El placer de la X

Una visita guiada por las matemticas, del uno al infinito

Steven Strogatz

El placer de la X Taurus

2

Ste

ven

Stroga

tz

Steven Strogatz

es profesor de Matemticas Aplicadas en la Universidad de Cornell. Acad-mico de renombre y uno de los mate-mticos ms citados del mundo, es autor de Sync y The Calculus of Friendship, y ganador de un premio de reconocimiento a su brillante trayec-toria en la pedagoga de las matem-ticas. Ha participado con regularidad en el programa Radiolab, de la National Public Radio de Estados Unidos, y escribi una popular colum-

na en la edicin online del New York Times, The Elements of Math, que fue la base de este libro.

Taurus Pensamiento Pginas: 400 / Precio: 22,00 Rstica / 15 x 24 cm Traduccin de David Meja Para ampliar esta informacin puedes contactar con: Paloma Castro T 677 923 318 pcastro@santillana.es

El placer de la X Taurus

3

Ste

ven

Stroga

tz

La crtica ha dicho

Un libro desenfadado y absolutamente ameno. Publishers Weekly

Es la leccin de matemticas perfecta: clara, instructiva y breve.

The Telegraph Sus fcilmente asimilables captulos incluyen multitud de ejemplos e ilustraciones. Nunca volver a olvidar el teorema de Pitgoras.

Scientific American Una amena exploracin de la belleza y la diversin que encierran las matemticas. El placer de la x le entretendr, le sorprender y le har ms inteligente.

STEVEN PINKER Este delicioso libro le recordar lo bonitas y fascinantes que pueden ser las matemticas. Steven Strogatz es el maestro que todos querramos haber tenido.

JOSHUA FOER Puede que Strogatz sea la nica persona viviente con la habilidad de guiarme como el flautista de Hameln por el nebuloso abismo de la teora de conjuntos. Aprend algo en cada pgina, a pesar de que mi cerebro es incapaz de realizar clculos elemen-tales. Este es un libro fantstico, claro, con dominio tcnico y deleite contagioso.

JAD ABUMRAD, presentador de Radiolab

Steven Strogatz debera hacer por las matemticas lo que Julia Child hizo por la cocina. Demuestra que estas cosas realmente importan, y demuestra que nos pueden nutrir.

JAMES GLEICK, autor de The Information: A History, a Theory, a Flood y Chaos

Este libro me encant desde la primera pgina. Con su particular ingenio y su afable encanto, Strogatz desmonta las matemticas como disciplina, tan temidas y veneradas, y las vuelve a montar en nuevo mundo, tan accesible y mgico. El placer de la x es, pues, un gusto.

JANNA LEVIN,

El placer de la X Taurus

4

Ste

ven

Stroga

tz

Introduccin

Qu relacin guardan los nmeros con la literatura, el amor o la cultura pop? Cunto de exacto tiene la vida cotidiana?

Un recorrido diferente por el asombroso

mundo de las matemticas.

Sinopsis

n matemtico de primer nivel y prestigioso divulgador del The New York Times nos invita a una visita guiada por las grandes ideas de las matemticas y sus sorpren-dentes conexiones con la literatura, la filosofa, la

medicina o el arte. Las matemticas estn en la base de todo lo que hay en el cosmos, incluidos nosotros mismos, y, sin embargo, muy pocos entienden lo suficiente este idioma universal como para gozar de su sabidura, su belleza y sus placeres. Este libro lo traduce para convertirlo en algo inteligible y apasionante. Cada captulo ofrece inesperados momentos de revelacin: desde la explicacin de por qu los nmeros son tan tiles (y tan eficaces para describir el mundo) hasta los escondidos encantos del clculo, las elipses y el teorema de Pitgoras. Steven Strogatz solo pide a sus lectores curiosidad y sentido comn. A cambio, El placer de la X les ofrecer explicaciones claras e ingeniosas de los principios esenciales de esta disciplina y de su extraordinario poder para responder a muchas de las preguntas de la vida cotidiana. El autor, premiado y elogiado por sus ensayos y artculos en mltiples medios de comunicacin como The New York Times, New Yorker, Discover o Science, es reconocido internacional-mente por su manera didctica de abarcar y exponer las matemticas y otras disciplinas relacionadas.

l placer de la X es un viaje guiado por las matemticas, desde preescolar hasta la universidad, siempre bajo una perspectiva adulta. El libro nace a raz del entusiasmo que generaron una serie de artculos que

Strogatz public en el The New York Times, y que le permitieron confirmar el hambre de matemticas que senta el pblico. El libro consta de seis partes: la primera, titulada Nmeros, se centra en la utilidad y efectividad de los nmeros (como smbolos)

