Dosier módulo I

Dosier módulo I

Módulo I

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Introducción

Unidad I: La Metodología de Resolución de Problemas

1. Estrategias en la solución de problemas 1.1. Diferencia entre ejercicios y problemas

1.2. Simplificación y búsqueda de patrones 1.3. Ensayo y error 1.4. Descomposición del problema 1.5. Búsqueda de un contraejemplo 1.6. Reducción al absurdo 2. Fases para plantear y resolver problemas 2.1. Fases para plantear y resolver problemas según Polya

2.2. Fases para plantear y resolver problemas según Miguel de Guzmán. Ejemplos Lecturas Complementarias

Unidad II: Los Números Naturales 1. Los Números Naturales: Usos

1.1. Cálculo Mental 1.1. Cálculo Mental. Las Tablas

1.2.La Multiplicación con los Dedos 1.3. Cálculo Pensado

1.3.1. Cálculo Pensado Aditivo: recolocación, descomposición, redondeo, conteo

1.3.2. Calculo Pensado Multiplicativo: con papel y lápiz, distribución o factorización 1.4.Explorando en Aritmética

1.5.Las tablas de doble entrada 1.6.Propiedades de Los números naturales

2. Los Algoritmos 2.1.Los Algoritmos de lápiz y papel, características 2.2.Los algoritmos en el currículum 2.2.1. Algoritmos para la suma 2.2.2. Algoritmos para la resta 2.2.3. Algoritmos para la multiplicación 2.2.4. Algoritmos para la división

3. Sistemas de numeración decimal 3.1.Lecto escritura de números

3.2. Comparar números 3.3.Forma polinómica de los números

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4. Sugerencias metodológicas 4.1.Uso de ábacos, bloques multibase, los números en color, monedas, numerator

Lecturas Complementarias Recursos en internet

Unidad III: Los Números Enteros 3.1. Motivación 3.1.1.Los husos horarios 3.2. El conjunto ℤ, algoritmos 3.2.1. Caracterizar los números negativos

3.2.1.1. Desplazamientos horizontales y verticales 3.2.2.Actividades y problemas

3.2.2.1. El significado de números con signo 3.2.2.2. Estados y variaciones 3.2.3.Estados y variaciones para introducir algoritmos de suma y resta de enteros 3.2.3.1. Sumas y restas en la recta real 3.2.4.Interpretación geométrica del producto 3.2.5.Simetría de la tabla de multiplicar 3.3. El conjunto ℤ, estructura

3.3.1. Orden en el conjunto de los números enteros 3.3.2.Propiedades del conjunto ℤ

3.4. Sugerencias Metodológicas 3.4.1.El nomograma

3.4.2.Fichas 3.4.3. Cruce de cruces: representación de la ley de los signos de la multiplicación 3.5. Lecturas complementarias 3.5.1.Recursos en internet

Unidad IV: Los Números Fraccionario 4.1. La relación parte-todo y la medida 4.1.1.Contextos continuos y discretos

4.1.2.Los números decimales 4.1.3.Las fracciones como punto sobre la recta numérica 4.2. Las fracciones como cociente 4.2.1.La división indicada. Reparto 4.2.2.Las fracciones como elemento de un cuerpo cociente 4.3. La fracción como razón

4.3.1.Las fracciones en el contexto de probabilidades

4.3.2.Las fracciones en el contexto de porcentajes 4.4. Las fracciones y los operadores

4.4.1.La fracción como operador: Estado-unidad, operador, estado final

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4.5. Operaciones con fracciones

4.5.1.Comparar números racionales 4.5.2.Racionales equivalentes: uso del “muro de fracciones” como estrategia didáctica

4.5.3.Los algoritmos: la suma y resta, el producto y la división de fracciones 4.6. Lecturas complementarias 4.6.1.Recursos en internet

Unidad V: Los Números Decimales

5.1. Usos y contextos más significativos en los que aparecen 5.1.1.Ejemplos en los cuales aparecen números decimales 5.1.2.Son indispensables los números decimales

5.1.3.Introducción de los números decimales 5.1.3.1. Como extensión del sistema de numeración decimal

5.1.3.2. A partir de la medida 5.1.3.3. A partir del sistema métrico decimal 5.2. Situaciones sobre representación, significado y lectura de decimales 5.2.1.Juegos de estimación de medidas 5.2.2.Reproducir un segmento 5.2.3.Pasar de la escritura fraccionaria de los racionales decimales a su escritura decimal. Juegos

sobre la recta numérica

5.2.4.Diversos juegos sobre la recta numérica 5.2.5.Instrumentos de medida

5.2.6.La calculadora de bolsillo 5.2.7.El uso del cero y su significación en la escritura

5.2.8.Áreas de regiones de papel cuadriculado utilizando decimales 5.2.9.Pasar de fracciones a decimales y viceversa 5.2.10. Escrituras decimales equivalentes 5.2.11. Orden de los decimales

5.2.12. Densidad de los decimales 5.3. Operaciones con números decimales

5.3.1.Resolver operaciones con números decimales

5.3.2.Situaciones que permiten dar significado al producto de los decimales

5.3.3.El número decimal como factor de proporcionalidad 5.3.4.Situaciones que permiten dar significado a la división de números decimales 5.4. Los números reales

5.4.1. Clasificar los números naturales, enteros, racionales e irracionales 5.4.2.Números irracionales

5.4.2.1. Comparar las dimensiones de un rectángulo

5.4.2.2. El número áureo 5.4.2.3. Calcular un valor aproximado del número π y graficarlo

5.4.2.4. Graficar radicales 5.5. Lecturas complementarias

5.5.1.Referencias en internet

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INTRODUCCIÓN

El Módulo I “Números y operaciones”, consiste en desarrollar y fortalecer la capacidad de comprender y utilizar los diferentes conjuntos numéricos, identificar sus características, las relaciones que se puedan establecer entre ellos y usar los distintos significados de los números y las operaciones aritméticas en situaciones problemáticas en las que se requiere seleccionar, elaborar y aplicar estrategias de solución; justificar procedimientos y evaluar resultados. Se pretende fortalecer el pensamiento y conocimiento numérico del especialista, para que pueda reproducirlo en el aula. Se desarrollarán seis unidades: La Unidad I es Metodología de Resolución de problemas; en la cual se aplicará la metodología que le da nombre a la unidad, basándose en las fases de resolución según Polya. El o la especialista sabrá identificar los rasgos que caracterizan a un buen problema, aplicando diferentes estrategias. Esta unidad servirá como referente para el desarrollo de este módulo. En la Unidad II Los Números Naturales: se conocerán los usos de los números naturales. Se descubrirán propiedades y algoritmos utilizando el cálculo mental y el cálculo pensado, se entrará en el mundo de los algoritmos; el sistema de numeración decimal y en cada uno de estos contenidos se brindará sugerencias metodológicas para la enseñanza. Los números enteros es la Unidad III: se estudiará; la estructura de este conjunto de numeración; las propiedades; y, se desarrollarán diversas estrategias metodológicas que permitan el aprendizaje de los números enteros mediante la resolución de situaciones problemáticas. En la IV Unidad; Los Números Fraccionarios: se estudiarán las concepciones que se tienen de dichos números, como: cociente, razón, relación parte- todo, utilizando el recurso geométrico como estrategia didáctica para el descubrimiento de los algoritmos de las diferentes operaciones, desarrollándose diversas situaciones didácticas de enseñanza en el aula. La Unidad V: Los números decimales: se estudiará su conceptualización, usos y contextos más significativos, ejercicios de representación y lectoescritura, búsqueda de la relación entre los decimales y los fraccionarios, diversas estrategias didácticas de enseñanza en el aula y resolución de situaciones problemáticas. Se finaliza la unidad haciendo un breve estudio de los Números Reales.

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UNIDAD I

La Metodología de Resolución de Problemas

1. Estrategia en la solución de problemas A lo largo de su historia, la frase “Resolución de Problemas” en matemática, ha cobrado diferentes significados. A continuación exploraremos algunos de estos:

Ejercitación: Tradicionalmente se ha utilizado este enfoque al presentar a los estudiantes una nueva técnica, y luego darles listas de problemas con los que practicar.

Recreación: Se plantea hacer que los estudiantes resuelvan problemas como una forma de divertirse. Este enfoque, tiene por objetivo que los estudiantes aprecien la matemática.

Como un medio instruccional: En este enfoque, la metodología de la clase se centra en la resolución de problemas. La clase comienza con un problema que es utilizado para que los estudiantes construyan ellos mismos el conocimiento. Este es el enfoque metodológico establecido en los programas de estudio salvadoreños.

Como habilidad: La resolución de problemas es considerada esencial a la actividad matemática y es una habilidad valiosa de adquirir por sí misma. A los estudiantes se les presentan problemas con la finalidad de desarrollarla. La resolución de problemas se convierte en uno de los temas curriculares. 1.1.1 Diferencia entre ejercicios y problemas

Un problema se define en cuanto a su relación con el sujeto que lo enfrenta y no en cuanto a sus propiedades intrínsecas. Los problemas ponen al estudiante ante una situación nueva ante la cual no dispone de un procedimiento inmediato para su resolución. Cuando la resolución deriva únicamente de la comprensión de un concepto asociado, el problema es sólo un ejercicio. Ambos, un problema y un ejercicio, plantean una situación que busca la transición de un estado a otro. La diferencia entre estos es qué, en el caso de un problema no puede lograrse únicamente a partir de la aplicación mecánica o memorística de conocimientos dados. El estudiante se ve obligado a pensar y a encontrar los conocimientos y estrategias necesarios. Cuando el estudiante ya conoce el procedimiento necesario para lograr ese cambio de estado, ya no se trata de un problema, sino de un ejercicio. Un problema para un estudiante, puede ser un ejercicio para un alumno de grado más alto. Además un problema deja de serlo una vez que el estudiante lo resuelve (Isoda y Olfos, pág. 99).

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Ejemplo: “Se tienen dos bolsas. En una hay tres manzanas y en la otra cinco manzanas. ¿Cuántas manzanas hay en esas dos bolsas?”. Puede ser un problema para estudiantes de primer grado, pero sería un ejercicio para estudiantes de séptimo. Los problemas pueden ser muy diversos en su forma. Pueden tener una sola respuesta válida, o muchas diferentes. Pueden buscar que se obtenga un dato, o que se construya una pregunta, o se recree una situación presentada de manera incompleta. Pueden buscar soluciones exactas o bien buscar que el estudiante produzca una estimación inteligente. A continuación presentamos algunas estrategias de resolución de problemas que son utilizadas en la práctica de los profesionales de la matemática. Estas son útiles para los docentes, pues le darán ideas para orientar la resolución de problemas en la clase. Estas también pueden enseñarse a los estudiantes como recursos para el desarrollo de la resolución de problemas como habilidad. El desarrollo de estas habilidades en los estudiantes es complementario a la resolución de problemas como medio instruccional. Las estrategias se convierten en recursos que harán más eficiente el aprendizaje de nuestros estudiantes. a) Simplificación y búsqueda de patrones Se conoce como patrón a una sucesión de signos que se construyen siguiendo una regla, ya sea de repetición o de recurrencia. Muchas veces al estar resolviendo un problema, sus condiciones evidencian la existencia de patrones o regularidades que permiten establecer posibilidades de solución muy originales y creativas. Las ciencias casi en forma unánime se construyen sobre la búsqueda de patrones, por lo tanto debemos priorizar su descubrimiento en el proceso de formación de competencias matemáticas. Ejercicio 1: Hallar la suma de las cifras de M = 5 X 888…88, donde el número 8 se repite 2015 veces. b) Ensayo y error Esta estrategia consiste en experimentar con posibles soluciones hasta encontrar la correcta. Usualmente tiene el inconveniente de que es un proceso tedioso, pero efectivo. Se sigue los siguientes pasos lógicos: 1. Considerar una posible solución. 2. Probar si esta solución satisface las condiciones del problema. 3. Modificar la solución escogida en función del resultado obtenido y repetir éste hasta obtener la solución correcta. Ejercicio 1. Encontrar dos números primos consecutivos entre 1 y 100 cuyo producto sea 323. Ejercicio 2: Buscar números primos de la forma AA, BAB, BACD y AAAC, teniendo en cuenta que las letras. c) Descomposición del problema Esta estrategia es muy útil porque muchas veces es difícil ver la relación entre los datos y las incógnitas de un problema. En estos casos la posibilidad que ofrece éxitos es la descomposición del problema en problemas más sencillos. Para ello, debemos considerar los siguientes pasos: 1. Descomponer el problema en subproblemas, llevando un registro de las relaciones existentes entre esas partes como parte del problema total. 2. Resolver los subproblemas. 3. Combinar los resultados hasta lograr una solución del problema total. Ejercicio 1: Halle la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual a la de un rectángulo de base 25m y altura 9m.

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Ejercicio 2: El área de un hexágono regular está dada en función del perímetro y su apotema, ¿sabe cómo deducir la fórmula? d) Búsqueda de un contraejemplo Esta estrategia se utiliza para demostrar la falsedad de un enunciado matemático. Esto significa que un enunciado matemático para ser cierto debe cumplirse para todos los elementos de un conjunto dado. Este tipo de enunciados dejan de ser verdaderos si en un caso particular de ese conjunto no se cumplen. Por lo tanto, se busca al menos un elemento del conjunto para el cual el enunciado es falso y con esto se prueba la falsedad del enunciado. Ejercicio 1: ¿Es el número n2 – n – 41 un número primo para todo número natural n? e) Reducción al absurdo Utilizamos esta estrategia para demostrar que una afirmación P es verdadera. Vamos a suponer que P es falsa, es decir, que se verifica la negación de P (no P). Suponiendo la falsedad de P, deduciremos que esta falsedad implica situaciones falsas o inconsistentes con hechos que conocemos como ciertos. El hecho que la falsedad de P resulte en situaciones de inconsistencia lógica prueba que P es verdadera. Ejercicio: Del libro Elementos de Euclides se recoge la siguiente proposición: “Existen infinitos números primos” (P).

2. Fases para plantear y resolver problemas 2.1. Fases para plantear y resolver problemas según Polya Para abordar la resolución de problemas, Polya (1972) en su libro Como plantear y resolver problemas, propone cuatro fases. Estas son útiles para los docentes puesto que sistematizan el proceso de resolución de problemas. Polya propone, además preguntas que pueden utilizarse directamente con los estudiantes, para ayudarles a completar cada una de las fases:

1. Comprender el problema: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?

2. Concebir un plan: ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿O ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? ¿Conoce un problema relacionado con este? Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. He aquí un problema relacionado al suyo y que se ha resuelto ya. ¿Podría usted utilizarlo? ¿Podría utilizar su resultado? ¿Podría emplear su método? ¿Le haría falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo? ¿Podría enunciar el problema en otra forma? Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún problema similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Puede resolver una parte del problema? Considere una parte de la condición; descarte la otra parte; ¿En qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puede deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí? ¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?

3. Ejecución de un plan: Al ejecutar su plan de solución, compruebe cada uno de los pasos. ¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede usted demostrarlo?

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4. Examinar la solución obtenida: ¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede usted verificar el razonamiento? ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? ¿Puede usted emplear el resultado o el método en algún otro problema?

2.2. Fases para plantear y resolver problemas según Miguel de Guzmán. Ejemplos El autor Miguel de Guzmán (1991) se basó en las cuatro fases de Polya. Su método orienta y anima al resolutor. Estos lineamientos son más apropiados para quienes desarrollan la resolución de problemas por si mismos –no en un contexto de aula–, para quienes lo hacen de manera recreativa y para el desarrollo de la resolución de problemas como habilidad:

1 Familiarízate con el problema. Trata de entender a fondo la situación. Con paz, con tranquilidad, a tu ritmo. Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del problema, piérdele el miedo.

2 Búsqueda de estrategias. Empieza por lo fácil. Experimenta. Hazte un esquema semejante, una figura, un diagrama. Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada. Busca un problema semejante. Inducción. Supongamos el problema resuelto. Supongamos que no.

3 Lleva adelante tu estrategia. Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se hayan ocurrido en la fase anterior. Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea. Si las cosas se complican demasiado, probablemente hay otra vía. ¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.

4 Revisa el proceso y saca consecuencias de él. Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? O bien, ¿Por qué no llegaste? Trata de entender no solo que la cosa funciona, sino por qué funciona. Mira si encuentras un camino más simple. Mira hasta donde llega el método. Reflexione sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro.

De lo enunciado anteriormente se puede decir que el proceso de resolución de un problema consta principalmente de cuatro fases: “Comprender el problema → Concebir un plan → Ejecución del plan → Visión retrospectiva”. Ejemplo 1:

1. Enunciar el problema: ¿Cuántos números de tres cifras cumplen con la condición de que la suma de sus cifras es igual a 4?

2. Dar tiempo suficiente para que los alumnos y alumnas se familiaricen con ´el e identifiquen las partes del problema: ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? ¿Cuál es la incógnita? ¿Qué sé? Hacer una lluvia de ideas.

3. Comprendiendo el problema:

a) ¿Qué me piden? Números de tres cifras tales que sus dígitos sumen 4. b) ¿Cuáles son los datos que me dan? Un número de tres cifras y el número 4. c) ¿Cuál es la condición? La suma de tres dígitos del número es igual a 4. d) ¿Conozco algún problema parecido? ¿Cuántos números de dos cifras cumplen con la condición

de que la suma de sus cifras es igual a 4? 40, 31, 13 y 22. e) Citar un ejemplo: si el número es 634, la suma de sus dígitos es 13. Como 13 no es igual a 4, este

número no cumple la condición. Sin embargo, el número 103 si cumple las condiciones: es de tres cifras y 1+0+3=4. Obtengo otros números si en la lista 40, 31, 13, 22 escribo un 0: 400, 301, 310, 103, 130, 202, 220.

f) ¿Serán estos todos los números pedidos?

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4. Planeando como atacar el problema:

a) ¿Qué puedo hacer para resolver el problema? Hacer una lista de números de tres dígitos y comprobar las condiciones.

b) ¿Cuantos números de tres cifras hay? c) ¿Qué tan grandes pueden ser las cifras? d) Por ejemplo, ¿podría alguna cifra ser igual a 9? No e) ¿Podría alguna cifra ser igual que 5? No, entonces… la conclusión es que las cifras a utilizar serán

0, 1, 2, 3 y 4.

5. Resolviendo el problema:

a) Hacer la lista de los candidatos jugando con las posibilidades que generan los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4. b) Como quiero números de tres cifras, pregunto qué cifras y en qué orden debo colocar dichas

cifras en las siguientes casillas:

Figura 1 Figura 2

c) Observar que el cuatro solo puede colocarse en la primera casilla (de izquierda a derecha), de otra manera no podría formar un número de tres cifras que cumpla la condición. Proceder a listar todas las posibilidades.

d) También puede hacerse un esquema como el siguiente para ver que cifras pueden constituir los números deseados:

Figura 3 Figura 4

e) Ya podemos listar todos los números de tres cifras que se pueden formar con las cifras 0, 1, 2, 3 y 4. Estos son: 400, 310, 301, 130, 103, 211, 121, 112, 220, 202. ¿Cuantos hay? ¿Serán todos? ¿Se habrá quedado alguno?

6. Revisando lo que se ha hecho:

a) ¿Qué he hecho? Descomponer 4 como la suma de tres números y ver los arreglos en cada caso

que dan números distintos. Estas descomposiciones son:

4 = 4 + 0 + 0, 4 = 3 + 1 + 0, 4 = 2 + 2 + 0, 4 = 2 + 1 + 1

b) Si se pide que las cifras sean diferentes, ¿cuáles serían los números que cumplen la condición?

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Ahora, aplicando los pasos descritos anteriormente, síguele la pista a la solución de los siguientes problemas: Ejemplo 2: Elige un número cualquiera de 3 cifras diferentes. Invierte ahora el orden de las cifras. Ahora tendrás dos números; del mayor de los dos resta el menor. Al resultado obtenido le tienes que sumar el mismo resultado con las cifras invertidas. ¿Cuál es el resultado? Seguro que 1089. ¿Por qué? Sugerencia: Proporciona un ejemplo y verifica las condiciones dadas. Si el número es 354, invertimos las cifras y se obtiene 453. Restamos 453 – 354 =099. Si invertimos 099, obtenemos 990. Sumando 099 + 990 = 1089. Si el número elegido es 431, el proceso es: 431 – 134 = 297; 297 + 792 = 1089. Ejemplo 3: Escoge un número de tres cifras, el que más te guste, y escríbelo dos veces seguidas para tener un número de seis cifras. Divídelo por 7 verás que da exacto. Divide el cociente por 11: vuelve a ser exacto. El segundo cociente divídelo otra vez por 13: ¡Sorpresa! No solamente vuelve a ser exacto, sino que el cociente final es el número de tres cifras del que has partido. Comprueba que pasa siempre lo mismo, sea cual sea el número elegido. Solución: Observa que 7 ×11 ×X 13 = 1001. Por ejemplo:

475475 = 475000 + 475 = 475 × 1000 + 475 = 475 × (1000 + 1) = 475 × 1001 = 475 × 7 × 11 × 13. Generalizando: sea abc un número cualquiera de tres cifras, entonces

abcabc = abc000 + abc = abc × 1000 + abc = abc × 1001 = abc × 7 x 13 × 11 Problemas y ejercicios

1. En un aula hay 39 alumnos, hay 3 niñas más que niños. ¿Cuántos alumnos hay de cada sexo? 2. En una cierta región de El Salvador, Carlos alquila su bicicleta a sus amigos a razón de dos bombones

por 4 horas o 12 dulces por 3 horas. Oscar le da a Carlos un bombón y 4 dulces. ¿Cuánto tiempo podrá conducir la bicicleta?

