Dosimetría de campos electromagnéticos en radiofrecuencia

Yamina Esther Páez Fuentes

Pontificia Universidad JaverianaFacultad de Ingeniería

Departamento de ElectrónicaBogotá, Colombia

2020

Dosimetría de campos electromagnéticos en radiofrecuencia

Yamina Esther Páez Fuentes

Trabajo de grado presentado para optar al título de Ingeniero Electrónico

DirectorIng. Manuel Ricardo Pérez Cerquera Ph.D

Pontificia Universidad JaverianaFacultad de Ingeniería

Departamento de ElectrónicaBogotá, Colombia

2020

2

Nota de Aceptación

Firma del presidente de jurado

Firma del jurado

Firma del jurado

3

Dedicatoria

Dedico este trabajo de grado primero a Dios, el cual me dio fortaleza y aliento en los momentos de dificultad.A mi madre María Rosa quien me dio vida, educación y consejo. A mi hermano Luis, mi abuela Bernarday mis tías Milena, Mayra y Niscida, que siempre tuvieron amor y paciencia en estos años. A mi director elIng. Manuel Pérez, por apoyarme no solo en esta investigación, sino en mi proceso de vida universitaria. Amis compañeros de estudio, a mis maestros, amigos, personal de laboratorio, seguridad y aseo, por siemprevelar por mi aprendizaje académico y ético, siendo compañía en los momentos de soledad e incertidumbre.Al Gobierno de Colombia y a la Javeriana por brindarme la oportunidad de estudiar becada, sintiendo surespaldo en todos mis pasos.

A todos ellos se los agradezco desde el fondo de mi alma. Para todos ellos hago esta dedicatoria con muchoamor.

Yamina

Financiación: Este trabajo de grado se realiza en el marco del proyecto de investigación Interno “Dosimetríade exposición de radiación de campos electromagnéticos emitidos por estaciones base celulares 3G y 4G”Código SIAP: 9236.

4

Índice general

1 Introducción 121.1 Objetivo general y Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Concepción del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Implementación en HFSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3 Implementación en Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Marco Teórico 162.1 Caracteristicas de la onda electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Principios del electromagnétismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Dosimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Tasa de absorción específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Teoría de Lorentz Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Sección Transversal del Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7 Estándares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8 Simuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8.1 HFSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8.2 Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Desarrollo 263.1 Descripción general y Diagrama en bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Modelo análitico: expansión en series de Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Preprocesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Procesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.3 Postprocesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Modelo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.1 Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.2 Fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.3 Excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.4 Configuración de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.5 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5

3.3.6 Postprocesado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Análisis y Resultados 364.1 Resultados implementación en Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Resultados modelo en HFSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Análisis y valoración de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Conclusiones 465.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Bibliografía 47

A Anexo 49A.1 Expansión de una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.2 Teoría de las series de Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.3 Funciones utlizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.4 Campo magnético disperso de esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6

Lista de figuras

1.1 Diagrama de flujo para la dosimetría de SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Onda electromagnética en el vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Sistema de coordenadas polares esféricas centrado en una partícula esférica de radio a . . . . 192.3 Extinción por una colección de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Extinción por una colección de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Discretización por FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Diagrama en bloques general para la dosimetría de SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Comporamiento gráfico función Ricatti-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Comporamiento gráfico función esférica Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Comporamiento gráfico polinomio de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Diagrama de flujo de expansión para una onda plana en funciones esféricas . . . . . . . . . 283.6 Campo magnético disperso por una esfera conductora con un radio de 1λ en el plano xz . . . 293.7 Etapas de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8 Declaración de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.9 Mallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.10 Condiciones de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.11 Resultado de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.12 Campos electromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.13 Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.14 RCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.15 Diagrama de estados en la simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.16 Modelo computacional no antropomórfico de la cabeza humana cubierta por región de aire . 333.17 Caracteristicas del material de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.18 (a) Vector de polarización y dirección de propagación (b) Coordenadas y ubicación de la

excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.19 Frecuencia de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.20 Refinamiento de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Campo electromagnético disperso para una frecuencia de 900 MHz . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Componentes del RCS para radio de 1λ , permitividad de 2.56 y frecuencia de 900 MHz . . . 374.3 Tiempo de simulación, coeficientes y eficiencia del RCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Radar Cross Section para radio de 1λ , permitividad de 2.56 y frecuencia de 900 MHz . . . . 38

7

4.5 Campo eléctrico disperso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6 (a) SAR sobre el modelo no antropomórfico (b) SAR sobre el plano . . . . . . . . . . . . . . 394.7 RCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.8 Expansión de una onda plana extraído de [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.9 Expansión de una onda plana Implementación de expansión de una onda plana realizada en

Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.10 Validación RCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.11 Modelo computacional: esfera de radio 0.143m rodeada por curva circular de 1.43m . . . . . 434.12 Campo eléctrico disperso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.13 Modelo computacional: esfera de radio 0.33m con curva circular de 0.23m . . . . . . . . . 444.14 Validación Campo eléctrico disperso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.15 Validación SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8

Lista de tablas

1.1 Caracteristicas dielécricas extraídas de [14] [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9

Lista de símbolos

Símbolos con letras latinas

Símbolo Término Unidad SI Definición

A Área m2 ∫ ∫dxdy

B Inducción magnética T Ecuación 2.3

c Velocidad de la luz en el vacío ms2

1√ε0µ0

−→E Campo eléctrico V

m Ecuación 2.2−→g Aceleración de la gravedad m

s2d2−→rdt2

−→H Campo magnético A

m Ecuación 2.3

I Intensidad de corriente A∫

A−→J ·dA

J Densidad de corriente Am2

IA

l Longitud m DF

q Carga eléctrica C DF

~S Densidad de potencia Wm2 Re

~E× ~H

SAR Tasa de absorción específica W

kg Ecuación 2.7

T Temperatura K DF

t Tiempo s DF

V Volumen m3 ∫dr3

~v Velocidad ms (dr

dt ,rdυ

dt ,dzdt )

W Energía Nm Ecuación 2.38

10

Símbolos con letras griegas

Símbolo Término Unidad SI Definición

ε Permitividad Fm Ecuación 2.2

µ Permeabilidad Hm Ecuación 2.4

λ Longitud de onda m Ecuación 2.1

ΦE Flujo eléctrico V m∫~E ·d~A

ΦM Flujo magnético Wb∫~B ·d~A

ρ Densidad volumétrica de carga Cm3

QV

σ Conductividad Sm

1R

Abreviaturas

Abreviatura Término

DF Dimensión fundamental

FDT D Dominio de tiempo de diferencia

HFSS Simulador de estructura de alta frecuencia

ICNIRP Comisión Intenacional sobre la protección de radiaciones no-ionizantes

PML Caja perfectamente adaptada

RF Radiofrecuencia

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Capítulo 1

Introducción

El aumento desmedido en las tecnologías inalámbricas de telecomunicaciones en los últimos 20 años, hacontribuido a un mayor impacto en el nivel de la exposición no ocupacional de las personas a camposelectromagnéticos en la banda de radiofrecuencia (RF) comprendida desde los 100 kHz en adelante. Según laComisión Internacional sobre la protección de radiaciones no-ionizantes (ICNIRP) la exposición a camposelectromagnéticos en la banda de radiofrecuencia, puede generar una absorción significativa de energíadentro del cuerpo humano provocando un incremento en la temperatura [13].

Tradicionalmente, como forma de ratificación para la tasa de absorción especifica (SAR), se realiza unacombinación de experimentos termográficos y biológicos a través de los llamados “fantasmas” en cámarasanecoicas que consiste en aislar otras fuentes de radiación dejando como único efecto la presencia de unterminal móvil sobre el tejido. Dicho experimento tiene como fin valorar la distribución de energía de RFgenerada por diferentes teléfonos móviles utilizando particularmente un modelo de la cabeza de un adulto[19].

Con el fin de llevar a cabo dosimetría de radiación, en el 2002 se implementó un código numérico de dominiode tiempo de diferencia (FDTD) en una esfera y una rata. Los resultados de esta investigación ofrecen unaconfianza relativamente alta entre la medida de una cámara infrarroja, las series de Mie y la FDTD [12]. Noobstante, existe una gran incógnita sobre cómo validar que la medida realizada sea correcta garantizandoque el método no sea invasivo. Por lo que se lleva a cabo el uso de modelos computacionales, donde partesdel cuerpo son modeladas con sus propiedades dieléctricas junto con las fuentes de difusión para estimarmétricas de medición de la radiación [2] [1].

Este trabajo de grado construye computacionalmente un modelo no antropomórfico de la cabeza humana ylo valida con un modelo analítico para dosimetría de campos electromagnéticos en radiofrecuencia basadoen las series de Mie. Esta investigación tiene en cuenta la norma IEEE Std 1528 del 2013 [7], que especificalos protocolos para la medición de SAR en dispositivos que operan en la frecuencia de 300 MHz a 6 GHz.

El documento presenta en el capítulo 2 una recopilación del marco teórico con los temas más relevantes dela investigación. En el capítulo 3, se realiza la descripción general de los modelos propuestos, así como losdesarrollos realizados de cada una de las partes que componen. Finalmente, en el capítulo 4 se presentan los

12

resultados y análisis obtenidos, teniendo en cuenta la implementación de las series de Mie y la herramientade simulación HFSS.

1.1. Objetivo general y Objetivos específicos

1.1.1. Objetivo general

Validar un modelo de la cabeza humana para dosimetría de campos electromagnéticos en radiofrecuencia,basándose en las series de Mie y el software computacional HFSS.

1.1.2. Objetivos específicos

• Construir un modelo computacional de una esfera que simule una cabeza, para realizar una esti-mación del campo eléctrico y la tasa de absorción especifica (SAR) en el interior.

• Implementar un modelo analítico basándose en las series de Mie para aproximación de campoeléctrico disperso debido a una onda plana en el interior de una esfera.

• Validar el modelo computacional con el modelo analítico para la obtención de campo eléctrico ySAR.

1.2. Metodología

Este trabajo de grado permite validar un modelo no antropomórfico de la cabeza humana, basado en unaimplementación computacional y análitica. El flujo de operación de esta investigación se presenta en elsiguente diagrama:

13

Figura 1.1: Diagrama de flujo para la dosimetría de SAR

1.2.1. Concepción del modelo

Para la construcción de la geometría esférica que caracteriza la cabeza humana, se definió un radio de unalongitud de onda (0.33 m), propiedades dieléctricas que tienen en cuenta el promedio de las cortezas de lacabeza, exposición a la incidencia de una onda plana propagándose en un medio vacío a una frecuencia enla banda de las comunicaciones móviles (900 MHz, 1800 MHz y 2100 MHz). Dichas especificaciones seobservan en la siguiente tabla:

14

Elemento Permitividadrelativa

Permeabilidadrelativa

Conductividad[S/m]

Densidad demasa [Kg/m3]

Cerebro 49.4 1.0 12.6 1006

CSF - - - -

Dura 44.4 1.0 0.961 1014

Hueso 11.3 1.0 0.228 1208

Grasa 5.46 1.0 0.0510 811

Piel 41.4 1.0 0.867 1009

Promedio 30.392 1.0 2.9414 1009.6

Tabla 1.1: Caracteristicas dielécricas extraídas de [14] [17]

1.2.2. Implementación en HFSS

Simulación de la cabeza mediante esfera de radio 1λ con propiedades diélectricas (veáse tabla 1.1); expuestaa la incidencia de una onda plana propagandose en dirección z, encerrada por una región de aire con límitede radiación PML (capa perfectamente adaptada) a una frecuencia de 900 MHz.

