

El acero A36 con un esfuerzo de fluencia de 36 klb/plg2 es adecuado para

puentes y edificios atornillados, soldados o remachados. Se usa para la mayoría de los problemas de diseño en este texto.

CARGAS MUERTAS

Las cargas muertas son cargas de magnitud constante que permanecen

fijas en un mismo lugar. Estas son el peso propio de la estructura y otras cargas permanentemente unidas a esta. Para un edificio con estructura de acero, algunas de las cargas muertas se deben a la estructura en sí los

muros, los pisos, el techo, la plomería, etc.

Para diseñar una estructura es necesario estimar los pesos o cargas muertas de sus partes. Los tamaños y peso exactos de las partes no se conocen, hasta que se hace el análisis estructural y se seleccionan los

miembros de la estructura. Los pesos determinados de acuerdo con el diseño deben compararse con los pesos estimados. Si se tienen grandes discrepancias, será necesario repetir el análisis y efectuar el diseño con

una estimación más precisa de las cargas.

Una estimación razonable de las cargas en la estructura, puede hacerse con base en otras similares o en formulas y tablas diversas disponibles en varias localidades.

CARGAS VIVAS

Las cargas vivas son aquellas que pueden cambiar de lugar y magnitud. Son vivas las cargas móviles y aquellas que pueden ser desplazadas, como

muebles materiales en un almacén, nieve, etc. se denominan cargas móviles. Otras cargas vivas son aquellas causadas al construir.

1. CARGAS DE PISO

Es el peso de las cosas vivas. El peso mínimo de las cargas que debe usarse en el diseño de pisos de edificios se especifican claramente en los códigos de construcción.

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2. CARGAS DE NIEVE

Las cargas de nieve son cargas viva que actúan sobre los techos .La carga

de nieve se toman con respecto a la proyección horizontal del techo . Aun en áreas donde las cargas de nieve sean mínima, se debe usar una carga viva de techo mínima, el NBC (National Building Code) estipula que se use

la mayor de las cargas de nieve o 20lb/pie2 o 1KPa.Como 10 pulg de nieve son aproximadamente a 1pulg de agua , una carga de nieve de 20lb/pie2 corresponde a una profundidad de nieve sobre el techo de casi 40pulg

valor que es fácil obtener donde ocurran ventiscas. Sin embargo cuando as lluvias caigan sobre la nieve , la nieve saturada pesa considerablemente

mas el peso unitario puede aproximarse al del agua.

3. Lluvia

Aunque las cargas de nieve son un problema más serio que las cargas de lluvia en los techos comunes, la situación puede invertirse en los techos, especialmente aquellos localizados en lugares con clima cálido. Si el agua

en un techo sin pendientes se acumula más rápidamente que lo que tarda en escurrir, el resultado se denomina encharcamiento; la carga aumentada ocasiona que el techo se deflexione en forma de plato, que entonces puede

contener más agua lo que a su vez causa mayores deflexiones, etc. este proceso continua hasta que se alcanza el equilibrio o el colapso de la

estructura. El encharcamiento es un problema muy serio como lo atestigua el gran número de fallas que ocurren en techos horizontales cada año en los Estados Unidos durante la temporada de lluvias.

El encharcamiento ocurre en alguna medida en casi todo techo horizontal

aunque se disponga de drenes para el desagüe. Los drenes del techo pueden resultar insuficientes durante fuertes tormentas o estar atrapados parcial o totalmente. El mejor método para prevenir el encharcamiento, es

darle al techo una pendiente adecuada. 4. Cargas.

De tránsito en puentes. Los puentes están sujetos a una serie de cargas concentradas de magnitud variable causadas por grupos camioneros y

ruedas de trenes. 5. Cargas de impacto.

Las cargas de impacto las causan la vibración de las cargas móviles. Es obvio que un bulto arrojado al piso de un almacén o un camión que rebota sobre el pavimento irregular de un puente, causan mayores fuerzas que

las que se presentarían si las cargas se aplicarán gradualmente. Las cargas de impacto son iguales a la diferencia entre la magnitud de las

cargas realmente generadas y la magnitud de las cargas consideradas

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como muertas. Ellas son de importancia en solo algunos edificios

(usualmente en algunos tipos de edificios industriales) pero en el diseño de puentes estas cargas siempre son consideradas.

La especificación ASD (A42) requiere que las estructuras que van a soportar cargas vivas con tendencia a causar impacto, se diseñen con sus

cargas nominales supuestas incrementadas con los siguientes porcentajes mínimos.

Para soportes de elevadores 100% Para trabes de soporte de grúas con cabina

de operación y sus conexiones 25% para trabes de soporte de grúas operadas desde el piso y para sus conexiones 10%

para soportes de maquinaria con movimiento alternativo o unidades impulsadoras 50%

para tirantes que soporten pisos o balcones 33%

6. CARGAS LATERALES Las cargas laterales son de dos tipos principales de viento y de sismo. En la bibliografía de la ingeniería estructural de los últimos 150 años se reportan muchas fallas causadas por el viento. Quizá

los casos más deplorables han tenido lugar en las estructuras de puentes como el Tay en Escocia, que falló en 1879 causando la muerte de 75

personas y el puente del estrecho de Tacoma que falló en 1940. también ha tenido lugar fallas desastrosas debido al viento en edificios como el colapso del edificio de la Unión Carbide en Toronto en 1958. es importante

observar que un gran porcentaje de fallas por viento en edificios, han ocurrido durante el montaje.

(a) CARGAS DE VIENTO

Los requerimientos para el viento de la AASHTO ,para el viento en ángulo recto con el eje longitudinal es :

Tipo de puente o miembro (en el área expuesta)

Presion,Fuerza/área

Pie lb,lb/pie2 SI , KPa

Armaduras 75 3.6

Trabes y Vigas 50 2.4

Sin embargo , la carga total uniforme no debe ser menor de la siguiente: Armaduras , 300lb/pie o 4.38KPa

Trabes y vigas 150lb/pie2 o 2.9KPa Para el viento sobre la carga viva a 6pies por encima del tablero ,

100lb/pie2 o 1.46KPa. Requerimientos del área para el viento:

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Miembro del puente Presión ,fuerza/área

Claro sin carga

Lb/pie2 KPa

Claro con carga

Lb/pie2 KPa

Armaduras 50 2.5 30 1.5

Trabes y vigas 75 3.75 45 2.25

La carga total uniforme sobre el claro cargado no debe ser menor que la

siguiente: Cuerda o patín cargado 200lb/pie o 2.92KN/m Cuerda o patín sin carga 150lb/pie o 2.19KN/m

Viento sobre la carga viva a 8pies o 2.4m sobre el riel superior 300lb/pie o 4.38KN/m.

CARGAS SÍSMICAS

Los análisis sísmicos siguen dos tendencias generales . Una de ellas es tratar de modelar la estructura como un conjunto de masa y resortes y usar una computadora digital para desarrollar espectros de respuesta para

diversas aceleraciones sísmicas supuestas . El otro método consiste en obtener las aceleraciones sísmicas con base en la probabilidad sísmica ,

un periodo de excitación basado en la geometría del edificio y aplicar la ecuación de fuerza F=ma , para obtener una fuerza de aceleración que se desliza de alguna manera en los diferentes pisos , de modo que ∑Fi = F . A

continuación se da el procedimiento semiempirico para el análisis sísmico según el Uniform Building Code (NBC). La fuerza sísmica lateral que actúa sobre el edificio en cualquier dirección ,

se puede calcular usando una modificación de F=ma F = ZIKCSW

Los códigos (UBC Y NBC) permiten que el producto de los factores C yS sea CS < 0.14

El factor C se basa en el periodo fundamental del edificio , T:

C= (1/15√T) < 0.12 El periodo fundamental del edificio se obtiene como el periodo de un

resorte vibratorio que tiene la ecuación general T= 2π√m/k

Donde :

m= masa del edificio k= constante del resorte( y que se obtiene para los edificios como la suma de las contribuciones de los elementos de la estructura)

Como las constantes de resorte son difíciles de determinar , es más común

calcular el periodo del edificio usando un factor basado en la experiencia , para obtener :

T = JH/√D

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Donde J 0.05 cuando H(altura) y D(dirección lateral del edificio en la dirección que interesa) están en pies y J=0.91 cuando H y D están en

metros . Cuando la estructura esta hecha de material dúctil como el acero , se permite aproximar el periodo del edificio a :

T= 0.10x numero de pisos por encima de la base

La fuerza lateral F se distribuye como sigue: Ftope= 0.07TF ≤0.25F

Pero Ftope puede ser cero cuando T≤0.7s .La fuerza a cualquier nivel de piso

se desplaza como : Fn = (F-Ftope) (Wnhn/∑ Wnhn)

Donde :

D= Ancho del edificio en la dirección que interesa , pies o m H= Altura del edificio sobre el nivel del terreno , pies,m

hn =Altura hasta cualquier piso desde el nivel del terreno I=Factor de importancia de ocupación I= 1.5 para facilidades esenciales

I= 1.25 para salones de reuniones I=1 para otra ocupación K= Coeficiente de fuerza lateral basado en el tipo de edificio

S= Coeficiente numérico para la resonancia del sitio ; se usara S=1.5 a menos de que se disponga de datos geotécnicos mas exactos del sitio

W= Carga muerta total +25% de la carga viva en almacenes. Wn= Carga en el piso enésimo Z=Coeficiente sísmico zonal, basado en la situación geográfica del edificio.

Factor K de fuerza horizontal para edificios y otras estructuras

Tipo de estructura K 1.-Todos los edificios con sistemas de marcos totales , excepto 1

como se indica a continuación 2.-Edificios con un sistema de cajón, esto es, sinun marco 1.33

espacial completo para soportar la carga vertical ; parte de la carga de gravedad soportada por los muros de carga. 3.-Edificios con un sistema doble de contraventeo,que consiste

en un marco dúctil que resiste al momento y de muros de cortante o marcos contraventeados como sigue: a.Los marcos y los muros de cortante resisten la fuerza lateral

total de acuerdo con las rigideces relativas y con interacción entre el muro y el marco. 0.80

b.Los muros de cortante actúan independientemente de la

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capacidad resistente al momento del marco dúctil y

resisten la fuerza lateral total. c.El marco rígido debe ser capaz de resistir cuando menos el

25% de la fuerza lateral total 4.-Edificios con un marco dúctil, resistente al momento Y que puede resistir el total de la fuerza lateral 0.67

5.-Tanques elevados mas el contenido, soportados por Cuatro o mas patas contraventeadas y que no están soportados Por un edificio. 2.5

6.-Otras estructuras distintas de los edificios. 2.0

Cargas longitudinales . Las cargas longitudinales son otro tipo de carga que necesita considerarse en el diseño de ciertas estructuras. Al detenerse un tren sobre un puente o un camión en un puente carretero se generan

fuerzas longitudinales que deben considerarse. Otras cargas vivas. Existen otros tipos de suelo (como las ejercidas por la

presión lateral de la tierra en muros o las ejercidas verticalmente contra las cimentaciones), las presiones hidrostáticas (como la presión de agua sobre las cortinas de presas las fuerzas de inercia de grandes cantidades

de agua durante un sismo y las supresiones sobre tanques y estructura de cimentación) : las cargas de explosiones (causadas por explosiones roturas de la barrera del sonido, armamentos) las fuerzas térmicas (debidas a

cambios en la temperatura que ocasionan deformaciones que a su vez generan fuerzas estructurales y las fuerzas centrífugas (como las causadas

en puentes curvos por camiones o trenes o efectos similares en la montaña rusa, etc.)

SELECCIÓN DE LAS CARGAS DE DISEÑO Para ayudar al proyectista a estimar las magnitudes de las cargas vivas

necesarias en el diseño de estructuras se han elaborado a lo largo de varios años registros de esas cargas que se encuentran asentados en los

reglamentos de construcción y también en las diversas especificaciones correspondientes. Estas publicaciones proporcionan estimaciones conservadoras de las magnitudes de las cargas vivas para diversas

situaciones. Una de las especificaciones más usadas para cargas de diseño de edificios es la ya mencionada especificación ASCE . otras especificaciones muy usadas son las siguientes:

1. Para puentes de ferrocarril, de la American Railway Engineering

Association (Área). 2. Para puentes carreteros, las de AASHTO 3. Para edificios, el Uniform Building Code (UBC)

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Estas especificaciones describen claramente las cargas con que deben diseñarse las estructuras a pesar de la disponibilidad de esta información,

se requiere con frecuencia del ingenio y conocimientos del proyectista para predecir qué cargas tendría que soportar .

DEFINICIÓN DE LOS MÉTODOS DE DISEÑO ELÁSTICO Y PLASTICO

El diseño elástico o método de la ASD , se basa en la relación lineal esfuerzo-deformación hasta el límite elástico , pero se reconoce

implícitamente el comportamiento del acero más allá del límite elástico. El diseño elástico como se usa comúnmente coloca el esfuerzo límite del acero en el esfuerzo de fluencia Fy , un esfuerzo de diseño que usara el

esfuerzo de Fy en el procedimiento de diseño elástico tendrá un factor de seguridad , todas las estructuras de acero existentes, se diseñaron con

métodos elásticos. El proyectista estima las cargas de trabajo o servicio, es decir, las cargas que la estructura tiene que soportar y diseña los miembros estructurales con base en ciertos esfuerzos permisibles. Estos

usualmente son cierta fracción del esfuerzo mínimo de fluencia especificado del acero. Aunque el término “diseño elástico” se usa comúnmente para describir este método, los términos diseño por esfuerzos

permisibles o diseño por esfuerzos de trabajo son más apropiados. Se ha visto que la ductilidad del acero proporciona una reserva de

resistencia y esta circunstancia es la base de diseño plástico. En este método, las cargas de trabajo se estiman y se multiplican por ciertos factores de seguridad o de sobrecapacidad y los elementos estructurales se

diseñan entonces con base en sus resistencias al colapso. Otro nombre que se da a este método es el diseño colapso.

Los proyectistas saben desde hace mucho tiempo que la mayor parte de la curva esfuerzo – deformación, se encuentra más allá del límite elástico del

acero. Los estudios experimentales de muchos años han mostrado que los aceros pueden resistir esfuerzos considerablemente mayores que sus esfuerzos de fluencia, y que en casos de sobrecarga, gracias a la ductilidad

del acero. Con base en esta información se han hecho muchas propuestas de diseño plástico en las últimas décadas. Indudablemente para cierto

tipo de estructuras es un hecho que con el diseño plástico se puede lograr un uso más económico del acero que con el diseño elástico. Sin embargo, el método plástico de diseño no se ha generalizado entre los proyectistas

de acero estructural y rara vez se usa en la práctica. A pesar de esto, el conocimiento de este método de diseño es sumamente útil para entender el comportamiento del acero estructural.

20

DISEÑO CON FACTORES DE CARGA Y RESISTENCIA (LRFD)

El AISC edita también el Manual of Steel Construction Load Resistant Factor Design (Manual de Construcción de Acero con Diseño por Factores de Carga y Resistencia). Este método de diseño, abreviado LRFD combina

el cálculo de estados límites de resistencia y servicio con un enfoque probabilístico de la seguridad.

El LRFD es similar al diseño plástico en tanto que considera la condición de falla o de resistencia última. Las cargas se multiplican por factores de

carga (mayores que 1.0) y los miembros se diseñan para proporcionar suficiente resistencia frente a las cargas factorizadas. Además, la capacidad nominal o teórica de cada miembro se multiplica por un factor

de resistencia menor que 1.0 (para tomar en cuenta variaciones en las propiedades del material y en las dimensiones del miembro). El criterio

LRFD se puede expresar como: Resistencia útil o de diseño Efectos de las cargas factorizadas

4h

ARMADURAS PLANAS Y ESPACIALES

Una armadura es un montaje de miembros rectos conectados en sus

extremos por conexiones flexibles para formar una configuración rígida. En

virtud de su peso ligero y su alta resistencia, las armaduras se usan con

amplitud y sus aplicaciones van desde soportar puentes y tejados de

edificios hasta ser soporte de estructuras en estaciones espaciales. Las

armaduras modernas se construyen al conectar los miembros, que suelen

consistir en acero estructural, perfiles de aluminio o puntuales de

madera, a escuadras de ensamble por medio de conexiones con pernos o

soldadas.

Como se discutió en la sección 1.4, si todos los miembros de una

armadura y las cargas aplicadas se encuentran en un solo plano, se dice

que la armadura es una armadura plana.

Por lo común, las armaduras planas se usan para soportar

plataformas de puentes y tejados de edificios. En la sección 1.4, se

describió un sistema de típico de armazón para los puentes de armadura.

En la figura 4.3, se muestra un sistema típico de armazón para un tejado

soportado por armaduras planas. En este caso, dos o más armaduras se

21

conectan en sus uniones (nodos) por medio de vigas, denominadas

largueros, para formar un armazón tridimensional. El tejado se sujeta a

los largueros, los cuales trasmiten la carga del tejado (peso del tejado más

cualquier otra carga debida a nieve, viento, etc.), así como su propio peso,

a las armaduras de apoyo en los nodos. Debido a que esta carga aplicada

actúa sobre cada armadura en su propio plano, las armaduras se pueden

tratar como planas. En las figuras 4.4 y 4.5 se muestran algunas de las

configuraciones comunes de las armaduras para puentes y tejados,

muchas de las cuales han recibido el nombre de sus diseñadores

originales.

El objetivo de este capítulo es desarrollar el análisis de fuerzas sobre

los miembros de armaduras planas y espaciales, estáticamente

determinadas. Se empieza por discutir las hipótesis básicas que

fundamentan el análisis presentado en este capítulo y, a continuación, se

consideran el número y la disposición de los miembros necesarios para

formar armaduras planas internamente estables, o rígidas. Como parte de

está discusión, se definen las armaduras simples y compuestas. También

se presentan las ecuaciones de condición que por lo común se encuentran

en las armaduras planas. Enseguida, se establece la clasificación de las

armaduras planas como estáticamente determinadas, indeterminadas e

inestables, y se presentan los procedimientos para el análisis de las

armaduras planas simples por los métodos de los nodos y de las secciones.

Se concluye con un análisis de las armaduras planas compuestas, una

breve discusión de las armaduras complejas y el análisis de las armaduras

espaciales.

22

23

HIPÓTESIS EN RELACIÓN CON EL ANÁLISIS DE ARMADURAS

El análisis de las armaduras suele basarse en las hipótesis simplificadas

siguientes:

1. Todos los miembros están conectados sólo en sus extremos por

articulaciones sin fricción, en las armaduras planas, y por

articulaciones de rótula sin fricción, en las armaduras espaciales.

2. Todas las cargas y reacciones en los apoyos están aplicadas sólo en

los nodos.

3. El eje central de cada miembro coincide con la línea que une los

centros de los nodos adyacentes.

24

La razón para establecer estas hipótesis es obtener una armadura ideal,

cuyos miembros sólo estén sujetos a fuerzas axiales. Como cada miembro

de una armadura ideal está conectado en sus extremos por articulaciones

sin fricción (hipótesis 1) sin cargas aplicadas entre sus extremos

(hipótesis 2), el miembro estaría sujeto sólo a dos fuerzas en sus extremos,

como se muestra en la figura 4.7 (a). Dado que el miembro está en

equilibrio, la fuerza resultante y el par resultante de las dos fuerzas FA y FB

deben ser cero; es decir, las fuerzas deben satisfacer las tres ecuaciones

de equilibrio. A partir de la figura 4.7(a), se puede ver que para que la

fuerza resultante de las dos fuerzas sea cero ( 00 yx FyF ), esas dos

fuerzas deben tener magnitudes iguales pero sentidos opuestos. Para que

su par resultante también sea igual a cero M=0, las dos fuerzas deben ser

colineales es decir, deben tener la misma línea de acción. Es más, dado

que el eje centroidal de cada miembro de la armadura es una recta que

coincide con la que conecta los centros de los nodos adyacentes (hipótesis

3), el miembro no está sujeto a momento flexionante ni a fuerza cortante y

está a tensión axial (siendo alargado, como se muestra en la figura 4.7(b)),

o bien, a comprensión axial (siendo acortado, como se muestra en la figura

4.7(c)). Esas fuerzas axiales sobre los miembros, determinadas a partir del

análisis de una armadura ideal, se llaman fuerzas primarias.

En las armaduras reales se construyen al conectar los miembros a

escuadras de ensamble por medio de conexiones soldadas o con pernos.

(Fig. 4.8) Incluso, algunos miembros de la armadura pueden ser continuos

en los nodos. Además, aunque, en efecto, las cargas externas son

transmitidas a las armaduras en los nodos por medio de vigas de piso,

largueros, etc. Los pesos muertos de los miembros se distribuyen a lo

largo de sus longitudes. Los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes

y axiales causadas por éstas y por otras desviaciones por lo general se

mencionan como fuerzas secundarias. Aunque las fuerzas secundarias no

se pueden eliminar, en la mayor parte de las armaduras se pueden reducir

de manera apreciable al usar miembros más o menos esbeltos y al diseñar

las conexiones de modo que los ejes centroidales de aquellos miembros

que encuentran en un nodo sean concurrentes en un punto como se

muestra en la figura 1.13). En las armaduras de este tipo, las fueras

secundarias son pequeñas en comparación con las primarias y, por lo

general, no se consideran en sus diseños.

25

DISPOSICIÓN DE LOS MIEMBROS DE ARMADURAS PLANAS;

ESTABILIDAD INTERNA

Con base en la discusión llevada a cabo en la sección 3.4; se puede definir

una armadura plana como internamente estable si el número y la

disposición geométrica de sus miembros es tal que la propia armadura no

cambia su forma y sigue siendo un cuerpo rígido cuando se separa de sus

apoyos. En este caso, se usa el término interno para referirse al número y

disposición de los miembros contenidos en la armadura. La inestabilidad

debida a un número insuficiente de apoyos externos o debido a la

disposición inadecuada de estos apoyos se menciona como externa.

Armaduras simples

Se puede agrandar el elemento básico de armadura ABC de la figura, al

agregar dos nuevos miembros, BD y CD, a dos de los nodos existentes, B y

C, y al conectarlos para formar un nuevo nodo D, como se muestra en la

figura. En tanto que el nuevo nodo D no se encuentre sobre la recta que

pasa por lo nodos existentes, B y C, la nueva armadura agrandada será

internamente estable. La armadura se puede agrandar todavía más al

repetir el mismo procedimiento (como se muestra en la figura) tantas veces

como se desee. Las armaduras construidas por este procedimiento se

llaman armaduras simples. El lector debe examinar las armaduras

ilustradas en la figuras, con el fin de verificar que cada una de ellas, con la

excepción de la Baltimore y la Fink, es una armadura simple. En estas

figuras, el elemento básico de las armaduras simples se identifica como

ABC.

Una armadura simple se forma al agrandar el elemento básico de

armadura, el cual contiene tres miembros y tres nodos, al añadir dos

miembros adicionales por cada nodo adicional, de modo que el número

total de miembros m en una armadura simple se expresa por

m = 3 + 2(j-3) = 2j – 3

en la cual j = número total de nodos (incluyendo aquellos fijados a los

apoyos).

26

Armaduras compuestas

Las armaduras compuestas se construyen al conectar dos o más

armaduras simples para formar un solo cuerpo rígido. Para impedir

cualquier movimiento relativo entre las armaduras simples, cada

armadura debe conectarse a la otra, o a las otras, por medio de conexiones

capaces de transmitir por lo menos tres componentes de fuerzas, no

siendo todas paralelas ni concurrentes. En la figura, se muestran dos

ejemplos de disposiciones de las conexiones usadas para formar

armaduras compuestas. En la figura, dos armaduras simples, ABC y DEF,

27

están conectadas por tres miembros, BD, CD y BF, las cuales son no

paralelos y no concurrentes. En la figura, se muestra otro tipo de

disposición de conexión. Esta comprende la conexión de las dos

armaduras simples ABC y DEF por un nodo común C y un miembro BD.

Para que la armadura compuesta sea internamente estable, el nodo común

C y los nodos B y D no deben encontrarse sobre una recta. La relación

entre el número total de miembros, m y el número total de nodos j, para

una armadura compuesta internamente estable, sigue siendo la misma

que para las simples. Esta relación, la cual se expresa por la ecuación, se

puede verificar con facilidad para las armaduras compuestas que se

muestran en la figura.

28

Estabilidad interna

La ecuación expresa el requisito del número mínimo de miembros que una

armadura plana de j nodos debe contener, si debe ser internamente

estable. Si una armadura plana contiene m miembros y j nodos, entonces

si:

m < 2j – 3 la armadura es internamente inestable

m 2j – 3 la armadura es internamente estable

Es muy importante darse cuenta que aun cuando el criterio planteado

para la estabilidad interna es necesario, no es suficiente para garantizar

esa estabilidad. Una armadura no sólo debe contener miembros suficientes

para satisfacer la condición m 2j-3, sino que los miembros también deben

estar dispuestos de manera apropiada para garantizar la rigidez de la

armadura completa. Recuérdese, con base en la discusión acerca de las

armaduras simples y compuestas, que en una armadura estable, cada

nodo está conectado al resto de la estructura por lo menos de dos

miembros no paralelos, y cada parte de la armadura debe estar conectada

al resto de la misma por conexiones capaces de transmitir al menos tres

componentes de fuerzas no paralelas y no concurrentes.

Ejemplo: Clasifique cada una de las armaduras planas que se muestran

en la figura 4.12 como internamente estable o inestable.

Solución.- (a) La armadura que se muestra en la figura 4.12(a) contiene 20

miembros y 12 nodos. Por lo tanto, m =20 y 2j -3 = 2(12)-3 = 21. Ya que m

es menor que 2j -3, esta armadura no tiene un número suficiente de

miembros para formar un cuerpo rígido; por lo tanto, es internamente

inestable. Una observación cuidadosa de la armadura hace ver que

contiene dos cuerpos rígidos. ABCD y EFGH, conectados por dos

miembros paralelos, BE y DG. Estos dos miembros horizontales no pueden

impedir el desplazamiento relativo en la dirección vertical de una de las

partes rígida de la armadura con respecto a la otra.

(b) La armadura que se muestra en a figura 4.12(b) es la misma que la de

la figura 4.12 (a), excepto que ahora se ha agregado, un miembro diagonal

DE para impedir el desplazamiento relativo entre las dos partes, ABCD y

EFGH. La armadura entera ahora actúa como un solo cuerpo rígido. La

adición del miembro DE aumenta el número de miembros a 21 (en tanto

29

que el número de nodos sigue siendo el mismo, 12), con lo que se satisface

la ecuación m=2j-3. La armadura ahora es internamente estable.

(c) A la armadura de la figura 4.12 (b) se le añaden cuatro diagonales más,

para obtener la que se muestra en la figura 4.12(c), incrementando de este

modo m hasta 25, en tanto que j permanece constante en 12. Debido a que

m > 2j -3, la armadura es internamente estable. Asimismo, como la

dirección m-(2j – 3) = 4, la armadura contiene cuatro miembros más de los

requeridos para la estabilidad interna.

(d) La armadura que se muestra en la figura 4.12(d) se obtiene de la que

se ilustra en la figura 4.12(c) al eliminar dos diagonales, BG y DE, del

panel BE. con lo cual se disminuye m hasta 23; j permanece constante en

12. Aun cuando m - (2j - 3) = 2 –es decir, la armadura contiene dos

miembros más que el mínimo requerido para la estabilidad interna- sus

dos partes rígidas, ABCD y EFGH, no están conectadas en forma

apropiada par formar un solo cuerpo rígido. Por lo tanto, el armadura es

internamente inestable.

(e) La armadura que se muestra en la figura 4.12(e) es internamente

inestable porque m = 26 Y j = 15, lo que da m < 2j - 3. Esto también se ve

claro en el diagrama de la armadura. en el cual se muestra que las partes

ABE y CDE de la misma pueden girar cada una con respecto a la otra. La

diferencia m - (2j - 3) = -1 indica que esta armadura tiene un miembro

menos que los requeridos para la estabilidad interna.

(f) En la figura 4.12(f), se ha agregado un miembro BC a la armadura de la

figura 4.12(e), el cual impide el movimiento relativo de las dos partes ASE

y CDE, con lo que se hace que la armadura sea internamente estable.

Como ahora se ha incrementado m hasta 27, satisface la ecuación m=2j-

3, para j=15.

(g) La armadura de torre que se muestra en la figura 4.12(g) tiene 16

miembros y 10 nodos. En virtud de que m< 2j – 3, la armadura es

internamente inestable. Esto también resulta obvio a partir de la figura

4.12(g), la cual muestra que el miembro BC puede girar con respecto al

resto de la estructura. Esta rotación puede ocurrir porque el nodo C está

conectado por solo un miembro, en lugar de los dos requeridos para

restringir por completo un nodo de una armadura plana. Resp.

(h) En la figura 4.12(h), se ha agregado un miembro AC a la armadura de

la figura 4.12(g), lo cual la hace internamente estable. En este caso, m =

17 Y j = 10, de modo que se satisface la ecuación m = 2j - 3. Resp.

30

ECUACIONES DE CONDICIÓN PARA LAS ARMADURAS PLANAS

En la sección 3.4, se indicó que los tipos de conexiones usadas para

conectar partes rígidas de estructuras internamente estables dan lugar a

ecuaciones de condición que, junto con las tres ecuaciones de equilibrio,

se pueden usar para determinar las reacciones necesarias para restringir

por completo esas estructuras.

En la figura 4.13, se muestran tres tipos de disposiciones de

conexiones de uso común para unir dos armaduras rígidas con el fin de

formar una sola armadura (internamente estable). En la figura 4.13(a), dos

armaduras rígidas, AB y BC, están conectadas entre sí para una

articulación interna en B. Puesto que una articulación interna no puede

transmitir momento, da lugar a una ecuación de condición:

0AB

BM ó 0BC

BM

En la figura 4.13(b), se muestra otro tipo de disposición de la conexión.

Esta comprende la conexión de dos armaduras rígidas, AB y CD, por medio

de dos miembros paralelos. Como estas barras paralelas horizontales no

pueden transmitir fuerza en la dirección perpendicular a ellas, este tipo de

conexión proporciona una ecuación de condición:

0AB

yF ó 0CD

yF

Otro tipo de disposición de conexión comprende conectar dos armaduras

rígidas. AB y CD, por un solo eslabón, BC, como se muestra en la figura

4.13(c). Como un eslabón no puede transmitir momento ni fuerza en la

dirección perpendicular a él, da lugar a dos ecuaciones de condición:

Como se indicó en el capítulo anterior, se pueden usar estas

ecuaciones de condición, con las tres ecuaciones de equilibrio, para

determinar las reacciones desconocidas de las armaduras planas

estáticamente determinadas externamente. El lector debe verificar que las

tres armaduras mostradas en la figura 4.13 son estáticamente

determinadas externamente.

31

32

DETERMINACIÓN, INDETERMINACIÓN E INESTABILIDAD ESTÁTICAS

DE LAS ARMADURAS PLANAS

Se considera que una armadura es estáticamente determinada, si las

fuerzas en todos sus miembros, así como todas las reacciones externas, se

pueden determinar al usar las ecuaciones de equilibrio.

Como los dos métodos de análisis presentados en las secciones siguientes

se pueden usar sólo para analizar armaduras estáticamente determinadas,

es importante que el estudiante sea capaz de reconocer las armaduras de

este tipo, antes de proceder con el análisis.

33

Considérese una armadura plana sujeta a las cargas externas P1 y P2,

como se muestra en la figura 4.14(a). En la figura 4.14(b), se muestran los

diagramas de cuerpo libre de los cinco miembros y de los cuatro nodos.

Cada miembro está sujeto a dos fuerzas axiales en sus extremos, los

cuales son colineales (con el eje centroidal del miembro) e iguales en

magnitud pero de sentidos opuestos. Nótese que, en la figura 4.14(b), se

supone que todos los miembros se encuentran a tensión; es decir, las

fuerzas están tirando de los miembros. Los diagramas de cuerpo libre de

os nodos muestran las mismas fuerzas que actúan sobre los miembros,

pero en direcciones opuestas, de acuerdo con la tercera ley de Newton. El

análisis de la armadura comprende el cálculo de las magnitudes de las

cinco fuerzas que actúan sobre los miembros, FAB, FAC, FBC, FBD y FCD (las

líneas de acción de estas fuerzas se conocen) y las tres reacciones, Ax, Ay y

By. Por lo tanto, el número total de cantidades desconocidas que deben

determinarse es de ocho.

Si suponemos que la armadura completa está en equilibrio, cada uno de

sus nodos también debe estar en equilibrio. Como se muestra en la figura

4.14(b), en cada nodo, las fuerzas internas y externas forman un sistema

de fuerzas coplanares y concurrentes, las cuales deben satisfacer las dos

ecuaciones de equilibrio, 0xF y 0yF . Ya que la armadura contiene

cuatro nodos, el número total de ecuaciones de las que se dispone es de

2(4) = 8. Se pueden resolver estas ocho ecuaciones de equilibrio de los

nodos para calcular las ocho incógnitas. Por lo tanto, la armadura plana

de la figura 4.14(a) es estáticamente} determinada.

Se podrían escribir tres ecuaciones de equilibrio de la armadura completa

como un cuerpo rígido y resolver para las tres reacciones desconocidas (Ax,

Ay y By). Sin embargo, estas ecuaciones de equilibrio (así como las

ecuaciones de condición en el caso de las armaduras internamente

inestables) no son independientes de las ecuaciones de equilibrio de los

nodos y no contienen información adicional.

Con base en la discusión precedente, se pueden desarrollar los criterios

para la determinación, indeterminación e inestabilidad estáticas de las

armaduras planas generales que contengan m miembros y j nodos y estén

apoyadas por r (número de reacciones externas; esto es, se necesita

calcular un total de m+r cantidades desconocidas. Dado que se tienen j

nodos y se pueden escribir dos ecuaciones de equilibrio

( 00 yx FyF ) para cada uno de ellos, el número total de ecuaciones

34

de equilibrio de las que se dispone es de 2j. Si el número de incógnitas

(m+r) para una armadura es igual al número de ecuaciones de equilibrio

(2j) –es decir, m+r =2j- pueden determinarse todas las incógnitas al

resolver las ecuaciones de equilibrio y la armadura es estáticamente

determinada.

Si una armadura tiene más incógnitas (m+r) que las ecuaciones de

equilibrio de las que se dispone (2j) –es decir, m+r>2j- no pueden

determinarse todas las incógnitas al resolver las ecuaciones de equilibrio

de las que se dispone. Se dice que una armadura de este tipo es

estáticamente indeterminada. Las armaduras estáticamente

indeterminadas tienen más miembros o reacciones externas, o ambas

cosas, que los mismos requeridos para contar con la estabilidad. Los

miembros y las reacciones en exceso se dice que son redundantes y el

número de esos miembros} y reacciones en exceso se conoce como grado

de indeterminación estática, i, la cual se puede expresar como

i=(m+r) – 2j

Si el número de incógnitas (m+r) para una armadura es menor que el

número de ecuaciones de equilibrio de los nodos (2j) – esto es, m+r < 2j- se

dice que la armadura es estáticamente inestable. La inestabilidad estática

puede deberse a que la armadura tiene menos miembros que el número

requerido para contar con la estabilidad interna, o bien, a un número

insuficiente de reacciones externas, o a ambas condiciones.

Las condiciones de la inestabilidad, determinación e indeterminación

estáticas de las armaduras planas se pueden resumir como sigue:

m+r < 2j armadura estáticamente inestable

m+r = 2j armadura estáticamente determinada

m+r > 2j armadura estáticamente indeterminada

La primera condición para la inestabilidad estática de las armaduras, es

tanto necesaria como suficiente en el sentido de que si m<2j-c, se tiene la

certidumbre de que la armadura es estáticamente inestable. Empero, las

dos condiciones restantes, para la determinación estática (m=2j-r) y la

indeterminación (m>2j-r), son condiciones necesarias pero no suficientes.

En otras palabras, estas dos reacciones sencillamente expresan que el

número de miembros y de reacciones es suficiente para tener estabilidad.

No dan información referente a su disposición. Una armadura puede tener

un número suficiente de miembros y de reacciones externas, pero toda vía

35

puede ser inestable debido a una disposición inapropiada de los miembros

o de los apoyos externos, o de ambos.

Se hará hincapié que para que los criterios referentes a la determinación e

indeterminación estáticas, según se dan por las ecuaciones (4.3) y (4.4),

sean válidos, la armadura debe ser estable y actuar como un solo cuerpo

rígido, bajo un sistema general de carga coplanares, cuando se sujeta a los

apoyos. Las armaduras internamente estables deben estar apoyadas al

menos por tres reacciones, las cuales no todas deben ser paralelas ni

concurrentes. Si una armadura es internamente estable, entonces debe

estar apoyada por reacciones iguales en número a por lo menos tres más

el número de ecuaciones de condición (3+ec), y no todas las reacciones

deben ser paralelas ni concurrentes. Además, cada nodo, miembro y parte

de la armadura debe estar restringida contra todos los movimientos

posibles de un cuerpo rígido e el plano de esa armadura, sea por el resto

de ésta o por los apoyos externos. Si una armadura contiene un número

suficiente de miembros, pero no están dispuestos de manera apropiada, se

dice que tiene forma crítica. Para algunas armaduras, puede no resultar

obvio a partir de los dibujos si sus miembros está o no dispuestos de

manera apropiada. Sin embargo, si la disposición de los miembros no es

apropiada, resultará evidente durante el análisis de la armadura. El

análisis de una armadura inestable de este tipo siempre conducirá a

resultados incoherentes, indeterminados o infinitos.

Ejemplo: Clasifique cada una de las armaduras planas que se muestran

en la figura 4.15 como inestable, estáticamente determinada o

estáticamente indeterminada. Si la armadura es estáticamente

indeterminada, determine entonces el grado de indeterminación estática.

Solución

(a) La armadura que se muestra en la figura 4.15(a) contiene 17 miembros

y 1 nodos, y se encuentra apoyada por 3 reacciones. Por tanto, m+r=2j.

Como las tres reacciones no son paralela ni concurrentes y los miembros

de la armadura están dispuestos en forma apropiada, es estáticamente

determinada.

(b) Para esta armadura, m=17, j=10 y r=2. Debido a que m+r<2j, la

armadura es inestable.

36

(c) Para esta armadura, m=21, j=10 y r=3. Como se tiene m+r>2j, la

armadura es estáticamente indeterminada, con el grao de indeterminación

i=(m+r)-2j=4. Debe resultar obvio a partir de la figura 4.15(c) que la

armadura contiene cuatro miembros más que los requeridos para la

estabilidad.

(d) En esta armadura, se tiene m = 16, j=10 y r=3. La armadura es

inestable, ya que m+r<2j.

(e) Esta armadura está compuesta de dos partes rígidas, AB y BC,

conectadas por una articulación interna en B. La armadura tiene m=26,

j=15 y r=4. De este modo, m+r=2j. Las cuatro reacciones no son paralelas

ni concurrentes y la armadura completa está restringida de manera

apropiada, de modo que es estáticamente determinada.

(f) Para esta armadura, m =10, j= 7 y r=3. En virtud de que m+r<2j, la

armadura es inestable.

(g) En la figura 4.15(g), se ha agregado un miembro BC a la armadura de

la figura 4.15(f), el cual impide la rotación relativa de las dos partes ABE y

CDE. Como m ahora se ha incrementado hasta 11, manteniéndose

constantes j, y r en 7 y 3, respectivamente, se satisface la ecuación m+r

=2j. Por consiguiente, la armadura de la figura 4.15(g) es estáticamente

determinada.

(h) La armadura de la figura 4.15(f) se estabiliza al reemplazar el soporte

de rodillo en D por uno articulado, como se muestra en la figura 4.15(h).

De este modo, el número de reacciones se ha incrementado hasta 4, pero

m y j permanecen constantes en 10 y 7, respectivamente. Con m+r=2j, la

armadura ahora es estáticamente determinada.

(i) Para la armadura de torre que se muestra en la figura 4.15(i), m=16,

j=10 y r=4. Como m+r=2j, la armadura es estáticamente determinada.

(j) Esta armadura tiene m=13, j=8 y r=3. Aunque m+r=2j, la armadura es

inestable, porque contiene dos partes rígidas ABCD y EFGH conectadas

por tres miembros paralelos, BF, CE y DH, los cuales no pueden impedir el

desplazamiento relativo, en la dirección vertical, de una de las partes

rígidas con respecto a la otra.

(k) Para la armadura que se muestra en la figura 4.15(k), m=19, j=12 y

r=5. En virtud de que m+r=2j, la armadura es estáticamente determinada.

37

ANÁLISIS DE LAS ARMADURAS PLANAS POR EL MÉTODO DE LOS

NODOS

En el método de los nodos, se determinan las fuerzas axiales en los

miembros de una armadura estáticamente determinada al considerar el

equilibrio de sus nodos (uniones). Como la armadura completa está en

equilibrio, cada uno de sus nodos también debe estar en equilibrio. En

cada nodo de la armadura, las fuerzas en los miembros y cualesquiera

cargas y reacciones aplicadas forman un sistema de fuerzas concurrentes

y coplanares (véase la figura 4.14), las cuales deben satisfacer dos

ecuaciones de equilibrio, 0xF y 0yF , para que ese nodo esté en

equilibrio. Estas dos ecuaciones de equilibrio se deben satisfacer en cada

nodo de la armadura. Sólo se tienen dos ecuaciones de equilibrio en un

nodo, de modo que no se pueden usar para determinar más que dos

fuerzas desconocidas.

El método de los nodos consiste en seleccionar un nodo con no más

de dos fuerzas desconocidas (las cuales no deben ser colineales) que

actúen sobre él y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio con el fin de

determinar esas dos fuerzas desconocidas. El procedimiento se puede

repetir hasta que se hayan obtenido todas las fuerzas deseadas. Como se

discutió en la sección anterior, se pueden determinar todas las fuerzas

desconocidas en los miembros y las reacciones a partir de las ecuaciones

de equilibrio de los nodos, pero en muchas armaduras puede no ser

posible hallar un nodo con dos o menos incógnitas, para arrancar el

análisis, a menos que las reacciones se conozcan de antemano. En esos

casos, las reacciones se calculan al usar las ecuaciones de equilibrio y de

condición (si las hay) para la armadura completa, antes de proceder con el

método de los nodos para determinar las fuerzas en los miembros.

IDENTIFICACIÓN DE LOS MIEMBROS DE FUERZA CERO

En virtud de que las armaduras suelen diseñarse para soportar varias

condiciones diferentes de carga, no es extraño encontrar miembros con fuerza de cero en ellos, cuando se está analizando una armadura para una condición particular de carga. Los miembros de fuerza cero también se

añaden a las armaduras para arriostrar los miembros a compresión contra el pandeo y los miembros esbeltos a tensión contra la vibración. Se puede

facilitar el análisis de las armaduras si se pueden identificar los miembros de fuerzo cero por inspección. Dos tipos comunes de disposiciones de los miembros de fuerzo cero por inspección. Dos tipos comunes de

38

disposiciones de los miembros que dan por resultado miembros de fuerza

cero son las siguientes:

1. Si solo se conectan dos miembros no colineales a un nodo que no tiene cargas o reacciones externas aplicadas a él, entonces la fuerza en los dos miembros es de cero.

2. Si se conectan tres miembros, dos de los cuales son colineales a un

nodo que no tiene cargas o reacciones externas aplicadas a él,

entonces la fuerza en el miembro que no es colineal es de cero.

En la fig. 4.17 (a ) se muestra el primer tipo de disposición. Consta de dos miembros no colineales, AB y AC, conectados a un nodo A. Nótese que no están aplicadas cargas ni reacciones externas al nodo. En esta fig. se

puede ver que para que se satisfaga la ecuación de equilibrio ,0Fy la

componente u de FAB es cero, se puede satisfacer; por lo tanto FAB = 0,

debido a que la componente x da FAB es cero se puede satisfacer la

segunda ecuación de equilibrio, 0Fx solo si FAC también es cero.

En la fig. 4.17 (b ), se muestra el segundo tipo de disposición y consta de

tres miembros, AB, AC y AD, conectados entre sí en el nodo A. Nótese que dos de los miembros AB, AC y AD, conectados entre sí en el nodo A nótese que dos de los miembros AB y AD son colineales. En la fig. se puede ver

que como no se tiene carga ni reacción externas aplicadas al nodo para equilibrar las componente y de FAC sólo se puede satisfacer la ecuación de

equilibrio 0Fy F AC es cero.

Identifique todos los miembros de fuerza cero en la armadura Fink para tejado, sujeta una carga de nieve no equilibrada, como se muestra en la fig. 4.18.

39

SOLUCIÓN

En la fig. se puede ver en el nodo B, están conectados tres miembros AB,BD Y BJ, de los cuales AB y BC son colineantes y BJ no lo es. Como no hay fuerzas externas aplicadas al nodo B, el miembro BJ es uno de fuerza

cero. Se puede aplicar un razonamiento semejante para el nodo D, para identificar el miembro DN como uno de fuerza cero. A continuación, se enfoca la atención en el nodo J, en donde están conectados cuatro

miembros, AJ, BJ, CJ y JK y no existen cargas externas aplicadas. Ya se ha identificado BJ como un miembro de fuerza cero. De los tres miembros

restantes, AJ y JK son colineales : por consiguiente, CJ debe ser un miembro de fuerza cero. Análogamente en el nodo N, el miembro CN se identifica como de fuerza cero; se pueden aplicar el mismo tipo de

argumentos para el nodo C con el fin de identificar el miembro CK como de fuerza cero. Por ultimo se considera el nodo N, en donde están conectados

cuatro miembros, CN, DN, EN y KN de los cuales tres de ellos , CN, DN y KN, ya se han identificado como de fuerza cero. No existen fuerzas externas aplicadas al nodo N, de modo que la fuerza en el miembro

restante, EN, también debe ser cero.

ANÁLISIS DE LAS ARMADURAS PLANAS POR EL MÉTODO DE LAS

SECCIONES

El método de los nodos presentado en la sección anterior, prueba ser muy eficiente cuando se deben determinar las fuerzas en todos los miembros de una armadura. Sin embargo, si sólo se desean las fuerzas en ciertos

miembros, el método de los nodos puede probar no ser eficiente, porque puede comprender cálculo de fuerzas en varios otros miembros dela

armadura. Antes de que se alcance un nodo que se pueda analizar para la fuerza deseada en un miembro. El método de las secciones nos permite

40

determinar en forma directa las fuerzas en los miembros específicos, sin

que se calculen en primer lugar muchas fuerzas innecesarias en los miembros, como se puede requerirse por el método de los nodos.

El método de las secciones comprende el corte de la armadura en dos partes al pasar una sección imaginaria a través de los miembros cuyas

fuerzas se desean. Entonces se determinan las fuerzas deseadas en los miembros al considerar el equilibrio de una de las dos partes de la armadura. Cada parte de la armadura se trata como un cuerpo rígido, bajo

la acción de cualesquiera cargas y reacciones aplicadas y las fuerzas en los miembros que han sido cortados por la sección. Las fuerzas desconocidas

en los miembros se determinan al aplicar las tres ecuaciones de equilibrio a una de las dos partes de la armadura. Solo se tiene tres ecuaciones equilibrio disponibles de modo que no se pueden usar para determinar

más de tres fuerzas desconocidas. Por consiguiente, en general, deben elegirse las secciones de nodo que no pasen por más de tres miembros con

fuerzas desconocidas. En algunas armaduras, la disposición de los miembros puede ser tal que, al utilizar secciones que pasen a través de más de tres miembros con fuerzas desconocidas, se pueden determinar

uno o, cuando más, dos de esas fuerzas desconocidas. No obstante, esas secciones se emplean en el análisis de sólo ciertos tipos de armaduras

Determine las fuerzas en los miembros CJ e IJ de la armadura que se muestra en la fig. 4.21. (a) por el método de las secciones.

