1.1 DISTRIBUCIÓN DE PRESONES EN EL SUBSUELO

5.1.1 TEORIA DE BOUSSINESQ–ISÓBARAS DE TENSIÓN (DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN EL TERRENO) Nos permite calcular las presiones creadas a una profundidad “Z”, producida por

una carga dispuesta en la superficie del terreno. Según está teoría a una profundidad de 1.50 la dimensión más pequeña de la

superficie de carga (1.5 B), las presiones que se generan son del orden de la 1/10 parte de la presión generada en la superficie.

En consecuencia teóricamente los terrenos deberán investigarse hasta esa profundidad, sin embargo, cuando el terreno es de buena calidad o roca, la profundidad es menor.

Boussinesq (1885), desarrollo las relaciones matemáticas para la determinación de los esfuerzos normal y de corte en un punto cualquiera dentro de medios homogéneos, elásticos e isotrópicos debido a una carga puntual concentrada localizada en la superficie.

Todos los esfuerzos son independientes del Módulo de Yung del material (Es)

Esfuerzo Vertical .: σZ=3P

2 π Z2

1

[1+( rZ )

2 ]52

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . (5 .1 )

Esfuerzo Cor tan te . : τ r z=3P

2 π r Z2

1

[1+( Zr )

2]52

. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. (5 .2 )

Esfuerzo horizontal radial :

σ r=P2 π {(1−2 ν )[1r2

−Z

r2(r 2+Z2 )

−12 ]−3 r2 Z ( r2+Z2)

−55 }. .. .. . .. .. . .. .(5. 3 )

y σZ , τ rz son independientes del Módulo de Poisson ( μ )σ r depende del Módulo de Poisson (μ )

Westergarad, analizó que los esfuerzos están dados en función de la presión de contacto unifórmenle distribuida en la cimentación (q), las distancias y profundidades están dadas en función del ancho de la cimentación (B) y las Líneas isobáricas de esfuerzo vertical debajo de una cimentación en un material de finos estratos, semi-infinito y homogéneo.

DETERMINACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO (USO DE ABACOS).Para poder calcular los asentamientos debido a las cargas de cimentaciones (con su presión de contacto) es necesario estudiar la intensidad de las tensiones verticales sin tomar en cuenta las tensiones cortantes y tensiones horizontales.

Esta ecuación simplificada y expresada como:

σ z=q x I ……………………………… ………………………………………… (5.5 )

Donde: q: Presión de contacto I: Índice de Influencia (Factor de Influencia) I = f (m , n)

m= bZ

;n= aZ

a : Longitud , b=ancho

El Índice de Influencia se determina con la tabla (5.1)

σ Z=P2π {arctg [bZ a ( a2+b2)−2aZ ( R−Z )

(a2+b2) ( R−Z )−Z ( R−Z )2 ]+bZb2+Z2

a ( R2+Z2)(a2+Z2 ) R }. .(5.4 )

Siendo : R=√a2+b2+Z2

a) DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN ZAPATAS RECTANGULARES UNIFORMEMENTE CARGADAS.Se consideran zapatas rectangulares cuando tiene dos dimensiones en planta de longitud (a) y ancho (b) la misma que soporta una carga uniformemente distribuida (q kg/cm2). Consideremos cuatro casos

Caso I.Tensión vertical sZ bajo el punto “A” en el vértice a la profundidad “Z”

σ z=q x I

Se determinará las relaciones:

m= bZ

yn= aZ

I: valor de Influencia que se determinará de la tabla (5.1).

Caso IITensión vertical sZ bajo el centro “A” de una zapata a la profundidad “Z”, a y b representan las mitades de los lados de la zapata se calcula el efecto producido por los cuatro cuartos de la placa.

σ z=q x 4 I

Para determinar el esfuerzo se analiza según el primer caso, en otras palabras se tendrá cuatro rectángulos de longitud (a) y ancho (b).

Caso IIITensión vertical sZ bajo un punto cualquiera dentro de la zona de la placa a la profundidad “Z”.

σ z=q x (I I+ I II+ I III+ I IV )

En este caso deben sumarse los efectos producidos por las cuatro placas parciales; (I+II+III+IV) se determinará de cada rectángulo:

Caso IVHallar la tensión vertical sZ bajo un punto cualquiera (F) fuera de la zona de la placa a la profundidad “Z”.En este caso hay que sumar los efectos de los rectángulos GBEF y HDJF y restar los efectos de los rectángulos GAJF Y HCEF

GBEF: I1 HDJF: I2 GAJF: I 3

HCEF: I 4

σ z=q x¿

En general el esfuerzo en cualquier punto debajo de una superficie rectangular cargada se expresa mediante la ecuación:

σ z=q x I 1+ I2+ I 3+ I 4

I 1+ I 2+ I 3+ I 4: Índice de influencia de los rectángulos 1, 2, 3, 4, respectivamente.

