DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria

la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de

la variable aleatoria.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está

completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la

variable aleatoria sea menor o igual que x.

Bernoulli

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A

uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se

repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de

éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

La distribución binomial es la base del test binomialde significación estadística.

Binomial

La distribución binomial esta asociada a experimentos del siguiente tipo:

Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo la posibilidad de éxito o fracaso. La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es

independiente de la obtención de éxito o Fracaso en las demás ocasiones.

La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.

Veámoslo con un ejemplo

Tiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos que obtenemos. ¿Cual es la probabilidad de obtener tres cincos?.

Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cual es nuestro ´éxito?.

Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.

El fracaso, por tanto, seria no sacar 5, sino sacar cualquier otro numero.

Por tanto, Éxito = E = “sacar un 5” = ´ ⇒p(E) =

1

6

Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒p(F) =

5

6

Para calcular la probabilidad que nos piden, observemos que nos dicen que sacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 ´éxitos y 4 fracasos, ¿de cuantas maneras pueden darse estas posibilidades?.

Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF

Pero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando la E es exito y la F es fracaso

Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

La función de masa de la distribución de Poisson es

Para qué sirve conocer que algo es Poisson?

Porque si se tiene caracterizado el comportamiento probabilístico de un fenómeno aleatorio, podemos contestar preguntas como:

Qué probabilidad hay de que lleguen más de 15 clientes al banco en un intervalo de 5 minutos de duración?

Qué probabilidad hay de que suceda por lo menos una falla en un tramo de 1km de tubería de gas?

Qué probabilidad hay de que en un estanque de cultivo de camarón, haya más de media tonelada?

Qué probabilidad hay de que en un área de 1km se encuentren más de 3 brotes de una enfermedad?

Normal

Se le llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado

parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss y e es el gráfico de de una función gaussiana.

ejemplo de alguna grafica seria:

Gamma

Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas con

asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) alfa y (β) beta de los que depende su

forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α), responsable de la convergencia de la

distribución.

La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media

lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución

gamma con parámetros a=n×lambda (escala) y p=n (forma). Se denota Gamma(a,p).

Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos

(tiempo de vida).

Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las

teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que

transcurre hasta la llegada del segundo paciente”), la teoría de la cola, electricidad, procesos industriales.

T student

La distribución normal es una distribución de probabilidad. Lo que significa que podemos decir cuál es la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio proveniente de una

población normal.

Por ejemplo, mirando el gráfico 1, podemos decir que la probabilidad de extraer aleatoriamente un caso que se encuentre entre la media y -1 desviación estandar es de

34,13%. ¿Cierto? Si lo que se sabe es la probabilidad de un evento, digamos que sabemos que el caso elegido tenía

menos de un 2,15% de probabilidades de ocurrir eso significa que debe haber obtenido una puntuación Z mayor

a 2 o menor que -2.

Siguiendo esta lógica y usando el Gráfico 1, ¿Cuál sería la probabilidad de ocurrencia de un caso con una puntuación Z

igual 1,5? ¿Cuál sería el puntaje z de un caso que está encima del 84.26% del resto de la población? ¿Cuál es la

probabilidad de ocurrencia de dicho caso?

Estas estimaciones pueden hacerse con mucha mayor precisión si se ocupan las computadoras o las tablas de

probabilidades y puntuaciones Z. Abajo tenemos una de estas tablas (Tabla 1). Esta tabla permite identificar el

puntaje Z para una probabilidad dada. La probabilidad se obtiene sumando al valor de la columna izquierda el valor

del encabezado de la columna. Por ejemplo, la probabilidad del 8% se obtiene al elegir el valor .00 de la columna izquierda y buscar el valor .08 en el encabezado de la columna. Se considera este 8% distribuido en los dos

extremos de la desviación, 4% en el extremo inferior y 4% en el extremo superior.