3. ¿Cuántos enteros del 1 al 100 tienen algún 5? 4. Un número natural es “palindrómico” si se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda.

Ejemplos: 101, 1331, 2882, 2112, 51915. ¿Cuántos números palindrómicos de tres cifras existen? 5. ¿Cuántos números primos menores que 100 tienen al 7 como dígito? 6. Se escriben los números naturales del 1 al 100, ambos inclusive. Se toman parejas de números cuya

suma es 50. ¿Cuál es el total de parejas que se formaron? 7. ¿Cuál es el menor entero positivo m para el que 2940m es un cuadrado perfecto? 8. La suma de seis números es par, el producto de los cuatro primeros es impar y el último es par. ¿El

quinto número es par o impar?

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Lecturas complementarias ALMEIDA CARAZO, B. A.; BORGES ECHEVARRÍA, J. T.: Didáctica de la resolución de problemas en la escuela media. La

Habana. DÍAZ GONZÁLEZ, M. (2006): Problemas de Entrenamiento para la Educación Primaria II. La Habana: Pueblo y

Educación. MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE EL SALVADOR. GECTI (2013): Resolución de Problemas I. págs.: 4 y 7 MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE EL SALVADOR. GECTI (2013): Resolución de Problemas II. Págs.: 3, 4, 6, 7 y 9. MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE EL SALVADOR (2010): Material de apoyo para Postgrados. Tercer Ciclo de Educación

Básica, Módulo 1.

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UNIDAD II

Los Números Naturales

1. Los números naturales: Usos Lo que distingue de manera más notable al hombre del resto de animales es el lenguaje articulado, lenguaje cuyo desarrollo fue esencial para el nacimiento del pensamiento matemático abstracto. Sin embargo, las palabras para expresar ideas numéricas aparecieron muy lentamente; los signos para representar números precedieron con toda probabilidad a las palabras para representar números. El hombre primitivo solo necesitó algunos cuantos números, los cuales representó mediante muescas en huesos o madera. Esta representación de los números, con una marca por cada elemento, solo es práctica para cantidades muy pequeñas, pero no sirve para números de varias cifras. Al irse desarrollando la humanidad se hizo necesario una mejor forma de representar a los números. En la actualidad los usos del número natural pueden ser:

1. Para contar: Puede utilizarse en contar a secas, contar objetos, en busca de la propiedad numérica de los conjuntos; cardinal, que da respuesta a la pregunta ¿cuántos?; o en busca de la propiedad numérica de los objetos; ordinal, que da respuesta a la pregunta ¿cuál?

2. Para numerar: Numerar o asignar números a los objetos, personas o cosas.

3. Para medir: Con la regla graduada, el termómetro, un cronómetro, una balanza

4. Para operar: Suma, resta, multiplicación.

5. Ejercicio: Proponga ejemplos de cada uno de los usos descritos anteriormente 1.1. Cálculo mental El cálculo que generalmente se hace fuera del aula es mental. Este tipo de cálculo se caracteriza porque: Se puede hacer rápidamente, se apoya en un conjunto limitado de hechos numéricos, requiere cierta habilidad; conteos, recolocaciones, compensaciones, descomposiciones, redistribuciones, asociaciones. Se busca reordenar los datos iniciales para trabajar con otros más cómodos, o más fáciles de calcular. La escuela debe buscar al final de la escolaridad destreza, eficacia y rapidez razonable para las situaciones de cálculo más habituales. Ejemplo 1: 8 + 7 = 8 + (2 + 7 − 2) = (8 + 2) + (7 − 2) = 10 + 5

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Ejemplo 2: Si gasto 87 centavos de dólar, ¿cuánto me devolverán si pagué con una moneda de un dólar? Para que utilizar el algoritmo estándar, si el resultado es más fácil si contamos hacia arriba

(87 + 3) + 10 = 87 + (3 + 10) = 87 + 13 Ejercicios: Resuelva de varias formas sin hacer uso de los algoritmos, e indique la que le parece más apropiada:

a) 547 − 189, b) 539 – 189 b) Invente algunos ejercicios y los resuelve.

Se convirtió el cálculo a secas, en cálculo pensado. Es un pequeño desafío, una labor inteligente, divertida, personal. 1.1.1. Cálculo mental. Las tablas La tabla de sumar, que estrategias utilizar para recordar las 11x11 combinaciones aritméticas básicas que se realizan con los dígitos. En el aula obligamos a memorizarlas ¿es conveniente?

1. Ceros: La suma de ceros no supone mayor problema. ¿Por qué?

2. Conmutatividad: cuando sumamos inmediatamente conmutamos para verificar el resultado. Proporcione ejemplos.

3. Conteo ascendente: Sumar 1, 2 ó 3 a cualquier número es algo sencillo de resolver, también se puede dominar sumar de forma ascendente de dos en dos, de tres en tres….

4. Dieces: sumar 10 a un dígito se facilita cuando se dominan las reglas sintácticas de nuestro sistema de numeración. Basta incorporar 1 a la izquierda del número dado.

5. Dobles: Sumas de números iguales son más fáciles de retener, el doblar puede generar una estrategia de cálculo.

6. Los doble más 1: Se descompone uno de los números; 7 + 8 = 7 + (7 + 1). Puede considerarse los dobles menos 1; (7 + 1) + (8 − 1)

7. El número misterioso: Son números casi vecinos entre los cuales hay un número escondido, es posible resolverlo encontrando el doble del número misterioso. 7 + 9 = (7 + 1) + (9 − 1)

8. Los nueves: Sumar nueve es como sumar 10 – 1.

9. La familia del diez: Se trata de organizar los datos que sumen lo mismo. Ejemplo el triángulo de dieces. Gauss y la suma de los primeros 100 números naturales.

10. Buscando el 10: Descomponer uno de los sumandos, completando el otro a 10.

7 + 4 = (7 + 3) + 1, 8 + 4 = (8 + 2) + 2, 8 + 5 = (8 + 2) + 3

Esta es una estrategia trascendental para el posterior despegue de uno de los habituales métodos de conteo rápido, el redondeo: 16 + 17 = (16 + 4) + (10 + 3).

11. Patrones: Los resultados al sumar ciertos números organizados adecuadamente pueden dar lugar a reglas o patrones.

8 + 6 = 14 = 6 + 8

18 + 6 = 24 = 16 + 8 28 + 6 = 34 = 26 + 8 38 + 6 = 44 = 36 + 8

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¿Cuál es el patrón en cada fila? ¿Si se extienden a ambos lados cada fila, hasta que números se podrá escribir? Ejercicios:

1. ¿Cuál es la regla para la tabla completa del 8? 2. a) 81 71 61 51 41 31 21

b) -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 c) 63 54 45 36 27 18 09

¿Qué relación tiene con la tabla del nueve? La tabla de multiplicar: Para determinar los productos es necesario alcanzar un buen dominio de la adición. Se desarrollarán estrategias que faciliten recordar ciertos patrones.

1. Conmutar: 6 x 4, se recuerda mejor 4 x 6

2. Doblar: La idea de multiplicar por dos es doblar, se recurre a la suma de dobles, se extiende sin dificultad el multiplicar por cuatro (doblar y doblar); o por ocho (doblar el doble del doble). Multiplicar por tres es añadir el doble.

4 x 7 = (7 + 7,14) + 14, 8 7 = (7 + 7,14), (14 + 14,28) + 28, 3 x 7 = (7 + 7,14) + 7

Ejercicio: De acuerdo al proceso de la estrategia 2, ¿cómo es multiplicar por 5, o por 6? ¿Doblar y añadir el doble?, ¿añadir el doble del doble?, ¿añadir el doble y doblar? Proporcione ejemplos.

3. Añadir un cero a la derecha: Equivale a multiplicación por 10

4. Cero y mitad: Para multiplicar por 5, se multiplica primero por 10, encontrando luego la mitad del resultado. 5 1 = (1061)/2

5. Descomposiciones: es una recurso al multiplicar por los números 3 y el 6 Unos más: 6 8 = (5 + 1) × 8 = 40 + 8, 3 × 8 = (2 + 1) × 8 = 16 + 8 Uno menos, es una estrategia reservada para el número 9: 9 × 8 = (10 − 1) × 8 = 80 − 8. Particiones: Efectuar la partición de los factores, logrando factores con menor valor absoluto

6. Patrones: Sin necesidad de efectuar ningún cálculo, encontrar regularidades. En la primera tabla, al observar el producto: las unidades decrecen y las de decenas crecen En la segunda tabla, al observar el producto las unidades decrecen las decenas crecen y la cifra de las decenas es 2 veces menor que la cifra de las unidades del multiplicando. Generalice.

1 × 9 = 09

99 = 11 × 9

2 × 9 = 18

108 = 12 × 9

3 × 9 = 27

117 = 13 × 9

4 × 9 = 36

126 = 14 × 9

5 × 9 = 45

135 = 15 × 9

6 × 9 = 54

144 = 16 × 9

7 × 9 = 63

153 = 17 × 9

8 × 9 = 72

162 = 18 × 9

9 × 9 = 81

171 = 19 × 9

10 × 9 = 90

180 = 20 × 9

17

Analizando cómo se realizan las operaciones en el cálculo mental, vemos que se utilizan las que acostumbramos llamar Propiedades Algebraicas de los números naturales. Ejercicios:

1. Sin efectuar el cálculo y utilizando la tabla anterior encuentre el producto de 27 × 9.

2. Encuentre todos los patrones observables en la tabla del 91.

3. Encuentre los patrones observables en la tabla del 3, generalice.

4. Analizar los siguiente trucos:

a) Para multiplicar por 5: 9 x 5 se encuentra la mitad de 9, 4.5, se le quita el punto 45. 8 X 5, 4.0, 40 7 X 5, 3.5, 35

b) Para multiplicar por 6: 6 x 9, se encuentra la mitad de 9, 4.5, se quita el punto 45, luego se suma 9, resultado 54. Efectúe 4 x 8, 4 x 7

c) Para multiplicar por 4: 4 x 9: Como el caso anterior, pero restando: 4.5, 45 – 9, 36. Realice las operaciones: 4 x 8, 4 x 7, 4 x 6.

d) Para multiplicar por 15: 15 x 9. Añadir un cero al multiplicador, 90 y sumar la mitad de lo que resulta, 90 + 45 = 135. Efectuar 15 x 8 y 15 x 7.

e) Para multiplicar por 11: 11 x 9, se añade un cero al multiplicador, 90 y se suma 9. Realice 11 x 54.

f) ¿Qué truco usaría para multiplicar por 99? ¿Y por 998?

Con estos trucos, se logra que el cálculo no sea rutinario, fomentando la utilización de estrategias, es importante un espacio en las clases para este tipo de cálculos.

1.2. La multiplicación con los dedos

Para efectuar sumas a veces se utilizan los dedos, ¿por qué no hacerlo con la multiplicación?, queda como tarea investigarlo. Pueden buscar en el sitio:

Ejemplos multiplicar con los dedos tabla del 9: http://goo.gl/SLzYZd

Proyecto Mat Pro en YouTube: http://goo.gl/bWxIkm

1.3. Cálculo pensado

1.3.1. Cálculo pensado aditivo: recolocación, descomposición, redondeo, conteo

Recolocación: Asocia y conmuta mentalmente los números, agrupándolos de forma tal que faciliten la operación, generalmente se asocian aquellos cuya suma de las unidades es 10 o múltiplo de 10.

54 + 73 + 76 + 37 = (54 + 76) + (73 + 37) Descomposición: Consiste en descomponer uno de los términos de la suma y transformar la operación en otra

más fácil. 72 + 128 = 70 + 2 + 100 + 28 = (70 + 100) + (2 + 28) De un sumando: 57 + 26 = 57 + 20 + 6 = (57 + 20) + 6 = 83. Complementando: 57 + 26 = 57 + 23 + 3 = 80 + 3 = 83. De un sumando por defecto: 57 + 26 = 57 + (30 - 4) = (57 + 30) - 4 = 87 - 4 = 83. Los dos sumandos: 57 + 26 = 50 + 7 + 20 + 6 = (50 + 20) + (7 + 6) = 70 + 13= 83. Un sumando: 51 - 23 = 50 + 1 - 23 = (50 - 23) + 1 = 27 + 1 = 28. Segregando un sumando: 51 - 23 = 51 - 20 - 3 = (51 - 20) - 3 = 31 - 3 = 28. Segregando un sumando, resta haciendo la misma terminación:

51 - 23 = 51 - 21 - 2 = (51 - 21) - 2 = 30 - 2 = 28

18

Redondeo: En la suma puede ser compensación y en la resta, conservación:

a) Compensación: Añadir a un sumando lo que se le quita a otro 92 + 83 = (92 + 3) + (83 − 3) = 95 + 80

b) Conservación: Añadir o quitar, redondeo por arriba:

447 − 89 = (447 + 1 + 10) − (89 + 1 + 10) = 458 − 100 Quitando, redondeo por abajo:

252 − 59 = (200 + 52) − (52 + 7) = 200 − 7 Conteo: Puede ir en dos direcciones:

a) Ascendente: Cuando es más cómodo trabajar de izquierda a derecha, trabajando con las unidades, decenas y centenas. 83 + 35: 80 + 30,110 + 8 = 118

283 + 435, 200 + 400, 600 + 80, 680 + 30, 710 + 3 + 5, 718 b) Descendente:

102 – 47. A 102 le resto 40, a 62 le quito 2, a 60 le quito 5, 55. Ejercicios Describir la estrategia utilizada:

a) 58 + 97 = 5 y 9 = 14, 8 y 7 = 15, llevo 1, 155 = 8 y 7 = 15, 5 y 9 = 14, me llevo 1, 155 = (58 + 90) + 7 = 148 + 7 = 155 = 8 + (50 + 97) = 8 + 147 = 155 = (50 + 90) + 8 + 7 = 140 + 15 = 155 = (58 - 3) + (97 + 3) = 55 + 100 = 155 = (58 + 2) + (97 - 2) = 60 + 95 = 155 = 97, 107, 117, 127, 137, 147 + 8 = 155 = (5 + 9) x 10 + (8 + 7)

b) 53 + 26 se haría 53, 63, 73 + 6 = 79 57 + 26, 57, 67, 77 + 6, 83 48 - 23: 23, 33, 43, (20) a 48, 25 51 - 23, 23, 33, 43, 51- 43 = 28

c) 47 + 86 + 53 + 14 = (47 + 53) + (86 + 14) ; 35 + 27 + 25 = (35 + 25) + 27 = 60 + 27 =

d) 57 + 26 = (57 + 3) + (26 - 3) = 60 + 23 = 83 51 - 23 = (51 - 1) - (23 - 1) = 50 - 22 = 28

1.3.2. Cálculo pensado multiplicativo: con papel y lápiz, distribución o factorización

1. Con papel y lápiz:

37 x 23, 3 x 7 = 21, me llevo 2, 3 x 3 = 9 le sumo 2 y da 11. Primera línea 111. 2 x 7 = 14, llevo 1, 2 x 3 = 6 le sumo 1 y da 7. Segunda línea 74, 111 + 74 (corriendo un lugar), 851.

Multiplicación de números terminados en uno: 32 x 11 = 3 (3 + 2) x 2 = 352; 89 x 11 = (8 + 1) (8 + 9) x 9 = 979. Multiplicación por números 101, 1001: 38 x 101 = 3838, 384 x 1001 = 384384.

9 x 2411; (9 x 2) es 18, (9 x 4) es 36, 216, (9 x 1) es 9, (9 x 1) es 9, total 21699. Mentalmente se realizan las operaciones siguiendo el algoritmo conocido en el sistema educativo.

19

Ejercicio Complementar:

1 × 1 = 1

11 × 11 = 121

111 × 111 = …

1111 × 1111 = …

11111 × 11111 = …

Ejercicio Distribución Se transforman uno o más factores en sumas o diferencias para aplicar la propiedad distributiva:

8 x 4211: 8 x 4000 es 32000, 8 x 200 es 1600, sumando 33,600, 8 x 10, es 80, 33680, 8 x 1, total 33688.

Aditivas: 14 x 38 es 14 x (30 + 8), 14 x 30 es 420, 14 x 8 es (10 + 4) x 8, es (80 + 32) es 112, total 532.

Sustractiva: 50 x 38, 50 x (40 − 2), 50 x 40 es 2000, menos 100, es 1900. Ejercicio Factorización: Consiste en la descomposición factorial de los términos del producto; aplicando luego las propiedades asociativa y conmutativa y distributiva del producto sobre la suma:

25 x 48: 5 x 5 x 6 x 8, (5 x 6) x (5 x 8), 30 x 40, total 1200.

Multiplicar y dividir por el mismo número: 75 x 12: 25 x 36, (5 x 5) x (6 x 6), (5 x 6) x (5 x 6), 30 x 30, total 900.

La mente se entrena y tiende a recordar operaciones especiales, por ejemplo:

5 x 5, 25 x 5, 125 x 5, 625 x 5, 3125… 52, 53, 54, 55… De lo visto anteriormente resulta más fácil calcular 25 x 48: descomponiendo los factores en (24 + 1) x (50 -2) 1.4. Explorando en Aritmética Descubrir la regla que permite realizar los siguientes productos:

85

8 + 1

9 5 × 85 →

× 8 5

72 25 → 7225

Es posible aplicarla a otras parejas de números:

84

8 + 1

9 4

83

8 + 1

9 3 × 86 →

× 8 6

× 87 →

× 8 7

72 24 → 7224

72 21 → 7221

82

8 + 1

9 2

72

7 + 1

8 2 × 88 →

× 8 8

× 78 →

× 7 8

72 16 → 7216

56 16 → 5616

¿Es cierto con otras parejas de números? ¿Es posible hacer una conjetura?

20

Ejercicios

1. ¿Qué sucede si la cifra de las unidades no suman diez? Conjeture.

2. ¿Qué sucede si la cifra de las decenas no son iguales? Conjeture

3. ¿Qué sucede si la cifra de las decenas son desiguales, y la cifra de las unidades no suman 10?

4. Analice el siguiente ejemplo:

33

4 2 + 1 38 →

× 3 8

12 16 → 1216 + 38

5. ¿Qué conclusiones puede obtener de los ejercicios anteriores?

6. Inventar juegos o problemas de cálculo mental y cálculo pensado. 1.5. Las tablas de doble entrada Las tablas de doble entrada permiten descubrir regularidades y patrones, es un excelente recurso en el aula, en lugar de las tablas tradicionales.

1. En la tabla de sumar: trazar diagonales y descubrir regularidades.

2. Utilizar la tabla para iniciar el estudio de las propiedades de la suma

3. ¿Cómo determinar el cociente y la resta, utilizando las mismas tablas?

4. En la tabla de multiplicar:

¿Qué regularidad observa en las filas y columnas?

¿Observa simetría al trazar la diagonal principal?

¿Si traza las diagonales secundarias, muestran regularidades?

Si formamos cuadrados y multiplicamos los extremos de las diagonales, ¿cuál es el resultado?

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

1.6. Propiedades de los números naturales El haber realizado cálculo mental, cálculo pensado, analizado tablas, ha llevado a la necesidad de formalizar propiedades que implícitamente se utilizaron y/o se redescubrieron.

21

Propiedades de la Adición La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

1. Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) 2. Conmutativa: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a + b = b + a 3. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el

número natural a, se cumple que: a + 0 = a Propiedades de la Multiplicación La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

1. Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a x b) x c = a x (b x c) 2. Conmutativa: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a x b = b x a 3. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número

natural a, se cumple que: a x 1 = a 4. Distributiva del producto respecto a la suma: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple

que: a x (b + c) = a x b + a x c Ejercicios:

1. Sin efectuar el producto determine qué otros productos dan el mismo resultado

a) 125 x 80 = 1250 x 8 = 250 x 40 b) 500 x20 = c) 25 x 16 =

2. Los dígitos 1, 2, 4, 5, 7 y 8, pueden separarse en dos grupos de tres números o en tres grupos de dos

números, manteniendo el orden. Estos grupos pueden sumarse: 124 + 578 = 702; 12 + 45 + 78 =135. Reordenar los números de tal forma que al formar dos grupos de tres y tres grupos de dos, sus respectivas sumas sean: 999 y 99.

3. Enuncie las propiedades de la resta y de la división de los números naturales.

2. Los algoritmos

La palabra "algoritmo" es de origen árabe. Viene de "Al-Khwarizmi", sobrenombre del célebre matemático Mohamed ben Musa. Khwarizmi que quiere decir "de khwarizm", el estado donde nació Ben Musa. Al Khwarizmi vivió entre los años 780-840. 2.1. Los algoritmos de lápiz y papel, características Son los que se utilizan en nuestro sistema educativo, facilitan el trabajo de operar; pero inhiben la creatividad del alumno al no permitirle desarrollar sus propios esquemas para realizar las operaciones. Un buen intento sería dejar que el estudiante desarrolle sus propios métodos para efectuar las operaciones básicas, nos sorprenderíamos de la gama de posibilidades que se obtendría, después por supuesto se estudiarán los algoritmos tradicionales.

22

2.2. Los algoritmos en el currículum 2.2.1. Algoritmos para la suma La enseñanza del “cálculo flexible" plantea la necesidad de integrar la enseñanza del cálculo mental con la del algoritmo escrito. Esta idea va dirigida contra la práctica escolar de ejercitar el cálculo mental después del cálculo escrito, ya que esto produce que muchos alumnos tiendan a resolver el problema de cálculo mental emulando las técnicas del cálculo escrito. La suma se puede optimizar utilizando columnas, los algoritmos implícitamente utilizan las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva.

La presentación instrumental, siguiendo los pasos al desarrollar la suma primero en la forma expandida, luego extendido, enseguida abreviado llevan poco a poco al algoritmo estándar o algoritmo usual. Es un recurso que puede utilizarse en el aula.

