UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE CIENCIAS Y SISTEMASDEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

PROBLEMAS DE ESTADISTICA

TEMA: DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS DE PROBABILIDAD.

1. Un agricultor que siembra sus frutas afirma que 2/3 de su cosecha de duraznos ha sido contaminada por la mosca del mediterráneo. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 4 duraznos: a) los 4 estén contaminados por la mosca del mediterráneo, b) cualquier cantidad entre 1 y 3 esté contaminada.

2. Un examen de opción múltiple está compuesto por 15 peguntas con cinco respuestas posibles cada una, de las cuales solamente una es correcta. Suponga que uno de los estudiantes contesta las preguntas al azar, cual es la probabilidad de que: a) conteste correctamente al menos 10 preguntas, b) conteste correctamente menos de 12 pero más de 5, c) no conteste 8 preguntas correctamente, d) si para aprobar la prueba debe contestar 9 preguntas o más, cual es l probabilidad que apruebe el examen?

3. Se tiene un lote grande de fusibles con el 10% de piezas defectuosas. Supóngase que se extrajeron cuatro fusibles y antes de enviarlos a un cliente se dio una garantía. Supóngase también que el costo de hacer efectiva l garantía es C = X2, donde X es el número de piezas defectuosas en el envío de cuatro. Calcular el costo esperado por reparación.

4. La llegada de un torniquete de una tienda de departamentos es en en promedio 8 por hora, calcular la probabilidad de que: ) lleguen exactamente 8 en una hora determinada, b) no lleguen más de 3 clientes en una hora, c) lleguen por lo menos dos en una hora, d) lleguen exactamente dos clientes en el período de 9 a 11 am, d) si toma 10 minutos atender a cada cliente, encontrar la media y la varianza del tiempo total de servicio en relación a la llegada de clientes en una hora.

5. La probabilidad de que una persona muera por una infección respiratoria es 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran: a) menos de 5 de las próximas 2000 personas afectadas, b) más de 3 de las próximas 1500 personas afectadas, c) entre 7 y 15 inclusive de las próximas 6000 personas afectadas.

6. Si la tercera parte de las personas que donan sangre a una clínica son del grupo O, calcular la probabilidad de que: a) el primer donador O sea el cuarto donador del día, b) el segundo donador O sea el cuarto donador del dia.

7. La probabilidad de que un cliente acuda al mostrador de una tienda de abarrotes en cualquier periodo de un segundo, es igual a 0.1. Supóngase que los clientes llegan de

manera aleatoria y que por lo tanto las llegadas en cada intervalo de un segundo son independientes. Encontrar la probabilidad de que : a) la primera llegada ocurra durante el tercer intervalo de un segundo, b) la primera llegada no ocurra hasta al menos el tercer intervalo de un segundo.

8. Se construye un sistema electrónico complejo con determinado número de componentes de respaldo en sus subsistemas. Un subsistema tiene cuatro componentes idénticos y cada uno tiene probabilidad de 0.8 de fallar en menos de 1000 horas. El subsistema trabaja si dos o más cualquieras de los cuatro componentes trabajan. Si se supone que los componentes trabajan en forma independiente, calcular la probabilidad de que: a) exactamente dos de los cuatro componentes trabajen más de 1000 horas, b) el subsistema trabaje más de 1000 horas.

9. Una empresa vende artículos seleccionados al azar entre un lote grande del cual se sabe que contiene el 10% de piezas defectuosas. Sea X el número de piezas defectuosas de entre las cuatro que se vendieron. El comprador del articulo regresa las piezas defectuosas para su debida reparación y el costo de reparación es C = 3X2+X -2. Calcular el costo de reparación esperado.

10. Un electrodoméstico se vende en dos colores, blanco y café y tienen igual demanda. Un vendedor de electrodomésticos tiene tres de cada color en existencia, aunque esto no lo saben los clientes. Dichos clientes llegan y piden de forma independiente estos electrodomésticos. Calcular la probabilidad de que: a) el quinto cliente pida el tercer blanco, b) el quinto cliente se lleva el tercer café, c) se pidan todos los blancos antes del primero de los cafés, d) se pidan todos los blancos antes que se agoten los cafés.

11. La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad posea un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de que: a) la cuarta persona entrevistada aleatoriamente sea la primera en poseer un perro, b) la décima persona entrevistada en esa ciudad sea la quinta en poseer un perro.

12. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es 0.7. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen en: a) el tercer intento, b) antes del cuarto intento.

13. Una urna contiene 10 canicas de las cuales cinco son verdes, dos azules y tres rojas. Se sacan tres canicas de la urna sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres canicas sean verdes?

14. La probabilidad de trillizos en nacimientos humanos es aproximadamente 0.001. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente un conjunto de trillizos entre 700 nacimientos en un hospital?

15. En un almacén se tienen 10 impresoras de las cuales 3 son defectuosas. Una compañía selecciona cinco máquinas al azar suponiendo que todas funcionan bien. ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco máquinas no sean defectuosas?

