6.4 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

Desde la aparicin de la informtica, uno de los principales usos de las computadoras en relacin con el trabajo matemtico ha sido el clculo numrico, y los Sistemas de Clculo Simblico (SCS) son la tecnologa especializada en la manipulacin automtica de frmulas, vectores, matrices, con elementos numricos y simblicos.Uno de los ms potentes SCS es el paquete Mathematica, con el que pueden realizarse un gran nmero de actividades matemticas merced a su inmensa capacidad para operar simblicamente y sus potentes posibilidades grficas. Pero la complejidad de su manejo, hace que a menudo no se considere de gran inters desde un punto de vista didctico.En esta investigacin, se realiza algunas consideraciones sobre los puntos, que proponemos una secuencia de actividades sobre la plataforma Mathematica 3.0 orientada hacia estudiantes de universitarios, para estudiar algunos mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones no lineales. Este tipo de ecuaciones, salvo en casos muy concretos, no pueden resolverse por mtodos directos, pues no existen algoritmos que mediante un nmero finito de operaciones conduzcan a la solucin exacta.

Se describirn dos mtodos iterativos, el de Biseccin y el de Newton-Raphson, y compararemos la rapidez y bondad de convergencia entre ellos.

Paralelamente a la expansin de las computadoras, se han ido perfeccionando plataformas que permiten el trabajo con lgebra simblica, y hoy en da, software como DERIVE, MATHEMATICA o MAPLE, entre otros, constituyen unos avanzados Sistemas de Clculo Simblico (SCS) que tienen un innegable valor didctico a pesar de las opiniones que los desechan por el complejo lenguaje que emplean.Un SCS tiene por lo general cuatro reas de funcionamiento claramente distintas entre s (Demana y Waits, 1998): 1. Aritmtica Exacta con Nmero Racionales, Reales y Complejos. 2. Software de Graficacin de Funciones y Superficies. 3. Obtencin de Soluciones Numricas.4. Trabajar con lgebra Simblica para la Manipulacin y Solucin de Expresiones Algebraicas.Los mtodos numricos para resolver ecuaciones no lineales son de tipo iterativo y proporcionan una sucesin de aproximaciones . Lo interesante ser que esta sucesin de aproximaciones converja a una raz s de la ecuacin. Vamos a estudiar el de Biseccin requiere de menos hiptesis para asegurar la convergencia, pero a cambio es ms lento es decir, si queremos obtener una aproximacin con una precisin determinada, en general, tenemos que hacer ms iteraciones.Supongamos que f verifica la hiptesis del teorema de Bolzano en [a, b]. Entonces, podemos asegurar la existencia de una solucin al menos s (a, b). Sea que es el centro del intervalo y nuestra primera aproximacin; con lo cual el error cometido al tomar como aproximacin de s , vale como mximo la longitud de dicho intervalo, es decir . Lo indicamos como sigue: Como f es conocida la podemos evaluar en el centro del intervalo, es decir, en , y ver si este punto es una raz exacta de la ecuacin, con lo cual ya habramos finalizado la bsqueda, o bien, si no es raz exacta, podemos averiguar el signo de la funcin en el centro del intervalo, de tal forma que dicho signo ser opuesto del que f tiene en uno de los dos extremos del intervalo. As, eligiendo el centro, Tenemos un nuevo intervalo, de tamao mitad que el inicial, en el cual seguimos asegurando que f tiene una raz. La nueva aproximacin ser el centro de este intervalo y el error mximo cometido es la mitad de la longitud del mismo, es decir, la cuarta parte de la longitud del intervalo de partida. En otros trminos,

En general, despus de n iteraciones, el error cometido, en, satisface la desigualdad

El error tiende a cero cuando n tiende a infinito, por lo que el mtodo es convergente. Si queremos asegurar una determinada precisin (PRE), en la aproximacin, debemos detener el proceso cuando la longitud del intervalo correspondiente sea menor o igual a PRE; tambin podemos calcular de antemano el nmero de iteraciones resolviendo la inecuacin

Lo que es inmediato tomando logaritmos. Describimos a continuacin el algoritmo.

Algoritmo de Biseccin.Paso 1. Entrada de datos Funcin, Extremos del intervalo inicial a= b=Precisin, PRE= Paso 2. Determinar el centro del intervalo y evaluar

Si, entonces se tiene la solucin exacta c, FIN.Si , entonces volver al En caso contrario Si , entonces la solucin aproximada es c, FIN.Si , entonces volver al paso 2.

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