EXPANDIDO

EXTENDIDO

ABREVIADO

ESTÁNDAR

50 + 6

56

56

56

+ 40 + 6 + 49 + 49 + 49

90 + 15

15

(9 + 1) 5

105

(90 + 10) + 5

90

Ejercicios

1. Realice la suma de 456 + 749 en las cuatro formas vistas. 2. Analizar las siguientes sumas, utilizando columnas, se han seguido algunas reglas, ¿cuáles son?

486 486 486 3435

+ 758 + 758 + 758 + 3635

1 1

1 3

1 1 1

70

1 3

1 1

1 3 4 70

1 4

1 4

7070

1 2 4 4

Estos son algoritmos que deberían realizarse en el aula, antes de estudiar el algoritmo tradicional

2.2.2. Algoritmos para la resta

La presentación instrumental, siguiendo los pasos al desarrollar la resta; primero en la forma expandida, luego extendido, enseguida abreviado llevan poco a poco al algoritmo estándar o algoritmo usual. Es un recurso que puede utilizarse en el aula.

EXPANDIDO

EXTENDIDO

ABREVIADO

ESTÁNDAR

500 + 60 + 7

567

567

567

-200 + 40 + 1 -241 -241 -241

300 + 20 + 6

6

6

356

20

2

300

3

23

Ejercicios

1. Represente restas en la recta real. 2. Cómo restar si algunas cifras del, sustraendo son mayores que el minuendo

¿Qué formas usar? Restar 27 de 54.

Compensando: 54 + 3… 57 -(27 + 3) -30 : 54 + 10 50 + 14 -(27 + 10) -(30 + 7)

Reagrupamiento: 54 40 + 14 -27 -20 - 7

3. ¿Qué reglas se han seguido en este algoritmo:

3043

-2139

04

09

0904

4. ¿Cómo se puede hacer esta resta con una calculadora normal de ocho dígitos?

616737053401 - 104350737616

2.2.3. Algoritmos para la multiplicación La práctica de la multiplicación se puede optimizar usando tablas de doble entrada y columnas: Ejemplo: 27 x 23 = (20 + 7) x (20 + 3) = 400 + 60 + 140 + 21 = Al realizar los cuatro productos, se han utilizado implícitamente propiedades: distributiva del producto sobre la suma y asociativa.

20 + 3

2 3

23

7 7 x 20 7 x 3

1 6 1 7

x 27

+

4 6

2

161

20 20 x 20 20 x 3

6 2 1

46

621

Multiplicando por un dígito. La presentación instrumental, siguiendo los pasos al desarrollar el producto: primero en la forma expandida, luego extendido, enseguida abreviado llevan poco a poco al algoritmo estándar o algoritmo usual. Es un recurso que puede utilizarse en el aula. 546 X 7

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Multiplicando por dos dígitos:

El enrejado, “Pérez se Moya, 1563”

¿Qué reglas se han seguido en estos algoritmos al multiplicar 7435 x 327?

1. La multiplicación rusa o campesina. Descubre la regla

0) 82 35

1) 41 70

0) 20 140

0) 10 280

1) 5 560

0) 2 1120

1) 1 2240

25

2.2.4. Algoritmos para la división Características del algoritmo conocido:

1. Es un algoritmo de izquierda a derecha

2. Se buscan dos resultados: cociente y residuo

3. Hay restricciones el residuo es menor que el cociente

4. Es un algoritmo en el cual hay que descomponer, estimar, encuadrar, comprobar y si es necesario rehacer.

5. Necesita de otros algoritmos Revisemos la presentación instrumental; siguiendo los pasos al desarrollar el cociente primero en la forma expandida, luego extendido, enseguida abreviado llevan poco a poco al algoritmo estándar o algoritmo usual. Es un recurso que puede utilizarse en el aula.

Se tiene el resultado 78315 = 36x2175 +15 Podemos decir entonces que si el dividendo es diferente de cero (D≠ 0) y el divisor d es mayor que cero (d>0), el cociente es mayor o igual a cero (c ≥ 0) y el residuo está comprendido entre cero y el divisor (0≤ r ≤ d), entonces; DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE +RESIDUO; D = d x c + r En el aula la división se estudia en dos contextos el de reparto y el de sustracción. Ejemplos:

Repartir 15 dulces entre 4 niños; cae en la categoría de reparto.

15 dulces repartidos de 4 en 4. ¿Para cuántos niños? Que sucede si descomponemos el dividendo Ejemplos: Cuando se divide descomponiendo el dividendo, se adecuan las estimaciones para evitar cálculos innecesarios

154 : 11, a partir de que 110 = 11 x 10 675 : 9, a partir de que 63 = 9 x 7

26

Escribiendo en columnas, se tiene:

parecido al algoritmo que conocemos. La estimación-descomposición, no tiene la rigidez de otras técnicas, existen más posibilidades:

Ejercicio 1. Es posible dividir 5558 entre 168 de la manera siguiente:

3. Sistema de numeración decimal 3.1. Lectoescritura de números El sistema de numeración decimal, se llama decimal o de base diez porque se utilizan diez símbolos para representar todos los números. Los diez símbolos, cifras son los números dígitos: 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 La relación decimal que hay entre las cifras es:

27

1 decena = 10 unidades, 1 centena = 10 decenas. 1 millar = 10 centenas 1 cent. de mil = 10 decenas de mil, 1 millón = 10 centenas de mil.

Ejercicios

1. ¿Cuántos millares tiene 1 decena de millar? ¿Y 4 decenas de millar? 2. ¿Cuántas centenas de millar son 1 millón? ¿Y 7 millones? 3. ¿Cuántos ceros hay que poner a la derecha de 1 para escribir 1 billón? 4. ¿Qué significa la primera cifra de la izquierda en un número de dos cifras? ¿Y en un número de cuatro

cifras? ¿Y en un número de cinco cifras? 5. Escribir los números: Ocho millones trescientos cuatro mil seis. Setenta y dos millones cuatrocientos

veinte mil ochenta y siete. Cinco billones setecientos veinte mil seiscientos treinta millones ochocientos cincuenta y cuatro mil setecientos ochenta y cuatro.

6. Efectuar las divisiones en grupos de tres cifras y leer los siguientes números:

6235759 42127652 645327924 1284375968 74345688 454575656

7. Indicar el valor de posición de la cifra 7 en cada uno de los números del ejercicio anterior. 8. Observar el número 9183615957. ¿Cuál es la cifra de las decenas de mil o decenas de millar? ¿Cuántas

decenas de millar tiene el número? ¿Cuántas decenas tiene el número dado? ¿Cuántas decenas de millón tiene? ¿Cuál es la cifra de las decenas de millón?

9. Escribir cómo se leen los siguientes números:

32425648159864 5328734483187 42286354284327

10. Escribir el siguiente número:

Un billón setecientos cuarenta mil trescientos veinte millones ochocientos veinticinco mil setecientos veinticinco.

11. Escribir el número mayor y el número menor de seis cifras y de cinco cifras. 12. Escribir el número mayor y el número menor de seis cifras con las cifras 2, 8, 6, 4, 5 y 9 sin repetir

ninguna. 13. ¿Cuántas unidades hay en 9 decenas? ¿En 7 centenas? ¿En 8 unidades de mil? 14. Expresar en unidades.

100 centenas = 9 decenas de mil =

55 unidades de mil = 302 centenas = 2783 decenas = 74 unidades de mil = 5 decenas de mil = 6.107 decenas =

15. Escribir el número mayor de 2 cifras, el mayor de 3 cifras y el mayor de 4 cifras. 16. Escribir todos los números de 2 cifras que tengan el cero en el lugar de las unidades 17. Escribir la decena más próxima a cada uno de los siguientes números:

89 37 59 74 62 41 92 26 69 77

18. Escribir todos los números de 3 cifras que tengan un 5 en el lugar de las decenas y un cero en el lugar

de las unidades.

28

3.2. Comparar números Axiomas de Peano: Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

El 1 no es el sucesor de ningún número natural.

Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los números naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.

Es decir Si n es un número natural el sucesor de n es n + 1 y n es menor que n + 1, el antecesor de n es n – 1, y n -1 es menor que n. Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede redefinir así: a ≤ b si y sólo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es válido con todas las operaciones aritméticas ya que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, se cumple:

a + c ≤ b + c a x c ≤ b x c

El conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado ya que para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b; siendo A subconjunto de los naturales Ejercicios

1. Colocar el signo correspondiente > o < entre los siguientes pares de números.

7242____________ 6734 24100 __________24110 12000___________ 99993 6090 ____________6009 13870__________ 13781 27000____________ 27007 12500 __________12050 301 ______________310

2. Ordena de mayor a menor los siguientes números naturales, colocando entre número y número el

signo correspondiente: 25364, 1474, 12650, 17348, 800, 4219, 5004, 350, 45660. 3. Ordena de mayor a menor los números siguientes, colocando entre número y número el signo

correspondiente: 346825, 457321, 128643, 578700, 800000 4. Completa con el signo > (mayor que) o < (menor que).

437281 437370 576230 654123 631420 632450

3.3. Forma polinómica los números

La descomposición polinomial o polinómica de un número: es la descomposición de un número expresando el valor posicional de sus cifras usando potencias de la base del sistema de numeración.

Ejemplos:

El número 6737, escrito en el Sistema de Numeración Decimal, se descompone en forma polinómica de esta manera:

29

6737= 6x1000 + 7x100 + 3x10 + 7x1 = 6x103+ 7x102 + 3x101 + 7x 100

El número 111010, escrito en el sistema binario (de base 2), se descompone en forma polinómica de la manera siguiente:

1x25+1x24 + 1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20; 111010 en base 10 sería: 32 + 16 + 8 + 0 + 2 +0 = 58

1110102 = 5810

Ejercicios

1. Realizar la descomposición de los siguientes números. Un ejemplo:

3546 = 3000 + 500 + 40 + 6 = 3 u m, 5 c, 4 d, 6 u 6134, 6070, 8008, 20501785

2. Realizar la descomposición polinómica de los siguientes números.

14.576.031 = 5 x 100.000 + 7 x 10.000 + 6x 1.000 + 3 x 10 + 1 820408 = 73.875 =

3. Escribir los números que corresponden a las siguientes descomposiciones:

a) x 1000000 + 7 x 100000 + 5 x 10000 + 3 x 1000 + 6 x 100 + 8 X 10 + 37 b) x 100000 + 3 x 10000 + 7 x 1000 + 8 x 100 + 4 x 10 + 6 c) 3 x 1000 + 8 x 100 + 6 x 10 + 4

4. Dados los siguientes números:

846327, 57963426, 589326485, 2239761, 3000

a) Escribir cómo se leen. b) Efectuar la descomposición polinómica de cada uno. c) Ordenarlos de menor a mayor d) Hallar el valor de posición de la cifra 3 en cada número.

4. Sugerencias metodológicas

4.1. Uso de ábacos, bloques multibase, los números en color, monedas, numerator Las actividades manipulativas son esenciales para la comprensión del valor de posición de las cifras en el sistema de numeración. Se describen algunos de los materiales más frecuentemente utilizados. Ábacos Son juegos de varillas insertadas en un bastidor sobre las que se deslizan bolas o fichas como en un collar. Reproducen físicamente las características de los sistemas de numeración posicionales ordenados ya que las bolas representan un valor numérico diferente según la posición de la varilla en están colocadas.

30

Ábaco chino, ábaco japonés, ábaco ruso. En el ábaco decimal cada bola representa una unidad, pero bolas situadas en varillas diferentes representan unidades de distintos órdenes; sobre cada varilla se tiene una potencia de la base. En cada varilla habrá 9 bolas como máximo ya que al añadir otra más se sustituyen por una bola colocada en la varilla de la izquierda. Ábacos no proporcionales. Antes de utilizar los ábacos no proporcionales se recomienda usar variantes en los cuales no se usa el convenio del valor de posición, de modo que, por ejemplo, el número 23 queda expresado con dos hileras de 10 bolas y otra de tres. En cada hilera, que se coloca horizontalmente, que ponen 10 bolas, 5 de un color y 5 de otro. Bloques multibase

Los bloques multibase se presentan en cajas, una para cada base de numeración. En cada caja existen piezas (generalmente de madera o material plástico) de cuatro tipos: cubos, barras, placas y bloques. Los cubos representan las unidades simples o de primer orden, las barras las unidades de segundo orden, las placas las de tercero y los bloques las de cuarto orden. Forman un sistema de numeración por agrupamiento múltiple. Cada pieza corresponde a una potencia de la base. La representación de un número se corresponde con el tamaño de la cantidad ya que van arrastrando todas las unidades. Palillos, cordones, o cualquier otro material cotidiano, enlazados o distribuidos en cajas, haciendo grupos de diez unidades, reproducen las características de los bloques. Números en color o Regletas de Cuisinaire

Los números en color, también llamados regletas de Cuisenaire, son una colección de varillas coloreadas de longitudes que van desde 1 cm (unidades) a 10 cm (decenas) que permiten reproducir las características de los sistemas de numeración de agrupamiento simple. Las varillas tienen forma de prisma cuadrangular de un centímetro cuadrado de sección y sus longitudes varían de centímetro en centímetro desde uno hasta diez. Las regletas que tienen el mismo color tienen también la misma longitud. Los distintos tamaños permiten ordenar las regletas, formando escaleras; uniéndolas por los extremos se pueden obtener distintas longitudes que representarán números diferentes y las operaciones aritméticas.

Monedas

Las operaciones básicas pueden ser realizadas utilizando monedas, un recurso un poco más fácil de conseguir. Se presenta en la plataforma un trabajo realizado por el Lic. Luís Edmundo Ramírez Fuentes, maestro salvadoreño.

Numerator

El Numerator es un material manipulativo que se utiliza en la clase de Matemática como apoyo para el profesorado a la hora de que los alumnos desarrollen su capacidad de abstracción y razonamiento, partiendo de la manipulación y realidad concreta de éste, tanto en la enseñanza de la numeración, como en la referida al bloque de operaciones en esta área.

31

Lecturas complementarias

GÓMEZ ALFONSO, B. (1989). Numeración y Cálculo. Madrid: Síntesis. BOYER CARL, B. (1994). Historia de la Matemática. Madrid: Alianza. MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE EL SALVADOR: Material de autoformación e innovación docente Matemática. Primer

grado de Educación Básica (pág. 40 a 111). Segundo grado (pág. 17-40). Tercer grado (pág. 17-26, 56-68). Cuarto grado (pág. 16- 25). Quinto grado (pág. 16-26).

Recursos en internet

Historia de los números naturales. Disponible en: http://goo.gl/psNGSo Numerator: un material manipulativo en el aula. Archivo pdf disponible en: http://goo.gl/iHDffS La suma con bloques multibase. Disponible en: http://goo.gl/qsVUL8 Números de colores. Una versión digital de las regletas de Cuisenaire. Disponible en: http://goo.gl/aIDyPR Manipuladores para álgebra. Disponible en: http://goo.gl/MmVu94

32

3.1.

Motivación

3.1.1 Los husos horarios

Sabemos

que

la

Tierra

tiene

su

movimiento

de

rotacion

de

o este

a

este.

Por

tanto,

dada

una

hora

en

un

lugar

X,

será

mas

tarde

en

los

lugares

al

este

de

X

y

más

temprano

en

los

lugares

al

o este

de

X.

Para

determinar la

hora

en

cada

punto

de

la

tierra,

esta

se

ha

dividido

en

24

franjas

que

son

los

husos

horarios. Se

llama

hora universal

o

huso

cero

a

la

hora

del

meridiano

de

Greenwich.

Y

cada

vez

que

se

pasa

de

un

huso

a

otro

se pierde

o

se

gana

una hora,

segun

se

vaya

hacia

la

izquierda

o

hacia

la

derecha,

resp ectivamente.

La

hora 0 corresponde

a

las

12

p.m.,

o

sea,

el

comienzo

de

un

nuevo

d ıa.

Cuando

en

la

Ciudad

de

Greenwich

son

las

0 horas, entonces

tenemos

que

en

las

ciudades

de:

1.

Bogota,

La

Habana,

New

York

y

Panama

son

las

7

p.m.

2.

Guatemala,

Managua,

San

Jose

y

San

Salvador

son

las

6

p.m.

Los Números Enteros

Figura 5: Husos horarios

33

¿Que

hora

es

en

San

Salvador

cuando

en

Rio

de

Janeiro

son

las

10

a.m?

Investigar

los

conceptos de

longitud

y

latitud

y

como

se

usan

para

lo calizar

un

sitio

en

la

tierra,

y

determinar

¿Que

hora

exacta

es

en San

Salvador

cuando

en

Pekín son

las

8:00

a.m.?

3.2.

El conjunto ℤ

, algoritmos

3.2.1 Caracterizar los Números negativos

3.2.1.1.

Realizar desplazamientos horizontales y

verticales

Cuadro 2

3.2.2 Actividades y problemas 3.2.2.1 El significado de números con signo.

1. La temperatura de mercurio, el planeta más cercano al sol, puede ser tan alta como 873 o

F. La temperatura de Pluton, el planeta más alejado del sol, es de -393o F. ¿Cual es la diferencia entre estas temperaturas? 2. Marıa vive en una región de Canada y anota cada hora durante cinco horas la temperatura, conforme se aproximaba un frente frıo. La siguiente tabla muestra los datos.

¿Cual fue el promedio en el cambio de temperatura por hora?

Hora 1 2 3 4 5 Cambio de temperatura 2 -2 -8 -10 -2

4.Un caracol quiere subir una pared de 8 metros de altura. Durante el dıa sube 3 metros pero durante la noche se duerme y resbala 2 metros. ¿Al cabo de cuantos dıas llega a la cuspide de la pared?

3.2.2.2 Estados y variaciones

5. Un numero con signo puede tener dos interpretaciones:

(+3)

(-2)

(+5)

(-6)

(+1)

( -7)

0

( -8)

(+4)

(+2)

B

34

a ) El numero +3 puede significar un estado (3 unidades por encima del cero) o una variación positiva (un aumento de 3 unidades).

b ) El numero −8 puede significar un estado (8 unidades por debajo del cero) o una variación negativa (una disminución de 8 unidades).

Ası, los estados y las variaciones se representan con los numeros con signo, es decir, con los numeros enteros. Por ejemplo, en cada una de las siguientes situaciones marca con una X si la situación se refiere a un estado o a una variación, y escribir el numero entero correspondiente.

Situacion Estado Variacion Numero entero

Esta noche la temperatura ha bajado 8 grados

Hemos dejado el carro en el tercer sótano del estacionamiento

Ayer subı 8 pisos sin descansar

La temperatura mınima posible es de 273o C bajo cero

Faltan dos minutos para el lanzamiento de una nave hacia la Luna

En este mes me he gastado 110 dólares en el mercado

Cuadro 4

3.2.3 Estados y variaciones para introducir algoritmos de suma y resta de enteros.

6. Considerar las siguientes situaciones: A) Estamos en el octavo piso de unos almacenes mirando juguetes y a continuacion

bajamos cuatro pisos para comprar unos calcetines. ¿En que planta estaremos?

B) Un avión vuela a 5000 m de altura y se prepara para aterrizar descendiendo hasta 4400 m ¿A que altura está?

C) Hoy la temperatura ha subido 7o durante la man ana y ha bajado 5o durante la noche ¿Cuál ha sido la variación total de la temperatura?

D) Estamos en un ascensor: primero bajamos tres pisos y a continuacion bajamos cinco mas ¿Cuál ha sido la variación total de la altura?

E) Un buzo esta nadando debajo el agua: primero baja 5 m, y después sube 3 m ¿Cual ha sido la variación total?

Observar que siempre tenemos un estado y a continuacion una variacion, o bien una variación y a continuación otra variación. Por tanto se trata de sumas de numeros enteros. Podemos escribir las operaciones ası:

Situacion Estado inicial A continuacion Variacion = Estado final Simbolicamente A +

8

+ -4

= +4

(+8)+(-4) = +4

B + 1a Variacion A continuacion 2a Variacion = Variacion total

C + = D -

3

+ -5

= -8

(-3)+ (-5) = -8

E + =

Cuadro 5: Para distinguir los signos de los numeros enteros de los signos de las operaciones se escriben los numeros enteros entre parentesis.

35

31

Sustancias Temperatura de fusion Temperatura de ebullicion Mercurio +357o Alcohol −114o +78o

Oxıgeno −219o −138o

7. Ahora piensa dos enunciados diferentes para cada una de las siguientes operaciones: primero un estado inicial y a continuación una variación y segundo una variacion y a continuacion una variación. (+7) + (−4) = (−2) + (+5) = (−2) + (−5) =

8. Imaginemos que hemos puesto a calentar agua. La temperatura ha aumentado 70o y el

agua ha llegado a 87o ¿Cuál era la temperatura inicial? Lo que tenemos que hacer es: Estado inicial

+ Variacion = Estado final

+ (+70) = (+87)

Cuadro6 Cuadro7

Observa que hacemos una resta siempre que conocemos un sumando y el resultado de la Suma hoy queremos conocer otro sumando. Ahora construye una tabla semejante a la tabla 5, coloca los datos y encuentran lo que se pide en las siguientes situaciones:

A Hemos subido 25 pisos de un rascacielos y nos encontramos en el piso 47 ¿En qué piso estábamos cuando empezamos a subir?

B Hemos bajado 17 pisos desde el piso más alto de un rascacielos y estamos en el piso 43 ¿Cuntos pisos tiene este edificio?

C Un avión se encuentra a 5 km de altura y para evitar una tempestad sube 8 km ¿Cuánto ha subido?

D La temperatura este mediodıa era 38o y esta tarde de 24o ¿Cuál ha sido la variacion?

3.2.3.1 Sumas y restas en la recta real

9. Usar la recta numerica para representar las restas y observar que cada una de las resta se puede convertir en una, sumado cambiando el signo de la variacion, es decir,

(+a) − (+b) = (+a) + (−b) y (+a) − (−b) = (+a) + (+b).

