documento final ciclo de carnot
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SISTEMAS H ´ IBRIDOS Y EL CICLO DE CARNOT MODELO Y AN ´ ALISIS Por Claudia Catalina Caro Ruiz Dr. Nicanor Quijano, Asesor Ing. Eduardo Mojica-Nava, Co-asesor TRABAJO PRESENTADO COMO REQUERIMIENTO PARA OBTENER EL GRADO DE INGENIERA ELECTRONICA EN LA UNIVERSIDAD DE LOS ANDES BOGOTA, COLOMBIA 2008
Transcript of documento final ciclo de carnot
SISTEMAS HIBRIDOS Y EL CICLO DE CARNOT
MODELO Y ANALISIS
Por
Claudia Catalina Caro Ruiz
Dr. Nicanor Quijano, AsesorIng. Eduardo Mojica-Nava, Co-asesor
TRABAJO PRESENTADO COMO REQUERIMIENTO PARA OBTENER EL GRADO DE
INGENIERA ELECTRONICA
EN LA
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
BOGOTA, COLOMBIA
2008
SISTEMAS HIBRIDOS Y EL CICLO DE CARNOT
MODELO Y ANALISIS
Aprobado por:
Nicanor Quijano, Asesor
Fecha de Aprobacion
RESUMEN
En este proyecto se desarrolla un modelo dinamico de sistema conmutado como conjunto de sub-
sistemas gobernados por una ley de conmutacion y ademas se utiliza una tecnica de aproximacion
polinomial para presentar un modelo compacto compuesto por un unico sistema de ecuaciones que
incluye la existencia de una variable de control. Se realiza el modelo dinamico diferentes simu-
laciones en busca de caracterizar su comportamiento y comprobar que es un sistema conmutado
natural. Se estudia estabilidad para el sistema usando diferentes criterios por medio de la her-
ramienta computacional SOSTOOLS de MATLAB.
i
A mi Padre porque me llevo a creer que lo lograrıa.
A mi Madre, mis hermanos y mi hermana. Al poeta y su familia.
A mi asesor por ensenarme a aprender.
“Es, pues, la fe la certeza de lo que se espera, la conviccion de lo que no se ve”.
Hebreos 11,1
ii
TABLA DE CONTENIDO
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Dedicatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lista de Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
1. Introduccion 1
1.1. Definicion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Exploracion de Trabajos Realizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Ciclo de Carnot: Sistema Conmutado 5
2.1. Caracterısticas del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Modelaje del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. Procesos isotermicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2. Procesos adiabaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3. Ley de conmutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.4. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii
3. Analisis 30
3.1. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. Aproximacion Polinomial 43
4.1. Comportamiento dinamico del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2. Criterios de estabilidad para la aproximacion polinomial . . . . . . . . . . . . . . . 46
5. Conclusiones 51
5.1. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2. Aportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3. Direcciones Futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
iv
LISTA DE TABLAS
5.1. Descripcion de terminos y valores utilizados en las simulaciones. . . . . . . . . . . 54
v
LISTA DE FIGURAS
2.1. Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Expansion isotermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Expansion adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4. Compresion isotermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5. Compresion adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6. Ciclo de Carnot en el espacio de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7. Variables en el espacio de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8. Comportamiento dinamico de las variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9. Superficies de conmutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1. Funciones multiples de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1. Aproximacion polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Funcion de Lyapunov para la Aproximacion polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. Funcion de Lyapunov en el espacio de estado de x3 y x2 . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4. Funcion de Lyapunov en el espacio de estado de x1 y x2 . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5. Funcion de Lyapunov en el espacio de estado de x1 y x3 . . . . . . . . . . . . . . . 50
vi
Capıtulo 1
Introduccion
Muchos de los sistemas encontrados en la practica son definidos por acoplamiento de dinamicas
discretas y continuas; este tipo de sistema es denominado sistema hıbrido. El estudio de estos
sistemas se puede realizar desde diferentes enfoques, e.g., fısica aplicada, ciencias de computacion,
teorıa de sistemas y control. En particular, nos interesa concebir el sistema hıbrido como un
conjunto de subsistemas continuos en el tiempo que interactuan entre si gobernados por una ley de
conmutacion discreta es decir como un sistema conmutado. El objetivo de este proyecto es utilizar
un sistema sencillo para realizar un modelaje y analisis del mismo como sistema conmutado, aplicar
una aproximacion polinomial del sistema, y comparar resultados obtenidos para este sistema en
fısica aplicada y teorıa clasica de sistemas.
1.1. Definicion del Problema
El problema a investigar consiste en el modelaje, analisis y control de un sistema dinamico que
posee algunas caracterısticas peculiares que lo hacen un sistema hıbrido. El sistema que se utiliza
es el Ciclo de Carnot, el cual es un ciclo termodinamico reversible realizado por un gas ideal. Al
1
formular el problema como sistema conmutado obtenemos un conjunto de subsistemas que rep-
resentan cada uno de los procesos termodinamicos que transcurren durante el ciclo y una ley de
conmutacion que organiza el comportamiento de todos los subsistemas. El modelo se realiza en base
a propiedades medibles del sistema. Para cada uno de los subsistemas el comportamiento se define
para presion y temperatura como propiedades intensivas y volumen como propiedad extensiva. La
ley de conmutacion se conoce de antemano y su comportamiento esta definido por el espacio de
estado.
Construido el sistema se procede a un estudio de estabilidad del sistema en el sentido de Lya-
punov. Para este estudio se utiliza SOSTOOLS una herramienta de distribucion gratuita para
uso en MATLAB que usando aproximacion con suma de cuadrados para funciones polinomiales
encuentra funciones de Lyapunov para diferentes tipos de sistemas. En la tercera parte se realiza
una aproximacion polinomial del sistema conmutado, aplicando el metodo en [7]. En esta parte
se busca ilustrar la aproximacion polinomial con este sistema y encontrar las ventajas que puede
presentar en la formulacion del problema para analisis de estabilidad.
Para trabajos posteriores, una vez caracterizado el sistema ideal, se cambiaria el modelo del sistema
usando termodinamica de tiempos finitos [9], [22]. En este caso, la transferencia de calor no es
constante y se descartan los procesos adiabaticos considerando una mınima influencia de estos
en el comportamiento del ciclo. La aproximacion con termodinamica de tiempos finitos cambia
las trayectorias de las variables de estado y disminuye la eficiencia, pero sus caracterısticas de
estabilidad local permanecen iguales. El modelo del sistema conmutado con la aproximacion de
tiempos finitos es unificado utilizando de nuevo aproximacion polinomial. Sobre esta aproximacion
se estudian las caracterısticas fısicas del sistema, i.e., potencia y eficiencia. Los resultados son
analizados y finalmente comparados con trabajos anteriormente realizados en [11]y [12].
2
1.2. Exploracion de Trabajos Realizados
La termodinamica es un area ampliamente estudiada y utilizada en areas de la industria como
quımica, electronica, sistemas de refrigeracion, sistemas de potencia, entre otros. Particularmente
el ciclo de Carnot representa uno de los pilares de la aplicacion de la termodinamica en procesos
reales. Desde el trabajo presentado por Curzon-Ahlborn [18] el ciclo de Carnot se fue aproximando
a los sistemas reales convirtiendose en un ciclo endoreversible donde en los procesos isotermicos
existe una transferencia de calor no constante en un lapso de tiempo finito. Estudios realizados
en [17],[16],[13], trabajan sobre la maquina endoreversible y las diferentes influencias de la irre-
versibilidad interna. En [15] se incluyen en el modelo irreversibilidades externas. Recientemente, en
[10],[12] se realizan analisis de estabilidad para ciclos termodinamico endoreversible e irreversibles
de diferente tipo. En estos trabajos se restringe el sistema a los procesos isotermicos.
Los trabajos realizados desde la perspectiva de sistemas conmutados aplicados a ciclos termodinami-
cos se han realizado en un enfoque de control y diseno, no de analisis de estabilidad. En [3] y [4]
encontramos modelos hıbridos de refrigeradores. En [3] se modela un refrigerador de supermercado
abierto con varios compartimientos para alimentos considerando que el control de temperatura
para cada uno de los compartimientos debe sincronizarse con los otros por medio de una ley de
conmutacion evitando ası perturbaciones en la temperatura del sistema por interacciones de trans-
ferencia de calor o flujo de masa entre los compartimientos. En [4] se da robustez al modelo de un
intercambiador de calor para ciclos de compresion de vapor usando un modelo diferente para las
zonas dentro del intercambiador donde el fluido trabajable esta en fases diferentes. Analogamente
en [2] se implementa un observador no lineal para estimar las variables de estado en las transiciones
de fase para un sistema conmutado de orden variable con aplicacion a intercambiadores de calor.
Una desarrollo interesante dentro de la teorıa de sistemas conmutados es la aproxi-macion poli-
3
nomial del sistema presentada en [7]. En esta aproximacion se busca unificar el comportamiento
de todos los subsistemas sujetos a una forma especıfica de conmutacion en una unica ecuacion
diferencial algebraica. Esta propuesta se utiliza en el capıtulo 4 para describir el sistema en forma
tal que su comportamiento sea comparable con las caracterısticas encontradas en [12]. Dado que
los trabajos en termodinamica en desequilibrio son recientes, se ve en este proyecto la posibilidad
de plantear una primera aproximacion a los ciclos termodinamicos como sistemas conmutados y
ademas ejemplificar el uso de la aproximacion polinomial de sistemas hıbridos.
4
Capıtulo 2
Ciclo de Carnot: Sistema Conmutado
El ciclo de Carnot puede considerarse como una red de subsistemas internamente reversibles que
intercambian energıa con el entorno. El sistema puede comportarse como una maquina de calor,
un refrigerador, o una bomba de calor dependiendo de la direccion en que se realice el ciclo y del
objetivo final del sistema (transferencia de calor o trabajo con el entorno). El ciclo fue planteado
por el ingeniero frances Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796-1832). Este trabajo ha contribuido al
planteamiento de la termodinamica clasica [5]. En este proyecto nos enfocaremos en la maquina
de calor.
El proceso que realiza la maquina de Carnot es el intercambio de calor de un fluido ideal que
llamaremos fluido trabajable, entre dos reservorios de temperaturas TH y TL (TH > TL), donde
TH es el reservorio a alta temperatura y TL el reservorio a baja temperatura. Cuando el fluido
trabajable esta en contacto con el reservorio a temperatura TH para realizar la transferencia de
calor, la temperatura que tiene el fluido es infinitesimalmente menor que la del reservorio. De
forma similar, cuando el fluido trabajable entra en contacto con el reservorio a temperatura TL la
temperatura del fluido es mayor a la del reservorio apenas de forma infinitesimal. Esta pequena
diferencia de temperatura entre los dos fluidos hace el proceso de transferencia de calor muy lento,
5
Figura 2.1: a)Sistema, b) comportamiento de las variables de estado en el ciclo de Carnot
por tanto el proceso toma un tiempo infinito en realizarse. No obstante es esta caracterıstica
particular la que hace que el proceso sea reversible.
