Dispersin

Teora de la DispersinLa Teora de la Dispersin de partculas cunticas es uno de los temas ms importantes

en la Mecnica Cuntica por sus mltiples aplicaciones en la Fsica Nuclear, en el estudio delas partculas elementales y en la caracterizacin de tomos, molculas y slidos. Debemosrecordar que las partculas cunticas pueden ser fermiones, como los electrones, protones,neutrones; y bosones, como los diferentes tipos de fotones (Rayos X, Rayos Gammas etc.).La teora de la dispersin se puede identicar nicamente desde un punto de vista formal,no de contenido, con la teora clsica de choques o colisiones. En general, existe diferenciaen la teora cuando el sistema cuntico que se dispersa y el dispersor son partculas como loselectrones o son partculas como los fotones. Estas notas estn enfocadas con mayor nfasisa la dispersin de fermiones. La dispersin de fotones, conocida como teora de la dispersinde la radiacin, tiene una gran importancia en muchas ramas de la Fsica donde es necesariala caracterizacin del objeto a travs de sus propiedades pticas, con la utilizacin para estepropsito de tcnicas espectroscpicas. No es nuestro propsito introducir la teora formal dela dispersin de la radiacin, pero s deniremos las magnitudes generales que caracterizanuna dispersin de partculas cunticas de cualquier tipo.Dentro del marco de la Teora de la Dispersin son conocidos dos tipos de dispersin, la

elstica y la inelstica; adems, la magnitud fundamental que caracteriza la dispersin esconocida como la seccin ecaz de dispersin, la cual nos da informacin del proceso integralde dispersin que incluye al sistema cuntico dispersado y al dispersor.

Seccin ecaz de dispersinLlamaremos proceso de dispersin a la desviacin de las partculas respecto de la direccin

inicial del movimiento, provocada por la interaccin con un cierto sistema que se llamardispersor.El estudio de los procesos de dispersin de partculas cargadas y no cargadas es uno de

los mtodos experimentales bsicos para investigar la estructura de la sustancia.La dispersin de un ujo de partculas se caracteriza por la seccin ecaz elemental

diferencial. Esta magnitud se dene como la razn del nmero de partculas dNdisp por unidadde tiempo, en el ngulo slido d, a la densidad de ujo jinc de las partculas incidentes, esdecir, la seccin ecaz diferencial se dene por la relacin

d (; ') =dNdisp (; ')

jinc,

donde los ngulos y ' determinan la direccin del movimiento de las partculas dispersadas.El eje z est dirigido en el sentido del movimiento de las partculas incidentes, como muestrala siguiente gura.

1

Esquema de la dispersin.

Para nuestros nes, conviene representar dNdisp en la forma

dNdisp (; ') = jdisp (; ') dS,

donde jdisp es la densidad de ujo de partculas dispersadas a grandes distancias del centrodispersor, dS es un elemento de supercie perpendicular al vector de posicin, vector cuyoorigen coincide con el centro dispersor y forma los ngulos y ' respecto a los ejes decoordenadas adoptados. La magnitud de dS est ligada con el elemento de ngulo slido d

por la igualdad

dS = r2d.

La seccin ecaz diferencial se dene, pues, por la frmula

d =jdispjinc

dS. (1)

En Mecnica Cuntica se entiende por densidades de ujos jdisp y jinc las correspondientesdensidades de ujo de probabilidad.Integrando la expresin (1) sobre todos los ngulos obtenemos la cantidad

=1

jinc

Ijdisp (r; ; ') dS =

dispjinc

, (2)

llamada seccin ecaz total de dispersin y disp es el ujo de partculas dispersadas queatraviesa la supercie cerrada que rodea al centro dispersor. La supercie sobre la cual serealiza la integracin es asumida a gran distancia del centro dispersor por lo que podemosconsiderar que en cada punto de esta supercie las partculas dispersadas viajan en direccinradial.De acuerdo a la ecuacin (2), la seccin ecaz total de dispersin es la razn de la proba-

bilidad total de dispersin de una partcula (en la unidad de tiempo) a la densidad de ujode probabilidad en el haz incidente.En la dispersin mutua de dos sistemas mecnico-cunticos debemos distinguir la disper-

sin elstica de la inelstica. En la dispersin elstica el estado interno, tanto del sistemadispersor como del dispersado, permanece invariable. Por ejemplo, en la dispersin elsticade electrones por tomos el estado de stos no vara. En la dispersin inelstica s cambia elestado interno de uno o de ambos sistemas. Por ejemplo, la dispersin de los electrones portomos ser inelstica si en el proceso de dispersin los tomos pasan a un estado excitado.En la dispersin inelstica una parte de la energa cintica se convierte en energa interna o,recprocamente, la energa interna se transforma en energa cintica.

2

Comenzaremos la exposicin de la teora con el caso ms simple, el de la dispersinelstica. En la dispersin elstica es posible prescindir del estado interno de los sistemas y,simplemente, llamar partculas a sistemas cualesquiera en interaccin.En el proceso de dispersin tiene lugar la interaccin de dos partculas, la dispersada y

la dispersora. Adems, muy a menudo la energa de interaccin depende slo de la distanciaentre partculas. En este caso, el problema del movimiento de las dos partculas en interaccinpuede siempre reducirse al estudio del movimiento de una partcula (con masa reducida )en el campo de un centro de fuerzas inmvil y al del movimiento del centro de masa delsistema.En la prctica, siempre es necesario conocer cmo se desarrolla el proceso en el sistema

de coordenadas del laboratorio. Por ello, si se ha resuelto el problema del movimiento deuna partcula en el campo de fuerzas externas, en las frmulas habr que pasar al sistemadel laboratorio. Esto se puede hacer fcilmente sabiendo que la seccin ecaz (1) permaneceinvariante ante una transformacin que lleve de un sistema inercial a otro y sabiendo que losngulos se transforman mediante las relaciones

tan 1 =m1sin

m1 +m2 cos ; 2 =

2,

donde es el ngulo de dispersin de las dos partculas en el sistema del centro de masa,1 y 2 son los ngulos de dispersin de la primera y segunda partcula en el sistema dellaboratorio, en el cual la segunda se encontraba en reposo antes de la colisin.En lo siguiente vamos a detallar lo que sucede en el sistema del centro de masa de las

partculas que colisionan.

Amplitud de dispersinVamos a considerar un problema estacionario de dispersin.El movimiento de la partcula dispersada es no acotado y consecuentemente la energa del

sistema es siempre positiva y no cuantizada, por lo que en la teora de dispersin el espectrode energa es siempre continuo.Si tomamos el origen de coordenadas en el centro dispersor jo podemos describir la

interaccin de la partcula con este centro a travs de la funcin potencial V (r), dondeasumimos que esta funcin es no nula slo en una parte limitada del espacio, r a, quenosotros llamaremos rango de fuerza, donde el movimiento de la partcula que est siendoconsiderada obedece a la ecuacin de Schrdinger,

~2

2mr2 (r) + V (r) (r) = E (r) , (3)

(m es la masa de la partcula dispersada). Introduciendo la cantidad

k2 =2m

~2E =

p2

~2, (4)

la ecuacin (3) toma la formar2 + k2 (r) = 2m~2V (r) (r) . (5)

3

Fuera del rango de fuerza, la partcula se mueve libremente y su estado es descrito poruna onda plana. Adoptando la direccin de movimiento de la partcula incidente como eleje z, la funcin de onda que describe el estado de la partcula antes de su interaccin con elcentro dispersor es

inc = eikz. (6)