1.2.3. Implementación en Matlab

Ejecución de las series de Mie (veáse sección 2.5) para la expansión de campo electromagnético de unaesfera de radio λ ante la incidencia de una onda plana a una frecuencia de 900 MHz. Teniendo en cuenta lascondiciones de frontera entre el medio vacío y el material dieléctrico de la esfera (ecuación 2.33 y 2.34).

15

Capítulo 2

Marco Teórico

2.1. Caracteristicas de la onda electromagnética

Las ondas producidas por un campo electromagnético viajan a la velocidad de la luz (3 · 108 m/s) y secaracterizan por su longitud de onda [20]. La longitud de onda (λ ) se define físicamente por la siguienteecuación:

λ =cf

(2.1)

donde c es la velocidad de propagación de la luz en el medio recorrido y f es la frecuencia de la onda (veásefigura 2.1).

Figura 2.1: Onda electromagnética en el vacío

2.2. Principios del electromagnétismo

James Clerk Maxwell descubrió que los principios básicos del electromagnetismo podían expresarse en tér-minos de las cuatro ecuaciones que hoy son conocidas como ecuaciones de Maxwell [20]. Estas ecuacionespueden expresarse en forma de integral y diferencial:

16

• Ley de Gauss de los campos eléctricos.∮~E ·d~A =

Qenc

ε0, ~5·~E =

ρ

ε0(2.2)

• Ley de Gauss de los campos magnéticos, que demuestra la inexistencia de monopolos magnéti-cos.

∮~B ·d~A = 0 , ~5·~B = 0 (2.3)

• La ley de Ampère, que incluye la corriente de desplazamiento.

∮~B ·d~l = µ0

(ic + ε0

dΦE

dt

)enc

, ~5×~B = µ0~J+µ0ε0∂~E∂ t

(2.4)

• Ley de Faraday. ∮~E ·d~l =−dΦB

dt, ~5×~E =−∂~B

∂ t(2.5)

Estas ecuaciones se aplican a los campos eléctricos y magnéticos en el vacío. Si está presente un material, lapermitividad ε0 y la permeabilidad µ0 del espacio libre se sustituyen por la permitividad ε y la permeabilidadµ del material [20].

2.3. Dosimetría

La dosimetría describe cuantitativamente la interacción del campo electromagnético con un material o untejido como consecuencia de su exposición a radiaciones.

La dosis absorbida se define como la energía absorbida por unidad de masa y depende de la naturalezay características del campo de radiación, del material o tejido irradiado y de los complejos procesos deinteracción materia-radiación [6]. En la banda de radiofrecuencia las medidas básicas de dosimetría son:

• Densidad de corriente (A/m2). Un campo de RF induce potenciales eléctricos sobre objetos con-ductores. Cuando una persona entra en contacto con este tipo de objetos, fluye una corriente a travésde su cuerpo. La cantidad de corriente depende tanto del objeto conductor como de la frecuenciade la onda electromagnética, de la intensidad del campo y de la impedancia de los tejidos humanos.Esta se mide para frecuencias entre los 3kHz y los 100kHz [18].

• Tasa de absorción específica (W/kg). Es la medida de la tasa de energía absorbida por un tejidobiológico debido a la exposición a una fuente de transmisión de RF. Se mide en el intervalo defrecuencias que va desde los 100kHz hasta los 10GHz.

• Densidad de potencia (W/m2). Esta describe el calentamiento de los tejidos para frecuenciassuperiores a los 10 GHz [18].

17

2.4. Tasa de absorción específica

Una medida de la tasa incremental de la energía absorbida o disipada por una masa con cierta densidadcontenida en un volumen es la denotada dosimetría de tasa de absorción específica [7]. Cuando el objeto dela medida de dosis absorbida es el cuerpo humano, se hace mención de Dosimetría Personal y su objetivo,es prevenir o limitar la aparición de efectos nocivos producidos por la emisión.

Como técnica actual para llevar a cabo la evaluación de SAR basada en la norma IEEE Std 1528 del 2013 [7],se utilizan “fantasmas” de características antropomórfica hechos de una fibra de vidrio de baja permitividady baja disipación llena de líquido homogéneo equivalente a los tejidos humanos. El SAR en el líquidoequivalente a las características del tejido, puede determinarse por la tasa de aumento de la temperatura opor el campo eléctrico, como se aprecia en la ecuación (2.6) y (2.7).

SARliquid =c4T4t

| t = 0 (2.6)

SARliquid =σ∣∣E2∣∣

ρ(2.7)

Donde c es la capacidad calórica específica, 4T es el cambio de temperatura, 4t es la duración de laexposición, σ es la conductividad eléctrica, |E| la magnitud RMS del vector de fuerza del campo eléctrico,ρ es la densidad de masa del medio.

2.5. Teoría de Lorentz Mie

Para expandir las componentes esféricas de una onda plana en términos de funciones esféricas. Es necesarioconsiderar el campo eléctrico de una onda plana incidente con polarización en x.

E inc = xE0e− jkz = xE0e− jkrcosθ (2.8)

En componentes esféricas puede ser escrito como [8]:

E incr = E0 sinθ cosφ e− jkrcosθ =

E0 cos φ

jkr∂

∂θe− jkrcosθ (2.9)

E incθ = E0 cosθ cosφ e− jkrcosθ (2.10)

E incφ =−E0 sinφ e− jkrcosθ (2.11)

Al sustituir la llamada ecuación de onda (2.12)

e− jkrcosθ =∞

∑n=0

j−n(2n+1) jn(kr)Pn(cosθ) (2.12)

18

que expresa una onda plana en términos de una superposición lineal de ondas esféricas sobre las ecuaciones(2.9), (2.10) y (2.11), se obtiene [8]:

E incr = E0

cosφ

jkr

∞

∑n=0

j−n(2n+1) jn(kr)dPn(cosθ)

dθ(2.13)

E incθ = E0 cosθ cosφ

∞

∑n=0

j−n(2n+1) jn(kr)Pn(cosθ) (2.14)

E incφ =−E0 sinφ

∞

∑n=0

j−n(2n+1) jn(kr)Pn(cosθ) (2.15)

En esta sección se describe el cálculo de los coeficientes en tal expansión [4].

Figura 2.2: Sistema de coordenadas polares esféricas centrado en una partícula esférica de radio a

El problema que ocupa es la dispersión de una onda plana polarizada en x, escrita en coordenadas polaresesféricas como

Ei = E0 · eikrcosθ ex (2.16)

donde

ex = sin θ cos φ er + cos θ cos φ eθ − sin φ eφ (2.17)

por una esfera arbitraria. El primer paso hacia la solución de este problema es expandir la ecuación (2.16)

19

en armónicos esféricos vectoriales:

Ei =∞

∑m=0

∞

∑n=m

(BemnMemn +BomnMomn +AemnMemn +AomnMomn) (2.18)

que, en forma de componente, pueden ser escritos [4]

Memn =−m

sin θsin mφ Pm

n (cos θ)zn(ρ) eθ − cos mφdPm

n (cos θ)

dθzn(ρ) eφ (2.19)

Momn =m

sin θcos mφ Pm

n (cos θ)zn(ρ) eθ − sin mφdPm

n (cos θ)

dθzn(ρ) eφ (2.20)

Nemn = zn(ρ)ρ

cos mφ n(n+1)Pmn (cos θ) er + cos (mφ)dPm

n (cos θ)dθ

1ρ

ddρ

[ρzn(ρ)] eθ

− m sin (mφ)Pm

n (cos θ)

sin θ

1ρ

ddρ

[ρzn(ρ)] eφ (2.21)

Nomn = zn(ρ)ρ

sin mφ n(n+1)Pmn (cos θ) er + sin (mφ)dPm

n (cos θ)dθ

1ρ

ddρ

[ρzn(ρ)] eθ

+ m cos (mφ)Pm

n (cos θ)

sin θ

1ρ

ddρ

[ρzn(ρ)] eφ (2.22)

Como sin mφ es ortogonal a cos m′ φ para todo m y m′ se cumple que Memn y Momn son ortogonalescuando

∫ 2π

0

∫π

0Mem′n′ ·Momnsin θ dθ dφ = 0, (todo m,m′,n,n′) (2.23)

Similarmente, (Nomn, Nemn), (Memn, Nemn) son conjuntos de funciones mutuamente ortogonales. Las propie-dades de ortogonalidad de cos mφ y sin mφ implica que todos los vectores armónicos de diferente orden mson mutuamente ortogonales. Para demostrar que las funciones (Memn, Nomn) y (Nemn, Momn) son ortogona-les, se debe demostrar que la integral

m∫

π

0(Pm

ndPm

n′

dθ+Pm

n′dPm

n

dθ)dθ = Pm

n Pmn′ |π0 (2.24)

desaparece para todos los n y n′. La función asociada de Legendre Pmn es relacionada para la m derivada del

polinomio de Legrendre correspondiente Pn,

Pmn (µ) = (1−µ

2)m2

dmPn(µ)

dµm , (2.25)

donde µ = cos θ . Además, Pmn desvanece para θ=0 y θ=π excepto cuando m = 0. Por lo tanto, (2.24)

desvanece para todo m,n y n′. La prueba de las restantes relaciones de ortogonalidad [4]

∫ 2π

0

∫π

0Memn ·Memn′sin θ dθ dφ =

∫ 2π

0

∫π

0Momn ·Momn′sin θ dθ dφ = 0 (2.26)

∫ 2π

0

∫π

0Nemn ·Nemn′sin θdθdφ =

∫ 2π

0

∫π

0Nomn ·Nomn′sin θdθdφ = 0 (2.27)

20

donde n 6= n′ y m 6= 0, requiere demostrar que∫π

0(dPm

n

dθ

dPmn′

dθ+m2 Pm

n Pmn′

sin2θ) sinθ dθ = 0 (2.28)