10.Podemos encontrarnos todavıa con otras situaciones que tambien son restas de numeros enteros. Completar la tabla siguiente. Usar la recta numerica para representar cada situacion.

Situacion 1a Variacion A continuacion 2a Variacion = Variacion total Operacion +7 + = +12 (+12)-(+7) = +5 +9 + = +4 + +5 = +2

+4 + = -2 (-2)-(+4) = -3 + = -7 + +2 = -4

Cuadro 8

11. Los estados de la materia son: el sólido, el lıquido y el gaseoso. La temperatura de 0o C es la

temperatura de fusion del hielo y la temperatura de 100o C es la de ebullicion del agua. Todas las sustancias tienen una temperatura de fusión y una de ebullicion. En la tabla 9 se consideran tres casos interesantes: Responde:

Estado Final

- Variacion = Estado inicial

(+87) - (+70) = (+17)

36

a ) ¿Cuánto debe aumentar la temperatura para que cierta cantidad de alcohol pase

de 30o a la temperatura de ebullicion?

b ) Haz otras preguntas para el cálculo de variaciones. 3.2.4. Interpretación geométrica del producto

Tomando el producto en ℤ como una prolongacion del producto en ℕ, tendra que ser conmutativo, asociativo y distributivo respecto de la suma; por otro lado, si aplicamos el concepto de producto como adicion repetida, el caso se ve reducido a probar que (−1) × (−1) = 1. Esto puede hacerse demostrando que −1 es la unica solución de la ecuacion 1 + x = 0. En efecto: 0 = (−1),0 = (−1)((+1) + (−1)) = (−1)(+1) + (−1)(−1) = (−1) + (−1)(−1) lo que implica que (−1)(−1) = +1. Esta justificación formal no está, en general, al alcance de los alumnos entre 12-13 an os. Por tanto, hay que proponer otros métodos que permitan comprobar la necesidad de la regla de los signos. Dos de tales metodos son:

a ) En la figura 10 se muestra una interpretacion geometrica del producto Encuentra las siguientes multiplicaciones: (+2) × (+3), (+2) × (−3), (−2) × (+3) y (−2) × (−3).

Figura 10: Interpretacion geometrica del P roducto

3.2.5. Simetría de la tabla de multiplicar

b ) La simetrıa de la tabla de multiplicar Completa la tabla de la figura 11 . Y observa que la tabla es simetrica respecto a los ejes dibujados y si cambiamos los dos signos el resultado tambien es el mismo.

37

Figura 11: Simetrıa de la tabla de multiplicar

14. Hallar todas las descomposiciones en factores de los numeros: (+12) y (−12). Lo cual puede servir para introducir la division de enteros.

15. Es interesante trabajar la propiedad distributiva para agilizar las operaciones, consolidar el uso de parentesis, pero sobre todo porque refuerza la ley de los signos de la multiplicacion. Completa el cuadro 12 siguiente: ¿Que observas? ¿Por que?

a b C a + b (a + b) · c a · c b · c (a · c) + (b · c)

+3 -6 -3

-15 -20 -5

+4 +1 -2

+16

-8 -8

16. Utiliza papel cuadriculado y traza rectas numericas perpendiculares. Despues dibuja los

polıgonos que se indican: a ) Un triángulo cuyos vertices son los puntos (+1, +1), (−2, +1) y (−1, +2). b ) Un cuadrilatero cuyos vertices son los puntos (+1, +2), (−3, +1), (−2, −2) y (+3, +1) c) Un pentagono cuyos vertices son los puntos (+4, +1), (−3, 0), (−1, −1), (+2, +3) y (+5, −2).

3.3 El conjunto ℤ, estructura

Hay situaciones importantes que se expresan con: un numero natural y el signo + o − delante del numero natural. Por tanto, es necesario ampliar el conjunto ℕ de los numeros naturales. Para ello, hacemos lo siguiente:

1. Consideramos los numeros naturales como enteros positivos, identificando, por ejemplo, 5 con +5, 1820 con +1820, etc.

2. Por cada entero positivo, añadimos el correspondiente entero negativo. Con +12, tendremos

−12; con +18, −18; con +45, −45, etc.

38

3.3.1 Orden en el conjunto de los números enteros

La ordenación de los numeros con signo viene dada por la necesidad de definir una relacion de ordenación compatible con la suma. En general, la regla de ordenacion de numeros con signo nos dice que:

1. Para cualesquiera n y m números naturales se tiene que −n < m. 2. Si n < m, entonces +n < +m. 3. Si n > m, entonces −n < −m

3.3.2 Propiedades del conjunto ℤ El conjunto ampliado es el conjunto de los numeros enteros y suele designarse por ℤ. En el cuadro 14 se muestran las propiedades de los numeros enteros para a, b y c ∈ ℤ.

Propiedad Adicion Multiplicacion

Clausura a + b ∈ ℤ. a · b ∈ ℤ. Conmutativa a + b = b + a a · b = b · a

Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)

Elemento neutro a + 0 = 0 + a = a a · 1 = 1 · a = a

Elemento inverso a + (−a) = 0 No existe

Distributiva a · (b + c) = a · b + a · c

Uniforme Si a = b entonces a + c = b + c Si a = b entonces a · c = b · c

Cancelativa Si a + c = b + c entonces a = b Si a · c = b · c y c = 0 entonces a = b

Orden a < b ssi b − a > 0

Transitiva Si a < b y b < c entonces a < c

Monotonıa Si a < b entonces a + c < b + c Si a < b y c > 0 entonces a · c < b · c

Monotonıa Si a < b y c < d entonces a + c < b + d Si a < b y c < 0 entonces a · c > b · c

Tricotomıa Dados a, b ∈ ℤ. solo una de las siguientes es cierta:a = b, a < b o a > b

Entre dos enteros existe un numero finito de enteros

ℤ. no tiene ultimo ni primer elemento Todo numero entero tiene un antecesor y un sucesor

Cuadro 13: Propiedades del conjunto ℤ. de los numeros enteros

3.4 Sugerencias Metodológicas

En la escuela se usa una variedad de modelos concretos en diversos contextos, en la ensen anza de numeros enteros; como: deudas y haberes o perdidas y ganancias, juegos con puntuaciones positivas o negativas, personas que entran o salen de un lugar o suben o bajan de un medio de transporte, temperaturas medidas por un termometro, altitudes por encima o debajo del nivel del mar, ascensores que bajan o suben a los pisos, an os antes o despues de Cristo, objetos o seres que recorren un camino con dos sentidos de recorrido y posiciones y desplazamientos sobre la recta numerica. Pero tambien es conveniente incluir otros modelos como: fichas o bloques de dos colores o el uso de un nomograma. Este es el caso de una experiencia en el sistema educativo salvadoren o, en la cual se ha experimentado con nin os y nin as de primero a cuarto grado, la introducción de los numeros enteros reflejando sobre una recta los numeros naturales, de tal forma que donde se localiza un espejo traslucido colocamos el cero. De esta forma se ha

39

trabajado el concepto del opuesto de un entero positivo como el numero a igual distancia del cero dentro del espejo y viceversa. Lo anterior ha permitido generar el opuesto de un negativo, por ejemplo − (−4) = +4. 3.4.1 El nomograma Esta formado por tres escalas paralelas graduadas a partir de un mismo nivel, con el convenio ya establecido de que a la derecha del cero se acuerda representar enteros positivos y a la izquierda los enteros negativos. Además la escala intermedia esta exactamente, en medio de las otras dos exteriores a ella y graduada en módulos a mitad de aquella. Para representar la adición, las dos escalas exteriores actuan como escalas de los sumandos y la escala intermedia como la escala de suma o total. Lo demás, operativamente, es simple, pues basta con unir por medio de un segmento de recta a los numeros enteros que son los sumandos, en las escalas externas, y en el punto en que este segmento corta a la escala intermedia se ubica la suma de los enteros dados. En la figura se representan las siguientes sumas:

(+3) + (+2) = +5, (+1) + (+3) = +4, (+2) + (−4) = −2, (−1) + (−3) = −4 y (−4) + (−1) = −5

Figura 14: Suma de enteros en el nomograma.

En la resta cada una de las escalas tiene funcion diferente. La escala superior actua como sustraendo, la intermedia como el minuendo y, la inferior, como la escala de la resta o diferencia. Para operar se une el minuendo con el sustraendo por medio de un segmento de recta, que se prolonga hasta que corte la escala inferior o de la diferencia. El punto en que la prolongacion del segmento corte a esta escala, se encuentra la diferencia o resta de los dos numeros enteros dados. En la figura 15 se representan las siguientes restas:

(+5) − (+3) = +2, (+4) − (+1) = +3, (−2) − (+2) = −4, (−4) − (−1) = −3 y (−5) − (−4) = −1

Figura 15: Resta de enteros en el nomograma.

40

3.4.2 Fichas Podemos usar fichas de dos colores para representar enteros. Por ejemplo, fichas amarillas pueden representar numeros positivos y fichas rojas numeros negativos. Ahora observa:

figura 18 Ejercicio: Elaborar materiales en papel foamy y realizar otras operaciones 3.4.3. Cruce de cruces: representación de la ley de los signos de la multiplicación Consiste en usar dos cruces, construidas de cartulina, en cuyos brazos se asignan alternativamente los signos positivos + y negativo −. En uno de los brazos se usa como indicador el asterisco *. Una vez construidas se colocan de tal forma que queden superpuestos los signos que desean multiplicarse. El signo del producto es el que coincide por superposición con el brazo de la cruz en que se ha dibujado el asterisco.

Problemas y ejercicios

1. Pitágoras nació el año 585 a.C y murió el año 495 a.C ¿Cuántos años vivió Pitágoras?

2. Ordenar los siguientes números enteros de menor a mayor: a) 5, 0, – 2, – 5, 4, 7, – 7, – 1 b) 5, 4, – 4,

12, 10, – 12, 8

3. Quitar los paréntesis y calcular: a) 20 + (– 15) + 8 – (– 9) b) 12 + (– 7) – (– 10) + 6 c) – (– 6) + 8 – (–

3) – (– 7) d) – 2 – (– 1) – (– 8) + (– 7) e) 15 – 9 – 8 – [– (– 9)] f) – 10 – (– 7) – (– 4) + 3 g) (– 6) – (– 5) – [–

(– 3)] + 1 h) – (– 2) – [– (– 7)] – (– 5) – [– (– 3)]

4. Un avión vuela a 8 000 m de altura. Sube 1 000 m para evitar una tormenta y luego desciende hasta los 2 600 m. ¿Cuántos metros ha descendido el avión?

3.5. Lecturas complementarias

1.MINED, Curso I, Algebra de Números Reales. 2010. Materiales de Apoyo de Postgrado, Tercer ciclo

2.MINED, Material de Autoformación e Innovación Docente, Matemática, Viceministerio de Ciencia y

Tecnología. Segundo grado, pag: 71-82

3.5.1 Recursos en Internet

1. http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1025

2. https://www.youtube.com/watch?v=RP9x1f3Wbng VIDEOS de cálculo mental

3. https://www.youtube.com/channel/UCGipiR6pPJXUXCPdW7heavQ

En la dirección anterior están varios videos, entre ello multiplicar con los dedos.

4. https://www.youtube.com/watch?v=8WqX8BnH1Kk , Cálculo mental

41

4.

Los Números Fraccionarios

42

4.1 La relación parte – todo y la medida

En este caso, la fracción indica la relación que existe entre un número de partes y el número total de

partes, el todo recibe el nombre de unidad. Es muy importante obtener la identificación de la unidad, la

de realizar divisiones; es decir, el todo se conserva aun cuando lo dividamos en trozos, conservación de

cantidad y el manejo de la idea de área. Esta se puede representar en contextos continuos, discretos y la

asociación de puntos sobre la recta numérica. Estudiaremos los contextos que hacen significativa la noción

de fracción.

4.1.1 Contextos continuos y discretos

En el contexto continuo las representaciones que se utilizan con más frecuencia son los diagramas con

polígonos regulares en dos dimensiones,

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7

F1: De las dos partes del todo se sombreó una; una de dos, una partida por dos: 2

1 ó 1/2,

F2: De las cuatro parte del todo se sombrearon dos: 4

2.

F3: De las ocho partes del todo se sombrearon 7, la fracción que corresponde es: 8

7.

Ejercicio: Completar las fracciones que faltan

Si la unidad es un octógono, entonces la parte sombreada de las figuras siguientes es la unidad más los

tres octavos, 13/8, siendo esta la forma mixta de la fracción 1 + 3/8

En el contexto contínuo se recurre a la magnitud longitud, al dividir un segmento en partes iguales, en este caso se ha divido en 12 partes iguales

El segmento tiene la ventaja de que pueden ubicarse varias unidades y subdividirlas. Se han dibujado dos

unidades

43

En el contexto discreto, 3/8 lo podemos representar de la manera siguiente:

El todo son las ocho lunas, de ese todo se han tomado tres lunas las cuales están sombreadas. 3/8 indica

la relación entre el número de lunas sombreadas y el total de lunas.

Si representamos el todo por :

Entonces

,

En el esquema anterior las lunas sombreadas representan la fracción 2 53 ; es decir 2 +

5

3.

La relación parte-todo se caracteriza porque las partes que se relacionan son congruentes, no

necesariamente de la misma forma, lo ilustramos con dos ejercicios.

Ejercicios:

1. La figura, es un cuadrado de 1 m. de

lado.Si el punto M se encuentra a la

mitad del lado BC y el punto N se

encuentra a la mitad de AD.

¿Cuál es el área de la región sombreada?

2. ABCD es un cuadrado, E y F son puntos

medios de los lados AD y AB

respectivamente como se muestra en la

figura 2 ¿Que fracción del área total del

cuadrado es el área del triángulo?.

3. Cada lado de un rectángulo se divide en

tres segmentos de la misma longitud, los

puntos obtenidos se unen definiendo un

punto en el centro, como se indica en la

figura. ¿Cuánto es el cociente del área de

la parte blanca entre el área de la parte

gris?

44

4.1.2 Los números decimales

Se estudiarán con detalle en la siguiente unidad; sin embargo podemos mencionar que aparecen como

parte de un todo al de dividir la unidad en diez o cien o mil… partes iguales.

4.1.3 Las fracciones como puntos sobre la recta numérica

La representación de las fracciones puede considerarse como un caso particular de la relación parte-todo.

O puede considerarse a la fracción como un número a ubicar en la recta. Ejemplo:

Si 1 representa la unidad, se considera en el gráfico que se han tomada tres partes de la unidad, la cual se

ha dividido en cinco partes eso representa los 5

3 de la unidad. En la segunda recta se han tomado los

3

5

de dos unidades.

Puede también pensarse en la ubicación de fracciones en la recta real sin que formen parte de un todo,

sino como la representación de un número o una longitud.

Observar que las fracciones dadas se encuentran entre dos números naturales o entre dos números

enteros.

Un recurso didáctico que relaciona las fracciones y la noción de medida son los números en color o regletas

de Cuisenaire. Son regletas de diferentes colores y diferentes longitudes, pueden ser de madera o de

cartón. Los colores y medidas de las regletas son: 1cm –blanca, 2cm-roja, 3cm-verde claro, 4cm-rosa, 5cm-

amarilla, 6cm- verde oscura, 7cm- negra, 8cm- café, 9cm- azul, 10cm-anaranjado.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Ejercicios: Utilizando la figura 3, responda las preguntas siguientes

¿Cuántas veces cabe la regleta blanca en la regleta verde oscuro? ¿Qué es la verde oscuro de la blanca?

¿Qué es la blanca de la rosada? ¿Qué es la verde oscuro de la rosada? Invente otras preguntas utilizando

las regletas.

45

4.2 Las fracciones como cociente

Las fracciones o números fraccionarios son aquellos que se representan comúnmente con dos números divididos por una línea como en el ejemplo siguiente: ¼, ½ o ¾ representan el cociente de dos números enteros; es decir, representa la división de dos números y en sí es ya una solución, al número anotado arriba se le llama numerador y al anotado en la parte de abajo denominador.

4.2.1. La división indicada. Reparto

Cuando se analizan las partes de la división, al resultado que se busca se le llama cociente, entonces aquí entenderemos que cociente y resultado son sinónimos. La utilización de números fraccionarios puede ser ventajosa para resolver problemas donde se involucre el reparto. En el siguiente ejemplo se puede iniciar en el manejo de dicho concepto que será a su vez estrategia de solución de problemas. El día de hoy se recibe la visita de 4 niños, y contamos con 3 barras de chocolate como las que se muestran en las imágenes, ¿qué cantidad le tocará a cada uno sin que sobre nada y se repartan la misma cantidad? Como los chocolates se van a repartir entre cuatro niños, se dividen en cuartos. Señalar la cantidad que le toca de cada barra a cada niño, observar que a cada uno le tocan tres pedazos que representan un cuarto de cada barra, a cada niño le corresponden ¾ de barra. Apropiarse del concepto de cociente igual a resultado, da lugar a entender que si se piensa en qué se va a repartir y se coloca en el lugar del numerador; y se tiene identificado entre qué o quién se va a repartir y se coloca en el lugar del denominador, el problema está resuelto.

Numerador Qué se reparte 3 chocolates 3 ---------------- = ----------------------------- = ----------------- = ---- Denominador Entre quién se reparte 4 niños 4

El resultado aparece después de diferenciar, dividir, abreviar, representar, simbolizar…. De lo visto en las fracciones como cociente y como división-reparto, podemos distinguir dos aspectos: a) Cuando proporcionan la cantidad y el número de partes en que hay que dividirlo y piden lo que vale cada parte: Ejemplo: Repartir tres chocolates entre cuatro niños. b) Cuando proporcionan la cantidad y lo que vale cada parte y piden el número de partes; medida Ejercicios:

1. Repartir un caramelo de 27cm entre 5 niños. 2. Tenemos tres chocolates y a cada niño le ha correspondido los ¾, de un chocolate. ¿A cuántos

niños se les ha dado chocolate? 3. Invente problemas de reparto que involucren fracciones.

4.2.2. Las fracciones como elemento de un cuerpo cociente

Se estudian las fracciones como elementos de un cuerpo conmutativo, se llaman números

racionales y se denotan por ℚ, son aquellos números de la forma b

a , siendo a y b números enteros

46

y 0b , representan la solución de la ecuación 𝑏 ∗ 𝑥 = 𝑎. Estudiaremos sus propiedades y

características posteriormente.

4.3. La fracción como razón

Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, se están utilizando las fracciones como razón, en este caso no existe de forma natural una unidad.

A la hora de distinguir entre fracciones y razones, hay que decir que en algunas situaciones el uso que se hace del término razón es más amplio que el de fracción, por lo que algunos autores diferencian entre estos dos términos. Estas situaciones son las siguientes: 1. Cuando se comparan los tamaños de colecciones de objetos de naturaleza diferente, y no tiene sentido pensar en un conjunto global que los contenga. Por ejemplo cuando se dice que en una ciudad hay 2 automóviles por cada 5 habitantes. 2. Las razones se pueden expresar mediante símbolos diferentes de fracciones: 4: 7, o 4 →7; el símbolo de la fecha indica bien el aspecto de correspondencia de una razón, como medio de comparar cantidades. 3. Las razones pueden tener un cero como segunda componente. En una bolsa la razón de bolas rojas a verdes puede ser de 10 a 0, si no hay ninguna verde. En las fracciones el denominador siembre debe ser distinto de cero. Ejemplos de relaciones todo-todo

1.

A B

La relación entre las estrellas de A y las estrellas de B es de 3/7: (3 : 7)

La relación entre las estrellas de B y las estrellas de A es de 7/3: (7 : 3)

2. La razón entre la altura de un edificio de 70m. y uno de 155m es 70/155 : (70 : 155).

3. La escala en los dibujos de mapas o planos.

La escala (razón entre la distancia entre dos puntos determinados en el mapa y su distancia

real) es 1 sobre 1 000000, lo que puede significar que un milímetro en el mapa corresponde a

un kilómetro en la realidad.

4. En contexto continuo: A son los 3/8

de B , o B son 8/3 de A

A B

5. La razón o relación entre número de libros en la clase y número de alumnos. Así, 15 libros para

45 alumnos podrá expresarse como 15/45, leyéndose “15 a 45” O “1 por cada 3”.

Ejemplos de relaciones Parte-Parte:

1.

47

La razón entre estrellas blancas y celestes es: 5/8. 2. La razón entre niñas y niños en el cuarto grado es de 23 a 30: 23/30

Ejemplo de comparación de razones 1. Un carro C1 recorre 30 kms. en 50 minutos y el carro C2 recorre 40 kms. en 60 minutos. ¿Qué carro

lleva una velocidad menor?

4.3.1. La fracción en el contexto de probabilidades

Se puede establecer la relación entre casos favorables y el conjunto de casos posibles

1. Calcular la probabilidad de sacar 1, 3 ó 5 en la tirada de un dado. ¿Cómo resulta esta probabilidad

con respecto a obtener números pares? (Razón de probabilidad: 3 a 6 ó 1/2).

2. Si en una caja hay cinco bolas rojas y veinte bolas azules, ¿cuál es la probabilidad de extraer, una

bola roja?

4.3.2. Las fracciones en el contexto de porcentajes

Un caso particular de las fracciones como razón son los porcentajes, es la relación de proporcionalidad

que se establece entre: Un número y 100, tanto por ciento. Un número y 1000, tanto por mil. Un

número y 1, tanto por uno.

Ejemplo: Expresar 62.5% como una fracción. Multiplicamos 62.5 por 100

1 , se obtiene 100

5.62 , multiplicamos por

10 numerador y denominador 1000

625 , luego simplificamos, resultado: 8

5

Ejercicios

1. ¿Cuánto es 8

5 en porcentaje?