No es difcil ver que esta funcin es una de las soluciones posibles de la ecuacin (5)cuando el miembro derecho se anula.Cerca del centro de fuerzas, la partcula experimenta dispersin y se modica la forma

de su funcin de onda.Sin embargo, una vez que la partcula dispersada se aleje y salga del rango de fuerza,

sta se mover nuevamente como partcula libre. A grandes distancias de esta regin laspartculas dispersadas se mueven en direccin radial a partir del centro de fuerza, por loque el movimiento de las partculas dispersadas deber describirse por una onda esfricadivergente,

disp = A (; ')eikr

r, (7)

donde r, , ' son coordenadas esfricas.Debemos notar que, en la dispersin elstica, la cantidad k en las expresiones (6) y (7)

es la misma y est determinada por la relacin (4).La funcin A (; ') es llamada amplitud de dispersin y depende, por lo general, de

ambos ngulos, y '. Cuando V (r) = V (r) la amplitud de dispersin depende solamentedel ngulo .La funcin de onda total que describe el movimiento de las partculas incidentes y dis-

persadas a grandes distancias del centro dispersor (cuando r a) puede presentarse en laforma

= eikz + A (; ')eikr

r, (8)

donde el primer trmino describe el movimiento de las partculas incidentes y el segundo, elde las dispersadas.Debemos notar que el primer trmino en esta expresin est escrito en coordenadas

cartesianas, y el segundo en coordenadas esfricas.Segn (1), hay que calcular las densidades de ujo de las partculas incidentes y disper-

sadas. Como sabemos, el ujo incidente est dado por

jinc =~2mi

( incr inc incr inc) ;

teniendo en cuenta que inc depende slo de z obtenemos

jinc =~2mi

inc

d

dz inc inc

d

dz inc

=~km=

p

m= v, (9)

donde v es la velocidad de las partculas incidentes. Aqu la funcin (6) est normalizada.El gradiente, en coordenadas esfricas, est dado por la expresin

r = @ @re^r +

1

r

@

@e^ +

1

rsin

@

@'e^'.

4

Estamos interesados en la componente radial jr del ujo de partculas dispersadas. Estapuede ser encontrada sustituyendo r por la componente radial @

@r, esto es,

jr =~2mi

disp

@ disp@r

disp@ disp@r

=~kmr2

jA (; ')j2 . (10)

Sustituyendo (9) y (10) en (1) se obtiene la siguiente expresin para la seccin ecazdiferencial de dispersin:

d (; ') = jA (; ')j2 d; (11)es decir, la determinacin de la seccin ecaz diferencial de dispersin consiste en encontrarla amplitud de dispersin.El clculo de esta ltima se realiza de la siguiente forma:Se obtiene la solucin de la ecuacin de Schrdinger para el movimiento de una partcula

en el campo del centro dispersor tal que a grandes distancias del mismo tenga la forma (8).Entonces el coeciente del factor eikr=r dar la amplitud de dispersin.La representacin de la funcin de onda que describe el movimiento de una partcula

lejos del centro dispersor en la ecuacin (8), es decir, como suma de las ondas incidentey divergente, se ha llevado a cabo tomando como base consideraciones fsicas simples eintuitivas; sin embargo, se puede demostrar que lejos del centro dispersor inmvil V (r), lasolucin de la ecuacin de Schrdinger puede efectivamente escribirse en la forma (8).

Ejercicio resuelto:

Demostrar que la amplitud de dispersin de una partcula en un campo externo arbitrarioest relacionada con su funcin de onda a travs de la ecuacin

f (k) = 2~2

ZeikrV d:

Respuesta.La ecuacin de Schrdinger del problema es de la forma

~2

2r2 + V = E :

Introduciendo, como es usual, k2 = 2E~2 , la ecuacin se transforma en

r2 + k2 = 2~2V : (12)

Consideremos el lado derecho como una inhomogeneidad. Debemos entonces encontraruna solucin de una ecuacin inhomognea que satisface las siguientes condiciones de con-torno:

r!1

exp [i (k0 r)] + f exp (ikr)r

:

Usando la expresin para la funcin de Green de la ecuacin (12),

G (r r0) = 14

exp (ik jr r0j)jr r0j ;

5

fcilmente encontramos la solucin requerida:

= exp [i (k0 r)] 2~2

ZV (r0) (r0)

exp (ik jr r0j)jr r0j d

3r0:

Para valores grandes de r tenemos

exp (ik jr r0j)jr r0j

exp (ikr)

r exp [i (k r0)] (~r !1) ;

donde k = k rr: Luego,

exp [i (k0 r)] 2~2

exp (ikr)

r

Zd3r0 exp [i (k r0)]V (r0) (r0) ;

entonces

f (k) = 2~2

Zd3r exp [i (k r)]V (r) (r) :

Esta ecuacin es convenientemente utilizada en varios clculos aproximados.Por ejemplo, sustituyendo (r) exp [i (k0 r)] se obtiene la amplitud de dispersin en

la primera aproximacin de Born, la cual estudiaremos a continuacin.

Aproximacin de BornLa resolucin exacta de la ecuacin de Schrdinger y el obtener A (; ') entraan, en

la mayora de los problemas, grandes dicultades matemticas; por ello, en la teora de ladispersin se aplican mtodos aproximados, siendo el ms importante de ellos la aproximacinde Born. Este mtodo se basa en la hiptesis de que la energa potencial de interaccin de lapartcula dispersada con el centro de fuerzas es pequea, por lo que es posible considerarlacomo una perturbacin. En este caso, la funcin de onda que describe el estado de unapartcula dispersada puede ser descrita como

= (0) + (1), (13)

donde (0) es la funcin de onda del problema no perturbado que describe el comportamientode la partcula antes de interactuar con el centro dispersor, luego,

(0) = eik0r.

Para encontrar la funcin de onda en primera aproximacin se introduce (13) y E = E(0)

en la ecuacin del problema perturbado, esto es, ~

2

2mr2 + V

(0) +4 (1)

= E(0)

(0) +4 (1)

,

de donde se obtiene que

r24 (1) (r) + k20 4 (1) (r) =2m

~2V (r) (0) (r) , (14)

6

donde

k20 =2mE(0)

~2.

Ahora bien, de la Electrodinmica se sabe que un potencial escalar ' (r; t) producido poruna densidad de carga (r; t) satisface la ecuacin de DAlembert,

r2' (r; t) 1c2@2' (r; t)

@t2= 4 (r; t) , (15)

cuya solucin es el potencial retardado

' (r; t) =

Zr0;R

ct

RdV 0,

siendoR = jr r0j .

Si consideramos que la densidad de carga en cada punto vara segn una ley armnica,

(r; t) = 0 (r) ei!t, (16)

entonces,

' (r; t) =

Z0 (r

0) ei!Rc ei!t

RdV 0 = '0 (r) e

i!t, (17)

donde

'0 (r) =

Z0 (r

0) ei!Rc

RdV 0. (18)

Introduciendo las funciones (16) y (17) en (15) y cancelando el factor ei!t, obtenemosuna ecuacin diferencial para '0 (r),

r2'0 (r) +!2

c2'0 (r) = 40 (r) , (19)

cuya solucin es la funcin (18).La ecuacin (14) que estamos interesados en resolver es similar a la ecuacin (19), luego,

su solucin puede ser obtenida reemplazando en la expresin (18) !cpor k0 y 0 (r

0) por m2~2V (r

0) (0) (r0), esto es,

4 (1) (r) = m2~2

Z1

RV (r0) ei(k0r

0+k0R)dV 0. (20)

Estamos interesados en una expresin asinttica para 4 (1) (r), esto es, la forma de lafuncin para grandes distancias r del centro dispersor. Esta integral est evaluada sobre elrango de fuerzas, para r0 a; luego, r r0. Para grandes distancias una partcula viaja enuna direccin radial con origen en el centro dispersor, esto es, su vector de onda k coincideen direccin con r.

