8.3 FACTOR DE TRANSFORMACIÓN DE RENTA SIN FRACCIONAR EN

FRACCIONADA

Consiste en calcular el valor financiero que la renta fraccionada tendría en caso

de no haberlo estado. Va a ser enormemente útil para determinado tipo de rentas

fraccionadas que no se pueden resolver por el método anterior.

Para poder aplicar este método debemos encontrarnos con rentas que sigan un

fraccionamiento aritmético uniforme dentro de cada periodo (aunque la renta

varié).

8.3.1. Rentas fraccionadas pos pagable

Imaginemos La Siguiente Renta Pos pagable

Cn CnCn Cn…………………………………………………..Cn−1 Cn

0 1 2 3……………………………………...……………… (n−1) n

Nos encontramos en una renta pos pagable de fraccionamiento aritmético

uniforme, si cada periodo se subdivide en m sub periodos de igual amplitud y al

final de cada uno de estos vence un su capital constante Ch/m de forma que la

suma de todos los correspondientes a un periodo del capital original Ch.

Gráficamente:

Lógicamente para un periodo cualquiera h:

Ch = Chm

.m

Siendo:

Ch : Un capital original de la figura 8.8

Ch/m : Un sub capital de la renta fraccionada de la figura 8.9

Si nos centramos en un periodo cualquiera:

Podemos calcular el valor en el momento h de todos esos sub capitales, pues nos

encontramos ante una renta pos pagable, de m periodos y términos constantes.

Así, el tipo efectivo equivalente del sub periodo, i(m ) y aplicamos la expresión.

Por tanto el momento final del periodo el valor financiero de todas las sub cuantías será:

Ch.ij(m )

Siendo:

Ch: Valor del capital original (antes de fraccionar).

i : Tipo de interés efectivo del periodo (normalmente anual).

j(m): Tanto nominal anual de frecuencia m.

Si conocemos esta relación, la figura 8.9 será financieramente equivalente a la

siguiente renta:

Si todos los periodos son de igual amplitud, se subdividen en m sub periodos, y el

tipo de interés efectivo anual de valoración de la renta es constante. Entonces la

expresión i / j(m ) será constante y podrá extraerse como factor común en

cualquiera de las siguientes expresiones:

Valor actual:

=C1

.

ij (m )

. (1+ i )−1+¿C2 .¿¿.(1+i )−3+…+¿¿

Cn−1.ij(m )

.(1+i)−(n−3)+Cn.ij(m )

.(1+i)−n=ij(m )

¿¿.(1+i )−1+C2 . (1+ i )−2+C3 . (1+i )−3+…+Cn−1 . (1+ i)

−(n−1)+Cn. (1+i )−n ¿

¿ ij(m )

V 0 .

¿ij(m )

V 0 .

Siendo:

=Valor final de una renta de n periodos pos pagables, fraccionada en m y valorada

cada periodo al tipo i.

V 0: Valor final de una renta de n periodos pos pagable, valorado al tipo de interés i.

i: Tipo de interés de cada periodo.

j(m): Interés no minal de frecuencia m.

Valor final:

=Cn.ij(m )

+¿Cn−1.ij(m )

¿.(1+i )+…+¿C3¿.ij(m )

.(1+i)n−3+C2.ij(m )

.(1+i)n−2+C1.ij(m )

.

(1+i)n−1= ij(m)

.

¿.(1+i )+…+C3. (1+i )(n−3 )+C2 . (1+i )(n−2 )+C1 . (1+i )(n−1)¿

¿ ij(m )

SIENDO:

: Valor final de una renta de n periodos pos pagables, fraccionada en m y

valorada cada periodo al tipo i.

: Valor final de una renta de n periodos pos pagable, valorado al tipo i.

i: Tipo de interés de cada periodo.

j(m): Interés no minal de frecuencia m.

En conclusión i / j(m ) es el factor de transformación de una renta pos pagable sin

fraccionar en fraccionada.

Sabemos que i> j(m)por lo que podemos decir que una renta fraccionada pos

pagable tiene un valor superior a una sin fraccionar de igual cuantía.

EJEMPLO

Calcular el valor actual de una renta pos pagable, temporal de 3 años de duración,

inmediato, en la que las cuantías son constantes e iguales a 125 soles cada mes,

si el tipo de interés al que se valora es el 8% anual.

Primero calculamos el tanto nominal mensual.

i(12)=(1+i )1 /12−1=(1,08 )1

12−1=0,006434

j(12)=i (12) .12=0,07720

V 0(12)= i

j(12)=

0,080,07720

.(125.12 ) . 1−¿¿ 4,005.42

8.3.2. Rentas fraccionadas prepagables

Imaginemos la siguiente renta prepagable:

Cn CnCn Cn…………………………………………………..Cn Cn

0 1 2 3……………………………………...………….. n-2 n-1 n

Nos encontramos con una renta prepagable de fraccionamiento aritmético

uniforme si cada periodo se subdivide en sub periodos de igual amplitud, y al

principio de cada uno de estos vence un sub capital de cuantía constanteCh/m, de

forma que la suma de todos los correspondientes a un periodo dan el capital

original Ch.

C1

m C1

m C1

m

C1

m C1

m C2

m C2

m

C2

m

C2

m

C2

m

C3

m C3

m

C3

m

C3

m C4

m……………………………….

Cnm

Cnm

Cnm

Cnm

1.1 1.2 1.3 1.m−1 2.1 2.2 ………. 2.m−1 3.1 3.2 ……. 3.m−1 n .1 n .2

n .3…..

0 1 2 3 n−1 n

Si nos centramos en un periodo cualquiera:

Chm

Chm

Chm

Chm

Chm

h .1 h .2 h .3 h .m−1h .m

h−1 h

Podemos calcular el valor en el momento h−1 de todos esos subcapitales,pues

nos enconramos ante una renta prepagable de mperiodos y terminos constantes.

Asi, si calculamos i(m ) y aplicamos la teoria de las rentas:

Por lo tanto podemos calcular el valor actual de una renta prepagable fraccionada,

tomándola como renta prepagable sin fraccionar pero sustituyendo cada capital

por la anterior expresión, de la siguiente forma:

Siendo:

Siendo:

: Valor final de una renta prepagable fraccionada en m sub periodos, de n periodos de duración valorados al tipo de interés i.

j(m) : Interés efectivo del sub periodo.

Luego el factor [1+¿i(m)]transforma una renta fraccionada pos pagable en su correspondiente fraccionada prepagable.

EJEMPLO

Calcular el valor actual de la renta de la siguiente figura, utilizando el factor de transformación de rentas sin fraccionar a fraccionadas, si el tipo de interés efectivo del periodo es de 11%.

10 10 10 10 11 11 11 11 11 12.1 12.1 12.1 12.1 13.31 13.31

13.31

1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4 4.1 4.2

4.3 4.4

0 1 2 3 4

Estamos ante una variable de progresion geometrica de razon q=1.1.prepagable y fracionada por trimestres. calculamos i4y j 4:

: Valor final de una renta prepagable fraccionada en m sub periodos, de n periodos de duración valorados al tipo de interés i.