Sección aa como se muestra en la fig. 4.2. (a ), se hace pasar una sección aa a tráves de los miembros IJ; CJ y CD, cortando la armadura en dos

partes, ACI y DGJ. Se usará la parte de la izquierda, ACI para analizar las fuerzas en los miembros.

41

Reacciones antes de proceder con el cálculo de las fuerzas en los

miembros, es necesario determinar las reacciones en el apoyo A. Al considerar el equilibrio d la armadura completa (fig. 4.2. (b ) ), se

determinan las reacciones como 50kyGyK 50 0 Ax

Fuerzas en los miembros en la fig. 4.2. (c ), se muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte ACI de la armadura. Se supone que las tres

desconocidas, FIJ y FCJ se obtienen a partir de las dimensiones de la armadura, dadas, en la fig. 4.21 (a ). Y se muestran en el diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas desconocidas en el miembro se determinan al

aplicar las ecuaciones de equilibrio, como se indica a continuación.

Puesto que FCJ y FCD pasan por el punto C, al sumar los momentos respecto a este nodo se obtiene una ecuación que sólo contiene a FIJ.

KF

FM

IJ

IJB

97.65

02517

4)20(20)40(500

La respuesta negativa para FIJ indica que la hipótesis inicial acerca de

que esta fuerza fuera de tensión era incorrecta. En realidad, la fuerza FIJ es una comprensión.

FIJ = 65.97 K ( C )

Enseguida, se calcula FCJ al sumar los momentos al respecto al punto O, el cual es el punto de intersección de las líneas de acción de FIJ y FCD. Dado que la pendiente del miembro IJ es 1:4, la distancia OC = 4

(IC) = 4 (25) = 100 ft (veáse la fig. 4.21 (c ). El equilibrio de los momentos respecto a O da

010013

3)100(20)80(20)60(500 CJFMo

FCJ=7.21K (T) Comprobación de los cálculos para comprobar los cálculos, se aplica

una ecuación alternativa de equilibrio la cual comprenda las dos fuerzas en los miembros que acaban de determinarse.

021.713

197.65

17

1202050Fy

42

Determine las fuerzas en los miembros FJ, HJ y HK de la armadura en

K que se muestra en la fig. 4.22 (a ), por el método de las secciones.

SOLUCION

En la fig. 4.22. (a ) se puede observar que la sección horizontal aa que pasa a tráves de los tres miembros de interés FJ, HJ y HK, también

corta un miembro adicional FI, con lo que se liberan cuatro incógnitas, las cuales no pueden determinarse por medio de tres ecuaciones de

equilibrio. Las armaduras como la que se está considerando en este caso con los miembros dispuestos en la forma de letra K pueden analizarse mediante una sección curva alrededor del nodo de en medio,

como la sección bb que se muestra en la fig. 4.22 (a). Para evitar el cálculo de las reacciones en los apoyos para el análisis se usará la parte

superior IKNL dela armadura arriba de la sección bb. El diagrama de cuerpo libre de esta parte se muestra en la fig. 4.22 (b). Se puede ver que aún cuando la sección bb ha cortado cuatro miembros, la fig. 4.22

(b). Se puede ver que aún cuando la sección bb ha cortado cuatro miembros, FI, IJ, JK y HK, las fuerzas en los miembros FI y HK pueden determinarse al sumar los momentos respecto a los puntos K e I,

respectivamente porque las líneas de acción de tres de las fuerzas desconocidas pasan por estos puntos. Por lo tanto, en primer lugar se

calculará FHK, considerando la sección bb y a continuación se usará la sección aa para determinar FFJ y FHJ.

Comprobación de los cálculos por último, para comprobar los cálculos

se aplica una ecuación alternativa de equilibrio, la cual comprenda las tres fuerzas en los primeros determinadas por el análisis. Si se usa la fig. 4.22 ( c ), se escribe.

43

VIGAS Y ARMAZONES

Los miembros de los armazones rígidos y las vigas pueden estar sujetos a

fuerzas cortantes y a momentos flexionantes, así como a fuerzas axiales, bajo la acción de cargas externas. La determinación de estas fuerzas y momentos internos (resultados de los esfuerzos) es necesaria para el

diseño de esas estructuras).

Fuerza Axial, Fuerza Cortante y Momento Flexionante Considérese, por ejemplo, la viga simplemente apoyada que se muestra en

la figura 5.1 (a). el diagrama de cuerpo libre de toda la viga se ilustra en la figura 5.1 (b), así como las reacciones Ax y Ay, y By, en los apoyos A Y B, respectivamente. Las reacciones en los apoyos se pueden calcular por la

44

aplicación de las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre de la

viga completa. Con el fin de determinar las fuerzas internas que actúan sobre la sección transversal de la viga en un punto C, se pasa una sección

imaginaria cc por C, con lo que se corta la viga en dos partes, AC y CB, como se muestra en la figura 5.1 (b) y en la 5.1 (d). En el diagrama de cuerpo libre de la parte AC, en C, por la parte que se ha quitado de la

estructura. Nótese que, sin estas fuerzas internas, la parte AC no está en equilibrio. Asimismo, bajo un sistema coplanar general de cargas y reacciones externas, se necesitan tres fuerzas internas (dos componentes

perpendiculares de fuerza y un par) en una sección, para mantener una parte de la viga en equilibrio. Las dos componentes internas de fuerza

suelen estar orientadas en la dirección del eje centroidal de la viga, y perpendicular a éste, en la sección que se esté considerando, como se muestra en la figura 5.1 (c). la fuerza interna Q, en la dirección del eje

centroidal de la viga, se llama fuerza axial, y la fuerza cortante (o, sencillamente, cortante). El momento M del par interno se denomina

momento flexionante. Recuerde, por lo visto las resultantes de la distribución de esfuerzos que actúan sobre la sección transversal de la viga.

En la figura 5.1 (d), se muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte CB de la viga. Obsérvese que en este diagrama se muestran las mismas fuerzas internas,

Q, S, y M, pero en direcciones opuestas, ejerciéndose sobre la parte CB, en C por la parte AC que se ha quitado, de acuerdo con la tercera ley de

Newton. Se puede determinar las magnitudes y los sentidos correctos de

45

las fuerzas internas sencillamente al aplicar las tres ecuaciones de

equilibrio. ∑Fx = 0, ∑Fy =0 y ∑M = 0, a una de las dos partes (AC o CB) de la viga.

En las figuras 5.1 (c) y 5.1 (d), se puede ver para que en una parte de la viga, se satisfaga la ecuación de equilibrio ∑Fx = 0, la fuerza axial interna

Q debe tener igual magnitud (pero dirección opuesta) a la suma algebraica (resultante) de las componentes en a dirección paralela al eje de la viga de todas las fuerzas externas que actúan sobre esa parte. Si suponemos que

la viga como un todo está en equilibrio es decir ∑Fx =0 para la viga completa la aplicación de ∑Fx= 0 a cada una de sus partes por separado

dará por resultado la misma magnitud de la fuerza Q. Como consecuencia, se puede expresar lo siguiente:

La fuerza axial interna Q, en cualquier sección de una viga, tiene igual magnitud, pero dirección opuesta, a la suma algebraica (resultante de las

componentes en la dirección paralela al eje de la propia viga de todas las cargas externas y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de la sección que se está considerando)

Si se aplica un razonamiento semejante, se pueden definir la cortante y el momento flexionante como sigue:

La cortante S en cualquier sección de una viga tienen igual magnitud, pero

dirección perpendicular al eje de la propia viga de las cargas externas y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de la sección que se está considerando.

En momento flexionante M en cualquier sección de una viga tiene igual magnitud, pero dirección opuesta a la suma algebraica de los momentos

respecto a (el centroide de la sección transversal de la viga en) la sección que se esté considerando de todas las cargas externas y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de esa sección.

Conversión de los signos

En la figura 5.2, se ilustra la conversión de los signos de uso común para las fuerzas axiales, cortantes y momentos flexionantes. Una característica

importante de esta conversión de los signos, la cual a menudo se menciona como conversión de la viga, es que dará lugar a los mismos resultados (positivos o negativos) sin importar cuál de los lados de la

sección se considere para calcular las fuerzas internas. En la figura 5.2 (a), se muestran las direcciones positivas de las fuerzas internas que actúan sobre las partes del miembro, a cada lado de la sección.

Sin embargo, desde un punto de vista referente al cálculo, suele ser más

conveniente expresar esta convención de signos en términos de las cargas

46

y las reacciones externas que actúan sobre la viga o miembro de armazón,

como se muestra en las figuras 5.2 (b) a 5.2 (d). En las figuras 5.2 (b), se observan que se considera que la fuerza axial interna Q es positiva

cuando las fuerzas externas que actúan sobre el miembro producen tensión o tienen la tendencia a separar el miembro en la sección.

Como se muestra en la figura 5.2 (c), se considera que la cortante S es positiva cuando la fuerza externa tiene a empujar la parte del miembro a la izquierda de la sección hacia arriba con respecto a la parte de la derecha

de la misma sección. A partir de esta figura, se puede ver que una fuerza externa que actúa hacia arriba sobre la parte izquierda o hacia abajo sobre

la parte derecha causa una cortante positiva. De modo alternativo, se puede recordar esta conversión del signo para la cortante al darse cuenta que cualquier fuerza que produce un momento en el sentido del

movimiento de las manecillas del reloj, respecto de una sección, causa una cortante positiva en esa sección y viceversa.

En la figura 5.2 (d), se muestra el momento flexionante positivo. Se considera que el momento flexionante M es positivo cuando las fuerzas y

pares externos tienen a que la viga se flexione cóncava hacia arriba, causando compresión en las fibras superiores y tensión en as inferiores de las viga en esta sección. Cuando se usa la parte izquierda para calcular el

momento en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj respecto a la sección. Así como los pares en el sentido del mismo movimiento, causan momento positivo flexionante en esa sección. Sin embargo, cuando

se considera la parte derecha, las fuerzas que producen momentos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj respecto a la

sección, y los pares en ese mismo sentido, causan momento flexionante positivo y viceversa.

Hasta ahora en la discusión, se ha supuesto que la viga o miembro de armazón están horizontales, pero la convención de los signos antes

descrita se puede aplicar para miembros inclinados y verticales,

47

empleando un sistema de coordenadas xy, como se muestra en figura 5.2

(a). el eje centroidal del miembro y la dirección positiva del eje y se elige de modo que ese sistema de coordenadas sea derecho, con el eje z apuntando

siempre hacia fuera del plano del papel. Ahora se puede usar la convención de los signos para un miembro inclinado o uno vertical al considerar la dirección y positiva com aquéllas hacia arriba y la parte del

miembro cercana al origen como la que está a la izquierda de la sección.

Ejemplo: Determine la fuerza, la cortante y el momento flexionante en el punto B

de la viga que se muestra en la figura 5.3 (a). Solución: Reacciones Si se consideran el equilibrio del cuerpo libre de toda la viga

(Fig. 5.3 (b)) se escribe.

40 25 0 20

5

30 36 30 24 25 12 0 25

5

30 25 30 25 0 20

5

x x x

c y y

y y y

F A A k

C M A A k

F C C k

Sección bb se pasa una sección bb por el punto B, cortando la viga en

dos partes, AB y BC (véase la figura 5.3 (b)). En lo que sigue, se usa la parte AB, que está a la izquierda de la sección para calcular las fuerzas internas.

Fuerza axial Si se

consideran las fuerzas externas que actúan hacia la izquierda como positivas, se escribe.

Q= -20 k Resp.

48

Cortante Si se consideran las fuerzas externas que actúan hacia arriba

como positivas, se escribe.

S= 25-30 = -5 S =-5 k Resp. Momento flexionante Si se consideran los momentos, respecto de B, en

el sentido del movimiento de las manecillas del reloj de las fuerzas externas como positivos, se describe.

M = 25 (18) – 30 (6) = 270 M = 270 k.ft Resp.

Comprobación de los cálculos Para comprobar los cálculos , se obtienen las fuerzas internas usando la parte BC, la cual está a la derecha de la sección considerada.

Al tomar en cuenta las componentes horizontales de las fuerzas

externas que actúan hacia la derecha sobre la parte BC como positivas, se obtiene.

425 20

5Q k Coincide

Al considerar las fuerzas que actúan hacia abajo como positivas, se

obtiene

320 25 5

5S k Coincide

Por último al considerar los momentos, respeto de B, en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj como positivos, se

obstinen.

320 18 25 6 270

5M k ft Coincide

Determine la cortante y el momento flexionante en el punto B de la viga que se muestra en la fig. 5.4.

sección bb (Veáse la fig. 5.4.) para evitar el calcular de las reacciones se selecciona la parte BC no apoyada externamente la cual se encuentra a la derecha de la sección bb, para calcular las fuerzas internas.

Cortante Si se consideran las fuerzas externas que actúan hacia abajo

como positivas se escribe

49

KNS 80420

Momento flexionante se consideran los momentos en sentido contrario

al movimiento de las manecillas del reloj como positivos, se escribe.

mKNM 3402420500

El lector puede comprobar los resultados al sumar las fuerzas y los

momentos sobre la parte AB de la viga, después de calcular las reacciones en el apoyo A.

DIAGRAMAS DE LA FUERZA CORTANTE Y DEL MOMENTO

FLEXIONANTE. Los diagramas de la fuerza cortante y del momento flexionante

muestran las variaciones de estas cantidades a lo largo del miembro. Se pueden construir esos diagramas al aplicar el método de las secciones .

Si se avanza de uno de los extremos del miembro hacia el otro (por lo general, de izquierda a derecha), se pasan secciones, después de cada cambio sucesivo en la carga a lo largo del miembro, para determinar

ecuaciones que expresen la cortante y el momento flexionante en términos de la distancia de la sección a un origen fijo, entonces se

trazan los valores de la cortante y de los momentos flexionantes deteminados a partir de estas ecuaciones como ordenadas contra la posición con respecto a uno de los extremos del miembro tomada como

abscisa para obtener los diagramas de la fuerza cortante y del momento flexionante. Este procedimiento se ilustra por medio de los ejemplos que siguen.

SOLUCIÓN : Reacciones fig. 5.5. (b)

0zF 0zA

0DM

- Ay (30) + 60 (20) + 180 + 2 (20) (0) = 0 Ay=46K

0yF

46 – 60 – 2 (20) + Dy = 0

50

diagrama de la cortante Para determinar la ecuación para la cortante en el segmento AB, se pasa una sección aa a una distancia x del apoyo A.

Como se muestra en la fig. 5.5. (b). Si se considera el diagrama de cuerpo libre a la izquierda de esta sección se obtiene.

KS 46 ftx 100

como esta ecuación indica la cortante es constante en 46k desde una

distancia infinitesimal a la derecha del punto A hasta la distancia infitesimal a la izquierda del punto B. En el punto A, la cortante se

incrementa en forma abrupta desde 0 hasta 46 k de modo que se traza una recta vertical desde 0 hasta 46, sobre el diagrama de la cortante (Fig. 5.5. (c ) ), en A, para que la cortante se mantiene constante en este

segmento. Enseguida al usar la sección bb fig. 5.5. (b ) se determina la ecuación

para la cortante en el segmento BC como.

ft20x 10 parak 14 60 46 S

El cambio abrupto en la cortante desde 46k a una distancia

infinitesimal a la izquierda de B hasta – 14 k a una distancia infinitesimal a la derecha de este mismo punto, se muestra en el

diagrama de la cortante (fig. 5.5. ( c ) ) por medio de una recta vertical desde + 46 hasta – 14 constante en este valor en todo este segmento.

Con el fin de determinar las ecuaciones para la cortante en la mitad derecha de la viga, es conveniente usar otra coordenada, x1 dirigida hacia la izquierda desde el extremo E de la viga, como se muestra en la

fig. 5.5. (b). Se obtienen las ecuaciones para la cortante en los segmentos ED y DC al considerar los cuerpos libres a la derecha de las

secciones dd y cc, respectivamente.

12xS para ftx 1010

542 1xS para ftxtf 2010 1

estas ecuaciones indican que la cortante se incrementa linealmente desde cero hasta + 20 k a una distancia infinitesimal a la derecha D;

enseguida cae en forma abrupta hasta –34 K a una distancia infinitesimal a la izquierda de Dy, desde allí se incrementan en forma

lineal hasta 14 k. En C. esta información se encuentra en el diagrama de la cortante como se muestra en la fig. 5.5. (c ).

51

Diagrama del momento flexionante si usan las mismas secciones y

coordenadas que se emplearon con anterioridad para cualquier cortante se determinan las ecuaciones siguientes para el momento flexionante

en los cuatro segmentos de la viga. Para el segmento AB; M = 46 X para ftx 1010

Para el segmento BC:

M = 46 X 60 (X – 10) = 14 X + 600 para 10 ft ftx 201

Para el segmento ED:

1

2

212 1 x

xxM para ftx 100 1

para el segmento DC:

540541

21054

1

2M 11 XXXX para ftXft 2010 1

las dos primeras ecuaciones para la mitad izquierda de la viga, indican que el momento flexionante crece en forma lineal desde 0 hasta 460 k-ft

en C, como se muestra en diagrama del momento flexionante de la fig.5.5. (d) las dos últimas ecuaciones para la mitad derecha de la viga son cuadráticas en x1. los valores de M, cálculos a partir de esas

ecuaciones están presentados en diagrama del momento flexionante que se muestra en la fig. 5.5. (d). Se puede ver que M decrete desde 0

en E hasta – 100 k-ft en D y, a continuación, crece hasta – 140 k-ft a una distancia infinitesimal a la derecha de C. nótese que, en C el momento flexionante cae en forma abrupta en una cantidad de 320 -

140 =180 k-ft, lo cual es igual a la magnitud del momento del par externo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj que actúa en ese punto.

Un punto en el cual el momento flexionante es cero se conoce como

punto de inflexión. Para determinar la ubicación para el momento flexionante correspondiente al segmento DC, para obtener.

0540541

21xxM

52

de lo cual resulta x1=13.25 ft; es decir el punto F está localizado a una

distancia de 13.25 ft del extremo E, o sea 40 – 13.25 = 26.75 ft del apoyo A de la viga como se muestra en la fig. 5.5. (d ).

Dibuje los diagramas de la cortante y del momento flexionante para la viga que se muestra en la fig. 5.6. (a) .

SOLUCIÓN

Reacciones véase la fig. 5.6. (b )

0Fc 0 Bx

0Mc

063

9279

2

1YB KNBy 75.60

KNCy 75.60

se traza la gráfica de los valores de S calculados a partir de estas ecuaciones para obtener el diagrama de la cortante que se muestra

en la fig. 5.6. el punto D en el cual la cortante es cero se obtiene a partir de la ecuación.

075.602

3 2xS

de la cual x = 6.36 m.

Diagrama del momento flexionante Si se utilizan las mismas secciones empleadas con anterioridad para calcular la cortante se determina las ecuaciones siguientes para el momento flexionantes

en los segmentos AB y BC respectivamente.

075.602792

1

0

YC

F

53

233

2

1 2xxxxM para mx 30

375.602

2

xx

M para mxm 93

(d) diagrama del momento flexionante (KN–m)

se traza la gráfica de los valores de M calculados a partir de estas ecuaciones para obtener el diagrama del momento flexionante que se

muestra en la fig. 5.6 (d). Para localizar el punto en el cual el momento flexionante es máximo se deriva la ecuación de M correspondiente al segmento BC con respecto a x y la derivada

Dm/dx se hace igual a cero; es decir.

54

075.602

3 2x

dx

dM

de lo cual x = 6.36 m. Esto indica que se tiene el momento

flexionante máximo en el mismo punto en el cual la cortante es cero. Asimismo la comparación de las expresiones para Dm/dx y S

correspondientes al segmento BC indica que las dos ecuaciones son idénticas; es decir la pendiente del diagrama del momento flexionante en un punto es igual a la cortante en ese punto. (Esta

relación que en general es válida se discute con detalle en una sección subsiguiente).

Por último la magnitud del momento máximo se determina al sustituir x = 6.36 n en la ecuación para M en el segmento BC.

kNmM mix 5.75336.675.602

36.63

DETERMINACIÓN, INDETERMINACIÓN E INESTABILIDAD ESTÁTICA DE LOS ARMAZONES PLANOS

Los armazones rígidos que suelen mencionarse sencillamente como los armazones se componen de miembros rectos conectados por

medio de conexiones rígidas (que resisten los momentos), o bien por conexiones articuladas, para formar configuraciones estables. Por lo común los miembros de los armazones se conectan por uniones

rígidas aun cuando a veces se usan las conexiones articuladas. Una unión rígida impide las traslaciones y rotaciones relativas de los

miembros conectados a ella, de modo que la unión es capaz de transmitir dos componentes rectangulares de fuerza y un par entre los miembros conectados. En general, bajo la acción de cargas

externas, los miembros de un armazón pueden quedar sujetos a momento flexionante fuerza cortante y tensión o compresión axiales.

Se considera que un armazón es estáticamente determinado si los momentos flexionantes, las fuerzas cortantes y las fuerzas cortantes

y las fuerzas axiales en todos sus miembros, así como todas las reacciones externas, se pueden determinar mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio de condición.

Considérese un armazón plano sujeto a una carga arbitraria como se muestra en la fig. 5.14 los diagramas de cuerpo libre de los tres miembros y de los cuatro nodos del armazón se muestran en la fig.

55

5.14 (b ). Además de las fuerzas externas, cada miembro está sujeto

a dos componentes internas de fuerza y a un par interno en cada uno de sus extremos. Por supuesto antes del análisis, no se conocen

los sentidos correctos de las fuerzas y pares internos, los cuales por lo común se mencionan como fuerzas en los extremos de los miembros, y se eligen en forma arbitraria. En los diagramas del

cuerpo libre de los nodos se muestran las mismas fuerzas en los extremos de los miembros, pero en direcciones opuestas de acuerdo con la tercera ley de newton. El análisis del armazón comprende la

determinación de las magnitudes de las 18 fuerzas en los extremos de los miembros (6 por miembro) y las tres reacciones en los apoyos,

Ax, Ay, y Dy. Por lo tanto el número total de cantidades desconocidas es de 21.

En virtud de que el armazón completo está en equilibrio cada uno de sus miembros y de sus nodos también deben estar en equilibrio.

Como se muestra en la fig. 5.14 (b ) cada miembro y cada nodo están sujetos a un sistema coplanar general de las fuerzas y pares los cuales deben satisfacer las tres ecuaciones de equilibrio

00,0 MyFyFx . Ya que el armazón contiene tres

miembros y cuatro nodos (incluyendo los dos nodos conectados a los

apoyos), el número total de ecuaciones de las que se dispone es de 3 (3 ) + 3 (4) = 21. Se pueden resolver estas 21 ecuaciones de equilibrio

para calcular las 21 incógnitas. Entonces se pueden usar las fuerzas en los extremos de los miembros así obtenidas para determinar las fuerzas axiales las

cortantes y los momentos flexionantes en diversos puntos a lo largo de los miembros. Por lo tanto el armazón de la fig 5.14 (a) es estáticamente determinado.

56

57

Podrían escribirse y resolverse tres ecuaciones de equilibrio del armazón completo como un cuerpo rígido para las tres reacciones de

equilibrio no son independientes de las ecuaciones de equilibrio del miembro y del nodo y no contienen información adicional.

Con base en la discusión previa, se pueden desarrollar los criterios para la determinación, indeterminación e inestabilidad estáticas de los armazones planos en general que contengan m miembros y j

nodos y se encuentren apoyados por r número de reacciones externas. Para el análisis se necesitan determinar 6m fuerzas en los

miembros y reacciones externas; es decir, se necesita calcular un total de 6m + r cantidades desconocidas. Supuesto que se tienen m miembros y j nodos y se pueden escribir tres ecuaciones de

equilibrio de las que se dispone 3 (m + j). Además de contener proporcionan ecuaciones adicionales, las cuales se pueden usar en

conjunción con las de equilibrio para determinar las incógnitas. Por consiguiente, si se tienen ec ecuaciones de condición de las que se dispone es 3 (m + j) + e para un armazón. Si el número de incógnitas

es igual al número de ecuaciones; es decir. 6 m + r 3 ( m + j ) + e o bien,

3 m + r = 3 j ec.

Entonces se pueden determinar todas la incógnitas al resolver las ecuaciones de equilibrio y las de condición, y el armazón es

estáticamente determinado. Si un armazón tiene más incógnitas que

ecuaciones de las que dispone es decir 3m + r 3j+ec no se pueden

determinar todas las incógnitas mediante la resolución de las ecuaciones disponibles y se dice que el armazón es estáticamente

indeterminado. Los armazones estáticamente indeterminados tienen más miembros o reacciones externas, o más de ambos que los mínimos requeridos por la estabilidad, se dice que los miembros y

reacciones en exceso son redundantes y el número de miembros y reacciones en exceso se menciona como el grado de indeterminación estática, i el cual se puede expresar como.

i = (3m + r) – (3j +ec)

para un armazón, si el número de incógnitas es menor que el

número de ecuaciones disponibles - esto es 3m + r 3 j + ec – se

dice que ese armazón es estáticamente inestable. Las condiciones para la inestabilidad, la determinación y la

indeterminación de los armazones planos se puede resumir como sigue:

58

3m + r 3 j + ec armazón estáticamente inestable

3m + r 3 j + ec armazón estáticamente determina

3m + r 3 j + ec armazón estáticamente indeterminado

Los extremos del armazón sujetos a los apoyos, así como cualesquiera extremos se tratan como nodos. Las condiciones para

la determinación e indeterminación estáticas, son necesarias pero no suficientes. Para que estos criterios en relación con la

determinación e indeterminación estáticas sena válidos, las disposición de los miembros, las reacciones en los apoyos y las articulaciones y rodillos internos (si los hay) debe ser tal que el

armazón seguirá siendo geométricamente estable bajo un sistema general de cargas coplanares.

Recuerde que una articulación interna proporciona una ecuación de condición y que un rodillo interno da lugar a dos de esas ecuaciones.

Cuando varios miembros de un armazón se conectan en un nodo articulado, el número de ecuaciones de condición en este ultimo es igual al número de miembros que se encuentran en el menos uno.

Enfoque alternativo

Un enfoque alternativo que se puede aplicar para la determinación del grado de indeterminación estática de un armazón es cortar un

número suficiente de miembros del mismo al hacer pasar secciones imaginarias o remover apoyos suficientes, o realizar ambos

procedimientos para volver a la estructura estáticamente

59

determinada. El número total de restricciones internas y externas eliminadas de esa manera es igual al grado de indeterminación

estática. Como un ejemplo considérese al armazón que se muestra en la fig. 5.016 (a ). El armazón se puede hacer estáticamente determinado al hacer pasar una sección imaginaria a través de la vía

maestra BC, con lo que se eliminan de esta manera restricciones internas (La fuerza axial Q, la cortante S y el momento flexionante M), como se muestra en la fig. 5.16 (b ). Observe que las dos

estructuras en voladizo producidas de esta manera son tanto estáticamente determinadas como geométricamente estables. En

virtud de que tuvieron que eliminarse tres restricciones (Q.S. y M) del armazón original estáticamente indeterminado de la fig. 5.16. ya que en este proceso deben eliminarse tres restricciones o reacciones

externas Dx, Dy y MD el grado de indeterminación estática del armazón es tres, como se concluyó con anterioridad.

Este enfoque alternativo de establecimiento del grado de

indeterminación (en lugar de aplicar la ecuación 5.15. proporciona el medio más conveniente de determinación de los grados de esa

indeterminación para las armazones de edificios de los varios pisos. En la fig. 5.17. (a ) se muestra un ejemplo de un armazón de ese tipo. Debido a que cada corte elimina tres restricciones, el número

total de las restricciones que deben eliminarse para volver a la estructura estáticamente determinada es igual a tres multiplicado

60

por el número de vigas maestras en el armazón. Por tanto, el grado

de indeterminación estática de un armazón de varios pisos con apoyos fijos es igual a tres multiplicado por el número de vigas

maestras, siempre que ese armazón no contenga articulaciones o rodillos internos.

Ejemplo: Trace los diagramas de la cortante, del momento flexionantes y

de la fuerza axial, así como la forma flexionada cualitativa, para el marco que se muestra en la fig.

Solución: Determinación estática m = 3, f = 4, r = 3 y ec = 0. En virtud de que 3m + r = 3j + ec y el armazón es geométricamente estable, es

estáticamente determinado. Reacciones Considerando el equilibrio del armazón completo, (fig. ) se

observa que, para que se satisfaga 0XF , la componente de la reacción

AX debe actuar hacia la izquierda con una magnitud de 18 k, para

equilibrar la carga horizontal de 18 k hacia la derecha. Por tanto,

61

kAx 18 kAx 18

62

63

Se calculan las dos reacciones restantes por la aplicación de las dos ecuaciones de equilibrio, como sigue:

+ 0AM 030153022018 YD kDY 42

0YF 04232YA kAY 18

Fuerzas en los extremos de los miembros. En la fig. se muestran los diagramas de cuerpo libre de todos los miembros y modo del armazón. Se pueden empezar el cálculo de las fuerzas internas ene. Nodo A o ene. D,

dos de los cuales sólo tiene tres incógnitas.

Nodo A. Si empieza con el nodo A, se pede ver a partir de su diagrama de

cuerpo libre que, para que se satisfaga AAB

XXF .0 debe actuar hacia la

derecha con una magnitud de 18 k, para equilibrar la reacción horizontal

de 18 k hacia la izquierda. Por tanto,

kAAB

X 18

De modo análogo, al aplicar 0XF , se obtiene

kAAB

X 18

Miembro AB Con las magnitudes de AAB

Yy A

AB

X ahora conocidas, el

miembro AB tiene tres incógnitas MBAB

B

AB

Yy y B

AB

X, las cuales se pueden

determinar mediante la aplicación de 0XF , 0YF y 0AM . Por

consiguiente,

ftkBAB

X360 -18k y 18k MB

AB

B

AB

Y

Nodo B Si se avanza a continuación hacia el nodo B y se considera su

equilibrio, se obtiene

ftkBBC

X360 -18k y 0 MB

BC

B

BC

Y

Miembro BC Enseguida, al considerar el equilibrio del miembro BC, se escribe

0XF 0CBC

X

0YF 030218 CBC

Y k 42C

BC

Y

64

0 3M 0304215302360 MBC

C 0M

BC

C

Nodo C Aplicando las tres ecuaciones de equilibrio, se obtiene

0 42) 0 MCCD

C

CD

YkC

XD

X

Miembro CD Al aplicar 0Fy 0 YXF , en ese orden, se obtiene

0DCD

X k 42D

CD

Y

Como se han determinado todas las fuerzas y todos los momentos

desconocidos, recomprueban los cálculos al aplicar las tres ecuaciones de equilibrio para el miembro CD:

0 DM Coincide

Nodo D (Comprobación de los cálculos)

0XF Coincide

0XF 04242 Coincide

Diagramas de las cortantes En la fig. , se muestra los sistemas de coordenadas xy seleccionados para los tres miembros del armazón, y los diagramas de las cortantes para esos miembros, construidos mediante la

aplicación del procedimiento descrito en la sección 5.4. se ilustran en la figura.

Diagramas de los momentos flexionantes. En la fig. se muestran los diagramas de los momentos flexionantes para los tres miembro del

armazón.

Diagramas de las fuerzas axiales. A partir del diagrama de cuerpo libre del miembro AB, dado en la fig. , se ve que la fuerza axial a todo lo largo de este miembro es de compresión, con una magnitud constante de 18 k. Por

lo tanto, el diagrama de la fuerza axial para este miembro es una recta paralela al eje x, en un valor de -18k como se muestra en la fig. Análogamente, en la fig. se puede ver que las fuerzas axiales en los

miembros BC y CD también son constantes, con magnitudes de 0 y – 42k, respectivamente. En la fig. , se muestran los diagramas de las fuerzas

axiales, construidas de este modo, para estos miembros. Forma flexionada cualitativa con base en los diagramas de los momentos

flexionantes de los miembros del armazón, se observa que los miembros AB y BC se curvan cóncavo hacia la izquierda y cóncavo hacia abajo,

65

respectivamente. Como ningún momento flexionante se desarrolla en el

miembro CD, no se curva sino permanece recto. En la fig., se muestra una forma flexionada cualitativa del armazón, obtenida al unir en los

nodos las formas flexionadas de los tres miembros. Como esta figura indica, la deflexión del armazón en el apoyo A es cero. Debido a la carga horizontal en B, el nodo B se desvía hacia la derecha hasta B´. Como se

desprecian todas las deformaciones por los momentos flexionantes son pequeñas, el nodo B sólo se desvía en la dirección horizontal, y el nodo C se desvía en la misma cantidad que el B: es decir. BB´= CC´. Nótese que

las curvaturas de los miembros son coherentes con sus diagramas de los momentos flexionantes y que se han mantenido los ángulos originales de

90° entre los miembros, en los nodos rígidos B y C. Ejemplo: Un armazón a dos aguas se sujeta a una carga de nieve, como se

muestra en la fig.. Trácese los diagramas de las fuerzas cortantes, de los momentos flexionantes y de las fuerzas axiales, así como la forma

flexionada cualitativa, para el armazón. Solución: Determinación estática

0EM

048128YA kNAY 48

0YF

081248 YE kN 42YE

0 AC

CM

024124488XA kN 12XE

0XF

012 X

kNEX 12 kNEX 12

Fuerzas en los extremos de los miembros

Nodo A Al aplicar las ecuaciones de equilibrio 0Fy 0 YXF , se

obtiene

kNAAB

X 12 kNA

AB

Y 48

Miembro AB Considerando el equilibrio del miembro AB, se obtiene

mkNkNBAB

X .60 -48kN 12 MB

AB

B

AB

Y

66

67

Nodo B Si se aplican las tres ecuaciones de equilibrio, se obtiene

mkNkNBBC

X .60 48kN 12 MB

BC

B

BC

Y

Miembro BC

0XF kNCBC

X12

0YF

041248 CBC

Y 0C

BC

Y

0 BM

0312241260 Coincide

Nodo C Considerando el equilibrio del nodo C, se determina

kNCCD

X12 0C

CD

Y

Miembro CD

0XF kN 12DCD

X

0YF

0 EM

051260 Coincide

Nodo E

0XF 01212 Coincide

0YF 04242 Coincide

Cargas distribuidas sobre los miembros inclinados BC y CD como

reespecifica la carga por la nieve de 12 Kn/M, por metro horizontal, es necesario resolverla en las componentes paralela y perpendicular a las

direcciones del os miembros BC y CD. Considérese, por ejemplo, el miembro BC como se muestra en la fig. la carga vertical total que actúa sobre este miembro es de (12 kN/m) (4m) = 48 kN. Si se divide esta carga

68

vertical total entre la longitud del miembro, se obtiene la intensidad de la

carga distribuida vertical por metro, a lo largo del miembro inclinado, como 48/5 = 9.6 Kn/m. Las componentes de esta carga vertical

distribuida en las direcciones paralela y perpendicular al eje del mismo son (3/5) (9.6) = 5.76 kN/m y (4/5)(9.6)= 7.68 kN/m, respectivamente, como se muestra en la fig. La carga distribuida para el miembro CD se

calcula de modo análogo y se muestra en la fig. Diagramas de las cortantes y de los momentos flexionantes.

Diagramas de las fuerzas axiales. Las ecuaciones para la fuerza axial en los miembros del armazón son:

Miembro AB Q = -48

Miembro BC Q = -38.4 + 5.76x

Miembro CD Q = -9.6 – 5.76X

Miembro DE Q= -48

Los diagramas de las fuerzas axiales se muestran en la fig. Forma flexionada cualitativa.

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS Las estructuras indeterminadas tiene más reacciones en los apoyos o

miembros, o ambas cosas, que los requeridos por la estabilidad estática, las ecuaciones de equilibrio por sí solas no son suficientes para la determinación de las reacciones y las fuerzas internas de esas estructuras

y deben complementarse por medio de relaciones basadas en la configuración geométrica de la deformación de las estructuras.

Estas relaciones adicionales, que se denomina condiciones de compatibilidad, garantizan que se mantenga la continuidad de los

desplazamientos de uno a otro lado de la estructura y que las diversas partes de esta se ajusten entre sí. Por tanto, el análisis de una estructura indeterminada comprende,

además de las dimensiones y la disposición de los miembros de la estructura, sus propiedades de las secciones transversales y de los

materiales (como las áreas de las secciones transversales, los momentos de inercia, los módulos de elasticidad, etc.) las cuales, a su vez, dependen de las fuerzas internas de la estructura. Por lo tanto, el diseño de una

estructura estáticamente indeterminada se lleva a cavo de manera iterativa, con la cual inicialmente se suponen el tamaño (relativos) de los miembros estructurales y se usan para analizar la estructura, y las fuerzas

internas obtenidas de este modo no están cercanos a los que se

69

supusieron en un principio, entonces se vuelve a analizar la estructura

usando el tamaño más reciente de esos miembros. Se continúa la iteración hasta que el tamaño de los miembros basado en los resultados de

un análisis son cercanos a los supuestos para ese análisis.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS INDETERMINADAS

Las ventajas de las estructuras estáticamente indeterminadas por encima de la determinada incluyen las siguientes:

Esfuerzos menores : En general, los esfuerzos máximos en las estructuras estáticamente indeterminadas son menores que en las

estructuras determinadas comparables. Considere, por ejemplo, las vigas estáticamente determinada e indeterminada que se muestran en la fig. a y

b respectivamente. En la fig. también se muestran los diagramas de los momentos flexionantes para las vigas, debidos a una carga uniformemente distribuida, w. Los procedimientos parea analizar las vigas indeterminadas

se consideran en los capítulos subsiguientes. A partir de las fig. se puede ver que el momento flexionante máximo y en consecuencia el esfuerzo máximo de flexión en la viga indeterminada es significantemente inferior

de la determinada.

Mayor rígidez En general, las estructuras estáticamente indeterminadas tienen una mayor rigidez (es decir, deformaciones más pequeñas) que las

estructuras determinadas comparables. Con base en la fig. se observa que

70

la deflexión máxima de la viga indeterminada sólo es la quinta de la

correspondiente a la determinada.

Redundancias Las estructuras estáticamente determinadas, si se diseñan en forma apropiada, tiene la capacidad para redistribuir las cargas cuando ciertas partes estructurales se llegan a sobre esforzar o se desploman en

los casos de sobre cargas debidas a temblores de tierra tornados, impacto (por ejemplo, explosiones de gas o choques de vehículos) y otros eventos. Las estructuras indeterminadas tienen más miembros o reacciones en los

apoyos, o ambas características que los requeridos por la estabilidad estática de modo que si una parte (o miembro o apoyo) de esa estructura

falla, la estructura completa no se desplomará inevitablemente y las cargas de redistribuirán a las partes adyacentes de la estructura. Considere, por ejemplo, las vigas estáticamente determinada e indeterminada que se

muestran en las fig. respectivamente. Suponga que las vigas están sosteniendo puentes sobre una vía acuática y que se destruye el pilar en

medio, B cuando una barcaza choca de manera accidental contra él. En virtud de que la viga estáticamente determinada se encuentra apoyada precisamente por el número suficiente de reacciones requeridas por la

estabilidad estática, la eliminación del apoyo B causará que la estructura completa se desplome, como se muestra en la fig. Sin embargo la viga indeterminada tiene una reacción adicional en la dirección vertical; por lo

tanto, la estructura no se desplomará inevitablemente y puede permanecer estable, incluso después de que el apoyo B haya fallado. Si se supone que

la viga ha sido diseñada para soportar sólo cargas muertas en el caso de un accidente de este tipo, el puente se cerrará al transito hasta que se repara el pilar B y después, se volverá a abrir.

Las desventajas principales de las estructuras estáticamente

indeterminadas, por encima de las determinadas, son las siguientes: Esfuerzo debido asentamientos de los apoyos. Los asentamientos de los

apoyos no causan esfuerzos en las estructuras determinadas; sin embargo, pueden inducir esfuerzos significativos en la indeterminadas, los cuales deben de tomarse en consideración cuando rediseñen estas últimas.

Considérense los vigas determinada e indeterminada mostradas en la fi. En la fig. se puede ver que, cuando el apoyo AB y C de esa viga,

conectadas entre sí por una articulación interna en B, se mueven como cuerpos rígidos, sin flexionarse; es decir, permanecen rectos, no se mueven como cuerpos rígidos, sin flexionarse; es decir, permanecen

rectos, no redesarrollan esfuerzos en la viga determinada. Sin embargo, cuando la viga indeterminada continua de la fig. se sujeta a un asentamiento similar del apoyo, se flexiona, como se muestra en la fig. por

tanto, se desarrollan momentos flexionantes en la viga.

71

Esfuerzos debidos a cambios en la temperatura y a errores en la fabricación Como los asentamientos de los apoyos, estos efectos no causan esfuerzos

en la estructuras determinadas, pero pueden inducir esfuerzos significativos en las estructuras indeterminadas. Considérense los vigas determinada e indeterminada que se muestra en la fig. En la fig. se puede

ver que, cuando la viga determinada se sujeta a un aumento uniforme en

la temperatura T, sencillamente se alarga, con la deformación axial dada

por LT . Ningún esfuerzo se desarrolla en la viga determinada, ya

que tiene libertad para alargarse. Sin embargo, cuando la viga indeterminada de la fig., la cual está restringida axialmente contra la deformación pro los apoyos fijos, se sujeta a un cambio similar en la

temperatura T, esa viga desarrolla una fuerza axial de comprensión

AETLAEF / , como se muestra en la fig. Los efectos de los

errores de fabricación son semejantes a los de los cambios de temperatura sobre la estructura determinadas e indeterminadas.

72

ANÁLISIS DE LAS ESTRUCTURAS INDETERMINADAS Relaciones fundamentales

Sin importar si una estructura es estáticamente determinada o indeterminada, su análisis completo requiere el uso de tres tipos de relaciones:

Ecuaciones de equilibrio

Condiciones de compatibilidad

Relaciones de fuerza deformación en los miembros

Las ecuaciones de equilibrio relacionan las fuerzas que actúan sobre la estructura (o sus partes), garantizando que la estructura completa así como sus partes permanezcan en equilibrio; las condiciones de

compatibilidad relacionan los desplazamientos de la estructura de modo que sus diversas partes se ajusten entre sí, y las relaciones de fuerza-

deformación en los miembros las cuales comprende las propiedades de los materiales y de las secciones transversales (E, I y A) de los miembros, proporcionan el enlace necesario entre las fuerzas y los desplazamientos

de la estructura.

En el análisis de las estructuras estáticamente determinadas, en primer lugar se usan las ecuaciones de equilibrio para obtener las reacciones y las fuerzas internas de la estructura; enseguida, reemplean las relaciones de

fuerza-deformación en los miembros y las condiciones de compatibilidad, para determinar los desplazamientos de la propia estructura. Por ejemplo, considere la armadura estáticamente determinada que se

muestra en la fig. Se pueden determinar las fuerzas axiales en los miembros de la armadura al considerar el equilibrio del nodo A(véase la

fig.).

73

0XF 06.06.0 ACAB F ACAB FF

0YF 0500)8.0(2 ABF TkFF ACAB 5.312

De manera análoga, se pueden obtener las reacciones en los apoyos B y C

al considerar el equilibrio de los nodos B y C, respectivamente. Para

determinar el desplazamiento del nodo A de la armadura, en primer

lugar se emplea la relación de fuerza-deformación en los miembros

,LIAEF para calcular las deformaciones axiales en esos miembros:

ftACAB 313.0000 20

205.312

A continuación, estas deformaciones axiales en los miembros se relacionan

con el desplazamiento del nodo, usando la condición de compatibilidad

0.8 sen ACAB

en la cual supone que es pequeño. Nótese que la ecuación, expresa el requisito de compatibilidad de que los desplazamientos verticales de los

extremos A

74

de los miembros AB y AC deben ser iguales, al desplazamiento vertical, del nodo A. Sustituyendo la ecuación en la que se encuentra el

desplazamiento del nodo A es

También pudo calcularse el desplazamiento empleando el método del trabajo virtual formulado en el capítulo, en el cual se satisface de manera

automática las relaciones de fuerza-deformación en los miembros y las condiciones necesarias de compatibilidad.

Estructuras indeterminadas

En el análisis de las estructuras estáticamente indeterminadas, las ecuaciones de equilibrio por sí solas no son suficientes para la determinación de las reacciones y esfuerzas internas. Por lo tanto, se

vuelve necesario resolver las ecuaciones de equilibrio en conjunción con las condiciones de compatibilidad de la estructura, para determinar su respuesta. En virtud de que las ecuaciones de equilibrio contienen las

fuerzas desconocidas, en tanto que las condiciones de compatibilidad comprenden los desplazamientos como las incógnitas, se utilizan las

relaciones de fuerza-deformación de los miembros para expresar las fuerzas desconocidas en términos de los desplazamiento desconocidas en términos de los desplazamientos desconocidos o viceversa. Entonces se

resuelve el sistema resultante de ecuaciones, que sólo contiene un tipo de incógnitas, para las fuerzas o desplazamientos desconocidos, los cuales entonces se sustituyen en las relaciones fundamentales para determinar

las características restantes de respuesta de la estructura.

Considere, pro ejemplo, la armadura indeterminada que se muestra en la fig. La armadura se obtiene al agregar un miembro vertical AD a la armadura determinada del a figura 11.5 considera con anterioridad. El

diagrama de cuerpo libre del nodo A de la armadura se muestra en la figura 11.6. Las ecuaciones de equilibrio para este nodo quedan dadas por

0YF 5006.1 ACAB FF

Note que las dos ecuaciones de equilibrio no son suficientes para la

determinación de las tres fuerzas axiales desconocidas en los miembros. Las condiciones de compatibilidad se basan en el requisito de que los

desplazamientos del nodo A se muestran en la fig. 11.6. Si se supone que el desplazamiento FAB es pequeño, se escriben las condiciones de compatibilidad como

0.8 sen ACAB

75

AD

Al sustituir las ecuaciones se obtiene la relación deseada entre las deformaciones axiales en los miembros:

ACACAB

la cual indica que las deformaciones axiales del os miembros inclinados AB y AC son iguales a 0.8 multiplicando por la deformación axial del miembro vertical AD.

La sustitución de las ecuaciones (11.10) a (11.12) en la (11.9)da

ADACAB FFF 0006.08.0001.000.0

O bien,

ADACAB FFF 48.0

Ahora se pueden determinar las fuerzas axiales en los tres miembros de la

armadura, resolviendo la ecuación , simultáneamente con las dos ecuaciones de equilibrio.

TkFF ACAB 747.135 y Tk 805.282ADF

Ahora se pueden calcular las deformaciones axiales en los miembros al

sustituir estos valores de las fuerzas axiales en esos miembros en las relaciones de fuerza deformación de estos para obtener.

in 1.629 ft 136.0ACAB y inftAD 036.217.0

Por último, sustituyendo los valores de las deformaciones axiales en los miembros en las condiciones de compatibilidad, se determínale desplazamiento del nodo A como

in 0.036 ft 17.0

8h

76

DEFLEXIONES DE LAS VIGAS MÉTODOS GEOMÉTRICOS

METODO DE INTEGRACIÓN DIRECTA El método de integración directa nos permite determinar la ecuación de la

pendiente y de la deflexión a lo largo de la longitud de una viga. Las constantes de integración se determinan a partir de las ecuaciones de

frontera. Sin embargo, la aplicación del método a estructuras para las que la función M/EI no es continua puede ser bastante complicada. Se presenta este problema porque cada discontinuidad, debido al cambio en

la carga o en la rigidez a la flexión (EI), o en ambas condiciones, introduce dos constantes adicionales de integración en el análisis, las cuales debe evaluarse por la aplicación de las condiciones de continuidad de la curva

elástica, un proceso que puede ser tedioso. Sin embargo, se puede evitar esta dificultad y simplificarse un tanto el análisis mediante el empleo de

las funciones de singularidad definidas en la mayor parte de los libros de texto sobre mecánica de los materiales.

