Población: Colección bien definida de objetos de interés en un estudio estadístico.

DISTRIBUCIONES

DE PROBABILIDAD

RESUMEN

M.C. Ma. Alejandra Contreras

Muestra: Subconjunto de elementos que se toman de la población.

Experimento: ε - Cualquier acción o proceso, cuyo resultado no puede predecirse con certeza

Espacio muestral: - Conjunto de resultados posibles de un experimento.

Evento: Ei - colección o subconjunto de resultados contenidos en el espacio muestral.

Variable: x i -Cualquier característica cuyo valor puede cambiar de un objeto a otro en la población o muestra.

V. aleatoria: X ( s) Regla que relaciona un número con cada resultado en el espacio muestral

V. aleatoria discreta: Es una variable cuyos valores posibles se pueden listar en una secuencia finita.

V. Aleatoria continua: Variable cuyo subconjunto de valores posibles consisten en un intervalo.

Ejemplos

Variables aleatorias discretas:Experimento Variable aleatoria (x ¿ Valores posibles de la

variableLlamar a un cliente Número de clientes que

hacen un pedido0, 1, 2, 3, 4, 5

Inspeccionar un envío de 50 piezas

# de piezas defectuosas 0, 1, 2, 3,…50

Hacerse cargo de un local de renta de pc

Número de clientes 0, 1, 2, 3, 4,……

Vender un servicio de telefonía

Sexo del cliente 0 si es hombre, 1 si es mujer

Variables aleatorias continuas:Experimento Variable aleatoria (x ¿ Valores posibles de la

variableObservar las operaciones Tiempo en minutos entre x≥0

en un banco la llegada de los clientesLlenar una botella de agua( máx. 600ml)

Cantidad de ml0≤ x≤600

Realizar un proyecto de probabilidad

Porcentaje del proyecto terminado en 3 semanas

0≤ x≤100

Probar un nuevo proceso químico

Temperatura a la que tiene lugar la reacción deseada (min. 150F, máx. 212F)

150≤x ≤212

Distribución de Probabilidad: Distribución teórica de frecuencias que describe cómo se repera que varíen los resultados de un experimento.

Pueden ser representadas por una:

Función matemática Gráfica Tabla de valores

Discretas

∑1

n

P (x i )=1

Continuas

∫−∞

∞

P (x i )dx=1

E0 E1 ... En

X x0 x1 ... xn

P(X) p¿ p¿ p¿

Valor esperado (Esperanza matemática): E [ X ] -Media de una variable aleatoria, medida de localización central de la variable aleatoria.

E [ X ]=μ=∑ x ∙ p(x )

Varianza: Var (x ) - Resumen de la variabilidad de los valores de la variable aleatoria

V (X )=σ2=∑ (x−μ )2 ∙ p (x )=E [ (X−μ )2 ]

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

UNIFORME DISCRETAf ( x , k )=1

k

E [ X ]=μ=∑i=1

k

x i

k

σ 2=∑i=1

k

(x i−μ)2

k

La variable aleatoria X asume valores x1 , x2 ,… xk con iguales probabilidades

Ejemplo:

Distribución de probabilidad de un dado

δ= {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } μ=1+2+3+4+5+6

6

P ( x=1 ,2 ,… )=16

σ2=(1−3.5)2+(2−3.5)2+(3−3.5)2+…+(6−3.5)2+ ¿

6=2.91¿

BINOMIAL

b ( x ;n , p )=(nx ) px (1−p )n−x

p=probabilidad deéxit ox=número deéxitos deseadosn=númerode ensayos efectuados

Características esenciales:1. El espacio muestral contiene n ensayos

idénticos2. Cada ensayo produce uno de los mismos dos

resultados posibles (ensayos dicotómicos), que se denotan mediante éxito (p) o fracaso (1-p)

3. Los ensayos son independientes , así que el resultado de cualquier ensayo particular no influye en el resultado de ningún otro.

4. La probabilidad de éxito es constante de un

P (X ≤x )=B ( x ; n , p )=∑y=0

x

b ( y ;n , p¿ )

E (X )=μ=np

V (X )=np (1−p )=npq

donde q=1−p

σ x=√npq

ensayo a otro.

Ejemplo:

A cada una de seis personas elegidas al azar que toman refresco de cola, se les da un vaso que contiene cola (E) y uno que contiene cola (F). Los vasos tienen la misma apariencia excepto por un código en el fondo para identificar el refresco de cola. Supóngase que en realidad no hay tendencia entre los bebedores de cola a preferir entre una bebida u otra. Entonces, p=P (un individuo elegido prefiere E )=0.5 , X=¿entre los seisque prefieren E

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 personas de las 6 elegidas al azar , prefieran E?