1. Un horno está a 4

3 de su temperatura normal de funcionamiento cuando se interrumpe la energía.

Dos horas después la temperatura del horno bajó 1000 , y se encuentra al 62.5% de su temperatura

normal. ¿Cuál es la temperatura normal del horno?

4.4. Las fracciones y los operadores

Las fracciones operan como transformadores ya sea en contextos discretos o continuos.

4.4.1 La fracción como operador: Estado-unidad, operador, estado final

Ejemplos:

48

1. Para preparar un pastel, se necesita: 1/3 de un paquete de 750 g de azúcar, 3/4 de un paquete

de harina de kilo y 3/5 de una barra de mantequilla de 200 g. Determinar en gramos, las

cantidades que se necesitan para preparar el pastel.

Estado unidad Operador Estado final

750 g 1/3, dividir por 3, multiplicar por 1 250 g. de azúcar

1000 g ¾, dividir entre 4 y multiplicar por 3 750 g de harina

200 3/5 g de mantequilla, dividir entre 5

y multiplicar por 3

120 g de mantequilla

Ejercicios:

1. Se han coloreado en rojo las 2/3 partes del número de caras de un cubo, y el resto en azul.

¿Cuántas caras se han coloreado de cada color?

2. Un bosque tiene 64.505 árboles. Tres de cada cinco son pinos, dos de cada siete son robles y

el resto son eucaliptos. a) ¿Qué fracción del total representan los pinos y los robles? b)

¿Cuántos árboles hay de cada clase?

3. ¿Cuántos litros de agua contiene un depósito de 4000 litros que está ocupado en sus dos quintas partes?

4. Una finca de 141 hectáreas está cultivada en sus dos terceras partes. De la parte dedicada al cultivo se arriendan 2/7. ¿Cuántas hectáreas cultiva el propietario?

4.5. Operaciones con fracciones

4.5.1 Comparar números racionales

Debe iniciar el proceso con materiales manipulables también utilizar la recta real para descubrir

propiedades y regularidades

a) Dividir una página en dos partes iguales, luego en cuatro , enseguida en ocho partes

Se pude utilizar este recurso para comparar fracciones y para describir el significado de la

equivalencia de fracciones.

1/2

A

B

1/4 1/4

49

C

En los gráficos puede observarse:

1. El área que representa la fracción ½ es mayor que el área ¼

2. El área que representa la fracción 1/2 es mayor que el área 1/8

3. El área que representa la fracción 1/4 es mayor que el área 1/8

4. Se puede concluir que 8

1

2

1,

8

1

4

1,

4

1

2

1

5. El área de sombreada en los rectángulos es la misma para A, B y C podemos afirmar

entonces que 8

4

4

2

2

1 . Las llamaremos fracciones equivalentes.

6. En un contexto discreto pueden utilizarse canicas, proporciones un ejemplo.

1. Dos páginas; dividir las dos páginas en tres partes iguales, sombrear dos tercios, luego una de

ellas doblarla horizontalmente. Comparar las fracciones resultantes.

2. Dados las familias siguientes y conectando los diagramas con la recta numérica

Familia de los medios

Familia de los tercios

Familia de los cuartos

0 ½ 1 3/2 2 5/2 3

2/4 2/2 6/4 4/2 10/4 6/2

3/3 6/3 9/3

4/4

Se tienen los resultados siguientes:

½ = 2/4,

1= 1/1 = 2/2= 3/3 =

4/4

3/2 = 6/4

2= 2/1 = 4/2 = 6/3

5/2 = 10/4

= 6/2 = 9/3

Este recurso puede servir para encontrar el modelo que se sigue para encontrar fracciones equivalentes

Observe que

28

24

4

2

22

21

x

x; Las fracciones equivalentes se encuentran dividiendo o multiplicando

numerador y denominador por el mismo número.

50

Ejercicio: Representar el ejercicio anterior en la recta real.

4.5.2 Racionales equivalentes: Uso del “muro de fracciones” como estrategia didáctica.

El muro de fracciones puede ser utilizado para para determinar fracciones equivalente

comparar números fraccionarios.

Para comparar números racionales se realizan actividades similares a las vistas en los contextos

discretos y contínuos

Ejercicio: 1. Construya el muro de fracciones: Encuentre actividades y operaciones a realizar con

el muro. Ejemplo: ¿A cuántos novenos equivalen 2/3? ¿Cómo es 2/3 con relación a 1/2?

3. Descubrir las reglas para encontrar racionales equivalentes

Ejercicios:

1. Encuentre una fracción equivalente a 12/36 tal que: El numerador sea 3, el denominador sea 5 veces el denominador original y el numerador valga la tercera parte del numerador original. 2. Descubrir las reglas que permiten establecer el orden entre los números racionales.

3. Comparar fracciones con igual denominador y diferente numerador, utilizando la misma unidad.

A B

Las figuras son unidades divididas en 5 partes en la figura A, la parte sombreada representa los 5

3 y en la

figura B los5

2 , el área de la figura A en mayor que el área de la figura B, ¿podemos afirmar que

5

3

5

2 ?.

4. Comparar fracciones de igual numerador y diferente denominador, utilizando la misma unidad.

C D

La parte sombreada de C representa los 9

3 y la parte sombreada de representa los

5

3, ¿quién tiene mayor

área? ¿Podemos afirmar que 9

3

5

3 ?

5. Para comparar fracciones de diferente numerador y denominador, debemos encontrar fracciones

equivalentes a las dadas, de tal forma que tengan el mismo denominador.

6. Ordenar las siguientes fracciones de mayor a menor, ubicar a), b) y d) en la recta real. a ) 3/6, 4/6, 2/6, 8/6, 1/6, 5/6, 6/6, 7/6 b ) 7/8, 7/6, 7/9, 7/20, 7/5, 7/7, 7/3

c) -1/7, -101/102, -5/2, 11/10, 23/11, 2/3, 11/4, -5/3 d ) 2/9, 3/7, 2/3, 1/3, 6/8

e ) 2/5, 4/7, 8/5, 2/100

51

4.5.3 Los algoritmos: La suma y resta, el producto y la división de fracciones.

La suma y la resta, utilizaremos el recurso geométrico para descubrir los algoritmos de las

operaciones

Se puede contextualizar, con problemas sencillos

para los niños:

En un terreno rectangular se sembrarán 3/8 de

maíz y 2/8 de yuca; ¿qué fracción del terreno se

ha utilizado?

Se han utilizado los 5/8 del terreno, aritmetizando la situación se tiene: 8

5

8

2

8

3 . ¿Qué sucede en el

numerador y denominador de la suma?

Si sumamos 2/3 + 4/5 utilizamos rectángulos, el lado horizontal dividido en tres partes y el vertical en

cinco, eso nos genera un rectángulo dividido en 15 partes iguales. En el primer rectángulo señalamos los

2/3 y en el segundo los 4/5. Al sumar las partes sombreadas obtenemos 22/15.

Al aritmetizar la operación realizada se tiene: 15

22

5

4

3

2

2/3 4/5

Puede realizarse la operación con dos tipos de rayas, las casillas que tengan de las dos rayas se cuentan

dos veces

1/5

En los dos casos se puede observar que 15

12

5

4

15

10

3

2 y , es decir:

15

12

15

10

5

4

3

2 , qué observa?

Ejercicios:

1. Utilizando el mismo recurso, realizar las operaciones indicadas :

a) ¾ y 5/6, 4/7 y ¾. d) 3/8 – 2/8

b) 3/7 Y 4/7, 5/12 y 3/12 e) 4/5 – 2/3

c) 3

12

3

11

2. Descubrir los algoritmos de la suma y de la resta de fracciones de igual denominador.

3. Descubrir los algoritmos de la suma y de la resta de fracciones de diferente denominador.

4. Descubrir los algoritmos de suma y de la resta de fracciones mayores que la unidad

1/5

52

5. Exprese la unidad empleando al mismo tiempo los 10 dígitos una sola vez cada uno

6. Una marca de café salvadoreño se vende en paquetes de ¼ lb., ½ lb. y 1 lb. Con 200 lb. de café se

envasaron 150 paquetes de ¼ lb. y 80 de 1 lb., el resto lo envasan en paquetes de ½ lb. ¿Cuántos

paquetes de ½ lb. se envasaron?

7. Se divide un terreno en tres partes para cosechar en ella frutas, hortalizas y plantas medicinales:

la primera parte representa los 2/5 del terreno, la segunda ¼ . ¿Cuál es la mayor de las tres y en

cuanto sobrepasa a la siguiente?

8. Utilizando Thales como en los ejemplos siguientes, graficar las fracciones:

5

13,

3

12,

4

31,

8

5

El Producto de fracciones:

Se descubrirá la regla que permite multiplicar fracciones, para ello utilizaremos Transparencias de

Cuadrados. Estas consisten en dos hojas, una impresa en transparencia y la otra en papel opaco. En ellas

se han dibujado cuadrados divididos en diferentes fracciones.

Multiplicar 3

1

2

1

, observe que ½ está actuando como un operador, debemos obtener la mitad de 1/3.

Ilustrando la situación con transparencias

Utilizando un rectángulo dividido en dos horizontalmente y divido en tres partes verticalmente, se

obtiene un rectángulo dividido en seis partes, el resultado del producto 3

1

2

1

es 6

1

; representado por el

rectángulo que tiene las dos diagonales

53

Realizar los productos siguientes, utilizando alguno de los recursos vistos

1) 4

1

3

2

, 2) 5

2

4

3

3) 5

34

4) 12

3

2

5) 4

13

3

12

6) Observe en cada caso las regularidades y escriba el algoritmo del producto de fracciones.

7) Al cumpleaños de Pedro fueron 36 niños. De ellos 5/9 son hembras. ¿Cuántos varones fueron?

8) Juan tenía $630 y donó la tercera parte para comprar medicamentos. ¿Cuánto dinero le

quedó?

9) Se deja caer una pelota verticalmente desde una altura de 8 m, en cada rebote la pelota

alcanza los ¾ de la altura a la que se elevó. ¿A qué altura se elevó la pelota después de la

segunda caída?

La División de Fracciones

El recurso geométrico no permite generalizar la regla para dividir fracciones, en este caso lo veremos

como una operación algebraica.

Ejemplo: Dividir d

centre

b

a

es decir:

d

c

b

a

;

d

c

b

a

;

c

dx

d

cx

c

dx

b

a

;

c

dx

d

cx

c

dx

b

a

asociando; 1x

c

dx

b

a

; así

c

dx

b

a

, estamos afirmando que dividir

d

c

b

a

es equivalente a multiplicar c

dx

b

a

, c

dx

b

a

d

c

b

a

, hemos vinculado la división y la

multiplicación de fracciones.

Se han utilizado las fracciones inversas para introducir la división de fracciones con la idea de fracciones

inversas, se ha planteado a la división como operación inversa de la multiplicación.

Problemas y Ejercicios

1) Dividir y reducir a su mínima expresión

a) 5

2

4

3

b) 2

4

3

c) 4

32

d) 2

3

9

8

e) 5

2

4

35

f) 5

23

4

3

g) 100

4

10

7

h) 10

7

100

3

i) 5

23

4

35

. J) Determinar el valor de a en la ecuación 1

2

1

66

1

a

k) Resuelva mentalmente

4

3

2

5

5

2

4

3 x

54

2) Una llave vierte 1000 litros en una hora, llena un tanque hasta los 2/3 en una hora. ¿Cuál es la

capacidad del tanque?

3) ¿Cuál es el valor de A si

55

55

55

55

A

4) ¿Qué resultado se obtiene al calcular

2015

11

2014

11...

5

11

4

11

3

11

2

11

2015

?

5) Encontrar dos números entre 3

2

y 15

71

tal que cuando se escriban en orden ascendente, la diferencia

entre cada pareja de números consecutivos sea la misma.

6) El café pierde 5

1

de su peso al tostarlo. Comprando café sin tostar a $12.00 la libra. ¿A cómo deberá

venderse la libra de café tostado para ganar un dólar?

4.6. Lecturas complementarias

1. Fracciones La Relación parte-todo, Salvador Linares Ciscar, M. Victoria Sánchez

García.(1988).Editorial Síntesis, S.A. España pag, 52-154

2. MINED, Material de Autoformación e Innovación Docente, Matemática, Viceministerio de Ciencia

y Tecnología. tercer grado, pag: 77-95. Cuarto grado, pag: 58-66, 77-84. Quinto grado, pag:27-36.

4.6.1. Recursos en internet

1.http://www.regletasdigitales.com/regletas.swf

2.http://raza-kwfracc.blogspot.com/2012/07/la-fraccion-como-cociente.html

3.http://ichi.fismat.umich.mx/omm/recursos/prob15/prob26a50.html#26

4.http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com/2010/10/el-muro-de-las-

fracciones.html

5. Unidad V: Los Números Decimales

5.1 Usos y contextos más significativos en los que aparecen

Podemos distinguir tres contextos principales en la enseñanza de los números decimales

55

Contexto de la numeración

Los números decimales se originan al prolongar el principio del valor relativo del sistema de numeración

posicional de base diez en el sentido opuesto al de los números naturales.

Para un número, cada cifra tiene asignado un valor relativo que es el valor de orden de unidad. El valor de

un orden de unidad es diez veces el valor del orden de unidad de la cifra inmediata de su derecha, o la

décima parte del valor de orden de unidad de la cifra inmediata de su izquierda. Es decir, a fin de poder

distinguir las cifras que corresponden a un orden de unidad inferior a la unidad natural, lo que en notación

científica significa pasar de las potencias positivas a las potencias negativas de la base.

0.03 = 3x10-2 de la misma manera que 300 = 3x102

El sistema de escritura decimal recuerda un poco a la recta numérica; aquí, como allí, hay un «punto medio

fijo» que marca el cambio de sentido: en la recta numérica, el cero, y en los decimales, el punto, a partir

de éste hacia la izquierda comienzan los números «grandes», y, hacia la derecha, los números «pequeños»

Contexto de medida

Los números decimales se construyen a partir de la expresión numérica de cantidades en términos de

unidades y subunidades de medida en el Sistema Métrico Decimal. El punto decimal es la marca que sirve

para diferenciar la unidad principal de medida de las subunidades convencionales de medida, y actúa como

el indicador que señala el paso de la una a las otras. El siguiente ejemplo, ilustra este acercamiento a los

decimales en el contexto de medida:

Escritura de números que expresan longitudes

Escribamos en una tabla el resultado de medir tres longitudes:

Km Hm Dm m dm cm mm

1a longitud 2 7 3 2 5

2a longitud 1 5 4 3

3a longitud 2 5

Podemos, igual que con los números enteros, suprimir las columnas a condición de saber reencontrar

el rango de cada múltiplo o submúltiplo. Por eso:

1º Se pone un punto después de la cifra de los metros, siendo aquí el metro la unidad principal.

2º Se pone un cero en las columnas donde no hay cifra entre la primera cifra significativa de la izquierda o

el cero de las unidades, y la última cifra significativa de la derecha.

Los números que figuran en la tabla de arriba se escriben: 27.325m; 105.043m; 0.25m

Y se leen: 27 metros 325 milímetros; 105 metros, 43 milímetros; 0 metros 25 centímetros.

Contexto de las fracciones decimales

Si una fracción decimal tiene n cifras después del punto decimal, puede escribirse d = e + a110─1 + a210─2 +.

. . + an10─n, con e un entero y las cifras a1,a2,…,an pertenecen a {0,1,2,…,9} e indican décimas, centésimas,

etc. El número d se representa en el sistema decimal en forma abreviada d = e.a1a2…an y puede también

escribirse en forma de fracción p/q , siendo q una potencia de 10. Por ejemplo el número:

13.28521:= 13 + 2/10 + 8/100 + 5/1000 + 2/10,000 + 1/100,000 = 1328521/100,000. Si p y q tiene divisores

comunes puede obtenerse una fracción equivalente cuyo denominador no sea una potencia de 10, pero

será siempre un divisor de 10n, por ejemplo,

521.1328:= 521 + 1/10 + 3/100 + 2/1,000 + 18/10,000 = 5,211,328/10,000 = 325,708/625

56

Es de hacer notar que a las fracciones decimales, como d.a1a2…an se les llama números decimales exactos

o números decimales puros y tienen un número finito de cifras decimales.

Por otra parte, ninguna fracción irreducible cuyo denominador tenga factores distintos de 2 y de 5 puede

venir representada por una fracción decimal.

Por ejemplo, 1/4 = 25/100 = 0.25; 1/2500 = 4/10,000= 0.0004

En cambio, 1/13 no puede escribirse como número decimal con un número finito de cifras, porque no

existe una fracción equivalente que sea fracción decimal.

Si 1/13 fuera igual a: b/10n, tendríamos Si 1/13 = b/10n entonces 10n =13b, lo que es absurdo porque 13

no es divisor de ninguna potencia de 10. Al hacer la división, obtenemos que

1/13 = 0.076923076923076923…

Resumiendo:

Fracción decimal es una fracción cuyo denominador es una potencia de 10.

Número decimal exacto o número decimal puro o simplemente un número decimal es un número

racional que posee al menos una escritura en forma de fracción decimal. Un número n es decimal

(puro) si puede escribirse de la forma a/10p, siendo a y p enteros.

Toda fracción irreducible cuyo denominador tenga factores distintos de 2 y de 5, tiene infinitas

cifras decimales que siguen una pauta a partir de una dada, a las cifras que se repiten se les llama

periodo y como no se pueden expresar las infinitas cifras se coloca una raya horizontal sobre las

cifras que forma el periodo, para indicar que hay infinitas cifras que se repiten según el periodo

fijado. Fracciones de este tipo dan origen a los números decimales periódicos. Por ejemplo, 1

13=

0.076923076923 ⋯ = 076923 , 1

3=0.333 ⋯ = 0. 3, 55

24= 2.291666 ⋯ = 2.2916

5.1.1 Ejemplos en los cuales aparecen números decimales

Para NEWTON, la base de toda teoría es la práctica social. Observemos cuál es la práctica social de los

números decimales.

1. Basta abrir un periódico por la página de economía para que encontremos expresiones como la

siguiente: “El precio del petróleo de Texas (WTI) tuvo ayer una nueva caída del 3.6% y cerró con

un precio de $57.81 el barril, con una pérdida semanal acumulada del 12.2%” (La Prensa Gráfica,

13 de diciembre de 2014)

2. En internet, visitar una página web: Fuente: www.bcr.gob.sv para encontrar datos cómo:

Miércoles, 17 de Diciembre de 2014 10:53 “El Salvador recibió US$3,813.5 millones en remesas familiares a noviembre 2014

57

Las remesas familiares alcanzaron al mes de noviembre US$3,813.5 millones, registrando una tasa de crecimiento del 7% anual con una variación acumulada de $249.3 millones, informaron voceros de la Institución. El promedio mensual de remesas recibido durante este período fue de US$346.7 millones, cifra superior en US$22.7 millones al promedio observado durante el mismo período de 2013, que fue de US$324.0 millones mensuales. Durante 2014 los ingresos mensuales de remesas familiares…superaron lo registrado en el mismo mes del 2013 y en términos acumulados, enero-noviembre 2014, en el presente año el incremento ha sido 4.2 veces superior al incremento observado en el año 2013”

3. En análisis de sangre leemos informaciones del tipo: “colesterol total 216.0 mg/dl, glucosa en

sangre 125.0 mg/dl…”

En general, podemos afirmar que las situaciones de la vida cotidiana en la que debemos usar números

decimales, se pueden desglosar de la siguiente manera:

a) Para representan porcentajes, descuentos, intereses y para estimar y calcular superficies.

b) Pesar y medir con distintos instrumentos de medida, para dar los resultados con una

determinada aproximación y estimar los límites aceptables del error.

c) Hacer conversiones de medidas.

5.1.2 Son indispensables los números decimales

La importancia de los números decimales radica en que permiten expresar informaciones numéricas que

no es posible comunicar disponiendo sólo de los naturales. La medición es un ámbito en el que la

funcionalidad de aquellos números se hace notar con facilidad.

Los decimales, como subconjunto de los racionales, implican una ampliación del campo de los naturales,

puesto que permiten resolver operaciones o problemas que no es posible solucionar con estos números;

Por ejemplo, las respuestas a las preguntas: ¿qué número multiplicado por 10 da 1? o ¿qué

número multiplicado por 4 da 1? no se encuentran en el conjunto de los números naturales; para

responderlas son necesarios los números racionales (aquí, decimales), porque: 10 x 1/10 = 1 y

4 x 1/4 = 1 “o bien 10 X 0.1 = 1 y 4 X 0.25 = 1. Estamos en presencia de números decimales y

decimos que “1/10 y 1/4 son números decimales (exactos), porque pueden escribirse como

fracción decimal” (o de sus correspondientes escrituras con punto decimal).

Otro problema clásico es el de hallar la

medida de la diagonal de un cuadrado,

tomando como unidad el lado. Sabemos que

esa diagonal mide 2 y que no hay ningún

racional que exprese esta medida. es un

número irracional. La única forma de poder

calcular con este número es dar de él

aproximaciones tan finas como la situación

lo exija y eso podemos hacerlo gracias a los

números decimales. Tendremos:

4143.124142.1

415.12414.1

42.1241.1

5.124.1

221

58

En la vida cotidiana, hemos oído o leído expresiones como las siguientes:

a) El Dr. Diciendo al paciente “tiene unas décimas de fiebre”

b) En el periódico en la sección de deportes leemos que una ciclista dice “he ganado por dos

décimas de segundo.”

c) El hijo al Papá: “dejé la materia por 5 centésimos”

De todos los ejemplos anteriores se deduce que los números decimales permiten resolver problemas

relacionados con la medida que no tienen solución con los números enteros. Los números decimales nos

proporcionan la posibilidad de aproximarnos tanto como queramos a cualquier número real. También los

racionales tienen esta propiedad, pero los decimales ofrecen la ventaja de permitir que los cálculos sean

más sencillos porque se puede trabajar con ellos como si fueran enteros.

