Distribución normal y variable tipificada
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DISTRIBUCIÓN NORMAL
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Distribución normal
◦La distribución normal, una de las más
importantes, recibe su nombre debido a que en cierto
momento se pensó que la mayoría de los fenómenos
estaban distribuidos de dicha manera. Esta
distribución nos permite representar fenómenos
estadísticos de manera probabilística.
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Variable aleatoria de la distribución normal◦ Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal
de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se
cumplen las siguientes condiciones:
◦ 1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
◦ 2. La función de densidad, es la expresión en términos de
ecuación matemática de la curva de Gauss:
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Propiedades de la distribución normal
◦ El campo de existencia es cualquier valor real, es
decir, (-∞, +∞).
◦ Es simétrica respecto a la media µ.
◦ Tiene un máximo en la media µ.
◦ Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
◦ En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
◦ El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
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◦ El área del recinto determinado por la función y el eje
de abscisas es igual a la unidad.
◦ Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja
un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la
derecha.
◦ La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
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Curva de la distribución normal
◦p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.683 = 68.3 %
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◦p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.955 = 95.5 %
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◦p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %
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Ejercicios
◦Determina en cuáles de los siguientes casos se
trata de una población con distribución normal.
◦a. Sueldos que se pagan en una empresa.
◦b. Edad a la que una persona muere.
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Variable tipificada
◦
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Función densidad
◦ La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y
por desviación típica la unidad, σ =1.
◦ Su función de densidad es:
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Ejercicio resuelto
◦El resultado de una prueba de cuarto
medio, tiene una distribución N(5,3 ; 0,6). El
total de estudiantes que rindió la prueba es de
150. ¿Cuál es la probabilidad de que al
escoger un estudiante al azar este haya
obtenido al menos un 6,0?
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◦Calcularemos la probabilidad de que un alumnotenga menos de un 6,0; para facilitar el uso de latabla, el complemento será lo buscado.
Ver tabla
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Si una poblacióntiene distribuciónnormal con
media μ ydesviacióntípica, anotamosque elladistribuye
N(μ, ).
◦En la tabla, 1,2 corresponde a 0,8849; por lo tanto,1 – 0,8849 = 0,1151 (probabilidad de obtener un alumno con nota igual o superior a 6,0, o bien el 11,51% de los alumnos obtuvo
◦una nota perteneciente a ese intervalo).
◦¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota igual o superior a 6?
◦¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota inferior a 6?