MATEMATICAS

CAPITULO 1

LOGICA Y CONJUNTOS

Introducción.

Todos estamos familiarizados con la idea de que algunas personas poseen una mentalidad lógica mientras que otras no. Siempre resulta sencillo seguir razonamientos o argumentos extensos para obtener conclusiones validas.

Nosotros trabajamos con argumentos dentro de la lógica aristotélica, donde todo argumento debe ser o verdadero o falso, no existe una tercera posibilidad. Para poder manejar y operar entre estos argumentos, el lenguaje usual puede resultar ambiguo respecto a la validez de los argumentos.

La frase: “Pon el sobre que te sobre, sobre la mesa”, sugiere que la palabra sobre tiene tres diferentes significados en la misma oración. Por ello, se necesita de un lenguaje que sea más preciso: la lógica simbólica. Su propósito consiste en establecer un nuevo lenguaje, el cual se pueda utilizar para simplificar el análisis de argumentos lógicos complicados.

La lógica simbólica es la rama de las matemáticas que nos permite reconocer la validez de una argumentación, así como también nos proporciona las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones irrefutables y convincentes. Una parte importante de las matemáticas son las definiciones, estas en general no responden a la pregunta ¿qué es?, sino a la pregunta ¿qué características tiene?

Además, las siguientes definiciones tienen parte conceptual (¿Qué significa?) y una parte operativa (¿Cómo se trabaja?).

Leibniz fue el primero en concebir este planteamiento, cuando a la edad de 14 años intento reformar la lógica clásica. En 1966, deseaba crear un método general en el cual todas las verdades de la razón serian reducidas a una especie de cálculos, llamando a la lógica simbólica “característica fundamental”.

El sueño de Leibniz no se realizo hasta que Boole separo los símbolos presentes en las operaciones matemáticas, de los conceptos sobre los cuales operaban y estableció un sistema factible y sencillo de lógica simbólica.

1.1 PROPOSICIONESObjetivos.Al finalizar esta sección el lector podrá:

Dadas varias oraciones, identificar cuáles son sus proposiciones y cuáles no, justificando adecuadamente su respuesta.

Identificar oraciones que representan proposiciones.

Definición de Proposición.

Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa.

Los elementos fundamentales de la lógica son las proposiciones. Por ello, las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que demuestran algún tipo de imprecisión (carecen de sentido), no son objeto de estudio de la lógica.

Ejemplo 1 de Oraciones de Proposiciones.

5 es un número primo.

-17+38=21

Todos los números enteros son positivos.

Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador.

Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calificadas por el lector con precisión y sin ambigüedad o subjetivismo.

Ejemplo 2. Representación Simbólica de proposiciones.

5 es un número primo puede ser representada por la letra a, de la forma: a: 5 es un número primo.

Ejemplo 3. Oraciones que no son proposiciones.

Lave el auto, por favor.

Hola, ¿Cómo estás?

¡Apúrate!

X+5=9

DEFINICIÓN DE VALOR DE VERDAD.

Valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso.

Usualmente al valor verdadero se lo asocia con: 1, V, T, True; mientras que el valor falso se lo asocia con: 0, F, False. Se podría utilizar cualquiera de ellas, pero la convención a seguir en el texto será el uso de 0 y 1, tomando como referencia el sistema de numeración binaria.

DEFINICION DE TABLA DE VERDAD

Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición.

Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

Ejemplo 1. Construcción de tablas de verdad.

La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica.

OPERADORES LOGICOS.

Objetivos

Al finalizar esta sección el lector podrá:

Dada la definición de los operadores lógicos, interpretar el comportamiento de estos operadores mediante su tabla de verdad.

Dado un texto, traducirlo al lenguaje simbólico, identificando operadores lógicos y proposiciones presentes.

Dada una proposición en el lenguaje simbólico, interpretar su lenguaje el lenguaje natural.

Dada una condicional de proposiciones, realizar parafraseos con las diferentes expresiones gramaticales existentes.

a b c00001111

00110011

01010101

a b0011

0101

a 0 1

Dada una condicional de proposiciones, determinar su reciproca, inversa y contrarecíproca.

Dada una proposición condicional verdadera, analizar sus condiciones necesarias y suficientes.

Ejemplo 1. Proposiciones que no son simples.

No te encontré en tu casa. Fui al banco y estaba cerrado.

Tengo una moneda de cinco centavos o una de diez centavos.

El carro de Juan o es azul o es negro.