Ejemplo: Determine las ecuaciones para la pendiente y la deflexión de la viga mostrada en la figura 6.2(a), pro el método de integración directa. Asimismo, calcule la pendiente en cada uno de los extremos y la deflexión

a la mitad del claro de la viga. El es constante.

Solución Reacciones véase la fig. 6.2 (b).

0XF 0XA

0M B

02

LLwLAY

2

wLAY

0XF

02

YBwLwL

2

wLBY

Ecuación para el momento flexionante Con el fin de determinar la ecuación del momento flexionante para l viga, se pasa una distancia x del

apoyo A. Como se muestra en la figura 6.2 (b) Si se considera el cuerpo libre a la izquierda de esta sección, se obtiene

2

222xL

wxwxx

wLM x

77

Ecuación para MIEI. La rigidez, EI, de la viga es constante así que la ecuación para MIEI se puede escribir como

2

2

2

2xLx

EI

w

IE

M

dx

yd

Ecuaciones para la pendiente y la deflexión. La ecuación para la curva elástica de la viga se puede obtener al integrar la ecuación para MIEI como

1

32

322C

xLx

EI

w

dx

dy

Si se integra una vez más, se encuentra la ecuación de la deflexión como

21

43

1262CxC

xLx

EI

wy

Las constantes de integración C1 y C2 e evalúan por la aplicación de las siguientes ecuaciones en la frontera:

En el extremo A, x = L, y = 0 En el extremo B. x = L, y = 0

Al aplicar la primera condición en la frontera es decir, al hacer x = 0 y y = 0 en la ecuación para y se obtiene C2 = 0. A continuación, al aplicar la

segunda condición en la frontera es decir, al hacer x = Ly y = O en la ecuación para y se obtiene.

LCLL

EI

w1

42

12620

de lo cual

AEI

wLC

2

3

1

Por tanto, las ecuaciones para la pendiente y la deflexión de la viga son

12322

332 LxLx

EI

w

78

232

332 Lx

LxAEI

wy

Pendientes en los extremos A y B. Haciendo la sustitución x = 0 y L,

respectivamente en la ecuación (1), se obtiene.

EI

wL

24

3

o bien EI

wL

24

3

EI

wLB

24

3

o bien EI

wLB

24

3

Deflexión a la mitad del claro. Al sustituir x = L/2 en la ecuación (2), se obtiene

EI

wLyc

384

5 4

o bien EI

wLyc

384

5 4

MÉTODO DEL MOMENTO ÁREA El método se basa en dos teoremas, llamados teoremas de área de

momentos, que relacionan la configuración geométrica de la curva elástica de una viga con su diagrama de área de momento(M/EI) . El primer teorema del momento área, se puede enunciar como sigue:

El cambio en la pendiente entre dos puntos cualesquiera de la elástica de la viga es igual al área debajo del diagrama de área de momentos entre

dichos puntos, siempre que la curva elástica sea continua.

El segundo teorema del momento área, se puede enunciar como sigue:

La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con

respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área de área de momento bajo la curva entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.

Es importante hacer notar el orden de los subíndices usados para tB/A, el

primer subíndice denota el punto donde se determina la desviación y respecto del cual se evalúan los momentos, en tanto que el segundo subíndice denota el punto en donde se traza la tangente a la curva

elástica.

79

Determine las pendientes y deflexiones en los puntos B y C de la viga en

voladizo que se muestra en la fig. 6.4. por el método del momento – área.

SOLUCION Diagrama del momento flexionante en la fig. 6.4. (b), se muestra el diagrama del momento flexionante para la viga.

Diagrama M/EI como se indica en la fig. 6.4. (a) los valores del momento

de inercia de los segmentos AB y BC de la viga son de 6000 om4 y 3000 in4, respectivamente. Si se usa I = IBC = 3000 in4 como momento de referencia, se expresa IAB, en términos de I, como

IAB = 6000 = 2 (3000) = 21

Lo cual indica que para obtener el diagrama M/IE en términos del EI debe dividirse el diagrama del momento flexionante para el segmento AB entre

2, como se muestra en la fig. 4.6. (c ). Curva elástica para la viga se muestra en la fig. 6.4. Note que en virtud de

que el diagrama M/EI es negativo la viga se curva cóncava hacia abajo. Dado que el apoyo en A es fijo, la pendiente en este punto es cero

0A ; es decir, la tangente a la curva elástica en A es horizontal,

como se muestra en la fig.

pendiente en B teniendo conocida la pendiente en A, se puede determinar

la pendiente en B al evaluar el cambio en la pendiente BA = área del

diagrama M/EI entre A y B. Está área se puede calcular al dividir el diagrama M/EI en dos partes, una rectangular y otra triangular, como se

muestra en la fig. 6.4. (c ) por tanto.

EI

ftK

EI

IbBA

2262515150

2

115100

En la fig. 6.4. se puede ver que, en virtud de la tangente en A es horizontal

(en la dirección del eje no deformado de la viga), la pendiente en B AB es

igual al ángulo AB entre las tangentes en A y B es decir.

EL

inK

EI

ftkBA

222

3

1226252625

sustituyendo los valores numéricos de E=29000 ksi e I=3000in2 se obtiene

80

radrad 0043.0300029000

1226252

2

radb 0043.0

Deflexión en B A partir de la fig. 6.4 (d), se puede ver que la deflexión en B con respecto al eje no deformado de la viga es igual a la desviación tangencial de ese punto respecto de la tangente en A : es decir.

BA3

De acuerdo con el segundo teorema del momento – área

BA momento del área del diagrama M/EI entre A y B, respecto de B

EI

ftk

EI

I322500

10151502

15.715100

EI

ftkRAR

322500

in45.0300029000

12225003

pendiente en C con base en la fig. 6.4 (d ) se puede ver que donde

CAcc

donde

CA área del diagrama M/EI entre A y C

EI

ftK

EL

I23625

1020015502

15100

81

por lo tanto

EI

ftkcc CA

23625

rad

EI

kt

006.0300029000

123625

362

2

2

006.0cc

Deflexión en CE en la fig. 6.4. (d) se puede ver que

CAc

donde

CA= momento del área del diagrama M/EI entre A y C, respecto de C

EI

ftk

EI

I

55420

67.6102002

1101015150

2

1105.715100

Por lo tanto

inftk

c CA 1.1300029000

55420 3

inc .1.1

82

MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

El método de la viga conjugada proporciona un medio más conveniente de cálculo de las pendientes y deflexiones de las vigas que el método del área de momento .

En este método, se supone una viga ficticia llamada viga conjugada que

tiene el mismo claro que la viga original cuyas condiciones de apoyo respetan las deformaciones que aparecen en los apoyos de la viga real de forma tal que si la viga conjugada se carga con el diagrama M/EI de la viga

real, la fuerza cortante de la viga conjugada en una sección cualquiera es igual a la pendiente de la tangente de la viga real en ese punto; mientras

que el momento flexionante de la viga conjugada en un punto cualquiera es igual al desplazamiento de ese punto en la viga real. La viga ficticia se conoce como viga conjugada y se define como:

Una viga conjugada correspondiente a una viga real es una viga ficticia de la misma longitud que la real, pero que está externamente apoyada e

internamente conectada, de suerte que si la conjugada se carga con el diagrama M/EI de la real, la cortante y el momento flexionante en cualquier punto correspondiente de la viga real.

APOYOS PARA LAS VIGAS CONJUGADAS

Un apoyo articulado o de rodillo en uno de los extremos de la viga real sigue siendo el mismo en la viga conjugada. Esto se debe a que en ese tipo

de apoyos puede haber pendientes, pero no deflexión, de la viga real. Como consecuencia, en el extremo correspondiente de la conjugada debe haber cortante, pero no el momento flexionante, y un apoyo articulado o de

rodillo en este extremo satisfaría estas condiciones. Ya que en un apoyo fijo es un extremo . Inversamente, un extremo libre de una viga real se

convierte en un apoyo fijo en la conjugada, porque en ese extremo de la viga real puede haber pendiente, así como deflexión; por consiguiente, la viga conjugada debe desarrollar tanto cortante como momento flexionante

en ese punto. En un apoyo interior de una viga real no hay deflexión, pero la pendiente es continua (es decir no hay cambio abrupto de la pendiente de uno de los lados del apoyo al otro), así que el punto correspondiente de

la viga conjugada se convierte en una articulación interna, en la cual el momento flexionante es cero y la cortante es continua. Por último, en una

articulación interna en la viga real puede haber deflexión, así como pendiente discontinua de la propia viga. Como consecuencia , la viga conjugada debe tener momento flexionante y un cambio abrupto de la

cortante en ese punto. En virtud de que un apoyo interior satisface esto dos requisitos, una articulación interna en la viga real se transforma en un apoyo interior en la conjugada.

83

Determine las pendientes y deflexiones en los puntos B y C de la viga en voladizo mostrada en la fig. 6.12. (b) por el método de la viga conjugada.

SOLUCION

Diagrama M/EI esta viga se analizó en el ejemplo 6.2. por el método del momento – área. en la fig. 6.12. (b) se muestra el diagrama M/EI para el momento de inercia de referencia I = 3000 in4.

Viga conjugada en la fig. 6.12 (c ) se muestra la viga conjugada, cargada

con el diagrama M/IE de la viga real. Note que el punto A, cual está fijo en la viga real, se convierte en libre en la viga conjugada: en tanto que el punto C, el cual es libre en la viga real, se convierte en fijo en la viga

conjugada. Debido a que el diagrama M/EI es negativo, se aplica como una carga hacia abajo sobre la viga conjugada.

Pendiente en B la pendiente en B de la viga es igual a la cortante en B de la conjugada. Si se utiliza el cuerpo libre de la viga conjugada a la

izquierda de B y se consideran las fuerzas que actúan hacia arriba sobre ese cuerpo libre como positivas, de acuerdo con la convención de los signos de la viga (véase la fig. 5.2.) se calcula la cortante en B, en esa viga

conjugada como

EI

ftk

EISB

2262515150

2

115100

1

Por lo tanto, la pendiente en B de la viga real es

EL

ftkB

22625

Sustituyendo los valores numéricos de E e I , se obtiene

radV 0043.0300029000

122652

radB 0043.0

84

deflexión en B la deflexión en B de la viga real es igual al momento flexionante en B de la viga conjugada. Usando el cuerpo libre de la viga

conjugada a la izquierda de B y considerando los momentos en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj de las fuerzas externas que actúan en torno a B como positivos, según la convención de los signos de

la viga fig. 5.2. se calcula el momento flexionante en B de la viga conjugada como

EI

ftk

EI

IM B

3225001015150

2

1.5.715100

Por lo tanto , la deflexión en B de la viga real es

inEI

ftkB 45.0

300029000

12225002250033

pendiente en C si se utiliza el cuerpo libre de la viga conjugada a la izquierda de C, determina la cortante en C como

EI

ft

EI

ISc

2362510200

2

115150

2

115100

Por consiguiente, la pendiente en C de la viga real es

radEI

ftkC 006.0

300029000

12362362522

radcc 006.0

Deflexión en C considerando el cuerpo libre de la viga conjugada a la

izquierda de C, se obtiene.

85

EI

ftk

EIM C

355420

67.6102002

120150

2

1.5.715100

1

Como consecuencia, la deflexión en C de la viga real es

inEL

ftkc 1.1

300029000

1255420554203

inc .1.1

DEFLEXIONES DE LAS ARMADURAS, VIGAS ARMAZONES: METODOS

DEL TRABAJO Y ENERGIA

DEFLEXIONES DE LAS ARMADURAS POR EL MÉTODO DEL TRABAJO

VIRTUAL

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Se basa en la conservación de la energía en una estructura , se llama a

veces método de la carga unitaria , nos proporciona la manera para obtener el desplazamiento y la pendiente en un punto sobre una

estructura ya sea una viga , una estructura , un marco o una armadura. Si se considera una estructura deformable que se aplique una serie de cargas externas P , esto generara cargas internas u en puntos de la

estructura . Es necesario que las cargas externas e internas queden relacionadas por las ecuaciones de equilibrio , estas cargas externas e internas producirán desplazamamientos externos ∆ e internos δ.Por lo

tanto estos desplazamientos externos e internos deben estar relacionados entre si por la compatibilidad de los desplazamientos.El principio se

establece de siguiente manera: ∑P∆ = ∑u δ Trabajo de Trabajo de las

86

las cargas cargas internas

externas

Supongamos que se quiera determinar el desplazamiento ∆ del punto A (figura 1) sobre el cuerpo causado por las cargas externas P1,P2,P3 , como ninguna carga externa actúa en el punto A del cuerpo y en la dirección ∆ ,

se puede determinar ∆ suponiendo primero que el cuerpo esta sometido por una carga virtual P’ en la dirección ∆ ,por conveniencia esta carga tendrá el valor P’=1(magnitud unitaria), esta carga externa virtual genera

una carga interna virtual u , como resultado de esas cargas el cuerpo experimentara desplazamientos virtuales (externos e internos) , luego se

carga al cuerpo con las cargas reales P1,P2,P3 .El punto A se desplaza ∆ y ocasiona deformaciones internas reales dL (figura2) .El trabajo virtual externo estará dado por la siguiente ecuación 1∆ y el trabajo virtual

interno udL , por lo que podemos escribir la ecuación del trabajo virtual como

1∆ = ∑u dL Donde :

∆ = Desplazamiento real externo causado por las cargas externas. P’ =Carga unitaria virtual externa en la dirección ∆ u= Carga interna virtual ,producida por la carga externa virtual.

dL= Deformación interna real causada por las cargas externas al cuerpo De igual manera se puede determinar la pendiente en un punto sobre una

estructura , aquí se empleara un momento virtual (M’)de magnitud unitaria en el punto , la ecuación tendrá la siguiente forma 1θ = ∑u dL

Donde : M’= Momento unitario virtual externo que actúa en la dirección de θ

u = Carga interna virtual ,producida por el par virtual externo M’ θ = Pendiente externo cuasado por las cargas reales. dL= Deformación interna real causada por las cargas externas al cuerpo

Este método también se le denomina método de las fuerzas virtuales , ya que se emplea una fuerza virtual para determinar desplazamientos reales.

ARMADURAS Cargas externas

Para determinar el desplazamiento en un nudo generado por cargas externas en la armadura podemos emplear la siguiente ecuación:

1∆ = ∑uUL/AE

Donde : ∆ = Desplazamiento externo del nudo causados por las cargas externas en

la armadura . u= Carga interna normal en el miembro de la armadura causado por la carga externa virtual .

87

U =Carga interna real en el miembro de la armadura causado por las

cargas externas reales. L =Longitud de un miembro

A= Area de la sección transversal de un miembro E=Modulo de Young de un miembro.

Cambios de temperatura La expresión del método del trabajo virtual, es bastante general en el sentido de que se puede usar para determinar deflexiones de las

armaduras debidas a cambios de la temperatura, errores de fabricación y cualquier efecto para los cuales se conocen o se pueden evaluar de

antemano las deformaciones axiales de los miembros.

La deformación axial de un miembro j de la armadura, de longitud L,

debida a un cambio en la temperatura ( T ) se expresa por

1∆ = ∑u(α∆T L) Donde :

u= carga interna normal en la armadura causado por la carga externa virtual . ∆ = Desplazamiento externo real del nudo por el cambio de temperatura

α = Coeficiente de dilatación longitudinal térmica del elemento ∆T =Variación de temperatura del elemento.

L =Longitud del miembro. La cual se puede usar para calcular las deflexiones de las armaduras

debidas a los cambios en la temperatura. Errores de fabricación

Los errores de fabricación pueden ocurrir por errores en las longitudes de los miembros de una armadura ,también algunos miembros deben

fabricarse mas largo o mas cortos a los de diseño para combar la armadura (puente) , cuando estos elementos se realiza su ensamblaje al no tener las medidas de diseño producen desplazamientos de un nudo de la

armadura respecto a su posición ala que fue diseñada , dicho desplazamiento puede determinarse mediante la siguiente ecuación:

1∆ = ∑u ∆L

Donde : ∆ = Desplazamiento externo real del nudo causado por el error de

fabricación en el miembro de la armadura. u= carga interna normal en la armadura causado por la carga externa virtual .

∆L = Diferencia en longitud del miembro respecto a su tamaño de diseño causada por un error de fabricación.

88

DEFLEXIONES DE LAS VIGAS POR EL MÉTODO DEL TRABAJO

VIRTUAL Si se desea calcular la deflexión en un punto de una viga elástica mediante

el método del trabajo virtual , una fuerza virtual debe ser aplicada en la dirección y sentido que se busca su desplazamiento ,esta fuerza virtual ocasionara momentos internos en las secciones de la viga ,como se

muestra en la figura. A medida que las fuerzas reales se aplican a la viga , los momentos flexionantes reales M hacen girar las secciones transversales de la viga en

Mdx/EI , de manera que el trabajo interno realizado sobre un elemento de la viga por los momentos virtuales m será ∫mMdx/EI y el trabajo externo

realizado por la carga virtual será 1x∆ , la ecuación quedara como:

1∆ = ∫mMdx/EI

Donde: ∆ = Desplazamiento externo en el punto en la viga originado por la carga

externa. m= Momento interno virtual originado por la carga virtual. M =Momento interno real originado por la carga externa.

EI =Rigidez a la flexión de la viga. L=Longitud de la vga. Una expresión análoga se puede usar para determinar la pendiente de una

sección transversal de la viga. Para este caso en vez de aplicar una carga virtual , se le aplica a la viga en la sección que se investiga un momento

externo virtual ,dicho momento originara momentos internos m ,luego a medida que se aplica las cargas reales están causan giros Mdx/EI en la sección transversal .Por lo tanto la expresión quedara como.

1θ = ∫mMdx/EI

Donde : θ = Pendiente de la sección transversal originado por la cargas reales. m= Momentos internos virtuales originados por el par externo virtual.

M =Momento interno real originado por la carga externa. EI =Rigidez a la flexión de la viga.

Determine la pendiente y la deflexión en el punto A de la viga mostrada en

la figura 7.10 , por método del trabajo virtual. Sistema real véase la fig. 7.10 (b)

Pendiente en A, , el sistema virtual consta de un par unitario en A como

se muestra en la fig. 10 (c ), se puede ver que no hay discontinuidades de

las cargas real y virtual o del El a lo largo de la viga. Por consiguiente no hay necesidad de subdividir la viga en segmentos. Para determinar la

ecuación del momento flexionante M. Debido a la carga real, se selecciona

89

una coordenada x con su origen en el extremo A de la viga, como se

muestra en la fig. 7.10 (b). Mediante la aplicación del método de las secciones , se determina la ecuación para M como

L

wxx

L

wxxMLx

632

10

2

de modo análogo, la ecuación para el momento flexionante Mvi, debido al

momento unitario virtual, en términos de la misma coordenada x es :

10 MviLx

Para determinar la pendiente deseada A , se aplica la expresión para el

trabajo virtual dado por la ecuación (7.31):

dxLEI

wxdx

EI

MviM Ll

L

L

A6

113

00

EI

wLx

EIL

wA

2446

34

EI

wL

24

3

Deflexión en A, A . El sistema virtual de una carga unitaria aplicada en A.

como se muestra en la fig. 7.10 (d). Si se usa la misma coordenada x que

se usó para calcular

Deflexión en A,A el sistema virtual consta de una carga unitaria

aplicada en A, como se muestra en la fig 7.10(d). Si se usa la misma

coordenada x que se usó para calcular A , flexionanteMv2, debido a la

carga unitaria virtal (fig. 7.10) (d), se expresa por

xx1MLx0 2v

Mediante la aplicación de la expresión del trabajo virtual dada por

ecuación (7.30)

dxLEI6

wxxdx

EI

MM1

3L

02vL

0A

90

EI30

wL

5

X

EIL6

w 4lL

0

5

A

La respuesta positiva para A indica que el punto A se desvía hacia abajo,

en la dirección de la carga unitaria.

Deflexiones de los armazones por método del trabaja virtual La aplicación del método del trabajo virtual para determinar las pendientes

y deflexiones de los armazones es semejante a la realizada para las vigas.

SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO

Este método, el cual sólo se puede aplicar a las estructuras linealmente elásticas, se le conoce como segundo teorema de Castigliano. El segundo teorema de Castigliano se puede enunciar como sigue:

Para las estructuras linealmente elásticas, la derivada parcial de la energía

de deformación con respecto a una fuerza aplicada (o par aplicado) es igual al desplazamiento (o pendiente) de la fuerza (o par) a lo largo de su línea de acción.

En forma matemática, este teorema se puede expresar como:

i i

i

U Uo

P M

En la cual U= energía de deformación: ∆i = deflexión del punto de

aplicación de la fuerza Pi en la dirección de b iP y rotación del punto de

aplicación del par iM en la dirección de iM .

Aplicación a la armadura Con el fin de desarrollar la expresión del segundo teorema de Castigliano, la cual se pueda usar para determinar las deflexiones de las armaduras, se

puede sustituir la energía de deformación (U) de las armaduras , en la expresión general de ese segundo teorema para las deflexiones, para

obtener:

2

7.582

F F L

P AE

91

Como la derivada parcial 2 / 2 ( / )F P F F P , la expresión del segundo

teorema de Castigliano para las armaduras se puede escribir como:

7.59F FL

P AE

La ecuación anterior es semejante en forma a la expresión del método del trabajo virtual para las armaduras .

Aplicación a las vigas Al sustituir la energía de deformación (U) de las vigas en las expresiones

generales del segundo teorema de Castigliano por la ecuación anterior se obtienen las expresiones siguientes para las deflexiones y rotaciones

respectivamente de las vigas:

2 2

02 2

7.60

L L

O O

L

O

M Mdx y dx

P EI M EI

O bien

M Mdx

P EI

Y bien

7.61L

O

M Mdx

P EI

Aplicación a los armazones

De modo análogo, al sustituir la energía de deformación (U) de los armazones debida a las fuerzas axiales y a la flexión en las expresiones generales de segundo teorema de Castigliano , se obtienen las expresiones

siguientes para las deflexiones y rotaciones respectivamente de los armazones:

7.62

7.63

F FL M Mdx

P AE P EI

y

F FL M Mdx

P AE EIM

92

Cuando en el análisis, se desprecia el efecto de las deformaciones axiales de los miembros de los armazones, las ecuaciones anteriores se reducen a:

7.64

7.65

M Mdx

P EI

y

M Mdx

EIM

Ejemplo: Determina la deflexión en el punto C de la viga mostrada en la figura 7.18 (a) por el segundo teorema de Castigliano.

Solución:

Esta viga se analizó con anterioridad por los métodos del momento – área, de la viga conjugada y del trabajo virtual.

La carga externa de 12K ya está actuando en el punto C, en donde se va a determinar la deflexión, de modo que esta carga se designa como la variables P, como se muestra en la figura 7.18 (b). Enseguida se calculan

las reacciones de la viga en términos de P. éstas también se muestran en la figura 7.18 (b). Dado que la carga es discontinua en el punto B, la viga

se divide en dos segmentos, AB y BC. En las figuras 7.18 (b) se muestran coordenadas X usadas para la determinación de las ecuaciones del momento flexionante en los dos segmentos de la viga.

93

En la tabla 7.9, se hacen constar las ecuaciones para M (en términos de P) obtenidas para los dos segmentos, junto con las derivadas parciales de M con respecto a P.

Ahora se puede determinar la deflexión en C al sustituir P= 12 k en las

ecuaciones para M y ∂M/∂P y por la aplicación de la expresión del segundo teorema de Castigliano.

30 102

0 0

1230 12

3 3

L

CO

M Mdx

P EI

I X xx x dx x x dx

EI

30 102

0 0

33

26 123

6500 1265000.194

29000 2000

I Xx x dx x x dx

IE

k ftin

EI

La respuesta negativa para ∆C indica que el punto C se desvía hacia arriba

en la dirección opuesta a la de P. ∆C= 0.194 in ↑

Ejemplo:

Determina la rotación en el nodo C del armazón mostrado en la Figura 7.19 (b) por el segundo teorema de Castigliano.

Solución: Este armazón se analizo con anterioridad por el método del trabajo virtual,

Ningún par externo está actuando en el nodo C, en donde se desea la

rotación, de modo que se aplica un par ficticio 0M en C, como se

muestra en la figura 7.19 (b). las coordenadas X usadas para la determinación de las ecuaciones de los momentos flexionantes para los

tres segmentos del armazón también se muestran en la figura 7.19 (b) y

las ecuaciones para M en términos de M y /M M , obtenidas para los

94

tres segmentos se hacen constar en la tabla 7.10. Ahora se puede

determinar la rotación en el nodo C del armazón al hacer 0M en las

ecuaciones para M y /M M , y por la aplicación de la expresión del

segundo teorema de Castigliano.

C

M Mdx

EIM

2

30

0

22

38.5 1.530 2

6487.5 126487.50.0129

29000 2500

0.0129c

x xx dx

k ftrad

EI

rad

95

Ley de Betti y Ley de Maxwell de las deflexiones Recíprocas

La ley de Maxwell de las deflexiones recíprocas, desempeña un papel importante en el análisis de las estructuras estadísticamente

indeterminadas. La ley de Maxwell se deducirá aquí como un caso especial de la ley de Betti,la que se puede enunciar como sigue:

Para una estructura linealmente elástica, el trabajo virtual realizado por un sistema P de fuerzas y pares actuando a través de la deformación

causada por otro sistema Q de fuerzas y pares es igual al trabajo virtual del sistema Q actuando a través de la deformación debida al sistema P.

Para demostrar la validez de esta ley, considérese la viga que se muestra en la figura 7.21. la viga está sujeta a dos sistemas diferentes de fuerza,

los sistemas P y Q, como se muestra en la figuras 7.21 (a) y (b), respectivamente. Ahora, supongamos que esa viga, que tienen las fuerzas P ya actuando sobre ella (Fig. 7.21 (a), se sujeta a las deflexiones causadas

por el sistema Q (Fig. 7.21 (b)). El trabajo virtual externo (Wue) realizado se puede escribir como:

96

1 1 2 2

1

...

,

Ue Q Q n Qn

n

ue i Qi

i

W P P P

obien

W P

Al aplicar el principio de las fuerzas virtuales para los cuerpos

deformables, Ue viW W y si se aplica la expresión para el trabajo virtual

interno realizado en las vigas , se obtiene:

1

7.66n L P Q

i QiO

i

M MP dx

EI

A continuación, supóngase que la viga con las fuerzas Q actuando sobre ella (Fig. 7.21 (b)) se sujeta a las deflexiones causadas por las fuerzas P (Fig. 7.218 a). al igual el trabajo virtual externo con el trabajo virtual

interno, se obtiene.

1

7.67m L Q p

i piO

i

M MQ dx

EI

Notando que los segundos miembros de las ecuaciones (7.66) y (7.67) son idénticos se igualan los primeros miembros para obtener :

1

7.68n m

Qi j Pj

i j I

P Q

La ecuación (7.68) representa el enunciado matemático de la ley de Betti.

La ley de Maxwell de las deflexiones recíprocas afirma que para una

estructura linealmente elástica, la deflexión en un punto i debida a una

97

carga unitaria aplicada en un punto j es igual a la deflexión en j debida a

una carga unitaria en i.

En este enunciado, los términos deflexión y carga se usan en el sentido general para incluir la rotación y el par, respectivamente. Como se mencionó con anterioridad, la ley de Maxwell se puede considerar como un

caso especial de la ley de Betti. Para probar la ley de Maxwell, considere la viga que se muestra en la figura 7.22. la viga está sujeta por separado a los sistemas P y Q, que consisten en las cargas unitarias en los puntos i y

j; respectivamente, como se muestra en las figuras 7.22 (a) y (b). Como se indica en la figura, fij representa la deflexión en i debida a la carga unitaria

en j, en tanto que fij denota la deflexión en j debida a la carga unitaria en i. Estas deflexiones por unidad de carga se mencionan como coeficientes de

flexibilidad. Al aplicar la ley de Betti (ecuación (7.68) se obtiene:

ij jiI f I f

,

7.69ij ji

o bien

f f

Que es la expresión matemática de la ley de Maxwell.

La relación recíproca sigue siendo válida entre las rotaciones causadas por dos pares unitarios, así como entre la deflexión la rotación causada por un par de unitario y una fuerza unitaria, respectivamente

98

LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA ESTRUCTURAS

ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

LÍNEAS DE INFLUENCIA

Las líneas de influencia tienen importantes aplicaciones en el diseño de estructuras que resisten grandes cargas vivas.

Si una estructura está sometida a una carga viva o móvil, la variación de la fuerza cortante y del momento flexionante en el miembro se describe

mejor usando la línea de influencia. Una línea de influencia representa la variación de la reacción, de la fuerza cortante, del momento flexionante o de la deflexión en un punto específico de un miembro cuando una fuerza

concentrada se mueve sobre el miembro. Una vez construida esta línea, puede verse claramente dónde debe colocarse una carga viva sobre la

estructura para que genere la máxima influencia en el punto especificado. Además, la magnitud de la reacción, fuerza cortante, momento o deflexión asociadas en el punto puede entonces calcularse a partir de las ordenadas

del diagrama de la línea influenciada.

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Cualquiera de los siguientes procedimientos puede usarse para construir la línea de influencia en un punto P específico de un miembro para

cualquier función (reacción, fuerza cortante o momento). En estos procedimientos escogeremos la fuerza móvil con una magnitud unitaria adimensional.

Ecuaciones de las líneas de influencia

La línea de influencia puede también construirse colocando la carga unitaria en una posición x variable sobre el miembro y luego calcular el valor de R, V o M en el punto como función de x. De esta manera, pueden

determinarse y trazarse las ecuaciones de los varios segmentos de línea que componen la línea de influencia.

LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA VIGAS

Las vigas o trabes son a menudo los elementos principales portadores de carga de un sistema de piso o de la cubierta de un puente, es importante

poder construir las líneas de influencia para las reacciones, fuerza cortante o momento en cualquier punto especificado de una viga.

99

CARGAS

Una vez construida la línea de influencia para una función (reacción,

fuerza cortante o momento) será entonces posible localizar las cargas vivas sobre la viga que produzcan el valor máximo de la función. Respecto a esto, se considerarán ahora dos tipos de cargas.

FUERZA CONCENTRADA

Como los valores numéricos de una función para una línea de influencia se determinan usando una carga unitaria sin dimensiones, entonces para

cualquier fuerza concentrada F que actúe sobre la viga en cualquier posición x, el valor de la función puede encontrarse multiplicando la ordenada de la línea de influencia en la posición x por la magnitud de F.

Por ejemplo, la línea de influencia para la reacción en A sobre la viga AB, figura 6-7a, es la mostrada en la figura 6-7b. como se muestra, cuando la

carga unitaria está en x = 1

2, la reacción en A es Ay =

1

2. Por lo tanto, si la

Fuerza (lb) está en este mismo punto, figura 6-7a , la reacción es

Ay = (1

2) F(lb). Por supuesto, éste mismo valor puede también determinarse

por estática. Obviamente, la influencia máxima causada por F ocurre cuando ésta se coloca sobre la viga en la misma posición que el punto máximo de la línea de influencia, en este caso en x = 0, cuando la reacción

sería Ay = (1) (F) (lb).

100

CARGA UNIFORME

En general, el valor de una función causada por una carga uniforme

distribuida es simplemente el área bajo la línea de influencia para la función, multiplicada por la intensidad de la carga uniforme. Por ejemplo, en el caso de una viga cargada uniformemente, figura 6-9a, la reacción Ay

puede determinarse con la línea de influencia, figura 6-9b como:

Ay = (área) (w) = 1 1

(1)(L)w wL2 2

Este valor puede también, por supuesto,

calcularse la estática.

El siguiente ejemplo ilustran estos conceptos numéricamente.

LINEAS DE INFLUENCIA CUALITATIVA

Se le llama principio de Müller – Breslau y establece que la línea de influencia para una función (reacción, fuerza cortante o momento) es, a la

misma escala, la forma reflexionada de la viga cuando sobre ésta actúa la función. Para dibujar la forma reflexionada apropiadamente, la capacidad de la viga para resistir la función aplicada debe retirarse de manera que la

viga pueda reflexionarse cuando se aplica la función. Por ejemplo, considere la viga en la figura 6-12a. Si va a determinarse la línea de influencia para la reacción vertical en A, el pasador se reemplaza primero

por un rodillo guiado, como se muestra en la figura 6-12b. Se requiere un rodillo guiado ya que la viga debe aún resistir una fuerza horizontal en A

pero ninguna fuerza vertical. Cuando se aplica entonces la fuerza positiva (hacia arriba) Ay en A, la viga asume la posición indicada por la línea interrumpida, que representa la forma general de la línea de influencia

para Ay, figura 6-12c .Si va a determinarse la forma de la línea de influencia para la fuerza cortante en C, figura 6-13a, la conexión en C

101

puede simbolizarse por un rodillo guiado, como se muestra en la figura 6-

13b.

Este dispositivo resistirá un momento y una fuerza axial pero ninguna fuerza cortante. Si aplicamos una fuerza cortante positiva VC a la viga en C y permitimos que la viga asuma la posición indicada por la línea cortada,

encontramos la forma de la línea de influencia que se muestra en la figura 6-13c. Finalmente, si va a determinarse la forma de la línea influencia

para el momento de C, figura 6-14a, se coloca un pasador o articulación interna en C, ya que esta conexión resiste fuerzas axiales y cortantes pero no puede resistir un momento, figura 6-14b. Aplicando momentos

positivos MC a la viga, ésta sufrirá deflexión según la línea interrumpida, que es la forma de la línea de influencia, figura 6-14c.

102

La prueba del principio de Müller – Breslau puede establecerse usando el principio del trabajo virtual. Recuerde que trabajo es el producto de un

desplazamiento lineal y una fuerza en la dirección del desplazamiento lineal o bien un desplazamiento rotacional y un momento en la dirección del desplazamiento rotacional. Si un cuerpo rígido (viga) está en equilibrio,

la fuerza y el momento resultantes sobre ella son iguales a cero. En consecuencia, si al cuerpo se le da un desplazamiento virtual o imaginario, el trabajo hecho por todas las fuerzas y momentos concentrados que

actúan sobre él debe también ser igual a cero. Considere, por ejemplo, la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 6-15a, sometida a

la carga unitaria en un punto arbitrario a lo largo de su longitud. Si a la

viga se le da un desplazamiento virtual (o imaginario) y en el soporte A,

figura 6-15b, entonces sólo la reacción Ay en el soporte y la carga unitaria efectúan un trabajo virtual. Específicamente Ay efectúa trabajo positivo Ay

y y la carga unitaria efectúa trabajo negativo, -1 y’. (El soporte en B no

se mueve y por tanto la fuerza en B no trabaja). Como la viga está en equilibrio y en realidad no se mueve, el trabajo virtual suma cero, esto es,

Ay y – 1 y’ = 0

Note que si y se hace igual a 1, entonces,

Ay = y’

En otras palabras, el valor numérico de la reacción en A es equivalente al

desplazamiento en la posición de la carga unitaria de manera que la forma de la línea de influencia para la reacción en A ha sido establecida (véase la figura 6-12). Esto prueba el principio de Müller – Breslau para reacciones.

103

De la misma manera, si la viga secciona en C, y la viga sufre un

desplazamiento virtual y en este punto, figura 6-15c, tal que los

segmentos AC y BC permanecen paralelos, entonces sólo trabajarán la fuerza cortante interna en C y la carga unitaria. Así, la ecuación del trabajo virtual es

CV y 1 y ' 0

Nuevamente, si y se hace igual a 1, entonces

CV y '

y la forma de la línea de influencia para la fuerza cortante en C ha sido

establecida (véase la figura 6-13).

Finalmente, suponga que una articulación o un pasador se inserta en el punto C de la viga, figura 6-15d. Si se le da al pasador una rotación virtual

, sólo efectuarán un trabajo virtual el momento interno MC y la carga

unitaria. Así.

MC - 1 y’ = 0

104

Haciendo = 1, se ve que

MC = y’

Lo que indica que la viga reflexionada tiene la misma forma que la línea de influencia para el momento interno en el punto C (vea la figura 6-14).

Es obvio que el principio de Müller – Breslau proporciona un método rápido para establecer la forma de la línea de influencia. Una vez conocida

ésta, las ordenadas de los máximos pueden determinarse usando el método básico analizando en la sección 6.1 Además, conociendo la forma

general de la línea de influencia, es posible situar la carga viva sobre la viga y luego determinar el valor máximo de la función usando la estática. El ejemplo 6-12 ilustra este procedimiento.

LINEAS DE INFLUENCIA PARA TRABES DE PISO

En algunas ocasiones, los sistema de piso se construyen como se muestra en la figura 6-20a, donde puede verse que las cargas de piso se transmiten

primero de las losas a las vigas de piso, luego a las trabes laterales y finalmente a las columnas de soporte. En la figura 6-20b se muestra un modelo idealizado de este sistema. Aquí se supone que la losa transmite su

carga en una dirección y que está segmentada en claros simplemente apoyados que descansan sobre las vigas de piso. Además, la trabe está

simplemente apoyada sobre las columnas. Como las trabes son miembros principales de carga en este sistema, es a veces necesario construir sus líneas de influencia de fuerzas cortantes y momento flexionante. Esto es

así especialmente parea edificios industriales sometidos a fuertes cargas concentradas. En este sentido, obsérvese que una carga unitaria sobre la

losa de piso se transfiere a la trabe sólo en puntos en que ésta está en contacto con las vigas de piso, o sea, en los puntos A, B, C y D. Estos puntos se llaman puntos de tablero y la región entre ellos se llama tablero,

como el BC en la figura 6-20b.

105

La línea de influencia para un punto específico sobre la trabe puede

determinarse usando el mismo procedimiento estático que en la sección 6.1; esto es, coloque la carga unitaria en varios puntos x sobre la losa de piso y siempre calcule la función (fuerza cortante o momento) en el punto

P especificado en la trabe, figura 6-20b. Trazando esos valores versus x se obtiene la línea de influencia para la función en P. En particular, el valor para el momento interno en un tablero de trabe dependerá de dónde se

escoja el punto P para la línea de influencia, ya que la magnitud de Mp depende de la localización del punto d desde el extremo de la trabe. Por

ejemplo, si la carga unitaria actúa sobre la losa de piso como se muestra en la figura 6-20c, primero se encuentran las reacciones FB y FC sobre la losa y luego se calculan las reacciones F1 y F2 sobre la trabe. El momento

interno en P se determina entonces con el método de la secciones, figura 6-20 d. Esto da, Mp = F1d – FB(d- s). Usando un análisis similar puede determinarse la fuerza cortante interna Vp. Sin embargo, en este caso Vp

será constante todo el tablero BC (Vp = F1 – FB) y no depende de la localización exacta de P dentro del tablero. Por esta razón, las líneas de

influencia para la fuerza cortante en trabes de piso se especifican para

106

tableros en la trabe y no para puntos específicos a lo largo de ésta. A la

fuerza cortante se le llama entonces fuerza cortante de tablero. Debe notarse también que como la trabe es afectada sólo por las cargas

transmitidas por las vigas de piso, la carga unitaria tiene que colocarse sólo en cada posición de la viga de piso para establecer los datos que se requieren para dibujar la línea de influencia.

LINEAS DE INFLUENCIA PARA ARMADURAS

Las armaduras se usan a menudo como elementos primarios de carga para puentes. Por consiguiente, para el diseño es importante poder construir las líneas de influencia para cada uno de sus miembros. Como

se muestra en la figura 6-23, la carga sobre la cubierta del puente se transmite primero a las vigas de puente, que a su vez transmiten la carga

a las vigas de piso y luego a los nudos de la cuerda inferior de la armadura. Como los miembros de la armadura son afectados sólo por la carga en los nudos, podemos obtener las ordenadas de la línea de

influencia para un miembro cargando cada nudo a lo largo de la cubierta con una carga unitaria y luego usar el método de los nudos o el método de

las secciones para calcular la fuerza en el miembro. Los datos pueden disponerse en forma tabular, registrando “carga unitaria en nudo” versus “fuerza en miembro”. Si la fuerza en el miembro es de tensión, se

considera como valor positivo; si es de compresión, se considera negativo. La línea de influencia para el miembro se construye trazando los datos y dibujando líneas rectas entre los puntos.

107

CARGAS VIVAS PARA PUENTES PUENTES CARRETEROS

La carga vehicular más pesada que se encuentra es la causada por una

serie de camiones. Las especificaciones para cargas de camión sobre puentes carreteros están contenidas en el código de la American Association of State and Highway Transportation Officials (AASHTO). Para

camiones de dos ejes, estas cargas se designan con una H, seguida del peso del camión en toneladas y otro número, que da el año de la

especificación en que se reportó la carga. Por ejemplo, un H15-44 es un camión de 15 toneladas como se da en las especificaciones de 1944. Los camiones de la serie H pesan entre 10 y 20 toneladas. Sin embargo, los

puentes localizados en la mayoría de las carreteras, que soportan una gran cantidad de tránsito, se diseñan a menudo para camiones de dos ejes más un semirremolque de un eje. Estas cargas se designan HS, por ejemplo,

HS 20 – 44. En general, una carga de camión seleccionada para un diseño depende del tipo de puente, de su localización y del tipo de tránsito

esperado.

108

El tamaño del “camión estándar” y la distribución de su peso se indican también en las especificaciones AASHTO. Por ejemplo, el HS 20-44 se

muestra en la figura 6-27. Aunque se supone que los camiones ocupan carriles de 10 ft, no todos los carriles sobre el puente tienen que estar totalmente cargados con una fila de camiones para obtener la carga crítica,

ya que tal carga sería altamente improbable. Además, en vez de determinar la carga crítica usando una serie de cargas de ruedas de camión concentradas, en algunos casos las especificaciones permiten una

simplificación que representa una carga de carril como una carga uniforme más una sola fuerza concentrada. Esto se hace con la idea de representar

una distribución de tránsito de peso mediano con un camión pesado situado en el punto máximo de la línea de influencia.

Puentes ferrocarrileros

Las cargas sobre puentes de ferrocarril son especificadas por el código de la American Railroad Engineers Association (AREA). Para el diseño se usan

normalmente las cargas E, como fueron establecidas originalmente por Theodore Cooper en 1894. Por ejemplo, un tren moderno con una carga de 72 k en el eje motriz de la locomotora se designa como una carga E-72. La

carga entera E-72 para diseño se distribuye como se muestra en la figura 6-28 D. B. Steinmann ha actualizado la distribución de cargas de Cooper y ha inventado una serie de cargas M, que también son aceptables para el

diseño. Como las cargas de trenes implican una complicada serie de fuerzas concentradas, se usan tablas y gráficas para simplificar los

cálculos a mano y a veces se usan éstas en conjunción con líneas de influencia para obtener la carga crítica.*

109

Carga de Impacto

Los vehículos móviles pueden rebotar o ladearse al circular sobre un

puente, provocando un impacto en la cubierta de éste. El incremento porcentual de cargas vivas debido al impacto se llama factor de impacto I. Este factor se obtiene generalmente de fórmulas desarrolladas a partir de

evidencia experimental. Por ejemplo, para puentes carreteros, las especificaciones AASHTO requieren que :

50

IL 125

Pero no más que 0.3

donde L es la longitud del claro en pies que está sometido a la carga viva. Por ejemplo, el miembro BC en el ejemplo 6 – 17 tiene un factor de impacto calculado para L = 80 ft, ya que la línea de influencia (y la carga) se

extiende sobre la longitud entera de la armadura, figura 6 – 2 d. Por tanto,

I = 50 / (80 + 125) = 0.244 0.3. La carga adicional en el miembro BC

debido a impacto es entonces I (FBC)máx = 0.244 (58.7 K) = 14.3 k. Cuando ésta se suma a la colocación ”estática” de la carga viva, la fuerza “total” en

BC es por tanto 58.7 k + 14.3 k = 73.0 k. Tipos similares de fórmulas y sus aplicaciones pueden encontrarse en el código AREA.

Influencia máxima en un punto debido a una serie de cargas

concentradas

Una vez que se ha establecido la línea de influencia de una función para un punto en una estructura, el efecto máximo causado por una fuera viva concentrada se determina multiplicando la ordenada máxima de la línea

de influencia por la magnitud de la fuerza. Sin embargo, en algunos casos, varias fuerzas concentradas deben colocarse sobre la estructura. Un ejemplo serían las cargas de ruedas de un camión o un tren, como se

muestra en las figuras 6 – 27 y 6 -28. Para determinar el máximo efecto en este caso, puede usarse un procedimiento de tanteos o bien un método

basado en el cambio de la función que tiene lugar cuando la carga se mueve. Cada uno de esos métodos se explicará ahora específicamente aplicado a la fuerza cortante y al momento flexionante.

110

Fuerza cortante

Considere la viga simplemente apoyada con la línea de influencia asociada

para la fuerza cortante en el punto C en la figura 6 – 29a. Debe determinarse la fuerza cortante máxima positiva en el punto C debido a la serie de cargas concentradas (de rueda) que se muestran en la figura 6 –

29 b, las cuales se mueven de derecha a izquierda sobre la viga. La carga crítica ocurrirá cuando una de las cargas se coloque justo a la derecha del punto C, que coincide con el máximo positivo de la línea de influencia.

Cada uno de tres posibles casos puede investigarse por tanteos, figura 6-29c. Tenemos.

Caso 1 : (VC)1 = 1 (0.75) + 4 (0.525) + 4 (0.5) = 5.25 k Caso 2 : (VC)2 = 1 (-0.125) + 4 (0.75) + 4 (0.625) = 5.375 k

Caso 3 : (VC)3 = 1 (0) + 4 (-0.125) + 4 (0.75) = 2.5 k

El caso 2, con la fuerza de 1 k situada a 5 ft del soporte izquierdo, da el valor máximo para VC y representa por tanto la carga crítica. Note que la investigación del caso 3 no es en realidad necesaria, ya que por inspección,

tal arreglo de cargas no daría un valor de (VC)3 mayor que (VC)2.

111

Cuando muchas cargas concentradas actúan sobre el calor, como en el

caso de la carga E-72 de la figura 6-28, los cálculos de tanteos usados antes resultan tediosos. En vez de esto, la posición crítica de las cargas

pueden determinarse de manera más directa calculando el cambio en la

fuerza cortante, V, que ocurre cuando las cargas se mueven del caso 1 al

2; luego del caso 2 al caso 3, etc. En tanto que cada V calculada sea positiva, la nueva posición dará una fuerza cortante mayor en el punto C

de la viga que la de la posición previa.

Cada movimiento se investiga hasta que se calcula un cambio negativo en la fuerza cortante. Cuando esto ocurre, la posición previa de las cargas

dará el valor crítico. El cambio V en fuerza cortante para una carga P que se mueve de la posición x1 a la x2 sobre una viga puede determinarse

multiplicando P por el cambio en la ordenada de la línea de influencia, esto es (y2 – y1). Si la pendiente de la línea de influencia es s, entonces (y2 – y1) = s (x2 – x1) y por tanto.

2 1V Ps(x x )

Línea de pendeinte (6.1)

Si la carga se mueve más allá de un punto donde se tiene una

discontinuidad o “salto” en la línea de influencia, como el punto C en la figura 6-29a, entonces el cambio en la fuerza cortante es simplemente.

