e Spacial
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Anlisis de Datos Espaciales
En clases anteriores hemos discutido los datos longitudinales, o medidas repetidas en
el tiempo. En este tipo de datos debemos modelar la correlacin entre observaciones
del mismo sujeto, ya sea mediante la introduccin de un efecto aleatorio de sujeto,
mediante una estructura de covarianza para los errores, o mediantes ambos
mecanismos.
En el caso de datos georreferenciados tenemos la misma situacin: hay que considerar
la correlacin entre las observaciones. Al igual que en las medidas repetidas en el
tiempo, tpicamente las observaciones ms cercanas estarn ms correlacionadas entre
s. Por lo tanto, la correlacin entre los errores (o las observaciones) ser una funcin de
la distancia entre stos. La distancia entre dos puntos P y Q, referenciados en un sistema
de coordenadas de dos dimensiones (x,y), es
2 2( ) ( )PQ P Q P Q
d x x y y
Normalmente suponemos varianzas homogneas y que la correlacin es la misma para
dos puntos a la misma distancia (isotropa) sin importar la direccin en la que estn los
dos puntos. Bajo isotropa, las estructuras de correlacin dependen solamente de la
distancia entre los dos puntos.
Los modelos ms comunes para la correlacin son: (pg 440 de SAS).
1. Esfrico
3
( , ) ( ) 1 1.5 0.5 siij ij
i j ij ij
d dCorr e e f d d
2. Exponencial
( , ) ( ) exp iji j ij
dCorr e e f d
3. Gaussiano
2
2( , ) ( ) expij
i j ij
dCorr e e f d
-
4. Lineal
1( , ) ( ) 1 sii j ij ij ij
Corr e e f d d d
5. Lineal-log
1( , ) ( ) 1 log( ) si logi j ij ij ij
Corr e e f d d d
6. Potencia
( , ) ( ) ijd
i j ijCorr e e f d
Debemos observar que en cada uno de estos modelos isotrpicos tenemos un
parmetro de correlacin para estimar, y adems debemos estimar la varianza de los
errores. Existen otros modelos con mayor nmero de parmetros (por ej., Matrn). Si el
modelo fuese anisotrpico (hasta dos direcciones perpendiculares en SAS) o
heteroscedstico habra ms cantidad de parmetros para estimar.
Modelos con efecto pepita (nugget)
Existen situaciones en las que localmente se observa ms variabilidad que la que
esperaramos con los modelos anteriores, aunque la correlacin sigue dependiendo de
la distancia entre las observaciones. Este efecto puede modelarse como una varianza
adicional (efecto nugget):
2 2
1
2
( )
( , ) ( )
i
i j ij
Var e
Cov e e f d
Para ajustar estos modelos en SAS podemos usar dos estrategias: si no tenemos
nugget modelamos directamente la matriz R con algunos de los modelos presentados
antes (comando REPEATED con la opcin TYPE). Si tenemos nugget, entonces
podemos modelar con REPEATED y las opciones TYPE y LOCAL, o modelamos la
estructura de covarianza mediante el comando RANDOM (y la opcin TYPE) y el
nugget es directamente la varianza residual (que aparece automticamente sin
necesidad de usar REPEATED).
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Ejemplo (pg. 458 en SAS for Mixed Models)
Los datos provienen de una investigacin para evaluar las caractersticas del drenaje en
sitio potencialmente peligroso por estar contaminado. Se estudiaron varias
localizaciones en el sitio, para estudiar la relacin entre el movimiento del agua (medida
por la log-transmitividad, LOGT) y el grosor de la capa de sal (SALT). Se espera una
relacin lineal entre ambas medidas, pero tambin se espera que haya correlacin
espacial entre las observaciones, para lo cual se registraron las coordenadas de cada
localizacin (Northing, Easting).
Se ajustan distintos modelos de covarianza, usando como efecto fijo la relacin lineal
entre logt y sal.