Divergencia y rotacional

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  • 1. LA DERIVADA DIRECCIONALYa sabemos como determinar las pendientes en las direcciones x e y que vienendadas respectivamente por las derivadas parciales fx (x, y) y fy (x, y). En estaseccin veremos que estas dos pendientes sirven para calcular la pendiente encualquier direccin.Para calcular la pendiente en un punto de una superficie, definimos un nuevotipo de derivada, la derivada direccional. Sea z = f (x, y) una superficie y P (x0,y0) un punto en el dominio de f. la direccin de la derivada direccional la da unvector unitario: jseniu += cos

2. DEFINICIN DE LA DERIVADA DIRECCIONALClculo de la derivada direccionalEJEMPLO 1: Calcular la derivada direccional de : 3. EJEMPLO 2: Calcular la derivada direccional de : 4. EL GRADIENTE DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLESEl gradiente de una funcin de dos variables es una funcin vectorial de dosvariables. Tiene mltiples aplicaciones (como la divergencia y el rotacional), lascuales describiremos ms adelante. (ver figura 12.45)NOTA: No se asigna valor alguno al smbolo en s mismo . Es unoperador, en el mismo sentido que lo es d/ dx: Cuando opera sobre f(x, y) produce el vector f (x, y) 5. EJEMPLO 3: Calcular el gradiente de:CLCULO DEL GRADIENTE DE UNA FUNCIN)2,1(ln),( 2puntoelenxyxyyxf += 6. Clculo de la derivada direccional usando el gradiente ),( yxfEJEMPLO 4: Calcular la derivada direccional de : 7. EJEMPLO DE APLICACIN.Un termocople utilizado para medir la temperatura seencuentra flotando en un lquido cuyos campos develocidad y temperatura estn dados por:T = x2+ yz + 3t oCV = 3xi + (2y + 6t2y)j + 5kEncuentre la razn de cambio de la temperaturacuando se est en la posicin:5i + 2j + k en t =1 seg