DEFINICION DE NEGACIÓN

Sea a una proposición, la negación de a, representada simbólicamente por ‐a, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

a -a01

1 0

Este operador lógico cambia el valor de verdad de una proposición: si a es una proposición verdadera, -a es falsa; si a es una proposición falsa, -a es verdadera. La negación se presenta con los términos gramaticales: “no”, “ni”, “no es verdad que”, “no es cierto que”.

Ejemplo 1. Negación de Proposiciones.

Si se tiene la proposición:

a: Tengo un billete de cinco dólares.

La negación de a es:

-a: No tengo un billete de cinco dólares.

DEFINICIÓN DE CONJUNCIÓN.

Sean a y b proposiciones, la conjunción entre a y b, representada simbólicamente por a^b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

Ejemplo:

a b

a^b

0011

0101

0 0 0 1

Ejemplo 2. Conjunción de proposiciones.

Si se tienen las proposiciones:

a: Obtengo buenas notas.

b: Gano una beca.

La conjunción entre a y b es:

a^b: Obtengo buenas notas y gano una beca.

DEFINICIÓN DE DISYUNCIÓN.

Sean a y b proposiciones, la disyunción entre a y b, representada simbólicamente por avb, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

Ejemplo:

a b avb0 0 0

011

101

111

Ejemplo 1. Disyunción de proposiciones.

Si se tienen las proposiciones:

a: Tengo un libro de Trigonometría.

b: Tengo un libro de Algebra.

La disyunción entre a y b es: avb: Tengo un libro de Trigonometría o uno de Algebra.

DEFINICIÓN DE DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.

Sean a y b proposiciones, la disyunción exclusiva entre a y b, representada simbólicamente por avb, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

Ejemplo:

a b Avb0011

0101

0110

Ejemplo 2. Disyunción Exclusiva de proposiciones.

Si se tienen las proposiciones:

a: Estoy en Quito.

b: Estoy en Guayaquil.

La disyunción exclusiva entre a y b es:

Avb: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil.

DEFINICIÓN DE CONDICIONAL.

Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b, representada simbólicamente por a>b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

Ejemplo:

a b a>b0011

0101

1101

Ejemplo 2. Condicional de proposiciones.

Si se tienen las proposiciones:

a: Juan gana el concurso.

b: Juan dona $10000.

La condicional entre a y b es:

a>b: Si Juan gana el concurso solo, dona $10000.

Parafrasear la condicional, tenemos:

Juan gana el concurso solo si dona $10000. Juan dona $10000 si gana el concurso. Si Juan gana el concurso, entonces dona $10000. Juan dona $10000 puesto que gana el concurso. Juan dona $10000 debido a que gana el concurso.

Introducción a las condiciones necesarias y suficientes.

Un profesor presenta este problema a sus estudiantes:

“Un hacendado tiene un cierto número de reses, de tal forma que: si las agrupa de 2 en 2, le sobra 1, si las agrupa de 3 en 3, le sobra 1, pero si las agrupa de 4 en 4, no le sobran. Entonces, ¿podría indicar usted el número de reses que tiene el hacendado?”.

El razonamiento que presentaron los estudiantes a este problema, fue:

“Si el hacendado las agrupa de 2 en 2, sobra 1, por lo tanto no es múltiple de 2. Si las agrupa de 3 en 3, sobra 1, por lo tanto no es múltiple de 3. Pero si las agrupa de 4 en 4, no le sobran, por lo tanto en múltiplo de 4.

Mmmm…, pero algo anda mal, porque si el número de reses es múltiplo de 4, también debe ser múltiplo de 2 debido a que 4 es múltiplo de 2. Luego, el problema está mal planteado”.

DEFINICIÓN DE BICONDICIONAL

Sean a y b proposiciones, la bicondicional entre a y b, representada simbólicamente por a<->b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

Ejemplo:

a b a<->0011

0101

1001

Ejemplo 2. Bicondicional de proposiciones.

Dadas las proposiciones:

a: Un triangulo es equilátero.

b: Un triangulo es equilátero.

La bicondicional entre a y b es:

a<->b: Un triangulo es equilátero si y solo si es equiángulo.

DEFINICIÓN DE PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS.

Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lógico alguno. Las proposiciones compuestas están formadas por otras proposiciones y operadores lógicos.

Ejemplo 3. Traducción al lenguaje simbólico.

Traduzca al lenguaje simbólico la siguiente proposición:

“Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los índices de asalto en la ciudad y el turismo se desarrolla. Los índices de asalto no disminuyen, pero la seguridad privada es efectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla”.

Solución:

Se pueden identificar las siguientes proposiciones simples:

a: La seguridad privada es efectiva.

b: Los índices de asalto disminuyen en la ciudad.

c: El turismo se desarrolla.