La maquina de Carnot funciona a traves de dos procesos isotermicos y dos procesos adiabaticos (los
cuatro procesos son reversibles). Las caracterısticas ideales del ciclo lo convierten en la maquina de
maxima eficiencia que se puede realizar entre dos temperaturas TH y TL. Sin embargo, debido a las
caracterısticas de la transferencia de calor la maquina requiere de tiempo infinito para completar
los procesos isotermicos, ası que la potencia neta entregada por el sistema es cero. Estas dos
caracterısticas extremas la hacen inaplicable para la evaluacion de caracterıstica en maquinas
reales.
Usando termodinamica de tiempos finitos, el ciclo de Carnot a evolucionado a sistemas con compor-
tamiento energetico mucho mas cercano al real. Los procesos isotermicos se hacen en tiempo finito
y se incluyen fuentes de irreversibilidad externa como por ejemplo, diferencias en la conductividad
termica en cada reservorio. Aunque las caracterısticas del ciclo hagan de este un sistema meramente
conceptual, el ciclo presenta con bastante claridad el funcionamiento basico de cualquier maquina
termodinamica. Aprovechando su particular sencillez y comportamiento ideal, utilizamos el ciclo
de Carnot como un ejemplo de aplicacion de la teorıa de sistemas conmutados. A continuacion
desarrollamos un modelo dinamico para cada uno de los subsistemas del ciclo y los utilizamos para
6
Figura 2.2: Expansion isotermica a) P vs. V, b) T vs. V, c) P vs. T.
presentar el ciclo de Carnot como sistema conmutado.
2.1. Caracterısticas del Sistema
Considere el sistema cilindro/piston presentado en la Figura 2.1. Dentro de este cilindro ocurre
el ciclo que se observa en la parte b). Se propone el sistema en posicion horizontal para que la
variable presion dentro del fluido no tenga el comportamiento oscilatorio que ocurrirıa por peso
del piston. El sistema se encuentra aislado y se asume que la transferencia de calor es uniforme
para todo el fluido. El ciclo ocurre bajo la siguiente secuencia
Expansion isotermica reversible: Durante este proceso se transfiere calor desde el entorno ha-
cia el sistema por la superficie del cilindro. La transferencia ocurre a temperatura constante.
Durante este proceso disminuye la presion del fluido haciendo que este se expanda libremente
y ejerza trabajo sobre el piston. La fuerza en el piston es proporcional al cambio en la presion.
Este proceso puede observarse en la Figura 2.2. Las flechas indican el sentido del proceso.
En la figura 2a) se observa el comportamiento de la presion con respecto a la temperatura,
el cual parte de una condicion inicial y se desplaza dependiendo unicamente de los cambios
en el volumen. La presion y el volumen son inversamente proporcionales en este proceso. En
las Figuras 2 b) y c) se observa claramente que la temperatura permanece independiente a
los cambios que ocurren en el sistema. Esto en aplicaciones reales es imposible de conseguir.
7
Figura 2.3: Expansion adiabatica a) T vs. V, b) P vs. V, c) P vs. T.
Expansion adiabatica: En este proceso el sistema cambia su temperatura desde de TH hasta
TL. A medida que el fluido se enfrıa continua expandiendose y disminuyendo la presion. Esto
produce un trabajo que mueve el piston hacia afuera. En las Figuras 2.3a) se puede ver que la
temperatura tiene un cambio constante con respecto a las variaciones en volumen y presion.
En la Figura 2.3 c) se ve que el cambio en la presion y el volumen tiene un comportamiento
no lineal con una variacion inversamente proporcional.
Compresion isotermica: Una vez el fluido ha llegado a una temperatura superior a TL en
proporcion infinitesimal, se pone el sistema en contacto con el reservorio a temperatura
TL para realizar una transferencia de calor desde el sistema hacia el reservorio. Durante la
transferencia de calor la temperatura permanece constante, la presion del fluido aumenta
y el volumen disminuye proporcionalmente. En la Figura 2.4, se puede observar como las
variables continuan el recorrido en el ciclo con un cambio instantaneo de sentido; el piston
comienza a moverse hacia adentro debido al cambio la fuerza de succion que esta ejerciendo
el cambio de presion sobre el embolo.
Compresion adiabatica: En este proceso se busca volver el fluido trabajable a su estado
original. Sobre el sistema se aplica desde el entorno un trabajo que aumenta la presion hasta
que se calienta a la temperatura inicial TH . En la Figura 2.5 se puede observar que al concluir
el ciclo efectivamente regresa a la condicion inicial.
8
Figura 2.4: Compresion isotermica a) P vs. V, b) T vs. V, c) P vs. T.
Independientemente que el objetivo del sistema sea transferir calor (aire acondicionado), o realizar
un trabajo (turbina) los cuatro procesos son siempre necesarios puesto que no es posible crear un
sistema que transfiera calor a su entorno sin realizar un trabajo y viceversa. Este principio se basa
en la primera y segunda ley de la termodinamica. Descritos los cuatro procesos que ocurren durante
el ciclo podemos modelar este sistema como un conjunto de subsistemas con comportamientos inde-
pendientes unos de otros, i.e., cada proceso se expresa por un conjunto de ecuaciones diferenciales
particulares. Despues de tener los sistemas de ecuaciones, generamos una ley de conmutacion que
permita sincronizar todos los procesos para obtener el objetivo requerido ( i.e., realizar un trabajo
en el entorno mediante la transferencia de calor desde el reservorio TH hasta TL).
Figura 2.5: Compresion adiabatica a) P vs. V, b) T vs. V, c) P vs. T
9
2.2. Modelaje del sistema
2.2.1. Procesos isotermicos
Para un gas ideal dentro de cualquier sistema se cumple la ecuacion de gases ideales,
PV = mRT (2.1)
donde P es la presion del fluido, V el volumen del fluido, T es la temperatura, R es la constante
caracterıstica del fluido y m la masa. Ademas se tiene que el balance de energia en cualquier
proceso termodinamico esta definido como
△Q+ △W = △U (2.2)
donde △Q es el cambio en el calor del fluido, △W es el cambio en el trabajo del fluido y △U es
el cambio en la energıa interna del fluido. Para un gas ideal tenemos que el cambio en la energıa
interna del fluido se debe unicamente al cambio en la temperatura del fluido. Por tanto para los
procesos de expansion y compresion isotermica en los que la temperatura permanece constante
tendremos que
△U = 0
△Q+ △W = 0
△Q = −△W
El cambio de calor que haya en el sistema producira un trabajo de la misma magnitud. Para el
proceso de expansion isotermica sabemos que el fluido esta en contacto con el reservorio a alta
temperatura. Debido a que el fluido tiene una temperatura infinitesimalmente menor a la del
reservorio, la transferencia de calor se realiza desde el reservorio hacia el fluido y se considera
una transferencia de calor negativa. Si tomamos un cambio infinitesimal del calor en el tiempo
10
tendremos que △Q = dQdt
= Q. El termino Q representa el flujo de calor en el sistema. Se tiene
que el flujo de calor que esta entrando al sistema Qi es
Q = Qi
Qi < 0
De forma similar, en la compresion isotermica podemos definir Qo como el flujo de calor que es
transferido desde el sistema hacia el entorno. En el caso de la compresion isotermica tenemos el
fluido en contacto con el reservorio a baja temperatura TL. La transferencia de calor se hace desde
el fluido hacia el entorno, por lo tanto es una transferencia de calor positiva.
Q = Qo
Qo > 0
Ya que la transferencia de calor es uniforme sobre el fluido y la temperatura del fluido es aproxi-
madamente igual a la de los reservorios (en su respectivo proceso), consideramos los flujos de calor
Qi y Qo constantes.
Conocemos que en termodinamica el trabajo realizado por el sistema es equivalente a
△W = P△V (2.3)
Si hacemos los cambios sobre las variables infinitamente pequenos en el tiempo podemos escribir
2.3 de la forma
dW
dt= P
dV
dt(2.4)
obteniendo ası que la tasa de trabajo que realiza el sistema es funcion de la presion y del cambio
en el volumen. Se debe tener en cuenta que la presion es funcion del cambio en el volumen, por
tanto la tasa de trabajo relaciona los cambios en la presion implıcitamente. Usando la ecuacion de
11
balance de energıas para el proceso isotermico en (2.2) podemos decir que,
Q = −W
Q = −PdV
dt(2.5)
De (2.5) podemos obtener una ecuacion que define el cambio en el volumen para el proceso isotermi-
co, i.e.,
dV
dt= −
Q
P(2.6)
Reemplazando (2.1) en (2.6) obtenemos una ecuacion lineal con respecto a V , i.e.,
dV
dt= −
V Q
mRT(2.7)
La Ecuacion (2.7) rige el comportamiento del volumen en el tiempo para la compresion y expansion
isotermica indistintamente. Reemplazando los valores de las constantes obtenemos que
dV
dt= −
V Qi
mRTH(2.8)
dV
dt= −
V Qo
mRTL(2.9)
donde (2.8) representa la expansion isotermica y (2.9) la compresion isotermica. Debido a la difer-
ente direccion en que ocurre Qi y Qo la ecuacion (2.8) representa un crecimiento de la variable V
mientras que en (2.9) representa una disminucion.
En cuanto a la temperatura tenemos que en un proceso isotermico la temperatura permanece
costante, por lo tanto
dT
dt= 0 (2.10)
Esta ecuacion se cumple para los dos procesos, expansion y compresion isotermica.
12
A continuacion para caracterizar el cambio en la presion utilizamos la definicion de isothermal bulk
modulus BT . Este representa el cambio de la presion con respecto al cambio en el volumen para
un fluido en un proceso a temperatura constante
BT ≡ −VdP
dV(2.11)
Asumiendo en (2.11) que los cambios en la presion y el volumen ocurren en un lapso de tiempo dt
tenemos que
BTdV
dt= −V
dP
dt
dP
dt= −
BT
V
dV
dt(2.12)
El modulo BT como se puede ver en (2.11) depende de los rangos de presion y volumen en los
cuales ocurre el proceso, por lo tanto no es posible tomarlo como constante, sin embargo para los
gases ideales tiene un comportamiento particular.