U

E

El placer de la X Taurus

5

Ste

ven

Stroga

tz

NMEROS. Empezar contando peces y llegar al infinito

para describir el mundo. La segunda: Relaciones, nos introduce en el lgebra, en las diferentes variaciones en las que se combinan y relacionan los nmeros y que, al fin y al cabo, expresan la complejidad del mundo. En la tercera, Formas, el autor sumar los conceptos de espacio y forma, los cuales elevan y dan rigor a las matemticas, introducindonos en la lgica y la demostracin. El cuarto aborda la fructfera rama del clculo, al describir todo cambio continuo que se produce en la realidad. La estadstica, la probabilidad y las redes sern algunos de los campos que analizar en Datos. Finalmente, en Fronteras, la sexta y ltima parte, Strogatz examinar aquellas realidades que se sitan entre lo conocido y lo desconocido, muy presentes en la frentica realidad actual.

os nmeros, a diferencia de los conceptos u objetos cotidianos, se acercan ms a concepciones abstractas como la verdad o la justicia. Sin embargo, su utilidad es inmediata. As, contar y sumar se hacen tan naturales al

ser humano que sera difcil pensar otra forma para describir la acumulacin de objetos semejantes. Sin embargo, nos ensean a operar, olvidando, a veces, que las matemticas tienen un lado ldico y que podemos desarrollarlo mediante otro enfoque que permita experimentar al aprendiz las increbles propiedades de los nmeros. Como en este caso, el libro que cita el autor, El lamento de un matemtico de Paul Lockhart, en donde se ensea a sumar utilizando piedras (calcular tiene su origen en la palabra latina calculus, o guijarro empleado para contar), lo que permite ver cmo los nmeros interactan unos con otros, y hallar sin sumar la suma total de todos los nmeros del uno al diez.

Adems, en esta parte se aborda la incmoda resta y los nmeros negativos, sin duda, an ms extraos que los positivos. Que el menos por menos sea ms no deja de ser todo un misterio. El autor nos introduce aqu en el interesante mundo de los trin-gulos de relacin, resumido en la paradjica frase el enemigo de mi enemigo es mi amigo, y para ello traza los tringulos correspondientes a las relaciones entre pases de la Primera Guerra Mundial. Diagramas muy efectivos para ver la operancia de los nmeros negativos y cmo stos influyen en el desequilibrio de las relaciones (en un tringulo equilibrado, el signo del produc-to de dos lados siempre coincide con el signo del tercero). Esta regla se confirma en las diversas alianzas que se fueron

L

El placer de la X Taurus

6

Ste

ven

Stroga

tz

RELACIONES. El placer de la x

estableciendo antes y durante la Primera Guerra Mundial, para culminar en los dos grandes y equilibrados bloques que conocemos. Otra de las propiedades fundamentales es la conmutacin, muy apropiada para afrontar decisiones finan-cieras, incluso las ms cotidianas como calcular el descuento de un producto primero y despus el IVA (y no al revs: si lo hacemos de forma sumatoria calculando ambos por separado, y descontando la suma resultante al precio original, pagaramos ms). La divisin, el cero y los nmeros enteros son otras de las cuestiones no exentas de misterio. Las partes del todo, las fracciones, as como los nmeros decimales y el desconcierto que provocan, estn presentes en la pregunta: Cunto es el veinte-cinco por ciento de un cuarto de dlar? Frase que aparece en la pelcula Mi pie izquierdo y que el autor rescata para mostrarnos la usual rigidez conceptual que nos impide ver la respuesta. Esta resistencia es muy parecida si abordamos los decimales, o ms all, esos nmeros irracionales, con cifras estadsticamente aleatorias que no podan convertirse en fraccin; cifras que, como apunta el autor, componen el fascinante mundo del caos.

a segunda parte se abre con un captulo dedicado a la seductora aura del lgebra (no slo por su semejanza con el arte, expresada en los elegantes patrones de los nmeros, sino tambin por el lugar que ocupa en la

ciencia, en todas las leyes de la naturaleza). La x es la clave. De hecho, la historia de sus races sus soluciones ha sido una de las grandes hazaas del pensamiento humano. Pero, quiz, lo ms dificultoso fue enfrentarse a las races cuadradas de los nmeros negativos la raz cuadrada de -1 todava se conoce como trmino

imaginario (i), tachadas de ficticias y absurdas hasta el siglo XVIII. El plano que forman (fuera de la lnea numrica, en ngulos respecto a ella) hace que esta especie de nmeros cree un espacio bidimensional. As, los nmeros complejos la unin de uno real con otro imaginario, son hbridos que cuentan con las mismas

propiedades de los nmeros y son mejores porque siempre tienen races. Mandar un e-mail o navegar por Internet son algunas de las cosas que nos permite esta singular especie.

