DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE UNA MONTURA PARA TELESCOPIO CON

SEGUIMIENTO DE ESTRELLAS

JORGE RODRIGO ACEVEDO VELÁSQUEZ

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA

BOGOTÁ D.C. JULIO DE 2004

DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE UNA MONTURA PARA TELESCOPIO CON

SEGUIMIENTO DE ESTRELLAS

JORGE RODRIGO ACEVEDO VELÁSQUEZ

Proyecto de grado presentado

para optar el Título de

Ingeniero Mecánico

Asesor

MSc. Luis Mario Mateus Sandoval

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA

BOGOTÁ D.C. JULIO DE 2004

i

AGRADECIMIENTOS

El autor del siguiente trabajo expresa sus agradecimientos a:

M.Sc Luis Mario Mateus Sandoval, Ingeniero Mecánico, Profesor de la Universidad de

los Andes y Director de Proyecto de Grado, por sus valiosas orientaciones.

Jorge Enrique Acevedo Rodríguez, Ingeniero Mecánico, por sus valiosos consejos, su

aporte y su constante motivación para el desarrollo de este proyecto.

Joaquín Marín, Ingeniero Mecánico, por el gran apoyo y disposición para la elaboración

de este trabajo.

Mi mamá, por el amor incondicional y el soporte que me ha brindado durante toda mi vida.

Mi hermana Laris y mi novia Mayte, por su paciencia, amor y respeto durante este largo

camino.

Mi Familia por el apoyo incondicional que han tenido hacia mí.

Dios por iluminarme en los momentos confusos y por la inspiración constante que me

brindó.

ii

TABLA DE CONTENIDO

Pag.

INTRODUCCIÓN 1

OBJETIVOS 2

1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 3

1.1 NOCIONES ASTRONÓMICAS 3

1.1.1 La Esfera Celeste 3

1.1.1.1 Geometría esférica 3

1.1.1.2 Posición en la superficie terrestre 5

1.1.2 Sistemas de Coordenadas Astronómicas 6

1.1.2.1 Introducción 6

1.1.2.2 Sistema de coordenadas horizontales (alt-azimutales) 7

1.1.2.3 Sistema de coordenadas horarias 8 1.1.2.4 Sistema de coordenadas ecuatoriales 10

1.1.3 Monturas para telescopios 12 1.1.3.1 Monturas ecuatoriales 14 1.2 TRANSMISIONES 16 1.2.1 Introducción 16

1.2.2 Engranajes 17 1.2.2.1 Introducción 17 1.2.2.2 Clasificación de los engranajes 18

1.2.2.3 Geometría del diente de un engrane 23

1.2.2.4 Ángulo de presión 24

iii

1.2.2.5 Relaciones de engrane y piñón 24

1.2.2.6 Engranes rectos 25

1.2.2.7 Engranes sinfín-corona 44

1.2.2.8 Formulas de resistencia de la AGMA 54

1.3 EJES 57

1.3.1 Generalidades 57

1.3.2 Determinación de la configuración geométrica de un eje 58

1.3.3 Análisis de carga estática 59

2 METODOLOGÍA 62

2.1 COORDENADAS ASTRONÓMICAS 64

2.2 EJES 65

2.2.1 Eje 0, de latitud 66

2.2.2 Eje 1, polar 67

2.2.2.1 Análisis de fuerzas y momentos para el Eje 1 69

2.2.2.2 Análisis de esfuerzos par el Eje 1 81

2.2.3 Eje 2, de ascensión recta 92

2.2.3.1 Análisis de fuerzas y momentos para el Eje 2 95

2.2.3.2 Análisis de esfuerzos para el Eje 2 103

2.2.4 Eje 3, de declinación 114

2.2.4.1 Análisis de fuerzas y momentos para el Eje 3 117

2.2.4.2 Análisis de esfuerzos para el Eje 3 124

2.3 TRANSMISIONES 131

2.3.1 Sistema de engranes rectos 132

2.3.1.1 Análisis de fuerzas en los dientes 134

2.3.1.2 Análisis de esfuerzos en los dientes 135

2.3.2 Resistencias de la AGMA para dientes de engranes rectos 139

2.3.3 Sistema de sinfín-corona 143

iv

2.3.3.1 Análisis de fuerzas en los dientes de la Transmisión 2 145

2.3.3.2 Análisis de fuerzas en los dientes de la Transmisión 3 147

2.3.3.3 Análisis de esfuerzos en los dientes de las

Transmisiones 2 y 3 149

2.3.4 Resistencias de la AGMA para dientes de

engranes sinfín-corona 155

3. SISTEMA DE FRENOS 159

4. CONSTRUCCIÓN DE LA MONTURA 162

5. AUTOMATIZACIÓN 172

6. EVALUACIÓN ECONÓMICA 173

7. CONCLUSIONES 176

BIBLIOGRAFÍA 178

v

LISTA DE FIGURAS

Pag. Figura 1. Circulo máximo y círculo menor de la esfera celeste 4 Figura 2. Longitudes de arco en la esfera celeste 5 Figura 3. Posición en la superficie terrestre 6 Figura 4. Sistema de coordenadas horizontales 7 Figura 5. Sistema de coordenadas horarias 9 Figura 6. Elíptica y punto vernal 10 Figura 7. Sistema de coordenadas ecuatoriales 11 Figura 8. Montura alt-azimutal 12 Figura 9. Montura ecuatorial sencilla 13 Figura 10. Montura ecuatorial alemana 15 Figura 11. Montura tenedor 15 Figura 12. Montura ecuatorial inglesa 16 Figura 13. Engrane y piñón 18 Figura 14. Sistema de ejes paralelos 19 Figura 15. Engranes helicoidales 20 Figura 16. Sistema de ejes que se intersecan 20 Figura 17. Engranes en ejes que no se cruzan 22 Figura 18. Principio cinemático del engranaje 23

vi

Figura 19. Ángulo de presión 24 Figura 20. Distribución del vector de carga W en sus componentes tangencial y radial 27 Figura 21. Viga cargada en voladizo 29 Figura 22. Localización del punto que soporta mayores esfuerzos

en el diente de transmisiones 30 Figura 23. Determinación de la dimensión x para la fórmula de esfuerzos de Lewis 30 Figura 24. The worst load condition. 33 Figura 25. Esfuerzos presentes en la región de contacto 34 Figura 26. Cilindros sometidos a compresión mutua 35 Figura 27. Dimensiones utilizadas para calcular el factor de concentración de esfuerzos Kr 42 Figura 28. Distribución de cargas en un sistema de sinfín-corona 48 Figura 29. Valores Representativos para el coeficiente de fricción para un engrane de sinfín-corona 50 Figura 30. Relación de contacto 53 Figura 31. Esquema de disposición escalonada de un eje 58 Figura 32. Montura para telescopio con seguimiento de estrellas 62 Figura 33. Ubicación del Eje 0 y el Eje 1 66 Figura 34. Fotografía de la montura para el CASO 1 70 Figura 35. CASO 1para el Eje 1 71

vii

Figura 36. Fotografía de la montura para el CASO 2 72 Figura 37. CASO 2 para el Eje 1 73 Figura 38. Fotografía de la montura para el CASO 3 74 Figura 39. CASO 3 para el Eje 1 75 Figura 40. Fotografía de la montura para el CASO 4 76 Figura 41. CASO 4 para el Eje 1 76 Figura 42. Fotografía de la montura para el CASO 5 78 Figura 43. CASO 5 para el Eje 1 79 Figura 44. Factor de concentración de esfuerzos tk para ejes sometidos a carga de momento 83 Figura 45. Diagrama de cortante y momento para una viga cargada a flexión central 84 Figura 46. Diagrama de cortante y momento para una viga simplemente apoyada con carga de momento central 86 Figura 47. Factor de concentración de esfuerzos tsk para un eje sometido a torsión 88 Figura 48. Localización del punto crítico A en el Eje 1 90 Figura 49. Localización del Eje 2 93 Figura 50. CASO 1 para el Eje 2 97 Figura 51. CASO 2 para el Eje 2 97 Figura 52. CASO 3 para el Eje 2 99 Figura 53. CASO 4 para el Eje 2 100

viii

Figura 54. CASO 5 para el Eje 2 101 Figura 55. Factor de concentración de esfuerzos tk para un eje sometido a carga axial 105 Figura 56. Diagrama de cortante y momento para un eje cargado con un momento en voladizo 108 Figura 57. Diagrama de cortante y momento para un eje sometido a flexión en voladizo 110 Figura 58. Localización de los puntos críticos A y B en el Eje 2 111 Figura 59. Ubicación del Eje 3 115 Figura 60. CASO 1 para el Eje 3 118 Figura 61. CASO 2 para el Eje 3 119 Figura 62. CASO 3 para el Eje 3 120 Figura 63. CASO 4 para el Eje 3 122 Figura 64. CASO 5 para el Eje 3 123 Figura 65. Punto B, crítico en el Eje 3 127 Figura 66. Freno dispuesto en la Transmisión 1 159 Figura 67. Zapata implementada en el freno de la Transmisión 1 160 Figura 68. Freno dispuesto para las transmisiones de sinfín-corona 158 Figura 69. Corte preliminar de piezas planas 163 Figura 70. Torneado de carcazas 163 Figura 71. Fresado de carcazas para porta sinfines 164 Figura 72. Montaje dispuesto para fresado de piezas planas 165

ix

Figura 73. Sistema de sujeción entre piezas planas y carcazas 165 Figura 74. Pieza de ascensión recta 166 Figura 75. Esquema de Transmisiones 2 y 3 167 Figura 76. Disposición de la transmisión 2 y sus piezas asociadas 167 Figura 77. Fresado del piñón de la Transmisión 1 168 Figura 78. Torneado de orejas para ajuste de rodamientos 168 Figura 79. U de sujeción al telescopio 169 Figura 80. Masillado 170 Figura 81. Lijado 170 Figura 82. Pintura 171 Figura 83. Puente en H, regulador de los impulsos al motor paso-paso 173 Figura 84. Driver de control para el motor paso-paso 173

x

LISTA DE TABLAS

Pag.

Tabla 1. Dimensiones y especificaciones para los engranajes

rectos 26

Tabla 2. Factores de distribución de carga Km y Cm 40 Tabla 3. Dimensiones y especificaciones para los engranajes

de tornillo sinfín 46 Tabla 4. Posiciones críticas establecidas para el Eje 1 67 Tabla 5. Listado de masas y pesos de las piezas asociadas

al Eje 1 68

Tabla 6. Coordenadas de las piezas asociadas al Eje 1 69 Tabla 7. Momentos y reacciones obtenidos para el Eje 1 80 Tabla 8. Distribución de cargas para el Eje 1 82 Tabla 9. Propiedades geométricas del Eje 1 83

Tabla 10. Momentos máximos obtenidos por flexión central

para el Eje 1 85 Tabla 11. Esfuerzos normales generados por flexión central

para el Eje 1 85

Tabla 12. Momentos máximos obtenidos por carga de momento

central en el Eje 1 86 Tabla 13. Esfuerzos normales generados por momento central

en el Eje 1 87

Tabla 14. Esfuerzos normales totales para el Eje 1 87 Tabla 15. Momentos torsionales sufridos por el Eje 1 89

xi

Tabla 16. Esfuerzos cortantes totales para el Eje 1 89 Tabla 17. Estado general de esfuerzos por el Eje 1 90 Tabla 18. Estado principal de esfuerzos para el Eje 1 91 Tabla 19. Esfuerzo de Von Misses obtenido para el Eje 1 91

Tabla 20. Factores de seguridad obtenidos para el Eje 1 92 Tabla 21. Masas y pesos de las piezas asociadas al Eje 2 94

Tabla 22. Coordenadas de los centros de masa de las piezas

asociadas al Eje 2 94

Tabla 23. Momentos obtenidos para el Eje 2 102 Tabla 24. Distribución de cargas en el Eje 2 103 Tabla 25. Propiedades geométricas del Eje 2 104 Tabla 26. Momentos máximos por flexión central en el Eje 2 106

Tabla 27. Esfuerzos normales generados por flexión central en el

eje 2 107 Tabla 28. Momentos máximos obtenidos por momento en voladizo

para el Eje 2 108

Tabla 29. Esfuerzos normales obtenidos por momentos en voladizo

para el Eje 2 109 Tabla 30. Momentos máximos generados por flexión en voladizo

en el Eje 2 109 Tabla 31. Esfuerzos normales generados por flexión en voladizo

en el Eje 2 110 Tabla 32. Esfuerzos normales totales en el Eje 2 111 Tabla 33. Momentos torsionales para el Eje 2 112 Tabla 34. Esfuerzos cortantes generados por torsión en el Eje 2 112

Tabla 35. Estado general de esfuerzos en el Eje 2 113 Tabla 36. Estado principal de esfuerzos en el Eje 2 113

xii

Tabla 37. Esfuerzos de von Misses en el Eje 2 114 Tabla 38. Factores de seguridad obtenidos para el Eje 2 114 Tabla 39. Masas y pesos de las piezas asociadas al Eje 3 116 Tabla 40. Coordenadas de los centros de masa de las piezas

asociadas al Eje 3 116

Tabla 41. Momentos obtenidos para el Eje 3 124 Tabla 42. Distribución de cargas en el Eje 3 124 Tabla 43. Esfuerzos normales axilaes en el Eje 3 125

Tabla 44. Momentos máximos y esfuerzos normales generados

por flexión central en el Eje 3 126 Tabla 45. Momentos máximos y esfuerzos normales generados

por momentos en voladizo en el Eje 3 127

Tabla 46. Momentos máximos y esfuerzos normales generados

por flexión en voladizo en el Eje 3 128 Tabla 47. Esfuerzos normales totales en el Eje 3 128 Tabla 48. Momentos torsionales en el Eje 3 129

Tabla 49. Momentos cortantes totales en el Eje 3 129 Tabla 50. Estado general de esfuerzos en el Eje 3 130 Tabla 51. Estado principal de esfuerzos en el Eje 3 130 Tabla 52. Esfuerzos de Von Misses en el Eje 3 131 Tabla 53. Factores de seguridad obtenidos para el Eje 3 131

Tabla 54. Especificaciones y dimensiones de la Transmisión 1 133 Tabla 55. Especificaciones y dimensiones para las Transmisiones

de sinfín-corona 144 Tabla 56. Cargas sentidas por los dientes de la corona en la

Transmisión 2 146

Tabla 57. Cargas obtenidas para la Transmisión 2 146

xiii

Tabla 58. Cargas sentidas por los dientes de la corona en la

Transmisión 3 147

Tabla 59. Cargas obtenidas para la Transmisión 3 148 Tabla 60. Factores de seguridad obtenidos para los dientes de

las transmisiones 1, 2 y 3 158

xiv

LISTA DE ANEXOS

Pag.

A1. Plano de explosión de la montura 179

A2. Plano de ejes de la montura 180

A3. Plano de piezas asociadas de la montura 181

A4. Plano de carcazas y tapas de la montura 182

A5. Plano de coronas, piñones y sinfines de la montura 183

xv

RESUMEN

En el siguiente trabajo se diseña y construye una montura para telescopio con

seguimiento de estrellas. El movimiento rotativo de la Tierra es contrarrestado

por medio de un motor conectado a una transmisión de sinfín-corona. El

análisis de diseño se basa en la obtención de factores de seguridad para los

dientes de las transmisiones y los ejes de la montura. Se obtiene entonces una

solución confiable y económicamente viable para los aficionados a la

astronomía.

ABSTRACT

In this work is designed and built a telescope mounting with a following system.

The Earth’s rotation movement is counteracting by a driving stepper motor

which is connected to the polar axis of the mounting. The design was

developed from the Distortion of Energy Failure Theory to obtain the security

factors for tooth and shafts. Finally was obtained an economical and reliable

answer to the beginner astronomers.

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1

INTRODUCCIÓN

Las observaciones astronómicas han cautivado desde tiempos inmemorables a la

humanidad. Mucho de nuestra naturaleza se ha descubierto a partir las estrellas. Es

inevitable observar al cielo sin preguntarse acerca de nuestra condición en el Universo.

Muchas personas que disfrutan contemplar el firmamento se sienten motivadas a adquirir

un telescopio pequeño para realizar observaciones astronómicas aficionadas.

El movimiento de rotación de la Tierra sobre su propio eje hace que las estrellas se

muevan en el cielo. Si se desea observar una estrella en el firmamento por medio de un

telescopio, es necesario sostenerlo adecuadamente. Mas aún, si se quiere observar un

punto específico del cielo, se deben manejar coordenadas especiales, desarrolladas para

este fin.

El presente trabajo pretende brindar una alternativa para astrónomos aficionados,

ofreciéndoles una montura para telescopio común que tiene la bondad de realizar el

seguimiento de cualquier estrella a medida que ésta se mueve a lo largo del firmamento.

Existen alternativas similares en el mercado, sin embargo, los precios necesarios para su

adquisición se salen del presupuesto de un observador aficionado. El diseño de la

montura de este trabajo se proyectó en ofrecer una montura económica, funcional y de

gran calidad para el seguimiento de estrellas.

El manejo del espacio disponible se adelantó siempre teniendo en mente llegar a un

diseño funcional, compacto y comunicativo. Las propiedades de los materiales escogidos

fueron aprovechadas al máximo para conservar el equilibrio entre seguridad, peso y

funcionalidad.

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2

Se determinó la seguridad de operación para las piezas críticas de la montura: los ejes y

las transmisiones. Para los ejes se adelantó un análisis de falla estática utilizando la

Teoría de la Distorsión de la Energía, por medio del esfuerzo de von Misses. Para los

dientes de las transmisiones se utilizó el análisis propuesto por la AGMA (American Gear

Manufacturers Association).

La montura fue construida a partir del análisis de diseño y seguridad previo, obteniendo

una herramienta muy útil e importante en las observaciones astronómicas.

OBJETIVOS

El objetivo principal del siguiente trabajo consiste en diseñar y construir una montura para

telescopio que sirva para llevar a cabo el seguimiento adecuado de estrellas en

observaciones astronómicas.

También se espera diseñar y maquinar un mecanismo de transmisión de movimiento

adecuado, que genere los movimientos requeridos por el telescopio para alcanzar

cualquier ubicación dentro del hemisferio de observación.

Se espera obtener un sistema adecuado de control de movimiento del motor paso-paso

propuesto para desarrollar el seguimiento automático de la montura.

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3

1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

El lenguaje usado para describir los aspectos teóricos de este trabajo resultará más

sencillo para el lector, si la información mostrada en este capítulo es expuesta

textualmente de las referencias bibliográficas citadas al final de este trabajo.

1.1 NOCIONES ASTRONÓMICAS [Tomado de 5] 1.1.1 La Esfera Celeste

Todos hemos observado al cielo en la noche sintiendo la impresión de estar en el centro

de un gran hemisferio sobre el cual parecen estar proyectados los cuerpos celestes. Para

muchos propósitos astronómicos las distancias son irrelevantes, de allí la adopción de las

dimensiones de la esfera celeste. El posicionamiento de los cuerpos celestes en la esfera

es dependiente del tiempo, por ello, es necesario el uso de coordenadas especiales que

aseguren su ubicación en cualquier momento.

1.1.1.1 Geometría esférica

La geometría de la esfera celeste está basada en círculos máximos, círculos menores y

arcos de cada uno de ellos. Las distancias medidas a lo largo de los círculos máximos son

frecuentemente medidas como ángulos, ya que, por conveniencia, el radio de la esfera

celeste es definido como la unidad.

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4

Un círculo máximo es hecho a partir de la intersección de la esfera celeste con un plano

que contiene el centro de la misma. Como el centro es equidistante de todos los puntos

en la esfera, la figura de dicha intersección debe ser un círculo por definición. Si el plano

no contiene el centro de la esfera, su intersección con la esfera celeste forma un círculo

menor.

La Figura 1 muestra un círculo máximo y un círculo menor.

Figura 1. Círculo máximo y círculo menor de la esfera celeste. Tomado de (5).

Las longitudes de arco son determinadas mediante la relación. (Ver Figura 2)

a = Ar (1)

Donde A esta expresado en radianes.

Se recuerda que

)2(º360=2 radianesπ

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5

Figura 2. Longitudes de arco en la esfera celeste. Tomado de (5).

Si el radio de la esfera es tomado como la unidad

a = A

Mostrando que la longitud de arco en una esfera de radio igual a la unidad es el ángulo

barrido desde el centro de la esfera.

1.1.1.2 Posición en la superficie terrestre

Para ilustrar los conceptos anteriores se considerará la posición de cualquiera de nosotros

en Tierra (Figura 3). Un punto en la superficie terrestre es determinado mediante dos

coordenadas, longitud y latitud, basados en el Ecuador y un meridiano en particular, que

pasa por los polos y Greenwich, Inglaterra. La longitud es medida de Este a Oeste a

través del círculo mayor del Ecuador. Su valor es la distancia angular entre el meridiano

que pasa el lugar y el meridiano de Greenwich.

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6

.

Figura 3. Posición en la superficie terrestre. Tomado de (5)

La longitud puede ser expresada en unidades angulares o en unidades de tiempo. Las

dos se relacionan mediante

360º = 24 h

1º = 4 min 1 h = 15º

1’ = 4 s 1 min = 15’

1” = 1/15 s 1 s = 15"

Por ejemplo, la longitud de Washington, D.C. es 5h 08m 15.78s Oeste de Greenwich. La

longitud es medida hasta 12h (180º) al Este u Oeste de Greenwich.

La latitud de un punto es la distancia angular al norte o sur del ecuador. Este ángulo se

mide sobre el meridiano local. Washington, D.C. tiene una latitud de 38º 55’ 14.0” N.

1.1.2 Sistemas de coordenadas astronómicas 1.1.2.1 Introducción

Durante los 4000 años en los que ha sido desarrollada la astronomía, se han introducido

varios sistemas de coordenadas y seguimiento, debido a la serie de requerimientos que

deben tenerse en cuenta en las observaciones celestes. Los sistemas de coordenadas se

fundamentan principalmente en círculos máximos en los que la dirección de cualquier

cuerpo celeste puede ser definida únicamente en un tiempo dado. La elección del origen

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7

del sistema también depende del problema en particular. Puede ser topocéntrica (centro

en el lugar geográfico de observación), geocéntrica (tomando el centro de la Tierra como

referencia), heliocéntrica (con el Sol como origen), etc.

El sistema de tiempo empleado puede basarse en el movimiento del Sol, en la rotación

terrestre, o en la rotación de cualquier planeta con respecto al Sol.

Se consideran varios tipos de sistemas de coordenadas y seguimiento.

1.1.2.2 Sistema de coordenadas horizontales (Alt-azimutales)

Este es el sistema de coordenadas más primitivo. Tiene como plano fundamental el plano

del observador (que corresponde al horizonte local) y como eje fundamental la vertical del

lugar. El sistema de coordenadas horizontales es mostrado en la Figura 4.

Al trazar una recta perpendicular al plano del observador (horizonte) por el centro de la

esfera celeste se obtienen dos puntos, Z (zenit o cenit) y Z´ (nadir). El cenit es el punto

localizado exactamente encima de la cabeza del observador, mientras en nádir es el

punto correspondiente a la superficie terrestre que se encuentra diametralmente opuesto

al cenit. Los círculos máximos que pasan por Z y Z´ se llaman círculos verticales. Cabe

destacar dos círculos verticales importantes: el meridiano del lugar (latitud), y el primer

vertical (longitud).

Figura 4. Sistema de coordenadas horizontales. Tomado de (5)

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8

Este sistema tiene dos coordenadas:

• Altura h: se define como el ángulo que forma la visual del astro con el

plano del horizonte. La altura se mide de 0º a 90º desde el horizonte hasta

el cenit Z ( si el astro se encuentra arriba del horizonte) y de 0º a -90º hacia

el nádir Z’ (si el astro se encuentra debajo del horizonte).

• Azimut A: es el ángulo diedro (ángulo que forman dos círculos máximos),

que forma el meridiano del lugar con el círculo vertical que pasa por el

astro. Se toma como origen el punto cardinal Norte N (aunque algunos

autores y cartas celestes toman el Sur). Se cuenta en sentido de las

manecillas del reloj, es decir, en dirección N-W-S-E. El azimut toma valores

entre 0º y 360º.

Este sistema tiene la ventaja de ser un sistema muy sencillo de manipular en la práctica

en el lugar de trabajo, sin embargo, tiene la desventaja de ser un sistema local, válido

solamente en la zona donde se lleva a cabo la observación. Además depende del

movimiento del astro. Para llevar a cabo seguimiento de la estrella es necesario modificar

las dos coordenadas, lo que a veces es tedioso e ineficiente.

1.1.2.3 Coordenadas horarias

El plano fundamental de las coordenadas horarias es el ecuador celeste (o terrestre),

mientras que el eje fundamental es el de rotación de la Tierra.

Al trazar una perpendicular al ecuador por el centro de la esfera celeste se obtienen dos

puntos: los puntos P y Q, correspondientes al polo Norte y Sur de la esfera celeste

respectivamente (Ver Figura 5).

Los círculos máximos que pasan por los puntos P y Q reciben el nombre de círculos

horarios o meridianos. Los círculos paralelos al plano del ecuador (círculos menores) se

denominan, precisamente, paralelos.

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9

El sistema de coordenadas horario es un sistema semilocal, ya que una coordenada es

universal (declinación) mientras que la otra es local (ángulo horario).

Las coordenadas de este sistema son:

• Declinación δ: Es el ángulo que forma la visual del astro con el plano

ecuatorial celeste. La declinación se cuenta desde 0º en el horizonte

hasta 90º en el polo P, o de 0º en el horizonte hasta -90º en el polo Q.

• Angulo horario H: Es el ángulo diedro que forma el meridiano superior del

lugar (descrito por los puntos P-Z-T-S-Q-Z’-T’-P) con el círculo horario que

pasa por el astro. Se cuenta en sentido contrario al de las manecillas del

reloj, en la dirección T-W-T’-E-T . H se mide en horas, minutos y segundos

(ver equivalencias entre ángulos y tiempo). El ángulo horario es una

coordenada local (varía de acuerdo al meridiano del observador).

Figura 5. Sistema de coordenadas horarias. Tomado de (5)

Los sistemas de coordenadas horizontales y horarios dependen del lugar de observación.

Por este motivo son sistemas locales. La altura y el acimut, debido al movimiento de la

esfera celeste, cambian con la posición del observador en la Tierra, además, para el

mismo observador cambian con el tiempo. En las coordenadas horarias el movimiento

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10

diurno solo afecta al ángulo horario H, mientras la declinación permanece fija con el

tiempo. Observadores sobre el mismo meridiano terrestre miden la misma declinación y

ángulo horario pero no si varía la longitud del observador.