7

Teniendo esto en cuenta obtenemos, para r r0,

R2 = (r r0)2 = r2 2r r0 + r02

r21 2r r

0

r2

,

o bien,

R r1 r r

0

r2

= r k r

0

k,

ya que r=r = k=k.Sustituyendo este valor aproximado de R en la integral (20), y en el factor fraccional

usando simplemente r en lugar de R, se obtiene que

4 (1) (r) = m2~2r

eikrZV (r0) ei(k0k)r

0dV 0.

Comparando esta expresin con (8) vemos que la amplitud de dispersin en la aproxi-macin de Born est dada por la expresin

A (; ') = m2~2

ZV (r0) eiqr

0dV 0, (21)

donde q = (k0 k) es denominado vector colisin, cuya magnitud es

q = k jn n0j = 2ksin2=2mv

~sin

2, (22)

donde es el ngulo entre los vectores k0 y k, es decir, el ngulo de dispersin (k0 estdirigido a lo largo del haz incidente y el vector k a lo largo del vector de posicin que vadesde el centro dispersor al punto de observacin de las partculas dispersadas).Si la funcin V (r0) es esfricamente simtrica, V (r0) = V (r0), en (21) podemos integrar

sobre los ngulos y ' (donde el ngulo es medido desde la direccin del vector k0 y elngulo ' es medido desde la direccin del vector q). En este caso, la amplitud de dispersinno depende de '

A () = m2~2

Z 10

V (r0) r02dr0Z 0

eiqr0 cos'2sin'd'

= 2m~2

Z 10

V (r0)sinqr0

qr0r02dr0. (23)

Sustituyendo (23) en (11) obtenemos la expresin para la seccin ecaz diferencial dedispersin,

d =4m2

~4

Z 10

V (r0)sinqr0

qr0r02dr0

2 d; (24)esta expresin es conocida como frmula de Born.Prosiguiendo con las aproximaciones sucesivas cabra hallar la funcin de onda y la ampli-

tud de dispersin en segunda aproximacin. El trmino adicional a la amplitud de dispersin

8

se determinara en segunda aproximacin por la integral del cuadrado de la energa potencialde interaccin. De la misma manera se pueden hallar correcciones de orden superior.Para valores pequeos del ngulo de dispersin, de (24) tenemos que

d =4m2

~4

Z 10

V (r0) r02dr02 d,

luego, la seccin ecaz resulta independiente de la velocidad de la partcula.La aplicabilidad de la aproximacin de Born est dada para una rpida convergencia de

la serie de aproximaciones sucesivas, por lo que es necesario que la correccin en primeraaproximacin a la funcin de onda, (1), sea pequea comparada con la funcin de onda dela aproximacin de orden cero, (0), esto es, (1) (0) ,es decir,

m

2~2

Z eikz0eikjrr0jjr r0j V (r0) dV 0 1. (25)

Dado que (1) (r0) disminuye al aumentar la distancia desde el centro de dispersin, lacondicin (25) se cumplir si se cumple en el origen de coordenadas. Por lo tanto, la condicin(25) se puede sustituir por la desigualdad (1) (0) = m

2~2

Z eik(r0+z0)V (r0)r0 dV 0 1. (26)

Tambin se pueden analizar dos casos lmites:1. Cuando se cumple la condicin ka 1. Esto corresponde a una pequea energa de

las partculas,

E ~2

ma2.

2. Cuando se cumple la desigualdad opuesta ka 1. Esto corresponde a la condicin

E ~2

ma2.

En el primer caso, al estimar la integral (26) se puede hacer eik(r0+z0) 1. Entonces,

m

2~2

Z V (r0)r0 dV 0 m2~2 jV0j

ZdV 0

r0=m

~2jV0j a2 1,

donde V0 es un cierto valor medio de la energa de interaccin en la regin de radio a, luego,

jV0j ~2

ma2.

La expresin ~2

ma2es igual, en orden de magnitud, a la profundidad mnima de un pozo de

potencial de radio a para la cual aparece un primer nivel. Vemos as que las condiciones de

9

aplicabilidad de la frmula de Born a la dispersin de partculas lentas tiene un signicadosencillo: la energa media de interaccin debe ser pequea comparada con la energa potencialmnima de la partcula en el pozo para la cual se forma el estado ligado.En el segundo caso, la regin de aplicabilidad de la aproximacin de Born se ampla

considerablemente. El factor exponencial en (26) oscila rpidamente, lo que conduce a unadisminucin del valor total de la integral. Si sacamos fuera de la integral el factor lentamentevariable tenemos que (1) (0) = m

2~2jV0j

Z eikz0eikr0r0 dV 0

=m jV0j~2

Z a0

Z 0

eikr0(1+cos )sindr0dr0

=

m jV0j~2k

Z a0

1 e2ikr0

dr0

m jV0j a~2k

1. (27)

Adems, hemos omitido la integral de la cantidad rpidamente oscilante eikr0por ser

pequea frente a la integral que se conserva.De (27) tenemos que

jV0j a~v

1. (28)Luego, la aproximacin de Born es vlida para partculas que tengan una energa tanto

mayor cuanto mayor sea el producto V0a determinado por las propiedades del centro disper-sor.En el caso del campo de Coulomb, el potencial Ze

2

rdisminuye tan lentamente que es

imposible introducir el concepto de tamao efectivo del rango de fuerza a.Sin embargo, para V0 = Ze

2

ael producto V0a que aparece en (28) no depende de a, luego,

en un campo de Coulomb se cumple,

Ze2

~v 1; (29)

esta desigualdad signica que si se introduce la velocidad del electrn en la primera rbitade Bohr de un tomo hidrogenoide con carga del ncleo Ze (es decir, la cantidad k = Ze

2

~ ),la desigualdad (29) se convierte en

kv 1;

es decir, la velocidad de la partcula debe ser grande comparada con la del electrn en laprimera rbita de Bohr.La desigualdad (29) exige, para la aplicabilidad de la aproximacin de Born, energas

tanto mayores cuanto mayor sea la carga del ncleo dispersor.

Ejercicios resueltos:

1) Calcular la seccin ecaz para la dispersin por tomos de partculas rpidas con carga.

10

Respuesta.Asumiremos que el ncleo del tomo, con carga Ze, se encuentra en el origen de coor-

denadas y que la carga de la envoltura atmica est distribuida en el espacio con densidadn (r); consideraremos, adems, que el ncleo es puntual.La seccin ecaz diferencial de dispersin viene dada por (11), que para V = e', donde

e es la carga y ' el potencial del campo elctrico que acta sobre la partcula dispersada,toma la forma

d =m2e2

42~4

Z ' (r0) eiqr0dV 02 d;esta integral conviene expresarla en funcin de la distribucin de densidad de carga en eltomo. Como

R' (r0) eiqr

0dV 0 es la componente de Fourier del potencial, esta componente

puede expresarse en funcin de la componente de Fourier de la densidad de carga, la cualliga la componente de Fourier de la densidad de corriente con la componente de Fourier delpotencial; tenemos entonces,

d =4m2e2

q4~4

Z (r0) eiqr0dV 02 d.La densidad de carga en el tomo puede escribirse en la forma

(r) = Ze(r) en (r) ,que al sustituir en la seccin ecaz diferencial nos da

d =4m2e4

~4q4

Z Zeiqr0 (r0) dV 0 Z n (r0) eiqr0dV 02 d

=

4m2e4

~4q4jZ F (q)j2 d, (30)

donde

F (q) =

Zn (r0) eiqr

0dV 0. (31)

La cantidad F se llama factor de forma atmico. Su valor se determina por la distribucinde densidad de la carga electrnica.Sustituyendo en (31) el valor del vector colisin, segn (22), tenemos la seccin ecaz

diferencial en la forma

d =

e2

2mv2

2jZ F (q)j2 d

sin4 2

. (32)

Si la dispersin se produce por un ncleo puntual privado de capas electrnicas, n (r) = 0,se tendr en consecuencia, F = 0; entonces obtenemos para la seccin ecaz diferencial

d =

Ze2

2mv2

2d

sin4 2

.

