APRENDIZAJES ESPERADOS1.Determina cifras desconocidas en un numeral aplicando criterios de divisibilidad.

2.Determina el residuo de dividir un nmero entre otro, sin efectuar la operacin.

3.Resuelve una ecuacin con ms de dos variables donde todos los valores desconocidos son nmeros enteros (Ecuacin diofntica).

4.Obtiene los mltiplos de un determinado mdulo y que renan ciertas condiciones.

5.Aplica correctamente los principios de la divisibilidad en la solucin de problemas concretosCOMENTARIO PREVIO

La aritmtica es la disciplina matemtica que se ocupa del estudio de las propiedades de los nmeros (etimolgicamente, arithmos significa nmero en griego).En realidad desde su nacimiento, su objeto primordial es el nmero natural, ello es lgico si se piensa que ste es el concepto matemtico fundamental.

La aritmtica fundamental (la que los griegos llamaban logstica) se ocupa de los sistemas de numeracin y de los algoritmos de clculo. Por el contrario, la llamada aritmtica superior o ms frecuentemente; teora de nmeros, se dedica a problemas de aspecto inocente, a veces con apariencia de juegos infantiles, en torno a cuestiones de divisibilidad, descomposiciones de los nmeros o ecuaciones con soluciones enteras, pero cuya dificultad es enorme y que, por otra parte, resultan insospechadamente conectados con las ramas ms abstractas y sofisticadas de la matemtica.

La belleza, la profundidad y el inters de esos problemas han atrado durante siglos, junto a grandes matemticos a multitud de aficionados.

Gauss (1777-1855) quien ha sido llamado prncipe de los matemticos y cuya excelsa labor en teora de nmeros slo admite comparacin con sus realizaciones en geometra, anlisis o fsica matemtica, lleg a decir que la matemtica es la reina de las ciencias y la teora de los nmeros es la reina de la matemtica.Pero, de qu se ocupa la teora de los nmeros?, bsicamente de las cuestiones que giran entorno a la divisibilidad y temas conexos (Nmeros primos, mximo comn divisor, mnimo comn mltiplo).

La Divisibilidad de los nmeros es conocida desde tiempos remotos. As, los hinds ya conocan la divisibilidad por tres, siete y nueve y los egipcios conocan los nmeros pares e impares. El matemtico griego Euclides demostr los teoremas bsicos de la divisibilidad de los nmeros enteros. Ya posteriormente, el matemtico Francs Pascal (1623 1662) propuso las reglas para conocer la divisibilidad de cualquier nmero.CONTENIDO TERICO

TEORA DE LA DIVISIBILIDAD

DEFINICIN: Es la parte de la Aritmtica que estudia las condiciones que debe tener un nmero para ser divisible entre otro. Estas condiciones se denominan caracteres o Criterios de Divisibilidad.

Se dice que un nmero entero A es divisible entre otro nmero entero positivo B cuando el residuo de dividir A entre B es CERO y el cociente es entero. Se dice entonces que A es mltiplo de B o que B es un divisor de A.

MULTIPLO: Un nmero es mltiplo de otro cuando lo contiene un nmero exacto y entero de veces.

Representacin: Si N es mltiplo de n.; N = ; N = m x n, si m es entero.

El mltiplo de un nmero es el resultado de multiplicar dicho nmero por un nmero entero.

DIVISOR, FACTOR O SUBMLTIPLO: Se dice que un nmero es divisor de otro cuando est contenido en l un nmero exacto y entero de veces.

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD:

01. Operaciones entre mltiplosa)

Ejemplo:

b)

Ejemplo:

c)

Ejemplo:

d)

Ejemplo:

02.Divisin:a) Divisin por Defecto:b) Divisin por exceso:

Ejemplo:Ejemplo:

03.

Ejemplos:

04. PRINCIPIO DE ARQUMEDES:

Dos nmeros enteros cuyo producto es divisible por un cierto mdulo, si uno de tales nmeros no admite divisores comunes con el mdulo, aparte de la unidad, entonces el otro nmero ser divisible por dicho mdulo.

Ejemplo:

8n = ( n =

Ejemplo:

(7x3) b = ( 3 b = (

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON

; Si K es par

; Si K es impar.