1.1.2.4 Coordenadas ecuatoriales

El plano fundamental de las coordenadas ecuatoriales es el plano del ecuador celeste. A

diferencia del sistema de coordenadas horarias, el sistema de coordenadas ecuatoriales

pretende obtener una referencia fija del ángulo horario. De esta manera, se puede obtener

un sistema de coordenadas universal (válido en cualquier sitio del planeta).

Se toma como ángulo horario origen el punto vernal o del equinoccio de primavera γ. El

punto vernal se encuentra localizado donde el ecuador y la elíptica se cruzan. La elíptica

es la trayectoria anual aparente del Sol alrededor de la Tierra (Figura 6). Debido a la

inclinación del ángulo de rotación de la Tierra sobre si misma con respecto al plano de

rotación con el Sol (ε = 23.5º aproximadamente), las dos trayectorias se cruzan a 0º de

Aries (punto vernal o gamma) y a 0º de Libra (180º de Aries). Dichas intersecciones

reciben el nombre de equinoccios de primavera y de otoño respectivamente. El Ecuador

se divide en 24 partes de 15º cuya distancia corresponde a una hora y la elíptica en 12

partes de 30º que señalan los signos del zodiaco.

Figura 6. Elíptica y punto vernal. Tomado de (5).

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11

Las coordenadas ecuatoriales son dos:

• Ascensión recta α: es el ángulo que se mide desde el punto vernal o

gamma sobre el ecuador celeste en la dirección contraria a las agujas del

reloj hasta el círculo de declinación del astro correspondiente

• Declinación δ: Es el ángulo que forma la visual del astro con el plano

ecuatorial celeste. La declinación se cuenta desde 0º en el horizonte hasta

90º en el polo P, o de 0º en el horizonte hasta -90º en el polo O.

Las coordenadas ecuatoriales se utilizan principalmente en la solución de problemas de

astrometría y en la elaboración de cartas celestes y mapas estelares. La figura 7 muestra

la disposición general de las coordenadas ecuatoriales.

Figura 7. Sistema de coordenadas ecuatoriales. Tomado de (5)

Debido a la naturaleza universal del sistema de coordenadas ecuatoriales, en la

actualidad son las preferidas para determinar posiciones de estrellas. Para realizar el

seguimiento de cuerpos celestes sólo basta con cambiar una sola de las coordenadas lo

que facilita en gran medida la instrumentación de monturas y la elaboración de softwares

sencillos en relación con las coordenadas locales (horizontales y horarias).

IM-2004-I-02

12

1.1.3 Monturas de telescopios

Con el fin de situar el telescopio en cualquier posición en el cielo, es necesario montar el

tubo óptico en un soporte adecuado que pueda rotar sobre dos ejes. Es muy importante

que el trípode o marco esté libre de flexión mientras la plataforma es orientada para llevar

a cabo la observación.

El diseño mas simple de monturas provee movimiento en un eje vertical y otro horizontal.

Es conocido comúnmente como montura alt-azimutal (Figura 8). La rotación respecto al

eje vertical permite al telescopio alcanzar el azimut, mientras que la rotación respecto al

eje horizontal permite al telescopio alcanzar la altitud.

Figura 8. Montura alt-azimutal. Tomado de (6)

Este sistema no es muy conveniente para propósitos astronómicos ya que el telescopio

necesita ser ajustado simultáneamente en los dos ejes si se desea llevar a cabo el

seguimiento de una estrella. No existe una relación constante entre la tasa de rotación de

los ejes. Depende del momento de la noche y de la posición del objeto en la esfera

celeste.

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13

Al orientar paralelamente uno de los ejes de la montura con el eje de rotación de la

Tierra, se puede obtener una configuración más conveniente. Este sistema es conocido

como montura ecuatorial (Figura 9). El eje paralelo al eje de rotación terrestre es

conocido como eje polar, mientras que el eje perpendicular a éste es conocido como eje de declinación. Para dirigir el telescopio hacia cualquier punto en el cielo, las rotaciones

adecuadas de los ejes están relacionadas directamente con las coordenadas ecuatoriales

de dicho punto.

Figura 9. Montura ecuatorial sencilla. Tomado de (5)

La consideración de las monturas ecuatoriales es que el eje polar se encuentra a ± 90º

del eje de declinación. La rotación con respecto al eje polar describe un círculo de

declinación constante en la esfera celeste. La rotación alrededor del eje de declinación

describe un círculo de ascensión recta constante. Es una práctica común la de construir

grupos de círculos para dividir los hemisferios de la esfera celeste. Mediante el uso de

dichos círculos y de las coordenadas universales (ecuatoriales), se han elaborado cartas

en donde se pueden encontrar todas las estrellas fijas en coordenadas únicas.

Actualmente se ha desarrollado la automatización del seguimiento de estrellas mediante

la adaptación de motores sobre monturas ecuatoriales. Las razones para el uso de este

tipo de monturas son la facilidad de manejo y el ajuste de un solo eje para llevar a cabo el

seguimiento.

IM-2004-I-02

14

Una posición determinada puede ser alcanzada en dos etapas. La primera es realizar un

acercamiento previo con el motor a alta velocidad, la segunda etapa es lograr el

posicionamiento final por medio de muy bajas velocidades en el motor.

Una vez el telescopio se ha posicionado en un punto determinado en el espacio, el

seguimiento se logra al hacer girar el eje polar de la montura a la misma velocidad, pero

en sentido contrario de la velocidad rotacional de la Tierra. La velocidad de rotación de la

Tierra es constante y se puede calcular fácilmente como una revolución en 24 horas.

Cualquier error en el seguimiento como flexiones en el trípode o efectos de refracción

atmosférica pueden ser compensados por el observador mediante pequeños movimientos

del motor del eje polar.

1.1.3.1 Monturas ecuatoriales

• La montura alemana

Hay diferentes tipos de monturas ecuatoriales, quizá la mas común es la alemana

(Figura10). El eje de declinación esta en la forma de una barra encima del eje polar. El

telecopio es ajustado en el eje de declinación. La montura requiere de un contrapeso en el

lado opuesto del eje para balancear el sistema. A pesar de que este tipo de montura

somete a los ejes y rodamientos a esfuerzos altos comparados con otro tipo de monturas

ecuatoriales, tiene ventajas importantes en cuanto al seguimiento y posicionamiento en el

firmamento. Se puede ver fácilmente que para cualquier punto en el cielo, el telescopio

puede ser posicionado en una o dos posiciones que son separadas por un ángulo horario

de 180º.

• La montura “tenedor”

Otro tipo de montura conocida como la montura tenedor tiene un eje polar como el de la

ecuatorial, pero al final del mismo se ubica un “tenedor”, en el cual se establece el eje de

declinación (Figura 11). Este tipo de montura evita el yugo excesivo del eje polar y el

contrapeso de la montura alemana. Sin embargo, la montura tenedor impide el fácil

acceso al plano focal del telescopio cuando está dirigido a regiones cercanas al polo.

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15

Figura 10. Montura ecuatorial alemana. Tomado de (5)

Figura 11. Montura de “tenedor”. Tomado de (5)

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16

• Montura inglesa.

En la montura inglesa (Figura 12), el telescopio es suspendido sobre rodamientos tanto en

el eje polar como en el de declinación. El telescopio tiene libertad de movimiento sobre el

eje polar. En este diseño el peso suspendido es reducido al máximo, haciéndolo muy

aconsejable para telescopios grandes. Tiene la desventaja de ser incapaz de alcanzar

posiciones cercanas al polo debido a la naturaleza de su estructura. En realidad esta no

es una desventaja si se hacen observaciones a bajas latitudes. Una adaptación de la

montura inglesa para realizar observaciones cercanas al polo es ajustar el telescopio

fuera del marco del eje polar, sin embargo, este montaje requiere de contrapesos.

Figura 12. Esquema de una montura ecuatorial inglesa. Tomado de (5)

1.2 TRANSMISIONES (Tomado de 1). 1.2.1 Introducción

Una máquina es una combinación de piezas interrelacionadas para usar o aplicar energía

con la finalidad de hacer un trabajo. Un mecanismo es un sistema mecánico formado por

piezas o estructuras rígidas (tales como carcazas, soportes y ejes) unidos por varios

IM-2004-I-02

17

sistemas de articulación (como engranes levas y palancas) e impulsados por movimientos

o cargas. Los mecanismos se diseñan siguiendo las leyes de la física conocidas como

mecánica.

Una parte importante del diseño mecánico es aquella que tiene que ver con el análisis de

mecanismos y estructuras. El análisis estructural calcula las deformaciones y esfuerzos

en estructuras, ya sea con o sin uniones de movimiento muy limitado. Un ejemplo de

análisis estructural es el análisis utilizado para medir los esfuerzos entre los dientes de

engrane que acoplan entre si. El análisis de mecanismos tiene que ver con los cálculos de

movimientos y fuerzas en sistemas mecánicos.

Después de concluir el análisis, se especifican los distintos componentes mecánicos, y

con estas especificaciones se crean los dibujos técnicos o el modelo en 3-D.

1.2.2 Engranes 1.2.2.1 Introducción

Un engrane es un dispositivo mecánico con la forma de una rueda dentada que se emplea

para transmitir potencia y movimiento entre las piezas de una maquina. Los engranes se

utilizan en muchas aplicaciones, tales como motores de automóviles, electrodomésticos,

industria naval y aeronáutica, etc. Los engranes proporcionan tiempos de duración muy

altos y pueden transmitir potencia con una eficiencia de hasta el 98%. Para seleccionar

engranes estándar se utilizan catálogos comerciales.

Un tren de engranajes es una combinación de dos o más engranes. Dichas disposiciones

permiten:

• Aumentar la velocidad

• Reducir la velocidad

• Cambiar la dirección de movimiento de los ejes

IM-2004-I-02

18

Figura 13. Engrane y piñón. Tomado de (1)

Cuando encajan dos engranes de diferente tamaño, el mayor recibe el nombre de

engrane, mientras que el mas pequeño es el piñón (Figura 13). Un tren de engranes es

mas de un engrane en el mismo eje.

La selección y especificación de los engranes se hace utilizando los estándares

establecidos por la American Gear Manufacturers Association (AGMA) y la American

Nacional Standard Institute (ANSI).

1.2.2.2 Clasificación de los engranes.

De acuerdo a la disposición de los ejes de conexión, los engranes se agrupan en

paralelos, intersecantes y no intersecantes. La clasificación de los engranes según la

forma del diente es la siguiente: recto, helicoidal, cónico, lateral, helicoidal cruzado,

hipoidal y sinfín. El más sencillo en su representación y análisis es el recto.

a. Sistema de ejes paralelos.

En este sistema de ejes, dos o mas de los engranes utilizan ejes paralelos entre si. Esta

disposición es común en montajes en los que se desea reducir la velocidad y la dirección

IM-2004-I-02

19

de movimiento de los ejes. Los engranes de mayor uso en el sistema de ejes paralelos

son los rectos y los helicoidales. En la Figura 14 se ilustra una transmisión de camión que

utiliza engranes rectos y helicoidales montados en ejes paralelos.

Figura 14. Sistema de ejes paralelos. Tomado de (3)

• Engranes rectos.

En los engranes rectos los dientes son paralelos al eje del árbol. Este tipo de engranajes

son de fácil diseño, manufactura e instalación lo que los ha convertido en los más

populares. Sin embargo, los engranes rectos tienen una capacidad de carga de manejo

baja, además de ser mas ruidosos que otros tipos de engranes. Los engranes rectos

pueden ser internos o externos. Un sistema de engranes externos rectos es mostrado en

la Figura 13.

• Engranes helicoidales

Los engranes helicoidales tienen un diente especial que se encuentra sesgado con

respecto al eje, lo que permite el contacto gradual de varios dientes reduciendo el ruido y

distribuyendo la carga en mas de uno de ellos. Dicho ángulo se denomina ángulo

helicoidal. El engrane helicoidal doble o espina de pescado es un engrane doble sin

espacio entre los dos conjuntos de dientes. Un sistema de engranes helicoidales es

mostrado en la Figura 15.

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20

Figura 15. Engranes helicoidales. Tomado de (1)

b. Sistema de ejes que se intersecan.

En el sistema de ejes que se intersecan, dos engranes que entran en contacto están

sobre ejes que no son paralelos entre sí. Aunque los ejes no se crucen en realidad, si se

extendieran las líneas de ejes, en algún momento lo harían. Los ejes que se cruzan se

utilizan para cambiar la dirección del movimiento. Los engranes cónicos y de dientes

frontales se emplean comúnmente con sistemas de ejes que se intersecan. El sistema de

ejes que se cruzan se muestra en la Figura 16.

Figura 16. Sistema de ejes que se intersecan. Tomado de (3)

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21

Los engranes cónicos se utilizan en la mayoría de las aplicaciones para cambiar la

dirección del movimiento en 90º aunque puede ser cualquier otro ángulo.

c. Sistemas de ejes que no se intersecan.

En el sistema de ejes que no se intersecan los ejes de los engranes tienen ángulos rectos

y no se cruzaran si se extienden las líneas de eje. Los engranes mas comunes en este

tipo de montaje son los helicoidales cruzados, los hipoidales y los sinfines.

• Engranes helicoidales cruzados.

Esta clase de engranes se constituye por un engrane helicoidal y un piñón helicoidal

dispuestos en un ángulo recto. Son utilizados en cambio de dirección de movimiento en

situaciones de carga baja. A veces son llamados engranes espirales o helicoidales de

ángulo recto. En la Figura 17 (a) se muestra una pareja de engranes helicoidales

cruzados.

• Engranes hipoidales.

Son engranes cónicos con ejes desplazados 90º y que se emplean para cambiar la

dirección de movimiento. Son utilizados cuando se desea un alto grado de resistencia

junto con una operación suave y silenciosa. Los engranes hipoidales se muestran en la

Figura 17 (b).

• Engranes sinfín-corona.

El engrane sinfín es un engrane helicoidal y un pasador acme roscado sobre un eje y se

usa cuando se necesita una reducción grande de velocidad en un área muy pequeña. El

eje roscado se conoce como sinfín o gusano, mientras que el engrane sobre el que actúa

se le llama corona. Un montaje de sinfín-corona es mostrado en la Figura 17 (c).

• Cremallera y piñón.

La cremallera y piñón conforman un piñón recto sobre un eje que hace engranar un

engrane recto y plano (Figura 17 (d)). La cremallera y el piñón se utilizan para convertir

IM-2004-I-02

22

movimiento giratorio en movimiento lineal. Una aplicación común es el levantamiento y

descenso de una broca en un taladro de banco.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 17. Engranes en sistema de ejes que no se cruzan. (a) Engranes hipoidales

cruzados. (b) Engranes hipoidales. (c) Engranes sinfín-corona. (d) Sistema de cremallera y piñón. Tomado de (1).

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23

1.2.2.3 Geometría del diente de un engrane.

La transmisión de potencia y el funcionamiento silencioso de un engrane dependen del

adecuado uso de las condiciones geométricas. Una involuta es una línea curva formada

por la traza de un espiral de un punto sobre una cuerda que se desdobla alrededor de una

línea, un círculo o un polígono. La involuta de un circulo forma la curva suave necesaria

en el diseño de un diente de engrane recto (Figura 18). El circulo es el circulo base del

engrane. En cualquier punto sobre la curva, una perpendicular a la línea será tangente al

circulo base. Al dibujar otro circulo a lo largo de la misma línea de eje tal que la involuta

de los dos sean tangentes demuestra que, en el punto de contacto, las dos líneas

tangentes al circulo base son coincidentes. Esto sucede cuando dos dientes de engrane

están en contacto, y también demuestra el principio cinemático del engrane:

“si se dibuja una línea perpendicular a la superficie de dos cuerpos que esta girando en su

punto de contacto, y ésta siempre cruza la línea de eje entre los dos ejes en el mismo

lugar, entonces el cociente de la velocidad angular de los dos cuerpos debe ser

constante”(Tomado de 1).

Figura 18. Principio cinemático del engranaje. Nótense las involutas. Tomado de (1)

Solo la parte del diente que entra en contacto con un diente del otro engrane es la que

debe ser una involuta. Las involutas no son muy utilizadas en los dibujos técnicos de

engranes. Es su lugar se utilizan aproximaciones.

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24

1.2.2.4 Ángulo de presión.

El ángulo de presión es el ángulo entre la tangente a los círculos de contacto y la línea de

acción, que es la dibujada de manera normal a la superficie del diente del engrane (Figura

19). La forma definitiva del perfil del diente depende del ángulo de presión. El ángulo de

presión también determina el tamaño del círculo base. Los ángulos de presión estándar

de los fabricantes son 14.5º, 20º y 25º. Los catálogos de engranes se dividen de acuerdo

al número de dientes y el ángulo de presión.

Figura 19. Angulo de presión. Tomado de (1)

1.2.2.5 Relaciones de engrane y piñón.

Los diámetros del engrane y del piñón determinan la relación de engrane, la cual define el

grado de reducción o aumento en la velocidad del tren de engranajes. Por ejemplo si el

diámetro del engrane es el doble que el del piñón, el engrane tendrá dos veces mas

dientes dando una vuelta mientras el piñón lo hace dos veces. Esto produce una relación

de engrane de 1:2, que significa que si el piñón gira a 100 revoluciones por minuto (RPM),

el engrane lo hará a 50 (RPM).

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25

La relación de engrane se halla dividiendo el numero de dientes del engrane entre el

numero de dientes del piñón. La relación de piñón es el inverso de la relación de engrane,

en el ejemplo citado sería de 2:1.

La relación de engrane también puede hallarse dividiendo las RPM del engrane entre las

RPM del piñón. De la misma manera la relación de engrane se determina dividiendo el

diámetro primitivo del engrane entre el diámetro primitivo del piñón.

1.2.2.6 Engranes rectos

• Nomenclatura y fórmulas para engranes rectos.

El diámetro primitivo es un círculo teórico en el que se basan casi todos los cálculos. Los

diámetros primitivos en un sistema siempre son tangentes entre sí.

El paso circular es la distancia, medida sobre la circunferencia de paso, entre determinado

punto del diente y el correspondiente en el siguiente diente. De esta manera, el paso

circular es la suma entre el espesor del diente y el espacio entre dos de ellos.

El paso diametral P es la relación entre el número de dientes al diámetro de paso. Se

expresa en dientes por pulgada.

El adendo a es la distancia radial entre el tope del diente y el círculo primitivo.

El dedendo b es la distancia radial entre el fondo del espacio y el círculo primitivo.

La circunferencia de holgura es la circunferencia tangente a la de adendo del otro engrane

conectado. La holgura c es la diferencia entre el dependo de un engrane dado que excede

al adendo del engrane conectado. El juego es la diferencia del espacio entre dos dientes

consecutivos y el grueso del diente del otro engrane, medidos sobre las circunferencias

de paso.

La Tabla 1 indica las dimensiones para engranajes rectos. (Según Diametral Pitch)

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26

Tabla 1. Dimensiones de engranes rectos. Tomado de (4) y (2)

Fórmula No.

Nombre Piñón Engrane

1 Numero de dientes

Dado Dado

2 Diametral Pitch Pd

Dado Dado

3 Paso circular (in) pPπ= p

Pπ=

4 Ángulo de presión Φ (º)

Dado Dado

5 Diámetro primitivo (in) = nd P

D = N P

6 Diámetro de raíz (in)

2r o td d h= - 2r o tD D h= -

7 Diámetro exterior (in)

2o pd d a= + 2o gD D a= +

8 Profundidad total del diente (in) th = 2.157 P

th = 2.157 P

9 Adendum (in) 1

paP

= 1

paP

=

10 Dedendum (in) 2p o pe d a= - 2p o pe d a= -

11 Espesor del diente (in) t =1.5708 P

t =1.5708 P

12 Ancho de cara (in)

Dado Dado

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27

13 Mínimo radio de raíz (in)

20 30 3

0 32

pR

p

er

d e= ( - . ) . +

+ ( - . )

20 30 3

0 32

pR

p

eR

D e= ( - . ) . +

+ ( - . )

• Análisis de fuerzas en engranes rectos (Tomado de 4).

El montaje convencional de engranajes rectos se muestra en la Figura 13. Las reacciones

entre dientes conectados suceden a través de la línea de presión. La geometría de los

engranes rectos limita la acción del vector de carga a un plano paralelo a la cara de los

engranes. Se establece un sistema de coordenadas rectangulares convencionales x, y y z

con origen en el punto de contacto de los dientes. De esta manera el vector de carga W es

descompuesto en dos coordenadas, una tangencial Wt y otra radial Wr (Figura 20). La

carga transmitida será la componente tangencial del vector de carga. La componente

radial no es útil ya que no transmite potencia.

Figura 20. Distribución del vector de carga W en sus componentes tangencial Wt y radial Wr. Nótese la inclinación del vector W de acuerdo al ángulo de presión del engranaje. Tomado de (3)

Se ve que el momento de torsión aplicado y la carga transmitida están relacionados

mediante la ecuación

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28

2 tdT W=

Donde tW es la componente tangencial del vector de carga y d es el diámetro del engrane.

La carga tangencial tW puede obtenerse mediante

)3(33000

=VW

H t

Donde H es la potencia en hp transmitida por el sistema.

Se puede definir la velocidad en la línea de paso en ft/m como

)4(12

=H

ndπV

Donde

n = velocidad angular del engrane (RPM)

d = diámetro primitivo del engrane (pulg)

H = potencia inducida (hp)

• Esfuerzos en engranes rectos (Tomado de 3). Formula de Lewis.

Un diente es básicamente una viga corta en voladizo (Figura 21). En la base de la viga

hay un esfuerzo a tensión en la cara cargada y uno compresivo en la cara opuesta.

Cuando un diente falla, usualmente lo hace por un rompimiento en la base del diente en la

cara del esfuerzo de tensión. La habilidad de un diente para resistir su rompimiento es

usualmente referido como su “resistencia de viga” o su “resistencia a la flexión”.

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29

Figura 21. Viga cargada en voladizo. Tomado de (3)

El esfuerzo a la flexión fue calculado con gran grado de precisión por primera vez por

Wilfred Lewis in 1893. Él concibió la idea de inscribir una parábola de resistencia uniforme

dentro de un diente de engrane. Cuando una parábola es hecha en una viga en voladizo,

el esfuerzo es constante a lo largo de la superficie de la parábola. Inscribiendo la parábola

más grande que ajustase dentro del perfil de un diente es posible localizar

inmediatamente la posición mas critica en cuanto a esfuerzos del diente. Este concepto se

ilustra en la Figura 22.

La formula de Lewis puede ser derivada de los esfuerzos tradicionales de una viga en

voladizo (ver Figura 21). El esfuerzo de tensión en la base de esta viga es

)5(6

== 2FtlW

IMc

σ t

Donde

σ = Esfuerzo a tensión (psi)

M = Momento máximo flector en la viga (lb pulg)

c = Distancia medida desde la fibra en cuestión hasta el eje centroidal de la viga (pulg)

I = Inercia (pulg4)

Wt = Vector de carga tangencial (lb)

l = longitud de la viga en voladizo o del diente (pulg)

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30

F = Ancho de cara de la viga o diente (pulg)

t = Espesor de la viga o diente (pulg)

Figura 22. Localización del punto de mayor esfuerzo en el diente (a). Cuando el

diente es cargado en el punto b, el punto a es el que siente el mayor esfuerzo dentro del sistema. La parábola inscrita es tangente al radio de raíz en el punto a y tiene su origen donde el vector de carga corta la línea central. Tomado de (3).

Si substituimos un diente por la viga rectangular en voladizo, podemos encontrar el punto

critico en cuanto a esfuerzos, en la raíz del filete mediante la parábola inscrita. Este es el

punto a de la Figura 22.

Figura 23. Determinación de la dimensión x para la fórmula de esfuerzo de Lewis. Tomado de (3).

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31

El siguiente paso es dibujar algunas líneas de construcción para dar la dimensión x como

se muestra en la Figura 23.

Por triángulos semejantes

)6(4

=2

lt

x

Sustituyendo x en la ecuación (1) se obtiene

)7(

32=

Fx

Wσ t

El paso circular p puede ser introducido en el numerador y el denominador sin alterar el

valor de la ecuación. Esto resulta en

)8(

32=

Fxp

pWσ t

Haciendo px

y32

= , resulta

(9)=FpyW

σ t

Al factor y se le conoce como el factor de forma de Lewis y puede obtenerse mediante

una representación gráfica del diente del engrane, o bien por manipulación digital.

Al aplicar la fórmula de Lewis muchos ingenieros prefieren utilizar el paso diametral

(diametral Pitch) para determinar los esfuerzos.

Teniendo en cuenta que pπ

P = y yπY = , la ecuación 9 se convierte en

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32

)10(3

2==

xPYcon

FYPW

σ t

La formula original de Lewis fue utilizada para la componente tangencial de la carga

aplicada. De acuerdo con el ángulo de presión de la transmisión, la carga tiene una

componente tangencial Wt y una radial Wr. La componente radial produce pequeños

esfuerzos compresivos a través de la raíz del diente. Cuando esta componente es

considerada, el esfuerzo a tensión es reducido una pequeña cantidad y el esfuerzo

compresivo en el lado opuesto del diente se incrementa una pequeña cantidad. Esto

parece indicar que el diente puede ser mas críticamente cargado en el lado de

compresión. Sin embrago, este no es el caso. En la mayoría de materiales, los esfuerzos

a tensión son más peligrosos que esfuerzos compresivos de mayor valor.

Algunas fórmulas de uso común hoy en día para calcular la resistencia de los dientes

incluyen la componente radial de carga dentro de las mismas.

Si los engranes se fabrican con la precisión adecuada, existe una distribución de la carga

entre varios dientes, haciendo el punto mas critico de carga diferente a la punta del

mismo, ya que, mientras un diente empieza a moverse sobre otro, antes de que se llegue

al final del diente va a haber otra pareja de dientes que ayudan a la transmisión de

potencia.

The worst load condition (Figura 24) es dicho punto. Esta condición genera un valor mayor

de Y. El uso de la ecuación de Lewis implica que los dientes no comparten la carga y que

la fuerza máxima se ejerce en el extremo del diente. Sin embargo, se ha mencionado que

la relación de contacto debe ser mayor que la unidad, a fin de obtener un engrane de alta

calidad. Si de hecho, se fabrican engranes de alta calidad, la condición de carga en la

punta no será la más ventajosa ya que otro par de dientes se hallara en contacto cuando

se suscite esta condición. Las cargas mas altas se encuentran en el worst load condition,

aproximadamente en la mitad del diente. Por lo tanto, el esfuerzo máximo que soporta un

diente se producirá en el punto sobre la zona de contacto en donde el diente soporte toda

la carga y el siguiente esté a punto de hacer contacto.