2 1V P(y y )

Salto (6.2)

El uso de las ecuaciones anteriores se ilustrará con referencia a la viga, carga y línea de influencia por VC, mostradas en la figura 6-29a y b. Nótese que la pendiente de la línea de influencia es s = 0.75/(40 – 10) = 0.25/10 =

0.025 y que el salto en C tiene una magnitud de 0.75 + 0.25 = 1. Considere las cargas del caso 1 moviéndose 5 ft al caso 2, figura 6-29c.

Cuando esto ocurre, la carga de 1 k salta hacia abajo (-1) y todas las cargas se mueven hacia arriba de la pendiente de la línea de influencia. Esto causa un cambio de fuerza cortante,

V1-2 = 1 (-1) + [1 + 4 + 4] (0.025) (5) = + 0.125 k

Como V1-2 es positiva, el caso 2 dará un valor mayor para VC que el caso

1. [Compárense las respuestas para (VC)1 y (VC)2, calculadas antes, donde

(VC)2 = (VC)1 + 0.125]. Al investigar V2-3, que ocurre cuando el caso 21 se

mueve al caso 3, figura 6-29c, debemos tomar en cuenta el salto hacia abajo (negativo) de la carga de 4 k y el movimiento horizontal de 5 ft de

112

todas las cargas hacia arriba de la pendiente de la línea de influencia.

Tenemos.

V2-3 = 4 (-1) + [1 + 4 + 4] (0.025) (5) = - 2.875 k

Como V2-3 es negativo, el caso 2 es la posición de la carga crítica, como se determinó previamente.

113

114

Momento flexionante

Podemos también usar los métodos anteriores para determinar la posición crítica de una serie de fuerzas concentradas, de manera que generen el momento máximo interno en un punto específico de una estructura. Por

supuesto, es necesario dibujar primero la línea de influencia para el momento en el punto y determinar las pendientes s de sus segmentos. Para un movimiento horizontal (x2 – x1) de una fuerza concentrada P, el

cambio en momento M es equivalente a la magnitud de la fuerza por el cambio en la ordenada de la línea de influencia bajo la carga, esto es,

2 1M Ps(x x )

Línea de pendiente (6.3)

Como ejemplo, considere la viga, la carga y línea de influencia para el momento en el punto C de la figura 6.30a. Si cada una de las tres fuerzas concentradas se coloca sobre la viga, coincidiendo con el máximo

de la línea de influencia, obtendremos la máxima influencia de cada fuerza. Los tres casos de carga se muestran en la figura 6.30 b. Cuando

las cargas del caso 1 se mueven 4 ft hacia la izquierda al caso 2, se

observa que la carga de 2 k disminuye M1-2, ya que la pendiente (7.5 /

10) es hacia abajo, figura 6-30a. Igualmente, las fuerzas de 4 k y 3 k

ocasionan un incremento en M1-2, ya que la pendiente [7.5 / (40-10)] es

hacia arriba. Tenemos:

1 2

7.5 7.5M 2 (4) (4 3) (4) 1.0k.ft

10 40 10

Como M1-2 es positiva, debemos investigar aún el movimiento de 6 ft de

las cargas del caso 2 al caso 3.

2 3

7.5 7.5M (2 4) (6) 3 (6) 22.5k.ft

10 40 10

Aquí el cambio es negativo, por lo que el momento máximo en C ocurrirá cuando la viga se carga como se muestra en el caso 2, figura 6-30 c. El momento máximo en C es, entonces,

(MC)máx = 2 (4.5) + 4(7.5) + 3 (6.0) = 57.0 k. ft

Los siguientes ejemplos ilustran más aún este método.

115

Fuerza cortante y momento flexionante máximos absolutos

En la sección 6.7 desarrollamos los métodos para calcular la fuerza

cortante y el momento máximos en un punto específico de una viga debido a una serie de cargas concentradas móviles. Un problema más general implica la determinación tanto de la posición del punto en la viga como de

la posición de la carga sobre la viga, de manera que se pueda obtener la fuerza cortante y el momento máximos absolutos causados por las cargas. Si la viga es en voladizo o simplemente apoyada, este problema puede

resolverse fácilmente.

Fuerza cortante Para una viga en voladizo, la fuerza cortante máxima absoluta ocurrirá en

un punto localizado justamente al lado del empotramiento. La fuerza cortante máxima se encuentra por el método de las secciones, con las

cargas situadas cerca del soporte, la primera situada justamente al lado de la sección, como se muestra en la figura 6-34.

En vigas simplemente apoyadas, la fuerza cortante máxima absoluta ocurrirá justamente al lado de uno de los soportes. En este caso las cargas se sitúan de manera que la primera en secuencia se coloque cerca del

soporte, como se muestra en la figura 6-35.

116

Momento flexionante

El momento máximo absoluto para una viga en voladizo ocurre en el mismo punto en que ocurre la fuerza cortante máxima absoluta, aunque

en este caso, las cargas concentradas deben situarse en el extremo alejado de la viga, como en la figura 6-36.

Para una viga simplemente apoyada, las posiciones críticas de las cargas y el momento máximo absoluto asociado no pueden, en general,

determinarse por inspección. Sin embargo, podemos determinar analíticamente la posición. Para fines de análisis, consideremos una viga sometida a las fuerzas F1, F2 y F3, que se muestran en la figura 6 -37a.

Como el diagrama de momentos para una serie de fuerzas concentradas

consiste en segmentos de líneas rectas con puntos máximos en cada fuerza, el momento máximo absoluto ocurrirá bajo una de las fuerzas. Supongamos que este momento máximo ocurre bajo F2. La posición de las

cargas F1, F2 y F3 sobre la viga estará especificada por la distancia x, medida de F2 al centro del claro de la viga, como se muestra. Para determinar un valor específico de x, obtenemos primero la fuerza

resultante del sistema, FR y su distancia x ' , media desde F2. Una vez

hecho esto, sumamos momentos respecto a B, lo que da la reacción izquierda de la viga Ay, esto es,

B y R

1 LM 0; A (F ) (x ' x)

L 2

117

118

Si la viga se secciona entre el soporte en A y F2, el diagrama de cuerpo

libre resultante es como se muestra en la figura 6-37b. El momento M2 bajo F2 es, por tanto,

2 y 1 1

R 1 1

2

R R R R1 1

LM A x Fd

2

1 L L(F ) (x ' x) x Fd

L 2 2

F L F x ' F x F x x 'Fd

4 2 L L

Para tener un máximo M2, se requiere:

2 R RdM 2F x 2F x '0

dx L L

ó x '

x2

Por lo tanto, podemos concluir que el momento máximo absoluto en una

viga simplemente apoyada ocurre bajo una de las fuerzas concentradas cuando esta fuerza se coloca sobre la viga de manera que ella y la fuerza

resultante del sistema estén equidistantes del centro de la viga. Como se tiene una serie de cargas sobre el claro (por ejemplo F1, F2, F3, en la figura 6-37a), este principio tendrá que aplicarse a cada carga de la serie y

calcularse el momento máximo correspondiente. Por comparación, el momento máximo será el máximo absoluto. Como regla general, el

momento máximo absoluto ocurre con frecuencia bajo la fuerza más grande que se encuentre más cercana a la fuerza resultante del sistema.

119

Envolvente de valores máximos de líneas de influencia

Es difícil establecer reglas o fórmulas para determinar las fuerzas

cortantes o momentos flexionantes máximos absolutos para vigas soportada de manera distinta a las vistas aquí hasta ahora, esto es, simplemente apoyadas o en voladizo. Sin embargo, una manera elemental

de resolver este problema requiere construir líneas de influencia para la fuerza cortante o el momento en puntos seleccionados a lo largo de la longitud entera de la viga, y luego calcular la fuerza cortante o momento

máximos en la viga para cada punto usando los métodos de la sección 6.7. Estos valores dan una “envolvente de máximos” cuando se grafican; de

aquí pueden encontrarse los valores máximos absolutos para la fuerza cortante y el momento, así como su localización.

Obviamente, es deseable una solución por computadora para este problema, ya que el trabajo puede ser bastante tedioso si se efectúa a

mano.

ANÁLISIS DE MIEMBROS A TENSIÓN

Los elementos de una estructura que soportan cargas de tensión se denominan miembros a tensión ,algunos elementos a tensión se pueden

mencionar la cuerdas inferiores de las armaduras de techos y puentes Los miembros a tensión se usan en varios tipos de estructuras que incluyen miembros de armaduras , cables en puentes colgantes y

atirantados , arriostramiento para edificios y puentes y cables en sistemas de techos colgantes .Puede usarse cualquier configuración de sección

transversal ya que para cualquier material el único factor que determina la resistencia es el área transversal. Las barras circulares y los perfiles angulares rolados son comúnmente

usados , las secciones formadas con perfiles rolados o una combinación de perfiles rolados y placas son a veces usadas cuando deben resistir grandes cargas . La configuración compuesta mas común usada es la sección de

ángulo doble por que la junta será mas simétrica tanto en el plano como fuera de el , en oposición al uso de un angular que siempre tendrá

excentricidad fuera del plano.

Los miembros a tensión en puentes y armaduras de grandes techos pueden consistir en canales, secciones W o S o en secciones armadas a

base de ángulos, canales y placas. Los canales simples se usan con

120

frecuencia, ya que tienen poca excentricidad y son fáciles de conectar.

Aunque con el mismo peso, por unidad de longitud las secciones W son más rígidas que las secciones S, pero tienen la desventaja, desde el punto

de vista de su conexión, de variar en sus peraltes, Por ejemplo la W12 x 79, la W12 x 72 y la W12 x 65 tienen peraltes ligeramente diferentes (12.38, 12.25 y 12.142 plg. Respectivamente) en tanto que todas las

secciones S de un cierto tamaño nominal tienen el mismo peralte. Por ejemplo, la S12 x 50, la S12 x 40.8 y la S12 x 35 tienen un peralte de 12 plg.

Aunque los perfiles estructurales simples son un poco más económicos

que las secciones armadas éstas se usan ocasionalmente cuando el proyectista no es capaz de obtener suficiente área o rigidez con las formas simples. Cuando se usen secciones armadas es importante recordar que

se tendrán que realizar conexiones de campo y aplicar una o varias capas de pintura; por ello se debe disponer de suficiente espacio para poder

efectuar estas operaciones. Cuando los miembros constan de más de una sección, éstas necesitan

conectarse. Las placas de unión localizadas regularmente, o bien las cubreplacas perforadas, sirven para mantener las diversas secciones en sus posiciones correctas. Estas placas sirven también para corregir

cualquier distribución desigual de carga entre las diversas secciones; sirven además para mantener las relaciones de esbeltez (concepto que se

estudiará más adelante) de las partes individuales dentro de ciertos límites y facilitar el manejo de los miembros armados. Los miembros individuales muy largos tales como los perfiles angulares pueden resultar

de difícil manejo debido a su alta flexibilidad, pero cuando se unen cuatro ángulos formando un solo miembro el miembro adquiere considerable

rigidez. Ninguna de las placas de unión intermitente se considera que incrementa el área afectiva de las secciones. Como teóricamente estas no toman porciones de la fuerza actuante en las secciones principales, sus

tamaños quedan regidos generalmente por las especificaciones y a veces por el buen juicio de proyectista. La cubreplacas perforadas son una excepción, pues parte de sus áreas pueden considerarse efectivas para

resistir la carga axial.

En la figura se muestra algunos tipos de miembros a tensión de uso general. En esta figura las líneas interrumpidas representan las placas o barras de unión intermitentes usadas para conectar los perfiles.

121

Tipos de miembros a tensión

ESFUERZO PERMISIBLES A TENSIÓN

La especificación ASD – D1 da un esfuerzo permisible a tensión de 0.60

Fy para las áreas transversales totales de miembros en cuyas secciones no haya agujeros. Para secciones que tengan agujeros para pernos o remaches, el esfuerzo permisible a tensión es 0.50 Fu, aplicables a las

áreas netas efectivas. Se proporciona así un factor de seguridad de 1.67 respecto a la fluencia de la sección total (Fy/0.60 Fy = 1.67), y un valor de

2.0 contra la fractura del miembro en su área neta efectiva más pequeña (Fu/0.50 Fu = 2.0).

El área neta efectiva real Ae que puede considerarse que resiste la tensión en la sección a través de los agujeros puede ser algo menor que el área neta real An, debido a la concentración de esfuerzos y a otros factores.

La capacidad permisible de un miembro a tensión con agujeros para

pernos o remaches según las especificaciones ASD es igual al menor de los dos valores siguientes:

T = 0.60 Fy Ag o bien T = 0.50 Fu Ae

En muy raras ocasiones, los miembros a tensión tienen ranuras o agujeros que se extienden sobre una longitud importante del miembro. El comentario ASD – D1 indica que una “longitud importante” es una

distancia igual o mayor que el peralte del miembro. En tales casos el proyectista debe juzgar si la fluencia en esa longitud es de cuidado. Si se decide que tal es el caso, probablemente un esfuerzo permisible de 0.60 Fy

debería usarse para el área neta efectiva.

122

Los valores anteriores no son aplicables a barras roscadas (con cuerdas) o

a miembros con agujeros para pesadores, como las barras de ojo. Para miembros con agujeros para pesadores se permite un esfuerzo de tensión

de 0.60 Fy en el área total del miembro y se permite un valor de 0.45 Fy en el área neta de la sección que pasa por el agujero.

ÁREAS NETAS

El término área neta de la sección , se refiere al área bruta de la sección transversal menos la de ranuras, muescas y agujeros. Al considerar el área

de éstos, por lo general es necesario restar un área un poco mayor que la nominal del agujero. Por ejemplo, en la fabricación de estructuras de acero para conectarse con tornillos o remaches, los agujeros se punzonan con

un diámetro 1/16 plg. mayor que el correspondiente al tornillo o remache. Además, se considera que el punzonado del agujero daña o aun

destruye 1/16 plg (1.6 mm) más del metal circundante; por lo tanto, el área de los agujeros que se resta corresponde a un diámetro 1/8 plg (3 mm) mayor que el diámetro nominal del conector. El área que se resta por

agujeros es rectangular e igual al productor del diámetro del agujero por el espesor del metal.

Las placas con espesores mayores que el diámetro del conector, son difíciles de punzonar a la medida requerida sin que se presente una

deformación excesiva del material circundante. Estos agujeros deben prerrebanarse a diámetro ligeramente menores que 1/16 plg que los especificados y luego, cuando las piezas están ya presentadas, limarse al

diámetro justo. Con este proceso se daña poco el material y, como los agujeros resultantes son lisos y de paredes uniformes, no se considera

necesario restar el 1/16 plg por daño a los lados. Algunas veces, cuando deben conectarse piezas de gran espesor, los agujeros se taladran al diámetro de conector más 1/32 plg.; este proceso resulta muy caro y debe

evitarse siempre que sea posible. Puede resultar necesario adoptar una mayor tolerancia dimensional

durante los montajes y para los tornillos de alta resistencia con diámetros mayores de 5/8 plg. se pueden usar agujeros mayores que los estándar sin

reducir la eficiencia de la conexión. Estos agujeros pueden ser ovalados. Para calcular las áreas netas cuando se usan agujeros ovalados, se añade 1/16 plg. al ancho de cada agujero.

EJEMPLO 1 Determine el área neta de la placa de 3/8 x 8 plg mostrada en la figura 3-

2. La placa está conectada en sus extremos con dos hileras de tornillos de ¾ de plg.

123

Solución

Area neta = An (3/8) (8) – (2) (3/4 + 1/8) (3/8) = 2.34 plg² (1510 mm²).

Figura 3-2

Las conexiones de los miembros a tensión deben diseñarse de modo que

no tengan excentricidad.Una excepción a esta regla, aceptada por las especificaciones ASD para ciertas conexiones soldadas y atornilladas. Si este arreglo es posible, se supone que el esfuerzo se distribuye

uniformemente sobre toda la sección neta del miembro. Si las conexiones tienen excentricidad, se producirán momentos que ocasionan esfuerzos

adicionales en la vecindad de la conexión.

Figura 3.3.

Las líneas de acción de los miembros de armaduras que llegan a una junta, se consideran concurrentes. Si no concurren se tendrán

excentricidades, y aparecerán esfuerzos secundarios. Se supone que los ejes de gravedad de los miembros, coinciden con las líneas de acción de

124

sus fuerzas respectivas. En un miembro simétrico no existe problema, ya

que su eje de simetría coincide con su eje de gravedad, pero en miembros no simétricos el problema es un poco más difícil. Para estos miembros, la

línea de centros no coincide con el eje de gravedad, pero la práctica común es colocar dichos miembros en la junta de manera que los ejes de las hileras de conectores (líneas de gramil) concurran. Si un miembro tiene

más de una línea de gramil, se utiliza para detallar la más cercana al eje de gravedad de la pieza. La figura 3-3 muestra una junta de armadura, en la que los ejes de gramil de todos los miembros concurren al mismo punto.

EFECTO DE AGUJEROS ALTERNADOS

Cuando los tornillos o remaches para la conexión de extremo de un miembro a tensión se colocan con una sola línea, se obtiene el área neta

máxima. Si no se tiene espacio suficiente para una sola línea de conectores, puede ser necesario tener que usar más de una línea. Si este

es el caso, es a menudo conveniente alternar los conectores para proporcionar en cualquier sección un área neta tan grande como sea posible para resistir la carga. En los párrafos anteriores se ha supuesto

que los miembros a tensión fallan transversalmente a lo largo de la línea AB, como se muestra en las figuras 3 – 4(a) y 3 – 4 (b). El la figura 3-4(c) se muestra un miembro en el que la falla puede ocurrir de la otra manera.

Los agujeros están alternados y es posible que la falla ocurra a lo largo de la línea ABCD, a menos que los agujeros se encuentren muy separados.

Para determinar el área neta crítica en la figura 3-4 (c), puede aparecer lógico calcular el área de una sección transversal del miembro (como la AE)

menos el área de un agujero y luego el área a lo largo de la línea ABCD menos dos agujeros. El menor valor obtenido a lo largo de estas secciones

nos daría el valor crítico, pero este método en realidad es erróneo. A lo largo de la línea diagonal B a C existe una combinación de esfuerzos cortantes y normales y por ello debe considerarse un área menor. La

resistencia del miembro a lo largo de la sección ABCD obviamente está comprendida entre la que se obtuvo al utilizar un área calculada, restando un agujero del área de la sección transversal, y la obtenida restando dos

agujeros de la sección ABCD.

125

Las pruebas en juntas demuestran que no se consigue mucho al utilizar

fórmulas teóricas complicadas para considerar la situación de agujeros escalonados, por lo que normalmente el problema se resuelve aplicando

una ecuación empírica. La especificación ASD-B2 y otras, usan un método muy simple para calcular el ancho neto de un miembro a tensión a lo largo de una sección en zigzag. El método consiste en considerar el

ancho total del miembro sin tomar en cuenta la línea a lo largo de la cual pueda ocurrir la falla, restar el diámetro de los agujeros a lo largo de la sección en zigzag considerada y añadir por cada diagonal una cantidad

dada por la expresión s2/4g.

En esta expresión s es el espaciamiento longitudinal (o paso) entre dos agujeros cualesquiera y g es el espaciamiento transversal (o gramil) de los mismos agujeros. Los valores de s y g se muestran en la figura 3-4(c).

Pueden existir varias trayectorias, cada una de las cuales puede ser crítica en una junta particular. Debe considerarse cada una de las trayectorias

posibles y usarse la que dé el menor valor. El ancho neto menor se multiplica por el espesor de la placa para obtener el área neta, An. El ejemplo 3-2 ilustra el método para calcular el área neta crítica de una

sección que tiene tres hileras de conectores. (En ángulos, el gramil entre agujeros, en lados opuestos, se considera igual a la suma de los gramiles medidos desde la espalda del ángulo menos el espesor de éste).

Los agujeros para tornillos y remaches en ángulos, se punzonan

normalmente en ciertos lugares estandarizados. Estos lugares o gramiles dependen del ancho de los lados del ángulo y del número de líneas de agujeros. La tabla 3-1, tomada de la parte 1 del manual ASD, muestra

estos gramiles. No es aconsejable que el proyectista requiera diferentes gramiles a los indicados en la tabla, a menos que se trate de una situación

especial, debido al incremento que resulta en los costos de fabricación.

EJEMPLO 2

Determine el área neta crítica de la placa de 1/2 plg de espesor, mostrada en la figura 3-5, utilizando la especificación ASD-B2. Los agujeros se

punzonaron para tornillos de ¾ plg.

126

Figura 3- 5

Solución La sección crítica podría ser la ABCD, la ABCEF o la ABEF. Los diámetros

de agujero que deben restarse son ¾ + 1/8 = 7/8 plg. Los anchos netos para cada caso son como sigue:

2

2

7ABCD 11 (2) 9.25p lg.

8

7 (3)ABCEF 11 (3) 9.125p lg. (rige)

8 (4)(3)

7 (3)ABEF=11-(2) 9.625p lg

8 (4)(6)

El lector notará que es una pérdida de tiempo revisar la trayectoria ABEF para esta placa.

Se requiere restar dos agujeros para las trayectorias ABCD y ABEF. Como

la ABCD es más corta, obviamente predomina sobre la ABEF An = (9.125) (1/2) = 4.56 plg²

El problema de determinar el paso mínimo de conectores escalonados para restar sólo un cierto número de agujeros al calcular la sección neta, se

trata en el ejemplo 3-3. El manual ASD (pág. 4-99) tiene una gráfica titulada "Net Section of

Tensión Members", que se puede usar para determinar los valores de

127

s²/4g. Esta gráfica también se puede usar para solucionar el tipo de

problema resuelto en el ejemplo 3-3.

EJEMPLO 3 Para las dos hileras de agujeros para tornillos mostradas en la figura 3-6,

calcule el paso necesario para tener un área neta a lo largo de DEFG igual a la correspondiente a la trayectoria ABC. El problema también puede plantearse como sigue: determinar el paso para obtener un área neta igual

al área total, menos un agujero para tornillo. Los agujeros se punzonarán para tornillos de ¾ plg, por lo que se restará 7/8 plg de cada agujero.

Figura 3-6 Solución

2 2

2

7ABC 6 (1) 5.125p lg.

8

7 s sDEFG 6 (2) 4.25

8 (4)(2) 8

ABC DEFG

s5.125 4.25

8

s 2.65p lg.

A

La regla relativa al factor s2/4g, es sólo una aproximación o simplificación de la compleja variación de esfuerzos que ocurre en miembros con arreglo

escalonado de tornillos o remaches. Las especificaciones de acero sólo pueden proporcionar recomendaciones mínimas, y los proyectistas deben aplicar en forma razonable dicha información para situaciones

complicadas que las especificaciones no pueden considerar en aras de la

128

brevedad y simplicidad. Los siguientes párrafos presentan un análisis y

ejemplos numéricos de la regla relativa al factor s²/4g, aplicada a casos no considerados explícitamente en las especificaciones ASD.

Las especificaciones ASD no incluyen un método para determinar los anchos netos de secciones que no sean placas o ángulos. Para canales,

secciones W, secciones S y otras, los espesores del alma y del patín no son los mismos; en consecuencia, es necesario trabajar con áreas netas en vez de anchos netos. Si los agujeros se sitúan en líneas rectas a través de

esos miembros, el área puede obtenerse simplemente restando las áreas de los agujeros del área total del miembro. Si los agujeros están escalonados,

es necesario multiplicar los valores s²/4 g por el espesor aplicable para obtener un área. Este procedimiento se aplica en el ejemplo 3-4 a una sección W que contiene agujeros sólo en su alma.

Figura 3-7

129

EJEMPLO 4

Determine el área neta de la W 12 x 16 (Ag = 4.71 plg2) mostrada en la

figura 3-7, considerando agujeros para tornillos de 1 plg.

Solución Áreas netas:

2

22

ABDE 4.71 (2)(1 1/8)(0.220) 4.21 plg

(2)ABCDE 4.71 (3)(1 1/8) (0.220)+(2) (0.220) 4.11p lg

(4)(3)

Si la línea en zigzag va de un agujero en el alma a un agujero en el patín, el espesor cambia en la unión del patín con el alma. En el ejemplo 3-5 se calcula el área neta de una canal con agujeros escalonados en sus patines

y alma. La canal se supone aplanada, formando una sola placa como se muestra en las figuras 3-8(b) y 3-8(c). El área neta a lo largo de la trayectoria ABCDEF se calcula restando al área de la canal, el área de los

agujeros a lo largo de la trayectoria en los patines y alma, más los valores s²/4g para cada segmento diagonal y multiplicando el resultado por el

espesor correspondiente. Para el segmento CD, s²/4g se ha multiplicado por el espesor del alma. Para los segmentos BC y DE (que van de agujeros en el alma a agujeros en el patín), los valores s²/4g se han multiplicado

por el promedio de los espesores del patín y del alma.

Figura 3-8

130

EJEMPLO 5

Determine el área neta a lo largo de la trayectoria ABCDEF para la C15 x

33.9 (Ag = 9.96 plg²) mostrada en la figura 3-8. Los agujeros son para tornillos de 3/4 plg.

Solución Área neta A aproximada a lo largo de ABCDEF

2

2

2

379.96 (2) (0.400) (0.400)

8 (4)(9)

3 0.650 0.4002

(4)(4.60) 2

8.736p lg

ÁREAS NETAS EFECTIVAS Si un miembro que no sea una barra o una placa plana se somete a

tensión axial hasta que ocurre la falla en su sección neta, el esfuerzo real de falla a tensión probablemente será menor que el obtenido en una

probeta, a menos que las diversas partes que conforman la sección estén conectadas de manera que el esfuerzo cortantes (efecto denominado retraso del cortante) en la vecindad de la conexión. En una situación así el

flujo del esfuerzo de tensión entre la sección transversal del miembro principal, y la del miembro más pequeño conectado a él, no es 100% efectiva. Consecuentemente, la especificación ASD – B3 estipula que el

área neta efectiva, Ae, de dicho miembro se determine multiplicando su área neta (si está atornillado o remachado) o su área total (si está soldado)

por un factor de reducción U; este factor toma en cuenta de manera sencilla la distribución no uniforme del esfuerzo. A continuación se explica la manera de determinar los factores U.

El ángulo mostrado en la figura 3-9 (a) está conectado en sus extremos

sólo en uno de sus lados; se puede ver que su área efectiva para resistir tensión, puede incrementarse considerablemente reduciendo el ancho del lado no conectado y aumentando la del lado conectado, como se muestra

en la figura 3-9(b).

131

Figura 3-9

Algunos investigadores han determinado que una medida de la efectividad de un miembro, como un ángulo conectado por sólo uno de sus lados, es

la distancia x entre el plano de la conexión y el centroide del área de la

sección total. Entre menor sea el valor de x , mayor será el área efectiva del miembro.

Los valores de U dados en la especificación ASD – B3 se calcularon a partir

de la expresión empírica 1 - x /L, en donde L es la longitud de la conexión. La especificación, de hecho reduce la longitud L de una conexión con retraso del cortante a una longitud efectiva más corta, L’. El valor de U es

entonces igual a L’/L o bien 1 - x /L. En la figura 3-10 se muestran varios

valores de x . Los valores U dados en la especificación, son los límites

inferiores de los resultados obtenidos cuando se calcula la expresión 1 -

x /L para diferentes situaciones del retraso del cortante. Si se usa esta expresión para determinar U, se obtendrá a menudo un valor más

conservador que el dado en la especificación. Si esto sucede, se permite que el proyectista use el valor calculado o bien el valor dado por la

especificación. Si se desea calcular U para una sección W, conectada sólo en sus patines,

supondremos primero que la sección está formada por dos perfiles T

estructurales. Entonces el valor de x usado en la expresión 1 - x /L será la

distancia del borde exterior del patín al centroide de la T estructural como se muestra en la figura 3-10 (d).

A continuación se dan algunos requisitos de las especificaciones ASD, para miembros a tensión cuyas partes no están todas conectadas.

Caso general

Si la fuerza se transmite directamente a cada uno de los elementos de la sección transversal de un miembro por medio de conectores, el área neta específica, Ae, es igual a su área neta An.

132

Miembros atornillados o remachados

Si la carga se transmite por medio de tornillos o remaches a través de algunos, pero no de todos los elementos del miembro, el valor de Ae debe determinarse con la siguiente expresión:

Ae = UAn

Figura 3-10

Se deben usar los siguientes valores de U (pág. 5-34 del manual ASD), a menos que valores mayores puedan justificarse con base en pruebas o

teorías aceptadas. Los valores mostrados indican que cuando el número de conectores en una hilera se incrementa, el rezago del cortante disminuye.

a. Los perfiles W, M o S son anchos de patín no menores que dos tercios de sus peraltes y tes estructurales cortadas de esos perfiles, siempre que la conexión sea por patines. Las conexiones atornilladas

o remachadas deben tener no menos de tres conectores por hilera en la dirección de la fuerza. U = 0.90

b. Los perfiles W, M o S que no cumplan las condiciones del párrafo a,

tes estructurales cortadas de esos y otros perfiles, incluyendo

secciones armadas. Las conexiones atornilladas o remachadas

133

deberán tener no menos de tres conectores por hilera en la

dirección de la fuerza. U = 0.85

c. Todos los miembros con conexiones atornilladas o remachadas con sólo dos conectores por hilera en la dirección de la fuerza.

MIEMBROS SOLDADOS 1. Si la carga se transmite por medio de soldaduras a través de

algunos, pero no de todos los elementos de un miembro a tensión, el área neta efectiva debe determinarse multiplicando el coeficiente de

reducción U por el área total del miembro. Ac = UAg (Ec. ASD B3 – 2)

Los valores de U que se usarán son los mismos que para los

miembros atornillados o remachados, excepto que la especificación relativa a miembros con sólo dos conectores aquí no tiene

significado. Se tienen además algunos requisitos especiales para los casos en que las cargas se transmitan por medio de cordones transversales o longitudinales. Estos casos se describen en los

párrafos 2, 3 y 4.

2. Si una carga de tensión se transmite por medio de soldaduras

transversales a algunos, pero no a todos los elementos con perfiles W, M o S, o bien a tes estructurales cortadas de esos perfiles, el

área neta efectiva Ae, será igual al área de las partes directamente conectadas.

3. Las pruebas han demostrado que cuando se usan placas planas o barras conectadas por cordones longitudinales de soldadura

(término que se describirá en el capítulo 13) como miembros a tensión, éstas pueden fallar prematuramente por rezago del cortante en las esquinas, si los cordones están muy separados entre si. Por

ello las especificaciones ASD estipulan que cuando se presenten tales situaciones, la longitud de los cordones no debe ser menor que el ancho de las placas o barras y el área neta efectiva será igual a

UAg. En estos casos se usarán los siguientes valores de U (pág. 5 – 34 del manual ASD).

Cuando L > 2 w, U = 1.0 Cuando 2w > L > 1.5 w U = 0.87

Cuando 1.5 w > L > w U = 0.75 En donde

L = longitud de la soldadura en pulgadas. w = ancho de la placa (distancia entre cordones) también en

pulgadas.

134

4. Cuando se usan cordones longitudinales a lo largo de algunos de los elementos de los perfiles de acero (que no sean placas), U se debe

considerar tal como se hace en los miembros remachados o atornillados.

El ejemplo 6 ilustra los cálculos necesarios para determinar el área neta efectiva de una sección W, atornillada sólo en sus patines; se calcula también la resistencia permisible de diseño del miembro.

EJEMPLO 6

Determine la carga permisible de tensión de una W10 x 45 con dos hileras de tornillos de ¾ plg en cada patín, usando acero A36 y las

especificaciones ASD. Se supondrá que hay por lo menos tres tornillos en cada hilera, y que éstos no están escalonados.

Solución

Propiedades de la W10 x 45 (Ag = 13.3 plg², d = 10.10 plg, bf = 8.020 plg).

(a) T = 0.60 FyAg = (0.60) (36) (13.3) = 287.3 klb

(b) An = 13.3 – (4) (7/8) (0.620) = 11.13 plg² U = 0.90 ya que bf > 2/3 d Ae = UAn = (0.90) (11.13) = 10.02 plg.²

T = 0.50 Fu Ae = (0.50) (58) (10.02) = 290.6 klb.

Tpermisible = 2877.3 klb (1278 kN)

135

ELEMENTOS DE CONEXIÓN PARA MIEMBROS A TENSIÓN

Cuando se usan placas de empalme o nudo como elementos de conexión,

cargados estáticamente a tensión, el An usada para calcular la carga permisible de tensión en el elemento de conexión no debe exceder del 85% del Ag. Pruebas realizadas durante varias décadas, han demostrado que los

elementos de conexión a tensión remachados o atornillados pocas veces tienen una eficiencia mayor del 85%, aun cuando los agujeros representen un porcentaje muy pequeño del área total de los elementos. En el ejemplo

7 se calcula la resistencia de un par de placas conectoras a tensión.

Ejemplo 7 El miembro a tensión de acero A36 del ejemplo 6 se supone conectado en

sus extremos con dos placas de 3/8 x 12 plg., como se muestra en la figura 3-11. Si en cada placa se tienen dos hileras de tornillos de ¾ plg.,

determinar la fuerza máxima permisible de tensión que las placas pueden transmitir.

Solución

T = 0.60 FyAg = (0.60)(36) (2 x 3/8 x 12) = 194.4 klb

An de 2 placas = (3/8 x 12 – 7/8 x 2 x 3/8) 2 = 7.69 plg.²

0.85 Ag = (0.85) (2 x 3/8 x 12) = 7.65 plg² = Na

T = 0.50 Fu Am = (0.50) (58) (7.65) = 221.8 klb

T = 194.4 klb.

136

DISEÑO DE MIEMBROS A TENSIÓN

SELECCIÓN DE PERFILES Aunque el proyectista tiene plena libertad en la selección, los miembros

escogidos deben tener las siguientes propiedades: (a) deberán ser compactos, (b) tener dimensiones que se ajusten en la estructura con una

relación razonable a las dimensiones de los otros miembros y (c) tener conexiones con tantas partes de las secciones como sea posible para minimizar el rezago del cortante.

A veces la elección del tipo de miembro se ve afectada por el tipo de conexiones usadas para la estructura. Algunas secciones de acero no son

muy adecuadas para atornillarse a las placas usadas como nudo, en tanto que las mismas secciones pueden conectarse por medio de soldadura con

poca dificultad. Los miembros a tensión formados por ángulos, canales o secciones W o S probablemente se usarán cuando las conexiones sean atornilladas. Los mismos perfiles pueden usarse cuando las conexiones

sean soldadas, pero placas, tes estructurales y otros perfiles son también comúnmente usados.

En los ejemplos que siguen se seleccionan varios tipos de secciones para miembros tensión y en los casos en que se usan tornillos como conectores,

se toman en cuenta los agujeros. Si las conexiones son totalmente soldadas no tendrá que añadirse área de agujeros a las superficies netas para tener el área total requerida. El estudiante debe saber que con

frecuencia los miembros soldados pueden tener agujeros para tornillos de montaje necesarios mientras se colocan las soldaduras de campo

permanentes. Es necesario considerar esos agujeros en el diseño de miembros a tensión. También debe recordarse que en la expresión para la resistencia permisible a tensión (T= 0.50 Fu Ae) el valor de Ae puede ser

menor que Ag, dependiendo del arreglo de las soldaduras y de si todas las partes de los miembros están conectadas.

La relación de esbeltez de un miembro es el cociente de su longitud no soportada (L) y su radio de giro mínimo (r). Las especificaciones de acero

presentan generalmente valores máximos de esta relación para miembros a tensión y compresión. El propósito de dicha limitación para los miembros a tensión es garantizar que posean suficiente rigidez para

prevenir deflexiones laterales o vibraciones excesivas. Aunque los miembros a tensión no están expuestos al pandeo bajo cargas normales,

pueden ocurrir inversiones de esfuerzo en éstos durante el transporte y el

137

montaje y también debido a cargas de viento y de otra naturaleza. Las

especificaciones recomiendan que las relaciones de esbeltez se mantengan por abajo de ciertos valores máximos para que se tenga algo de resistencia

a la compresión en los miembros. Para miembros a tensión, exceptuando las varillas, las especificaciones ASD-B7 recomiendan una relación de esbeltez máxima de 300.

Esta misma especificación establece que miembros que han sido diseñados

para soportar cargas de tensión pero que experimentan alguna carga de compresión, no tienen que satisfacer la relación de esbeltez máxima

efectiva preferible de 200 dada por el ASD para miembros a compresión. Debe observarse que la falta de rectitud no afecta mucho la resistencia de

los miembros a tensión porque las cargas de tensión tienden a enderezar a los miembros.Por esta razón las especificaciones ASD son algo más

liberales en su consideración de los miembros a tensión, incluidos aquellos sometidos a fuerzas de compresión generadas por las cargas transitorias de viento o sismo.

La relación de esbeltez máxima recomendada de 300 no es aplicable a varillas. El valor máximo L/r en este caso queda a juicio del proyectista. Si

se especificase un valor máximo de 300, este valor rara vez se usaría debido a los radios de giro extremadamente pequeños asociados con él.

Las especificaciones AASHTO de 1989 exigen una relación de esbeltez máxima de 120 para los miembros principales a compresión y de 200 para

miembros principales a tensión. El ejemplo 4-1 ilustra el diseño de un miembro atornillado a tensión con

sección W; el ejemplo 4-2 ilustra la selección de un miembro atornillado a tensión formado por un solo ángulo. En ambos casos se usan las especificaciones ASO. La resistencia permisible de diseño T es el menor de

los valores, (a) 0.60 FyAg y (b) 0.50 Fu Ae. Para satisfacer la primera de estas expresiones, el área total mínima debe

ser por lo menos

g

y

TA min (1)

0.60F

Para satisfacer la segunda expresión el valor mínimo de Ae debe ser por lo

menos:

e

u

TA min =

0.50F

138

Como Ae = UAn, el valor mínimo de An es

en

u

A min TA mín =

U 0.50F U

El valor de Ag mínimo para la segunda expresión debe entonces ser por lo

menos igual al valor mínimo de An más las áreas estimadas de agujeros.

n

u

TA mín áreas estimadas de los agujeros

0.50F U

El proyectista puede sustituir valores en las ecuaciones (1) y (2), tomando

el mayor valor de Ag así obtenido como una estimación inicial. Sin embargo, conviene notar que la relación L/r de esbeltez máxima preferible es de 300. Con este valor es fácil calcular el valor mínimo preferible de r

para un diseño particular, o sea, el valor de r para el cual la relación de esbeltez L/r será exactamente igual a 300. No conviene considerar una sección cuyo radio de giro mínimo r sea menor que este valor porque

entonces L/r excederá el valor mínimo preferible de 300.

L

r min = 300

En el ejemplo 4-1 se selecciona una sección W para un conjunto dado de

cargas de tensión. Para esta primera aplicación de las fórmulas de diseño por tensión, el autor ha limitado el problema a la selección de una sección W de peralte nominal específico para que el lector pueda concentrarse en

la aplicación de las fórmulas. Puede usarse exactamente el mismo procedimiento para otro tamaño nominal del peralte que el usado aquí

para una W12.

Ejemplo 1

Seleccione una sección W12 de acero A36 de 30 pies de largo para soportar una carga total de tensión de 220 klb. Como se muestra en la figura 4-1, el miembro debe tener dos hileras de tornillos de 7/8 plg (por lo

menos tres en cada hilera) en cada patín.

Solución

Calculamos el Ag mínimo requerido.

139

2

g

y

g

u

T 220A min 10.19p lg

0.60F (0.60)(36)

TA min áreas estimadas de agujeros

0.50F U

Suponemos U = 0.90 y que el espesor del patín es aproximadamente 0.515 plg. después de consultar las secciones W12 en el manual ASD, que tienen

áreas de cerca de 10.19 plg².

2

g

220 7 1A min (4)( )(0.515) 10.49plg

(0.50)(58)(0.90) 8 8

r min preferible = L (12)(30)

1.2plg.300 300

2

g

f f y

ensayamos una W12 x 40 (A 11.8p lg ,d 11.94plg

b 8.005plg. t 0.515plg. r 1.93plg.)

Revisión :

T = 0.60 FyAg = (0.60) (36) (11.8) = 254.9 klb > 220 klb

OK

T = 0.50 FuUAn con U = 0.90 ya que bf 2

,d 3

y An = 11.8 – (4) (1.00) (0.515) = 9.74 plg². T = (0.50) (58)(0.90) (9.74) = 254.2 klb > 220 klb

OK

L (12)(30)

187 300r 1.93

140

Figura 4-1 Una revisión adicional muestra que una W12 x 35 no es satisfactoria.

Usaremos una W12 x 40 En el ejemplo 4-2 se presenta un caso más amplio: se selecciona el ángulo

satisfactorio más ligero en el manual ASD para un conjunto de cargas de tensión dadas.

EJEMPLO 2

Diseñe un miembro a tensión formado por un solo ángulo de 9 pies de largo, para soportar una carga total de 70 klb. El ángulo va a conectarse por sólo uno de sus lados con tornillos de 7/8 de plg. (por lo menos tres en

una línea). Suponga que se tendrá sólo un tornillo en cualquier sección transversal del ángulo. Use acero A36 y las especificaciones ASD.

Solución Existen muchos ángulos diferentes en el manual ASD satisfactorios para las condiciones de carga descrita. Por ello puede

parecer algo difícil encontrar la sección más ligera posible. Sin embargo, se puede elaborar una tabla en la que se consideren metódicamente las diversas secciones posibles para diferentes espesores de ángulos. En esta

tabla se han considerado varios espesores de ángulos que den suficiente área; luego se encontró el ángulo más ligero de cada espesor. Finalmente

por inspección de la tabla se obtuvo el ángulo más ligero o aquel con la menor sección transversal. Un proceso similar podría usarse para diseñar miembros a tensión con otras secciones de acero.

Los valores límites se calculan como sigue:

2

g

y

T 70A min requerida = 3.24p lg

0.60F (0.60)(36)

De la sección B3 del manual, U = 0.85

2

n

u

T 70A min requerida = 2.84plg

0.50F U (0.50)(58)(0.85)

141

L (12)(9)r min = 0.36plg.

300 300

Usaremos un L4 x 4 x 7/16 o bien un L5 x 3 x 7/16

142

MIEMBROS ARMADOS A TENSIÓN

La sección D2 de las especificaciones ASD establece un conjunto de reglas

que describen cómo deben conectarse entre sí las diferentes partes de los miembros armados sometidos a tensión.

1. Cuando un miembro a tensión se fabrica con elementos en contacto continuo entre ellos, por ejemplo, una placa con un perfil o dos placas, la separación longitudinal de los conectores de esos

elementos no debe exceder de 24 veces el espesor de la placa más delgada, o de 12 pulgadas si el miembro va a ser pintado o si no va a

ser pintado y no va a estar expuesto a condiciones corrosivas. 2. Si el miembro consiste de elementos sin pintar de acero resistente a

la corrosión atmosférica en contacto continuo, las separaciones máximas permisibles entre conectores son 14 veces el espesor de la

placa más delgada o 7 pulgadas. 3. La separación longitudinal entre conectores o cordones intermitentes

de soldadura que conecten dos o más perfiles de acero, no debe ser mayor de 24 pulgadas.

4. Si un miembro a tensión está formado por dos o más perfiles separados por piezas de relleno intermitentes, los perfiles deben

conectarse entre sí a intervalos tales que las relaciones de esbeltez de los perfiles individuales entre conectores no exceda de 300.

El ejemplo 4-3 ilustra la revisión de un miembro a tensión formado por dos canales separadas. En el ejemplo se incluye el diseño de las placas de

unión que mantienen juntas a las canales como se muestra en la figura 4-2(b). La sección D2 de las especificaciones ASD establece que deberán usarse placas de unión (o cubreplacas perforadas) en los lados abiertos de

miembros a tensión armados. En esta especificación se dan reglas empíricas para el diseño de esas placas; las reglas se fundamentan en muchas décadas de experiencias con miembros a tensión armados.

En la figura 4-2 se indica la posición de los tornillos, o sea, g = 1 ¾ plg medido desde la espalda de las canales. El manual ASD proporciona

solamente los gramiles de ángulos. Para otros perfiles laminados de acero es necesario recurrir al catálogo del

fabricante o a los manuales anteriores del AISC. Los gramiles necesarios para resolver los problemas en este texto los proporciona el autor. (Aunque la industria acerera usa valores estándar de esos gramiles para los

diversos perfiles laminados, ellos no se especifican en el manual ASD para dar a los fabricantes de estructuras de acero más libertad en la ubicación

de los agujeros.) En la figura 4-2 la distancia entre las hileras de los

143

tornillos que conectan las placas de unión a las canales es de 8.50 plg. La

especificación ASD-D2 estipula que la longitud de las placas de unión (las longitudes en este texto siempre se miden paralelamente a la dirección

larga de los miembros) no debe ser menor que la distancia entre las hileras; conectores; además, el espesor de éstas no debe ser menor que l/50 de esta distancia.

El ancho mínimo permisible para las placas de unión (no mencionado en las especificaciones ASD) es el ancho entre las hileras de conectores, más

la distancia al borde, en cada lado, necesaria para impedir que los tornillos agrieten la placa. Para este ejemplo, en esta distancia mínima al borde es

de 11/2 plg, valor tomado de la tabla 13.5 de las especificaciones ASD. Las dimensiones de las placas están redondeadas para que coincidan con los tamaños de laminación, indicados en la sección sobre Barras y Placas

(Bars and Plates) de la parte 1 del manual ASO. Resulta más económicos seleccionar espesores y anchos estándar que otros que requieran

operaciones de corte.

Figura 4-2

144

La especificación ASD-02 fija la separación máxima entre placas de unión,

estipulando que la relación L/r de cada componente individual de un miembro armado, cal da entre tales placas no debe exceder de 300. Si el

proyectista sustituye en esta expresión (L/r = 300) el menor radio de giro r de una componente individual de un miembro armado, entonces se puede despejar el valor de L. Este será el espaciamiento máximo entre las placas

permitidos por las especificaciones ASD. Ejemplo 3

Se han seleccionado dos C12 x 30 (Véase figura 4-2) para soportar una

carga total de tensión de 360 klb. El miembro de acero A36 tiene 30 pies de longitud y tiene en cada patín una hilera de tornillos de 7/8 (por lo menos 3 en cada hilera). Usando las especificaciones ASD, determine si el

miembro es satisfactorio y diseñe las placas de unión necesarias. Suponga que los centros de agujeros están situados a 1 ¾ plg. de la espalda de las

canales. Solución

Propiedades de las C12 x 30 (Ag = 8.82 plg² cada una, con tf = 0.501 plg., Ix = 162 plg4 cada una Iy = 5.14 plg4 cada una, eje y a 0.671 plg desde la

espalda de una C, ry = 0.763 plg.).

Carga permisible de tensión:

T = 0.60 FyAg = (0.60) (36) (2 x 8.82) = 381.0 klb > 360 klb OK

An = [8.82 – (2) (1.0) (0.501)] 2 = 15.64 plg2

T = 0.50 Fu AnU = (0.50) (58) (15.64) (0.85) = 385.5 klb > 360 klb OK

Relación de esbeltez

4

x

2 4

y

x

I (2)(162) 324p lg

I (2)(5.14) (2)(8.82)(5.33) 511p lg

324r 4.29p lg.

(2)(8.82)

12x30L83.9 300

r 4.29

145

Diseño de las placas de unión (Especificación ASD D2)

Distancia entre líneas de tornillos = 12.0 – (2) (1 ¾) = 8.50 plg

Longitud mínima de las placas de unión = (2/3) (8.50) = 5.67 plg (digamos 6

plg).

Espesor mínimo de las placas de unión = (1/50) (8.50) = 0.17 plg (digamos

3/16 plg).