Llegamos as a la conocida frmula de Rutherford que tiene la misma forma que laobtenida en en la Mecnica Clsica.

11

El hecho de que la seccin ecaz tienda a innito para dispersiones segn ngulos in-nitesimales, est vinculado con la lenta variacin del potencial coulombiano. Por ello, laspartculas sern dispersadas an cuando pasen lejos del centro dispersor. Sin embargo, enrealidad la accin de pantalla debida a la envoltura electrnica garantiza, conforme veremosms adelante, un valor nito para la seccin ecaz de dispersin.Consideremos ahora el factor de forma atmico (31). La regin efectiva de integracin

tiene dimensiones que son del orden del tamao del tomo a. Fuera de esta regin n (r) seanula. Por lo tanto, para ngulos pequeos, cuando sea ka 1, en la integral (31) sepodr desarrollar el exponente en serie. Tenemos entonces,

Z F (q) = Z Z iqZn (r0) r0dV 0 +

1

2

Zn (r0) (q r0)2 dV 0,

los dos primeros trminos se anulan puesto que la carga de la envoltura electrnica del tomoes igual a la carga del ncleo. El tercer trmino representa el momento dipolar del tomo,que es igual a cero. En el ltimo trmino, integrando respecto de los ngulos, se obtiene

Z F = 2q2

3

Z 10

n (jrj) r4dr.

La seccin ecaz diferencial en el caso lmite ka 1 tendr la forma

d =

4me2

3~2

2 Z n (r) r4dr2 d.De esta manera, gracias al apantallamiento debido a la envoltura electrnica, la seccin

ecaz diferencial resulta nita para pequeos ngulos de dispersin y constante (independi-ente de los ngulos). Por el contrario, en el caso de ngulos de dispersin grandes, cuando secumple la desigualdad opuesta, ka 1, el exponente en la integral (31) comienza a oscilarrpidamente y el factor de forma resulta ser una cantidad pequea. Desprecindolo frente aZ, llegamos a (32).El apantallamiento de la carga del ncleo no se maniesta para ngulos de dispersin

grandes.

2) Evaluar la seccin ecaz diferencial de dispersin por un campo repulsivo V = Br2apli-

cando la aproximacin de Born y el mecanismo clsico. Determinar el lmite de aplicabilidadde la frmula obtenida.

Respuesta.La amplitud de dispersin en la aproximacin de Born est dada por la ecuacin

ABorn = 2~2

Zd3r exp [i (q r)]V (r) = B

~2q;

donde q = k0 k, q = 2k sin 12. Luego, considerando que d = 2 sin d, entonces

dBorn = jA ()j2 d = 3B2

2~2Ecot

1

2d:

12

En el mecanismo clsico tenemos la siguiente relacin entre el ngulo de dispersin y elparmetro de impacto : Z 1

r0

vdr

r2q2 (E V ) v

r

2 = 2 ;donde r0 es el cero de la expresin bajo el smbolo de la raz. Si integramos obtenemos

2 =B

E

1

( )22 ;

y entonces

d = 2ddd =

23B

E

2 (2 )2d:

Si 8B~2 1 podemos aplicar la aproximacin de Born para todos los ngulos.En el caso del lmite opuesto, donde 8B~2 1 el resultado clsico se mantiene tambin

para ngulos no pequeos, & ~28B, mientras que para ngulos pequeos, . ~2

8B, el

resultado de la aproximacin de Born es vlido.

3) Utilizar la aproximacin de Born para hallar la seccin ecaz diferencial y total paradispersin elstica de electrones rpidos por: a) un tomo de hidrgeno; b) un tomo dehelio.

Respuesta.a) Evaluamos el factor de forma para el tomo de hidrgeno,

F (q) =

Zexp [i (q r)]n (r) d = 1

a3

Zexp

i (q r) 2r

a

d =

11 + q

2a2

4

2 ,donde a = ~

2

e2es el radio de Bohr.

Entonces, considerando la ecuacin (30), la seccin ecaz diferencial es

d =4a2 (8 + q2a2)

2

(4 + q2a2)4d

q = 2k sin

1

2

(33)

y la seccin ecaz total

=a2

3

7k4a4 + 18k2a2 + 12

(k2a2 + 1)3:

En este caso la aproximacin de Born puede ser aplicada, con tal de que ka 1, tal quepodemos simplicar la ltima expresin a

=7

3k2: (34)

13

b) Para el tomo de helio, utilizando el mtodo variacional, se obtiene la siguiente expre-sin para la densidad de electrones:

n (r) =2

b3exp

2rb

; b =

1

2

6

7a:

La seccin ecaz diferencial y total para la dispersin elstica para el tomo de heliotiene en esta aproximacin la misma forma que para el tomo de hidrgeno. Necesitamossolamente reemplazar a por b en las ecuaciones (33) y (34), e introducir un factor Z2 = 4.En particular, = 28

3k2:

4) Evaluar la seccin ecaz para la dispersin elstica por el potencial V (r) = B e{rren

la aproximacin de Born. Discutir la aplicabilidad de esta aproximacin.

Respuesta.Es bien conocido que la solucin del problema de dispersin elstica por un potencial

V (r) en la aproximacin de Born lleva a la siguiente expresin para la funcin de onda:

(0) + (1) (35)donde

(0) (r) = exp [i (k r)] ; (1) (r) =

2~2RV (r0) (0) (r0) exp(ikjrr

0j)jrr0j d

3r0;(36)

as que asintticamente tenemos

(1) (r)r!1

2~2

ZV (r0) exp [i (q r0)] d3r0

exp (ikr)

r A () exp (ikr)

r(37)

donde q = k k0 es el cambio en el vector de onda de la partcula durante la dispersin y es el ngulo de dispersin.La seccin ecaz diferencial para la dispersin en un ngulo slido d sobre un ngulo

con la direccin k de la partcula entrante es igual a

d = jA ()j2 d = 2

42~4

Z V (r0) exp [i (q r0)] d3r02 d: (38)Evaluemos la integral en la ecuacin (38). Tomando el eje polar de nuestro sistema de

coordenadas polares esfricas a lo largo del vector q y sustituyendo para V (r0) obtenemosZexp [{r0 + i (q r0)] d

3r0

r0= 2

Z 10

exp ({r0) r0dr0Z 11exp (iqr0x) dx

=4

{2 + q2;

y entonces

d =

2B

~2

2d

({2 + q2)2; q = 2k sin

1

2: (39)

14

Integrando la expresin (39) sobre el ngulo slido obtenemos la seccin ecaz total

=4

{2 + 4k2

2B

{~2

2: (40)

