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Robótica IndustrialDpt. Teoría de la Señal, Telemática y Comunicaciones

Robótica IndustrialUniversidad de Granada

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Seminario: Sistemas Analógicos

Transformada de LaplaceS.1

Funciones de TransferenciaS.2

Introducción: Control S.0

Funciones de TransferenciaS.2

Sistemas de Segundo OrdenS.3

Características de la Respuesta TemporalS.4

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S0. Introducción

CONTROL: Método para conseguir que un conjunto de variables o

parámetros del entorno tengan valores pre-establecidos. (ej: temperatura habitación cte, guiar un satélite)

SISTEMAS DE CONTROL:Conjunto de elementos necesarios para Conjunto de elementos necesarios para

conseguir el objetivo de control.

SISTEMAS DE CONTROL EN ROBÓTICASistemas analógicos: Dispositivos en los que se manifiesta la relación causa-efecto para una

señal continua en el tiempo

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S0. Introducción

SISTEMAS DE CONTROL EN ROBÓTICASistemas Lineales Invariantes en el tiempo :

Muy usados ya que presentan propiedades que facilitan su estudio y dan buenas

aproximaciones locales de los sistemas reales.

Transformada de LaplaceHERRAMIENTA PARA EL ESTUDIO DE SISTEMAS LINEALES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO, CUYO COMPORTAMIENTO SE MODELA MEDIANTE ECUACIONES DIFERENCIALES

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S1. Transformada de Laplace

SISTEMA LINEAL ANALÓGICO

X(t) y(t) y(t)=S[x(t)]

ECUACIÓN DIFERENCIAL

+ difícil

ECUACIÓN ALGEBRAICA

SOLUCIÓN L[]

+ fácil

+ difícil

L-1[]

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Transformada de Laplace de una función f(t)

siendo s una variable en el plano complejo f(t) debe cumplir las siguientes condiciones:

• f(t) es continua o continua a trozos

• f(t) es de orden exponencial

∞−p

te·f(t) KM

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∫∞+

∞−

− ==·

·

1 )(··2

1)]([)(

jc

jc

stdsesFj

sFLtfπ

Transformada inversa de Laplace de una función F(s)

siendo C una constante real que deja a su izqda. todas las singularidades de F(s)

C

PLANO S

X

X

X

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Propiedades importantes de la Transformada

1. Linealidad )(·)(·)](·)(·[ sGbsFatgbtfaL +=+

2. Transformada de la derivada

3. Transformada de la integral

4. Traslación en el plano s:

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Propiedades importantes de la Transformada

5. Traslación en el plano temporal

6. Teorema del valor final:

)(·)]([

0

)()(

)]([)(

sFetgL

at

atatftg

tfLsFas−=

≥−

=

=

p

6. Teorema del valor final:

7. Teorema del valor inicial:

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Ejemplos de Transformadas

Función escalón unitario:

escalón de altura A: X(s)=A/s

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Señal rampa unitaria:

Rampa de pendiente A: A/s2

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Delta de Dirac:

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S2. Funciones de Transferencia OBJETIVO: RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES

COMO ECUACIONES ALGEBRAICAS

L[]

Circuito RC

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S2. Funciones de Transferencia Cual es la respuesta de este sistema ante una tensión escalón unitario ?

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S2. Funciones de Transferencia En general, un sistema lineal analógico tendrá una

función de transferencia

Zk ceros

pk polos

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S2. Funciones de Transferencia Características de un sistema analógico

1. CAUSALIDAD: Un sistema es causal si la respuesta se produce siempre después de la entrada, y depende de valores

2. ESTABILIDAD:Un sistema es estable si para una entrada finita se produce siempre una Un sistema es estable si para una entrada finita se produce siempre una respuesta finita.

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S3. Sistemas de Segundo Orden

Primer Orden: Cuando del denominador de la función de transferencia es un polinomio de primer orden un polinomio de primer orden

El sistema será estable si el polo p está en el semiplano S izquierdo

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3 posibles factores de amortiguamiento:3 posibles factores de amortiguamiento:

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S3. Sistemas de Segundo Orden Oscilación y amortiguación

Un valor típico: 0.707 quecorresponde a una respuesta en frecuencia plana: F. de Butterworth

Sistema críticamente amortiguado.Se usa este valor cuando se busca la respuesta más rápida sin oscilación

Sólo amortiguación

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S4.Caract. Respuesta Temporal

Tiempo de subida tr: tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 90% de su respuesta temporal

Primer cruce de la señal por 100% será cuando

Cogemos el valor de K que de un tr más bajo. Como cos-1 está entre 0 y pi, K=1

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S4.Caract. Respuesta Temporal Tiempo de pico tp: posición del primer picoSobreoscilación Mp: % de rebasamiento(Solo para sistemas sub-amortiguados)

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S4.Caract. Respuesta Temporal Tiempo de establecimiento ts:

tiempo para que la respuesta del sistema se mantenga dentro de un intervalo de error dado respecto a su valor final

Para simplificar, analizamos solo la envolvente

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S4.Caract. Respuesta Temporal Ejemplo 1

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