Distribución de Tensiones - 2010 UNLP

8/18/2019 Distribución de Tensiones - 2010 UNLP

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Facultad de IngenieríaUniversidad Nacional de La Plata

APUNTEDE

DISTRI UCIÓN DE TENSIONES

CATEDRA

DE

GEOTECNIA

I

Profesor Ing. Augusto J. Leoni – Ing. Diego M. SkokAño 2009


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DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES

INTRODUCCIÓNUno de los principales problemas de la Mecánica de Suelos, relativo a la fundación de estructuras,

es el estudio de las relaciones entre los siguientes factores: carga, área cargada, profundidad de

fundación y duración de la carga.

Debido a la gran diversidad de las propiedades del suelo y las muchas variables involucradas en

los problemas de estabilidad de suelos y estructuras, las relaciones entre esos factores son muy

complejas, y en un estudio teórico, el ingeniero es forzado en muchos momentos a asumir

condiciones de idealización y simplificaciones o en caso contrario a estudiar los problemas de la

mecánica de suelos experimentalmente.

En realidad lo que se hace es estudiar teóricamente un problema como para que sirva de base a

un razonamiento lógico y luego comprobar experimentalmente que grado de dispersión existe

entre el hecho idealizado y la realidad. El conocimiento de estos valores de error, nos posibilita

poder perfeccionar y ajustar nuestro razonamiento teórico a la luz de las nuevas experiencias, alos efectos de reducir nuestros errores. “Este camino es el que seguiremos al tratar este tema de

distribución de presiones”.

Las tensiones en el suelo son causadas por dos factores principales a saber:

1- El peso del suelo: . Donde:

: presión vertical en el suelo a una profundidad

: peso por unidad de volumen del suelo.

Fig.1: Diagrama de tensiones debidas al peso propio del suelo


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2- Las presiones debidas a una carga estructural.

Al determinar las tensiones inducidas en el suelo por las cargas exteriores, se supone una masa

ideal de suelo que no tiene peso. Si se requiere la tensión total debida al peso y a las cargas

exteriores, se calculan ambas tensiones y se suman, suponiendo válido el principio de

superposición de efectos, cosa cierta para un cuerpo elástico continuo.

Si como hemos dicho, se supone que la masa de suelo no tiene peso, es indiferente la posición del

plano que limita el semi-espacio para el análisis que vamos a llevar a cabo. Sin embargo, por

analogía con la realidad física mas frecuente, vamos a suponer que el plano limite es horizontal.

Las tensiones en el interior de una masa de suelo que tienen importancia en el proyecto de

estructuras son:

1- La presión vertical Δ: Su conocimiento es de importancia en mucho problemas deMecánica de Suelos en los cuales citaremos los más comunes:

a) Determinación del asentamiento de un edificio por existencia de capas blandas. En este

caso para calcular dicho asentamiento debe determinarse el valor de las presionesoriginadas por el edificio y que actúan el manto considerado.

W

q = WA

∆σ

Manto compresible

T.N.

Fig.2: Asentamiento de un edificio por existencia de capas blandas

b) Cálculo de un conducto subterráneo, alcantarilla o túnel. Para ello se necesita conocer elestado de solicitaciones sobre la estructura y en muchos casos prácticos debe investigarse

los esfuerzos adicionales producidos por cargas exteriores, que se transmiten a través del

suelo.


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q

Fig.3: Presiones debidas a las cargas externas y al suelo

c) Determinación del empuje sobre muros de sostenimiento producidos por bases de

fundación o desplazamiento de vehículos, trenes o grúas (estos dos últimos se pueden dar

en puertos, por ejemplo).

T.N.

Qql

Resultante del empuje

debido a las cargas externas

y al suelo

qlT.N.

Fig.4: Algunas cargas sobre un muro de contención

2- La tensión máxima de corte: Es a veces necesario conocer la tensión de corte en

diferentes puntos de una masa de suelo cerca de la superficie, especialmente en las

proximidades de los bordes de la estructura. Es de especial importancia en los cálculos de

estabilidad de fundaciones y, en particular, en las presas de tierra.

En función de lo dicho precedentemente vemos que uno de nuestros propósitos sería determinar

en un punto cualquiera de la masa de suelo, el incremento de tensiones Δ producido por unacierta carga exterior Q aplicada sobre el suelo.

Dicho incremento Δ es función, además del valor de la carga exterior aplicada, de las siguientes variables:


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a) Profundidad del punto donde se requiere determinar Δ b) Distancia horizontal con respecto a la carga exterior, en el que se encuentra dicho

punto.

c) Tipo de carga:

c1) Concentrada

c2) Linealc3) Repartida

c3.1) Uniformemente repartida

c3.2) Variada

Q

-x x

y

-y

z

q

x

y

-y

z

∞

q

-x x

y

-y

z

q

-x x

y

-y

z

∞

c1-Concentrada

c2- Linealc3- Uniformementerepartida

c4- Repartida variada

d) De la forma del área cargada:

d1) Cuadrada

d2) Rectangular

d3) Circular

q

-x x

y

-y

z

q

-x x

y

-y

z

q

-x x

y

-y

z d1) Cuadrada d2) Rectangular d3) Circular

e) De la profundidad del plano de aplicación de la carga:

e1) Superficial

e2) Profunda

T.N.

Q

T.N.

Q

e1) Superficial e2) Profunda


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f) De las propiedades físicas del suelo:

f1) Homogeneidad (E = Constante; ν = Constante)

f2) Isotropía

f3) Estratificación

f4) Compresibilidad

f5) De la relación tensiones - deformaciones

f6) Del espesor o extensión de la masa de suelo estudiada

Un suelo es homogéneo cuando sus propiedades son iguales en todos los puntos (Ejemplo:

Módulo de Young).

Cuando en un punto dado las propiedades son iguales en cualquier dirección el suelo es isótropo.

La teoría de la elasticidad con sus expresiones de las relaciones de fuerzas y fatigas, es bien

conocida por los estudiantes. Ha sido de gran valor práctico para muchos ingenieros civiles los

análisis de esfuerzos y deformaciones en el estudio de estructuras de acero estáticamente

indeterminadas. En los últimos años ha tomado un lugar preponderante en la estimación defuerzas causadas dentro de las masas de suelos al aplicarse una carga exterior. Seguidamente

estudiaremos métodos basados en la teoría de la elasticidad para estimar los esfuerzos en los

suelos. De acuerdo con la teoría elástica existen relaciones constantes entre los esfuerzos y las

deformaciones, para que la teoría pueda ser aplicable no se requiere que el material sea

necesariamente elástico, sino que tengan relaciones constantes entre los esfuerzos y las

deformaciones correspondientes. Por lo tanto, en las masas de suelos no elásticos la llamada

teoría de la elasticidad se podrá utilizar en cualquiera de los casos en los cuales se asuma que los

esfuerzos y las deformaciones pueden adherirse a relaciones constantes en una forma racional.

Bajo determinadas condiciones de carga los suelos en una forma racional acusan deformaciones

que son aproximadamente proporcionales a las fuerzas; bajo otras condiciones de carga, talescomo aquellas en las cuales la fatiga al corte es inminente, las deformaciones no pueden ser

proporcionales a los esfuerzos. Si se tiene una variación en la proporcionalidad entre esfuerzos y

deformaciones, el grado de variación juega una parte importante en la determinación de la

cantidad de duda que se tendrá que tener sobre los resultados de las ecuaciones basadas en la

teoría de la elasticidad. Antes que un ingeniero pueda confiar plenamente en los análisis de los

problemas de los suelos que utilizan estos métodos, él deberá tener un buen conocimiento de los

grados de limitaciones que dichos métodos introducen. Hacia el final de este tema discutiremos

los distintos métodos explicativos y el grado de exactitud que de los mismos se pueden esperar.

El tan viejo concepto de la distribución vertical de tensiones en suelos, que en algunos aspectosno es meramente incorrecto, especificaba que la carga aplicada exteriormente sobre la superficie

del terreno es trasmitida dentro del suelo por las partículas de suelo en contacto y es distribuida

uniformemente bajo un ángulo de distribución α con la vertical.


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Fig.5-a: Distribución lineal de tensiones el suelo

Fig.5-b: Distribución lineal de tensiones el suelo

En el caso de una superficie de carga cuadrada, la presión se consideraría distribuida

uniformemente según una pirámide truncada. Con una superficie de carga circular, la presión se

distribuiría según un con truncada. El ángulo α se toma usualmente 45º. Si analizamos un poco

este desusado concepto vemos que la presión decrece en intensidad con la profundidad z, dado

que está distribuida sobre un área mayor que el área sobre la cual estaba aplicada la carga exterior.

Por ejemplo: ∆ ∆, debido a que si .Lo anterior se puede demostrar si entendemos que la condición de equilibrio nos exige que se

cumpla lo siguiente:∆. ∆. Por lo tanto∆


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∆ Y debido a que ∆ ∆, tal cual lo enunciáramos anteriormente.Las investigaciones en Mecánica de Suelos han enseñado que, en realidad, la distribución

uniforme de la presión en suelos sobre un plano horizontal bajo una fundación, de acuerdo a la

ecuación ∆ ⁄ , no corresponde a las observaciones hechas en la naturaleza. Estaecuación, puede ser considerada solamente como una cruda aproximación, no obstante, debido asu simplicidad, aún es usada mucho en la práctica, aunque la teoría y la experiencia indican que el

problema es completamente diferente.

