Introducción

La factorización es una herramienta sumamente útil para muchos procesos matemáticos. Tanto es así, que toma parte de los procedimientos de muchas aplicaciones de la esta ciencia, por ejemplo: ecuaciones, simplificación de expresiones algebraicas, límites, entre otros.

En los siguientes procesos de la matemática: División Sintética y Completar Cuadrados. Podremos ver más claramente el uso de factorización para agilizar el proceso de las mismas. Esto gracias a los aportes dados por Paolo Ruffini con la División Sintética y a los babilonios en el caso de la factorización en general.

Por consiguiente, nuestro objetivo es demostrar que los dos métodos de factorización, anteriormente mencionados, favorecen a la simplificación de los estudios matemáticos.

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División Sintética

Método de división breve de un polinomio grado n por un binomio tipo x-a .

En el caso de 3x-4x2+x4-3 entre x+2 se puede dividir en tan solo tres pasos: ordenar, multiplicar y sumar (división sintética), ya que este ejemplo cumple todos los requisitos para esta división: posee un polinomio grado 4 y un binomio con la forma x-a.

De esta forma se realiza la división:

1 -4 0 3 -3 Polinomio se ordena sin variables

2 -4 0 6 -2 Divisor debe cambiar de signo

1 -2 0 3 -9

Suma

1 -4 0 3 -3

2 -4 0 6 -2

1 -2 0 3 -9

Multiplicación

Con este sencillo procedimiento, se obtiene el cociente y el residuo

1 -4 0 3 -3

2 -4 0 6 -2

1 -2 0 3 -9

Cociente Residuo

1x4 -2x3+ 3x -9

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Se explicará el proceso por medio del ejemplo 2x4 + 5x3 - 2x - 8 entre x + 3

a) El proceso para realizar la División Sintética se inicia colocando los números de los polinomios sin variables ordenadamente, de esta forma:

2 5 0 -2 -8 polinomio grado 4 (grado n)

-3__ divisor x+3 (binomio x-a)

b) seguidamente el primer número (de derecha a izquierda) del polinomio grado n, (que en este caso es 2), se coloca en la tercera línea y se multiplica por el -3 (divisor), dando como resultado el factor numérico que se coloca en la segunda columna, debajo del segundo término del polinomio grado n (el número 5).

5 + -6 = -1

2 5 0 -2 -8

-6 -3__

2 -1

Se multiplica

2 * -3 = -6

c) Luego se suma y el resultado se multiplica por el divisor, para poder obtener el factor que va al lado del -6. Y así con todos los términos

2 5 0 -2 -8 Resultado de la multiplicación

-6 3 -9 33 -3__ Resultado de la suma

2 -1 3 -11 25

d)

d) Dando como resultado el cociente (2 ,-1, 3, -11) y el residuo (25)

2 5 0 -2 -8

-6 3 -9 33 -3__

2 -1 3 -11 25

Cociente Residuo

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e) Seguidamente se le colocan las variables con su exponente respectivo. Como el polinomio grado n iniciaba con una variable x4 , el cociente también inicia con x4 , y todos los siguientes números con se les coloca la misma literal, pero con el exponente en descenso

2x4-x3+3x2-11x

Se resumirán los pasos con el siguiente ejemplo:

3x4 + 2x3 - x2 + 4x + 2 entre x + 2.

Paso 1:

Colocar números sin las variables, ordenadamente

3 2 -1 4 2

-2

Paso 2:

Se multiplican y suman los términos del polinomio grado 4 por el divisor

3 2 -1 4 2

-6 8 -14 20 -2

3 -4 7 -10 22

Paso 3

Se toma el cociente y se le agregan las variables con el exponente descendente

3x4 – 4x3 + 7x2 – 10x + 22

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Método algebraico de completar cuadrados

El método de completar cuadrados se utiliza para factorizar ecuaciones cuadráticas, es decir ax2+bx+c. ( a = 1 )

Por ejemplo en el caso de x2 + 6x + 5, se factorizaría así:

x2 + 6x = -5 (6:2)2= 9

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

(x - 3)2 = 4

√( x−3 )2 = √4

x - 3 = ±2

Comprobar

x – 3 = -2 x – 3 = 2

x = -2 + 3 x = 2 + 3

x = 1 x = 5

Se explicará el procedimiento con el siguiente ejemplo:

x2 + 6x – 7 = 0

a) Colocar le expresión de la forma ax2 + bx = c

x2 + 6x = 7

b) Se utiliza la fórmula ( b

2 )2 Siendo en este caso 6, el número que representa “b”. se divide entre 2 y se eleva el resultado al cuadrado

x2 + 6x = 7 ( 6

2 ) 2 = 9

El Resultado de está fórmula se coloca a sumar en los dos miembros de la ecuación.

x2 + 6x + 9 = 7 + 9

c) El trinomio del primer término se debe factorizar, convirtiéndolo en binomio

x2 + 6x + 9 = 7 + 9

x 3

x 3

(x + 3) 2 = 16

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d) Luego se extrae la raíz cuadrada en los dos miembros de la ecuación

√( x + 3) 2 = √16

x + 3 = ± 4

e) y por último resolver las ecuaciones

x + 3 = 4 x + 3 = -4

x = 4 – 3 x = -4 – 3

x = 1 x = -7

Se resumirán los pasos con el siguiente ejemplo x2 + 2x - 8

a) ordenar ax2 + bx = c

x2 + 2x = 8

b) utilizar la fórmula ( b

2 )2

( 22 ) 2 = 1

Se le suma a los dos miembros de la ecuación

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

c) Factorizar el primer miembro

(x + 1 ) 2 = 9

d) Se extrae raíz a ambos miembros

√( x + 1 ) 2 = √9

x + 1 = ± 3

e) Resolver ecuaciones

x + 1 = 3 x + 1 = - 3

x = 3 – 1 x = -3 -1

x = 2 x = -4

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Bibliografía

Melissa Murrias.(2000). Ecuaciones Cuadrática-Factorización. Recuperado el 13 de abril del 2010, de http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html

Prof. Nilsa Toro Jiménez. Ecuaciones Cuadráticas. Recuperado el 9 de abril del 2010, de http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/ecuadw.htm

Prof. Hugo Tejada García. (2009). Ecuación cuadrática (Completar Cuadrados). Recuperado el 9 de abril del 2010, de http://www.youtube.com/watch?v=oKO3DvsF2I8

Prof. Jose Moreno. (2009). Calculadora de División Desarrollada. Recuperado18de abril del 2010, de www.ismsancarlos.cl/.../ism_División%20sintética%20y%20Teor%20Residuo.doc

Prof. Johana Torrez Díaz. Prof Lyda Mora Mendieta. Prof Carlos Luque Arias. (2008). Factorización Algebraica. Recuperado el 18 de abril del 2010. De http://www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/memorias/memorias14/8.Factorizaci%F3n%20Algebraica.pdf

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Conclusión

Las aplicaciones del algebra a la vida diaria son innumerables, sin embargo no se le da la importancia que este amerita. Desde sus inicios se utilizó para la comercialización de productos, la utilidad que obtenían, también en la construcción y entre otros

El campo de las ciencias económicas no es la excepción, en cuanto al aporte del algebra. Podemos obtener información relevante, tal como: Utilidades, intereses, punto de equilibrio, porcentajes, entre otras aplicaciones. Por lo cual nos facilita la solución de problemas en esta rama y contribuye en el crecimiento económico de una empresa o hasta en un país

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