Divisibilidad
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Divisibilidad 1° AÑO IFD RIVERA - 2016
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Divisibilidad1° AÑO
IFD RIVERA - 2016
DivisorDados dos naturales a y b, con a ≠ 0.
Diremos que a divide a b cuando exista cN tal que b=a.c
DivisorNotación:
a|b se lee:
“a divide a b”
“a es divisor de b”
o “b es un múltiplo de a”
DivisorNotación:
“b es un múltiplo de a”También se escribe:
𝑏 = ሶ𝑎
DivisorEjemplos:
10 20 16 26 36 66
DivisorNegación
3∤4 4∤5
Ejercicio. ¿Verdadero o Falso?
4|16 5|5
11|0 10|202
1|8 8|1
4|5! 48|12
DivisorSea cN,
¿ 1c ?
1c sólo si existe un número natural que multiplicado por 1 resulte c.
ProposiciónSea cN.
Se tiene que 1c pues cN tal que c=1.c
DivisorSea aN*,
¿ aa ?
aa sólo si existe un número natural que multiplicado por a resulte a.
ProposiciónSea aN*.
Se tiene que aa pues 1N tal que a=1.a
DivisorSea aN*,
¿ a0 ?
a0 sólo si existe un número natural que multiplicado por a resulte 0.
ProposiciónSea aN*.
Se tiene que a0 pues 0N tal que 0=0.a
EjercicioDemuestra que todo natural no nulo divide a su cuadrado.
Sea aN*.
Se tiene que a𝑎2 pues aN tal que 𝑎2=a.a
Problema
Ubica los números naturales hasta el 14 de modo que:
• En dos casillas vecinas no haya números consecutivos.
• Excepto el 1, el número en una casilla, no debe ser divisor de otro número ubicado en una casilla vecina.
Problema
Ubica los números naturales hasta el 14 de modo que:
• En dos casillas vecinas no haya números consecutivos.
• Excepto el 1, el número en una casilla, no debe ser divisor de otro número ubicado en una casilla vecina.
12
34
5
67
8
9
10 11
12
13
14
ProblemaEl siguiente Cuadrado Mágico se completa con los naturales múltiplos de 3, hasta el 27.
9 21
27
Conjunto de los divisores de un número natural.
Dado el número natural b, definimos
𝑑 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝑁 tal que 𝑥|𝑏
Conjunto de los divisores de un número natural
d(3)={1,3}
1|3 1d(3)
Conjunto de los divisores de un número natural
d(3)={1,3}
d(27)={1,3,9,27}
Cantidad de divisores de un número natural
d(3)={1,3} #d(3)=2
d(27)={1,3,9,27} #d(27)=4
¿Qué natural tiene la menor cantidad de divisores?
¿?
¿Qué natural tiene la mayor cantidad de divisores?
¿?
¿Qué naturales tienen exactamente dos divisores?
¿?
Clasificación de los Naturalessegún el número de divisores
0 – divisible por cualquier natural, excepto él mismo
1 – divisible sólo por sí mismo
Primos – admiten dos divisores, 1 y él mismo
Compuestos – admiten otros divisores
Clasificación de los Naturalessegún el número de divisores
0
• divisoresTodos los
naturales, excepto él mismo.
1
• 1 divisor
Él mismo
Primos
• 2 divisores
Él mismo y el 1
Compuestos
• 3 o más divisores
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes¿Cuáles son los primos menores que 120?
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
2 es el primer Primo
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
Descartamos losmúltiplos de 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
3 es el siguiente Primo
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
Descartamos losmúltiplos de 3
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
5 es el siguiente Primo
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
Descartamos losMúltiplos de 5
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
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Criba de Eratóstenes
7 es el siguiente PrimoDescartamos los múltiplos de 7
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
11 es el siguiente PrimoDescartamos los múltiplos de 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
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Criba de Eratóstenes
13 es el siguiente PrimoDescartamos los múltiplos de 13
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
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Criba de Eratóstenes
17 es el siguiente PrimoDescartamos los múltiplos de 17
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
19 es el siguiente PrimoDescartamos los múltiplos de 19
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
23 es el siguiente PrimoDescartamos los múltiplos de 23
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
Primos menores que 120
Teorema Fundamental de la Aritmética
Todo número mayor que 1, es Primo o se puede escribir de forma única como producto de números primos.