La presión desde una carga aplicada sobre la superficie del terreno se distribuye dentro del suelo

disminuyendo en intensidad, no solo verticalmente con la profundidad z, si no horizontalmente a

partir del eje de la carga. Vamos a hacer dos consideraciones a modo de ilustración que nos

permitirán demostrar lo dicho precedentemente.

1- Para una carga superficial concentrada

Fig.6: Distribución de tensiones a través de esferas

Note que el diagrama de distribución de presiones tiene forma de campana

Supongamos disponer de 5 filas de esferas colocadas una sobre otra formando una pila , tan cual

se ilustra seguidamente, y consideraremos una carga unitaria aplicada sobre la única esfera de la

primera fila.

Nótese que la presión desde la carga Q= 1 se distribuye a través de las esferas, no meramente en

forma vertical, sino también horizontalmente a través de los puntos de contacto entre esferas


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(distribución de la presión intergranular). Ellos serían las componentes radiales medias. Además,

a la profundidad z, de las presiones que se originaron para equilibrar la carga Q=1, es más grande

aquella que se produce bajo la esfera que se encuentre en el medio de la quinta fila, en el eje de la

carga, que aquellas que se producen bajos los esferas siguientes. De lo anterior se extrae que bajo

la carga las tensiones de compresión son mayores que los laterales a partir del eje de simetría de la

carga.

El diagrama de distribución de tensiones en suelos tendría, de este modo, la forma de una

campana. Las tensiones ordenadas según ese diagrama van creciendo con la profundidad. La

distribución de tensiones en el suelo puede imaginarse similar a la que se produce a través de las

esferas. El decrecimiento de las tensiones es atribuido a la fricción interna de los suelos.

En suelos, la distribución de tensiones puede ser imaginada separadamente, pero en general, las

tensiones máximas se ordenan en un diagrama simétrico de distribución de tensiones con

respecto al centro del diagrama.

En suelos gruesos, como gravas y arenas, la carga estructural o la dada por los vehículos es

transmitida por el contacto entre partícula y partícula. Debido a los relativamente pocos

contactos entre partículas por unidad de área, la presión de contacto de partícula a partícula es

relativamente muy grande comparada con la resistencia al corte de las capas absorbidas que

rodean las partículas de arena. Prácticamente la grava y arena no son cohesivas, pero ellas tienen

relativamente un gran ángulo de fricción interna (luego si existe una carga normal que permita

desarrollar la fricción necesaria dichos suelos pueden llegar a absorber los esfuerzos de corte

enunciados.

En arena fina y polvo de roca seco, la carga estructural o la dada por los vehículos es también

transmitida de partícula a partícula, de modo que la deformación en estos suelos tiene lugar

principalmente debido a un cambio en la densidad de los paquetes de partículas de suelos.

En arcillas, la carga no es transmitida desde partícula a partícula, pero si desde una capa adsorbida

a otra. Cuando la consolidación de un suelo cohesivo se está completando, la presión inter

granular toma gradualmente toda la transmisión de carga.

Las investigaciones experimentales sobre distribución de presiones han enseñado que las

tensiones normales en planos horizontales se distribuyen en forma de campana. Ella se

corresponde, en principio, a la distribución de tensiones en un medio elástico e isótropo.

Puntualicemos que hemos dicho que la forma de campana de la distribución de tensiones se ha

encontrado similar experimentalmente, con la que produce la teoría en un medio elástico eisótropo, pero los valores de las ordenadas por supuesto difieren.


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2- Para una carga superficial distribuida uniformemente

Fig.7: Distribución de tensiones para una carga superficial distribuida uniformemente

La Fig. 7 nos prueba de un modo simple el error de suponer que las presiones se transmiten en el

terreno bajo un ángulo determinado, y que se distribuyen uniformemente sobre los distintos

planos horizontales. Se supone dividido el ancho total de la zapata en varias franjas de igual

ancho y se admite que cada una de ellas transmite su propia carga al terreno bajo un ángulo α =

45º. Las zonas sobre las que actúa la presión de cada faja se solapan y si sumamos las presiones

transmitidas por cada una de ellas a un plano AA, como se hace en la Fig. 7, resulta que bajo la

parte central de la zapata las presiones son mayores que bajo los bordes. En consecuencia la parte

central de una zapata uniformemente cargada tiende a asentar más que los bordes. Otra cuestión

fundamental que se deduce del examen de la Fig. 7, es que las presiones sobre las capassubyacentes del terreno afectan áreas exteriores a los planos verticales que pasan por las aristas de

la zapata, y puesto que los asentamiento de la cara de contacto se deben principalmente a la suma

de los acortamientos de todas las capas inferiores, resulta que no se produce una diferencia

brusca de asiento entre el área cargada y la superficie inmediata de terreno; alrededor de la zapata

se produce el llamado cráter de asiento, de suave curvatura.

Hasta aquí se ha hecho un estudio simplista del problema de la distribución de presiones en el

suelo, a los efectos de poner en evidencia el error introducido por las viejas teorías y hacer

resaltar la “verdadera forma” de esa distribución. Veremos ahora el estudio teórico de la

distribución de tensiones y las hipótesis necesarias harán que el mismo sea posible de desarrollar.

Dichos estudios tienden a “valorar” la magnitud de dichas presiones.


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SOLUCIÓN DE BOUSSINESQ

Para carga concentrada

Hipótesis:

1- Carga concentrada aplicada sobre la superficie

2- Medio a estudiar: semiespacio de extensión semi-infinita (que se extiende indefinidamente

en todas direcciones a partir de una superficie horizontal) compuesto por una masa

homogénea, isótropa y elástica.

Fig.8.1

z = 1

Q

z = 2

z = 3

z = cte

r = variable

z = cter = variable

z = cter = variable

z = variabler = 0

Fig.8.2

Las ecuaciones de Boussinesq expresan las componentes de las tensiones producidas por una

carga Q en un punto N de la masa estudiada. Los componentes y las ordenadas que se usan en

estas expresiones son ilustradas en la Fig. 9.1.

Tomemos un volumen elemental de suelo en el punto N y representemos el estado

tridimensional de tensiones.


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Fig.9.1: Fig.9.2:

En forma general, se necesitan seis esfuerzos para definir las fuerzas sobre un punto, pero debidoa la simetría radial, la componente vertical y la horizontal de la fuerza sobre los planos radiales de

la Fig. 9.2, son iguales a cero 0. Por lo tanto, las cuatro tensiones expresadas acontinuación serán suficientes.

=

√

Los da la teoría de la elasticidad:

Δσ 32 . 32 . ⁄ Δσ 2 . 3. . 1 2. . . . . Δσ

2 . 3. .

1 2.

.. .

.

τ τ τ 32 . . ⁄ El coeficiente designado por en estas ecuaciones es conocido como la relación de Poisson. Enlos materiales elásticos es una constante para cada tipo de material y sus valores se encuentran

siempre entre 0 y 0.50. El valor para el acero es 0.30 y el valor para un material que no

experimenta cambios de volumen al ser cargado es 0.50.


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Para un estado triaxial como el de la Fig.10, la deformación

volumétrica específica es:Δ

1 2υ. σ σ σ Si 0.50

∆

0: Sólidos elásticos incompresibles Si 0.50 ∆ 0: Contracción Si 0.50 ∆ 0: Expansión En suelos:Si 0.50 Para bajas tensiones Si 0.50 Para altas tensiones rotura

Si analizamos las expresiones anteriores vemos que todas las tensiones son independientes de E y

esto se debe a la consideración hipotética de que estamos trabajando con un material elástico en

el cual las relaciones tensiones – deformaciones son corrientes. Además la tensión vertical Δ yla tensión cortante son también independientes del módulo de Poisson ; por lo tanto son válidas para cualquier cuerpo homogéneo, isótropo y elástico, cualquiera sean sus constantes

elásticas. De aquí se deducirá que si nos encontramos frente a una capa de arcilla de 15.00 m de

espesor y en otro lugar con una capa de arena del mismo espesor, las presiones verticales teóricasΔ dadas por Boussinesq en puntos similares de ambas capas, serán exactamente iguales,siempre que las cargas sean iguales y que los puntos estén a suficiente profundidad. Si el punto

donde se determina la presión vertical está a poca profundidad, deben esperarse que losresultados teóricos se acerquen más a la realidad para arcillas que para arenas. Esto lo veremos

luego con más detalle.

Si suponemos que 0.50 las tensiones horizontales Δ y Δ se reducirán a los valoressiguientes:

Δσ 2 . 3. .

Δσ 2 .

3. .

Es interesante hacer notar que en este caso si analizamos las tensiones debajo de la carga:Q Δσ Δσ 0 A continuación estudiaremos con más detenimiento la tensión vertical Δσ Δσ 32 . ⁄ Multiplicando y dividiendo por :

Fig.10


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Δσ 32 . 1 ⁄ 32 . 1 / ⁄ 32 . 1 /

Δσ 32 .

1

11

/

.

32 .

11 /

La expresión anterior puede escribirse:

Δσ . Siendo:

. 321

/

Donde es el coeficiente de influencia, que es un número adimensional y función en este casode /, resultando este hecho de suma utilidad para la resolución de los problemas prácticos.

