Distribución de corriente en los conductores de mallas de tierra

Luis Ortiz N.*

RESUMEN: Las expresiones para evaluar el desempeño de las puestas a tierra, mediante métodos generales, presen­tados en la mayoría de los artículos están derivados de dos conceptos básicos: el cálculo de la corriente difundida por los diferentes segmentos de la malla de tierra y el uso de estos valores de corriente para determinar los potenciales en un punto deseado en las cercanías de la malla de tierra. Este artículo presenta un método general para calcular la corriente difundida por los diferentes conductores de la malla de tierra, el cual se basa en dividir cada conductor en varios segmentos lineales. Este método es aplicado a un electrodo formado por un conductor horizontal y a un electrodo de cuatro conductores formando un cuadrado. Para ambos electrodos el suelo es considerado homogéneo y no homogéneo de dos capas. Es analizada la precisión en función de la longitud de los segmentos lineales y la in­fluencia del número de imágenes para un suelo de dos estratos. Finalmente son dadas pautas para mejorar la precisión, tiempo de procesamiento computacional y re­querimiento de memoria.

l. INTRODUCCIÓN

El campo creado por los conductores de una malla de tierra , en el exterior de el los. en régimen estacionario o de varia­ción muy lenta. puede ser obtenido, considerando líneas de corriente con densidad de corriente tal que. en ausencia de los conductores creasen en la superficie externa de éstos, potenciales idénticos a aquellos a que se encontraban los conductores.

En e l caso de conductores de forma c il índrica de radio muy pequeño comparado con las longitudes y distancias entre conductores, no considerando el error en los extre­mos, se consigue reproducir aproximadamente la condi­ción de la superficie de cada conductor ser una equipoten­cial, considerando líneas de corriente en el eje de los conductores, con densidad de corriente convenientemente ajustada. El error es tanto menor cuanto menor sea el radio de los conductores en relación a la longitud de éstos y a las distancias entre ellos. Es importante destacar que esta den­sidad de corriente depende, en cuanto a su distribución relativa, no sólo del conductor correspondiente . como tam­bién de los restantes conductores.

*Departamento de Ingeniería Eléctrica . Facultad de Ingeniería Universidad de Santiago de Chile .

SUMMARY: Equations on the computation of grounding systems performance for the general methods, presented in the most ofthe papers are based on two basic concepts: the calcu/ating of the leakage current in different lineals seg­ments of a grounding electrode and the use of these leakage current values to find the potential at any desired point around the ground e/ectrode layout. This paper presented a general method, that is based to divide the wires into a large numbers of segments. This method is applied to horizontal wire electrode and square electrode of four wires. F or the both electrodes. the soil is considered homo­geneous and non-homogeneous oftwo [ayer. lt is analysed the precision infunction ofthe length ofthe linear segments and the influence ofthe number ofimagesfor the two /ayer soil model . Finally it give any ruler for improve the accura­cy. process time and computation memory requirement.

El método indicado es reducible a un problema de cálculo de variaciones, determinando la densidad de co­rriente a lo largo de cada línea.

Otro procedimiento, aceptando implícitamente algunos errores. consiste en sustituir las líneas con distribución continua de densidad de corriente, por segmento , supo­niendo en cada segmento un valor uniforme de densidad de corriente. Este método sería conceptualmente equivalente al anterior, si se considerasen segmentos infinitamente pequeños.

A partir de las distribuciones de corriente, por integra­ción. se obtiene el potencial o el campo eléctrico en cual­quier punto.

La aproximación de Sunde [ 1], de considerar la densi­dad de corriente constante a través de los conductores de una malla de tierra , es en la actualidad utilizada en la mayoría de las situaciones prácticas. Los métodos basados en esta aproximación [2) consideran terreno uniforme y geometrías rectangulares típicas, por lo tanto presentan un gran error para terrenos con fuerte variación de resistividad y no son aplicables a mallas de configuraciones complejas (no rectangulares, conductores en distintos niveles, con conductores anexos).

En la última década han sido desarrollados métodos generales , que evalúan en forma más exacta el comporta-

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miento de una malla de tierra [3. 4. 5. 6. 7]. Éstos se basan en el cálculo exacto de la densidad de corriente difundida por los conductores. La utilización de estos métodos ha sido posible gracias al advenimiento de los computadores de gran capacidad y alta velocidad.