Ancho mínimo de las placas de unión = 8.50 + (2) (1 ½ ) = plg (digamos 12

plg).

Tabla de las especificaciones ASD

Espaciamiento máximo preferible de las placas de unión.

r mínimo de una C = 0.763 plg.

Lmáxima preferible = 300

r

(12)(L)300

0.763

L 19.08pie

Usaremos placas de unión de 3/16 x 6 x 1 pie 0 plg a cada 15 pie 0 plg entre centros.

MIEMBROS A COMPRESIÓN CARGADOS AXIALMENTE

CONSIDERACIONES GENERALES

Existen varios tipos de miembros que trabajan a compresión, de los cuales la columna es el más conocido. Entre los otros tipos se encuentran las cuerdas superiores de armaduras, miembros de arriostramiento, los

patines a compresión de vigas laminadas y armadas y los miembros sujetos simultáneamente a flexión y a compresión. Las columnas son

miembros verticales rectos cuyas longitudes son considerablemente mayores que su ancho. Los miembros verticales cortos sujetos a cargas de compresión se denominan con frecuencia puntales o, simplemente,

miembros a compresión.

146

Las pruebas demuestran que todas, excepto las columnas muy cortas,

fallan bajo esfuerzos P/A que se encuentran muy por debajo del límite elástico del material de las columnas, debido a su tendencia a pandearse o

flexionarse lateralmente. Por esta razón sus esfuerzos de diseño se reducen en relación con el peligro del pandeo. Entre más larga sea una columna para una misma sección transversal, mayor es su tendencia a

pandearse y menor será la carga que pueda soportar. La tendencia de un miembro a pandearse se mide por lo general con la relación de esbeltez que se ha definido previamente como la relación entre la longitud del

miembro y su radio de giro mínimo. Entre mayor es la relación de esbeltez menor es la capacidad de carga de la columna. Columnas muy esbeltas

resultan inestables bajo esfuerzos muy pequeños. La tendencia al pandeo depende también de los siguientes factores: tipo de conexión en los extremos, excentricidad de la carga, imperfecciones en el material de la

columna, torceduras iniciales en la columna, esfuerzos residuales de fabricación, etc.

Las cargas que soporta una columna de un edificio recaen en la sección transversal superior de la columna y a través de sus conexiones con otros

miembros. La situación ideal se tiene cuando las cargas se aplican uniformemente sobre la columna con el centro de gravedad de las cargas, coincidiendo con el eje de gravedad de la columna. Además, es deseable

que la columna no tenga defectos, que consista de un material homogéneo y que sea perfectamente recta; todas estas condiciones obviamente son

imposibles de satisfacerse. Las cargas que se encuentran exactamente centradas sobre una columna

se denominan axiales o cargas con céntricas. Las cargas muertas pueden, o no, ser axiales en una columna interior de un edificio, pero las cargas

vivas nunca lo son. Para una columna exterior la posición de las cargas es probablemente aún más excéntrica, ya que el centro de gravedad caerá por lo general hacia la parte interior de la columna.

Las otras condiciones deseables también son imposibles de lograr debido a imperfecciones de las dimensiones de las secciones transversales, esfuerzos residuales, agujeros taladrados para recibir tornillos o remaches,

esfuerzos de montaje y cargas transversales. Es muy difícil tomar en cuenta todas estas imperfecciones en una fórmula.

ESFUERZOS RESIDUALES

Esos esfuerzos son de gran importancia en columnas con relaciones de esbeltez de 40 a 120 intervalo que incluye un gran porcentaje de las

columnas usadas en la práctica. Una causa muy importante de los esfuerzos residuales es el enfriamiento desigual que sufren los perfiles

después de haber sido laminados en caliente. Por ejemplo, en un perfil W

147

los puntos exteriores de los patines y la parte media del alma se enfrían

rápidamente, en tanto que las zonas de intersección del alma con los patines lo hacen más lentamente.

Las partes de la sección que se enfrían con más rapidez al solidificarse resisten ulteriores acortamientos, en tanto que aquellas partes que están

aún calientes tienden a acortarse aún más al enfriarse. El resultado neto es que las áreas que se enfriaron más rápidamente quedan con esfuerzos residuales de compresión, en tanto que las áreas de enfriamiento más

lento quedan con esfuerzos residuales de tensión. La magnitud de esos esfuerzos varía entre 10 y 15 klb/plg² (69 a 103 MPa) aunque se han

encontrado valores mayores de 20 klb/plg² (138 MPa). Cuando se prueban secciones de columnas de acero laminadas con sus

esfuerzos residuales, sus límites proporcionales se alcanzan para valores P/A de poco más que la mitad de sus esfuerzos de fluencia y la relación

esfuerzo-deformación resulta no lineal desde ese valor hasta el esfuerzo de fluencia. Debido a la fluencia prematura en algunos puntos de las secciones transversales de la columna, se reduce apreciablemente la

resistencia al pandeo. La reducción es máxima en columnas cuyas relaciones de esbeltez varían aproximadamente entre 70 y 90 y puede ser tan elevada como un 25%.

Al incrementarse la carga en una columna, partes de ésta alcanzarán

rápidamente el esfuerzo de fluencia y entrarán al intervalo plástico debido a los esfuerzos residuales de compresión. La rigidez de la columna se reduce y es función de la parte de la sección transversal que aún se

comporta elásticamente. Una columna con esfuerzos residuales se comporta como si tuviese una sección transversal más pequeña. Esta

sección reducida o parte elástica de la columna cambiará al hacerlo los esfuerzos aplicados. Los cálculos relativos al pandeo de una columna particular con esfuerzos residuales pueden efectuarse usando un

momento de inercia efectivo de la parte elástica de la sección transversal, o bien, usando el módulo tangente (o sea, la razón del esfuerzo a la deformación unitaria en un punto arriba del límite proporcional). Para las

secciones comunes usadas como columnas, los dos métodos dan resultados casi iguales.

Los esfuerzos residuales también pueden causarse durante el proceso de fabricación al combar la columna en frío o por enfriamiento posterior a la

aplicación de la soldadura. El combeo es el flexionamiento de un miembro en una dirección, con el fin

de mejorar su apariencia cuando las cargas de servicio la flexionen en la dirección opuesta. Por ejemplo, podemos flexionar una viga hacia arriba

inicialmente, de manera que quede más o menos horizontal cuando se

148

apliquen las cargas. La soldadura puede producir severos esfuerzos

residuales en las columnas, que pueden aproximarse al valor del esfuerzo de fluencia en las cercanías de las partes soldadas; las columnas también

pueden flexionarse apreciablemente debido a la aplicación de la soldadura, lo que afecta su capacidad de soportar cargas. La figura 5-1 muestra el efecto de los esfuerzos residuales (debido al enfriamiento desigual durante

la fabricación) en el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria de un perfil W laminado en caliente.

Figura 5-1 Efecto de los esfuerzos residuales en el diagrama de

esfuerzos - deformación de una columna.

PERFILES USADOS PARA COLUMNAS En teoría puede seleccionarse un sinfín de perfiles para resistir con seguridad una carga de compresión en una estructura dada. Sin embargo,

desde el punto de vista práctico, el número de soluciones posibles se ve limitado por el tipo de secciones disponibles, por problemas de conexión y

el tipo de estructura en donde se va a usar la sección. Los párrafos que siguen intentan dar un breve resumen de las secciones que han resultado satisfactorias para ciertas condiciones. Esas secciones se muestran en la

figura 5-2; las letras entre paréntesis en los párrafos que siguen se refieren a las partes de esta figura.

Las secciones usadas para miembros a compresión por lo común son similares a las usadas para miembros a tensión con ciertas excepciones.

Las excepciones las causan el hecho de que las resistencias de los miembros a compresión varían en cierta relación inversa con las relaciones de esbeltez y se requieren entonces miembros rígidos. Las barras, placas y

varillas individuales son generalmente demasiado esbeltas para funcionar en forma satisfactoria como miembros a compresión, a menos que sean

muy cortas y reciban carga pequeña.

149

Los miembros formados por ángulos sencillos (a) son satisfactorios como arriostramientas y miembros a compresión de armaduras ligeras. Los

ángulos de lados iguales pueden ser más económicos que los de lados desiguales porque sus radios de giro mínimo son mayores para la misma área de acero. Las cuerdas superiores de armaduras atornilladas para

techos pueden consistir en un par de ángulos espalda con espalda (b). Generalmente se deja un espacio entre éstos para insertar una placa de

unión en los nudos, necesaria para efectuar la conexión a otros miembros; en algunos casos conviene usar ángulos de lados desiguales con los lados

largos espalda con espalda para lograr una mejor distribución de los radios de giro r respecto a los ejes x y y.

Si se sueldan las armaduras, las placas de nudo pueden ser innecesarias; entonces pueden usarse tes estructurales (c) para la cuerda superior y

soldar directamente al alma de las tes los miembros de la celosía. Las canales sencillas (d) no son satisfactorias como miembros a compresión debido a su radio de giro pequeño, respecto a los ejes centroidales

paralelos al alma. Estas pueden usa, se si se encuentra la manera de proporcionar soporte lateral en la dirección débil. Los perfiles W (e) son los más comunes para columnas de edificios y para los miembros a

compresión de puentes carreteros. Aunque sus valores están lejos de ser iguales respecto a los dos ejes, están mejor balanceados que en las

canales.

150

Varios puentes famosos construidos durante el siglo XIX (como el Firth of Forth en Escocia y el Ead en St. Louis, Missouri) utilizaron ampliamente

los perfiles tubulares. Sin embargo, el uso de éstos declinó debido a los problemas en sus

conexiones y a los costos de fabricación, pero con el desarrollo de tubos soldados más económicos, su uso está incrementándose de nuevo (los perfiles tubulares actuales son mucho más pequeños que los usados en el

pasado en aquellos puentes de acero).

Para cargas pequeñas y medianas las secciones tubulares (f) son muy satisfactorias.

Se usan a menudo como columnas en largas series de ventanas, como columnas cortas en almacenes, como columnas para los techos de

andadores cubiertos, en los sótanos y garajes de residencias, etc. Las columnas a base de tubos tienen la ventaja de ser igualmente rígidas en todas direcciones y por lo general son muy económicas, a menos que los

momentos sean grandes. El manual ASD proporciona los tamaños de esas secciones y las clasifica como estándar, extrafuertes y doble extrafuertes.

Las secciones tubulares cuadradas y rectangulares, (g) y (h), no se han usado mucho como columnas hasta hace poco. Durante muchos años sólo

unas cuantas laminadoras en los Estados Unidos fabricaron tubería de acero con fines estructurales. Tal vez la principal causa del poco uso de las secciones tubulares era la dificultad de efectuar las conexiones con

tornillos o remaches. Este problema se ha eliminado con el surgimiento de las técnicas modernas de soldar. El uso de perfiles tubulares con

propósitos estructurales, por arquitectos e ingenieros, probablemente se verá incrementado en los próximos años por las siguientes razones:

1. El miembro a compresión más eficiente es aquel que tiene un radio de giro constante respecto a su centroide, propiedad que poseen los tubos circulares. Los perfiles tubulares cuadrados son los siguientes

miembros a compresión en orden de eficiencia. 2. Sus superficies tersas permiten pintarlos fácilmente.

3. Tienen excelente resistencia a la torsión. 4. Las superficies de los perfiles tubulares son muy atractivas. 5. Cuando están expuestas, la resistencia al viento de los tubos

circulares es aproximadamente de sólo dos tercios de la de las superficies planas del mismo ancho.

Una pequeña desventaja que se presenta en ciertos casos es que los extremos de los tubos deben sellarse para proteger sus superficies

interiores inaccesibles contra la corrosión. Aunque resultan muy atractivos

151

para usarse expuestos como vigas, los perfiles tubulares están en

desventaja con las secciones W, que poseen momentos resistentes mucho mayores para el mismo peso.

Cuando se diseñan miembros a compresión para estructuras muy grandes puede ser necesario usar secciones armadas. Estas secciones se requieren

cuando los miembros son muy largos y soportan cargas muy grandes, o bien, cuando representan ventajas desde el punto de vista de las conexiones. En términos generales, un perfil sencillo tal como una sección

W, es más económico que una sección armada que tenga la misma área en su sección transversal. Cuando las cargas son muy grandes, pueden

usarse aceros de alta resistencia con mayor economía, siempre que este incremento de la resistencia permita el uso de secciones W en vez de secciones armadas.

Cuando se usan secciones armadas, éstas deben conectarse en sus lados abiertos con algún tipo de celosía que mantenga sus partes unidas y les

permita trabajar conjuntamente. Los extremos de los miembros se conectan con placas de unión. En la figura 6-6 se muestran varios tipos de celosía para miembros armados a compresión.

Las líneas punteadas en la figura 5-2 representan celosías o partes discontinuas y las líneas sólidas representan partes que son continuas en

toda la longitud de los miembros. A veces se disponen cuatro ángulos como se muestra en (i) para producir valores grandes de r. Este tipo de

miembro se ve con frecuencia en torres y en pescantes de grúas. Un par de canales (j) se usan a veces como columnas en edificios o como miembros de la celosía en armaduras de gran tamaño. Nótese que existe un cierto

espaciamiento para cada par de canales en el cual sus valores r respecto a los ejes x y y son iguales. En ocasiones las canales se disponen espalda

con espalda como se muestra en (k). Una sección muy adecuada para la cuerda superior de las armaduras de

puente está formada por un par de canales con una cubreplaca en la parte superior (1) y celosía en la parte inferior. Las placas de los nudos se conectan fácilmente al interior de las canales y pueden usarse también

como empalmes. Cuando las canales disponibles más grandes no proporcionan suficiente resistencia puede usarse como cuerda superior

una sección armada del tipo mostrado en (m). Cuando los perfiles laminados no tienen suficiente resistencia para

soportar la carga de una columna de un edificio o de una armadura de puente, sus áreas pueden incrementarse con la adición de placas a los patines (n). En años recientes se ha encontrado que en estructuras

soldadas, una columna armada del tipo mostrado en (o) es más satisfactoria que una W con cubreplacas soldadas (n). Parece ser que

durante la flexión es difícil transferir eficientemente la fuerza de tensión de

152

la cubreplaca a la columna, sin que la placa se separe de la columna

(como en el caso en donde una viga se conecta a{ pat(n ¿e una columna). Para cargas muy grandes en columnas, una sección en caja soldada del

tipo mostrado en (p) ha resultado muy satisfactoria. Otras secciones armadas se muestran en (q), (r) y (s). Las secciones armadas mostradas de (n) a (q) tienen la ventaja sobre las mostradas de (i) a (m), de no requerir

barras o placas de celosía. Las fuerzas cortantes laterales son insignificantes en las columnas a base de perfiles sencillos y en las secciones armadas sin celosía, pero de ninguna manera pueden ignorarse

en las columnas armadas con celosía.

Actualmente se ha incrementado el uso de las columnas compuestas. Estas consisten en tubos estructurales de acero rellenos con concreto o de perfiles W ahogados en concreto, generalmente con sección cuadrada o

rectangular.

DESARROLLO DE LAS FORMULAS PARA COLUMNAS El uso de columnas se remonta a la prehistoria, pero fue hasta 1729 que

el matemático holandés Pieter van Musschenbrock publicó un artículo científico sobre columnas; este artículo contenía una fórmula empírica para estimar la resistencia de columnas rectangulares. Unos años más

tarde en 1757, Leonhard Euler, un matemático suizo, escribió un artículo de gran valor relativo al pandeo de columnas; y probablemente él fue la

primera persona en darse cuenta de la importancia del pandeo. La fórmula de Euler, la más famosa de todas las expresiones sobre columnas, que se deduce en la sección 5-5, representa el principio de la investigación teórica

y experimental sobre columnas.

Figura 5-3 Curva de resistencia de columna

153

La bibliografía técnica contiene muchas fórmulas desarrolladas para

condiciones ideales de las columnas, pero estas condiciones no se encuentran en la realidad práctica.

En consecuencia, el diseño práctico de columnas se basa principalmente en fórmulas que se han desarrollado para concordar con exactitud

razonable con los resultados de las pruebas. La justificación de este procedimiento es el hecho de que la deducción independiente de expresiones para columnas no conduce a fórmulas que den resultados

comparables con los valores experimentales para toda relación de esbeltez.

Las pruebas de columnas con diferentes relaciones de esbeltez producen una serie de valores esparcidos como los representados por la banda ancha de puntos en la figura 5-3.

Los puntos no quedarán en una curva suave aunque las pruebas se hagan

en el mismo laboratorio, debido a la dificultad de centrar exactamente las cargas, a la falta de perfecta uniformidad de los materiales, a la variabilidad en las dimensiones, a los esfuerzos residuales, a los cambios

de las restricciones en los extremos, etc. La práctica común consiste en desarrollar fórmulas que den resultados representados por un promedio aproximado de los resultados de las pruebas. El estudiante también debe

darse cuenta de que las condiciones de laboratorio no son análogas a las de campo y que las pruebas de columnas probablemente dan los valores

límite de su resistencia. Las magnitudes de los esfuerzos de fIuencia de las secciones probadas son muy importantes en las columnas cortas, ya que sus esfuerzos de falla

tienen valores cercanos a los de fIuencia. Para columnas con relaciones de esbeltez intermedias los esfuerzos de fIuencia tienen menor importancia en

sus efectos, en los esfuerzos de falla y no tienen ninguna importancia en las columnas largas. Para columnas intermedias los esfuerzos residuales tienen mayor influencia en los resultados, en tanto que los esfuerzos de

falla de columnas largas son muy sensibles a las condiciones de apoyo en los extremos. Otro factor dominante en su efecto sobre la resistencia de las columnas, además de los esfuerzos residuales y de la no linealidad de los

materiales es la falta de rectitud.

Esta expresión es la fórmula de Euler, pero se escribe por lo regular en una forma ligeramente diferente implicando a la relación de esbeltez. Ya

que r = 2 2I / A, r I / A e I = r A , la fórmula de Euler puede escribirse como

2

2

P E

A (L / r)

154

El lector notará que la carga de pandeo determinada por la fórmula de Euler es independiente de la resistencia del acero utilizado. Esta

ecuación sólo resulta útil cuando las condiciones de apoyo de sus extremos se consideran cuidadosamente. Los resultados que se obtienen por la aplicación de la fórmula en ejemplos específicos, son bastantes

comparables con los obtenidos con pruebas de columnas esbeltas, con extremos articulados y cargadas axialmente. Sin embargo, el ingeniero no encontrará columnas ideales de este tipo. Las columnas con las que

trabajará no tienen extremos idealmente articulados y no pueden girar libremente porque sus extremos están atornillados, remachados o

soldados a otros miembros. Dichas columnas prácticas tienen diversos grados de restricción a la rotación, que varían de limitaciones ligeras a condiciones de casi empotramiento perfecto. Para los casos reales que

existen en la práctica, donde los extremos no tienen libertad de rotación, pueden usarse en la fórmula diferentes valores para la longitud,

obteniendo resultados más reales. Para usar la ecuación de Euler con buen resultado en las columnas, el

valor de L se tomará como la distancia entre puntos de inflexión de la elástica. Esta distancia se considera como longitud efectiva de la columna. Para una columna articulada en sus extremos (que puedan girar pero no

trasladarse), los puntos de momento nulo se localizan en los extremos, separados por una distancia L. Para columnas con diferentes condiciones

de apoyo, las longitudes efectivas serán totalmente distintas. El ejemplo 5-1 ilustra la aplicación de la ecuación de Euler a una

columna de acero. Si el valor P/A obtenido excede al límite proporcional, la ecuación elástica de Euler no es aplicable.

EJEMPLO 1

(a) Se usa una W10 x 22 como columna de 15 pies articulada en sus extremos. Con la fórmula de Euler determine la carga de compresión axial permisible que la columna puede soportar,

usando un factor de seguridad de 2. Suponga que el acero tiene un límite proporcional de 36 klb/plg².

(b) Repita la parte (a) para una columna de 8 pies. Solución

(a) Columna de 15 pies. Propiedades de la W10 x 22: A = 6.49 plg², rx

= 4.27 plg., ry = 1.33 plg.

155

y

2 3

2 2

2

r mínima = r 1.33p lg

L (12)(15)135.34

r 1.33

(29x10 )Pcrítica o de pandeo = 15.63klb / p lg 36klb / p lg

A (135.34)

La columna está en el intervalo elástico

2P 15.63permisi ble 7.81klb / p lg

A 2

P permisible = (7.81) (6.49) = 50.7 klb

(b) Columna de 8 pies W10 X 22

2 3

2 2

2

L (12)(8)72.18

r 1.33

(29x10 )Pcrítica o de pandeo = 54.94klb / p lg 36klb / p lg

A (72.18)

La columna está en el intervalo inelástico por lo que la ecuación de

Euler no es aplicable El diseño de una columna de una cierta altura con una carga dada

usando la fórmula de Euler (dividida por un factor de seguridad) es un problema de tanteos. No conocemos el esfuerzo permisible hasta tener una sección (con su valor r) y no podemos escoger una sección hasta

tener un esfuerzo permisible. Para resolver el problema podemos suponer una sección, calcular la carga que puede soportar de acuerdo

con la fórmula y luego, si está sobreesforzada o subesforzada, escoger otra sección y repetir el proceso. Este exactamente el procedimiento descrito en las siguientes secciones para otras fórmulas para

columnas.

COLUMNAS LARGAS, CORTAS E INTERMEDIAS Una columna sujeta a compresión axial se acortará en la dirección de la

carga. Si la carga se incrementa hasta que la columna se pandea, el acortamiento cesará y la columna se flexionará lateralmente, pudiendo

156

al mismo tiempo torcerse en una dirección perpendicular a su eje

longitudinal.

La resistencia de una columna y la manera como falla dependen en gran medida de su longitud efectiva. Una columna de acero muy corta y fuerte puede cargarse hasta que el acero fluye y tal vez hasta la región

de endurecimiento por deformación. En consecuencia, puede resistir aproximadamente la misma carga en compresión que en tensión.

Al crecer la longitud efectiva de una columna, disminuye su esfuerzo de pandeo. Si la longitud efectiva excede un cierto valor, el esfuerzo de

pandeo será menor que el límite proporcional del acero. Las columnas en este intervalo fallan elásticamente.

Como se mostró en la sección 5.5 las columnas muy largas de acero fallan bajo cargas que son proporcionales a la rigidez por flexión (EI) de

la columna e independientes de la resistencia del acero. Por ejemplo, una columna larga construida con un acero con 36 klb/plg² de esfuerzo de fluencia fallará aproximadamente bajo la misma carga que una

construida con un acero con Fy = 100 klb/plg². Las columnas se clasifican a veces como largas, cortas e intermedias.

En los párrafos siguientes se da una breve explicación de esta clasificación.

Columnas largas

La fórmula de Euler predice muy bien la resistencia de columnas largas en las que el esfuerzo axial de pandeo permanece por abajo del

límite proporcional. Dichas columnas fallan elásticamente.

Columnas cortas

En columnas muy cortas el esfuerzo de falla será igual al esfuerzo de fluencia y no ocurrirá el pandeo. (Para que una columna quede en esta

clasificación, debe ser tan corta que no tendrá ninguna aplicación. Siendo así no se hará aquí más referencia a ellas).

Columnas intermedias En columnas intermedias, algunas fibras alcanzarán el esfuerzo de

fluencia y otras no: éstas fallarán tanto por fluencia como por pandeo y su comportamiento se denomina inelástico. (Para que la fórmula de

Euler sea aplicable a esas columnas deberá modificarse de acuerdo al

157

concepto de módulo reducido o al de módulo tangente para tomar en

cuenta la presencia de esfuerzos residuales). La mayoría de las columnas cae en esta clasificación.

FORMULAS ASD Y AASHTO

Las expresiones ASD fueron desarrolladas para incorporar las últimas investigaciones disponibles relativas al comportamiento de las columnas de acero. Estas fórmulas toman en cuenta el efecto de los

esfuerzos residuales, las condiciones reales de restricción en los extremos de las columnas así como las resistencias variables de los

diferentes aceros. Tipos diferentes de restricciones de extremo conducen a longitudes efectivas y resistencias enteramente diferentes. Las fórmulas ASD conducen a diseños más lógicos y económicos que

los proporcionados por las expresiones más antiguas. El diseño con muchas otras fórmulas de columnas dan miembros considerablemente

sobrediseñados en el intervalo inferior de las L/r, pero las fórmulas ASD dan diseños bastante económicos para todos los intervalos de la relación de esbeltez. Las expresiones son algo complicadas para

resolverlas matemáticamente, pero como se dispone de tablas en la parte 3 del manual ASD para columnas con Fy = 36 klb / plg² y Fy = 50 klb/plg², los diseños se pueden efectuar con poca dificultad.

El ASD supone que debido a los esfuerzos residuales, el límite superior

del pandeo elástico está definido por un esfuerzo promedio igual a la mitad del esfuerzo de fluencia (1/2 Fy). Si este esfuerzo se iguala con la expresión de Euler, el valor de la relación de esbeltez en este límite

superior puede determinarse para un acero particular. Este valor se denomina Cc, que corresponde a la relación de esbeltez que separa el

pandeo elástico del inelástico y se determina como sigue :

2 2

y 2 2

c

2

c

y

1 E EF

2 (L / r) C

2 E*C

F

Los valores de Cc se pueden calcular sin mayor dificultad pero el

manual ASD da sus valores para cada acero (126.1 para el A36, 116.7 para los aceros con 42 000 lb/plg² de esfuerzo de fluencia, etc.). Esta es la ecuación propuesta por el Structurasl Stability Research Council,

para la resistencia última de una columna cargada axialmente, la cual contiene un factor de seguridad. En esta sección Fa es el esfuerzo axial

permisible (P/A) y K es el factor por el que hay que multiplicar la

158

longitud no soportada lateralmente de la columna para obtener su

longitud efectiva.

2

y2

c

a 3

3

c c

(KL / r)1 F

2CF

5 3(KL / r) (KL / r)

3 8C 8C

(Ec. ASD E2-1)

Para los valores de KL/r mayores que Cc se usa la fórmula de Euler. Con un factor de seguridad de 1.92 (o 23/13) la expresión que resulta

es :

2

a 2

12 EF

23(KL / r) (Ec. ASD E2-2)

La figura 5-5 muestra los intervalos en que se usan las dos expresiones ASD.

Figura 5-5 Curva ASD para esfuerzos permisibles en columnas.

El denominador de la ecuación E2-1 es el factor de seguridad y da

usualmente un valor no mucho mayor que el usado para miembros a tensión cargados axialmente. Las pruebas han mostrado que las

columnas cortas no son afectadas grandemente por pequeñas excentricidades, lo que permite el uso de factores de seguridad pequeños. Las columnas más esbeltas, son más sensibles a las

pequeñas imperfecciones y el factor de seguridad se incrementa hasta un 15%. Debe mencionarse que las columnas de longitud intermedia

son aquellas en que los esfuerzos residuales y la falta de rectitud

159

inicial tienen mayor influencia. La expresión para el factor de

seguridad (F.S.) representa un cuarto de onda senoidal que toma el valor 5/3 cuando KL/r es igual a cero y crece hasta 23/12 cuando KL/r

es igual a Cc. Las especificaciones AASHTO 1989 tienen los mismos dos tipos de

fórmulas para columnas que las especificaciones ASD. Las dos categorías son para aquellas columnas con relaciones de esbeltez bajas y que fallan por pandeo inelástico, y para aquellas columnas con

relaciones de esbeltez altas que fallan por pandeo elástico. Para el intervalo inelástico la AASHTO requiere el uso de la fórmula parabólica.

Columna pesada conectada a su placa de base por medio de soldadura y tornillos de alta resistencia. (Cortesía de la Bethlehem Steel

Company).

2

yy

a 2

KLF

F rF 1

F.S. 4 E

y para el intervalo elástico (o sea, cuando KL/r > Cc) requiere que se use la fórmula de Euler:

2

a 2

EF

F.S.(KL / r)

Para ambos casos se usa un F.S. de 2.12

RESTRICCIONES EN LOS EXTREMOS Y LONGITUDES EFECTIVAS DE COLUMNAS

La restricción en los extremos y su efecto en la capacidad de carga de una columna es en verdad un concepto muy importante. Las columnas con apreciables restricción en sus extremos pueden soportar cargas mucho

mayores que aquellas con poca restricción, como es el caso de columnas con extremos articuladas.

La longitud efectiva de una columna se definió en la sección 5-5 como la distancia entre puntos de momento nulo en la columna, o sea, la distancia

entre sus puntos de inflexión. En las especificaciones de acero de longitud efectiva e una columna se denomina KL en donde K es la factor de la longitud efectiva. K es el número por el que debe multiplicarse la longitud

de la columna para obtener su longitud efectiva. Su magnitud depende de

160

la restricción rotacional en los extremos de la columna y de la resistencia

al movimiento lateral de ésta.

El concepto de longitud efectiva es simplemente un método matemático para reemplazar una columna con cualesquiera condiciones en los extremos por una columna equivalente con extremos articulados. Se

podría efectuar un complejo análisis del pandeo de un marco para determinar el esfuerzo crítico en una columna particular. El factor K se determina encontrando la columna articulada con una longitud

equivalente que proporcione el mismo esfuerzo crítico. El procedimiento del factor K es un método para encontrar soluciones simples a problemas

complicados de pandeo en marcos. Columnas con condiciones de extremo diferentes tienen longitudes

efectivas completamente diferentes. En esta exposición inicial se supone que no es posible el ladeo o traslación de las juntas. El ladeo o traslación

de las juntas significa que uno o ambos extremos de una columna pueden moverse lateralmente entre sí. Si una columna está articulada en sus dos extremos como se muestra en la figura 5-6 (a), su longitud efectiva es igual

a su longitud real y K es entonces igual a 1.0. Si los extremos están perfectamente empotrados, sus puntos de inflexión (o puntos de momento nulo) se localizan en los cuartos de la altura y la longitud efectiva es igual

a L/2 como se muestra en la figura 5-6(b); K es entonces igual a 0.50.

Figura 5-6 Longitudes efectivas de columnas en marcos arriostrados (ladeo

impedido)

Figura 5-7

161

Resulta claro que entre menor sea la longitud efectiva de una columna, menor será el peligro de que se pandee y mayor su capacidad de carga.

En la figura 5-6 (c) se muestra una columna con un extremo empotrado y

el otro articulado; la K para esta columna es teóricamente igual a 0.70.

En realidad nuca se tienen ni articulaciones ni empotramientos perfectos,

por lo que las columnas comunes quedan entre los dos casos extremos. Parecería que las longitudes efectivas de las columnas siempre varían entre un mínimo absoluto de L/2 y un máximo absoluto de L, pero hay

excepciones a esta afirmación. En la figura 5-7 (a) se da un ejemplo de esto con un simple marco. La base de cada una de las columnas está articulada y el otro extremo puede rotar y moverse lateralmente (ladeo).

En la figura se ve que la longitud efectiva excederá a la longitud real de la columna, ya que la curva elástica tomará teóricamente la forma de la

curva de una columna doblemente articulada de longitud doble y K será entonces igual a 2.0. Nótese en (b) lo pequeña que sería de deflexión lateral de la columna AB si estuviese articulada en ambos extremos para impedir

el ladeo.

Las columnas de acero estructural sirven como partes de marcos, los que a veces tienen arriostramiento y en otras ocasiones no. Un marco arriostrado es uno en el que la traslación de las juntas está impedida por

medio de riostras, mueros de cortante o por el soporte lateral de las estructuras adjuntas. Un marco sin arriostrar no tiene ninguno de estos tipos de soporte y depende de la rigidez de sus propios miembros para

impedir el pandeo. En marcos arriostrados los valores K nunca pueden ser mayores que 1.0, pero en los marcos sin arriostrar los valores K

siempre son mayores que 1.0 debido al ladeo. La tabla C-C2.1 de los Comentarios a las Especificaciones ASD presenta

los factores de longitud efectiva recomendados cuando se tienen

162

condiciones ideales aproximadas. Esta tabla se reproduce aquí como la

tabla 5-1 (a). Se proporcionan en la tabla dos grupos de valores K; uno de ellos es el valor teórico y el otro el valor recomendando para el diseño,

basado en el hecho de que no son posibles las condiciones de articulación y empotramiento perfecto. Si los extremos de la columna en la figura 5-6 (a) no fueran perfectamente fijos, la columna podría deflexionarse un poco

y la distancia entre sus puntos de inflexión se incrementaría. El valor K recomendado para diseño es de 0.65, en tanto que el teórico es de 0.5. El proyectista puede interpolar entre los valores dados en la tabla, utilizando

su buen juicio al estimar las condiciones reales de restricción.

Las longitudes efectivas se analizan con mayor detalle en la sección 7-1. Los nomogramas presentados ahí dan supuestamente factores K más precisos que los de la tabla 5-1.

RELACIONES DE ESBELTEZ MAXIMAS

La especificación ASD-B7 establece que los miembros a compresión deben ser diseñados preferiblemente con relaciones KL/r que no excedan

de 200, Si KL/r = 200 en un miembro a compresión, su esfuerzo permisible será de 3.73 klb/plg² independientemente de su esfuerzo de

163

fluencia. Si se usan relaciones de esbeltez mayores, los valores del

esfuerzo permisibles serán muy pequeños y se deberán usar entonces las fórmulas para columnas dadas en la sección 5-8.

EJEMPLOS

En esta sección se resuelven tres problemas numéricos sencillos sobre columnas usando las especificaciones ASD. En cada uno se calcula la resistencia de diseño de una columna. En el ejemplo 5-4 el autor

determina la resistencia permisible de una sección W. El valor de K se determina con la tabla 5-1, se calcula la relación de esbeltez efectiva, se

obtiene el esfuerzo permisible de diseño Fo para la columna en la tabla C-36 en la parte 3 del manual y se multiplica por el área de la sección transversal de la columna.

Figura 5-8

EJEMPLO 1

Usando los valores para los esfuerzos de diseño dados en la tabla C-36 del

manual ASD para acero A36, determine la carga permisible de compresión que la columna cargada axialmente mostrada en la figura 5-8, puede soportar.

Solución

Propiedades de la W12 x 72 : A = 21.1 plg², ry = 3.04 plg.

K = 0.80 (de la tabla 5-1).

164

KL (0.80)(12x15)

47.37r 3.04

Fa = 18.58 klb / plg² (de la tabla C-36 del manual ASD) P = Fa Ag = 18.58 x 21.1 = 392 klb,

En el ejemplo 5-5 se determina la carga permisible por compresión

axial para una columna de acero A36 usando los esfuerzos permisibles

ASD. Para esta columna es necesario localizar los ejes centroidales de la sección y calcular Ix e Iy luego la r mínima de esta sección. Este valor de r

usa en la ecuación de la columna. Ejemplo 2

Usando la tabla de esfuerzos permisibles para el acero A36, determine la carga permisible que la sección compuesta mostrada en la

figura 5-9 puede soportar. KL = 19 pies.

Figura 5-9

Solución

A = (20) (1/2) + (2) (12.6) = 35.2 plg

Posición del eje centroidal medido desde la parte superior de la sección:

165

3

2 2

x

4

x

2 3 4

y

(10)(0.25) (2)(12.6)(9.50)6.87p lg.

35.2

1 1I (2)(554) (25.2)(2.63) (20) (10)(6.62)

12 2

I 1721p lg

1 1I (2)(14.4) (12.6)(6.877) (2) (20) 1554p lg

12 2

1554r mínima = 6.64p lg

35.2

2

a

a g

.

KL (12)(19)34.34

r 6.64

F 19.63klb / p lg

P F A (19.63)(35.2) 691klb

Para determinar el esfuerzo permisible de diseño a compresión por usarse en una columna particular es necesario teóricamente, calcular tanto (KL/r)x como (KL/r)y . Sin embargo, para la mayor parte de las secciones

de acero usadas como columnas, ry es mucho menor que rx. En consecuencia, para la mayoría de las columnas sólo se calcula (KL/r)y para luego usarse en las fórmulas apropiadas de columnas.

Para algunas columnas, en especial para las largas, el soporte lateral se

aplica perpendicularmente al eje menor, reduciendo así la esbeltez, o la longitud libre para pandeo en esa dirección. Esto puede lograrse por medio de riostras o vigas enmarcadas en los lados de la columna. Por ejemplo, los

largueros de pared horizontales dispuestos paralelamente a los muros exteriores de un edificio puede enmarcarse en los lados de las columnas, resultan así columnas más fuertes y en estos casos es necesario calcular

tanto (KL/r)x como (KL/r)y. La mayor relación obtenida para una columna dada indica cuál es la dirección débil y se usará para calcular el esfuerzo

permisible de diseño Fa para ese miembro. Los elementos de arriostramiento deben ser capaces de proporcionar las

fuerzas laterales necesarias sin pandearse. Las fuerzas que deben tomar son bastante pequeñas y con frecuencia se estiman conservadoramente

igual a 0.02 veces la carga de diseño de la columna. Estos elementos se diseñan igual que los otros miembros a compresión. Una elemento de ariostramiento debe conectarse a otros miembros que puedan transferir la

166

fuerza horizontal por cortante al siguiente nivel restringido. Si esto no se

hace así, se proporcionará poco soporte lateral a la columna considerada.

Si la riostra para el soporte lateral consta de una sola barra ésta no impedirá el pandeo torsionante de la columna (véase la sección 7-4 y apéndice). Como el pandeo torsionante es un problema difícil de tratar,

debe proporcionarse soporte lateral que impida el movimiento tanto lateral como rotacional.

Las columnas de acero también pueden colocarse dentro de muros de mampostería de manera que queden soportadas lateralmente en la

dirección débil. El proyectista debe ser muy cuidadoso al suponer el soporte lateral total paralelo al muro, ya que un muro mal construido no proporciona un 100% de soporte lateral.

El ejemplo 3 muestra los cálculos necesarios para determinar la

resistencia de una columna con dos longitudes efectivas diferentes. EJEMPLO 3

Determine la carga axial de compresión permisible que la columna de acero A36 mostrada en la figura 5-10 puede soportar; use las

especificaciones ASD.

Solución Propiedades de la W14 x 145 : A = 42.7 plg², rx = 6.33 plg., ry = 3.98 plg.

KxLx = (0.80)(30) = 24 pie

Ky Ly = (1.0) (12) = 12 pie

167

Figura 5-10

Ky Ly = (0.80)(18) = 14.4 pie

x x

x

K L (12)(24)45.50

r 6.33

y y

y

K L (12)(14.4)43.42

r 3.98

Fa = 18.74 klb/plg² (de la tabla C-36 del manual ASD)

P permisible = 18.74 x 42.7 = 800.2 klb

DISEÑO DE MIEMBROS A COMPRESIÓN CARGADOS AXIALMENTE

INTRODUCCIÓN En este capítulo se presentan los diseños de varias columnas cargadas

axialmente. Se incluye la selección de perfiles sencillos, de perfiles W con cubreplacas y de secciones armadas construidas con canales. También se incluyen los diseños de miembros cuyas longitudes, sin soporte lateral,

son diferentes en las direcciones x y y, así como el dimensionamiento de celosía y placas de unión de secciones armadas con lados abiertos.

En el ejemplo 6-1 (a) se selecciona el perfil para una columna con KL = 14 pies usando las ecuaciones ASD. Se supone una relación de esbeltez

efectiva de 50, el esfuerzo permisible para este valor se lee en la tabla C-36 del manual ASD y este esfuerzo se divide entre la carga de la columna para obtener un área para la sección transversal de la misma. Después de

seleccionar una sección de prueba con aproximadamente esa área, se calculan su relación de esbeltez y resistencia permisible. El primer

tamaño estimado es aún un poco escaso por lo que se ensaya la siguiente sección en tamaño de esa serie de perfiles y se encuentra que es satisfactoria.

En el ejemplo 6-1 (b) el problema se repite usando un acero de mayor resistencia. Debe recordarse que los esfuerzos de fluencia de los aceros de

alta resistencia varían para diferentes espesores (a menos que estén especialmente aleados, para que sus valores resulten iguales a los de los

miembros más gruesos); por consiguiente, cuando se consideren tales aceros es necesario determinar cuidadosamente sus esfuerzos de fluencia, como se describe en las páginas 1-7 y 1-8 del manual ASD.

168

EJEMPLO 6-1

(a) Seleccione una sección W14 para la columna y carga mostrada en la figura 6-1 usando acero A36.

(b) Repita la parte (a) usando acero A441.

Solución

(a) Usando acero A36

Suponemos KL/r = 50 Fa = 18.35 klb/plg², de la tabla C-36 del manual ASD.

2

req

375A 20.44plg

18.35

Ensayamos una W14 x 74 (A = 21.8 plg², ry = 2.48 plg).

2

a

KL (1.0)(12x14)67.74

r 2.48

F 16.67klb / p lg

P permisible = (16.67) (21.8) = 363 klb 375 klb

Ensayos ahora una W14 x 82 (A = 24.1 plg², ry = 2.48 plg).

169

2

a

KL (1.0)(12x14)67.74

r 2.48

F 16.67klb / p lg

P permisible = (16.67) (24.1) = 401.7 klb 375 klb

Usamos una W14 x 82

(b) Usando acero A441

Suponemos KL/r = 70 y Fy = 50 klb / plg²

Fa = 20.94 klb / plg² de la tabla C-50 del manual ASD

2

req

375A 17.91plg

20.94

Ensayamos una W14 x 61 (A = 17.9 plg², ry = 2.45 plg., grupo 2 en la pág. 1-8 del manual, por lo que Fy = 50 klb / plg², pág. 1-7).

2

a

KL (1.0)(12x14)68.57

r 2.45

F 21.20klb / p lg

P permisible = (21.20) (17.9) = 379.5 klb 375 klb

Usamos una W14 x 61 TABLAS DE DISEÑO DE COLUMNAS

El lector podrá ver que es muy sencillo calcular la larga axial permisible de compresión para una columna particular. Así, en el ejemplo 6-1

encontramos que una W14 x 74 de aceros A36 con KL = 14 pies tiene una carga permisible de compresión de 363 klb. De la misma manera, podríamos calcular las cargas permisibles para la misma sección con

valores KL de 10, 11, 12 pies y oras longitudes prácticas. Si hiciéramos los mismos cálculos para todas las otras secciones de acero comúnmente

170

usadas como columnas, tendríamos un conjunto de tablas como las dadas

en la parte 3 del manual ASD.

En las tablas facilitan considerablemente los cálculos de columnas. Ellas incluyen las cargas permisibles de cada uno de los perfiles normalmente usados como columnas (W, M, S, tubos, tubulares, par de ángulos y tes

estructurales) para la mayoría de las longitudes efectivas de uso común. Los valores se dan con respecto al radio de giro mínimo para aceros con Fy = 36 y 50 klb / plg² (exceptuando los tubulares cuadrados y rectangulares

que existen sólo en acero con Fy = 46 klb/plg²).

El uso de las tablas es muy sencillo; se toma el valor KL para la dirección débil en pies, se consulta la tabla apropiada por el lado izquierdo y se procede horizontalmente a través de ella. Bajo cada perfil se indica la

resistencia permisible de diseño P para esa KL y para la Fy escogida. Por ejemplo, supongamos que tenemos una carga de 540 klb, KyLy = 12 pies, y

queremos seleccionar el perfil W14 más ligero disponible en acero A36. Consultamos las tablas con KL = 12 pies en la columna izquierda, y leemos de izquierda a derecha para un acero A36, los números 4277,

3892, 3529 klb, etc. Hasta que varias páginas después encontramos los valores consecutivos 561 y 511. El valor 511 klb no es suficiente y regresamos al valor 561 klb que queda en la W14 x 99. Un procedimiento

similar puede seguirse para los otros perfiles disponibles.

El ejemplo 6-2 ilustra la selección de secciones W, tubos y tubulares. Es

posible soportar la carga de una columna dada con un tubo estándar, con

un tubo extrafuerte que tiene menor diámetro pero paredes más gruesas y,

por consiguiente, es más pesado y caro, o bien con un tubo superfuerte

que tiene un diámetro aún menor y paredes y pero aún mayor.

EJEMPLO 6-2

Usando las tablas de columnas de la parte 3 del manual ASD.

(a) Seleccione el perfil W más ligero disponible para una carga P = 260

klb y KL= 10 pies. Use acero A36.

(b) Seleccione los tubos estándar, extrafuerte y superfuerte más ligeros

disponibles para las condiciones dadas en (a)

171

(c) Seleccione los tubulares cuadrado y rectangular más ligeros

disponibles para las condiciones dadas en (a), excepto que Fy = 46

klb/plg².

Solución (a) Entramos a las tablas con KyLY = 10 pies y P = 260 klb:

W14 x 53 (P = 268 klb) W12 x 53 (P = 288 klb)

W10 x 49 (P = 268 klb) W8 x 58 (P = 303 klb)

Usamos una W10 x 49 (b) Tubos

Tubo estándar 12 (P = 293 klb) ; peso = 49.56 lp/pie

Tubo estándar 10 (P = 318 klb) ; peso = 54.74 lp/pie

Tubo estándar 6 (P = 275 klb) ; peso = 53.16 lp/pie

(c) Tubulares cuadrados y rectangulares (Fy = 46 klb/plg²):

59x9x (P 262klb);peso 36.10l b / pie

16

19x7x (P 262klb);peso 37.69l b /

2

COLUMNAS CON LONGITUDES NO SOPÓRTADAS DIFERENTES En la figura 6-3 se muestra una columna cargada axialmente con

restricción lateral en el dirección débil. El ejemplo 6-3 ilustra el diseño de dicha columna con longitudes no soportadas diferentes en las direcciones

x y y. El estudiante puede resolver fácilmente ese problema por tanteos. Se escoge un perfil de prueba como se describió antes en este capítulo, se calculan los valores (KL/r)x y (KL/r)y. Se determina Fa y se multiplica por

Ag para obtener P. Luego, si es necesario, para prueba otro perfil y así sucesivamente.

En esta exposición suponemos que K es la misma en ambas direcciones. Entonces si queremos tener iguales resistencias respecto a los ejes x y y,

se debe cumplir la relación.

172

yx

x y

LL

r r

Para que Ly sea equivalente a Lx debemos tener

xx y

y

rL L

r

Si Ly (rx / ry), es menor que Lx, entonces Lx rige; si es mayor que Lx,

entonces rige Ly. Basándose en la información anterior, el manual ASD proporciona un método mediante el cual puede seleccionarse un perfil con pocos tanteos, cuando las longitudes sin soporte lateral son diferentes. Se

consulta la tabla apropiada con KyLy, se escoge un perfil, se toma el valor dado para rx/ry en la tabla para ese perfil y se multiplica por Ly. Si el

resultado es mayor que KxLx, entonces KxLx, rige y el perfil escogido inicialmente es el correcto. Si el resultado de la multiplicación es menor que KxLx, entonces KxLx, rige y se tendrá que volver a consultar las tablas

con un KyLy, mayor o igual a KxLx/(rx/ry) y seleccionar el perfil final.

173

EJEMPLO 6-3

Seleccionar el perfil W12 más ligero para las siguientes condiciones: acero

A36, P=465 kln, KxLx = 26 pies y KyLy = 13 pies. (a) Por tanteo

(b) Usando las tablas del manual ASD

Solución

(a) Por tanteo:

Suponemos KL

50r

Fa = 18.5 klb /plg²

Areq = 246525.34 plg

18.35

Ensayamos una W12 x 87 (A = 25.6 plg², rx = 5.38 plg. ry = 3.07 plg)

x

y

2

a

KL (12)(26)57.99

r 5.38

KL (12)(13)50.81

r 3.07

F 17.62klb / p lg

P (17.62)(25.6) 451klb 465klb

Revisando el siguiente perfil W12 en la tabla (96 lb) vemos que sí es satisfactorio.

