LA DERIVADA DIRECCIONAL

Ya sabemos como determinar las pendientes en las direcciones x e y que vienen dadas respectivamente por las derivadas parciales fx (x, y) y fy (x, y). En esta sección veremos que estas dos pendientes sirven para calcular la pendiente en cualquier dirección.

Para calcular la pendiente en un punto de una superficie, definimos un nuevo tipo de derivada, la derivada direccional. Sea z = f (x, y) una superficie y P (x0, y0) un punto en el dominio de f. la dirección de la derivada direccional la da un vector unitario: jseniu cos

DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DIRECCIONAL

Cálculo de la derivada direccional

EJEMPLO 1: Calcular la derivada direccional de :

EJEMPLO 2: Calcular la derivada direccional de :

EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables. Tiene múltiples aplicaciones (como la divergencia y el rotacional), las cuales describiremos más adelante. (ver figura 12.45)

NOTA: No se asigna valor alguno al símbolo en sí mismo . Es un operador, en el mismo sentido que lo es d/ dx: Cuando opera sobre f (x, y) produce el vector f (x, y)

EJEMPLO 3: Calcular el gradiente de:

CÁLCULO DEL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN)2,1(ln),( 2 puntoelenxyxyyxf

Cálculo de la derivada direccional usando el gradiente ),( yxfEJEMPLO 4: Calcular la derivada direccional de :

EJEMPLO DE APLICACIÓN.Un termocople utilizado para medir la temperatura se encuentra flotando en un líquido cuyos campos de velocidad y temperatura están dados por:

T = x2 + yz + 3t o C

V = 3xi + (2y + 6t2y)j + 5k

Encuentre la razón de cambio de la temperatura cuando se está en la posición:

5i + 2j + k en t =1 seg