Fig.11: Gráfico de / para las fórmulas de Boussinesq y Westergaard


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Algunos valores tabulados de / / / /

0.00 0.477 1.00 0.084 2.00 0.0080.10 0.466 1.10 0.066 2.20 0.006

0.20 0.433 1.20 0.051 2.40 0.0040.30 0.385 1.30 0.040 2.60 0.0030.40 0.329 1.40 0.032 2.80 0.0020.50 0.273 1.50 0.025 3.00 0.0010.60 0.221 1.60 0.0200.70 0.176 1.70 0.0160.80 0.139 1.80 0.0130.90 0.108 1.90 0.011

Si analizamos los subrayados vemos que para una relación / 1.20 su coeficiente deinfluencia es de aproximadamente 10% del coeficiente maximo para

/ 0.00 (en

correspondencia con ; 0. Luego, dada una carga Q para todos aquellos puntos conrelación / 1.20 y que se encuentran, por lo tanto, sobre las rectas de pendiente tan 1.20 (ver Fig.12) la tensión vertical inducida será, solo un 10% de la tensión máxima que seproducirá en el plano horizontal que contenga dicho punto. Para los puntos mas alejados de la

recta de acción de Q, mayores a la relación considerada / 1.20, las tensiones inducidasserán despreciables.

1

Q

α

r

2r

z

z

1

2

∆σz2 máx

∆σz1 máx

˜10 % ∆σz1 máx

˜10 % ∆σz2 máx

α

Fig.12:

tan 1.20 50º Mas exactamente 1.23 51º


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Esto nos permitirá hacer el siguiente análisis: si nuestro propósito es determinar el estado de

solicitaciones sobre una estructura, provocados por una carga , diremos que en el caso de estardicha estructura fuera del cono anterior, dichas tensiones serán de poca importancia y no será

necesario considerarlas, en caso contrario las mismas pueden ser importantes y erá necesario

tener en cuenta su influencia.

Por medio de la teoría de distribución de Boussinesq, pueden ser dibujados los siguientes gráficos

de distribución de tensiones verticales:

1- Las isóbaras de presión Δσ o también llamado bulbo de presiones, que seobtienen uniendo todos los puntos de la masa estudiada que se encuentran sometidos a la

misma presión vertical Δσ.2- La distribución de tensiones verticales sobre un plano horizontal situado a una cierta

profundidad ; este diagrama se obtiene fijando la profunidad z a la cual se deseainvestigar la distribución de tensiones verticales y variando r.

3- La distribución de las tensiones verticales con la profundidad sobre un plano vertical que

se encuentra a una distancia de la línea de acción de la carga concentrada.Hagamos notar que en el caso 2 la distribución de tensiones se extendía sobre un planohorizontal que se encuentra a una profundidad , y en el caso 3 sobre la superficie lateral deun cilindro de radio .En la Fig. 13 se resumen las tres posibilidades enunciadas:

Fig.13: Isobaras y diagramas de distribución de tensiones verticales


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La solución de Boussinesq para materiales elásticos se ha comprobado fotoelasticamente. Este

método de estudio se fundamenta en el hecho que los cristales de un medio elástico se orientan

del mismo modo bajo tensiones cortantes de igual intensidad, de modo que se se hace pasar luz

polarizada a través de materiales como baquelita, gelatina o análogos, sometidos a tensiones, los

puntos de igual cortante

τ constituyen líneas de igual color.

Fig.14: Fotografía Isocromática – Universidad de Rutgers

El análisis de tensiones por medio del método de la fotoelasticidad es particularmente de gran

valor en sistemas de cargas complicadas, donde es muy difícil, cuando no imposible, su

determinación por cálculo.

Si bien es cierto que para materiales elásticos la solución de Boussinesq se cumple, no olvidemos

que la mayoría de los suelos son plásticos y no elásticos, y la teoría de la elasticidad no permite

todavía el estudio matemático de estos problemas. Sin embargo, de las observaciones sobre el

comportamiento de los suelos en condiciones de trabajo, predecidas empleando la teoría de

Boussinesq y el comportamiento real en servicio, se deduce que dicha teoría puede aplicarse con

precisión razonable a suelos cohesivos, mientras que existen limitaciones en su aplicación a suelos

granulares.

Durante los últimos 100 años se ha intentado muchas veces la determinación experimental de la

distribución de tensiones en arena, mejorándose progresivamente los medios y técnicas de

ensayo. Mediante ellas se intentó llegar a una relación teórica que permita deducir valor de

tensiones concordantes con el comportamiento de la estructura en servicio.

Particularmente notables son los números ensayos realizados con zapatas en diferentes tamaños

por Köegler y Sheidig en la Escuela de Minas de Freiberg, Sajonia (Alemania), en 1927, que

emplearon un método perfeccionado para medir las presiones verticales. Este sistema consistió

en el empleo de un gran número de células de presión colocadas unas junto a otras, formando

capas continuas a distintas profundidades, con lo que se eliminaban los errores de medida

originados por las diferencia de compresibilidad de las células y la arena circundante.


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Fig.15: Ilustración del experimento de Köegler y Sheidig. Isobaras de tensiones verticales

En la Fig. 16 se representan los resultados de uno de estos ensayos en Freiberg. Las curvas en

forma de pera son curvas de igual presión en la masa de arena. Están acotados en por ciento de lapresión media superficial /, en la cara de contacto entre la zapata y la arena. , es la cargatotal aplicada y A, es el área de contacto. Se observa en la Fig. 16 que las presiones verticalesresultaron más centradas bajo la zapatas y menos extendidas lateralmente que con las fórmulas de

Boussinesq (Ver Fig. 15), y, más aún, próxima a la superficie apareció una zona de tensiones

nulas, limitada por una isobara de presión cero. El ángulo de esta curva con la vertical fue 35ºen la superficie y creciente hasta una cierta profundidad t, que llegó a ser unos 90º. Esta

profundidad t, resultó en los ensayos realizados en Freiberg independiente del tamaño de la

zapata y variable entre 0.90 m y 1.20 m con presiones de contacto entre 0.50 y 1.00 kg/cm2 en

arena de densidad normal. No excedió de 2.00 m en arenas muy sueltas. Es razonable suponer

que la profundidad t aumente para mayores presiones de contacto.

Resumiendo, t depende de la presión de contacto y es independiente del tamaño de la zapata

siempre que transmitan toda la misma presión.

Fig. 16: Isobaras de presión vertical en arena, deducidas de los ensayos de Freiberg


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La resistencia al corte de estos suelos granulares incoherentes, depende únicamente del

rozamiento inter granular, que es prácticamente nulo cerca de la superficie por la ausencia del

peso, debido a las capas suprayacentes que haga efectiva la resistencia por rozamiento.

Por ello se producen en esta zona movimientos, de los granos con facilidad, y las presiones de la

zapata no pueden extenderse lateralmente como ocurre en los suelos cohesivos, los cuales tiene

una presión intergranular llamada cohesión. Por lo tanto, se produce en las arenas una mayor

concentración de tensiones verticales bajo el área de cargada que la dada por Boussinesq. En las

capas más profundas varían las circunstancias. Debido al propio peso del suelo, aumenta el

rozamiento y la resistencia horizontal del suelo, de modo que a una cierta profundidad t, la arena

puede asimilarse a un cuerpo homogéneo y elástico, siendo aplicables las ecuaciones de

Boussinesq.

Es necesario hacer resaltar aquí que la zona de tensiones nulas vistas anteriormente, y que fue

puesta en evidencia mediante ensayos, no existe en el razonamiento impuesto por Boussinesq al

tratar un suelo homogéneo, isótropo y elástico y sin peso (

con la profundidad).

La Fig. 17 muestra la distribución de tensiones verticales en las capas superficiales. La curva se ha

deducido de ensayos realizados en Zurich, cuyos resultados fueron muy concordantes con los de

Freiberg. Se ve que la hipótesis de distribución uniforme de presiones, transmitidas bajo un

ángulo determinado, es totalmente inexacta. Sin embargo, con zapatas mayores, las diferencias

entre los tres tipos de distribución no son tan grandes como en la Fig. 17.

Fig. 17: Distribución de presiones verticales sobre el plano AA, obtenida en los ensayos con arenas en Zurich y

según la solución de Boussinesq

FACTOR DE CONCENTRACIONES DE FRÖHLICH

Las ecuaciones de Boussinesq fueron modificadas, de modo hacerlas más generales por Fröhlich,

quien introdujo un parámetro m, que considera el incremento del módulo de elasticidad con la

profundidad. El parámetro m es una cantidad estáticamente indeterminada llamada por Fröhlich

el “numero de orden de distribución de tensiones”, o simplemente “factor de concentración”. Tal

como su nombre lo indica, con dicho factor se trató de expresar la concentración de tensiones en

el caso de una carga puntual aplicada a la superficie del semi-espacio infinito.


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Hipóradiale

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21/76

En repetidas ocasiones se ha intentado integrar la ecuación para carga concentrada, a los efectos

de obtener una expresión para carga repartida uniformemente, tal cual se ha hecho como

veremos más adelante con la ecuación de Boussinesq. Se ha pretendido así obtener expresiones

adecuadas para la determinación de tensiones en suelos arenosos en los que los ensayos

realizados con zapatas pequeñas han acusado mayores concentraciones de tensiones que en el

caso de los suelos cohesivos. Ahora bien, no hay que olvidar que las diferencias en laconcentración de presiones verticales en el terreno, se deben, de modo primordial, la efecto de

borde en el perímetro del área cargada.

Toda integración de la ecuación de Fröhlich, para una carga uniformemente repartida, hecha

suponiendo constante el factor de concentración m, es incompatible con la naturaleza física del

fenómeno observado, puesto que a partir de un determinado nivel Boussinesq y Fröhlich,

coinciden (m=3) y como se ha visto, Boussinesq es válido para suelos cohesivos y arenosos a

partir de una cierta profundidad.