EJERCICIOS:

1. Elabore una lista de situaciones de la vida diaria en las que intervengan los números decimales.

Busque respuesta a las preguntas:

a) ¿Qué números decimales se utilizan en las tiendas y almacenes, en relación con el peso, longitud,

capacidad, etc.? ¿qué grado de precisión se exige?

b) ¿Qué números decimales se utilizan en la agricultura?

c) ¿Qué números decimales se utilizan en la banca, en farmacia, en medicina, en química, en

mecánica? ¿qué grado de precisión se exige?

2. Proponga a los alumnos reflexionar sobre las consecuencias de los errores en la precisión de las

medidas. En qué casos puede ser grave interpretar mal un número decimal y distintos errores de

cálculo.

5.1.3 Introducción de los números decimales

Describiremos algunas formas de presentación o introducción de los números decimales en la enseñanza

elemental, limitándonos a señalar que todas tienen en común la idea de una presentación que contiene la

definición y de la cual se podrán deducir las propiedades

5.1.3.1 Como extensión del sistema de numeración decimal

El sistema de numeración decimal permite

escribir números tan grandes como se quiera con

sólo tener en cuenta que cada lugar representa

diez veces el valor del lugar situado a su derecha.

Por consiguiente el valor que representa cada

cifra depende del lugar que ocupa. Por ejemplo:

sea el número

59

El primer 5 de la derecha representa 5 unidades,

y moviéndose de derecha a izquierda, el segundo

5 representa 5 x 10 unidades, el tercero

representa 5 x 10 x 10 unidades y así

sucesivamente.

De la misma forma podemos decir que cada lugar

situado a la derecha de uno dado representa la

décima parte del valor del lugar precedente, así,

el mismo número lo podemos leer de otra

manera:

El primer 5 de la izquierda representa 50,000 unidades, y moviéndose de izquierda a derecha, el segundo

5 representa una décima parte de éstas, es decir 5,000 unidades, el tercero representa 500 unidades y así

sucesivamente.

Parece natural extender este proceso hacia la derecha que consiste en que cada lugar representa la décima

parte del lugar precedente, para representar cantidades inferiores a la unidad. Basta con separar, la parte

entera con la parte decimal. Nosotros lo hacemos usando el punto decimal, en algunos países utilizan la

coma decimal; mientras que otros, el apóstrofe.

Similarmente que a las potencias de la base de numeración las llamamos decenas, centenas, unidades de

millar, etc., podemos llamar a las unidades fraccionarias o unidades decimales, que resultan de dividir la

unidad por potencias de 10, llamándolas décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, etc.

Ahora veamos como representamos las unidades decimales la unidad, la décima, la centésima,

Un cuadrado unidad, que llamamos 1 unidad, lo dividimos en diez partes iguales. Cada una de las diez

partes formadas decimos que es una décima y se cumple que 1 unidad = 10 décimas. Dividamos la unidad

en cien partes iguales. Cada una de las cien partes formadas decimos que es una centésima y se cumple

que 1 unidad = 100 centésimas y 1 décima = 10 centésimas, etc.

Para no olvidar lo anterior, podemos completar cuadros como los siguientes.

décimas centésimas milésimas diezmilésimas cienmilésimas

1 unidad 10 100 1,000 10,000 100,000

3 unidades

5 unidades

8 unidades

10 unidades

Unidades decimales décimas centésimas milésimas diezmilésimas cienmilésimas

En forma de fracción

En forma decimal

60

Se comparan escrituras y se hacen operaciones introduciendo algoritmos de adición, sustracción,

multiplicación y división de “escrituras”. La lectura y escritura de estos números se hace teniendo en

cuenta el paralelismo con las escritura de enteros en el sistema de numeración decimal.

Por ejemplo 0.1328 podrá leerse una décima, tres centésimas, dos milésimas, ocho diezmilésimas o

también un mil trescientos veinte y ocho diez milésimas.

Pueden igualmente introducirse escrituras para las fracciones decimales que aparecen por este

procedimiento, y escribiremos 1 x 1/10 + 3 x 1/100 + 2 x 1/1,000 + 8 x1/10, 000.

Esta forma de introducir los decimales tiene la ventaja de poder operar fácilmente con estas escrituras,

extendiendo los algoritmos de las operaciones con los números enteros.

Para que los niños puedan dar el significado de números a estas escrituras es preciso que descubran que

se puede hacer con ellos lo mismo que con los enteros: compararlas, ordenarlas, hacer operaciones; y que

estas relaciones y operaciones corresponden a relaciones y operaciones de medidas de magnitudes.

Ejercicio: ilustre con ejemplos lo planteado anteriormente

5.1.3.2 A partir de la medida

Antes de pasar a la descripción de alguna de las presentaciones que pueden hacerse a partir de la medida,

debe hacerse una aclaración sobre los distintos significados que se da a la palabra “medida”

Desde primer grado, los niños empiezan a “medir” con la mano: cuartas, jemes; con el pie; con

unidades arbitrarias, tratando de atribuir un número a una magnitud, generalmente longitud.

Aquí, la idea de medida consiste en averiguar cuántas unidades contiene la magnitud medida. Pero

el resultado de esta operación es impreciso si no se trata de un número entero.

Una segunda idea de la medida viene dada por las distintas graduaciones de ciertos instrumentos

(por ejemplo, una regla graduada, un peso de personas, un termómetro, un cronómetro, etc.). En

todos ellos existen marcas que indican “cierta medida” de peso, de temperatura o de tiempo.

Para que una graduación permita dar informaciones sobre la medida debe construirse utilizando

las propiedades de aditividad: el número cero debe ser el origen de las marcas y corresponder a

la magnitud nula. La marca “n” debe indicar que se ha llevado “n” veces la unidad de medida “u”

a partir del origen de la graduación. En general de la marca “a” a la marca “n+a”, se tiene n veces

u o nu.

Ejemplos de ello pueden ser la medición de longitudes con una regla graduada, de tiempo con un

cronómetro, de temperatura con un termómetro, de capacidades con una probeta.

Finalmente, existe la medida propiamente dicha, que consiste en establecer una correspondencia

entre los valores de una magnitud (por ejemplo una longitud) y los números, una vez fijada la

unidad.

61

5.1.3.3 A partir del Sistema Métrico Decimal

De una longitud, como 8 Dm 3 m 4 dm, cuya medida está compuesta de unidades de diversos órdenes.

Más cómodo será poner 834 dm, es decir, reducir a la unidad inferior. Supongamos que con aparatos de

mayor precisión llegáramos a determinar la longitud 8 Dm 3 m 4 dm 7 cm 5 mm. La reducción nos daría

ahora 83475 mm. La unidad de la notación reducida sería, pues, distinta según la precisión de los aparatos

de medida. Se evita esto tomando la misma unidad de referencia fundamental, única que se consigna y,

conservando la posición de las cifras. Así, tomando como unidad el metro, expresaremos aquellas

longitudes de este modo: 83.4 m; 83.475 m.

Esta misma notación nos puede ser útil para toda clase de medidas en las que las unidades sucesivas sigan

la ley decimal. Por ejemplo, 3 Kg 6 Dg 9 g 5 cg puede expresarse así: 3069.05 g tomando como unidad el

gramo o 3.06905 Kg tomando como unidad el kilogramo.

Y lo mismo escribiríamos para medidas en litros y sus múltiplos y sub-múltiplos.

Esta presentación puede tener algunos inconvenientes:

a) Puede conducir al niño a creer que, con un cambio conveniente de unidad, podrá prescindir

siempre de los números decimales.

b) Los números decimales no se perciben como números nuevos, sino como “0tra forma” de escribir

los enteros.

Ejercicios:

1. En el sistema decimal de numeración, las fracciones 1/2, 1/4 y 1/5 tienen escrituras equivalentes

como números decimales. ¿Cuáles de entre las fracciones 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 y 1/12 pueden

escribirse con punto en el sistema de numeración de base 12?

2. Sea el segmento AB, marcar 0 en A y 1 en B

a) ¿Cuál es el número que corresponde a X, tal que 11 AX = AB?

b) ¿Cuál es el punto Y, tal que AY = 10 AX?

c) ¿Cuál es el número que corresponde a Z, tal que 100 AZ = AB?

Nota: En este ejercicio, los números están escritos en el sistema binario de numeración.

5.2. Situaciones sobre representación, significado y lectura de decimales

El número 0.1 ha podido surgir de la necesidad de representar la décima parte del metro o de la necesidad

de repartir 1 entre 10 o de la necesidad de la división de la unidad en 10 partes iguales. Se ha podido

asociar a una longitud, a un reparto, etc. En todos los casos es necesario que el alumno aprenda que el

objeto matemático, el número 0.1, es el mismo. Así, el significado que da al número se enriquece a medida

que aumentan las situaciones en que ese número tiene sentido para él. Aprenderá a pasar de una situación

a otra, cuando lo necesite. Cada situación le permitirá comprenderlo mejor.

Ejercicio: Proponga algunas actividades que faciliten la lectura, escritura y representaciones comprensivas

de números decimales.

62

5.2.1. Juegos de estimación de medidas

El objetivo es que los niños adquieran una cierta facilidad para estimar medidas “a ojo de buen cubero”,

que luego comprueban y representan. Se puede jugar a estimar la medida en metros de la dimensiones

del salón de clases, de los pupitres, del escritorio, del pizarrón, etc. Se puede pedir que hagan una lista de

todas las cosas que pueden medir, dando primero la medida en metros, luego con más precisión en

decímetros y llegando hasta los milímetros.

5.2.2. Reproducir un segmento

Es útil para ejercitar a los niños en la significación que dan a las cifras en la escritura decimal de un número.

Se puede proponer que en la recta numérica y con instrumentos de medida

a) Que reproduzcan un segmento que mida, por ej. 375/100,

b) Que reproduzcan dibujos de objetos, cuyos contornos sean segmentos rectilíneos, dándoles

las medidas, con la condición de que no sean números enteros.

5.2.3. Pasar de la escritura fraccionaria de los racionales decimales a su escritura decimal. Juegos sobre

la recta numérica

a) Para que los niños comprendan mejor la descomposición y la asocien con la medida se puede utilizar

una cinta para medir con ella 375/100: El maestro pregunta: ¿Cuántas unidades mide? R/. 3; ¿Cuántas de

1/10? R/. 7; ¿Cuántas de1/100? R/.5. El maestro escribe lo que han medido 3 + 7/10 + 5/100 y los niños

hacen la suma y obtienen 375/100 y se dan cuenta que han descompuesto la fracción.

Se puede jugar de la misma forma pero con fracciones en las intervengan milésimas.

b) Adivinar una fracción planteando preguntas sobre su descomposición. Un alumno juega contra sus

compañeros, ellos eligen una fracción que él debe adivinar haciendo preguntas relativas a su

descomposición. Supongamos que han elegido 568/1000. Las preguntas que hace el alumno son, por ej.:

¿Cuántas de 1/10 tiene? R/. 5; ¿Cuántas unidades? R/. 0; ¿Cuántas de 1/1,000? R/. 8; ¿Cuántas de 1/100?

R/. 6. Todos los niños anotan el resultado: 5/10 + 6/100 + 8/1000 = 568/1000.

Es conveniente hacer varios juegos, aumentando progresivamente la dificultad, eligiendo por ejemplo,

números con ceros intermedios en el numerador.

5.2.4. Diversos juegos sobre la recta numérica

a) Buscar un número escondido que está representado sobre la recta.

El maestro muestra un segmento de recta graduada como el de la figura adjunta y pregunta cuáles son los

números que están escondidos en las casillas

63

Se necesita dedicar a estas actividades y a otras semejantes el tiempo necesario para qué contar en

décimas, centésimas y milésimas tenga significación para los niños. Se les puede proponer escribir el

número que corresponde a cada rayita, sumar y restar décimas, luego centésimas, etc.

5.2.5 Instrumentos de medida

Las escalas que pueden observarse en algunos instrumentos de medida accesibles a los niños, deben

formar parte de las representaciones numéricas que se utilizan en los ejercicios que se les proponen. Debe

comenzarse por familiarizar a los niños con los diversos instrumentos de medida empezando por los de

longitud, tiempo, superficie, peso, capacidad.. Es necesario que cada alumno haya tenido la necesidad de

utilizarlos, plantearse problemas con ellos e incluso fabricar uno que, aunque no sea exacto, les ayude a

comprender mejor cómo debe hacerse una escala y que dificultades aparecen al fabricarla.

5.2.6 La calculadora de bolsillo

Debemos servirnos de este instrumento como facilitador de aprendizajes numéricos y para ello es preciso

organizar una utilización sistemática. Con esta finalidad, a continuación, proponemos algunas actividades:

Recta numérica y calculadora

Se dibuja una porción de la recta numérica en la pizarra

Luego se dividen los alumnos en dos equipos A y B.

El equipo A teclea un número mayor que 100: por ejemplo, 175.

El equipo B debe teclear otro número mucho más grande: por ejemplo, 850.

Un alumno de cada grupo sitúa su número aproximadamente sobre la recta.

Las reglas son:

1. El equipo A sólo puede utilizar la tecla (+) y cualquier número.

2. El equipo B sólo utilizará la tecla menos y la tecla (-) y cualquier número.

3. Cada equipo realizará una operación en forma alternativa, comienza el equipo A.

4. El primer equipo que encuentre el número del otro equipo o lo pase, será el perdedor.

64

OBSERVACIÓN: Esta situación es muy interesante porque permite una intuición de la densidad de

los decimales, de que siempre se pueden acercar más y más, pero que si juegan bien, ninguno

ganará al otro. Teóricamente no se gana nunca, prácticamente llegará un momento en que la

calculadora ya no suma; lo que nos da la oportunidad de constatar las limitaciones de la

calculadora, que debemos comprender bien para no cometer errores.

Comprobar los cálculos que se han hecho con decimales

La calculadora puede utilizarse también para que los alumnos comprueben cálculos que se han hecho

con decimales. Por ejemplo en los ejercicios siguientes

1) Escribe en cada una de las series de decimales siguientes los tres números que siguen:

a) 0.3, 0.5, 0.7,. . . b) 1.24, 1.26, 1.28,. . . c) 5.25, 5.20, 5.15,. . .

Plantear problemas que contribuyen al análisis del valor posicional en los números decimales. Son

aquellos problemas que exigen realizar una transformación de alguna de las cifras. Por ejemplo:

a) Escribir en la calculadora el número 6.74. ¿Qué operación podrías hacer para que cambie el 6

por otro número pero que los otros queden igual? ¿Y para que cambie el 7? ¿Y para que

cambie el 4? Anótalas en tu cuaderno y luego, prueba con la calculadora.

b) Escribir en la calculadora el número 2813. ¿Qué operación podrías hacer para que se

transforme en 28.13? ¿Y en 2.813? ¿Y en 0.2813? Anótalas en tu cuaderno y pruébalo en la

calculadora.

Descubrir un número secreto, dando pistas

Se pueden poner limitaciones en el uso de teclas.

1. Encontrar un número secreto A tal que cuando se pulsan sucesivamente las teclas

se obtiene en la pantalla el número 15. (No se puede utilizar la tecla ÷)

2. En la calculadora quiero hacer 3.33 + 3.3 + 3 pero no funciona la tecla del 3. ¿Cómo puedo

resolverlo sin usar esa tecla?

3. ¿Cómo harían para obtener con la calculadora el número 5.13 usando únicamente las

teclas 0, 1, el punto decimal y las operaciones que necesiten?

5.2.7 El uso del cero y su significación en la escritura

Es muy difícil admitir que cero sea nada, ausencia de cantidad y que al mismo tiempo pueda cambiar tanto

su significado según el lugar que ocupe en la escritura de un número, y que un número pueda ser tan

distinto si le quitamos o añadimos ceros.

Habrá que distinguir distintos significados del cero:

Ausencia de cantidad o cardinal del conjunto vacío.

Indicador del lugar vacío en la escritura decimal de posición.

Como operador, actuando de forma distinta según sea el número entero o decimal.

En cada una de las representaciones numéricas que hacemos podemos realizar actividades que hagan

reflexionar a los niños sobre la importancia del uso del cero y sobre el efecto de quitarlo en un número y

explorar los resultados que se obtienen al multiplicar o dividir por una potencia de 10.

Ejercicios sobre la significación del cero en la escritura.

65

a) Completar sustracciones. Consideremos las operaciones:

1) 7643 ─ ⃝ =7043

2) 8964 ─ ⃝ =8904

3) 6347 ─ ⃝ =347

4) 2.69 ─ ⃝ = 2.09

5) 1.56 ─ ⃝ = 1.5

6) 1.65 ─ ⃝ = 1.05

7) 1.65 ─ ⃝ = 1.5

Se propone a los alumnos que busquen los números que faltan y que comprueben las

operaciones con la calculadora. También se les pide que lean los números descomponiéndolos

para que se den cuenta de la operación hecha en cada caso.

Se plantean discusiones interesantes y se les pide que inventen ejercicios semejantes, que

verbalicen que es lo que ocurre en cada caso y qué significa el cero en cada lugar.

b) Jugar a hacer desaparecer un número de la pantalla mediante sustracciones sucesivas.

Se presionan al azar las teclas de nueve cifras y del punto decimal, haciendo así aparecer un

número en la pantalla, por ejemplo el número 35648.7029.

El juego consiste en llegar a cero, haciendo cada vez una operación que convierta en cero una

sola cifra. Las cifras pueden hacerse desaparecer en orden ascendente

Por ejemplo en este caso, los pasos sucesivos pueden ser:

─ 0.002 = 35648.7009

─ 30000 = 5648.7009

─ 40= 5608.7009

─5000 = 608.7009

. . .

─0.0009 = 0

Se puede simplificar, jugando con números más pequeños, complicándolo a medida que

conocen más y mejor los números.

También se puede complicar imponiendo la condición de que sólo se puede sustraer un

número cuando ocupe la posición de las unidades

5.2.8 Áreas de regiones de papel cuadriculado utilizando decimales

El papel cuadriculado es un material que podemos utilizar para que los niños recorten y dibujen fracciones

y decimales para que los visualicen en una superficie tomada como unidad. Los ejercicios sugeridos son

como el siguiente:

Dada como unidad de área un cuadrado,

66

Escribir como decimal el área sombreada, en cada caso.

a) b) c) d)

La utilización de esta representación debe hacerse muy activa. Debe proponerse las cuestiones al alumno,

plantear el problema y acostumbrarle a que verifique sus respuestas, que pueda él mismo comprobar si

ha respondido correctamente o no. Por ejemplo en el en el caso a) un alumno que ha respondido que la

parte sombreada es 0.4 deberá explicar por qué.

Si descompone la unidad 1 = 0.1 + 0.1 + 0.1+ 0.1 + 0.1 + 0.1+ 0.1 + 0.1 + 0.1+ 0.1, verá que la parte

sombreada es 0.4 o 4/10 o 2/5.

5.2.9 Pasar de fracciones a decimales y viceversa

Hemos visto que todo número racional se puede representar como una expresión decimal finita o

periódica. También es cierto que toda expresión decimal periódica representa un número racional. Los

siguientes ejemplos nos muestran cuál es la técnica que podemos aplicar para encontrar el racional

representado por una expresión decimal.

Ejemplo 1. Hallemos el número racional representado por 8. 2

Sea 𝑁 = 8. 2 entonces 10𝑁 = 82. 2 , restando: 10𝑁 − 𝑁 = 82. 2 − 8. 2 , así 𝑁 =74

9

Ejemplo 2. Hallemos el número racional representado por así 5. 21

Sea 𝑁 = 5. 21 entonces 100𝑁 = 5.2121 , al restar obtenemos que 99𝑁 = 516 , de aquí,

𝑁 =516

99=

172

33

Ejemplo 1.14. Hallemos el número racional representado por 5.212813

Sea 𝑁 = 5.212813 entonces por 100𝑁 = 521. 2813 , Ahora hagamos 𝑀 = 100𝑁 = 521. 2813

así 10000𝑀 = 5212813. 2813 , de donde obtenemos: 𝑀 =5212292

9999 ;

Pero, 𝑀 = 1100𝑁 entonces 𝑀 =5212292

999900=

1303073

249975

5.2.10. Escrituras decimales equivalentes

Antes hemos usado escrituras equivalentes para decimales, tratemos ahora esta idea tan importante. Para

comparar 0.8 y 0.75, por ejemplo, es conveniente considerar que 0.8 = 0.80. Para poder intercalar un

número entre 0.41 y 0.42, debe reconocerse que 0.41 como equivalente a 0.410 y 0,42 como equivalente

a 0.420. Veremos igualmente la importancia de comprender la equivalencia de escrituras para interpretar

correctamente razones, proporciones y porcentajes.

67

Más aún, para comprender el orden en los decimales y operar con ellos, es sumamente necesario

comprender que un número decimal se puede escribir de muchas formas distintas, siendo siempre el

mismo número. Trabajemos ahora, para comprender escrituras equivalentes de un mismo número; así

como algunos métodos para obtener nuevas escrituras de un mismo número.

a) Muchos nombres para el número 1,000.

1,000 = 800 + 200 (sólo centenas)

= (800 + 100) + (80 + 20)

= (800 + 100) + (80 +10) + (8 + 2)

= (800 + 100) + (80 +10) + (8 + 1) + (0.8 + 0.2)

= (800 + 100) + (80 +10) + (8 + 1) + (0.8 + 0.1) + (0.08 + 0.02)

Pueden descubrir el modelo que permite comprender la igualdad: 1,000 = 999.9999…

También se han encontrado muchas escrituras equivalentes al número 1,000.

b) ¿Es posible hacer lo mismo con el número 1?

