DIVISIBILIDAD Y COCIENTES NOTABLESDIVISIBILIDADDados dos polinomios y de grados no nulos, se dir es divisible por si existe un nico , tal que la divisin es exacta. Es decir:

TEOREMA DEL FACTORUn polinomio de grado no nulo se anula para si y solo si es divisible por , entonces es un fcator de .TEOREMAS DE DIVISIBILIDADTEOREMA 1Si es divisible por y es divisible por , entonces es divisible por .TEOREMA 2 Si y son divisibles por , entonces la suma y la diferencia de y es divisible por .TEOREMA 3 Si el polinomio es divisible separadamente por los binomios , y tal que , entonces es divisible por el producto Recprocamente si el polinomio es divisible por el producto , entonces ser divisible separadamente por , y . COCIENTES NOTABLES (C.N.)Llamaremos cocientes notables (C.N.) a aquellos cocientes que obtienen en forma directa, es decir, sin la necesidad efectuar el proceso de la divisin. En forma general se tendr divisiones de la siguiente manera:

la cual genera un cociente notable (C.N.) si se cumple la siguiente:CONDICIN NECESARIA Y SUFICIENTE

donde "" es el nmero de trminos del cociente notable ().TEOREMA DEL TRMINO GENERALSi un cociente notable consta de "" elementos y se quiere calcular un trmino de lugar "", se utilizar la siguiente expresin:Caso 1

Entonces: Caso 2

Entonces:

TRMINO CENTRAL

CASOS PARTICULARESA continuacin mostraremos un cuadro resumen de los cocientes notables que se obtienen de las divisiones de la forma:

Problema 1. Si el polinomio

es divisible entre , entonces el valor de es A)B)C)0 D)2 E)3SOLUCIN

Por teorema del restoi.

ii.

Luego

Problema 2. Si el polinomio

es divisible por , determine el valor de

A)1 B)2 C)D)0 E)SOLUCINLa divisin

es exacta y por teorema del resto

Problema 3. Halle el valor de para que el polinomio

sea divisible entre A)1 B)C)2 D)3 E)SOLUCIN

Luego

Problema 4. El polinomio

es divisible por , luego el valor de esA)19 B)17 C)9 D)7 E)0SOLUCINComo es divisible por entonces es divisible por y por teorema del resto

Problema 5. Un polinomio al ser dividido por deja como residuo y un cociente . Si la suma de coeficientes de es y de es 3. Cul es el valor de ? A)3 B)4 C)6 D)5 E)2SOLUCINPor el algoritmo de la divisin

Problema 6. Determinar el polinomio de quinto grado que sea divisible entre y que al dividirlo separadamente entre y los restos obtenidos son 7 y 232. D como respuesta la suma de sus coeficientes.A)1 B)2 C)3 D)4 E)SOLUCINEl polinomio es de la forma

Por el teorema del restoi.

ii.

Problema 7. Un polinomio de cuarto grado es divisible entre , tiene raz cuadradas exacta. Al dividirlo entre y los restos obtenidos son iguales a 16. Calcule la suma de sus coeficientes.A)4 B)9 C)16 D)25 E)36SOLUCINComo tiene raz cuadrada ser:

Por el teorema del restoi.

ii.

Problema 8. Determine uno de los trminos centrales en el desarrollo del cociente notable

A) B) C) D) E) SOLUCIN

Tiene dos trminos centrales.

Problema 9. Halle el nmero de trminos del desarrollo del cociente notable

A)12 B)13 C)14 D)15 E)16SOLUCIN

Problema 10. Si es el quinto trmino del desarrollo del cociente notable

determine .A)22 B)38 C)45 D)57 E)63SOLUCIN

Luego

1. Un Polinomio de 2 grado y coeficiente principal 1 al ser dividido entre (x+3) da como resultado un cociente y un resto 12. Si se divide entre el mismo cociente, aumentado en 4, la divisin resulta exacta. Determine el residuo de dividir entre .A) 12 B)13 C)17 D) 20 E) 212. Un Polinomio es divisible por tiene por trmino independiente y por grado , determine si se sabe que al dividirlo separadamente entre y los restos son y 732 respectivamente.A) 4 B)5 C)6 D) 7 E) 83.

