NDICE PGINA - INTRODUCCIN - DUALIDAD - CORRESPONDENCIA ENTRE LA SOLUCIN DEL PROBLEMA PRIMAL Y DEL PROBLEMA DUAL Teorema 1 Teorema 2 - ANLISIS DE SENSIBILIDAD 1. Cambio en el lado derecho de las restricciones 2. Inclusin de una nueva variable - CONCLUSIONES - BIBLIOGRAFA 6 7 12 13 15 18 20 2 3 6

INTRODUCCIN Uno de los mtodos ms utilizados para la optimizacin de recursos y la toma de decisiones es la programacin lineal. Cuando se trata de resolver un problema de este tipo, la primera etapa consiste en identificar las posibles decisiones que pueden tomarse; esto lleva a identificar las variables del problema concreto. Normalmente, las variables son de carcter cuantitativo y se buscan los valores que optimizan el objetivo. La segunda etapa supone determinar que decisiones resultan

admisibles; esto conduce a un conjunto de restricciones que se determinan teniendo presente la naturaleza del problema en cuestin. En la tercera etapa, se calcula el coste/beneficio asociado a cada decisin admisible; esto supone determinar una funcin objetivo que asigna, a cada conjunto posible de valores para las variables que determinan una decisin, un valor de coste/beneficio. El conjunto de todos estos elementos define el problema de optimizacin. Sin embargo, despus de obtener los resultados de la programacin, se puede someter a stos resultados a un modelo alternativo o dual donde se varen los trminos independientes y se observe la sensibilidad de estas variaciones en el resultado ptimo. El propsito de este trabajo es presentar los aspectos de dualidad y sensibilidad en la resolucin de problemas de programacin lineal

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DUALIDAD En el anlisis de los problemas de Programacin Lineal de Maximizacin y de Minimizacin se comprueba que para todo problema de maximizacin, existe un problema de minimizacin asociado, denominado el problema DUAL y para todo problema de minimizacin existe un problema DUAL asociado de maximizacin. Considere los siguientes modelos de Programacin Lineal: Maximizar Z = c1x1 + c2x2 ++ cnxn Sujeta a: a11x1 + a12x2 ++ a1nxn b1 a21x1 + a22x2 ++ a2nxn b2 .... .... .... am1x1 +am2x2 ++amnxn bm Donde: x1, x2,, xn 0 (3)

El cual se puede escribir en forma matricial como: Maximizar Z = c x Sujeto a: Ax b x0

Entonces existe el modelo (4) al cual se le denomina el problema DUAL. Minimizar Z = b1y1 + b2y2 ++ bnyn Sujeta a: a11y1 + a21y2 ++ am1ym c1 (4)

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a12y1 + a22y2 ++ am2ym c2 .... .... .... a1ny1 +a2ny2 ++amnym cn Donde: y1, y2,, ym 0 El cual se puede escribir en forma matricial como: Minimizar Z = bT y Sujeto a: AT y cT y 0 Estos dos modelos son denominados duales, el problema representado por (3) es el Problema Primal, y el modelo (4) es el Problema Dual. A traves del ejemplo 1.10 se ilustra el problema de la dualidad. Ejemplo 1.10 Determinar el Problema Dual del siguiente modelo de Programacion Lineal: Maximizar Z = 2x1 + 4x2 Sujeto a: 2x1 + 3x2 3 3x1 x2 4 5x1 + 4x2 2 X1, x2 0

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Solucin Considerando que el modelo dado corresponde a un modelo cannico se puede afirmar que para l existe un modelo Dual. En forma matricial el modelo propuesto se puede escribir, como:

Maximizar Z = c x Sujeto a: Ax b x0 De acuerdo a la definicin el problema Dual esta dado por: Minimizar Z = bT y Sujeto a: AT y cT y0 Para hallar el problema Dual debemos pues determinar bT , AT y cT

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Es decir que el modelo Dual sera:

Es decir que el modelo del problema DUAL sera:

CORRESPONDENCIA ENTRE LA SOLUCION DEL PROBLEMA PRIMAL Y DEL PROBLEMA DUAL. Se puede demostrar que:

Teorema 1.Si el problema primal o el problema dual tienen una solucin ptima con valor objetivo finito, entonces el otro problema tambin tiene una solucin ptima. Adems, los valores objetivos de los dos problemas son iguales

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Tambin se puede demostrar que: Teorema 2. Si se resuelve el problema primal mediante el mtodo Simplex, la tabla final contiene la solucin ptima del problema dual en el rengln objetivo, bajo las columnas de las variables de holgura. y1 corresponder a la primera variable de holgura; y2 a la segunda y as sucesivamente. En el ejemplo siguiente se ilustra el uso del problema dual.

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Estos problemas de programacin lineal tambin se pueden resolver utilizando el recurso Solver de Excel de la Microsoft Office.

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ANLISIS DE SENSIBILIDADEl anlisis de sensibilidad o postoptimal para los modelos de Programacin Lineal, tiene por objetivo identificar el impacto que resulta en los resultados del problema original luego de determinadas variaciones en los parmetros, variables o restricciones del modelo, sin que esto pase por resolver el problema nuevamente.