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33

Figura 24. The worst load condition. Representa el sitio de carga extrema en un diente debido a la distribución de carga entre varios de ellos. Este punto corresponde aproximadamente a la mitad de la altura total del diente. Tomado de (3).

Presión de contacto de Hertz

Los engranes fallan por picadura tal y como lo hacen por rompimiento. Frecuentemente

los engranes muestran los primeros indicios en el lugar donde empieza el crecimiento de

grieta. Entonces, debido a las cargas dinámicas los efectos de la concentración de

esfuerzos aumentan hasta la falla. La Figura 25 muestra los tipos de esfuerzos presentes

en la zona de contacto. En el centro de la zona hay un punto de máximo esfuerzo

compresivo (maximum surface compresion). Exactamente debajo de este punto hay una

subzona de máximo esfuerzo cortante (maximum sub-surface shear). La profundidad del

máximo punto de esfuerzo cortante es un poco más pequeña que un tercio del ancho de

la zona de contacto.

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34

Figura 25. Esfuerzos en la región de contacto de los dientes. Tomado de (3)

Las superficies del diente se mueven a través de cada una en una combinación de

rodadura y deslizamiento. El movimiento de deslizamiento mas el coeficiente de fricción

tienden a causar esfuerzos de superficie adicionales. Justo arriba de la banda de contacto

hay una estrecha zona de compresión (sub-surface compresión). Justo detrás de la zona

de contacto hay una pequeña zona de esfuerzos a tensión (sub-surface tension).

Una pequeña cantidad de metal en la superficie del diente recorre un ciclo de compresión

y tensión cada vez que el diente lo recorre. Si se carga lo suficiente habrá evidencia de

grietas y flujo plástico en la superficie de contacto. También allí habrá una ruptura del

metal debido a los esfuerzos cortantes.

Los esfuerzos en la superficie del diente son usualmente determinados por formulas

derivadas del trabajo de Hertz. Dichos esfuerzos son llamados esfuerzos de Hertz.

Hertz determino el ancho de la zona de contacto y el patrón de esfuerzos cuando varias

geometrías eran cargadas unas contra las otras. Un caso particular para los engranes es

el de dos cilindros en contacto cuyos ejes son paralelos (Figura 26).

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35

Figura 26. Esquema representativo de dos cilindros en contacto sometidos a compresión mutua. Tomado de (3).

Sólo para la Figura 26, la fuerza aplicada es F en libras y la longitud del cilindro es L (in).

De acuerdo a la nomenclatura adelantada hasta este punto, la carga F es la misma carga

W, mientras la longitud del cilindro L corresponde al ancho de cara F de los dientes. Una

vez aclarada esta situación, el ancho de la zona de contacto B (F de acuerdo a la

nomenclatura establecida en este trabajo) es:

)11()+(

)+(16=

21

2121

RRFRRKKW

B

Donde

1

21

1

-1=

Eπν

K

2

22

2

-1=

Eπν

K

Con ν el modulo de Poisson y E el modulo de elasticidad del material de cada cilindro.

El esfuerzo máximo de compresión es

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36

)12(4

=BπF

Wσc

Siendo

W = Carga aplicada sobre los cilindros

F = Ancho de la cara en contacto de los cilindros

El esfuerzo máximo cortante es

)13(295.0= cc στ

Dichas ecuaciones pueden ser aplicadas para engranes rectos considerando que las

ecuaciones de contacto son equivalentes a las de dos cilindros con el mismo radio de

curvatura y el punto de contacto tal y como se da en los engranes rectos. Esta es una

aproximación ya que el radio de curvatura de un diente involuta cambiara mientras el

mismo viaja por la zona de contacto. El cambio no es tan grande cuando el contacto es en

la zona de paso. Sin embargo, cuando el contacto esta cerca del círculo base, el cambio

es rápido y los esfuerzos de contacto calculados por el método de Hertz no son muy

precisos.

El esfuerzo compresivo en la línea primitiva puede ser obtenido mediante

)14()1+

(cos)

1+

1(

7.0=

21

G

Gc m

mFdW

φsenφEE

σ

Donde

φW

Fcos

=

L=F

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37

2=1

φdsenR

12 = RmR G

W es la carga tangencial en lb. Puede ser obtenida dividiendo el torque del piñón por el

radio de paso del piñón. F es el ancho de cara en in, d es el diámetro primitivo del piñón.

La razón entre dientes de la rueda y piñón es Gm .

• Formulas de esfuerzo de la AGMA (Tomado de 4).

La AGMA utiliza dos formulas fundamentales, una para esfuerzo por flexión y la otra para

esfuerzo compresivo o a la picadura.

La formula fundamental para esfuerzo por flexión es

)15(=FJK

KPKKWσ

v

msat

Donde

=σ Esfuerzo por flexión (psi)

=tW Carga tangencial transmitida (lb)

=aK Factor de aplicación

=vK Factor dinámico o de velocidad

=P Paso diametral (diametral Pitch)

=F Ancho de la cara del engrane (in)

=sK Factor de tamaño

=mK Factor de distribución de carga

IM-2004-I-02

38

=J Factor geométrico

La fórmula fundamental para esfuerzo compresivo es

)16(=FdIC

CCCCWCσ

v

fmsatpc

Donde

=cσ Valor absoluto del esfuerzo por contacto (psi)

=pC Coeficiente elástico

=aC Factor de aplicación

=vC Factor dinámico o de velocidad

=sC Factor de tamaño

=mC Factor de distribución de carga

=d Diámetro primitivo del piñón (in)

=fC Factor de estado o condición de superficie

=I Factor geométrico

Factores de aplicación Ka y Ca.

El fin del factor de aplicación es incluir algunas situaciones en donde la carga real excede

la carga nominal tangencial Wt. Los valores del factor de aplicación son determinados por

el ingeniero y dependen de la situación específica de carga del diseño considerado.

Factores dinámicos o de velocidad Kv y Cv.

El factor dinámico o de velocidad se tiene en cuenta para incluir dentro de los cálculos

errores en el embone de los engranes o imprecisiones en la manufactura de los dientes.

IM-2004-I-02

39

El error de transmisión es la desviación respecto a la velocidad angular uniforme en el par

de engranajes. Algunos factores que producen error en la transmisión son:

-Imprecisiones producidas en la manufactura del diente. Entre estas se encuentran los

errores en el espaciamiento entre dientes, el avance del perfil y el acabado superficial.

-Vibración de los dientes en el embone o conexión debida a la rigidez de los dientes.

-Magnitud de la velocidad en la línea de paso.

-Desequilibrio dinámico de los elementos rotatorios.

-Desgaste y deformación permanente de partes en contacto de los dientes.

-Desalineamiento del eje o árbol del engrane, así como deflexiones en longitud y ángulo

del mismo.

-Fricción entre dientes.

Tratando de controlar, hasta cierto punto estos efectos, la AGMA ha definido un conjunto

de índices de control de calidad. Estos números definen las tolerancias para engranes de

distintos tamaños manufacturados para un grado de calidad específico. Los engranes

comerciales son de calidad 3-7, mientras que los de calidad 8-12 son de precisión.

El factor dinámico (Kv , Cv) se puede calcular a partir de los índices de nivel de exactitud

de transmisión de la AGMA Qv, como sigue

[ ] )17(min/)+

(==2

1 ftVconVA

ACK B

vv

Donde

)19(4

)-12(=

)18()-1(56+50=3

2

vQB

BA

IM-2004-I-02

40

De esta manera, a partir de los factores de calidad Qv se pueden calcular los factores

dinámicos Kv , Cv.

Factores de tamaño Ks , Cs.

La recomendación de la AGMA es que se utilice un factor de tamaño igual a la unidad

para la mayoría de los engranes, siempre y cuando se haga una elección adecuada del

material para el tamaño de la pieza y el tratamiento térmico. El objeto del factor de tamaño

es compensar cualquier falta de uniformidad de las propiedades del material.

Factores de distribución de carga Km , Cm.

El factor de distribución de carga se emplea para compensar

-Desalineamiento de los ejes geométricos de rotación.

-Desviaciones en el avance.

-Deflexiones elásticas causadas por las cargas en ejes o árboles, cojinetes o carcazas.

Los factores de distribución de carga ser muestran en la Tabla 2.

Tabla 2. Factores de distribución de carga. Tomado de (4)

Ancho de cara F (in)

Condición de soporte

< 2 6 9 >16

Montaje exacto, bajas holguras de cojinetes, deflexiones mínimas,

engranes de precisión

1.3

1.4

1.5

1.8

Montajes rígidos, engranes menos precisos, contacto a todo lo

ancho de la cara.

1.6

1.7

1.8

2.0

Exactitud y montaje de modo que exista contacto incompleto con

la cara.

> 2.0

IM-2004-I-02

41

Factores geométricos J e I.

Ya se ha descrito la manera en que se introduce el factor Y de Lewis para obtener el

esfuerzo en el diente de acuerdo a su geometría. Los factores I y J de la AGMA pretenden

el mismo objeto pero de manera mas elaborada.

Para determinar los factores I y J se necesita la relación de contacto con la cara Fm que

se define como

)20(=x

F pF

m

Donde xp es el paso axial y F es el ancho de cara. En el caso de engranes rectos Fm = 0.

Factor geométrico J de resistencia a la flexión

El valor J de AGMA es una modificación del factor Y de forma de Lewis, un concentrador

de esfuerzo en fatiga rK y una relación de repartición de carga Nm . Con esto

)21(=Nr mK

YJ

Para engranes rectos Nm = 1.0

Factor de concentración de esfuerzos Kr.

En la época de Lewis, los factores de concentración de esfuerzos no eran utilizados. En

las ruedas actuales se sabe que se tienen que usar. Dolan y Broghamer han hecho un

exhaustivo trabajo de concentradores de esfuerzos fotoelásticos en modelos plásticos de

dientes de engranes. Su trabajo ha sido, como en este caso extensivamente usado.

IM-2004-I-02

42

La Figura 27 muestra las dimensiones usadas para calcular los concentradores de

esfuerzos.

Figura 27. Dimensiones usadas para calcular el factor de concentración de esfuerzos Kr . Tomado de (3)

De su trabajo experimental se establece

)22()()(+18.0= 45.015.0

ht

rt

Kf

r

Para 20º de ángulo de presión

)23()()(+22.0= 40.020.0

ht

rt

Kf

r

Para engranes rectos de 14.5º de ángulo de presión.

En estas ecuaciones, Kr es el factor de concentración de esfuerzos. El radio rf es el radio

de curvatura del filete de raíz en el punto en el que el filete se une con el diámetro de raíz.

Pruebas actuales han mostrado que el factor de concentración de esfuerzos real es

diferente al fotoelástico mostrado arriba. Si en el filete de raíz hay rayaduras o marcas de

la herramienta, rf puede ser mayor.

IM-2004-I-02

43

El ancho de cara usado por Lewis fue el ancho completo de cara del engrane. Los

engranes actuales son cargados uniformemente a través de su ancho de cara. Errores en

alineación de ejes y ángulos de hélice tienden a incrementar la carga en uno u otro lado

de la cara de la rueda. Actualmente se utiliza un ancho de cara efectivo, más pequeño

que el completo utilizado por Lewis.

Factor geométrico I de resistencia en la superficie

Este factor también es conocido como factor de resistencia a la picadura, según la AGMA.

Se define la relación de velocidad como

)24(==dD

nN

mG

Dependiendo del numero de dientes N y n, o de los diámetros primitivos D y d del engrane

y el piñón respectivamente. Ahora

)25(1+2

cos=

G

G

N mm

mφsenφ

I

Donde φ es el ángulo de presión de los engranes.

Coeficiente elástico Cp.

Depende de las propiedades físicas y mecánicas de los materiales del sistema de

engranes.

)26()

-1+

-1(

1=

22

e

e

p

pp

Eν

Eν

πC

IM-2004-I-02

44

Donde

=pν Módulo de Poisson del piñón

=pν Módulo de Poisson del engrane

=pE Módulo de elasticidad del piñón

=pE Modulo de elasticidad del engrane

Factor de estado o condición de superficie Cf.

La AGMA no ha establecido valores estándar para el factor de superficie, pero se sugiere

utilizar valores mayores a la unidad si existen defectos superficiales obvios.

1.2.2.7 Engranes sinfín-corona (Tomado de 1)

• Nomenclatura y fórmulas para engranes sinfín-corona.

El diente del tornillo sinfín es similar al de una rosca de tornillo. La corona y el sinfín son

parecidos al engrane recto y la cremallera, así que muchas de las dimensiones son las

mismas. Normalmente el sinfín y la corona se dibujan por separado. En este tipo de

transmisiones, el sinfín y la corona tienen el mismo sesgo de hélice pero los ángulos de

hélice suelen ser muy diferentes. El ángulo del sinfín suele ser muy grande, y el de la

corona, muy pequeño. Por este motivo es común especificar el ángulo de avance λ del

tornillo y el ángulo de hélice Gψ de la corona. Los dos ángulos son iguales para 90º entre

ejes. El ángulo de avance del sinfín es el complemento del ángulo de hélice del mismo.

Al especificar el paso de engranajes sinfín-corona, se acostumbra a expresar el paso axial

px del sinfín y el paso circular transversal pt que a menudo se conoce simplemente como

paso circular, de la corona conectada. Estos ángulos son iguales si el ángulo entre ejes es

de 90º. El diámetro primitivo del engrane es el que se mide en un plano que contiene el

eje del gusano. Es el mismo que en los engranes rectos y vale

IM-2004-I-02

45

tN pD =π

(27)

Como no está relacionado con el número de dientes, el sinfín puede tener cualquier

diámetro primitivo; sin embargo, tal diámetro debe ser igual al diámetro de paso del

cortador de tornillo sinfín que se utiliza para formar los dientes de los elementos del

mecanismo de sinfín-corona.

En general, el diámetro primitivo del sinfín se debe diseñar de manera que quede dentro

del intervalo:

0 875 0 875

3 0 1 7C Cd< <

. .

. . (28)

Donde C es la distancia entre centros. Estas proporciones aseguran una capacidad de

potencia óptima.

El avance L y el ángulo de avance λ del sinfín se relacionan así

xL p n= (29)

tan Ld

λ =π

(30)

Los factores característicos de una transmisión sinfín-corona se resumen en la Tabla 3.

IM-2004-I-02

46

Tabla 3. Dimensiones y fórmulas para engranajes sinfín-corona. Tomado de (4) y (2)

Fórmula No.

Nombre Gusano Corona

1 Numero de entradas gusano Dado -

2 Número de dientes corona N - Dado

3 Paso axial P P

4 Diámetro primitivo (in) 2od d a= - PD N=π

*

5 Angulo de avance λ (º)

dπP

λ =tan dπ

Pλ =tan

6 Adendum (in)

πP

ap = πP

ap =

7 Dedendum (in)

πP

ep

167.1=

πP

ep

167.1=

8 Diámetro exterior (in)

πP

ddo 2+=πP

DDo 2+=

9 Distancia entre centros (in)

2+

=dD

C

IM-2004-I-02

47

12 Altura total del diente (in) 4.25*

167.2=

DPh

13 Espesor del diente (in)

2=

Pe

14 Espacio entre dientes (in)

2=

Pc

15 Ancho de cara (in) - 236.0+

47.7=

DPA

16 Diámetro al fondo del hilo (in) hdd f 2= 0 -

17 Angulo entre flancos 60º -

• Análisis de fuerzas en engranes sinfín-corona. (Tomado de 4).

Si se omite la fricción, entonces la única fuerza que ejerce el engrane es la fuerza W,

cuyas componentes rectangulares Wx, Wy y Wz se obtienen como

λφWWφWsenW

λsenφWW

nz

ny

nx

coscos=)31(=

cos=

Ahora, se emplean los subíndices W y G para indicar las fuerzas que actúan contra el

sinfín (worm) y la corona (gear). De la Figura 28 se observa que yW es la fuerza de

separación o radial, entre el sinfín y la corona. La fuerza tangencial en el sinfín es xW y es zW en el engrane, suponiendo un ángulo entre ejes de 90º.

La fuerza axial del sinfín es zW y en la corona es xW . Como las fuerzas que actúan en la

corona son contrarias a las que actúan en el sinfín, se pueden resumir estas relaciones

así

IM-2004-I-02

48

zGtWa

yGrWr

xGaWt

WWWWWW

WWW

==)32(==

==

Figura 28. Distribución de cargas en un sistema sinfín-corona. Tomado de (4)

Con esto, el eje geométrico de la corona es paralelo a la dirección x y el eje geométrico

del tornillo es paralelo a la dirección z, además, está siendo usado un sistema de

coordenadas orientado a derecha.

A diferencia de los engranes rectos, en donde el movimiento de un diente relativo al

diente que embona es principalmente de rodadura, en un sistema de sinfín corona, el

movimiento relativo entre el gusano y la corona es deslizante puro. Por este motivo se

espera que la fricción juegue un papel fundamental en el funcionamiento de este tipo de

transmisiones. Teniendo en cuenta un coeficiente de fricción µ se puede llegar a un nuevo

conjunto de ecuaciones similares a las ecuaciones 31.

)-cos(cos=)33(=

)cos+(cos=

λsenµλφWWφWsenW

λµλsenφWW

nz

ny

nx

IM-2004-I-02

49

Las ecuaciones 32 se siguen aplicando.

La fuerza de fricción puede ser determinada como

)34(coscos-

==λφλsenµ

WµWµW

n

Gtf

Del mismo modo se puede obtener otra relación útil entre las dos fuerzas tangenciales

)35(coscos-cos+cos

=λφλsenµλµλsenφ

WWn

nGtWt

La eficiencia η se determina mediante

)()(sin

=fricciónconWfricciónW

ηWt

Wt

)36(cot+costan-cos

=λµφλµφ

ηn

n

Seleccionando un valor típico del coeficiente de fricción, por ejemplo µ= 0.05 (para

combinación acero-acero entre piñón y corona) y los ángulos de presión, se puede utilizar

la ecuación de eficiencia para obtener información útil del diseño.

Muchos experimentos han mostrado que el coeficiente de fricción depende de la

velocidad relativa o de deslizamiento Vs.

El factor de fricción depende directamente del acabado superficial, de los materiales y la

lubricación del sistema. La Figura 29 muestra los coeficientes de fricción aproximados en

función de la velocidad de deslizamiento y el acabado superficial del engrane.

IM-2004-I-02

50

Figura 29. Valores representativos del coeficiente de fricción para un engrane de

sinfín-corona. Estos valores se basan en una lubricación adecuada. Use la curva B para materiales de alta calidad, como un sinfín con templado superficial que embona en una corona de bronce fosforado. Use la curva A si es de esperar mayor fricción, como por ejemplo, un sinfín y una corona hechos de hierro forjado. Tomado de (4)

• Esfuerzos en engranes sinfín-corona (Tomado de 4).

Considerando los esfuerzos sufridos por los dientes de la corona y los filetes del gusano,

se seguirá el procedimiento descrito para engranes rectos con las modificaciones

pertinentes de los factores de la AGMA. De esta manera, los esfuerzos presentes en un

sistema sinfín-corona se describen por medio de los esfuerzos de la AGMA como sigue.

La formula fundamental para esfuerzo por flexión es

)37(=FJK

KPKKWσ

v

msat

Donde

=σ Esfuerzo por flexión (psi)

=tW Carga tangencial transmitida (lb)

IM-2004-I-02

51

=aK Factor de aplicación

=vK Factor dinámico o de velocidad

=P Paso diametral (diametral Pitch)

=F Ancho de la cara del engrane (in)

=sK Factor de tamaño

=mK Factor de distribución de carga

=J Factor geométrico

La fórmula fundamental para el esfuerzo por contacto o picadura es

)38(=FdIC

CCCCWCσ

v

fmsatpc

Donde

=cσ Valor absoluto del esfuerzo por contacto (psi)

=pC Coeficiente elástico

=aC Factor de aplicación

=vC Factor dinámico o de velocidad

=sC Factor de tamaño

=mC Factor de distribución de carga

=d Diámetro primitivo del piñón (in)

=fC Factor de estado o condición de superficie

=I Factor geométrico

Las constantes, ahora adaptadas para engranes sinfín-corona se describen como sigue

Factores de aplicación Ka y Ca.

Del mismo modo que los engranes rectos, el fin del factor de aplicación es incluir algunas

situaciones en donde la carga real excede la carga nominal tangencial Wt. Hay que tener

IM-2004-I-02

52

en cuenta las relaciones entre cargas tangenciales de las ecuaciones 35. Los valores del

factor de aplicación son determinados por el ingeniero y dependen de la situación

específica de carga.

Factores dinámicos o de velocidad Kv y Cv.

Como en los engranes rectos, el factor dinámico o de velocidad se tiene en cuenta para

incluir dentro de los cálculos errores en el embone de los engranes o imprecisiones en la

manufactura de los dientes.

El factor dinámico (Kv , Cv) se puede calcular a partir de los índices de nivel de exactitud

de transmisión de la AGMA Qv. Véanse las ecuaciones 17, 18 y19.

Factores de tamaño Ks y Cs.

La recomendación de la AGMA es que se utilice un factor de tamaño igual a la unidad

para la mayoría de los engranes, siempre y cuando se haga una elección adecuada del

material para el tamaño de la pieza y el tratamiento térmico. El objeto del factor de tamaño

es compensar cualquier falta de uniformidad de las propiedades del material.

Factores de distribución de carga Km y Cm.

De la misma manera que en los engrane rectos, los factores de distribución de carga

deben ser escogidos dependiendo de requerimientos del montaje como se mostró en la

Tabla 2.

Factores geométricos J e I.

Para determinar los factores I y J se necesita la relación de contacto con la cara Fm que

se define como

=x

F pF

m (20)

IM-2004-I-02

53

Donde xp es el paso axial del tornillo y F es el ancho de cara de la corona.

Factor geométrico J de resistencia a la flexión

El valor J de AGMA es una modificación del factor Y de forma de Lewis, un concentrador

de esfuerzo en fatiga rK y una relación de repartición de carga Nm . Para engranes sinfín-

corona

)39(95.0

=Z

pm N

N

Donde

=Z Longitud del arco de contacto de acuerdo a la Figura 23.

Figura 30. Relación de contacto. Tomado de (4)

ψsenpp xN = = Paso de base normal con

=ψ Ángulo de hélice de la corona.

=xp Paso axial del gusano.

Con esto

)21(=NrmK

YJ

IM-2004-I-02

54

Factor de concentración de esfuerzos Kr.

De la misma forma que para los engranes rectos, el factor de concentración de esfuerzos

se determina mediante las ecuaciones 22 y23.

Factor geométrico I de resistencia en la superficie

La relación de velocidad se calcula a partir de la ecuación 24.

Dependiendo del número de dientes de la corona N y el número de entradas del gusano

n, o de los diámetros primitivos D y d de la corona y el sinfín respectivamente. Ahora

)25(1+2

cos=

G

G

N mm

mφsenφ

I

Donde φ es el ángulo de presión de los engranes.

Coeficiente elástico Cp.

Se calcula con la ecuación 26.

Factor de estado o condición de superficie Cf.

La AGMA no ha establecido valores estándar para el factor de superficie, pero se sugiere

utilizar valores mayores a la unidad si existen defectos superficiales obvios.

1.2.2.8 Fórmulas de resistencia de la AGMA.

En vez de utilizar el término resistencia, la AGMA emplea datos denominados números de

esfuerzo admisible ct SyS , para las resistencias a la flexión y al contacto

respectivamente.

IM-2004-I-02

55

Como las resistencias de la AGMA no se relacionan con otras como Sut, Se o Sy, su uso se

limita a problemas relacionados con el diseño de engranes.

Las resistencias de la AGMA son modificadas por diversos factores que producen valores

límite de esfuerzo por flexión y por contacto. Ahora bien, se definen los esfuerzos

admisibles admcadm σyσ , por flexión y contacto como sigue

)41(=RT

Ltadm KK

KSσ

Donde

=LK Factor de duración

=TK Factor de temperatura

=RK Factor de confiabilidad

La formula para el esfuerzo por contacto admisible es

)42(=,RT

HLcadmc CC

CCSσ

Donde

=LC Factor de duración

=HC Factor de relación de dureza

=TC Factor de temperatura

=RC Factor de confiabilidad

Factores de duración KL y CL

Las resistencias de la AGMA están basadas en 107 ciclos de carga en los dientes,

definidos como “número de contactos de conexión de los engranes con acción de la

carga”. La intención de los factores de carga es obtener duraciones distintas de 107ciclos.

Para 107 ciclos KL y CL son 1.0.

IM-2004-I-02

56

Factores de temperatura KT y CT

Para temperaturas de aceite y del cuerpo del engrane hasta 120º C se aconseja usar

CT = 1.0. Para mayores temperaturas debe usarse un factor mayor que la unidad.

Factores de confiabilidad KR y CR

Las resistencias de la AGMA del presente trabajo se basan todas en una confiabilidad

R = 0.99, correspondiente a 107 ciclos de duración. Hay que tener en cuenta que si se

utiliza R = 0.90 puede ocurrir fluencia en los dientes en vez de picadura. Con R = 0.99,

KR = CR = 1.0. Factor de relación de dureza CH

El piñón por lo general tiene menos dientes que el engrane en el que embona, en

consecuencia está sujeto a mayor número de ciclos de esfuerzos de contacto. Se puede

lograr una mayor dureza del piñón para compensar esta situación.

El factor de relación de dureza se aplica sólo al engrane. Su objeto es compensar las

durezas superficiales del sistema de transmisión.

)43()0.1-(+0.1= GH mAC

Con

)10(29.8-)10(98.8= 3-3-

e

p

HBHB

A

Donde HB son los grados de dureza Brinell del piñón y del engrane con bola de 10 mm y

carga de 3000 Kg.

IM-2004-I-02

57

1.3 EJES (Tomado de 4) 1.3.1 Generalidades

Un eje móvil es un elemento rotatorio, generalmente de sección circular que sirve para

transmitir movimiento y potencia a elementos como engranes, levas y volantes. Un eje fijo

es un dispositivo estático que no transmite movimiento o potencia, sino que sirve de

soporte para piezas rotatorias como ruedas poleas y rodillos.

El diseño de un eje debe elaborarse teniendo en cuenta:

1. Deformación y rigidez

a) Deformación por flexión

b) Deformación por torsión

c) Inclinación en cojinetes y elementos soportados por ejes

d) Deformación por cortante debida a cargas transversales en ejes cortos

2. Esfuerzo y resistencia

a) Resistencia estática

b) Resistencia a la fatiga

c) Confiabilidad

La configuración geométrica de un eje generalmente es la de una barra cilíndrica

escalonada (Figura 31). La secuencia adecuada del montaje depende directamente de

dicha configuración. El uso de hombros es un excelente medio para la localización axial

de elementos como poleas, engranes, rodamientos y volantes. Es muy importante el

determinar claramente el uso de cada escalón en el eje, así como el sistema de

lubricación.