Pero si de algo pecan la matemticas, es de los ambiguos y capciosos enunciados de sus problemas. As lo sinti el autor cuando su to Irv lo someti a su primer problema matemtico, el cual tena que ver con el tiempo en que se llena una baera si mezclamos agua fra y caliente a diferentes tiempos. Este plantea-

L

El placer de la X Taurus

7

Ste

ven

Stroga

tz

FORMAS. Sobre enfoques, conspiraciones y lmites

miento, junto con otros tan familiares como si un pintor tarda un da en pintar un valla, cuntos das tardarn tres pintores en pintar cinco vallas, hace reflexionar al autor sobre la descon-fianza y confusin de la exposicin de los enunciados, reclamando ms claridad y explicitacin. El penltimo captulo se dedica a analizar la manida frmula de la ecuacin de segundo grado. Utilizada habitualmente por ingenieros y cientficos, las aplica-ciones de la frmula cuadrtica van desde la sintonizacin de una radio o el balanceo de una pasarela, hasta el arco de una bala de can. El autor cierra el captulo con la fantstica herramienta que hace honor a Al-Khwarizmi: el algoritmo. Es el compresor por excelencia de las matemticas, y nos permite trabajar con cifras muy amplias, as como descomponer y deshacer las acciones de otras herramientas matemticas. Tras la escala de Richter, las medidas del pH, o los salarios de seis cifras, se esconden estos geniales compresores.

a geometra permite combinar la lgica ms la intuicin (utilizando as ambos lados del cerebro), de ah que sea una de las ramas favoritas de los alumnos. Sin embargo, el enfoque racional y deductivo de Euclides presente en

todos los mbitos de la vida, desde la ciencia (Kepler y Galileo), el Derecho (Spinoza) o la poltica (Jefferson la declaracin de Independencia de EEUU), expuesto en su obra Elementos y que parte del axioma, la proposicin y la demostracin, no facilita demasiado el desarrollo de la intuicin e imaginacin del alumno. Strogatz apuesta por otro enfoque que permita al alumno llegar por l mismo a la solucin (por ejemplo, cmo construir un tringulo equiltero dndole un solo lado), utilizando as su propia imaginacin y lgica natural.

Siguiendo en el campo de la geometra, el autor abre la tercera parte con dos posibles demostraciones del Teorema de Pitgoras. La demostracin original, que parte de la superficie de las reas, revela una verdad fundamental sobre la naturaleza del espacio: la geometra euclidea la asuma como plana, el lugar de curva. Pasarn muchos aos hasta que Einstein y otros tantos empiecen a considerar la superficie curva del universo. Y es que este universo participa, en palabras del autor, de una cierta conspiracin cnica, en la cual, formas como las parbolas y las elipses (secciones transversales de la superficie de

L

El placer de la X Taurus

8

Ste

ven

Stroga

tz

CLCULO. Me quiere, no me quiere

un cono) surgen por doquier. Lo vemos en algo tan simple como el lanzamiento de una pelota, pero tambin en el movimiento de los planetas o de los cometas. El autor analizar entonces las ondas sinusoidales, fundamentales en esa conflictiva rama llamada trigonometra y que aparecen en la trayectoria vertical u horizontal de cualquier objeto que se mueva en crculo. De hecho, aparecen siempre que se altera la estabilidad de un estado de equilibrio, formando las semillas de todo lo que existe. Son los pilares de la naturaleza y estn detrs de la formacin de patrones de la naturaleza. El Big Bang, las estrellas y las galaxias nacen de estas ondulaciones en la densidad de la materia y la energa.

l clculo es la matemtica del cambio, lo describe todo. Sus principales aliadas: la derivada (a qu velocidad cambia algo: clculo diferencial) y la integral (cunto se est acumulando: clculo integral). Las derivadas estn

presentes en cualquier tipo de rampa u objeto que sube y baja, como el visual ejemplo que utiliza el autor: un mate de Michael Jordan. Son muy prcticas, las utilizaremos siempre que busquemos la manera mejor, o ms barata o rpida de hacer algo. La naturaleza parece saber y obedecer al clculo. En este sentido, intuye todos los caminos posibles, y se decide por el mejor y el ms rpido. Las integrales, por su parte, expresadas con la caracterstica s de cuello alto que significa suma consisten en tomar algo complicado y trocearlo para que resulte sencillo sumarlo; la creciente masa de un tumor o la atraccin gravitatoria del Sol sobre la Tierra, as como las finanzas o la fsica, se describen mediante integrales. El teorema fundamental del clculo establecido por Leibniz y Newton entre otros, a mediados del siglo XVII, y que implica la poderosa unin de ambas, es muy efectivo para trabajar con cosas que cambian a un ritmo inestable o cambiante y de las cuales podemos predecir su comportamiento. El flujo del calor, la electricidad, el aire o la naturaleza misma se desdoblan en trozos la prediccin racional era, por tanto, posible y con el atajo que supone este teorema, la prediccin de la naturaleza poda hacerse a pasos agigantados.