P (X=3 )=b (3 ;6,0.5 )=(63) (0.5 )3 (0.5 )3=0.313

b) La probabilidad de que por lo menos tres prefieran E es:

P (3≤X )=∑x=3

6

b (x ;6,0.5 )=(63) (0.5 )3 (0.5 )3+(64) (0.5 )4 (0.5 )2+(65) (0.5 )5 (0.5 )1+(66) (0.5 )6 (0.5 )0=0.656

c) La probabilidad de que a lo sumo uno prefiera refresco de cola

P (X ≤1 )=∑x=0

1

b ( x ;6,0.5 )=(60) (0.5 )0 (0.5 )6+(61) (0.5 )1 (0.5 )5=0.109

MULTINOMIAL

P (n ; x1, x2 ,…, xk )= n !x1! x2!…xk !

p1x1 p2

x2… pkxn

E (X )=μ=n x i

Características esenciales: Ocurre cuando en el experimento binomial cada intento tiene más de dos resultados posibles.Distribución de probabilidad conjunta para múltiples variables aleatorias discretas, dándose cuando en cada prueba ó ensayo independiente (con reposición) del experimento interesa contar el número de éxitos en cada una de las k maneras como se puede dar un atributo.

V (X i )=n p i (1−pi )

Ejemplo:

Se sabe que las bombas de gasolina para autos existentes en el mercado se pueden clasificar en:

40% de rendimiento excelente (E)

20% de rendimiento bueno (B)

30% de rendimiento regular (R)

10 % de rendimiento malo (M)

Se selecciona una muestra de n=9 bombas mediante un proceso aleatorio. ¿Cuál será la probabilidad de que quede conformada por: 3 E ,3B ,1R ,2M

P (n ; E ,B , R ,M ) P (9 ;3,3,1,2 )= 9 !3!3 !1 !2 !

(0.4)3(0.2)3(0.3)1(0.1)2=0.00774

HIPERGEOMÉTRICA

P ¿

paraunentero x que satisfacemáx(0 ,n−N+M )≤ x≤mín(n , M )

N=númerode elementos en la poblaciónM=número deelementos en la

Características esenciales:1. La población o conjunto por muestrear

consiste en N individuos, objetos o elementos (una población finita)

2. Cada individuo se caracteriza como un éxito o fracaso, y hay M éxitos en la población.

3. Se elige una muestra de n individuos sin reemplazo, de manera que cada subconjunto de tamaño n tenga las mismas probabilidades

poblaciónconsideradoscomo éxitosn=númerode ensayos efe ctuados

E (X )=μ=n ∙MN

V (X )=( N−nN−1 )∙ n ∙ MN ∙(1−M

N )

de ser elegido.La distribución hipergeométrica se utiliza para muestreos sin reemplazo de una población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo.

Ejemplo:

Durante un periodo particular, la oficina de información tecnológica de una universidad recibió 20 órdenes de servicio para problemas con impresoras, de las cuales ocho eran láser y 12 eran de inyección de tinta. Se seleccionará una muestra de 5 de estas órdenes de servicio para inclusión en una encuesta de satisfacción al cliente. Suponga que se eligen 5 en un modo completamente aleatorio, de modo que cualquier subconjunto de tamaño 5 tenga la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otro subconjunto (considere colocar los números 1, 2, 3, .., 20 en tiras idénticas de papel, mezclarlas y elegir 5 de ellas). ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente x (x=0 ,1 ,2 ,3 ,4 o5) de las órdenes de servicio elegidas fueran para impresora láser?

a) h ( x ;5 ,12,20 )=(12x )( 8

n−x )(205 )

, x=0 ,1 ,2 ,3 ,4,5

b) X=2, P ¿

c) P(X≤2)

P (X ≤2 )=¿=P (X=0 ,1o2)=∑x=0

2

h(x ;5 ,12 ,8)

POISSON

p(x ; λ)= e−λ λx

x !

e λ=1+λ+ λ2

2 !+ λ3

3!+…=∑

x=0

∞λx

x !

x=número deéxitos esperados ennensay ose=2.71828

Características esenciales:Se dice que se da un proceso de Poisson si se pueden observar eventos discretos en un intervalo continuo en forma tal que si se acorta el intervalo lo suficiente:1. La probabilidad de observar exactamente un

éxito en el intervalo es estable2. La probabilidad de observar dos o más

éxitos en el intervalo es cero3. La ocurrencia de un éxito en cualquier

intervalo es estadísticamente independiente de que suceda en cualquier otro intervalo.