Consideremos algunos casos lmite de la ecuacin (39).i) k {, de manera que tambin q {:

d 2B

{2~2

2d; (41)

que es, la seccin ecaz de dispersin, en completo acuerdo con la teora de la dispersin departculas lentas, no existiendo dependencia sobre el ngulo de dispersin ni sobre la energade la partcula.ii) k { (partculas rpidas).Existen ahora dos rangos caractersticos del ngulo de dispersin,a) {

k, q {; la seccin para esos ngulos pequeos de dispersin tiende, para

! 0, al lmite constante (41);b) {

k, q { (deexin grande). En este caso tenemos que introducir la energa

de la partcula E = ~2k2

2,

d B

4E

2d

sin2 12: (42)

Esta es en esencia la frmula de la dispersin de Rutherford, como deba esperarse, dadoque en la regin fundamental de distancias, r s 1

q, el campo es prcticamente el campo de

Coulomb.La condicin de aplicabilidad de las fmulas de Born, (38) y (39), es que el trmino

de la correccin (1), el cual describe la inuencia del campo de dispersin, es pequeocomparado con el trmino principal (0). Esta condicin siempre se satisface si

(1)r=0

(0) = 1. Esta condicin de aplicabilidad es suciente; sin embargo puede ser demostradoque resulta ser demasiado fuerte, especialmente para ngulos pequeos de dispersin.Tenemos

(1) jr=0 = B2~2

Zexp [i (k r)] exp ({r

0 + ikr0)r02

d3r0

= 2B~2

Z 10

exp ({r0 + ikr0) sin kr0

kr0dr0: (43)

Para partculas lentas (k . {) la regin importante en la integral es r0 s 1{ , dondeexp (ikr0) (sin kr0=kr0) s 1, as que la integral es del orden de magnitud de 1{ y la condicinrequerida de aplicabilidad de la ecuacin (39) es de la forma

jBj{~2

1: (44)

Para las partculas rpidas (k {) la presencia de la funcin rpidamente oscilante,[exp (ikr0) sin kr0], signica que la regin importante es r0 s 1

k, as que la integral es del orden

15

de magnitud de 1k, y la condicin de aplicabilidad de la ecuacin de Born ser (introduciendo

la velocidad de la partcula v = ~k):

jBj~v

1: (45)El signicado de las desigualdades (44) y (45) viene a ser muy obvio si las consideramos

en conjunto con los casos lmites de la expresin (40) para la seccin ecaz total. Eliminandocoecientes numricos vemos que ambas desigualdades son equivalentes a la condicin 1{2o bien

p 1{ .

La condicin de aplicabilidad de la aproximacin de Born es entonces que la seccin ecazde dispersin sea pequea comparada al cuadrado del rango efectivo del campo de dispersin,o en otras palabras, que la amplitud de dispersin

p sea pequea comparada al rango del

campo 1{ .Los resultados de este problema pueden utilizarse para considerar el caso particular de

la dispersin de electrones por un tomo neutro (que es el caso del campo de Coulombapantallado). Para ello, debemos reemplazar B por Ze2 y 1{ por el radio de Thomas-Fermidel tomo, el cual es del orden de magnitud de ~2=Z 13e2:

Mtodo de ondas parcialesEste mtodo se utiliza cuando el campo del centro dispersor presenta simetra esfrica,

esto es, V (r) = V (r), el cual admite que lejos del centro de dispersin la funcin de ondade la partcula dispersada tenga la forma

= eikz + A ()eikr

r, (46)

donde la amplitud de dispersin no depende de ' debido a la simetra del campo.Como V (r) = V (r), este mtodo est relacionado con la solucin del problema del

movimiento de una partcula en un campo de fuerza central. Como estamos considerandomovimiento no acotado, la solucin debe satisfacer condiciones de frontera denidas, estascondiciones consisten en que la forma asinttica de la solucin (para r ! 1) debe estardeterminada por la ecuacin (46).Como sabemos, la solucin general de la ecuacin de Schrdinger para un campo de

fuerza central es (r; ; ') =

Xl;m

blmRl (r)Ylm (; ') ,

donde blm son coecientes constantes que se determinan por las condiciones de frontera ycondicin de normalizacin. Como estamos interesados en soluciones que no dependen delngulo ' debemos tomar slo los trminos con m = 0, luego,

(r; ) =1Xl=0

blRl (r)Pl (cos ) , (47)

donde Pl (cos ) son los polinomios de Legendre.Cada trmino de la serie (47) lo denominaremos onda parcial, o ms concretamente, onda

parcial l-sima, al trmino l-simo.

16

Podemos obtener una forma asinttica de la funcin (47) introduciendo en ella la formaasinttica de Rl,

Rl (r) = alsinkr + l l2

r

,

luego,

(r !1) 1Xl=0

blPl (cos )alsin

kr + l l2

r

(48)

(por razones que veremos despus, hemos tomado la fase l en la forma l l2 ).Introduciendo la notacin

blal =clk,

tenemos que

(r !1) =1Xl=0

clPl (cos )sinkr + l l2

kr

. (49)

Para encontrar la expresin de la amplitud de dispersin A () en trminos de los coe-cientes cl y las fases l debemos expresar (46) en la forma (49). Para hacer esto tenemos quedesarrollar la expresin (46) en serie de polinomios de Legendre (los polinomios de Legendreforman un sistema completo).Para el primer trmino de (46),

eikz = eikr cos =1Xl=0

fl (r)Pl (cos ) , (50)

donde fl (r) son coecientes a determinar. Para abreviar hacemos x = cos , luego,

eikrx =1Xl=0

fl (r)Pl (x) . (51)

Multiplicando (51) por Pl0 (x) e integrando sobre x de 1 a 1,Z 11eikrxPl0 (x) dx =

1Xl=0

fl (r)

Z 11Pl (x)Pl0 (x) dx;

pero, Z 11Pl (x)Pl0 (x) dx =

2

2l + 1ll0, (52)

luego,

fl (r) =2l + 1

2

Z 11eikrxPl (x) dx;

integrando por partes y teniendo en cuenta que Pl (1) = 1 y Pl (1) = (1)l obtenemos,para valores grandes de r,

fl (r) =2l + 1

2

eikr (1)l eikrikr

.

17

Para simplicar tomamos

(1)l = eil = eil2 eil2 ;esto es,

fl (r) =2l + 1

2eil

2ei(kr

l2 ) ei(kr l2 )ikr

,

pero,ei

2

l= il, luego,

fl (r) = il (2l + 1)

sinkr l

2

kr

. (53)

Ahora queda claro por qu escribimos la fase l en la forma l l2 en la frmula (48).Sustituyendo (53) en (50) se obtiene la expresin asinttica para el primer trmino de la

funcin (46),

eikz =1Xl=0

il (2l + 1)Pl (cos )sinkr l

2

kr

. (54)

Para el segundo trmino de (46) desarrollamos el coeciente A () en serie de polinomiosde Legendre,

A () =1Xl=0

glPl (cos ) , (55)

donde gl son nmeros.Sustituyendo las expresiones (54) y (55) en (46) obtenemos la forma asinttica de la

funcin de onda de una partcula dispersada,

=1Xl=0

il (2l + 1)Pl (cos )sinkr l

2

kr

+1Xl=0

glPl (cos )eikr

r. (56)

Igualando las expresiones (56) y (49) y expresando las funciones sin (x) en trminos dela diferencia de exponenciales, as como il en la forma ei

l2 obtenemos,

1Xl=0

1

2ikrcl

hei(kr+l

l2 ) ei(kr+l l2 )

iPl (cos )

=1Xl=0

1

r

ei

l2 (2l + 1)

1

2ik

hei(kr

l2 ) ei(kr l2 )

i+ gle

ikr

Pl (cos )

Esta igualdad debe cumplirse para cualquier valor de , luego, es necesario que los coe-cientes Pl en ambos miembros sean iguales,

1

2ikcl

heikrei(l

l2 ) eikrei(l l2 )

i=2l + 1

2ik

eikr eikreil+ gleikl.