Usamos una W12 X 96

(b) Usando las tablas

Entramos a las tablas con KyLy = 13 pies.

Ensayamos una W12 x 87 x

y

r1.75

r

174

xy y x x

y

r(K L ) (13)(1.75) 22.75 K L

r

Por lo tanto KxLx rige.

Volvemos a entrar a las tablas con x xy y

x y

K L 26K L 14.86

r / r 1.75

Usamos una W12 x 96

En el ejemplo 6-4 (a) se selecciona una perfil W de acero A572 grado 50 para soportar la carga de una columna. Suele ser más económico seleccionar una sola W para soportar la carga, pero en el ejemplo 6-4 (b) se

supone que la W deseable no se encuentra disponible. En consecuencia, se selecciona una W más pequeña de acero A36 a la que se agregan

cubreplacas también de acero A36 suficientemente grandes para soportar la carga. Se supone que las placas están conectadas al perfil W en sus extremos y en puntos intermedios, de modo que las partes trabajan

conjuntamente. Como este tipo de sección no se muestra en las tablas de columnas del manual ASD, es necesario usar un procedimiento de tanteos.

Se supone una relación de esbeltez efectiva; se determina Fa para esa KL/r y se divide la carga de diseño de la columna entre este valor para obtener el área total requerida.

El área de la sección W se resta del área total estimada para obtener el área de las cubreplacas. Se escoge un tamaño de cubreplaca para cada

patín para proporcionar el área estimada y se calcula Fa para toda la sección después de lo cual puede ser necesario revisar el tamaño de la

cubreplaca y ensayar nuevamente otro tamaño.

EJEMPLO 6-4

(a) Seleccione una sección W para la columna y carga mostradas

en la figura 6-4 usando acero A572 grado 50. (b) Usando acero A36 y una W14 x 311, seleccione placas de

modo que la sección sea satisfactoria para las condiciones de

la figura 6-4

Solución

(a) Usando acero A572 grado 40 y las tablas de columnas del ASD.

175

KL = (1.0) (15) = 15 pies.

Usaremos W14 x 370

Figura 6-4

(b) Usando una W14 x 311 con cubreplacas (acero A36).

KLSuponemos 40

r

Fa = 19.19 klb/plg²

2

req

2700A 140.70plg

19.19

Ensayamos W14x311 (A = 91.4 plg², d = 17.12 plg, Ix = 4330 plg4, Iy = 1610 plg4)

Con una cubreplaca PL20 x 1 ¼ en cada patín = 50.00 plg² Área total = 141.4 plg²

Ix = 4330 + (2)(25)(9.185)² = 8548 plg4

Iy = 1610 + (1/12) (2.50) (20)3 = 3277 plg4

176

3277r 4.81p lg.

141.4

KL (1.0)(15) 15pie.

KL (12)(15)37.42

r 4.81

Fa permisible = 19.39 klb/plg²

P permisible = (19.39) (141.4) = 2742 klb 2700 klb

Usaremos W14 x 311 con una cubreplaca PL20 x 11/4 en cada patín

COLUMNAS ARMADAS Tanto los miembros a tensión como los miembros a compresión se pueden

construir con dos o más placas o perfiles para formar un solo miembro armado. Un tipo común de miembro usado en armaduras ligeras es un par

de ángulos separados sólo por el espesor de la placa de nudo. Cuando se usan tales miembros, sus partes deben conectarse a intervalos tales que quede garantizado su funcionamiento como una unidad. Para efectuar esta

conexión pueden usarse cordones intermitentes de soldadura o bien tornillos o remaches (con separadores entre las partes).

Para columnas armadas cuyas partes están en contacto continuo entre sí o cuando las partes están separadas por piezas de relleno, los requisitos

correspondientes están dados por la especificación ASD-E4: 1. En los extremos de miembros armados en compresión que se apoyan

sobre placas de base o en superficies alisadas, todas las

componentes que estén en contacto entre sí se unirán mediante tornillos separados longitudinalmente no más de 4 diámetros en una distancia igual a 1.5 veces el ancho máximo del miembro, o por

soldaduras continuas que tengan una longitud no menor que el ancho máximo del miembro.

2. La separación longitudinal de sujetadores o soldaduras intermitentes

entre extremos de miembros armados, será la adecuada para poder

transferir los esfuerzos calculados. El espaciamiento longitudinal máximo de sujetadores o soldaduras intermitentes que conectan dos

perfiles laminados entre sí, no excederá de 24 plg. 3. Cuando un miembro armado en compresión pintado o sin pintar no

expuesto a la corrosión tiene una placa exterior, las especificaciones ASD estipulan una separación máxima para los conectores. Si se usan soldaduras intermitentes a lo largo de los bordes de las

componentes o si se tienen tornillos o remaches a lo largo de todas

177

las líneas de gramil en cada sección, su separación máxima no debe

ser mayor que y127 F veces el espesor de la placa exterior más

delgada ni que 12 plg. Sin embargo, si esos conectores están

alternados en las líneas de gramil, ellos no deben espaciarse en cada

línea a más de 190/yF ; veces el espesor de la parte más delgada ni

a más de 18 plg.

4. Cuando los miembros armados están compuestos de dos o más

perfiles laminados separados por rellenos intermitentes, los perfiles

deben conectarse en los rellenos de modo que los valores KL/r de los perfiles individuales no excedan de 3/4 veces la relación de esbeltez

mínima del miembro armado completo. Además, deben usarse por lo menos 2 conexiones intermedias a lo largo del miembro.

Otros valores de espaciamientos se dan en la especificación ASD J3.10 para miembros armados hechos con acero sin pintar resistente a la

intemperie. El ejemplo 6-5 presenta el diseño de un miembro a compresión formado

por un doble ángulo usando las tablas de columnas del ASD y acero A36. Las cargas permisibles para secciones WT y de doble ángulo están basadas en el pandeo flexotorsional. Este pandeo, que se toma en cuenta en las

tablas ASP, se analizará en el capítulo 7 y en el apéndice.

Se supone en este ejemplo que la carga de 120 klb incluye el efecto del viento en la columna. El AISC considera que las cargas intensas de viento y sismo son de tan corta duración, que los esfuerzos permisibles se

pueden incrementar en 1/3 (Especificación ASD A5.2). Esto es equivalente a multiplicar las cargas de diseño por ¾. EJEMPLO 6-5 Usando las tablas de columnas del ASD y acero A36, seleccione un

miembro a compresión que consista en dos ángulos para soportar una carga axial de 120 klb que incluya efectos de viento. Suponga que los

ángulos están espaciados a 3/8 plg para las conexiones de extremo. El miembro de 12 pies estará soportado lateralmente a la mitad de su altura en dirección perpendicular al eje x. Suponga K = 1.0 para todos los casos.

178

Solución

reducida

x

y

3P (120) 90klb

4

KL 6pies

KL pies

Selecciones posibles de las tablas para columnas de doble ángulo (Parte 3

del manual ASD): 2L5 x 5 x 3/8 (24.6 lb) soportarán 133 klb con respecto al eje x y 111 klb

con respecto al eje y.

2L4 x 4 x ½ (25.6 lb) soportarán 131 klb con respecto al eje x y 115 klb, con respecto al eje y.

Usaremos 2L5 x 5 x 3/8

En el ejemplo 6-6 se presenta el diseño de otra sección armada.

EJEMPLO 6-6 Seleccione un par de canales para la columna y carga mostradas en la

figura 6-5 usando acero A36 y las especificaciones ASD. La distancia entre las espaldas de las canales debe ser de 12 plg.

Solución Suponemos que el Fa permisible es de 17.5 klb/plg² y entonces el área

requerida es de 280/17.5 = 16.0 plg². Ensayamos 2C12 x 30 (A = 17.64 plg², rx = 4.29 plg)

179

Figura 6-5

Iy = (2) (5.14) + (17.64) (5.33)² = 511 plg4

y

2

a

511r 5.38p lg.

17.64

KL (1)(20) 20pie.

KL (12)(20)56

r 4.29

F permisi ble 17.81klb / p lg

P permisible = (17.81)(17.64)=314klb 280klb

Usaremos 2C12 x 30

180

CELOSIA Y PLACAS DE UNIÓN

Cuando los miembros constan de más de un perfil es necesario conectar sus componentes a través de sus lados abiertos. El propósito de la celosía

es mantener paralelas y a ras distancias correctas las diversas partes del miembro con objeto de uniformar la distribución de esfuerzos en ellas. El estudiante entenderá la necesidad de la celosía si considera un miembro

estructural armado que conste de varios perfiles (como el miembro formado por cuatro ángulos en la figura 5-2i) y que soporte una fuerte carga de compresión. Cada una de las partes tiende a pandearse

lateralmente en forma individual a menos que éstas estén unidas entre sí y trabajen en conjunto para recibir la carga. Además de la celosía, es

necesario proporcionar placas de unión tan cerca de los extremos como sea posible y en puntos intermedios si la celosía se interrumpe. Las partes (a) y (b) de la figura 6-6 muestran distintos arreglos de celosías y placas de

unión. Otras posibilidades se muestran en ras partes (c) y (d) de la misma figura.

La falla de varias estructuras se ha atribuido a una celosía insuficiente en miembros armados comprimidos. Tal vez el caso mejor conocido fue la falla del puente Quebec en r 907. Después de la falla, la opinión general

respecto al colapso de este puente fue que la celosía de las cuerdas a compresión eran muy débiles. Este desastre hizo ver a los ingenieros la importancia de diseñar cuidadosamente la celosía.

Las dimensiones de las placas de unión y de la celosía por lo general están determinadas por las especificaciones. En la sección E4 de las

especificaciones ASD se estipula que las placas de unión deberán tener un espesor igual a por lo menos 1;50 veces la distancia entre las líneas de conectores o cordones de soldadura y una longitud paralela al eje del

miembro principal igual, por lo menos, a la distancia entre las líneas de conectores.

La celosía consta generalmente de barras planas, pero puede formarse ocasionalmente con ángulos, cubreplacas perforadas, canales u otros perfiles laminados. Estas piezas deben espaciarse de modo que las partes

individuales conectadas no tengan valores L/r entre conexiones mayores que 3/4 el valor que rija para el miembro armado completo. Se supone que

la celosía está sujeta a una fuerza cortante normal al miembro igual a y no menor que el 2% de la compresión total del miembro. Las fórmulas para columnas del ASD se usan para diseñar la celosía en la forma usual. La

relación de esbeltez se limita a 140 para celosía simple y a 200 para celosía doble. Si la distancia entre líneas de conectores es mayor que 15 plg deberá usarse celosía doble.

En vez de celosía y placas de unión, se permite el uso de cubreplacas continuas en los lados abiertos de las secciones armadas. Si se necesitan

agujeros de acceso, estas placas se denominan cubreplacas perforadas. Generalmente se ignoran las concentraciones de esfuerzos, así como los esfuerzos secundarios por reflexión, pero las fuerzas cortantes laterales

181

deben revisarse. Las cubreplacas perforadas resultan atractivas para

muchos proyectistas por las diversas ventajas que su uso reporta. 1. Se fabrican fácilmente con los métodos modernos de corte con gas.

2. Algunas especificaciones permiten la inclusión de sus áreas netas en la sección efectiva de los miembros principales, siempre que los agujeros se hagan de acuerdo con los requisitos obtenidos

empíricamente en numerosas investigaciones.

Figura 6.6 Placas de unión y celosía

3. El pintado de los miembros se simplifica respecto a los miembros

con celosía ordinaria. El ejemplo 6-7 ilustra el diseño de la celosía y de las placas de unión en los

extremos para la columna armada del ejemplo 6-6. Las especificaciones para puentes son algo diferentes respecto a los requisitos para la celosía,

pero los procedimientos de diseño son prácticamente los mismos.

182

EJEMPLO 6-7

Diseñe, de acuerdo con las especificaciones ASD, la celosía simple

atornillada para la columna del ejemplo 6-6. Se hará referencia a la figura 6-7.

Solución

La distancia entre líneas de tornillos es de 8.5 plg. 15 plg., se puede usar

entonces celosía simple.

Suponga que las barras de la celosía estarán inclinadas a 60° con el eje del miembro. La longitud de las canales entre las conexiones de la celosía es

de 8.5/cos 30° = 9.8 plg y la L/r de una canal entre conexiones es de

9.8/0.763 = 12.9 ¾ x KL

r del miembro principal = (3/4) (56) = 42.

Fuerza en una barra de celosía.

V = 0.02 P = (0.02) (280) = 5.6 klb ½ V = 2.8 klb = fuerza cortante en cada plano de celosía.

Figura 6-7

Fuerza en una barra = (9.8 / 8.5) (2.8) = 3.23 klb

Propiedades de una barra plana:

183

3

3

1I bt

12

A bt

1bt

12rbt

r 0.289t

Diseño de la barra

Máx L

140r

9.8

1400.289t

t = 0.242 plg.

Ensayamos una barra plana de ¼ plg.

2

a

2

req

L 9.8136

r (0.289)(0.250)

F permisible = 8.07 klb/plg

3.23A 0.400p lg (1.60x1/ 4)

8.07

Distancia mínima al borde si se usan tornillos de ¾ = 1 ¼ plg.

Usamos barras de ¼ x 2 ½

Diseño de las placas de extremo:

Longitud mínima = 8.5 plg.

t mínima no menor que 1/50 de la distancia entre hileras de tornillos:

184

t = (1/50) (8.5) = 0.17 plg.

Usamos placas de extremo de 3/16 x 8 ½ x 11 ½

ELEMENTOS ATIESADOS Y NO ATIESADOS

Hasta ahora el autor sólo ha considerado la estabilidad de conjunto de los miembros, pero es muy posible que los patines o almas de una columna se

pandeen localmente en compresión antes de que ocurra el pandeo total del miembro. Las placas delgadas que se usan para tomar esfuerzos de compresión son muy susceptibles al pandeo respecto a sus ejes menores,

debido a los pequeños momentos de inercia en esas direcciones.

La tabla B5.1 de las especificaciones ASD proporciona valores límite para la relación ancho a espesor de las partes individuales de miembros a compresión y de las partes de vigas en regiones de compresión. El

estudiante seguramente está consciente de la falta de rigidez de las piezas delgadas de cartón, plástico o metal con bordes libres. Sin embargo, si uno

de esos elementos se pliega o restringe, su rigidez se incrementa apreciable- mente. Por esta razón en el manual ASD se consideran dos tipos de elementos: los elementos atiesados y los no atiesados.

Un elemento no atiesado es una pieza proyectante con un borde libre,

paralelo a la dirección de la fuerza de compresión, en tanto que un elemento atiesado está soportado a lo largo de los dos bordes en esa dirección. Esos dos tipos de elementos se ilustran en la figura 6-8. En

cada caso se muestran el ancho b y el espesor t del elemento.

Dependiendo de la relación ancho a espesor de los elementos a compresión y de si éstos son atiesados o no, los elementos se pandearán bajo diferentes condiciones de esfuerzos .Para establecer los limites de las

relaciones ancho a espesor de los elementos de los miembros a compresión , las especificaciones ASD agrupan a los miembros en las tres

clasificaciones siguientes secciones compactas ,secciones no compactas y elementos esbeltos a compresión.

185

Secciones compactas

Una sección compacta es aquella con un perfil suficientemente fuerte para que sea capaz de desarrollar una distribución total de esfuerzos plásticos

antes de pandearse. El término plástico significa que en toda la sección se tiene presente el esfuerzo de fluencia y se estudiará ampliamente en el capítulo 18. Para que un miembro pueda clasificarse como compacto, sus

patines deben estar conectados en forma continua al alma o almas y las relaciones ancho a espesor de sus elementos a compresión no deben ser

mayores que los valores límite dados en la tabla 6-1 (Tabla B5.1 de las especificaciones ASD).

186

187

Secciones no compactas

Una sección no compacta es en la que el esfuerzo de fluencia puede alcanzarse en algunos, pero no en todos sus elementos a compresión antes

de que ocurra el pandeo; no es capaz de alcanzar una distribución plástica de esfuerzos total. Estas secciones no califican como compactas pero tienen relaciones ancho a espesor que no exceden los valores dados para

las secciones no compactas.

Elementos esbeltos a compresión Estos elementos tienen relaciones ancho a espesor mayores que los dados

para las secciones no compactas y se pandearán elásticamente antes de que el esfuerzo de fIuencia se alcance en cualquier parte de la sección.

Para tales elementos es necesario considerar resistencias elásticas de pandeo.

Un perfil cuya sección transversal no satisface los requisitos de ancho/espesor de la tabla 6-1, puede aun usarse como columna pero su

esfuerzo permisible debe reducirse. La mayoría de las secciones cumplen con estos requisitos y las reducciones del esfuerzo permisible son

innecesarias. Todas las secciones W y en tubo contenidas en el manual ASD con Fy = 36 y 50 klb/plg² cumplen los requisitos excepto la W14 x 43 de acero con F y = 50 klb/plg².

Si los límites ancho/espesor para las secciones no compactas se exceden,

deberá consultarse el apéndice B del manual ASD para la reducción del esfuerzo permisible. Las fórmulas que ahí se presentan son tan complejas y tediosas en su aplicación que es preferible no permitir el uso de

miembros que caigan en esta clasificación de elementos esbeltos a compresión. Los elementos esbeltos a compresión se estudian con detalle

en la sección A-1 del apéndice de este libro y se presenta además un ejemplo numérico (A-1).

188

OBSERVACIONES PRELIMINARES RESPECTO AL PANDEO

FLEXOTORSIONANTE DE MIEMBROS A COMPRESION

Los miembros estructurales cargados axialmente a compresión pueden fallar teóricamente de tres maneras diferentes: por pandeo flexionante, por pandeo torsionante o por pandeo flexotorsionante.

El pandeo flexionante (llamado también pandeo de Euler) es el que se ha considerado hasta ahora en nuestro tratamiento de las columnas; en este

caso hemos calculado las relaciones de esbeltez para los ejes principales de la columna y determinado Fa para la mayor relación obtenida. Las

columnas con secciones con doble simetría (como las secciones W) están sujetas sólo a pandeo flexionante y a pandeo torsionante.

Como el pandeo torsionante puede ser muy complejo, es conveniente evitar que se presente. Esto puede lograrse por medio de un cuidadoso arregla de

los miembros y proporcionando soportes que impidan el movimiento lateral y la torcedura. Si se suministran suficientes soportes laterales en los extremos y en puntos intermedios, el pandeo flexionante será el que

siempre domine. Los valores dados en las tablas de columnas del manual ASD para los perfiles W, M, S, tubos y tubulares, se basan en el pandeo

flexionante. Las secciones abiertas (W, M, canales, etc.) tienen poca resistencia a la

torsión, pero no así los perfiles en caja. Entonces, si se presenta un caso de torsión, es aconsejable usar secciones en caja, o bien, a las secciones W adaptarles placas laterales soldadas.

Otra manera como pueden simplificarse los problemas de torsión, es

reducir las longitudes de los miembros sujetos a esta torsión. Para un perfil con simetría simple, como el perfil T o ángulos dobles, el

pandeo de Euler puede ocurrir respecto a los ejes x o y. Para ángulos de lados iguales, el pandeo de Euler puede ocurrir respecto al eje z. Para

todas estas secciones, el pandeo flexotorsionante es siempre una posibilidad y puede llegar a domina!. (Siempre será éste el caso para columnas formadas de un solo ángulo de lados desiguales.) Los valores

dados en las tablas de columnas del manual ASD para ángulos dobles y tes estructurales, fueron calculados para pandeo respecto al eje débil (x o

y) y para pandeo flexotorsionante.

El proyectista promedio no considera el pandeo torsional de perfiles simétricos o el pandeo flexotorsionante de perfiles asimétricos. El considera que esas condiciones no rigen en la determinación de la carga

crítica o por lo menos, que no la afectan mucho. Sin embargo, cuando se tienen columnas asimétricas o incluso columnas simétricas hechas con

189

placas delgadas, encontramos que el pandeo torsional o el flexotorsionante

puede reducir bastante la capacidad de la columna.

El lector habrá notado que el autor no ha presentado hasta ahora ningún diseño de columnas formadas por ángulos simples o de columnas para las que ni el eje x ni el eje y sean ejes de simetría. El manual ASD incluye

tablas que proporcionan cargas permisibles de compresión para perfiles W, S, T, tubos, tubulares y ángulos dobles cargados axialmente, pero no para

ángulos simples. No obstante, en muchas ocasiones se usan puntales formados por ángulos simples.

Se indica en el manual ASD que no se incluyen tablas para columnas formadas por ángulos simples debido a la dificultad de cargar tales miembros concéntricamente. El manual considera que en la práctica las

excentricidades reales de los miembros formados por ángulos simples son muy grandes y que ignorar esas excentricidades puede conducir al uso de

miembros subdiseñados. El lector podría intentar seleccionar un puntal a base de un solo ángulo

por medio de tanteos como 10 hemos hecho en este capítulo y en el anterior suponiendo un valor KL/r (se trata aquí del KL/rz) y determinando

Fa con la tabla C-36 o con la C-50 del manual ASD, etc. Luego podría decir, "reduciré estos valores en 20 o 25%". Tal procedimiento sería

erróneo del lado inseguro. El proyectista que use puntales a base de un solo ángulo y miembros

similares tendrá que aplicar las fórmulas de la flexotorsión (o auxiliarse con un programa de computación) con tolerancias para la excentricidad de la carga y los momentos resultantes. En el ejemplo A-2 del apéndice se

presenta un caso de pandeo flexotorsional de acuerdo con el ASD.

190

VIGAS

TIPOS DE VIGAS

Las vigas son miembros que soportan cargas transversales: Se usan generalmente en posición horizontal y quedan sujetas a cargas por gravedad o verticales; sin embargo, existen excepciones, por ejemplo, el

caso de los cabios.

Entre los muchos tipos de vigas cabe mencionar las siguientes: viguetas, dinteles, vigas de fachada. largueros de puente y vigas de piso. Las viguetas son vigas estrechamente dispuestas para soportar los pisos y

techos de edificios; los dinteles se colocan sobre aberturas en muros de mampostería como puertas y ventanas. Las vigas de fachada so- portan

las paredes exteriores de edificios y también parte de las cargas de los pisos y corredores.

Se considera que la capacidad de las vigas de acero para soportar muros de mampostería (junto con la invención de los elevadores) como parte de

un marco estructural, permitió la construcción de los rascacielos actuales. Los largueros de puente son las vigas en los pisos de puentes que corren paralelas a la superficie de rodamiento, en tanto que las vigas de piso son

las vigas que en muchos pisos de puentes corren perpendicularmente a la superficie de rodamiento y se usan para transferir las cargas del piso, de

los largueros de puente a las trabes o armaduras sustentantes. El término trabe se usa en forma algo ambigua, pero usualmente denota una viga grande a la que se conectan otras de menor tamaño. Estos y otros tipos de

vigas se analizan en las secciones que siguen.

PERFILES USADOS EN VIGAS Los perfiles W generalmente resultan las secciones más económicas al

usarse como vigas y han reemplazado en esta aplicación casi por completo a las canales y a las secciones S.

Las canales se usan a veces como largueros cuando las cargas son pequeñas y en lugares en donde se requieren patines estrechos. Estas

tienen muy poca resistencia a fuerzas laterales y requieren soporte lateral como se ilustró en el capítulo 4. Los perfiles W tienen un mayor porcentaje de acero concentrado en sus patines que las vigas S. por lo que poseen

mayores momentos de inercia y momentos resistentes para un mismo peso. Estos son relativamente anchos y tienen una rigidez lateral apreciable. (El poco espacio dedicado a las vigas S en el manual ASD

evidencia claramente cómo ha disminuido su uso respecto a años anteriores. Hoy en día se usan principalmente para situaciones especiales

191

como cuando se requieren anchos pequeños de patines, cuando las

fuerzas cortantes son muy grandes o cuando son convenientes mayores espesores de patín en la cercanía del alma por motivos de flexión lateral.)

Otro tipo común de viga es la vigueta de alma abierta que se analiza con detalle en el capítulo 15. Este tipo de viga que se usa comúnmente para

soportar losas de piso y techo es en realidad una armadura ligera de cuerdas paralelas. Resulta muy económica para grandes claros y cargas ligeras.

ESFUERZOS DE FLEXION

Consideraremos una viga de sección rectangular y los diagramas de esfuerzos de la figura 8.1 para estudiar los esfuerzos de flexión. (Para este

análisis inicial supondremos que el patín a compresión de la viga está completamente soportado contra el pandeo lateral. El pandeo lateral se

estudiará en las secciones 8-7y 8-8). Si la viga está sujeta a momento flexionante el esfuerzo en cualquier punto puede calcularse con la fórmula de la flexión: fb = Mc/I. El valor I/c es una constante para una sección

específica y se denomina módulo de sección ( S). La fórmula de la flexión puede escribirse entonces de la manera siguiente:

b

Mf

S

Inicialmente, cuando el momento se aplica a la viga, el esfuerzo varía linealmente desde el eje neutro hasta las fibras extremas. Esta situación se muestra en la figura 8.1 (b). Si se incrementa el momento se mantendrá la

variación lineal de los esfuerzos hasta que se alcanza el esfuerzo de fluencia en las fibras extremas como se muestra en la parte (c) de la figura. El momento de fluencia de una sección transversal se define como el

momento para el cual empiezan a fluir las fibras extremas de la sección.

192

Si el momento en una viga de acero dúctil soportada lateralmente se

incrementa más allá del momento de fluencia, las fibras extremas que se encontraban previamente sometidas al esfuerzo de fluencia se mantendrán

bajo este mismo esfuerzo, pero en estado de fluencia y el momento resistente adicional necesario lo proporcionarán las fibras más cercanas al eje neutro. Este proceso continuará con más y más partes de la sección

transversal de la viga, alcanzando el esfuerzo de fluencia como se muestra en los diagramas de esfuerzos de la figura 8-1(d y e), hasta que finalmente se alcanza la distribución plástica total mostrada en (f). Cuando la

distribución de esfuerzos ha alcanzados esta etapa se dice que se ha formado una articulación plástica porque no puede resistirse en esta

sección ningún momento adicional. Cualquier momento adicional aplicado en la sección causará una rotación en la viga con pequeño incremento del esfuerzo. El momento plástico es el momento que producirá una

plastificación completa en una sección transversal del miembro creándose ahí mismo una articulación plástica. La relación del momento plástico Mp

al momento de fluencia My se denomina factor de forma. Los factores de forma son iguales a 1.50 en las secciones rectangulares y varían entre 1,10 y 1.20 en las secciones laminadas para vigas estándar.

DISEÑO CON LA FORMULA DE LA FLEXION Entre los aspectos que deben considerarse en el diseño de vigas se

cuentan: momentos, cortantes, aplastamiento, pandeo, soporte lateral, deflexión y tal vez fatiga. Las vigas que se seleccionen probablemente resistirán satisfactoriamente el momento flexionante y luego se revisarán

para ver si cualquiera de los otros aspectos son críticos. Para seleccionar una viga para una condición dada, se calcula el momento flexionante

máximo para la carga supuesta y se selecciona una sección del manual ASD que tenga tal momento resistente. Sin embargo, usualmente es más conveniente trabajar con el módulo de sección, como se describe a

continuación.

En la fórmula de la flexión fb es el esfuerzo en la fibra más alejada, a una distancia c, del eje neutro e I es el momento de inercia de la sección transversal. Debe recordarse que esta fórmula se limita al caso en que los

esfuerzos se encuentran por debajo del límite elástico por estar basada en las hipótesis elásticas usuales: una sección plana antes de la flexión permanece plana después de actuar ésta; el esfuerzo es proporcional a la

deformación, etc.

Si una viga se va a diseñar para un momento flexionante M dado y para un cierto esfuerzo permisible Fb, el módulo de sección necesario para que la

viga tenga suficiente resistencia a la flexión puede obtenerse con la fórmula de la flexión

193

b

M IS

F c

Con ayuda de la "Tabla de selección para el diseño por esfuerzos permisibles" ("Allowable Stress Design Selection Table") en la parte 2 del manual ASD pueden seleccionarse rápidamente perfiles de acero con el

módulo de sección requerido. Dos aspectos importantes deben recordarse al seleccionar perfiles.

1. El costo de los perfiles depende de su peso por lo que debe seleccionarse el perfil más ligero posible que tenga el módulo de

sección requerido (siempre que la sección resultante se ajuste razonablemente bien al resto de la estructura). La tabla contiene los perfiles ordenados en grupos que se encuentran dentro de ciertos

rangos de módulos de sección. La sección en negritas a la cabeza de cada grupo es la sección más ligera de ese grupo y las demás están ordenadas sucesivamente de acuerdo con módulos de sección

crecientes. Normalmente las secciones de mayor peralte tienen los menores pesos para un módulo de sección dado y usualmente son

las escogidas a menos que su peralte ocasione problemas respecto a la altura libre de los entrepisos; en tal caso, se selecciona una sección de menor peralte y mayor peso.

2. Los valores de los módulos de sección en la tabla son respecto al eje

fuerte de las secciones. Para secciones "acostadas”, es decir, con flexión respecto al eje débil, los valores correspondientes del módulo de sección pueden encontrarse en las tablas de dimensiones y

propiedades de perfiles del manual ASD. Un perfil W acostado es sólo entre 5 y 15% tan resistente respecto a su posición de pie al someterlo a cargas de gravedad. De la misma manera, la resistencia

de un larguero de madera de 2 x 10 plg acostado es sólo 20% de su resistencia al colocarlo de pie (el porcentaje se basa en los valores

relativos de sus módulos de sección). Los ejemplos que siguen ilustran el diseño de vigas de acero cuyos patines

de compresión tienen soporte lateral, lo que permite el uso de los mismos esfuerzos permisibles en los patines de tensión y compresión. En las

secciones 8-7 y 8-8 se estudian las vigas sin suficiente soporte lateral en sus patines de compresión.

En cada uno de esos ejemplos el peso de la viga seleccionada se debe incluir en el (cálculo del momento flexionante que debe resistirse ya que la viga debe soportar tanto las cargas externas como su peso propio. Las

estimaciones de los pesos de las vigas son bastante buenas, ya que el

194

autor hizo algunos cálculos preliminares antes de hacer las estimaciones.

No se espera que los estudiantes sean capaces de estimar exactamente "a ojo" el peso de la viga requerida. Sin embargo, siguiendo el mismo

procedimiento del autor, ellos podrán hacer una estimación razonable. Por ejemplo, se puede calcular el momento debido sólo a las cargas externas, obtener el módulo de sección requerido y seleccionar una viga que tenga

tal módulo de sección. Con este tamaño de viga se puede hacer fácil- mente una muy buena estimación del peso de la viga finalmente requerida.

EJEMPLO 8-1 Seleccione una viga para el claro y carga mostrados en la figura 8-2,

suponiendo que el patín a compresión tiene soporte lateral total. Los esfuerzos permisibles de flexión son de 24 klb/plg2 (165 MPa).

Solución

Peso supuesto de la viga = 62 lb/pie

2 2wL (4.362)(21)

M 240.46 pie - klb8 8

Módulo de sección requerido = 3(12)(240.46)120.23plg

24

Las soluciones posibles incluyen: (a) una W14 x 82 que es la sección con el S más cercano del lado de la seguridad, (b) una W21 x 62 que es)a

solución más económica, (c) en caso de restricción en el peralte, una W 18 x 71 o incluso una W 14 x82 (muy antieconómica) podrían seleccionarse.

Usaremos una W21 x 62 EJEMPLO 8-2

Una losa de 5 plg. de espesor de concreto reforzado va a ser soportada por

vigas de acero a cada 8 pies entre centros. Las vigas, con claros de 20 pies,

195

están simplemente apoyadas. Si la losa se diseña para soportar una carga

viva de 100 lb/pie², determinar la sección de acero más ligera requerida. El patín de compresión de la viga estará ahogado en la losa por lo que tendrá

soporte lateral total. El concreto pesa 150 lb/pie3 y el esfuerzo permisible de flexión en el acero es de 24 klb/plg².

Solución

Carga muerta de la losa = (8) 5

(150) 500lb / pie12

Peso estimado de la viga = 26 Carga viva : 8 x 100 = 800 Carga uniforme total = 1326 lb/pie

2

3

req

(1.33)(20)M 66.5pie klb

8

(12)(66.5)S 33.2p lg

24

Usamos una W12 x 26 (Sx = 33.4 plg.3)

El momento límite permitido por el método de esfuerzos permisibles es el momento para el cual el esfuerzo en las fibras más alejadas del eje neutro alcanzan el valor del esfuerzo de fluencia. Sin embargo, la verdadera

resistencia a flexión de una viga es mayor que este valor comúnmente usado porque la viga no falla bajo esta condición. Las fibras extremas

fluirán y los esfuerzos en las fibras internas crecerán hasta alcanzar el esfuerzo de fluencia y la sección total quede plastificada (véase la sección 18-3). Se muestra en el capítulo 18 que antes de que ocurra una falla

local, los momentos deben ser aproximadamente 12% mayores que los producidos bajo la primera fluencia en las fibras extremas de perfiles W. Este proceso de plastificación es correcto sólo si la viga permanece estable,

es decir, debe tener soporte lateral suficiente para impedir el pandeo lateral del patín de compresión (véase la sección 8-7) y debe ser

suficientemente robusta para que no se presente el pandeo local. La especificación ASD-F1 da diferentes esfuerzos permisibles por flexión

para diferentes condiciones. Para la mayoría de los casos, el esfuerzo permisible por flexión es Fb

= 0.66 Fy

196

Esta expresión se puede usar para determinar el esfuerzo permisible por flexión en las fibras extremas de perfiles compactos laminados en caliente

y de miembros armados (exceptuando los miembros de acero con Fy > 65 klb/plg² o trabes híbridas fabricadas con aceros de diferentes esfuerzos de fluencia) simétricos y cargados respecto a sus ejes menores y que cumplan

los otros requisitos de la sección 85.1 de las especificaciones ASD para secciones compactas. Uno de esos requisitos es que los patines deben

estar unidos continuamente al alma. Una sección armada con sus patines soldados intermitentemente al alma no cumple con este requisito.

SECCIONES COMPACTAS Una sección compacta es aquella que es capaz de desarrollar la totalidad

de su momento plástico antes de que ocurra cualquier falla por pandeo local. Para calificar a un perfil como sección compacta, debe satisfacer los

requisitos de la sección B 5.1 de las especificaciones ASD. Casi todos los perfiles W y S de acero A36 y un gran porcentaje de los mismos perfiles hechos con aceros de alta resistencia, pueden considerarse compactos.

Para secciones no compactas soportadas lateralmente las especificaciones

ASD requieren que Fb sea menor que 0.66 Fy, mientras que para las secciones compactas soportadas lateralmente el esfuerzo permisible es igual a 0.66 Fy. Las secciones que contienen elementos esbeltos a

compresión con relaciones ancho espesor mayores que los valores para secciones no compactas indicados en la sección B5.1, deben diseñarse de acuerdo con el apéndice B5 de las especificaciones ASD. Las proporciones

necesarias para que una sección pueda considerarse compacta son especificadas por el ASD y se resumen en los párrafos siguientes.

Patines

Las especificaciones ASD dan valores límite para las razones ancho/espesor de patines de vigas tanto atiesadas como no atiesadas.

Para las secciones usuales laminadas en caliente como los perfiles W, los patines no están atiesados, mientras que para ciertas secciones armadas, si lo están (véase la figura 6-8).

Las especificaciones ASD requieren que el ancho de un elemento proyectante no atiesado de un patín de compresión dividido entre su

espesor (es decir, bf/2tf) no exceda de 65/ yF . Para elementos atiesados,

la razón ancho / espesor (b/tf) no debe ser mayor que 190/ yF , donde b

es el ancho real del elemento atiesado.

197

Almas

Además de los requisitos para el patín, las razones peralte/espesor (d/t) de secciones compactas no deben exceder de ciertos valores. Estos valores.

son 640/yF 1-3.74 (fa / Fy) cuando fa / Fy 0.16 y 257/

yF cuando fa /

Fy 0.16. El término fa representa el esfuerzo causado por una fuerza axial

concurrente (en caso de que esté presente). Los límites para los tamaños de almas y patines se calculan para valores

diferentes del esfuerzo de fluencia y están tabulados en la tabla 8-1. Esos valores se dan en la tabla 5 de la parte "Valores numéricos" ("Numerical Values") de las especificaciones ASD, inmediatamente después del

apéndice. Casi todas las secciones W y S son compactas en acero A36, mientras que un gran porcentaje de los mismos perfiles lo son en acero

con Fy = 50 klb/plg². TABLA 8-1 RELACIONES MÁXIMAS ANCHO / ESPESOR PARA

SECCIONES COMPACTAS

Es claro de los valores mostrados en la tabla 8-1 que entre mayor sea el

esfuerzo de fluencia de una sección particular, más probable es que no sea compacta. Es fácil determinar el esfuerzo de fluencia arriba del cual el

alma o el patín de una sección particular no son compactos. Por ejemplo, si la razón ancho / espesor máxima de un patín no atiesado se iguala a bf

/2tf y se despeja Fy, el resultado, que se denomina F '

y es

198

f

fy

2

'

y y

f f

b65

2tF

65F F

b / 2t

Se da enseguida una deducción similar para el alma cuando ésta sometida

a flexión combinada con fuerza axial con a af / F 0.16

wy

2

''' wy y

257 d

tF

257tF F

d

Si el esfuerzo de fluencia en consideración es mayor que F '

y , es patín no es

compacto, y si es mayor que F '''

y , el alma no es compacta. La tabla de

selección de esfuerzos permisibles mencionada antes tiene las secciones

no compactas claramente indicadas al mostrar el valor de F '

y , para cada

sección. En la parte I del manual están tabulados los valores de F '''

y (así

como los valores F '

y ), para las secciones W, M, S y HP. La séptima edición

del manual ASD contiene los valores de F ''

y calculados para la razón

peralte / espesor de almas de vigas cuando fa es igual a cero. Los valores

de F ''

y ya no se publican porque son klb / todos mayores que 70 klb / plg²

y el comportamiento plástico no es aceptado por las especificaciones ASD

en tales aceros. Si Fy 70 klb/plg², el valor máximo permisible de Fb es 0.60 Fy, que corresponde al valor inferior del esfuerzo para la secciones no

compactas.

Si el alma no es compacta, el esfuerzo permisible máximo de flexión según el ASD es 0.60 Fy. Sin embargo, si el alma es compacta y el patín tiene un

valor f f yb / 2t 65/ F pero menor que 95/ yF , se dice que el perfil es

parcialmente compacto o semicompacto. Para secciones semicompactas, la ecuación ASD F1-3 proporciona una

transición lineal para Fb entre 0.66 Fy y 0.60 Fy. El propósito de esta ecuación es evitar una transición abrupta del esfuerzo permisible de 0.66

Fy a 0.60 Fy. La transición lineal no es aplicable en aceros con Fy 65

199

klb/plg² o en trabes híbridas. La ecuación para la sección semicompacta

es

fb y y

f

bF F 0.79 0.002 F

2t

Si una sección I o H con doble simetría está flexionada respecto a su eje

menor o eje y, además f f yb / 2t 65/ F pero menor que 95/

yF , el esfuerzo

permisible de flexión debe calcularse con la expresión.

fb y y

f

bF F 1.075 0.005 F

2t

El ejemplo 8-3 ilustra los cálculos necesarios para determinar el esfuerzo

permisible de flexión y el momento resistente de una sección no compacta. La tabla de selección de diseño por esfuerzos permisibles en el manual

ASD contiene valores (MR) del momento resistente de las secciones comúnmente usadas como vigas de aceros con 36 y 50 klb/plg2 de esfuerzo de fluencia. Estos valores se calcularon con los valores correctos

Fb o sea tomando en cuenta la compacidad de la sección. Los valores dados en las otras tablas de vigas del manual también se calcularon

tomando en cuenta los esfuerzos permisibles por flexión reducidos para las secciones no compactas.

EJEMPLO 8-3 Calcular el momento resistente de una W12 x 65 con (a) Fy = 36 klb/plg² y

(b) Fy = 50 klb/plg2. Suponga que la sección tiene soporte lateral total en su patín de compresión.

Solución

(a) Fy = 36 klb/plg² Las propiedades de una W12 x 65 son : d = 12.12 plg. tw = 0.390 plg,

bf = 12.000 plg., tf = 0.605 plg. Sx =87.9 plg3. Los requisitos de una sección compacta son:

200

f

f

w

b y

g b x

b 12.0009.92 10.8

2t (2)(0.605)

d 12.1231.08 106.7

t 0.390

F 0.66F

M F S (0.66)(36)(8.79) 2089p lg klb 174pie

(b) Fy = 50 klb / plg²

Revisión de la sección compacta.

f

f

b 12.0009.92 9.2

2t (2)(0.605)

Por lo tanto, el patín no es compacto.

w

d 12.1231.08 90.5

t 0.390

Aplicación de la ecuación ASD F1 –3 :

2

b

12.000F 50 0.79 0.002 50 32.49klb / p lg

2x0.605

R b xM F S (32.49)(87.9) 2856p lg klb 238pie klb

Nota.- El manual ASD se puede usar para determinar rápidamente si una sección es compacta, de la siguiente manera:

F '

y = 43.0 klb/plg² 36 klb / plg² pero 50 klb/plg²

Por lo tanto, el patín no es compacto para Fy = 50 klb / plg²

"'

yF = 70 klb /plg² por lo que no se encuentra en la lista.

El alma es entonces compacta para ambos aceros.

201

AGUJEROS EN VIGAS

En ocasiones es necesario que las vigas tengan agujeros, por ejemplo,

cuando se requieren para la colocación de tornillos o remaches y, algunas veces para tubos, conductos, etc. De ser posible, este último tipo de orificios deben evitarse, pero cuando son absolutamente necesarios se

localizarán en el alma, si el momento es grande, o en los patines si el cortante es grande. El cortar un agujero en el alma de una viga no reduce notablemente su módulo de sección o su momento resistente; pero, como

se indicará en la sección 9-1, un agujero grande en el alma reduce bastante la capacidad al cortante de la sección de acero. Cuando se hacen

agujeros grandes en el alma de la viga, por lo general se colocan placas adicionales en el alma para reforzarla alrededor del agujero, contra el posible pandeo de ésta. Un ejemplo del diseño de dicho refuerzo fue

publicado por Kussman y Copperl.

La presencia de orificios de cualquier tipo en una viga, ciertamente no la hace más resistente, y si existe la probabilidad de que la debiliten un poco. El efecto de los orificios ha sido un tema que durante muchos años ha

tenido argumentos en pro y en contra. Con frecuencia se hacen las siguientes preguntas: "¿se afecta el eje neutro por la presencia de agujeros?" y "¿es necesario restar los agujeros del patín de compresión,

que van a taparse con remaches y tornillos?". La teoría de que el eje neutro se desaloja de su posición normal a la

posición teórica de la sección neta, por la existencia de agujeros, es muy discutible. En los párrafos anteriores de este capítulo se ha supuesto una distribución lineal de esfuerzos, pero cuando se tienen agujeros, la

situación cambia debido a la considerable concentración de esfuerzos alrededor de los agujeros.

Las pruebas parecen indicar que los agujeros para remaches y pernos en el patín, no cambian apreciablemente la ubicación del eje neutro. Es lógico suponer que éste no seguirá la variación teórica exacta con sus cambios

bruscos de posición en las secciones que tienen agujeros para remaches, como se muestra en la figura 8-3(b). Es más razonable la ubicación del eje neutro que se muestra en la parte (c) de dicha figura, donde se supone que

existe una variación más gradual de la posición.

202

Es interesante observar que las pruebas de flexión en vigas de acero parecen mostrar que la falta radica en la resistencia del patín de compresión, aún cuando existan agujeros para remaches o pernos en el

patín de tensión. La presencia de tales agujeros no parece ser tan seria como pudiera pensarse, sobre todo al compararla con agujeros en un

miembro sujeto a tensión pura. Estas pruebas muestran poca diferencia en las resistencias de vigas sin agujeros y en vigas con los agujeros usuales para tornillos o remaches.

Las especificaciones ASD no requieren una reducción de la resistencia permisibles de una viga con tornillos o remaches en cualquier patín

siempre que la resistencia a la fractura por tensión del área neta del patín dividida entre un factor de seguridad de 2.0 sea por lo menos tan grande

como la resistencia a la fluencia por tensión del área total del patín, dividida entre un factor de seguridad de 1.67. Expresado con una ecuación, ninguna deducción por agujeros de tornillos o remaches en

cualquier patín es necesaria si

u fn y fg0.5F A 0.6F A

En esta ecuación Afn es el área neta del patín y Afg es el área total del

mismo. Sustituyendo en esta expresión encontramos que ninguna deducción es necesaria si el área neta del patín es igual o mayor que 75% del área total para acero A36 o 92% para acero A572 grado 50. Estos

valores se muestran en la tabla 8-2

203

Tabla 8-2 Cuando se pueden despreciar los agujeros para tornillos y

remaches en patines de vigas y trabes

Acero Ninguna reducción si Afn/Afg

A36 A572 Grado 50 A588

0.75 0.92 0.86

Si 0.5 FuAfn es menor que 0.6 FyAfg, las especificaciones ASD requieren que

las propiedades a flexión de la sección se basen en un área efectiva del patín a tensión Afe determinada por la siguiente ecuación.

ufe fn

y

F5A A

6 F

En otras palabras, para calcular el momento de inercia de los patines, la expresión Ad² se convierte en Afed². Si los agujeros se encuentran en el

patín de tensión, se supone que también el patín de compresión los tiene; si se encuentran sólo en el patín de compresión, ellos se ignoran porque se considera que los conectores pueden transmitir adecuadamente la

compresión a través de los agujeros.

Las especificaciones AASHTO y AREA requieren el cálculo de dos momentos de inercia cuando se tienen agujeros. Para los esfuerzos de compresión se debe usar el momento de inercia total, se tengan o no

agujeros. Para los esfuerzos de tensión se debe usar ¡ el momento de inercia neto. Se supone que el eje neutro permanece en su posición

normal, para ambos cálculos. Al usar dos diferentes momentos de inercia se supone que los agujeros para tornillos o remaches en el lado de compresión de la viga tienen menor efecto que los situados en el lado de

tensión. La práctica usual es restar la misma área de agujeros de ambos patines,

existan o no. Para una sección con dos agujeros en el patín de tensión solamente, se calculan las pro- piedades de la sección, según esto,

restando dos agujeros del patín de tensión, y dos agujeros del patín de compresión. El ejemplo 8-4 ilustra este método. El autor ha hecho algunos cálculos preliminares para estimar el peso de la viga.

EJEMPLO 8-4

Rediseñe la viga del ejemplo 8-1 suponiendo que será necesario abrir dos agujeros para tornillos de 3/4 plg en el patín de tensión. En esta viga no

se permitirá la reducción ASD. La figura 8-4 muestra la sección supuesta.

204

Solución

Pero supuesto de la viga = 68 lb/pie

2

3

req

(4.368)(21)M 240.8pie klb

8

(12)(240.8)S neto 120.4p lg

24

Ensayamos una W24 x 68 (S = 154 plg3, d = 23.73 plg., bf ¿ 8.965 plg, tf = 0.585 plg).

Suponiendo dos agujeros en cada patín, la I de los agujeros respecto al eje

neutro es (4) (7/8) (0.585)(11.57)2 = 274 plg4

La S de los agujeros es

327423.1plg

11.86

S neta real = 154-23.1 = 130.9 plg3 120.4 plg3

Usamos una W24 x 68 En el ejemplo 8-5 se analiza una viga con agujeros en su patín de tensión

de acuerdo con la especificación ASD B10.