Considere la siguiente propiedad para procesos isotermicos sobre un gas ideal.
PV = cte (2.13)
Esta ecuacion representa que en cualquier punto durante el proceso isotermico la presion y el
volumen van a guardar entre si una relacion constante. Derivando (2.13) con respecto al tiempo
se obtiene que
d
dt(PV ) =
d
dt(cte)
dP
dtV + P
dV
dt= 0
dP
dt= −
P
V
dV
dt(2.14)
comparando(2.14) con (2.12) podemos decir que para un gas ideal
13
BT = P
ası, reemplazando el isothermal bulk modulus por su equivalente para gases ideales obtenemos una
ecuacion que define el comportamiento de la presion en los procesos isotermicos (i.e., compresion
y expansion isotermica)
dP
dt= −
P
V
dV
dt(2.15)
Reemplazando en (2.15) el cambio en el volumen (2.8) y (2.9) para cada proceso obtenemos
dP
dt=
PQi
mRTH(2.16)
dP
dt=
PQo
mRTL(2.17)
donde (2.16) representa el cambio de presion en la expansion y (2.17) el cambio en la compresion.
Con estas ecuaciones tenemos ya definido el modelo de dos de los subsistemas del ciclo de Carnot,
la expansion isotermica y la compresion isotermica.
2.2.2. Procesos adiabaticos
En los procesos de expansion y compresion adiabatica se presentan cambios en la variable temper-
atura, pero a diferencia del proceso anterior el sistema esta lo suficientemente aislado para que no
exista transferencia de calor con el entorno por lo tanto el cambio en la energıa interna del fluido
produce un trabajo en el sistema
△Q = 0
△W = △U
Ademas de que el proceso adiabatico tenga el balance de energıas mencionado anteriormente y
cumpla con la ley de gases ideales (2.1), la relacion entre la presion y el volumen del sistema estan
14
sujetas al valor de el coeficiente adiabatico γ. Este coeficiente representa la razon entre el calor
especıfico a presion constante y el calor especıfico a volumen constante.
γ =cp
cv(2.18)
Este coeficiente influencia la relacion entre las variables presion y volumen de la forma
PV γ = cte (2.19)
donde para cualquier punto en el recorrido, la relacion presion-volumen se mantiene constante y
la trayectoria depende directamente del tipo de fluido utilizado en el sistema.
Conociendo las caracterısticas del proceso adiabatico podemos partir de estas para definir los
cambios en las diferentes variables. Derivando (2.19) con respecto al tiempo se tiene que
dPdtV γ + PγV γ−1 dV
dt= 0
dPdtV γ = −PγV γ−1 dV
dt
−Pγ dVdt
= dPdt
V γ
V γ−1
dP
dt= −
dV
dt
Pγ
V(2.20)
Esta ecuacion representa el cambio de la presion en el tiempo para un proceso adiabatico. El
cambio en el volumen puede representarse manipulando (2.4) de forma
dV
dt=W
P(2.21)
De (2.21) obtenemos las ecuaciones que definen el comportamiento del volumen en expansion y
compresion adiabatica respectivamente. La diferencia entre los dos procesos se encuentra en la tasa
de trabajo. Para la expansion adiabatica, mientras la temperatura del gas disminuye el fluido se esta
expandiendo por tanto ejerce un trabajo en el entorno (sobre el piston) este trabajo se considera
15
constante, dado que la relacion entre la presion y el volumen durante el ciclo se mantiene (2.19).
Para la expansion llamaremos a la tasa de trabajo realizado por el sistema Wo donde Wo > 0. La
tasa de trabajo ejercida sobre el sistema por el entorno para que ocurra la compresion adiabatica y
la temperatura pueda regresar a su estado original es Wi donde por ser realizada desde el entorno
hacia el sistema se considera negativa, i.e., Wi < 0.
dV
dt=Wo
P(2.22)
dV
dt=Wi
P(2.23)
Conociendo el cambio en el volumen podemos reemplazar (2.21) en (2.20) y obtener
dP
dt= −
dV
dt
Pγ
V
= −W
P
Pγ
V
dP
dt= −
Wγ
V(2.24)
Reemplazando V en (2.24) por su equivalente en la ley de gases ideales (2.1) y reemplazando el
trabajo respectivamente para cada proceso obtenemos las ecuaciones de cambio de presion para
expansion y compresion adiabatica respectivamente
dP
dt= −
PWoγ
mRT(2.25)
dP
dt= −
PWiγ
mRT(2.26)
Para definir el cambio en la temperatura utilizamos de nuevo la ecuacion de gases ideales. Derivando
a ambos lados de (2.1) con respecto al tiempo podemos se tiene que
d
dtPV =
d
dtmRT
dP
dtV + P
dV
dt= mR
dT
dt
16
dT
dt=
1
mR
(
dP
dtV + P
dV
dt
)
(2.27)
Reemplazando (2.24) y (2.21) en (2.27) se obtiene que
dT
dt=
1
mR
(
PW
P−Wγ
VV
)
=1
mR
(
W − Wγ
)
=W
mR
(
1 − γ
)
donde se reemplaza W por el que ocurre en cada proceso para tener las ecuaciones de cambio la
temperatura para expansion y compresion
dT
dt=
Wo
mR
(
1 − γ
)
(2.28)
dT
dt=
Wi
mR
(
1 − γ
)
(2.29)
El conjunto de ecuaciones (2.25), (2.22) y (2.28)sirve para definir el comportamiento de la expansion
adiabatica mientras que (2.26), (2.23) y (2.29) representan el proceso de compresion.
2.2.3. Ley de conmutacion
Conociendo el conjunto de subsistemas que funcionan en el ciclo, es necesario encontrar la ley de
conmutacion que sincroniza su comportamiento en busca de obtener el funcionamiento de maquina
de Carnot con las siguientes condiciones:
1. La trayectoria del ciclo presenta 4 puntos de cambio. En 1 se hace la transicion de compre-
sion adiabatica a expansion isotermica, en 2 se pasa de expansion isotermica a expansion
adiabatica, en 3 se transita de expansion adiabatica a compresion isotermica y en 4 se hace
cambia de compresion isotermica a compresıon adiabatica
2. El ciclo de Carnot esta funcionando en la direccion de la maquina de calor recoriendo los
puntos de cambio en el orden 1-2-3-4-1.
17
3. En el ciclo se utiliza aire como gas ideal.
4. El ciclo opera entre las temperaturas TH y TL.
5. El ciclo empieza desde la condicion inicial de maxima presion alcanzable Υ, y temperatura
TH (esta ocurre en la expansion isotermica).
6. Durante la expansion isotermica se transfiere calor al fluido mientras se expande hasta un
volumen Θ.
7. Los tiempos de cada proceso son T1−2 para la expansion isotermica, T2−3 para la expan-
sion adiabatica, T3−4 para la compresion isotermica y T4−1 para el proceso de compresion
adiabatica.
8. El ciclo tarda un tiempo T en volver a la condicion inicial donde,
T = T1−2 + T2−3 + T3−4 + T4−1
Definimos el vector de estado x donde x1 representa la variable temperatura, x2 representa la
variable volumen y x3 representa la variable presion.
x =
[
x1 x2 x3
]T
x1 −→ T
x2 −→ V
x3 −→ P
18
Utilizando la condicion de funcionamiento 5 descrita anteriormente y la ley de gases ideales en
(2.1), definimos las condiciones iniciales del sistema para un tiempo t0 como
x1(t0) = TH
x2(t0) =mRx1(t0)
x3(t0)=mRTH
Υ
x3(t0) = Υ
(2.30)
Continuando con el proceso, la primera conmutacion se da en el punto 2 donde el ciclo cambia de
un comportamiento isotermico a un proceso adiabatico pero continua expandiendo el fluido. En
este punto, conocemos la magnitud del volumen con el cual inicia la expansion adiabatica. Dado
que durante la expansion isotermica la temperatura permanece constante en el instante en que se
hace la transicion, la temperatura es TH . Usando la ley de gases ideales obtenemos el estado en el
punto de conmutacion 2, i.e.,
x1(t0 + T1−2) = TH
x2(t0 + T1−2) = Θ
x3(t0 + T1−2) =mRx1(t0 + T1−2)
x2(t0 + T1−2)
=mRTH
Θ
(2.31)
A continuacion, en el recorrido del ciclo el sistema se expande adiabaticamente durante un tiempo
T2−3 hasta disminuir la temperatura del fluido a TL. En el momento en el que alcanza esta temper-
atura (punto 3), se presenta el cambio del funcionamiento del sistema a una compresion isotermica.
Para encontrar el valor de las otras variables de estado en esa transicion podemos utilizar (2.19) y
decir que
x3(t0 + T1−2)x2(t0 + T1−2)γ = x3(t0 + T1−2 + T2−3)x2(t0 + T1−2 + T2−3)
γ (2.32)
19
Utilizando la ecuacion de gases ideales (2.1) en (2.32) obtenemos que,
x1(t0 + T1−2)
x2(t0 + T1−2)x2(t0 + T1−2)
γ =x1(t0 + T1−2 + T2−3)
x2(t0 + T1−2 + T2−3)x2(t0 + T1−2 + T2−3)
γ
x1(t0 + T1−2)x2(t0 + T1−2)γ−1 = x1(t0 + T1−2 + T2−3)x2(t0 + T1−2 + T2−3)
γ−1
x2(t0 + T1−2 + T2−3) = x2(t0 + T1−2)
(
x1(t0 + T1−2)
x1(t0 + T1−2 + T2−3)
) 1
γ−1
Sin embargo, la temperatura en este punto de transicion es TL y el volumen inicial Θ, de la
expansion adiabatica obtenemos que
x2(t0 + T1−2 + T2−3) = Θ
(
TH
TL
)1
γ−1
En este instante de conmutacion (2.1) quedaria de la forma
x3(t0 + T1−2 + T2−3) =mRx1(t0 + T1−2 + T2−3)
x2(t0 + T1−2 + T2−3)
=mRTL
Θ(
TH
TL
)1
γ−1
=mRT
γ
γ−1
L
ΘT1
γ−1
H
Con los valores obtenidos,se define el punto 3 de transicion desde la expansion adiabatica a la
compresion isotermica, i.e.,
x1(t0 + T1−2 + T2−3) = TL
x2(t0 + T1−2 + T2−3) = Θ
(
TH
TL
) 1
γ−1
x3(t0 + T1−2 + T2−3) =mRT
γγ−1
L
ΘT1
γ−1
H
(2.33)
Continuando en el ciclo, ocurre la compresion isotermica que transcurre durante un tiempo T3−4
hasta que se cumplan simultaneamente las condiciones
x3(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4)x2(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4) = . . .