En la mayoría de lo casos, el esfuerzo vertical debajo del centro de una superficie rectangular es de importancia, y se da por la siguiente expresión:

La variación de m1 y n1, se presenta según la tabla (5.2).

b) TENSIONES EN ZAPATAS RECTANGULARES CON CARGA CONCENTRADA (USO DE ABACOS)

σ Z=k s xP

Z2…………… ………………………………………… ………… (5.7 )

Donde:

k s=3

2πx

1

[1+( rz )

2]52

= 0.478

[1+( rz )

2]52

σ z=q x I c .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .(5 .6 )Donde :

Ic=f (m1 ; n1 )

Ic=2π [m1 n1

√1+m12+n1

2

1+m12+2 n1

2

(1+n12) (m1

2+ n12) ]+sen−1

m1

√ (m12+ n1

2) √(1+n12 )

m1=ab

; n1=zb2

C) TENSIONES VERTICALES BAJO ÁREAS CIRCULARES, BAJO UNA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SE DA MEDIANTE LA ECUACIÓN Y USO DE ABACOS.

σ z=K x q ………… ………………………………………… ………………(5.8)

K=1− 1

[1+ (R /Z )2 ]32

Donde: R: Radio de la zapata.

1.1.2 TEORÍA DE NEWMARK (MÉTODO GRÁFICO)Newmark, propuso un método aplicable para cimentaciones discontinuas formada por un gran número de zapatas es más práctico.Según la formula para las tensiones verticales bajo el centro de una zapata circular.

σ z=q {1− 1

[1+( B2 x Z )

2]32 }…………………………………… ………… (5.9 )

Donde: B2=R : Radio de la zapata circular

Despejando obtenemos:

RZ

={(1−σ z

q )−23 −1}

−12=√(1−σ z

q )−23 −1 ……………. ………………… (5.10 )

Ahora puede escogerse datos para sZ /q:

σ z

q=0.1 , 0.2,0.3 ,0.4 , 0.5 , 0.6 , 0.7 , 0.8 ,0.9

Y con estos datos se calcula los radios R que proporcionan las fronteras de anillos cuyas áreas corresponden cada una al valor 1/10 sz, en el ábaco de Newmark.

En este ábaco el segmento A–B significa la escala básica y corresponde exactamente a una cierta profundidad Z donde quiere averiguarse las tensiones debidas a la carga de una cimentación. En nuestra figura el tramo A-B tiene la longitud 2.5 cm que corresponde al valor Z, y así es que los radios de está figura se calcula como:

A B

R=(√(1−σ z

q )−23 −1)Z

Sí: q=1 kg /cm2

Luego sub dividiendo los círculos en 20 radiales se obtiene una red de mallas en donde cada malla representa un área de influencia de cada trapecio circular con la magnitud de:

0.1 σz

20=0.005 σ z ………………………………………… …………(5.10)

En la aplicación del ábaco se utilizará el tramo A-B como la escala para las dimensiones de una cimentación. Al mismo tiempo este segmento A-B (escala 1:......) corresponde con su longitud exactamente a la profundidad Z a la cual se estudiará las tensiones sZ bajo un punto cualquiera de la cimentación.Se recomienda confeccionar el ábaco NEWMARK en papel transparente y se dibuja en otro papel la cimentación a la misma escala que representa el segmento A-B (el segmento puede corresponder a escalas cualesquiera)Se colocará el transparente del ábaco sobre el dibujo de la cimentación de modo que la proyección del punto bajo el cual se quiere determinar sZ Coincide con el centro de los círculos.Ahora se cuenta el número de las áreas de influencia (el número de trapecios circulares) que coinciden con todo el área de la cimentación.La tensión sZ a la profundidad Z será.

σ z=0.005n x q … …………………………. ………………… (5.11)

Donde:n: Número de mallas contadas (número de trapecios circulares)q: Presión de contacto con que actúa la cimentación (en Kg/cm2)

Para poder averiguar las tensiones a distintas profundidades es necesario alterar la escala del tramo (A-B) (por ejemplo: 1:100, 1:200, 1:400, etc.) escogiendo así profundidades cualesquiera.

Debe tomarse en cuenta, sin embargo, que los planos de la cimentación varían entonces en su tamaño (las dimensiones de la cimentación debe coincidir siempre con la escala del tramo A-B)

Para poder averiguar las tensiones a distintas profundidades es necesario alterar la escala del tramo (A-B)(por ejemplo: 1:100, 1:200, 1:400, etc.) escogiendo así profundidades cualesquiera.

Debe tomarse en cuenta, sin embargo, que los planos de la cimentación varían entonces en su tamaño (las dimensiones de la cimentación debe coincidir siempre con la escala del tramo (A-B)