En cuanto al enfoque de diseño, el análisis de esfuerzos en un punto específico de un eje

puede realizarse utilizando solo la configuración del eje en la vecindad de ese punto. Por

lo tanto, el análisis del eje en su totalidad no es necesario. En el diseño es posible

localizar las áreas críticas, darles un tamaño para obtener la resistencia requerida y luego

fijar las dimensiones a fin de cumplir con los requisitos de los elementos que

interrelacionan con dicho eje.

IM-2004-I-02

58

Figura 31. Esquema de la disposición escalonada de un eje. Nótese la intención de cada uno de los escalones. Tomado de (4)

El análisis de deformaciones e inclinaciones sólo puede adelantarse una vez hayan sido

determinadas las características geométricas del eje. Por lo tanto, la deformación es una

función de la geometría de todas las partes del eje, mientras que el esfuerzo en una

sección de interés es función de condiciones geométricas y de momentos locales. Por

este motivo, dentro del diseño del eje, primero debe realizarse un análisis de esfuerzos y

resistencia, para proseguir con el análisis de deflexiones e inclinaciones.

1.3.2 Determinación de la configuración geométrica de un eje.

La configuración geométrica de un eje, en la mayoría de los casos se remite a la

experiencia. Casi siempre el diseñador cuenta con suficiente información acerca de los

requerimientos de funcionamiento de cada caso.

La mejor manera de determinar soluciones a problemas específicos en los que intervienen

uno o varios ejes es la de estudiar los diseños existentes para entender sus ventajas, para

combinar lo mejor de ellos y llegar a una solución satisfactoria.

Muchos casos de diseño de ejes implican el problema de transmitir momento de torsión

de un elemento u otro en el eje. Los elementos mas usuales para transmitir momento

rotacional son

Cuñas (o chavetas)

IM-2004-I-02

59

Tormillos de sujeción

Pasadores

El uso de estos elementos requiere orificios radiales a través del eje y, por tanto, la

concentración de esfuerzos podría ser un problema, dependiendo de su ubicación.

Todos estos medios para transmitir momento de torsión resuelven el problema de sujetar

con seguridad sujetar al eje la pieza o dispositivo, pero no todos ellos resuelven el

problema de ubicación axial precisa del elemento. Algunos de los dispositivos

localizadores mas utilizados son

Chavetilla y arandela

Tuerca y arandela

Escalón u hombro del eje

Anillo y ranura

Tornillo de fijación

Pasadores

Un aro o anillo de retención ajusta en una ranura del eje asegurando el dispositivo

asociado. Las ranuras no son profundas. Muchos anillos de retención ejercen una fuerza

de resorte contra el dispositivo por sujetar, y a veces, las ranuras pueden situarse en

donde es nulo o sin mucha importancia la concentración de esfuerzos.

1.3.3 Análisis de carga estática

La determinación de las dimensiones de un eje es mucho más simple cuando sólo actúan

cargas estáticas sobre él.

Los esfuerzos en un punto situado en la fibra exterior de un eje redondo macizo de

diámetro d que se somete a cargas de flexión (M en Nm), axiales (Fuerza F en N) y de

torsión (Torque T en Nm) son:

IM-2004-I-02

60

(44)4

+32

= 23 dπF

dπM

σ x

(45)16

= 3dπT

τ xy

Donde la componente axial de xσ puede ser aditiva o sustractiva. Nótese que las tres

cargas M, F y T generan esfuerzos máximos en la fibra exterior de la sección de interés.

Utilizando el círculo de Mohr puede demostrarse que los dos esfuerzos principales no

nulos son

(44) +)2

(±2

=, 22xy

xxBA τ

σσσσ

Estos esfuerzos suelen combinarse para obtener el esfuerzo cortante máximo máxτ y el

esfuerzo de von Misses 'σ . Los resultados son

)45(+)2

(=2-

= 22xy

xBAmáx τ

σσστ

(46) 3+=)+-(=' 2222xyxBBAA τσσσσσσ

Después de alguna manipulación, los resultados son

( ) ( )[ ] (47)8++82

= 2122

3 TFdMdπ

τmáx

( )[ ] (48)48++84

=' 21

223 TFdM

dπσ

IM-2004-I-02

61

Estas ecuaciones permiten determinar máxτ y 'σ cuando se da d, o determinar d cuando se

conoce el valor permisible de máxτ o 'σ .

Si el análisis o diseño ha de ser con base en la teoría del esfuerzo cortante máximo,

entonces el valor admisible de máxτ es

(49) 2

==n

Sn

Sτ ysy

adm

A partir de la ecuación 49 se puede determinar el factor de seguridad n si se conoce el

diámetro d, o bien hallar el diámetro a partir de un factor de seguridad dado.

Un análisis similar puede efectuarse con base en la teoría de la energía de distorsión. En

este caso, el esfuerzo de von Misses permisible es

(50)='n

Sσ y

adm

Con lo que se puede calcular el factor de seguridad n o estimar el diámetro del eje para

cumplir con requerimientos de aplicación.

El análisis de deflexiones y pendientes se adelanta de acuerdo con las condiciones

específicas de carga de cada aplicación, junto con la configuración geométrica del eje.

Debido a la naturaleza escalonada del eje, las propiedades físicas en cada cambio de

sección varían de acuerdo a la magnitud de los hombros.

IM-2004-I-02

62

2. METODOLOGIA

El objeto del siguiente proyecto de grado es el diseño y la construcción de una montura

para telescopio común con seguimiento de estrellas fijas. El diseño se llevó a cabo

teniendo en cuenta los requerimientos de movimiento de la montura, las transmisiones

que los generarían adecuadamente, los ejes que garantizaran un correcto funcionamiento

y un sistema de coordenadas adecuado. La Figura 32a muestra el prototipo obtenido

después de los procesos de diseño y manufactura. En la Figura 32b se muestra el

ensamble de la montura adelantado en Solid Edge 14.

(a)

IM-2004-I-02

63

(b)

Figura 32. Montura para telescopio con seguimiento de estrellas. (a) Prototipo obtenido para este trabajo de grado. (b) Ensamble adelantado en Solid Edge 14. Nótense las transmisiones de sinfín-corona (color amarillo) dentro de cada carcaza.

Al realizar observaciones astronómicas, el movimiento constante de rotación de la Tierra,

hace que las coordenadas de ubicación celeste del telescopio cambien con el tiempo. Fue

necesario establecer claramente los requerimientos de movimiento de cada uno de los

cuerpos que intervienen en las observaciones astronómicas. El entender las relaciones

motrices entre la Tierra, las estrellas fijas y la posición del observador en la superficie

IM-2004-I-02

64

terrestre, constituyó el punto de partida para el diseño de la montura. Algunas relaciones

importantes se exponen a continuación.

El movimiento rotativo de la Tierra sobre su propio eje define los días y las noches. La

velocidad angular de la Tierra Tω se calcula fácilmente de la siguiente manera:

)51(min1

94.6=

10416.0

=24

1=

4-ehvueltas

hvuelta

ωT

Cuyo valor es constante y equivale a 6.94 * 10 -4 RPM (revoluciones por minuto).

Si esta velocidad se aplica a la montura en las condiciones apropiadas, es posible

contrarrestar el movimiento rotacional de la Tierra en las observaciones astronómicas.

2.1 COORDENADAS ASTRONÓMICAS

Aunque actualmente se ha demostrado que las estrellas se encuentran en expansión, las

magnitudes de su desplazamiento, en relación con la Tierra, hacen pensar en ellas como

si estuvieran fijas en la esfera celeste. Para fines de observación astronómica, se toma la

Tierra como si estuviera fija en el centro de la esfera celeste. Mediante el uso de

coordenadas astronómicas se puede localizar cualquier estrella dentro del hemisferio de

observación. En el capítulo anterior se discutieron los principales tipos de coordenadas

astronómicas, sus limitaciones y ventajas mutuas. Se aclaró que las coordenadas

ecuatoriales son las predilectas en las observaciones, cuando el seguimiento es un factor

influyente. La concepción de la montura desarrollada en este trabajo siempre estuvo

proyectada hacia una fase de automatización completa.

Para utilizar las coordenadas ecuatoriales en la montura, primero se calibra el eje 0

(latitud) con el polo celeste adecuado, luego se ajusta la coordenada de ascensión recta,

para terminar alcanzando la declinación adecuada (ver Figura 33 y Anexo A1). Para el

seguimiento de astros mediante estas coordenadas, dos de las tres variables de entrada

IM-2004-I-02

65

permanecen constantes. Es así como la latitud del lugar y la declinación del astro

permanecen fijas, mientras que la ascensión recta varía a una tasa igual a la velocidad de

rotación terrestre.

Se escogió el sistema de coordenadas ecuatoriales debido a su gran aplicabilidad al

seguimiento. La geometría de la montura fue determinada a partir de los requerimientos

de movimiento para cada eje, así como del sistema de transmisión mas apropiado. El

proceso de diseño de la montura se muestra a continuación.

2.2 EJES

La montura tiene cuarto ejes (ver Anexo A1 y A2), cada uno de los cuales transmite

movimiento a un arreglo de piezas asociadas (ver Anexo A3), las cuales hacen posible

alcanzar cualquier posición dentro del hemisferio de observación. La importancia de los

ejes radica en la versatilidad y seguridad de operación de la montura. El diseño de los

ejes se realizó a partir de posiciones específicas máximas que pudieran darse en

operación. Dichas posiciones someten a cada eje a diferentes estados de carga, y por

ende, a diferentes esfuerzos. El análisis de falla se llevó a cabo entonces, para cada

posición, determinando el estado general de esfuerzos, luego de lo cual se identificó el

estado principal de esfuerzos, para después aplicar la teoría de falla estática de distorsión

de la energía (esfuerzo de von Misses). Finalmente, se obtuvieron los factores de

seguridad para cada eje en cada una de las posiciones establecidas.

La intención de analizar la montura en posiciones críticas fue hallar los factores de

seguridad más conservativos, para de esta manera, garantizar la correcta operación de la

montura en cualquier posición posible de operación.

A continuación se muestra el análisis realizado para cada eje.

IM-2004-I-02

66

2.2.1 Eje 0, latitud.

De acuerdo a lo expuesto en la sección de coordenadas ecuatoriales, es necesario,

primero que todo, ubicar el polo celeste correspondiente al hemisferio terrestre donde se

esté realizando la observación (polo norte para Bogotá). Para sincronizar el eje polar de la

montura con respecto al polo celeste, es suficiente con hacer el ángulo de latitud θ, igual

a la latitud geográfica del lugar de observación. El Eje 0 está relacionado con el Eje 1

mediante una transmisión de dientes rectos (Transmisión 1). El Eje 0 se muestra en la

Figura 33 y los Anexos A1 y A2.

Figura 33. Ubicación del Eje 0 y el Eje 1. El ascensor recto y el piñón de latitud

componen la Transmisión 1.

IM-2004-I-02

67

Debido las restricciones de carga generadas por los dientes rectos, el Eje 0 sólo es

sometido a torsión por el vector de carga de la Transmisión 1.

2.2.2 Eje 1, polar.

El Eje 1 es complementario del Eje 0 (ver Figura 33). Su función es mantener la montura

ubicada en la latitud geográfica del lugar de observación (ver Anexo A1 y A2). De esta

manera, el eje de ascensión recta (Eje 2) y el polo celeste se encuentran correctamente

alineados. Sin embargo, las cargas soportadas por el Eje 1 son diferentes a las del Eje 0.

En el Eje 1 existe una superposición de cargas debidas a la geometría de las piezas

asociadas (ver Anexo A1). Dichas cargas, en cada caso de posición, someten al eje a

diferentes condiciones de esfuerzo. Los cálculos elaborados para el Eje 1 se muestran a

continuación.

Las posiciones críticas establecidas para el análisis de falla de todos los ejes se muestran

en la Tabla 4. Cada una de dichas posiciones fue establecida por el autor, con el ánimo

de encontrar los mayores esfuerzos posibles durante el funcionamiento de la montura.

Tabla 4. Posiciones criticas establecidas para el Eje 1.

CASO θ (º) α(º) δ(º)

1 0 0 0

2 90 0 0

3 0 90 0

4 0 0 90

5 0 90 90

Con

θ =Ángulo de latitud (ubicado al polo celeste)

α = Ángulo de ascensión recta

δ = Ángulo de declinación

IM-2004-I-02

68

Un listado completo de las piezas relacionadas con el Eje 1, así como sus masas y pesos

es mostrado en la Tabla 5.

Tabla 5. Listado de piezas, masas y pesos para el Eje 1.

PIEZA NOMBRE MASA (g) FUERZA (N)

1 Base 150 1,472

2 Oreja i 88 0,863

3 Oreja d 88 0,863

4 Asc. Recta 91,5 0,898

5 Carcaza 1 350 3,434

6 Carcaza2 350 3,434

7 Declinador 62,2 0,610

8 Corona 1 183,2 1,797

9 Corona 2 183,2 1,797

10 Sinfín 1 53,4 0,524

11 Sinfín 2 53,4 0,524

12 Eje 1 16,3 0,160

13 Eje 2 21,5 0,211

14 Eje 3 21,5 0,211

15 Telescopio 850 8,339

16 Rodamiento 1 7,3 0,072

17 Rodamiento 2 7,3 0,072

18 Rodamiento 3 7,3 0,072

19 Rodamiento 4 7,3 0,072

20 Rodamiento 5 7,3 0,072

21 Rodamiento 6 7,3 0,072

22 Rodamiento 7 7,3 0,072

23 Rodamiento 8 7,3 0,072

24 Rodamiento 9 7,3 0,072

25 Rodamiento 10 7,3 0,072

Las piezas relacionadas se pueden consultar en el Anexo A1.

IM-2004-I-02

69

Para adelantar el análisis cinemático para el Eje 1, se posicionaron los centros de masa

de las piezas asociadas dentro de un sistema de coordenadas con origen en el centro de

masa del Eje 1(Tabla 6).

Tabla 6. Coordenadas de las piezas asociadas al Eje 1.

CASO 1 CASO 2 CASO 3 CASO 4 CASO 5

NOMBRE X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm)

Base 0 0 -38 0 0 -38 0 0 -38 0 0 -38 0 0 -38

Oreja i 9,5 0 0 9,5 0 0 9,5 0 0 9,5 0 0 9,5 0 0

Oreja d -9,5 0 0 -9,5 0 0 -9,5 0 0 -9,5 0 0 -9,5 0 0

Asc. Recta 0 9,96 0 0 0 9,96 0 9,96 0 0 9,96 0 0 9,96 0

Carcaza 1 0 52,5 0 0 0 52,5 0 52,5 0 0 52,5 0 0 52,5 0

Carcaza2 0 72,85 62,5 0 -62,5 72,85 62,5 72,85 0 0 72,85 62,5 62,5 72,85 0

Declinador 0 72,85 23,5 0 -23,5 72,85 23,5 72,85 0 0 72,85 23,5 0 72,85 23,5

Corona 1 0 52,5 0 0 0 52,5 0 52,5 0 0 52,5 0 0 52,5 0

Corona 2 0 72,85 62,5 0 -62,5 72,85 62,5 72,85 0 0 72,85 62,5 62,5 72,85 0

Sinfín 1 0 52,5 -41,3 0 -43,1 52,5 43,1 52,5 0 0 52,5 -41,3 0 52,5 -41,3

Sinfín 2 -43,1 72,85 62,5 -43,1 -62,5 72,85 62,5 72,85 43,1 -43,1 72,85 62,5 62,5 72,85 41,3

Eje 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Eje 2 0 52,5 0 0 0 52,5 0 52,5 0 0 52,5 0 0 52,5 0

Eje 3 0 72,85 62,5 0 -62,5 72,85 62,5 72,85 0 0 72,85 62,5 62,5 72,85 0

Telescopio 0 177,85 133 0 -133 177,85 133 177,85 0 105 72,85 133 72,85 72,85 0

Rodamiento 1 7,6 0 0 7,6 0 0 7,6 0 0 7,6 0 0 7,6 0 0

Rodamiento 2 -7,6 0 0 -7,6 0 0 -7,6 0 0 -7,6 0 0 -7,6 0 0

Rodamiento 3 0 42 0 0 0 42 0 42 0 0 42 0 0 42 0

Rodamiento 4 0 62 0 0 0 62 0 62 0 0 62 0 0 62 0

Rodamiento 5 22 52,5 -43,1 22 -43,1 52,5 -43,1 52,5 22 22 52,5 -43,1 22 52,5 -43,1

Rodamiento 6 -22 52,5 -43,1 22 -43,1 52,5 -43,1 52,5 22 22 52,5 -43,1 22 52,5 -43,1

Rodamiento 7 0 72,85 53 0 -53 72,85 -53 72,85 0 0 72,85 53 0 -53 72,85

Rodamiento 8 0 72,85 73 0 -73 72,85 -73 72,85 0 0 72,85 73 0 -73 72,85

Rodamiento 9 -43,1 50,85 62,5 -43,1 -62,5 50,85 -62,5 50,85 -43,1 -43,1 50,85 62,5 -43,1 -62,5 50,85

Rodamiento 10 -43,1 94,85 62,5 -43,1 -62,5 94,85 -62,5 94,85 -43,1 -43,1 94,85 62,5 -43,1 -62,5 94,85

2.2.2.1 Análisis de fuerzas y momentos.

Los diagramas de cuerpo libre mostrados a continuación, se obtuvieron a partir de los

pesos de las piezas asociadas al Eje 1 donde

IM-2004-I-02

70

W t = Peso del telescopio

W1 = Peso equivalente a la suma de la corona 1, el sinfín 1, la carcaza 1 y el eje 2

(Transmisión 2)

W2 = Peso equivalente a la suma de la corona 2, el sinfín 2, la carcaza 2 y el eje 3

(Transmisión 3)

Wa = Peso de la pieza de ascensión recta

Wd = Peso de la pieza de declinación

Fdi = Vector de carga para el diente de la transmisión 1 (dientes rectos)

Rz = Reacción radial de los rodamientos 1 y 2.

Para cada CASO, los valores de los ángulos serán mostrados por medio de un trío

ordenado. El primer ángulo será θ, el segundo α y el tercero δ. Las coordenadas

utilizadas en las ecuaciones de estática que siguen, peden ser consultadas en la Tabla 6.

Para ilustrar las posiciones de los CASOS establecidos, se incluyen fotografías de la

montura y los diagramas de cuerpo libre en cada una de ellas.

CASO 1 (0º,0º,0º)

La Figura 34 muestra la disposición espacial lograda en el CASO 1.

Figura 34. Fotografía de la montura en la posición del CASO 1.

IM-2004-I-02

71

Los diagramas de cuerpo libre obtenidos se muestran en la Figura 35.

Figura 35. Diagramas de cuerpo libre, CASO 1, Eje 1.

En este caso, todos los vectores de carga se encuentran en el plano de la hoja. Sólo hay

momentos en x (que sale de la hoja).

Las ecuaciones de equilibrio son

zdiadtz

y

x

zyx

RFWWWWWFFF

FFF

=+++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

12

IM-2004-I-02

72

0=0=

)(=)(+)(+)(+)(+)(=0=Σ=Σ=Σ

1122

z

y

diyaayyddyyttx

zyx

MM

rFrWrWrWrWrWMMMM

Donde

=),,,( izyxr Coordenadas en el eje especificado de la pieza.

=r Radio de la pieza de ascensión. (Corresponde a la mitad del diámetro primitivo del

engrane de la Transmisión 1: de dientes rectos)

=diF Fuerza transmitida a la Transmisión 1. Corresponde al vector de carga W en dientes

rectos

=zR Reacción en z. Es distribuida entre el Rodamiento 1 y el Rodamiento 2

CASO 2 (90º,0º,0º)

La Figura 36 muestra la disposición espacial para el CASO 2.

Figura 36. Fotografía correspondiente a la posición del CASO 2.

IM-2004-I-02

73

Las ecuaciones de estática se determinaron a partir de los siguientes diagramas de

cuerpo libre (Figura 37).

Figura 37. Diagramas de cuerpo libre, CASO 2, Eje 1

Donde

zdiadtz

y

x

zyx

RFWWWWWFFF

FFF

=+++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

12

0=0=

)(=)(+)(+)(=0=Σ=Σ=Σ

22

z

y

diyddyyttx

zyx

MM

rFrWrWrWMMMM

IM-2004-I-02

74

La distribución de cargas en el CASO 2 es muy similar a la del CASO 1, la única

diferencia es que los brazos de los momentos en x en esta configuración son menores a

los correspondientes del CASO 1. De esta manera, el Eje 1 sentirá menores esfuerzos en

el CASO 2 que en el CASO 1.

CASO 3 (0º,90º,0º)

La posición para el CASO 3 se aprecia en la Figura 38.

Figura 38. Posicionamiento de la montura para el CASO 3.

Las ecuaciones de estática se obtuvieron a partir de los diagramas de cuerpo libre

ilustrados en la Figura 39.

IM-2004-I-02

75

Figura 39. Diagramas de cuerpo libre, CASO 3, Eje 1

Donde

zdiadtz

y

x

zyx

RFWWWWWFFF

FFF

=+++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

12

0=)(=)(+)(+)(+)(=

)(=)(+)(+)(=0=Σ=Σ=Σ

221122

22

z

xrodrodxrodrodxddxxtty

diyddyyttx

zyx

MrRrRrWrWrWM

rFrWrWrWMMMM

IM-2004-I-02

76

Donde

=irodR Fuerza radial en el rodamiento i

=irodxr Distancia en eje x al centro de masa del rodamiento i

Como se demostrará mas adelante, la configuración geométrica alcanzada en el CASO 3

resulta ser la que genera mayores esfuerzos en el eje.

En los dos casos anteriores (1 y 2), los vectores de fuerza se encontraban sobre el plano

z - y, y por ende, no ejercían momentos en y. Ahora, en el CASO 3, se encuentran

momentos tanto en x como en y, debido al cambio en el ángulo de ascensión (α). Su

influencia sobre los factores de seguridad se muestra mas adelante.

CASO 4 (0º,0º,90º)

La posición correspondiente al CASO 4 se muestra en la Figura 40.

Figura 40. Fotografía correspondiente a la posición del CASO 4.

El análisis estático se realizó de acuerdo a los diagramas de cuerpo libre mostrados en la

Figura 41.

IM-2004-I-02

77

Figura 41. Diagramas de cuerpo libre, CASO 4, Eje 1

Donde

zdiadtz

y

x

zyx

RFWWWWWFFF

FFF

=+++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

12

0=)(=)(+)(=)(=)(+)(+)(=

0=Σ=Σ=Σ

2211

22

z

xrodrodxrodrodxtty

diyddyyttx

zyx

MrRrRrWM

rFrWrWrWMMMM

IM-2004-I-02

78

Donde

=irodR Fuerza axial en el rodamiento i

=irodxr Distancia en eje x al centro de masa del rodamiento i

De la misma manera que el CASO 3, en el CASO 4 surgen momentos en x y y,

comprometiendo al Eje 1 a un mayor estado de esfuerzos. Las reacciones en los

rodamientos indican la ubicación dentro del rango de trabajo suministrado por el

fabricante.

CASO 5 (0º,90º,90º)

La posición correspondiente al CASO 5 se muestra en la Figura 42.

Figura 42. Ubicación de la montura para el CASO 5.

Nuevamente, el análisis estático se adelantó de acuerdo a los diagramas de cuerpo libre

mostrados en la Figura 43.

IM-2004-I-02

79

Figura 43. Diagramas de cuerpo libre, CASO 5, Eje 1

Donde

zdiadtz

y

x

zyx

RFWWWWWFFF

FFF

=+++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

12

0=)(+)(=)(+)(+)(=

)(=)(+)(+)(=0=Σ=Σ=Σ

112222

22

z

xrodrodxrodrodxddxxtty

diyddyyttx

zyx

MrFrFrWrWrWM

rFrWrWrWMMMM

IM-2004-I-02

80

El CASO 5 es el más cercano a posiciones comunes de operación. Los demás casos

(poco probables en observaciones) sirven para estar seguros del correcto funcionamiento

del Eje 1 en cualquier posible posición.

A partir de las ecuaciones de estática mostradas anteriormente se calcularon los

momentos en x, y y z, así como las reacciones y fuerzas al diente de la Transmisión 1

( diF ) (ver Figura 33) para el Eje 1. La Tabla 7 muestra los resultados.