Ejemplo: Hallar el residuo de dividir 4365 43 entre 8.

Resolucin

4365 43= + r

( + 5 )43= + r

+ 543= + r

+ (52)21. 5= + r

+ ( + 1) 21.5= + r

+ ( + 1). 5= + r

+ 5= + r

r = 5; El residuo es 5

RESTOS POTENCIALES

Se llaman restos potenciales de un entero "E" respecto a un mdulo "m" al residuo que deja cada una de las potencias naturales de "E" al ser divididos entre el mdulo "m". Es decir:

Ejemplo: Calcular los restos potenciales de 3 respecto al mdulo 5.

Resolucin

30 = + 1

31 = + 3

32 = + 4

33 = + 234 = + 1

35 = + 3

36 = + 4

37 = + 2

"Observe que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y peridica. Al tomar una potencia cualquiera luego de 4 potencias sucesivas se obtendr el mismo resto que deja la potencia tomada".

GAUSSIANO (g): Se llama as a la menor cantidad de restos diferentes posibles que forman el periodo.En el ejemplo anterior: g = 4.

Se tiene en general:

El resto se determina en los

+ 1 ( n =

=

+ 3 ( n = + 1

+ 4 ( n = + 2

+ 2 ( n = + 3

Ejemplo: Hallar el resto de dividir: 340001 entre 5.

; ( + 3 = + r ( r = 3

30 = + 1

31 = + 3

32 = + 4

33 = + 2

34 = + 1

35 = + 3

36 = + 4

37 = + 2

ECUACIONES DIOFNTICAS

Son aquellas ecuaciones insuficientes en las cuales los coeficientes y las variables son nmeros enteros.

Ejemplo:Determine los valores de "x" e "y" sabiendo que son nmero enteros 4x + 7y = 225

ResolucinCriterio: Divisibilidad por 4

4x + 7y = 225

+ (4 + 3) y = + 1 ( + + 3 y = + 1

3y = + 1

(3y 1 =

3y 1 8 =

(3 ( y 3 ) =

y 3 =

(y = + 3

Luego y = 3; y = 7; y = 11; y = 15: y = 19; y = 23; y = 27; y = 31

Reemplazando en la ecuacin inicial: x = 51; x = 44; x = 37; x = 30; x = 23; x = 16; x = 9; x = 2

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

1.Divisibilidad por 2: Un nmero es divisible por 2 si su ltima cifra es un nmero mltiplo de 2.

12( 28( 36( 450( 12345678 son divisibles por 2 pues su ltima cifra es un nmero mltiplo de 2.

2.Divisibilidad por 3: Un nmero es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es un nmero mltiplo de 3.

Ejemplos:

12 es divisible por 3 pues 1 + 2 = 3 .

234 es divisible por 3 pues 2 + 3 + 4 = 9

5775 es divisible por 3 pues 5 + 7 + 7 + 5 = 24.

3.Divisibilidad por 4: Un nmero es divisible por 4 si el nmero formado con sus dos ltimas cifras es mltiplo de 4.

112( 128( 12300( 456( 24680( 12345688 son divisibles por 4 pues las dos ltimas cifras son mltiplos de 4.

4.Divisibilidad por 5: Un nmero es divisible por 5 si su ltima cifra es 5 0.

35( 125( 1230( 455( 12345( 24680 son divisibles por 5, pues la ltima cifra es 5 0.

5.Divisibilidad por 25: Un nmero es divisible por 25 si el nmero formado por sus dos ltimas cifras es mltiplo de 25.

Ejemplos:

325( 125( 475( 123450( 246825 son divisibles por 25 pues el nmero formado con sus 2 ltimas cifras son mltiplos de 25 son ceros.6.Divisibilidad por 7: Un nmero es divisible por 7 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los factores: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, ..... y as sucesivamente; luego efectuamos la suma algebraica debemos obtener cero o mltiplo de 7.

abcdefgh=

((((((((

31231231

Entonces: (h + 3g + 2f) (e + 3d + 2c) + (b + 3a) =

OTRA FORMA:

Un nmero es divisible por 7 si al nmero se le quita y resta la ltima cifra multiplicado por 2 as sucesivamente y al final se debe de obtener un mltiplo de 7.