La voluntad de confrontar y aprovechar el valor del infinito tambin se hace patente en el clculo. Strogatz analizar ahora la ubicuidad de e (crecimiento exponencial) en muchos fenmenos de la realidad, el cual aparece siempre que algo cambia por efecto

E

El placer de la X Taurus

9

Ste

ven

Stroga

tz

DATOS. Desenredando la red

acumulativo de pequeos acontecimientos. El autor se valdr de varios ejemplos para explicarnos el importante papel que cumple. Desde el dinero que tenemos depositado en un banco, hasta obtener las mejores probabilidades de encontrar al amor de su vida, e estar all. Siguiendo con estas analogas amatorias, Strogatz se introducir en el clculo diferencial (variables inter-conectadas que cambian de un momento a otro) con una versin particular de Romeo y Julieta en la que ambos amantes pasan del amor al odio en instantes. El clculo diferencial no slo sirve para el amor, es muy til para las leyes de la electricidad, el reino atmico y para el flujo del calor y del agua. Finalmente, Strogatz nos introducir en el clculo vectorial, la matemtica que describe los campos invisibles que nos rodean y que nos introduce en la teora de las ondas electromagnticas que Maxwell calcul, las cuales dominan el mundo y estn presentes en la televisin, en los telfonos mviles o el wi-fi.

l mundo est lleno de datos. Sin embargo, la estadstica (a diferencia de la geometra euclidea o la trigonometra) no est tan presente en los planes de estudio. Y junto con la probabilidad, es una de las herramientas ms tiles para

la vida cotidiana. Saber qu es una distribucin, o cmo ele-mentos aleatorios e impredecibles (observados de manera ais-lada) suelen mostrarse reglados y previsibles en conjunto, es una de las lecciones fundamentales de la estadstica (el autor nos invita a comprobarlo mediante la tabla de Galton similar a la estructura de pinball sin las aletas en la que las bolas situadas en la parte superior caen hacia abajo pasando por diferentes obstculos para aterrizar en contenedores diferentes). Su acumu-lacin muestra una forma acampanada, y es lo que se considera como una distribucin normal. Pero algunos modelos, algunos especmenes patolgicos, se desvan de esta versin idealizada al acumularse en el lado izquierdo, asumiendo una forma de L. Son las llamadas distribuciones de la ley de potencias, y tienen propiedades contraintuitivas desde la estadstica tradicional. La cada de la bolsa, los terremotos o los incendios forestales, as como los ataques terroristas siguen este tipo de distribucin, tambin llamado de cola larga, muy presente en la realidad y muy alejado de la idealizada distribucin normal.

La Red es el tema elegido para cerrar esta parte. Buscar en Internet se hace posible gracias a un koan zen, un motor de bsqueda que se sustenta en el lgebra lineal, la rama que estudia los vectores y matrices. Strogatz analizar PageRank (la

E

El placer de la X Taurus

10

Ste

ven

Stroga

tz

FRONTERAS. O de nmeros primos, Mbius y el infinito

puntuacin fraccionada entre cero y 1 que mide lo importante que es la pgina en relacin con otras). El genial enfoque de Larry Page y Sergey Brin, los fundadores de Google, en el que las pginas web se clasifican a s mismas en funcin de sus enlaces fue todo un acierto: Una pgina es buena en la medida en la que enlace a buenas pginas. Ejemplos como ste certifican la importancia del lgebra lineal para desarrollar algoritmos cada vez ms rpidos y resolver grandes conjuntos de ecuaciones. Todas ellas estn detrs de la pantalla.

a soledad de los nmeros primos, la novela de Paolo Giordano, es el ejemplo que utiliza Strogatz para abrir esta ltima parte. Los nmeros primos no siguen un patrn simple, son desordenados y errticos: su

ubicacin irregular en la lnea de los nmeros hace que los matemticos la llamen la funcin de conteo de los nmeros primos. La teora de los nmeros, la materia que estudia los nmeros enteros y sus propiedades es la ms pura de las matemticas. Desde los algoritmos encriptados que garantizan las transacciones en Internet, hasta los cdigos militares secretos, dependen de la dificultad de descomponer un nmero entero en sus factores primarios.