Debido a que tanto Pmn como Pm

n′ satisfacen

1sinθ

ddθ

(sinθdΘ

dθ)+

[n(n+1)− m2

sin2θΘ = 0

](2.29)

y realizando un poco de manipulación, se obtiene

2 sin θ(dPm

n

dθ

dPmn′

dθ+m2 Pm

n Pmn′

sin2θ) = 2n(n+1)Pm

n Pmn′ sinθ +

ddθ

(sinθdPm

n′

dθPm

n + sinθdPm

n

dθPm

n′ ) (2.30)

junto con las relaciones de ortogonalidad para el Pmn , (2.28) sigue. Cuando m = 0, Nomn y Momn desapare-

cen; la ortogonalidad de Memn y Nemn cuando m = 0 también se sigue de (2.28) y (2.30). Posteriormente,con desarrollo matemático se agrega el superíndice (1) a los ármonicos esféricos vectoriales, para el cualla dependencia radial de las funciones generadoras se específica por la función esférica de Bessel jn. Laexpansión deseada de una onda plana en armónicos esféricos se presenta en la siguiente ecuación:

Ei = E0

∞

∑n=1

in2n+1

n(n+1)(M(1)

o1n− iN(1)e1n) (2.31)

Suponga que una onda plana con polarización vertical x incide sobre una esfera isotrópica homogénea deradio a (fig. 2.2). El campo eléctrico incidente puede expandirse en una serie infinita de vectores esféricosarmónicos. El correspondiente campo magnético incidente (2.32) se obtiene de la ecuación (2.31):

Hi =−kωµ

E0

∞

∑n=1

in2n+1

n(n+1)(M(1)

e1n− iN(1)o1n) (2.32)

También se puede expandir el campo electromagnético disperso (Es,Hs) y el campo (E1,H1) dentro de laesfera en armónicos esféricos vectoriales. En el límite entre la esfera y el medio circundante se imponen lascondiciones (2.33) y (2.34):

[E2(x)−E1(x)]× n = 0 , [H2(x)−H1(x)]× n = 0 x en S (2.33)

donde n es la normal dirigida hacia afuera de la superficie S de la partícula. Las condiciones de contorno(2.33) son el requisito de que las componentes tangenciales de E y H sean continuas a través de un límiteque separa medios con diferentes propiedades [4].

(Ei + Es − E1) × er = (Hi + Hs − H1) × er = 0 (2.34)

Las condiciones de contorno (2.34), la ortogonalidad de los armónicos vectoriales, y la forma de la expansióndel campo incidente dictan las formas de expansiones para el campo disperso y el campo dentro de la esfera:los coeficientes en estas expansiones desaparecen para todo m 6= 1. La finitud en el origen requiere que setome Jn(k1r), donde k1 es el número de onda en la esfera, como las funciones de Bessel esféricas apropiadasen las funciones generadoras para los armónicos vectoriales dentro de la esfera. Por tanto, la expansión del

21

campo (E1, H1) es

E1 =∞

∑n=1

En( cn M(1)o1n− idn N(1)

e1n) , H1 =−k1

ωµ1

∞

∑n=1

En( dn M(1)e1n + icn N(1)

o1n) (2.35)

donde En = inE0(2n+1)/n(n+1) y µ1 es la permeabilidad de la esfera. Por tanto, la expansión del campodisperso es

Es =∞

∑n=1

En( ian N(3)e1n−bn M(3)

o1n) , Hs =k

ωµ

∞

∑n=1

En( ibn N(3)o1n +an M(3)

e1n) (2.36)

donde, an y bn son los coeficientes de la serie de fourier. También se agrega el superíndice (3) a los armó-nicos esféricos vectoriales para los cuales la dependencia radial de las funciones generadoras se especificamediante h1

n.

2.6. Sección Transversal del Radar

El valor de la sección transversal del radar (RCS, por sus siglas en inglés), caracteriza la propiedad dedispersión de un objeto. Por tanto, es una medida de cuán detectable es un objeto por radar [5].

Para su cálculo es necesario considerar la extinción por una sola partícula arbitraria incrustada en un mediono absorbente (no necesariamente en vacío) y la iluminación por una onda plana (Fig. 2.3). Se construye unaesfera imaginaria de radio r alrededor de la partícula; la velocidad neta a la que la energía electromagnéticaatraviesa la superficie A de esta esfera es

Wa =−∫

AS · er dA (2.37)

Figura 2.3: Extinción por una colección de partículas

Si Wa>0 (si Wa es negativo se está creando energía dentro de la esfera, una posibilidad que se excluye dela consideración), la energía se absorbe dentro de la esfera. Pero el medio es no absorbente, lo que implicaque Wa, es la tasa a cuya energía es absorbida por la partícula. Wa puede escribirse como la suma de trestérminos: Wa = Wi - Ws + Wext , donde

Wi =−∫

ASi · er dA , Ws =

∫A

Ss · er dA , Wext =−∫

ASext · er dA (2.38)

22

Figura 2.4: Extinción por una colección de partículas

Wi desaparece de forma idéntica para un medio no absorbente; Ws es la tasa a la que la energía se dispersapor la superficie A. Por lo tanto, Wext es solo la suma de tasa de absorción de energía y tasa de dispersión deenergía:

Wext = Wa + Ws (2.39)

Por conveniencia, se toma el campo eléctrico incidente EI = E ex para ser polarizado en x. Debido a que elmedio no absorbe, Wa, es independiente del radio r de la esfera imaginaria. Por lo tanto, se puede elegir r losuficientemente grande como para estar en la región de campo lejano, donde

Es ∼eik(r−z)

−ikr×E, Hs ∼

kωµ

er×E (2.40)

y er ·X = 0. Como recordatorio de que la luz incidente esta polarizada en x. El simbolo X, se utiliza para laamplitud de dispersión vectorial, que está relacionada para la (escalar) amplitud de elementos de matriz dedispersión S j.

X = (S2 cosφ +S3 sinφ) ˆe‖s + (S4 cosφ +S1 sinφ) ˆe⊥s (2.41)

Después de una cantidad considerable de manipulación algebraica que se puede revisar en detalle en [5], seobtiene

Wext =−k

2ωµ|E|2 Re

e−ikr

ikr

∫A

eikzex ·X∗dA − eikr

ikr

∫A

e−ikzcos θ ey ·X+eikr

ikr

∫A

e−ikzsin θ cos φ ez ·X dA

(2.42)

La ecuación (2.42) contiene integrales de la forma∫ 1−1 eikrµ f (µ) dµ ,

donde µ = cos θ , que se puede integrar por partes para producir

eikr f (1)−e−ikr f (−1)ikr +O

( 1k2r2

),

23

siempre que d f/dµ esta ligado. El valor límite de Wext como kr→ ∞ es, por lo tanto

Wext = Ii4π

k2 Re(X · ex)θ=0

donde Ii es la irradiancia incidente. El radio de Wext para Ii es una cantidad con dimensiones de área:

Cext =Wext

Ii=

4π

k2 Re(X · ex)θ=0 (2.43)

De (2.39) se deduce que la sección transversal de extinción Cext puede escribirse como la suma de la seccióntransversal de absorción Cabs y la sección transversal de dispersión Csca:

Cext =Cabs +Csca, (2.44)

donde Cabs=Wabs/Ii y Csca=Ws/Ii. De la ecuación (2.33) y (2.36) se tiene que:

Csca =∫ 2π

0

∫π

0

|X|2

k2 sin θ dθ dφ =∫

4π

|X|2

k2 dΩ (2.45)

2.7. Estándares

• IEEE Std 1528 del 2013: Indica los parámetros relevantes para medir la tasa de absorción espe-cifica en modelo fantasma de la cabeza humana.

• BS IEC 62232:2011: Establece el valor del campo eléctrico y el SAR impactado a seres humanospor parte de estaciones base.

• IEEE Std C95.1-2019: Proporciona los niveles de seguridad con respecto a la exposición humanaa campos electromagnéticos

2.8. Simuladores

2.8.1. HFSS

El software HFSS realiza sus cálculos mediante el Método de Elementos Finitos (FEM). Siendo esta unagran herramienta para resolver ecuaciones diferenciales, ya que, divide todo el espacio que encierra el pro-blema en conjuntos de pequeñas regiones; hallando el campo de cada subregión o elemento con una función,resolviendo su sistema de ecuaciones.

Este simulador divide automáticamente el modelo en un elevado número de tetraedros, geometría de cuatrocaras, donde cada una de ellas es un triángulo equilátero, que engloba la malla de elementos finitos. Ladiscretización de este método puede observarse en la figura 2.5.

De HFSS se resalta que es una excelente herramienta tridimensional, que comprende el estudio y simula-ción de un amplio espectro de estructuras electromagnéticas que pueden alcanzar dimensiones de micrasy metros. Adicionalmente, gracias al método matemático que utiliza, la precisión en el cálculo es alta. Noobstante, prevé la necesidad de un considerable consumo de memoria y tiempo de simulación.

24

Figura 2.5: Discretización por FEM

2.8.2. Matlab

La plataforma Matlab otorga un entorno de desarrollo integrado, en el que se evidencia la manipulación dematrices, representación de datos y funciones. Adicionalmente, la implementación de algoritmos, creaciónde interfaces de usuarios y la comunicación con programas en otros lenguajes.

Se puede utilizar en las plataformas Windows, Linux, MacOS y Unix. Los archivos, tipo script, se generancon una extensión .m propia de Matlab y pueden ejecutarse tanto en el entorno de la herramienta, como deforma independiente.

25

Capítulo 3

Desarrollo

3.1. Descripción general y Diagrama en bloques

El siguiente diagrama presenta los bloques que explican de forma detallada la solución de este proyecto.

Figura 3.1: Diagrama en bloques general para la dosimetría de SAR

Este proceso comienza con la incidencia de una onda plana propagándose en un medio vacío sobre unvolumen esférico con propiedades dieléctricas y conductivas, donde se definen las condiciones de fronteraentre el medio vacío y el material dieléctrico.

Dicha geometría tiene como radio una longitud de onda, propiedades dieléctricas similares a la de los tejidosde la cabeza, con la finalidad de emular las características antropomórficas humanas con un modelo menoscomplejo, teniendo como consecuencia tiempos de simulación más bajos.

Una vez definida las características estructurales del objeto en la banda de radiofrecuencia, se tienen doseventos independientes: el computacional haciendo uso de la herramienta HFSS y una solución de expansiónde series de Mie en Matlab.

El modelo computacional se llevó a cabo en la herramienta HFSS, por lo expuesto, en la sección 2.8.1.Adicionalmente, es pertinente aclarar que se tiene como criterio para la escogencia de esta herramienta,la complejidad y costo computacional que implica la estructura desarrollada. Puesto que, frente a otrossoftwares esta herramienta presenta un excelente post-procesado para la visualización de los campos elec-tromagnéticos.

26

La implementación análitica se realizó en base a MatScat un paquete de Matlab que contiene diferentessoluciones para la dispersión de radiación electromagnética por una esfera (teoría de Mie). No obstante, seejecutaron las adaptaciones necesarias para el escenario requerido en este proyecto.

