Universidad del Bio BioFacultad de Ciencias

Magister Mención EstadísticaEstadística I

Distribución Valor Extremo

Alumno: Iván Aliaga Casceres.Prof.: Miguel Yáñez

Mayo de 2015

La Distribución Valor Extremo es una de las distibuciones que se usan para describir el uso de las distribucionesweibull como limite de distribuciones para el mínimo o el máximo de una colección larga de observaciones aleatorias deuna distribucion arbitraria, por ejemplo los valores extremos concernientes con las distribuciones con propiedades delmáximo:

Mn=max(x1, x2, . . . , xn)

Con variables aleatorias identicas e independientes xi ∀i=1, . . . n.

1. Función de Densidad

Lla Distribución de valor Extremo tipo I, es el limite de las distribuciones del mínimo de una coleccion de observa-ciones identicas e independientes, su función de densidad esta dado por

f (x) =1β

e−x−µ

β exp[−e−

x−µβ

], −∞ < x < ∞, β > 0,

Cuando µ=0 y β=1, se tiene un caso particular el cual es tema de análisis en este documento.Luego:

f (x) = e−xexp[−e−x] , −∞ < x < ∞ (1)

Comprobando que 1 es una función de densidad.

∞̂

−∞

f (x)dx=1

ˆ ∞

−∞e−xexp

{−e−x} dx = −

ˆ 0

∞e−udu, cv. u=e−x du=− e−xdx, x → ∞⇒ u→ 0, x → −∞⇒ u→ ∞

= limt→∞

ˆ t

0e−udu

= limt→∞e−u(−1) |t0= limt→∞ − e−t + limt→∞e−0

= 0 + 1= 1

En este caso la distribucion de valor extremo se generaliza bajo la siguiente formula de la función de densidad:

1

f (x|k, µ, β) =1β

exp(−(1 + kx− µ

β)−

1k )(1 + k

x− µ

β)−1− 1

k

Para: 1 + k (x−µ)β > 0

k > 0 corresponde a las funciones de distribucion valor extremo tipo II, mientras que para k < 0 corresponde a lasfunciones de distribucion valor extremo tipo III, mientras que para el tipo I k=0 la función de densidad valor extremoesta dado por 1.

2. Gráfico

Codigo en Matlab:

x = linspace(-3,6,1000);

y = gevpdf(x,0,1,0);

plot(x,y1,'-')

legend({'K = 0, Tipo I, k=0,mu=0,beta=1' })

Figura 1: Gráfico de la funcion de Densidad para la funcion de valor extremo con parametros µ=0, β = 1 y k = 0

3. Esperanza Matemática

La esperanza matemática es la siguiente.

E[x] =

ˆ ∞

−∞x f (x)dx

=

ˆ ∞

−∞xe−xexp

[−e−x] dx

= −ˆ 0

∞ln(u)e−u(−du), cv. u=e−x du=− e−xdx, x → ∞⇒ u→ 0, x → −∞⇒ u→ ∞

= −ˆ ∞

0ln(u)e−udu

= γ

La integral−´ ∞

0 ln(u)e−udu es una integral cerrada que no contiene una analitica en funcion de u, Euler - Mascheronien 1735 resolvieron el problema tomando esta integral igual a γ = 0,5772156649, llamado constante de Euler1

Luego los momentos estarán dados por:

E[xn] =

ˆ ∞

0(−ln(x))ne−xdx

1Hand-book, Statistical Distributions fro experimentalists, Chrisian Walck y Fysikum.

2

Asi.

ˆ ∞

0(−ln(x))e−xdx = γ

ˆ ∞

0(−ln(x))2e−xdx = γ2 +

π2

6ˆ ∞

0(−ln(x))3e−xdx = γ3 +

γπ2

2+ 2ζ3

ˆ ∞

0(−ln(x))4e−xdx = γ4 + γ2π2 +

3π4

20+ 8γζ3

ˆ ∞

0(−ln(x))5e−xdx = γ5 +

5γ3π2

3+

3γπ4

4+ 20γ2ζ3 +

10π2ζ3

3+ 24ζ5

ˆ ∞

0(−ln(x))6e−xdx = γ6 +

5γ4π2

2+

9γ2π4

4+

61π6

168+ 40γ3ζ3 + 20γπ2ζ3 + 40ζ2

3 + 144γζ5

Donde γ es la constante de Euler Mascheroni:

γ=limk→∞

(n

∑k=1

1k− ln(n)

)=0,5772156649015328606065120...

Y ζn es la función zeta de Riemman ζ(n) dado por:

ζ(z)=∞

∑k=1

1kz =

1Γ(z)

ˆ ∞

0

xz−1

ex − 1dx, . z > 1

4. Varianza

La Varianza esta dado por:

Var[x] = E[x2]− E[x]2

para eso se resuelve para E[x2] dado por:

E[x2] =

ˆ ∞

−∞x2 f (x)dx

=

ˆ ∞

−∞x2e−xexp

[−e−x] dx

=

ˆ 0

∞(−ln(u))2e−u(−du), cv. u=e−x du=− e−xdx, x → ∞⇒ u→ 0, x → −∞⇒ u→ ∞

=

ˆ ∞

0(−ln(u))2e−udu

= γ2 +π2

6

Luego la varianza queda como:

Var[x] = E[x2]− E[x]2

= γ2 +π2

6− γ2

=π2

6

3

5. Función generadora de momentos

La función generadora de momentos esta dado por:

E[etX]

=

ˆ ∞

−∞etX f (x)dx

=

ˆ ∞

−∞etxe−xexp

[−e−x] dx

=

ˆ 0

∞et(−ln(u))e−u(−du), cv. u=e−x du=− e−xdx, x → ∞⇒ u→ 0, x → −∞⇒ u→ ∞

=

ˆ ∞

0u−te−udu

=

ˆ ∞

0u(1−t)−1e−udu

= Γ(1− t), ∀t < 1

6. Propiedades

La distribución es unimodal y sesgada derecha. La función de densidad de probabilidad satisface las siguientes pro-piedades:

1. f es creciente de (−∞, 0) y decreciente en (0, ∞).

2. Moda es igual a 0.

3. f es cóncava hacia arriba en (−∞,−c) y (c, ∞) y cóncava hacia abajo en (−c, c), donde c = ln[(3 +√

5)/2)].

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