Es fácil descubrir de esta forma las equivalencia 1 = 0. 9; 25 = 24. 9; 7.4 = 7. 39

Ejercicios:

1.) Expresa en forma de fracción los siguientes decimales periódicos:

a) 3. 5 b) 3. 59 c) 0.028 d) 130.521319 e) 23.4567890 f) 1001.00100001 2.) Calcula la suma de estos infinitos sumandos:

a) 3

10+

3

100+

3

1,000+

3

10,000+ ⋯ b)

7

10+

7

100+

7

1,000+

7

10,000+ ⋯

3.) Busca dos decimales periódicos cuya suma sea un decimal exacto. 4.) Calcula :

a) 0. 4 + 0. 3 + 0. 2 b) 3.07 − 1. 67 c) 2.15 − 1.48

d) (0. 6) × (0. 5) e) 2. 12 ÷ 0. 14 f) 0. 442 ÷ 0.017

5.) Una persona hace una media de 17 inspiraciones por minuto y en cada inspiración lleva 0.53 li-tros de aire a los pulmones ¿Qué volumen de aire ha entrado en sus pulmones al cabo de un día.

6.) En una banda municipal de música, el 16. 6% de los miembros son trompetas y el 22. 2% son tambores. Además, se sabe que el número de músicos no llega a 40, aunque sobrepasa los 30. ¿Cuántas personas forman la banda?

5.2.11 Orden de los decimales

Los niños suelen utilizar modelos implícitos que nada tienen que ver con la significación del número. Por

ejemplo dirán que es “mayor el decimal que tiene mayor número de cifras y que 3.142 es mayor que 3.2”,

aplicando así la regla que usa para comparar números enteros.

Presentaremos algunas actividades que tienen por objeto capacitar a los alumnos para comparar números

decimales con distintos números de cifras decimales y para ordenarlos en forma ascendente ó en forma

descendente.

68

Debemos lograr que los niños elaboren y verbalicen sus propias reglas de ordenación de números

decimales y que justifiquen su validez en todos los casos; que puedan intercalar otros números en una

serie previamente dada.

Actividad 1:

Proponer a los niños que formen parejas y que respondan lo siguiente

a) ¿Cuál número es mayor en cada pareja?:

0.5 y 0.134 0.1 y 0.35 3.2 y 3.20 3.3450 y 3.9 2.8 y 1.97 0.3765 y 0.8

b) ¿Qué conclusión puede obtenerse en relación con el número de cifras y el orden de los decimales?

En los decimales, el número de cifras no es relevante como elemento para definir el orden. Al comparar,

por ejemplo, 0.5 y 0.134 se están comparando décimos (5) con milésimos (134) y, aunque el 134 tenga

más cifras, la cantidad que representa es menor que 5 décimos. Una manera de facilitar la comparación

es igualar el número de cifras decimales de las dos cantidades que se están comparando, para ello es

importante recordar que 0.5 = 0.50 = 0.500 =0.5000, etc. Así, comparar 0.5 y 0.134 es lo mismo que

comparar 0.500 y 0.134 y en esta última pareja es claro que 500 milésimos es mayor que 134 milésimos.

En los decimales, al igual que en el conjunto de los racionales, no hay ni antecesor ni sucesor porque no

podemos asegurar que un número sigue o antecede a otro.

Actividad 2

Proponer a los alumnos que en forma individual ordenen los siguientes números de menor a mayor

12.07; 2.89; 5.03; 0.756; 5. 2; 2.003; 12.69; 0.1002; 2.525; 12.08

Tras una puesta en común colectiva, se colocan en la pizarra el orden o los órdenes que han propuesto y

si todos no han dado el orden correcto, se propone que cada uno diga el criterio seguido para ordenarlos;

se pretende que el intercambio de soluciones y la discusión de los métodos propuestos, bajo la dirección

adecuada del maestro, les lleve a corregir errores. El maestro termina institucionalizando un método, que

puede ser el siguiente:

a) Consideramos las partes enteras. Es mayor el número cuya parte entera es superior.

b) Si las partes enteras son iguales, entonces compararemos las décimas: es mayor el número que

tiene mayor número de décimas.

c) Si las décimas son iguales, entonces compararemos las centésimas, y así sucesivamente.

Pero también es posible no hacer distinción entre parte entera y parte decimal sino comparar cada vez las

unidades de orden superior en cada uno de los números.

Actividad 3

Proponer ejercicios como el que sigue:

Escribe, si es posible, un número que sea más grande que el primero y más pequeño que el segundo en

los casos siguientes:

2.5 < ………. < 2.8

3.9 < ………. < 3.12

7.5 < ………. < 7.6

8 <………. <8.1

12.25 <………. < 12,26

13.1 < ……….. < 13.11

Es importante exigir que los niños razonen sus respuestas, de tal forma que puedan estar seguros de lo

que hacen porque saben probarlo. Por ejemplo, deberán decir que no es posible encontrar un número

que sea mayor que 3.9 y al mismo tiempo que sea menor que 3.12, porque 3.9 es mayor que 3.12. Es muy

69

frecuente que los niños piensen que siempre hay que dar una respuesta y no se pregunten si tiene sentido

o no.

5.2.12 Densidad de los decimales

Varias de las actividades y juegos que se han presentado permiten dar a los niños una intuición de la

densidad de los números decimales. Vamos ahora a dedicarnos de manera sistemática a profundizar en

esta idea. La actividad 3 del apartado anterior puede servirnos de punto de partida, ya que han buscado

números decimales entre dos decimales dados.

Encuadrar un racional entre dos números naturales.

Se pretende con este juego, encontrar en un tiempo mínimo el intervalo entre dos números

consecutivos para encuadrar una fracción entre dos números naturales del 1 al 10, por ejemplo.

Para ello, se divide la clase en dos equipos A y B, con un vocero por equipo. El equipo A piensa un

número, lo escribe en un papel y lo esconde. Los 2 voceros pasan a la pizarra y empieza el juego.

El equipo B debe encontrar un intervalo al que pertenezca el número pensado por el equipo A.

Para ello tiene que hacer preguntas al vocero del equipo A

─ vocero equipo B: ¿está entre 2 y 10? Supongamos que la fracción pensada haya sido 17/3.

─ vocero equipo A: Sí, y dibuja una porción de la recta numérica en la pizarra, entre 2 y 10

─ vocero equipo B: ¿está entre 5 y 10?

─ vocero equipo A: Sí, y dibujará en la pizarra una porción de la recta numérica entre 5 y 10

─ vocero equipo B: ¿está entre 7 y 10?

─ vocero equipo A: No, y dibujará la porción de la recta numérica entre 7 y 10 tachado.

El equipo B ya sabe que la fracción pensada está entre 5 y 7.

─ vocero equipo B: ¿está entre 5 y 6?

─ vocero equipo A: Si.

El juego ha terminado y el equipo B gana un punto. Si adivina la fracción exacta, ganan 2 puntos.

Se juega varias veces de la misma forma, para que los niños aprendan a elaborar estrategias con

un mínimo de preguntas y para proponer fracciones que no puedan ser acertadas fácilmente.

Después, para que todos los niños puedan jugar varias veces, se hacen grupos de 4, jugando 2

contra 2, siendo alternativamente Equipo A y equipo B.

El maestro aprovecha el juego para introducir, por ahora, un nuevo concepto: intervalos

aclarándoles que así se les llama a las porciones de la recta que han dibujado, números entre 2 y

10, números entre 7 y 10, números entre 5 y 7, etc.

Hacer los intervalos cada vez más pequeños.

70

Los niños buscan en parejas, varias fracciones dentro de un intervalo de longitud 1. Una pareja

busca entre 1 y 2; otra, entre 2 y 3; 0tra, entre 3 y 4; etc. Se trata de que los niños deben dar

intervalos cada vez más pequeños para encuadrarla.

Cuando ya han jugado algunas partidas en grupos pequeños y han sabido dar intervalos cada vez

más pequeños, se puede pasar a jugar con todos formando 2 equipos, como en la sección anterior.

El juego seguirá mientras sean capaces de dar intervalos más pequeños ó se den cuenta de que

“no acaba nunca”, “hay todos los que queramos”, “que se puede localizar una fracción dentro de

un intervalo más pequeño que 1 y que este intervalo se puede reducir”

Intercalar decimales entre dos enteros.

Podemos sugerir que cada alumno busque, por lo menos, 5 decimales entre 2 enteros. Se

necesitan tiras de papel de 1 metro de largo y 4 cm de ancho con el fin de tener en total una

longitud que pueda colocarse alrededor del salón de clase; ello les permitirá a los niños hacerse

una imagen bastante más amplia que la pueden adquirir con los pequeños segmentos que

aparecen en los libros.

Situar un racional entre dos decimales.

Damos una fracción y proponemos a los alumnos que busquen en que intervalo está y quién puede

situarla mejor. Conviene dar una fracción con el denominador bastante grande respecto al

denominador, para que empiecen a pensar en la división y no lo hagan al ojo.

Se les deja que busquen en equipos una estrategia que les permita localizar la fracción dada.

Se propone que verbalicen en cada etapa lo que buscan y lo que han hecho para encontrar la

respuesta, por ejemplo: En la primera etapa se buscan los enteros, para lo que hacemos la división;

en la segunda etapa, buscamos las décimas; luego, buscamos las centésimas, etc.

Intercalar promedios de fracciones.

Se propone a los alumnos que hagan lo siguiente en cada una de las rectas

a) Calcule el promedio de las dos fracciones que aparecen, sumándolas y luego dividiendo entre

dos el resultado.

b) Coloque el resultado en el punto correspondiente sobre la recta.

c) Calcule el promedio de la primera fracción y la que haya obtenido como promedio en el inciso

a) y coloque el resultado en el punto correspondiente de la recta.

71

5.3. Operaciones con números decimales

a) Adición.

Proponemos a continuación, situaciones que permitan a los niños construir el significado de la adición con

decimales y elaborar modelos de cálculo con estos números. La noción que poseen de adición se ha

construido a partir de manipular colecciones y tiene significado con los números naturales.

Primera situación. Tenemos que colocar un zócalo en una sala rectangular, cuyas dimensiones son 3.90 m

de largo y 2.65 m de ancho. ¿Cuántos metros de zócalo debemos comprar?

Distribuimos a los niños en grupos para que busquen la solución y elaboren una estrategia que deberán

explicar a los demás.

Al observar que la mayoría ha encontrado la solución, pasamos a la puesta en común, cada grupo explica

su método. Las posibles soluciones son:

3.9 + 3.9 + 2.65 + 2.65 =__ ; (3.9 X 2) + (2.65 X 2) =___; (3.9 + 2.65) X 2 =___

En todos los casos deben operar con decimales y decir cómo ha sumado o multiplicado por un natural.

Los métodos de calcular que pueden aparecer son los siguientes:

o Escribir los datos en forma de fracciones y sumarlos después.

o Sumarlos como si fueran enteros.

o Descomponerlos en décimas y centésimas y sumarlas entre ellas.

o Sumar los metros, decímetros y centímetros por separado.

Estos métodos están en función del conocimiento numérico que poseen los alumnos y de cómo se han ido

elaborando las operaciones. Los niños decidirán cuál método es mejor y porqué, llegando a la conclusión

de que el método mejor es el que permita dar el resultado correcto lo más pronto posible.

Segunda situación. Un carpintero debe hacer un soporte para un canal de un tejado que tiene 2.9 m de

largo. Dispone de 5 tablones de madera que miden 1 m; 1.57 m; 1.1 m; 1. 33 m y 0.3 m. ¿Cuáles tablones

de madera debe usar para hacer el soporte?

Se les propone en una segunda fase, por ejemplo, dada los la serie de números decimales 0.27, 4, 5.45,

0.04, 2.403, 3.97 deben llegar a obtener con algunos de ellos, la suma 4.31.

Se propone obtener otras sumas cambiando las series de decimales.

b) Multiplicación de un decimal por un entero.

Aparece de forma inmediata a partir de la adición. En el caso del perímetro del rectángulo han visto que

en lugar de hacer 3.9 + 3.9 podrían hacer 2 X 3.9.

Cualquiera de las situaciones de adición que hemos visto, pueden modificarse para conducir a una

situación que permita dar sentido a la multiplicación de un decimal por un entero. Por ejemplo, en el caso

de los tablones de madera, se puede decir que el carpintero tiene tres tipos de tablones:

5 tablones de 0.58 m, 3 de 1.44 m y 7 de 0.95 m. Deben conseguir las sumas 3.85, 2.32, 5.27, 6.89, 8. 12.

Se recomienda que se deben hacer varios ejercicios, antes de enunciar el algoritmo de multiplicar un

número entero por un decimal.

c) Sustracción.

Las situaciones que conducen a dar significado a la sustracción de números decimales y que conducirán

rápidamente al algoritmo de sustracción son las que plantean adiciones incompletas. El problema del

carpintero se puede presentar ahora de forma que haga surgir la necesidad de una sustracción.

72

“El carpintero debe hacer otro soporte de canal para un tejado de 3.2 m. dispone de los mismos 5 tablones

que miden 1 m; 1.57 m; 1.1 m; 1.33 m y 0.3 m. y ya utilizó dos tablones: el que mide 1.57 y el que mide

0.3 y se da de que no es suficiente. Le falta una. ¿Cuál es la que le falta?”

Los niños hacen la suma 1.57 + 0.3 = 1.87 y plantean la suma incompleta: 1.87 + ___= 3.2

Se trata ahora de encontrar el número que sumado a 1.87 dé como resultado 3.2. Esta operación saben

que es una sustracción, planteada mediante una adición incompleta. La dificultad es hacer la sustracción

de decimales. La resolución puede dar lugar a diversas estrategias y errores que se deben a que un

sumando tiene décimas y centésimas y el otro sólo tiene décimas (3.2 ─ 1.87 = 1.47). Pero al darse cuenta

que no hay un tablón de esta medida vuelven a la escritura de fracciones lo que les permite escribir

3.2 = 32/10; 1.87 = 187/100

3.2 = 320/100

320/100 ─ 187/100 = 133/100 = 1.33

Y cuando intentan comprender cómo podrían hacerlo sin recurrir a la escritura de fracciones, se dan cuenta

de que tenían que haber escrito 3.2 = 3.20

Se recomienda que el maestro proponga que se adopte como método: “igualar el número de cifras

decimales antes de hacer la sustracción”

Ejercicio: Plantear problemas que se resuelvan por medio de una sustracción en diferentes contextos y

con distintas significaciones: como complemento, comparación y diferencia.

d) Multiplicación.

Cuando se trata de multiplicar números decimales, el producto ya no tiene el mismo número de cifras

decimales que los factores. La extensión de la multiplicación de naturales a los decimales no es inmediata

y el modelo de multiplicación que se ha aprendido para los naturales ─ hacer un número más grande

cuando se multiplica por otro ─ ya no sirve aquí. Debe construirse una nueva multiplicación que tome en

cuenta otros números, además de los naturales y a los números menores que la unidad.

Algoritmo de la multiplicación.

Las reglas de multiplicación de decimales pueden también deducirse del cálculo de fracciones. Son

las siguientes:

1. Multiplicar los números como si fueran enteros.

2. Poner el punto decimal teniendo en cuenta que haya tantas cifras decimales en

el producto como la suma de cifras decimales de los factores.

Ejemplo: 9.23 X 37.6 = (9 + 23/100) X (37 + 6/10) = (923/100) X (376/10) = (923 x 376)/1000

= 347, 048/ 1,000 = 347.048

Multiplicación por una potencia de 10.

Para multiplicar por una potencia de 10, basta desplazar el punto decimal hacia la derecha tantos

lugares como indique la potencia de 10 por la que se multiplica. Este principio es una consecuencia

del principio de multiplicación de naturales por una potencia de 10, basado en el sistema de

numeración decimal.

Ejemplo: 874.3219 X 103 = 874,321.9

Como 874.3219 = 800 + 70 + 4 + 3/10 + 2/100 + 1/1000 + 9/ 10,000

Entonces 874.3219 X 103 = 800,000 + 70,000 + 4,000 + 300 + 20 + 1+ 9/ 10 = 874,321.9

73

e) División.

Notemos que el modelo de división de los naturales no se puede extender a los decimales, ya que al dividir

un natural (dividendo) por otro natural (divisor), se obtiene siempre un número más pequeño (cociente)

que el dividendo. Sin embargo, cuando se divide un decimal por otro decimal, es posible obtener como

cociente un número mayor que el dividendo. Fíjese que 0.7 ÷ 0.2 = 3.5.

En los casos en los que el cociente es un decimal, diremos que la división es la inversa de la multiplicación.

Podemos probar que esto es así, analizando las siguientes multiplicaciones:

a) 0.7 X 0.09 = 0.063 ; b) 0.005 X 0.09 = 0.00045 ; c) 0.9 X 2.35 = 2.115

Escondemos ahora uno de los factores de cada multiplicación. En cada una de ellas se plantean dos

posibles problemas que se resuelven mediante divisiones:

Po ejemplo,

a) ¿Cuál es el número que multiplicado por 0.09 da 0.063?: 0.09 X __= 0.063

¿Cuál es el número que multiplicado por 0.7 da 0.063?: 0.7 X __= 0.063

b) ¿Cuál es el número que multiplicado por 0.005 da 0.00045?: 0.005 X __= 0.00045

¿Cuál es el número que multiplicado por 0.09 da 0.00045?: 0.09 X __= 0.00045

c) ¿Cuál es el número que multiplicado por 0.9 da 2.115?: 0.9 X __= 2.115

¿Cuál es el número que multiplicado por 2.35 da 0.2.115?: 2.35 X __= 0.2.115

En a) ¿Qué puede decirse del factor que falta?. Puesto que el factor 0.09 tiene dos cifras decimales

y el producto 0.063 tiene tres cifras decimales deducimos que el factor que falta tendrá sólo una

cifra decimal, que será por tanto 0.7

En b) el número de cifras decimales del producto es 5 y el número de cifras decimales del factor

conocido es 3. Luego, el número de cifras decimales del factor desconocido será 5 ─ 3 = 2

El procedimiento habitual para hacer las divisiones es:

1. En el divisor se corre el punto decimal hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que

tengamos un número entero, y en el dividendo se corre el punto decimal hacia la derecha tantos

lugares como haya sido necesario hacerlo en el divisor.

2. Se realiza la división utilizando el algoritmo habitual de los números enteros, teniendo en cuenta que

el cociente deberá tener el mismo número de cifras decimales que el nuevo dividendo.

Si deseamos ver lo que sucede cuando se aplica el punto 1, volvemos a la división b):

0.00045 ÷ 0.005 = 0.00045/0.005 = (0.00045 X 1,000)/(0.005 X 1,000) = 0.45 ÷ 5 = 0.09

Hemos considerado la división como si fuera una fracción, pero con números decimales, luego

multiplicamos el divisor por 1,000 para obtener como denominador un número entero y para conservar

la equivalencia, también multiplicamos por 1,000 el numerador.

5.3.1 Resolver operaciones con números decimales

Ejercicios:

1.) ¿Cuál de los números a, b, c ó d es mayor?

a = 0.0000000000123456789 + 0.0000000000987654321

b = 0.0000000000123456789 ─ 0.0000000000987654321

c = 0.0000000000123456789 ÷ 0.0000000000987654321

d= 0.0000000000123456789 X 0.0000000000987654321

74

2.) Realice los cálculos siguientes sin la calculadora. Compruebe los resultados con la calculadora.

a) 0.85 + 0.2

b) 0.002 + 0.32 + 1.5

c) 6.801 ─ 0.9999

d) 2.8 X 0.49

e) 0.003 X 0.002

f) 0.048 ÷ 6

g) 0.048 ÷ 0.6

h) 0.0048 ÷ 0.06

i) 0.048 ÷ 0.000006

j) 0.22459 ÷ 0.037

k) 0.015989 ÷ 5.9

l) 0.1 ÷ 0.00001

Busque situaciones concretas en las que sea necesario hacer cada una de estas operaciones

3.) Una calculadora da 0.0000001 como respuesta para la multiplicación 0.00037 X 0.00054

a) ¿Cuál es la respuesta correcta? b) ¿Cómo se puede hallar la respuesta con la

calculadora? c) Otra calculadora da como respuesta 1998 ─ 07. Interprete la respuesta.

4.) El decimal correspondiente a la fracción 3/106,106,777,711 ¿es limitado o ilimitado? ¿Es

periódico? ¿Cómo puede saberse sin hacer la división?

5.) ¿Qué fracciones tienen escrituras decimales finitas con cuatro cifras? ¿Qué fracciones tienen

escrituras decimales periódicas con cuatro cifras?

6.) a) Encuentre una escritura decimal para 1/13, 1/19, 1/23, 1/31, 1/37, 1/41, 1/43, 1/47

b) ¿Cuál es el período en cada caso? c) ¿Cómo hallar más cifras que las que da la calculadora?

d) ¿Qué tienen en común los denominadores?

e) Encuentre una relación entre el período y el denominador de cada fracción.

7.) Si escribimos los números racionales en un sistema de base 12, ¿qué fracciones podrían

escribirse con una escritura “duodecimal” finita?, ¿qué fracciones tendrían una escritura

“duodecimal” ilimitada periódica?, ¿qué fracciones tendrían una escritura “duodecimal” ilimitada

no periódica?

5.3.2 Situaciones que permiten dar significado al producto de dos decimales

Nos proponemos ofrecer situaciones que permitan a los niños darle significado al producto de dos

decimales y enunciar un algoritmo para calcular el producto de dos decimales.

El producto puede tener varios significados.

Área de un rectángulo.