Factor de concentración: para un factor de concentración dado m, las mayores tensiones

verticales se encuentran a lo largo de la recta de acción de la carga concentrada Q y en su vecindad. Por otra parte a medida que aumentan las m, aumentan las tensiones máximas. De

acuerdo a Fröhlich, encontrar la distribución de tensiones con un factor de concentración m=3,

es posible solamente en un medio elástico e isótropo que obedezca a la ley de Hooke, es decir

cuando E = constante. Nótese que, como hemos dicho ya anteriormente, con m=3, las

ecuaciones de tensiones de Fröhlich se transforman en las de Boussinesq cuando 0.50. Paralos casos prácticos solamente valores con m>3 son tomados en consideración. La distribución de

tensiones con m = 4 es posible solamente cuando el medio semi-infinito tal como lo es el suelo,

que tiene un módulo de elasticidad que se incrementa linealmente con la profundidad, por ello se

aconseja el valor m=4 para arenas.

La fórmula con m = 4 no es válida para áreas cargadas pequeñas con grandes presiones de

contacto (punzonado).

Un factor de concentración m con valores por encima de 6 se aplican a áreas cargadas pequeñas

con grandes presiones de contacto que causan una expulsión plástica del suelo en la vecindad del

perímetro del plato de carga.

Cuando m=2, las isobaras son círculos perfectos tangentes al punto de carga. Las formas posibles

de las isobaras para varios factores de concentración son ilustrados en la Fig.21.


22/76

Fig.19: Puntos de inflexión en la curva de tensiones verticales Δ producidas por una carga Q

Fig.20: Puntos de inflexión en una curva de tensiones verticales a una distancia r, del eje de aplicación de la carga

Es de hacer notar que los ángulos α, bajo los cuales se producen los puntos de inflexión se

mantienen constantes para ambas teorías de Fröhlich y Boussinesq.


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Fig.21: Forma de las isobaras para varios factores de de concentración de Fröhlich para una tensión constante de: 0.40 / Podemos deducir una expresión de la fórmula de Fröhlich que tenga la misma forma que la de

Boussinesq, para ello adoptamos m=4:

Δ . 2 . . 22 Δ 2. . Multiplicando y dividiendo por obtenemos:

Δ 2.

.

2. . .

2. . .

Δ . 2 . 11 / Δ . Fröhlich


24/76

ECUACIONES DE WESTERGAARD

Seguimos el análisis de tensiones haciendo, para el caso de la carga concentrada. Una capa de

suelo típica, casi siempre tiene laminaciones de materiales mas gruesos dentro de ella (suelos

estratificados). El material que se encuentra dentro de estas laminaciones acentúa grandemente la

condición no isotrópica que es bastante común en los suelos sedimentarios, y es la causa del gran

aumento de la resistencia a la deformación lateral.

Una solución elástica que está basada sobre condiciones análogas, hasta cierto grado, a la

condición extrema de no isotropía ha sido obtenida por Westergaard.

En este estudio el material elástico se supone que está restringido lateralmente por numerosas

laminaciones horizontales, muy próximas y de espesor sumamente pequeño pero de rigidez

infinita, lo cual impide que toda la masa sufra la deformación lateral. Este material, puede por

consiguiente, ser visto como representativo de un caso extremo de una condición no isotrópica.

La expresión de Westergaard para las tensiones verticales causadas por una carga en un punto es

la siguiente:

Q

Fig.22: Suelos con laminaciones

En los puntos directamente debajo de la carga ( 0 ), las tensiones tendrán los valoresmínimos cuando la relación de Poisson 0 1 toma la forma siguiente: 0 Δ 2.. . 2 21 2 0.20; Δ 2.70. 2..2 0.40; Δ 6.00. 2..2

0.50; Δ ∞

Δ . El valor que adopta Δ para 0 Δ . 1/1 2. //


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Δ Δ . WestergaardI 1/

1 2. /

/

Para 0 Δ Δ 1.50 Δ Δ 1.50 Δ Δ Es un valor tan razonable como cualquier otro para usarlo en conexión con los análisis de suelos,

ya que da la curva más plana del tipo la mostrada en la Fig. 11, cuya forma es mas lógica para el

caso de la restricción lateral donde las deformaciones horizontales son pequeñas comparadascon las verticales y por lo tanto ⁄ dá valores muy chicos.De otra forma al restringirse lateralmente la deformación de la masa de suelo, las tensiones

inducidas por la carga Q pueden extenderse lateralmente con más facilidad.

La expresión (2) se asemeja a la expresión de Boussinesq que representa en caso isotrópico. En la

Fig. 11 se da la gráfica de Δ en función de /.Ralph E. Fadum da en su trabajo “Influence values for estimating stresses in elastic foundations”

de la Segunda Conferencia Internacional de Mecánica de Suelos, Rotterdam, junio 21 al 30 de

1948, página 79, una tabla de los valores de influencia para los soluciones de Bossinesq y la de Westergaard (está ultima para 0 ). COMPARACIÓN DE LAS EXPRESIONES DE BOUSSINESQ Y DEWESTERGAARD

Para los casos de carga puntual y con r/z menor aproximadamente que 0.80 (ver Fig. 11) es deinteres hacer notar que las fórmulas de Westergaard para υ 0, darán valores para las tensiones verticales que serán aproximadamente iguales a 2/3 de los valores dados por las fórmulas de

Boussinesq.

Fig.23: Comparación de tensiones obtenidas por las fórmulas de Boussinesq y Westergaad


26/76

Vamos a adelantar que, tanto para la carga puntual como para carga repartida, no se puede dar

ninguna prueba definida para indicar que alguna de estas soluciones sea más exacta que la otra

para la aplicación general de las mismas en problemas de suelos.

Sin embargo, la condición de estratificación sobre la cual se basa la solución de Westergaard, es

ciertamente más cercana a las condiciones existentes en suelos sedimentarios que la condición

isotrópica asumida por Boussinesq. También se ha encontrado que las estimaciones de

asentamientos obtenidos valorando el incremento de tensiones por medio de las fórmulas de

Boussinesq, el cual es un procedimiento que se ha venido usando desde hace algún tiempo, son

en la gran mayoría de los casos, muchos mayores que los asentamientos observados. Esto puede

ser una indicación de que las ecuaciones de Boussinesq dan valores para las fuerzas que son

demasiado grandes, aún cuando también puede ser el resultado de otras consideraciones usadas

en las estimaciones del asentamiento. De cualquier forma Taylor establece que las ecuaciones de

Westergaard tienden a ser aceptadas en forma más amplia que las ecuaciones de Boussinesq para

las predicciones de asentamientos.

FACTORES QUE GOBIERNAN EL GRADO DE VALIDEZ DE LA TEORÍA DE LAELASTICIDAD CUANDO SE USA PARA LA DETERMINACIÓN DE TENSIONESEN LOS SUELOS.

Ya hemos hablado sobre las limitaciones que introduce la teoría elástica a suelos, sin embargo

después de haber visto los distintos tipos de soluciones resulta útil volver sobre el tema.

En muchos casos, nuestros limitados conocimientos sobre los factores que se enuncian en el

título, hacen bastante difícil el hacer aseveraciones con relación a las exactitudes obtenidas

cuando se usan las fórmulas basadas en la teoría de la elasticidad para la determinación de los

esfuerzos en una masa de suelo. Sin embargo esté asunto es de tal importancia que justifica una

breve discusión general de algunos de los factores más importantes que tienen influencia sobre

dichas exactitudes.

Las ecuaciones que, partiendo de la teoría de la elasticidad, han sido presentadas anteriormente

son rigurosamente correctas para aquellos materiales en los cuales los esfuerzos y las

deformaciones son proporcionales. Más aún, cada fórmula es válida únicamente para las

condiciones específicas sobre las cuales está basada. Cuando estas ecuaciones se usan para estimar

las tensiones en los suelos, las inexactitudes que resultan debido a que los suelos no son elásticos,

son de magnitudes desconocidas y nunca se entenderán perfectamente. Las inexactitudes debidas

a las desviaciones de las condiciones sobre las cuales se han basado las fórmulas específicas,

pueden discutirse en forma más completa.Las condiciones existentes en cualquier problema de ingeniería casi nunca serán comparables

exactamente, a las condiciones sobre las cuales se han basado las fórmulas que se tienen. Las

cargas puntuales aplicadas debajo de la superficie del terreno, causarán esfuerzos en cierto modo

menores, que las que ocurrirán a la misma profundidad, cuando se aplica una carga superficial; y

sin embargo, las fórmulas que son únicamente válidas para cargas superficiales son

frecuentemente aplicadas a zapatas de poca profundidad.


27/76

Cuando la carga es soportada por un suelo más débil o por un suelo más compacto o por un

enrocamiento, los esfuerzos cerca de la discontinuidad diferirán considerablemente, en algunos

casos, de aquellos compuestos únicamente por una capa de suelo homogéneo de profundidad

infinita.

Las fórmulas que cubren estos casos de discontinuidad son usadas en ciertas ocasiones, pero

dichas ecuaciones casi siempre requieren grandes y laboriosos cálculos y solamente representarán

a los casos extremos tales como una discontinuidad perfectamente rígida o perfectamente

flexible, por lo tanto su uso solamente se reduce y no elimina la inexactitud que pudiera ocurrir si

se usarán las fórmulas más sencillas.