Por último, se valida la implementación del modelo analítico con la expansión de una onda electromagnéticaplana a partir de las series de Mie, considerando un mayor número de términos de expansión (funcionesesféricas) para evaluar la convergencia de la serie sobre la representación de una onda plana; y para elmodelo computacional se comprueban los resultados mediante el parámetro Bistatic Radar Cross Section.

3.2. Modelo análitico: expansión en series de Mie

La solución matemática que sustenta la Teoría de Lorentz Mie se encuentra expuesta en la sección 2.5. Estateoría utiliza los polinomios de Legendre y las funciones esféricas de Bessel. Por tanto, el primer paso fuecomprobar el comportamiento gráfico de cada función con el esperado teóricamente, como se presenta acontinuación:

0 2 4 6 8 10 12 14-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

J0(x)

J1(x)

J2(x)

J3(x)

(a) Ricatti-Bessel Jn (experimental) (b) Ricatti-Bessel Jn extraído de [9])

Figura 3.2: Comporamiento gráfico función Ricatti-Bessel

0 2 4 6 8 10 12 14-0.5

0

0.5

1

j0(x)

j1(x)

j2(x)

j3(x)

(a) Esférica Bessel jn (experimental) (b) Esférica Bessel jn extraído de [9])

Figura 3.3: Comporamiento gráfico función esférica Bessel

27

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.5

0

0.5

1

P0(x)

P1(x)

P2(x)

P3(x)

P4(x)

P5(x)

(a) Polinomio de Legendre Pn (experimental) (b) Polinomio de Legendre Pn extraído de[9])

Figura 3.4: Comporamiento gráfico polinomio de Legendre

Una vez se validó el comportamiento de las funciones especiales para varios grados. El siguiente paso fuehacer un algoritmo (anexo A.1) que expandiera las componentes esféricas de una onda plana en términosde las funciones esféricas obteniendo la expansión para una onda plana expuesta en la sección 2.5. Estealgoritmo tiene el comportamiento descrito en la figura 3.5.

Figura 3.5: Diagrama de flujo de expansión para una onda plana en funciones esféricas

28

Luego, con la expansión de onda plana obtenida en el paso anterior, se desarrolló el cálculo del campoelectromagnético disperso debido a la incidencia de esta sobre una esfera conductora de radio a, comose presenta en la figura 2.2 (anexo A.4). No obstante, esta implementación no converge a los resultadosteóricos expuestos en [10]. Por lo cual, se decidió evaluar el desarrollo análitico realizado por otros autores;encontrando el paquete MatScat [16] [15], que expone el cálculo de los campos electromágneticos dispersosutilizando las series de Mie para el caso de cilindro y esfera (estratificadas).

(a) Teórico

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Campo magnético disperso

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b) Experimental

Figura 3.6: Campo magnético disperso por una esfera conductora con un radio de 1λ en el plano xz

Finalmente, con las pruebas realizadas y la adapatación del paquete MatScat para la solución requeridaen esta investigación. El código implementado satisface el caso de una esfera de radio a, con propiedadesdieléctricas y conductivas incidida por una onda plana polarizada en z en la banda de radiofrecuencia;presentando el siguiente flujo de operación:

Figura 3.7: Etapas de simulación

3.2.1. Preprocesamiento

En este primer bloque, se definen las características específicas de la geometría, tales como: radio, propie-dades dieléctricas y conductivas. También, el índice de refracción del material y la frecuencia de trabajo.

29

Figura 3.8: Declaración de variables

Se escoge el número de puntos y el tamaño de la cuadrícula, donde se visualizarán posteriormente losresultados obtenidos.

Figura 3.9: Mallado

Se establece el sistema de coordenas en el que se desea trabajar, el comportamiento de simulación y el planosobre el cual se cálculan los campos electomagnéticos. En este caso debido a la dirección de propagaciónde la onda plana en z, y la dirección del campo eléctrico, el plano escogido para visualizar los resultados esel xz.

Figura 3.10: Condiciones de simulación

3.2.2. Procesamiento

Se invoca la función calcmie (ver anexo A.3) para obtener el resultado de los campos electromágneticos, ladensidad de potencia y el RCS. Esta de manera interna cálcula los coeficientes de la Serie de Fourier An, Bn,la expansión de una onda plana en ármonicos esféricos vectoriales y los términos de la Sección Transversaldel Radar.

30

Figura 3.11: Resultado de los campos

3.2.3. Postprocesamiento

Por último, se visualizan el campo eléctrico y magnético para cada una de sus componentes, con el sistemade coordenadas escogido: cartesiano o esférico. No obstante, es importante resaltar que dependiendo delvalor de t f f lag el campo calculado será el total o el disperso; en este caso el campo obtenido es el dispersoen coordenadas cartesianas.

Figura 3.12: Campos electromagnéticos

Con este código también se obtiene la densidad de potencia, la Sección Transversal del Radar en extinción,absorción y dispersión, mediante el desarrollo matemático expuesto en la sección 2.6.

Figura 3.13: Vector de Poynting

31

Figura 3.14: RCS

3.3. Modelo computacional

La herramienta de simulación HFSS utiliza para el cálculo de la onda plana incidente la siguiente ecuación:

Einc = E0e− jk0(k·r) (3.1)

donde, Einc es la es la onda incidente, E0 es el vector de polarización del campo eléctrico, k0 es el númerode ondas del espacio libre, que es igual a

√µ0τ0; k es el vector unitario de propagación y r es la posición

del vector igual xx+ yy+ zz [3].

Adicionalmente, el SAR local se calcula utilizando la ecuación 3.2 y en cada punto de malla realiza unasuperposición. HFSS interpola los valores de SAR entre los puntos de malla a traves de la trama.

SAR =σ · |E|2

ρm(3.2)

donde σ es la conductividad eléctrica, E es el campo eléctrico y ρ es la densidad del material. Finalmente,la implementación realizada cumple con las siguientes etapas de simulación:

Figura 3.15: Diagrama de estados en la simulación

3.3.1. Modelado

Inicialmente, se construye el volumen esférico que emula la cabeza humana con radio de 1λ para unafrecuencia de 900 MHz, el plano sobre el cual se visualizarán posteriormente los campos electromagnéticosy la región que encierra el modelo.

32

Figura 3.16: Modelo computacional no antropomórfico de la cabeza humana cubierta por región de aire

3.3.2. Fronteras

Una vez establecida la arquitectura a simular, se estableció el material de la geometría teniendo en cuentalas especificaciones de la tabla 1.1 y el medio vacío de la región que la rodea.

Figura 3.17: Caracteristicas del material de la esfera

3.3.3. Excitación

Luego, se establece el sistema de coordenadas que puede ser: esférico, cilíndrico o cartesiano; el vector depolarización del campo eléctrico (1V/m) y la dirección de propagación de la onda plana incidente.

33

Figura 3.18: (a) Vector de polarización y dirección de propagación (b) Coordenadas y ubicación de la excitación

3.3.4. Configuración de la solución

Se específica la frecuencia dentro de la banda de radiofrecuencia y el número de pasos del barrido.

Figura 3.19: Frecuencia de trabajo

3.3.5. Resolución

Se configura el setup de análisis con la resolución que por defecto sugiere el programa. Puesto que, alaumentar el número de tetraedros que dividen el modelo los tiempos de simulación aumentan significanti-vamente.

34

Figura 3.20: Refinamiento de solución

3.3.6. Postprocesado

Las simulaciones presentadas en la sección 4.2, superan las 12 horas en tiempos de simulación y un reque-rimiento en RAM mayor a 8 GB. No obstante, este escenario se debe no sólo a la resolución escogida, sinotambién a la manera en la que este software computacional hace el cálculo de SAR.

35

Capítulo 4

Análisis y Resultados

4.1. Resultados implementación en Matlab

Como se mencionó anteriormente, se implementó el paquete MatScat que contiene la Teoría de LorentzMie. Por lo cual, en la figura 4.1 se obtiene el campo electromagnético disperso para cada una de suscomponentes cartesianas, describiendo el comportamiento de una esfera dieléctrica con permitividad de2.56, que es incidida por una onda plana que se propaga en dirección z, con una polarización lineal delcampo eléctrico en la dirección x. El plano sobre el que se esta visualizando este párametro es el xz.

La onda plana incidente no posee componente en y, por tanto, el campo eléctrico disperso en esta compo-nente es nulo. Adicionalmente, su componente en x presenta mayor intensidad en el sentido opuesto a laincidencia de la onda, este comportamiento puede deberse al índice de refracción que presenta el mediodentro de la esfera.

Ex

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

x [m]

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

z [

m]

Ey

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

x [m]

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

z [

m]

Ez

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

x [m]

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

z [

m]

Hx

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

x [m]

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

z [

m]

Hy

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

x [m]

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

z [

m]

Hz

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

x [m]

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

z [

m]

Plano

Esfera

E

k

x

z

Figura 4.1: Campo electromagnético disperso para una frecuencia de 900 MHz

Con este portafolio, se obtuvo gráficamente la Sección Transversal del Radar en extinción, absorción y dis-persión (figura 4.2). También, el tiempo de simulación del paquete MatScat, los coeficientes y la eficienciade las componentes del RCS (figura 4.3)

36

0 50 100 150

Scattering angle [°]

10-2

10-1

100

101

Diffe

ren

tia

l sca

tte

rin

g c

ross s

ectio

n [

m]

parallel

0 50 100 150

Scattering angle [°]

10-2

10-1

100

101

Diffe

ren

tia

l sca

tte

rin

g c

ross s

ectio

n [

m]

perpendicular

0 50 100 150

Scattering angle [°]

10-1

100

101

Diffe

ren

tia

l sca

tte

rin

g c

ross s

ectio

n [

m]

unpolarised

Figura 4.2: Componentes del RCS para radio de 1λ , permitividad de 2.56 y frecuencia de 900 MHz

Figura 4.3: Tiempo de simulación, coeficientes y eficiencia del RCS

El parallel RCS obtenido en la figura 4.2 y el resultado de la figura 4.4, es la segunda validación entre laimplementación realizada en Matlab y la teoría expuesta en [11].

37

Figura 4.4: Radar Cross Section para radio de 1λ , permitividad de 2.56 y frecuencia de 900 MHz

4.2. Resultados modelo en HFSS

La figura 4.5 expone la intensidad del campo eléctrico disperso ante la incidencia de una onda plana sobrela esfera dieléctrica con permitividad de 2.56, para una frecuencia de 900 MHz.

Figura 4.5: Campo eléctrico disperso

Después en la figura 4.6 se obtiene la tasa de absorción específica sobre el volumen esférico y el plano xz.