. . . x3(t0 + T1−2 + T2−3)x2(t0 + T1−2 + T2−3)
(2.34)
20
x3(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4)x2(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4)γ = . . .
. . . x3(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4 + T4−1)x2(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4 + T4−1)γ
(2.35)
Dividiendo (2.35) en (2.34)
x2(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4)γ−1 =
x3(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4 + T4−1)x2(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4 + T4−1)γ
x3(t0 + T1−2 + T2−3)x2(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4 + T4−1)
x2(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4) =
(
x3(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4 + T4−1)x2(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4 + T4−1)γ
x3(t0 + T1−2 + T2−3)x2(t0 + T1−2 + T2−3)
)1
γ−1
=
Υ(
mRTH
Υ
)γ
mRTL
Θ(
THTL
) 1γ−1
Θ(
TH
TL
)1
γ−1
1
γ−1
=
(
Υ(mRTH)γ
Υγ(mRTL)
)1
γ−1
=
(
(mRTH)γ
mRTLΥγ−1
) 1
γ−1
=mR
Υ
(
(TH)γ
TL
) 1
γ−1
En este punto el valor de x3 se obtiene usando la ecuacion de gases ideales (2.1), i.e.,
x3(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4) =mRx1(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4)
x2(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4)
=mRTL
mRΥ
(
(TH )γ
TL
)1
γ−1
= Υ
(
TL
TH
)γ
γ−1
La temperatura se mantiene constante durante el tiempo T3−4 entonces
x1(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4) = x1(t0 + T1−2 + T2−3) = TL
21
Agrupando las ecuaciones tenemos la descripcion del punto de transicion 4, i.e.,
x1(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4) = TL
x2(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4) =mR
Υ
(
(TH)γ
TL
) 1
γ−1
x3(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4) = Υ
(
TL
TH
)γ
γ−1
(2.36)
En el punto de transicion 4 el sistema inicia la compresion adiabatica donde se retorna al estado
inicial en el punto de conmutacion 1, i.e.,
x1(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4 + T4−1) = x1(t0) = TH
x2(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4 + T4−1) = x2(t0) =mRx1(0)
x3(0)=mRTH
Υ
x3(t0 + T1−2 + T2−3 + T3−4 + T4−1) = x3(t0) = Υ
(2.37)
El conjunto de puntos en (2.31), (2.33), (2.36) y (2.37)presenta las condiciones necesarias para que
se active un subsistema diferente. Dado que en cada uno de los puntos x2 y x3 estan acoplados, el
que se cumpla la condicion sobre una de las variables garantiza que se cumpla tambien en la otra.
En el caso de los puntos (2.33)y (2.37) la variable temperatura esta acoplada a las demas, ası que
cualquiera de las tres puede ser utilizada para condicionar la conmutacion mientras que en el caso
de (2.31) y (2.36) no es posible utilizar x1 pues esta permanece constante y es independiente de x2
y x3. Una caracterıstica importante de la conmutacion es que si las variables de estado alcanzan los
valores descritos en los puntos (2.31), (2.33), (2.36) y (2.37), solo sera valido realizar la conmutacion
si el sistema que estaba activo es el que viene en la direccion del proceso. Por ejemplo, cuando
las variables de estado alcancen el valor en (2.31) es necesario que el sistema que estaba activo un
instante antes de t0 + T1−2 sea la expansion isotermica, de lo contrario no abra conmutacion.
22
2.2.4. Modelo
Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores definimos el sistema
x = fq(t)(x), q ∈ Q (2.38)
donde Q es un conjunto finito que contiene el ındice de los subsistemas y que puede tomar valores
entre 1 y 4, i.e.,
Q =
{
1 2 3 4
}
El comportamiento de q se asemeja al de una senal continua a trozos que cumple las siguientes
caracterısticas,
q(t0) = 1, q(t+) =
1, si q(t−) = 4 y x1 =TH ,
2, si q(t−) = 1 y x2= Θ,
3, si q(t−) = 2 y x1= TL,
4, si q(t−) = 3 y x3=Υ(
TL
TH
)γ
γ−1
q(t+) = q(t−), en otros casos.
El comportamiento descrito para la variable q(t) dirige el funcionamiento de los subsistemas para
que el ciclo cumpla la condicion de funcionamiento 1. Los subsistemas que componen (2.38) son
f1(x) =
0
−x2Qi
mRTH
x3Qi
mRTH
(2.39)
23
f2(x) =
Wo
mR(1 − γ)
Wox2
mRx1
−x3Woγ
mRx1
(2.40)
f3(x) =
0
−x2Qo
mRTL
x3Qo
mRTL
(2.41)
f4(x) =
Wi
mR(1 − γ)
Wix2
mRx1
−x3Wiγ
mRx1
(2.42)
2.3. Simulaciones
La Figura 2.6 presenta el sistema en el plano de estado x2, x3, x1 = 0. Se puede observar que el
conjunto de sistemas dinamicos derivan en el comportamiento tıpico del ciclo de Carnot, cumplien-
do en el tiempo las leyes termodinamicas para cada proceso. La curva en la Figura 2.6 representa
la isoterma del ciclo de Carnot que realiza el recorrido 1-2-3-4-1 atraves del espacio de estado.
Los puntos en la isoterma concuerdan con los encontrados en las expresiones (2.31), (2.33), (2.36)
y (2.37). Esto nos permite asegurar que las trayectorias obtenidas con el conjunto de ecuaciones
diferenciales en (2.38) definen correctamente el comportamiento del sistema. En esta forma par-
ticular el sistema no presenta saltos (efecto impulso) en el espacio de estado, pero aunque tenga
esta caracterıstica el sistema no es continuamente diferenciable en los puntos de transicion entre
procesos. En la Figura 2.7 se encuentra el comportamiento en los planos de estado a presion y
temperatura constante. El sistema se comporta de forma cıclica siempre sobre la misma trayec-
24
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
5
10
15x 10
5
x2(t)
x3(t
)
Ciclo de Carnot
1
2
34
Figura 2.6: Ciclo de Carnot en el espacio de estado. la trayectoria 1-2 ocurre estando activo el subsistema expansion
isotermica, la trayectoria 2-3 ocurre estando activo el subsistema expansion adiabatica, la trayectoria 3-4 ocurre estando activo
el subsistema compresion isotermica,la trayectoria 4-1 ocurre estando activo el subsistema compresion adiabatica
toria para todas las variables. Esta caracterıstica hace evidente la reversibilidad del sistema. En
un sistema irreversible, se presentarıan perdidas de energıa que harıan que el sistema no estuviera
siempre sobre la misma trayectoria. Probablemente, se alejarıa tanto de la trayectoria que la ley
de conmutacion no serıa efectiva y el sistema no podrıa cumplir su proposito sin que se aplicara
un control.
En la Figura 2.8 se observa el comportamiento dinamico de las variables. Las dos curvas y la inferior
izquierda en la Figura 2.8 dependen del comportamiento de la variable q en la parte inferior derecha.
En cada discontinuidad de q las variables continuas cambian su trayectoria instantaneamente. Cada
una de estas variables es periodica. En la simulacion se utilizaron las caracterısticas especıficas para
condiciones iniciales y conmutacion descritas en el modelo del sistema pero sus valores se ajustaron
(ver Tabla 1) de acuerdo a una condicion de funcionamiento determinada por valores reales para
los reservorios. Ademas, la tasa de trabajo Wo y Wi son iguales en magnitud considerando que el
25
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05200
300
400
500
600
700
V[m3]
T[K
]
Temperatura −Volumen (Presión Constante)
250 300 350 400 450 500 550 600 6500
5
10
15x 10
5
T[K]
P[m
3]
Presión−Temperatura (Volumen Constante)
Figura 2.7: En la parte superior se presenta el ciclo de Carnot a presion constante. En la parte inferior se presenta el ciclo
de Carnot para volumen constante.
trabajo que necesita para regresar el sistema al estado original (i.e.,Wi) es equivalente al trabajo
que realizo el sistema (Wo) al enfriarse desde TH hasta Ti . Las condiciones impuestas por la ley de
0 1000 2000 3000 4000 50000
1
2
3
4
5
t[s]
q
LEY DE CONMUTACIÓN
0 1000 2000 3000 4000 5000200
300
400
500
600
700
t[s]
T[K
]
TEMPERATURA
0 1000 2000 3000 4000 50000
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t[s]
V[m
3]
VOLUMEN
0 1000 2000 3000 4000 50000
2
4
6
8
10
12
14
16x 10
5
t[s]
P[N
/m2]
PRESIÓN
Figura 2.8: Comportamiento dinamico de las variables de estado del ciclo de Carnot.
conmutacion hacen que el conjunto de subsistemas cumpla con una tarea especıfica que en este caso
representa una maquina de calor. Si la conmutacion se hiciera en sentido inverso el sistema tendrıa
la misma trayectoria pero sus caracterısticas de salida serıan diferentes. Con la ley de conmutacion
26
inversa tendrıamos el modelo de un refrigerador de Carnot (esto teniendo en cuenta que el sistema es
reversible). En caso de que la senal tenga una secuencia diferente, el comportamiento del sistema
no mantendrıa la misma trayectoria en conjunto pero si se mantendrıan la de cada uno de sus
subsistemas que formarıan una nueva trayectoria que no serıa continua (i.e., efecto impulso). La
ley de conmutacion es diferente para diferentes reservorios en los que transcurra el ciclo. Ademas,
es posible acelerar el proceso influyendo desde el exterior del sistema en el caso de la expansion
isotermica en la transferencia de calor Qi y en el caso de la compresion adiabatica influyendo sobre
el sistema con el trabajo Wi.
Analizando los resultados de la simulacion encontramos que la maquina de Carnot es un sistema
que se controla en malla abierta pues la salida del sistema no tiene efecto en la accion de control que
se debe tomar. En este caso la accion de control se ejerce directamente en la ley de conmutacion. El
sistema no sigue una condicion especıfica de operacion dependiente de una de sus variables contin-
uas. El sistema opera en base a la senal de conmutacion en el tiempo para los procesos. Entonces,
para cada entrada de referencia que tengamos, le corresponde una condicion de operacion fija. En
este caso para la referencia de trabajo Wtotal y eficiencia ηtotal como resultado del funcionamiento
del ciclo, tendremos una condicion de operacion fija, impuesta por la ley de conmutacion q(t). Si
el sistema se sometiera a perturbaciones no serıa posible cumplir la tarea deseada. En general esto
ocurre para cualquier sistema derivado del ciclo de Carnot.