A continuación vamos a dar dos ejemplos de discontinuidad solo a título informativo. Uno de los

tipos de discontinuidad posible es aquel en el cual un suelo homogéneo e isótropo (por ejemplo

la arcilla) descansa sobre un enrocamiento. Fue estudiado por Biott (1935) y las principales

conclusiones se resumen de la siguiente manera: supongamos valoradas las tensiones en el plano

de separación AA, por Boussinesq y por Biot que tiene en cuenta la discontinuidad.

Para 0 (bajo la línea de acción de la carga puntual Q).Δ 1.56 Δ(Mayor concentración de tensiones debajo de Q)Para: 0.80 Δ Δ

= 0.80 z

Q

r

z

Roca Intacta Roca Intacta

Arcilla homogénea

e isótropa

Biot

Boussinesq

A A

Fig.24: Comparación de tensiones obtenidas por las fórmulas de Boussinesq y Biot

Otro tipo de discontinuidad posible es el que estudió Burminster (Proceeding H.R.B. – 1956) y

cuyo esquema damos a continuación. Este investigador estableció que Δ era función de:Δ ; ; ; ;


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Fig.25: Esquema para la obtención de la fórmula de Burminster

Vamos a aplicar las ecuaciones de Burminster y Boussinesq en el plano AA para 0, haciendo valer las dos siguientes posibilidades:

A-

(1) Medio Blando

(2) Medio Rígido

B-

(1) Medio Rígido

(2) Medio Blando

Intuitivamente: si el medio (1) es más rígido que el medio (2), el manto superior actúa como una

losa y distribuye la carga Q sobre una superficie mayor, luego las tensiones que llegan al plano AAson menores que las dadas por Boussinesq.

Estas desviaciones se acentúan cuanto mayor es la diferencia entre los módulos de elasticidad E y

los módulos de Poisson y cuanto menor es la relación /.Como vemos las diferencias entre las hipótesis asumidas para Boussinesq y las discontinuidades

citadas (y otras discontinuidades que puedan presentarse) pueden ocasionar inexactitudes

apreciables. Sin embargo, se estima que estas inexactitudes son probablemente de menor

importancia y posiblemente introduzcan errores menores que las causadas por el uso limitado de

la teoría de la elasticidad de los suelos.

Tal cual hemos afirmado, la presunción básica en la teoría de la elasticidad es la proporcionalidadentre los esfuerzos y las deformaciones. Por consiguiente, la parte más importante de esta

discusión será hasta qué grado se mantiene esta proporcionalidad en los suelos cuando se aplican

las cargas. En muchos casos se puede aplicar a las muestras de suelo los esfuerzos que soportará

la masa de suelo en un proyecto determinado y se podrán observar las deformaciones y

graficarlas en función de los esfuerzos. En tales casos se obtendrá una indicación de la posible

aplicación de la teoría de la elasticidad, si es que se obtienen gráficos donde los esfuerzos varíen


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linealmente con las deformaciones, más aún, la teoría de la elasticidad podrá ser aplicada en

dichos casos cuando el aumento o la disminución subsecuente en la carga muestra que la

proporcionalidad no se mantiene ya, con lo que quedaría demostrado, por lo tanto, que el suelo

no es realmente elástico. Dos ejemplos de curvas comunes de esfuerzos – deformaciones serán

discutidos en forma amplia para explicar este punto en mayor detalle

Fig.26: a) Escala aritmética b) Escala logarítmica

Primeramente consideraremos la curva típica para la compresión unidimensional mostrada en la

Fig. 26. Si un punto cualquiera sobre esta curva es tomado como un punto de origen y seconsidera un pequeño aumento en la presión, es razonable considerar que la curva sea una línea

recta, de hecho esta hipótesis fue adoptada en la teoría de la consolidación. Por lo tanto, los

aumentos en la presión intergranular serán, aproximadamente, proporcionales a la relación de

vacíos y estos pequeños aumentos son aproximadamente proporcionales a las deformaciones

verticales, se concluye que dentro de este incremento, el aumento del esfuerzo intergranular

vertical es proporcional a la deformación vertical. Por lo tanto ahora podemos hacer

clasificaciones. La ilustración muestra que si el esfuerzo es disminuido, la proporcionalidad no se

mantendrá. Adicionalmente, todos los efectos de la plasticidad o cualquier otro factor que

involucre el elemento tiempo, traerán complicaciones, las cuales representarán limitaciones a la

validez de la proporcionalidad asumida, pero las mismas son tan complejas que no permitensiquiera el intentar dar una breve explicación de ellas en esta sucinta discusión. Sin embargo, se

deberá mencionar que la lenta, pero constante deformación secundaria durante la compresión es

completamente contraria al comportamiento elástico.

La curva de la Fig. 26 también ilustra otro aspecto. Toda vez que la curva se hace más plana a

altas presiones, la relación esfuerzo – deformación se hace más grande al aumentar la presión.

Este es una ejemplo a la tendencia fundamental que es aplicable a todos los materiales y de


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acuerdo con la cual las relaciones esfuerzos – deformaciones no son constantes sino que son

proporcionales a la presión interna, o presión intrínseca. Terzaghi da una lista de ciertos metales

que fueron sometidos a distintas presiones internas y luego se determinó, en cada caso, el módulo

del esfuerzo deformación en una presión unidimensional. Dichos módulos resultaron muy

diferentes, pero aproximadamente proporcionales a las presiones internas.

Las curvas obtenidas son de la forma siguiente de la figura 27.1

Donde P1, P2, P3 y P4 son las presiones internas, valiendo además P1


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Estos suelos al ser cargados con las tensiones inducidas por la estructura, estando los mimos

previamente sometidos a tensiones internas distintas, tendrán distintos módulos de esfuerzo –

deformación.

Entonces, según lo dicho anteriormente, el aumentar la profundidad debajo de la superficie del

terreno, todas las relaciones esfuerzos - deformaciones tienden a aumentar.

Como sabemos no existe ninguna hipótesis en la teoría de la elasticidad que contemple tal

posibilidad. Es probable que en muchos casos las variantes de las relaciones esfuerzos -

deformación no sean muy grandes, de modo tal que la acción conjunta sea la misma que en el

caso hipotético en el cual las relaciones esfuerzo-deformación sean constantes e iguales al valor

promedio real. Sin embargo, en aquellos casos, como aquel de una arena, cerca de la superficie

del terreno, el suponer que la proporcionalidad entre los esfuerzos y las deformaciones no

cambian con la profundidad, es totalmente incorrecto.

Lo que ocurre es que en suelos arenosos la diferencia entre los distintos módulos esfuerzo-

deformación es mucho mayor que en el caso de suelos cohesivos, por lo tanto, la acción conjunta

no puede ser la misma que en el caso hipotético de que las relaciones esfuerzo - deformaciónsean corrientes e igual al valor promedio, sobre todo cerca de la superficie del terreno.

El segundo ejemplo de la curva esfuerzo – deformación que será presentado, se refiere a la acción

de los suelos en el instante de corte. Se hará una discusión de las relaciones esfuerzo –

deformación en el instante de corte absolutamente limitada. Sin embargo, ciertas ideas básicas

pertinentes a la aplicabilidad de la teoría de la elasticidad, si serán presentadas.

La rotura de corte en los suelos no se produce cuando la tensión tangencial excede cierto valor

crítico. El método más eficiente para determinar este valor crítico, o sea la resistencia al corte, en

el ensayo de compresión triaxial. Este consiste en someter a una probeta cilíndrica de longitud L

y volumen V, protegida con una funda impermeable, a una presión que actúa en toda susuperficie y axialmente a una presión p, según se indica en la Fig. 29. a

a) b) c) Fig.29: Ensayo triaxial

Manteniendo constante la presión y aumentando gradualmente la presión axial , se produciráuna deformación axial, la cual puede ser graficada según se muestra en la Fig. 29. b. También se

producirán cambios de volumen, tal como se aprecia en la Fig. 29. c.


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Al seguir incrementando la presión , llega un momento en el que se produce la rotura a lo largode un plano inclinado de corte. Este instante está representado por los puntos B y B’ en las

curvas de la Fig. 29. b y 29.c, respectivamente. Se puede ver que las relaciones esfuerzo –

deformaciones representada por estas curvas pueden considerarse como relaciones,

aproximadamente constantes, hasta que se llega a los puntos A y A’. Al aproximarse el instante de

falla, el presumir una relación constante es totalmente erróneo y por lo tanto no puede ser válido.

Mas aún, el estudio de dicha muestra indica que la relación constante se mantienen siempre y

cuando la presión axial nunca disminuya. Se llega entonces a la conclusión que al aplicar la teoría

de la elasticidad en suelos no puede justificarse a menos que los cambios de tensión que ocurran

en los casos considerados serán únicamente aumentos, y a menos que los esfuerzos cortantes

sean muy pequeños en relación con los esfuerzos cortantes que causan la falla.

Otro factor objetable puede intervenir durante el corte aún cuando los esfuerzos cortantes sean

pequeños, si se ensaya una muestra completamente saturada aplicando rápidamente las cargas, la

muestra rompe antes de que el contenido de humedad haya empezado a adaptarse al cambio de

tensión. Consecuentemente no se producirá un cambio de volumen apreciable. Si bajo la acciónde las cargas el suelo muestra una tendencia a una disminución de la relación de vacíos, es decir a

contraerse, el aumento de la presión vertical que actúa sobre la muestra se traducirá en un

aumento de la presión hidrostática del agua de los poros, por lo cual la presión vertical efectiva en

la superficie de rotura es menor que la presión total actuante, de modo que el suelo se rompe a

una tensión de corte menor que la que se obtiene en una muestra similar sometida a un ensayo

lento, ya que en este caso, el suelo tendrá tiempo para ir expulsando el agua a medida que sus

vacíos se reduzcan y de esta manera las presiones totales actuantes, se transmiten por contacto

entre los granos, de modo que la presión efectiva en la superficie de rotura será prácticamente

igual a la presión total, por lo que la tensión de rotura por corte será mayor que en el ensayo

rápido.