38

Figura 4.6: (a) SAR sobre el modelo no antropomórfico (b) SAR sobre el plano

Y finalmente, se extrajó el reporte del Bistatic Radar Cross Section para una frecuencia de 900 MHz. Conel objetivo de validar la Sección Transversal del Radar calculada por el portafolio MatScat y el modelocomputacional.

Figura 4.7: RCS

4.3. Análisis y valoración de error

En la figura 3.5, se expuso el diagrama de flujo que sustenta la expansión de las componentes esféricas deuna onda plana en términos de las funciones esféricas. Con lo cual, se obtuvo como resultado la validacióndel modelo analítico considerando un mayor número de términos de expansión y la teoría expuesta en lasección 2.5.

39

Figura 4.8: Expansión de una onda plana extraído de [8]

Los gráficos muestran la parte real del lado derecho de la ecuación 2.12, cuando la sumatoria se evalúa den = 0 hasta M. Claramente, la onda plana se forma en una región de 10λ x 10λ aumentando el número detérminos en la suma.

40

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a) M=1

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b) M=5

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(c) M=10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(d) M=20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(e) M=40

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(f) M=80

Figura 4.9: Expansión de una onda plana Implementación de expansión de una onda plana realizada en Matlab

41

Para la validación del modelo computacional se comprobó el resultado del parámetro Bistatic Radar CrossSection de HFSS y la componente parallel obtenida del portafolio MatScat. Sin embargo, HFSS define elRCS, como:

σ3D(θ φ) = Limr→∞

4πr2 |Esc|2

|E inc|2

(4.1)

Y el paquete MatScat calcula este parámetro según lo expuesto en la sección 2.6. Por lo cual, es necesariodestacar que en campo lejano el RCS es independiente de la distancia r y de la magnitud del campo incidente,es decir, que este dependerá únicamente del ángulo y el número de onda.

Adicionalmente, HFSS traza el RCS en escala logarítmica, normalizando este con λ 2 [m2]; de modo que lacantidad trazada es 10 · log10(σ3D/λ 2), cuya unidad por lo general, se etiqueta como dB.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Ángulo [°]

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

Bis

tatic

Rad

ar C

ross

Sec

tion

[dB

]

FEMMIE

Figura 4.10: Validación RCS

Para la validación de la magnitud del campo eléctrico disperso, el primer paso, fue evaluar este párametro encampo lejano incluyendo y excluyendo su componente radial. No obstante, debido al costo computacionalrequerido por la herramienta HFSS fue necesario modificar la frecuencia de trabajo de 900 MHz a 2.1 GHz,con el fin, de disminuir el radio de la esfera a 0.143m (1λ ); para luego evaluar el campo eléctrico dispersosobre una curva circular de radio 10λ (1.43m) y con un número de aproximadamente 1072 tetraedros, comose muestra en la figura 4.11.

42

Figura 4.11: Modelo computacional: esfera de radio 0.143m rodeada por curva circular de 1.43m

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Ángulo [°]

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Mag

nitu

d ca

mpo

elé

ctric

o di

sper

so [V

/m]

MIEFEM

(a) Con componente radial

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Ángulo [°]

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Mag

nitu

d ca

mpo

elé

ctric

o di

sper

so [V

/m]

MIEFEM

(b) Sin componente radial

Figura 4.12: Campo eléctrico disperso

43

Finalmente, se validó el resultado de la magnitud del campo eléctrico disperso y SAR en función de thetapara ambos modelos: computacional y analítico. Es importante destacar que los resultados obtenidos en lafigura 4.14 y 4.15, fueron calculados sobre una curva circular de radio 0.23m contenida por la esfera deradio 0.33m (incluyendo componente radial) y con un número de aproximadamente 1008 tetraedros, parauna frecuencia de 900 MHz (veáse figura 4.13).

Figura 4.13: Modelo computacional: esfera de radio 0.33m con curva circular de 0.23m

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Ángulo [°]

0

1

2

3

4

5

6

7

Mag

nitu

d ca

mpo

elé

ctric

o di

sper

so [V

/m]

MIEFEM

Figura 4.14: Validación Campo eléctrico disperso

44

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Ángulo [°]

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

SA

R [W

/kg]

MIEFEM

Figura 4.15: Validación SAR

Los resultados de las figuras 4.14 y 4.15, presentan aparentemente la misma tendencia de aumento en lacomponente theta, más no es exactamente el mismo comportamiento. Por lo cual, se deduce que dichadiscrepancia puede deberse a la resolución escogida en la herramienta computacional. No obstante, los altosrecursos en RAM y tiempo de simulación que la herramienta HFSS demanda no permitieron llegar a dichaconvergencia.

45

Capítulo 5

Conclusiones

5.1. Conclusiones

La motivación de realizar dosimetría de campos electromagnéticos en radiofrecuencia, surgió de la necesi-dad de evaluar el impacto sobre el cuerpo humano debido a las tecnologías, para complementar los estudiosrealizados por organizaciones como la ICNIRP, la OMS y otras instituciones. Con ello, apoyar en modelosque no generan efectos adversos sobre el ser humano y evitan poner en riesgo el desarrollo ambiental sanoy sostenible.

Los resultados de esta investigación permitieron como primer logro la validación de un modelo analitíco ycomputacional con la adquisición de una base de datos gráfica y númerica. Lo cual por medio de un código ymodelo estructural, permite detallar características relevantes sobre el comportamiento de la cabeza humana.

Por otro lado, es importante destacar que los modelos desarrollados no son complejos y que por ende losrecursos utilizados no son de gran impacto económico. También, es relevante mencionar que para una mejorresolución y un error más bajo de la herramienta HFSS es indispensable un computador con capacidad enRAM mayor a 8 GB.

Al evaluar y comparar los tiempos de simulación de ambas herramientas HFSS y Matlab, se puede destacarque los resultados obtenidos con el mayor tiempo para cada caso respectivamente fue de 12 horas y 5minutos.

46

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[10] JIN, Jian M.: Theory and Computation of Electromagnetic Fields. vol 1 (2015), Nr. 2, p. 347–352

[11] JIN, Jian M.: Theory and Computation of Electromagnetic Fields. vol 1 (2015), Nr. 2, p. 352–357

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47

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[17] STANKOVIC, V. ; JOVANOVIC, D. ; KRSTIC, D. ; CVETKOVIC, N.: Electric field distribution and SARin human head from mobile phones. En: 2015 9th International Symposium on Advanced Topics inElectrical Engineering (ATEE), 2015, p. 392–397

[18] DE REGULACIÓN DE TELECOMUNICACIONES, Comisión: Proyecto de marco regulatorio sobre lími-tes de la exposición humana a campos electromagnéticos en servicios de telecomunicaciones. (2000),p. 8–18

[19] Y. OKANO, I. I. ; TAKAHASHI, M.: The SAR Evaluation Method by a Combination of ThermographicExperiments and Biological. 2000. – 2094–2103 p.

[20] YOUNG, Hugh D. y Roger A. F.: Física universitaria con física moderna. vol 2 (2009), Nr. 12, p.1093–1120

48

Apéndice A

Anexo

A.1. Expansión de una onda plana

1 c l c ;2 c l e a r a l l ;3

4 %d e c l a r a c i o n de v a r i a b l e s5 f =3 e8 ; %f r e c u e n c i a6 c=3 e8 ; % v e l o c i d a d de l a l u z7 lambda=c / f ; %l o n g i t u d8 suma =0; %s u m a t o r i a9 M=80; %orden

10 K= 2* pi / lambda ; %propagac ion11

12 %Malla x , y , z13 x=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;14 y=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;15 z=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;16 [X, Y, Z]= meshgrid ( x , y , z ) ;17 [ t h e t a , phi , R] = car t2sph (X, Y, Z ) ; %cambio de coordenadas18

19 suma =0;20 f o r n =0:M21

22 v a l = ( i ^( − n ) ) ;23 j f u n c = b e s s e l j ( n ,K*R) ; %f u n c i o n b e s s e l24 pfunc = l e g e n d r e P ( n , cos ( t h e t a ) ) ; %f u n c i o n l e g e n d r e25 suma=suma +( v a l *(2* n +1) . * j f u n c . * p func ) ; %s u m a t o r i a c o m p l e t a26 end27

28 sumaR= r e a l ( suma ) ; %p a r t e r e a l de l a s u m a t o r i a29 c o n t =0 ; %c o n t a d o r30

31 %v a l o r e s donde p h i =032 f o r i =1 : l e n g t h ( p h i )

49

33 f o r j =1 : l e n g t h ( p h i )34 f o r h =1: l e n g t h ( p h i )35 d= p h i ( i , j , h ) ;36 i f ( d == 0 )37 c o n t = c o n t +1;38 a ( c o n t ) = i ;39 b ( c o n t ) = j ;40 g ( c o n t ) = h ;41 end42 end43 end44 end45

46 % para que l o s v a l o r e s no se r e p i t a n47 a1= u n iq ue ( a , ’ s t a b l e ’ ) ;48 b1= un iq ue ( b , ’ s t a b l e ’ ) ;49 g1= un iq ue ( g , ’ s t a b l e ’ ) ;50

51 %para que se ordenen l o s v a l o r e s52 a1= reshape ( a1 , [ 2 1 , 1 ] ) ;53 b1= reshape ( b1 , [ 2 1 , 1 ] ) ;54

55 %se e v a l u a l o s v a l o r e s e n c o n t r a d o s de l o s s u b i n d i c e s en l a s u m a t o r i a56 p=sumaR ( a1 , b1 , 1 1 ) ;57

58 %R e s u l t a d o s g r a f i c o s59 pc o l or ( p ’ ) ;60 shading i n t e r p ;61 l im = c a x i s ;62 c a x i s ( [ −1 1 ] )63 colormap ( j e t ) ;64 t i t l e ( ’ Onda ’ )65 c o l o r b a r ;

A.2. Teoría de las series de Mie

1

2%D e f i n i c i o n de v a r i a b l e s3 cond = 2 . 9 4 ; %c o n d u c t i v i d a d4 d e n s i d a d =1000; %d e n s i d a d d e masa5 d i a = 0 . 6 6 ; %d i a m e t r o de l a e s f e r a6 ns = 5 . 5 1 2 8 9 ; %i n d i c e de r e f r a c c i o n de l a e s f e r a ( c o m p l e j o )7 nm = 1 . ; % i n d i c e de r e f r a c c i o n ( r e a l )8 lambda = d i a / 2 . ; %l o n g i t u d de onda9 nang = 100 ; %numero de a n g u l o s para e v a l u a r campo l e j a n o

10 conv = 1 ; %f a c t o r de c o n v e r g e n c i a

50

11 t f _ f l a g = f a l s e ; %campo t o t a l o d i s p e r s o12 c c _ f l a g = t r u e ; %coordenadas e s f e r i c a s o c a r t e s i a n a s13 r a d = d i a / 2 . ; %r a d i o de l a e s f e r a14

