MECÁNICA CUÁNTICAOndas de De BroglieEn 1924 De Broglie postula como parte de su tesis doctoral un planteamiento donde sugería que, así como la luz posee características corpusculares, por la simetría de la naturaleza, que las partículas, en particular los electrones, muestran particular los electrones, muestran propiedades ondulatorias, pues se les considera asociada una onda de materia.

En un principio se había asociado a un fotón con un campo electromagnético, si empleamos una relación inversa, podríamos suponer un longitud de onda λ y la frecuencia υ

1p

hhp =⇒= λ

λ

2h

hευυε =⇒=

32

λπ=k

42 υπω =λ y la frecuencia υ del campo monocromático asociado con una partícula de momentum p y energía E, esta dada por:

42 υπω =

52

2kpk

hp

kp

hh=⇒=⇒==

ππλ

622

ωυωπ

υπ

ωευ h=⇒=⇒== h

h

sJx 34100544,1 −=h

Comprobación experimental

Experimento de la doble rendija

Experimento de Difracción de ElectronesClinton Davisson y Lester Halbert Germer (1927)

George Paget Thomson (1927)

Doble rendija con electrones

En 1961, C. Jönsson of Tübingenlograron mostrar interferenciade doble rendija haciendorendijas muy finitas y usandorendijas muy finitas y usandodistancias larguísimas entre lasrendijas y la pantalla. Se comportaron exactamenteigual que la luz

Paquetes de ondas (Ondas de materia)

Tal como lo planeado por De Broglie existe una onda de materia asociada al movimiento de una partícula, sin embargo no es posible hablar de la trayectoria de una partícula,

222

.),(

1)cos(),(

πνωλπ

ω

==

≡Ψ−=Ψ

k

ondadeFuncióntxDonde

tkxAtx

ψ(x,t)ttrayectoria de una partícula, como en el sentido clásico, menos aún tiene sentido hablar de los electrones que se mueven en órbitas elípticas, por lo que para describir su movimientoconsideraremos la llamada función de onda.

x

kπ2

Al especificar la función de onda como un paquete de ondas de extensión infinita, entonces la posición exacta de la partícula no es especificada. Una posible solución

[ ]5««

4)()(cos),(

3)cos(),(

2

1

ωωωωψ

ωψ

∆∆∆+−∆+=

−=

ykkSiendo

txkkAtx

tkxAtx

6),(),(),( 21 txtxtx ψψ +=Ψ

( ) 7cos22

cos2 tkxtxk

A ωω −

∆−∆=Ψ

Aposible solución sería tratar de ubicar la partícula dentro de un pulso de amplitud variable, para ello consideremos dos ondas:

A

8t)-cos(kxA ),( ω=Ψ tx

( )

2;

2

922

cos

cos

:7

ωω

ωω

∆=∆=

≡

∆−∆≡−

gg

kk

ondasdeGrupotxk

ondadeFasetkx

De

x

x

ψ1ψ

2ψ

x

Región de posible localización

21 ψψ +

Velocidad de fase: vf

Es la velocidad de propagación de cada una de las ondas.

102

,2

,k

vk

perov ff

ωπ

ωυπλλυ =⇒===

Velocidad de grupo: vg

Cuando a una partícula se le asocia una onda, ésta se propaga con la velocidad onda, ésta se propaga con la velocidad grupo. Se le define como:

partículaladeVelocidadvv

cv

mv

mc

p

E

h

E

p

hvBroglieDedeHipótesislaempleando

vdk

dv

g

f

fg

==⇒

==

=

==

12

:

,,11

2

2

λυω

Sabemos que: 420

22 cmcpE +=

derivando E respecto a p, tenemos:

13

2

22

420

22

2

dp

dEv

m

mv

mc

pc

E

pc

cmcp

pc

dp

dE

=⇒

===+

=

15,1413

141

1

12)2(

vvtieneseyDe

dp

dEv

dph

dEhv

d

d

d

d

dk

dv

g

gg

g

=

=⇒=

=

==

λ

υ

λπ

πυω

Principio de Incertidumbre de Heisemberg

Sabemos que: ( ) 11 dp

dhv

dp

dh

d

d

dk

dv gg

υυ

λ

υω =⇒===

Tomando diferencias, considerando que vg= v, y que Δx = Imprecisión en la localización de

2xptht

xv

phvg ∆∆=∆∆⇒

∆∆==

∆∆= υυ

De 1:

en la localización de una partícula.

tp ∆∆

Sabemos que: υ11 ==

fT

3

)1(:211

hxp

xphdett

≥∆∆⇒

∆∆≥⇒≥∆∆⇒∆

≥∆⇒ υυ

Donde Δp = Indeterminación de la cantidad de movimiento de la partícula.

Si p es conocido (Δp = 0) ∞→∆→≥∆⇒ xh

x0

esto significa que al conocer p con precisión, no es posible ubicar con exactitud dicha partícula.

Sabemos que :

4, υυ ∆=∆= hEhE 5htE ≥∆∆⇒