Tabla 7. Momentos, reacciones y fuerzas al diente de la transmisión 1 para el Eje 1

CASO 1 (Nm)

CASO 2 (Nm)

CASO 3 (Nm)

CASO 4 (Nm)

CASO 5 (Nm)

NOMBRE Mx My Mz Mx My Mz Mx My Mz Mx My Mz Mx My Mz

Base - - - - - - - - - - - - - - -

Oreja i - - - - - - - - - - - - - - -

Oreja d - - - - - - - - - - - - - - -

Asc. Recta 0,009 - - - - - 0,009 - - 0,009 - - 0,009 - -

Carcaza 1 0,180 - - - - - 0,180 - - 0,180 - - 0,180 - -

Carcaza2 0,250 - - -0,215 - - 0,250 0,215 - 0,250 - - 0,250 0,215 -

Declinador 0,044 - - -0,014 - - 0,044 0,014 - 0,044 - - 0,044 - -

Corona 1 0,094 - - - - - 0,094 - - 0,094 - - 0,094 - -

Corona 2 0,131 - - -0,112 - - 0,131 0,112 - 0,131 - - 0,131 0,112 -

Sinfín 1 0,028 - - -0,023 - - 0,028 0,023 - 0,028 - - 0,028 - -

Sinfín 2 0,038 -0,023 - -0,033 -0,023 - 0,038 0,033 - 0,038 -0,023 - 0,038 0,033 -

Eje 1 - - - - - - - - - - - - - - -

Eje 2 0,011 - - - - - 0,011 - - 0,011 - - 0,011 - -

Eje 3 0,015 - - -0,013 - - 0,015 0,013 - 0,015 - - 0,015 0,013 -

Telescopio 1,483 - - -1,109 - - 1,483 1,109 - 0,607 0,876 - 0,607 0,607 -

Rodamiento 1 - 0,001 - - 0,001 - - 0,001 - - 0,001 - - 0,001 -

Rodamiento 2 - -0,001 - - -0,001 - - -0,001 - - -0,001 - - -0,001 -

Rodamiento 3 0,003 - - - - - 0,003 - - 0,003 - - 0,003 - -

Rodamiento 4 0,004 - - - - - 0,004 - - 0,004 - - 0,004 - -

Rodamiento 5 0,004 0,002 - -0,003 0,002 - 0,004 -0,003 - 0,004 0,002 - 0,004 0,002 -

Rodamiento 6 0,004 -0,002 - -0,003 0,002 - 0,004 -0,003 - 0,004 0,002 - 0,004 0,002 -

Rodamiento 7 0,005 - - -0,004 - - 0,005 -0,004 - 0,005 - - -0,004 - -

Rodamiento 8 0,005 - - -0,005 - - 0,005 -0,005 - 0,005 - - -0,005 - -

Rodamiento 9 0,004 -0,003 - -0,004 -0,003 - 0,004 -0,004 - 0,004 -0,003 - -0,004 -0,003 -

Rodamiento 10 0,007 -0,003 - -0,004 -0,003 - 0,007 -0,004 - 0,007 -0,003 - -0,004 -0,003 -

TOTAL 2,320 -0,029 0 -1,543 -0,026 0 2,320 1,495 0 1,444 0,850 0 1,406 0,977 0

MTOT 2,320 MTOT 1,543 MTOT 2,760 MTOT 1,676 MTOT 1,712

Rz (N) 62,510 Rz (N) 49,112 Rz (N) 62,510 Rz (N) 47,414 Rz (N) 46,745

Fdi (N) 40,000 Fdi (N) -26,602 Fdi (N) 40,000 Fdi (N) 24,904 Fdi (N) 24,235

IM-2004-I-02

81

2.2.2.2 Análisis de esfuerzos

Cuando un vector de carga no pasa por el centroide de un eje, puede ser reemplazado

por una fuerza equivalente en la misma dirección y un momento igual a la fuerza por el

brazo de separación entre su línea de acción y el centroide del eje. Lo anterior se traduce,

para el Eje 1, en que las cargas que se encuentren fuera del plano y-z, serán asumidas

como cargas de flexión y momentos equivalentes.

Como se ha mostrado, el estado general de esfuerzos consta de esfuerzos normales y

cortantes.

)52(+=

+=

IMc

AF

σ

σσσ flexax

Donde

=σ Esfuerzo normal (Pa)

=axσ Esfuerzo axial (Pa)

=flexσ Esfuerzo por flexion (Pa)

=F Fuerza axial (N)

=A Area transversal (m2)

=M Momento (Nm)

=c Radio del eje (distancia a la fibra exterior) (m)

=I Inercia (m4)

De manera similar, los esfuerzos cortantes son

torcor τττ +=

)53(+23

=J

TcAV

τ

Donde

=τ Esfuerzo cortante (Pa)

=corτ Esfuerzo por cortante (Pa)

IM-2004-I-02

82

=torτ Esfuerzo por torsión (Pa)

=V Cortante (N)

=A Area transversal (m2)

=T Torque (Nm)

=c Radio del eje (distancia a la fibra exterior) (m)

=J Inercia polar (m4)

Los esfuerzos normales dependen (Eje 1) solamente de las cargas a flexión en el eje.

La configuración de cargas obtenida para el Eje 1 se puede resumir, para cada uno de los

casos, en la Tabla 8.

Tabla 8. Distribución de cargas para el Eje 1

CARGAS

Wt W1 W2 Wa Wd

1 FC y T FC y T FC y T FC y T FC y T

2 FC y T FC y T FC y T FC y T FC y T

3 FC y My FC y T FC y My FC y T FC y My

4 FC y My FC y T FC y T FC y T FC y T

CASOS

5 FC y My FC y T FC y My FC y T FC y My

Donde

FC = Flexión central. Genera esfuerzos normales. Viga simplemente apoyada.

My = Momento en y. El momento en y equivale a una carga de momento en una viga

simplemente apoyada. El momento en y genera esfuerzos normales.

T = Torque. Produce esfuerzos cortantes. En este caso corresponden a Mx.

De acuerdo al teorema se superposición de cargas, el estado general de esfuerzos en

una viga (Eje 1), puede determinarse mediante la suma de las contribuciones que genera

cada una de ellas.

IM-2004-I-02

83

Las propiedades geométricas del Eje 1, necesarias para determinar el estado general de

esfuerzos, son resumidas en la Tabla 9.

Tabla 9. Propiedades geométricas del Eje 1.

)( mc )( 2mA )( 4mI )( 4mJ

Sección 1 0,00350 3,84 E -5 1,17 E -10 2.35 E -10

Sección 2 0,00635 1,26 E -4 1,27 E -9 2.55 E -9

Se recuerda la ecuación para esfuerzos normales

IMck

AFk

σ

σσσ

tt

flexax

+=

+=

En ningún caso existen cargas axiales sobre el Eje 1, motivo por el cual la contribución de

esfuerzos axiales en los esfuerzos normales es nula. Se calcularon entonces los

esfuerzos por flexión de acuerdo a la Tabla 8.

IMck

σ tflex =

Para empezar se calcula el factor de concentración de esfuerzos mediante la Figura 44 y

las propiedades geométricas de la Tabla 9.

Figura 44. Factor de concentración de esfuerzos kt para una viga sometida a flexión. Tomado de (4)

IM-2004-I-02

84

Para el Eje 1

mmrmmdmmD

5,0=0,7=7,12=

Entonces

)54(9,1=tk

Los momentos máximos son calculados de la siguiente manera.

Para vigas sometidas a flexión central (FC) como la mostrada en la Figura 45, el momento

máximo es determinado para cada CASO. La fuerza F es la sumatoria de las cargas a

flexión central (FC). El momento máximo para cada caso se da en el centro del eje.

Figura 45. Diagramas de cortante y momento para una viga sometida a flexión central. Tomado de (4)

La Tabla 10 muestra los momentos máximos hallados para cada caso. La introducción de

estos valores en la ecuación de esfuerzo, permitirá encontrar el punto crítico que soporta

mayores valores de esfuerzos normales a lo largo del eje.

IM-2004-I-02

85

Tabla 10. Momentos máximos por flexión central (FC) para el Eje 1

CASO Rz (N) Feq (N) FC (N) Mmax (Nm)

1 62,35 0,31 62,66 0,24

2 49,11 0,36 49,47 0,19

3 62,51 11,98 74,49 0,29

4 47,41 11,70 59,11 0,23

5 46,74 13,27 60,01 0,23

Donde

l = 0.01552 m es la longitud entre apoyos.

Feq = Carga equivalente a superposición de fuerzas que no pasan por el centroride (ver

Tabla 8).

Los esfuerzos normales debidos a las cargas de flexión central se calcularon de acuerdo

al factor de concentración de esfuerzos (ec 52), la Tabla 9 y la Tabla 10. Los resultados

son mostrados en la Tabla 11.

Tabla 11. Esfuerzos normales generados por cargas de flexión central en el Eje 1.

CASO σ1(MPa) σ2(MPa)

1 13,718 2,297

2 10,830 1,813

3 16,308 2,731

4 12,941 2,167

5 13,138 2,200

Donde 21 σyσ son los esfuerzos normales en las secciones 1 y 2 respectivamente

(ver Tabla 9). El punto sometido a la magnitud máxima de esfuerzo es el ubicado justo en

el cambio de sección. La fibra exterior inferior (z negativo) sufre tensión máxima.

IM-2004-I-02

86

Ahora bien, se determinaron los esfuerzos normales sufridos en el eje cuando es cargado

con un momento. Las ecuaciones de cortante y momento para esta situación son

mostradas en la Figura 46.

Figura 46. Carga de momento en viga simplemente apoyada. Tomado de (4)

La longitud entre apoyos es l = 0.01552 m. Las cargas de momento son tomadas de la

Tabla 8.

Los momentos máximos obtenidos para este tipo de carga se muestran en la Tabla 12.

Tabla 12. Momentos máximos en el Eje 1 debidos a cargas de momento central.

CASO My (Nm) Mmax (Nm)

1 0,035 0,017

2 0,025 0,012

3 1,50 0,750

4 0,85 0,425

5 0,98 0,490

Teniendo en cuenta el factor de concentración de esfuerzos, la Tabla 9 y la Tabla 12, se

determinaron los esfuerzos normales debidos a cargas de momento. Los resultados se

muestran en la Tabla 13.

IM-2004-I-02

87

Tabla 13. Esfuerzos normales generados por cargas de momento para el Eje 1.

CASO σ1(MPa) σ2(MPa)

1 0,987 0,165

2 0,705 0,118

3 42,317 7,086

4 23,980 4,015

5 27,647 4,630

Los números que acompañan a sigma indican sobre cuál sección fueron calculados (ver

Tabla 9). El punto sometido a mayor esfuerzo es el ubicado en el cambio de sección. La

fibra exterior inferior soporta tensión máxima.

Se sumaron los esfuerzos normales generados por flexión y momento central, para, de

esta manera, obtener los esfuerzos normales en el estado general de esfuerzos del Eje 1.

El punto crítico en cuanto a esfuerzos normales se encuentra en el cambio de sección del

eje, en la fibra exterior inferior (z negativo) (ver Figura 48). Los esfuerzos normales del

estado general de esfuerzos se muestran en la Tabla 14.

Tabla 14. Esfuerzos normales totales para el Eje 1

CASO σ1 (MPa) σ2 (MPa)

1 14,702 2,462

2 11,535 1,931

3 58,625 9,817

4 36,921 6,182

5 40,785 6,830

Nuevamente, σ1 y σ2 son los esfuerzos en el eje en las secciones 1 y 2, respectivamente.

Una vez determinados los esfuerzos normales, se encontraron los cortantes. Los

esfuerzos cortantes de interés son los generados por torsión (Mx), ya que los esfuerzos

por cortante son bastante menores que estos (alrededor de 15 veces). En todo caso, el

IM-2004-I-02

88

análisis de esfuerzos se adelantó en la fibra exterior del eje, lugar en el cual los esfuerzos

por cortante son nulos.

Se recuerda la fórmula para esfuerzos por torsión

JTck

τ tstor =

El factor de concentración de esfuerzos tsk fue calculado a partir de la figura 47.

Figura 47. Factor de concentración de esfuerzo tsk para ejes sometidos a torsión.

Tomado de (4)

Nuevamente,

mmrmmd

mmD

5.0=7=

7,12=

Con lo que

)55(6.1=tsk

IM-2004-I-02

89

Los momentos torsionales se muestran en la Tabla 15.

Tabla 15. Momentos torsionales para el Eje 1

CASO T = Mx (Nm)

1 2,31

2 1,54

3 2,32

4 1,44

5 1,4

A partir del factor de concentración de esfuerzos tsk , la Tabla 9 y la Tabla 15 se

encontraron los esfuerzos cortantes en el Eje 1. Los resultados obtenidos se muestran en

la Tabla 16.

Tabla 16. Esfuerzos cortantes para el Eje 1

CASO τ1 (MPa) τ2 (MPa)

1 54,88 9,19

2 36,59 6,13

3 55,12 9,23

4 34,21 5,73

5 33,26 5,57

Siendo τ1 y τ2 los esfuerzos cortantes para la sección 1 y 2, respectivamente. El punto

que es sometido al mayor esfuerzo cortante se encuentra en el cambio de sección, en la

fibra exterior del eje (Figura 48).

Luego de haber determinado los esfuerzos normales y cortantes para el Eje 1, se

establece un punto de análisis A. Dicho punto se encuentra justo en el cambio de sección,

en la fibra exterior inferior del eje. En este lugar se localizan las mayores magnitudes de

esfuerzo a tensión y cortante. El estado general de esfuerzos para el punto A se muestra

en la Tabla 17.

IM-2004-I-02

90

Figura 48. Localización del punto crítico A en el Eje 1. Localizado en la fibra exterior inferior del cambio de sección.

Tabla 17. Estado general de esfuerzos para el punto A del Eje 1.

CASO σx (MPa) τxy (MPa)

1 14,702 54,88

2 11,535 36,59

3 58,625 55,12

4 36,921 34,21

5 40,785 33,26

A partir del estado general de esfuerzos en el punto A, se obtiene el estado principal de

esfuerzos.

IM-2004-I-02

91

De

)56(+)2

(±2

=, 2221 xy

xx τσσ

σσ

Se obtienen los esfuerzos principales 321 ,, σσσ (Tabla 18).

Tabla 18. Esfuerzos principales en el punto A del Eje 1.

CASO σ1 (MPa) σ2 (MPa) σ3 (MPa)

1 62,722 0 -48,018

2 42,809 0 -31,274

3 91,742 0 -33,117

4 57,333 0 -20,412

5 59,406 0 -18,621

A partir de los esfuerzos principales se puede aplicar una teoría de falla estática. En el

presente trabajo se utilizó la teoría de la distorsión de la energía mediante el esfuerzo de

von Misses. Los resultados obtenidos para el esfuerzo de von Misses se muestran en la

Tabla 19.

Tabla 19. Esfuerzos de von Misses obtenidos en el Eje 1.

CASO σ` (MPa)

1 96,186

2 64,417

3 112,034

4 69,815

5 70,584

El material escogido para los ejes es acero 4140 con una resistencia mínima a la fluencia

Sy = 1430 MPa, a partir de lo cual se logra finalmente, obtener los factores de seguridad n

IM-2004-I-02

92

para el Eje 1 en cada uno de los CASOS de posicionamiento posible de la montura (Tabla

20).

Tabla 20. Factores de seguridad obtenidos para el Eje 1.

CASO n

1 14,87

2 22,20

3 12,76

4 20,48

5 20,26

2.2.3 Eje 2, de ascensión recta

La función del Eje 2 consiste en permitir alcanzar la coordenada de ascensión recta (ver

Figura 49). El Eje 2 sostiene la Transmisión 2 (ver Anexo A1 y A2). En la práctica, el Eje 2

es el que se motoriza para realizar el seguimiento. Debido a las bajas magnitudes de

velocidad angular, se adelantó un análisis estático del Eje 2. Al igual que en el Eje 1,

sobre el Eje 2 se presenta una superposición de cargas y momentos que generan los

esfuerzos normales y cortantes.

Las posiciones críticas establecidas para todo el análisis de falla son las mismas que se

usaron para el Eje 1, y se recuerdan a continuación. (Tabla 4 rep.).

Tabla 4 (rep). Posiciones críticas establecidas.

CASO θ (º) α(º) δ(º)

1 0 0 0

2 90 0 0

3 0 90 0

4 0 0 90

5 0 90 90

IM-2004-I-02

93

Figura 49. Localización del Eje 2. La Corona 1 y el Sinfín 1 generan la Transmisión 2.

Nuevamente

θ =Ángulo polar

α = Ángulo de ascensión recta

δ = Ángulo de declinación

Un listado completo de las piezas relacionadas con el Eje 2, así como sus masas y pesos

es mostrado en la Tabla 21.

IM-2004-I-02

94

Tabla 21. Masas y pesos de las piezas asociadas al Eje 2

PIEZA NOMBRE MASA (g) FUERZA (N)

1 Carcaza 1 350 3,43

2 Carcaza2 350 3,43

3 Declinador 62,2 0,61

4 Corona 1 183,2 1,80

5 Corona 2 183,2 1,80

6 Sinfín 1 53,4 0,52

7 Sinfín 2 53,4 0,52

9 Eje 2 21,5 0,21

10 Eje 3 21,5 0,21

11 Telescopio 850 8,34

12 Rodamiento 3 7,3 0,07

13 Rodamiento 4 7,3 0,07

14 Rodamiento 5 7,3 0,07

15 Rodamiento 6 7,3 0,07

16 Rodamiento 7 7,3 0,07

17 Rodamiento 8 7,3 0,07

18 Rodamiento 9 7,3 0,07

19 Rodamiento 10 7,3 0,07

Estableciendo un sistema de coordenadas con origen en el centro de masa de la corona

1, se hallaron las coordenadas de los centros de masa de las piezas asociadas (ver

Anexo A3). Las ubicaciones son mostradas en la Tabla 22.

Tabla 22. Coordenadas de los centros de masa de las piezas asociadas al Eje 2.

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

NOMBRE X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm)

Carcaza 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Carcaza2 0 20,35 62,5 0 -62,5 20,35 62,5 20,35 0 0 20,35 62,5 62,5 20,35 0

Declinador 0 20,35 23,5 0 -23,5 20,35 20,35 23,5 0 0 20,35 23,5 20,35 23,5 0

Corona 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Corona 2 0 20,35 62,5 0 -62,5 20,35 62,5 20,35 0 0 20,35 62,5 62,5 20,35 0

IM-2004-I-02

95

Sinfín 1 0 0 -41,3 0 41,3 0 0 0 -41,3 0 0 -41,3 0 0 -41,3

Sinfín 2 0 20,35 62,5 0 -62,5 20,35 62,5 20,35 0 0 20,35 62,5 62,5 20,35 0

Eje 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Eje 3 0 20,35 62,5 0 -62,5 20,35 0 20,35 62,5 0 20,35 62,5 62,5 20,35 0

Telescopio 0 125,35 133 0 -133 125,35 133 125,35 0 125,35 0 133 133 20,35 0

Rodamiento 3 0 -8 0 0 0 8 0 -8 0 0 -8 0 0 -8 0

Rodamiento 4 0 8 0 0 0 -8 0 8 0 0 8 0 0 8 0

Rodamiento 5 22 0 -41,3 22 41,3 0 22 0 -41,3 22 0 -41,3 22 0 -41,3

Rodamiento 6 -22 0 -41,3 -22 41,3 0 -22 0 -41,3 -22 0 -41,3 -22 0 -41,3

Rodamiento 7 0 20,35 52,5 0 -52,5 20,35 52,5 20,35 0 0 20,35 52,5 52,5 20,35 0

Rodamiento 8 0 20,35 77 0 -77 20,35 77 20,35 0 0 20,35 77 77 20,35 0

Rodamiento 9 41,3 -2,35 62,5 -41,3 -62,5 -2,35 62 -2,35 41,3 -41,3 -2,35 62,5 62 -2,35 41,3

Rodamiento 10 -41,3 42,35 62,5 -41,3 -62,5 42,35 62 42,35 41,3 -41,3 42,35 62,5 62 42,35 41,3

2.2.3.1 Análisis de fuerzas y momentos.

Mediante diagramas de cuerpo libre se calcularon las reacciones y momentos

representativos del Eje 2. Los pesos de las piezas asociadas fueron tenidos en cuenta de

la siguiente manera.

Wt = Peso del telescopio W1 = Peso equivalente a la suma de la corona 1, el sinfín 1, la carcaza 1 y el Eje 2 W2 = Peso equivalente a la suma de la corona 2, el sinfín 2, la carcaza 2 y el Eje 3

Ws = Peso de la pieza de declinación Fd = Vector de carga para el diente de la transmisión 2 (sinfín-corona)

Nuevamente, para cada CASO, los valores de los ángulos serán mostrados por medio de

un trío ordenado. El primer ángulo será θ, el segundo α y el tercero δ. Las coordenadas

utilizadas en las ecuaciones de estática que siguen, peden ser consultadas en la Tabla

22. Para visualizar mejor las posiciones alcanzadas se recomienda ver las figuras 34, 36,

38, 40 y 42, en las que se muestran las fotografías de la montura para cada CASO.

IM-2004-I-02

96

CASO 1 (0º,0º,0º)

La Figura 50 muestra los diagramas de cuerpo libre para el CASO 1 del Eje 2.

Figura 50. CASO 1 para el Eje 2.

Los vectores de carga se encuentran en el plano y-z (el plano de la hoja). Las ecuaciones

de estática son

4312 =++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

rodroddtz

y

x

zyx

RRWWWWFFF

FFF

IM-2004-I-02

97

0=0=

)(=)(+)(+)(+)(=0=Σ=Σ=Σ

443322

z

y

rodrodyrodrodyddyyttx

zyx

MM

rRrRrWrWrWMMMM

En estas ecuaciones

=irodR Reacción en el rodamiento i. Indica seguridad en la operación de los rodamientos

=,, izyxr Distancia sobre el eje indicado (x, y o z) de la pieza asociada i. (Tabla 22)

CASO 2 (90º,0º,0º)

En la Figura 51 se muestra la disposición para el CASO 2 del Eje 2.

Figura 51. CASO 2 para el Eje 2

IM-2004-I-02

98

Donde

3412 =++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

rodroddtz

y

x

zyx

RRWWWWFFF

FFF

0=0=

)(=)(+)(+)(+)(=0=Σ=Σ=Σ

443322

z

y

zrodrodzrodrodyddyyttx

zyx

MM

rRrRrWrWrWMMMM

El CASO 2 es muy similar al CASO 1. La diferencia radica en que el brazo efectivo de

palanca del telescopio (elemento más importante) sobre x en el CASO 2 es mas corto que

en el CASO 1, haciendo que esta posición sea menos crítica que la primera.

CASO 3 (0º,90º,0º)

La Figura 52 ilustra la disposición para el CASO 3.

Donde

4312 =++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

rodroddtz

y

x

zyx

RRWWWWFFF

FFF

0=

)(=)(+)(+)(=)(=)(+)(+)(+)(=

0=Σ=Σ=Σ

222

443322

z

trxddxxtty

rodrodyrodrodyddyyttx

zyx

M

DFrWrWrWMrFrFrWrWrWM

MMM

IM-2004-I-02

99

Figura 52. CASO 3 para el Eje 2

Como se mostrará mas adelante, la posición del CASO 3 es la que genera mayores

esfuerzos en el Eje 2. Aunque no es útil en las observaciones (pues se estaría apuntando

al horizonte), es buena referencia para los factores de seguridad obtenidos.

CASO 4 (0º,0º,90º)

La Figura 53 muestra el CASO 4.

Donde

3412 =++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

rodroddtz

y

x

zyx

RRWWWWFFF

FFF

IM-2004-I-02

100

0=)(=)(=

)(=)(+)(+)(+)(=0=Σ=Σ=Σ

2

443322

z

trxtty

rodrodyrodrodyddyyttx

zyx

MDFrWM

rFrFrWrWrWMMMM

Figura 53. CASO 4 para el Eje 2.

El CASO 4 no es muy útil en la práctica, sin embargo, al igual que en el CASO 3 arroja

resultados útiles en cuanto a factores de seguridad.

IM-2004-I-02

101

CASO 5 (0º,90º,90º)

La Figura 54 muestra la disposición espacial para el CASO 5.

Figura 54. CASO 5 para el Eje 2

Las ecuaciones de estática se muestran así.

3412 =++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

rodroddtz

y

x

zyx

RRWWWWFFF

FFF

IM-2004-I-02

102

0=)(=)(=

)(=)(+)(+)(+)(=0=Σ=Σ=Σ

2

443322

z

trxtty

rodrodyrodrodyddyyttx

zyx

MDFrWM

rFrFrWrWrWMMMM

Donde

=,, izyxr Distancia sobre el eje (x, y, ó z) de la pieza i, que genera el momento indicado.

Consultar tabla 16e.

=D Diámetro primitivo de la corona 1 de la transmisión 2.

=2trF Fuerza que soporta el diente correspondiente en la corona 1 de la transmisión 2.

A diferencia de las posiciones alcanzadas en los demás casos, el CASO 5 si representa

una posición cercana a las utilizadas normalmente en las observaciones. Los resultados

obtenidos del CASO 5 serán los que estarán más cercanos a la realidad. Sin embargo, la

importancia de los factores de seguridad de los demás casos radica en la garantía de

correcto funcionamiento en cualquier posición posible.

En la Tabla 23 se muestran los momentos obtenidos a partir de las anteriores ecuaciones.

Tabla 23. Momentos obtenidos para el Eje 2

CASO1 (Nm) CASO 2 (Nm) CASO 3 (Nm) CASO 4 (Nm) CASO 5 (Nm)

NOMBRE Mx My Mz Mx My Mz Mx My Mz Mx My Mz Mx My Mz

Carcaza1 - - - - - - - - - - - - - - -

Carcaza2 0,07 - - -0,21 - - 0,07 0,21 - 0,07 - - 0,07 0,21 -

Declinador 0,01 - - -0,01 - - 0,01 0,01 - 0,01 - - 0,01 0,01 -

Corona 1 - - - - - - - - - - - - - - -

Corona 2 0,04 - - -0,11 - - 0,04 0,11 - 0,04 - - 0,04 0,11 -

Sinfín 1 - - - 0,02 - - - - - - - - - - -

Sinfín 2 0,01 - - -0,03 - - 0,01 0,03 - 0,01 - - 0,01 0,03 -

Eje 2 - - - - - - - - - - - - - - -

Eje 3 0,00 - - -0,01 - - 0,00 - - 0,00 - - 0,00 0,01 -

Telescopio 1,05 - - -1,11 - - 1,05 1,11 - - 1,05 - 0,17 1,11 -

Rodamiento 3 -0,00 - - - - - -0,00 - - -0,00 - - -0,00 - -

Rodamiento 4 0,00 - - - - - 0,00 - - 0,00 - - 0,00 - -

Rodamiento 5 - 0,00 - 0,00 0,00 - - 0,00 - - 0,00 - - 0,00 -

Rodamiento 6 - -0,00 - 0,00 -0,00 - - -0,00 - - -0,00 - - -0,00 -

IM-2004-I-02

103

Rodamiento 7 0,00 - - -0,00 - - 0,00 0,00 - 0,00 - - 0,00 0,00 -

Rodamiento 8 0,00 - - -0,01 - - 0,00 0,01 - 0,00 - - 0,00 0,01 -

Rodamiento 9 -0,00 0,00 - -0,00 -0,00 - -0,00 0,00 - -0,00 -0,00 - -0,00 0,00 -

Rodamiento 10 0,00 -0,00 - -0,00 -0,00 - 0,00 0,00 - 0,00 -0,00 - 0,00 0,00 -

TOTAL 1,18 - - -1,49 -0,01 - 1,19 1,50 - 0,14 1,04 - 0,31 1,51 -

MTOT 1,18 MTOT 1,49 MTOT 1,91 MTOT 1,05 MTOT 1,54

2.2.3.2 Análisis de esfuerzos

Al igual que para el Eje 1, dentro del funcionamiento del Eje 2 se encuentran cargas que

no pasan por su centroide. Se recuerda que dichas cargas pueden ser reemplazadas por

una fuerza equivalente en la misma dirección y un momento igual a la fuerza por el brazo

entre su línea de acción y el centroide. Ambas, la fuerza equivalente y el momento

actuarán entonces en el centroide del eje. Para el eje 2, las cargas que no pasan por el

centroide son reemplazadas por cargas de flexión, momentos flexionantes y momentos de

torsión.