La referencia [6) hace un estudio completo de un siste­ma de puesta a tierra que incluye el cálculo de las corrientes residuales. su distribución. potenciales y resistencias. Ade­más incluye una aplicación y análbis a algunas situaciones prácticas. En cambio en la [8] encontramos una revisión de los métodos generales incluyendo resultados numéricos.

En este trabajo es realizado un estudio de las distribucio­nes de densidades de corriente di fundida por los conducto­res de una malla de tierra usando el método de dividir el conductor en varios segmentos de conductor a igual poten­cial. Es evaluada la influencia del número de segmentos en la precisión de la distribución de la corriente. Es además considerada la influencia del número imágenes para un suelo de dos capas.

Fue elaborado un programa de computación a través del cual se realizaron los estudios indicados anteriormente para un conductor y una malla de cuatro conductores colocados en suelo homogéneo y en el suelo de dos estratos. Final­mente se dan indicaciones en el sentido de mejorar la precisión del cálculo y disminuir los requerimientos de capacidad del computador.

2. ANÁLISIS TEÓRICO

El procedimiento utilizado en el cálculo de la distribución de corriente en los conductores de una malla de tierra. consiste fundamentalmente en sustituir los conductores con distribución continua de corriente por n segmentos. supo­niendo en cada uno un valor uniforme de densidad de corriente y un mismo potencial, finalmente cada segmento de conductor es sustituido por un segmento lineal de co­rriente. Este método es general. puede ser apl icado cual­quiera que sea el número de conductores. sus dimensiones y sus posiciones relativas entre e llos y a la superficie del suelo. El método es aproximado. si consideramos segmen­tos infinitamente pequeños, se obtiene la solución exacta .

La superficie del suelo es tornada en cuenta en un suelo homogéneo considerando una imagen a una distancia igual a la profundidad del conductor.

Cuando el suelo no es homogéneo y es simulado por un suelo de dos estratos o más, las condiciones de interacción

¡ '" v ( ~ )2 + r2 + t R, ~ _e_ 2 + ln

471'( v (1_)2 + ~ - 1_ 2 2

¡ V (; -x)2 + z2 + l_ - x R,J _e_ tn 2

471'( y ( ~ + xf + ' (1_ +X) z- -2

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entre las distintas zonas. pueden ser obtenidas en cada una de ellas. considerando un medio infinito en todas las direc­ciones de resistividad unifonne igual al de esa región. e imágenes sucesivas en número infinito. La distribución de corriente. en este caso no sólo depende del diámetro. longi­tud y profundidad del conductor. sino además del espesor de los estratos y la relación entre sus resistividades.

En una malla de tierra sustituida por n segmentos de conductores de resistividad nula. colocada en un suelo homogéneo o no homogéneo. la relación entre las tensiones y las corrientes en los segmentos conductores es:

[V) = [RJIII ( 1)

donde [V) es el vector de los potenciales de los conductores (en relación a un punto remoto), [1) vector de las corrientes en los conductores (inyectadas en el suelo desde los con­ductores) y [R] la matriz de las re~istcncias entre los con­ductores.

La distribución de corriente en los conductores se obtie­ne resolviendo para [ 1 )la ecuación ( 1) suponiendo el mismo valor del potencial para todos los segmentos de conductor.

Suelo Homogéneo

Consideremos el caso de un conductor de longitud L. radio r enterrado horizontalmente en suelo homogéneo de resisti­vidad p a una profundidad h como lo muestra la Figura l .

El sistema de la Figura 1 . para efectos de análisis en la superficie de la tierra o bajo ella. pero dentro de la primera capa. es sustituido por el sistema equivalente de la Figura 2.

1 h

1 > //$7

r es1St1v dad r y

la=:::::=========== l -~~2r

Figura l. Conductor horizontal en suelo homogéneo.

Al dividir el conductor Len n segmentos de longitud l Un. los elementos de la matri7 [R) de la ecuación ( 1)

\On:

y<~J2 + (2h)2 + 1_ l 2 (2)

v (~)2 + (2h)2 _l_ 2

l y (; -x)z + zz + (2h)2 + ..f_ - X

+ tn 2 (3)

y<~ +d z2 + (2h)2 - (l_ T X) + 2

Figura 2. Sistema equivalente al de la Figura l.

dondes:

p = Resistividad del terreno. h = Profundidad del conductor. e = Longitud de cada segmento conductor. x = Distancia en la dirección x entre los segmentos ij de

[R]. Para el caso particular de un conductor colocado en la dirección x. la variable z toma el valor constante de r.

z = Distancia en la dirección z entre los elemento~ ij de [ R [. Para el caso part icular de un conductor colocado en la dirección x. la variable z toma el valor constante de r.