Ejemplos:

1582 es divisible por 7 pues:

Separamos la ltima cifra 2 y le restamos el doble

158 - 2(2) = 154( hacemos lo mismo:

15 - 2(4) = 7( y como 7 es divisible por 7( entonces 1582 es divisible por 7.

7.Divisibilidad por 9: Un nmero es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es un nmero mltiplo de 9.

72 es divisible por 9 pues 7 + 2 = 9.

234 es divisible por 9 pues 2 + 3 + 4 = 9.

5445 es divisible por 9 pues 5+ 4 + 4 + 5 = 18.

8.Divisibilidad por 11: Un nmero es mltiplo por 11 si la diferencia de la suma de las cifras de orden impar y la de orden par es mltiplo de 11.

Es decir: Sea ( es divisible por 11 s

a b c d e f

Suma de cifras de orden par: a + c + e

Suma de cifras de orden impar: b + d + f

Luego se tiene: (a + c + e) (b + d + f) =

123 464 es divisible por 11 pues:

1 2 3 4 6 4 ( (1 + 3 + 6) (2 + 4 + 4) = 0

72567 es divisible por 11( pues: (7 + 5 + 7) (2 + 6) = 11.

01.Hallar x si se cumple

A) 2B) 3C) 4

D) 5E) 6

RESOLUCIN

Clave B

02.Sabiendo que Cul es el menor valor de A si es de 3 cifras

A) 108B) 136C) 134

D) 112E) 142RESOLUCIN

Aplicando teorema de Arqumedes:

Con lo cual se deduce que

Clave D

03.Cuntos nmeros enteros positivos no mayores que 1000 son mltiplos de 3 y 5 a la vez, pero no de 4?

A) 55B) 81C) 64

D) 62E) 50RESOLUCIN

A partir del dato se tiene que: 1, 2, 3, ....., 1000

En un diagrama de Ven Euler:

Para calcular lo que nos piden (la regin sombreada) se debe restar la cantidad de nmeros divisibles entre 3, 5 y 4, es decir entre 60, de la cantidad de nmeros divisibles entre 15 cantidad de nmeros divisibles entre 15 ser

( 66 nmeros

cantidad de nmeros divisibles entre 60 ser

( 16 nmeros

Finalmente la cantidad de nmeros solicitados ser

66 ( 16 = 50 nmeros

Clave E

04.En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y nios, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del nmero de damas, la cantidad de nios asistentes era igual a la sptima parte del nmero de damas. Si la quinta parte de las damas estn casadas Cuntas damas no bailaban en dicho momento?

A) 55B) 81C) 64

D) 62E) 50RESOLUCIN

Sean

D = Nmero de damas

C = Nmero de caballeros

N = Nmero de nios

Por condicin del problema se tiene que:

D + C + N = 280 ..........(1)

Segn Los datos:

Caballeros que no bailaban:

Los nios son:

Damas que estn casadas:

De lo cual deducimos que:

De (1) y (2) deducimos que: (

En (1):

Tambin: caballeros que no bailaban:

Entonces: caballeros que bailaban (120 ( 35 = 85

Luego: damas que bailaban = 85

Damas que no bailaban. 140 ( 85 = 55

Clave A

05.Si el nmero es divisible entre 88, dar el valor numrico de x.y

A) 5B) 8C) 6

D) 2E) 7

RESOLUCIN

Para que sea divisible entre 88 debe ser divisible entre 11 y entre 8

Entonces x .y = 2

Clave D

06.Si: Cuntos valores puede tomar ?

A) 18B) 20C) 24

D) 32E) 42

RESOLUCIN

De acuerdo con el dato se sabe que:

57711

552

De la divisin se concluye:

Analizando los restos potenciales de 5 respecto al mdulo 11 se tendr:

(*)

Como: ( de (*) se deduce que:

(**)

De (**) podemos afirmar que a solo puede ser 3 u 8, mientras que b puede tomar cualquier valor. A continuacin se muestran todos los posibles valores para generar el nmero

ab

((

30

81

2

3

(

9

2 x 10 = 20 nmeros

Clave B

07.Cuntos nmeros de la forma son divisibles por 36

A) 3B) 4C) 5

D) 6E) 8

RESOLUCIN

El nmero debe ser mltiplo de 4 y 9

Por 4:

Por 9:

Si y = 2 (

El nmero: 5472

Si y = 6 (

El nmero: 5076 y 5976

Los nmeros sern: 5472 , 5076 , 5976

Clave A

08.El nmero de la forma al ser dividido entre 4 , 9 y 25 deja como residuo 2 , 4 y 7 respectivamente. Hallar a

A) 6B) 4C) 2

D) 0E) 3RESOLUCIN

En el problema se tiene:

Se suma nmeros que son mltiplos del mdulo

Ordenando se tiene:

Reemplazando(

Criterio de divisibilidad por 9

(

( (

Clave C

09.Sabiendo que , hallar x

A) 1B) 4C) 2

D) 5E) 6RESOLUCIN

Potencias de 3:

Exponente de 3

Resto = 1

Resto = 3

Resto = 2

Resto = 6

Resto = 4

Resto = 5

( Como (

Clave C

10.Cuntos valores puede tomar a

A) 1B) 4C) 2

D) 5E) 6

RESOLUCIN

,del ejercicio anterior Resto = 2 ( (

a = {2 ; 8 } 2 valores

Clave C

01.Responda a las siguientes preguntas:

a)Qu es mltiplo de un nmero?

b)Cuntos mltiplos tiene un nmero?

c)Por qu se dice que 18 es mltiplo de 9?

d)Cul es el mltiplo ms pequeo de cada nmero natural?

e)Qu nombre reciben los mltiplos de 2? Y los que no lo son?

f)Qu es divisor de un nmero?

g)Cuntos divisores tiene un nmero natural?

h)Cul es el mayor divisor de un nmero distinto de cero?

02.Halle usted todos los factores o divisores de:

a) 10b) 18c) 35d) 17e) 60

03.Clasifique usted como verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones:

a)30 es mltiplo de 3.

()

b)28 es mltiplo de 6.

()

c)0 es mltiplo de 7.

()

d)308 es mltiplo de 4.

()

e)111 es divisible por 3.

()

f)1050 es divisible por 125.()

g)4 + 6 es un nmero par.()

h)

15 11 es un nmero impar.()

04.Halle usted:

a)El conjunto de todos los mltiplos de 7 menores de 100.

b)El conjunto de todos los mltiplos de 14 menores que 125.

c)El conjunto de todos los mltiplos de 2 elevada al exponente 3.

d)Pruebe usted que la suma de tres nmeros naturales consecutivos es siempre divisible por 3.

e)Cul es la interseccin del conjunto de los nmeros pares y el conjunto de los nmeros impares?.

f)Pruebe usted que la suma de dos nmeros impares es un nmero par.

05.Responda a las siguientes preguntas:

a)Qu es la divisibilidad?

b)Qu entiende por criterios de divisibilidad?

c)Puede un nmero ser divisible por 10 y no por 5?, Por qu?

d)El producto de 6 x 30 x 5, es divisible por 4?, Por qu?

06.Completa una tabla y adems marca con una aspa los casilleros respectivos (la flecha se lee es divisible por)

2345678911

18

21

33

25

17

125

485

521

127

130

333

07.Conteste lo siguiente:

a)Cul es el menor nmero de tres dgitos que es divisible por 2; 3 y 5?

b)Cul es el menor dgito que debe escribirse a la derecha de 752 para que resulte un nmero divisible por 3; 4 y 11?

c)Cambia el orden de los dgitos del nmero 4370 a fin de que resulte un nmero divisible por 2; 4; 5 y 11.

d)Cul es el menor nmero que debe restarse de 4370 a fin que resulte un nmero divisible por 9?

e)Cul es el menor nmero que debe aumentarse a 2573 para que el resultado sea divisible por 8?

08.Considerando los nmeros siguientes: 116; 204; 380; 465; 720; 657; 1080; 453 y 2346. Indica lo siguiente:

a)Cules son divisibles por 2?

b)Cules son divisibles por 7?

c)Cules son divisibles por 11?

d)Cuntos son divisibles por 5?

e)Cuntos son divisibles por 8?

