DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA · Determinar si las siguientes variables aleatorias son...
Transcript of DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA · Determinar si las siguientes variables aleatorias son...
4.1 - 1Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
Probabilidad
4.1 - 2Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Combinando métodos descriptivos y
probabilidadesEn este capítulo vamos a construir distribuciones de probabilidad mediante la
presentación de los resultados posibles, junto con las frecuencias relativas que
esperamos.
4.1 - 3Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
• Una variable aleatoria (v.a.) es un
número real asociado al resultado de un
experimento aleatorio
6-3
Variables aleatorias
• Su valor se determina al azar.
• Variables aleatorias de denotan
como X.
Supongamos un experimento aleatorio consiste en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento los siguientes serían variables aleatorias:
1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde X puede tomar valores x= 2, 3, 4,...,12.
2. Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y puede tomar los valores y = 0, 1, 2.
3. Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede tomar los valores z=0,1,2.
6-4© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
EJEMPLO Variables aleatorias
Una variable aleatoria discreta tiene una cantidadfinita de valores.
Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.
Los valores de una variable aleatoria discreta se pueden representar en una recta numérica como puntos separados por un espacio.
6-5
Variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria continua tiene un número infinito de valores.
Puede tomar todos los valores de un intervalo.
Suelen estar asociadas al resultado de tomar una medida.
Los valores de una variable aleatoria continua se pueden representar en una recta numérica de una manera ininterrumpida.
6-6
Variables aleatorias continuas
Determinar si las siguientes variables aleatorias son discretas o continuas. Nombrar los posibles valores para la variable aleatoria.
a) El número de bombillas que se funden durante el próximo año en una habitación que tiene 10 bombillas de luz.
b) El número de preguntas en una clase de una hora .
c) El tiempo transcurrido entre llamadas al 911.
d) cantidad de agua consumida en un mes
EJEMPLO Distinguir entre variables aleatorias discretas y
contínuas
6-7© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Variable aleatoria:
Y = nº de caras al lanzar tres veces una moneda
Posibles valores de Y: 0, 1, 2 , 3
Si se lanza una moneda 3 veces los posibles resultados son: E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}
La variable aleatoria Y:- Toma valor 0 cuando ocurre el suceso XXX- Toma valor 1 cuando ocurre XXC,XCX ó CXX - Toma valor 2 cuando ocurre CCX,CXC ó XCC- Toma valor 3 cuando ocurre CCC
6-8
Variables aleatorias - ejemplo
Una distribución de probabilidad proporciona los valores posibles de la variable aleatoria X y sus correspondientes probabilidades.
Una distribución de probabilidad se puede dar en forma de una tabla, como gráfica o fórmula matemática.
6-9© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Distribuciones de probabilidad
Requisitos para unadistribución de probabilidad
P(x) = 1donde x asume todos los valores posibles.
0 P(x) 1 para cada valor individual de x.
La tabla a la derecha
muestra la distribución de
probabilidad de la variable
aleatoria X, donde X
representa el número de
DVDs que una persona
alquila de una tienda de
videos en una sola visita.
x P(x)
0 0.06
1 0.58
2 0.22
3 0.10
4 0.03
5 0.01
EJEMPLO Una distribución de probabilidad discreta
6-11© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
6-12© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Media de una variable aleatoria discreta
La media de una variable aleatoria discretaestá dado por la siguiente fórmula
𝜇𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥
donde x es el valor de la variable aleatoria y P(x) es la probabilidad de observar el valor x.
Calcular la media de la distribución de probabilidad a la derecha, que representa el número de películas que una persona alquila en una tienda de vídeo durante una sola visita.
EJEMPLO Calcular la media de una variable discreta aleatoria
x P(x)
0 0.06
1 0.58
2 0.22
3 0.10
4 0.03
5 0.01
( )X x P x
0(0.06) 1(0.58) 2(0.22) 3(0.10) 4(0.03) 5(0.01)
1.49
6-13© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Sección 6.2 La distribución de probabilidad binomial
6-14© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Criterios para un experimento con una distribución de probabilidad binomial
Un experimento se dice que es un experimento binomial si
1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.
Cada repetición del experimento se llama un ensayo.
2. Los ensayos son independientes.
Esto significa que el resultado de un ensayo no afectará a los resultados de los otros ensayos.
3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes (o disjuntos), el éxito o el fracaso.
4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del experimento.
6-15© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
(a) Un jugador tira un dado justo 10 veces. X es el número de veces que sale el 4.
EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no
6-16© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Solución:
EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no
6-17© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Solución:
(b) En una clase de 30 estudiantes, 55% son mujeres. El instructor selecciona al azar 4 estudiantes. Se registra el número de mujeres, X, que fueron seleccionadas.
(c) Tomando en cuenta las 11 líneas aéreas más grandes en Estados Unidos, se determina que existe una probabilidad de 84.7% de que un vuelo salga a tiempo. Para determinar lasrazones para atrasos, un oficial de la FAA elige vuelosaleatoriamente hasta que encuentra 10 vuelos que NO estuvierona tiempo. X representa el número total de vuelos que tuvo queseleccionar.
EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no
6-18
Solución:
6-19© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
La distribución de probabilidad binomial
La probabilidad de obtener x número de éxitos
para la variable aleatoria en n ensayos
independientes para un experimento de
probabilidad binomial es
𝑃 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
𝑃 𝑥 =𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
donde x=0, 1, 2, …, n y p es la probabilidad de
éxito.
De acuerdo con el
Informe al Consumidor
de Air Travel, sus
aviones más grandes
lograron un 79.0% de
vuelos a tiempo en Mayo
de 2008. Suponer que
se seleccionan 4 vuelos
al azar en mayo del 2008
y X es el número de
vuelos que estuvieron a
tiempo. Construya una
distribución de
probabilidad para la
variable aleatoria X
usando un diagrama de
árbol.
EJEMPLO Construir una distribución de probabilidad binomial
EEEE
EEEF
EEFE
EEFF
EFEE
EFEF
EFFE
EFFF
FEEE
FEEF
FEFE
FEFF
FFEE
FFEF
FFFE
FFFF
1ER
ENSAYO
2ND
ENSAYO
3ER
ENSAYO
4TO
ENSAYORESULTADO No. de éxitos
4
3
3
2
3
2
2
1
3
2
2
1
2
1
1
0
E- estuvo a tiempo F- No estuvo a tiempo
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.21
0.21
0.79
0.79
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
EJEMPLO Construir una distribución de probabilidad binomial
x P(x)
0
1
2
3
4
EEEE
EEEF
EEFE
EEFF
EFEE
EFEF
EFFE
EFFF
FEEE
FEEF
FEFE
FEFF
FFEE
FFEF
FFFE
FFFF
1ER
ENSAYO
2ND
ENSAYO
3ER
ENSAYO
4TO
ENSAYORESULTADO No. de éxitos
4
3
3
2
3
2
2
1
3
2
2
1
2
1
1
0
E- estuvo a tiempo F- No estuvo a tiempo
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.21
0.21
0.79
0.79
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
0.79
0.21
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al
menos 3 automóviles.
(a)En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál
es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3
autos?
6-22
𝑃 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al
menos 3 automóviles.
(a)En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál
es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3
autos?
6-23
Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 8 y p = 0.15.
EJEMPLO: Construir un histograma de un modelo de probabilidad binomial
6-24
X P(X)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación)
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o
más automóviles.
(b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál es
la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches? ?
6-25