Si la muestra tuviera una tendencia a la expansión (dilatancia) bajo la acción de una carga,

fenómeno debido a una reacomodación de los granos (apreciable en arenas densas), el efecto de

la aplicación rápida de la carga será opuesto al anterior, ya que en este caso el suelo romperá a una

tensión de corte mayor que para el caso de un ensayo lento.

Si el aumento o la disminución de las tensiones de rotura por corte debido a una aplicación rápida

de la cargas es de una magnitud apreciable, este hecho tendrá un efecto considerable sobre la

aplicación de la teoría elástica.

El significado de la propiedad elástica conocida como la relación de Poisson se oscurece tanpronto como se lo utilice en conexión con los materiales no estrictamente elásticos como lo son

los suelos. Una propiedad que puede ser usada en su lugar para evitar complicaciones y

controversias, es la relación esfuerzo-deformación volumétrica, tal como se aprecia en la Fig. 29.

c.

En estimaciones o cálculos de ingeniería es casi siempre deseable el saber algo acerca de la

exactitud probable de los resultados finales. El hecho de que esto no se puede hacer, debido a la


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falta de conocimiento de las exactitudes probables de los resultados finales. El hecho de que esto

no se puede hacer, debido a la falta de conocimiento de las exactitudes probables, es uno de los

puntos menos satisfactorios acerca de las estimaciones de las presiones inducidas en los suelos y

las cuales están basadas sobre fórmulas que parten de la teoría de la elasticidad. Existe una gran

necesidad de realizar mediciones en el campo con el objeto de comprobar los esfuerzos

estimados para los suelos, aún a pesar de que las mediciones en el campo no son obtenidasfácilmente y están ellas mismas sujetas a inexactitudes provenientes que no son fáciles de

valorizar. De todas maneras en la actualidad, se están haciendo investigaciones en campaña a los

efectos de medir dichas investigaciones, las cuales deben ser auspiciadas en todas las formas

posibles por el ingeniero especialista en suelos.

Hasta aquí hemos estudiado, para una carga puntual Q, todas las variaciones normalmente

posibles de la características de la masa de suelo.

Ahora estudiaremos las expresiones que nos permitirán calcular la presión vertical en un punto,

provocada por una carga lineal y por una distribuida (uniformemente o variada) sobre una

superficie rectangular o circular, En cada caso mencionaremos al autor de la solución dando conello tácitamente las hipótesis del razonamiento efectuado.

TENSIONES INDUCIDAS POR UNA CARGA LINEAL INFINITA

Una carga lineal es aquella aplicada solamente en un plano, por ejemplo en un plano vertical. La

Fig. 30 ilustra el concepto de una carga lineal vertical distribuida sobre una longitud infinita. La

intensidad de la carga es en / o / en un cierto intervalo de longitud , es:Estrictamente, una carga lineal actuando en suelos es muy difícil de imaginar, de la mima manera

como es difícil de imaginar una carga puntual. Prácticamente, todas las cargas son transmitidas al

suelo a través de una fundación o a través de un plato de carga. La cuestión es determinar cuándo

una carga puede ser considerada como una carga puntual, cuando una carga lineal y cuando una

superficie cargada.

Kögler y Scheidig estudiaron estos problemas y establecieron que la distribución de presiones en

suelos bajo un área cargada está influenciada por el tamaño del área cargada solamente en una

estrecha región.

Estos autores también establecieron que la distribución de tensiones más abajo de una cierta

profundidad debajo de la superficie del terreno está muy cerca de ser la misma para una carga

puntual, una carga lineal o un área cargada. Esta profundidad es, aproximadamente, tres veces el

diámetro del plato de carga o tres veces el ancho de una fundación rectangular o continua.

El problema de las tensiones verticales, causadas por una carga superficial, lineal y

uniformemente distribuida, q, ha sido resuelto por Melan. Esta solución es un caso especial del

problema de Boussinesq.


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Fig.30: Carga vertical lineal distribuida infinitamente

Usando los mismos símbolos y un razonamiento similar a la teoría de Boussinesq para una carga

concentrada, la ecuación de la tensión vertical puede ser calculada si Q es sustituida por . y Δ por Δ en la ecuación dada por la teoría de la elasticidad:Δσ 32 . Tenemos:

dΔσ

3

2 .

32 .

.

Integrando obtenemos:

Δσ 32 . . 2. .

.

Pero:


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Δσ 2. . . Volviendo a la expresión anterior y teniendo en cuenta que para 0,

Δσ 2. .. 2... Δσ 2. .. . 1

Δσ 2. .. . 11 Esta ecuación da las tensiones sobre algún plano horizontal a la distancia z bajo la base de

fundación.

Cuando 0 la máxima tensión vertical sobre algún plano horizontal es:Δσ á 2. . 0.636 Para

θ 45

Δσ

25% Δσ á

Para θ 55 Δσ 10% Δσ á ECUACIONES DE FRÖHLICH PARA UNA CARGA LINEAL DE LONGITUDINFINITA

Para este tipo de carga también

estudió la concentración de

tensiones que se produce en una

masa de suelo, cuando varíacon la profundidad y llegó a la

siguiente ecuación:

Δσ . Donde: 12. ./ Fig.31: Dos superficies cilíndricas coaxiales


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Si estudiamos esta fórmula para el caso de arena para la cual habíamos dicho se podía tomar 4 tendremos: 12. ./

./ . . / 1 . / .

/ 3

/ 1 13 23 1

2. 23 3

4

Es decir:

Δσ 34 . . 34 . . 34 . . 1 Δσ 34 . . 11 Recordamos que tanto las ecuaciones anteriores de Boussinesq como la de Fröhlich tratan la

carga longitudinal infinita. Veremos seguidamente otros tipos de ecuaciones que resultan de las

hipótesis de Boussinesq y de Westergaard para una carga lineal de longitud finita.


37/76

Ralph e. Fadum, en su artículo “Influence

values for estimating stresses in elastic

foundation” presentado en la segunda conferencia internacional de Mecánica de Suelos e

Ingeniería de Fundación, en Rotterdam – 1948, tomo III, da el valor de la tensión vertical en un

punto para el caso de una carga lineal sobre una longitud finita y dice así:

La tensión vertical en un punto N debida a una carga por unidad de longitud q aplicada sobre una

línea de longitud finita, es expresada en los términos del sistema de coordenadas enseñado en la

Fig. 28 y en concordancia con las ecuaciones de Boussinesq y Westergaard respectivamente, de la

siguiente manera:

Boussinesq:

Δσ 2 .

. 1 . 1 2

Que puede escribirse:

Δσ . 12 . 1. √ 1 . 1 1 2 1 Donde:

y Siendo

: la longitud de la carga

Δσ . Westergaard:Δσ q2π .k .z . yx κ. z . 1x y κ. z/ Dónde:

κ 1 2υ2.1 2υ Que puede escribirse en la forma:Δσ qz . k2π . nm κ . 1m n κ/ Donde como antes:

y

Fig.28: Distribución de esfuerzos con cargalineal de longitud finita


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Siendo la longitud de la carga q.Δσ . Los valores de

y

han sido graficados en función de m y n. Los valores de

fueron

tabulados para 0 de acuerdo a lo razonado en temas anteriores.Para encontrar el valor de la tensión en un punto N, es necesario solamente medir las distancias e definidas en la Fig. 32; dividir esas distancias por la profundidad y obtener los valores de y , respectivamente, y luego seleccionar el valor de influencia o en el respectivocuadro.

Debe notarse que las coordenadas del sistema enseñado en la Fig. 32 se eligió de modo tal que el

eje es paralelo a la línea de carga y que el eje pase a través de un extremo de esa línea. Por elprincipio de superposición de efectos la tensión Δσ en un punto que está situado en el planozox paralelo al plano z'o'x' puede ser determinada fácilmente por diferencia entre las tensiones

debidas a una carga lineal de longitud (y’ + y) y la tensión debida a una carga lineal de longitud y’.

Aplicando el mismo principio de superposición podemos determinar Δσ en un punto N situadodebajo del punto medio de la longitud de carga zy. Para ello determinamos Δσ para lalongitud de carga y luego hallamos Δσ 2. Δσ Recordemos que para una longitud de carga

infinita aplicando la teoría de Boussinesq

habíamos encontrado para un punto situado a

una profundidad z debajo del punto medio

origen de coordenadas:

Δσ á 0.64 qz Empleando el gráfico de Fadum tendremos: 0 0 Que para e infinito toma valores muy grandes;

usando el gráfico de Fadum para valores 10 los valores de influencia se mantienen

prácticamente constantes. Luego para

0 y

10 tenemos: = 0.32LuegoΔσ 0.32 qz Δσ 2 0.32 qz 0.64 qz

q

x

z

y

2y

∆σz

o

N

y

z

Fig.33


39/76

Que coincide con el valor obtenido aplicando la fórmula obtenida para una carga lineal infinita.

De la misma forma explicada anteriormente para un punto medio, podemos determinar Δσ paracualquier posición intermedia.