Los operadores lógicos que se encuentran presentes en esta proposición compuesta son la condicional, la conjunción y la negación.

La traducción es:

[(a->(b^c)) ^ (¬b^a)]->(¬c)

FORMAS PROPOSICIONALES

Objetivos

Al finalizar esta sección el lector podrá:

Identificar la diferencia entra proposiciones y formas proposicionales.

Dada una forma proposicional, construir la tabla de verdad que la describe.

Reconocer los diferentes tipos de formas proposicionales. Identificar implicaciones y equivalencias lógicas.

DEFINICIÓN DE FORMAS PROPOSICIONALES.

Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan.

Estas formas proposicionales se representan con las letras mayúsculas del alfabeto español A, B. C,….

DEFINICIÓN DE TAUTOLOGIA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA.

De la estructura lógica de una forma proposicional:

Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una TAUTOLOGÍA.

Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una CONTRADICCIÓN.

Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una CONTINGENCIA.

DEFINICIÓN DE IMPLICACIÓN LOGICA.

Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B, denotado por A->B, si y solo si A-> es una tautología.

Ejemplo:

p q q->p p->(q->p)0011

0101

1011

1111

RAZONAMIENTOS

Objetivos

Al finalizar esta sección el lector podrá:

Reconocer la estructura de un razonamiento. Dado un razonamiento, establecer su validez empleando

tablas de verdad. Dado un razonamiento, establecer su validez empleando

las leyes del Algebra de Proposiciones.

DEFINICIÓN DE RAZONAMIENTO.

Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal; y, una proposición final denominada conclusión.

Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión en su consecuente.

DEFINICIÓN DE VALIDEZ DE RAZONAMIENTO.

Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica es una tautología. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el razonamiento no es válido, en cuyo caso se denomina falacia.

DETERMINACION DE LA VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO.

Determine si el siguiente razonamiento es válido:

“Si el crimen ocurrió después de las 04h00, entonces Pepe no pudo haberlo cometido. Si el crimen ocurrió a las 04h00 o antes entonces Carlos no pudo haberlo cometido. El crimen involucra a dos personas, si Carlos no lo cometió. Por lo tanto, el crimen involucra a dos personas”.

CONJUNTO.

Objetivos.

Al finalizar esta sección el lector podrá:

Dada una agrupación cualquiera, reconocer es o no un conjunto.

Definir con sus propias palabras los diferentes tipos de

conjuntos. Expresar un conjunto por comprensión o extensión. Determinar la cardinalidad de un conjunto dado.

DEFINICIÓN DE CONJUNTO.

Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida.

Ejemplo de conjuntos.

Algunas agrupaciones que representan conjuntos son:

Los números enteros. Los habitantes de la Luna. Los animales en extinción. Los números primos. Los operadores de telefonía de celular.

EJEMPLO. DESCRIPCION DE CONJUNTO.

POR COMPRENSIÓN:

A= {x/x es consonante de la palabra amistad}

POR EXTENCION O TABULACION:

A= {d, m, s, t}

POR DIAGRAMA DE VENN:

A note que:

D € A

DEFINICION DE CARDINALIDAD.

Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo N(A)

A= {x/x es un digito impar en el sistema de numeración decimal}

CONJUNTOS RELEVANTES

Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos:

A es VACIO si no tiene elementos. El símbolo que se utiliza para representar al conjunto vacio es Ø. N (A) = 0

A es UNITARIO si tiene un único elemento. N (A) = 1 A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos.

t d

m s

A es REFERENCIAL cuando contiene todos los elementos que desean considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. El símbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U.

Propiedades de los operaciones entre conjuntos

Objetivos

Emplear propiedades de las operaciones entre conjuntos para establecer igualdad entre ellos

Dada una propiedad de las operaciones entre conjuntos , demostrarla empleando lógica proposicional

plantear y resolver problemas de cardinalidad empezando algebra de conjuntos

Se la representa de la siguiente manera:

UNION

A U B Conmutativa

(A U B) U C= A U ( B U C) Asociativa

A U A = A Idepotencia

A U O = A Identidad

A U Re = Re Absorción

Operaciones entre conjuntos

Se realiza por la representación del diagrama de Venn

En este diagrama se muestra que el conjunto A esta dado por el circulo externo, el conjunto B esta dado por el circulo interno y el conjunto C esta dado por el triangulo

Cardinalidad de conjuntos

Determine el porcentaje de alumnos que practican futbol y básquet, si al entrevistar a 1000 estudiantes se obtuvieron los siguientes resultados :

600 practican futbol

500 practican básquet

150 no practican futbol ni básquet

Las secciones pintadas corresponden a :

Rojo: practican básquet total 250

Amarillo: practican ambos deportes 250

Verde: practican futbol 350

Celeste: conjunto referencial 150

Se hizo una encueta a 100 personas acerca del canal de televisión donde preferían ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados:

620 veían teleamazonas ; 400 veían canal uno ; 590 veían ecuavisa ; 195 veían teleamazonas y canal uno ; 190 preferían ver canal uno y ecuavisa ; 400 veían teleamazonas y ecuavisa ; 300 preferían ver teleamazonas y ecuavisa pero no canal uno .