16. Las llamadas de servicio entran a un centro de mantenimiento de acuerdo a una distribución de Poisson con un promedio de 2.5 llamadas por minuto. Encuentre la probabilidad de que: a) no más de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera, b) menos de dos llamadas entren en un minuto cualquiera, c) más de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos.

17. Según las estadísticas nacionales, 185 personas murieron en 12,438 incendios. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de muertos : a) exceda de 8 si en una región ocurrieron 200 incendios, b) sea de 5 sien una región ocurrieron 350 incendios, c) mas de 2 pero menos de 8 si en una región ocurrieron 400 incendios

18. Al estudiar ofertas bajas de contratos de envío, una empresa fabricante de microcomputadoras ve que los contratos intraestatales tienen ofertas bajas que se distribuyen uniformemente entre 20 y 25, en unidades de miles de dólares. Calcular la probabilidad de que la oferta baja del siguiente contrato intraestatal sea : a) menor que $22,00, b) mayor que $24,000, c) calcular el costo promedio de las ofertas bajas en contratos de este tipo.

19. En pruebas de las distancias de frenado de automóviles, los vehículos que viajan a 300 milas/hora, al ser aplicados los frenos, tienden a recorrer distancias que parecen estar distribuidas uniformemente entre dos puntos A y B. Calcular la probabilidad de que uno de esos automóviles: a) se detenga más cerca de A que de B, b) se detenga de tal modo que la distancia al punto A sea mayor que tres veces la distancia al punto B.

20. La duración del ciclo de camiones mezcladores y transportadores de concreto que van a la construcción de una carretera se distribuye uniformemente en el intervalo de 50 a 70 minutos. A) Calcular el valor esperado y la varianza de dicha duración, b) Cuantos camiones mezcladores se puede esperar para poder programar para esta tarea de tal manera que se pueda descargar en el sitio una carga de concreto cada quince minutos?

21. Los tiempos de servicio en una ventanilla de cajero de banco siguen una distribución exponencial con promedio 3.2 minutos. Un cliente llega a la ventanilla a las 4:00 pm, a) Encontrar la probabilidad de que todavía esté allí a las 4:02 pm, b) calcular la probabilidad de que esté allí a las 4:04 pm dado que estaba allí a las 4:02 pm.

22. Un operador de estación de bombeo observa que la demanda de agua en determinada hora del día se puede registrar mediante una distribución exponencial cuyo promedio es 100 pies cúbicos por segundo, a) Cual es la probabilidad de que la demanda sea mayor que 200 pies en una día seleccionado al azar?, b) Cual es la capacidad máxima de suministro de agua que debería conservar en circulación la estación a esa hora para

que la demanda sea mayor que la capacidad de suministro con una probabilidad de tan solo 0.01?

23. Las duraciones de neumáticos para automóvil de una marca determinada, bajo condiciones promedio de manejo, siguen una distribución exponencial cuyo promedio es 30 (en miles de millas). Calcular la probabilidad de que una de esas llantas compradas hoy dure: a) más de 30,000 millas b) más de 30,000 millas dado que ya ha durado más de 15,000 millas

24. El tiempo semanal de paro Y (en horas) de una máquina industrial tiene aproximadamente una distribución Gamma con parámetros α= 3 y β = 2. La pérdida en dólares de la operación es L = 30Y + 2Y2, a) Hallar el valor esperado y la varianza de L, b) un intervalo que contenga a L en un 89% aproximado de las semanas en las que se usa la máquina.

25. Si los servicios de cajero de ventanilla de un banco se distribuyen en forma exponencial con un promedio de 3.2 minutos, determinar la distribución de probabilidad, el promedio y la varianza del tiempo que se necesita para atender a tres clientes que esperan.

26. En una ciudad cualquiera el consumo diario de agua ( en millones de litros) sigue aproximadamente una distribución gamma con α= 2 y β = 3. Si la capacidad diaria para esta ciudad es de 9 millones de litros de agua, a) Cual es la probabilidad de que en un determinado día el suministro de agua sea inadecuado, b) encontrar la media y la varianza del consumo diario de agua. De acuerdo al teorema de Chebyshev, existe una probabilidad de que al menos ¾ de que el consumo de agua en un día cualquiera, caiga dentro de que intervalo?

27. Suponga que el tiempo, en horas, que toma reparar una bomba es una variable aleatoria X que tiene distribución gamma con parámetros α= 2 y β = 1/2. Cuál es la probabilidad que en el siguiente servicio: a) tome cuando mucho 1 hora para reparar la bomba, b)al menos se requieran dos horas para reparar la bomba.

28. Dentro de un turno de ocho horas, la proporción del tiempo que una troqueladora de lámina está parada por mantenimiento o reparaciones tiene una distribución beta con parámetros α= 1y β = 2. El costo (en cientos de córdobas) de este tiempo inactivo, debido a la producción perdida y al costo de mantenimiento y reparación está dado por C = 10 + 20X + 4X2, a) Estimar el promedio y la varianza de C, b) Determinar un intervalo en el que quede el valor medio de C con una probabilidad mínima de 0.75.

29. Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de refrescos está normalmente distribuida con una desviación estándar de 15 ml. A) Qué fracción de refrescos contendrá más de 224 ml?, b) Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 ml?, c) Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 ml en los próximos

1000 refresco? D) Debajo de que valor se obtiene el 25% más pequeños de los refrescos?

30. Supóngase que el voltaje medio en cierto circuito tiene una distribución norma con media 120 y desviación típica 2. Si se toman 3 medidas independientes del voltaje, cual es la probabilidad de que las tres medidas estén entre 116 y 118?

31. Si se selecciona una muestra aleatoria de 25 observaciones de una distribución normal con media y desviación típica 2, cual es la probabilidad de que la media muestral diste de menos de una unidad?

32. Supóngase que el diámetro de los pernos de una caja grande siguen una distribución normal con media 2 cm y desviación típica 0.03 cm. Además supóngase que los diámetros de los agujeros de las tuercas de otra caja grande siguen una distribución normal con una media de 2.02 cm y una desviación típica de 0.04 cm. Un perno y una tuerca ajustarán si el diámetro del agujero de la tuerca es mayor que el diámetro del perno y la diferencia entre estos dos diámetros no es mayor que 0.05 cm. Si se seleccionan al azar un perno y una tuerca, cual es la probabilidad de que ajusten?

33. Supóngase que en cierto examen de Matemáticas Avanzadas, los estudiantes de la Universidad A alcanzan calificaciones que se distribuyen normalmente con una media de 625 y una varianza de 100 y que los estudiantes de una Universidad B alcanzan calificaciones que se distribuyen normalmente con una media de 600 y una varianza de 150. Si dos estudiantes de la Universidad A y tres de la Universidad B hacen este examen, cual es la probabilidad de que el promedio de las calificaciones de los dos estudiantes de la Universidad A sea mayor que el promedio de las calificaciones de los tres estudiantes de la Universidad B?

34. Supóngase que el 75% de las personas de cierta área metropolitana viven en la ciudad y el 25% en los suburbios. Si las 1200 personas que asisten a un concierto representan una muestra aleatoria del área metropolitana, cuál es la probabilidad de que el número de personas que viven en los suburbios y que asisten al concierto sea menor que 270?

35. Supóngase que las personas que asisten a una fiesta sirven bebidas de una botella que contiene 63 onzas de un cierto líquido. Supóngase además que el tamaño esperado de cada bebida es 2 onzas y la desviación típica es 0.5 onzas y que todas las bebidas se sirven independientemente. Determine la probabilidad de que la botella no esté vacía después de haber servido 36 bebidas.

36. Un guardabosque que estudia los efectos de fertilización en ciertos bosques de pino, se interesa en estimar el área promedio de la base de los pinos. Al estudiar las áreas de la base de árboles similares durante muchos años, descubrió que estas mediciones (en pulgadas cuadradas) tienen una distribución normal con una desviación estándar de aproximadamente 4 pulgadas cuadradas. Si el guardabosques selecciona una

muestra de 9 árboles, encuentre la probabilidad de que la media muestral se desvíe a lo más en 2 pulgadas cuadradas de la media de la población.

37. Un determinado tipo de resistor se vende bajo la especificación de que la varianza de las resistencias es alrededor de 50 ohms. Se va a probar una muestra de quince de dichos resistores, midiendo sus resistencias. Calcular la probabilidad de que la varianza S2 de la muestra: a) sea mayor que 80, b) sea menor que 20, c) determinar un intervalo el que deban quedar al menos 75% de esas varianzas en la muestra, d) ¿Qué hipótesis son necesarias para que las respuestas anteriores sean validas?

38. Si S12 y S2

2 representan las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaños n1 = 25 y n2 = 31, que se toman de dos poblaciones normales con varianzas σ1

2

= 10 y σ22 = 15 respectivamente, calcular P(

S12

S22>1.26).

39. Un antropólogo quiere estimar la estatura promedio de los hombres de cierta raza. Si se supone que la desviación estándar de la población es 2.5 pulgadas y se seleccionan al azar 100 hombres, encuentre la probabilidad de que la diferencia entre la media de la muestra y la media verdadera de la población no exceda de 0.5 pulgadas. Suponga ahora que el antropólogo quiere ahora que la diferencia entre la media de la muestra y la media de la población sea menor de 0.4 pulgadas con una probabilidad de 0.95. ¿Cuántos hombres tendría que seleccionar para alcanzar su objetivo?

40. Una compañía manufacturera asegura que las baterías utilizadas en sus juegos electrónicos duran un promedio de 30 horas. Para conservar este promedio, se prueban 16 baterías mensualmente. Si el valor calcular de T cae entre –t0.025 y t0.025, la compañía está satisfecha con su afirmación. ¿Qué conclusión sacaría la empresa de una muestra que tiene una media de 27.5 horas y una desviación estándar de 5 horas? Suponga que la distribución de las duraciones de las baterías es aproximadamente normal.

ELABORADO POR: MSC. ROGER GARCIA GUEVARA1 DE JULIO DE 2011