Como esta igualdad debe cumplirse para toda r, los coecientes de ambos miembros deeikr y eikr deben ser iguales; igualando estos coecientes obtenemos dos relaciones,

1

2ikcle

i(l l2 ) =2l + 1

2ik+ gl ; 1

2ikcle

i(l l2 ) = 2l + 12ik

eil.

18

De la segunda relacin encontramos que

cl = (2l + 1) ei(l+ l2 ). (57)

Introduciendo este valor en la primera relacin encontramos la expresin para gl,

gl =2l + 1

2ik

e2il 1 .

Sustituyendo esta expresin en (55) obtenemos que la amplitud de dispersin est dadapor

A () =1

2ik

1Xl=0

(2l + 1)e2il 1Pl (cos ) . (58)

Luego, la seccin ecaz diferencial estar dada por

d () =1

4k2

1Xl=0

(2l + 1)e2il 1Pl (cos )

2

d. (59)

Es decir, la seccin ecaz diferencial de dispersin est determinada por el conjunto defases l.Integrando (59) sobre el ngulo slido total 4 obtenemos la seccin ecaz total de dis-

persin.El cuadrado del mdulo de un nmero complejo es igual al producto de este nmero y

su complejo conjugado y como d = 2sind = 2d (cos ),

=

Zd () =

1

4k2

Z ( 1Xl=0

(2l + 1)e2il 1Pl (cos ))( 1X

l;=0

(2l0 + 1)e2il0 1Pl0 (cos )) 2 [d (cos )]

=1

4k2

Xll0(2l + 1) (2l0 + 1)

e2il 1 e2il0 1 (2)Z 1

1

Pl (x)Pl0 (x) ,

donde se ha hecho x = cos . Teniendo en cuenta (52) obtenemos

=

k2

1Xl=0

(2l + 1)e2il 1 e2il 1

=(2i)2

k2

1Xl=0

(2l + 1)eileil eil eil eil eil

(2i)2,

luego,

=4

k2

1Xl=0

(2l + 1) sin2l; (60)

19

haciendol =

4

k2(2l + 1) sin2l

tenemos que

=

1Xl=0

l,

la seccin ecaz total puede ser escrita como la suma de las secciones parciales l.Cada seccin ecaz parcial corresponde a la dispersin de una partcula con un momento

angular denido (determinado por el nmero cuntico l).El mximo valor de la seccin ecaz de dispersin de una partcula con momento angular

l est dado por

(l)max =4

k2(2l + 1) .

El clculo de las fases l, de manera general, es un problema muy difcil. El valor prcticode las expresiones (59) y (60) aparece cuando el nmero de trminos de la serie que jueganun papel fundamental es pequeo (cuando la serie converge rpidamente).Un razonamiento simple prueba que a medida que aumenta la energa de la partcula,

crece el nmero de fases l que es necesario tener en cuenta en las series (59) y (60). Porello, este mtodo es particularmente til para el estudio de la dispersin de partculas lentas.Debemos notar que introduciendo el valor (57) para cl en la frmula (49) obtenemos la

expresin asinttica para la funcin de onda,

=1Xl=0

(2l + 1) ei(l+l2 )Pl (cos )

sinkr + l l2

kr

.

Expresando la funcin sin (x) en trminos de exponenciales y eliminando el factor de faseigual a i, podemos dar a esta expresin la forma

=1

2k

1Xl=0

(2l + 1)Pl (cos )

(1)l e

ikr

r Sl e

ikr

r

, (61)

dondeSl = e

2il. (62)

El primer trmino en el corchete de la frmula (61) es una onda esfrica convergente deamplitud (1)l y el segundo trmino es una onda esfrica divergente con amplitud Sl. Elvalor absoluto de ambas amplitudes es la unidad. Luego, la funcin de onda que describe ladispersin elstica tiene la forma de una onda estacionaria formada por la superposicin deondas esfricas convergentes y divergentes.La densidad de corriente de probabilidad correspondiente a una onda convergente es

jconv =~2mi

(1)l2eikrrreikr

r

e

ikr

rreikr

r

= ~k

mr2e^r, (63)

20

donde e^r es el vector unitario del vector posicin r.De manera similar se obtiene la densidad de corriente de probabilidad de una onda

divergente,

jdiv = jSlj2 ~kmr2

e^r. (64)

Como jSlj2 = 1, los vectores (63) y (64) dieren solamente en su direccin. La densidadde corriente de probabilidad a travs de cualquier supercie, incluyendo una esfera de radioR correspondiente a la funcin (61), es cero. Esto est de acuerdo con el hecho de que enla dispersin elstica el nmero de partculas que viaja desde el centro dispersor es igual alnmero de partculas que viaja hacia este centro.

Ejercicios resueltos:

1) Encontrar la seccin ecaz diferencial para la dispersin de partculas lentas por unpozo de potencial (considere la longitud de onda de De Broglie grande comparada con lasdimensiones del pozo).

Respuesta.La energa potencial de las partculas est dada por la expresin:

V (r) =

V0 (r < a)0 (r > a):

Es necesario encontrar los corrimientos de fase; esto es, la forma asinttica de las funcionesradiales que satisfacen las ecuaciones

00l +k2 l (l + 1)

r2

l = 0; k

2 =2E

~2; r < a

y

00l +k02 l (l + 1)

r2

l = 0; k

02 =2 (E + V0)

~2; r > a

con la condicin de frontera l (0) = 0.Cuando la longitud de onda de De Broglie es considerablemente mayor que las dimen-

siones del pozo, la contribucin principal a la dispersin surge de la onda S, esto es, paral = 0. La solucin 0 que satisface la condicin de frontera es de la forma

0 = A sin k0r (r < a)

0 = sin (kr + 0) (r > a):

La fase 0 y el coeciente A se obtienen de la condicin de que tanto la funcin de ondacomo su derivada sean continuas en r = a. De esta forma obtenemos:

0 = arctan

k

k0tan k0a

ka:

La seccin ecaz para l = 0 es entonces

0 =4

k2sin2 (0) =

4

k2sin2

arctan

k

k0tan k0a

ka

:

21

Para velocidades pequeas de las partculas incidentes (k ! 0) 0 ser proporcional a k

0 katan k0a

k0a 1; k20 =

2V0~2

:

Debido al factor 1k2la seccin ecaz 0 ser

4a2tan k0a

k0a 12

(para k pequea).

Consideremos la seccin ecaz 0 como una funcin de la profundidad del pozo, la cualdetermina k0. Si el pozo es angosto (k0a 1), tenemos

0 = 4a2k

40a4

9=16

9

a6V 20 2

~4:

Notemos que de la teora de perturbaciones obtenemos

A () = 14

2

~2

ZV (r) d =

2

~2V0a3

3

y as, despus de integrar obtenemos

= 4 jA ()j2 = 169

a6V 20 2

~4:

La seccin ecaz crece con el incremento de V0 y diverge para k0a = 2 . La condicink0a =

2es la condicin para la aparicin del primer nivel energtico en el pozo. Si se aumenta

la profundidad del pozo, la seccin ecaz empieza a decrecer otra vez y tiende a cero paratan k0a = k0a. Cuando V0 se incrementa an ms, la seccin ecaz continua oscilando entre0 e1, llegando a ser innita cuando aparece un nuevo nivel en el pozo. La oscilacin agudade la seccin ecaz de dispersin de partculas lentas explica por qu la seccin ecaz dedispersin de electrones lentos por un tomo puede diferir apreciablemente de la seccintransversal geomtrica.