En la Figura 2.9 se observa la particion del espacio de estado debida a las superficies de con-
mutacion. Las flechas indican el sentido de la trayectoria. La superficie diagonal que se observa en
la figura representa todas las posibles trayectorias que pueden tomar las variables en el espacio de
estado cumpliendo la ecuacion de gases ideales. En esta curva estan incluidos todos los procesos
posibles para un sistema termodinamico ideal. Las superficies verticales y horizontales representan
las condiciones de conmutacion. Las superficies de conmutacion parten el espacio de forma Xi
27
0
5
10
15
x 105
00.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.020
100
200
300
400
500
600
700
800
P[N/m2]
SUPERFICIES DE CONMUTACION EN EL ESPACIO DE ESTADO
V[m3]
T[K
]
3
2
4
1
Figura 2.9: Superficies de conmutacion en el espacio de estado.
donde⋃⋃⋃
iXi = R3, i = 1, 2, 3, 4. En medio de las superficies de conmutacion de estado 2 y 4 existe
una porcion del espacio donde int(Xi) ∩ int(Xj) 6= 0 para todo i, j, i 6= j . De esta interseccion
podemos ver que las superficies de conmutacion no permiten el cambio de proceso mas que en una
direccion. Podemos ver tambien que cualquier condicion inicial del sistema permanecera dentro de
la parte de la superficie con diferentes trayectorias que cumplan las condiciones finales del sistema
y las condiciones de operacion. Por ejemplo, las condiciones de operacion para la variable temper-
atura son libres pues independiente de la temperatura inicial el sistema siempre va estar de regreso
en dicha temperatura manteniendo el comportamiento cıclico. Siendo mas precisos en la definicion
de la particion del espacio de estado, se podrıa decir que la union de todos los conjuntos no es
especıficamente R3 ya que cada espacio de estado se puede definir de la forma,
X1 = {x ∈: x3(t)x2(t) = mRx1(t), x1(t) − TH ≥ 0, x2(t) − Θ ≤ 0}
X2 = {x ∈: x3(t)x2(t) = mRx1(t), x2(t) − Θ > 0}
X3 = {x ∈: x3(t)x2(t) = mRx1(t), x1(t) − TL ≥ 0, x2(t) − η < 0}
X4 = {x ∈: x3(t)x2(t) = mRx1(t), x2(t) − η ≥ 0}
(2.43)
donde η ≡ mRTHΥ .
28
2.4. Conclusiones
Se obtuvo un modelo dinamico del ciclo de Carnot que predice de forma correcta el comportamiento
de las variables termodinamicas en el tiempo. El modelo nos permite caracterizar el ciclo de Carnot
como un sistema conmutado donde es posible tener un comportamiento regular para cualquier
ley de conmutacion que le fuere impuesta y un conjunto de condiciones iniciales ilimitado que
cumple con las restricciones de operacion impuestas por la ley de conmutacion. Es posible para
este sistema disenar una ley de conmutacion que permita lograr un funcionamiento pero esta varıa
constantemente dependiendo de las restricciones de operacion del sistema. Por tanto, podemos
considerar el sistema conmutado del ciclo de Carnot como un sistema con conmutacion restringida.
Restringiendo el sistema a determinada forma de conmutacion en el siguiente capıtulo se estudia
el tipo de estabilidad del sistema.
29
Capıtulo 3
Analisis
Considerando el sistema conmutado definido en (2.38) y usando las conclusiones del capıtulo an-
terior, tenemos que el sistema conmutado del ciclo de Carnot es un sistema cuya conmutacion
depende del espacio de estado. Esta compuesto por un conjunto de superficies de conmutacion, las
regiones de operacion resultantes y una familia de subsistemas continuos en el tiempo definidos
para cada region de operacion [1]. El sistema no presenta saltos instantaneos (efecto impulso), pero
no es continuamente diferenciable. La transicion entre estados depende de la direccion en la cual
se llega a una superficie de conmutacion y ademas presenta regiones de operacion superpuestas.
Los subsistemas de ecuaciones son autonomos. El sistema puede ser controlado por medio de la
ley de conmutacion imponiendo ası el comportamiento deseado. El sistema no posee sliding modes
ni zeno behavior [24].
3.1. Estabilidad
Dada la familia de sistemas (2.39),(2.40),(2.41)y (2.42), queremos saber si el sistema conmutado
en (2.38)que representa la maquina de Carnot es estable. Sin embargo, serıa de mayor utilidad
encontrar si el ciclo de Carnot es estable puesto que la familia de subsistemas que componen
30
el ciclo puede ser configurada (por medio de la ley de conmutacion) de diferentes maneras para
conseguir funciones especıficas. Sabemos que la maquina de Carnot esta restringiendo a una ley
de conmutacion el conjunto de subsistemas que conforman el ciclo de Carnot. Entonces, averiguar
estabilidad para la maquina de Carnot no nos permitirıa dar un criterio de estabilidad general para
el ciclo de Carnot. Por tanto, optamos por estudiar la estabilidad del sistema conmutado del ciclo
de Carnot para cualquier ley de conmutacion que le fuere impuesta. Estudiar estabilidad de esta
forma nos dara un criterio de uniformidad con respecto a toda senal de conmutacion que se desee
utilizar. Entonces, encontrando estabilidad para el sistema del ciclo de Carnot con conmutacion
arbitraria, nos estara dando implıcitamente un criterio de estabilidad para la maquina de Carnot y
cualquier proceso que se desee derivar del mismo. La primera condicion necesaria mas no suficiente
para la estabilidad uniforme del sistema conmutado es que cada uno de sus subsistemas tenga el
origen como un punto de equilibrio globalmente asintoticamente estable, puesto que si alguno de
los subsistemas es inestable en el origen, el sistema conmutado sera inestable cuando el subsistema
este activo en la region correspondiente del espacio de estado.
Para verificar si el ciclo de Carnot cumple o no con esta primera caracterıstica utilizamos para
cada subsistema un criterio de estabilidad en el sentido de Lyapunov.
Teorema 1 [24] Suponga que existe una funcion V (x) : Rn → R definida positiva y C
1 cuya
derivada a lo largo de las soluciones de fq satisface que
δV (x)
δxfq(x) ≤ 0 ∀x 6= 0 (3.1)
entonces fq es estable. Si δV (x)δx
cumple que
δV (x)
δxfq(x) < 0 ∀x 6= 0 (3.2)
entonces fq es asintoticamente estable. Si ademas, V (x) es radially unbounded, entonces fq es
globalmente asintoticamente estable.
31
Demostracion: Suponga que δV (x)δx
cumple la propiedad en 3.1. Considere una bola alrededor del
origen de radio ǫ > 0. Asuma un numero b < min|x|=ǫV (x). Denote por δ el radio de una bola
alrededor del origen que esta dentro del conjunto x : V (x) ≤ b. Siendo que V (x) es decreciente
(definida positiva) a lo largo de las soluciones cada solucion que comience en dentro de la bola de
radio δ satisface que V (x(t)) ≤ b, y para que esta condicion se siga cumpliendo es necesario que
la solucion no salga de la bola acotada por ǫ entonces la solucion sera estable si tiene una funcion
V (x) que cumple con 3.1. Ahora, sabiendo que la funcion V (x) es positiva y decreciente a lo largo
de la solucion para una condicion inicial especıfica |x(0)| ≤ δ cuando t → ∞ la funcion tendra un
lımite c ≥ 0. Si esta cota es c = 0 la solucion existira en un conjunto compacto que incluye el
origen y que esta acotado por ǫ y nunca entrara a el conjunto donde x : V (x) < 0. Por lo tanto,
siempre permanecera alrededor del origen. Si es posible que δ → ∞ cuando ǫ→ ∞ entonces todas
las curvas de nivel de V (x) estan acotadas ası que el sistema fq sera globalmente asintoticamente
estable �
Basandonos en el teorema (1) si encontramos una funcion de Lyapunov para cada uno de es-
tos subsistemas podemos decir que el origen es un punto de equilibrio globalmente asintotica-
mente estable y comun para la familia de subsistemas (2.39),(2.40), (2.41) y (2.42). Para encon-
trar dichas funciones recurrimos a la herramienta SOSTOOLS basada en polinomios de suma de
cuadrados[28],[26]. Un polinomio multivariado p(x) es un SOS(sum of squares) si existen poli-
nomios b1(x), . . . , bm(x) tales que
p(x) =m
∑
i=1
f2i (x) (3.3)
Como se puede ver en la ecuacion (3.3) el echo de que p(x) sea SOS implica directamente que
p(x) ≤ 0 para todo x que pertenezca al dominio.
Ahora en el caso de la restriccion de V (x) necesitamos no solo que sea semi definida positiva sino
definida positiva, entonces podemos usar la siguiente propuesta
32
Teorema 2 [28] Dado un polinomio V (x) de grado 2d tengo una funcion ϕ(x) =∑n
i=1
∑dj=1 ǫijx
2ji
tal quem
∑
j=1
ǫij > γ ∀i = 1, . . . , n (3.4)
con γ un numero positivo, y ǫij ≤ 0 para todo i y j. Entonces la condicion:
V (x) − ϕ es SOS
garantiza que V (x) sea definida positiva
De acuerdo a lo anterior podemos relajar las condiciones de positividad cuando buscamos una
funcion de Lapunov a que la misma sea SOS. Usando el teorema 2 y las consideraciones anteriores
obtenemos las funciones de Lyapunov a continuacion:
V1(x(t)) = 1,1412x21(t) + 0,25799e − 10x1(t)x2(t) + 0,24949e − 8x2
2(t)
+ 0,025799e − 10x1(t)x3(t) + 0,84274x2(t)x3(t) + 1,9364x23(t) (3.5)
V2(x(t)) = 0,31895e − 14x21(t) + 0,28384e − 14 + 28894e − 14x2
2(t)
+ 0,31895e − 14x1(t)x3(t) + 0,59598x2(t)x3(t) + 0,30443e − 14x32(t) (3.6)
V3(x(t)) = 1,1412x21(t) + 0,25799e − 10x1(t)x2(t) + 1,9364x2
2(t)
+ 0,25799e − 10x1(t)x2(t) + 1,9364x22(t)
+ 0,25799e − 10x1(t)x3(t) + 0,24949e − 8x23(t) (3.7)
V4(x(t)) = 0,32667e − 14x21(t) + 0,28384e − 14x1(t)x2(t) + 0,28894e − 14x2
2(t)
+ 0,31895e − 14x1(t)x3(t) + 0,59598x2(t)x3(t)
+ 0,30443e − 14x23(t) (3.8)
33
Aunque en cada una de las funciones hay terminos que aparentemente no tienen relevancia por
el orden de magnitud, se incluyen debido a la escala de valores en presion que se maneja. En la
Figura 3.1 se muestran las funciones de Lyapunov para la familia de subsistemas. La Figura 3.1
0 200 400 600 800 1000 12000
1
2
3
4x 10
12
t[s]
V(x
)
Funcion de Lyapunov para f1(x)
1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 18000
1
2
3
4x 10
10
t[s]
V(x
)
Funcion de Lyapunov para f2(x)
2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 30000
1
2
3
4
5
6x 10
4
t[s]
V(x
)
Funcion de Lyapunov para f3(x)
3000 3200 3400 3600 3800 40000
0.5
1
1.5
2x 10
−6
t[s]
V(x
)
Funcion de Lyapunov para f4(x)
Figura 3.1: Funciones Multiples de Lyapunov. En la esquina superior izquierda se encuentra la funcion de Lyapunov para
la expansion isotermica, en la esquina superior derecha esta la funcion de Lyapunov para la expansion adiabatica, la esquina
inferior izquierda tiene la funcion de Lyapunov para la compresion isotermica y en la esquina inferior derecha esta la funcion
de Lyapunov para la compresion adiabatica
presenta las funciones de Lyapunov correspondientes a cada uno de los subsistemas. En estas grafi-
cas se puede observar que la funcion es decreciente en la solucion del respectivo sistema. Con este
resultado podrıamos hacer una observacion particular para la maquina de Carnot. La estabilidad
en este sistema, conociendo el tipo de conmutacion, depende en general de la misma. Dados los
tiempos de conmutacion ti para todo i = 1, ..., 4, si las funciones de Lyapunov de los sistemas Vi,
Vj coinciden en el tiempo de la conmutacion entre los dos sistemas tendrıamos una funcion de
Lyapunov que provee al sistema de equilibrio un origen asintoticamente estable.