Suelo no homogéneo (2 estratos)

Para un conductor colocado horizontalmente en el estrato superficial (resistividad p1) en un suelo de dos estratos. como se muestra en la Figura 3. al ser sustituido el suelo por un medio infinito en todas las direcciones, de resistividad uniforme p1 igual al de la zona considerada, se tiene un número infinito de imágenes con los valores y las localiza­ciones dados en la Figura 4.

Para el sistema de la Figura 4. los elementos de la matriz [RJ son:

{ e, v (;)2 + r + 1..

R;; ___Q_ 2 4'1Te v (; )2 r- 1.. +

2

X

+ l V ( ; )2 + (2nH - 2h)2 + ;

" - 1

+ en

+ en

H ¡

h [-=======~l._ 1--- Tir

/7//l

resiStividad r,

~ rosost1vidad r

2

Figura 3. Cond~ctor horizontal en un suelo de 2 estratos.

- l 4Hth)

• 4H - (4H-h )

-)H

-( 1 H·h) -Z H

- 11H - h )

-H

- h -------11

1ir - --~==-='=®jl====-+2~ - - --­y

H

( 1 H -h)

]H

(1 H•h)

3H

(4H -hl

4H

l 4H•h)

Figura 4. Sistema equivalente al de la Figura 3.

v (;)2 + (2h)2 + .s_ 2 v (;)2 (2h)2 - .s_ + 2

+ 2 en + (2nH)2 + 1._

2

+ (2nH)2 - ..f 2

21

( V el.. - x)2 + z2 + l.. - x

2 2 R = ____e_ en

'l 4 e TI V ( ~ + x)2 + z2 - ( ~ + x)

+ en

[ V ( ~ -x)2 + z2 + (2nH - 2h)2 + ~ - x

¡ K" en

V ( ~ + x)2 + z2 + (2nH - 2h)2 - ( ~ + x)

+ "= 1

+ 2 en

V ( ~ + x)2 + z2 + (2nH)2 - ( ~ + x)

+ tn V <-f - x)2 + z2 + (2nH + 2h)2 + f - x

V ( ~ + x)2 + z2 + (2nH + 2h)2 - ( ~ + x) ] l (5)

donde:

X. Z

H

K

= tienen el significado de las ecuaciones (2) y (3)

= espesor del primer estrato del suelo (resistivi ­dad p1)

= resistividad de los estratos 1 y 2, respectiva­mente

= factor de reflexión dado por:

K = P2- Pt P2 + pi + p¡/p2

3. APLICACIÓN DEL MÉTODO

El método indicado es aplicado considerando suelo homo­géneo y de do5 capas a los siguientes casos:

-Conductor circular horizontal de 2m de longitud, de 5 mm de radio. colocado a 0,5 m de profundidad.

- Cuatro conductores de las dimensiones anteriores for­mando un cuadrado horizontal colocados a 0.5 m de profundidad .

Cada uno de los conductores fueron d ivididos en l. 1 O. 20. 50 y 100 segmentos.

Cuando es considerado suelo de dos capas es hecho también un estudio del error en función del número de imágenes cons ideradas para el conductor.

4. RESULTADOS

Los resultados son presentados en su mayoría en forma de gráficos:

22

La Figura 5 muestra la distribución de la corriente en el caso de un conductor de 2m de longitud, 5 mm de diámetro enterrado a 0.5 m de profundidad en un suelo homogéneo de resistividad p y en un suelo de 2 estratos con un espesor de 2 m la capa superficial (resistividad p1) . La capa más profunda tiene un valor de resistividad igual a JO veces el valor de la resistividad de la capa superficial. Se visualiza cómo influye el número de segmentos en que se divide el conductor.

e .. .. e

: 1.4

.. 1.3 "O

* 1,2

~ 1.1 "O

"' e ~ 1.0

o. 9

profundo dad -del conductor O.Sm ·de la 1• capo 2m t1•om del cond Smm

- suelo homoqe'neo

--- suelo de 2 copas

1'21 p1 =10

0.8 L_~:----:L-.J..._-..J..,--_J'----'---'--..1..--'--_J -1 -06 -06 -04 ·02 o 02 04 06 08

Dostancoa desde el centro 1m 1

Figura S. Distribución de la corriente en un conductor de 2m de longitud enterrado horizontalmente en un suelo homogéneo y de 2 estratos.