La medida directa de las áreas permite dar un significado al producto de dos números

considerados como medidas. Los niños disponen de papel cuadriculado y se les propone como

actividad dibujar distintos rectángulos y dar para cada uno la medida de su superficie tomando

como unidad un cuadradito. Por ejemplo, pueden dar rectángulos 3 X 5; 7 x 9; 12 X 17; etc.

Encontrarán fácilmente que el primero tiene 15 cuadraditos y dirán que la medida de su superficie

es 15. Lo mismo hará con los otros rectángulos. (Uno de los significados del producto 3 X 5 es la

medida de la superficie de un rectángulo)

Les proponemos a continuación que encuentren la medida de la superficie de los rectángulos.

Consideremos que la Unidad es el cuadrado de 10 X 10

75

Pueden trabajar en parejas o individualmente y deben encontrar un método para calcular el

producto de dos números decimales ─no enteros.

Se pasa a la puesta en común cuando se observa que casi todos han encontrado por lo menos dos

soluciones.

Los resultados han podido obtenerlos por dos métodos:

A partir del análisis de la representación “si el lado de un cuadradito es un décimo del

cuadrado unidad, hay 100 cuadraditos en el cuadrado unidad, para calcular 0.6 x 0.8

basta hacer 6 x 8 y obtenemos 48 cuadraditos, que son 48 centésimas; luego se tiene

que 0.6 x 0.8 = 0.48”.

Pasando a la escritura de los números decimales en forma de fracción decimal:

6/10 X 8/10 = 48/100.

Se comparan los métodos obtenidos y se les propone que en un papel cuadriculado, dibujen otros

rectángulos y calculen su área.

Finalmente se busca entre todos cuál será el algoritmo para multiplicar rápidamente dos números

decimales. Tomando en cuenta las observaciones que han hecho, se llega a enunciar “se

multiplican como si fueran enteros, pero el número de cifras decimales del producto tendrá que ser

la suma del número de cifras decimales de los factores”

Una de las mayores dificultades que ofrece el aprendizaje de la multiplicación de números

decimales es que el producto no corresponde a la intuición que tienen los niños sobre lo que es

un producto. Mientras sólo multiplicaban números naturales, el producto era siempre mayor que

cualquiera de los factores; ahora, se obtiene, por ejemplo, que al multiplicar 0.6 por 0.8 se obtiene

0.48, que es más pequeño que 0.6 y que 0.8. Estamos aquí, en presencia de un conocimiento (el

que tienen sobre los naturales) que actúa como obstáculo y que debe ser superado para construir

el nuevo conocimiento. Para que los alumnos puedan adquirir nuevas intuiciones sobre estos

nuevos productos e necesario que se habitúen a interrogarse sobre el resultado aproximado de

una operación, antes de realizarla.

El producto como coeficiente de la composición de dos aplicaciones lineales.

Si consideramos en el conjunto de los números racionales dos aplicaciones lineales (𝑥 → 𝑎𝑥)

e (𝑦 → 𝑏𝑦) , el producto a.b es el coeficiente de la aplicación que resulta de la composición de las

dos primeras 𝑥 → (𝑎. 𝑏)𝑥 = (𝑏. 𝑎)𝑥

Este significado del producto de dos números es válido para los números naturales y sigue siéndolo

para los racionales.

76

Estos significados del producto de dos números, los encontramos en las situaciones de

proporcionalidad. Por ejemplo, el producto 0.6 X 0.8 puede tener el significado de aplicar la

“función 0.6” al elemento 0.8 ( 6/10 de 8/10) ó la “función 0.8” a 0.6( 8/10 de 6/10). Hallar el 60%

de 0.8 es aplicar “la función 0.6” a 0.8: 0.6 X 0.8 = 0.48. Pero esto lo veremos a continuación.

Porcentajes.

Un porcentaje es una fracción en la que el denominador es 100. También se puede considerar

como una razón entre dos números, siendo siempre 100 el segundo. Utilizamos el símbolo % para

indicar precisamente “por cien” o “por ciento”, pero igualmente podríamos escribir 47/100 en

lugar de 47% y lo mismo 0.47. Los niños manejan con dificultad los porcentajes y no los asocian ni

a los decimales ni a la equivalencia de fracciones.

Para resolver, por ejemplo, un problema del tipo ¿Qué porcentaje de 250 es 50? Es preciso

dominar la equivalencia 50/250 = ?/100

Para dar significado a los porcentajes nos podemos servir de la representación siguiente que nos

permite manipular algunos porcentajes sencillos y darnos cuenta de las equivalencias que entran

en juego en el problema. Se hace mediante “transparencias” en las que se han dibujado retículos

de 10 x 10 cm. Se pueden representar porcentajes sombreando tantos cuadritos como indique el

porcentaje. Esta representación permite resolver algunos problemas sencillos superponiendo

retículos divididos de otra forma. Por ejemplo, si dividimos un retículo en 5 partes iguales, cada

parte es 0.2 y al superponerlo con el retículo inicial se verá que la quinta parte recubre 20 cuadritos

lo que significa que es el 20% del retículo unidad.

Podemos plantear nuevos problemas, por ejemplo:

¿Qué porcentaje de 25 es 10?

¿Cuál es el 80% de 20?

Pero este modelo no puede usarse como si se tratara de la calculadora que permite calcular

cualquier porcentaje. Sin embargo, permite manipulaciones que pueden favorecer la construcción

de imágenes mentales que ayudarán a comprender las operaciones con porcentajes.

5.3.3 EL Número decimal como factor de proporcionalidad

Ampliaciones y reducciones

Hay situaciones muy sencillas que permiten una primera aproximación al concepto de proporcionalidad.

Podemos proponer, por ejemplo, observar varias fotocopias ampliadas o reducidas de un mismo dibujo.

Se da a los alumnos el origina y una copia y se les pide que hagan observaciones sobre las medidas del

origina y la copia correspondiente.

Supongamos que tenemos la copia reducida del dibujo de un automóvil, de una máquina o un edificio y

proponemos a los alumnos que busquen en equipos, tomando las medidas que necesiten, hasta deducir

77

cómo se ha pasado del original a la copia. Por ejemplo, si 4 cm del dibujo original corresponden a 1 cm de

la copia, 8 cm corresponden a 2 cm de la copia, etc., podrán llegar a que la imagen de 1 es 0.25 y que la

fotocopiadora ha reducido cada dimensión a 1/4 de la dimensión original. Esta actividad permite encontrar

un nuevo significado al decimal que aparece cómo función (reducir o ampliar). Y al mismo tiempo nos

encontramos con otro significado para la multiplicación de dos decimales:

El producto 0.25 X 0.5 = 0.0125 es el resultado de aplicar la función 0.25 a la dimensión 0.5. El decimal

0.25 tiene aquí el significado de una “función reducción”.

Para que descubran las propiedades lineales de estas funciones, se les puede pedir que apliquen la función:

X 0.25 a las medidas de un objeto previamente dibujado ─de contornos rectilíneos ─ y que representen los

valores iniciales y las imágenes, por ejemplo:

X 0.25

12 3

24 6

5 1.25

7 1.75

⋮ ⋮ 1 0.25

Podrá observar que si un segmento es el doble de otro. La imagen del primero es también el doble de la

imagen del segundo y que si hacemos la suma de dos medidas, la imagen de la suma es la suma de las

imágenes de las medidas.

(12 + 24) = 36; 0.25 X 36 = 9 = (0.25 X 12) + (0.25 X 24).

El estudio de la proporcionalidad nos lleva al estudio de escalas y mapas, y a los problemas de distancias

entre países a partir de la interpretación de una escala.

Ejercicios sobre utilización de escalas.

En una porción de recta numérica dibujamos una escala con dos graduaciones distintas. En la parte

superior aparecen algunos puntos según la primera graduación y en la parte inferior aparecen los de la

segunda graduación. Las dos graduaciones deben tener el origen común. Con esta información el niño

debe nombrar el resto de los puntos y la relación entre ambas graduaciones.

Se propone a los niños que completen los números que faltan y que expliquen cómo lo han hecho, es decir,

en cada caso, que completen las escalas

a) b)

c)

5.3.4 Situaciones que permiten dar significado a la división de números decimales

78

Cada una de las situaciones que permite dar un significado a la multiplicación puede servirnos para

encontrar un significado a la división. Consideremos las operaciones siguientes:

a) 6.4 ÷ 0.4 = b) 6.4 ÷ 0.8 = c) 5.6 ÷ 0.8 = d) 12 ÷ 0.8 = e) 0.36 ÷ 0.06 =

Ejercicios:

1. Expresar en porcentajes: a) El peso del azúcar necesario para hacer mermelada es los ¾ del peso de la fruta b) El beneficio de un comerciante es los 2/5 del precio de venta de los artículos que vende c) El peso del azúcar necesario para hacer mermelada es los ¾ del peso de la fruta. d) El beneficio de un comerciante es los 2/5 del precio de venta de los artículos que vende. e) El trigo da los 4/5 de su peso en harina. f) La ampliación de un objeto es los 7/4 del modelo.

2. Hallar el porcentaje que se ha aplicado:

a) De una ternera que pesaba 650 kg se han sacado 400 kg para vender. ¿Qué porcentaje del

animal vivo se vende?

b) Una pieza de tela de 50 m ha encogido un metro, después de lavarla. ¿Qué porcentaje de la

longitud representa lo que se ha encogido?

3. Aplicar un porcentaje.

a) El aire contiene 21% de oxígeno. ¿Cuál es el volumen de oxigeno contenido en 100 litros de

aire? ¿En 400 litros de aire?

b) Compramos queso que contiene 60% de materia grasa. ¿Cuánta grasa habrá en 750 gr de ese

queso?

4. Hallar el número al que se ha aplicado un porcentaje.

a) He pagado $446.25 por una laptop. Si me hicieron un descuento del 15%, ¿cuál era el precio

original de la laptop?

b) La población de una ciudad ha aumentado 4% en dos años. Si ahora tiene 130,000 habitantes,

¿cuántos habitantes tenía hace dos años?

79

5.4. Los Números Reales

5.4.1 Clasificar los números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales

Los números más simples, los que utilizamos para contar, son los números naturales: ℕ = {1, 2,3, … } Si a ℕ le agregamos los inversos aditivos -1, -2, -3, -4, …de los enteros positivos y el cero, obtenemos el conjunto de los números enteros que representamos por ℤ. Luego, ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1, 2,3, … }.

El conjunto de números más simple después de los enteros es el conjunto de los números racionales, que los representamos por ℚ; surgieron ante la necesidad de medir con bastante precisión distintas magnitudes tales como longitud, peso, tiempo y muchas otras. Un número es racional si puede expresarse

en la formab

a con a y b enteros y 0b . Es decir ℚ = {𝑥: 𝑥 =

𝑎

𝑏 , 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ 𝑦 0b }. Observamos que

los números racionales 4

1 y

6

12 son simplemente los enteros 4 y 2 . En general, todo número entero

es un número racional.

Los griegos fueron conscientes de que los números racionales no son suficientes para medir todas las

longitudes. Aunque ellos demostraron que la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, mide 2

también probaron que 2 no puede escribirse como el cociente de dos enteros.

Los números que no son racionales, se llaman números irracionales. En un contexto más avanzado, se puede demostrar que existen mucho más números irracionales que números racionales. Por el momento,

podemos mencionar que si r es un número racional y 0r entonces 2r es un número irracional. La reunión de todos los números racionales y todos los números irracionales constituye el conjunto de los números reales que representamos por ℝ. Los conjuntos numéricos trabajados en las unidades anteriores guardan entre sí las siguientes relaciones: ℕ ⊂ ℤ+ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

El conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales con respecto a ℝ. Si representamos por ℚ′ el conjunto de todos los números irracionales, tenemos la relación ℝ = ℚUℚ′ . L.as anteriores relaciones las ilustramos con un diagrama

NÚMEROS

REALES

NÚMEROS IRRACIONALES NÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS ENTEROS

…, ─3,─2,─1, 0, 1, 2, 3, …

NÚMEROS FRACCIONARIOS

NO ENTEROS

ENTEROS NEGATIVOS:

….─3, ─2, ─1.

CERO:

0

0

ENTEROS POSITIVOS:

1, 2, 3, …

80

5.4.2 Números Irracionales

Haremos un breve estudio de algunos números irracionales relevantes

5.4.2.1 Comparar las dimensiones de un rectángulo

1. Determinemos el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 1: Utilizando el Teorema de Pitágoras

2. Demostremos que 2 es irracional.

5.4.2.2 El número áureo

Construir un rectángulo de oro y obtener el valor del número Φ es equivalente. Un rectángulo áureo es

aquel que se puede dividir en un cuadrado y otro rectángulo menor pero semejante al inicial.

A continuación se demuestra cuál debe ser la

proporción entre los lados de un rectángulo

para que este sea áureo. Partimos inicialmente

de un cuadrado de lado 2 unidades

o

El cuadrado puede tener cualquier medida y el resultado numérico de Φ sería el mismo. En el cuadrado

ABCD se dibuja el punto medio M del lado AD, con centro en este punto M y con un radio igual a la distancia

MC se traza un arco de circunferencia en sentido horario hasta que corte a la prolongación de la línea

horizontal AD, se obtiene así el punto E, se completa la construcción hasta obtener el rectángulo ABEF.

Este rectángulo tiene entre sus lados la relación áurea, es decir si se divide el lado mayor entre el lado

menor se obtiene el valor Φ = ...61803398.12

51

.

.

menorlado

mayorlado

Se estudiará con más detalle posteriormente, cabe observarse que este número aparece frecuentemente

en la naturaleza.

5.4.2.3 Calcular un valor aproximado del número π y graficarlo

Cada estudiante dibuja una circunferencia, mide diámetro y longitud de la circunferencia y divide,

comparar resultados. Si hay cancha de básquet, utilizar el recurso.

El número π resulta de dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro, π 3,1415…

5.4.2.4 Graficar Radicales

Graficar en la recta real los números irracionales 7,6,5,3,2 : representar en la misma recta:

40,26,8,7

81

Problemas y Ejercicios

1. Andresito multiplicó un número por 2.5 y obtuvo 50 como resultado. Sin embargo, él debía haber dividido el número por 2.5 para obtener la respuesta correcta. ¿Cuál era ésta?

2. Una cierta marca de café se vende en paquetes de 0.25 kg, 0.5 kg y 1 kg. Con 200 kg de café se envasaron 150 paquetes de 0.25 kg y 80 de 1 kg y el resto se envasará en paquetes de 0.5 kg. ¿Cuántos paquetes de 0.5 kg se envasarán?

3. Una empresa vende 42 sacos de café de 250 libras cada uno a $0.82 la libra. ¿Cuántas cajas de té de 35 libras cada una a $0.75 la libra se pueden comprar con este dinero?

4. Albita quiere enmarcar estos dos cuadros. El metro de marco cuesta $70. ¿Cuánto gastará en los dos marcos?

5. La maestra de quinto grado quiso calcular la estatura media de los siete primeros niños de su

aula. Al medirlos, obtuvo que la estatura promedio (correcta a una cifra decimal) era de 112.3 cm. Luego, el cuarto niño de la fila le dijo que no lo había medido y, en cambio al niño que va delante de él lo midió dos veces. Si el cuarto niño de la fila mide 3 cm más que el niño que va delante, ¿cuál es la estatura promedio de los niños medidos?

6. Una persona desea comprar 7 docenas de libros iguales pero le faltan $38.50 para los $147 que cuestan. ¿Cuántos libros puede comprar?

7. Calcula los números que faltan de este cuadrado mágico. (Un cuadrado mágico es aquel que tiene los mismos resultados al sumar los elementos de cualquier fila, columna o diagonal)

2.25 6 1.25 3.75

1.25 3.5

1.5 5.25 5.5

2.50 3 4.75 0.75

2.75 0.5 2.25

8. Para pintar la fachada de una casa necesitas combinar do partes de pintura blanca con una parte de pintura azul. La puerta y la ventana se pintarán de blanco. ¿Cuántos litros de pintura de cada color se necesitan, si con un litro de pintura se pintan 2.0 m2 de área?

82

9. En la casillas del tridente representado hay que escribir los 13 números 0.1; 0.2; 0.3;…; 1.2; 1.3, de tal manera que la suma de los números en cada una de las tres columnas (I, II, III) y en la fila horizontal (IV) sea la misma. Cada número se debe utilizar una sola vez.

10. El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. ¿Cuál es el resto? 11. En una urbanización viven 4500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos

árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas?

12. En una división, el dividendo es 969, el cociente 74 y el resto 7. ¿Cuál es el divisor? 13. Asigna un número, positivo o negativo, a cada una de las situaciones siguientes:

a) Estamos en el segundo sótano. b) La temperatura del agua es de 7ºC. c) Pedro le debe a Luis $3. d) He ahorrado $12.

14. Escribe matemáticamente lo que reflejan los siguientes enunciados y calcula el resultado: a) Tenía $120 y he pagado $20. b) Subí 4 plantas y luego he bajado 6 plantas. c) Mi madre me dio $5 y gasté $6. d) Estábamos a 2o C y ha bajado la temperatura 50 C

15. La temperatura más alta medida en un congelador ha sido de 40 C bajo cero, y la más baja, de 260 C bajo cero. ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas?

16. Un avión vuela a 8000 m de altura. Sube 1000 m para evitar una tormenta y luego desciende hasta los 2600 m ¿Cuántos metros ha descendido el avión?

17. ¿Cuántos años transcurren desde 234 a.C a 2015 d.C? 18. Salí de mi piso y bajé tres plantas para buscar a mi amigo Juan; subimos 4 pisos hasta casa de

Inés que vive en el 9º. ¿En qué piso vivo? 19. Aristóteles nació en el año 384 a.C. y vivió 64 años. ¿En qué año murió? 20. En una botella vacía de un litro de agua echamos 2/3 y luego ¼. ¿Cuánto le falta para llenarse? 21. Siete limones pesan lo mismo que cuatro naranjas. Cinco guayabas pesan lo mismo que seis

naranjas. Si l, n y g son los pesos, en gramos, de un limón, una naranja y una guayaba respectivamente, entonces se cumple que:

a) ___ l < n < g b) ___ g < l < n c) ___ l < g < n d) ___ n < l < g

22. Determinar 2 números racionales entre 1/4 y 1/2, y luego a su vez 1 número racional entre los dos determinados.

23. El precio inicial de un producto es de $120. Por razones económicas se aumenta en un 40%. Al cabo de 6 meses de este aumento, se disminuye su precio en un 25%. ¿Cuál es el precio final del producto?

24. La suma de las cifras básicas de un número de 2 cifras es 7. Si a cada cifra se le suma 2, entonces se obtiene un número menor en 3 unidades que el duplo del número inicial. Determina el número que cumple con esas condiciones.

25. Se tiene un millón de hojas de un grosor de 0.25 mm cada una. Si se pone una arriba de otra, ¿Cuál es la altura en metros?

26. En un cuadrado mágico la suma de las tres casillas horizontales, verticales y diagonales es la misma. En el siguiente cuadrado mágico M + N + P = 2.1, determina el calor de M, N y P.

83

3.1 M 1.5

N

-0.1 P

27. Dada la fracción 399

1064 determina, entre todas las fracciones iguales a ella, aquella en la cual la

suma del numerador y denominador da el menor cuadrado perfecto posible. 28. La siguiente es una tabla aditiva, esto significa que el número que aparece en cada cuadradito

es igual a la suma del que aparece encabezando su columna con el que ocupa el extremo izquierdo de su fila. Hallar el valor numérico de x + y.

+ p q r s

A 16 2 7 18

B -19 -33 y -17

C x -6 -1 10

D 4 -10 -5 6

5.5 Lecturas complementarias 1. Centeno Pérez Julia. Números Decimales, ¿Por qué? ¿Para qué? (1988) Editorial Síntesis, S.A. 2. Dialnet-ConcepcionesDeLosNumerosDecimales-4729801.pdf 3. Revista de Investigación en Educación, nº 8, 2010, pp. 97-107 4. MINED, Material de Autoformación e Innovación Docente, Matemática, Viceministerio de Ciencia y Tecnología. Cuarto grado, pág.: 36-57. 5. MINED, Algebra de los números Reales.(2010) Material de apoyo, curso 1 6. Díaz González Mario. Problemas de Matemática para los entrenamientos de la Educación Primaria I y II, Editorial Pueblo y Educación, 2006, Cuba.

- - -

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Enlace: http://webs.uvigo.es/reined/

Resumen: Es una revista científica editada por la Facultad de Ciencias de la Educación y del Deporte de la

Universidad de Vigo dedicada a la investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje en los diferentes

niveles educativos.

Enlace:.http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/deci

males/numerosdecimales.htm

Resumen: Trata una síntesis del estudio de los números decimales, características y propiedades.

Enlace:.http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap1/real

es11.html.

Resumen: Tratado sobre los números reales

Enlace: http://personal.us.es/cmaza/docencia/repasomates.pdf

Resumen: Repaso básico de los conjuntos numéricos

Enlace: http://www.educacion.gob.ec/wp-content/uploads/downloads/2013/05/Matematica_9.pdf

Resumen: Texto de Ecuador para sección nueve abordan el estudio de los números fraccionarios

Enlace: http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/restar-usando-suma.html

Enlace: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=printpage;topic=40800.0

Enlace: http://personal.us.es/cmaza/maza/capitulo.PDF

Enlace: www.lacalesa.es/materiales/abn/restaabn.ppt

Enlace:.http://www.aulafacil.com/cursos/l7323/primaria/matematicas-primaria/matematicas-

segundoprimaria-7-anos/la-resta

Enlace: http://www.inee.edu.mx/mape/themes/TemaInee/Documentos/mapes/losdecimalesa.pdf

Enlace: http://hojaynumeros.blogspot.com/2010/11/en-cuantas-sumas-de-cuadrados-5-de-5.html

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