Esta condicion no se ajusta a lo que comunmente ocurre con el conjunto de funciones de Lyapunov
del sistema conmutado entonces se entonces la condicion se relaja a que en cada uno de los tiem-
pos de conmutacion las funciones de Lyapunov formen una secuencia decreciente de valores. Al
34
cumplirse esta condicion tenemos una funcion de Lyapunov multiple que asegura que el punto de
equilibrio sea globalmente asintoticamente estable.
Teorema 3 [24] Teniendo que (2.38) es un conjunto finito de sistemas globalmente asinto-ticamente
estable y teniendo VP donde p ∈ Q como una familia de funciones de Lyapunov radially unbonded.
Suponga que existe una familia de funciones positivas definidas WP donde p ∈ Q con la propiedad
de que para cada par de tiempos de conmutacion (ti, tj), i < j tal que q(ti) = q(tj) = p ∈ Q y
q(tk) 6= p para ti < tk < tj, tenemos que
Vp(x(tj)) − V p(x(ti)) ≤ −WP (x(ti)) (3.9)
Entonces el sistema conmutado es globalmente asintoticamente estable.
Notamos que en el Teorema 3 los requerimientos se hacen sobre los tiempos de conmutacion.
Ahora, de este teorema se puede derivar una condicion de estabilidad mas sencilla que depende del
espacio de estado. Conociendo el espacio de estado donde esta activo cada subsistema, sabemos que
el comportamiento en cada region del estado es diferente y no influyen unos en otros. En este caso
no requerimos la estabilidad de cada uno de los subsistemas (en este caso lo unico que requerimos
es que la funcion de Lyapunov Vp decrezca para cada subsistema a lo largo de la solucion del
respectivo subsistema).
La seguridad que nos brindan las funciones encontradas en SOSTOOLS se basa en que utiliza
un procedimiento en donde la condicion de encontrar una funcion V (x) que se pueda expresar
como suma de cuadrados requiere cumplir una restriccion de ser acotada por una funcion definida
positiva que hace que V (x) sea definida positiva. En general la restriccion basica de positividad
de V (x) y su derivada definida negativa estan incluidas se pueden relajar siempre a decir que la
funcion V (x) es una suma de cuadrados [25].
35
Con las funciones de Lyapunov encontradas anteriormente cumplimos una de las condiciones nece-
sarias para estabilidad del sistema conmutado bajo conmutacion arbitraria. Del ciclo de Carnot
conocemos tambien que la familia de subsistemas que lo compone es un conjunto finito, entonces
podemos aprovechar esta caracterıstica para explorar las relaciones de conmutacion entre los difer-
entes subsistemas.
Definicion 1 [24] El corchete de Lie o conmutador de dos campos vectoriales C1 es el campo
vectorial definido como
[fm, fn](x) = ∂fn(x)xfm(x) − ∂fm(x)xfn(x) (3.10)
donde m 6= n y m,n ∈ Q. Si el corchete de Lie de los dos campos vectoriales es igual a cero,
podemos decir que los dos campos vectoriales conmutan.
Esta definicion nos sirve para generalizar la conmutacion. En esta, se puede ver que si dos campos
vectoriales tienen un corchete de Lie igual a cero los campos vectoriales conmutan entre si, i.e.,
que los flujo de los dos subsistemas fm y fn conmutan entre si independientemente de la senal de
conmutacion. A continuacion queremos aplicar el corchete de Lie a todas las posibles relaciones de
conmutacion existentes en el sistema ciclo de Carnot. Especıficamente para (2.38) siendo m 6= n y
m,n ∈ 1, 2, 3, 4 tenemos que
fm1
fm2
fm3
,
fn1
fn2
fn3
=
∂fn1
∂x1
∂fn1
∂x2
∂fn1
∂x3
∂fn2
∂x1
∂fn2
∂x2
∂fn2
∂x3
∂fn3
∂x1
∂fn3
∂x2
∂fn3
∂x3
fm1
fm2
fm3
−
∂fm1
∂x1
∂fm1
∂x2
∂fm1
∂x3
∂fm2
∂x1
∂fm2
∂x2
∂fm2
∂x3
∂fm3
∂x1
∂fm3
∂x2
∂fm3
∂x3
fn1
fn2
fn3
Las derivadas parciales de cada subsistema son
∂f11
∂x1= 0 ∂f12
∂x1= 0 ∂f13
∂x1= 0
∂f11
∂x2= 0 ∂f12
∂x2= − Qi
mRTH
∂f13
∂x2= 0
∂f11
∂x3= 0 ∂f12
∂x3= 0 ∂f13
∂x3= Qi
mRTH
∂f21
∂x1= 0 ∂f22
∂x1= − Wox2
mRx2
1
∂f23
∂x1= Wox3γ
mRx2
1
∂f21
∂x2= 0 ∂f22
∂x2= Wo
mRx1
∂f23
∂x2= 0
∂f21
∂x3= 0 ∂f22
δx3= 0 ∂f23
∂x3= − Woγ
mRx1
36
∂f31
∂x1= 0 ∂f32
∂x1= 0 ∂f33
∂x1= 0
∂f31
∂x2= 0 ∂f32
∂x2= − Qo
mRTL
∂f33
∂x2= 0
∂f31
∂x3= 0 ∂f32
∂x3= 0 ∂f33
∂x3= Qo
mRTL
∂f41
∂x1= 0 ∂f42
∂x1= − Wix2
mRx2
1
∂f43
∂x1= Wix3γ
mRx2
1
∂f41
∂x2= 0 ∂f42
∂x2= Wi
mRx1
∂f43
∂x2= 0
∂f41
∂x3= 0 ∂f42
∂x3= 0 ∂f43
∂x3= − Wiγ
mRx1
Teniendo las derivadas parciales de cada uno de los sistemas los corchetes de Lie para todas las
posibles relaciones de conmutacion son
f11
f12
f13
,
f21
f22
f23
=
0 0 0
− Wox2
mRx2
1
Wo
mRx10
Wox3
mRx2
1
0 − WoγmRx1
0
− x2Qi
mRTH
x3Qi
mRTH
−
0 0 0
0 − Qi
mRTH0
0 0 Qi
mRTH
Wo
mR(1 − γ)
Wox2
mRx1
−x3WoγmRx1
=
0
− WoQix2
(mR)2x1TH
− WoγQix3
(mR)2x1TH
−
0
− QiWox2
(mR)2THx1
− QiWox3γ(mR)2x1TH
=
0
0
0
37
f11
f12
f13
,
f31
f32
f33
=
0 0 0
0 − Qo
mRTL0
0 0 Qo
mRTL
0
− x2Qi
mRTH
x3Qi
mRTH
−
0 0 0
0 − Qi
mRTH0
0 0 Qi
mRTH
0
− x2Qo
mRTL
x3Qo
mRTL
=
0
Qox2Qi
(mR)2TLTH
Qox3Qi
(mR)2TLTH
−
0
Qix2Qo
(mR)2THTL
Qix3Qo
(mR)2THTL
=
0
0
0
f11
f12
f13
,
f41
f42
f43
=
0 0 0
− Wix2
mRx2
1
Wi
mRx10
Wix3γ
mRx2
1
0 − WiγmRx1
0
− x2Qi
mRTH
x3Qi
mRTH
−
0 0 0
0 − Qi
mRTH0
0 0 Qi
mRTH
Wi
mR(1 − γ)
Wix2
mRx1
−x3WiγmRx1
=
0
− WiQix2
(mR)2x1TH
− WiγQix3
(mR)2x1TH
−
0
− QiWix2
(mR)2THx1
− QiWix3γ(mR)2x1TH
=
0
0
0
38
f21
f22
f23
,
f31
f32
f33
=
0 0 0
0 − Qo
mRTL0
0 0 Qo
mRTL
Wo
mR(1 − γ)
Wox2
mRx1
−x3WoγmRx1
−
0 0 0
− Wox2
mRx2
1
Wo
mRx10
Wox3γ
mRx2
1
0 − WoγmRx1
0
− x2Qo
mRTL
x3Qo
mRTL
=
0
− WoQox2
(mR)2x1TL
− WoγQox3
(mR)2x1TL
−
0
− QoWox2
(mR)2TLx1
− QoWox3γ(mR)2x1TL
=
0
0
0
f21
f22
f23
,
f41
f42
f43
=
0 0 0
− Wix2
mRx2
1
Wi
mRx10
Wix3γ
mRx2
1
0 − WiγmRx1
Wo
mR(1 − γ)
Wox2
mRx1
−x3WoγmRx1
−
0 0 0
− Wox2
mRx2
1
Wo
mRx10
Wox3γ
mRx2
1
0 − WoγmRx1
Wi
mR(1 − γ)
Wix2
mRx1
−x3WiγmRx1
=
0
− Wox2Wi(1−γ)(mRx1)2
+ WoWix2
(mRx1)2
Wox3γWi(1−γ)(mRx1)2
+ WoWix3γ(mRx1)2
−
0
− Wix2Wo(1−γ)(mRx1)2
+ WiWox2
(mRx1)2
Wix3γWo(1−γ)(mRx1)2
+ WiWox3γ(mRx1)2
=
0
0
0
39
f31
f32
f33
,
f41
f42
f43
=
0 0 0
− Wix2
mRx2
1
Wi
mRx10
Wix3γ
mRx2
1
0 − WiγmRx1
0
− x2Qo
mRTL
x3Qo
mRTL
−
0 0 0
0 − Qo
mRTL0
0 0 Qo
mRTL
Wi
mR(1 − γ)
Wix2
mRx1
−x3WiγmRx1
=
0
− WiQox2
(mR)2x1TL
− WiγQox3
(mR)2x1TL
−
0
− QoWix2
(mR)2TLx1
− QoWix3γ(mR)2x1TL
=
0
0
0
Con los corchetes de Lie calculados podemos inferir los conmutadores en direcciones contrarias con
la propiedad
[fm, fn](x) = −[fn, fm](x) (3.11)
Concluyendo, para el ciclo de Carnot tenemos que
[fm, fn](x) = −[fn, fm](x) = 0 ∀m,n ∈ Q (3.12)
Con las caracterısticas encontradas anteriormente, podemos utilizar el siguiente teorema adaptado
de [24] para dar un criterio de estabilidad para el ciclo de Carnot.