La Figura 6 muestra la distribución de la corriente en un conductor de un electrodo cuadrado de conductores iguales a los descritos anteriormente, colocada horizontalmente a 0,5 m de profundidad en un suelo homogéneo de resistivi­dad p y en un suelo de 2 estratos p 1 y p2 = 1 O p 1, el espesor del estrato superficial es 2 m.

La Tabla 1 muestra la influencia del número de imáge­nes en el valor de distribución de corriente para el caso de un conductor como el descrito anteriormente enterrado a 0,5 m de profundidad en un terreno no homogéneo con una capa superficial de 2 m de espesor y resistividad P1. la resistividad de la capa inferior es p2 = 10 PI-

Para terrenos biestratificados en que la capa superficial es de menor resistividad , el método expuesto es totalmente aplicable. La diferencia radica en que el coeficiente de reflexión K, de las ecuaciones (4) y (5), es negativo, teniendo como consecuencia una convergencia más lenta de las series. Esto significa que para tener una exactitud, del mismo orden de los casos tratados, se debe considerar un mayor número de imágenes. en el cálculo de los elemen­tos de la matriz [R] .

S. CONCLUSIONES

De entre las conclusiones más importantes podemos des­tacar:

En el caso de un suelo de dos capas la distribución de corriente es menos uniforme que para un suelo homogéneo.

La distribución de corriente en los conductores del cuadrado hori zontal es más uniforme que en la situación de

~ 1.5 e

"' profundidad -suelo homogéneo

"' 1,4 e: "' ~

1.3 ~

o

-del elect rodo O,Sm -de l a 1•copo 2m

doom del cond . S mm

---sue lo de 2 copas

fi1~=10

"' ..., 1.2

" "' e 1,1 := ..., o ..., 1,0

"' e

"' o 0',9

0,8 L---'----l.--L _ _._ _ _¡__....._____.'----l.----'-___J

-1 -0,8 -0,6 - 0.4 -0,2 0.2 o.4 o.6 o.a Dostancio desde el centro del conductor (m)

Figura 6. Distribución de la corriente en uno de los conductores de un electrodo cuadrado de 2 x 2 m, enterrado horizontal­mente en terreno homogéneo y en uno de 2 estratos.

un solo conductor. Una distribución de corriente uniforme se obtendría en un anillo enterrado horizontalmente.

Los cálculos realizados son muy sensibles al número de divisiones del conductor . de acuerdo con el análisis teórico, cuanto mayor es el número de segmentos . mejor es la precisión del cá lcu lo; por supuesto esto debe relacionarse con el costo involucrado. Una buena manera para optimizar es considerar segmentos más cortos en los extremos de los conductores y más largos en el centro de éste.

Tabla 1 INFLUENCIA DEL NÚMERO DE IMÁGENES EN

LA DENSIDAD DE CORRIENTE EN UN CONDUCTOR ENTERRADO EN UN TERRENO DE 2 CAPAS

Número de Densidad de corriente en el conductor imágenes en "/ 1 del valor medio

Di v. 10 Div.

2 1.211 10 1.275

REFERENCIAS

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[5] P. KouTEYNIKOFF. Numerical Complllation of the Groun­ding Resistance of Substarions and Towers . IEEE Trans. on

[61

17]

181

20 Di v. 50 Div. 100 Div.

1.351 1.644 2.051 1.426 1.737 2.168

Power App. and Syst. Vol. PAS-99. W 3. pp. 957-965. May./Jun . 1980. N. MORALES. Prorecto \' Análisis de Sistemas de Puesta a Tierra con apoyo de Pr~gramas Computacionales. V Con­greso Chileno de Ingeniería Eléctrica. Vol. l. pp. 61-72, Valparaíso. 1983. E. RIBEIRO. R.R . SALDANHA. Modelo de Porencial Constan­te para Projeto de Malhas de Aterramento. 6" Congreso Brasilei ro de Automática, pp . 853-858. Be lo ·Horizonte. 1986.

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