15 sy = 2* d i a ( end ) ; %g r i l l a en x16 sz = 2* d i a ( end ) ; %g r i l l a en y17 Ny = 100 ; %numero de p u n t o s de l a g r i l l a x18 Nz = 100 ; %numero de p u n t o s de l a g r i l l a y19 d e l t a y = sy / Ny ;20 d e l t a z = sz / Nz ;21 ny = ( ( 0 : ( Ny − 1) ) − Ny / 2 . ) * d e l t a y ;22 %v e n t a n a de v i s u a l i z a c i o n23 nz = ( ( 0 : ( Nz − 1) ) − Nz / 2 . ) * d e l t a z ;24

25 %[ yf , z f ] = n d g r i d ( ny , nz ) ; %plano xz26 %x f=z e r o s ( s i z e ( z f ) ) ;27

28 n _ s t e p =50; %c i r c u l o xz29 R= l i n s p a c e ( 0 . 2 1 2 , 0 . 4 1 , 2 * n _ s t e p ) ;30 t h e t a a = l i n s p a c e ( 0 , 2 * pi , 2 * n _ s t e p ) ;31 [ R1 t h e t a a 1 ]= meshgrid (R , t h e t a a ) ;32 xf = R1 . * cos ( t h e t a a 1 ) ;33 z f = R1 . * s i n ( t h e t a a 1 ) ;34 yf = z e r o s ( l e n g t h ( z f ) ) ;35

36 % C a l c u l o de campo e l e c t r i c o , d e n s i d a d de p o t e n c i a y RCS37 t i c38 [ E , H, P , S , C , ang , t h e t a , phi , r a d ] = c a l c m i e _ n f ( d i a / 2 . , ns , nm , . . .39 lambda , xf , yf , zf , . . .40 ’ C o n v e r g e n c e F a c t o r ’ , conv , . . .41 ’ T o t a l F i e l d ’ , t f _ f l a g , . . .42 ’ C a r t e s i a n ’ , c c _ f l a g , . . .43 ’ nang ’ , nang ) ;44 t o c45

46 [ Econjugado ]= conj ( E ) ;47 [ t h e t a 1 1 , phi11 , r ad11 ] = x c a r t 2 s p h ( xf , yf , z f ) ; %T r a n s f o r m a c i o n

coordenada48

49 magE22= s q r t ( E ( : , : , 1 ) . * conj ( E ( : , : , 1 ) ) +E ( : , : , 2 ) . * conj ( E ( : , : , 2 ) ) +E ( : , : , 3 ) . *conj ( E ( : , : , 3 ) ) ) ;

50

51 SAR3= ( ( ( cond ) * (E ( : , : , 1 ) . * conj ( E ( : , : , 1 ) ) +E ( : , : , 2 ) . * conj ( E ( : , : , 2 ) ) +E ( : , : , 3 ). * conj ( E ( : , : , 3 ) ) ) ) / d e n s i d a d ) ;

52

53

54 % V i s u a l i z a c i o n campo e l e c t r i c o por componentes

51

55 f i e l d s = E ( : , : , 1 ) , E ( : , : , 2 ) , E ( : , : , 3 ) , H ( : , : , 1 ) , H ( : , : , 2 ) , . . .56 H ( : , : , 3 ) ;57 i f c c _ f l a g58 f l d t t l = ’ E_x ’ , ’ E_y ’ , ’ E_z ’ , ’H_x ’ , ’H_y ’ , ’H_z ’ ;59 e l s e %i f c c _ f l a g60 f l d t t l = ’E_ rho ’ , ’E_ p h i ’ , ’E_ t h e t a ’ , ’H_ rho ’ , ’H_ p h i ’ ,

. . .61 ’H_ t h e t a ’ ; %#ok <*UNRCH>62 end %i f c c _ f l a g63 f i g u r e64 f o r i f l d =1: l e n g t h ( f l d t t l )65 s u b p l o t ( 2 , 3 , i f l d ) ;66 i f ~ i sempty ( f i e l d s i f l d )67 imagesc ( ny , nz , f l i p u d ( rot90 ( abs ( f i e l d s i f l d ) . ^ 2 ) ) ) ;68 r e c t a n g l e ( . . .69 ’ P o s i t i o n ’ , [ − r a d ( end ) , − r a d ( end ) , d i a ( end ) , d i a ( end ) ] , . . .70 ’ C u r v a t u r e ’ , [ 1 , 1 ] )71 end %i f ~ i s e m p t y ( f i e l d s i f l d )72 t i t l e ( f l d t t l i f l d ) ;73 end %f o r i f l d =1: l e n g t h ( f l d l s t )74

75 %V e c t o r de P o y n t i n g76 f i g u r e ( )77 imagesc ( ny , nz , s q r t ( P ( : , : , 1 ) . ^ 2 + P ( : , : , 2 ) . ^ 2 + P ( : , : , 3 ) . ^ 2 ) )78 r e c t a n g l e ( ’ P o s i t i o n ’ , [ − r a d ( end ) , − r a d ( end ) , d i a ( end ) , d i a ( end ) ] , . . .79 ’ C u r v a t u r e ’ , [ 1 , 1 ] )80 a x i s image81

82

83 %V i s u a l i z a c i o n RCS84

85 f c t r = 2 / pi / C . k ;86 dCsdOp = f c t r * s q u e e z e ( abs ( S ( 1 , 1 , : ) . ^ 2 ) ) ; % p a r a l l e l87 dCsdOn = f c t r * s q u e e z e ( abs ( S ( 2 , 2 , : ) . ^ 2 ) ) ; % p e r p e n d i c u l a r88 dCsdO = 0 . 5 * ( dCsdOp + dCsdOn ) ; % u n p o l a r i z e d89 f i g u r e90 s u b p l o t ( 1 , 3 , 1 ) ;91 semi logy ( ang , dCsdOp ) ;92 t i t l e ( ’ p a r a l l e l ’ )93

94 s u b p l o t ( 1 , 3 , 2 ) ;95 semi logy ( ang , dCsdOn ) ;96 t i t l e ( ’ p e r p e n d i c u l a r ’ )97

98 s u b p l o t ( 1 , 3 , 3 ) ;99 semi logy ( ang , dCsdO ) ;

100 t i t l e ( ’ u n p o l a r i s e d ’ )

52

101

102 f o r i =1 :3103 s u b p l o t ( 1 , 3 , i ) ;104 x l a b e l ( ’ S c a t t e r i n g a n g l e [ ^ \ c i r c ] ’ )105 y l a b e l ( ’ D i f f e r e n t i a l s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n [m] ’ )106 xl im ( [ ang ( 1 ) , ang ( end ) ] )107 end %f o r i =1:3108 di sp ( ’ Cross s e c t i o n s : ’ ) ;109 di sp (C) ;110 di sp ( ’ E f f i c i e n c i e s : ’ ) ;111 di sp ( g e t E f f i c i e n c i e s (C , d i a ( end ) / 2 . , 2 ) ) ;

A.3. Funciones utlizadas

1

2

3 f u n c t i o n [ E , H, P , S , C , ang , t h e t a , phi , r a d ] = c a l c m i e _ n f ( r , ns , nm ,lambda , . . .

4 xc , yc , zc , v a r a r g i n )5

6

7 %CALCMIE_NF C a l c u l a t e t h e near f i e l d s o l u t i o n f o r t h e s c a t t e r i n g o f8 %e l e c t r o m a g n e t i c r a d i a t i o n by a s i n g l e s p h e r e .9

10 % VARARGIN can t a k e t h e f o l l o w i n g keywords :11 % ’ ConvergenceFac tor ’ : CONV − A l t e r s t h e c o n v e r g e n c e c r i t e r i a M=M*CONV12 % ( d e f a u l t CONV = 1) .13 % ’ T o t a l F i e l d ’ : TF_FLAG − I f s e t c a l c u l a t e t o t a l f i e l d s ,14 % o t h e r w i s e s c a t t e r e d f i e l d s are r e t u r n e d ( d e f a u l t15 % TF_FLAG = FALSE ) .16 % ’ C a r t e s i a n ’ : CC_FLAG − g e t t h e r e s u l t i n c a r t e s i a n

c o o r d i n a t e s17 % ( d e f a u l t CC_FLAG = True ) .18 % ’ nang ’ : NANG − number o f f a r f i e l d a n g l e s t o

e v a l u a t e19 % ( d e f a u l t NANG = 1800) .20 %21 % The c a l c u l a t i o n i s based on t h e book o f Bohren and Huffman [ 1 ] :22 % [ 1 ] Bohren , C . F . and Huffman , D. R . , A b s o r p t i o n and s c a t t e r i n g o f23 % l i g h t by s m a l l p a r t i c l e s , Wiley − I n t e r s c i e n c e , New York , 1998 .24 %25 % SYNTAX :26 %27 % [E , H] = c a l c m i e _ n f ( r , ns , nm , lambda , xc , yc , z c )28 % [E , H, P] = c a l c m i e _ n f ( r , ns , nm , lambda , xc , yc , z c )29 % [E , H, ~ , S , C , ang ] = c a l c m i e _ n f ( r , ns , nm , lambda , xc , yc , z c )

53

30 %31 % See a l s o :32 % CALCMIE33 %34 % C o p y r i g h t 2012 Jan S c h f e r , I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n ( ILM )35 % Author : Jan S c h f e r ( j a n . s chae f e r@i lm . uni −ulm . de )36 % O r g a n i z a t i o n : I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n i n der Med i z in und37 % M e t e c h n i k an der U n i v e r s i t t Ulm ( h t t p : / / www. i lm −ulm . de )38 %% I n i t i a l i z e p a r a m e t e r s39 p = i n p u t P a r s e r ;40 p . addParamValue ( ’ C o n v e r g e n c e F a c t o r ’ , 1 , @ i s s c a l a r ) ;41 p . addParamValue ( ’ T o t a l F i e l d ’ , f a l s e , @ i s l o g i c a l ) ;42 p . addParamValue ( ’ C a r t e s i a n ’ , t r u e , @ i s l o g i c a l ) ;43 p . addParamValue ( ’ nang ’ , 1800 , @ i s s c a l a r ) ;44 p . p a r s e ( v a r a r g i n : ) ;45

46 conv = p . R e s u l t s . C o n v e r g e n c e F a c t o r ;47 t f _ f l a g = p . R e s u l t s . T o t a l F i e l d ;48 c c _ f l a g = p . R e s u l t s . C a r t e s i a n ;49 nang = p . R e s u l t s . nang ;50 s t r t f d = f a l s e ;51 i f numel ( r ) > 152 s t r t f d = t r u e ;53 end %i f numel ( r ) > 154 i f numel ( r ) ~= numel ( ns )55 error ( ’ Rad ius l i s t r and r e f r a c t i v e i n d e x l i s t NS have t o be same s i z e

! ’ ) ;56 end %i f numel ( r ) ~= numel ( n )57 k = 2* pi / lambda *nm ; % t h e wavenumber i n medium nm58 x = k* r ; % t h e s i z e parame te r59 m = ns / nm ; % t h e r e l a t i v e r e f r a c t i v e i n d e x60 %% C a l c u l a t e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s61 i f s t r t f d62 [ an , bn ] = e x p c o e f f _ m i e _ s t r a t ( x , m, conv ) ;63 e l s e %s t r t f d64 [ an , bn ] = e x p c o e f f _ m i e ( x , m, conv ) ;65 end %s t r t f d66 %% C a l c u l a t e f i e l d s o l u t i o n67 [ E , H, t h e t a , phi , r a d ] = nfmie ( an , bn , xc , yc , zc , r , ns , nm , lambda ,

t f _ f l a g , c c _ f l a g ) ;68 %% C a l c u l a t e P o y n t i n g v e c t o r69 i f nargout > 270 P = r e a l ( c r o s s ( E , conj (H) ) ) ;71 end %n a r g o u t > 272 %% C a l c u l a t e Far F i e l d s o l u t i o n73 i f nargout > 374 [ S , C , ang ] = asmmie ( an , bn , nang , k ) ;

54

75 ang = ang / pi *180 ;76 end %n a r g o u t > 377 end

1 f u n c t i o n [ E , H, t h e t a , phi , r a d ] = nfmie ( an , bn , xf , yf , zf , r , ns , nm ,lambda , . . .