205

Ejemplo 5

Una viga con sección W16 x 31 (d = 15.88 plg, bf = 5.25 plg, tf = 0.440 plg) de acero A572 grado 50 tiene dos agujeros para tornillos de 7/8 plg en su

patín de tensión. ¿Es necesario reducir el área del patín para calcular las propiedades de la viga? Si es así, ¿en cuánto debe reducirse el valor de Ix?.

Solución

2

fg

2

fn

fn

fg

A (5.525)(0.440) 2.431p lg

A 2.431 (2)(1.0)(0.440) 1.551p lg

A 1.5510.638 0.92 para acero A572

A 2.431

Por consiguiente es necesario efectuar una reducción.

2

fe fn

5 Fu 5 65A A (1.551) 1.680plg

6 Fy 6 50

Reducción en el área del patín = 2.431 – 1.680 = 0.751 plg2

Reducción en Ix = 2Ad²

2

415.88 0.440(2)(0.751) 89.5p lg

2 2

Los requisitos ASD B 10 son aplicables al diseño de vigas híbridas y trabes cuyos patines consisten en un acero de grado mayor que el del alma, en tanto que esos miembros no tengan que resistir una fuerza axial mayor

que 0.15 veces el Fy de los patines multiplicado por su área total.

Si sólo hubiera un agujero en sólo un lado de un patín de una sección W, no habría eje de simetría para la sección neta del perfil Una solución elástica teóricamente correcta del problema implicaría determinar la

posición de los ejes principales, el cálculo de los momentos de inercia principales, etc., o bien: el empleo de las ecuaciones generalizadas de la

flexión asimétrica presentada en la sección 9-4. En lugar de seguir procedimientos tan largos para un problema tan sencillo, parece lógico considerar agujeros en ambos la- dos del patín. Los resultados obtenidos

probablemente serán tan satisfactorios como los obtenidos mediante los métodos más laboriosos mencionados.

206

SOPORTE LATERAL DE VIGAS

En una gran mayoría de vigas de acero, estas se utilizan de tal modo que

sus patines de compresión están restringidos contra el pandeo lateral. (Desafortunadamente, este porcentaje no es tan grande como los calculistas lo han considerado.) Los patines superiores de las vigas, que

dan apoyo a losas de concreto de edificios y puentes, a menudo se cuelan con dichos pisos de concreto. En estos casos, en que el patín de compresión está restringido contra el pandeo lateral, los esfuerzos

permisibles por flexión en los patines de compresión y tensión son iguales.

Si el patín de compresión de una viga no tiene apoyo lateral en cierta longitud, tendrá una condición de esfuerzo semejante a la existente en columnas. Como es bien sabido, a medida que la longitud, y por tanto, la

esbeltez de una columna aumenta, el peligro de su pandeo crece para el mismo valor de la carga. Cuando el patín a compresión de una viga es

largo y esbelto, se presenta el peligro de pandeo a menos que se le de apoyo lateral.

Existen muchos factores que afectan el valor del esfuerzo crítico del pandeo del patín de compresión de una viga. Algunos de estos factores son las propiedades del material, el espaciamiento y tipo de apoyos laterales

suministrados, los tipos de apoyos en los extremos o restricciones, las condiciones de carga, etc.

La tensión en el otro patín de la viga, tiende a mantenerlo recto y restringe el pandeo del patín a compresión; pero a medida que el momento

flexionante aumenta, la tendencia al pandeo se hace lo suficientemente grande como para vencer la restricción de la tensión; cuando el patín a

compresión empieza a pandearse, se presenta un fenómeno colateral de torsión, y entre menor sea la resistencia torsional de la viga, progresa más rápidamente la falla. Los perfiles W, S y canales usados tan

frecuentemente como secciones de vigas, no tienen mucha resistencia contra el pandeo lateral, no a la torsión resultante. Algunas otras formas, especialmente los perfiles armados en cajón, son mucho más resistentes.

Estos tipos de miembros tienen más rigidez por torsión, que las secciones W, S o que las vigas armadas de alma llena. Las pruebas muestran que no

se pandearán lateralmente sino hasta que las deformaciones desarrolladas queden dentro del intervalo plástico. Si una trabe en cajón cumple los requisitos de las secciones compactas dadas en la especificación ASD-F3,

su esfuerzo permisible por flexión es de 0.66 Fy y si no es compacta, su esfuerzo permisible es igual a 0.60 Fy a menos que su peralte sea mayor que 6 veces su ancho. Para tales casos, los requisitos de soporte lateral

deben ser cuidadosa- mente revisados.

207

Es necesario utilizar el criterio para decidir qué es lo que constituye y qué

es lo que no constituye un apoyo lateral satisfactorio para una viga de acero. Tal vez la pregunta más frecuentemente formulada por los

proyectistas de acero es, ¿qué es el soporte lateral? Una viga que está totalmente ahogada en concreto, o que tenga su patín a compresión en bebido en una losa de concreto, ciertamente está bien apoyada

lateralmente. Cuando una losa de concreto descansa sobre el patín superior de una viga, el ingeniero debe estudiar cuidadosamente la situación para determinar si la fricción realmente proporciona apoyo

lateral completo. Quizá si las cargas en la losa se encuentran razonablemente fijas en posición, éstas contribuyan a incrementar la

fricción, y a tomar en cuenta esto como un apoyo lateral completo. De otra manera, si hay movimiento en las cargas, o vibraciones apreciables bien puede reducirse la fricción, y no podrá considerarse apoyo lateral

completo. Estas situaciones ocurren en los puentes, debido al carácter rodante de las cargas y en los edificios con maquinaria vibratoria, tal como

las imprentas. La losa de piso podría no proporcionar apoyo lateral al patín dé

compresión de una viga, en cuyo caso dicho apoyo debe proporcionarse con las vigas secundarias conectadas o con miembros especiales insertados con esa finalidad. Las vigas secundarias que se conecten

lateralmente a los costados de una trabe armada; a su patín de compresión, pueden normalmente contarse como elementos que

suministran apoyo lateral total a través de la conexión. Si esta conexión se realiza primordialmente en el patín de tensión, se proporcionará muy poco apoyo lateral al patín de compresión. Antes de suponer que estas vigas

proporcionan soporte lateral, el proyectista deberá observar si éstas no se mueven en conjunto. Las series de vigas representadas con líneas

horizontales interrumpidas en la figura 8-5, suministran un apoyo lateral muy discutible a las trabes principales, que ligan a las columnas, debido a que las vigas se desalojan como un conjunto; para evitarlo se requiere de

un contraventeo que forme una armadura horizontal, localizada en un tablero; tal procedimiento se muestra en la figura 8-5. Este sistema de contraventeo proporcionará suficiente apoyo lateral a las vigas, por varios

tramos o tableros.

Las cubiertas para techos de lámina metálica corrugada que normalmente se fijan a los largueros con abrazaderas metálicas o con ganchos, proporcionan sólo un apoyo lateral parcial y muy relativo. Un caso análogo

se presenta cuando un piso de madera se atornilla a las vigas de acero que le dan apoyo. Pero ahora, el lector preguntará con toda naturalidad: "¿si sólo se dispone de un apoyo lateral parcial, qué distancia debe

considerarse entre los puntos fijos de apoyo lateral?" La contestación a esta pregunta será que debe usarse el criterio propio. Como un ejemplo

supongamos que un piso de madera va a atornillarse cada 4 pies a las

208

vigas de acero que le apoyan, de tal manera que se piensa que sólo

tendrán apoyo lateral parcial en esos puntos. Después de estudiar la situación, bien podrá el ingeniero decidir que se ha suministrado un

apoyo lateral total equivalente a intervalos de 8 pies. Tal decisión parece estar dentro del contexto de las especificaciones.

VIGAS SIN SOPORTE LATERAL

La práctica general a través de los años ha sido reducir el esfuerzo permisible en las fibras del patín a compresión de una viga con poco soporte lateral. Por ejemplo, las especificaciones AASHTO 1989 permiten

esfuerzos permisibles de 0.55 Fy o de 20,000 Ib/plg² para el acero A36 si se proporciona soporte lateral total por medio del ahogamiento en concreto. Si no se proporciona soporte lateral total, el esfuerzo permisible

de compresión se reduce de acuerdo con la fórmula

2

b

f

LF 20,000 7.5

b

En esta expresión L es la distancia en plg entre puntos de soporte lateral y bf es el r ancho del patín en pulgadas. Para aceros de mayor resistencia,

los valores permisibles se pueden calcular con expresiones similares dadas en esas especificaciones. El ejemplo 8-6 ilustra el uso de la expresión

AASHTO para el diseño de una viga. La aplicación de las fórmulas de soporte lateral es muy similar a la de las fórmulas de columnas y puede

209

encontrarse rápidamente con ellas una sección que resista adecuadamente

el momento actuante. Sin embargo, se verá que la determinación de la sección más ligera que pueda soportar adecuadamente las cargas implica

un proceso tedioso de tanteos; se estudiarán luego en esta sección las curvas proporcionadas en el manual ASD que sirven para evitar el procedimiento de tanteos.

EJEMPLO 8-6 Seleccionar un perfil de acero A36 para las cargas y claro de la figura 8-6.

Se tiene soporte lateral sólo en los extremos de la viga. Usar las especificaciones AASHTO 1989.

Solución

Peso supuesto de la viga = 70 lb / pie

M = (20) (10) + 2(0.070)(20)

203.5pie klb8

Esfuerzo permisible supuesto = 15 klb /plg2

3

req

12x203.5S 163plg

15

Ensayamos una W24 x 76 (b = 8.990 plg. S = 176 plg3)

2

2

b

12x20F 20,000 7.5 14.65klb / p lg

8.990

Momento resistente = FbS =(14.65)(176)

215pies klb12

203.5 pies – klb

Usamos una W24 x 76

Las especificaciones ASD dan tres expresiones (F1-6, F1-7 y F1-8) para determinar los esfuerzos permisibles de flexión en vigas en las que no se tiene soporte lateral continuo. Las expresiones son aplicables a perfiles

laminados, trabes armadas y miembros armados con un eje de simetría en el plano del alma. Dependiendo de las proporciones del miembro y de la

longitud no soportada lateralmente, se usan las ecuaciones F1-6 y F1-8 o las F1-7 y F1-8; el mayor de los valores determinado con estas ecuaciones es el esfuerzo permisible siempre que éste no sea mayor que 0.60 Fy.

La resistencia de una viga al pandeo lateral puede estimarse considerando la resistencia torsional de la viga con respecto a su eje longitudinal, la

resistencia a la flexión lateral de la viga, y la resistencia del patín a la

210

torsión. Sin embargo, la expresión resultante es demasiado complicada

para el uso práctico en la ingeniería.

Para secciones de pared delgada y peralte pequeño, la resistencia a la torsión con respecto al eje longitudinal y la resistencia al pandeo lateral,

son los factores más importantes. En estos casos se considera que la ecuación ASD F1-8 da una aproximación razonable del esfuerzo de pandeo permisible. En las expresiones que siguen, L es la distancia entre puntos

fijos de apoyo lateral, d es el peralte de la viga, y Af el área del patín. Si la viga en consideración estuviera en voladizo, la longitud no soportada se

considera conservadoramente igual a la longitud real. El esfuerzo de compresión por flexión permitido por las especificaciones

ASD para perfiles cargados en el plano de su alma y con un eje de simetría contenido en ésta es igual al mayor de los valores encontrados con las ecuaciones F1-6 o F1- 7 y F1-8, como se indica en los párrafos que siguen,

siempre que no se exceda de 0.60 Fy. Este procedimiento de determinación de esfuerzos permisibles también se aplica a canales flexionadas respecto

a su eje mayor. Cuando

3 3

b b

y T y

102x10 C 510x10 CL

F r F

211

2

y T

b y3

b

3

b

T y

3

bb 2

T

Usamos

F (L / r )2 F F

3 1530x10 C

Cuando

510x10 CL

r F

Usamos

170x10 C F

(L / r )

y, cuando el patín de compresión es lleno y aproximadamente rectangular en la sección transversal y su área no es menor que la del patín de tensión,

3

bb

f

12x10 CF

Ld / A

En estas expresiones L es la longitud no arriostrada del patín de compresión; rT es el radio de giro del patín de compresión más 1/3 del área del alma en compresión respecto al eje en el plano del alma; Cb es un

coeficiente de momento que se incluye en las fórmulas para tomar en cuenta el efecto de los diferentes gradientes de momento en el pandeo lateral-torsional. En otras palabras el pandeo lateral puede ser afectado

considerable- mente por las restricciones de extremo y las condiciones de carga del miembro.

Si una sección tiene el patín de compresión considerablemente más pequeño que el de tensión, la ecuación F1-8 dará valores demasiado

conservadores por lo que no debe usarse. La ecuación F1-8 debe usarse para determinar el esfuerzo permisible en canales con flexión respecto al eje mayor:

La ecuación F 1-8 da valores permisibles razonables para secciones de

poco peralte y paredes gruesas pero da valores algo conservadores para algunas secciones W delgadas de gran peralte así como para casi todas las trabes armadas. El proyectista podría usar esta fórmula e ignorar las

otras; sus diseños serían perfectamente seguros aunque considerablemente sobrados para los casos mencionados. Para esos

miembros la resistencia a torsión es el factor predominante y las ecuaciones F1-6 y F1-7 toman mejor en cuenta este efecto.

En la figura 8- 7(a) el lector puede apreciar que el momento en la viga sin soporte lateral causa en el patín de compresión una peor condición que el

212

momento en la viga sin soporte lateral en la parte (b) de la figura. La razón

de esto es que el patín superior de la viga (a) trabaja a compresión en toda su longitud, en tanto que en (b), la longitud de la "columna", o sea la

longitud del patín superior que trabaja a compresión es mucho menor (por consiguiente, se tiene una "columna" mucho más corta). Nótese que para que el mismo claro y carga, el momento máximo en la segunda viga se

reduce considerablemente. Para la viga simplemente apoyada de la figura 8- 7(a), Cb se considera igual a 1.0 en tanto que la viga en (b) se considera mayor que 1.0. Las expresiones (F1-6 a la F1-8) para el esfuerzo permisible

se dedujeron para vigas sin soporte lateral sometidas a flexión de curvatura simple con Cb = 1.0. En ocasiones las vigas no están flexionadas

en curvatura simple y pueden entonces resistir momentos mayores. (Es teóricamente posible bajo ciertas circunstancias que un miembro cuyo diagrama de momento implique curvatura doble, tenga una resistencia

permisible a la flexión 2.3 veces mayor que el mismo miembro con un diagrama rectangular de momentos.)

Para tomar en cuenta esta situación, las especificaciones ASD proporcionan momentos o coeficientes Cb mayores que 1.0, los que deben

multiplicarse por los esfuerzos permisibles para los casos en que Cb = 1.0. Se obtienen así mayores capacidades de momento. El proyectista que dice conservadoramente, “yo siempre uso Cb = 1.0”, esta pasando por alto la

posibilidad de lograr ahorros considerables de acero en algunos casos. Al usar valores Cb, el proyectista debe entender claramente que el esfuerzo

permisible obtenido no debe ser mayor que 0.60 Fy.

213

El valor de Cb se determina con la siguiente expresión en la que M1 es el

menor y M2 el mayor de los momentos flexionantes en los extremos de la longitud sin soporte lateral, tomados respecto al eje fuerte del miembro. Si

el momento en cualquier punto dentro de la longitud sin soporte es mayor que los momentos en los extremos de esta longitud, se toma Cb = 1.0. La razón M1 / M2 se considera positiva si M1 y M2 tienen el mismo signo

(curvatura doble) y negativa si tienen signos diferentes (curvatura simple).

2

1 1b

2 2

M MC 1.75 1.05 0.3 2.3

M M

Cb es igual a 1.0 para vigas en voladizo sin soporte lateral y también para

vigas que tienen un momento, a lo largo de una porción considerable de su longitud sin soporte, igual o mayor que el mayor de los momentos en los extremos de esta longitud. En la figura 8-8 se muestran algunos valores

típicos de Cb para diferentes vigas y condiciones de carga. La tabla 6 del apéndice ASD presenta valores calculados de Cb para varios valores de M1/ M2.

El manual ASD proporciona información que simplifica considerablemente

la aplicación de las ecuaciones, de apariencia compleja, del soporte lateral. Muy útiles son sobretodo los valores Lc y Lu que se dan en las secciones sobre vigas y columnas del manual. En la sección F1-1 de las

especificaciones ASD se establece que para vigas con patines las

distancias entre puntos de soporte lateral no debe exceder de 76bf / yF ni

de 20,000 / [d/Af)Fy] para que los miembros puedan considerarse con soporte lateral adecuado. El menor de estos dos valores se denomina Lc.

214

215

Si la distancia entre puntos de soporte lateral es mayor que Lc., el ASD establece que el esfuerzo permisible por flexión debe reducirse desde 0.66

Fy con la fórmula apropiada pero que en ningún caso debe exceder de 0.60 Fy. Sin embargo, cuando se usan esas fórmulas, hay un intervalo en que se obtiene un valor superior a 0.60 Fy. Para toda viga existe una longitud

no soportada lateralmente para la cual la fórmula correspondiente da un esfuerzo permisible exactamente igual a 0.60 Fy. Esta longitud se denomina Lu en el manual. Con base en esta información se puede hacer

el siguiente resumen:

1. Si la longitud no soportada lateralmente es Lc, Fb es igual a 0.66 Fy, siempre que se cumplan los otros requisitos de la sección F1.1

del ASD.

2. Si la longitud no soportada lateralmente es > Lc pero Lu, Fb =

0.60 Fy. 3. Si la longitud no soportada lateralmente es > Lc y > Lu, Fb será

menor que 0.60 Fy y se determina con las fórmulas apropiadas

de la sección F1.3 de las especificaciones ASD. El proyectista encontrará de gran utilidad las curvas dadas en la parte del

manual titulada “Momentos permisibles en vigas sin soporte lateral mayor que Lu” (“Allowable Moments in Beams with Unbraced Length Greater Than Lu”) y analizada en la sección 8-9

de este texto. El ejemplo 8-7 ilustra los cálculos necesarios para determinar los

esfuerzos permisibles en una sección W con diferente longitud no soportadas lateralmente.

EJEMPLO 7

Determine los esfuerzos permisibles por flexión en una W33 x130 (véase la fig. 8-9 para claros simples de 10, 13, 20 y 30 pies sin soporte lateral. Use acero A36 y las especificaciones ASD.

Solución

Cálculo de las propiedades de la sección:

216

2

f w

T

1 1 31.38A A (11.510)(0.855) (0.580) 12.87p lg

6 3 2

1x218

2r 2.91p lg.12.87

Iy aproximada para la sección T = Iy /2 de toda la sección. Valores más exactos de rT se dan en el manual ASD; para esta sección se lee rT = 2.88

plg. Cb = 1.0 ya que el momento en el interior del claro excede a los valores del momento en los extremos.

Lsin soporte = 10 pies. Lc = 12.1 pies (del manual) > 10 pies.

Por lo tanto, Fb = 0.66 Fy = 24 klb/plg²

Lsin soporte = 13 pies

Lu = 13.8 pies (del manual)

217

Lc < Lsin soporte < Lu

Por lo tanto, Fb = 0.60 Fy = 22 klb/plg² Lsin soporte = 20 pies.

Lsin soporte > Lu

Por lo tanto, debemos usar las fórmulas

3 3

T

102x10 x1.0 L 12x20 510x10 x1.053 de 83.3

36 r 2.88 36 = 119

Usamos las ecuaciones F1-6 y F1-7

2

2

b 3

2 (36)(83.3)F 36 18.1klb / plg

3 (1530)(10 )(1)

3

2

b

12x10 x1F 14.9klb / plg

12x20x3.36

Lsin soporte = 30 pies

3 3

T

102x10 x1.0 L 12x30 510x10 x1.053 de 125

36 r 2.88 36 = 119

Usamos las ecuaciones F1-7 y F1-8

3

2

b 2

170x10 x1.0F 10.88klb / p lg

(125)

3

2

b

12x10 x1.0F 9.92klb / plg

12x30x3.36

218

DISEÑO DE VIGAS SIN SOPORTE LATERAL CON Cb = 1.0

El ejemplo 8-8 ilustra el diseño de una viga sin soporte lateral total usando las especificaciones ASD. El problema resulta muy sencillo si se usan las

cartas del manual tituladas "Momentos permisibles en vigas sin soporte lateral mayor que Lu". ("AlIowable Moments in Beams with Unbraced Lengths Greater Than Lu"). En estas cartas los momentos resistentes de

las secciones usadas comúnmente como vigas están graficadas para diferentes longitudes no soportadas lateralmente y para un Cb de 1.0. La longitud sin soporte lateral correspondiente a Lc para cada viga se muestra

en las cartas con un punto negro, mientras que la longitud sin soporte lateral correspondiente a Lu se indica con un círculo.

A la carta se entra con la longitud no soportada lateralmente en la escala horizontal y con el momento flexionante en la escala vertical. Se encuentra la intersección de esos dos valores y se mueve uno luego hacia arriba y

hacia la derecha. Cualquier sección encontrada en esa dirección tendrá una longitud no soportada mayor y un mayor momento resistente que el

necesario. La primera línea llena que se encuentra representa la sección más económica disponible. Suele encontrarse una línea interrumpida antes de encontrarse una línea llena. El perfil representado por la línea

interrumpida tendrá un momento resistente suficiente pero no será la solución más económica por lo que debe uno seguirse moviendo hacia arriba y a la derecha, hasta encontrar una línea llena.

EJEMPLO 8

Seleccione la sección de acero más ligera disponible para la viga mostrada en la figura 8-10 usando las especificaciones ASD y acero A36. Se tiene

soporte lateral sólo en los extremos.

Solución Peso propio (supuesto) de la viga = 100 lb/pie.

2(7.1)(20)

M 355pie klb8

Figura 8-10

219

De la carta, con Cb = 1.0

Seleccionamos una W30 x 99

DISEÑO DE VIGAS SIN SOPORTE LATERAL CON Cb > 1.0

Las cartas ASD fueron desarrolladas para casos en que Cb = 1.0; sin embargo, ellas pl den usarse fácilmente para casos en que Cb sea mayor

que 1.0, siguiendo el procedimiento descrito en esta sección. En un artículo titulado .'Diseño rápido de vigas con Cb mayor que 1.0" ("Fast

Design of Beams with Cb Greater Than 1.0") se presenta un procedimiento para tratar este tipo de problemas 7. Se sugieren los siguientes pasos:

1. Calcule una longitud efectiva (Lef = Lb / Cb) y seleccione una sección de prueba con esa longitud y el momento calculado.

2. El valor de Fb se limita a un valor máximo de 0.60Fy; nuestro

esfuerzo de flexión, fb puede calcularse y compararse con este valor,

o el valor del momento permisible cuando Fb = 0.60 Fy puede seleccionarse de las curvas. Si este esfuerzo o momento correspondiente es excedido, ensayaremos la siguiente sección más

resistente y repetiremos este paso.

3. Se determinan el esfuerzo permisible con la Ec. ASD F 1-8 así como el correspondiente momento permisible. Si el resultado es mayor o igual que nuestro momento, la sección es adecuada y no es

necesaria ninguna otra revisión. Si no, podemos ensayar la siguiente sección más resistente y repetir los tres primeros pasos o seguir con

el paso 4. 4. Encontramos que nuestra sección no fue satisfactoria según la Ec.

ASD F1-8 pero la Ec. F1-6 podría mostrar que sí es satisfactoria.

Calculamos Le = b bL / C y entramos a las curvas de vigas con ese

'valor para obtener el momento permisible Si este valor es mayor o igual que nuestro momento, la sección será satisfactoria.

Los ejemplos 8-9 y 8-10 presentan el diseño de dos vigas con las cartas del

ASD para casos en que Cb es mayor que 1.0. EJEMPLO 9

Usando acero A36 y las especificaciones ASD, seleccione la sección W más ligera disponible para un momento de 150 pie-klb y una longitud no

soportada de 24 pies; considere Cb = 1.75.

220

Solución

ef

24L 13.7pies

1.75

Ensayamos una W18 x 55 (Sx = 98.3 plg3 1

f

d3.82p lg

A

---------------------------------------------------------------------------------

Momento en Lu en la carta = 180.2 pie – klb > 1540 pie – klb

Revisamos la sección de prueba con la ecuación F1 – 8:

32

b

(12)(10) (1.75)F 19.09klb / p lg

(12)(24)(3.82)

(19.09)(98.3)M 156.4pie klb 150pie klb

12

Usaremos una W18 x 55

Ejemplo 10

Usando acero A36 con Fy = 36 klb/plg2 y las especificaciones ASD,

seleccione la sección W más ligera disponible para un momento de 580 pie – klb y una longitud no soportada de 20 pies; considere Cb = 2.0.

Solución

ef

20L 10.0pies

2.0

Ensayamos una W30 x 108 (Sx = 299 plg3 1

f

d3.75plg

A

---------------------------------------------------------------------------------

Momento en Lu en la carta = 548 pie – klb < 580 pie – klb

Ensayamos la siguiente sección más resistente en la carta, o sea la W30 x

116 (Sx = 329 plg3, 1

f

d3.36p lg )

A

-----------------------------------------------------------------------------------------

221

Momento en Lu = 603 pie – klb > 580 pie – klb

Revisamos la sección de prueba con la ecuación F1 – 8:

3

b

2

y

(12)(10) (2.0)F 29.76

(12)(20)(3.36)

Usamos 0.60 F 22klb / p lg

(22)(329)M 603pie klb 580pie klb

12

Usaremos una W30 x 116

En caso de ser necesario diseñar una viga sin soporte lateral total sin poder usar las cartas (por ejemplo, cuando no se disponga de cartas para el acero propuesto, o cuando las condiciones particulares no coincidan con

las de las cartas disponibles, etc.) se tendrá que usar un procedimiento de tanteos. Este procedimiento consistiría en suponer un esfuerzo permisible, calcular el módulo de sección requerido, seleccionar una viga de prueba,

determinar el esfuerzo permisible para esta viga, etc. Sin embargo, las ecuaciones ASD contienen varias variables y aunque no es difícil encontrar

una sección que soporte adecuadamente la carga, es bastante difícil encontrar la sección más ligera por el procedimiento de tanteos.

El estudiante podría lógicamente preguntar: "¿Qué hago si la viga considerada no tiene patín de compresión?" Tal situación podría ocurrir

para la cuerda inferior de una armadura sometida a una carga intermedia que genere flexión además de los esfuerzos normales axiales. Si el miembro consiste en un par de ángulos o en una T estructural con los

patines en el lado de tensión, no se tendrá un patín de compresión sino sólo un alma.

Las fórmulas presentadas en esta sección son para miembros con dos ejes de simetría como en el caso de los perfiles W y S. Para otros perfiles se

requieren expresiones más complicadas para estimar los esfuerzos permisibles. Para estos casos se aconseja al estudiante consultar la Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures (Guía para los criterios de

diseño por estabilidad de estructuras metálicas). Una práctica razonable y muy conservadora es suponer Fb = O.60Fy para tales casos, siempre que se

satisfagan los requisitos de la sección ASD B5 respecto al pandeo local.

222

DISEÑO DE VIGAS (Continuación)

FUERZA Y ESFUERZO CORTANTE La viga mostrada en la figura 9-1(a) está sometida a dos tipos de acción

cortante: transversal y longitudinal. La figura 9-1 (b) ilustra la acción cortante transversal; se ve que existe la tendencia de la parte de la viga a la izquierda de la sección 1-1 de deslizarse hacia arriba con respecto a la

parte de la viga a la derecha de la misma sección. Este tipo de falla por cortante no ocurre en una viga común de acero porque se presentará

primero el aplastamiento del alma (analizado en la sección 9-3). Sin embargo, el cortante transversal puede ocasionar la falla en vigas que han sido recortadas, como se muestra en la figura 9-1(c).

El otro tipo de cortante se ilustra en la figura 9-1(d) y ocurre debido a la fIexión del elemento, la que ocasiona cambios en las dimensiones de las

fibras longitudinales. Si la flexión es positiva, las fibras inferiores se alargan, las fibras superiores se acortan y las que quedan entre éstas y que definen el plano neutro, no cambian de longitud. Debido a estas

deformaciones variables, una fibra particular tiene la tendencia a deslizarse sobre la "Sora de arriba o la de abajo. El valor más grande del

cortante horizontal o esfuerzo rasante ocurre justamente en el eje neutro. Si se hace una viga de madera superponiendo tablones, sin conectarIos

entre sí, obviamente tenderá a adoptar la forma mostrada en la figura 9-1(d). Es posible que el lector haya observado vigas cortas de madera

223

solicitadas por grandes cargas y que presentan grietas horizontales

provocadas por el esfuerzo rasante.

La anterior presentación del problema puede parecer engañosa, al mostrar por se;:arado los dos esfuerzos cortantes horizontal y vertical; en realidad el esfuerzo cortante el rasante, en cualquier punto, son simultáneos, no

pudiendo separarse. Más aún, no puede ocurrir uno sin el otro. La tendencia a resbalar es resistida por la resistencia a cortante del

material. Aunque el tamaño de una viga de acero rara vez es regido por el cortante, es conveniente revisarlas por este concepto particularmente si

son cortas y tienen cargas de gran intensidad. La fuerza cortante máxima se presenta usualmente cerca de los apoyos, pero la fuerza cortante está presente a lo largo de toda la viga. El esfuerzo cortante transversal medio

en la sección de una viga en un cierto punto del claro es igual a la fuerza cortante externa divi:lda entre el área de la sección transversal de la viga.

Sin embargo, la fórmula del esfuerzo cortante longitudinal muestra que éste no es constante sobre la sección transversal; tiene un valor nulo en las fibras extremas y un valor máximo en el valor neutro. La cono:]da

fórmula que se muestra a continuación, se puede usar para calcular el esfuerzo cortante unitario en cualquier punto. (Esta fórmula se aplica a las vigas con secciones transversales abiertas no sometidas a torsión.)

v

VQf

bI

Donde :

v = fuerza cortante externa en la sección considerada Q = momento estático respecto al eje neutro de la porción de la

sección transversal localizada arriba (o abajo) del nivel en que

fv se está calculando 1 = momento de inercia de toda la sección respecto al eje neutro b = ancho de la sección en el lugar en que se calcula el esfuerzo

cortante.

Cuando esta fórmula se usa para calcular el esfuerzo cortante en la cara de una sección W, M o S, los valores que se obtienen son muy pequeños en los patines y muy gran.:es en el alma. Los valores en el alma son bastante

uniformes sobre toda su altura figura 9-2 muestra la variación del esfuerzo cortante sobre la sección transversal de una W24 x 76 que resiste una

fuerza cortante externa de 60,000 lb.

224

La práctica común de suponer una variación uniforme del esfuerzo

cortante sobre la altura del alma (usando el peralte total de la sección) parece ser razonable después de examinar la figura 9-2. El esfuerzo

cortante obtenido de acuerdo con esta hipótesis es 60,000/(23.92)(0.440) = 5,700 lb/plg², que no es mucho menor que el valor teórico máximo de 6,430 Ib/plg². De hecho, los esfuerzos cortantes permisibles dados por la

mayoría de las especificaciones se han obtenido suponiendo que los cálculos se efectuarán con base en una distribución uniforme del cortante. Para la mayoría de las secciones W, S y en canal con relativamente

grandes patines y almas delgadas, los resultados que se obtienen de esta hipótesis son razonables. Para otros perfiles, algunos cálculos son

necesarios para ver si el porcentaje de error es considerable. Un procedimiento más conservador utilizado por algunos ingenieros

consiste en usar sólo la altura del alma en el cálculo del esfuerzo cortante medio. Este procedimiento daría un esfuerzo de 60,000/(22.56)(0.440) =

6,044lb/plg² en el caso que estamos considerando. Aunque algunos proyectistas usan el peralte total de la viga y otros sólo la altura del alma o incluso sólo la distancia entre las puntas de los filetes de las secciones

laminadas, casi todos usan sólo la altura del alma en el caso de trabes armadas.

Las especificaciones ASD F4 establecen que el esfuerzo cortante permisible

Fv es igual a 0.40 Fy si h/tw y380 / F . En esta expresión h es la distancia

libre entre patines de vigas o trabes armadas. Casi todas las secciones laminadas caen en esta clase y se considera que el área efectiva de la sección transversal para resistir la fuerza cortante es igual al peralte total

del miembro multiplicado por el espesor del alma. Para tales casos el esfuerzo cortante se calcula como sigue:

v y

w

Vf 0.40F

dt

225

Si h/tw, es mayor que 380/yF , el esfuerzo cortante permisible Fv es de Fy

/2.89 (Cv) 0.40 Fy, en donde Cv está dado en la sección F4 de las

especificaciones y es la razón del esfuerzo "crítico" del alma al esfuerzo cortante de fluencia del alma. (Cv se estudiará en el capítulo 17.) Este

esfuerzo cortante permisible es aplicable a la distancia libre entre patines multiplicada por el espesor del alma:

v

w

Vf

ht

La fuerza cortante externa máxima permisible que una viga puede resistir puede calcularse sustituyendo el esfuerzo cortante permisible Fv en la

expresión anterior y despejando a V. V = Fv dtw o V = Fvhtw

En las tablas de vigas del manual ASD este valor de V está tabulado para cada una de las secciones normal mente usadas como vigas con esfuerzos

de fluencia de 36 y 50 lb/plg². Con ayuda de estas tablas el proyectista puede revisar la fuerza cortante de una viga dada. Si es muy grande es

posible seleccionar rápidamente otra sección que tenga una V permisible satisfactoria. En algunas ocasiones, en que se tienen claros cortos y fuerzas cortantes intensas, las vigas S con sus almas relativamente

robustas pueden resultar económicas.

Generalmente el cortante no es un problema en las vigas de acero porque las almas de los perfiles laminados son capaces de resistir grandes esfuerzos cortantes. Se indica a continuación una serie de situaciones

comunes en las que el cortante sí podría ser excesivo. 1. Si se colocan grandes cargas concentradas cerca de los apoyos de

una viga, se originarán fuerzas cortantes considerables sin incrementos correspondientes en los momentos flexionantes. Un

ejemplo bastante común de este tipo ocurre en edificios altos en donde las columnas de un piso están desfasadas (fuera de eje) respecto a las columnas del piso inferior. Las cargas de las columnas

superiores aplicadas a las vigas del piso serán bastante grandes si hay muchos pisos arriba del piso considerado.

2. Probablemente el problema más común de cortante ocurre cuando dos miembros estructurales (como una viga y una columna) están

rígidamente conectados entre sí, de manera que sus almas se encuentran en un mismo plano. En la sección E6 de los Comentarios

226

a las especificaciones ASD se dan fórmulas que indican cuándo las

almas están sobreesforzadas por cortante y cuándo necesitan ser reforzadas en tales casos. Esta situación que se presenta

comúnmente en las conexiones de vigas y columnas de marcos rígidos se analizará en la sección 19-4 en relación con el diseño plástico.

3. Cuando las vigas están despatinadas, como se muestra en la figura 9-1(c), el cortante puede ser un problema. En este caso los esfuerzos cortantes deben tomarse con el peralte reducido de la viga. Un caso

parecido se presenta cuando las almas contienen agujeros para ductos o para otros fines.

4. Teóricamente las vigas cortas cargadas fuertemente pueden tener

cortantes excesivos, pero esto no ocurre con mucha frecuencia a

menos que se trate de casos parecidos al caso l.

5. El cortante puede ser un problema aun para cargas ordinarias cuando se usan almas muy delgadas como en las trabes armadas o en los perfiles doblados en frío de pared delgada.

Si los esfuerzos cortantes calculados exceden a los valores permisibles, pueden soldarse placas de refuerzo al alma de la columna o bien pueden

soldarse atiesadores al alma en las zonas de cortante intenso. El ejemplo 9-1 presenta una breve ilustración del cálculo de un esfuerzo

cortante. EJEMPLO 9-1

Seleccione una sección W para la carga y claro mostrados en la figura 9-3.

Use acero A36 y suponga que el patín de compresión tiene soporte lateral total. Revise también el cortante.

Solución Peso supuesto de la viga = 76 lb/pie

2(2.076)(24)

M (30)(8) 389.5pies klb8

227

Figura 9-4 posible falla de bloque de cortante a lo largo de las líneas

punteadas.

3

req

(12)(389.5)S 194.7plg

24

Ensayamos una W24 x 76 (d = 23.92 plg, tw = 0.440 plg) Revisión del cortante:

w

d 23.92 38054.36 63.33

t 0.440 36

Por tanto Fv = 0.40 Fy = 14.4 klb/plg²

Máx V = (2.076)(12) + 30 = 54.91 klb

2 2

v

54.91f 5.22klb / plg 14.4klb / plg

(23.92)(0.440)

228

También de las tablas en la parte 2 del manual, se tiene para una W24 x

76 de acero A36:

Máx V= 152 klb > 54.91 klb

Usaremos una W24 x 76

En algunas ocasiones la conexión se hace en sólo una pequeña porción o altura del alma de una viga. Sin embargo, el esfuerzo cortante permisible

de 0.40 Fy se basa en la hipótesis de que el esfuerzo cortante se reparte uniformemente sobre toda el alma (V/dtw). En tales casos, el proyectista puede tener que suponer que el cortante se reparte sobre una altura

menor.

Cuando vigas que tienen sus patines superiores al mismo nivel (caso común) se conectan entre sí, suele ser necesario recortar una de ellas, como se muestra en la figura 9.4. En tales casos puede ocurrir una falla de

bloque de cortante a lo largo de la línea punteada mostrada. DEFLEXIONES

Las deflexiones de las vigas de acero se limitan generalmente a ciertos

valores máximos. Algunas de las buenas razones para limitar las deflexiones son las siguientes:

1. Las deflexiones excesivas pueden dañar los materiales unidos o

soportados por las vigas consideradas. Las grietas en los cielos rasos ocasionadas por grandes deflexiones en los largueros que los soportan, son un ejemplo.

2. La apariencia de las estructuras se ve afectada por deflexiones

excesivas.

3. Las deflexiones excesivas no inspiran confianza en las personas que

utilizan una estructura, aunque exista una completa seguridad desde el punto de vista de la resistencia.

4. Puede ser necesario que diferentes vigas que soportan la misma carga, tengan las mismas deflexiones.

La práctica americana normal para edificios, ha sido limitar las deflexiones por carga viva a aproximadamente 1/360 de la longitud del claro; se

supone que esta deflexión es la máxima que toleran las vigas con el fin de

229

que los aplanados o los plafones que soportan no presenten grietas. La

deflexión de 1/360 es sólo uno de los muchos valores de la deflexión máxima en uso para las diferentes condiciones de carga, por distintos

ingenieros, o diferentes especificaciones; para los casos donde se soporta maquinaria delicada y precisa, las deflexiones máximas pueden quedar limitadas a 1/1500 o 1/2000 de la longitud del claro. Las especificaciones

AASHTO 1989 fijan las deflexiones de las vigas y trabes de acero por efecto de cargas vivas e impacto a l/800 del claro. (Para los puentes en áreas urbanas y que usan también los peatones, las especificaciones AASHTO

recomiendan un valor máximo de I/1000 del claro.)

Las especificaciones ASD no especifican exactamente deflexiones máximas permisibles. Existen tantos materiales diferentes, tipos de estructuras y cargas que no es aceptable un solo grupo de deflexiones máximas para

todos los casos. Por ello los valores máximos debe establecerlos el proyectista basándose en su experiencia y buen juicio.

Antes de sustituir a ciegas la fórmula que da la flecha de una viga para determinada condición de carga, el lector deberá conocer los métodos

teóricos para calcular deflexiones; entre estos métodos se incluyen el de área de momentos, el de la viga conjugada y el del trabajo virtual. Con estos métodos pueden obtenerse varias expresiones como la del final de

este párrafo para la deflexión en el centro del claro de una viga simple con carga uniformemente repartida.

45wL

384EI

En las expresiones para deflexiones como ésta, el lector debe ser muy cuidadoso para usar unidades consistentes. El ejemplo 9-2 ilustra la

aplicación de la expresión anterior. El autor ha cambiado todas las unidades a libras ya pulgadas; la carga dada en el problema en klb/pie se ha cambiado entonces a Ib/plg.

EJEMPLO 9-2

En el ejemplo 8-1 se seleccionó una W21 x 62 (Ix = 1330 plg4) con un claro simple de 21 pies para soportar una carga uniforme total de 4.362 klb/pie

que incluye el peso propio de la viga. Calcular la deflexión total en el centro del claro.

Solución

230

4

4

6

4362(5) (12x21)

5wL 120.495plg

384EI (384)(29x10 )(1330)

En las tablas de vigas de la parte 2 del manual ASD se da un valor útil de

la deflexión para cada viga de la tabla cargada con su máxima carga uniforme permisible. La carga W uniforme total en la viga del ejemplo 9-2

es wL = (4.362)(21) = 91.60 klb. En las tablas, la máxima W para una W21 x 62 de acero A36 es 96 klb Y su deflexión en el centro del claro para esa carga es 0.52 plg. Por proporciones, la deflexión para la carga del ejemplo

será (91.60/96)(0.52) = 0.496 plg. Algunas especificaciones consideran el problema de la deflexión,

requiriendo ciertas razones mínimas de peralte claro. Por ejemplo, la AASHTO sugiere que la razón de peralte a claro se limite a un valor

mínimo de 1/25. Se permite una sección con menor peralte, pero siempre que tenga suficiente rigidez para prevenir una deflexión mayor que la que se tendría si se hubiese usado la razón 1/25.

De manera similar, la sección L3.1 de los Comentarios ASD sugiere un

peralte mínimo igual a (Fy / 800) x (longitud del claro) para vigas y trabes totalmente esforzadas en sistemas de pisos. Si deben usarse miembros de menor peralte, se sugiere que sus esfuerzos permisibles por flexión se

reduzcan en la misma razón que sus peraltes respecto al valor recomendado. Los Comentarios recomiendan también que el peralte de largueros de techo totalmente esforzados sea por lo menos igual a (Fy

/1000) x (longitud del claro), excepto en techos planos.

A una viga de acero debe dársele una contraflecha en frío con un valor igual a la flecha producida por las cargas muertas, o la ocasionada por las cargas muertas, más cierto porcentaje de la carga viva. Aproximadamente

el 25% de la contraflecha así producida es elástica, y desaparece cuando termina la operación de prensado necesaria para ocasionarla. En la parte l

del manual ASO se presenta una información detallada para secciones particulares titulada "Standard Mili Practice" ("Prácticas normales de laminación"). Se debe recordar que una viga que se flexione hacia arriba se

ve más segura y resistente que la que se flexiona hacia abajo, (aun a corta distancia).

El requisito de contraflecha es muy común en las vigas de acero de gran longitud. Un gran porcentaje de las vigas usadas actualmente en la

construcción compuesta (véase el capítulo 16) reciben contraflecha.

231

A los fabricantes de las estructuras de acero les resulta muy molesto el

proceso de dar contraflechas, ya que esto les ocasiona problemas económicos adicionales. Una regla empírica establece que se requiere

aproximadamente 1 hora de trabajo extra para darle contraflecha a una viga. Otro problema que surge al dar contraflecha a las vigas es que las dimensiones de éstas deben determinarse con mucha precisión para lograr

un buen ajuste durante el montaje. Como consecuencia de esos problemas y los costos extras al fabricante (y por consiguiente al propietario) casi siempre es más económico usar secciones más grandes que reduzcan

suficientemente las deflexiones en las vigas que darles a estas contraflechas.

De la misma manera, si se está usando un acero de alta resistencia, puede ser conveniente cambiar este acero en las vigas que requieren contraflecha

a un acero A36. Se obtendrán vigas más grandes pero menores deflexiones por lo que podría ahorrarse así el costo de dar contraflecha.

Las deflexiones pueden determinar el tamaño de las vigas para claros grandes o para pequeños, en los que las limitaciones a la deflexión son muy severas. Para ayudar al proyectista a seleccionar secciones en las que

puede regir la deflexión, el manual ASD incluye en su parte 2 una tabla titulada "Moment of 1nertia Selection Table" ("Tabla de selección de

momentos de inercia") en la que los valores Ix se indican en orden descendente para todas las secciones usadas normalmente como vigas. En esta tabla las secciones están ordenadas en grupos con la sección más

ligera de cada grupo impresa en negritas. El ejemplo 9-3 presenta el caso de una viga en la que la deflexión rige en el diseño.

EJEMPLO 9-3

Seleccione la sección más ligera de acero A36 para soportar una carga total de 4.2 klb/pie en un claro simple de 30 pies; la deflexión máxima permisible es de 1/1500 del claro. La sección tendrá soporte lateral total.

Solución

Peso supuesto de la viga = 194 lb/pie (después de algunos cálculos preliminares)

232

2

3

req

(4.394)(30)M 494.32pie klb

8

(12)(494.32)S 247.2p lg

24

Ensayamos una W30 x 99 (Ix = 3990 plg4)

máxima permisible = 1

(12x30) 0.24p lg1500

4

6

4394(5) (12x30)

12 real en el centro del claro =

(384)(29x10 )(3990)

= 0.692 plg > 0.24 plg.

Ix requerida para limitar la a 0.24 plg.

x

0.692I (3990)

0.24=11.504 plg4

De las tablas de momentos de inercia.

Escogemos una W40 x 167

ALMAS Y PATINES CON CARGAS CONCENTRADAS

Cuando los miembros estructurales de acero tienen cargas concentradas aplicadas perpendiculares a un patín y simétricamente respecto al alma, sus patines y alma deben tener suficiente resistencia de diseño por flexión,

por fluencia, aplastamiento y pandeo lateral del alma. Si un miembro estructural tiene cargas concentradas aplicadas en ambos patines, deberá

tener suficiente resistencia de diseño por fluencia, aplastamiento y pandeo del alma. En esta sección se presentan fórmulas para determinar tales resistencias.

Pandeo local del patín En la figura 9-5 se supone que el miembro horizontal está unido

rígidamente a los patines del miembro vertical. Puede entonces ser necesario colocar atiesadotes transversales en el miembro vertical

233

(mostrados con líneas interrumpidas) si el esfuerzo de flexión en el patín

del miembro soportantes es muy grande.

El esfuerzo de flexión está limitado por la Ec. ASD K1 – 1. En esta ecuación Fyc es el esfuerzo de fluencia de la columna y Pbf es 5/3 veces la fuerza calculada en klb aplicada por el patín o la conexión de momento, si

tal fuerza es debida sólo a cargas muertas y vivas. El factor es 4/3 cuando la fuerza es debida a carga muerta y viva combinada con fuerzas de viento o sismo. Este factor es a veces diferente en otros códigos de construcción.

Se requieren atiesadotes si el espesor del patín del miembro es menor que :

bf

yc

P0.4

F

No es necesario verificar esta fórmula si la longitud de la carga a través del

patín de la viga es menor que 0.15 veces al ancho bf del patín. Las áreas requeridas para los atiesadores no son dadas por las especificaciones ASD.

Sin embargo, la sección K1.8 proporciona dimensiones mínimas para los atiesadores. Además, los atiesadores usados deben cumplir los requisitos de ancho / espesor de la sección B5.

La ecuación K1-1 se puede igualar al espesor del patín tf y despejar de ahí Pbf como sigue:

2

yc f

bf fb

F tP P

0.16

234

Si este valor, tabulado en las tablas de columnas del manual, es excedido, será necesario utilizar atiesadores.

Fluencia local del alma

Las vigas que soportan cargas concentradas internas intensas fallan a veces por fluencia del alma a menos que ésta sea reforzada cerca de las cargas. La fluencia del alma se debe a las concentraciones de esfuerzos en

la unión del patín con el alma, o sea, donde la viga trata de transmitir compresión del patín relativamente ancho al alma estrecha.