2) Encontrar los corrimientos de fase en el campo V = Br2. Determine la seccin ecaz

diferencial de dispersin para ngulos pequeos.

Respuesta.La funcin radial satisface la ecuacin

00l +k2 l (l + 1)

r2 2B~2r2

(r) = 0

as como las condiciones de frontera l (0) = 0 y nita cuando r ! 1. La solucin quesatisface estas condiciones es

l =prJ (kr) ;

donde

=

sl +

1

2

2+2B

~2:

22

A partir del comportamiento asinttico de J (kr) obtenemos los corrimientos de fase:

l = 2

l 1

2

=

2

8

Podemos modelar el efecto dispersor de la esfera con el potencial central

V (r) =

1 r a0 r > a:

La condicin de total impenetrabilidad se puede expresar alternativamente como la condicinde frontera que corresponde a reexin total (r) jr=a = 0:La ecuacin radial de Schrdinger est dada por la ecuacin (19.1) y es

R00 +2

rR0 +

k2 l (l + 1)

r2

R = 0; k2 =

2mE

~2; r a:

La solucin para r > a puede escribirse en trminos de las funciones esfricas de Bessel.En este caso es conveniente tomar como soluciones independientes a las funciones jl (kr) yh(1)l (kr), en donde la funcin esfrica de Hankel de primer tipo est denida como de laforma usual:

h(1)l (x) =

r

2xH(1)l+1=2 (x)

y se comporta asintticamente como una onda esfrica saliente, segn sigue:

h(1)l (kr) !

kr!1(i)l+1 e

ikr

kr:

Esta es precisamente la propiedad que hace especialmente til a esta funcin en problemasde dispersin. Por lo tanto, escribimos para r > a:

=1Xl=0

(2l + 1) iljl (kr) + Clh

(1)l (kr)

Pl (cos ) :

El coeciente del primer trmino se ha escogido apropiadamente para reproducir la ondaplana incidente, como se pondr en claro un poco ms adelante. La condicin de fronterasobre la supercie de la esfera se puede cumplir slo si el coeciente de cada polinomio deLegendre se anula por separado en r = a. Por tanto, cada una de las ecuaciones

(2l + 1) iljl (ka) + Clh(1)l (ka) = 0

debe satisfacerse por separado; de ellas obtenemos el valor de los coecientes Cl. Despejandoy sutituyendo en la funcin se obtiene

=1Xl=0

(2l + 1) il

"jl (kr) jl (ka)

h(1)l (ka)

h(1)l (kr)

#Pl (cos )

= eikz 1Xl=0

(2l + 1) iljl (ka)

h(1)l (ka)

h(1)l (kr)Pl (cos ) :

La segunda igualdad se obtuvo usando el desarrollo de la onda plana en ondas esfricas

eikz =

1Xl=0

(2l + 1) iljl (kr)Pl (cos )

24

y justica la seleccin anterior de los coecientes de las funciones jl. Esta es una solucinexacta de la ecuacin de Schrdinger, cuyo comportamiento asinttico es

(r; ) jr!1 = eikz + ik

eikr

r

1Xl=0

(2l + 1)jl (ka)

h(1)l (ka)

Pl (cos ) :

Comparando esta expresin con la forma general de la solucin asinttica del problema dis-persivo, ecuacin (8), obtenemos la siguiente expresin exacta para la amplitud de dispersinpor una esfera impenetrable:

A () =i

k

1Xl=0

(2l + 1)jl (ka)

h(1)l (ka)

Pl (cos ) : (65)

De (65) siguen, inmediatamente, la seccin ecaz diferencial

d

d

=1

k2

1Xl=0

(2l + 1)jl (ka)

h(1)l (ka)

Pl (cos )

2

y la seccin ecaz total elstica

=4

k2

1Xl=0

(2l + 1)jl (ka)

h(1)l (ka)

2

:

Debido a la interferencia entre los trminos que componen a la seccin ecaz diferencial,notamos que ella presenta una serie de mximos y mnimos conforme cambia el ngulo .Para ka 1 hay un mximo muy acentuado en la direccin hacia adelante y oscilacionesque decrecen rpidamente alrededor de la seccin ecaz diferencial clsica a

2

4(ver gura).

Seccin ecaz diferencial para la dispersin por una esfera dura, en el caso ka 1:Para ka 1 se cumple que jl (ka) =h(1)l (ka) (ka)2l+1, por lo que la contribucin

dominante proviene de la onda s. En este caso, y como es usual a bajas energas, la dispersinpor el potencial central de corto alcance es isotrpica:

d

d

= a2

y la seccin ecaz total es cuatro veces la seccin clsica de una esfera impenetrable o dosveces la seccin ecaz total de una esfera perfectamene absorbente

= 4a2:

25

Dispersin inelsticaEl trmino inelstico es aplicado a procesos en los cuales el estado interno de las partculas

que intervienen en ste cambia, por ejemplo, la excitacin de tomos, ionizacin de tomos,desintegracin del ncleo, desintegracin o creacin de partculas.Cada uno de los procesos que tiene lugar en la colisin de partculas es llamado canal

de reaccin. Si el proceso es compatible con las leyes de conservacin, el canal se calica deabierto.Si hay varios canales de reaccin diferentes la expresin asinttica de la funcin de onda

de las partculas que colisionan es la suma de trminos, cada uno de los cuales correspondea uno de los canales de reaccin. Estos canales tambin incluyen un canal de entradacorrespondiente a la dispersin elstica.Como en la dispersin elstica, la funcin de onda correspondiente al canal de entrada

puede ser representada como la suma de una onda esfrica convergente y una divergente,

=1

2k

1Xl=0

(2l + 1)Pl (cos )

(1)l e

ikr

r Sl e

ikr

r

. (66)

Ahora, los Sl no estn determinados por la frmula (62) pero son generalmente cantidadescomplejas con mdulo menor que la unidad. Luego, el ujo de partculas en el canal deentrada que viaja desde el centro dispersor es menor que el ujo de partculas incidentes enel centro (ver (63) y (64)).Clculos similares al utilizado para obtener la frmula (58) dan la siguiente expresin

para la amplitud de dispersin,

A () =1

2ik

1Xl=0

(2l + 1) (Sl 1)Pl (cos ) .

sta diere de (58) en que contiene la cantidad Sl como un valor absoluto menor que launidad, en lugar de e2il.Introduciendo esta expresin en la frmula de d (; ') obtenemos la seccin ecaz difer-

encial de dispersin elstica,

del = jA ()j2 d

= 1

4k2

Xll0(2l + 1) (2l0 + 1) (Sl 1) (Sl0 1)PlPl0d,

luego,

el = 14k2

Xll0(2l + 1) (2l0 + 1) (Sl 1) (Sl0 1) 2

2

2l + 1ll0

=

k2

Xl

(2l + 1) jSl 1j2

=

k2

1Xl=0

(2l + 1) j1 Slj2 .

26

La seccin ecaz parcial de dispersin elstica es

l;el =

k2(2l + 1) j1 Slj2 . (67)

Para encontrar la seccin ecaz de dispersin inelstica vamos a rodear el centro dispersorcon una supercie esfrica imaginaria de radio grande R y a evaluar el ujo de partculas ,determinado por la funcin (66), a travs de esta supercie; tenemos as,

=~2mi

I @

@r @

@r

R

R2d (68)

(tomamos la componente radial del gradiente a la distancia R desde el centro). Despre-ciando trminos del orden de 1

r2en comparacin con trminos del orden de 1

r(R es grande),

obtenemos la siguiente expresin para la derivada de la funcin (66) con respecto a r,

@

@r=

1

2kr

1Xl=0

(2l + 1)Pl (cos )hik (1)l eikr ikSleikr

i.