TENSIONES INDUCIDAS POR UNA CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA –

SECCIÓN DE CARGA: RECTANGULAR.Para el caso en que la carga es de intensidad uniforme y aplicada sobre un área rectangular (x, y)

en la superficie de la masa de extensión infinita, Newmark ha encontrado una expresión para

determinar el estado de tensiones verticales en un punto N debajo de una de las esquinas de este

área por medio de la integración de la ecuación de Boussinesq para carga concentrada.

Fig.34: Distribución de esfuerzos bajo una superficie rectangular uniformemente cargada.

Δσ Qz . 32π . 11 / La expresión es la siguiente, dada en los términos indicados por el sistema de coordenadas de la

Fig. 32:

Δσ q4π . 2.x.y.z.x y z/z. x y z x. y . x y 2. zx y z tg. 2.x.y. z. x y z/z. x y z x. y Que puede escribirse de la forma:

Δσ q4π . 2.m.n.m n 1/m n 1 m. n . m n 2m n 1 tg. 2.m.n.m n 1/m n 1 m. n Donde:


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y Siendo e los lados del rectángulo de carga.

Δσ

q.

Los valores de en función de m y n están dados en la página 294 del libro de D.W.Taylor,Principios fundamentales de Mécanica de Suelos y también en la página 83 del tomo III de losProceeding de la Segunda Conferencia Internacional de Mecánica de suelos, Rotterdam, 1948.Si m y n son menores que 0.30, la carga repartida podrá tomarse como carga puntual y la

ecuación (1) podrá usarse con una exactitud satisfactoria, como será demostrado luego. En los

gráficos nombrados se podrá ver que si o son mayores que 3, las tensiones inducidas noserán apreciablemente diferentes de la tensiones que resultarían si este valor de o fueseinfinitamente grande. Debido a que la ecuación (2) es simétrica respecto de y , los valores de

y

son intercambiables y las abscisas o las ordenadas de los gráfico enunciados pueden ser

indistintamente y .ECUACIÓN DE WESTERGAARDPara las tensiones debajo de un área uniformemente cargada, la integración de la ecuación de

Westergaard para una carga puntual:

Δσ Qz . 12π . 1 2υ2 2υ1 2υ2 2υ rz/

Nos dá la expresión:

Δσ q2π . tg. x. yκ. z . 1x y κ. z/ Donde:

κ 1 2υ2 2υ Que puede escribirse en la forma:

Δσ q. 12π . tg. m. nκ. m n κ/

Donde: y Siendo e los lados del rectángulo de carga.Δσ q. Los valores de están dados en función de m y n para:


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0 κ 1 2υ2 2υ En la página 300 del libro D.W.Taylor: Principios Fundamentales de Mecánica de Suelos, y

también en la página 84 del Tomo III de los Proceeding de la Segunda Conferencia Internacional

de Mecánica de Suelos, Rotterdam 1948. Lo que sigue es válido para las dos teorías, de

Boussinesq y de Westergaard.

Para encontrar el valor de la tensión vertical en un punto debajo de la esquina de un árearectangular ( , ) uniformemente cargada con una carga q por unidad de área se procede de lasiguiente manera:

1- Medición de las distancias e tal cual se definen en la Fig. 34.2- Obtención de las razones m y n, dividiendo x e y respectivamente por z, donde z es la

distancia desde el plano de carga hasta el plano sobre el cual se desea determinar la

tensión vertical

Δσ.

3- En función de m y n encuentran los valores de influencia .4- Hallar el valor de la tensión vertical Δσ empleando la ecuación: Δσ q. En el caso anterior es cuando el punto N coincide con una esquina del área cargada. En caso

contrario, cuando queremos determinar la tensión Δσ en un punto que se encuentra fuera dela vertical que pasa por una esquina del área cargada, es posible calcular dicha tensión aplicando el

principio de superposición como se indica a continuación:

1- Determinar el valor de influencia , para la tensión debida a la carga uniformementedistribuida sobre un área rectangular de lados

’ e

’, que incluye el área que

realmente está cargada y aquella que tiene una esquina sobre el punto cuya tensiónqueremos valorar.

2- Determinar los valores de influencia y para las tensiones debidas a la cargauniformemente distribuida sobre las áreas de lados ’ e ’ y ’ e ’,respectivamente.

3- Determinar el valor de influencia para la tensión debida a la carga ditribuída sobre elárea de lados ’ e ’ (esta área fue incluída dos veces en el punto 2)

4- Valorar la tensión vertical en el punto N’ por medio de la ecuación:

Δσ

q.

5- Aplicación de la fórmula para una carga puntual en lugar de la fórmula para cargas

distribuidas sobre áreas pequeñas.

En todas las ocasiones en las cuales se estudia la transmisión de esfuerzos en los suelos, las cargas

aplicadas no serán cargas sobre un punto, sino que serán cargas aplicadas sobre áreas finitas. En

los casos de zapatas individuales de tamaños convencionales, el área cargada es relativamente

pequeña. Para tales casos es de interés considerable el saber si se puede o no utilizar las fórmulas


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para una carga puntual, y si se pueden utilizar, cuál será la inexactitud introducida si se la compara

con los resultados obtenidos al usar una fórmula más complicada que se aplica para áreas

cargadas.

Daremos un ejemplo: supongamos disponer de una zapata cuadrada que tiene 2.50 m de lado y

una carga de 200 tn y se desea determinar si es razonable o no suponer que esta carga de 200 tn

actúa como carga puntual cuando se está calculando la tensión vertical justamente debajo del

centro de la zapata, a una profundidad de 7.00 m.

Carga concentrada

Para ello se hará uso de la ecuación de Boussinesq para una carga puntual Q:

Δσ . 32 . 11 /

Δσ .

En nuestro caso : 0 0.478 Δσ 20049 0.478 1.95 Carga distribuida

Ya que en realidad la carga Q está distribuida sobre un área de 2.50 m x 2.50 m, la tensión

promedio que será de 32 tn/m2, y la tensión vertical inducida a una profundidad de 7.00 m

debajo del centro del área cargada podrá obtenerse por el empleo de la ecuación:

Δσ q. Para lo cual el área cargada de la zapata la supondremos compuesta de cuatro áreas, cada una de

ellas de 1.25 m x 1.25 m y para cada una de las cuatro áreas m y n serán iguales a:

1.257.00 0.179 1.257.00 0.179 0.014 Por lo tanto:

Δσ 4 32 0.014 1.79

Tomando este valor de 1.79/como el valor correcto de la tensión Δσ, se puede ver que elsuponer una carga concentrada da un valor mayor, en aproximadamente un 9%.

Carga concentradaΔσ 20056.3 0.478 1.70


43/76

Carga distribuida

1.257.50 0.167 1.257.50 0.167 0.012

Δσ 4 32 0.012 1.54 Es mayor la Δσ dada por una carga puntual en un 10 %Para z = 8.00 m

Carga concentrada:

Δσ 20064 0.478 1.50 Carga repartida:

1.258.00 0.157 1.258.00 0.157 0.011 Δσ 4 32 0.011 1.41 Es mayor la Δσ dada por una carga puntual en un 6.50 %Una regla comúnmente aceptada es que el área de carga deberá tener dimensiones que serán

menores que la tercera parte de la profundidad, si es que se desea tratar a dichas cargas como

puntuales. Taylor establece que usando esta regla los errores resultantes no excederán de

alrededor el 5%.

Sin embargo, el ejemplo anterior, para z=8.00 m, no se encuentra dentro del error permitido del5%. De todas maneras el error del 6.5% podrá ser reducido si el área de 2.50 x 2.50 m fuese

dividida en cuatro partes iguales y si la carga de 200 tn fuera tratada como cuatro cargas puntales

de 50 tn cada una, actuando sobre los centros de cada uno de esto cuadrados. Bajo estas

condiciones la relación r/z será la misma para cada cuadrado e igual a:

2 ,

5 0

2,50

r

2. 1.252 0.885


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0.8858.00 0.11 0.463 Δσ 4 50

64

0.463 1.45

Como vemos este incremento de tensión Δσ dado para una carga concentrada es mayor en un3% al Δσ 1.41/ dado por la carga repartida. Luego el método descripto es útil parareemplazar a una carga repartida por una concentrada cuando la profundidad investigada es

mayor o igual que tres veces el ancho de la zapata:

a

a

: z ≥ 3a a

b

: z ≥ 3a

Siendo a, el lado mayor

De la misma manera obtendríamos para 3 2.50 7.50 , un error 5%TENSIONE INDUCIDAS POR UNA CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA –SECCIÓN DE CARGA CIRCULAR

ECUACIÓN DE BOUSSINESQ

En el caso de actuar una carga uniformemente repartida sobre una superficie circular de área A, la intensidad de la tensión vertical en un punto cualquiera puede calcularse dividiendo elárea cargada en pequeñas partes que soportan una carga: .


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Fig.35: Distribución del esfuerzo bajo el centro de una superficie circular uniformemente cargada

Esta carga se considera como concentrada en el baricentro.

Aplicando la ecuación de Boussinesq para una carga concentrada tenemos:

dΔσ 3. 2 . 11 / . Como vemos con la ecuación anterior estamos determinando la tensión en un punto situado

debajo del centro del área cargada.

Dicha ecuación integrada sobre toda el área de carga nos da el valor de la tensión en originadapor toda la carga . 2. .

dΔσ 3. 2. . 11 / .2.. dΔσ 3. . . 11 / . Δσ 3. . . 1

1

/ .

Pero

11 1

1 .2. r . dr

Δσ 3. .

. 11

/ .