Como se muestra en la figura 9-6, las cargas se suponen distribuidas longitudinalmente sobre una distancia = 2.5 k a lo largo de la viga desde el

punto de aplicación de la carga para cargas aplicadas en o cerca del extremo del miembro y sobre una distancia = 2.5 k a cada lado de una carga aplicada a una distancia, desde el extremo del miembro mayor que

el peralte d. El extremo del filete es el lugar más peligroso en cuanto a fallas ya que el área resultante tiene ahí su valor más pequeño. La especificación ASD K 1.3 no permite que la compresión en este punto

exceda a 0.66 Fy en vigas sin atiesadores del alma. Con esta información se verá claramente cómo se obtuvieron las siguientes expresiones ASD. El

esfuerzo se calcula dividiendo la carga concentrada o reacción entre un área igual al espesor tw del alma multiplicado por la longitud sobre la que se supone que la fuerza está distribuida.

Si la fuerza es una carga concentrada o una reacción que causa tensión o

compresión y está aplicada a una distancia mayor que el peralte del miembro medida desde el extremo de éste.

235

y

w

R0.66F

t (N 5k)

En las tablas de vigas de la parte 2 del manual ASD se han sustituido

valores numéricos en partes de la ecuación K1 – 3 para los perfiles usados como vigas con Fy = 36 y 50 klb / plg² y se han denominado R1 y R2. Estos términos son:

R1 = 1.65 kFywtw (primera parte de la ecuación) R2 = 0.66 Fyw tw (segunda parte de la ecuación excepto para N)

La ecuación completa puede entonces escribirse como:

R = R1 + R2 N

Los valores de R1 y R2 se pueden seleccionar de las tablas de vigas y usarse en la ecuación anterior para determinar la R permisible desde el punto de vista de la fluencia del alma para un cierto valor de N; o bien, de

la ecuación se puede despejar a N, que es la longitud de apoyo mínima para una carga concentrada o reacción en o cerca del extremo de un

miembro, de manera que la fluencia local del alma no represente un problema.

1

2

R RN

R

Aplastamiento del alma La especificación ASD K1. 4 establece que son necesarios atiesadores de

apoyo en las almas de un miembro cuando una fuerza concentrada es mayor que cierto valor. Este valor límite se determina con la ecuación, apropiada de las dos indicadas a continuación (en ellas Fyw es el esfuerzo

de fluencia especificado para el alma de la trabe). Si se proporcionan atiesadores y estos se extienden por lo menos hasta la mitad del peralte,

no es necesario revisar el aplastamiento. Si la carga concentrada se aplica a una distancia no menor que d/2

medida desde el extremo del miembro.

1.5

yw f2 ww

f w

F ttNR 67.5t 1 3

d t t

Si la carga concentrada se aplica a una distancia menor que d/2 medida desde el extremo del miembro.

236

1.5

yw f2 ww

f w

F ttNR 34t 1 3

d t t

Se ha sustituido valores numéricos en partes de la ecuación K1-5 y se han denominado R3 y R4 en las tablas de vigas del manual.

yw f2

3 w

w

F tR 34t

t (primera parte de la ecuación)

1.5

yw f2 ww

f w

F tt1R 34t 3

d t t (segunda parte de la ecuación excepto

para N)

La ecuación completa puede entonces expresarse como

R = R3 + R4N Los valores de R3 y R4 se pueden obtener en las tablas de vigas y se

puede entonces despejar de la ecuación anterior a N, que es la longitud de apoyo mínima para cargas concentradas o reacciones situadas a una distancia menor que d/2 del extremo de un

miembro, de manera que el aplastamiento del alma no presente problemas.

3

4

R RN

R

En el ejemplo 9-4 se determina la longitud mínima de apoyo

requerida en el extremo de una viga por fluencia y aplastamiento del alma. Además se revisa la longitud de 6 plg. sobre la que un par de cargas concentradas interiores están aplicadas.

En muchas vigas la longitud de apoyo determinada teóricamente es demasiado pequeña desde un punto de vista práctico y puede

incluso resultar negativa. Si éste es el caso, el proyectista seleccionará un valor razonable que se ajusta a los requisitos

constructivos. En vigas de acero apoyadas sobre mampostería debería usarse una longitud mínima de apoyo de aproximadamente 3 ½ a 4 plg. (90 a 100 mm). Debe recordarse que un gran porcentaje

de fallas estructurales, sobre todo durante el montaje, han ocurrido

237

debido a un apoyo insuficiente. Otro aspecto que debe tenerse en

cuenta es que el área de apoyo debe ser suficientemente grande para que los esfuerzos de apoyo no excedan los valores permisibles del

material de soporte. En la sección 9-7 se tratará este tema. Ejemplo 4

Se ha seleccionado una viga de acero A36 con sección W33 x 130 para la carga y claro de la figura 9-7 (a) Determinar la longitud mínima de apoyo

requerida en las reacciones. (b) Las cargas concentradas de 50 klb se aplican a la viga sobre un ancho de 6 plg. ¿Es éste ancho suficiente?.

Solución

Propiedades de la W33 x 130: tw = 0.580 plg., tf = 0.855 plg., k = 111/16 plg = 1.688 plg., d = 33.09 plg. R1 = 58.1 klb, R2 = 13.8 klb/plg, R3 = 83.3

klb y R4 = 4.22 klb / plg.

(a) Longitud mínima de apoyo necesaria en las reacciones

Por fluencia del alma, N = 1

2

R R 80 58.11.59p lg.

R 13.8

Por aplastamiento del alma, N 3

4

R R 80 83.3

R 4.22número negativo.

Usamos 3 ½ plg.

(b) Revisión de la longitud de apoyo bajo las cargas de 50 klb

238

2 2

w

1.5

yw f2 ww

f w

R 809.55klb / p lg 24klb / p lg

t (N 5k) (0.580)(6 5x1.688)

F ttNR 67.5t 1 3

d t t

1.5

2 6 0.580 (36)(0.855)(67.5)(0.580) 1 3

33.09 0.855 0.580

215.7klb 80klb

PANDEO LATERAL DEL ALMA

Si se aplica carga al patín de compresión estando éste soportado lateralmente, el alma quedará sometida a compresión y el patín de tensión podría pandearse como se muestra en la figura 9-8.

Se ha encontrado que el pandeo lateral del alma no ocurrirá si los patines

están restringidos contra rotación con (dc / tw) (L/bf) > 2.3 o si (dc / tw) (L/bf) > 1.7. Cuando la rotación del patín no está restringida. En estas expresiones dc es el peralte del alma medido entre las bases de los filetes

de soldadura, o sea, d – 2k, y L es la longitud más grande sin soporte lateral a lo largo de cualquier patín en el punto de la carga.

También es posible prevenir el pandeo lateral del alma por medio de soportes laterales adecuadamente diseñados o por medio de atiesadores en el punto de aplicación de la carga. Los Comentarios K1 – 5 del ASD

sugieren que los soportes laterales locales para ambos patines se diseñen para el 1% de la magnitud de la carga concentrada aplicada en el punto. Si se utilizan atiesadores, éstos deben extenderse desde el punto de

aplicación de la carga hasta por lo menos la mitad del peralte del miembro y deben diseñarse para soportar la carga total. Debe evitarse la rotación

de los patines para que los atiesadores sean efectivos.

239

Si los patines de miembros estructurales no están restringidos contra movimiento relativo por medio de atiesadores o soportes laterales y están sometidos a cargas concentradas de compresión, podrían requerirse

atiesadores si las cargas exceden los límites siguientes:

Cuando el patín cargados está restringido contra rotaciones y (dc / tw) / (L/bf) es menor que 2.3 use.

33

w c w

f

6800t d / tR 1 0.4

h L / b

Cuando el patín cargado no está restringido contra rotaciones y (dc / tw)

(L/bf) es menor que 1.7 use

33

w c w

f

6800t d / tR 0.4

h L / b

CALCULO DE LOS ESFUERZOS

En algunas ocasiones se tienen miembros en los que la parte más importante de su carga es el momento flexionante pero que están

sometidos también a carga axial. Sin embargo, es más común el caso en que los miembros tengan como parte principal de su carga una carga axial y actúe sobre ellos simultáneamente un momento flexionante. Aquellos

miembros que están sometidos a esfuerzos considerables tanto de compresión como de flexión se denomina vigas – columnas. Es difícil obtener con exactitud los esfuerzos en miembros sometidos a una

combinación de carga axial y de flexión y los esfuerzos calculados en este capítulo son en realidad de carácter aproximado.

240

El esfuerzo en cualquier punto de un miembro sometido a flexión y a carga axial se obtiene comúnmente con la siguiente expresión. (Esta expresión

es aproximada ya que no incluye el efecto de las deflexiones laterales crecientes ocasionadas por los momentos y su efecto subsecuente en los momentos y en los esfuerzos).

P Mc

fA I

Con frecuencia la flexión se presenta respecto a ejes que no son ni el x ni el y; o sea; la flexión ocurre respecto a estos dos ejes simultáneamente; es

el caso en columnas en esquinas de edificios. Los esfuerzos en miembros sometidos a carga axial y flexión respecto a ambos ejes se determina usualmente con la fórmula.

yx

x y

M xM yPf

A I I

El ejemplo 10-1 muestra los cálculos necesarios para determinar el esfuerzo total en un miembro de una armadura de puente debido al

esfuerzo axial más el esfuerzo de flexión generado por el peso apropiado. Los cálculos que haremos aquí serán muy claros pero conviene hacer al respecto algunos comentarios. Se observará primero que aunque se trata

de un miembro atornillado, se usa el área total de la sección, ya que los agujeros para los tornillos se encuentran en el extremo del miembro en

tanto que el momento máximo se presenta en la línea central de la pieza. Además, los esfuerzos de flexión debido al peso propio del miembro no son muy grandes en este ejemplo y de hecho no lo son en la mayoría de los

miembros de armaduras. Sin embargo, cuando los miembros de armaduras son muy grandes y pesados, los momentos debido al peso propio pueden adquirir valores considerables.

Los ingenieros que preparan las especificaciones usadas para el diseño de

miembros de armaduras han reducido los esfuerzos permisibles axiales aproximadamente en un 25% para tomar en cuenta los esfuerzos secundarios. Se pueden hacer consideraciones similares respecto a la

magnitud de los esfuerzos por flexión en columnas debido a imperfecciones en éstas, a cargas ligeramente excéntricas y a los momentos debido a deflexiones laterales.

Desde un punto de vista teórico estricto, las vigas, columnas o miembros de armaduras deberían diseñarse por carga axial y flexión. Sin embargo,

es probable que los esfuerzos permisibles disminuidos proporcionen un margen suficiente para cubrir los casos usuales de falta de axialidad en las cargas, imperfecciones geométricas en las columnas y esfuerzos

241

secundarios en los miembros de armaduras. A menos que la situación sea

severa, el proyectista probablemente no incluirá los momentos en su diseño. Las especificaciones rara vez mencionan este asunto y lo dejan al

buen juicio del proyectista. Esta exposición no se aplica a miembros de armaduras con cargas transversales entre sus nudos o a columnas con momentos considerables que formen parte de un marco rígido.

EJEMPLO 1 La cuerda inferior de una armadura de puente atornillado tiene 22 pies de

longitud, una fuerza máxima de tensión de 310 klb, y está hecha de 4L6 x 4 x ½, dispuestos como se muestra en la figura 10-1. Determine el

esfuerzo máximo en la cuerda debido a la fuerza axial de tensión más la flexión producida por el peso propio del miembro.

Solución

2 2 4

total xA 19plg , I 2[12.5 9.5(0.987) ] 43.5p lg

19Peso de L = (490) 64.8lb / pie

144

2 2

2

wl (64.8)(22)M 3,920pie lb

8 8

P Mc 310,000 (12)(3,920)(4.00)f

A I 19 43.5

f 16,315 4,325 20,640lb / p lg

Porcentaje de esfuerzo debido al peso del miembro = 4,325

21%20,640

242

ESPECIFICACIONES PARA ESFUERZOS COMBINADOS

Los párrafos anteriores mostraron cómo pueden combinarse los esfuerzos

debidos a flexión y carga axial. Los cálculos al respecto son muy sencillos pero el problema de establecer un esfuerzo permisible combinado es mucho más difícil. Se tienen esfuerzos permisibles para esfuerzos por

flexión pura y por carga axial pura, pero los dos valores dados en una especificación particular son probablemente diferentes. ¿Qué valor debe usarse cuando los dos tipos de esfuerzos ocurren simultáneamente?. La

mayoría de las especificaciones usan un esfuerzo permisible que es alguna combinación de los dos esfuerzos permisibles individuales. Expresiones de

este tipo se denominan ecuaciones de interacción. Una ecuación de interacción usada por muchas especificaciones es:

a b

a b

f f1.0

F F

En esta expresión fa es el esfuerzo axial (P/A), Fa es el esfuerzo permisible

si sólo se tuviesen esfuerzos axiales, fb es el esfuerzo de flexión (Mc/I) y Fb es el esfuerzo permisible si sólo estuviesen presentes esfuerzos de flexión.

Durante muchos años el AISC también usó esta expresión para miembros sometidos a una combinación de los dos tipos de esfuerzos. Actualmente las especificaciones ASD permiten su uso sólo para ciertas condiciones

(que se describirán en la sección 10-6). Esta expresión puede considerarse como una fórmula de porcentajes. Por ejemplo, si se usa 60% del esfuerzo

axial permisible para el término fa/Fa quedará sólo 40% del esfuerzo de flexión permisible para el esfuerzo Mc/I. Esta expresión tiene el efecto de dar un esfuerzo combinado permisible que cae entre los valores

permisibles individuales en la proporción en que cada tipo de esfuerzo está relacionado con su valor permisible. Cuando el esfuerzo de flexión es grande con respecto al esfuerzo axial, el esfuerzo combinado permisible se

aproximará mucho al esfuerzo permisible de flexión. Similarmente, cuando el esfuerzo axial es grande respecto al de flexión, el esfuerzo

combinado será muy cercano al esfuerzo axial permisible. El ejemplo 10-2 presenta una combinación de los dos tipos de esfuerzos de acuerdo con esta expresión usada comúnmente.

Si se presenta flexión respecto a ambos ejes, se usa la siguiente expresión

para considerar la condición de esfuerzo combinado.

bya bx

a bx by

ff f1.0

F F F

Ejemplo 2

243

Una W10 x 49 (A = 14.40 plg², Sx = 54.6 plg3 , ry = 2.54 plg) está sometida

a un momento de 40 pie – klb y a una fuerza axial de compresión de 100 klb. El miembro tiene 15 pies de longitud, un esfuerzo permisible por

flexión de 18 klb / plg² y un esfuerzo permisible por compresión axial que debe determinarse con la fórmula Fa = 15,000 – (1/4) (L/r)². ¿Está el

miembro sobreesforzado de acuerdo con la expresión fa/Fa + fb /Fb 1?

Solución

2

a

100f 6.94klb / p lg

14.4

2

2

a

2

b

2

b

a b

a b

1 12x15F 15,000 13.75klb / p lg

4 2.54

12x40f 8.8klb / p lg

54.6

F 18klb / p lg

f f 6.94 8.80.994 1

F F 13.75 18

El miembro es satisfactorio

DISEÑO POR FLEXIÓN Y COMPRESIÓN AXIAL El proyectista medio enfrentado al problema de seleccionar un miembro

para resistir esfuerzos combinados estimará probablemente el tamaño requerido y luego verificará su esfuerzo combinado de acuerdo con los

requisitos de las especificaciones estipuladas. El ejemplo 10-3 ilustra el diseño de un miembro de este tipo. Para la sección ensayada en este ejemplo se supuso que aproximadamente la mitad de cada esfuerzo

permisible (Fa y Fb= es generado por las cargas. La carga axial total se dividió entre el esfuerzo axial resultante para estimar el área transversal

requerida y el momento flexionante se dividió entre el esfuerzo de flexión para estimar el módulo de sección requerido. Se seleccionó entonces una sección con esas propiedades aproximadas. Aunque la sección escogida

con este método fue satisfactoria en este caso, suele ser necesario efectuar uno o dos tanteos más para obtener una solución económica. El porcentaje del esfuerzo escogido fue arbitrario y se podría haber escogido

otro diferente. Por ejemplo, si la carga axial es bastante grande en relación con el momento flexionante, el proyectista podría considerar

conveniente usar 75% del esfuerzo permisible axial y 25% del esfuerzo permisible de flexión o bien algún otro porcentaje. (Se dispone de mejores

244

métodos para diseñar vigas columnas, tal como el presentado en la sección

10-7, basado en las especificaciones ASD).

Ejemplo 3 Seleccionar una W10 para una viga columna que debe soportar una carga axial de 120 klb y un momento flexionante de 50 pie – klb. El miembro

tiene una longitud no soportada lateralmente de 18 pies, un esfuerzo permisible por flexión de 18 klb/plg² y un esfuerzo permisible por compresión de Fa = 15,000 – (1/4) (L/r)². Se debe usar la expresión fa/Fa +

fb/Fb 1.0 para el diseño.

Solución Suponemos fa/Fa = 0.5 y estimamos Fa = 14 klb/plg².

a

a

P 120f A A 0.5F 14 14

A estimada = 17.1 plg²

Suponemos fb/Fb = 0.5 y Fb = 18 klb / plg²

b

b

M (12)(50)f S S 0.5F 18 18

S estimada = 66.7 plg3

Ensayamos una W10 x 60 (A = 17.6 plg², Sx = 66.7 plg3, r = 2.57 plg).

a

120,000f 6,818lb / plg

17.6

2

2

a

2

b

2

b

a b

a b

1 12x18F 15,000 13.230klb / p lg

4 2.57

(12)(50,000)f 8.996lb / p lg

66.7

F 18,000lb / p lg

f f 6.818 8.996

F F 13,230 18,00

0.515 0.500 1.015 (ligeramente sobreesforzado)

Usaremos una W10 x 60

245

AMPLIFICACIÓN Y MODIFICACIÓN DEL MOMENTO

Cuando una viga – columna está sometida a momento a lo largo de su longitud no soportada, ella se desplazará lateralmente en el plano de

flexión. El resultado es un momento incrementado o momento secundario causado por la carga axial multiplicada por el desplazamiento lateral o excentricidad. En la figura 10 – 2 carga P ocasiona que el momento en el

columna se incremente una cantidad Pd. Este momento ocasionará deflexiones laterales adicionales que generarán un mayor momento en la

columna y así sucesivamente hasta que se alcance una posición de equilibrio.

Podríamos obtener los momentos en la columna, calcular la deflexión lateral, incrementar el momento a la mitad de la altura de la columna en P

veces de deflexión, recalcular la deflexión lateral y el momento incrementado, etc. Si bien, dos o tres de estos ciclos serían suficientes, este procedimiento resultaría muy tedioso e impráctico.

Para tomar en cuenta el incremento del momento, las especificaciones ASD requieren que el esfuerzo de flexión se incremente multiplicándolo por el

factor de amplificación (1/[1-fa /F '

e]), que es mayor que 1.0.

Este factor puede ocasionar que el esfuerzo secundario es sobreestime en algunos casos. Por ello, el esfuerzo amplificador se multiplica por un factor

de reducción o de modificación Cm, que es igual o menor que 1.0. La ecuación ASD básica de interacción es

a m b

a ab'

e

f C f1.0

F f1 F

F

246

Factor de amplificación

Para deducir el factor de amplificación se supone que la viga – columna se reflexiona lateralmente en una cierta forma (una función seno) y luego, con la ecuación diferencial aproximada del miembro (d2y/dx2 = - M/EI), se

obtiene una expresión para la deflexión lateral a la mitad de la altura de la viga – columna.

El momento flexionante total a media altura Mb es igual al momento inicial más Pd, que es el incremento en momento debido a la deflexión lateral. De

esta expresión para el momento total se obtiene la siguiente expresión para el esfuerzo de flexión, que incluye los términos P(carga axial) y PE (carga de pandeo de Euler):

b

E

1f f

P1

P

Para tener todo en términos de esfuerzo, P y PE se dividen entre el área A de la sección transversal del miembro. La siguiente expresión es el

resultado y en la que fe es el esfuerzo crítico de pandeo de Euler:

bm ba

e

1f f

f1

f

Para calcular el esfuerzo de flexión bajo condiciones de carga de trabajo o servicio, el esfuerzo de Euler se divide entre un factor de seguridad de

23/12 y se obtiene la expresión.

bm ba

'

e

1f f

f1

F

Donde (1/[1+fa /F '

e]) es el factor de amplificación y F '

e es el esfuerzo de

pandeo de Euler dividido entre el factor de seguridad.

247

Factores de modificación

Para algunas distribuciones de momento en una viga columna, la

amplificación conduce a esfuerzos de flexión demasiado grandes. Tal caso se presenta cuando el momento en un extremo de miembro es cero, en esta condición, la deflexión lateral es aproximadamente igual a la deflexión

dada por el factor de amplificación. Si se tienen momentos aproximadamente iguales en los extremos que generen una curvatura doble en el miembro, la deflexión en el centro del claro y el correspondiente

esfuerzo de flexión son cercanos a cero. Debido a esto las especificaciones ASD proporcionan factores de modificación Cm que deben multiplicarse por

fb.

ECUACIONES DEL MÉTODO DE DISEÑO POR ESFUERZOS PERMISIBLES (MÉTODO ASD)

La especificación ASD H1 incluye tres ecuaciones para miembros

sometidos a carga axial más flexión. Esas ecuaciones incluyen flexión respecto a los ejes x y y . Si la flexión tiene lugar respecto a uno solo de estos ejes, el término asociado al otro eje se cancela.

La primera ecuación es aplicable en la mitad de la altura de los miembros.

Estas ecuaciones se usa para verificar la estabilidad de conjunto del miembro.

my bya mx bx

a a abx' by'

ex ey

C ff C f1.0

F f f1 F 1 F

F F

La ecuación que sigue es aplicable sólo en los extremos de las vigas

columnas y se usa para verificar las condiciones de esfuerzo en esos puntos. Se desarrolló para tomar en cuenta los casos en que los momentos máximos ocurren en los extremos del miembro. La estabilidad no es

problema en un soporte por lo que, como lo muestra el primer término de la ecuación, el esfuerzo permisible de compresión Fa es 0.60 Fy. Además, Fbx es 0.66 Fy en los soportes si se proporciona en ellos soporte lateral.

Esta ecuación suele regir en miembros soportados contra deflexión lateral y en los que se tiene curvatura doble por flexión.

bya bx

y bx by

ff f1.0

0.60F F F

248

Cuando la carga axial es relativamente pequeña, ésta no ocasionará una

amplificación apreciable del momento. Por ello, las especificaciones ASD proporcionan una tercera ecuación aplicable si fa/Fa es igual o menor que

0.15.

bya bx

a bx by

ff f1.0

F F F

En estas expresiones, fa, fb, Fa y Fb tienen los mismos valores definidos

antes F '

e es el esfuerzo de Euler dividido entre un factor de seguridad de

23/12. Su valor está dado por la expresión siguiente en la que Lb es la longitud real no soportada en el plano de flexión, rb es el correspondiente

radio de giro y K es el factor de longitud efectiva en el plano de flexión.

2

'

e 2

b b

12 EF

23(KL / r )

De acuerdo con las especificaciones ASD, el valor de F '

e se puede

incrementar en 1/3 cuando se consideran esfuerzos por viento y sismo, siempre que la sección usada no quede sobreesforzada (sin considerar el

1/3 de incremento) por cargas de gravedad, vivas y de impacto.

Hay tres categorías distintas de Cm como se describe en la sección H1 de las especificaciones ASD.

1. En la categoría 1 las columnas se consideran como parte de marcos que dependen de las rigideces a flexión de sus miembros para adquirir rigidez lateral. Estos miembros están sometidos a

traslación de sus nudos o ladeo y Cm se considera igual a 0.85.

2. En la categoría 2 los miembros se suponen restringidos contra rotación, con traslación de sus nudos o ladeo impedido y sin cargas transversales entre sus extremos. Para tales miembros el factor de

modificación se determina con la s siguiente expresión:

1m

2

MC 0.6 0.4

M

En esta expresión M1/M2 es la razón del momento menor al

momento mayor en los extremos de la longitud sin soporte lateral. La razón es negativa si los momentos ocasionan que el miembro se flexione en curvatura simple y positiva cuando a curva resultante es

doble. Es claro que un miembro con curvatura simple tiene

249

deflexiones laterales mayores que uno con curvatura doble. Con

deflexiones laterales mayores, los momentos debidos a las cargas axiales, así como los esfuerzos, serán mayores. Por lo tanto, cuando

una columna está flexionada con curvatura simple, la ecuación ASD dará esfuerzo permisibles menores.

3. La categoría 3 se aplica a miembros sometidos a carga transversal entre sus nudos y arriostrados contra traslación de los mismos en el plano de carga. La cuerda a compresión de una armadura con una

carga de larguero entre sus nudos en un ejemplo típico de esta categoría. Las especificaciones ASD establecen que el valor de Cm en

este caso se puede considerar igual a :

(a) para miembros con extremos restringidos, Cm = 0.85

(b) para miembros con extremo no restringidos Cm = 1.0

Estos dos valores son suficientemente exactos y seguros en casi todos los casos. Es muy difícil obtener valores más precisos de Cm y si obtienen,

serán de dudoso valor ya que no se pueden estimar las cargas aplicadas con mucha precisión. Sin embargo , los comentarios ASD proporcionan una expresión supuestamente más refinada para Cm en este categoría:

am '

e

2

0

o

fC 1

F

EI1

M L

donde 0 es la deflexión máxima debido a la carga transversal y Mo es el

momento máximo entre los soportes debido también a la carga transversal.

se ha calculado para varias condiciones comunes de carga transversal y

restricción; los resultados se muestran en la tabla 10.1.

250

La mayoría de los miembros que se encuentran en la práctica sometido a esfuerzos combinados por flexión y carga axial forman parte de marcos estructurales rígidos; los otros miembros conectados rígidamente al

miembro en consideración ejercen efectos apreciables sobre éste. Esto implica que para determinar el esfuerzo axial permisible, es necesario

determinar la longitud efectiva del miembro como se indicó antes. Recuérdese que la longitud efectiva puede ser mayor que la longitud real, y que si el ladeo está impedido por medio de un arriostramiento lateral, la

longitud efectiva será menor que la longitud real.

En la categoría 1, las longitudes efectivas de los miembros se usan para calcular Fa y no pueden ser nunca menores que la longitud no soportada pero sí mayores. La longitud efectiva en la dirección de la flexión se usa

para calcular F '

e. Para el cálculo de los momentos se usa la longitud no

soportada real. En la categoría 2 las columnas no tienen ladeo ni carga transversal y se usa entonces la longitud efectiva para calcular Fa. No

puede ser mayor que la longitud no soportada pero sí menor. También en

251

este caso se usa la longitud efectiva en la dirección de la flexión para

calcular F '

e y la longitud no soportada real para calcular los momentos.

Los ejemplos 10-4 al 10-6 ilustran el análisis de miembros sometidos a esfuerzos combinados de flexión y carga axial de acuerdo con las especificaciones ASD. Se notará en esos ejemplos que fb es el esfuerzo por

flexión en el punto del miembro considerado. Cunado no hay cargas transversales, el esfuerzo se calculará para el mayor de los momentos en los extremos de la longitud no soportada. Cuando se aplica una carga

transversal, se usa el mayor momento entre los puntos de soporte lateral para calcular fb y se usa este valor calculado con el mayor momento que se

tenga en los puntos soportados lateralmente.

De particular importancia es la verificación hecha en cada ejemplo para

ver si Cm/(1 – fa /F '

e ) es 1.0. No parece razonable modificar un momento

más de lo que lo incrementamos. Por tanto, si la razón es menor que 1.0, se usará un valor de 1.0

Los nudos de una armadura están restringidos contra traslaciones. Por

esto, parecería razonable usar una longitud efectiva para los miembros a compresión algo menor que la longitud real. Sin embargo, la sección ASD C-2 de los Comentarios sugieren que se use K=1.0 cuando se considere

la condición de carga última. Si todos los miembros de una armadura alcanzaran su capacidad de carga última al mismo tiempo, la antes

mencionada restricción contra traslación se reducirá drásticamente o desaparecería por completo.

No obstante que la compacidad del alma no se incluye en estos ejemplos, el lector debe ser consciente que en algunas ocasiones es necesario revisarla de acuerdo con la tabla ASD B5.1 para vigas columnas. Si el

alma no es compacta, Fb no puede ser mayor que 0.60 Fy.

252

EJEMPLO 4

¿Es satisfactoria una W14 x 159 de acero A36 para soportar las cargas y

momentos mostrados en la figura 10-3 de acuerdo con las especificaciones ASD?. No se tiene arriostramiento en el plano de carga. Se determinó previamente que Kx = 1.92. En el plano perpendicular si se tiene

arriostramiento, y Ky se estimó igual a 1.0 Solución

Para una W14 x 159 (A = 46.7 plg², Sx = 254 plg3, rx = 6.38 plg, ry = 4.00

plg., LC = 16.4 pie, Lu = 57.2 pie F '

ex(Kx Lx)² / 10² = 422 klb).

2

a

400f 8.57klb / p lg

46.7

x x

x

y y

y

2

a

a

K L (1.92)(12)(18)65.00

r 6.38

K L (1.00)(12)(18)54.00

r 4.00

Fa 16.94klb / p lg

f 8.570.506 0.15

F 16.94

Por tanto, se deben usar las ecuaciones H1-1 y H1 – 2

253

2

b

12 200f 9.45klb / plg

254

Fb a media altura = 0.60 Fy = 22 klb/plg² ya que Lsin s.1. > Lc > Lu Fb en los extremos = 066 Fy = 24 klb / plg2

2

' 2

ex 2

422 (10)F 35.33klb / p lg

1.92x18

El miembro cae en la categoría 1 para Cm. Cm = 0.85

Revisión :

m

a

'

e

C 0.851.12 1.00

f 8.5711

35.55F

Sustituyendo en las ecuaciones ASD:

a m b

a ab'

e

f C f 8.57 (0.85)(9.45)0.987 1.0

8.57F 16.94f1 221 F

35.33F

a b

y b

f f 8.57 9.450.782 1.0

0.6F F 22 24

La sección es satisfactoria

Ejemplo 5 Una W12 x 170 de acero A36 tiene 12 pies de longitud y está arriostrada

contra deflexiones laterales. La columna debe soportar una carga axial P = 400 klb y los momentos Mx = 200 pie – klb y My = 60 pie – klb. ¿Es

satisfactorio el miembro con momentos iguales en los extremos y flexionado en curvatura doble respecto a ambos ejes? No se tienen cargas transversales y Kx y Ky se suponen iguales a 1.0

254

Solución

Propiedades de una W12 x 170 (A = 50.0 plg², rx = 5.74 plg, ry = 3.22 plg.,

Sx = 235 plg3 Sy = 82.3 plg3, Lc = 13.3 pies, ' 2' 2ey y yex x x

2 2

F (K L )F (K L )342klb, 108klb)

10 10

2

a

400f 8.00klb / p lg

50

x x

x

y y

y

2

a

a

K L (1.0)(12x12)25.09

r 5.74

K L (1.0)(12x12)44.72

r 3.22

Fa 18.80klb / p lg

f 8.000.426 0.15

F 18.80

Por tanto, verificamos las ecuaciones H1-1 y H1 – 2

2

bx

2

bx

12 200f 10.21klb / p lg

235

12 60f 8.75klb / p lg

82.3

Fbx = 0.66 Fy (a la mitad de la altura) = 24 klb/plg² ya que Lno sop. < Lc

Fby= 0.75 Fy = 27klb / plg²

1mx my

2

MC C 0.6. 0.4 0.6 0.4( 1.0) 0.2

M

2

' 2

ex 2

342 (10)F 237.5klb / p lg

12

255

2

' 2

ey 2

108 (10)F 75klb / p lg

12

Verificación:

mx

a

'

ex

mx

a

'

ey

C 0.20.207 1.0

f 8.0011

237.5F

C 0.20.224 1.0

f 8.0011

75F

Aplicamos las ecuaciones H1-1 y H1 – 2

8.00 (1.0)(10.21) (1.0)(8.75)1.174 1.0

18.80 24 27

8.00 10.21 8.751.113 1.0

22 24 27

La sección no es satisfactoria

Cuando un ingeniero joven empieza a diseñar estructuras suele sentirse defraudado porque éstas no corresponden exactamente a las encontradas

en los libros de texto. Como resultado, debe con frecuencia hacer hipótesis e interpolar entre valores dados en manuales. Por ejemplo, ¿se debe considerar una cierta conexión como simple, como empotrada o como

una situación intermedia?. La decisión que tome puede afectar considerablemente los valores de los momentos, de los valores K, Cm, etc.

El autor considera que el ejemplo 10-6 es un problema muy práctico en el que tienen que hacerse tales tipos de hipótesis. En este caso el autor

supuso que las condiciones de extremo del miembro en proceso de revisión

caen entre . Luego calculó los momentos y los valores

Cm para los dos casos y los promedió; tal procedimiento refleja la idea detrás de la especificación ASD.

256

EJEMPLO 6

En la armadura mostrada en la figura 10-4 (a) se usa W8 x 31 como

cuerda superior continua del nulo L0 al U3. Si la W es de acero A36, ¿tiene ésta suficiente resistencia para soportar las cargas mostradas en la figura 10-4 (b)? Esta figura muestra la porción de la cuerda entre L0 y U1 y la

carga de 12 klb representa el efecto de un larguero. Suponga soporte lateral en los extremos y en el punto medio de este miembro.

Solución

Propiedades de una W8 x 31 (A = 9.13 plg², Sx = 27.5 plg3, rx = 3.47 plg, ry = 2.02 plg.

' 2

ex x xc 2

F (K L )L 8.4pie, 125klb

10

2

a

80f 8.76klb / p lg

9.13

Para un marco sin ladeo, K = 1.0

257

x x

x

y y

y

2

a

a

K L (1.0)(12x13)44.96

r 3.47

K L (1.0)(12x6.5)38.61

r 2.02

Fa 18.78klb / p lg

f 8.760.466 0.15

F 18.78

Por lo tanto, debemos usar las ecuaciones H1 – 1 y H2 – 2

2

' 2

ex 2

(125)(10)F 73.96klb / p lg

(13)

De la tabla 10-1:

El valor promedio de Cm es 0.97

El momento promedio en el centro del claro es de 31.69 pie – klb.

fb en el centro del claro = 2(12)(31.69)13.83klb / plg

27.5

258

El M promedio en el empotramiento es de 14.62 pie – klb.

fb en el empotramiento = 2(12)(14.62)6.38klb / plg

27.5

Aplicamos las ecuaciones H1 – 1 y H1 – 2 :

m

a

'

e

C 0.971.10 1.0

f 8.7611

73.96F

8.76 (1.10)(13.83)1.10 1.0

18.78 24

8.76 6.380.664 1.0

22 24

La sección no es satisfactoria, ya que ambas ecuaciones deben cumplirse

DISEÑO DE VIGAS – COLUMNAS

El diseño de vigas – columnas implica el uso de un procedimiento de tanteos. Se selecciona una sección de prueba y luego se revisa con

ecuaciones apropiadas de interacción. Si la sección no satisface las ecuaciones o si está sobrediseñada, se escoge otra sección y se aplican otra vez las ecuaciones de interacción. El objetivo de lo que resta de esta

sección es mostrar cómo escoger desde el principio una sección más o menos adecuada.

Un método común usado para escoger secciones que resistan momentos y carga axial es el método de la carga axial equivalente. En este método, la

carga excéntrica se reemplaza por una carga concéntrica de tal magnitud que el esfuerzo máximo que ocasione sea el mismo que el esfuerzo máximo producido por la carga excéntrica.

259

En esta exposición se supone que se desea seleccionar la sección más

económica para resistir un momento y una carga axial (digamos 140 pie – klb y 400 klb, respectivamente). Mediante un procedimiento de tanteos es

posible encontrar, a la larga, la sección más ligera. Sin embargo, existe una carga axial ficticia que requiere la misma sección que la que se requiere para la carga y momento reales. Esta carga ficticia se llama carga

axial equivalente. Por medio de ecuaciones se convierte el momento flexionante en una carga

axial equivalente P’ que se suma a la carga axial P. El total de P + P’ es la carga axial equivalente o efectiva Peq o Pef y se usa para entrar a las tablas

de columnas concéntricas para escoger una sección de prueba. No se dispone aquí de espacio para mostrar la deducción completa de las

expresiones para la carga axial equivalente que se usan en vez de las ecuaciones H1 – 1, H1 – 2 y H1 – 3 de las especificaciones ASD. Estas

expresiones equivalentes, llamadas ecuaciones modificadas H1 – 1, H1 – 2 y H1 – 3 en el manual ASD, se pueden deducir por medio del procedimiento descrito en los siguientes párrafos.

Si se tiene flexión sólo respecto al eje x, la ecuación H1 – 1 se puede escribir.

a m b

'

a a e b

f C f1.0

F (1 f / F )F

Si se reemplaza fa por P/A y fb por M/S se obtiene la ecuación.

m

'

a b e

CP M1.0

AF SF 1 P / AF

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por AFa resulta

a ma'

b e

F CMAP AF

S F 1 P / AF

Si se multiplican por F '

e tanto el numerador como el denominador del

factor Cm/ (1 – P/A Fe’) se obtiene

' '

e m em

' ' '

e e e

F C FC

1 P / AF F F P / A

260

Sustituyendo en esta expresión el valor de '

eF = 12 2 E/23 (KLb /rf)2 con E

= 29,000 klb/plg², se obtiene la expresión.

' 2

m e m

' 2 2

e

C F C 149,000Ar

F P / A 149,000Ar P(KL)

Luego este valor se pone en la expresión para flexión sólo alrededor del eje

x, A/S se reemplaza por B (factor de flexión) y 149,000 Arx2 se reemplaza

por la letra ax. Los valores de B y a se pueden calcular fácilmente para cada perfil y están dados en las tablas para columnas concéntricas del

manual ASD. La ecuación resultante es

a xeq m 2

b x

F aP P BMC

F a P(KL)

De manera similar se pueden escribir las fórmulas equivalentes o

modificadas para las tres ecuaciones ASD incluyendo flexión respecto a ambos ejes x y y; se obtienen las siguientes expresiones:

' ' a xx y x x mx 2

bx x

yay y mx 2

by y

F aP P P P B M C

F a P(KL)

(Ec. modificada H1-1)

aFB M C

F a P(KL)

' ' a ax y x x

y bx

ay y

bx

F FP P P P B M

0.6F F

(Ec. modificada H1-2)

FB M

F

La ecuación H1 – 3 se usa en vez de las ecuaciones H1-1 y H1 – 2 cuando

a

a

f0.15

F

261

' ' ax y x x

bx

ay y

bx

FP P P P B M

F

(Ec. modificada H1-3)

FB M

F

Con estas ecuaciones, que son muy útiles para un diseño preliminar, se

obtienen columnas muy sobradas. Si se tiene flexión respecto a un solo eje, la ecuaciones se reducen cancelando los términos apropiados.

En estas expresiones, Bx y By son los factores de flexión que son respectivamente iguales a A/Sx y A/Sy. Sus valores, tabulados en el

manual ASD, varían entre 0.168 y 1.133 para Bx y entre 0.408 y 4.722 para By en secciones I. Los valores mayores corresponden a las secciones más pequeñas, ax es una componente del factor de amplificación cuando la

flexión es respecto al eje x y es igual a 0.149 Arx2 x 106. Similarmente, ay

es igual a 0.149 Ary2 x 106 y ambos valores ax y ay se dan para secciones

usadas regularmente como columnas en la sección de columnas del manual ASD. En estas ecuaciones los momentos Mx y My deben expresarse en plg – klb.

En lugar de usar las ecuaciones modificadas anteriores para determinar la

carga equivalente, es mucho más rápido y sencillo usar la aproximación siguiente derivada de esas ecuaciones.

Pef = Peq = PO + Mxm + MyMu TABLA 10-2 VALORES de m

Fy = 36 klb/plg² Fy = 50 klb/plg²

KL(pies) 10 12 14 16 18 20 22

y

más

10 12 14 16 18 20 22

y

más

PRIMER APROXIMACIÓN

Perfiles 2.4 2.3 2.2 2.2 2.1 2.0 1.9 2.4 2.3 2.2 2.0 1.9 1.8 1.7

APROXIMACIONES SUBSECUENTES

W, S 4

W, S 5

W, S 6

W 8

W 10

3.6

3.9

3.2

3.0

2.6

2.6

3.2

2.7

2.9

2.5

1.9

2.4

2.3

2.8

2.5

1.6

1.9

2.0

2.6

2.4

--

1.5

1.9

2.3

2.3

--

1.4

1.6

2.0

2.1

--

--

1.5

2.0

2.0

2.7

3.3

3.0

3.0

2.5

1.9

2.4

2.5

2.8

2.5

1.6

1.8

2.2

2.5

2.4

1.6

1.6

1.9

2.2

2.3

---

1.4

1.8

1.9

2.1

---

1.4

1.6

1.6

1.9

--

--

1.5

1.6

1.7

262

W 12

W 14

2.1

1.8

2.1

1.7

2.0

1.7

2.0

1.7

2.0

1.7

2.0

1.7

2.0

1.7

2.0

1.8

2.0

1.7

2.0

1.7

1.9

1.7

1.9

1.7

1.8

1.7

1.7

1.7

Fuente : American Institute of Steel Construction, Manul of Steel Construction Allowable Stress

Design, 9a, ed., (Chicago: AISC, 1989), Tabla B, pág. 3-10.

Reproducido con autorización de AISC. Nota.- Los valores de m son para Cm = 0.85. Cuando Cm es distinto de 0.85 hay que multiplicar el valor de m por Cm/0.85.

Con esta expresión se calcula una carga axial equivalente aproximada en

la que P0 es la carga axial real, m es un factor dado en la tabla 10-2 y U es un factor dado en las tablas de columnas. Al aplicar esta fórmula Mx y My se deben expresar en pie – klb.

Para aplicar la fórmula, se toma un valor de m de la tabla 10-2 para la

primera aproximación y se supone un valor de U igual a 3. De la ecuación se despeja Pef y de las tablas de columnas se selecciona una columna para esa carga. Luego se calcula una nueva Pef usando un valor revisado de m

obtenido en la parte de aproximaciones subsecuentes de la tabla 10-2 y el valor de U se toma de las tablas de columnas para la columna seleccionada inicialmente. Se selecciona otro perfil y se continúa el proceso

hasta que m y U se estabilizan, o sea, hasta que el perfil seleccionado no cambia. Las ecuaciones H1 – 1, H1 – 2 y H1 – 3 (según sean aplicables) se

usan entonces para verificar si el perfil seleccionado es adecuado. (Un procedimiento equivalente consiste en sustituir los valores en las ecuaciones modificadas para obtener la carga axial equivalente final y

comparar este valor con la carga axial permisible dada en las tablas de columnas para la sección considerada).

Los ejemplos 10-7 al 10-9 ilustran el diseño de una viga columna usando el procedimiento de la carga axial equivalente.

Ejemplo 7

Usando la tabla 10 – 2, seleccione la sección W más ligera satisfactoria para soportar una carga axial de compresión P de 240 klb y los momentos

Mx = 50 pie – klb y My = 30 pie – klb. Suponga KL = 16 pies, Cmx = Cmy = 0.85 y acero A36.

Solución

De la tabla 10-2 la primera aproximación de m es 2.2 y U se supone inicialmente igual a 3.

263

Pef = 240 + (50) (2.2) + (30) (2.2) (3) = 548 klb

Secciones posibles según las tablas de columnas.

W14 x 109 W12 x 120

Ensayamos una W14 x 109 (U = 2.49 de las tablas de columnas y de la tabla 10-2, m = 1.7 para aproximaciones subsecuentes).

Pef = 240 + (50) (1.7) + (30) (1.7)(2.49) =452 klb

Ensayamos una W14 x 90, que es más pequeña.

Propiedades de una W14 x 90 (A = 26.5 plg², Sx = 143 plg3, Sy = 49.9 plg3, ry = 3.70 pl.

' 2' 2ey y yex x x

c u 2 2

2

a

F (K L )F (K L )L 15.3pie,L 34,0pie 391klb 142klb)

10 10

240f 9.06klb / p lg

26.5

y y

y

2

a

a

a

K L (12)(16)51.89

r 3.70

F 18.18klb / p lg

f 9.060.498 0.15

F 18.18

Por lo que debemos usar las ecuaciones H1 – 1 y H1 – 2.

2

bx

2

by

12 50f 4.20klb / p lg

143

12 30f 7.21klb / p lg

49.9

Fbx = 0.60 Fy (= 22 klb/plg²) a la mitad de la altura de la columna ya que Lno sop. lat. > Le < Lu y 0.66 Fy (=24 klb/plg²) en los extremos de la columna.

Fby= 0.75 Fy = 27klb / plg²

264

Cmx = Cmy = 0.85

2

' 2

ex 2

391 (10)F 152.73klb / p lg

16

2

' 2

ey 2

142 (10)F 55.47klb / p lg

16

mx

a

'

ex

mx

a

'

ey

C 0.850.904 1.0 Se usa 1.0

f 9.0611

152.73F

C 0.851.016 1.0

f 9.0611

55.47F

OK.

Aplicamos las ecuaciones H1-1 y H1 – 2

9.06 (1.0)(4.20) (1.016)(7.21)0.961 1.0

18.18 22 27

9.06 4.20 7.210.854 1.0

22 24 27

OK.

Escogemos una W14 x 90

265

Ejemplo 8

Seleccione la sección W12 más ligera de acero con Fy = 50 klb/plg2

satisfactoria para la situación mostrada en la figura 10-5. Suponga Cm = 1.0 y soporte lateral sólo en los extremos.

Solución

Como los valores en la tabla 10-2 se basan en un Cm de 0.85 los valores

obtenidos de m deben multiplicarse por 1.0

.0.85

Como vamos a seleccionar

una W12, omitimos la primera aproximación y procedemos con las subsecuentes.

KL = 24 pie.

m = (1.7) 1

2.00.85

Mx = (30) (12) - (20) (6) = 240 pie – klb Pef = 300 + (240) (2.0) = 780 klb

Ensayamos una W12 x 170 (verifíquense las ecuaciones de interacción)

Escogemos una W12 x 170

266

EJEMPLO 9

Se ha efectuado un análisis del marco mostrado en la figura 10-6 y se han

diseñado las vigas que no están soportadas en el plano del marco, pero sí en la dirección perpendicular. Seleccione una sección W para la columna AB suponiendo que es de acero A36, que soporta una carga axial de 120

klb y un momento de 60 pie – klb aplicado en su extremo superior.

Solución

Primer ensayo (Suponemos k = 1.0 y m = 2.3):

Pef = 120 + (60) (2.3) = 258 klb

Las secciones posibles son : W14 x 61, W12 x 53 y W10 x 54. Segundo ensayo con la W12 (m = 2.1) :

Pef = 120 + (60) (2.1) = 246 klb

Ensayamos una W12 x 53 (A = 15.6 plg², Sx = 70.6 plg3, Ix = 425 plg4, rx =

5.25 plg, ry = 2.48 plg, Lc = 10.6 pie, Lu = 22.0 pie ' 2

ex x x

2

F (K L )284klb)

(10)

Revisamos Kx :

267

c

cA

B

I 425L 12G 0.373I (2)(1330)

L 28

G 10.0

Kx = 1.76 del nomograma de la figura 7.2 Se revisan ahora las ecuaciones de interacción (omitimos aquí esta

revisión).

Escogemos una W12 x 53