La configuración geométrica del Eje 2 es diferente a la del Eje 1. El Eje 2 puede ser

dividido en dos secciones. Una se aproxima a una viga simplemente apoyada (entre los

rodamientos 3 y 4), sometida a flexión central, mientras que la otra se puede asumir como

una viga en voladizo simplemente apoyada (después del rodamiento 4 y unido a la pieza

de declinación) (ver Figura 58 y Anexo A1). La suma de las contribuciones de las cargas

en las dos secciones explicadas anteriormente define el comportamiento completo del Eje

2. La distribución de cargas se clasificó para cada caso como se muestra en la Tabla 24.

Tabla 24. Distribución de cargas para el Eje 2

CARGAS

Wt W1 W2 Wd

1 FV y MV FC FV FV

2 A y MV A A y MV A y MV

3 T, FV y MV FC T, FV y MV T, FV y MV

4 T, FV y MV FC FV FV

CASO

5 T, FV y MV FC T, FV y MV T, FV y MV

IM-2004-I-02

104

Donde

FC = Flexión central. Viga simplemente apoyada (entre rodamientos 3 y 4)

FV = Flexión en voladizo. Viga simplemente apoyada cargada en voladizo

A = Carga axial pura. Pasa por el centriode del eje.

FV y MV = Flexión y momento en voladizo. Son cargas que no coinciden con el centroide

del eje y son reemplazadas por flexiones y momentos equivalentes. Actúan en el

centroide de la sección en voladizo.

T = Torque. Son cargas que generan momento de torsión para esfuerzos cortantes. (los

momentos de torsión son equivalentes a los momentos en y, My).

Las propiedades geométricas del Eje 2 se describen en la Tabla 25.

Tabla 25. Propiedades geométricas del Eje 2

Eje 2 )( mc )( 2mA )( 4mI )( 4mJ

Sección 1 0,00350 3,84 E -5 1,17 E -10 2.35 E -10

Sección 2 0,00635 1,26 E -4 1,27 E -9 2.55 E -9

Como se ha mostrado, el estado general de esfuerzos consta de esfuerzos normales y

cortantes. Los normales dependen de los axiales y los generados por flexión. A

continuación se muestran los esfuerzos axiales para el Eje 2.

• Esfuerzos axiales

Para el Eje 2, sólo existen esfuerzos axiales en el CASO 2, donde las fuerzas no

concéntricas son reemplazadas por una carga equivalente a compresión y un momento

flector (Mx). Se recuerda que los esfuerzos axiales son

AFk

σ tax =

Donde

=F Fuerza axial equivalente (ver Tabla 24)

=A Área de la sección transversal (Tabla 25)

IM-2004-I-02

105

=tk Factor de concentración de esfuerzos

El factor tk puede ser calculado mediante la Figura 51, donde nuevamente

mmrmmd

mmD

5.0=7=

7,12=

Con lo que resulta

=tk 2.4 (57)

Figura 55. Factor de concentración de esfuerzos tk para un eje sometido a carga

axial. Tomado de (4)

La fuerza axial equivalente es de 21,09 N, correspondiente al peso de las piezas

asociadas. Para calcular el esfuerzo máximo axial se toma la menor área transversal

(Tabla 25)

Con lo anterior,

AFk

σ tax =

IM-2004-I-02

106

MPaσmEN

σ

ax

ax

31.1=5-84.3

)09.21(4.2= 2

El esfuerzo axial determinado es compresivo y constante a través de toda la sección

transversal del eje. Es válido sólo para el CASO 2.

• Esfuerzos por flexión

Los esfuerzos a flexión en el Eje 2 son debidos a cargas de flexión central y cargas y

momentos en voladizo. Usando nuevamente el teorema de superposición de cargas, los

esfuerzos normales en cada situación pueden ser sumados para determinar el esfuerzo

normal general.

Para cargas con flexión central (Figura 45) se puede obtener el momento máximo. De

acuerdo a la Tabla 24 se muestra el momento máximo hallado para las cargas de flexión

central en la Tabla 26.

Tabla 26. Momentos máximos para flexión central (FC) en el Eje 2

CASO FC (N) M máx (Nm)

1 6,25 0,0289

2 0 -

3 6,25 0,0289

4 6,25 0,0289

5 6,25 0,0289

Donde

l = 0.0185 m = la longitud entre apoyos.

FC = Carga flectora central. (ver Tabla 24)

IM-2004-I-02

107

Teniendo en cuenta

IcMk

σ máxtmáxflex =

con =tk 1.9 (ver Figura 44), la Tabla 26 y la Tabla 25, se pueden calcular los esfuerzos

normales por flexión en la sección simplemente apoyada. Los resultados obtenidos se

muestran en la Tabla 27.

Tabla 27. Esfuerzos normales generados por flexión central (FC). Eje 2.

CASO σ1 (MPa) σ2 (MPa)

1 1,631 0,273

2 - -

3 1,631 0,273

4 1,631 0,273

5 1,631 0,273

Donde σ1 y σ2 son los esfuerzos en el Eje 2 en la primera y segunda sección,

respectivamente. El punto sometido a mayor esfuerzo de tensión es el ubicado en la fibra

exterior inferior del Eje 2. Este punto será el referenciado para los demás esfuerzos por

flexión.

De la misma manera se determinan los esfuerzos normales sufridos en el eje cuando se

carga con un momento en voladizo. En la Figura 56 se muestra dicha disposición. El

momento permanece constante a lo largo de todo el voladizo.

IM-2004-I-02

108

Figura 56. Viga sometida a carga de momento en voladizo. Tomado de (4)

Los valores de los momentos en voladizo obtenidos se muestran en la Tabla 28.

Tabla 28. Momentos máximos de carga de momento en voladizo (MV). Eje 2.

CASO MV (Nm) Mmax (Nm)

1 1,050 1,050

2 -1,500 -1,500

3 1,190 1,190

4 0,170 0,170

5 0,310 0,310

Ahora se calculan los esfuerzos normales debidos a cargas de momento en voladizo.

Con

IcMk

σ tflex

maxmax =

Con 0,1=tk (no hay cambio de sección transversal en el voladizo), la Tabla 25 y la Tabla

28, se elaboraron los cálculos mostrados en la Tabla 29.

IM-2004-I-02

109

Tabla 29. Esfuerzos normales generados por carga de momento en voladizo (MV)

Eje 2 CASO σ1 (MPa) σ2 (MPa)

1 31,181 5,221

2 -44,545 -7,459

3 35,339 5,917

4 5,048 0,845

5 9,206 1,542

El punto B se encuentra justo después del rodamiento 4, en la fibra exterior superior.

Dadas las condiciones de carga, el punto B está sometido a tensión (valores de la Tabla

29).

Por último se calculan los esfuerzos normales generados por flexión en voladizo. A partir

de la Figura 57 se puede calcular el momento máximo en la viga (Tabla 30).

Tabla 30. Momentos máximos por flexión en voladizo (FV). Eje 2.

CASO FV (N) M máx (Nm)

1 15,200 0,169

2 - -

3 15,200 0,169

4 15,200 0,169

5 15,200 0,169

l = 0.019m, la longitud entre apoyos

a = 0.011 m, el voladizo es 0.024 m

IM-2004-I-02

110

Figura 57. Viga sometida a carga de flexión en voladizo. Tomado de (4)

Con 0,1=tk (sin cambio de sección transversal), la Tabla 25 y la Tabla 30 se calcularon

los esfuerzos normales por flexión en voladizo (FV), los cuales se muestran en la Tabla

31.

Tabla 31. Esfuerzos normales generados por flexión en voladizo (FV). Eje 2.

CASO σ1 (MPa) σ1 (MPa)

1 5,033 0,843

2 - -

3 5,033 0,843

4 5,033 0,843

5 5,033 0,843

Donde σ1 y σ2 son los esfuerzos en las secciones 1 y 2, respectivamente.

El punto B sufre tensión en la fibra exterior superior.

IM-2004-I-02

111

Después de determinar los esfuerzos normales que genera cada carga

independientemente, se sumaron las contribuciones de cada una para averiguar el valor

de los esfuerzos normales totales. Se tuvieron en cuenta los mayores esfuerzos ubicados

en la menor sección transversal. Se plantearon dos puntos críticos en el eje. El primero es

A ubicado en la fibra exterior inferior del eje, en la mitad de los rodamientos 3 y 4. Sufre

tensión máxima generada por la flexión central. El otro es B, ubicado en la fibra exterior

superior del eje, justo después del rodamiento 4 (ver Figura 58). Sufre tensión debido a

las cargas de flexión y momento en voladizo. Debido a la diferencia entre los valores de

ambos, se considera al punto B como el importante, despreciando a A. (ver Anexo A1)

Figura 58. Ubicación de los puntos críticos A y B en el Eje 2.

Los esfuerzos normales se organizan en la Tabla 32.

Tabla 32. Esfuerzos normales totales para el Eje 2.

CASO AXIAL (MPa) FC (MPa) MV (MPa) FV (MPa) σx = σax + σfl (MPa)

1 - 1,631 31,181 5,033 34,583

2 -1,310 - -44,545 - -40,822

3 - 1,631 35,339 5,033 38,741

4 - 1,631 5,048 5,033 8,450

5 - 1,631 9,206 5,033 12,608

IM-2004-I-02

112

La última columna muestra los esfuerzos normales totales para el Eje 2

Una vez determinados los esfuerzos normales, se procedió a encontrar los cortantes. Los

esfuerzos cortantes de interés son los generados por torsión (My), ya que los esfuerzos

por cortante V son muy pequeños y el punto de análisis es la fibra superior exterior del eje,

lugar en el cual los esfuerzos por cortante son nulos.

La fórmula para esfuerzos cortantes por torsión es

JTck

τ tstor =

Donde 6,1=tsk puede ser calculado a partir de la Figura 41.

Los momentos torsionales se resumen en la Tabla 33.

Tabla 33. Momentos torsionales para el Eje 2.

CASO T (Nm)

1 0

2 0

3 1,49

4 1,05

5 1,49

Con 6,1=tsk , la Tabla 25 y la Tabla 33 se calcularon los esfuerzos cortantes mostrados

en la Tabla 34.

Tabla 34. Esfuerzos cortantes por torque para el Eje 2.

CASO τ1 (Mpa) τ2 (Mpa)

1 - -

2 - -

3 35,398 5,937

4 24,945 4,184

5 35,398 5,937

IM-2004-I-02

113

Siendo τ1 y τ2 los esfuerzos cortantes para las secciones 1 y 2, respectivamente. El valor

máximo de esfuerzos cortante se localiza en la fibra exterior del eje (punto B).

Luego de haber determinado los esfuerzos normales y cortantes en la fibra exterior

superior del eje se toma el mayor de cada uno. Partiendo de estos esfuerzos, se halla el

estado principal de esfuerzos.

De

2221 +)

2(±

2=, xy

xx τσσ

σσ

Donde los esfuerzos generales se muestran en la Tabla 35.

Tabla 35. Estado general de esfuerzos para el Eje 2.

CASO σx (MPa) τxy (MPa)

1 34,583 -

2 -40,822 -

3 38,741 35,398

4 8,450 24,945

5 12,608 35,398

De esta manera se obtuvieron los esfuerzos principales 321 ,, σσσ , mostrados en la Tabla

36.

Tabla 36. Esfuerzos principales para el Eje 2.

CASO σ1 (MPa) σ2 (MPa) σ3 (MPa)

1 34,583 - -

2 - - -40,822

3 59,306 - -20,565

4 29,525 - -21,075

5 41,791 - -29,183

IM-2004-I-02

114

A partir de los esfuerzos principales se aplicó la teoría de distorsión de la energía

mediante el esfuerzo de von Misses. Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla

37.

Tabla 37. Esfuerzo de von Misses para el Eje 2

CASO σ' (Mpa)

1 34,583

2 40,822

3 71,831

4 44,024

5 61,788

El material del Eje 2 es acero 4140 con una resistencia mínima a la fluencia Sy = 1430

MPa. Finalmente, se obtuvieron los factores de seguridad n para el Eje 2, mostrados en la

Tabla 38.

Tabla 38. Factores de seguridad para el Eje 2.

CASO n

1 41,35

2 35,03

3 19,91

4 32,48

5 23,14

2.2.4 Eje 3, de declinación

La función del Eje 3 es ubicar la coordenada de declinación. El eje 3 sostiene la corona de

la transmisión 3 (ver Figura 59 y Anexo A1 y A2) . En la práctica, el Eje 3 es ajustado al

ubicar la estrella, luego de lo cual se deja constante durante todo el seguimiento. Al igual

IM-2004-I-02

115

que para los otros dos ejes, en el Eje 3 se presenta una superposición de cargas y

momentos que generan los esfuerzos normales y cortantes.

Figura 59. Ubicación del Eje 3. La Corona 2 y el Sinfín 2 conforman la Transmisión 3.

Las posiciones críticas establecidas para todo el análisis de falla son las mismas que en

los casos anteriores. Se recuerdan a continuación en la Tabla 4 (rep).

Tabla 4 (rep). Posiciones críticas establecidas.

CASO θ (º) α(º) δ(º)

1 0 0 0

2 90 0 0

3 0 90 0

4 0 0 90

5 0 90 90

IM-2004-I-02

116

Con

θ =Ángulo polar

α = Ángulo de ascensión recta

δ = Ángulo de declinación

Un listado completo de las piezas relacionadas con el Eje 3 es mostrado en la Tabla 39.

Tabla 39. Masas y pesos de las piezas relacionadas con el Eje 3.

PIEZA NOMBRE MASA (g) FUERZA (N)

1 Carcaza2 350 3,433

2 Corona 2 183,2 1,797

3 Sinfín 2 53,4 0,523

4 Eje 3 21,5 0,210

5 Telescopio 850 8,338

6 Rodamiento 7 7,3 0,071

7 Rodamiento 8 7,3 0,071

8 Rodamiento 9 7,3 0,071

9 Rodamiento 10 7,3 0,071

Se estableció un sistema de coordenadas con origen en el centro de masa de la Corona 2

de la Transmisión 3, de esta manera se determinaron las coordenadas de los centros de

masa de las demás piezas asociadas (Tabla 40).

Tabla 40. Coordenadas de las piezas asociadas con el Eje 3.

CASO 1 CASO 2 CASO 3 CASO 4 CASO 5

NOMBRE X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm)

Carcaza2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Corona 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Sinfín 2 0 41,3 0 0 0 41,3 62,5 41,3 0 0 41,3 0 62,5 41,3 0

Eje 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Telescopio 0 105,35 70,5 0 -70,5 0 0 105,35 0 105,35 0 70,5 70,5 0 0

Rodamiento 7 0 0 9,5 0 9,5 0 9,5 0 0 0 0 9,5 9,5 0 0

Rodamiento 8 0 0 -9,5 0 -9,5 0 -9,5 0 0 0 0 -9,5 -9,5 0 0

Rodamiento 9 22 41,3 0 22 0 41,3 62,5 41,3 22 22 41,3 0 62,5 41,3 22

Rodamiento 10 -22 41,3 0 -22 0 41,3 62,5 41,3 -22 -22 41,3 0 62,5 41,3 -22

IM-2004-I-02

117

Una vez ubicados espacialmente los vectores de carga de las piezas asociadas, se

adelantó el análisis cinemático.

2.2.4.1 Análisis de fuerzas y momentos.

En los diagramas de cuerpo libre se tienen en cuenta los pesos de los componentes

asociados al Eje 3

Wt = Peso del telescopio W2 = Peso equivalente a la suma de la corona 2, el sinfín 2, la carcaza 2 y el eje 3

Fd = Vector de carga para el diente de la Transmisión 3 (sinfín-corona)

Para cada CASO, los ángulos serán mostrados por medio de un trío ordenado. El primer

ángulo será θ, el segundo α y el tercero δ. Las coordenadas utilizadas en las ecuaciones

de estática que siguen, peden ser consultadas en la Tabla 40.

Para facilitar la visualización de las posiciones de cada CASO, vea las figuras 34, 36, 38,

40 y 42.

CASO 1 (0º,0º,0º)

El Eje 3 interactúa con menos piezas que los otros dos ejes. Es de esperar que los

factores de seguridad en el Eje 3 sean mayores debido a condiciones más favorables de

carga. La Figura 60 muestra la disposición del CASO 1 para el Eje 3.

Donde las ecuaciones de equilibrio vienen dadas por

882 =++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

zrodrodtz

y

x

zyx

RWWWFFF

FFF

IM-2004-I-02

118

0=0=

)(=)(+)(=0=Σ=Σ=Σ

7788

z

y

zrodrodzrodrodyttx

zyx

MM

rRrRrWMMMM

Figura 60. CASO 1 para el Eje 3.

Donde

=),,,( izyxr Coordenadas en el eje especificado de la pieza.

=r Radio de la pieza de ascensión (corresponde a la mitad del diámetro primitivo del

engrane de la Transmisión 3 sinfín-corona).

IM-2004-I-02

119

CASO 2 (90º,0º,0º)

La Figura 61 muestra la disposición del CASO 2 para el Eje 3

Figura 61. CASO 2 para el Eje 3.

Donde

872 =++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

rodrodtz

y

x

zyx

RRWWFFF

FFF

0=0=

)(+)(=)(=0=Σ=Σ=Σ

8877

z

y

yrodrodyrodrodyttx

zyx

MM

rRrRrWMMMM

IM-2004-I-02

120

CASO 3 (0º,90º,0º)

La Figura 62 ilustra esta posición

Figura 62. CASO 3 para el Eje 3.

Donde

782 =++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

rodrodtz

y

x

zyx

RRWWFFF

FFF

0=0=

)(+)(=)(=0=Σ=Σ=Σ

8877

z

y

yrodrodyrodrodyttx

zyx

MM

rRrRrWMMMM

IM-2004-I-02

121

Donde

=irodF Fuerza axial en el rodamiento i

=irodxr Distancia en eje x al centro de masa del rodamiento i

Como se verá mas adelante, la configuración geométrica alcanzada en el CASO 3 resulta

ser la que genera mayores esfuerzos en el eje. En los dos casos anteriores (1 y 2), los

vectores de fuerza se encontraban sobre el plano z-y, y por ende, no ejercían momentos

en y. Ahora, en el CASO 3 se encuentran momentos tanto en x como en y, debido al

cambio en el ángulo de ascensión. Las consecuencias de lo anterior se muestran mas

adelante en los factores de seguridad.

CASO 4 (0º,0º,90º)

La disposición espacial para este CASO es ilustrada en la Figura 63.

Para este caso, las ecuaciones de equilibrio son

zdiadtz

y

x

zyx

RFWWWWWFFF

FFF

=+++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

12

0=)(=)(+)(=)(=)(+)(+)(=

0=Σ=Σ=Σ

2211

22

z

xrodrodxrodrodxtty

diyddyyttx

zyx

MrFrFrWM

rFrWrWrWMMMM

Donde

=irodF Fuerza axial en el rodamiento i

=irodxr Distancia en eje x al centro de masa del rodamiento i

IM-2004-I-02

122

Figura 63. CASO 4 para el Eje 3

De la misma manera que el CASO 3, en el CASO 4 surgen momentos en x y y,

comprometiendo al eje a un mayor estado de esfuerzos. Las reacciones en los

rodamientos indican si los rodamientos trabajan dentro de un rango adecuado, según el

fabricante.

CASO 5 (0º,90º,90º)

En la Figura 64 se muestra la disposición espacial de cargas para el CASO 5.

Las ecuaciones de equilibrio son

zdiadtz

y

x

zyx

RFWWWWWFFF

FFF

=+++++=0=0=

0=Σ=Σ=Σ

12

IM-2004-I-02

123

0=)(=)(+)(+)(+)(=

)(=)(+)(+)(=0=Σ=Σ=Σ

221122

22

z

xrodrodxrodrodxddxxtty

diyddyyttx

zyx

MrFrFrWrWrWM

rFrWrWrWMMMM

Figura 64. CASO 5 para el Eje 3.

El CASO 5 es el que se presentaría con mayor frecuencia en las observaciones

astronómicas. Los anteriores casos sirven para estar seguros del correcto funcionamiento

de los ejes en cualquier posición posible de operación.

A partir de las ecuaciones de estática mostradas anteriormente se calcularon los

momentos en los tres ejes coordenados, así como las reacciones y fuerzas al diente de la

Transmisión 3 ( diF ). La Tabla 41 muestra los resultados obtenidos.

IM-2004-I-02

124

Tabla 41. Momentos obtenidos para el Eje 3

CASO 1 (Nm) CASO 2 (Nm) CASO 3 (Nm) CASO 4 (Nm) CASO 5 (Nm)

NOMBRE Mx My Mz Mx My Mz Mx My Mz Mx My Mz Mx My Mz

Carcaza2 - - - - - - - - - - - - - - -

Corona 2 - - - - - - - - - - - - - - -

Sinfín 2 0,0216 - - - - - 0,0216 0,0327 - 0,0216 - - 0,0216 0,0327 -

Eje 3 - - - - - - - - - - - - - - -

Telescópio 0,8785 - - -0,5879 - - 0,8785 - - - 0,8785 - - 0,5879 -

Rodamiento 7 - - - 0,0007 - - - 0,0007 - - - - - 0,0007 -

Rodamiento 8 - - - -0,0007 - - - -0,0007 - - - - - -0,0007 -

Rodamiento 9 0,0030 0,0016 - - 0,0016 - 0,0030 0,0045 - 0,0030 0,0016 - 0,0030 0,0045 -

Rodamiento 10 0,0030 -0,0016 - - -0,0016 - 0,0030 0,0045 - 0,0030 -0,0016 - 0,0030 0,0045 -

M TOTAL 0,9060 - -0,5879 - 0,9060 0,0417 0,0276 0,8785 0,0276 0,6296

2.2.4.2 Análisis de esfuerzos

A partir de la configuración de cargas para el Eje 3 se encuentra la distribución mostrada

en la Tabla 42.

Tabla 42. Distribución de cargas para el Eje 3.

CARGAS

Wt W2

1 A y MVx A

2 FV y MVx FC

3 T, FV y MVx FC

4 A y MVy A

CASOS

5 FV y MVy FC

Donde

A = Fuerza axial centriodal. Contribuye a los esfuerzos normales. Es constante sobre toda

la sección transversal del eje.

FC = Flexión central. Genera esfuerzos normales de tensión y compresión.

MVx, MVy = Momentos en voladizo (eje indicado). Contribuyen a los esfuerzos normales.

Generan compresión o tensión.

IM-2004-I-02

125

FV = Flexión en voladizo. Genera esfuerzos normales.

T = Torque. Genera esfuerzos cortantes. Su valor es máximo en la fibra exterior del eje.

De acuerdo con la superposición de cargas es posible determinar los esfuerzos normales

y cortantes en el eje. Se empezó calculando los esfuerzos normales debidos a cargas

axiales.

AFk

σ tax =

La Tabla 43 muestra las cargas axiales aplicadas y los esfuerzos axiales obtenidos

( =tk 2.4 de la Figura 46. Ver Tabla 25, los Ejes 2 y 3 poseen las mismas características

geométricas).

Tabla 43. Esfuerzos axiales obtenidos para el Eje 3.

CASO F (N) σ1 (Mpa) σ2 (Mpa)

1 -14,59 -0,910 -0,278

2 - - -

3 - - -

4 -14,59 -0,910 -0,278

5 - - -

Los esfuerzos axiales son compresivos, constantes a través del área transversal 1 y 2 de

las secciones del eje correspondientes.

Para cargas de flexión central (FC) (Figura 45) se encuentran los momentos máximos y

los esfuerzos normales que generan. Los resultados se muestran en la Tabla 44.

IM-2004-I-02

126

Tabla 44. Momentos máximos y esfuerzos normales generados por flexión central (FC) en el Eje 3.

CASO FC (N) Mmáx (Nm) σ1 (MPa) σ2 (MPa)

1 0 - - -

2 6,11 0,0283 1,511 0,253

3 6,11 0,0283 1,511 0,253

4 0 - - -

5 6,11 0,0283 1,511 0,253

Donde

Kt = 1.8 (ver Figura 38).

l = 0.0185 m = la longitud entre apoyos.

L = 0.0395 m = longitud total del eje.

a = 0.015 m = longitud del voladizo.

FC= Carga de flexión central.

σ1 y σ2 = esfuerzos normales en el eje , en las secciones 1 y 2, respectivamente.

Los valores máximos de esfuerzos normales generados por flexión central se dan en la

fibra exterior del eje, en la mitad de la distancia entre los rodamientos 7 y 8. La tensión

máxima se alcanza en la fibra inferior del eje.

De la misma manera se determinan los esfuerzos normales sufridos en el eje cuando se

carga con un momento en voladizo (MV). La Figura 56 ilustra la situación de carga. El

momento es constante a lo largo del eje.

Los resultados de esfuerzos normales adicionales generados por los momentos en

voladizo son mostrados en la Tabla 45.

IM-2004-I-02

127

Tabla 45. Esfuerzos normales generados por carga de momento en voladizo (MV) en el Eje 3

CASO MV(x, y) (Nm) Mmax (N) σ1 (MPa)

1 0,906 0,906 26,901

2 -0,588 -0,588 -17,458

3 0,042 0,042 1,238

4 0,878 0,878 26,087

5 0,630 0,630 18,697

En este caso kt = 1. No hay cambio de sección. Véase también la Tabla 25.

Los mayores esfuerzos generados por cargas de momento en voladizo se encuentran en

la fibra exterior del eje. En la parte superior del eje (punto B) se da el mayor esfuerzo a

tensión (Figura 65).

Figura 65. Punto B, crítico en el Eje 3.

Ahora bien, siguiendo con el análisis, se consideran los esfuerzos normales generados

por la flexión en voladizo (véase Figura 48). Los resultados se muestran en la Tabla 46.

IM-2004-I-02

128

Tabla 46. Valores obtenidos para flexión en voladizo FV para el Eje 3.

CASO FV (N) Mmax (Nm) σ1 (MPa)

1 - 0 0

2 8,339 0,092 4,903

3 8,339 0,092 4,903

4 - 0 0

5 8,339 0,092 4,903

Donde

l = 0.0185 m

a = 0.011 m

kt = 1.8

El punto que soporta mayores esfuerzos a tensión es B, explicado anteriormente.

Sumando esfuerzos normales se obtienen los resultados mostrados en la Tabla 47.

Tabla 47. Esfuerzos normales totales en el Eje 3

CASO AXIALES (Mpa) F.C. (Mpa) M.V.(x,y) (Mpa) F.V. (Mpa) σx (MPa)

1 -0,910 - 26,905 - 25,995

2 0 1,511 -17,457 4,903 -12,554

3 0 1,511 1,238 4,903 6.141

4 -0,910 - 26,087 - 26.087

5 0 1,511 18,696 4,903 23.599

El punto de esfuerzos totales máximos normales se ubica en B.