. 11

11


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Δσ 3. .

. 1

1

/ . .

11

11 . 2. r . dr

Δσ 32 . . 11 / . 11

Δσ 32 . . 1

1

/

. 23

Δσ . 1 1 1 / Δσ q.

ECUACIÓN DE WESTERGAARD

Mediante un planteo similar al anterior, se llega integrando a la siguiente ecuación:

Δσ .

1 /

La ecuación que se integra es la de Westergarrd para carga puntual:

dΔσ .2. . / Donde:

1 22 2 Δσ q.


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Los valores de , tanto de Boussinesq como el de Westergaard (para 0 ), mediante los cuales sepueden determinar las tensiones debajo del centro

del área de carga circular, están tabulados en la

página 82 del tomo III de los Proceeding de la

Segunda Conferencia Internacional de Mecánica de

Suelos, en Rotterdam, 1948, en un artículo de

Fadum.

En Spangler existe una expresión que da Δσ paracualquier punto debajo de un área circular cargada,

basada en la teoría de Boussinesq

Δσ q. Donde:

; Los valores de están tabulados en la siguiente tabla:

/ /0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 4.00

0.25 0.97 0.96 0.46 0.015 0.00 0.000 0.000 0.0000.50 0.91 0.84 0.42 0.06 0.01 0.003 0.000 0.0000.75 0.78 0.69 0.37 0.11 0.02 0.010 0.002 0.0001.00 0.65 0.56 0.33 0.13 0.04 0.016 0.007 0.000

1.50 0.42 0.37 0.26 0.14 0.06 0.030 0.013 0.0022.00 0.28 0.26 0.19 0.13 0.07 0.041 0.022 0.0062.50 0.20 0.19 0.15 0.11 0.07 0.044 0.028 0.0113.00 0.15 0.14 0.12 0.09 0.06 0.045 0.031 0.0184 0.09 0.08 0.08 0.06 0.05 0.041 0.031 0.0185 0.06 0.06 0.05 0.04 0.04 0.033 0.027 0.0187 0.03 0.03 0.03 0.03 0.024 0.021 0.019 0.01510 0.025 0.014 0.014 0.013 0.013 0.013 0.012 0.011

Hasta aquí habíamos estudiado las tensiones inducidas por áreas cargadas de formas regulares, o

en caso contrario por cimentaciones de otras formas que, por ejemplo, podrían descomponerse

en un número pequeño de rectángulos. Sin embargo, el trabajo se complica bastante cuando nos

encontramos con áreas de carga irregulares o con cimentaciones discontinuas formadas por un

gran número de zapatas.

Para solucionar este último problema resulta de mucha utilidad el ábaco de Newmark cuya

justificación se basa en la fórmula que nos da la tensión inducida por una carga uniforme q,

x

y

o

N

∆σz z

xN

yNR

z

R

Fig.36


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aplicada por intermedio de un área de carga circular de radio R. Dichas tensiones se hallan para

puntos situados debajo del centro del área de carga.

Usando la expresión dada por Boussinesq:

Δσ . 1 1 1 / Donde sabemos que R representa el radio del círculo de carga.

La ecuación anterior podemos escribirla de la forma:Δσq 1 11 / Se observa que si el radio del área de carga

es

∞,

Δσ q⁄ 1 Δσ q, cualquiera sea el

valor de z.

De la ecuación (2) podemos determinar cuánto debe valer / para cada valor fijado conanterioridad de Δσ q⁄ ; por ejemplo para Δσ q⁄ 0.80 / 1.387; dejando constante a zpodríamos obtener para cada valor Δσ un determinado valor de R, que sería el radio de lacircunferencia de carga que produciría a esa profundidad z un valor dado de Δσ.Como vemos existe la posibilidad, si hacemos q = 1, de dibujar distintos círculos de radio R que

nos darían la tensión Δσa una determinada profundidad z, siempre y cuando se considere adicho círculo cargado uniformemente con una carga q unitaria. Pero como todos sabemos, los

dibujos deben hacerse en escala, luego adoptamos para dibujar los radios, una escala dada por la

profundidad z, de la siguiente manera.

Decimos que el segmento (cm) representa a la profundidad z en metros (m).La escala de longitud sería entonces: ⁄ , si queremos dibujar un radio R (m), parasaber su longitud en cm, debemos multiplicarlo por la escala: . Esto es igual a la cantidad de cm que en el papel representan al radio R.

o

x (cm)

Q


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Volvamos a que para Δσ q⁄ 0.80 R z⁄ 1.387, si como habíamos adoptado 1 Δσ 0.80 R z⁄ 1.387, multipliquemos ambos miembros de esta expresión por: , ⁄ 1.387 cm este valor lo tendríamos quedibujar en el papel.

Si la profundidad a investigar fuese otra, por ejemplo , tendríamos haciendo el mismorazonamiento: para Δσ 0.80 R z⁄ 1.387 (¡cuidado!, no variamos x (cm)) ⁄ 1.387 .Luego el valor relativo del radio (el dibujado) sería el mismo, pero medido en otra escala. Es

decir, que el radio real de la supuesta superficie de carga ya no sería el mimo que el anterior, lo

cual se ilustra en el siguiente ejemplo:

z

Rq = 1

∆σz = 0.80

z1

R1q = 1

∆σz = 0.80 a) En escala natural b) En escala natural

1 y 2 se reducen al mismo circulo en el ábaco de Newmark, pero por la aplicación de distintas

escalas.

1.387 x (cm)

La diferencia entre los casos 1 y 2 es fácil de analizar: si para que llegue igual tensión , es decir debe aumentarse la superficie de carga.Resumiendo: para estimar el valor del radio de la superficie circular que produce una tensión

Δσ 0.80 a una determinada profundidad z, debemos medir dicho radio en escala. Esa escala

es función de la profundidad investigada z, para un valor dado en cm del segmento .


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1.387 x (cm)

q = 1

Escala: ⁄ Se debe repetir la operación para otros valores de Δσ q⁄ , por ejemplo 0.60 y 0.40, obteniendoseel siguiente diagrama, que viene a ser un plano de influencia (si hacemos como antes q=1).

Fig.39: Esquema indicativo del empleo del ábaco de Newmark para el cálculo de tensiones verticales.

De modo que la tensión Δσ vale 0.80 si todo el circulo del radio se carga con 1; si solo secarga la corona limitada por las circunferencias de radios 0.80 y 0.60 con 1,entonces es Δσ 0.80 0.60 0.20; los radios dibujados dividen cada anillo en 10 zonasequivalentes, de modo que si se carga una de estas zonas con q=1 la tensión inducida es Δσ 0.02. En otras palabras, la influencia de una zona es 0.02. Para valores de q distintos de la unidadhay que multiplicar este valor 0.02 por un valor real de q. El procedimiento operatorio es como

sigue: se dibuja el plano de cimentación en papel transparente en la misma escala con que fuerondibujados los radios de cada circulo, y que como ya hemos explicado es función de la

profundidad z a investigar, dicha escala era ⁄ . Como vemos se requiere un dibujodistinto de la cimentación para cada profundidad elegida, por ejemplo para otra profundidad z, la

escala con que debemos dibujar la cimentación será: ⁄ .Luego se coloca el papel transparente sobre el ábaco de modo que la proyección del punto que se

estudia coincida con el centro 0 del ábaco; se cuenta el número de zonas cubiertas por el área


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ABCDEF del cimiento y el producto de este número por el coeficiente de influencia de cada

zona y por el valor da el valor de Δσ en el punto considerado y a la profundidad fijada.Δσ Δσ q. .

Donde : números de zonas abarcadas por el cimiento.Los ábacos usados en la práctica tiene muchas más subdivisiones que el de la Fig. 3, de modo queel coeficiente de influencia de cada zona es mucha más pequeño que en nuestro ejemplo y la

valoración del área cubierta por la forma irregular de la cimentación resulta más cómoda.

Newmark también ha elaborado ábacos de iguales características utilizando la expresión dada por

Westergaard para la determinación de las tensiones inducidas en los punto situados debajo del

centro de una carga circular uniforme . A continuación se desarrolla el cálculo de los radios de los anillos correspondientes a las

soluciones de Boussinesq y Westergaard para lograr una tensión Δσ por anillo de 0.10 / para 0.10 /. Si se divide a dichos anilllos en 20 zonas mediante el trazado de losradios correspondientes, se obtendrá un coeficiente de influencia de 0.005, más que suficientepara la mayoría de los problemas prácticos. La profundidad z fijada fue de 0.50.

Otros casos de carga repartida, incluso no uniformemente, pueden verse en la obra “La

repartición de tensiones en el terreno de cimentación” de O.K Fröhlich, traducción de M.

Carrasco Arroyo, 2º edición, Madrid 1949.

En la obra “Pressure Areas” de Ismet M. Ordemir, aparecen numerosos gráficos para la carga

repartida de formas diversas, de las cuales se extrae el coeficiente de influencia para cada caso. El

mencionado autor dedujo los mismos por integración de la solución de Boussinesq. Paraconsultarlos ver Proceeding del Primer Congreso Panamericano de Mecánica de Suelos y

Cimentaciones (México, 1960), Volumen II, Página 903.


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MÉTODOS DE CÁLCULO DE LOS RADIOS PARA EL GRÁFICO DE NEWMARK

Boussinesq

Δσ

q 1 11 /

Westergaard

Δσq 1 / 1 22 2

Boussinesq Westergaard

Δσ 1 11 / 1 0 √

Distribución de Tensiones - 2010 UNLP

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