Teorema 4 [24] Siendo fq : q ∈ [1, 2, 3, 4] un conjunto finito de campos vectoriales conmutables en
C1 y que el origen es un equilibrio globalmente asintoticamente estable para todos los subsistemas
en (2.39), (2.40), (2.41) y (2.42), entonces el sistema conmutado del ciclo de Carnot en (2.38) es
GUAS.
Demostracion[29]
Tomamos una senal de conmutacion fija s ∈ S donde S es el conjunto de todas las senales de
40
conmutacion posibles para el sistema (2.38). Asociado con este s existe una secuencia de tiempos
de conmutacion 0 < ts0 < ts1 < . . . < tsk < . . . y una secuencia de ındices is0, is1, . . . tales que
s(t) = isj∀t ∈ [tsj , tsj+1). Fijando t y diciendo queτ s
0 = ts1 − ts0, . . . , τj−1s
= tsj − tj − 1s y τ = t− tsj .
Entonces dado un x ∈ Rn y una condicion inicial x(0) la solucion x(t, x(0), s) puede ser escrita
como
x(t, x(0), s) = ψisjτ (x) ◦ ψ
isj−1
τsj−1
(x) ◦ · · · ◦ ψis0
τs0
(x) (3.13)
Ahora se denota con Ti(t, s) ≥ 0 la cantidad total de tiempo en [0, t) durante la cual el ith
subsistema esta activo; entonces∑k
i=0 Ti(t, s) = t Entonces suponiendo que los campos vectoriales
son conmutables podemos escribir 3.13 como
x(t, x(0), s) = ψkTk(t,s)(x) ◦ · · · ◦ ψ
1T1(t,s)(x) (3.14)
dado que el origen es globalmente asintoticamente estable para todas los subsistemas que componen
el ciclo de Carnot podemos definir la conmutacion en 3.14 con λ : Rk+1≤0 −→ R≤0 donde λk(| x |
, T1(t, s), · · · , Tk(t, s)). Entonces para el conmutador Λ existe una funcion β de clase KL tal que
λk(| x |, T1(t, s), · · · , Tk(t, s)) ≥ βk(| x |, T1(t, s) + · · · + Tk(t, s)).
Teniendo en cuenta la arbitrariedad de t, x y s tenemos entonces que
x(t, x(o), s) ≥ βk(| x |, T1(t, s) + · · · + Tk(t, s)) = βk(| x |, t)∀t ≤ 0,∀x ∈ Rn,∀s ∈ S
Con esta caracterıstica conocida como estabilidad asintotica globalmente, tenemos que para cualquier
senal de conmutacion s el sistema es GUAS. Dado que el sistema cumple estas caracterısticas es
posible encontrar una funcion de Lyapunov Comun a todo el sistema como se define a contin-
uacion[24]:
Definicion 2 Dada una funcion definida positiva y continuamente diferenciable V : Rn → R
decimos que es una funcion de Lyapunov comun para la familia de sistemas (2.38) si existe una
41
funcion definida positiva W : Rn → R tal que
δV
δxfp(x) ≤ −W (x), ∀p ∈ Q (3.15)
Usando la definicion (2) tenemos el siguiente teorema.
Teorema 5 [24] Si todos los subsistemas comparten una funcion de Lyapunov comun radially
unbounded entonces el sistema conmutado en (2.38) es globalmente uniformemente asintoticamente
estable (GUAS).
Encontrar una funcion de Lyapunov comun resulta en este caso un poco complicado entonces
aprovecharemos el trabajo en [7] para expresar el sistema en una forma compacta y encontrar una
funcion de Lyapunov para el sistema expresado como aproximacion polinomial que implıcitamente
es una funcion de Lyapunov comun de acuerdo al Teorema 5. Podemos usar esta aproximacion
polinomial debido a que las caracterısticas del sistema ciclo de Carnot obedecen las propiedades
de un sistema conmutado con ley de conmutacion arbitraria
42
Capıtulo 4
Aproximacion Polinomial
Asumiendo que existe una expresion polinomial que es capaz de emular el comportamiento del
sistema conmutado usamos el procedimiento a continuacion.
1. Se define un campo vectorial F (x) de forma
F 1(x) = [f11(x), f21(x), f31(x), f41(x)]T
F 2(x) = [f12(x), f22(x), f32(x), f42(x)]T
F 3(x) = [f13(x), f23(x), f33(x), f43(x)]T
(4.1)
donde fij(x), i ∈ Q para j = 1, 2, 3, 4, son las funciones para cada una de las ecuaciones
diferenciales.
2. Utilizando una nueva variable s definimos el vector de cocientes de interpolacion polinomial
de Lagrange L,
L(s) = [l1(s), lk(s, ..., lq(s)] (4.2)
43
Este vector esta compuesto por expresiones polinomiales de la forma [7],
lk(s) =
q∏
i=1,i6=k
(s − i)
(k − i)(4.3)
Para el ciclo de Carnot este vector de Lagrange es de la forma
l1(s) = (s−2)(s−3)(s−4)(1−2)(1−3)(1−4) = − (s−2)(s−3)(s−4)
6 = −16(s3 − 9s2 + 26s − 24)
l2(s) = (s−1)(s−3)(s−4)(2−1)(2−3)(2−4) = (s−1)(s−3)(s−4)
2 = 12(s3 − 8s2 + 19s− 12)
l3(s) = (s−1)(s−2)(s−4)(3−1)(3−2)(3−4) = − (s−1)(s−2)(s−4)
2 = −12(s3 − 7s2 + 14s − 8)
l4(s) = (s−1)(s−2)(s−3)(4−1)(4−2)(4−3) = (s−1)(s−2)(s−3)
6 = 16(s3 − 6s2 + 11s− 6)
Entonces
L(s) =
[
−1
6(s3 − 9s2 + 26s− 24),
1
2(s3 − 8s2 + 19s − 12), (4.4)
−1
2(s3 − 7s2 + 14s− 8),
1
6(s3 − 6s2 + 11s − 6)
]
(4.5)
3. Para restringir la variable s a que tome solo valores discretos tenemos que
Q(s) =
q∏
k=1
(s− k) = 0 (4.6)
Q(s) = (s− 1)(s − 2)(s − 3)(s − 4)
= s4 − 10s3 + 35s2 − 50s+ 24
= 0
(4.7)
4. Utilizando los polinomios encontrados anteriormente, podemos decir que existe un unico
conjunto de polinomios Pj de orden q con la propiedad que
44
fij(x) = Pj(x, i) para cada i ∈ Q
Este polinomio esta dado por
Pj(x, s) = L(s)F j(x)
=
q∑
k=1
lk(s)fij(x)
para j = 1, 2, 3
(4.8)
Para el ciclo de Carnot se tendrıa que
P1(x, s) = l1(s)f11(x) + l2(s)f21(x) + l3(s)f31(x) + l4(s)f41(x)
=1
2(s3 − 8s2 + 19s − 12)
Wo
mR(1 − γ)
+1
6(s3 − 6s2 + 11s − 6)
Wi
mR(1 − γ)
P2(x, s) = l1(s)f12(x) + l2(s)f22(x) + l3(s)f32(x) + l4(s)f42(x)
= −1
6(s3 − 9s2 + 26s − 24)
x2Qi
mRTH
+1
2(s3 − 8s2 + 19s − 12)
Wox2
mRx1
+1
2(s3 − 7s2 + 14s − 8)
x2Qo
mRTL
−1
6(s3 − 6s2 + 11s − 6)
Wix2
mRx1
P3(x, s) = l1(s)f13(x) + l2(s)f23(x) + l3(s)f33(x) + l4(s)f43(x)
=1
6(s3 − 9s2 + 26s − 24)
x3Qi
mRTH
−1
2(s3 − 8s2 + 19s − 12)
x3Woγ
mRx1
−1
2(s3 − 7s2 + 14s − 8)
x3Qo
mRTL
+1
6(s3 − 6s2 + 11s − 6)
x3Wiγ
mRx1
45
5. Utilizando (4.8) y (4.7) el sistema (2.38) se convierte en un sistema continuo de DAE’s(Differential
Algebraic Equations) de la forma
P (x, s) = [P1(x, s)P2(x, s)P3(x, s)]T
x = P (x, s)
Q(s) = 0
(4.9)
4.1. Comportamiento dinamico del sistema
Para observar el comportamiento dinamico de la aproximacion polinomial como maquina de
Carnot, imponemos a la variable de control s una senal continua a trozos que tenga el mismo
comportamiento en el tiempo que la senal q encontrada en el capıtulo anterior. Como se afirmo
anteriormente, del modelo en 4.9 es posible obtener diferentes tipos de comportamiento variando
unicamente la senal de entrada en s. Sin embargo, en estos casos no se tendrıa continuidad de las
variables en el espacio de estado, es decir se tendrıan saltos instantaneos. Sin embargo, la esta-
bilidad se mantendrıa. La Figura 4.1 muestra el comportamiento del sistema 4.9. Como se puede
observar cada una de las variables tiene exactamente el mismo comportamiento en el tiempo que
presentaban en 2.38. En cada uno de los puntos de transicion las variables de estado presentan
exactamente el mismo valor. Este resultado nos representa una ventaja con respecto al estudio de
estabilidad del sistema conmutado ciclo de Carnot. Conociendo que este modelo para diferentes
senales en la variable de control s nos representa procesos utiles, querrıamos saber si el sistema es
estable para cualquiera de los procesos que pueden obtenerse de el.