09.Desarrolle los siguientes planteamientos:

a)Determinar una pareja (a; b) si: es mltiplo de 72.

b)Determinar una pareja (a; b) si: es mltiplo de 12.

10.Cul es el residuo de dividir 260 entre 7?

a) 1b) 6c) 5

d) 2e) N.A

11.Cul es el residuo de dividir 250 entre 17 ?

a) 4b) 13c) 8

d) 15e) N.A

12.Cul es el residuo de dividir 370 entre 7?

a) 4b) 2c) 5

d) 1e) N.A

13.Cul es el resto que se obtiene al dividir:

2 3K+1 + 2 6K+4 + 23 entre 7?

14.Hallar el residuo que resulta de dividir 155 154 entre 8.

15.Cuntos numerales de dos cifras son mltiplos de 8 y terminan en 6?

16.Cuntos numerales de 4 cifras mltiplos de 7 terminan en 3?

17.Cuntos nmeros de 5 cifras son tales que son y terminan en la cifra tres .

a) 300b) 400c) 391

d) 541e) NA

18.Cuntos nmeros de cinco cifras terminan en la cifra 2?

a) 529b) 625c) 534

d) 300e) NA

19.Cuantos nmeros de 3 cifras mltiplos de 9 existen de tal manera que la cifra central sea igual a la suma de las laterales.

a)7b) 45c)8

d)9e) NA

20.Cual es el menor nmero de tres cifras, mltiplo de 7 que como resto la unidad al ser dividido por 3 u 11?

a) 130b) 133c) 150

d) 145e) NA

21.Se compran panetones y tortas a $ 4 y $ 7 respectivamente. Si el gasto fue de $ 123 en total. Determinar la suma del nmero de panetones ms el de tortas, si el producto de estos nmeros es lo mximo posible.

a) 10b) 35c) 24

d) 26e) NA

22.La suma: es siempre divisible por:

a) 1 y 9b) 1 y 11c) 2 y 8

d) 1 y 99e) N.A.

23.La diferencia: es siempre divisible por:

a) 1; 3 y 9b) 3; 9 y 11c) 9 y 11

d) slo 9e) N.A.

24.La diferencia: es siempre divisible por:

I) 2II) 3III) 1

IV) 9V) 11VI) 7

Son ciertas:

a) Slo I, II y IIIb) slo II, IV, y VIc) slo II, III y V

d) todas excepto I y VIe) Todas

25.El producto de 3 nmeros consecutivos es siempre mltiplo de:

a) 1; 2; 3 y 4b) 2; 3; 4; 5 y 6c) 1; 2; 3; y 6

d) 2 y 5e) 1; 3; 7 y 11

26.El nmero de la forma es siempre divisible por:

a) 1; 2; 3 y 4b) 1; 2; 3 y 5c) 1; 2; 3 y 6

d) 1; 2; 3; 4; 6e) N.A.

27.La suma de: siempre el divisible por:

a) 1 y 7b) 1 y 5c) 1 y 6

c) 1; 2 y 11e) N.A.

28.En una tienda hay artculos A, B, C, D y F cuyos precios son: 2; 3; 5; 7 y 11 nuevos soles respectivamente. Si tengo S/. 231 y no me debe sobrar nuevos soles. Qu artculos puedo comprar?

a) A, B y Cb) A, B y Dc) B, C y D

d) B, D y Ee) N.A.

29.Cuntos mltiplos de 13 hay entre 100 y 755?

a) 20b) 13c) 50

d) 51e) 60

30.Cuntos mltiplos de 19 hay entre 50 y 450?

a) 19b) 21c) 20

d) 32e) 33

ECUACIONES DIOFNTICAS

01.Un ratoncito sale de su hueco, hacia el hueco de su ratoncita, dando saltos de 11 cm, luego regresa dando saltos de 7 cm, pero habiendo recorrido 1,23 m ; se detiene a descansar. Cunto le falta para llegar a su punto de partida ?.

a) 0,58 mb) 0,53 mc) 0,63 m

d) 0,45e) N.A.02.Un comerciante vende el kilo de manzanas a 24 soles y el kilo de naranjas a 14 soles. Una persona compra algunos kilos de manzanas y naranjas teniendo como importe 366 soles. Calcular cuantas manzanas compr esta persona si es un nmero mximo.

