dominio y contradomino

8/4/2019 dominio y contradomino

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2.1.1. Definicin de Funcin, Dominio y Contradominio.

Relacin

Ejemplos:

1.- A cada persona se le asocia:

Una edad,

Una estatura,

Un peso, etc.

2.- A cada automvil se le asocia:

Un modelo

Un nmero de motor,

Un nmero de placas (matrcula), etc.

3.- En un almacn a cada artculo se le asocia:

Un precio,

Un nmero de inventario,

Un volumen, etc.

4.- A cada pas se le asocia:

Un rgimen socioeconmico,

Una superficie,

Una altura sobre el nivel del mar,

Un clima, etc.

Una relacin es una regla de correspondencia que se establece

entre los elementos de un primer conjunto que se llama dominio con

los elementos de un segundo conjunto que se llama contradominio, de

tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o ms

elementos en el contradominio.

Una relacin establece la correspondencia o asociacin entre loselementos de dos con untos de ob etos.


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Funcin

En consecuencia toda funcin es una relacin, pero algunas relaciones no son

funciones.

Criterio de la Vertical

Al definir una funcin como un conjunto de pares ordenados, se ha establecido que

dos pares diferentes no tienen el mismo primer componente. Esto significa que alrepresentar geomtricamente la grfica de una funcin a cada punto le corresponde

diferente abscisa, de manera que al trazar rectas paralelas al eje de lasy por cualquier valor

del dominio, cada una corta a la representacin geomtrica en un punto.

Si slo se da la representacin geomtrica de una grfica para determinar si

representa o no a una funcin, por su dominio se trazan rectas paralelas al eje de las y, y si

una de ellas la corta en ms de un punto entonces no corresponde a una funcin, pues existe

al menos un elemento del dominio que tiene ms de una imagen.

Teorema: Una ecuacin define a una funcin si cada recta vertical en elsistema de coordenadas cartesianas pasa a lo ms por un punto de la grficade la ecuacin. Si una recta vertical pasa por dos o ms puntos de la grficade una ecuacin, entonces la ecuacin no define una funcin.

Ejemplo 1.- Determinar si la grfica representa una funcin o unarelacin.

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2

Una funcin es una relacin en la que a cada elemento del dominio le

corresponde uno y slo un elemento del Contradominio.

Las rectas verticales intersecan esta grfica

en exactamente un punto. Por lo tanto, esta

grfica representa la grfica de una funcin.


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y

x


y

x


y

3

x

-5 5

Representa a una funcin

porque cualquier paralela al eje

y corta a la curva en un solo

punto. Su dominio es el

conjunto de los nmeros reales

y su imagen son los reales no

negativos, es decir,

Df= R, Cf = R+ U {0}.

El dominio de la

funcin es el conjunto de

todos los valores que puede

tomar la x, y el conjunto

imagen est formado por

todos los valores que puede

tomarybajo la funcin.

No representa una funcin

porque al trazar paralelas al eje de las

y se observa que cada una de ellas

corta a la curva en dos puntos, es decir,

cada elemento del dominio tiene dos

imgenes, excepto el cero.

Representa unafuncin porque los puntos

(- 5, 0) y (0, -3) no

pertenecen a la grfica.

El dominio e imagen

de la funcin son,respectivamente, los

conjuntos:

Df = {x R|-5 < x 5}

Cf = {y R|-3 < x 3}


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-3

A manera de conclusin diremos lo siguiente:

Una funcin involucra siempre la relacin entre dos conjuntos.

Los conjuntos relacionados no necesariamente son numricos.

No cualquier relacin entre dos conjuntos es una funcin.

A veces existen ecuaciones que nos permiten expresar la relacin entre dos

conjuntos numricos. Sin embargo, no siempre que existan stas, la relacin ser una

funcin. Adems, la ecuacin en s misma no es la funcin, slo la regla de correspondencia

que permite explicitar la relacin de dos conjuntos numricos.

El concepto de funcin, de acuerdo con su definicin, puede descomponerse en

diferentes constituyentes. stos son:

A nivel conjunto Dominio y Contradominio

A nivel elemento Argumento e imagen

Dominio

Se llamaDominio de una funcin al conjunto de valores que puede tomar la

variable independiente. El dominio de una funcin del tipoy = f(x) suele representarsecon alguna de estas expresiones: Df, Dom (f).

Definicin:

En una funcin f: A B, el dominio corresponde al primer conjunto. Para el caso

que nos ocupa, el dominio es el conjunto A.


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Contradominio

Se llama Contradominio, Rango o Imagen de una funcin al conjunto devalores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores quepuede alcanzar la funcin. El Contradominio de una funcin del tipo y = f(x) suelerepresentarse con alguna de estas expresiones: Cf, Rango (f), Im (f).

Definicin:

Imagen de una Funcin

La asociacin a travs de una funcin f, de los conjuntos A y B, de A hacia B (o

simplemente f: A B) conlleva a la asociacin individualizada de cada uno de los

elementos del conjunto A (primer conjunto o dominio) con un nico elemento del conjunto

B (segundo conjunto o Contradominio).

Definicin:

Obsrvese la Figura.

f

A B

-2

-1

0

1

-8

-5

-2

1

El Contradominio, tambin llamado rango de la funcin, es el nombre que se le

da al segundo conjunto. Esto es, aquel en donde se encuentran los valores relacionados

con los elementos del primer conjunto o dominio. Si la funcin es f: A B, el

Contradominio es B.

Cada elemento del primer conjunto recibe el nombre de argumento de la

funcin; y a su correspondiente asociado, elemento del segundo conjunto, se le

denomina imagen del argumento bajo la funcin dada.


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de un nmero negativo, y en consecuencia, no se obtendr un nmero real y. Por tanto, sedebe restringir x de manera que .

De este modo, el dominio de f es el intervalo , y su Contradominio es .

Ejemplo para discusin: Halla el dominio para cada una de las siguientes funciones:

f xx

g x x x h x x p x x( ) , ( ) , ( ) , ( )=

= + + = = 15

33 16 25 3

2 2

Ejercicio de prctica: Halla el dominio para cada una de las siguientes funciones:

f x x x g xx

h x x( ) , ( ) , ( )= + =+

= 2

3 11

52

[ ),2 [ )+,0

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