4.2. Criterios de estabilidad para la aproximacion polinomial
Utilizando la aproximacion polinomial en (4.9) podemos encontrar un criterio de estabilidad de
tipo GUAS como el presentado en el teorema 3. El sistema en (4.9) no esta restringido en su
46
0 1000 2000 3000 4000 5000
300
400
500
600
t[s]
x1[K
]
0 1000 2000 3000 4000 50000
1
2
3
4
5
t[s]
s
0 1000 2000 3000 4000 50000
0.02
0.04
t[s]
x2[m
3]
0 1000 2000 3000 4000 50000
5
10
15x 10
5
t[s]
x3[N
/m2]
Figura 4.1: Comportamiento dinamico de la aproximacion polinomial
funcionamiento a una particion en el espacio de estado, ni a una ley de conmutacion especıfica,
por lo tanto, si encontramos una funcion de Lyapunov para el sistema tendremos una estabil-
idad asintotica global pues la funcion cumplira los criterios para todas las trayectorias, siendo
independiente de la senal de control impuesta en s o lo que es lo mismo, independientemente de
cualquier senal de conmutacion. Para encontrar esta funcion utilizamos de nuevo la herramienta
SOSTOOLS por medio de una expansion del teorema de estabilidad de Lyapunov 1 que usa la
tecnica del S-procedure([25])
Teorema 6 [28] Suponga que para el sistema (4.9)existen funciones V (x) y p(x, s) tales que V (x)
es definida positiva en la vecindad del origen y definida positiva y p(x, s) ≤ 0 dentro del dominio
entonces,
∂V (x)
∂xf(x) + p(x, s)Q(s) ≤ 0 (4.10)
Esta ecuacion garantizara que el origen del espacio de estado es un equilibrio estable del sistema.
Podemos usar el teorema 6 para encontrar la funcion de Lyapunov en SOSTOOLS ya que cumplimos
las siguientes condiciones:
El campo vectorial es polinomial o racional.
47
La restriccion Q(s) es polinomial.
La no negatividad de los polinomios y la condicion de definicion positiva del campo vectorial
se pueden relajar a la condicion de SOS.
Por lo tanto las condiciones del teorema para utilizar en SOSTOOLS seran
V (x) − ϕ es SOS
p(x, s) es SOS
∂V (x)∂x
f(x) + p(x, s)Q(s) es SOS
donde ϕ es una funcion definida positiva de la forma en el teorema 2.
Usando estas condiciones en SOSTOOLS se obtiene la funcion de Lyapunov de cuarto orden que
se presenta a continuacion:
V (x) = −0,24087e − 6x14 + 0,12912e − 4x12x22 + 0,1366e − 5x24 . . .
. . . − 0,21441e − 6x12x32 + 32,767x22x32 − 0,27519e − 6x34
En la Figura 4.2 se encuentra la funcion de Lyapunov con respecto al tiempo. Observando hasta
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 45000
2
4
6
8
10
12x 10
17
t
V(x
)
Figura 4.2: Funcion de Lyapunov para la Aproximacion polinomial
la segunda conmutacion tenemos que la funcion es decreciente. En el punto en el transita la senal
48
en s de de 2 a 3 la funcion se ve en la grafica como creciente a causa de que la direccion que toman
las variables de estado es inversa a la que llevaban. En este caso en la Figura ?? se presenta con
respecto a la ley de conmutacion que hace que el sistema funcione como maquina de Carnot. Esta
grafica representa el corte entre la funcion de Lyapunov y la superficie que representarıa todos los
posibles comportamientos del gas ideal. En la parte del sistema 3 y 4 vemos que la funcion esta
creciendo, pero esto es debido a que los dos procesos 3 y 4 son el negativo de los procesos 1 y 2 por
tanto la funcion que cumplirıa las caracterısticas de positividad y de crecimiento en esta zona seria
el negativo de la funcion que existe en los procesos 1 y 2. Independientemente del comportamiento
en el tiempo, en la Figura 4.3 se observa que es el de funcion definida positiva. Esto se refleja en
su concavidad. De la misma forma se observa para el espacio de estado generado por las otras
0
5
10
15
x 105
00.01
0.020.03
0.040.05
0
2
4
6
8
10
12
x 1017
x3x2
V(x
)
Figura 4.3: Funcion de Lyapunov en el espacio de estado de x2 y x3
combinaciones de variables en la Figura 4.4 y en la Figura4.5.
49
250300
350400
450500
550600
650
00.01
0.020.03
0.040.05
0
2
4
6
8
10
12
x 1017
x1x2
V(x
)
Figura 4.4: Funcion de Lyapunov en el espacio de estado de x1 y x2
250300
350400
450500
550600
650
0
5
10
15
x 105
0
2
4
6
8
10
12
x 1017
x1x3
V(x
)
Figura 4.5: Funcion de Lyapunov en el espacio de estado de x1 y x3
50
Capıtulo 5
Conclusiones
5.1. Sumario
Este proyecto consistıa en el planteamiento de un modelo dinamico del ciclo de Carnot y un
analisis de sus caracterısticas de estabilidad. En primer lugar desarrollamos un modelo dinamico
para cada uno de los subsistemas que componen el sistema. Luego, de acuerdo a las caracterısticas
de funcionamiento establecidas para el sistema se define una ley de conmutacion que gobierna
el sistema para finalmente presentar el modelo en su conjunto. En el siguiente paso se realiza la
simulacion del modelo con la herramienta simulink de MATLAB encontrando que con este modelo
las variables de estado realizan unas trayectorias que cumplen correctamente las condiciones de
conmutacion preestablecidas en base a las propiedades termodinamicas del sistema. En la siguiente
etapa se estudian las propiedades de estabilidad en primer lugar para cada subsistema, despues
para el sistema el ciclo de Carnot bajo conmutacion restringida (maquina de calor) y finalmente se
utilizan corchetes de Lie para dar un criterio de estabilidad bajo conmutacion arbitraria. Por ultimo
se utiliza una aproximacion polinomial para emular el comportamiento del sistema como un unico
conjunto de ecuaciones diferenciales sujeto a una variable de control. Para dicha aproximacion
51
se utiliza el criterio de estabilidad de Lyapunov y se encuentra que el sistema es asintoticamente
estable. Debido a las caracterısticas del sistema, la funcion de Lyapunov resulta ser una funcion
de Lyapunov comun que permite corroborar el criterio de estabilidad encontrado en la seccion
anterior con el corchete de Lie.
5.2. Aportes
Durante el proceso del proyecto, algunos de los aportes que se pudieron hacer fueron
Desarrollamos un nuevo modelo del comportamiento dinamico del ciclo de Carnot en el cual
se puede observar su comportamiento natural de sistema conmutado. Una ventaja de este
modelo es que nos permite incluir en el analisis de estabilidad del sistema los cambios de
comportamiento que podrıan ocasionar perturbaciones y perdidas en el proceso ademas de
servir como un modelo general para diferentes sistemas.
El modelo se realizo en base a un sistema dinamico sencillo, lo cual permite estudiar las car-
acterısticas de los sistemas conmutados cuyas variables de estado son continuas en el espacio
de estado sin perdida de generalidad. En base a este modelo es posible aplicar pequenas
variaciones para estudiar sistemas mas sofisticados dentro de los ciclos termodinamicos.
Con el modelo se hizo posible la utilizacion de tecnicas computacionales como SOSTOOLS
para ilustrar su utilidad y aplicabilidad en el estudio de estabilidad de sistemas conmutados.
Se hizo posible la utilizacion e ilustracion de la tecnica de aproximacion polinomial consigu-
iendo como principal ventaja el manejo de sistema por medio de una variable de control y su
modelo matematico mas compacto que permite obtener el mismo funcionamiento sin entrar
en detalles de la conmutacion.
52
EL modelo de Aproximacion polinomial presenta caracteristicas mas favorables para el es-
tudio de estabilidad y sus resultados pueden estudiarse sin perdida de generalidad para
cualquier sistema conmutado.
5.3. Direcciones Futuras
En el futuro nuestro trabajo se podria utilizar para
Modificacion del modelo para estudio de estabilidad y propiedades fısicas del ciclo de Carnot
endoreversible e irreversible
Implementacion de sistema real aproximado del ciclo de Carnot para estudiar ventajas de los
controladores en la aproximacion polinomial con respecto al modelo tradicional de sistema
conmutado.
Implementacion de modelo conmutado del ciclo de Carnot con Toolbox de SIMULINK para
sistemas hıbridos.
Estudio comparativo de caracterısticas de inclusion de sistemas conmutados en termodinami-
ca moderna con respecto a las propiedades de eficiencia del sistema.
53
DEFINICION DE VARIABLES Y PARAMETROS
Variable
P Presion del fluido trabajable [ Nm2 ]
V Volumen de fluido trabajable [m3]
T Temperatura del fluido trabajabe [K]
Q Flujo de calor [Js]
W [Js]
△U Cambio en la energıa interna [J ]
TH Temperatura reservorio alta temperatura 600
TL Temperatura reservorio baja temperatura 300
m Masa del fluido trabajable 0.01471 Kg
R Constante del fluido 287[ NmKgK
]
γ cambio volumen con respecto al tiempo en expansion
isotermica modelo 1
0.000062[m3
s]
θ cambio temperatura con respecto al tiempo expansion
adiabatica modelo 1
1[Ks]
β 871,398[ Nm2s
]
δ cambio presion con respecto al tiempo en compresion
adiabatica modelo 2
3931,41[ Nm2s
]
q estados sistema conmutado [1, 2, 3, 4]
Qi Calor transferido desde el entorno hacia el sistema -10.532234
Wi Trabajo realizado por el entorno sobre el sistema -10.532234
Qo Calor transferido desde el sistema hacia el entorno 5.266117
Wo 10.532234
kT Coeficiente de compresibilidad isotemica
cv Calor especifico del fluido a volumen constante 715.9428[ JKgK
]
P (0)1 1432735.5
V (0)1 Volumen inicial modelo 1 0.001768
T (0)1 Temperatura inicial modelo 1 600
P (0)2 Presion inicial modelo 2 2866100
V (0)2 Volumen inicial modelo 2 0.000883785
T (0)2 Temperatura inicial modelo 2 600Cuadro 5.1: Descripcion de terminos y valores utilizados en las simulaciones.
54
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