2 t f _ f l a g , c c _ f l a g )3

4 %NFMIE C a l c u l a t e s t h e near f i e l d s o l u t i o n f o r g i v e n e x p a n s i o n5 % c o e f f i c i e n t s .6

7

8 % The c a l c u l a t i o n i s based on t h e book o f Bohren and Huffman [ 1 ] :9 % [ 1 ] Bohren , C . F . and Huffman , D. R . , A b s o r p t i o n and s c a t t e r i n g o f

10 % l i g h t by s m a l l p a r t i c l e s , Wiley − I n t e r s c i e n c e , New York , 1998 .11 %12 % C o p y r i g h t 2012 Jan S c h f e r , I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n ( ILM )13 % Author : Jan S c h f e r ( j a n . s chae f e r@i lm . uni −ulm . de )14 % O r g a n i z a t i o n : I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n i n der Med i z in und15 % M e t e c h n i k an der U n i v e r s i t t Ulm ( h t t p : / / www. i lm −ulm . de )16 %% I n i t i a l i z e p a r a m e t e r s17 i f ~ e x i s t ( ’ t f _ f l a g ’ , ’ v a r ’ )18 t f _ f l a g = f a l s e ;19 end %i f ~ e x i s t ( ’ t f _ f l a g ’ , ’ var ’ )20 i f ~ e x i s t ( ’ c c _ f l a g ’ , ’ v a r ’ )21 c c _ f l a g = f a l s e ;22 end %i f ~ e x i s t ( ’ c c _ f l a g ’ , ’ var ’ )23 M a t S c a t _ c o n s t ;24 s t r t f d = f a l s e ;25 i f numel ( r ) > 126 s t r t f d = t r u e ;27 end %i f numel ( r ) > 128 k = 2* pi / lambda *nm ; % t h e wavenumber i n medium nm29 x = k* r ; % t h e s i z e parame te r30 m = ns / nm ; % t h e r e l a t i v e r e f r a c t i v e i n d e x31 k1 = 2* pi / lambda * ns ; % t h e wavenumber i n medium ns32 omega = 2 . * pi / lambda * c0 ; % t h e a n g u l a r f r e q u e n c y33 k = 2* pi / lambda *nm ;34 M = numel ( an ) ;35 n = ( 1 :M) ’ ; %36 E0 = 1 ;37 En = 1 j . ^ n . * E0 . * ( 2 * n +1) . / ( n . * ( n +1) ) ; %v e c t o r de 16 en columna38 %% Get i n t e r n a l f i e l d e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s39 i f s t r t f d40 [ fn , gn , vn , wn ] = e x p c o e f f _ m i e _ s t r a t _ i n t ( an , bn , x , m) ;41 e l s e %i f s t r t f d42 [ fn , gn ] = e x p c o e f f _ m i e _ i n t ( x , m, numel ( an ) ) ;

55

43 vn = z e r o s ( s i z e ( fn ) ) ;44 wn = z e r o s ( s i z e ( fn ) ) ;45 end %i f s t r t f d46 E = z e r o s ( [ numel ( x f ) , 3 ] ) ;47 H = z e r o s ( [ numel ( x f ) , 3 ] ) ;48

49 f o r i c =1 : numel ( x f )50

51 % Get s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s52 [ t h e t a , phi , r a d ] = x c a r t 2 s p h ( x f ( i c ) , y f ( i c ) , z f ( i c ) ) ; %a c

t r a n s f o r m a l a s coordenada53 [ p h i ] = 0 ; %l i n e a a a d i d a54 p h i = z e r o s ( l e n g t h ( r a d ) ) ;55

56 % C a l c u l a t e a n g l e d e p e n d e n t f u n c t i o n s57 [ pin , t a u n ] = angdepfun_mie ( t h e t a , n ) ; %c a l c u l a l o s a n g u l o s58

59

60 % c a l c u l a t e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x61 R = g e t T r a n s f o r m a t i o n M a t r i x ( phi , t h e t a ) ;62

63 % I n i t i a l i z e a r r a y s64

65 M_o1n = z e r o s (M, 3 ) ; %m a t r i z de 100 f i l a s x 3 columnas66 M_e1n = z e r o s (M, 3 ) ;67 N_o1n = z e r o s (M, 3 ) ;68 N_e1n = z e r o s (M, 3 ) ;69

70 Edum = z e r o s (M, 3 ) ; %m a t r i z de 100 f i l a s x 3 columnas71 Hdum = z e r o s (M, 3 ) ;72

73 i f r a d > r ( end )74 % e x t e r n a l f i e l d s75

76 % A u x i l i a r y p a r a m e t e r s77 rho = k* r a d ;78

79 %CALCULO DE FUNCIONES ESPECIALES PARA H80 h = s b e s s e l h ( n , rho ) ;81 d x i = d r i c b e s h ( n , rho ) ;82

83 M_e1n ( : , 2 ) = − s i n ( p h i ) * p i n . * h ; %componente t h e t a84 M_e1n ( : , 3 ) = − cos ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente p h i85

86 M_o1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) * p i n . * h ; %componente de t h e t a87 M_o1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente de p h i88

56

89 N_e1n ( : , 1 ) = cos ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de rad

90 N_e1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a91 N_e1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i92

93 N_o1n ( : , 1 ) = s i n ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de rad

94 N_o1n ( : , 2 ) = s i n ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a95 N_o1n ( : , 3 ) = cos ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i96

97

98 f o r d =1:399 Edum ( : , d ) = En . * ( 1 . j * an . ’ . * N_e1n ( : , d ) − bn . ’ . * M_o1n ( : , d ) ) ;

100 Hdum ( : , d ) = En . * ( 1 . j *bn . ’ . * N_o1n ( : , d ) + an . ’ . * M_e1n ( : , d ) ) ;101 end %f o r d =1:3102

103

104 E ( ic , : ) = R*sum ( Edum ) . ’ ;105 H( ic , : ) = k / omega / mue0*R*sum (Hdum) . ’ ;106

107

108 i f t f _ f l a g109 % t o t a l f i e l d110 E ( ic , 1 ) = E ( ic , 1 ) + exp ( 1 . j *k* z f ( i c ) ) ;111 H( ic , 2 ) = H( ic , 2 ) + nm / c0 / mue0* exp ( 1 . j *k* z f ( i c ) ) ;112 end %i f t f _ f l a g113

114 i f ~ c c _ f l a g115 E ( ic , : ) = R’*E ( ic , : ) . ’ ;116 H( ic , : ) = R’*H( ic , : ) . ’ ;117

118 end %i f ~ c c _ f l a g119

120 e l s e %i f rad > r121

122

123

124 % i n t e r n a l f i e l d s125 i l a y = max ( [ f i n d ( r >=rad , 1 , ’ f i r s t ’ ) , f i n d ( r < rad , 1 , ’ l a s t ’ ) ] )

;126

127 % A u x i l i a r y p a r a m e t e r s128 rho = k1 ( i l a y ) * r a d ;129

130 %CALCULO DE FUNCIONES ESPECIALES PARA J131 h = s b e s s e l j ( n , rho ) ;132 d x i = d r i c b e s j ( n , rho ) ;

57

133

134 M_e1n ( : , 2 ) = − s i n ( p h i ) * p i n . * h ; %Componente de t h e t a135 M_e1n ( : , 3 ) = − cos ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente de p h i136

137 M_o1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) * p i n . * h ; %componente de t h e t a138 M_o1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente de p h i139

140 N_e1n ( : , 1 ) = cos ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de rad

141 N_e1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a142 N_e1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i143

144 N_o1n ( : , 1 ) = s i n ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de rad

145 N_o1n ( : , 2 ) = s i n ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a146 N_o1n ( : , 3 ) = cos ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i147

148 f o r d =1:3149 Edum ( : , d ) = En . * ( fn ( : , i l a y ) . * M_o1n ( : , d ) − . . .150 1 . j *gn ( : , i l a y ) . * N_e1n ( : , d ) ) ;151

152 Hdum ( : , d ) = En . * ( gn ( : , i l a y ) . * M_e1n ( : , d ) + . . .153 1 . j * fn ( : , i l a y ) . * N_o1n ( : , d ) ) ;154 end %f o r d =1:3155

156 %CALCULO DE FUNCIONES ESPECIALES PARA Y157

158 h = s b e s s e l y ( n , rho ) ;159 d x i = − d r i c b e s y ( n , rho ) ;160

161 %ECUACIONES ESFERICAS DE BESSEL EN 4 COMPONENTES162

163 M_e1n ( : , 2 ) = − s i n ( p h i ) * p i n . * h ; %componente de t h e t a164 M_e1n ( : , 3 ) = − cos ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente de p h i165

166 M_o1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) * p i n . * h ; %componente de t h e t a167 M_o1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente de p h i168

169 N_e1n ( : , 1 ) = cos ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de r

170 N_e1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a171 N_e1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i172

173 N_o1n ( : , 1 ) = s i n ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de r

174 N_o1n ( : , 2 ) = s i n ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a175 N_o1n ( : , 3 ) = cos ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i

58

176

177

178 f o r d =1:3179 Edum ( : , d ) = Edum ( : , d ) + En . * ( vn ( : , i l a y ) . * M_o1n ( : , d ) − . . .180 1 . j *wn ( : , i l a y ) . * N_e1n ( : , d ) ) ;181 Hdum ( : , d ) = Hdum ( : , d ) + En . * ( wn ( : , i l a y ) . * M_e1n ( : , d ) + . . .182 1 . j *vn ( : , i l a y ) . * N_o1n ( : , d ) ) ;183