a) 3 b) 9 c) 10 d) 17 e) 20

03.Un comerciante compr medias, camisetas y pantalones. Si cada par de medias cost 2 soles, cada camiseta 20 soles y cada pantaln 40 soles y adems compr un total de 100 artculos gastando para ello 400 soles. Cuntos pares de medias compr?

a) 45b) 60c) 70

d) 75e) 90

04.Jaimito va a una librera con S/. 19,68 y compra cierta cantidad de folletos; cada folleto de Fsica le cost S/.0,555 y los de Aritmtica S/. 0,345. Cuntos folletos de Aritmtica adquiri, si el total de folletos es el mayor posible?

a) 40b) 44c) 49

d) 55e) 63

05. scar comprando artculos en el mercado ha gastado S/. 8 156. Si ha pagado S/. 217 y S/. 125 por cada uno de los artculos diferentes que ha llevado, hallar cuntos artculos ha comprado.

a) 27b) 38c) 45

d) 52e) 64

06. Raquel dispone de S/. 604, para adquirir artculos de diferentes cualidades, cuyos precios por unidad son S/. 13 y S/. 17. Hallar cuntos artculos ha comprado si estos tienen la misma preferencia.

a) 40b) 46c) 38

d) 42e) 36

PROBLEMAS DE APLICACIN

07. En un barco donde iban 100 personas ocurre un naufragio. De los sobrevivientes: la onceava parte son nios y la quinta parte de los muertos eran casados. Cuntos murieron?

a) 60b) 50c) 45

d) 30e)N.A.

08.Un depsito de licores recibi 6 barriles de vino, cuyos contenidos eran: 15, 16, 18, 19 y 31 litros; luego se presentaron dos clientes: uno compra dos barriles y el otro dos, con la particularidad de que el segundo compr la mitad de litros que compr el primero. Si no hubo que destapar ningn barril a l momento de venderlos. Cul era la capacidad del barril que no se vendi?

a) 15b) 16c) 18

d) 19e) 20

09.En un viaje de excursin donde viajaban 100 alumnos ocurri un accidente y se sabe que los 2/7 de los sobrevivientes son Asmticos y los 5/9 de los sobrevivientes son Alrgicos. Cuntas personas murieron?

a) 42b) 37c)58

d)21e)32

10. Camilo tiene 83 amigos, los 3/4 del total de mujeres fuman y los 2/9 del total de hombres son Aliancistas. Cuntas amigas tiene Camilo?

a) 65b) 56c) 63

d) 39e) 52

11. En una academia hay 510 alumnos y en una encuesta se determina que de los hombres los 5/12 postulan a la UNS, los 2/5 postulan a la UPSP y los 4/9 a la ULADECH. Si el nmero de mujeres est comprendido entre 100 y 200. Hallar el nmero de alumnos que postulan a la UNS.

a)180b) 140c) 150

d) 90e) N.A.

12.El nmero de alumnos que se encuentran en un aula es menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 de total usan anteojos y los 5/13 usan reloj. Cul es la diferencia de los alumnos que usan reloj y Anteojos?

a) 6b) 9c) 15

d) 18e) N.A.

BINOMIO DE NEWTON

13.Hallar el mayor valor posible de (a + b), sabiendo que y adems:

a) 18 b) 15c) 13

d) 11e) 14

14.Hallar el residuo en 436543 ( 8

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

15.Donde 62403 ( 15 dar como respuesta el residuo

a) 6b) 7c) 5

d) 8e) 9

16.Hallar el residuo que deja la siguiente divisin 167667 ( 11

a) 6b) 7c) 5

d) 3e) 2

17.Hallar el residuo de la siguiente divisin 3828 ( 7

a) 4b) 2c) 3

d) 1e) 5

18.Cul es el residuo de dividir entre 11

a) 2b) 1c) 8

d) 7e) 3

19.Halla el residuo de dividir E ( 11 si: E = 32n + 2 + 26n + 1 + 3

a) 2b) 3c) 1

d) 4e) 5

20.Calcula el resto de dividir 6500 ( 13

a) 8b) 2c) 4

d) 3e) 5

21.Cual es el residuo de dividir:

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) 6

01.Sabiendo que: ; ;

Hallar el valor de: a + b + c

a) 5b) 9c) 11

d) 8e) 10

02.Si a ( b y

Cuntos nmeros cumplen la igualdad?