Es decir, ya sea si resolvemos nuestro modelo grficamente o utilizando el Mtodo Simplex, lo que se busca es que estas variaciones o sensibilidad hagan uso de la solucin y valor ptimo actual, sin tener la necesidad de resolver para cada variacin un nuevo problema. En especial nos concentraremos en el anlisis de sensibilidad o postoptimal que hace uso de la tabla final del Mtodo Simplex. Teora El Mtodo Simplex opera para modelos de Programacin Lineal en un formato estndar. Min s.a cTx Ax = b x >= 0 Donde la tabla final del Mtodo mantiene la siguiente estructura:

Donde: I: Matriz Identidad 0: Costos reducidos asociados a las variables bsicas B: Matriz de variables bsicas D: Matriz de variables no bsicas b: Lado derecho Cb: Coeficientes en la funcin objetivo asociados a las variables bsicas Cd: Coeficientes en la funcin objetivo asociados a las variables no bsicas

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1. Cambio en el "lado derecho" de las restricciones: Lo que se busca identificar si las actuales variables bsicas se mantienen luego de la modificacin de uno o ms parmetros asociados al "lado derecho" del modelo. Si calculamos:

y se cumple

, Las mismas variables bsicas lo son tambin de . Si lo anterior no se cumple,

la nueva solucin ptima, calculada con el nuevo se puede aplicar el Mtodo Simplex Dual.

EJEMPLO: Sin resolver nuevamente el problema, se desea saber si las actuales variables bsicas ptimas del problema tambin lo son del mismo problema, donde los lados derechos corresponde al vector b=(20,30). (Observacin: X4 y X5 son variables de holgura de la restriccin 1 y 2 respectivamente)

Max sa:

2x1 + 7x2 - 3x3 x1 + 3x2 + 4x3 =0 se conserva la actual solucin ptima. En caso contrario, se puede seguir con el Simplex agregando a la tabla una nueva columna con entradas B-1Ak y rk y tomando como variable entrante a la nueva base la que acabamos de introducir al problema.

EJEMPLO: Se desea estudiar la posibilidad de elaborar un nuevo producto con beneficio neto igual a 8 y que requiere 4, 2 y 5 unidades de los recursos asociados a cada restriccin. Sin resolver nuevamente el problema, Conviene elaborar el producto?

Max sa:

9x1 + 12x2 4x1 + 3x2 =0, por lo cual no conviene la incorporacin de esta nueva variable al modelo, es decir, aun cundo sea incorporada no obtendremos un valor ptimo que supere el actual V(P)=615. De todas formas mostraremos como se incluye en la tabla final del Simplex esta modificacin de modo que el lector pueda entender su incorporacin cuando es necesario:

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X1 X2 X3 1 0 0 0 0 1 0 0 1/2 -1/3 -4/3 1/2

X4 -1/2 2/3 2/3 7/2

X5 XNew 0 0 1 0 1 0 1 1 15 40 20 615

Si el costo reducido de esta nueva variable hubiese sido cero, entonces el nuevo escenario tendra infinitas soluciones.

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CONCLUSIONES

Los problemas de programacin lineal apuntan a maximizar y minizar la funcin objetivo con la intencin de obtener los mayores beneficios econmicos posibles. Existe para todo problema de maximizacin un problema de minimizacin asociado denominado problema DUAL y viceversa.

En todo caso el primer problema o problema original se denomina el problema primal al cual se asocia el modelo del problema dual. Para resolver estos problemas se pueden hacer uso de tcnicas matriciales o de tcnicas grficas. En los ejemplos mostrados para ilustrar la tcnica se utiliza el modelo matricial, ya que la tcnica grfica se limita a dos variables.

En la correspondencia entre el problema primal y el problema asociado dual se hace uso de dos teoremas que tienen que ver con la solucin ptima y las holguras.

Tambin a los resultados de la programacin lineal se puede someter a un anlisis de sensibilidad o postoptimal para identificar los impactos en el problema original de las variaciones de los parmetros, variables o restricciones sin que se tenga que resolver el problema nuevamente. Aqu tambin se hace uso del mtodo Simplex para resolver los problemas de sensibilidad, aunque se puede utilizar otros mtodos como el mtodo grfico.

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Se analizan normalmente dos aspectos: a) cambios en el lado derecho de las restricciones y b) inclusin de una nueva variable.

En ambos temas, tanto el de dualidad como en el del anlisis de la sensibilidad se presentan un ejemplo para ilustrar el caso.

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BIBLIOGRAFIA 1. antiguo.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/dualidad.html2. 2. www.investigacion-operaciones.com/Libro/Dualidad-Sensibilidad.pdf 3. www.investigaciondeoperaciones.net/analisis_de_sensibilidad.html 4. www.angelfire.com/ak6/invo_escom2/clase3.pdf 5. www.programacionlineal.net/ 6. www.vitutor.com/algebra/pl/a_1.html - Espaa 7. html.rincondelvago.com/programacion-lineal_investigacion-de-oper...

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