184 end %f o r d =1:3185

186

187

188 E ( ic , : ) = R*sum ( Edum ) . ’ ;189 H( ic , : ) = −k1 ( i l a y ) / omega / mue0*R*sum (Hdum) . ’ ;190

191 i f ~ t f _ f l a g192 % t o t a l f i e l d193 E ( ic , 1 ) = E ( ic , 1 ) − exp ( 1 . j *k* z f ( i c ) ) ;194 H( ic , 2 ) = H( ic , 2 ) − nm / c0 / mue0* exp ( 1 . j *k* z f ( i c ) ) ;195 end %i f ~ t f _ f l a g196

197 i f ~ c c _ f l a g198 E ( ic , : ) = R’*E ( ic , : ) . ’ ;199 H( ic , : ) = R’*H( ic , : ) . ’ ;200 end %i f ~ c c _ f l a g201 end %i f rad > r202

203 end %f o r i c =1: numel ( xc )204

205 E = s q u e e z e ( reshape ( E , [ s i z e ( x f ) , 3 ] ) ) ; %aca 3206 H = s q u e e z e ( reshape (H , [ s i z e ( x f ) , 3 ] ) ) ;207

208 end

1

2

3

4 f u n c t i o n [ S , C , ang ] = asmmie ( an , bn , nang , k )5

6 %ASMMIE C a l c u l a t e s t h e a m p l i t u d e s c a t t e r i n g m a t r i x and c r o s s s e c t i o n s f o r7 % g i v e n e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s o f a s p h e r i c a l p a r t i c l e .8

9 % The c a l c u l a t i o n i s based on t h e book o f Bohren and Huffman [ 1 ] :10 % [ 1 ] Bohren , C . F . and Huffman , D. R . , A b s o r p t i o n and s c a t t e r i n g o f11 % l i g h t by s m a l l p a r t i c l e s , Wiley − I n t e r s c i e n c e , New York , 1998 .12 %13 % C o p y r i g h t 2012 Jan S c h f e r , I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n ( ILM )

59

14 % Author : Jan S c h f e r ( j a n . s chae f e r@i lm . uni −ulm . de )15 % O r g a n i z a t i o n : I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n i n der Med i z in und16 % M e t e c h n i k an der U n i v e r s i t t Ulm ( h t t p : / / www. i lm −ulm . de )17 %% I n i t i a l i z e p a r a m e t e r s18 %k = 2* p i / lambda *nm ; % t h e wavenumber i n medium nm19 %x = k * r ; % t h e s i z e parame te r20 n = 1 : numel ( an ) ;21 ang = ( 0 : nang −1) / ( nang −1) * pi ;22 n2 = (2* n +1) ;23 En = n2 . / ( n . * ( n +1) ) ;24 anEn = an . * En ;25 bnEn = bn . * En ;26 %% C a l c u l a t e t h e t a d e p e n d e n t f u c n t i o n s27 [ pin , t a u n ] = angdepfun_mie ( ang , n ) ;28 %% C a l c u l a t e a m p l i t u d e s c a t t e r i n g m a t r i x29 S = z e r o s ( 2 , 2 , nang ) ;30 S ( 1 , 1 , : ) = anEn* t a u n + bnEn* p i n ;31 S ( 2 , 2 , : ) = anEn* p i n + bnEn* t a u n ;32 %% C a l c u l a t e c r o s s s e c t i o n s33 C . e x t = 2* pi / k ^2*sum ( n2 . * r e a l ( an + bn ) ) ;34 %C . e x t = 2 / x ^2* sum ( n2 . * r e a l ( an + bn ) ) ;35 C . s c a = 2* pi / k ^2*sum ( n2 . * ( abs ( an ) . ^ 2 + abs ( bn ) . ^ 2 ) ) ;36 %C . sca = 2 / x ^2* sum ( n2 . * ( abs ( an ) . ^ 2 + abs ( bn ) . ^ 2 ) ) ;37 C . abs = C . e x t − C . s c a ;38 C . k = k ;39 end

1

2 f u n c t i o n [ an , bn ] = e x p c o e f f _ m i e ( x , m, conv )3

4 %EXPCOEFF_MIE C a l c u l a t e s t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s f o r t h e Mie t h e o r y .5 %6

7 % The c a l c u l a t i o n i s based on t h e book o f Bohren and Huffman [ 1 ] :8 % [ 1 ] Bohren , C . F . and Huffman , D. R . , A b s o r p t i o n and s c a t t e r i n g o f9 % l i g h t by s m a l l p a r t i c l e s , Wiley − I n t e r s c i e n c e , New York , 1998 .

10 %11 % C o p y r i g h t 2012 Jan S c h f e r , I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n ( ILM )12 % Author : Jan S c h f e r ( j a n . s chae f e r@i lm . uni −ulm . de )13 % O r g a n i z a t i o n : I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n i n der Med i z in und14 % M e t e c h n i k an der U n i v e r s i t t Ulm ( h t t p : / / www. i lm −ulm . de )15 %% I n i t i a l i z e p a r a m e t e r s16 i f ~ e x i s t ( ’ conv ’ , ’ v a r ’ )17 conv = 1 ;18 end %i f ~ e x i s t ( ’ conv ’ , ’ var ’ )19 %% C a l c u l a t e t r u n c a t i o n number20 M = c e i l ( conv *( x + 4*( x ^ ( 1 / 3 ) ) + 2 ) ) ;

60

21 n = 1 :M;22 %% C a l c u l a t e a u x i l i a r y p a r a m e t e r s23 Sx = r i c b e s j ( n , x ) ;24 dSx = d r i c b e s j ( n , x ) ;25 Smx = r i c b e s j ( n , m*x ) ;26 dSmx = d r i c b e s j ( n , m*x ) ;27 x i x = r i c b e s h ( n , x ) ;28 dx ix = d r i c b e s h ( n , x ) ;29 %% C a l c u l a t e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s30 an = (m*Smx . * dSx − Sx . * dSmx ) . / (m*Smx . * dx ix − x i x . * dSmx ) ;31 bn = (Smx . * dSx − m*Sx . * dSmx ) . / (Smx . * dx ix − m* x i x . * dSmx ) ;32 end

A.4. Campo magnético disperso de esfera conductora

1c l c ;2c l e a r a l l ;3

4%d e c l a r a c i o n de v a r i a b l e s5

6f =3 e8 ; %f r e c u e n c i a7c=3 e8 ; %v e l o c i d a d de l a l u z8lambda=c / f ; %l o n g i t u d de onda9suma =0; %s u m a t o r i a

10Ho=1; %c o n s t a n t e de campo magne t i co11e t h a =120* pi ; %c o n s t a n t e e t h a12

13%A s i g n a c i o n d e l rango de v a l o r e s14

15M=1;16K= 2* pi / lambda ;17x=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;18y=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;19z=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;20

21%Malla x , y , z22

23[X, Y, Z]= meshgrid ( x , y , z ) ; %Malla x , y , z24[ t h e t a , phi , R] = car t2sph (X, Y, Z ) ; %cambio de coordenadas25

26%Planos27f o r i i =1 : s i z e ( Z , 3 )28 i f Z ( 1 , 1 , i i ) == 029 d= i i ;30 end31end

61

32

33f o r i i =1 : s i z e (X, 2 )34 i f X( 1 , i i , 1 ) == 035 u= i i ;36 end37end38

39f o r i i =1 : s i z e (Y, 1 )40 i f Y( i i , 1 , 1 ) == 041 w= i i ;42 end43end44

45%s u m a t o r i a46suma =0;47 f o r n =1:M48 v a l = ( ( j ) ^( − n ) ) ; %i m a g i n a r i o49 g o r r i t o H n 2 = s b e s s e l h ( n , 2 ,K. *R) ; %g o r r i t o f u n c i o n h b e s s e l50 g o r r i t o d H n 2 = d b e s s e l h ( n , 2 ,K. *R) ; %g o r r i t o de l a d e r i v a d a f u n c i o n h51

52 g o r r i t o H n 2 a = s b e s s e l h ( n , 2 ,K* lambda ) ; %g o r r i t o f u n c i o n h para r a d i oa

53 g o r r i t o d H n 2 a = d b e s s e l h ( n , 2 ,K* lambda ) ; %g o r r i t o de l a d e r i v a d a r a d i oa

54 p= l e g e n d r e P ( n , cos ( t h e t a ) ) ; %p o l i n o m i o de l e g e n d r e55 dp= l e g e n d r e _ d e r i v a t i v e ( n , cos ( t h e t a ) ) ; %d e r i v a d a de l e g e n d r e56 dp= s q u e e z e ( dp ( 1 , : , : , : ) ) ;57

58 g o r r i t o d j f u n c = d b e s s e l j ( n ,K* lambda ) ; %f u n c i o n d e r i v a d a j b e s s e l59 g o r r i t o j f u n c = s b e s s e l j ( n ,K* lambda ) ; %f u n c i o n g o r r i t o j b e s s e l60

61 %c a l c u l o de an y bn62 an =( − j ^( − n ) ) * ( ( ( 2 * n ) +1) / ( n * ( n +1) ) ) * ( g o r r i t o d j f u n c / g o r r i t o d H n 2 a ) ;63 bn =( − j ^( − n ) ) * ( ( ( 2 * n ) +1) / ( n * ( n +1) ) ) * ( g o r r i t o j f u n c / g o r r i t o H n 2 a ) ;64

65 %s u m a t o r i a66 suma=suma + ( ( an . * g o r r i t o H n 2 . * dp ) + ( ( bn* j . * g o r r i t o d H n 2 ) . * ( p . / s i n ( t h e t a ) ) )

) ;67

68 end69

70 %campo magne t i co d i s p e r s o71 c o n s t a n t e E x t = ( −Ho . * cos ( p h i ) ) . / K. *R ;72 Hdisp= c o n s t a n t e E x t . * suma ;73 p a r t e R e a l H d i s p = r e a l ( Hdisp ) ;74

75 %se e v a l u a l o s v a l o r e s e n c o n t r a d o s de l o s s u b i n d i c e s en l a s u m a t o r i a

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76 H d i s p _ c o n _ e t h a = e t h a * p a r t e R e a l H d i s p ( : , w , : ) ;77 Hdisp_conEtha = s q u e e z e ( H d i s p _ c o n _ e t h a ) ;78

79 %se g r a f i c a80 pc o l or ( Hdisp_conEtha ’ ) ;81 shading i n t e r p ;82 l im = c a x i s ;83 c a x i s ( [ −1 1 ] )84 colormap ( j e t ) ;85 t i t l e ( ’Campo m a g n t i c o d i s p e r s o ’ )86 c o l o r b a r ;

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