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

03.Si ; ; . Hallar: C

a) 8b) 6c) 4

d) 2e) 0

04.Si, donde a < b. Hallar a + b

a) 4 b) 5c) 6

d) 7e) 8

05.Si . Calcule El residuo al dividir:

Entre 9.

a) 0b) 2c) 4

d) 6e) 5

06.Calcule el residuo al dividir entre 3.

a) 2b) 0c) 1

d) 3e) 4

07.Si . Halle b + a

a) 6b) 10c) 7

d) 8e) 11

08.Si es mltiplo de 9, calcule el residuo de dividir entre 9.

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) 6

09.El triple de la edad de Juan es mltiplo de 5, y el doble de dicha edad es mltiplo de 14. Halle dicha edad si es menor que 50.

a) 25b) 28c) 30

d) 35e) 45

10.Si ; ; . Halle el mayor valor de a + b + c.

a) 10b) 11c) 12

d) 15e) 18

11.Al dividir un nmero entre 56 el residuo el residuo es 37. Cul es el residuo al dividir dicho nmero entre 14?

a) 10b) 12c) 8

d) 9e) 2

12.En un saln de clases donde hay 61 alumnos, se observa que:

La sptima parte de los hombres usan reloj

La dcima parte de las mujeres usan lentes Cuntas mujeres no usan lentes?

a) 12b) 20c) 40

d) 36e) 30

13.Calcule el residuo al dividir:

E = 11 + 13 + 21 + 23 + 31 + 33 + + 111 + 113

Entre 5

a) 0b) 1c) 2

d) 3e) 4

14.Calcule la suma de los valores enteros y positivos de x menores que 40, si .

a) 117b) 81c) 127

d) 116e) N.A.

15.Sabiendo que . Hallar: a

a) 0b) 1c) 2

d) 3e) 4

16.Sabiendo que . Hallar:

a) 9b) 8c) 7

d) 6e) N.A

17.Cul es el resto de dividir entre 7?

a) 0b) 2c) 3

d) 4e) 5

18.Calcular si:

a) 1b) 5c) 6

d) 7e) 9

19.Cuntos de los nmeros de 1 al 180 son mltiplos de 3 y 4 pero no de 7?

a) 12b) 11c) 10

d) 9e) N.A.

20.Hallar a sabiendo que es divisible entre 7

a) 1b) 6 c) 8

d) 4 e) 5

21.Hallar: a + b + c, si:

a) 14 b) 16c) 17

d) 18 e) Ms de 19

22.Hallar (x + y), donde el numeral es mltiplo de 77

a) 14 b) 12c) 10

d) 11e) 13

23.Si . Dar como respuesta expresado en base decimal

a) 22b) 21c) 18

d) 12e) 10

24.El nmero de alumnos que se encuentra en un aula es menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de la especialidad de ciencias. Cul es la suma de los alumnos de la especialidad de ciencias con los alumnos que usan anteojos?

a) 130b) 125c) 122

d) 182e) 105

25.En un corral hay cierto nmero de gallinas que no pasan de 368 ni bajan de 354. Si las gallinas se acomodan en grupos de 2; 3; 4 5 siempre sobra 1; pero si se acomodan en grupos de 7, sobran 4. Cuntas gallinas hay en el corral si se aaden 6 ms?

a) 361b) 363c) 365

d) 367e) 369

26.A un congreso de informtica asistieron personalidades Europeas y Americanas; entre los Europeos los 2/7 son mdicos, los 5/14 son ingenieros y los 8/15 son abogados. Cuntos americanos se presentaron si en total asistieron 348 personalidades?

a) 210b) 140c) 310

c) 128d) 138

Gaussiano = 6

g = 5

EMBED AutoCAD.Drawing.15

g = 4

EJERCICIOS RESUELTOS

PRCTICA DE CLASE

g = 4

g = 4

g = 4

TAREA DOMICILIARIA

EJERCICIOS PROPUESTOS

72

63

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