Si al dividir . El residuo es 8 y el cociente , halle .A) 40B) 42C) 30D) 32E) 184. Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 3) se obtiene por residuo 5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. Determine el residuo de dividir P(x) entre (x 1).

A)7B)8C)9D)10E)11

5.

Si al dividir entre , se halla por resto (6x +5), halle el resto de dividir entre x - 3.A)20B)23C)2D)12E)18

6. Un polinomio entero en x de tercer grado se anula para x = 7 y para x = 3 y al dividirlo entre (x 10) da como residuo 105. Sabiendo que el coeficiente principal del polinomio es 3, determinar el resto de dividir el polinomio entre (x 8).

A)12B)-13C)14D)-5E)167. Un polinomio P(x) de cuarto grado, al dividirlo separadamente entre x2 + x + 1 y x2 +x 2 se obtiene el mismo residuo de 2x + 5. Si se divide P(x) entre x + 1 se obtiene como residuo 26. halle la suma de coeficientes de dicho polinomio.A) 1B)3C)14D)5E)7

8. Un Polinomio de 2 grado y coeficiente principal 1 al ser dividido entre (x+3) da como resultado un cociente y un resto 12. Si se divide entre el mismo cociente, aumentado en 4, la divisin resulta exacta. Determine el residuo de dividir entre .A) 12 B) 13 C)17 D) 30 E) 219. En el cociente es notable el valor de n es

A) 1. B) 2.C)3.D)4.E)5.

10. Si el tercer trmino del cociente notable

es, determine el nmero de trminos.A)6 B)7 C)8 D)9 E)1011. Dado el siguiente cociente notable

determine el grado absoluto del dcimo primer trmino en el cociente notable esA) 25. B) 30. C) 32. D) 28 . E) 34.12. Determine , si el tercer trmino de la expansin del cociente notable es .A)B) 35 C) 600 D) 3500 E) 420013. El cociente notable tiene 12 trminos.Si el cuarto trmino contienen un de grado 16 y a + b = 5, halle n.

A)12B)13C)14D)15E)36

14. Si es el quinto trmino del desarrollo de ; halle a + b.

A)10B)12C)14D)16E)18

15. Del cociente notable que se genera de

el noveno trmino es, ,adems el nmero de trmino es 17 , entonces determine el valor de

A)1 B)3 C)6 D)9 E)1216. Halle el coeficiente del tercer trmino del desarrollo del cociente notable.

A)2 B)C)D)8 E)417. Determine el polinomio de cuarto grado tal que sea divisible entre y que al dividirlo separadamente entre y los restos obtenidos son respectivamente y .A)B)C)D)E)

18. Determine el valor numrico del trmino central del cociente notable originado al dividir

Para A)1 B)2 C) 100 D) 200 E) 100019. Calcule "" para que el trmino independiente del cociente notable

sea 81.A)3 B)4 C)5 D)6 E)920. Dado el cociente notable

Sabiendo que el . Halle ""A)56 B)72 C)90 D)110 E)13221. Halle el grado absoluto del trmino central del desarrollo del siguiente cociente notable

A) 22 B) 24 C)26 D) 28 E) 3022. Si un trmino del cociente notable es , entonces el valor de esA)11.B)22.C)33.D)44.E)55.23. Se sabe que la divisin

genera un cociente cuya suma de coeficientes es 21 y como resto a Cul es el valor de a+b? A) 4 B) 7 C) 10 D) 11 E) 63

24. Determine el resto:

A) 2x-5 B) 2x+5 C) 2x D) 5 E) 3x-5

25. Determine el resto de la divisin

A) 3B) 2x-1 C) 3x+2 D) 2x-4 E) 2x+4