Otro de los interesantes temas que aborda aqu ser la teora de grupos, (aquella que expone la unidad oculta de cosas que parecen inconexas), y para ello utiliza un ejemplo tan cotidiano como til: encontrar la forma ms apropiada de darle la vuelta al colchn. Asimismo, podemos aplicarla en la simetra de las molculas o en la lgica de un par de interruptores. Igual de singular se alza la famosa cinta de Mbius, con slo una cara y un solo borde, y con la que el autor experiment en el colegio de su hija ante la sorpresa de los nios que vean que la cinta no tena principio ni final. Sus aplicaciones son muy variadas: desde la msica (Vi Hart en Cajita de msica Mbius) arquitectura (la Biblioteca Nacional de Kazajistn) hasta la ingeniera (conden-sadores, mquinas de limpieza en seco, cintas transportadoras). De ah que Strogatz nos introduzca en la topologa (la rama de la matemtica moderna que estudia las propiedades ms profundas de una forma) y que analice, igualmente, la geometra diferencial, aquella otra que estudia las pequeas diferencias locales en distintos tipos de formas. As, explicar las geodsicas, las curvas

L

El placer de la X

11

Ste

ven

Stroga

tz

ms directas de la superficie y que sirven para encontrar, por ejemplo, la ruta ms eficiente en los vuelos internacguiendo el arco de un gran crculo).

Para concluir, el autor dedicar los dos ltimos captulos a la escurridiza e inabarcable idea de que acudi en su rescate: el anlisisnmeros (problema que implica este concepto. El ejemplo elegido para cerrar el libro ser la el mismo Hilbert para tratar la idea de infinitopresenta un hotel imsiempre tiene una vacante al contar con infinitas habitaciones. Sumensaje no puede ser ms humillante: no se puede alojar en un espacio a todos los nmeros reales porque hay demasiados infinito ms all del idemostrndonos as que el misterio de las matemticas sigue latente.

El placer de la xque nos invita a reflexionar sobre todos los fenmenos matemticos que se ocultan detrsmatemticas no slo nos explican la naturaleza del mundo, sino que nos permiten anticiparnos a ella y aplicar sus increbles utilidades en nuestro da a da.

El placer de la X Taurus

ms directas de la superficie y que sirven para encontrar, por ejemplo, la ruta ms eficiente en los vuelos internacguiendo el arco de un gran crculo).

Para concluir, el autor dedicar los dos ltimos captulos a la escurridiza e inabarcable idea de infinito a travs de la ciencia que acudi en su rescate: el anlisis. Los conjuntos infinitosnmeros (teora de conjuntos), cerrarn el problema que implica este concepto. El ejemplo elegido para cerrar el libro ser la parbola del Hotel Hilbertel mismo Hilbert para tratar la idea de infinitopresenta un hotel imaginario que siempre est lleno, pero que siempre tiene una vacante al contar con infinitas habitaciones. Sumensaje no puede ser ms humillante: no se puede alojar en un espacio a todos los nmeros reales porque hay demasiados infinito ms all del infinito, como nos dir Strogatz, demostrndonos as que el misterio de las matemticas sigue latente.

El placer de la x es, por tanto, una visita guiada que nos invita a reflexionar sobre todos los fenmenos matemticos que se ocultan detrs de la realidad ms inmediata. Las matemticas no slo nos explican la naturaleza del mundo, sino que nos permiten anticiparnos a ella y aplicar sus increbles utilidades en nuestro da a da.

ms directas de la superficie y que sirven para encontrar, por ejemplo, la ruta ms eficiente en los vuelos internacionales (si-

Para concluir, el autor dedicar los dos ltimos captulos a la a travs de la ciencia conjuntos infinitos de

), cerrarn el escandaloso problema que implica este concepto. El ejemplo elegido para

parbola del Hotel Hilbert planteada por el mismo Hilbert para tratar la idea de infinito la cual nos

aginario que siempre est lleno, pero que siempre tiene una vacante al contar con infinitas habitaciones. Su mensaje no puede ser ms humillante: no se puede alojar en un espacio a todos los nmeros reales porque hay demasiados Un

, como nos dir Strogatz, demostrndonos as que el misterio de las matemticas sigue

es, por tanto, una visita guiada y prctica que nos invita a reflexionar sobre todos los fenmenos matem-

de la realidad ms inmediata. Las matemticas no slo nos explican la naturaleza del mundo, sino que nos permiten anticiparnos a ella y aplicar sus increbles