Esfuerzos cortantes Eje 3.

Ahora se calculan los cortantes en cada caso. Los esfuerzos debidos a cortante son nulos

en la fibra exterior. Entonces los esfuerzos que contribuyen al estado general de

esfuerzos son los generados por torque.

IM-2004-I-02

129

JTck

τ tstor =

Donde tsk puede ser calculado a partir de la Figura 47.

Los momentos torsionales se resumen en la Tabla 48.

Tabla 48. Momentos torsionales para el Eje 3 CASO T = Mx (Nm)

1 0

2 0

3 0.906

4 0

5 0

Con tsk , la Tabla 25 y la Tabla 48 se calcularon los esfuerzos cortantes en el Eje 3. Los

resultados se muestran en la Tabla 49.

Tabla 49. Esfuerzos cortantes en el Eje 3

CASO τ1 (MPa) Τ2 (MPa)

1 - -

2 - -

3 18,834 3.610

4 - -

5 - -

Siendo τ1 y τ2 los esfuerzos cortantes para la sección 1 y 2, respectivamente.

Luego de haber determinado los esfuerzos normales y cortantes en la fibra exterior del eje

se toma el mayor de cada uno. El punto crítico que soporta mayores esfuerzos en el eje

es el ubicado en el cambio de sección (σ1 y τ1). Partiendo de estos esfuerzos, se halla el

estado principal de esfuerzos.

IM-2004-I-02

130

De

2221 +)

2(±

2=, xy

xx τσσ

σσ

Se obtienen los resultados de la Tabla 50.

Tabla 50. Esfuerzos generales para el Eje 3

CASO σx (MPa) τxy (MPa)

1 25,995 -

2 -12,554 -

3 6.141 18,834

4 26.087 -

5 23.599 -

Se obtienen los esfuerzos principales 321 ,, σσσ mostrados en la Tabla 51.

Tabla 51. Esfuerzos principales para el Eje 3

CASO σ1 (MPa) σ2 (MPa) σ3 (MPa)

1 25,996 0 0

2 0 0 -11,080

3 22,945 0 -15,459

4 25,195 0 0

5 24,957 0 -0,013

Al obtener los esfuerzos principales se aplicó la teoría de distorsión de la energía

mediante el esfuerzo de von Misses. Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla

52.

IM-2004-I-02

131

Tabla 52. Esfuerzos de von Misses obtenidos para el Eje 3.

CASO σ' (MPa)

1 25,995

2 11,080

3 33,469

4 25,195

5 24,964

El material del Eje 3 es acero 4140 con una resistencia mínima a la fluencia Sy = 1430

MPa. Los factores de seguridad n obtenidos para el Eje 3 se muestran en la Tabla 53.

Tabla 53. Factores de seguridad obtenidos para el Eje 3.

CASO n

1 55,01

2 129,06

3 42,72

4 56,75

5 57,28

2.3 TRANSMISIONES.

Dentro del proceso de diseño de la montura, se hizo especial énfasis en la selección de

un mecanismo de transmisión adecuado, que generara los movimientos requeridos por el

telescopio para alcanzar cualquier ubicación dentro del hemisferio de observación.

Después de haber estudiado los diferentes tipos de engranajes, sus aplicaciones mas

comunes y las ventajas de cada uno de ellos con relación a los demás, todas ellas

aplicadas al objeto de este trabajo, se decidió optar por dos diferentes sistemas de

transmisión de movimiento. El primero de ellos corresponde a una transmisión de

IM-2004-I-02

132

engranes rectos utilizada en la ubicación del polo norte celeste. La intención de esta

transmisión es ubicar el eje polar de la montura en la posición adecuada de acuerdo al

sistema de coordenadas ecuatoriales. El segundo tipo de transmisión es un sistema de

sinfín-corona, utilizado en los ejes de ascensión recta y declinación. El objetivo de estas

transmisiones (dos) es lograr la ubicación del astro en cualquier posición del cielo.

Debido a la literatura encontrada, los cálculos de todos los engranes de la montura se

hicieron basados en las normas de la AGMA (American Gear Manufacturers Association),

motivo por el cual, fue necesario utilizar el sistema inglés de unidades. Para el resto del

diseño (cálculos) de la montura se utilizó el sistema internacional de unidades SI.

2.3.1 Sistema de engranajes de dientes rectos. El sistema de engranajes con dientes rectos se utiliza en la Transmisión 1 de la montura

(ver Figura 48). Su función es ubicar el polo norte celeste en el lugar de observación. El

uso de esta transmisión constituye el primer paso dentro del proceso de montaje y

calibración del equipo óptico. Debido a la naturaleza de las coordenadas ecuatoriales, la

calidad del seguimiento de la montura, depende directamente de la ubicación precisa del

polo norte celeste. La Transmisión 1 debe garantizar dicha precisión. Los resultados y

análisis de este sistema de engranajes son mostrados mas adelante.

Una de las ideas más importantes en el diseño de la montura era lograr la mayor

capacidad de movimiento en el menor espacio posible, esto, con la idea de llegar a un

diseño compacto y liviano, además de comunicativo y estético. Teniendo en cuenta el

espacio disponible y el diseño preliminar de la montura, la transmisión fue ubicada entre la

base y los soportes verticales de la pieza de ascensión. Se aprovechó la geometría de

las piezas en cuestión para elaborar, en un muy reducido espacio, una transmisión de

dientes rectos con una relación suficiente para transmitir el movimiento requerido.

De acuerdo al capítulo de “Fundamentos teóricos”, las especificaciones de la Transmisión

1, de dientes rectos se muestran en la Tabla 54.

IM-2004-I-02

133

Tabla 54. Especificaciones y dimensiones de la Transmisión 1. Dientes rectos. *Diametral Pitch en (dientes/in)

DIMENSIÓN pulg.

DIAMETRAL PITCH* 24

PASO 0,131

ESPACIO ENTRE DIENTES 0,065

ESPESOR DEL DIENTE 0,065

ADENDUM 0,042

DEDENDUM 0,048

ALTURA TOTAL DEL DIENTE 0,09

ANCHO DE CARA 0,394

DIMENSIÓN ENGRANE (pulg) PIÑÓN (pulg)

DIAMETRO PRIMITIVO 2,417 0,542

DIAMETRO EXTERIOR 2,500 0,625

DIAMETRO INTERIOR 2,320 0,445

NUMERO DE DIENTES 58 13

RADIO DEL PIE DEL DIENTE 0,013 0,016

DISTANCIA ENTRE CENTROS (pulg) 1,479

RELACION PIÑON-ENGRANE 1: 4,462

Las características geométricas de la transmisión dependen del espacio disponible y de la

resistencia alcanzada en los dientes. Los análisis de cargas y esfuerzos, así como los

factores de seguridad de los dientes rectos de los engranes se muestran a continuación.

Se aclara que el tratamiento seguido para el análisis de las dentaduras está basado en

procedimientos aconsejados por la AGMA. Dichos procedimientos son especiales para

engranajes, lo cual implica un tratamiento diferente en cuanto a la determinación de

esfuerzos y factores de seguridad.

IM-2004-I-02

134

2.3.1.1 Análisis de fuerzas en los dientes

De acuerdo a lo discutido en el capítulo de “Fundamentos teóricos”, el vector de fuerza en

este tipo de dientes, se puede dividir en sus componentes rectangulares. Al igual que en

el análisis de fuerzas y esfuerzos en los ejes, se han establecido, para el caso de las

transmisiones, posiciones críticas posibles de funcionamiento de la montura (limitadas por

la geometría de las partes). Dichas posiciones son impuestas con el ánimo de lograr

determinar los valores máximos críticos de carga y de esfuerzos en los dientes de las

transmisiones. De esta manera, la fuerza máxima transmitida por los dientes será la carga

máxima posible de funcionamiento de la montura. Al utilizar el valor de la carga máxima

posible de funcionamiento, se pueden lograr valores conservativos de factores de

seguridad en los dientes de los engranes.

Con lo anterior, la carga máxima posible de funcionamiento es, en el CASO 1 y 3

lbflbfWmáx 9≈98.8=

De acuerdo al análisis descrito en el Capítulo 1 y la Figura 20.

lbfφsenWW

lbfφWW

máxr

máxt

07.3==

45.8=cos=

Donde φ= 20º, el ángulo de presión.

De esta manera quedan determinadas las cargas máximas tangencial y radial en los

dientes de la Transmisión 1. Cabe destacar que, de acuerdo a la discusión del Capítulo 1,

la carga máxima en la transmisión es en el círculo primitivo.

IM-2004-I-02

135

2.3.1.2 Análisis de esfuerzos en los dientes

Existen varios métodos para determinar los esfuerzos en dientes de engranajes. El

primero, como se vio, consiste en aproximar el diente a una viga en voladizo. De esta

manera se determinan los esfuerzos críticos de tensión y compresión en un diente de

engrane. Sin embargo, asociaciones especializadas en la manufactura y normalización de

engranajes (AGMA y ANSI), se han esmerado con el fin de hallar relaciones entre las

resistencias y la geometría de los dientes. En este trabajo, se ha optado por utilizar los

esfuerzos propuestos por la AGMA. Como se mostró, los coeficientes que intervienen en

el cálculo de los esfuerzos en los dientes pretenden corregir defectos de manufactura y

operación.

Se recuerda la fórmula de la AGMA para esfuerzo por flexión

)18(=FJK

KPKKWσ

v

msat

Mientras la fórmula fundamental para la resistencia a la picadura o contacto es

)19(=FdIC

CCCCWCσ

v

fmsatpc

Los coeficientes de la AGMA necesarios para el cálculo de los esfuerzos en los dientes se

justifican de la siguiente manera.

Factores de aplicación Ka y Ca.

Como se indicó, el factor de aplicación es introducido cuando las cargas de operación

exceden las cargas nominales. Como el cálculo de esfuerzos para los dientes se llevó a

cabo mediante la carga máxima posible de operación, este factor es igual a la unidad.

IM-2004-I-02

136

Factores dinámicos o de velocidad Kv y Cv.

De acuerdo a lo establecido por la AGMA, el factor de velocidad para este caso se toma

de la ecuación 20. Teniendo en cuenta el nivel de exactitud en la transmisión Qv= 9,

correspondiente a una calidad de precisión en los engranes y una velocidad en la línea de

paso V = 0 ft/min

1== vv CK

El valor de la velocidad en la línea de paso es 0 ft/min debido a que los engranes no

poseen velocidad angular en el funcionamiento de la montura, exceptuando, por su

puesto, la operación de ubicación del polo norte, en donde, gracias a su pequeño valor, es

considerada como nula. En términos generales, los engranes de esta transmisión son

cargados estáticamente.

Factores de tamaño Ks y Cs.

Gracias a la coherencia entre los materiales usados y las dimensiones establecidas para

los engranes, el factor de tamaño es igual a la unidad.

Factores de distribución de carga Km y Cm.

Los factores de distribución de carga son tomados de la tabla tales. El montaje requerido

para la montura es uno exacto, con bajas holguras de los cojinetes y deflexiones mínimas.

El valor del factor de distribución de carga correspondiente a estos requerimientos es

3.1== mm CK

Factor geométrico J de resistencia a la flexión El factor geométrico J es una versión modificada (y mas elaborada) del factor Y de Lewis.

Para este caso, el factor geométrico se calcula como sigue

NrmKY

J =

IM-2004-I-02

137

Para engranes rectos Nm = 1.0

El factor de concentración de esfuerzos es calculado a partir del radio mínimo de raíz en

los dientes (Tabla 54).

381.1=

)048.0047.0

()013.0047.0

(+18.0=

)()(+18.0=

45.015.0

45.015.0

ht

rt

Kf

r

El factor Y de Lewis se calcula de la siguiente manera

189.0=6

)tan(2=

32

=

Pφt

xPY

Donde

x se determina como en la Figura 23 .

P = Paso diametral

Con todo lo anterior, el valor J queda determinado por

137.0=)0.1(381.1

189.0=

=NrmK

YJ

Factor geométrico I de resistencia en la superficie

La relación de transmisión define el coeficiente Gm por

462.4=1358

===dD

nN

mG

IM-2004-I-02

138

Entonces

131.0=)462.5()462.4(

)0.1(2)20()20cos(

=

1+2cos

=

senm

mm

φsenφI

G

G

N

Coeficiente elástico Cp.

De acuerdo a las propiedades físicas de los materiales de la transmisión (aluminio y

bronce) se obtiene el coeficiente elástico de la siguiente manera

=pν 0.334 Módulo de Poisson del aluminio

=eν 0.324 Módulo de Poisson del bronce

=pE 10.3 Mpsi Módulo de elasticidad del aluminio

=eE 15.4 Mpsi Módulo de elasticidad del bronce

470.1489=)

64.15324.0-1

+63.10

334.0-1(

1=

)-1

+-1

(

1=

22

22

EEπ

Eν

Eν

π

C

e

e

p

pp

Factor de estado o condición de superficie Cf .

La AGMA no ha establecido aún valores estandarizados para el factor de estado, sin

embargo, aconseja un valor igual a la unidad si no existen imperfecciones superficiales

obvias, como en este caso. El valor del factor de estado para la montura es entonces la

unidad.

IM-2004-I-02

139

Una vez determinados los coeficientes de esfuerzo de la AGMA, se calculan los esfuerzos

en los dientes de los engranes como sigue.

• Esfuerzo por flexión

kpsi88.4=

)137.0)(394.0)(0.1()3.1)(0.1)(24)(0.1(45.8

=

=

σ

σ

FJKKPKKW

σv

msat

• Esfuerzo por contacto

kpsiσ

σ

FdICCCCCW

Cσ

c

c

v

fmsatpc

51.29=

)131.0)(542.0)(394.0)(0.1()3.1)(0.1)(0.1(45.8

470.1489=

=

Los esfuerzos calculados pertenecen al punto crítico del diente Figura 22. En el punto a

de dicha figura se encuentra que los esfuerzos principales constan de un esfuerzo por

tensión o compresión. Los cortantes en este punto son despreciables, de hecho, la AGMA

establece que el estado principal de esfuerzos en el punto a sólo consta de esfuerzos

normales equivalentes a los esfuerzos por flexión y por contacto calculados anteriormente

mediante los coeficientes de la AGMA.

2.3.2 Resistencias de la AGMA

Una vez determinados los esfuerzos principales presentes en los dientes de los engranes,

es necesario llevar a cabo un análisis que permita establecer la resistencia de los mismos.

La AGMA ha establecido unos números de resistencia denominados esfuerzos admisibles

IM-2004-I-02

140

tanto a flexión como a compresión. A continuación se muestran los números de

resistencia para flexión y contacto.

El esfuerzo por flexión admisible en los dientes es

RT

Ltadm KK

KSσ =

De la misma manera, el esfuerzo admisible por contacto es

RT

HLcadmc CC

CCSσ =,

Donde los factores se describen como sigue

Factores de duración KL y CL

Las gráficas para determinar los factores de duración se basan en una vida de 107 ciclos.

A pesar de ser una transmisión “estática”, se asume que cumple con esta condición de

vida. Los factores de duración son iguales a la unidad.

Factores de temperatura KT y CT

Las temperaturas de operación de la montura variarán dentro de un rango aproximado de

0º C y 4º C, lo que genera un factor de temperatura igual a la unidad.

Factores de confiabilidad KR y CR

Se establece una confiabilidad R = 0.99. Los factores de confiabilidad son entonces

iguales a la unidad.

Factor de relación de dureza CH

Se genera exclusivamente para el engrane. Se calculó a partir de

)0.1-(+0.1= GH mAC

IM-2004-I-02

141

con

)10(29.8-)10(98.8= 3-3-

e

p

HBHB

A

las durezas Brinell de los materiales de los engranes, aluminio y bronce, son

65=45=

br

al

HBHB

3-68.4=)10(29.8-4565

)10(98.8= 3-3- EA

016.1=)0.1-(368.4+0.1=

H

GH

CmEC

Una vez determinados los coeficientes de la AGMA para los esfuerzos admisibles se tiene

que

kpsiσ

KKKS

σ

adm

RT

Ltadm

7.5=)0.1)(0.1()0.1(5700

=

=

y

kpsiσ

CCCCS

σ

admc

RT

HLcadmc

48,30=)0.1)(0.1(

)016.1)(0.1(30000=

=

,

,

• Factores de seguridad alcanzados en los dientes rectos

Teniendo en cuenta todo el análisis propuesto por la AGMA, y conocidos tanto los

esfuerzos en los dientes como los esfuerzos máximos admisibles en los dientes, los

factores de seguridad encontrados se muestran a continuación

IM-2004-I-02

142

Factor n de seguridad a la tensión (flexión)

Es calculado teniendo en cuenta el esfuerzo a tensión σ sentido en el diente y el esfuerzo

máximo admisible admσ

17.1=88.470.5

=

=

1 kpsikpsi

n

nσ

σ adm

Factor nc de seguridad al contacto (compresión)

Al igual que el factor de seguridad a la tensión, el factor de seguridad al contacto es

calculado a partir del esfuerzo a la compresión y es esfuerzo máximo admisible en el

diente.

03.1=51.29

30.48=

=

,1

,

kpsikpsi

n

σnσ

c

cadmc

Sin embargo, cσ no es directamente proporcional a Wt, de este modo, sustituyendo cσ por

Sc se determina Wt.

φFCW

rrCσ

v

tpc cos

)1

+1

(=21

con

413.0=2

=

092.0=2

=

470.1489=

2

1

φDsenr

φdsenr

Cp

Queda

lbfWt 11=

IM-2004-I-02

143

Entonces el factor de seguridad basado en la relación de carga es,

30,1=45,8

11=n

Al estudiar los factores de seguridad alcanzados con este tipo de diseño, se garantiza el

correcto funcionamiento de la montura bajo condiciones de operación extremas. Los

coeficientes de la AGMA cumplen con la función de corregir los esfuerzos calculados

mediante los métodos tradicionales de Lewis y Hertz, haciéndolos mucho mas precisos y

coherentes con la realidad. Se insiste en que el estado de esfuerzos principales es

determinado en el punto crítico del diente ilustrado en la Figura 22. Debido a la naturaleza

de los estudios adelantados para engranes, las teorías de falla convencionales se

reducen a encontrar los esfuerzos en los dientes, compararlos con los esfuerzos máximos

admisibles, para, de esta manera, hallar directamente los factores de seguridad de los

engranes. A diferencia de los ejes, los engranes han desarrollado un método de estudio

independiente, con métodos independientes y refinados para las aplicaciones concretas

de las transmisiones.

2.3.3 Sistema de engranajes de sinfín-corona.

Los requerimientos de movimiento para la montura son suplidos por tres transmisiones,

una de engranes rectos, analizada anteriormente, y dos idénticas de sinfín-corona. Las

transmisiones de sinfín-corona mueven los ejes de ascensión recta y declinación (ver

Figuras 49 y 59 y Anexo A1 y A3).

Se escogió un sistema de sinfín-corona ya que este tipo de transmisiones ofrece grandes

reducciones en espacios muy pequeños. Una de las ideas primordiales en el diseño de la

montura era hacerla lo mas pequeña posible, maximizando el espacio disponible en el

conjunto completo.

Las especificaciones geométricas de estas transmisiones se muestran en la Tabla 55.

IM-2004-I-02

144

Tabla 55. Especificaciones geométricas de las transmisiones sinfín-corona.

DIMENSIÓN VALOR UNIDAD

DIAMETRAL PITCH 30 dientes / in

NUMERO DE DIENTES DE LA CORONA 90 -

NUMERO DE ENTRADAS DEL SINFÍN 1 -

RPM SINFÍN 0,0625 rpm

RPM CORONA 0,000694 rpm

PASO CIRCULAR 0,104 pulg

ESPACIO ENTRE DIENTES 0,052 pulg

ESPESOR DEL DIENTE 0,052 pulg

ALTURA TOTAL DEL DIENTE 0,072 pulg

ADEMDUM 0,033 pulg

DEDENDUM 0,039 pulg

DIMENSIÓN SINFÍN CORONA UNIDAD

DIAMETRO PRIMITIVO 0,464 3 pulg

DIAMETRO EXTERIOR 0,531 0,155 pulg

DIAMETRO BASE 0,386 2,856 pulg

ANCHO DE CARA - 0,485 pulg

RADIO EN CABEZA DE FILETE 0,005 - pulg

AVANCE 0,104 - pulg / vuelta

ANGULO DE PRESIÓN φº 14,5 º

ANGULO DE AVANCE λ º 4,1 º

ANGULO DE HÉLICE Ψ º 85,9 85,9 º

DISTANCIA ENTRE CENTROS (mm) 1,732

RELACION SINFIN-CORONA 90:1

Las dos transmisiones de sinfín-corona comparten la misma geometría. Sin embargo, no

soportan ni las mismas cargas ni sufren los mismos esfuerzos en su funcionamiento (ver

IM-2004-I-02

145

Anexo A1 y A3). El análisis de cargas y esfuerzos sobre cada una se hizo

independientemente, teniendo en cuenta las piezas con las que se relacionan cada una

de ellas y las posiciones críticas de operación de la montura. Se utilizó el proceso de

determinación de esfuerzos sugerido por la AGMA, mismo adelantado para la transmisión

de engranes rectos.

2.3.3.1 Análisis de fuerzas. Transmisión 2, sistema de sinfín-corona

La Transmisión 2 (ver Anexo A1 y A3) tiene como función mover el telescopio en la

coordenada de ascensión recta. Si la calibración del polo norte se hace adecuadamente,

la Transmisión 2 será la encargada de desarrollar el seguimiento de las coordenadas. Lo

anterior quiere decir que, de acuerdo con el diseño de la montura, si la corona de esta

transmisión se mueve a la velocidad de rotación de la Tierra, pero en sentido contrario,

será posible realizar el seguimiento de cualquier punto sobre el hemisferio de

observación. Por este motivo, la Transmisión 2 es motorizada.

De acuerdo al análisis de fuerzas elaborado para los ejes, el vector de fuerza máximo

que actúa sobre esta transmisión (CASO 5), puede dividirse como sigue

)-cos(cos==

)cos+(cos=

λsenµλφWWφWsenW

λµλsenφWW

nz

ny

nx

Con

05.0=º1.4=

º5.14=23,8==

µλφ

lbfWW

n

máx

Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 56.

IM-2004-I-02

146

Tabla 56. Cargas sentidas por los dientes de la corona en la Transmisión 2

CARGA lbf

Wx 0,981

Wy 2.061

Wz 7.918

Mediante las relaciones mencionadas en las ecuaciones 32 se obtienen los siguientes

resultados útiles (Tabla 57).

Tabla 57. Cargas obtenidas para la Transmisión 2.

CORONA SÍMBOLO VALOR UNIDAD

Carga Axial Wga -0,981 lbf

Carga Radial Wgr -2,061 lbf

Carga Tangencial Wgt -7,918 lbf

Velocidad en línea de paso V 0,000 ft / min

EFICIENCIA η 0,581

FUERZA DE FRICCIÓN (lbf) 0,225

SINFÍN SIMBOLO VALOR UNIDAD

Carga Axial Wwa 7,918 lbf

Carga Radial Wwr 2,061 lbf

Carga Tangencial Wwt 0,981 lbf

Velocidad en línea de paso V 0,000 ft / min

IM-2004-I-02

147

2.3.3.2 Análisis de fuerzas para Transmisión 3.

La Transmisión 3 permite alcanzar la coordenada de declinación (ver Figura 59). Como se

ha expuesto anteriormente, al realizar el seguimiento de una estrella, la declinación

permanece constante, por ello, la Transmisión 3 será utilizada solamente en la ubicación

del telescopio (ver Anexo A1 y A3).

A partir de las piezas relacionadas con la Transmisión 3 y la posición establecida para el

análisis de los ejes (CASO 3), el análisis de fuerzas se desarrolló de la siguiente manera

)-cos(cos==

)cos+(cos=

λsenµλφWWφWsenW

λµλsenφWW

nz

ny

nx

Con

05,0=º1,4=

º5,14=78,4==

µλφ

lbfWW

n

máx

Se obtienen los resultados de la Tabla 58.

Tabla 58. Cargas obtenidas para la Transmisión 3.

CARGA lbf

Wx 0,570

Wy 1,197

Wz 4,599

A partir de los cuales se determinan las cargas axiales, tangentes y radiales de la Tabla

59.

IM-2004-I-02

148

Tabla 59. Cargas obtenidas para la Transmisión 3.

CORONA SÍMBOLO VALOR UNIDAD

Carga Axial Wga -0,570 lbf

Carga Radial Wgr -1,197 lbf

Carga Tangencial Wgt -4,599 lbf

Velocidad en línea de paso V 0,000 ft / min

EFICIENCIA η 0,581

FUERZA DE FRICCIÓN (lbf) 0,239

El coeficiente de fricción µ = 0.05 es recomendado para la mayoría de aplicaciones de

engranes de sinfín-corona (caso de contacto entre acero-acero). Los resultados obtenidos

a partir de esta suposición son los mostrados arriba (para las Transmisiones 2 y 3). La

velocidad en la línea de paso es tan baja (velocidad angular de la Tierra) que se asume

como nula. La eficiencia obtenida es coherente con el ángulo de hélice Ψ utilizado.

El vector de fuerza máxima es descompuesto en sus componentes axial, radial y

tangencial para cada transmisión, a partir de la posición crítica de carga para cada una de

ellas. El objeto de lo anterior es realizar el análisis de esfuerzos basándose en las cargas

máximas posibles de operación.

SINFÍN SIMBOLO VALOR UNIDAD

Carga Axial Wwa 4,599 lbf

Carga Radial Wwr 1,197 lbf

Carga Tangencial Wwt 0,570 lbf

Velocidad en línea de paso V 0,000 ft / min

IM-2004-I-02

149

2.3.3.3 Análisis de esfuerzos en las transmisiones 2 y 3

Teniendo en cuenta los resultados del análisis de fuerzas de la sección anterior, el

análisis de esfuerzos se desarrolló nuevamente, según lo sugerido por la AGMA

La fórmula fundamental para el esfuerzo por flexión es

FJKKPKKW

σv

msat=

Donde

=σ Esfuerzo por flexión (psi)

=tW Carga tangencial transmitida (lb)

=aK Factor de aplicación

=vK Factor dinámico o de velocidad

=P Paso diametral (diametral Pitch)

=F Ancho de la cara del engrane (in)

=sK Factor de tamaño

=mK Factor de distribución de carga

=J Factor geométrico

y la fórmula fundamental del esfuerzo por contacto es

FdICCCCCW

Cσv

fmsatpc =

Donde

=cσ Valor absoluto del esfuerzo por contacto (psi)

=pC Coeficiente elástico

=aC Factor de aplicación

IM-2004-I-02

150

=vC Factor dinámico o de velocidad

=sC Factor de tamaño

=mC Factor de distribución de carga

=d Diámetro primitivo del piñón (in)

Factores de aplicación Ka y Ca.