Determine el número de personas que no ven estos canales :

N(Re) =1000

N(T) = 620

N(C) = 400

N(E) = 590

Verde : teleamazonas total = 125

amarillo: Canal uno total = 115

gris: Ecuavisa total= 100

Negro: Teleamazonas y ecuavisa total= 300

lila: Canal uno y ecuavisa total= 90

Rojo: Teleamazonas, ecuavisa, canal uno , total = 100

Celeste : teleamazonas y canal uno , total = 95

75 personas no ven estos canales

PREDICADOS

Son expresiones en términos de una variable que al ser reemplazadas por los elementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones. S I X REPRESENTA A CUALQUIER ELEMENTO DE Re, entonces la expresión p (x) se definirá como predicado

La notación para los predicados será: p (x), q (x), r(x), etc.

Dado Re =[ 1,2,3,4,5,6] y p(x): x es impar

si x= 3, p(3) : 3 es impar , es una proposición verdadera

si x= 6 p(6): 6 es impar, es una proposición falsa

por lo tanto , p(X) es un predicado

Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores

Una proposición que contiene un cuantificador universal es verdadera si y solo si el conjunto de verdad del predicado es igual al conjuntos referencial de la expresión abierta

Pares ordenados y producto cartesiano

Objetivos:

Dados 2 conjuntos , construir el producto cartesiano entre ellos

Dados varios conjuntos, determinar la cardinalidad del producto cartesiano entre ellos.

Demostrar las leyes del producto cartesiano

Un par ordenado es un conjunto de dos elementos , a y b , que tiene un orden ; al elemento a se lo denomina primera componente y al elemento b se le denomina segunda componente. Se representa simbólicamente por: (a,b)

Como el par ordenado no es lo mismo (a, b) que (b,a)

Una terna ordenada seria un conjunto de tres elementos ordenados y su representación es (a, b , c)

Es importante anotar que existen conjuntos ordenados que pueden formarse con más de tres componentes.

Producto Cartesiano

Sean dos conjuntos A y B ,no vacios , denominaremos producto cartesiano entre A y B , al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A , y la segunda al conjunto B.

Relaciones

Objetivos

Dados dos conjuntos , crear una relación entre ellos

Dada una relación , identificar su dominio y rango

Dada una relación , representarla mediante diagramas sagitales

Una relación establece la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos no vacios A y B. Usualmente, al conjunto A se le denomina conjunto de Partida, y al conjunto B de llegada .

Es decir, todos los subconjuntos de A x B constituyen una relación

Ejemplo:

Al decir que Samuel es padre de Irma, se está construyendo una relación

entre ambos.

Si Samuel es un elemento del conjunto A = [ Samuel, José , Cesar], e Irma es un elemento del conjunto B = [Yaneth, Irma , Pedro], el apr ordenado ( Samuel , Irma ) constituye un elemento del producto cartesiano A x B y es parte de la relación R : " x es padre de y" construida entre A y B siendo x elemento de A , y elemento de B

Relación vacía

Basados en el ejemplo anterior, podría darse el caso que Samuel, José o Cesar no sean padres de Yaneth, Irma, o Pedro, lo cual correspondería a una relación vacía.

Dominio de una relación

Dada una relación R , construida a partir de los conjuntos A y B , los elementos del conjunto B que se relacionan con elementos del dominio de R constituyen el rango de la relación . Se representa simbólicamente por: R

No necesariamente todos los elementos del conjunto de llegada forman parte del rango de una relación.

Ejemplo:

A = [ 2, 4, 5}

B= [1, 3, 5]

R = {(X, Y) / X + Y ES UN NUMERO PRIMO}

R= [(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3)]

dom R [ 2, 4]

R = [ 1, 3, 5]

Funciones

Objetivos

Dada una relación entre dos conjuntos , identificar si es función

Dada una función entre conjuntos , determinar su tipo

Dadas las funciones , construir de ser posible la composición entre ellas

Dada una función , analizar la existencia de su inversa

Una relación de A en B es una función si y solo si el dominio de la relación es todo el conjunto de partida , y si cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el rango .