La derivada @

@rdiere de la anterior slo en los signos de i. Sustituyendo en (68),

=~2mi

1

4k2

1Xl=0

(2l + 1)2 (2ik) 1 jSlj2 I P 2l d

= ~

4mk

1Xl=0

(2l + 1)21 jSlj2

2

2

2l + 1

= ~mk

1Xl=0

(2l + 1)1 jSlj2

. (59.4)

El ujo es negativo porque jSlj < 1. Viendo que un cierto nmero de partculas experi-mentan dispersin inelstica o absorcin, el ujo de partculas dispersadas elsticamente esmenor que el de partculas incidentes en el centro dispersor.El ujo de partculas que experimenta dispersin inelstica es evidentemente igual al ujo

(59.4) tomado con signo opuesto,

inel =~mk

1Xl=0

(2l + 1)1 jSlj2

.

Dividiendo este ujo por la densidad de ujo de partculas incidentes jinc, obtenemos, apartir de

=dispjinc

;

la seccin ecaz total de dispersin inelstica (sobre todos los canales inelsticos),

inel =

k2

1Xl=0

(2l + 1)1 jSlj2

. (69)

27

Cada trmino de la suma es una seccin ecaz parcial de dispersin inelstica,

l;inel =

k2(2l + 1)

1 jSlj2

. (70)

Cuando Sl = 1, la expresin (70) se anula -la dispersin inelstica de partculas con un ldado est ausente. El caso Sl = 0 corresponde a la absorcin completa de partculas con ldado. En este caso, por las frmulas (67) y la (69) tenemos

l;el = l;inel =

k2(2l + 1) .

Cuando la seccin ecaz (70) es no nula, la seccin (67) es tambin no nula. Aqu, laexistencia de canales de reaccin inelsticos siempre conduce a dispersin elstica.

Ejercicio resuelto:

Demuestre que en el caso general de la dispersin inelstica, la siguiente frmula, querelaciona la seccin ecaz de dispersin total = el + inel y la amplitud de dispersinelstica para = 0, es vlida:

=4

kImA (0)

Respuesta.Usamos el desarrollo de A (), el y inel en trminos correspondientes a los diferentes

valores del momento angular orbital en la siguiente forma:

A () =1

2ik

1Xl=0

(2l + 1) (Sl 1)Pl (cos ) ;

el =

k2

1Xl=0

(2l + 1) j1 Slj2 ;

inel =

k2

1Xl=0

(2l + 1)1 jSlj2

:

Para = 0 =) Pl (1) = 1 y consideremos que podemos escribir Sl como la suma de unaparte real SlR y otra imaginaria SlI . De esta forma es fcil ver que la parte imaginaria deA (0) es igual

A (0) =1

2k

1Xl=0

(2l + 1) (1 SlR) :

La seccin ecaz total , segn el desarrollo de el y inel, es

=

k2

1Xl=0

(2l + 1)j1 Slj2 + 1 jSlj2 ;

donde j1 Slj2 + 1 jSlj2 = 2 (1 SRl) :28

Sustituyendo este resultado en la expresin anterior se obtiene la forma de que se buscaba.

Problemas Propuestos

1. Demuestre que cuando una partcula de masa m colisiona elsticamente con unapartcula en reposo de masa M , el retroceso de sta es siempre dentro del hemisferio frontalen el sistema L (sistema de laboratorio).2. Supngase que en la situacin descrita en el problema anterior, la dispersin tiene

simetra esfrica en el sistema CM (sistema centro de masa). Cul es la distribucin angularde las partculas del blanco en el sistema L?3. Usar la aproximacin de Born para encontrar la amplitud de dispersin adems de la

seccin total y diferencial para el potencial exponencial

V = V0e rR .

4. Lo mismo que en el problema 3 pero considerando un pozo de potencial,

V =

V0, r < R0, r R.

5. El efecto de apantallamiento de los electrones en un tomo neutro modica la inter-accin electrosttica entre un tomo y una partcula incidente cargada. Una aproximacinrazonable a este efecto de apantallamiento del potencial coulombiano es,

V (r) =Zze2

re

rR ,

que en la forma es igual al conocido potencial de Yukawa. En esta expresin, Z es el nmeroatmico del tomo, ze es la carga de la partcula incidente y R es el radio atmico efectivo.a) Demostrar que de la aproximacin de Born se obtiene el resultado exacto para la

seccin ecaz de Rutherford en el lmite de R!1.b) Usando la aproximacin de Born estimar el intervalo angular para el cual la seccin e-

caz diferencial de dispersin de un potencial coulombiano de este tipo diere de la dispersinde Rutherford en los casos siguientes:i) una partcula alfa de 5 MeV dispersada por oro;ii) un protn de 1 MeV, dispersado por carbn;iii) un electrn de 100 eV dispersado por carbn.Por facilidad tomar R = 1 en todos los casos y suponer que todas las energas se toman

en el sistema del centro de masa.6. Muestre que la seccin ecaz diferencial de dispersin en la aproximacin de Born

debida a una barrera esfrica de radio R y altura ja V0 es

d

d

=

2mV0~2

2[sin qR qR cos qR]2

q6.

7. a) Para una energa de 5 MeV en el centro de masa, los desfasamientos que describenla dispersin elstica de un neutrn por un ncleo, tienen los valores siguientes:

0 = 32:50, 1 = 8:60, 2 = 0:40.

29

Suponiendo que todos los dems son despreciables, dibujar dd

como funcin del ngulo

de dispersin. Cul es la seccin ecaz total ? Por sencillez, tomar la masa reducida delsistema como la masa del neutrn.b) Hacer lo mismo en el caso de cambiar los signos de los tres desfasamientos.c) Hacer lo mismo en el caso en que se cambia slo el signo de 0:d) Usando los resultados de la parte a), calcular el nmero total de neutrones dispersados

por segundo de un haz de 1010 neutrones por cm2 por seg, y rea transversal de 2 cm2, queincide sobre una lmina conteniendo 1021 ncleos por cm2. Cuntos neutrones se dispersanpor segundo hacia un contador a 900 respecto al haz incidente que subtiende un ngulo slidode 2 105 esterradianes?8. Protones con energa de 0:3 MeV son dispersados por una hoja delgada de aluminio.

Se observa que el nmero de protones dispersados hacia atrs es 0:96 veces el valor predichopara un potencial de interaccin coulombiano. Interpretando esta discrepancia como debidaa los efectos de apantallamiento y suponiendo que esta modicacin del potencial afectasensiblemente slo a la onda s, determine el cambio en el valor de 0. Especique si se tratade una interaccin atractiva o repulsiva.9. Neutrones con energa de 4 MeV en el sistema CM son dispersados por una hoja na

de ncleos pesados. Se observan los siguientes corrimientos importantes de fase: 0 = 26:10,1 = 7:6

0, 2 = 0:30. El ujo incidente es de 1011 neutrones/cm2 seg y el blanco posee unadensidad de 1021 ncleos/cm2. Use estos datos para determinar:a) la seccin ecaz total de dispersin;b) el nmero medio de neutrones que inciden cada segundo sobre sendos detectores con

apertura de 105 esterradianes, colocados a 900 y 1800 respecto del haz incidente.

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