El fin del factor de aplicación es incluir algunas situaciones en donde la carga real excede

la carga nominal tangencial Wt. Al establecer las cargas como las máximas de operación,

los factores de aplicación valen 1.0

Factores dinámicos o de velocidad Kv y Cv

Como en los engranes rectos, el factor dinámico o de velocidad se tiene en cuenta para

incluir dentro de los cálculos errores en el embone de los engranes o imprecisiones en la

manufactura de los dientes. Debido a la magnitud de la velocidad en la línea de paso en el

caso de la transmisión 2 (5.48E-5) y el carácter estático que se requiere en la transmisión

3, los factores dinámicos son iguales a la unidad en ambos casos.

Factores de tamaño Ks y Cs

Ya que existe coherencia entre el tamaño de los sinfines y las coronas, así como del

material del que están hechos, los factores de tamaño también son iguales a la unidad en

ambas transmisiones.

Factores de distribución de carga Km y Cm.

De la misma manera que en los engrane rectos, los factores de distribución de carga

fueron escogidos de acuerdo a un montaje preciso, con bajas deflexiones y bajas cargas

en los rodamientos. El valor de los factores de distribución correspondientes a estos

requerimientos de montaje es de 1.3 para las dos transmisiones.

IM-2004-I-02

151

Factores geométricos J e I.

La relación de contacto con la cara Fm es

xF p

Fm =

Donde xp es el paso axial del tornillo y F es el ancho de cara de la corona.

663,4=104,0485,0

==x

F pF

m

Factor geométrico J de resistencia a la flexión

El factor geométrico J es calculado así

Para engranes sinfín-corona

Zp

m NN 95.0

=

Donde

inZ 496,0=

103.0=)89.85(104.0== senψsenpp xN

Recordando que

=ψ ángulo de hélice de la corona.

=xp paso axial del gusano.

Entonces

218,0=)496,0(95,0

103,0=

95.0=

Zp

m NN

ahora bien

134,0=6

30)5,14tan()052,0(2=

Y

Y

y de

IM-2004-I-02

152

40.020.0 )()(+22.0=ht

rt

Kf

r

01,2=

)039,0052,0

()005,0052,0

(+22,0= 4,02,0

r

r

K

K

Con esto

)218,0(01,2134,0

==NrmK

YJ

305,0=J

Factor geométrico I de resistencia en la superficie

La relación de velocidad Gm es

90=1

90===

dD

nN

mG

ahora bien

9190

)218,0(2)5,14()5,14cos(

=

1+2cos

=

senI

mm

mφsenφ

IG

G

N

549,0=I

Coeficiente elástico Cp.

Depende de las propiedades físicas y mecánicas de los materiales del sistema de

engranes. En el caso de las transmisiones de sinfín-corona, los materiales son los mismos

(bronce latón). La fórmula para determinar el coeficiente elástico queda reducida a

)-1

(2

1= 2

bro

brop

Eν

πC

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153

)64,15

0,324-1(2

1= 2

Eπ

Cp

828,1654=pC

Factor de estado o condición de superficie Cf.

No existen defectos superficiales obvios en las dentaduras. El valor del factor de estado

es igual a la unidad.

Una vez determinados y explicados los coeficientes de la AGMA para transmisiones de

sinfín-corona, los esfuerzos en los dientes, tanto a tensión como a compresión de la

transmisión 2 2σ y la transmisión 3 se muestran a continuación.

La fórmula general para el esfuerzo a tensión es

FJKKPKKW

σv

msat=

El esfuerzo a tensión de la transmisión 2 es

)305,0)(485,0)(0,1()3,1)(0,1)(30)(0,1(918,7

=2σ

psiσ k087,2=2

De la misma manera, el esfuerzo a tensión para la transmisión 3 es

IM-2004-I-02

154

)305,0)(485,0)(0,1()3,1)(0,1)(30)(0,1(599,4

=3σ

kpsiσ 212,1=3

El esfuerzo a compresión es

FdICCCCCW

Cσv

fmsatpc =

Para la transmisión 2 el esfuerzo a compresión es

FdICCCCCW

Cσv

fmsatpc =

)549,0)(3)(485,0)(0,1()0,1)(3,1)(0,1)(0,1(918,7

828,1654=2cσ

kpsiσc 94,5=2

Para la transmisión 3 el esfuerzo a compresión es

)549,0)(3)(485,0)(0,1()0,1)(3,1)(0,1)(0,1(599,4

828,1654=3cσ

kpsiσc 52,4=3

Los resultados obtenidos para los esfuerzos en los dientes para cada una de las

transmisiones, incluyen la carga máxima, lo que los convierte en los esfuerzos principales.

IM-2004-I-02

155

Al igual que en el caso de engranes rectos, el estado principal de esfuerzos sólo incluye

esfuerzos normales a tensión y a compresión.

2.3.4 Resistencias de la AGMA para dientes de engranes sinfín-corona

Después de ser determinados los esfuerzos principales presentes en los dientes de la

transmisión, se lleva a cabo un análisis que permita establecer la resistencia de los

mismos. La AGMA ha establecido unos números de resistencia denominados esfuerzos

admisibles tanto a flexión como a compresión.

El esfuerzo por flexión admisible en la dentadura es

RT

Ltadm KK

KSσ =

de la misma manera, el esfuerzo admisible por contacto es

RT

HLcadmc CC

CCSσ =,

Donde los factores se describen como sigue

Factores de duración KL y CL

Las gráficas para determinar los factores de duración se basan en una vida de 10^7

ciclos. El funcionamiento de las transmisiones 2 y 3 se puede aproximar, con gran certeza

al caso estático. Los factores de duración son iguales a la unidad.

Factores de temperatura KT y CT

Las temperaturas de operación de la montura variarán dentro de un rango aproximado de

0ºC y 40ºC, lo que genera un factor de temperatura igual a la unidad.

IM-2004-I-02

156

Factores de confiabilidad KR y CR

Se establece una confiabilidad R = 0.99. Los factores de confiabilidad son entonces

iguales a la unidad.

Factor de relación de dureza CH

Se generó exclusivamente para el engrane. Se calculó a partir de

)0.1-(+0.1= GH mAC

Con

)10(29.8-)10(98.8= 3-3-

e

p

HBHB

A

El material de las transmisiones 2 y 3 (para sinfín y para corona) es bronce-latón. Debido

a esta característica, la relación de durezas es igual a la unidad.

65=brHB

4-9,6=)10(29.8-6565

)10(98.8= 3-3- EA

061.1=)0.1-(4-9,6+0.1=

H

GH

CmEC

Una vez determinados los coeficientes de la AGMA para los esfuerzos admisibles se tiene

que

kpsiσ

KKKS

σ

adm

RT

Ltadm

7.5=)0.1)(0.1()0.1(5700

=

=

y

IM-2004-I-02

157

kpsiσ

CCCCS

σ

admc

RT

HLcadmc

83,31=)0.1)(0.1(

)061.1)(0.1(30000=

=

,

,

• Factores de seguridad alcanzados en los sinfines-corona

Teniendo en cuenta el análisis propuesto por la AGMA, y conocidos tanto los esfuerzos en

los dientes como los esfuerzos máximos admisibles, los factores de seguridad

encontrados se muestran a continuación

• Factor n de seguridad a la tensión (flexión)

Es calculado teniendo en cuenta el esfuerzo a tensión σ sentido en el diente y el esfuerzo

máximo admisible admσ

71,4=21.170.5

=

72,2=09.270.5

=

=

3

2

kpsikpsi

n

kpsikpsi

n

nσ

σ adm

Donde n2 y n3 son los factores de seguridad a flexión en las transmisiones 2 y 3

respectivamente.

• Factor nc de seguridad al contacto (compresión)

Al igual que el factor de seguridad a la tensión, el factor de seguridad al contacto es

calculado a partir del esfuerzo a la compresión y el esfuerzo máximo admisible en el

diente.

IM-2004-I-02

158

30.26=21.183.31

=

22.15=09.283.31

=

=

3

2

,

kpsikpsi

n

kpsikpsi

n

nσ

σ admcc

Donde n2 y n3 son los factores de seguridad a compresión para los dientes de la

transmisión 2 y 3 respectivamente

Al observar los factores de seguridad alcanzados con este tipo de diseño, se garantiza el

correcto desempeño de la montura bajo condiciones de operación extremas.

Nuevamente, al igual que en caso de los engranes rectos, los coeficientes de la AGMA

cumplen con la función de corregir los esfuerzos calculados mediante los métodos

tradicionales de Lewis y Hertz, haciéndolos mucho mas cercanos a la realidad. Se

recuerda que el estado de esfuerzos principales es determinado en el punto crítico del

diente ilustrado en la figura tales. Debido a la naturaleza de los estudios adelantados para

engranes, las teorías de falla convencionales se reducen a encontrar los esfuerzos en los

dientes, compararlos con los esfuerzos máximos admisibles, para, de esta manera, hallar

directamente los factores de seguridad de los engranes. A diferencia de los ejes, los

engranes han desarrollado un método de estudio independiente, con métodos

independientes y refinados para las aplicaciones concretas de las transmisiones.

Los factores de seguridad obtenidos para las transmisiones 1, 2 y 3 se resumen en la

Tabla 60.

Tabla 60. Factores de seguridad obtenidos para las transmisiones 1, 2 y 3.

TRANSMISIÓN SISTEMA in A TENSIÓN cin , A COMPRESIÓN

1 D. RECTOS 1.17 1.30

2 SINFÍN-CORONA 2.72 15.22

3 SINFÍN-CORONA 4.71 26.30

IM-2004-I-02

159

3. SISTEMA DE FRENOS

Para mantener la posición deseada en la montura es necesario fijar las transmisiones a

tierra, es decir, tiene que incluirse un sistema de frenos que limite el movimiento del

telescopio exclusivamente a la estrella de interés. El sistema propuesto para la montura

aprovecha las características de las transmisiones utilizadas.

La Transmisión 1, encargada de la ubicación del polo celeste, es fijada mediante un freno

convencional de mano. La Figura 66 muestra la solución propuesta.

Figura 66. Freno dispuesto para la Transmisión 1.

Consta de una zapata (Figura 67), ajustada mediante un resorte pivotado en la base y una

plataforma apoyada en el soporte de la montura. El modo de operación consiste en ubicar

la latitud apropiada, luego de lo cual es ajustado el resorte para frenar la Transmisión 1.

IM-2004-I-02

160

Figura 67. Zapata implementada en el freno de la Transmisión 1(latitud). Nótese el resorte de alambre sujeto a la zapata.

Gracias a las características propias de las transmisiones sinfín-corona, los ejes 2 y 3 sólo

pueden ser movidos desde el sinfín, ofreciendo un freno mecánico innato. La Figura 68

ilustra las Transmisiones 2 y 3, en las cuales no se ha incluido un sistema específico de

freno, sino que, se ha aprovechado la ventaja que ofrece este tipo de engranajes.

Figura 68. Esquema de las Transmisiones 2 y 3. El movimiento sólo se transmite del sinfín a la corona, no al contrario. Constituye un freno natural. El funcionamiento

está garantizado por los factores de seguridad alcanzados.

IM-2004-I-02

161

El análisis de resistencia para los dientes de todas las transmisiones fue mostrado

anteriormente. Se asumió comportamiento estático para todos los dientes, lo cual quiere

decir que los dientes son cargados como vigas en voladizo y tendrán que soportar, para

cada posición de la montura, los esfuerzos completos que de ella se deriven. Se aclara

que en un instante determinado, no más de tres dientes, comparten la carga total en cada

transmisión. Los factores de seguridad alcanzados garantizan el correcto funcionamiento

de cada uno de los dientes de la montura, lo que les permite (independientemente de cuál

sea o de la transmisión de la cual haga parte) soportar los esfuerzos inducidos,

respondiendo ampliamente ante los requerimientos de freno.

IM-2004-I-02

162

4. MANUFACTURA DE LA MONTURA

Después de ser completamente diseñada y caracterizada, la montura entró en la etapa de

fabricación y construcción. Las máquinas utilizadas para cada proceso son las que se

encuentran comúnmente en cualquier taller de metalmecánica.

Los materiales utilizados se escogieron gracias a sus propiedades físicas y mecánicas,

las cuales se consideraron adecuadas para esta aplicación. En el mercado de nuestro

país se manejan los dos sistemas de unidades, el inglés y el internacional. El diseño se

adelantó inicialmente basado en el sistema internacional de unidades, sin embargo,

debido a la disponibilidad de algunas partes, se adquirieron materiales en sistema inglés

de unidades como las barras para los ejes y sinfines y las platinas de las piezas

asociadas. En todo caso, se realizaron los ajustes necesarios en los cálculos mostrados

en el capítulo anterior.

Un costo importante generado por las horas de trabajo en máquinas herramientas fue

obsequiado por el Ingeniero Mecánico Joaquín Marín, quien amablemente ofreció su

taller para la manufactura de la montura.

La fabricación de la montura se adelantó en varias etapas, las cuales se resumen

brevemente en las siguientes hojas.

1. Corte de platina de Aluminio

Luego de adquirir un trozo de platina de Aluminio de 3/8”, se hicieron los cortes

preliminares de las piezas planas (asociadas): Base, Orejas, Ascensión y Declinador. La

Figura 69 muestra los cortes preliminares de estas piezas (las piezas asociadas son

mostradas en el Anexo A1 y A3)

IM-2004-I-02

163

Figura 69. Corte de piezas planas asociadas.

2. Torneado de las carcazas.

Se adquirió un cilindro extruido de aluminio de 100 mm de diámetro, por 100 mm de largo,

del cual se obtuvieron las carcazas 1 y 2 con sus respectivas tapas. Las piezas obtenidas

son mostradas en la Figura 70 (Nótese los ajustes para los rodamientos).

Figura 70. Carcazas de Transmisiones 2 y 3.

IM-2004-I-02

164

3. Fresado en las carcazas.

Para implementar el cilindro que contiene los sinfines, se fresó cada carcaza como se

muestra en la Figura 71. Este proceso resultó ser crítico, ya que de él dependía la

distancia entre centros de las Transmisiones 2 y 3. En el montaje que se muestra se

utilizó un escariador de 1”, correspondiente al diámetro exterior de los cilindros porta

sinfín.

Figura 71. Fresado de carcazas para porta sinfín.

4. Maquinado de ejes.

Los ejes fueron torneados de acuerdo a la geometría especificada en el diseño.

5. Fresado de piezas planas.

Las piezas planas se fresaron para obtener su forma definitiva. El montaje es mostrado

en la Figura 72.

6. Elaboración de coronas.

Debido a comodidad de costos, las coronas fueron mandadas a fresar en talleres

DACAR de acuerdo a las especificaciones mostradas en la Tabla 55.

IM-2004-I-02

165

Figura 72. Montaje usado para fresado de piezas planas.

7. Sujeción entre carcazas y piezas planas.

Para cumplir con los requerimientos de funcionamiento, las piezas fueron sujetadas con

pernos de 3/16”. Se descartó la aplicación de soldadura debido a las secciones

transversales delgadas y la necesidad de mantener la mayor precisión deseada. Las

uniones se muestran en la Figura 73.

Figura 73. Sistema de sujeción entre piezas planas y carcazas.

IM-2004-I-02

166

8. Maquinado de la pieza de ascensión recta.

Aprovechando la geometría de la pieza de ascensión recta, se tallaron dientes en su

periferia para ser utilizados en la Transmisión 1, de latitud. La Figura 74 muestra la

pieza de ascensión recta (medio engrane de dientes rectos) junto con sus piezas

asociadas.

Figura 74. Pieza de ascensión recta con sus piezas asociadas. Nótese el tallado correspondiente al engrane de la Transmisión 1.

9. Maquinado de tornillos sinfín.

De acuerdo a las especificaciones de la Tabla 55, se tornearon los sinfines de las

transmisiones 2 y 3. Luego de recibir las coronas se logró la disposición mostrada en la

Figura 75.

10. Ajuste de transmisiones sinfín-corona.

Se ajustaron las transmisiones sinfín-corona con las carcazas. La Figura 76 muestra la

disposición espacial de la Transmisión 2 (idéntica a la de la Transmisión 3).

IM-2004-I-02

167

Figura 75. Transmisión de sinfín-corona (Transmisiones 2 y 3)

Figura 76. Disposición de la Transmisión 2 con sus piezas asociadas.

IM-2004-I-02

168

11. Fresado del piñón de la Transmisión 1.

El montaje usado para la manufactura del piñón de la Transmisión 1 se muestra en la

Figura 77.

Figura 77. Fresado del piñón de la Transmisión 1.

12. Torneado de agujeros para rodamientos.

Para las orejas se tornearon los agujeros necesarios para el ajuste de los rodamientos

1 y 2. El montaje usado se muestra en la Figura 78.

Figura 78. Torneado de las orejas usado para ajustar los rodamientos 1 y 2.

IM-2004-I-02

169

11. Fresado de la pieza de sujeción al telescopio.

El proceso de manufactura para la U que sostiene al telescopio consistió en corte,

torneado y fresado. La U se muestra en la Figura 79. La sujeción segura del telescopio

se obtuvo mediante la introducción de bujes de bronce roscados dentro del aluminio del

soporte. Las roscas de bronce ofrecen mayor seguridad en el apriete, lo que garantiza

correcto funcionamiento de la montura por mas tiempo.

Figura 79. U. Pieza de sujeción del telescopio.

11. Pintura

Al ser maquinadas todas las piezas de la montura, se adelantó el proceso de pintura. A

las piezas maquinadas se les aplicó masilla plástica para cubrir cualquier marca o

imperfección superficial del maquinado (Figura 80), luego de lo cual se lijó (Figura 81),

para terminar con la aplicación de pintura negra mate (Figura 82).

IM-2004-I-02

170

Figura 80. Piezas masilladas antes del lijado.

Figura 81. Piezas lijadas antes del proceso de pintura.

IM-2004-I-02

171

Figura 82. Proceso de pintura.

Finalmente, con las piezas terminadas se ensambló la montura en su forma definitiva.

Algunos componentes guardan relaciones estrechas de operación, las cuales son

directamente proporcionales al funcionamiento óptimo de la montura. El mal

funcionamiento de una parte se ve reflejado en las observaciones de campo. Basándose

en los factores de seguridad obtenidos, así como en las tolerancias normales obtenidas

en la manufactura de las piezas (0.02 mm), se puede predecir que la montura operará de

adecuadamente.

IM-2004-I-02

172

5. AUTOMATIZACIÓN.

Como se comentó anteriormente, la automatización para el seguimiento de estrellas se

puede lograr motorizando el eje de ascensión recta de la montura (Transmisión 2, Eje 2).

El movimiento rotativo del Eje 2 debe compensar la rotación terrestre. La solución que se

obtuvo fue adaptar un motor paso-paso por medio de un circuito de control, para generar

dicha velocidad. Los motores paso-paso transmiten buen par, además de poseer

excelente control de inercia (esencial en los pasos de aproximación final de la estrella).

Los sinfines de las transmisiones 2 y 3 se han dejado con la posibilidad de manejar la

montura manual o automáticamente por medio de doble eje, uno a la perilla para

funcionamiento manual y otro libre con la opción del empalme de la tracción automática

generada por los motores.

De acuerdo al funcionamiento de monturas similares, se realiza una aproximación

preliminar a las coordenadas de interés (largos) mediante una velocidad alta del motor,

seguido de lo cual se obtiene la ubicación definitiva mediante velocidades muy bajas

(cortos). Para la montura desarrollada en este trabajo, se deja la posibilidad de hacer los

largos manualmente, mientras que los cortos son alcanzados por medio del motor.

El circuito utilizado (propuesto para posterior desarrollo) en este trabajo consta de un

transformador de voltaje, un puente H que controla los pasos y un microprocesador que

genera los impulsos necesarios por el motor. El circuito implementado se muestra en las

Figuras 83 y 84.

(Figuras 83 y 84 tomadas de http://www.st.com/stonline/books/ascii/docs/1734.htm)

IM-2004-I-02

173

Figura 83. Circuito propuesto para el puente H encargado de impulsar el motor paso-paso.

.

Figura 84. Driver de motor paso-paso.

IM-2004-I-02

174

6. EVALUACIÓN ECONÓMICA

El valor agregado del producto se fundamenta básicamente en los procesos mecánicos a

los que se sometan los materiales y a las horas de trabajo destinadas para su producción.

Para esta montura, los gastos mayoritarios son los generados básicamente por la compra

de los materiales y componentes electrónicos.

En la Tabla 61 se incluyen los costos por concepto de horas de trabajo y horas de

máquinas herramientas. Dichos costos no fueron asumidos por el autor, al desarrollar

personalmente la montura en “Talleres Marín”. Los cargos generados por mano de obra y

maquinaria son incluidos en la Tabla 61 como referencia del valor comercial de

construcción de la montura.

Un hecho especial que cabe destacar en esta etapa es la manera como se obtuvieron las

coronas de las Transmisiones 2 y 3. De acuerdo a las especificaciones de diseño, la fresa

necesaria para la manufactura de las coronas no es muy común debido al pequeño

tamaño de los dientes. Se hizo necesario averiguar el valor de la fresa y el costo de

fabricación en varios talleres especializados, para tomar la mejor decisión. Finalmente, se

optó por mandar a hacer las coronas en “DACAR”, solución que generaba menores

costos de fabricación. Sin embargo, como se puede ver en la Tabla 61, dicho cargo es

bastante representativo en relación con los de adquisición de materiales y componentes

electrónicos, de hecho, la fabricación de las coronas fue el mayor costo asumido por el

autor.

La Tabla 61 es un breve resumen de gastos.

IM-2004-I-02

175

Tabla 61. Gastos asumidos para la construcción de la montura.

ITEM DESCRIPICIÓN USO CANTIDAD V. U.º TOTAL

1 Platina de aluminio de 3/8” 4 pedazos de 65 X 90 (mm)

cada uno. Piezas planas*. 300 X 360 (mm) 4000 16,000

2 Platina de aluminio de ¾” Base. 60 X 80 (mm) 5000 5,000

3 Platina de aluminio de 1” U de sujeción al telescopio 120 X 130 (mm) 15000 15,000

4 Barra de aluminio de 1” Porta sinfines 200 mm 10000 10,000

5 Barra de aluminio de 4” Carcazas y tapas 100 mm 15000 15,000

6 Barra de bronce de 3 ½” Coronas 40 mm 15000 15,000

7 Barra de bronce de 5/8” Sinfines 150 mm 5000 5,000

8 Barra de bronce de ½” Bujes para roscas de la U 40 mm 3000 3,000

9 Barra de acero 4140 de ½” Ejes 150 mm 5000 5,000

10 Rodamientos Ajuste de ejes y sinfines 10 de 7 X 19 X 6 (mm) 1500 15,000

11 Anillos Ajuste de rodamientos 6 de 22mm y 2 de 9mm 2000 16,000

12 Tornillos Sujeción de piezas

10 de 1/8” X ½”

4 de 3/16” X 1”

4 Bristol de ¼” X 1 ½”

1 Bristol de 3/16” X ½”

50

150

200

100

500

600

800

100

13 Tuercas Ajuste de piezas 3 de 3/16” 50 150

14 Coronas Mandada a fresar de las

coronas 2 30000 60,000

15 Motor paso-paso 1.2 A, 6 VDC 1 5000 5,000

16 Controlador del motor Microcomponentes 4 - 30,000

COSTOS ASUMIDOS POR EL AUTOR PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA MONTURAª 217,150

17 Horas de trabajo Maquinado completo de

piezas 100 2500 250,000

18 Maquinaria Maquinado de la montura 50 8000 400,000

COSTOS TOTALES COMERCIALES DE LA MONTURAª 867,150

º Valor Unitario.

*Piezas planas: Orejas (izquierda y derecha), ascensión recta y declinador.

ª Los costos anteriores se liquidan a la tasa de cambio a la fecha de elaboración de este trabajo: 1U$ = $ 2800

En condiciones industriales, el valor de la montura podría reducirse si se montara una

línea de producción que optimizara la cantidad de materiales y los procesos de

manufactura. Debe ser incluido también un margen de ganancias competitivo en el

mercado. Los valores presentados en la Tabla 61 corresponden al primer prototipo, lo que

refleja costos de producción muy superiores a los que se podrían obtener en una línea de

producción en serie.

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Comercialmente los telescopios de aficionado vienen con una montura muy limitada. Si el

usuario desea realizar seguimiento de estrellas, lo mas posible es que tenga que adquirir

un telescopio computarizado (con su montura incluida) de aproximadamente U$ 2,500 (en

Estados Unidos). La montura propuesta en este trabajo es fácilmente adaptable a

cualquier telescopio aficionado y a cualquier trípode convencional. Además, sería posible

disfrutar fácil y económicamente de observaciones astronómicas a otro nivel, contando

con el seguimiento automático de estrellas y olvidándose de la difícil ubicación que

requiere una montura alt-azimutal.

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7. CONCLUSIONES

• El ejercicio desarrollado abrirá la posibilidad a los astrónomos aficionados de

adquirir un accesorio de alta versatilidad a bajo precio, situación que le permitirá

disfrutar de su pasatiempo bajo mejores condiciones, obteniendo más y mejores

resultados de las observaciones astronómicas.

• La montura construida en este trabajo ofrece ventajas económicas importantes en

comparación con sus similares comerciales. El significado de tener un equipo

óptico de buena calidad cambiará al poder disfrutar de todo su potencial por una

suma razonable.

• Gracias a la confiabilidad alcanzada para la montura, se hará posible la adaptación

de un telescopio más pesado y voluminoso que el usado para el diseño de la

montura (850 gramos ú 8.33 N), cambiando solamente la pieza de sujeción al

tubo.

• Queda abierta la posibilidad de implementar una línea de producción masiva que

posicione a la montura en el mercado nacional de telescopios.

• Debido a las bondades ofrecidas por la montura se podrían adaptar equipos de

astrofotografía que agregarían un nuevo matiz a las observaciones aficionadas.

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• El sistema de seguimiento automático será perfeccionado y adaptado,

conservando los objetivos de diseño compacto, seguro y funcional.

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Mecánica. Quinta Edición. Mc Graw Hill, México, 1990. 5. PORTILLA, José Gregorio. Astronomía para Todos. Universidad Nacional de

Colombia, Unilibros, Bogotá, 2001. 6. ROY, A. E. y CLARKE D.,Astronomy, Principles and Practice. Tercera edición ,

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