λ=np=valor medioesperado ónumeromediode ocurrenciasn=númerode ensayos efectuados

E (X )=μ=V (X )=λ

Ejemplo:

Un conmutador recibe en promedio 5 llamadas sobre autos extraviados por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora tomada al azar reciba?

a) Ninguna llamada

p (0 ;5 )= e .550

0 !=0.00674963

b) Exactamente 3 llamadas

p (3 ;5 )= e .553

3 !=0.1404

c) No más de 3 llamadas

P (X<4 )=P ( x ≤3 )=P (0 )+P (1 )+P (2 )+P (3 )=0.2652

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

UNIFORME CONTINUA

f (x)={ 1b−a

para a≤x ≤b

0 encualquier otrocaso

Características esenciales: Siempre que una probabilidad sea proporcional a la longitud del intervalo, la variable aleatoria estará distribuida uniformemente

x=número deéxitos esperados ennensayose=2.71828λ=np=valor medioesperado ónumeromediode ocurrenciasn=númerode ensayos efectuados

E (X )=a+b2

V (X )=(b−a)2

12

Ejemplo:

Considere la línea de referencia que une el vástago de la válvula de una llanta con el punto central, y sea X el ángulo medido en el sentido de las manecillas del reloj hasta el lugar de una imperfección. Una distribución de probabilidad posible para X es:

f (x)={ 1360

0≤x ≤360

0 encualquier otrocaso

La probabilidad de que el ángulo esté entre 90º y 180º es

P (90≤ X≤180 )=∫90

1801360

dx= x360|x=180x=90

=14=0.25

NORMAL

∫−∞

x1

σ √2πe

−12 ( t−μ

σ )2

dt

μ=E (X )=∫−∞

∞

x ∙ f ( x )dx

E [h(X) ]=∫−∞

∞

h(x) ∙ f ( x )dx

V (X )=σ x2=∫

−∞

∞

( x−μ )2 ∙ f ( x )dx

Características esenciales:Es la distribución de probabilidad más importante en toda la probabilidad y la estadística, debido a que muchas poblaciones numéricas pueden ajustarse con bastante precisión a una distribución normal.

1. Una distribución normal se diferencia de otra, mediante dos parámetros: la media y la desviación estándar .

2. El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media, la cual coincide con la mediana y la moda.

3. La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo, positivo o cero.

4. La distribución normal simétrica, las colas de la curva normal se extienden al infinito en ambas direcciones y en teoría jamás tocan el eje horizontal. Dado que es simétrica, la distribución normal no es sesgada.

5. La desviación estándar determina que tan angosta o ancha es la curva normal. Desviaciones estándar grandes corresponden a curvas bajas y más anchas, lo cual indica mayor variabilidad de datos.

6. Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal se dan mediante áreas bajo la curva normal. Toda el área bajo la curva de una distribución normal es 1. Como esta distribución es simétrica, el área bajo la curva y a la izquierda de la media es 0.5, lo mismo para el lado derecho.

7. Los porcentajes de los valores que se encuentran en algunos intervalos comúnmente usados son:

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

Los parámetros de la distribución normal estándar son μ=0 , σ=1. Una variable aleatoria que tiene una distribución normal estándar se llama variable aleatoria normal estándar y se denota mediante Z. Su distribución de probabilidad es:

f ( z ;0,1 )= 1√2π

e−z2

2

Como ocurre con otras variables aleatorias continuas, los cálculos de la probabilidad en cualquier distribución normal se hacen calculando el área bajo la gráfica de la función de densidad de probabilidad sobre un intervalo dado.

En el caso de la distribución normal estándar, ya se encuentran calculadas las áreas bajo la curva normal y se cuentan con tablas que dan éstas áreas y se usan para calcular las probabilidades.

Los tres tipos de probabilidades que se necesitan calcular son:

1. La probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar z sea menor o igual al valor dado.

2. La probabilidad de que z esté entre dos valores dados.3. La probabilidad de que z sea mayor o igual que un valor dado.

Para convertir cualquier variable aleatoria x con media μ y desviación estándar σ en la variable aleatoria normal estándar z.

z= x−μσ

Ejemplo: Suponga que Roar Tire Company ha fabricado un nuevo neumático que será vendido por una cadena nacional de tiendas de descuento. Como se trata de un producto nuevo, los directivos de la empresa piensan que la garantía de duración será un factor importante en la aceptación del neumático. Antes de finalizar la póliza de garantía, los directivos necesitan información probabilística acerca de x=duración del neumático ennúmero demillas

De acuerdo con las pruebas, los ingenieros de Roar, estiman que la duración media en millas es μ=36500 y una desviación estándar σ=5000 . Además los datos recogidos indican que es

razonable suponer una distribución normal. ¿Qué porcentaje de neumáticos se espera que duren más de 40 000 millas?

Parx=40000a se tiene

z=40000−365005000

=35005000

=0.70

Mediante la tabla de probabilidad normal estándar a la izquierda de z=0.70es 0.7580

De tal forma que 1−0.7580=0.2420 es la probabilidad de que z>0.70 , es decir , x>40000. Entonces 24.2% de los neumáticos durarán más de 40 000 millas.

Referencias:

Devore JayL. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. 6ª. Edición. Thomson Anderson, Sweeney, Williams. Estadística para administración y Economía. 10ª. Edición. CENGAGE